← Totes les lliçons
Física · Secundària · Dinàmica

Dinàmica

Per què el passatger surt llançat cap endavant quan l'autobús frena, i per què la bàscula de l'ascensor «menteix»? També podem preguntar-nos per què costa més començar a empènyer l'armari que mantenir-lo en marxa. La Dinàmica estudia les forces i el que fan amb el moviment. Amb les tres lleis de Newton, més el pes, la normal i el fregament, podem explicar i calcular gairebé tot el que es mou al nostre voltant.

  1. 1Força i resultant
  2. 21a llei: inèrcia
  3. 32a llei: F = m·a
  4. 43a llei: acció i reacció
  5. 5Pes i normal
  6. 6Fregament
  7. 7Pla inclinat
  8. 8Blocs i politges
  9. 9Treball i energia
  10. 10Impuls
  11. 11Col·lisions
  12. ✓Reptes
PAS 1

Una força té mòdul, direcció i sentit

Una força és una empenta o una estirada, i dir només «10 newtons» no n'hi ha prou, perquè falta dir cap on apunta. Per això diem que la força és un vector i la dibuixem com una fletxa.

Quan diverses forces actuen sobre un cos, el que compta és la força resultant \(\vec F_R\), la suma vectorial de totes. Si les forces tenen la mateixa direcció, les sumem (mateix sentit) o les restem (sentits oposats), i si són perpendiculars fem servir Pitàgores. La regla del polígon funciona en qualsevol cas i consisteix a posar una fletxa a la punta de l'altra, de manera que la resultant va de l'inici de la primera fins a la punta de l'última fletxa de la cadena.

Quan la resultant és zero, diem que el cos està en equilibri.

\(\vec F_R = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3\)\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\) (perpendiculars)Equilibri: \(\vec F_R = \vec 0\)La unitat de força és el newton (N). Mesurem els angles a partir de la dreta (0°), en sentit antihorari. En el mateix sentit, la resultant val \(F_1 + F_2\) · en sentits oposats, \(|F_1 - F_2|\).

\(\vec F_1\)   \(\vec F_2\)   \(\vec F_3\)   resultant \(\vec F_R\)

Per comentar

  • Arrossega les puntes de les fletxes (o fes servir els controls de mòdul i angle) i munta 3 N a 0° i 4 N a 90°. La resultant que obtenim fa realment 5 N?
  • Dues forces de 3 N i 4 N poden donar una resultant de 8 N? Abans de respondre, intenta muntar aquest cas a la simulació i mira fins on pot arribar la resultant.
  • Activa \(\vec F_3\) i ajusta-la fins que la resultant desaparegui. Com queda, comparada amb la suma de les altres dues?
  • Mirant les fletxes discontínues, sembla que el polígon «es tanca» quan el cos està en equilibri?
|F₁|
|F₂|
|F₃|
Resultant
Angle de la resultant
Exercicis del pas 1 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Dues persones empenyen un armari en la mateixa direcció i el mateix sentit, una amb \(30\ \text{N}\) i l'altra amb \(50\ \text{N}\). Quina és la força resultant sobre l'armari?

    Mostra la resolució
    Com que les forces tenen la mateixa direcció i el mateix sentit, els mòduls se sumen.
    \(F_R = 30 + 50 = 80\ \text{N}\)
    \(F_R = 80\ \text{N}\), en el sentit en què empenyen totes dues.
  2. bàsic

    Una caixa és estirada cap a la dreta amb \(50\ \text{N}\) i cap a l'esquerra amb \(30\ \text{N}\). Quina és la resultant (mòdul i sentit)?

    Mostra la resolució
    Amb la mateixa direcció i sentits oposats, els mòduls es resten i el sentit és el de la força més gran.
    \(F_R = 50 - 30 = 20\ \text{N}\)
    \(F_R = 20\ \text{N}\), cap a la dreta.
  3. bàsic

    Dues forces perpendiculars, de \(6\ \text{N}\) i \(8\ \text{N}\), actuen sobre un mateix cos. Quin és el mòdul de la resultant?

    Mostra la resolució
    Les forces perpendiculars formen els catets d'un triangle rectangle, i la resultant n'és la hipotenusa.
    \(F_R = \sqrt{6^2 + 8^2}\) \(= \sqrt{36 + 64}\) \(= \sqrt{100}\)
    \(F_R = 10\ \text{N}\)
  4. bàsic

    Un llum està penjat en repòs d'un fil. Quina és la força resultant sobre el llum, i què ens diu això sobre la força del fil?

    Mostra la resolució
    En repòs (i continuant en repòs), el cos està en equilibri, i la resultant és zero.
    Hi actuen el pes (cap avall) i la tensió del fil (cap amunt), i, perquè la suma doni zero, totes dues han de tenir el mateix mòdul.
    \(F_R = 0\); la tensió del fil és igual al pes del llum.
  5. mitjà

    Sobre una anella actuen tres forces horitzontals: \(10\ \text{N}\) cap a l'est, \(4\ \text{N}\) cap a l'oest i \(8\ \text{N}\) cap al nord. Calcula el mòdul de la resultant.

    Mostra la resolució
    Comencem sumant les forces de la mateixa direcció (est–oest), cosa que dona \(10 - 4 = 6\ \text{N}\) cap a l'est.
    Queden llavors dues forces perpendiculars, de \(6\ \text{N}\) (est) i \(8\ \text{N}\) (nord).
    \(F_R = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{N}\)
    \(F_R = 10\ \text{N}\), apuntant entre l'est i el nord.
  6. mitjà

    Dues forces de \(5\ \text{N}\) i \(12\ \text{N}\) actuen sobre un cos. Quins són el valor més gran i el més petit possibles de la resultant? I quant val si les forces són perpendiculars?

    Mostra la resolució
    La resultant més gran es dona amb les forces en el mateix sentit, \(5 + 12 = 17\ \text{N}\).
    La més petita es dona en sentits oposats, \(12 - 5 = 7\ \text{N}\).
    Si són perpendiculars, \(F_R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\ \text{N}\).
    Màxima \(17\ \text{N}\); mínima \(7\ \text{N}\); perpendiculars \(13\ \text{N}\).
  7. mitjà

    En un joc d'estirar la corda, l'equip A té 3 persones que estiren amb \(200\ \text{N}\) cadascuna. L'equip B té 2 persones que estiren amb \(250\ \text{N}\) cadascuna i una que estira amb \(120\ \text{N}\). Quina és la resultant sobre la corda i cap a quin costat?

    Mostra la resolució
    Equip A: \(3 \cdot 200 = 600\ \text{N}\).
    Equip B: \(2 \cdot 250 + 120 = 620\ \text{N}\).
    Com que els equips estiren en sentits oposats, \(F_R = 620 - 600 = 20\ \text{N}\).
    \(F_R = 20\ \text{N}\), cap al costat de l'equip B.
  8. mitjà

    És possible que dues forces, una de \(3\ \text{N}\) i una altra de \(4\ \text{N}\), tinguin una resultant de \(8\ \text{N}\)? Justifica-ho.

    Mostra la resolució
    La resultant de dues forces sempre queda entre la diferència i la suma dels mòduls.
    \(4 - 3 = 1\ \text{N} \le F_R \le 4 + 3 = 7\ \text{N}\)
    No: el màxim possible és \(7\ \text{N}\) (forces en el mateix sentit).
  9. repte

    Dues forces de \(10\ \text{N}\) cadascuna formen un angle de \(120^\circ\) entre elles. Quin és el mòdul de la resultant? Fes servir \(F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta\) i \(\cos 120^\circ = -0{,}5\).

    Mostra la resolució
    \(F_R^2 = 10^2 + 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (-0{,}5)\)
    \(F_R^2 = 100 + 100 - 100 = 100\)
    \(F_R = 10\ \text{N}\)
    Per la regla del paral·lelogram, el rombe es divideix en dos triangles equilàters, i per això la diagonal té la mateixa mida que els costats.
    \(F_R = 10\ \text{N}\), sobre la bisectriu de l'angle entre les forces.
  10. repte

    Un bloc està en equilibri sota tres forces. Dues són \(\vec F_1\), de \(9\ \text{N}\) cap a l'est, i \(\vec F_2\), de \(12\ \text{N}\) cap al nord. Quina és la tercera força (mòdul i direcció)?

    Mostra la resolució
    En equilibri, \(\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = 0\), per tant \(\vec F_3 = -(\vec F_1 + \vec F_2)\).
    \(|\vec F_1 + \vec F_2| = \sqrt{9^2 + 12^2}\) \(= \sqrt{225}\) \(= 15\ \text{N}\)
    \(\vec F_3\) té el mateix mòdul i sentit oposat, i apunta cap al sud-oest, amb \(\tan\,\alpha = \dfrac{12}{9}\), és a dir, uns \(53^\circ\) per sota de l'oest.
    \(F_3 = 15\ \text{N}\), cap al sud-oest (oposada a la suma de les altres dues).
PAS 2

Sense força resultant, res no canvia: la inèrcia

Durant molt de temps es va pensar que, per mantenir una cosa en moviment, calia continuar empenyent-la, i potser aquesta encara és la nostra primera intuïció. Galileu i Newton van mostrar que un cos sense força resultant continua tal com és, aturat o en moviment rectilini amb velocitat constant. Anomenem inèrcia aquesta tendència a mantenir la velocitat.

A la vida real, veiem que les coses s'aturen perquè hi ha forces contràries al moviment, com el fregament i la resistència de l'aire. Si traiem el fregament i negligim l'aire, el disc llisca per sempre.

\(\vec F_R = \vec 0 \iff \vec v = \text{constant}\)El repòs és el cas particular \(\vec v = \vec 0\). Com més gran és la massa, més gran és la inèrcia, i més costa canviar la velocitat.

A l'autobús que frena, ningú no empeny el passatger cap endavant; l'autobús desaccelera i ell continua amb la velocitat que tenia. Una cosa semblant passa amb les estovalles estirades de pressa, que deixen la vaixella al seu lloc perquè el fregament actua durant poquíssim temps. El cinturó de seguretat, en canvi, fa la força que et fa frenar juntament amb el cotxe.

Per comentar

  • Empeny el disc amb fregament 0,30 i després amb 0,05, i compara quant avança en cada cas.
  • Porta el fregament a zero i empeny el disc per veure si s'atura. Si no s'atura, quina força hem d'aplicar per aturar-lo?
  • Amb l'autobús anant a velocitat constant i sense frenar, el passatger necessita alguna força per acompanyar l'autobús? Potser la resposta et sorprendrà.
  • Sense cinturó, canvia la velocitat de l'autobús i torna a frenar per veure si el cop contra el seient és més fort. Després, repeteix-ho canviant la força de la frenada i la distància fins al seient.
  • Frena l'autobús sense cinturó i mira la velocitat de cadascú. Qui sembla que «es mou cap endavant», el passatger o l'autobús, que es queda enrere?
  • Posa el cinturó i torna a frenar. Quina força passa llavors a frenar el passatger?
Velocitat del disc
Distància del disc
Velocitat de l'autobús
Velocitat del passatger
Cop contra el seient (respecte a l'autobús)
Exercicis del pas 2 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un autobús frena de cop i els passatgers drets són «llançats» cap endavant. Hi ha alguna força que els empeny cap endavant? Explica-ho.

    Mostra la resolució
    No hi ha cap força cap endavant, perquè els passatgers simplement anaven amb la velocitat de l'autobús.
    Quan l'autobús frena, el terra (i el mateix autobús) desaccelera, però el cos del passatger tendeix a mantenir la velocitat que tenia, i això és el que anomenem inèrcia.
    No hi ha cap força cap endavant: el passatger continua avançant per inèrcia mentre l'autobús s'atura.
  2. bàsic

    En el truc de les estovalles, s'estiren molt de pressa i els plats es queden sobre la taula. Per què no funciona estirar-les a poc a poc?

    Mostra la resolució
    Els plats estan en repòs i tendeixen a continuar en repòs (inèrcia).
    Quan estirem de pressa, el fregament actua durant un temps molt curt i gairebé no canvia la velocitat dels plats.
    Quan estirem a poc a poc, el fregament actua durant molt de temps i arrossega els plats.
    De pressa: el fregament actua poc temps i els plats gairebé no guanyen velocitat.
  3. bàsic

    Una sonda a l'espai profund, lluny de qualsevol planeta, avança a \(2000\ \text{m/s}\) amb els motors apagats. Quina velocitat tindrà 1 hora després? Quina distància haurà recorregut en aquest temps?

    Mostra la resolució
    Sense forces (resultant nul·la), la velocitat es manté constant i continua sent \(2000\ \text{m/s}\).
    \(d = v \cdot t = 2000 \cdot 3600 = 7\,200\,000\ \text{m}\)
    \(v = 2000\ \text{m/s}\); \(d = 7\,200\ \text{km}\).
  4. bàsic

    Un cotxe va a \(80\ \text{km/h}\) constants per una carretera recta. Quina és la força resultant sobre el cotxe?

    Mostra la resolució
    Amb velocitat constant en línia recta, l'acceleració és zero.
    Per la 1a llei, això només passa quan la resultant és nul·la. El motor empeny, però el fregament i l'aire frenen en la mateixa mesura.
    \(F_R = 0\).
  5. mitjà

    Per a què serveix el reposacaps del seient d'un cotxe quan el cotxe rep un cop per darrere?

    Mostra la resolució
    En el xoc per darrere, el cotxe (i el seient) és empès bruscament cap endavant.
    El cap, per inèrcia, tendeix a quedar-se on era, mentre el tronc va cap endavant amb el seient i el coll es doblega cap enrere.
    El reposacaps empeny el cap juntament amb el cos i evita la lesió.
    Fa que el cap acompanyi el cos, que és empès cap endavant: el cap, per inèrcia, es quedaria enrere.
  6. mitjà

    Un disc d'hoquei llisca sobre gel gairebé sense fregament a \(4\ \text{m/s}\). Si negligim el fregament, quina distància recorre en \(5\ \text{s}\)?

    Mostra la resolució
    Sense fregament, la resultant horitzontal és zero, i el disc manté \(v = 4\ \text{m/s}\).
    \(d = v \cdot t = 4 \cdot 5\)
    \(d = 20\ \text{m}\)
  7. mitjà

    Un alumne diu: «Si deixo de pedalar, la bicicleta s'atura. Per tant, cal força per mantenir el moviment». Què li respondria Newton?

    Mostra la resolució
    La bicicleta s'atura perquè hi ha forces contràries al moviment, com el fregament als eixos, la deformació dels pneumàtics i la resistència de l'aire.
    Sense aquestes forces, continuaria per sempre amb la mateixa velocitat (1a llei).
    El que fa el pedal és equilibrar les forces contràries; no cal que «mantingui» el moviment.
    La força és necessària per canviar la velocitat; la bicicleta només s'atura perquè hi ha forces contràries.
  8. mitjà

    El cap d'un martell està fluix. Si piquem l'extrem del mànec contra el terra (amb el cap amunt), el cap s'encaixa. Per què?

    Mostra la resolució
    Tot el martell baixa alhora fins que el mànec xoca amb el terra i s'atura de cop.
    El cap, per inèrcia, continua baixant i llisca mànec avall, de manera que queda més ben encaixat.
    El mànec s'atura, però el cap continua baixant per inèrcia.
  9. repte

    Una boleta penja d'un fil lligat al sostre d'un cotxe. Amb el cotxe aturat, el fil queda vertical. El cotxe accelera cap endavant amb \(2\ \text{m/s}^2\). Cap a quin costat s'inclina el fil i quin angle forma? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(\tan\,\alpha = a/g\).

    Mostra la resolució
    Per inèrcia, la boleta «es queda enrere» i el fil s'inclina cap enrere fins que la component horitzontal de la tensió accelera la boleta juntament amb el cotxe.
    \(\tan\,\alpha = \dfrac{a}{g} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
    \(\alpha \approx 11{,}3^\circ\)
    Quan el cotxe passa a anar a velocitat constant, el fil torna a la vertical.
    S'inclina cap enrere, uns \(11^\circ\) respecte a la vertical.
  10. repte

    Un autobús a \(72\ \text{km/h}\) frena amb una desacceleració de \(5\ \text{m/s}^2\). Un passatger sense cinturó és a \(1{,}0\ \text{m}\) del seient del davant i llisca sense fregament. Quant de temps després de començar la frenada xoca amb el seient, i amb quina velocitat respecte a l'autobús?

    Mostra la resolució
    \(72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}\). El passatger continua a \(20\ \text{m/s}\) per inèrcia, mentre l'autobús perd \(5\ \text{m/s}\) cada segon.
    Vist des de dins de l'autobús, el passatger s'acosta al seient amb una acceleració relativa de \(5\ \text{m/s}^2\), partint del repòs.
    \(1{,}0 = \dfrac{5\,t^2}{2}\) \(\Rightarrow t = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63\ \text{s}\)
    \(v_{rel} = 5 \cdot 0{,}63 \approx 3{,}2\ \text{m/s}\) (l'autobús encara va a \(20 - 3{,}2 \approx 16{,}8\ \text{m/s}\)).
    \(t \approx 0{,}63\ \text{s}\); xoca a \(\approx 3{,}2\ \text{m/s}\) (uns \(11\ \text{km/h}\)) respecte a l'autobús.
PAS 3

La força resultant canvia la velocitat: \(F_R = m \cdot a\)

Quan la resultant no és zero, la velocitat canvia i el cos adquireix acceleració, en el mateix sentit que la resultant. Amb la 2a llei de Newton podem dir quant val aquesta acceleració, que és proporcional a la força i inversament proporcional a la massa.

Doblar la força dobla l'acceleració, mentre que doblar la massa divideix l'acceleració per dos. Diem que la massa mesura la inèrcia perquè, com més massa, més força cal per canviar la velocitat.

\(\vec F_R = m\,\vec a\)\(a = \dfrac{F_R}{m}\)\(1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2\)Un newton és la força que dona a 1 kg una acceleració d'1 m/s², i en el gràfic \(v \times t\) l'acceleració és el pendent de la recta.

Per comentar

  • Deixa anar el carretó i observa si la velocitat creix sempre el mateix cada segon. Com ho veiem en el gràfic?
  • Prem «Dobla la força» i torna'l a deixar anar. La recta nova sembla tenir el doble de pendent?
  • Torna la força al valor d'abans i prem «Dobla la massa». Què passa amb l'acceleració que mesurem?
  • Troba dues combinacions diferents de F i m que donin la mateixa acceleració.
  • Porta la força a zero enmig del moviment i mira si el carretó s'atura. Potser val la pena recordar el que ja sabem des del pas 2.
Prevista F/m
Mesurada en el gràfic
Velocitat
Temps
Distància
Exercicis del pas 3 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una força resultant de \(20\ \text{N}\) actua sobre un bloc de \(4\ \text{kg}\). Quina és l'acceleració?

    Mostra la resolució
    \(a = \dfrac{F_R}{m} = \dfrac{20}{4}\)
    \(a = 5\ \text{m/s}^2\)
  2. bàsic

    Quina força resultant cal per donar a un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) una acceleració de \(2\ \text{m/s}^2\)?

    Mostra la resolució
    \(F_R = m \cdot a = 1000 \cdot 2\)
    \(F_R = 2000\ \text{N}\)
  3. bàsic

    Una força resultant de \(30\ \text{N}\) produeix en un cos una acceleració de \(6\ \text{m/s}^2\). Quina és la massa del cos?

    Mostra la resolució
    \(m = \dfrac{F_R}{a} = \dfrac{30}{6}\)
    \(m = 5\ \text{kg}\)
  4. bàsic

    Si dobleguem la força resultant sobre un carretó i també en dobleguem la massa, què passa amb l'acceleració?

    Mostra la resolució
    Com que \(a = \dfrac{F_R}{m}\), doblar el numerador dobla \(a\), i doblar el denominador divideix \(a\) per 2.
    \(a' = \dfrac{2F_R}{2m} = \dfrac{F_R}{m} = a\)
    L'acceleració no canvia.
  5. mitjà

    Un bloc de \(2\ \text{kg}\), sobre una taula sense fregament, és estirat amb \(10\ \text{N}\) cap a la dreta i \(4\ \text{N}\) cap a l'esquerra. Quina és l'acceleració?

    Mostra la resolució
    \(F_R = 10 - 4 = 6\ \text{N}\), cap a la dreta.
    \(a = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{m/s}^2\)
    \(a = 3\ \text{m/s}^2\), cap a la dreta.
  6. mitjà

    Un bloc de \(5\ \text{kg}\) surt del repòs, sense fregament, empès per una força constant de \(10\ \text{N}\). Quina velocitat té al cap de \(4\ \text{s}\) i quina distància ha recorregut?

    Mostra la resolució
    \(a = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{m/s}^2\)
    \(v = a\,t = 2 \cdot 4 = 8\ \text{m/s}\)
    \(d = \dfrac{a\,t^2}{2} = \dfrac{2 \cdot 16}{2} = 16\ \text{m}\)
    \(v = 8\ \text{m/s}\); \(d = 16\ \text{m}\).
  7. mitjà

    Un cotxe de \(1200\ \text{kg}\) passa de 0 a \(108\ \text{km/h}\) en \(10\ \text{s}\). Quina és la força resultant mitjana sobre el cotxe?

    Mostra la resolució
    \(108\ \text{km/h} = 30\ \text{m/s}\)
    \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{30}{10} = 3\ \text{m/s}^2\)
    \(F_R = m\,a = 1200 \cdot 3\)
    \(F_R = 3600\ \text{N}\)
  8. mitjà

    En el gràfic \(v \times t\) d'un carretó de \(2\ \text{kg}\), la velocitat passa de 0 a \(12\ \text{m/s}\) en \(4\ \text{s}\), en línia recta. Quina és la força resultant?

    Mostra la resolució
    El pendent del gràfic \(v \times t\) és l'acceleració, que val \(a = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m/s}^2\).
    \(F_R = m\,a = 2 \cdot 3\)
    \(F_R = 6\ \text{N}\)
  9. repte

    Un cotxe de \(800\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\) frena i s'atura en \(40\ \text{m}\), amb desacceleració constant. Quina és la força de frenada? Fes servir \(v^2 = v_0^2 - 2\,a\,d\).

    Mostra la resolució
    \(0 = 20^2 - 2 \cdot a \cdot 40\) \(\Rightarrow a = \dfrac{400}{80} = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(F = m\,a = 800 \cdot 5\)
    \(F = 4000\ \text{N}\), contra el moviment.
  10. repte

    Una mateixa força dona una acceleració de \(6\ \text{m/s}^2\) a un cos de massa \(m_1\) i de \(3\ \text{m/s}^2\) a un altre de massa \(m_2\). Quina acceleració dona aquesta força als dos junts (lligats l'un a l'altre)?

    Mostra la resolució
    \(m_1 = \dfrac{F}{6}\) i \(m_2 = \dfrac{F}{3}\)
    \(m_1 + m_2 = \dfrac{F}{6} + \dfrac{2F}{6} = \dfrac{F}{2}\)
    \(a = \dfrac{F}{m_1 + m_2} = \dfrac{F}{F/2} = 2\ \text{m/s}^2\)
    \(a = 2\ \text{m/s}^2\)
PAS 4

Tota força té una parella: acció i reacció

Les forces sempre apareixen en parelles, i si A empeny B, B empeny A amb una força de la mateixa intensitat, la mateixa direcció i sentit oposat. Anomenem aquesta regla 3a llei de Newton.

El detall que sol confondre és que les dues forces actuen sobre cossos diferents i, per això, no s'anul·len; quan dos patinadors s'empenyen, les forces són iguals, però el més lleuger adquireix més acceleració (\(a = F/m\)).

Camines perquè empenys el terra cap enrere i el terra t'empeny cap endavant. Amb el coet passa el mateix, ja que empeny els gasos cap enrere i els gasos l'empenyen cap endavant, fins i tot en el buit.

\(\vec F_{A \to B} = -\vec F_{B \to A}\)\(a_A = \dfrac{F}{m_A},\quad a_B = \dfrac{F}{m_B}\)Com que l'empenta dura el mateix temps per als dos, \(m_A\,v_A = m_B\,v_B\), i qui té la meitat de massa surt amb el doble de velocitat.

parella acció–reacció   velocitat

Per comentar

  • Empeny amb masses iguals i compara les velocitats amb què surten tots dos.
  • A «Adult i nen», qui rep la força més gran, i qui surt més ràpid? Val la pena fer la teva aposta abans de comprovar els números, perquè potser la resposta no és la que esperes.
  • Posa en pausa durant l'empenta i compara les dues fletxes vermelles que veiem als patinadors. Tenen la mateixa mida?
  • Si les forces són iguals i oposades, per què els dos no es queden quiets? Potser la nostra primera intuïció diu que s'haurien de quedar quiets.
Força sobre A
Força sobre B
Acceleració d'A
Acceleració de B
Velocitat d'A
Velocitat de B
Exercicis del pas 4 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Si l'acció i la reacció tenen el mateix mòdul i sentits oposats, per què no s'anul·len?

    Mostra la resolució
    Només s'anul·len (se sumen) les forces que actuen sobre el MATEIX cos.
    L'acció i la reacció actuen sobre cossos diferents, una sobre A i l'altra sobre B.
    No s'anul·len perquè actuen sobre cossos diferents.
  2. bàsic

    Quan camines, quina força et fa anar cap endavant?

    Mostra la resolució
    El peu empeny el terra cap enrere (gràcies al fregament).
    Per la 3a llei, el terra empeny el peu cap endavant amb la mateixa intensitat.
    La força del terra sobre el teu peu, cap endavant (reacció a la teva empenta cap enrere).
  3. bàsic

    Dos patinadors, una noia de \(40\ \text{kg}\) i un noi de \(60\ \text{kg}\), s'empenyen. La força sobre la noia és de \(120\ \text{N}\). Quina és la força sobre el noi, i quina és l'acceleració de cadascun?

    Mostra la resolució
    Per la 3a llei, la força sobre el noi també val \(120\ \text{N}\), en sentit oposat.
    Noia: \(a = \dfrac{120}{40} = 3\ \text{m/s}^2\)
    Noi: \(a = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{m/s}^2\)
    \(120\ \text{N}\) sobre cadascun; noia \(3\ \text{m/s}^2\), noi \(2\ \text{m/s}^2\).
  4. bàsic

    Un llibre està en repòs sobre la taula. La Terra atreu el llibre (pes). Quina és la reacció a aquesta força? És la força normal?

    Mostra la resolució
    La reacció al pes és la força amb què el LLIBRE atreu la TERRA, cap amunt, aplicada al centre de la Terra.
    La normal (la taula empenyent el llibre) aquí també és igual al pes, però és una altra interacció, la reacció de la qual és el llibre empenyent la taula cap avall.
    La reacció al pes és el llibre estirant la Terra; no és la normal.
  5. mitjà

    Dos patinadors de \(50\ \text{kg}\) i \(75\ \text{kg}\), en repòs sobre el gel, s'empenyen amb \(150\ \text{N}\) durant \(0{,}5\ \text{s}\). Amb quina velocitat surt cadascun?

    Mostra la resolució
    Patinador de 50 kg: \(a = \dfrac{150}{50} = 3\ \text{m/s}^2\), \(v = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{m/s}\)
    Patinador de 75 kg: \(a = \dfrac{150}{75} = 2\ \text{m/s}^2\), \(v = 2 \cdot 0{,}5 = 1{,}0\ \text{m/s}\)
    \(1{,}5\ \text{m/s}\) i \(1{,}0\ \text{m/s}\), en sentits oposats.
  6. mitjà

    A l'espai no hi ha aire per «empènyer». Com aconsegueix accelerar un coet?

    Mostra la resolució
    El coet empeny els gasos cap enrere amb una gran força quan els expulsa.
    Per la 3a llei, els gasos empenyen el coet cap endavant amb la mateixa intensitat.
    No cal gens d'aire, perquè la parella de forces és entre el coet i els gasos.
    El coet empeny els gasos cap enrere i els gasos empenyen el coet cap endavant.
  7. mitjà

    Un camió de \(10\,000\ \text{kg}\) xoca amb un cotxe de \(1000\ \text{kg}\). En un instant, la força del camió sobre el cotxe és de \(50\,000\ \text{N}\). Quant val la força del cotxe sobre el camió, i quines són les acceleracions?

    Mostra la resolució
    Per la 3a llei, el cotxe empeny el camió amb els mateixos \(50\,000\ \text{N}\).
    Cotxe: \(a = \dfrac{50\,000}{1000} = 50\ \text{m/s}^2\)
    Camió: \(a = \dfrac{50\,000}{10\,000} = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(50\,000\ \text{N}\) sobre tots dos; el cotxe pateix una acceleració 10 vegades més gran (\(50\) contra \(5\ \text{m/s}^2\)).
  8. mitjà

    Una poma de \(100\ \text{g}\) cau, i la Terra l'estira amb \(1\ \text{N}\). Amb quina força estira la poma la Terra? Quina és l'acceleració de la Terra? (massa de la Terra \(\approx 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\))

    Mostra la resolució
    Per la 3a llei, la poma estira la Terra amb \(1\ \text{N}\), cap amunt.
    \(a_{Terra} = \dfrac{1}{6 \cdot 10^{24}} \approx 1{,}7 \cdot 10^{-25}\ \text{m/s}^2\)
    És una acceleració tan petita que no es pot percebre.
    \(1\ \text{N}\); \(a \approx 1{,}7 \cdot 10^{-25}\ \text{m/s}^2\).
  9. repte

    Un astronauta de \(80\ \text{kg}\) (amb el vestit), aturat a l'espai, llança una eina de \(2\ \text{kg}\) a \(8\ \text{m/s}\). Amb quina velocitat recula?

    Mostra la resolució
    Les forces entre l'astronauta i l'eina són iguals i oposades i actuen durant el mateix temps \(\Delta t\).
    Com que \(F = m\,a = m\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\), el producte \(m \cdot \Delta v\) és igual per als dos.
    \(80 \cdot v = 2 \cdot 8\) \(\Rightarrow v = \dfrac{16}{80} = 0{,}2\ \text{m/s}\)
    \(v = 0{,}2\ \text{m/s}\), en sentit oposat al de l'eina.
  10. repte

    Dos patinadors, A (\(50\ \text{kg}\)) i B (\(70\ \text{kg}\)), en repòs a \(10\ \text{m}\) l'un de l'altre, estiren una corda que hi ha entre ells. Si negligim el fregament, en quin punt es troben?

    Mostra la resolució
    La corda estira tots dos amb la mateixa força \(F\) tota l'estona.
    \(a_A = F/50\) i \(a_B = F/70\); com que tots dos surten del repòs, les distàncies són proporcionals a les acceleracions, \(\dfrac{d_A}{d_B} = \dfrac{70}{50}\).
    \(d_A + d_B = 10\) \(\Rightarrow d_A = 10 \cdot \dfrac{70}{120} \approx 5{,}83\ \text{m}\), \(d_B \approx 4{,}17\ \text{m}\)
    A recorre \(\approx 5{,}83\ \text{m}\) i B \(\approx 4{,}17\ \text{m}\): es troben més a prop de la posició inicial de B.
PAS 5

La bàscula mesura el pes? No exactament

Anomenem pes la força amb què la Terra estira un cos, \(P = m\,g\). La massa (en kg) és la quantitat de matèria i no canvia d'un lloc a un altre, mentre que el pes (en N) depèn de la gravetat. A la Lluna, on \(g\) és d'uns 1,6 m/s², el pes es redueix a una sisena part i la massa continua sent la mateixa.

La força normal \(N\) és l'empenta d'una superfície, perpendicular a aquesta superfície. La bàscula mesura la normal, i no el pes, cosa que potser sorprendrà qui sempre s'hi ha pesat. En un ascensor que accelera cap amunt, la normal ha de ser més gran que el pes, i si accelera cap avall, més petita, fins al cas extrem de la caiguda lliure, en què el terra «fuig» amb tu, de manera que \(N = 0\) i et quedes «sense pes».

\(P = m\,g\)\(N - P = m\,a\)\(N = m\,(g + a)\)Prenem \(a\) positiva cap amunt, amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\) a la Terra i \(1{,}6\ \text{m/s}^2\) a la Lluna. Com que la bàscula està calibrada a la Terra, mostra \(N/10\) en «kg».

pes \(P\)   normal \(N\)   acceleració   velocitat

Per comentar

  • Puja amb velocitat constant i mira si la lectura de la bàscula canvia. Intenta explicar per què passa això.
  • A «Arrencar pujant» i a «Frenar baixant», la bàscula marca més. Què sembla que tenen en comú aquests dos moviments?
  • Talla el cable i mira quant val N. Potser la persona ha deixat de tenir pes?
  • Porta l'ascensor a la Lluna. Canvia la massa? I què passa amb la lectura de la bàscula?
Pes P
Normal N
Lectura de la bàscula
Acceleració
Velocitat
Exercicis del pas 5 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una persona té una massa de \(60\ \text{kg}\). Quin és el seu pes a la Terra (\(g = 10\ \text{m/s}^2\)) i a la Lluna (\(g = 1{,}6\ \text{m/s}^2\))? I la massa a la Lluna?

    Mostra la resolució
    Terra: \(P = m\,g = 60 \cdot 10 = 600\ \text{N}\)
    Lluna: \(P = 60 \cdot 1{,}6 = 96\ \text{N}\)
    La massa (quantitat de matèria, inèrcia) no canvia.
    \(600\ \text{N}\) a la Terra, \(96\ \text{N}\) a la Lluna; massa de \(60\ \text{kg}\) als dos llocs.
  2. bàsic

    Què hi ha d'incorrecte en la frase «el meu pes és de 60 quilos»?

    Mostra la resolució
    El quilogram és una unitat de massa, i el pes és una força, que es mesura en newtons.
    Amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\), una massa de \(60\ \text{kg}\) té un pes de \(600\ \text{N}\).
    El correcte és «la meva massa és de 60 kg» (o «el meu pes és de 600 N»).
  3. bàsic

    Un llibre de \(2\ \text{kg}\) està en repòs sobre una taula horitzontal. Quina és la força normal? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    En repòs, \(F_R = 0\), i per tant \(N = P\).
    \(N = m\,g = 2 \cdot 10\)
    \(N = 20\ \text{N}\)
  4. bàsic

    Un ascensor puja amb velocitat constant. Una persona de \(70\ \text{kg}\) és a sobre d'una bàscula a dins. Quant marca la bàscula? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Amb velocitat constant, \(a = 0\), i per tant \(N = P = 70 \cdot 10 = 700\ \text{N}\).
    La bàscula (calibrada per a \(g = 10\)) mostra \(700/10 = 70\ \text{kg}\).
    Marca \(70\ \text{kg}\) (\(N = 700\ \text{N}\)), igual que amb l'ascensor aturat.
  5. mitjà

    Un ascensor accelera cap amunt amb \(2\ \text{m/s}^2\). Una persona de \(50\ \text{kg}\) és sobre una bàscula a dins. Quina és la normal i quant marca la bàscula? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(N - P = m\,a\) \(\Rightarrow N = m\,(g + a)\)
    \(N = 50 \cdot (10 + 2) = 600\ \text{N}\)
    Lectura: \(600/10 = 60\ \text{kg}\)
    \(N = 600\ \text{N}\); la bàscula marca \(60\ \text{kg}\).
  6. mitjà

    Un ascensor accelera cap avall amb \(3\ \text{m/s}^2\). Quant marca la bàscula per a una persona de \(80\ \text{kg}\)? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Amb l'acceleració cap avall, \(P - N = m\,a\) \(\Rightarrow N = m\,(g - a)\)
    \(N = 80 \cdot (10 - 3) = 560\ \text{N}\)
    Lectura: \(560/10 = 56\ \text{kg}\)
    \(N = 560\ \text{N}\); la bàscula marca \(56\ \text{kg}\).
  7. mitjà

    Una caixa de \(5\ \text{kg}\) és sobre la taula, i una persona la prem cap avall amb \(30\ \text{N}\). Quina és la força normal? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    En repòs, la normal (cap amunt) equilibra el pes i l'empenta (cap avall).
    \(N = P + F = 50 + 30\)
    \(N = 80\ \text{N}\): la normal no sempre és igual al pes.
  8. mitjà

    A l'Estació Espacial, a uns \(400\ \text{km}\) d'altura, \(g\) encara val uns \(8{,}7\ \text{m/s}^2\). Per què els astronautes suren «sense pes»?

    Mostra la resolució
    SÍ que tenen pes, i la Terra els atreu amb gairebé el 90% de la força que notarien a terra.
    L'estació i els astronautes són en caiguda lliure junts (cauen al voltant de la Terra, en òrbita).
    Com que tot cau amb la mateixa acceleració, el terra no empeny els peus, i \(N = 0\).
    Són en caiguda lliure juntament amb l'estació: la normal és zero, i d'aquí ve la sensació d'estar «sense pes».
  9. repte

    En una bàscula dins d'un ascensor, una persona de \(70\ \text{kg}\) llegeix \(84\ \text{kg}\) (bàscula calibrada amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\)). Quina és l'acceleració de l'ascensor? Necessàriament puja?

    Mostra la resolució
    \(N = 84 \cdot 10 = 840\ \text{N}\)
    \(N = m\,(g + a)\) \(\Rightarrow 840 = 70\,(10 + a)\) \(\Rightarrow a = 12 - 10 = 2\ \text{m/s}^2\), cap amunt.
    Una acceleració cap amunt es dona quan l'ascensor puja cada cop més de pressa O quan baixa i frena.
    \(a = 2\ \text{m/s}^2\) cap amunt; pot estar pujant i accelerant o baixant i frenant.
  10. repte

    Un ascensor de \(1000\ \text{kg}\) porta una persona de \(60\ \text{kg}\) i accelera cap amunt amb \(1{,}5\ \text{m/s}^2\). Calcula la tensió del cable i la normal sobre la persona. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Cable (sistema ascensor + persona, \(1060\ \text{kg}\)): \(T - (m_{tot})\,g = m_{tot}\,a\)
    \(T = 1060 \cdot (10 + 1{,}5) = 1060 \cdot 11{,}5 = 12\,190\ \text{N}\)
    Persona: \(N = 60 \cdot 11{,}5 = 690\ \text{N}\)
    \(T = 12\,190\ \text{N}\); \(N = 690\ \text{N}\).
PAS 6

Fregament: primer subjecta, després frena

Quan empenyem suaument un moble pesant, no es mou del lloc. El fregament estàtic creix juntament amb l'empenta i l'equilibra fins a un valor màxim \(\mu_e\,N\), i, passat aquest valor, el moble llisca.

Amb el moble lliscant, actua el fregament cinètic, de valor fix \(\mu_c\,N\), que sol ser més petit que el màxim estàtic. Per això, un cop «es desenganxa», costa menys d'empènyer.

Els coeficients \(\mu\) depenen de les superfícies en contacte (cautxú i asfalt, fusta i fusta...), i no de l'àrea de contacte, almenys en el model senzill de fregament que fem servir aquí.

\(f_e \le \mu_e\,N\)\(f_c = \mu_c\,N\)\(\mu_c < \mu_e\)En un terra horitzontal, \(N = m\,g\), i \(\mu\) no té unitats. Els valors de la simulació són típics i aproximats.

força aplicada \(F\)   fregament \(f\)   normal   pes

Per comentar

  • En prémer «Estira cada cop més», veiem que el gràfic puja en una recta inclinada mentre el bloc està aturat. Per què passa això?
  • En l'instant en què comença a lliscar, què passa amb el fregament i amb l'acceleració?
  • Posa el bloc «dret», amb menys àrea de contacte, i mira si sembla que el pic del gràfic canvia.
  • Dobla la massa i observa el fregament màxim. Què li passa, i per què?
  • Amb el bloc lliscant, baixa la força fins que sigui més petita que el fregament cinètic i mira què fa.
Força aplicada
Fregament ara
Estàtic màx. (μe·N)
Cinètic (μc·N)
Acceleració
Estat
Exercicis del pas 6 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un bloc de \(10\ \text{kg}\) llisca sobre un terra horitzontal amb \(\mu_c = 0{,}3\). Quina és la força de fregament cinètic? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    En un terra horitzontal, \(N = P = 10 \cdot 10 = 100\ \text{N}\).
    \(f_c = \mu_c\,N = 0{,}3 \cdot 100\)
    \(f_c = 30\ \text{N}\)
  2. bàsic

    Una caixa de \(20\ \text{kg}\) és a terra, amb \(\mu_e = 0{,}5\). Quina és la força horitzontal més petita capaç de fer-la començar a moure's? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(N = 20 \cdot 10 = 200\ \text{N}\)
    \(f_{e,\text{màx}} = \mu_e\,N = 0{,}5 \cdot 200 = 100\ \text{N}\)
    Cal superar aquest valor.
    Una mica més de \(100\ \text{N}\).
  3. bàsic

    Per què costa més començar a empènyer un armari que mantenir-lo lliscant?

    Mostra la resolució
    Amb l'armari aturat, actua el fregament estàtic, que pot arribar a \(\mu_e\,N\).
    Quan llisca, actua el fregament cinètic \(\mu_c\,N\), i normalment \(\mu_c < \mu_e\).
    El fregament estàtic màxim és més gran que el fregament cinètic.
  4. bàsic

    La mateixa caixa de \(20\ \text{kg}\) (\(\mu_e = 0{,}5\)) és empesa amb \(60\ \text{N}\) i no es mou. Quant val el fregament?

    Mostra la resolució
    La caixa continua en repòs, i per tant \(F_R = 0\).
    Llavors el fregament estàtic equilibra exactament l'empenta, i \(f_e = 60\ \text{N}\).
    El valor \(\mu_e\,N = 100\ \text{N}\) és només el MÀXIM que pot assolir el fregament estàtic.
    \(f_e = 60\ \text{N}\) (i no \(100\ \text{N}\)).
  5. mitjà

    Un bloc de \(5\ \text{kg}\) és estirat per una força horitzontal de \(25\ \text{N}\) i llisca amb \(\mu_c = 0{,}2\). Quina és l'acceleració? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(N = 50\ \text{N}\); \(f_c = 0{,}2 \cdot 50 = 10\ \text{N}\)
    \(F_R = 25 - 10 = 15\ \text{N}\)
    \(a = \dfrac{15}{5}\)
    \(a = 3\ \text{m/s}^2\)
  6. mitjà

    Arrosseguem un totxo estirat (més àrea de contacte) i després dret (menys àrea). Canvia el fregament?

    Mostra la resolució
    El fregament depèn de \(\mu\) (de les superfícies) i de la normal \(N\), i la normal és el pes en tots dos casos.
    Amb menys àrea, la pressió a cada punt augmenta i compensa l'àrea més petita.
    No canvia: el fregament no depèn de l'àrea de contacte.
  7. mitjà

    Un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\) bloqueja les rodes i derrapa fins que s'atura, amb \(\mu_c = 0{,}5\). Quina és la distància de frenada? I el temps? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(f_c = 0{,}5 \cdot 1000 \cdot 10 = 5000\ \text{N}\); \(a = \dfrac{5000}{1000} = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(d = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{400}{10} = 40\ \text{m}\)
    \(t = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{s}\)
    \(d = 40\ \text{m}\); \(t = 4\ \text{s}\).
  8. mitjà

    Un bloc és llançat sobre el terra a \(6\ \text{m/s}\) i s'atura després de \(9\ \text{m}\). Quin és el coeficient de fregament cinètic? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(0 = 6^2 - 2\,a \cdot 9\) \(\Rightarrow a = \dfrac{36}{18} = 2\ \text{m/s}^2\)
    Com que només frena el fregament, \(\mu_c\,m\,g = m\,a\) \(\Rightarrow \mu_c = \dfrac{a}{g} = \dfrac{2}{10}\)
    \(\mu_c = 0{,}2\)
  9. repte

    Una caixa de \(40\ \text{kg}\) té \(\mu_e = 0{,}6\) i \(\mu_c = 0{,}4\) amb el terra. (a) Quin és el fregament si l'estirem amb \(200\ \text{N}\)? (b) Quina és la força mínima per moure-la del lloc? (c) Un cop en moviment, quina és l'acceleració amb \(260\ \text{N}\)? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(N = 400\ \text{N}\); \(f_{e,\text{màx}} = 0{,}6 \cdot 400 = 240\ \text{N}\); \(f_c = 0{,}4 \cdot 400 = 160\ \text{N}\)
    (a) Com que \(200 < 240\), es queda aturada i \(f_e = 200\ \text{N}\).
    (b) Cal passar de \(240\ \text{N}\).
    (c) \(a = \dfrac{260 - 160}{40} = 2{,}5\ \text{m/s}^2\)
    (a) \(200\ \text{N}\); (b) més de \(240\ \text{N}\); (c) \(2{,}5\ \text{m/s}^2\).
  10. repte

    Un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) a \(30\ \text{m/s}\) frena. Amb fre ABS, els pneumàtics no derrapen i el fregament és estàtic (\(\mu_e = 0{,}8\)); amb les rodes bloquejades, és cinètic (\(\mu_c = 0{,}6\)). Compara les distàncies de frenada. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Amb ABS: \(a = \mu_e\,g = 8\ \text{m/s}^2\); \(d = \dfrac{30^2}{2 \cdot 8} = \dfrac{900}{16} \approx 56{,}3\ \text{m}\)
    Bloquejat: \(a = \mu_c\,g = 6\ \text{m/s}^2\); \(d = \dfrac{900}{12} = 75\ \text{m}\)
    ABS: \(\approx 56\ \text{m}\); bloquejat: \(75\ \text{m}\). No derrapar aprofita el fregament estàtic, que és més gran.
PAS 7

A la rampa, el pes es divideix en dos

En un pla inclinat d'angle \(\theta\), és útil descompondre el pes en dues parts. Una queda al llarg de la rampa, \(P\,\sin\,\theta\), i estira el bloc cap avall, mentre que l'altra, perpendicular a la rampa, \(P\cos\theta\), prem el bloc contra la rampa i queda equilibrada per la normal.

Si negligim el fregament, el bloc baixa amb \(a = g\,\sin\,\theta\), sigui quina sigui la massa. Amb fregament, només comença a lliscar quan \(P\,\sin\,\theta\) supera \(\mu_e\,P\cos\theta\), és a dir, quan \(\tan\,\theta > \mu_e\).

\(P_x = P\,\sin\,\theta\)\(N = P\cos\theta\)\(a = g\,(\sin\,\theta - \mu_c\cos\theta)\)\(\tan\,\theta_{\text{crític}} = \mu_e\)Sense fregament, \(a = g\,\sin\,\theta\), i l'angle en què el bloc comença a lliscar no depèn de la massa.

pes i components   normal   fregament

Per comentar

  • Amb fusta, augmenta l'angle a poc a poc, grau a grau, i anota en quin angle el bloc comença a lliscar. Aquest valor sembla que coincideix amb l'«angle crític»?
  • Canvia la massa i repeteix l'experiència. Canvia l'angle crític que mesurem?
  • Sense fregament i a 30°, l'acceleració fa 5 m/s²? I quant val a 90°, quan la rampa queda vertical?
  • Quan el bloc ja ha començat a baixar, redueix una mica l'angle i mira si s'atura. Per què cal reduir-lo força?
P·sin θ (al llarg)
N = P·cos θ
Fregament
Acceleració
Angle crític
Velocitat
Exercicis del pas 7 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un bloc de \(4\ \text{kg}\) és en un pla inclinat de \(30^\circ\), sense fregament. Calcula el pes, la component al llarg del pla i la normal. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(\sin\,30^\circ = 0{,}5\) i \(\cos 30^\circ \approx 0{,}87\).

    Mostra la resolució
    \(P = 4 \cdot 10 = 40\ \text{N}\)
    \(P_x = P\,\sin\,30^\circ = 40 \cdot 0{,}5 = 20\ \text{N}\)
    \(N = P\,\cos 30^\circ \approx 40 \cdot 0{,}87 \approx 34{,}6\ \text{N}\)
    \(P = 40\ \text{N}\); \(P_x = 20\ \text{N}\); \(N \approx 34{,}6\ \text{N}\).
  2. bàsic

    Quina és l'acceleració d'un bloc que llisca, sense fregament, per una rampa de \(30^\circ\)? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(a = g\,\sin\,\theta = 10 \cdot 0{,}5\)
    \(a = 5\ \text{m/s}^2\) (no depèn de la massa).
  3. bàsic

    Quan augmentem l'angle d'una rampa, la força normal sobre el bloc augmenta o disminueix? I la component del pes al llarg de la rampa?

    Mostra la resolució
    Com que \(N = P\cos\theta\) i el cosinus disminueix quan \(\theta\) augmenta, la normal disminueix (val zero a \(90^\circ\)).
    Com que \(P_x = P\,\sin\,\theta\) i el sinus augmenta, la component al llarg de la rampa augmenta.
    La normal disminueix i la component al llarg de la rampa augmenta.
  4. bàsic

    Un bloc baixa sense fregament per una rampa amb \(\sin\,\theta = 0{,}6\) (\(\theta \approx 37^\circ\)). Quina és l'acceleració? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(a = g\,\sin\,\theta = 10 \cdot 0{,}6\)
    \(a = 6\ \text{m/s}^2\)
  5. mitjà

    Un bloc de \(10\ \text{kg}\) llisca cap avall per una rampa amb \(\sin\,\theta = 0{,}6\) i \(\cos\theta = 0{,}8\), amb \(\mu_c = 0{,}25\). Quina és l'acceleració? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(P_x = 100 \cdot 0{,}6 = 60\ \text{N}\); \(N = 100 \cdot 0{,}8 = 80\ \text{N}\)
    \(f_c = 0{,}25 \cdot 80 = 20\ \text{N}\), rampa amunt.
    \(a = \dfrac{60 - 20}{10}\)
    \(a = 4\ \text{m/s}^2\)
  6. mitjà

    Un bloc de \(2\ \text{kg}\) està aturat en una rampa de \(30^\circ\). Quant val el fregament sobre el bloc, i en quin sentit? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Amb el bloc aturat, la resultant al llarg de la rampa és zero.
    El fregament estàtic equilibra \(P_x = 20 \cdot 0{,}5 = 10\ \text{N}\).
    \(f_e = 10\ \text{N}\), cap amunt al llarg de la rampa.
  7. mitjà

    Una caixa sobre un tauló comença a lliscar quan el tauló arriba a \(37^\circ\) (\(\tan\,37^\circ \approx 0{,}75\)). Quin és el coeficient de fregament estàtic?

    Mostra la resolució
    En l'angle en què la caixa comença a lliscar, \(P\,\sin\,\theta = \mu_e\,P\cos\theta\).
    \(\mu_e = \tan\,\theta \approx 0{,}75\)
    \(\mu_e \approx 0{,}75\)
  8. mitjà

    Dues caixes del mateix material, una d'\(1\ \text{kg}\) i una altra de \(10\ \text{kg}\), són sobre el mateix tauló, que anem inclinant. Quina llisca primer?

    Mostra la resolució
    La condició per lliscar és \(\tan\,\theta > \mu_e\), en què la massa se simplifica, perquè apareix a \(P_x\) i a \(N\).
    Totes dues llisquen en el mateix angle.
  9. repte

    Un bloc surt del repòs dalt d'una rampa sense fregament de \(30^\circ\) i \(10\ \text{m}\) de llargada. Amb quina velocitat arriba a baix i en quant de temps? Compara-ho amb la caiguda lliure des de la mateixa altura. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(a = 10 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(v = \sqrt{2\,a\,L} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 10} = 10\ \text{m/s}\); \(t = \dfrac{v}{a} = 2\ \text{s}\)
    Altura: \(h = 10 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{m}\). En caiguda lliure, \(v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10\ \text{m/s}\), en \(1\ \text{s}\).
    \(v = 10\ \text{m/s}\) en \(2\ \text{s}\): la mateixa velocitat final que en caiguda lliure, però tarda el doble de temps.
  10. repte

    Volem empènyer una caixa de \(50\ \text{kg}\) rampa amunt, amb velocitat constant, en una rampa amb \(\sin\,\theta = 0{,}6\), \(\cos\theta = 0{,}8\) i \(\mu_c = 0{,}5\). Quina força paral·lela a la rampa cal? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(P_x = 500 \cdot 0{,}6 = 300\ \text{N}\) (rampa avall)
    \(N = 500 \cdot 0{,}8 = 400\ \text{N}\); \(f_c = 0{,}5 \cdot 400 = 200\ \text{N}\) (en pujar, el fregament apunta cap avall)
    Amb velocitat constant, \(F = P_x + f_c = 300 + 200\)
    \(F = 500\ \text{N}\)
PAS 8

Diversos blocs, una sola acceleració

Quan uns blocs es mouen junts (en contacte, o units per un fil tens), tots tenen la mateixa acceleració. El truc que fem servir és fer dos càlculs, un amb el sistema sencer (per trobar \(a\)) i un altre amb un sol bloc (per trobar la força entre ells).

Amb blocs en contacte, la força \(F\) accelera tots dos, i el del darrere empeny el del davant amb la força de contacte, mentre que en el cas del bloc sobre la taula + bloc penjat només el pes del penjat estira el sistema. En la màquina d'Atwood, amb dos blocs en una politja, és la diferència dels pesos el que accelera les dues masses.

En contacte: \(a = \dfrac{F}{m_1 + m_2}\), \(F_c = m_2\,a\)Taula: \(a = \dfrac{m_2\,g}{m_1 + m_2}\), \(T = m_1\,a\)Atwood: \(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2}\)\(T = \dfrac{2\,m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2}\)Suposem un fil ideal (sense massa, que no s'estira) i una politja ideal, de manera que la tensió és la mateixa als dos extrems, i negligim el fregament. Fem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

pes   normal   tensió   força aplicada   contacte

Per comentar

  • En el mode «taula», la tensió és més gran o més petita que el pes del bloc penjat? La nostra intuïció tendeix a dir que són iguals; fes la teva aposta i comprova-ho als diagrames.
  • A l'Atwood, posa masses iguals i mira què passa. I amb 3 kg i 2 kg, l'acceleració que mesurem fa 2 m/s²?
  • Amb els blocs en contacte, intercanvia les masses. Canvia l'acceleració? I què passa amb la força de contacte?
  • En cada diagrama, la suma de les forces que veiem dona exactament \(m \cdot a\) d'aquell bloc?
Acceleració
Tensió
Pes del bloc 1
Pes del bloc 2
Velocitat
Exercicis del pas 8 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Dos blocs en contacte, A (\(3\ \text{kg}\)) i B (\(2\ \text{kg}\)), són sobre una taula sense fregament. Una força de \(20\ \text{N}\) empeny A, que empeny B. Quines són l'acceleració i la força de contacte entre ells?

    Mostra la resolució
    Sistema: \(a = \dfrac{F}{m_A + m_B} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{m/s}^2\)
    L'única força horitzontal sobre B és la de contacte, \(F_c = m_B\,a = 2 \cdot 4 = 8\ \text{N}\)
    \(a = 4\ \text{m/s}^2\); força de contacte \(8\ \text{N}\).
  2. bàsic

    En la situació anterior, la mateixa força de \(20\ \text{N}\) passa a empènyer el bloc B (de \(2\ \text{kg}\)), que empeny A. Quina és ara la força de contacte?

    Mostra la resolució
    L'acceleració no canvia, \(a = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{m/s}^2\).
    Ara qui és empès pel contacte és A, amb \(F_c = m_A\,a = 3 \cdot 4 = 12\ \text{N}\).
    \(F_c = 12\ \text{N}\): és més gran quan s'empeny pel costat del bloc més lleuger.
  3. bàsic

    En una màquina d'Atwood, hi pengem blocs de \(3\ \text{kg}\) i \(2\ \text{kg}\). Quina és l'acceleració? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2} = \dfrac{(3 - 2) \cdot 10}{5}\)
    \(a = 2\ \text{m/s}^2\) (el de \(3\ \text{kg}\) baixa).
  4. bàsic

    En una màquina d'Atwood amb masses iguals, un dels blocs rep una petita empenta. Què passa després?

    Mostra la resolució
    Amb masses iguals, \(a = \dfrac{(m - m)\,g}{2m} = 0\).
    Amb acceleració nul·la, la velocitat es manté constant (1a llei).
    Els blocs continuen amb la velocitat que han adquirit, constant.
  5. mitjà

    Un bloc de \(6\ \text{kg}\) és sobre una taula sense fregament, unit per un fil (que passa per una politja a la vora) a un bloc de \(2\ \text{kg}\) penjat. Calcula l'acceleració i la tensió. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Només el pes del bloc penjat mou el sistema, i \(a = \dfrac{m_2\,g}{m_1 + m_2} = \dfrac{20}{8} = 2{,}5\ \text{m/s}^2\)
    Bloc de la taula: \(T = m_1\,a = 6 \cdot 2{,}5 = 15\ \text{N}\)
    Comprovació amb el penjat: \(20 - 15 = 2 \cdot 2{,}5\) ✓
    \(a = 2{,}5\ \text{m/s}^2\); \(T = 15\ \text{N}\).
  6. mitjà

    A la màquina d'Atwood amb \(3\ \text{kg}\) i \(2\ \text{kg}\) (\(a = 2\ \text{m/s}^2\)), quina és la tensió del fil? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Bloc de 2 kg (puja): \(T - 20 = 2 \cdot 2\) \(\Rightarrow T = 24\ \text{N}\)
    Comprovació amb el de 3 kg (baixa): \(30 - T = 3 \cdot 2\) \(\Rightarrow T = 24\ \text{N}\) ✓
    Amb la fórmula: \(T = \dfrac{2\,m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 10}{5} = 24\ \text{N}\)
    \(T = 24\ \text{N}\)
  7. mitjà

    Una locomotora estira dos vagons de \(1000\ \text{kg}\) cadascun, units per enganxalls, amb una acceleració de \(0{,}5\ \text{m/s}^2\) i sense fregament. Quina és la força a l'enganxall locomotora–vagó 1 i a l'enganxall vagó 1–vagó 2?

    Mostra la resolució
    L'enganxall locomotora–vagó 1 estira ELS DOS vagons, per tant \(T_1 = 2000 \cdot 0{,}5 = 1000\ \text{N}\)
    L'enganxall vagó 1–vagó 2 només estira l'últim, per tant \(T_2 = 1000 \cdot 0{,}5 = 500\ \text{N}\)
    \(T_1 = 1000\ \text{N}\); \(T_2 = 500\ \text{N}\).
  8. mitjà

    En el sistema «bloc sobre la taula + bloc penjat», la tensió del fil és més gran, més petita o igual que el pes del bloc penjat mentre baixa accelerant? Per què?

    Mostra la resolució
    El bloc penjat accelera cap avall, de manera que la resultant sobre ell apunta cap avall, amb \(P_2 - T = m_2\,a > 0\).
    Per tant \(T < P_2\). Si fossin iguals, no acceleraria.
    Més petita: \(T = P_2 - m_2\,a\).
  9. repte

    Un bloc de \(4\ \text{kg}\) sobre una taula amb \(\mu_c = 0{,}25\) està unit per un fil a un bloc penjat de \(2\ \text{kg}\). Calcula l'acceleració i la tensió. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Fregament sobre el bloc de la taula: \(f_c = 0{,}25 \cdot 40 = 10\ \text{N}\)
    Sistema: \(a = \dfrac{m_2\,g - f_c}{m_1 + m_2}\) \(= \dfrac{20 - 10}{6} \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2\)
    Bloc penjat: \(T = 20 - 2 \cdot 1{,}67 \approx 16{,}7\ \text{N}\)
    Comprovació amb la taula: \(T - 10 = 4 \cdot 1{,}67 \approx 6{,}7\) ✓
    \(a \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2\); \(T \approx 16{,}7\ \text{N}\).
  10. repte

    En una màquina d'Atwood amb \(5\ \text{kg}\) i \(3\ \text{kg}\), deixats anar des del repòs, el bloc més pesant és a \(1{,}0\ \text{m}\) del terra. Calcula l'acceleració, la tensió, el temps fins que toca a terra i la velocitat en aquell instant. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(a = \dfrac{(5 - 3) \cdot 10}{8} = 2{,}5\ \text{m/s}^2\)
    \(T = \dfrac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 10}{8} = 37{,}5\ \text{N}\)
    \(1{,}0 = \dfrac{2{,}5\,t^2}{2}\) \(\Rightarrow t = \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89\ \text{s}\)
    \(v = a\,t \approx 2{,}5 \cdot 0{,}894 \approx 2{,}24\ \text{m/s}\)
    \(a = 2{,}5\ \text{m/s}^2\); \(T = 37{,}5\ \text{N}\); \(t \approx 0{,}89\ \text{s}\); \(v \approx 2{,}24\ \text{m/s}\).
PAS 9

Treball i energia: què es conserva a la muntanya russa

Diem que una força fa treball quan desplaça un cos, i calculem \(\tau = F\,d\cos\theta\), en què \(\theta\) és l'angle entre la força i el desplaçament. Una força perpendicular al moviment no fa treball.

El treball transfereix energia. Un cos en moviment té energia cinètica \(E_c\), i un cos a dalt té energia potencial gravitatòria \(E_p\). El teorema de l'energia cinètica diu que el treball de la resultant és la variació d'\(E_c\).

Si negligim el fregament, l'energia mecànica \(E_c + E_p\) es conserva, i el vagonet canvia altura per velocitat i a l'inrevés, sense passar mai de l'altura d'on ha sortit; amb fregament, una part de l'energia es converteix en calor (energia dissipada), i la suma de les tres continua sent igual a l'energia inicial.

\(\tau = F\,d\cos\theta\)\(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2}\)\(E_p = m\,g\,h\)\(\tau_R = \Delta E_c\)\(E_c + E_p = \text{constant}\) (sense fregament)Mesurem l'energia i el treball en joules, \(1\ \text{J} = 1\ \text{N} \cdot \text{m}\). Sense fregament, \(v = \sqrt{2\,g\,(h_0 - h)}\), independentment de la massa.

potencial \(E_p\)   cinètica \(E_c\)   dissipada (calor)

Per comentar

  • Deixa anar el vagonet des de 8 m sense fregament i observa si la barra total canvia mentre es mou. En quin punt de la pista sembla que la velocitat és màxima?
  • El gep fa 5 m. Quina és l'altura inicial mínima que necessitem per superar-lo sense fregament? Val la pena provar 4,5 m i 5,5 m.
  • Activa el fregament i segueix les barres. On va l'energia que sembla que «desapareix» de les barres d'\(E_c\) i \(E_p\)?
  • Amb fregament, 6 m encara són suficients per superar el gep? De quina altura ens cal sortir, doncs?
  • Canvia la massa. Les energies canvien, però potser la velocitat a cada punt també canvia?
Altura
Velocitat
Cinètica Ec
Potencial Ep
Dissipada
Total
Exercicis del pas 9 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una persona empeny una caixa amb una força horitzontal de \(50\ \text{N}\) al llarg de \(4\ \text{m}\), en la direcció del moviment. Quin és el treball fet per aquesta força?

    Mostra la resolució
    La força i el desplaçament tenen el mateix sentit, i \(\cos 0^\circ = 1\).
    \(\tau = F\,d\cos\theta = 50 \cdot 4 \cdot 1\)
    \(\tau = 200\ \text{J}\)
  2. bàsic

    Quina és l'energia cinètica d'un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\)?

    Mostra la resolució
    \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2} = \dfrac{1000 \cdot 400}{2}\)
    \(E_c = 200\,000\ \text{J} = 200\ \text{kJ}\)
  3. bàsic

    Quina és l'energia potencial gravitatòria d'un test de \(2\ \text{kg}\) a \(5\ \text{m}\) de terra? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(E_p = m\,g\,h = 2 \cdot 10 \cdot 5\)
    \(E_p = 100\ \text{J}\)
  4. bàsic

    Una persona porta una motxilla caminant en línia recta en horitzontal, amb velocitat constant. La força que fa per aguantar la motxilla (vertical, cap amunt) fa treball?

    Mostra la resolució
    La força és vertical i el desplaçament és horitzontal, per tant \(\theta = 90^\circ\) i \(\cos 90^\circ = 0\).
    \(\tau = F\,d\cos 90^\circ = 0\)
    No: el treball d'aquesta força és zero (encara que la persona es cansi).
  5. mitjà

    Estirem un trineu al llarg de \(10\ \text{m}\) amb una corda que forma \(60^\circ\) amb el terra, amb una tensió de \(100\ \text{N}\). Quin és el treball de la tensió? (\(\cos 60^\circ = 0{,}5\))

    Mostra la resolució
    \(\tau = F\,d\cos\theta = 100 \cdot 10 \cdot 0{,}5\)
    Només la component horitzontal de la força (\(50\ \text{N}\)) fa treball.
    \(\tau = 500\ \text{J}\)
  6. mitjà

    Deixem anar una pilota des de \(20\ \text{m}\) d'altura. Si negligim l'aire, amb quina velocitat arriba a terra? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Per la conservació de l'energia, \(m\,g\,h = \dfrac{m\,v^2}{2}\) (la massa se simplifica).
    \(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = \sqrt{400}\)
    \(v = 20\ \text{m/s}\)
  7. mitjà

    Un vagonet de muntanya russa surt del repòs a \(45\ \text{m}\) d'altura. Sense fregament, quina velocitat té en un punt a \(25\ \text{m}\) d'altura? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(m\,g\,h_1 = m\,g\,h_2 + \dfrac{m\,v^2}{2}\)
    \(v = \sqrt{2\,g\,(h_1 - h_2)}\) \(= \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20}\) \(= \sqrt{400}\)
    \(v = 20\ \text{m/s}\)
  8. mitjà

    Un bloc de \(2\ \text{kg}\) passa de \(3\ \text{m/s}\) a \(7\ \text{m/s}\). Quin és el treball de la força resultant? Si ha actuat al llarg de \(8\ \text{m}\), quant val?

    Mostra la resolució
    Pel teorema de l'energia cinètica, \(\tau_R = \Delta E_c\) \(= \dfrac{2 \cdot 7^2}{2} - \dfrac{2 \cdot 3^2}{2}\) \(= 49 - 9\) \(= 40\ \text{J}\)
    \(F_R = \dfrac{\tau}{d} = \dfrac{40}{8} = 5\ \text{N}\)
    \(\tau = 40\ \text{J}\); \(F_R = 5\ \text{N}\).
  9. repte

    Un patinador de \(50\ \text{kg}\) surt del repòs dalt d'una rampa de \(5\ \text{m}\) d'altura i arriba a baix a \(8\ \text{m/s}\). Quanta energia s'ha dissipat? Quina fracció de l'energia inicial representa? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Inicial: \(E_p = 50 \cdot 10 \cdot 5 = 2500\ \text{J}\)
    Final: \(E_c = \dfrac{50 \cdot 64}{2} = 1600\ \text{J}\)
    Dissipada: \(2500 - 1600 = 900\ \text{J}\); fracció \(\dfrac{900}{2500} = 0{,}36\)
    \(900\ \text{J}\), és a dir, el \(36\%\) de l'energia inicial (s'ha convertit en calor i so).
  10. repte

    Un bloc de \(2\ \text{kg}\) és llançat a \(6\ \text{m/s}\) sobre un terra horitzontal amb \(\mu_c = 0{,}3\). Fent servir l'energia, calcula quina distància recorre fins que s'atura. I si la velocitat inicial es dobla? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    \(E_c = \dfrac{2 \cdot 36}{2} = 36\ \text{J}\); \(f_c = 0{,}3 \cdot 20 = 6\ \text{N}\)
    El treball del fregament consumeix tota l'\(E_c\), i \(f_c\,d = 36\) \(\Rightarrow d = 6\ \text{m}\)
    Amb \(12\ \text{m/s}\): \(E_c = 144\ \text{J}\) (4 vegades), \(d = 24\ \text{m}\)
    \(d = 6\ \text{m}\); doblant la velocitat, \(d = 24\ \text{m}\) (4 vegades més).
PAS 10

Aturar-se a poc a poc fa menys mal: impuls i quantitat de moviment

Anomenem quantitat de moviment el producte de la massa per la velocitat, \(\vec Q = m\,\vec v\). És un vector, amb el mateix sentit que la velocitat, i per això una pilota que rebota després de xocar amb la paret passa a tenir \(Q\) amb el signe canviat.

Per canviar la quantitat de moviment d'un cos, hem d'aplicar una força durant un cert temps. El producte \(\vec F\,\Delta t\) s'anomena impuls i, quan la força varia, l'impuls és l'àrea sota el gràfic \(F \times t\). De la 2a llei, \(F = m\,\Delta v/\Delta t\), en traiem el teorema de l'impuls, segons el qual l'impuls de la resultant és igual a la variació de la quantitat de moviment.

Pensem en un ou que cau des d'una certa altura i arriba a terra amb una quantitat de moviment ben definida, que ha de perdre per aturar-se, tant si cau sobre formigó com sobre un matalàs. La \(\Delta Q\) és la mateixa en tots dos casos, i el que veiem canviar és el temps de l'aturada. Com que \(F_{\text{mitjana}} = \Delta Q/\Delta t\), un xoc deu vegades més llarg requereix una força deu vegades més petita.

\(\vec Q = m\,\vec v\)\(\vec I = \vec F\,\Delta t\)\(I = \text{àrea del gràfic } F \times t\)\(\vec I_R = \Delta \vec Q = m\,\vec v_f - m\,\vec v_i\)\(F_{\text{mitjana}} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}\)Mesurem \(Q\) en kg·m/s i \(I\) en N·s, que són la mateixa unitat. A la simulació, l'ou té 60 g i s'atura sense rebotar; com que el seu pes (0,6 N) és petit al costat de la força del terra durant el xoc, tractem la força del terra com la resultant.

Aquest és el principi de l'airbag, del matalàs de gimnàstica, del guant del porter i de doblegar els genolls en caure d'un salt. En aquests casos, la quantitat de moviment que cal perdre continua sent la mateixa, i el que guanyem és temps d'aturada, amb una força de pic molt més petita. La nostra intuïció tendeix a atribuir la protecció a la tovor del material, i potser és més útil pensar-hi com una manera d'allargar el temps del xoc, ja que és aquest temps el que divideix la \(\Delta Q\) i decideix la mida de la força.

formigó   gespa   matalàs

Per comentar

  • Deixa caure l'ou des d'1,8 m sobre formigó, després sobre gespa i sobre el matalàs. Sembla que les tres àrees sota les corbes són iguals? Comprova els valors escrits al gràfic.
  • Compara els pics de força. Quantes vegades és més gran el pic sobre formigó que sobre el matalàs, i quantes vegades és més llarg el xoc sobre el matalàs? Sembla que les dues raons són iguals?
  • Sobre gespa, busca l'altura més gran des de la qual l'ou encara sobreviu, baixant l'altura a poc a poc. Suposem que la closca s'esquerda amb uns 25 N, un valor que només serveix com a ordre de magnitud.
  • Passa l'altura de 0,8 m a 3,2 m, quatre vegades més. Què passa amb la velocitat d'arribada, amb l'àrea i amb el pic de força? Potser la resposta no és «quatre vegades».
Velocitat en arribar
Quantitat de moviment
Impuls (àrea)
Durada del xoc
Pic de la força
Força mitjana
Exercicis del pas 10 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Quina és la quantitat de moviment d'una pilota de \(0{,}4\ \text{kg}\) a \(15\ \text{m/s}\)? I la d'un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\)?

    Mostra la resolució
    En cada cas, multipliquem la massa per la velocitat.
    Pilota: \(Q = m\,v = 0{,}4 \cdot 15 = 6\ \text{kg·m/s}\)
    Cotxe: \(Q = 1000 \cdot 20 = 20\,000\ \text{kg·m/s}\)
    \(6\ \text{kg·m/s}\) per a la pilota i \(20\,000\ \text{kg·m/s}\) per al cotxe, en el sentit del moviment de cadascun.
  2. bàsic

    Una força constant de \(50\ \text{N}\) actua sobre un cos durant \(0{,}2\ \text{s}\). Quin és l'impuls d'aquesta força?

    Mostra la resolució
    Amb la força constant, l'impuls és el producte de la força pel temps.
    \(I = F\,\Delta t = 50 \cdot 0{,}2\)
    \(I = 10\ \text{N·s}\), en el sentit de la força.
  3. bàsic

    En agafar una pilota forta, el porter fa recular les mans juntament amb la pilota, i el guant té una escuma gruixuda. Per què això li protegeix les mans?

    Mostra la resolució
    La pilota ha de perdre tota la seva quantitat de moviment, i aquesta \(\Delta Q\) no depèn de com l'agafi el porter.
    Fent recular les mans i deixant que l'escuma s'enfonsi, augmenta el temps \(\Delta t\) de l'aturada.
    Com que \(F_{\text{mitjana}} = \Delta Q/\Delta t\), un temps més llarg vol dir una força més petita a les mans.
    La \(\Delta Q\) és la mateixa; amb més temps d'aturada, la força sobre les mans és més petita.
  4. bàsic

    Un carretó de \(2\ \text{kg}\), inicialment en repòs, rep un impuls de \(8\ \text{N·s}\). Amb quina velocitat surt?

    Mostra la resolució
    Pel teorema de l'impuls, \(I = \Delta Q = m\,v - 0\).
    \(v = \dfrac{I}{m} = \dfrac{8}{2}\)
    \(v = 4\ \text{m/s}\), en el sentit de l'impuls.
  5. mitjà

    Una pilota de \(0{,}5\ \text{kg}\) xoca de cara amb una paret a \(10\ \text{m/s}\) i torna a \(8\ \text{m/s}\) en la mateixa direcció. Quin és el mòdul de la variació de la quantitat de moviment? Si el contacte ha durat \(0{,}03\ \text{s}\), quina ha estat la força mitjana de la paret?

    Mostra la resolució
    Prenem com a positiu el sentit en què arriba la pilota.
    \(Q_i = 0{,}5 \cdot 10 = 5\ \text{kg·m/s}\) i \(Q_f = 0{,}5 \cdot (-8) = -4\ \text{kg·m/s}\)
    \(\Delta Q = -4 - 5 = -9\ \text{kg·m/s}\), és a dir, \(9\ \text{kg·m/s}\) apuntant cap a fora de la paret.
    \(F_{\text{mitjana}} = \dfrac{9}{0{,}03} = 300\ \text{N}\)
    \(|\Delta Q| = 9\ \text{kg·m/s}\); \(F_{\text{mitjana}} = 300\ \text{N}\). Com que la pilota torna, les dues velocitats se sumen a la \(\Delta Q\).
  6. mitjà

    En un xut, la força del peu sobre una pilota de \(0{,}2\ \text{kg}\), aturada, puja de zero a \(400\ \text{N}\) en \(0{,}01\ \text{s}\) i torna a zero en \(0{,}01\ \text{s}\) més, formant un triangle en el gràfic \(F \times t\). Quin és l'impuls, i amb quina velocitat surt la pilota?

    Mostra la resolució
    L'impuls és l'àrea del triangle, de base \(0{,}02\ \text{s}\) i altura \(400\ \text{N}\).
    \(I = \dfrac{0{,}02 \cdot 400}{2} = 4\ \text{N·s}\)
    \(v = \dfrac{I}{m} = \dfrac{4}{0{,}2} = 20\ \text{m/s}\)
    \(I = 4\ \text{N·s}\); la pilota surt a \(20\ \text{m/s}\).
  7. mitjà

    Una persona de \(70\ \text{kg}\) salta d'un mur i arriba a terra a \(4\ \text{m/s}\). Amb les cames estirades, s'atura en \(0{,}05\ \text{s}\); doblegant els genolls, en \(0{,}4\ \text{s}\). Quina és la força resultant mitjana en cada cas?

    Mostra la resolució
    En tots dos casos, la persona perd \(\Delta Q = 70 \cdot 4 = 280\ \text{kg·m/s}\).
    Cames estirades: \(F = \dfrac{280}{0{,}05} = 5600\ \text{N}\)
    Genolls doblegats: \(F = \dfrac{280}{0{,}4} = 700\ \text{N}\)
    El temps s'ha fet 8 vegades més llarg, i la força 8 vegades més petita.
    \(5600\ \text{N}\) amb les cames estirades i \(700\ \text{N}\) doblegant els genolls.
  8. mitjà

    En un xoc a \(20\ \text{m/s}\), un passatger de \(60\ \text{kg}\) és frenat per l'airbag en \(0{,}2\ \text{s}\). Sense airbag, xocaria contra el tauler i s'aturaria en \(0{,}02\ \text{s}\). Compara les forces mitjanes sobre ell.

    Mostra la resolució
    En qualsevol cas, \(\Delta Q = 60 \cdot 20 = 1200\ \text{kg·m/s}\).
    Amb airbag: \(F = \dfrac{1200}{0{,}2} = 6000\ \text{N}\)
    Sense airbag: \(F = \dfrac{1200}{0{,}02} = 60\,000\ \text{N}\)
    \(6000\ \text{N}\) amb airbag i \(60\,000\ \text{N}\) sense, una força 10 vegades més gran.
  9. repte

    Un ou de \(60\ \text{g}\) cau des d'\(1{,}8\ \text{m}\) i arriba a terra a \(6\ \text{m/s}\). S'atura en \(0{,}1\ \text{s}\) sobre un matalàs o en \(0{,}004\ \text{s}\) sobre formigó. Quina és la força mitjana que fa la superfície sobre l'ou en cada cas, tenint en compte el pes? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    L'impuls de la resultant és \(\Delta Q = 0{,}06 \cdot 6 = 0{,}36\ \text{kg·m/s}\), i la resultant és la força de la superfície menys el pes, \(F - m\,g\).
    Així, \(F = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} + m\,g\), amb \(m\,g = 0{,}6\ \text{N}\).
    Matalàs: \(F = \dfrac{0{,}36}{0{,}1} + 0{,}6 = 3{,}6 + 0{,}6 = 4{,}2\ \text{N}\)
    Formigó: \(F = \dfrac{0{,}36}{0{,}004} + 0{,}6 = 90 + 0{,}6 = 90{,}6\ \text{N}\)
    Sobre formigó, el pes representa menys de l'1% del càlcul, i per això en xocs ràpids acostumem a negligir-lo.
    \(4{,}2\ \text{N}\) sobre el matalàs i \(90{,}6\ \text{N}\) sobre el formigó.
  10. repte

    Una mànega llança \(2\ \text{kg}\) d'aigua per segon, a \(10\ \text{m/s}\), contra una paret. L'aigua hi xoca i en regalima, perdent tota la velocitat horitzontal. Quina força fa l'aigua sobre la paret?

    Mostra la resolució
    Cada segon, \(2\ \text{kg}\) d'aigua perden \(10\ \text{m/s}\) en horitzontal.
    \(\Delta Q\) per segon: \(2 \cdot 10 = 20\ \text{kg·m/s}\)
    La paret fa sobre l'aigua \(F = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{20}{1} = 20\ \text{N}\) i, per la 3a llei, l'aigua empeny la paret amb la mateixa força.
    \(F = 20\ \text{N}\), empenyent la paret.
PAS 11

Col·lisions: què es conserva quan dos cossos xoquen

En un sistema aïllat, en què la resultant de les forces externes és nul·la (o negligible durant el xoc), la quantitat de moviment total es conserva. Durant la col·lisió, cada carretó empeny l'altre amb forces iguals i oposades (3a llei) durant el mateix temps, de manera que els impulsos s'anul·len i podem dir que el que un guanya de \(Q\) l'altre ho perd.

Fem servir el coeficient de restitució \(e\) per comparar la velocitat amb què els cossos s'allunyen després del xoc amb la velocitat amb què s'acostaven abans. Amb \(e = 1\), la col·lisió és elàstica; amb \(0 < e < 1\), parcialment elàstica; i amb \(e = 0\), perfectament inelàstica, i els cossos surten enganxats.

L'energia cinètica només es conserva en la col·lisió elàstica. En les altres, una part es converteix en calor, so i deformació, tot i que la quantitat de moviment total continua sent la mateixa. Si llancem l'una contra l'altra dues boles iguals de plastilina, amb velocitats oposades, s'aturen juntes, amb \(Q = 0\) abans i després i sense gens d'\(E_c\) restant.

\(Q_{\text{abans}} = Q_{\text{després}}\)\(m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1^{\prime} + m_2 v_2^{\prime}\)\(e = \dfrac{v_2^{\prime} - v_1^{\prime}}{v_1 - v_2}\)\(e = 0:\ v^{\prime} = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\)Les velocitats tenen signe (positiu cap a la dreta). Suposem el carril sense fregament i el xoc frontal, en una sola direcció. Amb \(e = 1\) i masses iguals, els cossos s'intercanvien la velocitat.

Amb la mateixa conservació expliquem el retrocés d'una arma o d'un canó. Abans del tret, \(Q = 0\); després, la bala va cap endavant amb quantitat de moviment \(m\,v\) i el canó va cap enrere amb la mateixa quantitat, però amb una velocitat molt més petita, perquè la seva massa és molt més gran. Els patinadors del pas 4, que s'empenyen a partir del repòs, són el mateix cas.

En el pèndol de Newton, quan deixem anar una esfera d'un costat, en surt una sola de l'altre, amb la mateixa velocitat. Dues esferes amb la meitat de la velocitat tindrien la mateixa \(Q\), però només la meitat de l'energia cinètica, i les col·lisions entre esferes d'acer, típicament gairebé elàstiques, no permeten aquesta pèrdua.

carretó 1   carretó 2   total

Per comentar

  • A «Elàstica, masses iguals», mira les velocitats abans i després del xoc. Què sembla que s'han intercanviat els carretons?
  • A «S'enganxen», compara les barres de \(Q\) i d'\(E_c\) abans i després. Quin total s'ha mantingut, i on deu haver anat l'energia que sembla que falta?
  • A «Cara a cara», tots dos s'aturen. La quantitat de moviment total ha desaparegut, o ja era zero abans del xoc?
  • Amb el carretó lleuger contra el molt pesant, el lleuger torna gairebé amb la velocitat que tenia. Per què aquest cas recorda tant una pilota que xoca contra una paret?
  • Porta \(e\) d'1 a 0 sense canviar res més i segueix la barra d'\(E_c\) després del xoc. La barra de \(Q\) total canvia en algun moment?
Q total abans
Q total després
Ec total abans
Ec total després
v₁ després
v₂ després
Exercicis del pas 11 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un carretó de \(2\ \text{kg}\) a \(3\ \text{m/s}\) xoca amb un carretó d'\(1\ \text{kg}\) aturat, i tots dos surten enganxats. Amb quina velocitat continuen? Negligeix el fregament.

    Mostra la resolució
    Sense fregament, la quantitat de moviment total es conserva.
    \(2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = (2 + 1)\,v\)
    \(v = \dfrac{6}{3}\)
    \(v = 2\ \text{m/s}\), en el sentit en què anava el primer carretó.
  2. bàsic

    Què es conserva en una col·lisió elàstica (\(e = 1\)) i en una col·lisió perfectament inelàstica (\(e = 0\)) entre dos cossos d'un sistema aïllat?

    Mostra la resolució
    En un sistema aïllat, la quantitat de moviment total es conserva en qualsevol col·lisió.
    L'energia cinètica total només es conserva en l'elàstica; en la perfectament inelàstica els cossos s'enganxen i una part de l'\(E_c\) es converteix en calor, so i deformació.
    Elàstica: \(Q\) i \(E_c\). Perfectament inelàstica: només \(Q\).
  3. bàsic

    Un canó de \(500\ \text{kg}\), aturat, dispara una bala de \(5\ \text{kg}\) a \(200\ \text{m/s}\). Si negligim el fregament amb el terra, amb quina velocitat recula el canó?

    Mostra la resolució
    Abans del tret, \(Q = 0\), i el total continua sent zero després.
    \(0 = 5 \cdot 200 + 500 \cdot v_c\)
    \(v_c = -\dfrac{1000}{500} = -2\ \text{m/s}\)
    El canó recula a \(2\ \text{m/s}\), en sentit oposat al de la bala.
  4. bàsic

    Una bola de billar a \(2\ \text{m/s}\) xoca de cara amb una bola igual, aturada, en una col·lisió elàstica. Què passa amb cada bola?

    Mostra la resolució
    En una col·lisió elàstica entre masses iguals, els cossos s'intercanvien la velocitat.
    La primera s'atura, i la segona surt a \(2\ \text{m/s}\).
    Comprovació: \(Q\) abans \(= m \cdot 2\) i després \(= m \cdot 2\); \(E_c\) abans \(= \dfrac{m \cdot 4}{2}\) i després també.
    La bola que venia s'atura, i l'altra surt a \(2\ \text{m/s}\).
  5. mitjà

    Dos carretons d'\(1\ \text{kg}\) xoquen de cara. Abans, el carretó 1 va a \(4\ \text{m/s}\) i el 2 està aturat; després, l'1 continua a \(1\ \text{m/s}\) i el 2 a \(3\ \text{m/s}\), en el mateix sentit. Quin és el coeficient de restitució, i quanta energia cinètica s'ha perdut?

    Mostra la resolució
    Primer comprovem la conservació: \(1 \cdot 4 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3\) ✓
    \(e = \dfrac{v_2^{\prime} - v_1^{\prime}}{v_1 - v_2}\) \(= \dfrac{3 - 1}{4 - 0}\) \(= 0{,}5\)
    \(E_c\) abans \(= \dfrac{1 \cdot 16}{2} = 8\ \text{J}\); després \(= \dfrac{1 \cdot 1}{2} + \dfrac{1 \cdot 9}{2} = 5\ \text{J}\)
    \(e = 0{,}5\); s'han perdut \(3\ \text{J}\) (el 37,5% de l'energia cinètica).
  6. mitjà

    En el primer exercici d'aquest pas (\(2\ \text{kg}\) a \(3\ \text{m/s}\) contra \(1\ \text{kg}\) aturat, que s'enganxen), quant val l'energia cinètica abans i després del xoc?

    Mostra la resolució
    Abans: \(E_c = \dfrac{2 \cdot 3^2}{2} = 9\ \text{J}\)
    Després, tots dos continuen junts a \(2\ \text{m/s}\), i \(E_c = \dfrac{3 \cdot 2^2}{2} = 6\ \text{J}\)
    S'han perdut \(3\ \text{J}\), un terç de l'energia inicial, en calor, so i deformació.
    \(9\ \text{J}\) abans i \(6\ \text{J}\) després.
  7. mitjà

    Un carretó de \(3\ \text{kg}\) a \(2\ \text{m/s}\) cap a la dreta xoca de cara amb un de \(2\ \text{kg}\) a \(4\ \text{m/s}\) cap a l'esquerra, i s'enganxen. Quina és la velocitat final del conjunt, i quanta energia cinètica queda?

    Mostra la resolució
    Amb la dreta positiva, \(Q = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 - 8 = -2\ \text{kg·m/s}\).
    \(v = \dfrac{-2}{5} = -0{,}4\ \text{m/s}\)
    \(E_c\) abans \(= \dfrac{3 \cdot 4}{2} + \dfrac{2 \cdot 16}{2} = 6 + 16 = 22\ \text{J}\); després \(= \dfrac{5 \cdot 0{,}16}{2} = 0{,}4\ \text{J}\)
    \(v = 0{,}4\ \text{m/s}\) cap a l'esquerra; només en queden \(0{,}4\ \text{J}\) dels \(22\ \text{J}\).
  8. mitjà

    En el pèndol de Newton, deixem anar una esfera d'un costat i en surt una sola de l'altre, amb la mateixa velocitat. Per què no en surten dues amb la meitat de la velocitat, si això també conservaria la quantitat de moviment?

    Mostra la resolució
    Amb una esfera a \(v\): \(Q = m\,v\) i \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2}\).
    Amb dues esferes a \(v/2\): \(Q = 2m \cdot \dfrac{v}{2} = m\,v\) ✓, però \(E_c = \dfrac{2m}{2}\left(\dfrac{v}{2}\right)^2 = \dfrac{m\,v^2}{4}\), només la meitat.
    Les col·lisions entre esferes d'acer són gairebé elàstiques i també conserven l'energia cinètica, i l'única sortida que conserva \(Q\) i \(E_c\) alhora és una esfera amb la mateixa velocitat.
    Dues esferes a \(v/2\) perdrien la meitat de l'energia cinètica, cosa que una col·lisió gairebé elàstica no permet.
  9. repte

    Una bala de \(10\ \text{g}\) a \(400\ \text{m/s}\) es clava en un bloc d'\(1{,}99\ \text{kg}\) penjat d'un fil (pèndol balístic). Amb quina velocitat comença a moure's el conjunt, fins a quina altura puja i quina fracció de l'energia cinètica de la bala es perd en el xoc? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    En el xoc, la quantitat de moviment es conserva: \(0{,}01 \cdot 400 = (0{,}01 + 1{,}99)\,v\) \(\Rightarrow v = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{m/s}\)
    Després del xoc, sense fregament, l'energia mecànica es conserva: \(h = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2\ \text{m}\)
    \(E_c\) de la bala \(= \dfrac{0{,}01 \cdot 400^2}{2} = 800\ \text{J}\); just després del xoc, \(\dfrac{2 \cdot 2^2}{2} = 4\ \text{J}\)
    \(v = 2\ \text{m/s}\); puja \(0{,}2\ \text{m}\); es perd el \(99{,}5\%\) de l'energia cinètica.
  10. repte

    Un carretó d'\(1\ \text{kg}\) a \(6\ \text{m/s}\) xoca de cara amb un carretó de \(2\ \text{kg}\) aturat, en una col·lisió elàstica. Calcula les velocitats després del xoc i comprova l'energia cinètica.

    Mostra la resolució
    Conservació: \(1 \cdot 6 = 1 \cdot v_1^{\prime} + 2\,v_2^{\prime}\)
    Amb \(e = 1\): \(v_2^{\prime} - v_1^{\prime} = 6 - 0 = 6\)
    Substituint \(v_1^{\prime} = v_2^{\prime} - 6\): \(6 = v_2^{\prime} - 6 + 2\,v_2^{\prime}\) \(\Rightarrow v_2^{\prime} = 4\ \text{m/s}\) i \(v_1^{\prime} = -2\ \text{m/s}\)
    \(E_c\): abans \(\dfrac{1 \cdot 36}{2} = 18\ \text{J}\); després \(\dfrac{1 \cdot 4}{2} + \dfrac{2 \cdot 16}{2} = 2 + 16 = 18\ \text{J}\) ✓
    El carretó d'\(1\ \text{kg}\) torna a \(2\ \text{m/s}\) i el de \(2\ \text{kg}\) surt a \(4\ \text{m/s}\).
TANCAMENT

Reptes

Pla + energia

Un bloc baixa, a partir del repòs, per una rampa sense fregament de \(1{,}8\ \text{m}\) d'altura. Amb quina velocitat arriba a baix? Canvia res si la rampa és més inclinada? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
\(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{36} = 6\ \text{m/s}\)
La velocitat final no depèn de l'angle, i una rampa més inclinada només fa que el bloc hi arribi abans (més \(a = g\,\sin\,\theta\)).
Acció i reacció + inèrcia

Dos patinadors de \(45\ \text{kg}\) i \(90\ \text{kg}\) s'empenyen amb \(180\ \text{N}\) durant \(0{,}5\ \text{s}\). Amb quina velocitat surt cadascun, i què passa després sobre el gel sense fregament?

Mostra la resolució
\(v_1 = \dfrac{180}{45} \cdot 0{,}5 = 2\ \text{m/s}\); \(v_2 = \dfrac{180}{90} \cdot 0{,}5 = 1\ \text{m/s}\)
Després de l'empenta, la resultant és zero, i cadascun continua amb velocitat constant (1a llei).
Pes i normal

Una persona de \(50\ \text{kg}\) sobre una bàscula d'ascensor llegeix \(40\ \text{kg}\). Quina és l'acceleració de l'ascensor? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
\(N = 400\ \text{N}\); \(N = m\,(g + a)\) \(\Rightarrow 400 = 50\,(10 + a)\)
\(a = -2\ \text{m/s}^2\): \(2\ \text{m/s}^2\) cap avall (baixant i accelerant, o pujant i frenant).
Politges + energia

En una màquina d'Atwood amb \(3\ \text{kg}\) i \(1\ \text{kg}\), deixades anar des del repòs, quina és la velocitat quan el bloc pesant ha baixat \(1\ \text{m}\)? Resol-ho amb la 2a llei i comprova-ho amb l'energia. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
\(a = \dfrac{(3 - 1) \cdot 10}{4} = 5\ \text{m/s}^2\); \(v = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\ \text{m/s}\)
Per l'energia, el sistema perd \(30 - 10 = 20\ \text{J}\) d'\(E_p\), i \(\dfrac{4\,v^2}{2} = 20\) \(\Rightarrow v^2 = 10\) ✓
Treball del fregament

Un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) a \(30\ \text{m/s}\) frena fins que s'atura amb un fregament de \(\mu = 0{,}6\). Fes servir l'energia per trobar la distància de frenada. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
\(E_c = \dfrac{1000 \cdot 900}{2} = 450\,000\ \text{J}\); \(f = 0{,}6 \cdot 10\,000 = 6000\ \text{N}\)
\(f\,d = E_c\) \(\Rightarrow d = \dfrac{450\,000}{6000} = 75\ \text{m}\)
Impuls + pes

Una persona de \(60\ \text{kg}\) salta des d'\(1{,}25\ \text{m}\) d'altura. Quina és la força mitjana del terra sobre ella si s'atura en \(0{,}02\ \text{s}\), amb les cames estirades, o en \(0{,}25\ \text{s}\), doblegant els genolls? Compara-ho amb el pes. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
\(v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1{,}25} = 5\ \text{m/s}\); \(\Delta Q = 60 \cdot 5 = 300\ \text{kg·m/s}\)
El terra ha d'aturar la persona i, a més, sostenir-ne el pes, i \(F = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} + m\,g\).
Estirades: \(F = 15\,000 + 600 = 15\,600\ \text{N}\), unes 26 vegades el pes.
Doblegant els genolls: \(F = 1200 + 600 = 1800\ \text{N}\), 3 vegades el pes.
Col·lisió + fregament

Un cotxe de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\) xoca contra la part del darrere d'un cotxe aturat de \(1500\ \text{kg}\), i tots dos continuen encastats, frenats pel fregament amb \(\mu = 0{,}5\). Quina distància llisquen, i quanta energia cinètica s'ha perdut en el xoc? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
En el xoc, \(1000 \cdot 20 = 2500\,v\) \(\Rightarrow v = 8\ \text{m/s}\)
Després, el fregament frena amb \(a = \mu\,g = 5\ \text{m/s}^2\), i \(d = \dfrac{8^2}{2 \cdot 5} = 6{,}4\ \text{m}\)
\(E_c\): \(200\ \text{kJ}\) abans i \(\dfrac{2500 \cdot 64}{2} = 80\ \text{kJ}\) després, i se n'han perdut \(120\ \text{kJ}\) (el 60%) en el xoc.
Pensar, sense comptes

En un joc d'estirar la corda, per la 3a llei, la corda estira els dos equips amb la mateixa força. Llavors, com pot guanyar un equip, si la nostra intuïció tendeix a donar la victòria a qui estira la corda amb més força?

Mostra la resolució
La corda estira tots dos igual, però cada equip també rep als peus la força de fregament del terra.
Guanya qui empeny el terra amb més força (i té més fregament), i, per a aquest equip, la resultant apunta cap al seu costat.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat, i hem escrit aquestes cinc preguntes en el seu format, cadascuna amb un text de base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc alternatives, de les quals només una és correcta. Els distractors repeteixen errors que acostumem a veure a classe, i potser val la pena llegir la resolució fins i tot quan l'encertis. Més avall hi ha preguntes reals de la prova per practicar.

  1. Pes, normal i 2a llei · Passos 3 i 5

    Un vídeo que circula molt per les xarxes mostra algú dret sobre una bàscula de bany dins d'un ascensor, amb el número de la pantalla canviant durant el trajecte. En Lucas, que té 60 kg, va repetir l'experiència a l'edifici on viu. Va pujar de la planta baixa a la 10a planta i va anotar el que marcava la bàscula a cada tram.

    Lectura de la bàscula durant la pujada
    TramLectura (kg)
    Aturat a la planta baixa60,0
    Arrencant cap amunt67,2
    Pujant amb velocitat constant60,0
    Frenant a prop de la 10a planta51,0

    Sabem que la bàscula mesura la força normal i mostra aquest valor dividit per 10. Amb g = 10 m/s², quina és l'acceleració de l'ascensor en l'últim tram?

    1. 1,5 m/s², cap avall.
    2. 1,5 m/s², cap amunt.
    3. 8,5 m/s², cap avall.
    4. 9,0 m/s², cap avall.
    5. Zero, perquè la massa d'en Lucas no canvia durant el trajecte.
    Mostra la resolució
    Resposta: A.
    Una lectura de 51,0 «kg» correspon a una normal de \(510\ \text{N}\), més petita que el pes de \(600\ \text{N}\).
    \(N - P = m\,a\)
    \(510 - 600 = 60\,a\)
    \(a = -1{,}5\ \text{m/s}^2\)
    Amb el signe negatiu, l'acceleració apunta cap avall, com esperem d'un ascensor que puja i està frenant.
    La B encerta el mòdul i perd el sentit, la C confon l'acceleració amb \(g + a\), la D pren la diferència de 9 «kg» com si fos l'acceleració, i la E suposa que la bàscula mesura la massa. Potser sorprèn que, en la pujada amb velocitat constant, la lectura torni a ser 60,0.
  2. Pla inclinat amb fregament · Passos 6 i 7

    Per descarregar caixes d'un camió sense haver-les de portar a coll, un repartidor recolza a la caixa del camió, a 1,8 m de terra, un tauló de fusta de 3,0 m de llargada i deixa que les caixes hi llisquin. Suposem que, entre el cartró i la fusta, els coeficients de fregament són \(\mu_e = 0{,}5\) i \(\mu_c = 0{,}4\), i fem servir g = 10 m/s².

    Una caixa posada en repòs dalt del tauló comença a baixar? Si baixa, amb quina acceleració?

    1. Baixa, amb 2,0 m/s².
    2. Baixa, amb 2,8 m/s².
    3. Baixa, amb 5,6 m/s².
    4. Baixa, amb 6,0 m/s².
    5. No baixa, perquè el fregament estàtic subjecta la caixa.
    Mostra la resolució
    Resposta: B.
    El tauló forma amb el terra un angle \(\theta\) tal que \(\sin\,\theta = \dfrac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6\), i llavors \(\cos\theta = 0{,}8\) i \(\tan\,\theta = 0{,}75\).
    Com que \(\tan\,\theta = 0{,}75\) supera \(\mu_e = 0{,}5\), el fregament estàtic no pot subjectar la caixa, i llisca.
    \(a = g\,(\sin\,\theta - \mu_c\cos\theta)\)
    \(a = 10\,(0{,}6 - 0{,}4 \cdot 0{,}8)\)
    \(a = 2{,}8\ \text{m/s}^2\)
    La A descompta el fregament sense el \(\cos\theta\) \((0{,}6 - 0{,}4)\), la C canvia el sinus pel cosinus \((0{,}8 - 0{,}4 \cdot 0{,}6)\), la D negligeix el fregament, i la E sembla que ve de la intuïció que una caixa aturada només es mou si algú l'empeny. La massa de la caixa ni tan sols ha entrat en el càlcul, cosa que acostuma a sorprendre.
  3. Energia mecànica i dissipació · Pas 9

    En una pista d'skate en forma d'U, el half-pipe, l'skater canvia altura per velocitat a cada baixada. En Pedro, de 50 kg, surt del repòs a la vora d'una pista de 3,2 m d'altura, i un amic, amb un radar de velocitat, mesura 7,0 m/s al punt més baix. Si no hi hagués fregament ni resistència de l'aire, en Pedro arribaria a baix a 8,0 m/s.

    Quina fracció de l'energia mecànica inicial d'en Pedro s'ha dissipat en aquesta baixada?

    1. 0%
    2. 12,5%
    3. Al voltant del 23%
    4. Al voltant del 77%
    5. 87,5%
    Mostra la resolució
    Resposta: C.
    Si prenem el punt més baix com a referència, tota l'energia inicial d'en Pedro és potencial.
    \(E_p = 50 \cdot 10 \cdot 3{,}2 = 1600\ \text{J}\)
    \(E_c = \dfrac{50 \cdot 7^2}{2} = 1225\ \text{J}\)
    \(\dfrac{1600 - 1225}{1600} = \dfrac{375}{1600} \approx 0{,}23\)
    La B compara les velocitats \((1 - 7/8)\) i oblida que l'energia depèn de \(v^2\), la D és la fracció que ha quedat com a energia cinètica, la E és la raó \(7/8\), i la A suposa que l'energia mecànica es conserva, cosa que només és vàlida si negligim el fregament i l'aire. Una pèrdua d'1 m/s pot semblar petita i, tot i així, s'emporta gairebé una quarta part de l'energia.
  4. Impuls i quantitat de moviment · Pas 10

    Les fundes de silicona tendeixen a salvar els mòbils de caigudes que, sense funda, els esquerdarien la pantalla. Un aparell de 200 g llisca de la butxaca, cau des d'1,25 m i s'atura a terra sense rebotar. Suposem que, sense funda, el xoc amb el terra dura 4 ms i que, amb la funda, dura 20 ms, i negligim la resistència de l'aire (g = 10 m/s²).

    Quina és, aproximadament, la força mitjana que fa el terra sobre el mòbil amb funda durant el xoc?

    1. 0,05 N
    2. 2 N
    3. 50 N
    4. 100 N
    5. 250 N
    Mostra la resolució
    Resposta: C.
    El mòbil arriba a terra amb la velocitat d'una caiguda lliure d'1,25 m.
    \(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{25} = 5\ \text{m/s}\)
    Per aturar-se, ha de perdre tota la quantitat de moviment, \(\Delta Q = 0{,}2 \cdot 5 = 1\ \text{kg·m/s}\), amb funda o sense.
    \(F_{\text{mitjana}} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{1}{0{,}020} = 50\ \text{N}\)
    El pes del mòbil, de 2 N, és petit al costat d'això, i per això tractem la força del terra com la resultant, tal com hem fet amb l'ou de la simulació.
    La A deixa el temps en mil·lisegons, la B es queda només amb el pes, la D suposa que el mòbil rebota amb la mateixa velocitat i la E és la força sense funda \((1/0{,}004)\). Amb la funda, la \(\Delta Q\) continua sent la mateixa, i un xoc cinc vegades més llarg divideix la força per cinc.
  5. Col·lisions · Pas 11

    A les estacions de maniobres dels ferrocarrils, els vagons s'enganxen per xoc, i l'enganxall automàtic els manté units a partir d'aquell moment. Un vagó de 30 t, a 2,0 m/s, xoca amb un altre de 20 t aturat a la via, i tots dos continuen junts. Podem suposar que, durant el xoc, el fregament amb la via és negligible.

    Just després d'enganxar-se, quina és la velocitat dels dos vagons, i quina fracció de l'energia cinètica inicial s'ha perdut en el xoc?

    1. 2,0 m/s, sense cap pèrdua d'energia cinètica.
    2. 1,2 m/s, sense cap pèrdua d'energia cinètica.
    3. 3,0 m/s, amb una pèrdua del 40%.
    4. 1,2 m/s, amb una pèrdua del 40%.
    5. 1,2 m/s, amb una pèrdua del 60%.
    Mostra la resolució
    Resposta: D.
    Durant el xoc, els dos vagons formen un sistema aïllat, i la quantitat de moviment total es conserva.
    \(30 \cdot 2{,}0 = (30 + 20)\,v\)
    \(v = \dfrac{60}{50} = 1{,}2\ \text{m/s}\)
    \(E_{c,\text{abans}} = \dfrac{30\,000 \cdot 2^2}{2} = 60\ \text{kJ}\)
    \(E_{c,\text{després}} = \dfrac{50\,000 \cdot 1{,}2^2}{2} = 36\ \text{kJ}\)
    \(\dfrac{60 - 36}{60} = 0{,}40\)
    La A s'imagina que el vagó aturat surt amb tota la velocitat de l'altre, cosa que només passa en una col·lisió elàstica entre masses iguals, la B suposa que l'energia cinètica es conserva juntament amb la quantitat de moviment, la C intercanvia les masses en el càlcul i la E és la fracció que ha quedat. Els 24 kJ que falten es converteixen en calor, so i deformació de l'enganxall.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem trobar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número. Fins al 2016, Ciències de la Natura queia el dia 1.

  • ENEM 2011, dia 1, quadern blau, pregunta 86. Les etapes d'un salt amb perxa serveixen per discutir quina transformació d'energia permet a l'atleta pujar tan amunt com sigui possible, si negligim les forces dissipatives.
  • ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 76. Una persona puja una rampa empenyent el terra amb els peus, i la pregunta demana la direcció i el sentit de la força de fregament que el terra fa sobre ella.
  • ENEM 2016, dia 1, quadern blau, pregunta 77. En un carril d'aire, un carretó de massa coneguda xoca amb un carretó aturat i tots dos continuen junts, i amb els temps dels sensors cal trobar la massa del segon carretó.
  • ENEM 2017, dia 2, quadern blau, pregunta 99. Els gràfics de la força de cinc models de cinturó de seguretat en una col·lisió frontal permeten triar el de menys risc per al conductor, i l'elecció depèn del temps de contacte.
  • ENEM 2023, dia 2, quadern blau, pregunta 114. Una càrrega subjectada per dues cordes a la caixa d'un camió, amb fregament al terra, té les tensions de les cordes calculades en l'arrencada i en la frenada.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Resultant (perpendiculars)\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\)
1a i 2a lleis\(F_R = m\,a\) (amb \(F_R = 0\), \(v\) constant)
3a llei\(\vec F_{A \to B} = -\vec F_{B \to A}\)
Pes i normal a l'ascensor\(P = m\,g \quad N = m\,(g + a)\)
Fregament\(f_e \le \mu_e N \quad f_c = \mu_c N\)
Pla inclinat\(P_x = P\,\sin\,\theta \quad N = P\cos\theta\)
Comença a lliscar\(\tan\,\theta = \mu_e\)
Atwood\(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2}\)
Treball\(\tau = F\,d\cos\theta\)
Energies\(E_c = \tfrac{m v^2}{2} \quad E_p = m g h\)
Quantitat de moviment i impuls\(\vec Q = m\,\vec v \quad I = F\,\Delta t = \Delta Q\)
Col·lisions (sistema aïllat)\(Q_{\text{abans}} = Q_{\text{després}} \quad e = \dfrac{v_{\text{allunyament}}}{v_{\text{apropament}}}\)