Física · Secundària · Cinemàtica

Cinemàtica

L'autobús que passa per la parada, el cotxe que frena al semàfor, la pilota xutada a porteria i la barca que travessa el riu són moviments que probablement veus cada dia, i la cinemàtica descriu moviments com aquests sense preguntar què els ha causat. Volem saber on és el cos, com de ràpid va i com canvia aquesta rapidesa. Experimentarem amb cadascun d'aquests moviments fins que les fórmules tinguin sentit.

1Sistema de referència i desplaçament
2Velocitat mitjana
3Moviment uniforme
4Trobada de cotxes
5Acceleració i MRUA
6Caiguda lliure
7Llançaments
8Composició de velocitats
✓Reptes

PAS 1

Aturat o en moviment? Depèn de qui ho miri

Per dir on és una cosa, primer hem de triar un sistema de referència, el cos a partir del qual mesurem. A la carretera, anomenem posició s la lectura de les fites quilomètriques (km), com si hi hagués un regle estès al llarg de la trajectòria.

Un passatger assegut està en repòs respecte de l'autobús i, alhora, en moviment respecte de la persona de la parada. La mateixa trajectòria depèn del sistema de referència, i ho podem veure amb una pilota llançada amunt dins l'autobús, que puja i baixa en línia recta per al passatger mentre que, per a qui és a la vorera, fa un arc.

El desplaçament \(\Delta s\) només compara el final amb el començament, mentre que la distància recorreguda \(d\) suma tot el camí, amb les anades i les tornades.

desplaçament Δs trams que sumen la distància d

Per comentar

Tria «Anada i tornada» i posa en pausa quan l'autobús giri al km 8. Quant valen Δs i d en aquest instant, i quant passen a valer al final del viatge?
Quan canviem a «Mira des de l'autobús», qui passa a moure's, l'autobús o la parada?
Amb l'autobús en marxa, prem «Llança la pilota amunt» en els dos sistemes de referència i compara la trajectòria que veiem per a la pilota en cadascun.
A «Torna a l'inici», l'autobús ha recorregut 14 km; per què, doncs, Δs acaba en zero?
Llança la pilota just abans que l'autobús s'aturi per girar. On cau, i què pot explicar aquest resultat?

Temps

Posició s

Desplaçament Δs

Distància d

Velocitat (carretera)

Exercicis del pas 1 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un passatger va assegut en un autobús que circula a 60 km/h per una avinguda recta. Està en repòs o en moviment?

Mostra la resolució
La resposta depèn del sistema de referència que triem.
Respecte de l'autobús (el seient, el conductor), la seva posició no canvia, i està en repòs.
Respecte del carrer o d'una persona a la parada, la posició canvia, i està en moviment a \(60\,\text{km/h}\).
Repòs i moviment només tenen sentit quan diem «respecte de què».
bàsic
Un cotxe passa per la fita del km 20 d'una carretera i, més tard, pel km 70, sense tornar enrere. Quin ha estat el desplaçament i quina la distància recorreguda?

Mostra la resolució
\(\Delta s = s - s_0 = 70 - 20 = 50\,\text{km}\)
Com que el cotxe no ha invertit el sentit, la distància és igual al mòdul del desplaçament.
\(\Delta s = 50\,\text{km}\) i \(d = 50\,\text{km}\)
bàsic
Un autobús surt del km 30, va fins al km 80 i torna fins al km 50. Calcula el desplaçament i la distància recorreguda.

Mostra la resolució
En el desplaçament només compten l'inici i el final.
\(\Delta s = 50 - 30 = 20\,\text{km}\)
Per a la distància, sumem tots els trams.
\(d = (80 - 30) + (80 - 50) = 50 + 30 = 80\,\text{km}\)
\(\Delta s = 20\,\text{km}\); \(d = 80\,\text{km}\)
bàsic
Dins d'un tren que avança en línia recta amb velocitat constant, una noia deixa caure una pilota. Quina trajectòria veu ella? I una persona aturada a l'andana?

Mostra la resolució
Per a la noia, ella i la pilota tenen la mateixa velocitat horitzontal, i per això la pilota cau en línia recta vertical fins a terra del vagó.
Per a la persona de l'andana, la pilota cau i, alhora, avança juntament amb el tren, de manera que la trajectòria és un arc de paràbola.
La trajectòria depèn del sistema de referència: recta per a la noia, corba per a qui és fora.
mitjà
Una atleta fa 3 voltes completes a una pista de 400 m i s'atura exactament al punt de sortida. Quina és la distància recorreguda i quin el desplaçament?

Mostra la resolució
\(d = 3 \cdot 400 = 1200\,\text{m}\)
Acaba on ha començat, és a dir, posició final = posició inicial.
\(\Delta s = 0\)
\(d = 1200\,\text{m}\) i \(\Delta s = 0\)
mitjà
Un cotxe passa pel km 120 a les 10 h i pel km 90 a les 10 h 30 min. Quin ha estat el desplaçament? Què indica el signe?

Mostra la resolució
\(\Delta s = 90 - 120 = -30\,\text{km}\)
El signe negatiu indica que el cotxe ha anat en sentit contrari a la numeració de les fites (moviment retrògrad).
La distància recorreguda és \(30\,\text{km}\), ja que una distància no és mai negativa.
\(\Delta s = -30\,\text{km}\): moviment en el sentit en què les fites decreixen.
mitjà
En una carretera, l'origen \((s = 0)\) és la plaça de la ciutat A, i el sentit positiu apunta cap a la ciutat B. Una moto és 15 km abans de la plaça i va fins a 25 km després, sense tornar enrere. Quant valen \(s_0\), \(s\) i \(\Delta s\)?

Mostra la resolució
\(s_0 = -15\,\text{km}\) (abans de l'origen) i \(s = +25\,\text{km}\)
\(\Delta s = 25 - (-15) = 40\,\text{km}\)
\(s_0 = -15\,\text{km}\), \(s = 25\,\text{km}\), \(\Delta s = 40\,\text{km}\)
mitjà
És possible que la distància recorreguda sigui més petita que el mòdul del desplaçament? I en quina situació són iguals?

Mostra la resolució
El desplaçament uneix el punt de sortida amb el d'arribada; la distància suma tot el camí, incloses anades i tornades.
Per això sempre \(d \geq |\Delta s|\).
Són iguals quan el cotxe avança en línia recta sense invertir el sentit.
No. \(d = |\Delta s|\) només quan no hi ha tornada.
repte
Un repartidor surt del km 10, va fins al km 46, torna fins al km 28 i després continua fins al km 40, on acaba. Calcula el desplaçament total i la distància recorreguda.

Mostra la resolució
\(\Delta s = 40 - 10 = 30\,\text{km}\)
Trams: \(46 - 10 = 36\), \(46 - 28 = 18\), \(40 - 28 = 12\)
\(d = 36 + 18 + 12 = 66\,\text{km}\)
\(\Delta s = 30\,\text{km}\); \(d = 66\,\text{km}\)
repte
Un passatger camina 20 m de la cua fins al capdavant d'un vagó en 10 s. En aquest temps, el tren avança 150 m respecte de les vies. Quin és el desplaçament del passatger respecte del vagó? I respecte de les vies? I si hagués caminat del capdavant cap a la cua?

Mostra la resolució
Respecte del vagó: \(\Delta s = 20\,\text{m}\).
Respecte de les vies, els desplaçaments se sumen (mateix sentit): \(150 + 20 = 170\,\text{m}\).
Del capdavant cap a la cua: \(150 - 20 = 130\,\text{m}\) endavant, respecte de les vies.
20 m (vagó); 170 m (vies); 130 m si caminés cap enrere.

PAS 2

Velocitat mitjana: quant has avançat dividit pel temps que has trigat

La velocitat mitjana compara el desplaçament amb el temps emprat, i aquest temps ho inclou tot, des de les aturades fins als semàfors i els embussos. El velocímetre mesura una altra magnitud, que anomenem velocitat instantània, la velocitat de cada moment.

Sembla natural fer la mitjana de les velocitats dels trams, però la velocitat mitjana no és aquesta mitjana, perquè qui va a poc a poc passa més temps en aquell tram i, per això, el tram lent «pesa» més en el càlcul.

En el gràfic \(s \times t\), podem llegir la velocitat mitjana com el pendent de la recta que uneix el punt de sortida amb el punt actual.

\(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\)\(1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}\)\(\text{km/h} \xrightarrow{\;\div\, 3{,}6\;} \text{m/s}\)En el SI, la velocitat s'expressa en m/s. Val la pena saber de memòria algunes parelles, com 36 km/h = 10 m/s · 72 km/h = 20 m/s · 108 km/h = 30 m/s.

Per comentar

Tria «Meitat a 60, meitat a 40» i fes la teva aposta abans d'engegar. La nostra primera intuïció tendeix a ser 50 km/h; comprova al final si la mitjana dona realment això.
Augmenta l'aturada fins a 60 min i observa com queda la corba del gràfic durant l'aturada. Què passa, doncs, amb la velocitat mitjana?
Al llarg del viatge, en quins moments el velocímetre marca més que \(v_m\), i en quins marca menys?
Converteix mentalment la velocitat del velocímetre a m/s i comprova el resultat a la lectura en m/s.
En quina situació la mitjana dels trams coincideix amb la velocitat mitjana? Potser val la pena posar a prova una sospita a «Sempre a 80».

Velocitat al tram 1 (60 km)

Aturada al km 60

Velocitat al tram 2 (60 km)

Cronòmetre

Ja recorregut

Velocímetre

Velocímetre en m/s

vₘ fins ara

Mitjana dels trams

Exercicis del pas 2 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un cotxe va a 72 km/h. Quant és això en m/s?

Mostra la resolució
Com que \(1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}\), n'hi ha prou de dividir per 3,6.
\(v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\,\text{m/s}\)
\(v = 20\,\text{m/s}\)
bàsic
Al llarg d'un viatge, el velocímetre d'un cotxe ha marcat 0, 40, 100 i 60 km/h en moments diferents. La velocitat mitjana del viatge és la mitjana d'aquests nombres? Què mesura el velocímetre?

Mostra la resolució
El velocímetre mesura la velocitat instantània, és a dir, com de ràpid va el cotxe en aquell moment.
La velocitat mitjana és \(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\), que depèn de quant s'ha avançat i de quant temps ha passat, aturades incloses.
Si fem la mitjana d'uns quants valors del velocímetre, ignorem quant temps ha passat el cotxe a cada velocitat.
No. El velocímetre dona la velocitat instantània; la mitjana surt de \(\Delta s / \Delta t\).
bàsic
Una família recorre 180 km en 2 h 30 min. Quina és la velocitat mitjana del viatge?

Mostra la resolució
\(\Delta t = 2{,}5\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{180}{2{,}5} = 72\,\text{km/h}\)
\(v_m = 72\,\text{km/h}\)
bàsic
Usain Bolt va córrer els 100 m en 9,58 s. Quina va ser la seva velocitat mitjana en m/s i en km/h?

Mostra la resolució
\(v_m = \dfrac{100}{9{,}58} \approx 10{,}44\,\text{m/s}\)
\(10{,}44 \cdot 3{,}6 \approx 37{,}6\,\text{km/h}\)
\(v_m \approx 10{,}4\,\text{m/s} \approx 37{,}6\,\text{km/h}\)
mitjà
En un viatge, un cotxe recorre 120 km en 1,5 h, s'atura 30 min en una benzinera i després recorre 80 km més en 1 h. Quina és la velocitat mitjana de tot el viatge?

Mostra la resolució
\(\Delta s = 120 + 80 = 200\,\text{km}\)
\(\Delta t = 1{,}5 + 0{,}5 + 1 = 3\,\text{h}\) (l'aturada compta!)
\(v_m = \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7\,\text{km/h}\)
\(v_m \approx 66{,}7\,\text{km/h}\)
mitjà
Un cotxe fa 120 km, la primera meitat del camí a 60 km/h i la segona meitat a 40 km/h. La velocitat mitjana és 50 km/h? Fes el càlcul abans de respondre.

Mostra la resolució
1a meitat: \(\Delta t_1 = \dfrac{60}{60} = 1\,\text{h}\)
2a meitat: \(\Delta t_2 = \dfrac{60}{40} = 1{,}5\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{120}{1 + 1{,}5} = 48\,\text{km/h}\)
Com que el cotxe passa més temps al tram lent, la mitjana queda per sota de 50.
No: \(v_m = 48\,\text{km/h}\).
mitjà
En un tram de 10 km controlat per radar de velocitat mitjana, el límit és 80 km/h. Un cotxe triga 6 min a recórrer el tram. El multaran?

Mostra la resolució
\(\Delta t = 6\,\text{min} = 0{,}1\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{10}{0{,}1} = 100\,\text{km/h}\)
Per respectar el límit, hauria de trigar com a mínim \(\dfrac{10}{80} = 0{,}125\,\text{h} = 7{,}5\,\text{min}\).
Sí: \(v_m = 100\,\text{km/h} > 80\,\text{km/h}\).
mitjà
La llum del Sol recorre uns \(1{,}5 \cdot 10^{11}\,\text{m}\) fins a la Terra, a \(3 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}\). Quant de temps triga?

Mostra la resolució
\(\Delta t = \dfrac{\Delta s}{v}\) \(= \dfrac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^{8}}\) \(= 500\,\text{s}\)
\(500\,\text{s} = 8\,\text{min}\;20\,\text{s}\)
Veiem el Sol tal com era fa poc més de 8 minuts.
\(\Delta t = 500\,\text{s} \approx 8{,}3\,\text{min}\)
repte
Un cotxe va d'A a B a 60 km/h i torna de B a A, pel mateix camí, a 40 km/h. La distància AB és de 120 km. Calcula la velocitat escalar mitjana de tot el viatge (distància/temps) i la velocitat mitjana vectorial (desplaçament/temps).

Mostra la resolució
Anada: \(\dfrac{120}{60} = 2\,\text{h}\); tornada: \(\dfrac{120}{40} = 3\,\text{h}\)
Escalar mitjana: \(\dfrac{240}{5} = 48\,\text{km/h}\)
El cotxe ha tornat a A, de manera que el desplaçament total és zero, i la velocitat mitjana vectorial també.
48 km/h (escalar) i 0 (vectorial).
repte
Un cotxe circula la primera meitat del temps de viatge a 80 km/h i la segona meitat del temps a 40 km/h. Quina és la velocitat mitjana? Compara-ho amb el cas en què fa la meitat de la distància a cada velocitat.

Mostra la resolució
Amb la meitat del temps a cada velocitat, anomenem cada meitat \(T\).
\(v_m = \dfrac{80T + 40T}{2T} = 60\,\text{km/h}\) (aquí sí que surt la mitjana simple).
Amb la meitat de la distància a cada velocitat, anomenem cada meitat \(D\).
\(v_m = \dfrac{2D}{\dfrac{D}{80} + \dfrac{D}{40}}\) \(= \dfrac{2D}{\dfrac{3D}{80}}\) \(= \dfrac{160}{3} \approx 53{,}3\,\text{km/h}\)
60 km/h per temps; ≈ 53,3 km/h per distància.

PAS 3

Moviment uniforme: la mateixa velocitat tota l'estona

En el moviment rectilini uniforme (MRU), la velocitat és constant, i el cotxe recorre distàncies iguals en temps iguals. Anomenem equació del moviment l'expressió que dona la posició a cada instant.

En el gràfic \(s \times t\), el MRU apareix com una recta el pendent de la qual és la velocitat. Quan passem al gràfic \(v \times t\), veiem una línia horitzontal, i l'àrea entre aquesta línia i l'eix del temps és el desplaçament.

Quan \(v > 0\), les posicions augmenten i diem que el moviment és progressiu; quan \(v < 0\), disminueixen i el moviment és retrògrad.

\(s = s_0 + v\,t\)\(v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\) (pendent de \(s \times t\))\(\Delta s = \text{àrea sota } v \times t\)L'àrea per sota de l'eix del temps compta com a negativa, perquè correspon a un desplaçament en el sentit en què les posicions disminueixen.

Per comentar

Posa \(v = 0\) i descriu com queden els dos gràfics en aquest cas.
Tria «Retrògrad». La recta de \(s \times t\) puja o baixa, i a quin costat de l'eix queda l'àrea de \(v \times t\)?
Canvia només \(s_0\) i mira què passa amb la recta; el pendent també canvia?
Posa en pausa prop de \(t = 4\,\text{s}\) i comprova si l'àrea del \(v \times t\) és igual a \(s - s_0\).
Si dupliquem \(v\), què passa amb el pendent i amb l'àrea, comparats amb els d'abans?

Posició inicial s₀

Velocitat v

Temps

Posició s

Desplaçament s − s₀

Àrea del v × t

Tipus

Exercicis del pas 3 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
L'equació del moviment d'un cotxe és \(s = 20 + 5t\) (SI). Quines són la posició inicial, la velocitat i la posició a \(t = 4\,\text{s}\)?

Mostra la resolució
Comparant amb \(s = s_0 + v\,t\): \(s_0 = 20\,\text{m}\) i \(v = 5\,\text{m/s}\).
\(s(4) = 20 + 5 \cdot 4 = 40\,\text{m}\)
\(s_0 = 20\,\text{m}\); \(v = 5\,\text{m/s}\); \(s(4) = 40\,\text{m}\)
bàsic
En el gràfic \(s \times t\) d'un MRU, la recta passa per (0 s; 10 m) i (5 s; 40 m). Quina és la velocitat i l'equació del moviment?

Mostra la resolució
La velocitat és el pendent de la recta, que calculem amb dos punts:
\(v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{40 - 10}{5 - 0} = 6\,\text{m/s}\)
\(s = 10 + 6t\) (SI)
bàsic
Un cotxe segueix \(s = 100 - 8t\) (SI). El moviment és progressiu o retrògrad? En quin instant passa per l'origen?

Mostra la resolució
Com que \(v = -8\,\text{m/s}\) és negativa, les posicions disminueixen i el moviment és retrògrad.
Origen: \(0 = 100 - 8t\) \(\Rightarrow t = 12{,}5\,\text{s}\)
Retrògrad; passa per l'origen a \(t = 12{,}5\,\text{s}\).
bàsic
En el gràfic \(v \times t\) d'un MRU, què representa l'àrea sota la recta? Calcula-la per a \(v = 15\,\text{m/s}\) durant 8 s.

Mostra la resolució
L'àrea és un rectangle, i base × altura \(= \Delta t \cdot v = \Delta s\), que és el desplaçament.
\(\Delta s = 15 \cdot 8 = 120\,\text{m}\)
L'àrea és el desplaçament: 120 m.
mitjà
Un tren de 200 m de llargada, a 20 m/s constants, travessa un pont de 400 m. Quant de temps triga des que el capdavant entra al pont fins que en surt la cua?

Mostra la resolució
El capdavant ha de recórrer tot el pont i, a més, la llargada del tren.
\(\Delta s = 400 + 200 = 600\,\text{m}\)
\(\Delta t = \dfrac{600}{20} = 30\,\text{s}\)
\(\Delta t = 30\,\text{s}\)
mitjà
Un cotxe en MRU passa pel km 40 a les 8 h i pel km 130 a les 9 h 30 min. Escriu l'equació del moviment (t en hores, comptat a partir de les 8 h) i digues on serà a les 10 h.

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{130 - 40}{1{,}5} = 60\,\text{km/h}\)
\(s = 40 + 60t\)
A les 10 h, \(t = 2\,\text{h}\): \(s = 40 + 60 \cdot 2 = 160\,\text{km}\)
\(s = 40 + 60t\); a les 10 h, al km 160.
mitjà
En el gràfic \(s \times t\), dos cotxes en MRU apareixen com a rectes paral·leles, l'una per sobre de l'altra. Què ens diu això de les velocitats i les posicions? Es troben?

Mostra la resolució
Les rectes paral·leles tenen el mateix pendent; per tant, els cotxes tenen la mateixa velocitat.
Com que l'una és per sobre de l'altra, les posicions són diferents a cada instant.
La distància entre ells no canvia mai, de manera que les rectes no es creuen mai.
Mateixa velocitat, posicions diferents; no es troben mai.
mitjà
Un cotxe va a 20 m/s durant 10 s i després torna enrere a 10 m/s durant 6 s (velocitat \(-10\,\text{m/s}\)). Fent servir les àrees del gràfic \(v \times t\), calcula el desplaçament total i la distància recorreguda.

Mostra la resolució
Àrea per sobre de l'eix del temps: \(20 \cdot 10 = 200\,\text{m}\)
Àrea per sota de l'eix: \(-10 \cdot 6 = -60\,\text{m}\)
\(\Delta s = 200 - 60 = 140\,\text{m}\)
\(d = 200 + 60 = 260\,\text{m}\)
\(\Delta s = 140\,\text{m}\); \(d = 260\,\text{m}\)
repte
Una persona crida davant d'una paret de roca i sent l'eco 1,5 s després. La velocitat del so a l'aire és de 340 m/s. A quina distància és la paret?

Mostra la resolució
El so va fins a la paret i torna, de manera que recorre el doble de la distància.
\(2D = 340 \cdot 1{,}5 = 510\,\text{m}\)
\(D = 255\,\text{m}\)
repte
Un autobús en MRU és a la posició 26 m a \(t = 2\,\text{s}\) i a la posició 6 m a \(t = 7\,\text{s}\). Troba l'equació del moviment i l'instant en què passa per l'origen.

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{6 - 26}{7 - 2} = -4\,\text{m/s}\)
\(s_0 = s - v\,t = 26 - (-4) \cdot 2 = 34\,\text{m}\)
\(s = 34 - 4t\)
Origen: \(0 = 34 - 4t\) \(\Rightarrow t = 8{,}5\,\text{s}\)
\(s = 34 - 4t\) (SI); passa per l'origen a \(8{,}5\,\text{s}\).

PAS 4

Quan i on es troben dos cotxes?

Dos cotxes es troben quan són a la mateixa posició en el mateix instant. Per trobar aquest instant, escrivim l'equació del moviment de cadascun, amb el mateix origen i el mateix sentit positiu, i les igualem.

En el gràfic \(s \times t\), veiem la trobada com el punt on es creuen les rectes, la coordenada horitzontal del qual dona l'instant i la vertical, la posició.

Hi ha una drecera que ens pot estalviar molts càlculs. En sentits oposats les velocitats se sumen, perquè els cotxes s'acosten més de pressa, i en el mateix sentit es resten, ja que el més ràpid ha de «retallar la diferència», que és el que compta en un avançament.

\(s_A = s_B\)\(s_{0A} + v_A\,t = s_{0B} + v_B\,t\)\(t_E = \dfrac{s_{0B} - s_{0A}}{v_A - v_B}\)Si \(v_A = v_B\), les rectes són paral·leles i no hi ha trobada, tret que els cotxes comencin junts. Un \(t_E\) negatiu vol dir que la trobada ja s'ha produït abans.

cotxe A cotxe B trobada

Per comentar

A «Sentits oposats», calcula \(t_E\) i la posició de la trobada abans d'engegar i, després, comprova el resultat al gràfic.
A «Avançament», redueix la diferència de velocitat entre A i B i mira si la trobada passa a produir-se abans o després.
A «Costat per costat», les velocitats són iguals; per què, en aquest cas, les rectes no es creuen mai?
A «S'allunyen», el càlcul dona un temps negatiu. Què pot voler dir aquest temps negatiu a la carretera?

Posició inicial d'A

Velocitat d'A

Posició inicial de B

Velocitat de B

Temps

Posició d'A

Posició de B

Distància entre ells

Instant de la trobada

Posició de la trobada

Exercicis del pas 4 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Dos cotxes segueixen \(s_A = 10 + 5t\) i \(s_B = 70 - 10t\) (SI). Quan i on es troben?

Mostra la resolució
A la trobada, \(s_A = s_B\)
\(10 + 5t = 70 - 10t\) \(\Rightarrow 15t = 60\) \(\Rightarrow t = 4\,\text{s}\)
\(s = 10 + 5 \cdot 4 = 30\,\text{m}\)
\(t = 4\,\text{s}\), a \(s = 30\,\text{m}\)
bàsic
Dos cotxes van en el mateix sentit, amb la mateixa velocitat, l'un 50 m darrere de l'altre. El de darrere atrapa el del davant? Com queda el gràfic \(s \times t\)?

Mostra la resolució
Amb la mateixa velocitat, la distància entre els dos cotxes és sempre de 50 m.
En el gràfic \(s \times t\), les rectes són paral·leles i no es creuen mai.
No s'atrapen; només hi hauria trobada si el de darrere fos més ràpid.
bàsic
Dos cotxes són a 300 m l'un de l'altre i avancen l'un cap a l'altre, a 20 m/s i a 10 m/s. Al cap de quant de temps es troben? A quina distància del punt de sortida del més ràpid?

Mostra la resolució
Posant l'origen al cotxe més ràpid, \(s_A = 20t\) i \(s_B = 300 - 10t\)
\(20t = 300 - 10t\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\)
\(s = 20 \cdot 10 = 200\,\text{m}\)
Per la drecera, com que en sentits oposats les velocitats se sumen, \(t = \dfrac{300}{20 + 10} = 10\,\text{s}\).
\(t = 10\,\text{s}\), a 200 m de la sortida del més ràpid.
bàsic
Un cotxe A, a la posició 0, a 25 m/s, persegueix un cotxe B que és a la posició 100 m, a 15 m/s, en el mateix sentit. Quan i on atrapa A el cotxe B?

Mostra la resolució
\(25t = 100 + 15t\) \(\Rightarrow 10t = 100\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\)
\(s = 25 \cdot 10 = 250\,\text{m}\)
Per la drecera, en el mateix sentit A retalla la diferència a \(25 - 15 = 10\,\text{m/s}\).
\(t = 10\,\text{s}\), a \(s = 250\,\text{m}\)
mitjà
Les ciutats A i B són a 240 km l'una de l'altra. Alhora, un cotxe surt d'A cap a B a 80 km/h i una moto surt de B cap a A a 40 km/h. Quan i a quina distància d'A es creuen?

Mostra la resolució
\(s_{\text{cotxe}} = 80t\) i \(s_{\text{moto}} = 240 - 40t\)
\(80t = 240 - 40t\) \(\Rightarrow 120t = 240\) \(\Rightarrow t = 2\,\text{h}\)
\(s = 80 \cdot 2 = 160\,\text{km}\)
Al cap de 2 h, a 160 km d'A.
mitjà
Un cotxe de 4 m a 26 m/s avançarà un camió de 20 m a 20 m/s. L'avançament comença quan el capdavant del cotxe arriba a la cua del camió i acaba quan la cua del cotxe deixa enrere el capdavant del camió. Quant dura? Quant avança el cotxe respecte de la carretera?

Mostra la resolució
Respecte del camió, el cotxe ha d'avançar \(20 + 4 = 24\,\text{m}\).
Velocitat relativa: \(26 - 20 = 6\,\text{m/s}\)
\(\Delta t = \dfrac{24}{6} = 4\,\text{s}\)
Respecte de la carretera: \(26 \cdot 4 = 104\,\text{m}\)
4 s; el cotxe avança 104 m.
mitjà
A les 8 h, un camió surt del km 0 a 60 km/h. A les 9 h, un cotxe surt del mateix punt, en el mateix sentit, a 90 km/h. A quina hora i a quin km el cotxe atrapa el camió?

Mostra la resolució
Amb t en hores a partir de les 8 h: \(s_{\text{camió}} = 60t\) i \(s_{\text{cotxe}} = 90(t - 1)\)
\(60t = 90t - 90\) \(\Rightarrow 30t = 90\) \(\Rightarrow t = 3\,\text{h}\)
\(s = 60 \cdot 3 = 180\,\text{km}\)
A les 11 h, al km 180.
mitjà
Dos trens circulen per vies paral·leles, en sentits oposats: l'un fa 150 m i va a 20 m/s; l'altre fa 100 m i va a 30 m/s. Quant dura l'encreuament complet (des que es troben els capdavants fins que se separen les cues)?

Mostra la resolució
Velocitat relativa (sentits oposats): \(20 + 30 = 50\,\text{m/s}\)
Llargada a superar: \(150 + 100 = 250\,\text{m}\)
\(\Delta t = \dfrac{250}{50} = 5\,\text{s}\)
\(\Delta t = 5\,\text{s}\)
repte
Dos trens són a 100 km l'un de l'altre, a la mateixa via, i s'acosten a 50 km/h cadascun. Un ocell vola a 75 km/h d'un tren a l'altre, anant i tornant, sense parar, fins que els trens es troben. Quants quilòmetres vola l'ocell?

Mostra la resolució
No cal sumar les anades i tornades, n'hi ha prou de conèixer el temps.
Trobada dels trens: \(t = \dfrac{100}{50 + 50} = 1\,\text{h}\)
Com que l'ocell vola tota l'estona a 75 km/h, \(d = 75 \cdot 1 = 75\,\text{km}\)
\(d = 75\,\text{km}\)
repte
A la mateixa carretera recta, el ciclista A és a \(s = 0\) a 18 km/h i el ciclista B és a \(s = 1200\,\text{m}\) a 2 m/s, en el mateix sentit. Quan i on atrapa A el ciclista B? Quina distància els separa 10 min després de la trobada?

Mostra la resolució
Passant a la mateixa unitat, \(18\,\text{km/h} = \dfrac{18}{3{,}6} = 5\,\text{m/s}\)
\(5t = 1200 + 2t\) \(\Rightarrow 3t = 1200\) \(\Rightarrow t = 400\,\text{s}\) (6 min 40 s)
\(s = 5 \cdot 400 = 2000\,\text{m}\)
Després de la trobada, A s'allunya a \(5 - 2 = 3\,\text{m/s}\): en \(600\,\text{s}\), \(3 \cdot 600 = 1800\,\text{m}\)
En 400 s, al punt 2000 m; 10 min després són a 1800 m l'un de l'altre.

PAS 5

Acceleració: quan la velocitat canvia

L'acceleració diu quant canvia la velocitat cada segon; amb \(a = 3\,\text{m/s}^2\), per exemple, la velocitat guanya 3 m/s per segon. Quan l'acceleració és constant, anomenem el moviment moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA).

En el MRUA, la velocitat canvia en línia recta (\(v \times t\) és una recta) i la posició segueix una paràbola (\(s \times t\)). Si marquem la posició cada segon i mirem les marques, queden cada vegada més separades quan el cotxe accelera i més juntes quan frena.

L'equació de Torricelli relaciona velocitat i desplaçament sense fer servir el temps, i és la nostra preferida per calcular distàncies de frenada.

\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\)\(v = v_0 + a\,t\)\(s = s_0 + v_0\,t + \dfrac{a\,t^2}{2}\)\(v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta s\)\(a\) en m/s². El moviment és accelerat quan \(v\) i \(a\) tenen el mateix signe i retardat quan tenen signes oposats. El pendent de \(v \times t\) dona \(a\), i l'àrea de \(v \times t\) dona \(\Delta s\).

posició velocitat acceleració marques cada 1 s

Per comentar

A «Des del repòs», llegeix les distàncies entre les marques d'1 s, 2 s, 3 s… i digues quina seqüència de nombres sembla sorgir.
A «Frenant», en quin instant s'atura el cotxe? Podem comprovar l'instant amb \(v = v_0 + a\,t\) i la distància amb Torricelli.
Desactiva el «fre de veritat» i mira què faria la fórmula després de \(v = 0\), una cosa que potser et sorprendrà.
Tria «Marxa enrere accelerant», en què \(a\) és negativa, i decideix si el cotxe està frenant.
Compara les lectures \(v^2\) i \(v_0^2 + 2a\Delta s\) en diversos instants. Què suggereix aquesta comparació sobre l'equació de Torricelli?

Velocitat inicial v₀

Acceleració a

Temps

Posició s

Velocitat v

Acceleració a

v² ara

v₀² + 2aΔs

Exercicis del pas 5 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un cotxe passa de 0 a 108 km/h en 10 s. Quina és l'acceleració mitjana en \(\text{m/s}^2\)?

Mostra la resolució
\(108\,\text{km/h} = \dfrac{108}{3{,}6} = 30\,\text{m/s}\)
\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{30 - 0}{10} = 3\,\text{m/s}^2\)
Cada segon, la velocitat augmenta 3 m/s.
\(a = 3\,\text{m/s}^2\)
bàsic
La velocitat d'un cotxe és \(v = 5 + 2t\) (SI). Quant valen \(v_0\), \(a\) i la velocitat a \(t = 6\,\text{s}\)?

Mostra la resolució
Comparant amb \(v = v_0 + a\,t\): \(v_0 = 5\,\text{m/s}\) i \(a = 2\,\text{m/s}^2\).
\(v(6) = 5 + 2 \cdot 6 = 17\,\text{m/s}\)
\(v_0 = 5\,\text{m/s}\); \(a = 2\,\text{m/s}^2\); \(v(6) = 17\,\text{m/s}\)
bàsic
La posició d'un cotxe és \(s = 4 + 3t + 2t^2\) (SI). Identifica \(s_0\), \(v_0\) i \(a\) i calcula \(s\) a \(t = 2\,\text{s}\).

Mostra la resolució
Comparant amb \(s = s_0 + v_0\,t + \dfrac{a}{2}\,t^2\): \(s_0 = 4\,\text{m}\), \(v_0 = 3\,\text{m/s}\) i \(\dfrac{a}{2} = 2\) \(\Rightarrow a = 4\,\text{m/s}^2\).
\(s(2) = 4 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 = 4 + 6 + 8 = 18\,\text{m}\)
\(s_0 = 4\,\text{m}\); \(v_0 = 3\,\text{m/s}\); \(a = 4\,\text{m/s}^2\); \(s(2) = 18\,\text{m}\)
bàsic
Una acceleració negativa vol dir sempre que el cotxe frena? Explica-ho amb un exemple.

Mostra la resolució
No. El que decideix és la comparació entre els signes de \(v\) i de \(a\).
Amb signes iguals, el mòdul de la velocitat augmenta (accelerat); amb signes oposats, disminueix (retardat).
Per exemple, amb \(v = -10\,\text{m/s}\) i \(a = -2\,\text{m/s}^2\), el cotxe avança en el sentit negatiu cada vegada més de pressa.
Una acceleració negativa amb velocitat negativa és moviment accelerat.
mitjà
Un cotxe a 20 m/s frena amb una acceleració constant de mòdul \(5\,\text{m/s}^2\). Quina distància recorre fins que s'atura i quant de temps hi triga?

Mostra la resolució
Torricelli: \(0 = 20^2 + 2 \cdot (-5) \cdot \Delta s\) \(\Rightarrow \Delta s = \dfrac{400}{10} = 40\,\text{m}\)
Temps: \(0 = 20 - 5t\) \(\Rightarrow t = 4\,\text{s}\)
40 m en 4 s.
mitjà
En el gràfic \(v \times t\), la velocitat va de 4 m/s a \(t = 0\) a 16 m/s a \(t = 6\,\text{s}\), en línia recta. Calcula l'acceleració i el desplaçament.

Mostra la resolució
L'acceleració és el pendent: \(a = \dfrac{16 - 4}{6} = 2\,\text{m/s}^2\)
El desplaçament és l'àrea del trapezi: \(\Delta s = \dfrac{(4 + 16) \cdot 6}{2} = 60\,\text{m}\)
\(a = 2\,\text{m/s}^2\); \(\Delta s = 60\,\text{m}\)
mitjà
Un cos surt del repòs amb \(a = 2\,\text{m/s}^2\). Quant avança durant el 1r, el 2n i el 3r segon? Quin patró apareix?

Mostra la resolució
Amb \(s_0 = 0\) i \(v_0 = 0\): \(s = \dfrac{2}{2}\,t^2 = t^2\).
\(s(1) = 1\,\text{m}\), \(s(2) = 4\,\text{m}\), \(s(3) = 9\,\text{m}\)
1r segon: 1 m; 2n: \(4 - 1 = 3\,\text{m}\); 3r: \(9 - 4 = 5\,\text{m}\)
1, 3, 5 m: els nombres senars (regla de Galileu). Les marques queden cada vegada més separades.
mitjà
Un avió necessita arribar a 80 m/s per enlairar-se i accelera a \(4\,\text{m/s}^2\) des del repòs. Quina és la longitud mínima de la pista? Quant de temps triga?

Mostra la resolució
\(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s\) \(\Rightarrow 80^2 = 0 + 2 \cdot 4 \cdot \Delta s\) \(\Rightarrow 6400 = 8\,\Delta s\) \(\Rightarrow \Delta s = 800\,\text{m}\)
\(t = \dfrac{80}{4} = 20\,\text{s}\)
800 m de pista; 20 s.
repte
Un conductor a 72 km/h veu un obstacle a 50 m. Triga 0,7 s a reaccionar (en aquest temps el cotxe continua en MRU) i després frena amb \(5\,\text{m/s}^2\). (a) S'atura abans de l'obstacle? (b) Quina és la velocitat més alta que li permetria aturar-se a temps?

Mostra la resolució
(a) \(72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}\). Reacció: \(20 \cdot 0{,}7 = 14\,\text{m}\). Frenada: \(\dfrac{20^2}{2 \cdot 5} = 40\,\text{m}\). Total: \(54\,\text{m} > 50\,\text{m}\). No s'atura: xoca.
(b) \(0{,}7\,v + \dfrac{v^2}{10} = 50\) \(\Rightarrow v^2 + 7v - 500 = 0\)
\(v = \dfrac{-7 + \sqrt{49 + 2000}}{2} \approx 19{,}1\,\text{m/s} \approx 68{,}9\,\text{km/h}\)
(a) No (necessitaria 54 m). (b) Uns 19,1 m/s ≈ 69 km/h.
repte
Un cotxe A surt del repòs amb \(a = 2\,\text{m/s}^2\) en l'instant exacte en què un cotxe B passa pel seu costat a 10 m/s constants. Quan i on atrapa A el cotxe B? Quina és la velocitat d'A en aquell moment?

Mostra la resolució
\(s_A = \dfrac{2}{2}\,t^2 = t^2\) i \(s_B = 10t\)
\(t^2 = 10t\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\) (\(t = 0\) és la sortida)
\(s = 10 \cdot 10 = 100\,\text{m}\)
\(v_A = 2 \cdot 10 = 20\,\text{m/s}\), el doble de la velocitat de B.
En 10 s, a 100 m; A va a 20 m/s.

PAS 6

Caiguda lliure: sense aire, tot cau alhora

A prop de la superfície de la Terra, i suposant que estem sense la resistència de l'aire, tot cos cau amb la mateixa acceleració, \(g \approx 10\,\text{m/s}^2\), sigui quina sigui la massa. A la Lluna, que no té aire, un astronauta va deixar caure un martell i una ploma, i tots dos van arribar alhora a terra.

La caiguda lliure és un MRUA amb \(a = g\) cap avall. Quan llancem un cos amunt, perd 10 m/s cada segon mentre puja, s'atura un instant al punt més alt (\(v = 0\), però l'acceleració continua sent \(g\)!) i baixa, i, sempre sense aire, triga a baixar el mateix temps que ha trigat a pujar.

\(v = v_0 - g\,t\)\(y = y_0 + v_0\,t - \dfrac{g\,t^2}{2}\)\(t_q = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\)\(H = \dfrac{v_0^2}{2g}\)Fem servir l'eix \(y\) cap amunt i \(g = 10\,\text{m/s}^2\). Un cos que es deixa anar des del repòs a una altura \(h\) arriba a terra amb \(v = \sqrt{2gh}\).

velocitat acceleració g

Per comentar

Deixa-la anar des de 45 m i intenta estimar quant de temps triga la pilota a arribar a terra, per comprovar-ho després amb \(t = \sqrt{2h/g}\).
Activa la càmera lenta i observa les distàncies entre les fotos, fetes cada 0,1 s. Sembla que creixen en la proporció 1, 3, 5…?
Llança-la amunt a 20 m/s, posa en pausa al punt més alt i mira quant valen, en aquell instant, la velocitat i l'acceleració.
Canvia a «Amb aire» i mira quin dels dos arriba primer a terra, la ploma o el martell. I què canvia quan traiem l'aire?

Altura inicial

Velocitat cap amunt v₀

Temps

Altura de la pilota

Velocitat

Acceleració

Temps fins a terra

Altura màxima

Exercicis del pas 6 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Es deixa anar una pedra des de dalt d'un mur de 20 m. Quant de temps triga a arribar a terra i amb quina velocitat hi arriba? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\) i negligeix l'aire.

Mostra la resolució
\(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,\text{s}\)
\(v = g\,t = 10 \cdot 2 = 20\,\text{m/s}\)
2 s; 20 m/s.
bàsic
El 1971, un astronauta a la Lluna va deixar caure alhora un martell i una ploma. Què va passar, i per què a la Terra seria diferent?

Mostra la resolució
Com que a la Lluna no hi ha aire, tots dos tenen la mateixa acceleració (la de la gravetat lunar) i arriben junts a terra.
A la Terra, la resistència de l'aire frena molt més la ploma, que és lleugera i ampla.
Sense aire, la caiguda no depèn de la massa; la diferència del dia a dia ve de l'aire.
bàsic
Es deixa anar una pilota i cau lliurement durant 3 s. Quina és la seva velocitat i quant ha caigut? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(v = g\,t = 10 \cdot 3 = 30\,\text{m/s}\)
\(h = \dfrac{g\,t^2}{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\,\text{m}\)
30 m/s; 45 m.
bàsic
Es llança una pilota amunt. Al punt més alt, la velocitat és zero. L'acceleració també és zero en aquest punt?

Mostra la resolució
No. L'acceleració és \(g = 10\,\text{m/s}^2\) cap avall durant tot el vol.
Si l'acceleració fos zero al punt més alt, la pilota es quedaria quieta allà dalt, a l'aire!
Al punt més alt, la velocitat està passant de positiva (pujant) a negativa (baixant).
Al punt més alt, \(v = 0\), però \(a = g\) cap avall.
mitjà
Es llança una pilota amunt a 20 m/s. Calcula el temps de pujada, l'altura màxima i el temps fins que torna a la mà. Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Pujada: \(0 = 20 - 10t\) \(\Rightarrow t_s = 2\,\text{s}\)
Altura màxima: \(H = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{400}{20} = 20\,\text{m}\)
La baixada dura el mateix temps que la pujada: total \(= 4\,\text{s}\), i la pilota torna a 20 m/s.
2 s; 20 m; 4 s.
mitjà
Una foto estroboscòpica registra cada 0,1 s una pilota que s'ha deixat anar. Quant cau en el 1r, el 2n i el 3r interval de 0,1 s? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(h = \dfrac{g\,t^2}{2} = 5t^2\): \(h(0{,}1) = 0{,}05\,\text{m}\), \(h(0{,}2) = 0{,}20\,\text{m}\), \(h(0{,}3) = 0{,}45\,\text{m}\)
Intervals: \(5\,\text{cm}\); \(20 - 5 = 15\,\text{cm}\); \(45 - 20 = 25\,\text{cm}\)
5, 15 i 25 cm: creixen en la proporció 1, 3, 5.
mitjà
Una moneda cau des de dalt d'un edifici de 80 m. Si negligim l'aire, quant de temps triga i amb quina velocitat arriba a terra (en km/h)? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4\,\text{s}\)
\(v = 10 \cdot 4 = 40\,\text{m/s} = 40 \cdot 3{,}6 = 144\,\text{km/h}\)
En realitat, l'aire redueix força aquest valor.
4 s; 144 km/h.
mitjà
Una pilota llançada verticalment amunt arriba a una altura màxima de 45 m. Amb quina velocitat s'ha llançat i quant de temps és a l'aire? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al punt més alt \(v = 0\): \(0 = v_0^2 - 2gH\) \(\Rightarrow v_0^2 = 2 \cdot 10 \cdot 45 = 900\) \(\Rightarrow v_0 = 30\,\text{m/s}\)
Pujada: \(\dfrac{30}{10} = 3\,\text{s}\); a l'aire: \(2 \cdot 3 = 6\,\text{s}\)
30 m/s; 6 s a l'aire.
repte
Des de dalt d'un edifici de 20 m, es llança una pilota amunt a 15 m/s. Quant de temps triga a arribar a terra i amb quina velocitat hi arriba? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Amb l'eix cap amunt i l'origen dalt de l'edifici, \(y = 15t - 5t^2\). El terra és a \(y = -20\,\text{m}\).
\(-20 = 15t - 5t^2\) \(\Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0\) \(\Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0\) \(\Rightarrow t = 4\,\text{s}\)
\(v = 15 - 10 \cdot 4 = -25\,\text{m/s}\) (25 m/s cap avall)
Ho comprovem amb Torricelli: \(v^2 = 15^2 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 625\) \(\Rightarrow |v| = 25\,\text{m/s}\)
4 s; 25 m/s cap avall.
repte
Es deixa anar una pilota A des de 45 m d'altura. En el mateix instant, a la mateixa vertical, es llança una pilota B des de terra cap amunt a 30 m/s. Quan i a quina altura es troben? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(y_A = 45 - 5t^2\) i \(y_B = 30t - 5t^2\)
Igualant: \(45 = 30t\) \(\Rightarrow t = 1{,}5\,\text{s}\). El terme \(5t^2\) s'anul·la, i podem llegir-ho com si totes dues «caiguessin juntes», amb la distància entre elles disminuint a 30 m/s.
\(y = 45 - 5 \cdot 1{,}5^2 = 45 - 11{,}25 = 33{,}75\,\text{m}\)
En 1,5 s, a 33,75 m de terra.

PAS 7

Llançaments: dos moviments alhora

Si negligim l'aire, un projectil fa dos moviments independents. En l'horitzontal no hi ha acceleració, i tenim un MRU amb \(v_x\) constant; en la vertical actua l'acceleració \(g\), i el moviment és un MRUA igual que el que hem estudiat al pas 6. Junts, tots dos dibuixen una paràbola.

Les ombres ens poden ajudar a veure aquesta independència. L'ombra a terra avança passos iguals en temps iguals, mentre que l'ombra a la paret puja i baixa com una pilota llançada amunt.

En el llançament horitzontal (\(\theta = 0^\circ\)), el temps de caiguda és el mateix que quan deixem anar la pilota aturada, i només depèn de l'altura. Si la pilota surt i arriba a la mateixa altura, 45° dona el màxim abast, i els angles complementaris, com 30° i 60°, donen el mateix abast.

\(v_x = v_0\cos\theta\)\(v_y = v_0\sin\theta - g\,t\)\(x = v_x\,t\)\(H = \dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}\)\(A = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}\)Les fórmules de \(H\) i \(A\) valen per a un llançament des de terra (sortida i arribada a la mateixa altura), sense aire, amb \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

\(v_x\) i ombra a terra \(v_y\) i ombra a la paret \(\vec v\)

Per comentar

Fixa \(v_0\) i busca l'angle que sembla donar el màxim abast. És realment 45°?
Activa «angle complementari» i mira si els dos trets cauen al mateix lloc. Quin dels dos puja més, i quin és més temps a l'aire?
Durant el vol, què passa amb \(v_x\) i amb \(v_y\)? Posa en pausa al punt més alt i mira quant hi val \(v_y\).
A «Horitzontal des del penya-segat», duplica \(v_0\) i observa si el temps de caiguda canvia. Què passa amb l'abast?
Per què les marques de l'ombra a terra queden igualment espaiades i les de la paret no?

Velocitat inicial v₀

Angle θ

Altura de sortida

Temps

Velocitat horitzontal vx

Velocitat vertical vy

Abast

Altura màxima

Temps de vol

Exercicis del pas 7 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una boleta rodola sobre una taula de 0,8 m d'altura i surt per la vora a 3 m/s. Quant de temps triga a arribar a terra i a quina distància de la taula cau? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Vertical (caiguda lliure): \(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}8}{10}} = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4\,\text{s}\)
Horitzontal (MRU): \(x = 3 \cdot 0{,}4 = 1{,}2\,\text{m}\)
0,4 s; cau a 1,2 m de la taula.
bàsic
Des del mateix punt i en el mateix instant, es dispara una bala en horitzontal i se'n deixa anar una altra. Quina arriba primer a terra (sense aire, terra pla)?

Mostra la resolució
El moviment vertical de totes dues és igual, ja que totes dues comencen amb \(v_y = 0\) i tenen la mateixa acceleració \(g\).
La velocitat horitzontal de la bala no canvia el temps de caiguda (independència dels moviments).
Arriben juntes.
bàsic
Es xuta una pilota a 20 m/s, amb 30° per sobre de l'horitzontal. Calcula \(v_x\) i \(v_y\) inicials. Fes servir \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) i \(\cos 30^\circ \approx 0{,}87\).

Mostra la resolució
\(v_x = v_0 \cos\theta\) \(= 20 \cdot 0{,}87 \approx 17{,}4\,\text{m/s}\)
\(v_y = v_0\sin\theta = 20 \cdot 0{,}5 = 10\,\text{m/s}\)
\(v_x \approx 17{,}4\,\text{m/s}\); \(v_y = 10\,\text{m/s}\)
bàsic
Al punt més alt d'un llançament oblic, la velocitat de la pilota és zero?

Mostra la resolució
No. Al punt més alt, només s'anul·la la component vertical, i tenim \(v_y = 0\).
La component horitzontal continua sent \(v_x = v_0\cos\theta\) (MRU), i l'acceleració continua sent \(g\) cap avall.
Al punt més alt, la velocitat és \(v_x \neq 0\), en horitzontal.
mitjà
Es llança una pilota des de terra a 20 m/s amb 45°. Calcula l'abast i l'altura màxima. Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\) i \(\sin^2 45^\circ = 0{,}5\).

Mostra la resolució
\(A = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}\) \(= \dfrac{400 \cdot \sin 90^\circ}{10}\) \(= \dfrac{400 \cdot 1}{10}\) \(= 40\,\text{m}\)
\(H = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} = \dfrac{400 \cdot 0{,}5}{20} = 10\,\text{m}\)
\(A = 40\,\text{m}\); \(H = 10\,\text{m}\)
mitjà
Un canó dispara a 30 m/s, primer amb 30° i després amb 60°. Compara els abasts i les altures màximes. Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\), \(\sin 60^\circ = \sin 120^\circ \approx 0{,}87\), \(\sin^2 30^\circ = 0{,}25\) i \(\sin^2 60^\circ = 0{,}75\).

Mostra la resolució
Abast: \(\sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin(2 \cdot 60^\circ) \approx 0{,}87\); per tant, \(A = \dfrac{900 \cdot 0{,}87}{10} \approx 78\,\text{m}\) en tots dos casos.
\(H_{30} = \dfrac{900 \cdot 0{,}25}{20} = 11{,}25\,\text{m}\)
\(H_{60} = \dfrac{900 \cdot 0{,}75}{20} = 33{,}75\,\text{m}\)
Angles complementaris: mateix abast (≈ 78 m), però el tret de 60° puja 3 vegades més.
mitjà
Un avió de rescat vola en horitzontal a 50 m/s, a 500 m d'altura, i deixa anar un paquet. Quant de temps triga el paquet a caure i quants metres abans de l'objectiu s'ha de deixar anar? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\) i negligeix l'aire.

Mostra la resolució
\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 500}{10}} = \sqrt{100} = 10\,\text{s}\)
\(x = 50 \cdot 10 = 500\,\text{m}\) abans de l'objectiu
Durant la caiguda, el paquet és sempre a sota de l'avió, perquè té la mateixa \(v_x\).
10 s; 500 m abans de l'objectiu.
mitjà
Una pilota surt de terra amb \(v_x = 12\,\text{m/s}\) i \(v_y = 16\,\text{m/s}\). Calcula \(v_0\), el temps de vol, l'abast i l'altura màxima. Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(v_0 = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20\,\text{m/s}\)
Temps de vol: \(t = \dfrac{2\,v_y}{g} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2\,\text{s}\)
\(A = 12 \cdot 3{,}2 = 38{,}4\,\text{m}\)
\(H = \dfrac{16^2}{2 \cdot 10} = 12{,}8\,\text{m}\)
20 m/s; 3,2 s; 38,4 m; 12,8 m.
repte
Una pilota surt rodolant d'una taula d'1,25 m d'altura i toca a terra a 2 m de la base de la taula. Amb quina velocitat ha sortit de la taula? Amb quina velocitat (mòdul) arriba a terra? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}25}{10}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\,\text{s}\)
\(v_x = \dfrac{2}{0{,}5} = 4\,\text{m/s}\)
En arribar: \(v_y = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{m/s}\)
\(v = \sqrt{4^2 + 5^2}\) \(= \sqrt{41} \approx 6{,}4\,\text{m/s}\)
Ha sortit a 4 m/s; arriba a ≈ 6,4 m/s.
repte
Un atleta de salt de llargada vol arribar a 8,1 m. Suposant que el podem tractar com una partícula llançada a 45° que cau a la mateixa altura, quina és la velocitat de sortida mínima? Quina és l'altura màxima del salt? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\) i \(\sin^2 45^\circ = 0{,}5\).

Mostra la resolució
A 45°, \(\sin(2\theta) = 1\): \(A = \dfrac{v_0^2}{g}\)
\(v_0^2 = 8{,}1 \cdot 10 = 81\) \(\Rightarrow v_0 = 9\,\text{m/s}\)
\(H = \dfrac{v_0^2\sin^2 45^\circ}{2g}\) \(= \dfrac{81 \cdot 0{,}5}{20} \approx 2{,}0\,\text{m}\)
Com que 45° dona el màxim abast, qualsevol altre angle exigiria més velocitat.
\(v_0 = 9\,\text{m/s}\); \(H \approx 2\,\text{m}\)

PAS 8

Les velocitats se sumen com a vectors

Com que té mòdul, direcció i sentit, diem que la velocitat és un vector. Quan un moviment es produeix «dins» d'un altre, com el de la barca a l'aigua que corre, el de l'avió dins el vent o el de la persona a l'escala mecànica, la velocitat respecte de terra és la suma vectorial de totes dues.

En la mateixa direcció, n'hi ha prou de sumar o restar. Un avió a 800 km/h amb un vent de 100 km/h a favor fa 900 km/h, i contra el vent fa 700 km/h; en una escala a 0,5 m/s, la persona que camina a 1 m/s puja a 1,5 m/s. En direccions perpendiculars, fem servir Pitàgores.

Al riu, només la part de la velocitat que travessa decideix el temps de travessia. El corrent només empeny la barca riu avall, i anomenem aquest desviament deriva.

\(\vec v_R = \vec v_b + \vec v_c\)\(v_R = \sqrt{v_b^2 + v_c^2}\) (perpendiculars)\(t = \dfrac{L}{v_b\cos\alpha}\)\(\text{deriva} = (v_c + v_b\sin\alpha)\,t\)\(\alpha\) és l'angle entre la proa i la perpendicular a les ribes, negatiu quan la barca apunta riu amunt. El riu fa \(L = 60\,\text{m}\) d'amplada.

barca (respecte de l'aigua) corrent resultant

Per comentar

A «Apunta recte», comprova \(v_R\) amb Pitàgores i calcula quant val la deriva en aquest cas.
Si augmentem el corrent sense tocar la barca, el temps de travessia canvia?
Fes servir «Arriba just al davant» i fixa't cap on apunta la barca. Arriba més de pressa o més a poc a poc que quan apuntava recte?
Amb el corrent més fort que la barca, pot existir algun angle que porti la barca exactament al davant?

Velocitat de la barca

Direcció de la proa α

Corrent

Velocitat resultant

Temps de travessia

Deriva

Distància recorreguda

Exercicis del pas 8 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una barca travessa un riu apuntant perpendicularment a la riba a 4 m/s, i el corrent és de 3 m/s. Quina és la velocitat de la barca respecte de la riba?

Mostra la resolució
Com que les dues velocitats són perpendiculars, fem servir Pitàgores.
\(v_R = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\,\text{m/s}\)
\(v_R = 5\,\text{m/s}\)
bàsic
Un avió vola a 800 km/h respecte de l'aire. Quina és la seva velocitat respecte de terra amb un vent de 100 km/h a favor? I en contra?

Mostra la resolució
En la mateixa direcció, n'hi ha prou de sumar o restar.
A favor: \(800 + 100 = 900\,\text{km/h}\)
En contra: \(800 - 100 = 700\,\text{km/h}\)
900 km/h a favor; 700 km/h en contra.
bàsic
Una escala mecànica de 15 m avança a 0,5 m/s. Una persona hi puja caminant a 1 m/s respecte dels graons. Quant de temps triga? I si es queda quieta a l'escala?

Mostra la resolució
Caminant: \(v = 1 + 0{,}5 = 1{,}5\,\text{m/s}\) i \(t = \dfrac{15}{1{,}5} = 10\,\text{s}\)
Quieta: \(t = \dfrac{15}{0{,}5} = 30\,\text{s}\)
10 s caminant; 30 s quieta.
bàsic
Una barca travessa un riu apuntant sempre perpendicularment a les ribes. Si el corrent es fa més fort, el temps de travessia canvia? Què canvia?

Mostra la resolució
El temps només depèn de la component de la velocitat que travessa el riu, que és la de la barca: \(t = \dfrac{L}{v_b}\).
El corrent és paral·lel a les ribes i, per això, ni ajuda ni dificulta la travessia.
El que augmenta és la deriva: la barca arriba més lluny, riu avall.
El temps no canvia; la deriva augmenta.
mitjà
Un riu fa 60 m d'amplada i té un corrent de 2 m/s. Una barca apunta perpendicularment a les ribes a 3 m/s. Calcula el temps de travessia, la deriva i la distància total recorreguda respecte de les ribes.

Mostra la resolució
\(t = \dfrac{60}{3} = 20\,\text{s}\)
Deriva: \(2 \cdot 20 = 40\,\text{m}\) riu avall
\(d = \sqrt{60^2 + 40^2}\) \(= \sqrt{5200} \approx 72{,}1\,\text{m}\)
20 s; 40 m de deriva; ≈ 72,1 m.
mitjà
Una barca a 5 m/s (respecte de l'aigua) vol travessar un riu de 80 m i arribar exactament al davant, amb un corrent de 3 m/s. Cap on ha d'apuntar? Quina és la seva velocitat respecte de la riba i quant de temps triga?

Mostra la resolució
Ha d'apuntar una mica riu amunt, de manera que aquesta component anul·li el corrent:
\(5\sin\alpha = 3\) \(\Rightarrow \sin\alpha = 0{,}6\) \(\Rightarrow \alpha \approx 37^\circ\) amb la perpendicular
Queda la component que travessa: \(v_R = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,\text{m/s}\)
\(t = \dfrac{80}{4} = 20\,\text{s}\)
Apunta ≈ 37° riu amunt; 4 m/s; 20 s.
mitjà
Un avió vola cap al nord a 400 km/h respecte de l'aire, i el vent bufa cap a l'est a 300 km/h. Quina és la velocitat de l'avió respecte de terra? Quant recorre en 2 h?

Mostra la resolució
\(v_R = \sqrt{400^2 + 300^2}\) \(= \sqrt{250\,000}\) \(= 500\,\text{km/h}\)
Desviament: \(\tan\theta = \dfrac{300}{400} = 0{,}75\) \(\Rightarrow \theta \approx 37^\circ\) a l'est del nord
\(d = 500 \cdot 2 = 1000\,\text{km}\)
500 km/h; 1000 km en 2 h.
mitjà
La pluja cau en vertical a 8 m/s. Un cotxe circula a 6 m/s. Per al conductor, amb quina velocitat i amb quina inclinació cau la pluja?

Mostra la resolució
Respecte del cotxe, la pluja guanya una component horitzontal de 6 m/s, que ve del davant.
\(v = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\,\text{m/s}\)
\(\tan\theta = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\) \(\Rightarrow \theta \approx 37^\circ\) amb la vertical
Per això les gotes ratllen el vidre lateral en diagonal.
10 m/s, inclinada ≈ 37° amb la vertical.
repte
Quieta en una escala mecànica, una persona puja en 30 s. Caminant amb l'escala aturada, puja en 20 s. Quant de temps triga caminant amb l'escala en marxa?

Mostra la resolució
Si anomenem \(L\) la longitud, \(v_{\text{esc}} = \dfrac{L}{30}\) i \(v_{\text{pers}} = \dfrac{L}{20}\)
\(v = \dfrac{L}{30} + \dfrac{L}{20} = \dfrac{2L + 3L}{60} = \dfrac{L}{12}\)
\(t = 12\,\text{s}\)
repte
Un riu de 100 m té un corrent de 2 m/s; una barca va a 4 m/s respecte de l'aigua. (a) Apuntant perpendicularment a les ribes, quant de temps triga i quina és la deriva? (b) Per arribar exactament al davant, quant de temps triga? Quina estratègia és més ràpida?

Mostra la resolució
(a) \(t = \dfrac{100}{4} = 25\,\text{s}\); deriva \(= 2 \cdot 25 = 50\,\text{m}\)
(b) \(v_R = \sqrt{4^2 - 2^2}\) \(= \sqrt{12} \approx 3{,}46\,\text{m/s}\); \(t = \dfrac{100}{3{,}46} \approx 28{,}9\,\text{s}\)
Apuntar perpendicularment és més ràpid (25 s); arribar just al davant costa més temps (≈ 28,9 s).

TANCAMENT

Reptes

Sistema de referència i velocitat mitjana

Un autobús va del km 10 al km 70 en 45 min i, tot seguit, torna al km 40 en 30 min. Calcula el desplaçament, la distància recorreguda, la velocitat escalar mitjana i la velocitat mitjana vectorial.

Mostra la resolució

\(\Delta s = 40 - 10 = 30\,\text{km}\)
\(d = 60 + 30 = 90\,\text{km}\)
\(\Delta t = 45 + 30 = 75\,\text{min} = 1{,}25\,\text{h}\)
Escalar mitjana: \(\dfrac{90}{1{,}25} = 72\,\text{km/h}\)
Vectorial mitjana: \(\dfrac{30}{1{,}25} = 24\,\text{km/h}\)

MRU + MRUA

Un cotxe va a 108 km/h quan el conductor mira el mòbil durant 2 s i només aleshores frena, amb \(6\,\text{m/s}^2\). Quants metres recorre el cotxe des del començament de la distracció fins que s'atura?

Mostra la resolució

\(108\,\text{km/h} = 30\,\text{m/s}\)
Distracció (MRU): \(30 \cdot 2 = 60\,\text{m}\)
Frenada (Torricelli): \(\Delta s = \dfrac{30^2}{2 \cdot 6} = 75\,\text{m}\)
Total: \(60 + 75 = 135\,\text{m}\)

Trobada amb acceleració

Un cotxe patrulla aturat arrenca amb \(a = 4\,\text{m/s}^2\) en l'instant en què un cotxe passa pel seu costat a 20 m/s constants. Quan i on atrapa el cotxe patrulla l'altre cotxe, i amb quina velocitat?

Mostra la resolució

\(s_V = \dfrac{4}{2}\,t^2 = 2t^2\) i \(s_C = 20t\)
\(2t^2 = 20t\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\)
\(s = 20 \cdot 10 = 200\,\text{m}\)
\(v_V = 4 \cdot 10 = 40\,\text{m/s} = 144\,\text{km/h}\)

Caiguda lliure

Una gota de pluja cau d'un núvol a 2000 m d'altura. Si no hi hagués aire, amb quina velocitat arribaria a terra, i per què això no passa? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució

\(v = \sqrt{2gh}\) \(= \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2000}\) \(= \sqrt{40\,000}\) \(= 200\,\text{m/s}\)
\(200 \cdot 3{,}6 = 720\,\text{km/h}\): seria com un tret!
L'aire frena la gota, que aviat arriba a una velocitat límit de pocs metres per segon.

Llançament horitzontal

Una pilota surt rodolant de dalt d'un penya-segat de 45 m a 10 m/s, en horitzontal. Quant de temps triga a caure, a quina distància de la base toca a terra i amb quina velocitat? Fes servir \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Mostra la resolució

\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{10}} = 3\,\text{s}\)
\(x = 10 \cdot 3 = 30\,\text{m}\)
\(v_y = 10 \cdot 3 = 30\,\text{m/s}\)
\(v = \sqrt{10^2 + 30^2}\) \(= \sqrt{1000} \approx 31{,}6\,\text{m/s}\)

Vectors

Una barca travessa un riu de 120 m apuntant perpendicularment a les ribes a 4 m/s, amb un corrent de 3 m/s. Calcula el temps, la deriva, la velocitat respecte de la riba i la distància recorreguda.

Mostra la resolució

\(t = \dfrac{120}{4} = 30\,\text{s}\)
Deriva: \(3 \cdot 30 = 90\,\text{m}\)
\(v_R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{m/s}\)
\(d = 5 \cdot 30 = 150\,\text{m}\) (comprovació: \(\sqrt{120^2 + 90^2} = 150\))

Gràfic v × t

Un cotxe passa del repòs a 20 m/s en 5 s, manté els 20 m/s durant 10 s i frena fins a aturar-se en 4 s. Calcula les acceleracions de cada tram, el desplaçament total i la velocitat mitjana.

Mostra la resolució

Acceleracions: \(\dfrac{20}{5} = 4\,\text{m/s}^2\); \(0\); \(-\dfrac{20}{4} = -5\,\text{m/s}^2\)
Àrees: \(\dfrac{5 \cdot 20}{2} = 50\,\text{m}\); \(10 \cdot 20 = 200\,\text{m}\); \(\dfrac{4 \cdot 20}{2} = 40\,\text{m}\)
\(\Delta s = 290\,\text{m}\) en \(19\,\text{s}\)
\(v_m = \dfrac{290}{19} \approx 15{,}3\,\text{m/s}\)

Pensar, sense comptes

Dins d'un autobús en moviment rectilini uniforme, llances una moneda enlaire. Et cau a la mà, al darrere o al davant, i com veu la trajectòria una persona a la vorera? Potser ajuda imaginar l'escena abans de fer cap càlcul.

Mostra la resolució

Et cau a la mà, perquè la moneda ja té la mateixa velocitat horitzontal que tu i l'autobús, i la manté a l'aire (independència dels moviments).
Per a tu, puja i baixa en línia recta.
Per a qui és a la vorera, descriu un arc de paràbola, avançant juntament amb l'autobús.
Si l'autobús frena durant el vol, llavors sí que la moneda cau davant teu.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit aquestes cinc preguntes en el format de l'ENEM, amb un text base tret del dia a dia, un enunciat i cinc opcions, de les quals només una és correcta. Els distractors repeteixen errors habituals a classe, i per això potser val la pena llegir la resolució fins i tot quan l'encertis. Més avall hi ha preguntes reals de l'examen per practicar.

Velocitat mitjana · Pas 2
Les aplicacions de córrer registren amb el GPS del mòbil la distància i el temps de cada entrenament i, al final, mostren una velocitat mitjana. En un entrenament de 10 km, la Camila va córrer els primers 5 km en 25 min, es va aturar 5 min en una font i va fer els últims 5 km en 30 min, sense aturar el cronòmetre de l'aplicació.

Si l'aplicació calcula la velocitat mitjana de l'entrenament com ho fem en física, quin valor, en km/h, ha de mostrar?
1. 2,8
2. 10,0
3. 10,9
4. 11,0
5. 12,0
Mostra la resolució

Resposta: B.
La velocitat mitjana sempre fa servir el temps total, i l'aturada a la font entra en el càlcul.
\(\Delta t = 25 + 5 + 30 = 60\,\text{min} = 1\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\) \(= \dfrac{10\,\text{km}}{1\,\text{h}}\) \(= 10{,}0\,\text{km/h}\)
Qui marca la C ha deixat fora l'aturada \(\left(\dfrac{10}{55/60} \approx 10{,}9\right)\), la D fa la mitjana simple de 12 i 10 km/h, la E es queda només amb el primer tram, i la A dona el valor en m/s \((10/3{,}6 \approx 2{,}8)\) com si fos en km/h. Potser sorprèn qui ha fet la mitjana dels trams.
Trobada · Pas 4
Moltes avingudes reparteixen l'espai entre un carril bus i un carril bici, i el GPS permet seguir tots dos vehicles alhora. En una avinguda recta, un semàfor fa d'origen, i el GPS registra cada 10 s la posició d'un autobús i la de la ciclista Larissa, que van en el mateix sentit.

Posicions registrades pel GPS
t (s) 0 10 20 30

autobús (m) 0 80 160 240

Larissa (m) 300 350 400 450

Suposant que tots dos mantenen les velocitats que suggereix la taula, en quin instant i en quina posició l'autobús atrapa la Larissa?
1. Cap als 23 s, prop de la posició 185 m.
2. Als 37,5 s, a la posició 300 m.
3. Als 60 s, a la posició 480 m.
4. Als 100 s, a la posició 500 m.
5. Als 100 s, a la posició 800 m.
Mostra la resolució

Resposta: E.
Les posicions canvien el mateix cada 10 s. Per tant, tots dos van en MRU i podem llegir les velocitats a la taula.
\(v_{\text{bus}} = \dfrac{80}{10} = 8\,\text{m/s}\) i \(v_L = \dfrac{50}{10} = 5\,\text{m/s}\)
\(s_{\text{bus}} = 8t\) i \(s_L = 300 + 5t\)
\(8t = 300 + 5t\) \(\Rightarrow 3t = 300\) \(\Rightarrow t = 100\,\text{s}\)
\(s = 8 \cdot 100 = 800\,\text{m}\)
La A suma les velocitats, com si tots dos vinguessin en sentits oposats; la B oblida que la Larissa també avança; la C divideix els 300 m per la velocitat d'ella; la D encerta el temps i calcula la posició sense el \(s_0 = 300\,\text{m}\).
Acceleració i gràfic v × t · Pas 5
Entre dues estacions, un tren de metro surt del repòs, accelera, fa un tram amb velocitat constant i frena fins a aturar-se a l'andana següent. El gràfic mostra, de manera simplificada, la velocitat que el sistema de control ha registrat al llarg d'aquest recorregut.

A partir del gràfic, quina és l'acceleració del tren a la sortida i quina és la distància entre les dues estacions?
1. 1 m/s² i 1100 m.
2. 1 m/s² i 1400 m.
3. 20 m/s² i 1100 m.
4. 2 m/s² i 1100 m.
5. 1 m/s² i 800 m.
Mostra la resolució

Resposta: A.
L'acceleració a la sortida és el pendent del primer tram del gràfic.
\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{20 - 0}{20} = 1\,\text{m/s}^2\)
La distància és l'àrea sota el gràfic, que podem dividir en dos triangles i un rectangle.
\(\Delta s = \dfrac{20 \cdot 20}{2} + 40 \cdot 20 + \dfrac{10 \cdot 20}{2}\)
\(\Delta s = 200 + 800 + 100 = 1100\,\text{m}\)
La B tracta l'àrea com un únic rectangle \((20 \cdot 70)\), la C confon velocitat amb acceleració, la D fa servir el pendent de la frenada \((20/10 = 2)\) i la E es queda només amb el tram de velocitat constant.
Temps de reacció i frenada · Passos 3 i 5
La distància que recorre un cotxe fins que s'atura té dues parts. Mentre el conductor reacciona, el peu encara no ha arribat al fre i el cotxe continua amb la mateixa velocitat; després, els frens produeixen una desacceleració que, sobre asfalt sec, podem suposar constant. El Diego condueix a 72 km/h. Atent, triga 0,8 s a reaccionar. Suposem que, parlant pel mòbil, aquest temps arriba a 2,0 s, i que en tots dos casos els frens desacceleren el cotxe a 8 m/s².

Distret pel mòbil, quants metres recorre el Diego des de l'instant en què apareix un vianant al davant fins que el cotxe s'atura?
1. 25
2. 40
3. 41
4. 65
5. 90
Mostra la resolució

Resposta: D.
En unitats del SI, \(72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}\).
Durant la reacció, el cotxe va en MRU.
\(d_r = 20 \cdot 2{,}0 = 40\,\text{m}\)
La frenada surt de Torricelli, amb velocitat final zero.
\(0 = 20^2 - 2 \cdot 8 \cdot d_f\) \(\Rightarrow d_f = \dfrac{400}{16} = 25\,\text{m}\)
\(d = 40 + 25 = 65\,\text{m}\)
La A i la B es queden amb només una de les parts, la C és la distància del Diego atent \((16 + 25)\) i la E ve de qui oblida el 2 de Torricelli \((400/8 = 50)\). El mòbil hi afegeix 24 m, a prop de la llargada de cinc cotxes.
Caiguda lliure i llançaments · Passos 6 i 7
Ja s'estan provant drons per portar medicaments i farmacioles a llocs de difícil accés. En una prova, un dron vola en horitzontal a 12 m/s, a 20 m d'altura, i deixa anar un paquet compacte. Negligirem la resistència de l'aire, cosa que sembla raonable per a un paquet pesant i petit, i farem servir g = 10 m/s².

A quina distància horitzontal del punt on s'ha deixat anar toca a terra el paquet?
1. 0 m
2. 17 m
3. 24 m
4. 40 m
5. 48 m
Mostra la resolució

Resposta: C.
Quan es deixa anar, el paquet manté la velocitat horitzontal del dron, i el moviment se separa en dos. En la vertical, hi ha una caiguda lliure a partir del repòs.
\(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 20}{10}} = 2\,\text{s}\)
En l'horitzontal, el paquet continua en MRU.
\(x = v_x\,t = 12 \cdot 2 = 24\,\text{m}\)
La A suposa que el paquet cau en vertical, cosa que, sense aire, no passa mai amb el que surt d'un dron en moviment; la B oblida el 2 dins l'arrel \((t \approx 1{,}4\,\text{s})\), la D fa servir la velocitat vertical d'arribada \((\sqrt{2gh} = 20\,\text{m/s})\) en lloc de \(v_x\) i la E oblida l'arrel \((t = 4\,\text{s})\). Dos segons de caiguda poden semblar poc.

Posicions registrades pel GPS
t (s)	0	10	20	30
autobús (m)	0	80	160	240
Larissa (m)	300	350	400	450

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem trobar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número. Fins al 2016, Ciències de la Natura es feia el dia 1.

ENEM 2012, dia 1, quadern blau, pregunta 60. Un tren de metro accelera, manté la velocitat i frena entre dues estacions, i la pregunta demana el gràfic \(s \times t\) que correspon a aquest moviment.
ENEM 2012, dia 1, quadern blau, pregunta 72. Un repartidor passa per dos trams amb límits de velocitat diferents, i la pregunta és el temps total del viatge.
ENEM 2016, dia 1, quadern blau, pregunta 63. L'aturada d'un cotxe en dues etapes, reacció i frenada, es converteix en un gràfic de la velocitat en funció de la distància, i cal reconèixer l'esbós correcte.
ENEM 2017, dia 2, quadern blau, pregunta 131. La pregunta compara la distància d'aturada d'un conductor atent amb la d'un altre que fa servir el mòbil i triga més a començar a frenar.
ENEM 2022, dia 2, quadern blau, pregunta 100. L'abast d'un raig d'aigua llançat en horitzontal serveix per estimar l'altura que el mateix raig assoliria apuntat cap amunt.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Desplaçament\(\Delta s = s - s_0\)

Velocitat mitjana\(v_m = \Delta s / \Delta t\)

Unitats\(1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}\)

MRU\(s = s_0 + v\,t\)

Trobada\(s_A = s_B\)

Acceleració\(a = \Delta v / \Delta t\)

MRUA: velocitat\(v = v_0 + a\,t\)

MRUA: posició\(s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}\)

Torricelli\(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s\)

Caiguda lliure (g ≈ 10 m/s²)\(t_q = \sqrt{2h/g}\quad H = \frac{v_0^2}{2g}\)

Llançament oblic\(v_x = v_0\cos\theta\quad A = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\)

Composició (perpendiculars)\(v_R = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)