Física · Secundària · Circuits elèctrics

Circuits elèctrics

La bombeta que s'encén tot just premem l'interruptor, la dutxa elèctrica que escalfa més a l'hivern i la factura de la llum que arriba cada mes depenen de càrregues elèctriques en moviment. Partirem del corrent i de la tensió, entendrem la resistència i la potència, muntarem circuits en sèrie i en paral·lel i acabarem amb el generador real i amb les precaucions amb l'electricitat de casa.

1Corrent elèctric
2Tensió i energia
3Lleis d'Ohm
4Potència
5Sèrie i paral·lel
6Circuits mixtos
7Generador i seguretat
✓Reptes

PAS 1

Què es mou dins d'un fil?

En un metall, una part dels electrons no queda lligada a cap àtom i es passeja lliurement pel material. Anomenem corrent elèctric el moviment ordenat d'aquestes càrregues, i en mesurem la intensitat per la càrrega que travessa una secció del fil cada segon.

La unitat de corrent és l'ampere, igual a un coulomb per segon. Cada electró porta una càrrega minúscula, $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$, i per això, com podem comprovar dividint 1 C per $e$, un corrent d'1 A correspon al pas de més de sis mil milions de milions d'electrons per segon.

Per una convenció que ve d'abans del descobriment de l'electró, el sentit convencional del corrent és aquell en què es mourien càrregues positives, del pol positiu al negatiu, per fora de la pila. Mantenim aquesta convenció encara avui, i els electrons es mouen en sentit contrari.

Una cosa que potser sorprèn és la lentitud dels electrons. En un fil de coure corrent avancen fraccions de mil·límetre per segon, i tot i així la bombeta s'encén en l'instant que premem l'interruptor, perquè el fil ja és ple d'electrons i el senyal que els posa en moviment es propaga gairebé a la velocitat de la llum.

$i = \dfrac{\Delta q}{\Delta t}$$\Delta q = n\,e$$1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$$e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ és la càrrega elemental, el mòdul de la càrrega de l'electró, i $n$ és el nombre d'electrons. A la simulació, la velocitat dels punts està molt exagerada i cada punt representa un nombre enorme d'electrons; la velocitat de deriva es calcula per a un fil de coure d'1 mm².

Per comentar

Amb l'interruptor tancat, observa els electrons uns quants segons. En quin sentit es mouen, i cap on apunta la fletxa del corrent convencional?
Posa el comptador a zero, posa el corrent a 2 A i espera uns 10 s. La càrrega que marca quadra amb $i \cdot \Delta t$?
Obre l'interruptor. Els electrons deixen de moure's? Què passa amb el corrent?
Porta el corrent a 5 A i llegeix la velocitat de deriva. Aproximadament quant de temps trigaria un electró a recórrer un fil d'1 m?

Corrent

Temps

Càrrega que ha travessat

Electrons que han travessat

Velocitat de deriva

Exercicis del pas 1 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Durant 4 s, una càrrega de 12 C travessa una secció d'un fil. Quin és el corrent elèctric al fil?

Mostra la resolució
El corrent és la càrrega que travessa la secció dividida pel temps, $i = \dfrac{\Delta q}{\Delta t} = \dfrac{12}{4}$.
$i = 3\ \text{A}$
bàsic
Per un fil circula un corrent de 2 A durant 1 minut. Quanta càrrega travessa una secció del fil en aquest temps?

Mostra la resolució
Aïllant la càrrega a $i = \Delta q/\Delta t$, i recordant que 1 min té 60 s, tenim $\Delta q = i\,\Delta t = 2 \cdot 60$.
$\Delta q = 120\ \text{C}$
bàsic
En un fil de coure connectat a una pila, els electrons es mouen del pol negatiu cap al pol positiu. Quin és el sentit convencional del corrent en aquest fil, i per què és l'oposat del moviment dels electrons?

Mostra la resolució
El sentit convencional es va triar abans del descobriment de l'electró, com si el corrent estigués fet de càrregues positives.
Les càrregues positives anirien, per fora de la pila, del pol positiu al negatiu, que és l'oposat del que fan els electrons.
Per fora de la pila, el corrent convencional va del pol positiu al negatiu, en contra del moviment dels electrons, per una convenció històrica.
bàsic
Quants electrons, junts, sumen una càrrega d'1 C? Fes servir $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

Mostra la resolució
Cada electró porta $1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$, i el nombre d'electrons és la càrrega total dividida per la càrrega de cadascun, $n = \dfrac{\Delta q}{e} = \dfrac{1}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}$.
$n = 6{,}25 \cdot 10^{18}$ electrons
mitjà
Un corrent de 0,32 A circula per un fil durant 10 s. Quants electrons travessen una secció del fil en aquest interval? Fes servir $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

Mostra la resolució
La càrrega que passa és $\Delta q = i\,\Delta t = 0{,}32 \cdot 10 = 3{,}2\ \text{C}$.
Dividint per la càrrega d'un electró, $n = \dfrac{3{,}2}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}$.
$n = 2{,}0 \cdot 10^{19}$ electrons
mitjà
En un fil de coure, els electrons avancen, de mitjana, menys d'un mil·límetre per segon. Per què, doncs, la bombeta de la sala s'encén pràcticament en l'instant que premem l'interruptor, a uns quants metres de distància?

Mostra la resolució
El fil ja és ple d'electrons lliures abans que accionem l'interruptor, també dins de la bombeta.
Quan tanquem el circuit, el que viatja pel fil és el senyal elèctric, gairebé a la velocitat de la llum, i els electrons de tot el circuit comencen a moure's pràcticament alhora.
És com una mànega que ja és plena d'aigua, en què l'aigua surt per l'extrem tan bon punt obrim l'aixeta.
La bombeta s'encén de seguida perquè el senyal es propaga molt de pressa, encara que cada electró es mogui a poc a poc.
mitjà
El corrent en un aparell val 4 A durant 5 s i, després, baixa de manera uniforme fins a zero en els 2 s següents. Quina és la càrrega total que ha travessat l'aparell?

Mostra la resolució
En un gràfic de $i$ en funció de $t$, la càrrega és l'àrea sota la corba.
Durant els primers 5 s l'àrea és un rectangle, $4 \cdot 5 = 20\ \text{C}$, i durant la baixada és un triangle, $\dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4\ \text{C}$.
Sumant les dues parts, $\Delta q = 20 + 4$.
$\Delta q = 24\ \text{C}$
mitjà
La bateria d'un mòbil porta la indicació 4000 mAh. Quanta càrrega, en coulombs, lliura fins que s'esgota? Si l'aparell consumeix, de mitjana, 0,25 A, quant de temps dura la càrrega?

Mostra la resolució
El mil·liampere hora és una unitat de càrrega, i $4000\ \text{mAh} = 4\ \text{A} \cdot 3600\ \text{s}$.
Amb un consum mitjà de 0,25 A, $\Delta t = \dfrac{\Delta q}{i} = \dfrac{4\ \text{Ah}}{0{,}25\ \text{A}}$.
La bateria emmagatzema 14 400 C i dura unes 16 h.
repte
Per un fil de coure d'$1\ \text{mm}^2$ de secció circulen 2 A. El coure té uns $8{,}5 \cdot 10^{28}$ electrons lliures per metre cúbic. Demostra que $i = n\,e\,A\,v$, on $v$ és la velocitat mitjana d'avanç dels electrons, i calcula $v$. Quant de temps trigaria un electró a recórrer 1 m de fil? Fes servir $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

Mostra la resolució
En $\Delta t$, travessen la secció els electrons continguts en un cilindre de longitud $v\,\Delta t$, que són $n\,A\,v\,\Delta t$. La seva càrrega dividida per $\Delta t$ dona $i = n\,e\,A\,v$.
Amb $A = 10^{-6}\ \text{m}^2$, el producte $n\,e\,A$ $= 8{,}5 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-6}$ $\approx 1{,}36 \cdot 10^4\ \text{C/m}$, i $v = \dfrac{i}{n\,e\,A} = \dfrac{2}{1{,}36 \cdot 10^4}$ $\approx 1{,}5 \cdot 10^{-4}\ \text{m/s}$.
Per recórrer 1 m, l'electró triga $\dfrac{1}{1{,}5 \cdot 10^{-4}} \approx 6800\ \text{s}$.
$v \approx 0{,}15\ \text{mm/s}$, i l'electró trigaria gairebé 2 hores a recórrer 1 m.
repte
En una solució d'aigua amb sal, el corrent està format per ions. En 2 s, $3 \cdot 10^{18}$ ions de sodi (càrrega $+e$) travessen una secció de la solució cap a la dreta i $3 \cdot 10^{18}$ ions de clor (càrrega $-e$) travessen la mateixa secció cap a l'esquerra. Quin és el corrent, i en quin sentit? Fes servir $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

Mostra la resolució
Una càrrega negativa que es mou cap a l'esquerra equival, per al corrent, a una càrrega positiva que es mou cap a la dreta, i les dues contribucions se sumen.
La càrrega transportada és $\Delta q = 6 \cdot 10^{18} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ $= 0{,}96\ \text{C}$, i $i = \dfrac{0{,}96}{2}$.
$i = 0{,}48\ \text{A}$, cap a la dreta, el sentit en què es mouen els ions positius.

PAS 2

Quanta energia porta cada càrrega?

Podem pensar la pila com una cosa que empeny les càrregues que ja són al circuit i lliura a cadascuna una certa quantitat d'energia, que elles cedeixen a la bombeta, al motor o al resistor per on passen.

Anomenem tensió, o diferència de potencial (ddp), l'energia que cada coulomb guanya o perd entre dos punts. Una pila d'1,5 V dona 1,5 J a cada coulomb, i els endolls de casa, al Brasil, tenen 127 V o 220 V, segons la regió i el circuit.

Per guanyar intuïció, podem pensar el circuit com un sistema d'aigua. La pila seria una bomba que manté un desnivell, el corrent seria el cabal i la bombeta, una roda hidràulica moguda per la caiguda.

Aquest model potser ajuda a imaginar què passa al fil, i la simulació mostra també un cas en què falla, cosa que ens recorda que només és una analogia.

$U = \dfrac{E}{q}$$E = q\,U$$1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$A la simulació, la bombeta es tracta com un resistor de $6\ \Omega$ que no canvia amb l'escalfament, una simplificació que discutirem al pas 3. En el model de l'aigua, el desnivell és proporcional a la tensió.

Per comentar

Comença amb una pila i passa a tres. Què passa amb el desnivell de l'aigua, amb el corrent i amb la lluminositat de la bombeta?
Obre l'interruptor. Sembla que la pila perd la tensió quan el corrent s'atura? Compara-ho amb la clau de pas tancada en el model de l'aigua.
Fes clic a «Talla el fil i el tub» i compara els dos costats. En quin punt el model de l'aigua deixa de descriure el circuit?
Amb 12 V, quants joules rep la bombeta cada segon? Comprova-ho amb la lectura de potència.

Tensió

Corrent

Energia per coulomb

Potència a la bombeta

Energia en 1 minut

Exercicis del pas 2 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una pila corrent té una tensió d'1,5 V. Quanta energia proporciona a cada coulomb que passa per ella? I a una càrrega de 20 C?

Mostra la resolució
La tensió és l'energia per unitat de càrrega, i 1,5 V vol dir 1,5 J per a cada coulomb.
Per a 20 C, $E = q\,U = 20 \cdot 1{,}5$.
1,5 J per coulomb, i 30 J per als 20 C.
bàsic
La bateria de 12 V d'un cotxe fa passar 300 C pel motor d'arrencada durant l'engegada. Quanta energia elèctrica lliura la bateria al motor?

Mostra la resolució
Cada coulomb porta 12 J, i l'energia total és $E = q\,U = 300 \cdot 12$.
$E = 3600\ \text{J}$
bàsic
Un ocell es posa sobre un fil d'alta tensió nu i no li passa res. Per què?

Mostra la resolució
Perquè hi hagi corrent pel cos de l'ocell, cal una diferència de potencial entre les dues potes.
Les dues potes són al mateix fil, a pocs centímetres l'una de l'altra, i la ddp entre elles és pràcticament zero.
Sense ddp entre les potes, pràcticament no passa corrent pel cos de l'ocell.
bàsic
Tres piles d'1,5 V es connecten en sèrie, amb el pol positiu de cadascuna tocant el negatiu de la següent, com en una llanterna. Quina és la tensió del conjunt? I si una d'elles es col·loca al revés?

Mostra la resolució
En sèrie, les tensions se sumen, $1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 = 4{,}5\ \text{V}$.
La pila invertida passa a restar la seva tensió, $1{,}5 + 1{,}5 - 1{,}5 = 1{,}5\ \text{V}$.
4,5 V amb les tres ben col·locades i només 1,5 V amb una d'invertida.
mitjà
En l'analogia hidràulica d'un circuit, a què corresponen la pila, el corrent, la tensió i la resistència? Doneu un exemple de situació en què l'analogia falla.

Mostra la resolució
La pila fa el paper de la bomba, que eleva l'aigua, i la tensió correspon al desnivell, o a la diferència de pressió, que la bomba manté.
El corrent correspon al cabal, i la resistència, a un tram estret del tub que dificulta el pas.
L'analogia falla quan tallem el circuit, perquè un tub tallat vessa aigua, mentre que un fil tallat no vessa electrons, i el corrent simplement s'atura a tot el circuit.
mitjà
La bateria d'un mòbil té 3,8 V i 4000 mAh. Quanta energia emmagatzema, en joules?

Mostra la resolució
La càrrega és $q = 4\ \text{A} \cdot 3600\ \text{s} = 14\,400\ \text{C}$.
Cada coulomb porta 3,8 J, i $E = q\,U = 14\,400 \cdot 3{,}8$.
$E \approx 5{,}5 \cdot 10^4\ \text{J}$, uns 55 kJ.
mitjà
Un electró és accelerat des del repòs per una ddp de 100 V, com passava als antics televisors de tub. Quanta energia cinètica guanya? Fes servir $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

Mostra la resolució
L'energia que rep la càrrega és $E = q\,U = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100$.
$E = 1{,}6 \cdot 10^{-17}\ \text{J}$
mitjà
Un endoll de 220 V i un altre de 127 V alimenten aparells diferents. Si passa la mateixa càrrega de 50 C per un aparell a cada endoll, quin dels dos rep més energia, i quanta més?

Mostra la resolució
L'energia és $E = q\,U$. A l'endoll de 220 V, $E = 50 \cdot 220 = 11\,000\ \text{J}$, i al de 127 V, $E = 50 \cdot 127 = 6350\ \text{J}$.
La diferència és $11\,000 - 6350$.
L'aparell a 220 V rep 4650 J més.
repte
Una pila AA d'1,5 V lliura, al llarg de la seva vida, una càrrega d'uns 2500 mAh i costa R$ 4,00 (reals brasilers). Quanta energia proporciona, i quant costaria el quilowatt hora comprat en piles? Compara-ho amb la tarifa de l'endoll, que prenem com R$ 0,80 per kWh. Recorda que $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$.

Mostra la resolució
La càrrega és $q = 2{,}5 \cdot 3600 = 9000\ \text{C}$, i l'energia, $E = 9000 \cdot 1{,}5 = 13\,500\ \text{J}$.
En quilowatts hora, $\dfrac{13\,500}{3{,}6 \cdot 10^6} = 3{,}75 \cdot 10^{-3}\ \text{kWh}$.
El preu per kWh és el preu de la pila dividit per aquesta energia, $\dfrac{4{,}00}{3{,}75 \cdot 10^{-3}}$ reals.
El kWh en piles surt a uns R$ 1067, unes 1300 vegades la tarifa de l'endoll.
repte
En un llamp, una càrrega de 20 C travessa una ddp estimada en $1 \cdot 10^8\ \text{V}$. Quanta energia s'allibera? Durant quants mesos abastiria una casa que consumeix 150 kWh al mes? Fes servir $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$.

Mostra la resolució
L'energia és $E = q\,U = 20 \cdot 10^8 = 2 \cdot 10^9\ \text{J}$.
En quilowatts hora, $\dfrac{2 \cdot 10^9}{3{,}6 \cdot 10^6} \approx 556\ \text{kWh}$, i $\dfrac{556}{150} \approx 3{,}7$.
Uns $2 \cdot 10^9\ \text{J}$, el consum de la casa durant uns 3,7 mesos.

PAS 3

Què dificulta el pas del corrent?

En travessar un material, els electrons xoquen amb els àtoms de la xarxa i perden part de l'energia que han rebut. La resistència elèctrica mesura aquesta dificultat, i la definim per $R = U/i$, en ohms (Ω).

En molts conductors mantinguts a la mateixa temperatura, el corrent creix aproximadament en la mateixa proporció que la tensió i $R$ es manté pràcticament constant. Són els conductors òhmics, que obeeixen la primera llei d'Ohm, $U = R\,i$, i el gràfic $U \times i$ dels quals és una recta que passa per l'origen.

$U = R\,i$$R = \rho\,\dfrac{L}{A}$$\rho$ és la resistivitat, en Ω·m: coure $1{,}7 \cdot 10^{-8}$, alumini $2{,}8 \cdot 10^{-8}$, ferro $1{,}0 \cdot 10^{-7}$ i níquel-crom $1{,}1 \cdot 10^{-6}$. L'àrea s'expressa en m², amb $1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2$. La bombeta de la simulació segueix un model senzill, $U = 4\,i + 80\,i^3$, que passa pels 12 V amb 0,5 A d'una bombeta pilot.

La segona llei d'Ohm diu de què depèn la resistència d'un fil. Creix amb la longitud, disminueix amb l'àrea de la secció i depèn del material a través de la resistivitat $\rho$. Això explica per què a la dutxa elèctrica fem servir fils molt més gruixuts que els d'un llum de tauleta.

La bombeta d'incandescència és l'exemple clàssic de conductor no òhmic. El filament de tungstè s'escalfa molt, la seva resistència creix amb la temperatura, i el gràfic $U \times i$ es corba. Amb corrents petits el filament gairebé no s'escalfa, i el començament de la corba sembla una recta.

Per comentar

Desa la recta del fil, dobla la longitud i desa la nova recta. Com ha canviat el pendent, i què diu això sobre $R$?
Amb la longitud fixa, augmenta l'àrea de la secció. Amb la mateixa tensió, el corrent creix o disminueix?
Canvia el níquel-crom pel coure sense tocar les mides. Per què fem servir coure als fils de casa i níquel-crom a les resistències dels escalfadors?
Canvia el fil per la bombeta i modifica la tensió a poc a poc. La raó $U/i$ es manté constant, com en el fil?

Longitud

Àrea de la secció

Tensió de la font

Resistivitat

Resistència

Tensió

Corrent

Raó U/i

Exercicis del pas 3 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Per un resistor de $20\ \Omega$ circula un corrent de 2 A. Quina és la tensió entre els seus borns?

Mostra la resolució
Per la primera llei d'Ohm, $U = R\,i = 20 \cdot 2$.
$U = 40\ \text{V}$
bàsic
Per una bombeta connectada a 127 V circulen 0,5 A. Quina és la resistència del filament encès?

Mostra la resolució
Aïllant $R$ a $U = R\,i$, tenim $R = \dfrac{U}{i} = \dfrac{127}{0{,}5}$.
$R = 254\ \Omega$
bàsic
Un fil té resistència $R$. Un altre fil, del mateix material, té el doble de longitud i el doble d'àrea de secció. Quina és la resistència del segon fil?

Mostra la resolució
Per la segona llei d'Ohm, $R = \rho\,\dfrac{L}{A}$, i doblar $L$ dobla $R$, mentre que doblar $A$ redueix $R$ a la meitat.
Els dos efectes es compensen, $R^{\prime} = \rho\,\dfrac{2L}{2A}$.
La resistència continua sent igual a $R$.
bàsic
Quina és la resistència de 10 m de fil de coure amb una secció d'$1\ \text{mm}^2$? La resistivitat del coure és $1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m}$.

Mostra la resolució
Passem l'àrea a metres quadrats, $1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2$, i fem servir $R = \rho\,\dfrac{L}{A} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \dfrac{10}{10^{-6}}$.
$R = 0{,}17\ \Omega$
mitjà
Al gràfic $U \times i$ d'un resistor òhmic, la recta passa per l'origen i pel punt (0,5 A; 6 V). Quina és la resistència, i quin serà el corrent quan la tensió sigui de 18 V?

Mostra la resolució
En un resistor òhmic, $R = \dfrac{U}{i}$ és el pendent de la recta, $R = \dfrac{6}{0{,}5}$.
Amb 18 V, el corrent és $i = \dfrac{18}{R}$.
$R = 12\ \Omega$ i $i = 1{,}5\ \text{A}$
mitjà
Per una bombeta d'incandescència de 60 W, connectada a 127 V, circulen uns 0,47 A. Amb la bombeta freda, un ohmímetre mesura uns $20\ \Omega$. Calcula la resistència amb la bombeta encesa i explica la diferència. La bombeta és un resistor òhmic?

Mostra la resolució
Encesa, $R = \dfrac{U}{i} = \dfrac{127}{0{,}47} \approx 270\ \Omega$, més de deu vegades el valor mesurat en fred.
El filament de tungstè arriba a temperatures de més de 2000 °C, i la resistivitat del metall creix molt amb la temperatura.
Com que $U/i$ canvia segons el corrent, el gràfic $U \times i$ de la bombeta és una corba.
La bombeta no és òhmica, perquè la resistència del filament creix amb l'escalfament.
mitjà
S'estira un fil fins que té el doble de longitud, sense perdre material, de manera que el volum es manté. Què passa amb la seva resistència?

Mostra la resolució
Amb el volum $L\,A$ constant, doblar la longitud redueix l'àrea a la meitat.
Aleshores $R^{\prime} = \rho\,\dfrac{2L}{A/2} = 4\,\rho\,\dfrac{L}{A}$.
La resistència es fa quatre vegades més gran.
mitjà
Volem fer un resistor de $22\ \Omega$ amb fil de níquel-crom de $0{,}5\ \text{mm}^2$ de secció. La resistivitat del níquel-crom és $1{,}1 \cdot 10^{-6}\ \Omega \cdot \text{m}$. Quina longitud de fil necessitem?

Mostra la resolució
Aïllant la longitud a $R = \rho\,L/A$, tenim $L = \dfrac{R\,A}{\rho} = \dfrac{22 \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-6}}{1{,}1 \cdot 10^{-6}}$.
$L = 10\ \text{m}$
repte
Dos fils, A i B, són del mateix material. El fil B té el doble de longitud i el doble de diàmetre que el fil A. Connectats d'un en un a la mateixa pila, quin dels dos condueix més corrent, i quantes vegades més?

Mostra la resolució
L'àrea creix amb el quadrat del diàmetre, i el fil B té $A_B = 4\,A_A$.
Així, $R_B = \rho\,\dfrac{2L}{4A} = \dfrac{R_A}{2}$.
Amb la mateixa tensió, $i = U/R$, i el corrent és inversament proporcional a la resistència.
El fil B condueix el doble de corrent que el fil A.
repte
Hem mesurat la tensió i el corrent en una bombeta pilot i hem obtingut la taula següent. La bombeta és òhmica? Calcula $U/i$ amb 2 V i amb 12 V.
U (V): 2 · 4 · 6 · 12
i (A): 0,20 · 0,30 · 0,36 · 0,50

Mostra la resolució
Les raons són $\dfrac{2}{0{,}20} = 10\ \Omega$, $\dfrac{4}{0{,}30} \approx 13{,}3\ \Omega$, $\dfrac{6}{0{,}36} \approx 16{,}7\ \Omega$ i $\dfrac{12}{0{,}50} = 24\ \Omega$.
Si la bombeta fos òhmica, la raó seria la mateixa a totes les files, i els punts del gràfic quedarien sobre una recta que passa per l'origen.
La bombeta no és òhmica, perquè $U/i$ creix amb la tensió.

PAS 4

Què ens cobren a la factura de la llum?

La potència d'un aparell és l'energia que rep per segon. Cada coulomb lliura $U$ joules i passen $i$ coulombs per segon, de manera que $P = U\,i$, en watts. Combinant-ho amb la llei d'Ohm, arribem a les formes $R\,i^2$ i $U^2/R$, que convé tenir a mà.

En un resistor, tota aquesta energia es converteix en calor, l'efecte Joule, que escalfa la dutxa elèctrica, la planxa i la torradora. La dutxa elèctrica, molt habitual a les cases del Brasil, té una curiositat, perquè en la posició hivern fa servir un tram més curt del fil, de resistència menor, i amb la tensió de l'endoll fixa la potència $U^2/R$ es fa més gran.

La companyia elèctrica cobra per l'energia consumida. Mesurem aquesta energia en quilowatts hora, l'energia d'un aparell de 1000 W connectat durant una hora, que equival a $3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$. Per això, un aparell potent connectat pocs minuts pot costar menys que un aparell feble connectat tot el dia.

$P = U\,i = R\,i^2 = \dfrac{U^2}{R}$$E = P\,\Delta t$$1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$Prenem la tarifa com R$ 0,80 per kWh, un valor aproximat del Brasil, en reals, que canvia segons la distribuïdora, els impostos i el recàrrec tarifari del moment. A la simulació, la dutxa és de 220 V, i la nevera apareix amb la potència mitjana al llarg del dia, ja que el motor s'engega i s'atura.

Per comentar

Passa la dutxa d'hivern a estiu i compara la resistència i la potència. Quina de les dues posicions fa servir el fil més curt?
Apaga la dutxa i mira quin aparell passa a pesar més. Per què la nevera, de potència petita, sembla cara?
Redueix la dutxa de 40 a 20 minuts al dia. Quant estalvia la família en 30 dies, en kWh i en reals?
Engega el microones i la planxa, de potència alta, i compara el que costen amb el que costa la tele, engegada més estona.

Dutxa per dia

Període

Tarifa per kWh

Potència de la dutxa

Resistència de la dutxa

Corrent de la dutxa

Energia en el període

Cost

En joules

Exercicis del pas 4 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una bombeta LED de 9 W està encesa 5 hores al dia durant 30 dies. Quanta energia consumeix, en kWh?

Mostra la resolució
L'energia és la potència pel temps, $E = P\,\Delta t = 9\ \text{W} \cdot 150\ \text{h}$ $= 1350\ \text{Wh}$.
$E = 1{,}35\ \text{kWh}$
bàsic
Una dutxa elèctrica de 5500 W es connecta a 220 V. Quin corrent hi circula?

Mostra la resolució
De la relació $P = U\,i$, tenim $i = \dfrac{P}{U} = \dfrac{5500}{220}$.
$i = 25\ \text{A}$
bàsic
En la posició «hivern», la dutxa escalfa més l'aigua. A l'endoll, la tensió és la mateixa en les dues posicions. La resistència en ús a l'hivern és més gran o més petita que a l'estiu?

Mostra la resolució
Amb la tensió fixa, la potència és $P = \dfrac{U^2}{R}$, i una resistència més petita dona una potència més gran.
En la posició hivern, el selector connecta només un tram del fil resistiu, més curt, i el corrent augmenta.
La resistència de l'hivern és més petita que la de l'estiu.
bàsic
Un forn elèctric de 2000 W funciona durant 30 minuts. Quanta energia consumeix, en kWh, i quant costa amb la tarifa de R$ 0,80 per kWh?

Mostra la resolució
En quilowatts i hores, $E = 2\ \text{kW} \cdot 0{,}5\ \text{h} = 1\ \text{kWh}$.
El cost és $1 \cdot 0{,}80$ reals.
1 kWh, que costa R$ 0,80.
mitjà
Una dutxa elèctrica de 220 V té una potència de 2200 W en la posició estiu i de 4400 W en la posició hivern. Quina és la resistència en cada posició?

Mostra la resolució
De $P = U^2/R$, tenim $R = \dfrac{U^2}{P}$. A l'estiu, $R = \dfrac{220^2}{2200}$, i a l'hivern, $R = \dfrac{220^2}{4400}$.
$22\ \Omega$ a l'estiu i $11\ \Omega$ a l'hivern, la meitat de resistència per al doble de potència.
mitjà
Per un resistor de $10\ \Omega$ circulen 3 A. Quina és la potència dissipada, i quanta calor allibera en 1 minut?

Mostra la resolució
Per l'efecte Joule, $P = R\,i^2 = 10 \cdot 3^2$.
En 60 s, la calor alliberada és $E = P\,\Delta t$.
$P = 90\ \text{W}$ i $5400\ \text{J}$ de calor per minut.
mitjà
Un assecador de cabells de 1000 W està fet per a 127 V i es connecta, per error, a un endoll de 220 V. Suposant que la resistència no canviï, quina passa a ser la potència, i què li passa probablement a l'assecador?

Mostra la resolució
Amb $R$ fixa, $P = U^2/R$ creix amb el quadrat de la tensió, $\dfrac{P^{\prime}}{P} = \left(\dfrac{220}{127}\right)^2 \approx 3{,}0$.
L'assecador passaria a dissipar uns $3 \cdot 1000\ \text{W}$, tres vegades el que preveu el disseny.
Uns 3000 W, i l'assecador tendeix a sobreescalfar-se i cremar-se.
mitjà
Una família canvia 10 bombetes d'incandescència de 60 W per bombetes LED d'8 W, que il·luminen més o menys igual. Les bombetes estan enceses 5 h al dia. Quant estalvia la família en 30 dies, en kWh i en reals, amb la tarifa de R$ 0,80 per kWh?

Mostra la resolució
Cada canvi estalvia $60 - 8 = 52\ \text{W}$, i les deu juntes, 520 W.
En 30 dies de 5 h, són 150 h, i $E = 0{,}52\ \text{kW} \cdot 150\ \text{h}$.
En reals, el cost és aquesta energia per R$ 0,80.
78 kWh al mes, o R$ 62,40.
repte
Un bullidor elèctric de 2000 W escalfa 1 L d'aigua de 20 °C fins a 100 °C. Suposant que tota l'energia elèctrica es converteix en calor a l'aigua, quant de temps hi triga? Fes servir la calor específica de l'aigua, $4{,}2\ \text{J/(g} \cdot {}^\circ\text{C)}$, i la massa de 1000 g.

Mostra la resolució
La calor necessària és $Q = m\,c\,\Delta T = 1000 \cdot 4{,}2 \cdot 80$ $= 336\,000\ \text{J}$.
Amb $P = Q/\Delta t$, tenim $\Delta t = \dfrac{336\,000}{2000}$.
168 s, uns 2,8 minuts. En un bullidor real, part de la calor s'escapa, i el temps tendeix a ser una mica més llarg.
repte
El fil resistiu d'una dutxa elèctrica de 220 V, en la posició hivern, té $11\ \Omega$. Algú en talla una quarta part de la longitud, pensant que la dutxa sortirà més calenta. Quina passa a ser la potència i el corrent? L'interruptor magnetotèrmic del circuit és de 25 A.

Mostra la resolució
Per la segona llei d'Ohm, la resistència baixa en la mateixa proporció que la longitud, $R^{\prime} = \dfrac{3}{4} \cdot 11 = 8{,}25\ \Omega$.
La potència queda $P = \dfrac{220^2}{8{,}25}$, i el corrent, $i = \dfrac{220}{8{,}25}$.
L'aigua s'escalfa més, amb uns 5900 W, però el corrent de 26,7 A supera els 25 A del magnetotèrmic, que hauria de saltar.

PAS 5

Un sol camí o molts camins?

Quan connectem resistors l'un darrere l'altre, en un camí únic, diem que estan en sèrie. El corrent és el mateix en tots, la tensió de la font es reparteix entre ells i la resistència equivalent és la suma de les resistències.

En paral·lel, els resistors queden connectats als mateixos dos punts, cadascun amb el seu propi camí. Tots reben la mateixa tensió, els corrents de les branques se sumen i la resistència equivalent queda més petita que la més petita d'elles, ja que cada branca nova obre un pas més per al corrent.

Els endolls i els llums de casa estan en paral·lel, i per això cada aparell rep els 127 V o 220 V de la xarxa i funciona pel seu compte. Les garlandes de llums de Nadal antigues connectaven les bombetes en sèrie, i n'hi havia prou que se'n fongués una perquè s'apagués tota la garlanda, i potser has vist algú provar bombeta per bombeta a la recerca de la culpable.

$R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots$$R_{eq} = \dfrac{R_1\,R_2}{R_1 + R_2}$La primera fórmula val en sèrie, les altres dues en paral·lel (l'última, per a dos resistors). A la simulació, la font té 12 V, les bombetes L2 i L3 tenen $12\ \Omega$ i suposem que les resistències no canvien amb l'escalfament. La lluminositat segueix la potència de cada bombeta.

Per comentar

En sèrie, amb tres bombetes iguals, compara la lluminositat amb la d'una bombeta sola. Després passa a paral·lel.
Fon la bombeta L2 en cadascuna de les connexions. Per què el resultat és tan diferent?
En sèrie, augmenta la resistència de L1. Fa més llum o menys que les altres? I en paral·lel?
Passa de dues a tres bombetes en paral·lel i segueix el corrent a la pila. Què pot suggerir això sobre connectar molts aparells al mateix circuit?

Resistència de L1

Resistència equivalent

Corrent a la pila

Potència total

Potència a L1

Potència a L2

Potència a L3

Exercicis del pas 5 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Tres resistors, de $2\ \Omega$, $3\ \Omega$ i $5\ \Omega$, es connecten en sèrie a una font de 20 V. Quina és la resistència equivalent i quin és el corrent?

Mostra la resolució
En sèrie, les resistències se sumen, $R_{eq} = 2 + 3 + 5$.
El corrent és el mateix en tots i val $i = \dfrac{U}{R_{eq}}$.
$R_{eq} = 10\ \Omega$ i $i = 2\ \text{A}$
bàsic
Quina és la resistència equivalent de dos resistors de $6\ \Omega$ en paral·lel? I d'un resistor de $12\ \Omega$ en paral·lel amb un de $6\ \Omega$?

Mostra la resolució
Per a dos resistors en paral·lel, $R_{eq} = \dfrac{R_1\,R_2}{R_1 + R_2}$. En el primer cas, $R_{eq} = \dfrac{6 \cdot 6}{12}$, i en el segon, $R_{eq} = \dfrac{12 \cdot 6}{18}$.
$3\ \Omega$ i $4\ \Omega$, sempre menys que el més petit dels resistors.
bàsic
Per què els endolls i els llums d'una casa es connecten en paral·lel, i no en sèrie?

Mostra la resolució
En paral·lel, cada aparell queda connectat directament als dos fils de la xarxa i rep la tensió sencera, 127 V o 220 V.
Així, apagar o fondre un aparell no interromp els altres, que continuen funcionant de manera independent.
bàsic
En una garlanda de llums de Nadal antiga, les bombetes estan en sèrie. Per què, quan se'n fon una, s'apaga tota la garlanda?

Mostra la resolució
En sèrie, hi ha un únic camí per al corrent, que passa per totes les bombetes.
La bombeta fosa obre aquest camí, i el corrent s'anul·la a tot el circuit.
Amb el camí únic interromput, cap bombeta no rep corrent.
mitjà
Dues bombetes, de $20\ \Omega$ i $40\ \Omega$, estan en sèrie amb una font de 12 V. Calcula el corrent, la tensió i la potència a cadascuna. Quina fa més llum? Suposa resistències constants.

Mostra la resolució
La resistència equivalent és $60\ \Omega$, i $i = \dfrac{12}{60} = 0{,}2\ \text{A}$ a les dues.
Les tensions són $U_1 = 20 \cdot 0{,}2 = 4\ \text{V}$ i $U_2 = 40 \cdot 0{,}2 = 8\ \text{V}$, i les potències, $P_1 = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\ \text{W}$ i $P_2 = 8 \cdot 0{,}2 = 1{,}6\ \text{W}$.
En sèrie, la bombeta de $40\ \Omega$ fa més llum, amb el doble de potència.
mitjà
Les mateixes bombetes, de $20\ \Omega$ i $40\ \Omega$, es connecten ara en paral·lel a la font de 12 V. Calcula el corrent i la potència a cadascuna, el corrent total i la resistència equivalent.

Mostra la resolució
En paral·lel, les dues reben 12 V. Els corrents són $i_1 = \dfrac{12}{20} = 0{,}6\ \text{A}$ i $i_2 = \dfrac{12}{40} = 0{,}3\ \text{A}$, i les potències, $P_1 = 12 \cdot 0{,}6 = 7{,}2\ \text{W}$ i $P_2 = 12 \cdot 0{,}3 = 3{,}6\ \text{W}$.
El corrent total és la suma $0{,}6 + 0{,}3$, i $R_{eq} = \dfrac{20 \cdot 40}{60}$.
Ara és la bombeta de $20\ \Omega$ la que fa més llum, amb un corrent total de 0,9 A i $R_{eq} \approx 13{,}3\ \Omega$.
mitjà
Una garlanda de llums té 50 bombetes iguals, de $10\ \Omega$ cadascuna, connectades en sèrie a un endoll de 127 V. Quina és la tensió a cada bombeta i quin és el corrent?

Mostra la resolució
La tensió es reparteix per igual entre les bombetes iguals, $U_1 = \dfrac{127}{50} = 2{,}54\ \text{V}$.
La resistència equivalent és $50 \cdot 10 = 500\ \Omega$, i $i = \dfrac{127}{500}$.
2,54 V a cada bombeta i $i = 0{,}254\ \text{A}$
mitjà
Tres resistors iguals, de $30\ \Omega$, es poden connectar tots en sèrie o tots en paral·lel. Quina és la resistència equivalent en cada cas, i quina és la raó entre elles?

Mostra la resolució
En sèrie, $R_{eq} = 3 \cdot 30$. En paral·lel, $\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{3}{30}$.
$90\ \Omega$ i $10\ \Omega$, nou vegades menys en paral·lel.
repte
En un circuit de 127 V protegit per un interruptor magnetotèrmic de 20 A, hi ha connectats alhora un microones de 1270 W i un bullidor de 1016 W. Algú connecta també un assecador de 635 W. El magnetotèrmic salta?

Mostra la resolució
Els aparells estan en paral·lel, i els corrents se sumen. Amb $i = P/U$, el microones demana $\dfrac{1270}{127} = 10\ \text{A}$, el bullidor, $\dfrac{1016}{127} = 8\ \text{A}$, i l'assecador, $\dfrac{635}{127} = 5\ \text{A}$.
El corrent total al circuit és la suma $10 + 8 + 5$.
El magnetotèrmic salta, perquè 23 A superen el límit de 20 A.
repte
Una bombeta de «127 V · 100 W» i una altra de «127 V · 25 W» es connecten en sèrie a un endoll de 127 V. Suposant resistències constants, quina fa més llum? Calcula les potències.

Mostra la resolució
Les resistències surten de $R = U^2/P$, $R_1 = \dfrac{127^2}{100} \approx 161\ \Omega$ i $R_2 = \dfrac{127^2}{25} \approx 645\ \Omega$.
En sèrie, $i = \dfrac{127}{161 + 645} \approx 0{,}157\ \text{A}$, i $P = R\,i^2$ dona $P_1 \approx 161 \cdot 0{,}157^2$ i $P_2 \approx 645 \cdot 0{,}157^2$.
La bombeta de 25 W fa més llum, amb uns 16 W contra 4 W de l'altra. En un filament real, fred i amb resistència menor, aquests nombres canviarien una mica.

PAS 6

Muntar, resoldre i mesurar un circuit

Molts circuits barregen trams en sèrie i en paral·lel. Per resoldre'ls, anem substituint cada grup senzill per la seva resistència equivalent, de dins cap a fora, fins que en queda un únic resistor. Amb ell trobem el corrent de la font i, tornant pel mateix camí, les tensions i els corrents de cada tram.

L'amperímetre mesura corrent i cal que el corrent el travessi, i per això es connecta en sèrie. Un bon amperímetre té una resistència gairebé nul·la, per no alterar el corrent que vol mesurar.

$R_{eq} = R_1 + \dfrac{R_2\,R_3}{R_2 + R_3}$$i = \dfrac{U}{R_{eq}}$$U_p = R_p\,i$$R_p$ és la resistència del paral·lel de $R_2$ i $R_3$, i $U_p$, la tensió que hi ha entre els seus extrems. La font de la simulació és ideal, de 12 V, i el fusible es fon per sobre de 5 A. Suposem els aparells de mesura ideals, amb l'amperímetre de resistència zero i el voltímetre de resistència infinita.

El voltímetre mesura la tensió entre dos punts i es connecta en paral·lel amb el tram que volem mesurar. Ha de tenir una resistència molt gran, perquè desviï un corrent menyspreable.

Un fil de resistència pràcticament nul·la connectat entre dos punts provoca un curtcircuit. El corrent passa preferentment pel fil, el tram curtcircuitat queda sense tensió i, si el curtcircuit agafa la font sencera, el corrent creix tant que pot escalfar els fils, i és aquí on entra el fusible.

Per comentar

Amb $R_1 = 4\ \Omega$, $R_2 = 6\ \Omega$ i $R_3 = 12\ \Omega$, resol el circuit sobre el paper i comprova-ho després amb els aparells de mesura, canviant l'amperímetre de lloc.
Posa el voltímetre a $R_1$ i després al paral·lel. La suma de les dues lectures recorda algun nombre del circuit?
Obre l'interruptor A. Què passa amb el corrent a $R_2$ i amb la tensió al paral·lel?
Tanca l'interruptor B i mira què passa amb $R_1$. Després obre el B, tanca l'interruptor C i segueix el fusible.

R₁

R₂

R₃

Resistència equivalent

Corrent total

Tensió a R₁

Tensió al paral·lel

Corrent a R₂

Corrent a R₃

Exercicis del pas 6 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Volem mesurar el corrent i la tensió en una bombeta. Com hem de connectar l'amperímetre i el voltímetre, i què esperem de la resistència interna de cadascun?

Mostra la resolució
Cal que per l'amperímetre passi el mateix corrent que per la bombeta, i una resistència pròpia gairebé nul·la evita que alteri aquest corrent.
El voltímetre compara els dos borns de la bombeta, i una resistència pròpia molt gran fa que desviï un corrent menyspreable.
Amperímetre en sèrie, amb $R \approx 0$, i voltímetre en paral·lel, amb $R$ molt gran.
bàsic
Un resistor de $4\ \Omega$ està en sèrie amb un conjunt de dos resistors en paral·lel, de $6\ \Omega$ i $12\ \Omega$. Quina és la resistència equivalent del circuit?

Mostra la resolució
Resolem primer el paral·lel, $R_p = \dfrac{6 \cdot 12}{6 + 12} = 4\ \Omega$.
Aquest conjunt queda en sèrie amb el resistor de $4\ \Omega$, i $R_{eq} = 4 + 4$.
$R_{eq} = 8\ \Omega$
bàsic
Dues bombetes estan en sèrie amb una pila. Es connecta un fil sense resistència entre els dos borns d'una d'elles. Què passa amb cada bombeta?

Mostra la resolució
El fil ofereix un camí de resistència pràcticament nul·la en paral·lel amb la bombeta, i gairebé tot el corrent hi passa.
Aquesta bombeta queda curtcircuitada i s'apaga. La resistència total del circuit disminueix, el corrent augmenta i l'altra bombeta fa més llum.
La bombeta curtcircuitada s'apaga, i l'altra passa a fer més llum.
bàsic
Per error, un estudiant connecta un voltímetre en sèrie amb una bombeta, a una pila. La bombeta s'encén? Què marca el voltímetre?

Mostra la resolució
El voltímetre té una resistència molt gran, i en sèrie limita el corrent a un valor menyspreable, com si el circuit estigués gairebé obert.
La bombeta no s'encén, i gairebé tota la tensió de la pila queda entre els extrems del voltímetre, que marca pràcticament aquesta tensió.
mitjà
El circuit de l'exercici 2 ($4\ \Omega$ en sèrie amb $6\ \Omega$ i $12\ \Omega$ en paral·lel) es connecta a 24 V. Quant marquen un amperímetre al fil principal, un voltímetre al resistor de $4\ \Omega$ i amperímetres a les branques de $6\ \Omega$ i de $12\ \Omega$?

Mostra la resolució
Amb $R_{eq} = 8\ \Omega$, el corrent principal és $i = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{A}$.
Al resistor de $4\ \Omega$, $U_1 = 4 \cdot 3 = 12\ \text{V}$, i queden $24 - 12 = 12\ \text{V}$ per al paral·lel.
A les branques, $i_6 = \dfrac{12}{6}$ i $i_{12} = \dfrac{12}{12}$.
3 A al fil principal, 12 V al resistor de $4\ \Omega$, 2 A i 1 A a les branques.
mitjà
Dues branques estan en paral·lel amb una font de 12 V. Una branca té resistors de $2\ \Omega$ i $4\ \Omega$ en sèrie, i l'altra, un resistor de $3\ \Omega$. Calcula el corrent a cada branca, el corrent a la font i la resistència equivalent.

Mostra la resolució
La primera branca té $2 + 4 = 6\ \Omega$ i un corrent de $\dfrac{12}{6}$, i la segona, un corrent de $\dfrac{12}{3}$.
A la font, els corrents de les branques se sumen, i $R_{eq} = U/i_{\text{font}}$.
2 A i 4 A a les branques, 6 A a la font i $R_{eq} = 2\ \Omega$
mitjà
Dues bombetes de $6\ \Omega$ estan en sèrie amb una font de 12 V. Calcula la potència de cadascuna. A continuació, un fil sense resistència curtcircuita una de les bombetes. Quina passa a ser la potència de l'altra?

Mostra la resolució
Abans, $i = \dfrac{12}{12} = 1\ \text{A}$, i cada bombeta dissipa $P = 6 \cdot 1^2$.
Amb una bombeta curtcircuitada, queden $6\ \Omega$ al circuit, $i = 2\ \text{A}$ i $P = 6 \cdot 2^2$.
6 W a cadascuna abans del curtcircuit, i després 24 W a la bombeta que queda, quatre vegades més.
mitjà
Tres bombetes iguals, de $10\ \Omega$, formen un circuit mixt amb una font de 15 V. L1 està en sèrie amb el conjunt de L2 i L3 en paral·lel. Calcula el corrent i la potència a cada bombeta.

Mostra la resolució
El paral·lel de L2 i L3 val $5\ \Omega$, i $R_{eq} = 10 + 5 = 15\ \Omega$, amb $i = \dfrac{15}{15} = 1\ \text{A}$ a L1.
El corrent es reparteix per igual entre L2 i L3, amb 0,5 A a cadascuna.
Les potències són $P_1 = 10 \cdot 1^2$ i $P_2 = P_3 = 10 \cdot 0{,}5^2$.
L1 rep 1 A i 10 W, i L2 i L3, 0,5 A i 2,5 W cadascuna.
repte
Dos resistors de $10\ \text{k}\Omega$ estan en sèrie amb una font de 12 V. Per mesurar la tensió en un d'ells, fem servir un voltímetre barat, de resistència interna $10\ \text{k}\Omega$. Quant marca, i quant hauria de marcar? Què ens mostra això?

Mostra la resolució
Sense el voltímetre, cada resistor té la meitat de la tensió, 6 V.
Connectat en paral·lel, el voltímetre forma amb el resistor un conjunt de $\dfrac{10 \cdot 10}{20} = 5\ \text{k}\Omega$, i el corrent passa a ser $\dfrac{12}{15\ \text{k}\Omega} = 0{,}8\ \text{mA}$.
La tensió en el conjunt, que és la que mostra el voltímetre, és $5\ \text{k}\Omega \cdot 0{,}8\ \text{mA}$.
Marca 4 V en lloc de 6 V, i per això un bon voltímetre necessita una resistència molt més gran que la dels resistors del circuit.
repte
Al circuit de l'exercici 8 (L1 en sèrie amb L2 i L3 en paral·lel, totes de $10\ \Omega$, a 15 V), la bombeta L3 es fon. Què passa amb la lluminositat de L1 i de L2? Calcula les noves potències.

Mostra la resolució
Sense L3, el circuit es converteix en una sèrie simple de L1 i L2, amb $R_{eq} = 20\ \Omega$ i $i = \dfrac{15}{20} = 0{,}75\ \text{A}$.
Les dues dissipen $P = 10 \cdot 0{,}75^2$.
L1 baixa de 10 W a uns 5,6 W i fa menys llum, i L2 puja de 2,5 W a 5,6 W i fa més llum.

PAS 7

La pila també té resistència

Una pila real gasta, dins seu, part de l'energia que proporciona a les càrregues. Representem aquesta pèrdua per una resistència interna $r$, i la tensió entre els borns queda per sota de la força electromotriu $\varepsilon$, l'energia per càrrega que produeix la pila.

Com més gran és el corrent, més gran és la pèrdua $r\,i$, i per això els fars d'un cotxe tendeixen a afeblir-se quan el motor d'arrencada demana un corrent enorme a la bateria. Si connectem els borns amb un fil sense resistència, la tensió baixa a zero i el corrent arriba al valor de curtcircuit, $\varepsilon/r$.

$U = \varepsilon - r\,i$$i = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$$i_{cc} = \dfrac{\varepsilon}{r}$$P_{u,\text{màx}} = \dfrac{\varepsilon^2}{4\,r}$ amb $R = r$Suposem $\varepsilon$ i $r$ constants, una bona aproximació per a una pila que no està gairebé descarregada. Amb $R = r$, la potència útil és màxima i el rendiment $U/\varepsilon$ és del 50%.

Els fils i els aparells de casa estan protegits per fusibles i interruptors magnetotèrmics, connectats en sèrie amb el circuit. Quan el corrent supera el límit, per excés d'aparells o per un curtcircuit, obren el circuit abans que els fils se sobreescalfin.

En una descàrrega elèctrica, el que fa mal és el corrent que travessa el cos. La tensió importa perquè determina aquest corrent juntament amb la resistència del camí, i la pell mullada ofereix molta menys resistència que la seca. Corrents d'unes quantes desenes de mil·liamperes pel pit ja poden matar, i com que el magnetotèrmic no salta amb aquests corrents, la protecció de les persones correspon a l'interruptor diferencial.

Per comentar

Posa la càrrega en curtcircuit ($R = 0$) i compara el corrent amb $\varepsilon/r$. On va a parar l'energia en aquest cas?
Fes variar $R$ de 0 a 20 Ω i segueix el punt al gràfic $U \times i$. Es mou sobre una recta?
Busca la càrrega que dona la potència útil més gran i compara-la amb el valor de $r$. Quin és el rendiment en aquest punt?
Compara la pila nova amb la gastada. Per què una llanterna amb la pila gastada fa poca llum, si la força electromotriu gairebé no ha canviat?

Força electromotriu ε

Resistència interna r

Càrrega R

Corrent

Tensió entre els borns

Pèrdua interna r·i

Potència útil

Rendiment

Corrent de curtcircuit

Exercicis del pas 7 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una pila té una força electromotriu d'1,5 V i una resistència interna de $0{,}5\ \Omega$. Quina és la tensió entre els seus borns quan proporciona 1 A?

Mostra la resolució
Part de l'energia es perd dins de la pila, i $U = \varepsilon - r\,i = 1{,}5 - 0{,}5 \cdot 1$.
$U = 1{,}0\ \text{V}$
bàsic
Una bateria té $\varepsilon = 12\ \text{V}$ i $r = 0{,}1\ \Omega$. Quin és el corrent de curtcircuit, quan els borns es connecten amb un fil sense resistència?

Mostra la resolució
En curtcircuit, la tensió entre els borns és zero, i tota la força electromotriu queda aplicada a la resistència interna, $i_{cc} = \dfrac{\varepsilon}{r} = \dfrac{12}{0{,}1}$.
$i_{cc} = 120\ \text{A}$
bàsic
Per a què serveixen el fusible i l'interruptor magnetotèrmic, i quina diferència hi ha entre ells?

Mostra la resolució
Tots dos van en sèrie amb el circuit que protegeixen i interrompen el corrent quan supera un límit, abans que els fils s'escalfin massa.
El fusible té un filament que es fon i s'ha de canviar. El magnetotèrmic fa saltar un interruptor, que podem tornar a connectar després de resoldre el problema.
Tots dos tallen els corrents excessius; el fusible es destrueix en actuar, i el magnetotèrmic es pot rearmar.
bàsic
En una descàrrega elèctrica, què determina el perill, la tensió o el corrent que travessa el cos? Per què les mans mullades fan que la descàrrega sigui més greu?

Mostra la resolució
El dany al cos depèn del corrent que el travessa i del camí que fa, per exemple d'una mà a l'altra, passant pel cor.
La tensió importa perquè, amb $i = U/R$, determina el corrent juntament amb la resistència del cos, i la pell mullada té una resistència molt menor que la pell seca.
El que importa és el corrent pel cos, i la pell mullada, de resistència menor, deixa passar un corrent més gran.
mitjà
Una bateria de $\varepsilon = 9\ \text{V}$ i $r = 1\ \Omega$ alimenta un resistor d'$8\ \Omega$. Calcula el corrent, la tensió entre els borns, la potència útil i el rendiment.

Mostra la resolució
El corrent és $i = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{9}{8 + 1}$, i la tensió entre els borns, $U = \varepsilon - r\,i$.
La potència útil és $P_u = U\,i$, i el rendiment, $\eta = \dfrac{U}{\varepsilon}$.
$i = 1\ \text{A}$, $U = 8\ \text{V}$, $P_u = 8\ \text{W}$ i $\eta \approx 89\%$
mitjà
Una persona toca un fil de 127 V. Amb la pell seca, la resistència del camí a través del cos s'estima en $100\ \text{k}\Omega$; amb la pell mullada, en $1\ \text{k}\Omega$. Calcula el corrent en els dos casos. Corrents d'uns 10 mA ja poden impedir que la persona deixi anar el fil.

Mostra la resolució
Per la llei d'Ohm, amb la pell seca, $i = \dfrac{127}{100\,000}$, i amb la pell mullada, $i = \dfrac{127}{1000}$.
Uns 1,3 mA amb la pell seca, prou per notar formigueig, i 127 mA amb la pell mullada, un corrent cent vegades més gran i molt perillós.
mitjà
El gràfic $U \times i$ d'un generador és una recta que va de 6 V (amb $i = 0$) fins a 0 V (amb $i = 3\ \text{A}$). Determina $\varepsilon$, $r$ i la potència útil màxima.

Mostra la resolució
Amb $i = 0$, no hi ha pèrdua interna, i la tensió que llegim al gràfic és la mateixa $\varepsilon$. En curtcircuit, $i_{cc} = \varepsilon/r$, i $r = \dfrac{6}{3}$.
La potència útil és màxima quan $R = r$, amb $i = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\ \text{A}$ i $U = 3\ \text{V}$, i aleshores $P_u = 3 \cdot 1{,}5$.
$\varepsilon = 6\ \text{V}$, $r = 2\ \Omega$ i $P_{u,\text{màx}} = 4{,}5\ \text{W}$
mitjà
Connectada a un resistor, una bateria proporciona 1 A i té 10 V entre els borns. Connectada a un altre resistor, proporciona 2 A i té 8 V entre els borns. Quines són la força electromotriu i la resistència interna?

Mostra la resolució
Les dues mesures obeeixen $U = \varepsilon - r\,i$, amb $10 = \varepsilon - r \cdot 1$ i $8 = \varepsilon - r \cdot 2$.
Restant la segona de la primera, $2 = r \cdot 1$, i tornant a la primera, $\varepsilon = 10 + r$.
$\varepsilon = 12\ \text{V}$ i $r = 2\ \Omega$
repte
Un generador té $\varepsilon = 12\ \text{V}$ i $r = 2\ \Omega$. Calcula la potència útil i el rendiment amb un resistor extern de $2\ \Omega$ i amb un d'$8\ \Omega$. Quina de les dues connexions aprofita millor l'energia del generador?

Mostra la resolució
Amb $R = 2\ \Omega$, $i = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{A}$ i $U = 6\ \text{V}$, i aleshores $P_u = 6 \cdot 3$ i $\eta = \dfrac{6}{12}$.
Amb $R = 8\ \Omega$, $i = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\ \text{A}$ i $U = 9{,}6\ \text{V}$, i aleshores $P_u = 9{,}6 \cdot 1{,}2$ i $\eta = \dfrac{9{,}6}{12}$.
Amb $R = r$, la potència útil és màxima (18 W), però la meitat de l'energia es perd dins del generador; amb $8\ \Omega$, la potència baixa a 11,5 W i el rendiment puja al 80%.
repte
Una dutxa elèctrica de 5500 W a 220 V s'instal·la en un circuit protegit per un interruptor magnetotèrmic de 20 A, que salta cada vegada que s'engega la dutxa. Algú proposa canviar-lo per un magnetotèrmic de 40 A, sense tocar el cablejat. Per què salta el magnetotèrmic, i per què la proposta és perillosa?

Mostra la resolució
El corrent de la dutxa és $i = \dfrac{P}{U} = \dfrac{5500}{220} = 25\ \text{A}$, per sobre dels 20 A del magnetotèrmic.
El magnetotèrmic protegeix els fils, i el seu límit ha de correspondre al corrent que aquests suporten sense escalfar-se massa. Amb un magnetotèrmic de 40 A en un fil fet per a 20 A, el fil es pot sobreescalfar sense que res salti.
El magnetotèrmic tampoc no protegeix les persones de les descàrregues, que es produeixen amb corrents de mil·liamperes. Per a això hi ha l'interruptor diferencial.
La dutxa demana 25 A, i la solució segura és canviar el fil i el magnetotèrmic alhora, d'acord amb aquest corrent.

TANCAMENT

Reptes

Corrent elèctric

En un llamp, uns 20 C de càrrega travessen l'aire en 1 ms. Quin és el corrent mitjà?

Mostra la resolució

El corrent és la càrrega dividida pel temps, $i = \dfrac{20}{10^{-3}}$.
Això dona $i = 2 \cdot 10^4\ \text{A}$, uns 20 000 A, milers de vegades el corrent d'una dutxa elèctrica.

Tensió i energia

Una bateria de cotxe de 12 V porta la indicació 60 Ah. Quanta energia emmagatzema, en joules i en kWh?

Mostra la resolució

La càrrega és $q = 60 \cdot 3600 = 216\,000\ \text{C}$, i $E = q\,U = 216\,000 \cdot 12$ $\approx 2{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$.
En quilowatts hora, $\dfrac{2{,}592 \cdot 10^6}{3{,}6 \cdot 10^6}$ dona 0,72 kWh.

Segona llei d'Ohm

Un allargador té dos fils de coure de 20 m cadascun, amb 1,5 mm² de secció. Quina és la resistència total dels fils, i quanta tensió s'hi perd amb 10 A? ($\rho_{\text{coure}} = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m}$)

Mostra la resolució

El corrent va per un fil i torna per l'altre, i la longitud total és de 40 m.
$R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \dfrac{40}{1{,}5 \cdot 10^{-6}}$ $\approx 0{,}45\ \Omega$, i la pèrdua és $U = R\,i \approx 4{,}5\ \text{V}$.

Potència i factura de la llum

Una dutxa elèctrica de 4400 W està engegada 40 min al dia. Quant costa en 30 dies, amb la tarifa de R$ 0,80 per kWh?

Mostra la resolució

Per dia, $E = 4{,}4\ \text{kW} \cdot \dfrac{2}{3}\ \text{h} \approx 2{,}93\ \text{kWh}$, i en 30 dies, 88 kWh.
El cost és $88 \cdot 0{,}80$, R$ 70,40.

Sèrie i paral·lel

Dos resistors, de 3 Ω i 6 Ω, es connecten a 18 V, primer en sèrie i després en paral·lel. Quina és la resistència equivalent i el corrent a la font en cada cas?

Mostra la resolució

En sèrie, $R_{eq} = 9\ \Omega$ i $i = \dfrac{18}{9} = 2\ \text{A}$.
En paral·lel, $R_{eq} = \dfrac{3 \cdot 6}{9} = 2\ \Omega$ i $i = \dfrac{18}{2} = 9\ \text{A}$.

Circuit mixt

En una font de 12 V hi ha en sèrie un resistor d'1 Ω, un parell de resistors de 4 Ω en paral·lel i un resistor de 3 Ω. Quant marca un voltímetre connectat al parell en paral·lel?

Mostra la resolució

El parell val $2\ \Omega$, i $R_{eq} = 1 + 2 + 3 = 6\ \Omega$, amb $i = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{A}$.
Al parell, $U = 2 \cdot 2$, i el voltímetre marca 4 V.

Generador real

Una bateria de cotxe té $\varepsilon = 12{,}6\ \text{V}$ i $r = 0{,}02\ \Omega$. En l'engegada, el motor d'arrencada demana 150 A. Quina és la tensió entre els borns, i per què els fars s'afebleixen en aquell moment?

Mostra la resolució

La pèrdua interna és $r\,i = 0{,}02 \cdot 150 = 3\ \text{V}$, i $U = 12{,}6 - 3$, o 9,6 V.
Els fars, connectats als mateixos borns, reben menys tensió mentre el corrent de l'engegada és gran.

Pensar, sense comptes

Per què una bombeta d'incandescència sol fondre's justament en l'instant que l'encenem?

Mostra la resolució

En fred, el filament té una resistència molt menor que quan és encès.
En el moment d'encendre'l, el corrent i la potència $U^2/R$ són molt més grans que en el règim normal, durant una fracció de segon, i el punt més feble del filament tendeix a trencar-se en aquest pic.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Les cinc preguntes següents les hem escrites nosaltres en el format de l'ENEM, amb un text base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall indiquem preguntes reals de la prova sobre circuits elèctrics, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

Corrent elèctric · Pas 1
La Lúcia s'ha comprat un carregador ràpid per al mòbil. L'embalatge informa que, en mode ràpid, fa passar un corrent de 3 A per la bateria, i la bateria de l'aparell té una capacitat de 4500 mAh. Suposarem que el corrent es manté constant durant tota la recàrrega i que no es perd cap càrrega pel camí.

Partint de la bateria buida, quant de temps triga la recàrrega completa?
1. 40 min
2. 1 h 30 min
3. 1 h 50 min
4. 13,5 h
5. 1500 h
Mostra la resolució

Resposta: B.
El mil·liampere hora mesura càrrega, i la bateria emmagatzema $4500\ \text{mAh} = 4{,}5\ \text{Ah}$, o $4{,}5 \cdot 3600 = 16\,200\ \text{C}$.
Amb $i = \Delta q/\Delta t$, el temps és $\Delta t = \dfrac{4{,}5\ \text{Ah}}{3\ \text{A}} = 1{,}5\ \text{h}$, una hora i mitja.
Qui llegeix 1,5 h com 1 h 50 min arriba a la C, i qui divideix el corrent per la càrrega, a l'A. La D multiplica en lloc de dividir, i l'E s'oblida de passar els mil·liamperes a amperes.
A la pràctica, els carregadors redueixen el corrent quan la bateria és gairebé plena, i la recàrrega tendeix a trigar una mica més que aquest càlcul.
Resistència dels fils · Pas 3
L'Henrique ha de connectar un escalfador que demana 10 A a un endoll llunyà i comprarà un allargador de 25 m. A la botiga hi ha dues opcions, una amb fils de coure de $0{,}5\ \text{mm}^2$ de secció i una altra, més cara, amb fils de $2{,}5\ \text{mm}^2$. L'allargador té dos fils, i el corrent va per un i torna per l'altre. La resistivitat del coure és $1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m}$.

Quina és la potència dissipada en forma de calor als fils de l'allargador més prim?
1. 17 W
2. 34 W
3. 85 W
4. 170 W
5. 1270 W
Mostra la resolució

Resposta: D.
El corrent recorre 50 m de fil, 25 m a l'anada i 25 m a la tornada, i la resistència és
$R = \rho\,\dfrac{L}{A}$ $= 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \dfrac{50}{0{,}5 \cdot 10^{-6}}$ $= 1{,}7\ \Omega$
Per l'efecte Joule, $P = R\,i^2 = 1{,}7 \cdot 10^2$, o 170 W.
L'opció C compta només un dels fils, i la B correspon a l'allargador gruixut, cinc vegades menys resistent. L'A fa servir $R\,i$ en lloc de $R\,i^2$, i l'E calcula la potència de l'aparell en un endoll de 127 V, que no és el que es perd als fils.
Els 170 W semblen poca cosa al costat d'un escalfador, però es concentren en un fil prim, que es pot escalfar prou per fondre'n l'aïllament, i per això els allargadors prims no serveixen per a aparells de potència alta.

Potència i energia · Pas 4

Per entendre per què ha pujat la factura de la llum, la Cecília ha anotat la potència i el temps d'ús diari dels principals aparells de casa. La tarifa de la distribuïdora, amb impostos, és de R$ 0,80 per kWh.

Ús diari dels aparells
Aparell	Potència (W)	Ús per dia
Dutxa elèctrica	5400	40 min
Nevera (mitjana)	50	24 h
Tele	100	5 h
Planxa	1000	15 min
8 bombetes LED	80	5 h

En un mes de 30 dies, quant afegeix la dutxa elèctrica a la factura?

R$ 2,88
R$ 86,40
R$ 129,60
R$ 5184,00
R$ 86 400,00

Mostra la resolució

Resposta: B.
L'energia és la potència pel temps, amb la potència en quilowatts i el temps en hores, ja que 40 min són $\dfrac{2}{3}$ d'hora.
$E = 5{,}4 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 30 = 108\ \text{kWh}$
El cost és $108 \cdot 0{,}80$, o R$ 86,40.
L'A és el cost d'un sol dia, i la C tracta els 40 min com una hora sencera. La D fa servir els minuts com si fossin hores, i l'E deixa la potència en watts.
Amb la mateixa taula, la nevera gasta 36 kWh al mes i la tele, 15 kWh, i la dutxa, engegada poca estona, pesa més que tots els altres junts.

Sèrie i paral·lel · Pas 5
Per decorar el balcó, en Rafael té tres bombetes iguals i una font de 12 V, que suposarem ideal. Prova dos muntatges. En el muntatge I, les tres bombetes estan en sèrie; en el muntatge II, estan en paral·lel, cadascuna connectada directament als borns de la font. Amb tot encès, descargola la bombeta del mig en cada muntatge.

Què passa amb les altres dues bombetes?
1. En els dos muntatges, les altres bombetes s'apaguen.
2. En el muntatge I, les altres s'apaguen; en el II, continuen enceses amb la mateixa lluminositat.
3. En el muntatge I, les altres s'apaguen; en el II, continuen enceses i fan més llum.
4. En el muntatge I, les altres fan més llum; en el II, s'apaguen.
5. En els dos muntatges, les altres continuen enceses amb la mateixa lluminositat.
Mostra la resolució

Resposta: B.
En sèrie hi ha un únic camí, i la bombeta descargolada l'interromp, de manera que el corrent baixa a zero a totes.
En paral·lel, cada bombeta té el seu propi camí fins a la font i continua amb els 12 V. Com que $P = U^2/R$ no canvia, la lluminositat tampoc no canvia.
La C suposa que el corrent de la bombeta retirada es redistribueix entre les altres, cosa que no passa amb la tensió fixa de la font ideal. La D intercanvia el comportament de les dues connexions, i l'A i l'E tracten les dues com si fossin iguals.
Amb una font real, de resistència interna petita, les bombetes que queden en paral·lel poden fins i tot fer una mica més de llum, perquè el corrent total disminueix i la pèrdua interna baixa.

Descàrrega elèctrica · Pas 7

Un fullet de seguretat porta la taula següent, amb els efectes aproximats d'un corrent altern que travessa el cos d'una persona adulta durant un segon, aproximadament. Els valors varien d'una persona a una altra i serveixen només de referència.

Efectes del corrent en el cos
Corrent	Efecte probable
fins a 1 mA	gairebé imperceptible
d'1 mA a 10 mA	formigueig i dolor
de 10 mA a 30 mA	contracció muscular
per sobre de 30 mA	risc de fibril·lació

L'Ivo, descalç sobre el terra mullat del safareig, toca amb la mà un fil pelat de 127 V. Amb el cos mullat, la resistència del camí fins a terra és d'aproximadament $1\ \text{k}\Omega$. Si estigués sec i amb xancletes de goma, superaria els $100\ \text{k}\Omega$.

Segons la taula, quins efectes corresponen a les dues situacions?

Gairebé imperceptible en totes dues, perquè la tensió de l'endoll és la mateixa.
Formigueig amb el cos mullat i gairebé imperceptible amb la pell seca.
Contracció muscular amb el cos mullat i formigueig amb la pell seca.
Risc de fibril·lació amb el cos mullat i formigueig amb la pell seca.
Risc de fibril·lació en totes dues, perquè el que decideix és la tensió de 127 V.

Mostra la resolució

Resposta: D.
L'efecte depèn del corrent pel cos, que surt de $i = U/R$.
Mullat, $i = \dfrac{127}{1000} = 0{,}127\ \text{A}$, o 127 mA, molt per sobre de 30 mA.
Sec, $i = \dfrac{127}{100\,000} \approx 1{,}3\ \text{mA}$, a la franja del formigueig.
L'A i l'E només miren la tensió. La B i la C s'equivoquen en la conversió entre amperes i mil·liamperes i acaben en franges més baixes de la taula.
La diferència de cent vegades entre els dos corrents ajuda a entendre per què els banys i els safareigs demanen el doble de precaució i un interruptor diferencial al quadre elèctric.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2011, dia 1, quadern blau, pregunta 60. El manual d'una dutxa elèctrica presenta dos models de la mateixa potència, un per a 127 V i un altre per a 220 V, i la pregunta demana la raó entre les resistències, una aplicació directa de $P = U^2/R$.
ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 72. Un electricista vol mesurar la tensió en una nevera, el corrent total d'una cuina i el corrent en una bombeta, i triem l'esquema en què el voltímetre i els dos amperímetres estan connectats correctament.
ENEM 2016, dia 1, quadern blau, pregunta 74. Tres bombetes idèntiques formen un circuit mixt amb una bateria, i hem de dir quins corrents, entre els mesurats en cinc punts del circuit, són iguals.
ENEM 2017, dia 2, quadern blau, pregunta 110. Un fusible de 500 mA protegeix una de les branques d'un circuit de resistors, i calculem la tensió més gran de la font que pot suportar sense fondre's.
ENEM 2022, dia 2, quadern blau, pregunta 96. Una taula relaciona el corrent pel cos amb els seus efectes, i amb la resistència de la pell mullada decidim quina connexió de dues bateries de 12 V explica l'accident descrit.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Corrent$i = \Delta q / \Delta t$

Càrrega i electrons$\Delta q = n\,e$

Tensió$U = E/q$

Primera llei d'Ohm$U = R\,i$

Segona llei d'Ohm$R = \rho\,L/A$

Potència$P = U\,i = R\,i^2 = U^2/R$

Energia$E = P\,\Delta t$, $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$

Sèrie$R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots$

Paral·lel$1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + \dots$

Dos en paral·lel$R_{eq} = R_1 R_2/(R_1 + R_2)$

Generador real$U = \varepsilon - r\,i$, $i_{cc} = \varepsilon/r$

Potència útil màxima$R = r$, $P = \varepsilon^2/4r$