← Totes les lliçons
Física · Secundària · Electromagnetisme

Electromagnetisme

La brúixola que apunta cap al nord, el motor de la batedora, la central que abasteix la ciutat i el carregador del mòbil depenen d'un lligam estret entre l'electricitat i el magnetisme. Partirem dels imants, veurem que els corrents creen camps magnètics i que aquests camps empenyen càrregues i fils, i arribarem a la inducció, que és al darrere dels generadors i dels transformadors.

  1. 1Imants
  2. 2El corrent crea camp
  3. 3Força sobre càrregues
  4. 4Força sobre fils
  5. 5Inducció
  6. 6Generadors
  7. 7Transformadors
  8. ✓Reptes
PAS 1

Per què la brúixola apunta cap al nord?

Un imant té dues regions on l'atracció sobre el ferro és més forta, els pols. Anomenem pol nord el que, amb l'imant lliure per girar, s'orienta cap al nord geogràfic, i pol sud l'altre. Els pols del mateix nom es repel·leixen, i els pols de nom diferent s'atreuen.

Una cosa que potser sorprèn és que els pols no se separen. Si trenquem un imant per la meitat, cada tros esdevé un imant complet, amb nord i sud, i això continua valent per a trossos cada vegada més petits. Fins avui ningú no ha trobat un pol magnètic aïllat.

Al voltant de l'imant hi ha un camp magnètic \(\vec B\), que mesurem en tesla (T). Representem aquest camp amb línies de camp, que, fora de l'imant, surten del pol nord i arriben al pol sud i són més juntes on el camp és més intens. Podem pensar la brúixola com un petit imant que gira lliurement i s'alinea amb aquestes línies, amb el seu nord en el sentit de \(\vec B\).

La mateixa Terra es comporta com un gran imant. Com que el nord de l'agulla apunta cap al nord geogràfic, i els pols diferents s'atreuen, concloem que a prop del pol nord geogràfic hi ha un pol sud magnètic. L'eix d'aquest gran imant està inclinat uns 10° respecte a l'eix de rotació, i per això la brúixola indica el nord geogràfic només de manera aproximada.

pols iguals es repel·leixenpols diferents s'atreuen\(\vec B\) en tesla (T)Per fer-nos una idea dels valors, el camp de la Terra a la superfície és d'entre \(2 \cdot 10^{-5}\) i \(6 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\), un imant de nevera produeix unes quantes mil·lèsimes de tesla tocant a la seva superfície i un imant de neodimi pot passar d'1 T. A la simulació, el camp de cada imant es calcula com si hi hagués una «càrrega magnètica» a cada pol, un model senzill que descriu bé el camp fora de l'imant; a dins, les línies van del pol sud al pol nord i es tanquen.

Per comentar

  • Observa les brúixoles al voltant d'un sol imant. Cap on apunta la punta vermella a prop del pol nord de l'imant, i a prop del pol sud?
  • Trenca l'imant per la meitat i arrossega els trossos lluny l'un de l'altre. Quants pols nord i quants pols sud hi ha ara sobre la taula?
  • Compara l'escena dels pols diferents cara a cara amb la dels pols iguals. Com queden les línies i les brúixoles a la regió entre els imants?
  • Obre l'escena de la Terra. Cap on apunta el nord de les agulles, i quin pol magnètic s'amaga a prop del pol nord geogràfic?
Imants a la taula
Pols nord
Pols sud
Entre els imants
Exercicis del pas 1 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Tallem per la meitat un imant de barra, perpendicularment a la seva longitud. Què obtenim? Podem quedar-nos amb un pol nord d'una banda i un pol sud de l'altra, separats?

    Mostra la resolució
    Cada meitat esdevé un imant complet, amb un pol nord en un extrem i un pol sud a l'altre, i passa el mateix si tornem a tallar cada tros.
    Obtenim dos imants més petits, cadascun amb els seus dos pols, i no és possible aïllar un pol.
  2. bàsic

    Dos imants de barra estan alineats sobre una taula, amb el pol nord de l'un davant del pol nord de l'altre. S'atreuen o es repel·leixen? I si un d'ells fa mitja volta?

    Mostra la resolució
    Els pols del mateix nom es repel·leixen, i els pols de nom diferent s'atreuen.
    Després de la mitja volta, queden cara a cara un pol nord i un pol sud.
    En la primera situació es repel·leixen; després de la mitja volta, s'atreuen.
  3. bàsic

    Posem una brúixola sobre la taula, just davant del pol nord d'un imant de barra, en la mateixa línia de l'imant. Cap on apunta la punta nord de l'agulla? Justifica-ho amb les línies de camp.

    Mostra la resolució
    Fora de l'imant, les línies de camp surten del pol nord, i allà, en la línia de l'imant, apunten lluny d'ell.
    L'agulla s'alinea amb el camp, amb la seva punta nord en el sentit de les línies.
    La punta nord de l'agulla apunta lluny de l'imant, i la punta sud queda girada cap al pol nord de l'imant.
  4. bàsic

    Per què diem que a prop del pol nord geogràfic de la Terra hi ha un pol sud magnètic?

    Mostra la resolució
    La punta nord de l'agulla d'una brúixola apunta, aproximadament, cap al nord geogràfic.
    Com que els pols de nom diferent s'atreuen, el que atreu la punta nord de l'agulla és un pol sud.
    A prop del pol nord geogràfic hi ha un pol sud magnètic, que és el que atreu el nord de les brúixoles.
  5. mitjà

    Un estudiant vol saber si una barra metàl·lica és un imant o només un tros de ferro. Apropa un dels extrems de la barra al pol nord d'una brúixola, i el pol és atret. Això prova que la barra és un imant? Quina prova resoldria el dubte?

    Mostra la resolució
    Un tros de ferro qualsevol també és atret per qualsevol pol d'un imant, i l'atracció tota sola no decideix res.
    Només un imant pot repel·lir un pol. N'hi ha prou d'apropar els dos extrems de la barra als dos pols de l'agulla i buscar una repulsió.
    No ho prova; si algun extrem de la barra repel·leix un dels pols de l'agulla, la barra és un imant.
  6. mitjà

    Per què dues línies de camp magnètic no es creuen mai?

    Mostra la resolució
    En cada punt, el camp magnètic té una única direcció i un únic sentit, i la línia de camp que hi passa n'és tangent.
    Si dues línies es creuessin, una brúixola col·locada a l'encreuament hauria d'apuntar en dues direccions alhora.
    Les línies no es creuen perquè el camp té una sola direcció en cada punt.
  7. mitjà

    A São Paulo, al Brasil, la punta nord de la brúixola apunta avui uns 21° a l'oest del nord geogràfic. Una excursionista vol anar exactament cap al nord geogràfic. Cap a quin costat s'ha de desviar de la direcció que indica l'agulla, i quants graus?

    Mostra la resolució
    L'agulla apunta en una direcció 21° a l'oest del nord geogràfic.
    Per arribar al nord geogràfic, l'excursionista ha de girar a partir de l'agulla, en sentit contrari, el mateix angle.
    S'ha de desviar uns 21° cap a l'est de la direcció de l'agulla.
  8. mitjà

    En un punt d'una taula, el camp d'un imant val \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) i apunta cap a l'est, i el camp de la Terra, en horitzontal, també val \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) i apunta cap al nord. Cap on apunta l'agulla d'una brúixola col·locada allà, i quina és la intensitat del camp resultant?

    Mostra la resolució
    L'agulla s'alinea amb la suma vectorial dels dos camps, que són perpendiculars i de la mateixa intensitat.
    La resultant forma 45° amb cadascun i té mòdul \(B = \sqrt{(2 \cdot 10^{-5})^2 + (2 \cdot 10^{-5})^2}\).
    L'agulla apunta cap al nord-est, i \(B = 2\sqrt{2} \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) \(\approx 2{,}8 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\).
  9. repte

    Trenquem un imant de barra en quatre trossos iguals, que després posem en fila, tocant-se, en el mateix ordre i amb la mateixa orientació que tenien abans. Quants pols nord i quants pols sud hi ha a la fila? Els trossos queden enganxats els uns als altres? Com es comporta la fila, vista de lluny?

    Mostra la resolució
    Cada tros és un imant complet, i la fila té quatre pols nord i quatre pols sud.
    En les tres juntures, el pol nord d'un tros toca el pol sud del següent, i s'atreuen.
    Vista de lluny, la fila té un pol nord lliure en un extrem i un pol sud lliure a l'altre, i es comporta com l'imant original.
    Hi ha 4 pols nord i 4 pols sud, els trossos s'atreuen a les juntures i, de lluny, la fila funciona com l'imant sencer.
  10. repte

    Una agulla imantada, clavada en un tap de suro que sura en un recipient amb aigua, gira fins a apuntar cap al nord, però no se'n va nedant cap al nord. Per què el camp de la Terra fa girar l'agulla i no l'estira? Què canviaria si poséssim un imant fort a pocs centímetres del recipient?

    Mostra la resolució
    A l'escala del recipient, el camp de la Terra és pràcticament uniforme. La força sobre el pol nord de l'agulla i la força sobre el pol sud tenen la mateixa intensitat i sentits oposats.
    Les dues forces s'anul·len, i l'agulla no és estirada, però actuen en punts diferents i formen un parell que la fa girar.
    A prop d'un imant, el camp canvia molt d'un punt a l'altre, les forces sobre els dos pols deixen de ser iguals, i en queda una força resultant.
    En el camp uniforme de la Terra l'agulla només gira; a prop de l'imant, on el camp no és uniforme, també seria estirada.
PAS 2

Un corrent elèctric crea camp magnètic?

El 1820, el danès Hans Christian Oersted va notar que l'agulla d'una brúixola es movia quan connectava el corrent en un fil proper. Va ser la primera prova que l'electricitat i el magnetisme estan lligats, i avui sabem que tot corrent elèctric crea un camp magnètic al seu voltant.

Al voltant d'un fil recte i llarg, les línies de camp són circumferències centrades en el fil. El sentit surt de la regla de la mà dreta. Si imaginem la mà dreta tancada al voltant del fil, amb el polze en el sentit del corrent, els altres dits es corben en el sentit de les línies. Als dibuixos, ⊙ indica una cosa que surt de la pantalla, com la punta d'una fletxa que ve cap a nosaltres, i ⊗ indica una cosa que entra a la pantalla, com les plomes d'una fletxa que s'allunya.

Si enrotllem el fil en una espira, els camps de tots els trams se sumen al centre. Amb moltes espires una al costat de l'altra, en un solenoide, el camp de dins és gairebé uniforme i, per fora, el solenoide s'assembla a un imant de barra. Amb un nucli de ferro a dins, tenim un electroimant, el camp del qual pot fer-se centenars de vegades més fort i que apaguem simplement tallant el corrent.

A les fórmules hi apareix \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\), la permeabilitat magnètica del buit, que fem servir també per a l'aire. Per al fil recte, per exemple, porta a \(B = 2 \cdot 10^{-7}\,i/d\) en unitats del SI, i veiem que, a 5 cm d'un fil amb 5 A, el camp del corrent ja iguala el de la Terra.

\(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d}\)\(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2R}\)\(B = \mu_0\,\dfrac{N}{L}\, i\)Fil recte i llarg a una distància \(d\), centre d'una espira de radi \(R\) i interior d'un solenoide amb \(N\) espires en una longitud \(L\), sempre amb \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\). A la simulació, vista des de dalt, el camp de la Terra, de \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) en horitzontal i apuntant cap al nord, també actua sobre les brúixoles. El dibuix de les línies de l'espira i del solenoide tracta cada tram de fil que travessa la taula com un fil llarg, cosa que dona la forma de les línies, i els valors al centre surten de les fórmules del requadre.

Per comentar

  • Comença amb el corrent a zero i augmenta'l a poc a poc. Amb quin corrent la brúixola gran, a 5 cm del fil, es desvia uns 45°? Comprova-ho amb \(B = \mu_0 i/(2\pi d)\) i amb el camp de la Terra.
  • Inverteix el corrent i observa les brúixoles al voltant del fil. Què passa amb el sentit de les línies de camp?
  • Arrossega la brúixola gran lluny del fil. Com canvia la desviació amb la distància, i ho podem preveure amb la fórmula?
  • Passa al solenoide i posa-hi el nucli de ferro. Per què les grues dels desballestaments fan servir electroimants, i no imants corrents?
Corrent
B segons la fórmula
Brúixola gran: camp del corrent
Desviació de la brúixola gran
Exercicis del pas 2 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Per un fil recte i llarg circula un corrent de 10 A. Quina és la intensitat del camp magnètic a 5 cm del fil? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Amb \(d = 0{,}05\ \text{m}\), \(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0{,}05}\).
    \(B = 4 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\)
  2. bàsic

    Quina és la intensitat del camp magnètic al centre d'una espira circular de 10 cm de radi per la qual circula un corrent de 5 A? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Al centre de l'espira, \(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2R} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5}{2 \cdot 0{,}1}\).
    \(B = \pi \cdot 10^{-5}\ \text{T} \approx 3{,}1 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\)
  3. bàsic

    Un solenoide té 1000 espires repartides en 50 cm de longitud i hi circulen 2 A. Quina és la intensitat del camp a l'interior? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    El nombre d'espires per metre és \(\dfrac{N}{L} = \dfrac{1000}{0{,}5} = 2000\ \text{m}^{-1}\), i \(B = \mu_0\,\dfrac{N}{L}\,i\) \(= 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 2\).
    \(B = 1{,}6\pi \cdot 10^{-3}\ \text{T}\) \(\approx 5{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}\)
  4. bàsic

    Per un fil vertical circula un corrent que puja. Mirant des de dalt, les línies de camp al seu voltant giren en sentit horari o antihorari? I si el corrent baixa?

    Mostra la resolució
    Amb el polze de la mà dreta en el sentit del corrent, els altres dits es corben en el sentit de les línies de camp.
    Mirant des de dalt, el corrent que puja ve cap a nosaltres, com el ⊙ dels dibuixos.
    Amb el corrent pujant, les línies giren en sentit antihorari; amb el corrent baixant, en sentit horari.
  5. mitjà

    A quina distància d'un fil recte i llarg, pel qual circulen 20 A, el camp del corrent té la mateixa intensitat que la component horitzontal del camp de la Terra, \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\)? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Aïllant \(d\) a \(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d}\), tenim \(d = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi B} = \dfrac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 20}{2 \cdot 10^{-5}}\).
    \(d = 0{,}2\ \text{m}\), és a dir, 20 cm
  6. mitjà

    Una brúixola és sobre una taula, 4 cm al sud d'un fil vertical i llarg. Sense corrent, l'agulla apunta cap al nord, i la component horitzontal del camp de la Terra val \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\). Quin corrent, pujant pel fil, fa que l'agulla es desviï 45°, i cap a quin costat es desvia? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Mirant des de dalt, el corrent que puja produeix línies en sentit antihorari, i al sud del fil el camp del corrent apunta cap a l'est, perpendicular al de la Terra.
    L'agulla es desvia 45° quan els dos camps tenen la mateixa intensitat, \(\dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d} = 2 \cdot 10^{-5}\), i llavors \(i = \dfrac{2 \cdot 10^{-5} \cdot 0{,}04}{2 \cdot 10^{-7}}\).
    \(i = 4\ \text{A}\), i l'agulla gira del nord cap al nord-est.
  7. mitjà

    Dues espires circulars concèntriques, en el mateix pla, tenen radis de 10 cm i 20 cm i per cadascuna circulen 4 A, en sentits oposats. Quina és la intensitat del camp al centre? I si els corrents tinguessin el mateix sentit? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    L'espira petita produeix al centre \(B_1 = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 4}{2 \cdot 0{,}1}\) \(= 8\pi \cdot 10^{-6}\ \text{T}\), i la gran, \(B_2 = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 4}{2 \cdot 0{,}2}\) \(= 4\pi \cdot 10^{-6}\ \text{T}\).
    Amb corrents oposats, els camps tenen sentits oposats i es resten; amb el mateix sentit, se sumen.
    \(4\pi \cdot 10^{-6} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) amb sentits oposats, i \(12\pi \cdot 10^{-6} \approx 3{,}8 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) amb el mateix sentit.
  8. mitjà

    Un solenoide de 20 cm de longitud ha de produir, a l'interior, un camp de \(6{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}\) amb un corrent de 3 A. Quantes espires ha de tenir? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Aïllant \(N\) a \(B = \mu_0\,\dfrac{N}{L}\,i\), tenim \(N = \dfrac{B\,L}{\mu_0\, i} = \dfrac{6{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}2}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 3}\).
    \(N \approx 320\) espires
  9. repte

    Dos fils rectes, llargs i paral·lels són a 10 cm l'un de l'altre i porten corrents de 6 A en sentits oposats. Quina és la intensitat del camp magnètic al punt mitjà entre ells? I si els corrents tinguessin el mateix sentit? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Cada fil, a 5 cm del punt mitjà, hi produeix \(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d}\) \(= \dfrac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6}{0{,}05}\) \(= 2{,}4 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\).
    Segons la regla de la mà dreta, amb corrents oposats els dos camps apunten cap al mateix costat al punt mitjà i se sumen. Amb corrents del mateix sentit, apunten cap a costats oposats i s'anul·len.
    \(4{,}8 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) amb corrents oposats, i zero amb corrents del mateix sentit.
  10. repte

    L'electroimant d'una grua de desballestament és una bobina de 500 espires, de 25 cm de longitud, per la qual circulen 10 A. Quin seria el camp dins de la bobina sense nucli? Per què el nucli de ferro és essencial, i per què un electroimant és més pràctic que un imant permanent en aquesta feina? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Sense nucli, \(B = \mu_0\,\dfrac{N}{L}\,i\) \(= 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \dfrac{500}{0{,}25} \cdot 10\).
    El ferro del nucli s'imanta i suma el seu propi camp al de la bobina, que pot fer-se centenars de vegades més fort. Amb l'electroimant, la grua deixa anar la càrrega quan tallem el corrent, cosa impossible amb un imant permanent.
    Sense nucli, \(B = 8\pi \cdot 10^{-3}\ \text{T} \approx 2{,}5 \cdot 10^{-2}\ \text{T}\); el ferro el multiplica moltes vegades, i l'electroimant es pot desconnectar per deixar anar la ferralla.
PAS 3

Què fa el camp magnètic a una càrrega en moviment?

Una càrrega aturada no nota cap força magnètica. Quan es mou dins d'un camp \(\vec B\), hi apareix una força d'intensitat \(F = |q|\,v\,B\,\sin\theta\), on \(\theta\) és l'angle entre la velocitat i el camp. La força és màxima amb \(\vec v\) perpendicular a \(\vec B\) i s'anul·la quan la càrrega es mou en la direcció de les línies de camp.

La força és perpendicular, alhora, a \(\vec v\) i a \(\vec B\). Farem servir la regla de la mà dreta oberta, en què el polze apunta en el sentit de \(\vec v\), els altres dits, estirats, apunten en el sentit de \(\vec B\), i el palmell empeny en el sentit de la força sobre una càrrega positiva. En una càrrega negativa, la força té el sentit oposat. Alguns llibres fan servir la mà esquerra, amb una altra posició dels dits, i arriben a la mateixa resposta.

Com que la força és sempre perpendicular a la velocitat, no fa treball i no canvia el mòdul de la velocitat, només la direcció del moviment. En un camp uniforme, amb \(\vec v\) perpendicular a \(\vec B\), la força magnètica fa el paper de la resultant centrípeta de la lliçó de Moviment circular, i la partícula descriu un moviment circular uniforme. Igualant \(|q|\,v\,B\) a \(m\,v^2/R\), arribem al radi i al període, i el període, curiosament, no depèn de la velocitat.

Aquest moviment apareix en molts llocs. L'espectròmetre de masses separa ions de masses diferents pel radi de la trajectòria, i les aurores, potser l'exemple més bonic, apareixen quan partícules carregades que vénen del Sol descriuen espirals al voltant de les línies del camp de la Terra, són guiades fins a les regions polars i fan brillar els gasos de la part alta de l'atmosfera.

\(F = |q|\,v\,B\,\sin\theta\)\(R = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}\)\(T = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B}\)Les dues últimes valen amb \(\vec v\) perpendicular a \(\vec B\), en un camp uniforme. A la simulació, la massa està en unitats de massa atòmica, \(1\ \text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\), i la càrrega en múltiples de \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\). Menyspreem la gravetat, minúscula davant de la força magnètica, i l'escena va molt més a poc a poc que la realitat, amb un factor que no depèn de la velocitat, de manera que podem comparar els temps d'una volta.
velocitatforça magnèticatrajectòria

Per comentar

  • Llança el protó i segueix la fletxa vermella de la força. Cap on apunta tota l'estona? Canvia el mòdul de la velocitat?
  • Dobla la velocitat i torna a llançar. Què passa amb el radi? I amb el temps d'una volta, que potser et sorprendrà?
  • Canvia el protó per l'ió H⁻, de càrrega negativa, sense tocar res més. Cap a quin costat gira ara? Comprova-ho amb la regla de la mà dreta.
  • Passa a l'espectròmetre i compara els punts d'arribada de les dues partícules. Per què la més pesant arriba més lluny de l'escletxa?
Radi de la trajectòria
Període
Força magnètica
Mòdul de la velocitat
Exercicis del pas 3 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un protó entra amb una velocitat de \(2 \cdot 10^6\ \text{m/s}\), perpendicular a un camp magnètic uniforme de 0,5 T. Quina és la intensitat de la força magnètica que hi actua? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

    Mostra la resolució
    Amb \(\theta = 90^\circ\), \(F = |q|\,v\,B\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 2 \cdot 10^6 \cdot 0{,}5\).
    \(F = 1{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{N}\)
  2. bàsic

    Un electró es mou en la mateixa direcció i el mateix sentit que les línies d'un camp magnètic uniforme. Quina força magnètica nota?

    Mostra la resolució
    L'angle entre la velocitat i el camp és zero, i \(\sin 0^\circ = 0\) a \(F = |q|\,v\,B\,\sin\theta\).
    La força magnètica és nul·la, i l'electró continua en línia recta.
  3. bàsic

    Un protó es mou cap a la dreta, a la pantalla, en un camp magnètic que entra a la pantalla (⊗). Cap a quin costat apunta la força magnètica que hi actua? I si la partícula fos un electró?

    Mostra la resolució
    Amb la mà dreta oberta, el polze cap a la dreta (velocitat) i els dits apuntant cap a dins de la pantalla (camp), el palmell empeny cap amunt.
    Per a l'electró, de càrrega negativa, la força té el sentit oposat.
    En el protó, la força apunta cap amunt a la pantalla; en l'electró, cap avall.
  4. bàsic

    La força magnètica sobre una càrrega en moviment fa treball? Què ens diu això sobre l'energia cinètica de la càrrega?

    Mostra la resolució
    La força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat, i una força perpendicular al desplaçament no fa treball.
    Sense treball, l'energia cinètica no canvia, i el mòdul de la velocitat tampoc.
    No fa treball, i l'energia cinètica de la càrrega es manté constant; només canvia la direcció del moviment.
  5. mitjà

    Un protó descriu una circumferència en un camp magnètic uniforme de 0,1 T, amb una velocitat de \(10^6\ \text{m/s}\). Quin és el radi de la trajectòria? Fes servir \(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\) i \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

    Mostra la resolució
    La força magnètica és la resultant centrípeta, \(|q|\,v\,B = \dfrac{m\,v^2}{R}\), i d'aquí \(R = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}\) \(= \dfrac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^6}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}1}\).
    \(R \approx 0{,}10\ \text{m}\), és a dir, uns 10 cm
  6. mitjà

    Un electró, de massa \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\), gira en un camp magnètic uniforme d'\(1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}\). Quin és el període del moviment? Canvia si la velocitat de l'electró es dobla? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

    Mostra la resolució
    El període és \(T = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B}\) \(= \dfrac{2\pi \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-3}}\), i la velocitat no apareix a la fórmula.
    Amb el doble de velocitat, el radi es dobla, i el camí d'una volta també, però la volta dura el mateix temps.
    \(T \approx 3{,}6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}\), i no canvia amb la velocitat.
  7. mitjà

    Una partícula amb una càrrega de \(3\ \mu\text{C}\) travessa un camp magnètic de 0,2 T a 500 m/s, en una direcció que forma 30° amb les línies de camp. Quina és la intensitat de la força magnètica que hi actua?

    Mostra la resolució
    Amb \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(F = |q|\,v\,B\,\sin\theta\) \(= 3 \cdot 10^{-6} \cdot 500 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5\).
    \(F = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\)
  8. mitjà

    Un protó i una partícula alfa, que té el doble de càrrega i quatre vegades la massa del protó, entren amb la mateixa velocitat, perpendicularment, en el mateix camp magnètic uniforme. Quin dels dos descriu la circumferència de radi més gran, i quantes vegades més gran?

    Mostra la resolució
    El radi és \(R = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}\), proporcional a la raó \(m/|q|\) quan \(v\) i \(B\) són els mateixos.
    Per a la partícula alfa, \(\dfrac{4m}{2e} = 2\,\dfrac{m}{e}\).
    La partícula alfa descriu el radi més gran, el doble del radi del protó.
  9. repte

    En un espectròmetre de masses, ions de carboni 12 i de carboni 14, tots dos amb càrrega \(+e\), entren amb una velocitat de \(10^5\ \text{m/s}\) en un camp de 0,2 T i descriuen semicircumferències fins a un detector. A quina distància l'un de l'altre arriben al detector? Fes servir \(1\ \text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\) i \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

    Mostra la resolució
    Per al carboni 12, \(R_{12} = \dfrac{12 \cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27} \cdot 10^5}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}2}\) \(\approx 6{,}23 \cdot 10^{-2}\ \text{m}\), i per al carboni 14, \(R_{14} = \dfrac{14}{12}\,R_{12} \approx 7{,}26 \cdot 10^{-2}\ \text{m}\).
    Cada ió arriba al detector a un diàmetre de l'escletxa, i la distància entre els punts d'arribada és \(2\,(R_{14} - R_{12})\).
    Uns 2,1 cm
  10. repte

    Les aurores apareixen a prop dels pols. Explica aquest fet amb la força magnètica sobre les partícules carregades que arriben del Sol, i digues quin tipus de trajectòria descriu una partícula que entra en un camp uniforme amb la velocitat inclinada respecte a les línies de camp.

    Mostra la resolució
    La part de la velocitat paral·lela a les línies de camp no pateix cap força, i la part perpendicular fa girar la partícula al voltant de les línies.
    La combinació dels dos moviments és una hèlice, una espiral que avança al llarg de les línies de camp.
    Les partícules queden lligades a les línies del camp de la Terra i són guiades fins a les regions polars, on aquestes línies baixen fins a l'atmosfera, i allà xoquen amb els gasos i els fan brillar.
    Les partícules fan espirals al llarg de les línies de camp, en hèlice, i arriben a l'atmosfera a prop dels pols, on les línies s'endinsen a la Terra.
PAS 4

Com fa girar un motor la força magnètica?

Un corrent està fet de càrregues en moviment, i per això un fil amb corrent dins d'un camp magnètic també nota una força. Sumant les forces sobre les càrregues d'un tram recte de longitud \(L\), arribem a \(F = B\,i\,L\,\sin\theta\), on \(\theta\) és l'angle entre el fil i el camp. El sentit surt de la mateixa regla de la mà dreta, ara amb el polze en el sentit del corrent.

Dos fils paral·lels amb corrent interaccionen, perquè cadascun és dins del camp magnètic de l'altre. Amb els corrents en el mateix sentit s'atreuen i, en sentits oposats, es repel·leixen, al contrari del que potser esperaríem per la comparació amb les càrregues elèctriques, en què les iguals es repel·leixen.

El motor elèctric aprofita aquesta força. Per entendre'l, imaginem una espira amb corrent entre els pols d'un imant, que rep forces de sentits oposats als dos costats, i aquest parell de forces la fa girar. Després de mitja volta les forces passarien a frenar el gir, i un commutador, un anell partit que gira amb l'espira i toca unes escombretes fixes, inverteix el corrent a cada mitja volta perquè el gir continuï en el mateix sentit.

Podem veure l'altaveu com un parent proper del motor. Una bobina enganxada a un con és dins del camp d'un imant, i el corrent que ve de l'amplificador, que varia al ritme del so, empeny la bobina endavant i endarrere, mentre el con fa vibrar l'aire.

\(F = B\,i\,L\,\sin\theta\)\(\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\, i_1\, i_2}{2\pi d}\)La segona fórmula dona la força per metre entre dos fils paral·lels i llargs, a una distància \(d\). A la simulació, l'espira té 20 voltes de fil, costats de 5 cm perpendiculars al camp i una amplada de 4 cm, i és en un camp uniforme de 0,2 T, de manera que cada costat nota \(F = N\,B\,i\,L\). Suposem un fregament a l'eix proporcional a la velocitat de gir, i el gir és força més lent que el d'un motor de veritat.

Per comentar

  • Amb el commutador activat, observa les fletxes de força als dos costats de l'espira. En quina posició el moment de la força és més gran, i en quina és zero?
  • Desactiva el commutador i espera una mica. En quina posició acaba aturant-se l'espira, i per què?
  • Inverteix el corrent amb el motor girant. Què passa amb el sentit del gir?
  • Passa als dos fils i inverteix el corrent del fil 2. Els fils passen a atreure's o a repel·lir-se? Dobla el corrent i mira quant creix la força.
Força a cada costat
Moment ara
Rotació
Corrent
Exercicis del pas 4 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un fil rectilini de 50 cm, pel qual circulen 4 A, és perpendicular a un camp magnètic uniforme de 0,3 T. Quina és la intensitat de la força magnètica que hi actua?

    Mostra la resolució
    Amb \(\theta = 90^\circ\), \(F = B\,i\,L = 0{,}3 \cdot 4 \cdot 0{,}5\).
    \(F = 0{,}6\ \text{N}\)
  2. bàsic

    Un fil de 20 cm, pel qual circulen 5 A, forma un angle de 30° amb les línies d'un camp magnètic uniforme de 0,4 T. Quina és la força que hi actua? I si el fil fos paral·lel al camp?

    Mostra la resolució
    Amb \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(F = B\,i\,L\,\sin\theta\) \(= 0{,}4 \cdot 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5\). Paral·lel al camp, \(\sin 0^\circ = 0\).
    \(F = 0{,}2\ \text{N}\) a 30°, i força nul·la amb el fil paral·lel al camp.
  3. bàsic

    Per dos fils paral·lels circulen corrents del mateix sentit. S'atreuen o es repel·leixen? I amb corrents de sentits oposats?

    Mostra la resolució
    Cada fil és dins del camp magnètic de l'altre i pateix una força que dona la regla de la mà dreta.
    Amb corrents del mateix sentit, els fils s'atreuen; amb corrents oposats, es repel·leixen.
  4. bàsic

    En un motor elèctric de corrent continu, per a què serveix el commutador?

    Mostra la resolució
    Després de mitja volta, les forces als costats de l'espira passarien a fer-la girar en sentit contrari, i oscil·laria fins a aturar-se.
    El commutador, un anell partit que gira amb l'espira i toca unes escombretes fixes, inverteix el corrent a l'espira a cada mitja volta.
    El commutador inverteix el corrent a cada mitja volta perquè el moment de la força mantingui sempre el mateix sentit de gir.
  5. mitjà

    Dos fils rectes, llargs i paral·lels són a 2 cm l'un de l'altre i porten 10 A cadascun, en el mateix sentit. Quina és la força per metre de fil, i és d'atracció o de repulsió? Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    La força per metre és \(\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\, i_1\, i_2}{2\pi d}\) \(= \dfrac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 10 \cdot 10}{0{,}02}\), i els corrents del mateix sentit s'atreuen.
    \(\dfrac{F}{L} = 1 \cdot 10^{-3}\ \text{N/m}\), d'atracció
  6. mitjà

    Una barra conductora de 20 cm i 30 g penja en horitzontal, en una regió amb un camp magnètic horitzontal de 0,5 T, perpendicular a ella. Quin corrent ha de passar per la barra perquè la força magnètica, apuntant cap amunt, equilibri el pes? Fes servir g = 10 m/s².

    Mostra la resolució
    L'equilibri demana \(B\,i\,L = m\,g\), i d'aquí \(i = \dfrac{m\,g}{B\,L} = \dfrac{0{,}03 \cdot 10}{0{,}5 \cdot 0{,}2}\).
    \(i = 3\ \text{A}\)
  7. mitjà

    Una bobina rectangular de 10 cm per 5 cm, amb 50 voltes de fil i un corrent de 2 A, és en un camp magnètic uniforme de 0,4 T, amb els costats de 10 cm perpendiculars al camp. Quina és la força a cadascun d'aquests costats? Quin és el moment de la força més gran que pot patir la bobina?

    Mostra la resolució
    A cada costat de 10 cm, amb 50 voltes de fil, \(F = N\,B\,i\,L = 50 \cdot 0{,}4 \cdot 2 \cdot 0{,}1\).
    El moment és màxim quan el pla de la bobina queda paral·lel al camp, i llavors les dues forces, oposades, estan separades per l'amplada de 5 cm, \(\tau = F \cdot 0{,}05\).
    4 N a cada costat, i un moment màxim de \(0{,}2\ \text{N} \cdot \text{m}\).
  8. mitjà

    La bobina d'un altaveu té 5 m de fil, tot perpendicular al camp d'1,2 T de l'imant. Quina és la força sobre la bobina quan el corrent val 0,5 A? Què passa amb aquesta força quan el corrent canvia de sentit?

    Mostra la resolució
    Sumant tot el fil, \(F = B\,i\,L = 1{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 5\). Amb el corrent invertit, la força també s'inverteix, i la bobina passa a ser empesa cap a l'altre costat.
    \(F = 3\ \text{N}\), i el sentit de la força s'inverteix juntament amb el corrent, cosa que fa anar i tornar el con.
  9. repte

    Fins al 2019, l'ampere es definia com el corrent que, mantingut en dos fils rectes, llargs i paral·lels, a 1 m l'un de l'altre en el buit, produeix entre ells una força de \(2 \cdot 10^{-7}\ \text{N}\) per metre de fil. Demostra que aquesta definició és coherent amb \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    Amb \(i_1 = i_2 = 1\ \text{A}\) i \(d = 1\ \text{m}\), \(\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\, i_1\, i_2}{2\pi d}\) \(= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 1}{2\pi \cdot 1}\).
    El càlcul dona exactament \(2 \cdot 10^{-7}\ \text{N}\) per metre, i la definició antiga quadra amb aquest valor de \(\mu_0\).
  10. repte

    Un fil horitzontal i llarg, amb un corrent de 50 A, està fixat al sostre. Just a sota, a 1 cm, un segon fil paral·lel, de 10 g per metre, es manté suspès només per la força magnètica. Quin corrent ha de tenir el segon fil, i en quin sentit respecte al del primer? Fes servir g = 10 m/s². Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\).

    Mostra la resolució
    El fil de sota ha de ser atret cap amunt, i per això el seu corrent ha de tenir el mateix sentit que el del primer.
    Per metre de fil, el pes és \(0{,}01 \cdot 10 = 0{,}1\ \text{N}\), i l'equilibri demana \(\dfrac{\mu_0\, i_1\, i_2}{2\pi d} = 0{,}1\), o \(i_2 = \dfrac{0{,}1 \cdot 0{,}01}{2 \cdot 10^{-7} \cdot 50}\).
    \(i_2 = 100\ \text{A}\), en el mateix sentit que el corrent del fil de dalt.
PAS 5

Un imant en moviment pot crear corrent?

Si un corrent crea camp magnètic, sembla natural preguntar-se si un camp magnètic pot crear corrent. Michael Faraday va demostrar, el 1831, que sí, sempre que el camp a través del circuit variï. Un imant aturat al costat d'una bobina no produeix cap corrent, i el mateix imant, si l'apropem o l'allunyem, fa aparèixer un corrent.

Per descriure-ho, fem servir el flux magnètic \(\Phi = B\,A\cos\theta\) a través d'una espira d'àrea \(A\), on \(\theta\) és l'angle entre \(\vec B\) i la recta perpendicular al pla de l'espira. Podem imaginar el flux, aproximadament, com la quantitat de línies de camp que travessen l'espira. La llei de Faraday diu que la força electromotriu induïda és la rapidesa amb què varia aquest flux, multiplicada pel nombre d'espires de la bobina.

\(\Phi = B\,A\cos\theta\)\(|\varepsilon| = N\,\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\)\(i = \dfrac{\varepsilon}{R}\)El flux es mesura en weber, \(1\ \text{Wb} = 1\ \text{T} \cdot \text{m}^2\). Amb el signe, la llei de Faraday s'escriu \(\varepsilon = -N\,\Delta\Phi/\Delta t\), i el signe negatiu expressa la llei de Lenz. A la simulació, la bobina té 200 espires de 2 cm de radi en 8 cm de longitud, l'imant es tracta com un petit dipol magnètic, i el circuit amb el galvanòmetre té \(5\ \Omega\).

El sentit del corrent surt de la llei de Lenz, segons la qual el corrent induït crea un camp que s'oposa a la variació del flux. Si apropem el pol nord d'un imant, la cara de la bobina girada cap a ell esdevé un pol nord i el repel·leix; si l'allunyem, la cara esdevé un pol sud i intenta retenir-lo. Hi veiem la conservació de l'energia, ja que l'energia elèctrica del corrent surt del treball que fem per moure l'imant.

Un imant fort que cau dins d'un tub de coure o d'alumini baixa molt a poc a poc, tot i que aquests metalls no són atrets pels imants. La caiguda fa variar el flux a les parets del tub, els corrents induïts que hi apareixen s'oposen al moviment, i l'imant baixa gairebé a velocitat constant.

Per comentar

  • Apropa el pol nord de l'imant a poc a poc i després de pressa. Què canvia a l'agulla del galvanòmetre i al gràfic?
  • Atura l'imant dins de la bobina. Per què el galvanòmetre torna a zero, si el flux hi és el més gran possible?
  • Fes travessar la bobina a l'imant i compara el corrent a l'entrada i a la sortida. Quin pol apareix a la cara de la bobina girada cap a l'imant en cada cas?
  • Inverteix l'imant i repeteix el moviment. Què passa amb el sentit del corrent?
Flux a les 200 espires
Fem induïda
Corrent
Velocitat de l'imant
Exercicis del pas 5 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una espira de \(0{,}02\ \text{m}^2\) és en un camp magnètic uniforme de 0,5 T. Quin és el flux magnètic que la travessa quan el camp és perpendicular al pla de l'espira? I quan el camp és paral·lel al pla?

    Mostra la resolució
    Amb el camp perpendicular al pla, l'angle entre \(\vec B\) i la perpendicular a l'espira és zero, i \(\Phi = B\,A = 0{,}5 \cdot 0{,}02\). Amb el camp paral·lel al pla, cap línia no travessa l'espira.
    \(\Phi = 0{,}01\ \text{Wb}\) en el primer cas, i zero en el segon.
  2. bàsic

    Un imant està aturat dins d'una bobina connectada a un galvanòmetre. El galvanòmetre marca corrent? I mentre estirem l'imant cap a fora?

    Mostra la resolució
    El corrent induït depèn de la variació del flux, i amb l'imant aturat el flux, encara que sigui gran, no varia.
    Amb l'imant aturat no hi ha corrent; mentre surt, el flux disminueix i el galvanòmetre marca corrent.
  3. bàsic

    En una bobina de 100 espires, el flux a través de cada espira baixa de 0,02 Wb a zero en 0,1 s. Quina és la fem mitjana induïda?

    Mostra la resolució
    Segons la llei de Faraday, \(|\varepsilon| = N\,\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\) \(= 100 \cdot \dfrac{0{,}02}{0{,}1}\).
    \(|\varepsilon| = 20\ \text{V}\)
  4. bàsic

    Apropem el pol sud d'un imant a una bobina connectada a una bombeta. Quin pol apareix a la cara de la bobina girada cap a l'imant? L'imant és atret o repel·lit per la bobina?

    Mostra la resolució
    Segons la llei de Lenz, el corrent induït s'oposa a l'apropament, i la bobina ho fa repel·lint l'imant.
    Apareix un pol sud a la cara girada cap a l'imant, que és repel·lit.
  5. mitjà

    Una espira circular de 10 cm de radi i resistència de \(0{,}5\ \Omega\) és en un camp perpendicular al seu pla, que baixa uniformement de 0,8 T a zero en 0,2 s. Quin és el corrent induït? Fes servir \(\pi \approx 3{,}14\).

    Mostra la resolució
    L'àrea és \(A = \pi R^2 = 3{,}14 \cdot 0{,}01\) \(= 0{,}0314\ \text{m}^2\), i la fem és \(|\varepsilon| = \dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\) \(= \dfrac{0{,}8 \cdot 0{,}0314}{0{,}2} \approx 0{,}126\ \text{V}\).
    El corrent és \(i = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{0{,}126}{0{,}5}\).
    \(i \approx 0{,}25\ \text{A}\)
  6. mitjà

    Una bobina de 50 espires, amb \(40\ \text{cm}^2\) d'àrea, té el pla perpendicular a un camp uniforme de 0,2 T. En 0,05 s, la fem girar fins que el pla queda paral·lel al camp. Quina és la fem mitjana induïda?

    Mostra la resolució
    El flux per espira passa de \(B\,A = 0{,}2 \cdot 40 \cdot 10^{-4}\) \(= 8 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}\) a zero, i \(|\varepsilon| = N\,\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\) \(= 50 \cdot \dfrac{8 \cdot 10^{-4}}{0{,}05}\).
    \(|\varepsilon| = 0{,}8\ \text{V}\)
  7. mitjà

    Un imant fort cau dins d'un tub vertical de coure i triga molt més a arribar a terra que un imant igual deixat anar al costat del tub. El coure no és atret pels imants. Què frena l'imant, i on va a parar l'energia potencial gravitatòria que perd?

    Mostra la resolució
    Durant la caiguda, el flux magnètic canvia a cada anella del tub. Per sota de l'imant augmenta, per sobre disminueix, i apareixen corrents induïts a les parets del tub.
    Segons la llei de Lenz, aquests corrents s'oposen al moviment de l'imant, empenyent-lo per sota i estirant-lo per sobre.
    Els corrents induïts al coure frenen l'imant, i l'energia potencial que perd es converteix en calor al tub, per l'efecte Joule.
  8. mitjà

    En una bobina de 200 espires, el flux a través de cada espira creix uniformement de zero a \(3 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}\) entre 0 i 0,1 s, es manté constant fins a 0,3 s i baixa uniformement a zero entre 0,3 s i 0,4 s. Quina és la fem induïda en cada interval?

    Mostra la resolució
    Entre 0 i 0,1 s, \(|\varepsilon| = 200 \cdot \dfrac{3 \cdot 10^{-4}}{0{,}1}\). Entre 0,1 s i 0,3 s, el flux no varia.
    Entre 0,3 s i 0,4 s, la variació té la mateixa mida i el mateix temps que la primera, amb signe oposat.
    0,6 V en el primer interval, zero en el segon i 0,6 V amb el signe invertit en el tercer.
  9. repte

    Una espira quadrada de 10 cm de costat i resistència de \(0{,}02\ \Omega\) surt, amb una velocitat constant de 2 m/s, d'una regió amb un camp magnètic de 0,5 T perpendicular al seu pla, amb un dels costats paral·lel a la vora de la regió. Mentre surt, quin és el corrent induït? Quina força cal fer per mantenir la velocitat constant, i d'on ve l'energia dissipada a l'espira?

    Mostra la resolució
    Cada segon, l'àrea de l'espira dins del camp disminueix \(L\,v\), i \(|\varepsilon| = B\,L\,v\) \(= 0{,}5 \cdot 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}1\ \text{V}\), amb \(i = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{0{,}1}{0{,}02}\).
    El costat que encara és dins del camp pateix \(F = B\,i\,L\), en contra del moviment, com preveu la llei de Lenz, i qui estira l'espira ha de fer aquesta mateixa força.
    La potència de qui estira, \(F\,v = B\,i\,L\,v\), és igual a la potència dissipada, \(\varepsilon\, i = (B\,L\,v)\, i\).
    \(i = 5\ \text{A}\) i \(F = 0{,}5 \cdot 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}25\ \text{N}\), i l'energia dissipada ve del treball de qui estira l'espira.
  10. repte

    En una placa d'inducció, per una bobina sota el vidre circula un corrent altern d'alta freqüència. Explica per què s'escalfa el cul d'una olla metàl·lica, mentre que el vidre de la placa gairebé no s'escalfa pel seu compte, i per què una olla de vidre no funcionaria en aquesta placa.

    Mostra la resolució
    El corrent altern a la bobina produeix un camp magnètic que varia molt ràpidament i travessa el cul de l'olla.
    En el metall, que és conductor, aquest flux variable indueix corrents, que escalfen el cul per l'efecte Joule. El vidre de la placa i una olla de vidre són aïllants, i en ells pràcticament no hi ha corrent induït.
    Només el metall de l'olla condueix els corrents induïts que es converteixen en calor; el vidre s'escalfa només pel contacte amb l'olla calenta, i una olla de vidre no s'escalfaria.
PAS 6

Com produeix energia elèctrica una central?

Gairebé tota l'energia elèctrica que fem servir ve de generadors que funcionen per inducció. En una central hidroelèctrica, l'aigua que baixa de l'embassament fa girar una turbina; en un aerogenerador, és el vent que fa girar les pales; a les centrals tèrmiques i a les nuclears, és el vapor. En tots aquests casos, la turbina fa girar bobines en un camp magnètic, o imants davant de bobines, i el flux varia sense parar.

Si una bobina de \(N\) espires, cadascuna d'àrea \(A\), gira en un camp uniforme amb velocitat angular \(\omega\) constant, el flux que la travessa puja i baixa com un cosinus, i la fem induïda varia com una sinusoide d'amplitud \(N\,B\,A\,\omega\). La fem canvia de signe a cada mitja volta, i el corrent canvia de sentit amb ella. És el corrent altern, que al Brasil fa 60 cicles per segon, la freqüència de 60 Hz.

\(\varepsilon_{\text{màx}} = N\,B\,A\,\omega\)\(\omega = 2\pi f\)\(\varepsilon = B\,L\,v\)La primera val per a una bobina que gira en un camp uniforme, i l'última, per a una barra de longitud \(L\) que llisca amb velocitat \(v\) perpendicular al camp. A la simulació, \(B = 0{,}5\ \text{T}\) i cada espira té \(20\ \text{cm}^2\). La bombeta es tracta com un resistor de \(12\ \Omega\) que brilla normalment amb 1 W, menyspreem la resistència de la mateixa bobina, i la rotació és força més lenta que els 60 Hz de la xarxa.

Una barra conductora que llisca sobre uns rails, dins d'un camp, és el generador més senzill d'analitzar. Cada segon, l'àrea del circuit creix \(L\,v\) i el flux creix \(B\,L\,v\), que és la fem induïda. Arribem al mateix resultat amb la força magnètica sobre els electrons de la barra, que els empeny al llarg d'ella.

A primera vista, el generador sembla crear energia a partir del gir. Quan hi ha corrent, les forces magnètiques sobre la bobina frenen el gir, com preveu la llei de Lenz, i la turbina ha de fer treball per mantenir la rotació, de manera que l'energia elèctrica surt de l'energia de l'aigua, del vent o del vapor.

Per comentar

  • Fes girar l'espira a una volta per segon i observa el gràfic. En quina posició de l'espira la fem és màxima, i en quina és zero?
  • Dobla la rotació. Què passa amb l'amplitud, amb el període de la sinusoide i amb la brillantor de la bombeta?
  • Amb la turbina molt a poc a poc, la bombeta fa pampallugues. Quantes vegades per volta gairebé s'apaga, i per què?
  • Canvia els anells pel commutador. Què canvia al gràfic, i per què la bombeta continua encenent-se igual?
Fem màxima
Freqüència
Període
Potència mitjana a la bombeta
Exercicis del pas 6 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una barra de 0,5 m llisca a 4 m/s sobre uns rails conductors, perpendicularment a un camp magnètic uniforme de 0,2 T. Quina és la fem induïda entre els extrems de la barra?

    Mostra la resolució
    Per a una barra que talla les línies de camp, \(\varepsilon = B\,L\,v = 0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 4\).
    \(\varepsilon = 0{,}4\ \text{V}\)
  2. bàsic

    Una bobina de 100 espires, cadascuna de \(0{,}01\ \text{m}^2\), gira a 10 rad/s en un camp uniforme de 0,5 T. Quina és la fem màxima?

    Mostra la resolució
    La fem màxima és \(\varepsilon_{\text{màx}} = N\,B\,A\,\omega\) \(= 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}01 \cdot 10\).
    \(\varepsilon_{\text{màx}} = 5\ \text{V}\)
  3. bàsic

    La xarxa elèctrica del Brasil és de 60 Hz. Quantes vegades per segon canvia de sentit el corrent en una bombeta connectada a l'endoll?

    Mostra la resolució
    En cada cicle el corrent va en un sentit durant mig cicle i en l'altre durant l'altre mig, i canvia de sentit dues vegades.
    Amb 60 cicles per segon, el corrent canvia de sentit 120 vegades per segon.
  4. bàsic

    En una central hidroelèctrica, quines transformacions d'energia tenen lloc, des de l'aigua quieta a l'embassament fins a l'energia elèctrica que surt del generador?

    Mostra la resolució
    L'aigua a dalt de l'embassament té energia potencial gravitatòria, que es converteix en energia cinètica en la baixada per les canonades.
    L'aigua fa girar la turbina, i l'energia cinètica de rotació passa al generador, que la transforma en energia elèctrica per inducció. Part de l'energia es perd com a calor, en el fregament i en els fils.
    Potencial gravitatòria → cinètica de l'aigua → cinètica de rotació de la turbina → elèctrica, amb algunes pèrdues en forma de calor.
  5. mitjà

    La dinamo d'una bicicleta, que fa girar el pneumàtic, dona una fem màxima de 6 V quan la bicicleta va a 15 km/h. Quina seria la fem màxima a 30 km/h? Per què el far fa menys llum en una pujada lenta?

    Mostra la resolució
    El pneumàtic fa girar la dinamo, i la velocitat angular de la dinamo és proporcional a la velocitat de la bicicleta. Amb \(N\), \(B\) i \(A\) fixos, \(\varepsilon_{\text{màx}} = N\,B\,A\,\omega\) és proporcional a \(\omega\).
    Amb el doble de velocitat, la fem màxima es dobla, i en una pujada lenta, amb \(\omega\) petita, la fem i la brillantor baixen.
    A 30 km/h, la fem màxima seria de 12 V; a la pujada lenta, la dinamo gira a poc a poc i genera menys.
  6. mitjà

    Una barra de 40 cm llisca a 5 m/s sobre uns rails units per un resistor de \(2\ \Omega\), en un camp de 0,5 T perpendicular al pla dels rails. Menysprea les altres resistències i el fregament. Quin és el corrent al circuit? Quina força manté la barra a velocitat constant?

    Mostra la resolució
    La fem és \(\varepsilon = B\,L\,v = 0{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 5 = 1\ \text{V}\), i el corrent, \(i = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{1}{2}\).
    La barra amb corrent pateix una força magnètica en contra del moviment, \(F = B\,i\,L = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}4\), i qui l'estira l'ha d'equilibrar.
    \(i = 0{,}5\ \text{A}\), i la força necessària és de 0,1 N.
  7. mitjà

    Una bobina de 200 espires, amb \(50\ \text{cm}^2\) d'àrea, gira en un camp uniforme de 0,4 T. Amb quina freqüència, en voltes per segon, ha de girar perquè la fem màxima sigui de 12 V? Fes servir \(\pi \approx 3{,}14\).

    Mostra la resolució
    Aïllant \(\omega\) a \(\varepsilon_{\text{màx}} = N\,B\,A\,\omega\), tenim \(\omega = \dfrac{12}{200 \cdot 0{,}4 \cdot 50 \cdot 10^{-4}}\) \(= 30\ \text{rad/s}\), i \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{30}{6{,}28}\).
    \(f \approx 4{,}8\ \text{Hz}\), gairebé cinc voltes per segon
  8. mitjà

    El gràfic de la fem d'un generador és una sinusoide amb un valor màxim de 10 V i un període de 0,02 s. Quina és la freqüència? Si la rotació del generador es dobla, quins seran el nou valor màxim i el nou període?

    Mostra la resolució
    La freqüència és \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}02}\).
    Amb el doble de rotació, \(\omega\) es dobla, i amb ella el valor màxim \(N\,B\,A\,\omega\), mentre que el període es redueix a la meitat.
    50 Hz; amb la rotació doblada, 20 V de màxim i un període de 0,01 s.
  9. repte

    Un estudiant fa girar la maneta d'un petit generador connectat a una bombeta de 12 V i 24 W. Fins i tot menyspreant el fregament, nota la maneta més dura amb la bombeta connectada que amb el circuit obert. Explica per què, i digues quina és la potència mínima que ha de subministrar per mantenir la bombeta encesa normalment.

    Mostra la resolució
    Amb el circuit obert no hi ha corrent, i les espires giren sense patir cap força magnètica.
    Amb la bombeta connectada, el corrent induït a les espires pateix forces que, segons la llei de Lenz, s'oposen al gir, i l'estudiant les ha de vèncer.
    L'energia elèctrica que rep la bombeta surt d'aquest treball, i, en un generador sense pèrdues, hauria de subministrar exactament la potència de la bombeta.
    La maneta es fa dura perquè les forces sobre el corrent induït frenen el gir, i ha de subministrar com a mínim 24 W.
  10. repte

    Una barra de 50 cm i 20 g llisca, sense fregament, per uns rails verticals units per un resistor d'\(1\ \Omega\), en un camp horitzontal de 0,4 T perpendicular al pla dels rails. Deixada anar des del repòs, cau i arriba a una velocitat límit. Quina és aquesta velocitat? Fes servir g = 10 m/s².

    Mostra la resolució
    Amb velocitat \(v\), la fem és \(B\,L\,v\), el corrent és \(\dfrac{B\,L\,v}{R}\) i la força magnètica, cap amunt, val \(B\,i\,L = \dfrac{B^2 L^2 v}{R}\).
    La velocitat límit és aquella en què aquesta força iguala el pes, \(\dfrac{B^2 L^2 v}{R} = m\,g\), i llavors \(v = \dfrac{m\,g\,R}{B^2 L^2} = \dfrac{0{,}02 \cdot 10 \cdot 1}{0{,}4^2 \cdot 0{,}5^2}\).
    \(v = 5\ \text{m/s}\)
PAS 7

Per què l'energia viatja a alta tensió?

Un transformador té dues bobines enrotllades al mateix nucli de ferro. El corrent altern al primari crea al nucli un flux que varia sense parar, i aquest flux travessa el secundari i hi indueix una tensió alterna. Si menyspreem les pèrdues, cada espira de les dues bobines té la mateixa fem, i les tensions estan en la raó del nombre d'espires.

En un transformador ideal, la potència que entra al primari és la que surt del secundari, \(U_1\, i_1 = U_2\, i_2\), i si la tensió puja, el corrent baixa en la mateixa proporció. Els transformadors reals solen tenir un rendiment de més del 95% i s'escalfen una mica. Amb corrent continu, el flux al nucli es manté constant un cop connectat el circuit, i el secundari no rep res.

\(\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}\)\(U_1\, i_1 = U_2\, i_2\)\(P_{\text{perduda}} = R\,i^2\)Les dues primeres valen per al transformador ideal, sense pèrdues. Al tauler de la línia, la central envia 5 MW per una línia de \(5\ \Omega\), i comparem la pèrdua a 13,8 kV, una tensió típica a la sortida dels generadors, amb la pèrdua a tensions més altes, suposant els transformadors ideals.

Pensem en una línia de transport de resistència \(R\), que perd en forma de calor la potència \(R\,i^2\). Per lliurar la mateixa potència \(P = U\,i\), una tensió deu vegades més gran demana un corrent deu vegades més petit, i la pèrdua es fa cent vegades més petita. Per això les centrals eleven la tensió a centenars de milers de volts per a les línies d'alta tensió, i transformadors a prop de les ciutats i als pals la baixen fins als 127 V o 220 V dels endolls del Brasil, cosa que només és possible amb corrent altern.

Els carregadors de mòbil antics, pesants, tenien a dins un transformador que baixava la tensió de l'endoll a pocs volts, seguit d'un circuit que rectificava el corrent. Els actuals solen fer oscil·lar el corrent desenes de milers de vegades per segon, o més, i amb aquesta freqüència alta un transformador molt més petit fa la feina.

Per comentar

  • Tria el carregador antic, de 127 V a 5 V. Quin costat té el corrent més gran? Comprova que \(U_1\, i_1 = U_2\, i_2\).
  • Intercanvia els valors de \(N_1\) i \(N_2\). El transformador passa a elevar o a reduir la tensió?
  • Connecta el transformador en corrent continu. Què passa al secundari, i per què?
  • Al tauler de la línia, passa de 13,8 kV a 138 kV. La tensió s'ha fet deu vegades més gran; quantes vegades més petita s'ha fet la pèrdua?
Tensió al secundari
Corrent al primari
Corrent al secundari
Potència (entra = surt)
Corrent a la línia
Pèrdua a la línia
Exercicis del pas 7 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un transformador té 1000 espires al primari i 50 al secundari. Connectat a 220 V, quina tensió dona al secundari?

    Mostra la resolució
    Les tensions estan en la raó de les espires, \(U_2 = U_1\,\dfrac{N_2}{N_1} = 220 \cdot \dfrac{50}{1000}\).
    \(U_2 = 11\ \text{V}\)
  2. bàsic

    Un transformador ideal rep 100 W al primari, a 127 V. Quant lliura al secundari? Quin és el corrent al secundari, si la tensió de sortida és de 12 V?

    Mostra la resolució
    En el transformador ideal no hi ha pèrdues, i lliura els mateixos 100 W. El corrent al secundari és \(i_2 = \dfrac{P}{U_2} = \dfrac{100}{12}\).
    100 W, amb \(i_2 \approx 8{,}3\ \text{A}\)
  3. bàsic

    Per què un transformador no funciona si el connectem a una bateria de cotxe?

    Mostra la resolució
    La bateria dona corrent continu, i, un cop connectat el circuit, el flux al nucli es manté constant.
    Sense variació de flux, no hi ha tensió induïda al secundari.
    Amb corrent continu el flux no varia, i el secundari no rep tensió; el transformador necessita corrent altern.
  4. bàsic

    En un transformador ideal, la tensió al secundari és deu vegades més gran que la del primari. Com es comparen els corrents als dos debanaments?

    Mostra la resolució
    La potència es conserva, \(U_1\, i_1 = U_2\, i_2\), i amb \(U_2 = 10\,U_1\) tenim \(i_2 = \dfrac{i_1}{10}\).
    El corrent al secundari és deu vegades més petit que el del primari.
  5. mitjà

    Volem baixar 127 V a 9 V amb un transformador de 1270 espires al primari. Quantes espires ha de tenir el secundari? Si l'aparell connectat al secundari consumeix 1,5 A, quin és el corrent al primari, suposant el transformador ideal?

    Mostra la resolució
    De la raó de les tensions, \(N_2 = N_1\,\dfrac{U_2}{U_1} = 1270 \cdot \dfrac{9}{127}\).
    Per la conservació de la potència, \(i_1 = \dfrac{U_2\, i_2}{U_1} = \dfrac{9 \cdot 1{,}5}{127}\).
    90 espires al secundari, i \(i_1 \approx 0{,}11\ \text{A}\) al primari
  6. mitjà

    Una central envia 10 MW per una línia de transport de \(4\ \Omega\). Calcula la potència perduda a la línia amb el transport a 20 kV i a 200 kV.

    Mostra la resolució
    A 20 kV, \(i = \dfrac{10^7}{2 \cdot 10^4} = 500\ \text{A}\), i la pèrdua és \(R\,i^2 = 4 \cdot 500^2\).
    A 200 kV, \(i = 50\ \text{A}\), i la pèrdua és \(R\,i^2 = 4 \cdot 50^2\).
    1 MW perdut a 20 kV, el 10% de la potència, i només 10 kW a 200 kV, el 0,1% de la potència, cent vegades menys.
  7. mitjà

    La tensió d'una línia de transport passa de 138 kV a 500 kV, amb la mateixa potència transmesa i la mateixa línia. En quin factor disminueix la potència perduda a la línia?

    Mostra la resolució
    Amb \(P = U\,i\) fixa, el corrent és inversament proporcional a la tensió, i la pèrdua \(R\,i^2\) és inversament proporcional a \(U^2\).
    El factor és \(\left(\dfrac{500}{138}\right)^2\).
    La pèrdua es fa unes 13 vegades més petita.
  8. mitjà

    Un transformador real rep 2,0 A a 220 V al primari i lliura 9,0 A a 46 V al secundari. Quin és el seu rendiment? On va a parar l'energia que falta?

    Mostra la resolució
    La potència d'entrada és \(220 \cdot 2{,}0 = 440\ \text{W}\), i la de sortida, \(46 \cdot 9{,}0 = 414\ \text{W}\). El rendiment és \(\eta = \dfrac{414}{440}\).
    \(\eta \approx 94\%\); els 26 W que falten es converteixen en calor als fils dels debanaments i al nucli.
  9. repte

    Un generador de central produeix 100 MW a 13,8 kV, i un transformador, que suposarem ideal, eleva la tensió a 500 kV. Quina és la raó entre els nombres d'espires del secundari i del primari? Quin és el corrent a la sortida del generador, i quin és el corrent a la línia?

    Mostra la resolució
    La raó de les espires és la de les tensions, \(\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{500}{13{,}8}\).
    A la sortida del generador, \(i_1 = \dfrac{10^8}{13\,800}\), i a la línia, \(i_2 = \dfrac{10^8}{5 \cdot 10^5}\).
    \(N_2/N_1 \approx 36\), uns 7200 A al generador i 200 A a la línia.
  10. repte

    Una petita central hidroelèctrica d'una finca dona 20 kW, i la casa és a 2 km. Els fils de la línia, d'anada i tornada, sumen \(1\ \Omega\). En un model senzill en què la potència \(U\,i\) enviada per la línia és sempre de 20 kW, compara la fracció perduda transmetent a 220 V i a 2200 V, amb transformadors ideals als dos extrems en el segon cas. Per què la primera opció seria inviable?

    Mostra la resolució
    A 220 V, \(i = \dfrac{20\,000}{220} \approx 91\ \text{A}\), i la pèrdua és \(R\,i^2 \approx 8{,}3 \cdot 10^3\ \text{W}\).
    A 2200 V, \(i \approx 9{,}1\ \text{A}\), i \(R\,i^2 \approx 83\ \text{W}\).
    A 220 V, a més de perdre gairebé la meitat de l'energia en forma de calor, la línia faria baixar la tensió en \(R\,i \approx 91\ \text{V}\), i la casa rebria força menys de 220 V.
    Una pèrdua d'un 41% a 220 V i d'un 0,4% a 2200 V; a 220 V, la pèrdua i la caiguda de tensió fan inviable la connexió.
TANCAMENT

Reptes

Imants

Dues barres de metall tenen el mateix aspecte, però només una és un imant. Sense cap altre objecte, com podem descobrir quina és l'imant?

Mostra la resolució
Toquem el mig de la barra B amb l'extrem de la barra A. Si hi ha una atracció forta, A és l'imant, perquè el mig d'un imant gairebé no atreu, i és als extrems on el camp és intens.
Si no hi ha atracció, intercanviem els papers, i és B la que té un extrem capaç d'atreure el mig de la barra A.
El corrent crea camp

En engegar un cotxe, el cable de la bateria porta uns 150 A. Quin és el camp magnètic a 3 cm del cable? Compara'l amb el camp de la Terra, \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\). (\(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\))

Mostra la resolució
Tractant el cable com un fil llarg, \(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d} = \dfrac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 150}{0{,}03}\), que dona \(10^{-3}\ \text{T}\).
Això és 50 vegades el camp de la Terra, i una brúixola a prop quedaria completament desorientada durant l'engegada.
Força sobre càrregues

Demostra que la freqüència amb què gira un protó en un camp uniforme no depèn de la seva velocitat, i calcula aquesta freqüència en un camp d'1 T. (\(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\), \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\))

Mostra la resolució
La freqüència és l'invers del període, \(f = \dfrac{|q|\,B}{2\pi m}\), i la velocitat no hi apareix. Per al protó, \(f = \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1}{2\pi \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}\), uns \(1{,}5 \cdot 10^7\ \text{Hz}\).
Aquesta independència va permetre construir els ciclotrons, que empenyen les partícules al mateix ritme mentre guanyen velocitat i obren l'espiral.
Força sobre fils

Un fil horitzontal d'una xarxa de troleibusos porta 300 A. En un lloc on el camp de la Terra val \(5 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) i és perpendicular al fil, quina és la força magnètica sobre 2 m de fil?

Mostra la resolució
La força és \(F = B\,i\,L = 5 \cdot 10^{-5} \cdot 300 \cdot 2\), és a dir, 0,03 N.
Fins i tot amb un corrent tan gran, la força del camp de la Terra és petita, més o menys el pes de tres grams.
Inducció

Una bobina de 500 espires i \(10\ \text{cm}^2\) d'àrea té l'eix paral·lel a un camp de 0,2 T. En 0,01 s, el camp s'inverteix. Quina és la fem mitjana induïda?

Mostra la resolució
El flux per espira va de \(+0{,}2 \cdot 10^{-3}\) a \(-0{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{Wb}\), una variació de \(4 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}\), el doble del que seria si el camp només s'anul·lés.
La fem és \(|\varepsilon| = 500 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-4}}{0{,}01}\), és a dir, 20 V.
Generadors

Un avió, amb 40 m d'envergadura, vola en horitzontal a 250 m/s en un lloc on la component vertical del camp de la Terra val \(4 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\). Quina és la fem induïda entre les puntes de les ales?

Mostra la resolució
Les ales funcionen com una barra que talla les línies verticals del camp, i \(\varepsilon = B\,L\,v = 4 \cdot 10^{-5} \cdot 40 \cdot 250\), és a dir, 0,4 V.
Aquesta tensió no encén res a bord, perquè qualsevol fil que anés d'una punta a l'altra es mouria juntament amb l'ala i patiria la mateixa fem.
Transformadors

La font d'alimentació d'un portàtil indica una sortida de 19 V i 3,4 A. Suposant un rendiment del 90% i la font connectada a 127 V, quin corrent consumeix de l'endoll?

Mostra la resolució
La potència de sortida és \(19 \cdot 3{,}4 = 64{,}6\ \text{W}\), i la d'entrada, \(\dfrac{64{,}6}{0{,}9} \approx 71{,}8\ \text{W}\).
A l'endoll, \(i = \dfrac{71{,}8}{127}\), uns 0,57 A.
Pensar, sense comptes

El corrent induït en una bobina sempre s'oposa a la variació del flux. Què passaria amb la conservació de l'energia si ajudés la variació?

Mostra la resolució
Si el corrent induït, en apropar un imant, estirés l'imant cap a dins de la bobina, n'hi hauria prou amb una petita empenta perquè l'imant s'accelerés tot sol, generant cada vegada més corrent i més energia sense que ningú fes treball.
Això crearia energia del no-res. La llei de Lenz és la forma que pren la conservació de l'energia en la inducció.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Les cinc preguntes següents les hem escrites nosaltres en el format de l'ENEM, amb un text base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall indiquem preguntes reals de la prova sobre electromagnetisme, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

  1. Imants i camp magnètic · Pas 1

    La Rita fa excursions i fa servir una brúixola per orientar-se. En una parada, va deixar la brúixola sobre la motxilla, al costat del mòbil, i es va adonar que l'agulla havia deixat d'apuntar cap al nord. Quan va allunyar el mòbil uns 30 cm, l'agulla va tornar a la normalitat. Els mòbils solen tenir petits imants a dins, a l'altaveu, per exemple.

    La desviació de l'agulla a prop del mòbil passa perquè

    1. les ones de ràdio que emet el mòbil fan força sobre l'agulla i la fan girar.
    2. la bateria del mòbil electritza l'agulla, que passa a ser atreta per l'aparell.
    3. a prop del mòbil, el camp del seu imant és més intens que el de la Terra i canvia la direcció del camp resultant, amb el qual l'agulla s'alinea.
    4. el mòbil bloqueja el camp magnètic de la Terra, i l'agulla, sense cap camp, s'atura en una posició qualsevol.
    5. l'imant del mòbil inverteix el camp de la Terra, i l'agulla passa a apuntar cap al pol sud geogràfic.
    Mostra la resolució
    Resposta: C.
    L'agulla és un petit imant que s'alinea amb el camp magnètic del lloc on és, i aquest camp és la suma vectorial del camp de la Terra i el de qualsevol imant proper.
    El camp d'un imant disminueix de pressa amb la distància. A pocs centímetres, el del mòbil pot superar el de la Terra, que és feble, uns \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\) en horitzontal, i a 30 cm ja és petit al costat d'aquest.
    L'A atribueix l'efecte a les ones de ràdio, que no orienten l'agulla, i la B confon l'efecte elèctric amb el magnètic. La D suposa que el mòbil bloqueja el camp de la Terra, quan en realitat els dos camps se sumen, i l'E suposa una inversió del camp de la Terra que un aparell petit no produeix.
  2. El corrent crea camp · Pas 2

    En una classe pràctica, la Sofia repeteix l'experiment d'Oersted. Un fil vertical i llarg travessa la taula, i una brúixola és sobre la taula, 2 cm al sud del fil. Sense corrent, l'agulla apunta cap al nord, orientada per la component horitzontal del camp de la Terra, que val \(2 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\). Quan passa pel fil un corrent de 4 A, l'agulla gira i s'atura en una posició nova. Fes servir \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\) i, si cal, \(\tan 27^\circ \approx 0{,}5\), \(\tan 45^\circ = 1\) i \(\tan 63^\circ \approx 2\).

    Quants graus, aproximadament, es desvia l'agulla de la direcció nord?

    1. 0°
    2. 27°
    3. 45°
    4. 63°
    5. 90°
    Mostra la resolució
    Resposta: D.
    Al sud del fil, el camp del corrent apunta cap a l'est o cap a l'oest, segons el sentit del corrent, i és perpendicular al camp de la Terra. La seva intensitat és \(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d}\) \(= \dfrac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 4}{0{,}02}\) \(= 4 \cdot 10^{-5}\ \text{T}\).
    L'agulla s'alinea amb la resultant, que forma amb el nord un angle \(\alpha\) tal que \(\tan\alpha = \dfrac{4 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 10^{-5}} = 2\), uns 63°.
    La B inverteix la raó entre els camps, i la C suposa els dos camps iguals. L'E oblida el camp de la Terra, i l'A suposa que el corrent no actua sobre l'agulla, al contrari del que va observar Oersted.
  3. Força magnètica sobre càrregues · Pas 3

    En un espectròmetre de masses, uns ions entren per una escletxa, tots amb una velocitat d'\(1{,}0 \cdot 10^5\ \text{m/s}\), perpendicular a un camp magnètic uniforme de 0,10 T. Cada ió descriu mitja circumferència i arriba a una placa detectora. Una mostra conté els ions de la taula. Fes servir \(1\ \text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\) i \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

    Ions de la mostra
    IóMassa (u)Càrrega
    hidrogen, H⁺1+e
    heli, He²⁺4+2e
    carboni, C⁺12+e
    oxigen, O²⁺16+2e

    Quin ió arriba a la placa més lluny de l'escletxa, i a quina distància?

    1. H⁺, a 2,1 cm
    2. He²⁺, a 4,2 cm
    3. O²⁺, a 16,6 cm
    4. C⁺, a 12,5 cm
    5. C⁺, a 24,9 cm
    Mostra la resolució
    Resposta: E.
    El radi és \(R = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}\), proporcional a la raó entre la massa i la càrrega. Aquesta raó val 1 per a l'H⁺, 2 per a l'He²⁺, 12 per al C⁺ i 8 per a l'O²⁺, i el C⁺ descriu el radi més gran.
    Per al C⁺, \(R = \dfrac{12 \cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27} \cdot 1{,}0 \cdot 10^5}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}10}\) \(\approx 0{,}125\ \text{m}\), i arriba a la placa a un diàmetre de l'escletxa, \(2R \approx 24{,}9\ \text{cm}\).
    La D fa servir el radi en lloc del diàmetre, i la C tria l'ió més pesant sense tenir en compte la càrrega doble. L'A i la B es queden amb els ions de raó més petita entre massa i càrrega.
  4. Inducció electromagnètica · Pas 5

    En una fira de ciències, l'Otávio mou un imant a prop d'una bobina de 100 espires connectada a un voltímetre, i un sensor registra el flux magnètic a través de cada espira. El gràfic mostra el registre durant 6 s.

    0123456 t (s) 01234 Φ (mWb)

    En quin interval la fem induïda a la bobina té el valor més gran, i quant val?

    1. Entre 3 s i 4 s, amb 0,4 V.
    2. Entre 2 s i 3 s, amb 0,4 V.
    3. Entre 0 i 2 s, amb 0,2 V.
    4. Entre 3 s i 4 s, amb 4 mV.
    5. Entre 0 i 2 s, amb 0,4 V.
    Mostra la resolució
    Resposta: A.
    La fem depèn de la rapidesa amb què varia el flux, \(|\varepsilon| = N\,\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\), i el pendent més gran del gràfic és entre 3 s i 4 s, quan el flux baixa 4 mWb en 1 s.
    En aquest interval, \(|\varepsilon| = 100 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-3}}{1} = 0{,}4\ \text{V}\). Entre 0 i 2 s, la mateixa variació dura el doble de temps, i la fem és de 0,2 V.
    La B tria l'interval de flux màxim, en què el flux no varia i la fem és zero. La C tria l'interval més llarg, la D oblida les 100 espires, i l'E oblida dividir pel temps.
  5. Transport d'energia · Pas 7

    Una petita central hidroelèctrica enviarà 2 MW a una ciutat propera per una línia els fils de la qual sumen \(6\ \Omega\) de resistència. Els enginyers comparen dues opcions, transmetre a 13,8 kV, la tensió de sortida del generador, o instal·lar transformadors i transmetre a 69 kV. Suposarem els transformadors ideals i la mateixa potència entrant a la línia en tots dos casos.

    En el transport a 69 kV, la potència perduda en forma de calor a la línia és aproximadament de

    1. 126 kW, la mateixa que a 13,8 kV.
    2. 5 kW.
    3. 25 kW.
    4. 1 kW.
    5. 630 kW.
    Mostra la resolució
    Resposta: B.
    A 13,8 kV, el corrent a la línia és \(i = \dfrac{P}{U} = \dfrac{2 \cdot 10^6}{13\,800} \approx 145\ \text{A}\), i la pèrdua és \(R\,i^2 \approx 6 \cdot 145^2\) \(\approx 126\ \text{kW}\).
    Amb una tensió 5 vegades més gran, el corrent es fa 5 vegades més petit, uns 29 A, i la pèrdua, que depèn del quadrat del corrent, es fa 25 vegades més petita, \(6 \cdot 29^2 \approx 5\ \text{kW}\).
    L'A ignora el canvi de corrent, i la C divideix la pèrdua només per 5. La D exagera la reducció, i l'E multiplica la pèrdua en lloc de dividir-la.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

  • ENEM 2011, dia 1, quadern blau, pregunta 56. Un guitarrista canvia les cordes d'acer per cordes de niló i la pastilla de la guitarra deixa de funcionar, i la pregunta demana el motiu, que té a veure amb la imantació de la corda i amb la variació del flux a la bobina de la pastilla.
  • ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 85. Una barra amb corrent, subjecta a una molla, és dins d'un camp magnètic i la força magnètica l'ha d'empènyer per obrir una porta, i calculem la intensitat del camp.
  • ENEM 2014, dia 1, quadern blau, pregunta 72. Un imant i una espira es mouen en sentits oposats i indueixen un corrent, i hem de trobar una altra combinació de moviments i polaritat que produeixi corrent en el mateix sentit.
  • ENEM 2020, dia 2, quadern blau, pregunta 98. L'operador d'una central s'adona que la tensió als terminals de les bobines del generador ha augmentat, i la pregunta demana la causa, lligada a la rapidesa amb què varia el flux.
  • ENEM 2022, dia 2, quadern blau, pregunta 95. Tres brúixoles són al voltant d'un fil amb corrent, com en l'experiment d'Oersted, i triem la figura amb l'orientació correcta de les agulles.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Fil recte\(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi d}\)
Centre de l'espira\(B = \dfrac{\mu_0\, i}{2R}\)
Solenoide\(B = \mu_0\,\dfrac{N}{L}\,i\)
Permeabilitat del buit\(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Força sobre una càrrega\(F = |q|\,v\,B\,\sin\theta\)
Càrrega en camp uniforme\(R = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}\), \(T = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B}\)
Força sobre un fil\(F = B\,i\,L\,\sin\theta\)
Fils paral·lels\(\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\, i_1\, i_2}{2\pi d}\)
Flux\(\Phi = B\,A\cos\theta\)
Faraday i Lenz\(\varepsilon = -N\,\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\), barra: \(\varepsilon = B\,L\,v\)
Generador\(\varepsilon_{\text{màx}} = N\,B\,A\,\omega\)
Transformador ideal\(\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}\), \(U_1 i_1 = U_2 i_2\)