Física · Secundària · Electrostàtica

Electrostàtica

La rampa que notem en tocar la maneta de la porta un dia sec, el globus que s'enganxa a la paret i el llamp d'una tempesta provenen de càrregues elèctriques en repòs, o gairebé. Partirem de la càrrega i de les maneres d'electritzar un cos, mesurarem la força de Coulomb, descriurem el camp i el potencial que creen les càrregues i acabarem amb els condensadors, que emmagatzemen energia elèctrica. En tots els càlculs fem servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) i \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

1Càrrega elèctrica
2Electrització
3Llei de Coulomb
4Camp elèctric
5Potencial
6Plaques i conductors
7Condensadors
✓Reptes

PAS 1

D'on ve la càrrega elèctrica?

La matèria està feta d'àtoms, amb protons i neutrons al nucli i electrons al voltant. El protó i l'electró tenen càrregues del mateix valor i de signes oposats, i anomenem aquest valor càrrega elemental, \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Un cos neutre té tants electrons com protons. En els processos de la vida quotidiana, s'electritza quan guanya o perd electrons, perquè els protons queden lligats als nuclis, i per això la càrrega de qualsevol cos és un múltiple enter de \(e\). Diem que la càrrega està quantitzada.

La càrrega també es conserva. Quan freguem dos objectes, els electrons que perd l'un els guanya l'altre, i la suma de les càrregues continua sent la mateixa que abans; fins avui cap experiment no ha mostrat que es creï o es destrueixi càrrega neta.

En els metalls, alguns electrons de cada àtom es mouen lliurement pel material, i una càrrega posada en un punt aviat s'escampa; anomenem aquests materials conductors. En plàstics, vidre i goma, que anomenem aïllants, els electrons queden lligats als seus àtoms, i la càrrega tendeix a quedar-se allà on l'hem dipositada.

\(Q = n\,e\)\(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\)\(Q_{\text{abans}} = Q_{\text{després}}\)\(n\) és el nombre d'electrons de més o de menys. A la simulació, cada punt blau és un electró i cada cercle amb + és un àtom; en un objecte real, aquests nombres arriben a trilions. El moviment dels electrons segueix un model simplificat, en dues dimensions.

Per comentar

Al metall, afegeix tres electrons a l'extrem esquerre i segueix les franges de sota l'objecte. On va a parar la càrrega de més?
Repeteix-ho amb el plàstic. Sembla que la càrrega es queda quieta a l'extrem; per què passa això ara?
Treu electrons fins que la càrrega neta arribi a +5e. Quants protons i quants electrons té l'objecte en aquest moment?
Prova d'arribar a una càrrega de mitja \(e\). La simulació t'ho permet? I la natura, ho permetria?

Protons

Electrons

Excés o falta

Càrrega neta

En unitats de e

Exercicis del pas 1 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un objecte rep \(5 \cdot 10^{12}\) electrons més dels que tenia quan era neutre. Quina és la seva càrrega? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
La càrrega és el nombre d'electrons de més per la càrrega elemental, amb signe negatiu, \(Q = -n\,e\) \(= -5 \cdot 10^{12} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\).
\(Q = -8 \cdot 10^{-7}\ \text{C}\), o \(-0{,}8\ \mu\text{C}\)
bàsic
Una esfera metàl·lica neutra queda amb una càrrega de \(+3{,}2\ \mu\text{C}\). Ha guanyat o ha perdut electrons, i quants? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
Una càrrega positiva en un cos que era neutre indica falta d'electrons, ja que els protons queden lligats als nuclis.
El nombre d'electrons és \(n = \dfrac{Q}{e} = \dfrac{3{,}2 \cdot 10^{-6}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}\).
L'esfera ha perdut \(2 \cdot 10^{13}\) electrons.
bàsic
Freguem un regle de plàstic i una barra de metall amb un drap de llana, cadascun agafat directament amb la mà. El regle queda electritzat i atrau paperets, i sembla que la barra de metall no. Per què?

Mostra la resolució
Al plàstic, que és aïllant, els electrons transferits pel fregament queden fixos allà on han arribat.
Al metall, que és conductor, la càrrega s'escampa per la barra i s'escola per la mà i pel cos, que també condueixen, fins a terra.
La barra de metall també s'electritza, però perd la càrrega a través del nostre cos; agafada per un mànec aïllant, quedaria carregada.
bàsic
Un company assegura que ha mesurat, en un objecte, una càrrega de \(2{,}4 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\). La mesura pot ser correcta? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
La càrrega de qualsevol cos és un múltiple enter de la càrrega elemental, \(Q = n\,e\).
Aquí, \(n = \dfrac{2{,}4 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} = 1{,}5\), que no és enter.
La mesura és errònia, perquè la càrrega està quantitzada i no existeix mig electró.
mitjà
Freguem dos objectes neutres l'un contra l'altre, i un d'ells queda amb una càrrega de \(-4\ \text{nC}\). Quina és la càrrega de l'altre, i quants electrons han passat de l'un a l'altre? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
La càrrega es conserva, i la suma de les dues, que era zero, continua sent zero.
El nombre d'electrons transferits és \(n = \dfrac{4 \cdot 10^{-9}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}\).
\(+4\ \text{nC}\), amb \(2{,}5 \cdot 10^{10}\) electrons que passen a l'objecte negatiu.
mitjà
En un experiment semblant al de Millikan, es van mesurar les càrregues de quatre gotes d'oli: \(3{,}2 \cdot 10^{-19}\), \(4{,}8 \cdot 10^{-19}\), \(5{,}6 \cdot 10^{-19}\) i \(8{,}0 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\). Quina de les mesures deu ser errònia? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
Si dividim cada càrrega per \(e\), obtenim 2; 3; 3,5 i 5.
Només són possibles valors enters, perquè cada gota té un nombre enter d'electrons de més o de menys.
La mesura de \(5{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\) deu ser errònia.
mitjà
Un gram d'hidrogen té uns \(6 \cdot 10^{23}\) protons. Quina és la càrrega total d'aquests protons? Per què, doncs, un gram d'hidrogen no exerceix forces elèctriques enormes sobre el que té al voltant? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
La càrrega dels protons és \(Q = n\,e = 6 \cdot 10^{23} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\), un valor gegantí.
El gas, però, té el mateix nombre d'electrons, amb la mateixa càrrega negativa, i les forces de les dues parts es cancel·len gairebé exactament.
Els protons sumen \(9{,}6 \cdot 10^4\ \text{C}\), compensats pels electrons, i l'hidrogen és neutre.
mitjà
Una esfera de metall carregada està subjecta en un suport de vidre i conserva la càrrega durant hores. Quan algú hi acosta el dit i la toca, la càrrega desapareix gairebé a l'instant. Explica els dos comportaments.

Mostra la resolució
El vidre és aïllant i impedeix que les càrregues de l'esfera s'escolin pel suport.
El cos humà, connectat a terra, condueix, i l'esfera, el cos i la Terra formen un conductor enorme, pel qual la càrrega s'escampa.
El suport aïllant reté la càrrega; el dit connecta l'esfera a la Terra, que rep o cedeix els electrons fins que l'esfera queda pràcticament neutra.
repte
Una pinta de plàstic de 10 g té uns \(3 \cdot 10^{24}\) electrons. Després de passar-la pels cabells secs, queda amb \(-8\ \text{nC}\). Quants electrons ha guanyat, i quina fracció del total representen? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
El nombre d'electrons guanyats és \(n = \dfrac{8 \cdot 10^{-9}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}\), i la fracció és aquest nombre dividit per \(3 \cdot 10^{24}\).
\(5 \cdot 10^{10}\) electrons, aproximadament \(1{,}7 \cdot 10^{-14}\) del total; un desequilibri minúscul ja n'hi ha prou per atreure paperets.
repte
Els protons i els neutrons estan formats per tres quarks, de dos tipus: el quark u, amb càrrega \(+\tfrac{2}{3}\,e\), i el quark d, amb càrrega \(-\tfrac{1}{3}\,e\). El protó està format per uud i el neutró, per udd. Calcula la càrrega de cadascun. Això contradiu la quantització de la càrrega?

Mostra la resolució
En el protó, \(\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = 1\), i en el neutró, \(\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0\), en unitats de \(e\).
Els quarks no s'han observat mai aïllats, només en grups la càrrega total dels quals és un múltiple enter de \(e\).
El protó té \(+e\) i el neutró, zero; la càrrega de les partícules lliures continua quantitzada en múltiples de \(e\).

PAS 2

Com es carrega un objecte?

En l'electrització per fregament, freguem dos materials diferents, i alguns electrons passen de l'un a l'altre. El que perd electrons queda positiu i el que en guanya queda negatiu, amb càrregues del mateix mòdul. La sèrie triboelèctrica ordena els materials segons la facilitat amb què cedeixen electrons, i la pinta que ens passem pels cabells secs, per exemple, tendeix a quedar negativa.

En l'electrització per contacte, toquem un conductor amb un altre de carregat, i la càrrega es redistribueix entre tots dos. Si les esferes són idèntiques, cadascuna queda amb la mitjana de les càrregues inicials, i el total es conserva.

L'electrització per inducció no necessita contacte. Una barra carregada, a prop d'un conductor, atrau les càrregues de signe oposat al seu i repel·leix les del mateix signe, que se separen dins del metall. Si en aquell moment connectem el conductor a la presa de terra, hi pugen electrons des de terra o en baixen; si tallem el fil abans d'allunyar la barra, el conductor queda amb càrrega de signe oposat al de la barra.

El globus que hem fregat amb els cabells s'enganxa a la paret per un efecte semblant, la polarització. Podem imaginar que les molècules de la paret s'orienten, amb la part de signe oposat una mica més a prop del globus, i l'atracció, més propera, guanya la repulsió. L'electroscopi aprofita la mateixa separació de càrregues, amb dues fulles metàl·liques lleugeres que s'obren quan queden amb càrregues del mateix signe.

\(Q_A^{\prime} = Q_B^{\prime} = \dfrac{Q_A + Q_B}{2}\)\(Q_A + Q_B = \text{constant}\)La primera relació val per a esferes conductores idèntiques en contacte, i la segona, mentre cap de les dues no intercanviï càrrega amb la Terra. A la simulació, les càrregues són en nanocoulombs (\(1\ \text{nC} = 10^{-9}\ \text{C}\)), la barra té 10 nC i la presa de terra està connectada a l'esfera A. La càrrega induïda per la barra, el 60% de la seva, és un valor il·lustratiu, perquè a la pràctica depèn de la distància i de la forma dels objectes.

Per comentar

Amb A a +6 nC i B a −2 nC, posa les esferes en contacte. Amb quina càrrega queda cadascuna? Ha canviat la suma?
Torna a començar amb les dues esferes neutres, posa-les en contacte, apropa la barra i separa-les abans d'allunyar-la. Quina càrrega s'endú cadascuna?
Amb les esferes separades i A neutra, repetirem la inducció clàssica. Apropa la barra, connecta la presa de terra, desconnecta-la i només llavors allunya la barra. Amb quin signe acaba A? I si allunyes la barra abans de desconnectar la terra?
Canvia la barra positiva per la negativa i repeteix la inducció. En quin sentit es mouen ara els electrons pel fil de terra?

Càrrega d'A

Càrrega de B

Càrrega d'A

Càrrega de B

Suma A + B

Càrrega guanyada per la Terra

Exercicis del pas 2 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una esfera metàl·lica A, amb una càrrega de \(+8\ \text{nC}\), toca una altra esfera idèntica B, neutra, i després se separen. Amb quina càrrega queda cadascuna?

Mostra la resolució
Dues esferes idèntiques en contacte es reparteixen la càrrega total a parts iguals, i el total, \(8 + 0\), es conserva.
Cada esfera queda amb \(+4\ \text{nC}\).
bàsic
En una sèrie triboelèctrica, el vidre apareix abans que la seda, cosa que vol dir que cedeix electrons amb més facilitat. Si freguem una barra de vidre amb un drap de seda, amb quin signe queda cadascun?

Mostra la resolució
El vidre perd electrons, que passen a la seda durant el fregament.
El que perd electrons queda positiu i el que en guanya queda negatiu, amb càrregues del mateix mòdul.
El vidre queda positiu i la seda, negativa.
bàsic
Apropem una barra positiva a una esfera metàl·lica neutra, sobre un suport aïllant. Amb la barra quieta, algú connecta l'esfera a terra amb un fil, desconnecta el fil i, finalment, allunya la barra. Amb quin signe acaba l'esfera?

Mostra la resolució
La barra positiva atrau electrons cap al costat de l'esfera més proper a ella. Un cop connectada la presa de terra, pugen electrons des de terra fins a l'esfera, atrets per la barra.
Com que el fil es desconnecta abans d'allunyar la barra, aquests electrons no poden tornar.
L'esfera acaba negativa, amb signe oposat al de la barra.
bàsic
Apropem una barra carregada a l'esfera d'un electroscopi de fulles neutre, sense tocar-lo. Les fulles s'obren. Per què, si l'electroscopi continua sent neutre?

Mostra la resolució
La barra indueix una separació de càrregues en el metall de l'electroscopi, amb càrregues de signe oposat al seu a l'esfera i del mateix signe a les fulles, que queden lluny.
Les dues fulles queden amb càrregues del mateix signe i es repel·leixen.
La càrrega total continua sent zero, però la inducció deixa les fulles amb càrregues iguals, i s'allunyen.
mitjà
Tres esferes metàl·liques idèntiques tenen càrregues \(Q_A = +12\ \text{nC}\), \(Q_B = -4\ \text{nC}\) i \(Q_C = 0\). Posem A en contacte amb B i les separem; després posem B en contacte amb C i les separem. Quina és la càrrega final de cada esfera?

Mostra la resolució
En el primer contacte, A i B queden amb la mitjana, \(\dfrac{12 - 4}{2}\) cadascuna.
En el segon, B i C es reparteixen a parts iguals la càrrega que B s'havia endut del primer contacte.
La suma final, \(4 + 2 + 2\), és igual a la inicial, \(12 - 4 + 0\).
\(Q_A = +4\ \text{nC}\), \(Q_B = +2\ \text{nC}\) i \(Q_C = +2\ \text{nC}\)
mitjà
Un globus de festa que hem fregat amb els cabells queda enganxat a una paret neutra. Explica per què un objecte carregat atrau un objecte neutre.

Mostra la resolució
El globus carregat polaritza les molècules de la paret, i les càrregues de signe oposat al seu queden una mica més a prop del globus que les del mateix signe.
Com que la força elèctrica disminueix amb la distància, l'atracció de les càrregues més properes guanya la repulsió de les més llunyanes.
La paret continua sent neutra, però la polarització deixa una atracció neta, que aguanta el globus.
mitjà
Després de pentinar els cabells secs, la pinta queda negativa i alguns cabells s'aixequen, separats els uns dels altres. Quin és el signe de la càrrega dels cabells, i per què se separen?

Mostra la resolució
La pinta ha guanyat electrons dels cabells, i la càrrega es conserva, de manera que els cabells n'han perdut la mateixa quantitat.
Els cabells amb càrregues del mateix signe es repel·leixen.
Els cabells queden positius i se separen perquè es repel·leixen entre ells.
mitjà
Posem en contacte dues esferes metàl·liques idèntiques, amb \(+6\ \text{nC}\) i \(-10\ \text{nC}\). Quina és la càrrega final de cadascuna? Quants electrons han passat de l'una a l'altra, i en quin sentit? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
Cada esfera queda amb la mitjana, \(\dfrac{6 - 10}{2}\).
L'esfera que tenia \(-10\ \text{nC}\) ha quedat 8 nC menys negativa, i ha perdut l'equivalent a 8 nC en electrons, \(n = \dfrac{8 \cdot 10^{-9}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}\).
Les dues queden amb \(-2\ \text{nC}\), i \(5 \cdot 10^{10}\) electrons passen de l'esfera negativa a la positiva.
repte
Una esfera metàl·lica amb \(+16\ \text{nC}\) toca, d'una en una, tres esferes idèntiques a ella i inicialment neutres. Quina és la càrrega final de la primera esfera, i la de cadascuna de les altres tres?

Mostra la resolució
A cada contacte amb una esfera neutra igual, la càrrega de la primera es divideix per la meitat, i l'esfera tocada s'endú l'altra meitat.
Després de tres contactes, la primera queda amb \(\dfrac{16}{2^3}\), i la suma de les quatre càrregues ha de continuar sent igual als 16 nC inicials.
La primera acaba amb \(+2\ \text{nC}\), i les altres amb \(+8\), \(+4\) i \(+2\ \text{nC}\).
repte
Dues esferes metàl·liques neutres i idèntiques, A i B, estan en contacte sobre suports aïllants. Apropem una barra negativa a A. Amb la barra encara allà, separem les esferes, i només després allunyem la barra. Quin és el signe de cada esfera? Què passa si, tot seguit, tornem a posar les esferes en contacte?

Mostra la resolució
La barra negativa repel·leix electrons d'A cap a B, que és al costat més llunyà. Si separem les esferes amb la barra present, A queda amb falta d'electrons i B amb excés, en quantitats iguals.
Quan les tornem a posar en contacte, les esferes idèntiques es reparteixen la càrrega total, que és zero.
A queda positiva i B, negativa, amb càrregues del mateix mòdul; si les tornem a posar en contacte, totes dues tornen a quedar neutres.

PAS 3

Amb quina força s'empenyen dues càrregues?

Les càrregues del mateix signe es repel·leixen i les de signes oposats s'atrauen. El 1785, Charles Coulomb va mesurar aquesta força amb una balança de torsió i va mostrar que és proporcional al producte de les càrregues i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.

Apliquem la llei de Coulomb a càrregues puntuals, o a esferes petites comparades amb la distància que les separa. Totes dues càrregues pateixen forces del mateix mòdul i de sentits oposats, com exigeix la tercera llei de Newton, fins i tot quan una càrrega és molt més gran que l'altra.

La dependència amb \(1/d^2\) té conseqüències que val la pena tenir ben presents. Si dupliquem la distància, la força baixa a la quarta part; si la reduïm a la meitat, es fa quatre vegades més gran.

La llei té la mateixa forma que la gravitació de Newton, i la comparació impressiona. Entre un protó i un electró, l'atracció elèctrica supera la gravitatòria en un factor d'uns \(10^{39}\). La gravetat domina a l'escala dels planetes perquè els cossos grans són gairebé sempre neutres, i les forces elèctriques de les seves càrregues positives i negatives es cancel·len.

\(F = k\,\dfrac{|q_1\,q_2|}{d^2}\)\(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)\(F_g = G\,\dfrac{m_1\,m_2}{d^2}\)Fem servir el valor de \(k\) del buit, que a l'aire pràcticament no canvia. Les càrregues de la simulació són en microcoulombs (\(1\ \mu\text{C} = 10^{-6}\ \text{C}\)), i les fletxes de força segueixen una escala comprimida, perquè càpiguen a la pantalla. El pes equivalent és la massa el pes de la qual, amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\), igualaria la força elèctrica.

Per comentar

Arrossega una de les càrregues i segueix el punt sobre la corba. Què li passa a la força quan la distància es redueix a la meitat?
Fes servir els botons de duplicar i de reduir a la meitat la distància i comprova les marques F/4 i 4F al gràfic.
Canvia el signe de \(q_2\). Canvia el mòdul de la força? I el sentit de les fletxes?
Posa \(q_1 = 10\ \mu\text{C}\) i \(q_2 = 1\ \mu\text{C}\). Les fletxes continuen sent igual de llargues a les dues càrregues? Per què?

Càrrega q₁

Càrrega q₂

Distància

Força sobre cada càrrega

Tipus

Pes equivalent

Exercicis del pas 3 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Dues càrregues puntuals de \(2\ \mu\text{C}\) són a 30 cm l'una de l'altra, en el buit. Quin és el mòdul de la força entre elles? És d'atracció o de repulsió? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Per la llei de Coulomb, \(F = k\,\dfrac{|q_1\,q_2|}{d^2}\) \(= 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{0{,}3^2}\).
Les càrregues tenen el mateix signe i es repel·leixen.
\(F = 0{,}4\ \text{N}\), de repulsió
bàsic
Dues càrregues es repel·leixen amb una força de 36 N. Quina serà la força si la distància entre elles es duplica? I si es triplica?

Mostra la resolució
La força és inversament proporcional al quadrat de la distància. Amb el doble, queda dividida per \(2^2 = 4\); amb el triple, per \(3^2 = 9\).
9 N amb el doble de distància i 4 N amb el triple.
bàsic
Una càrrega de \(+3\ \mu\text{C}\) és a prop d'una altra de \(-5\ \mu\text{C}\). Les forces entre elles són d'atracció o de repulsió? Quina de les dues càrregues pateix la força més gran?

Mostra la resolució
Els signes oposats s'atrauen.
Per la tercera llei de Newton, les dues forces formen un parell d'acció i reacció, amb el mateix mòdul i sentits oposats, per molt diferents que siguin les càrregues.
Les forces són d'atracció i tenen el mateix mòdul a les dues càrregues.
bàsic
Dues càrregues, d'\(1\ \mu\text{C}\) i de \(4\ \mu\text{C}\), es repel·leixen amb una força de 3,6 N. A quina distància són? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Si aïllem la distància a \(F = k\,|q_1\,q_2|/d^2\), tenim \(d^2 = \dfrac{k\,q_1\,q_2}{F}\) \(= \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-12}}{3{,}6}\) \(= 0{,}01\ \text{m}^2\).
\(d = 0{,}1\ \text{m}\), o 10 cm
mitjà
Dues càrregues puntuals s'atrauen amb una força \(F\). Una de les càrregues duplica el seu valor i la distància entre elles es redueix a la meitat. Quina serà la força?

Mostra la resolució
Duplicar una de les càrregues duplica la força, i reduir la distància a la meitat la multiplica per \(2^2 = 4\).
Els dos efectes es multipliquen, \(2 \cdot 4\).
La força passa a ser \(8F\).
mitjà
A l'àtom d'hidrogen, l'electró i el protó són a uns \(5{,}3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}\) l'un de l'altre. Calcula la força elèctrica i la força gravitatòria entre ells i la raó entre totes dues. Fes servir \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\), \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\), \(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\), a més de \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) i \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
La força elèctrica és \(F_e = \dfrac{k\,e^2}{d^2}\) \(= \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2}{(5{,}3 \cdot 10^{-11})^2}\) \(\approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\ \text{N}\).
Per a la gravitatòria, el producte \(G\,m_e\,m_p\) val \(6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31}\) \(\cdot\, 1{,}67 \cdot 10^{-27} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-67}\), i \(F_g = \dfrac{1{,}0 \cdot 10^{-67}}{(5{,}3 \cdot 10^{-11})^2}\) \(\approx 3{,}6 \cdot 10^{-47}\ \text{N}\).
La raó és \(\dfrac{F_e}{F_g} = \dfrac{8{,}2 \cdot 10^{-8}}{3{,}6 \cdot 10^{-47}}\).
La força elèctrica és unes \(2 \cdot 10^{39}\) vegades la gravitatòria.
mitjà
Dues esferes metàl·liques idèntiques i petites, amb \(+6\ \mu\text{C}\) i \(-2\ \mu\text{C}\), són a 20 cm l'una de l'altra. Calcula la força entre elles. Tot seguit, posem les esferes en contacte i les tornem a deixar a la mateixa posició. Quina serà la força ara? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Abans, \(F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{6 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{0{,}2^2}\), d'atracció.
Després del contacte, cada esfera queda amb \(\dfrac{6 - 2}{2} = 2\ \mu\text{C}\), i \(F^{\prime} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{0{,}2^2}\).
2,7 N d'atracció abans del contacte i 0,9 N de repulsió després.
mitjà
Tres càrregues estan alineades: \(+2\ \mu\text{C}\) a \(x = 0\), \(+1\ \mu\text{C}\) a \(x = 10\ \text{cm}\) i \(+2\ \mu\text{C}\) a \(x = 30\ \text{cm}\). Quina és la força resultant sobre la càrrega del mig? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
La càrrega de l'esquerra empeny la del mig cap a la dreta amb \(F_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 10^{-6}}{0{,}1^2}\) \(= 1{,}8\ \text{N}\).
La de la dreta l'empeny cap a l'esquerra amb \(F_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-12}}{0{,}2^2}\) \(= 0{,}45\ \text{N}\).
La resultant és la diferència, \(1{,}8 - 0{,}45\).
1,35 N, cap a la dreta
repte
Una càrrega de \(+4\ \mu\text{C}\) és a \(x = 0\) i una altra de \(+1\ \mu\text{C}\), a \(x = 30\ \text{cm}\). En quin punt entre elles una tercera càrrega quedaria en equilibri? La resposta depèn del valor de la tercera càrrega?

Mostra la resolució
En el punt que busquem, les dues forces sobre la tercera càrrega tenen el mateix mòdul, \(\dfrac{k \cdot 4\,q}{x^2} = \dfrac{k \cdot 1\,q}{(0{,}3 - x)^2}\). El valor de \(q\) i el de \(k\) es cancel·len.
Fent l'arrel, \(\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{0{,}3 - x}\), i llavors \(0{,}6 - 2x = x\).
A \(x = 20\ \text{cm}\), més a prop de la càrrega petita, sigui quina sigui la tercera càrrega.
repte
Una boleta carregada està fixada en una taula. Una altra boleta, d'1 g i amb la mateixa càrrega, es manté quieta a l'aire 10 cm per sobre de la primera, sostinguda només per la repulsió elèctrica. Quina és la càrrega de cada boleta? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
En l'equilibri, la força elèctrica equilibra el pes, \(k\,\dfrac{q^2}{d^2} = m\,g\), amb \(m\,g = 10^{-3} \cdot 10 = 10^{-2}\ \text{N}\).
Si aïllem la càrrega, \(q = d\,\sqrt{\dfrac{m\,g}{k}}\) \(= 0{,}1 \cdot \sqrt{\dfrac{10^{-2}}{9 \cdot 10^9}}\).
\(q \approx 1{,}1 \cdot 10^{-7}\ \text{C}\), aproximadament \(0{,}1\ \mu\text{C}\)

PAS 4

Què fa una càrrega a l'espai que l'envolta?

Podem pensar que una càrrega modifica l'espai que l'envolta i que una altra càrrega, posada allà, nota aquesta modificació. Anomenem camp elèctric la força per unitat de càrrega que notaria en un punt una petita càrrega de prova positiva, \(\vec E = \vec F/q\), mesurada en N/C.

Per a una càrrega puntual \(Q\), el mòdul del camp és \(k|Q|/d^2\), i no depèn de la càrrega de prova. El vector apunta cap a fora quan \(Q\) és positiva i cap a dins quan és negativa, i una càrrega negativa posada en el punt pateix una força en sentit contrari al del camp.

\(\vec E = \dfrac{\vec F}{q}\)\(E = k\,\dfrac{|Q|}{d^2}\)\(\vec E = \vec E_1 + \vec E_2\)La pantalla representa una regió de 80 cm d'amplada, amb les càrregues en microcoulombs i \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\). La càrrega de prova a P té 1 nC. La longitud de la fletxa taronja creix amb el logaritme de \(E\), perquè el camp varia molt d'un punt a un altre, i les fletxes discontínues són les contribucions de cada càrrega.

Dibuixem les línies de camp per veure aquest vector a l'espai, i potser aquesta és la imatge més útil del camp. Surten de les càrregues positives i arriben a les negatives, el vector \(\vec E\) hi és tangent a cada punt, i on són més juntes el camp és més intens. Dues línies no es creuen, perquè el camp té una sola direcció a cada punt.

Amb diverses càrregues, fem servir la superposició. Cada càrrega crea el seu camp com si estigués sola, i el camp total és la suma vectorial de tots ells, cosa que explica, per exemple, el punt de camp nul entre dues càrregues iguals.

Per comentar

Amb una sola càrrega, porta P lluny d'ella i després a prop. Com segueixen la distància la mida de la fletxa i la lectura d'E?
Tria el dipol i passeja P al llarg d'una línia de camp. La fletxa continua sent tangent a la línia?
Amb dues càrregues positives iguals, busca el punt on el camp s'anul·la. Per què és al mig?
Mostra les contribucions i posa P en un punt qualsevol. Comprova que la fletxa taronja és la suma vectorial de les dues discontínues.

Càrrega Q₁

Càrrega Q₂

Camp a P

Camp de Q₁

Camp de Q₂

Distància de P a Q₁

Força sobre una càrrega d'1 nC

Exercicis del pas 4 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una càrrega de prova de 2 nC, posada en un punt, pateix una força elèctrica de \(6 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\). Quin és el mòdul del camp elèctric en aquest punt?

Mostra la resolució
El camp és la força per unitat de càrrega, \(E = \dfrac{F}{q} = \dfrac{6 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-9}}\).
\(E = 3 \cdot 10^5\ \text{N/C}\)
bàsic
Quin és el mòdul del camp elèctric creat per una càrrega puntual de \(4\ \mu\text{C}\) en un punt situat a 20 cm d'ella? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Per a una càrrega puntual, \(E = k\,\dfrac{|Q|}{d^2}\) \(= 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-6}}{0{,}2^2}\).
\(E = 9 \cdot 10^5\ \text{N/C}\)
bàsic
En un punt P, el camp elèctric apunta cap a la dreta. Quin sentit té la força sobre un protó posat a P? I sobre un electró?

Mostra la resolució
El camp es defineix per la força sobre una càrrega positiva, i el protó nota una força en el sentit del camp.
Una càrrega negativa nota una força en sentit contrari.
Cap a la dreta sobre el protó i cap a l'esquerra sobre l'electró.
bàsic
A 10 cm d'una càrrega puntual, el camp val \(8 \cdot 10^4\ \text{N/C}\). Quant val a 20 cm? I a 40 cm?

Mostra la resolució
El camp d'una càrrega puntual disminueix amb el quadrat de la distància. Amb el doble de distància, es divideix per 4; amb el quàdruple, per 16.
\(2 \cdot 10^4\ \text{N/C}\) a 20 cm i \(5 \cdot 10^3\ \text{N/C}\) a 40 cm
mitjà
Un electró és en una regió amb un camp elèctric de \(1000\ \text{N/C}\). Quina és la força que actua sobre ell i l'acceleració que li produeix? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\) i \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
La força és \(F = e\,E = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1000\), en sentit oposat al del camp.
Per la segona llei de Newton, \(a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{e\,E}{m_e}\).
\(F = 1{,}6 \cdot 10^{-16}\ \text{N}\) i \(a \approx 1{,}8 \cdot 10^{14}\ \text{m/s}^2\)
mitjà
Una càrrega de \(+2\ \mu\text{C}\) és a \(x = 0\) i una altra de \(-2\ \mu\text{C}\), a \(x = 20\ \text{cm}\). Quin és el camp elèctric al punt mitjà entre elles? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Cada càrrega és a 10 cm del punt mitjà i hi crea un camp de \(9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6}}{0{,}1^2}\) \(= 1{,}8 \cdot 10^6\ \text{N/C}\).
El camp de la positiva apunta lluny d'ella, cap a la dreta, i el de la negativa apunta cap a ella, també cap a la dreta, i tots dos se sumen.
\(E = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{N/C}\), apuntant cap a la càrrega negativa
mitjà
Dues càrregues positives iguals estan separades per una certa distància. En quin punt de la recta que les uneix el camp elèctric és nul? Per què dues línies de camp no es creuen mai?

Mostra la resolució
Al punt mitjà, els dos camps tenen el mateix mòdul i sentits oposats, i es cancel·len.
Si dues línies es creuessin, el camp tindria dues direccions al punt d'encreuament, i una càrrega posada allà notaria dues forces diferents alhora.
El camp és nul al punt mitjà, i les línies no es creuen perquè el camp té una sola direcció a cada punt.
mitjà
Dues càrregues de \(+1\ \mu\text{C}\) són a 30 cm d'un punt P, una en direcció horitzontal i l'altra en vertical, i formen un angle recte a P. Quin és el mòdul del camp a P? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Cada càrrega crea a P un camp de \(9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10^{-6}}{0{,}3^2} = 1 \cdot 10^5\ \text{N/C}\).
Els dos vectors són perpendiculars, i el mòdul de la suma surt del teorema de Pitàgores, \(E = \sqrt{(10^5)^2 + (10^5)^2}\).
\(E \approx 1{,}4 \cdot 10^5\ \text{N/C}\), a 45° de cada direcció
repte
Una càrrega de \(+9\ \mu\text{C}\) és a \(x = 0\) i una altra de \(+1\ \mu\text{C}\), a \(x = 40\ \text{cm}\). En quin punt entre elles s'anul·la el camp elèctric?

Mostra la resolució
En el punt que busquem, els mòduls dels dos camps són iguals, \(\dfrac{k \cdot 9}{x^2} = \dfrac{k \cdot 1}{(0{,}4 - x)^2}\).
Fent l'arrel, \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{0{,}4 - x}\), i llavors \(1{,}2 - 3x = x\).
A \(x = 30\ \text{cm}\), a 10 cm de la càrrega petita.
repte
En una versió de l'experiment de Millikan, una gota d'oli de massa \(1{,}6 \cdot 10^{-15}\ \text{kg}\) es manté quieta a l'aire entre dues plaques, en un camp elèctric vertical de \(5 \cdot 10^4\ \text{N/C}\). Quina és la càrrega de la gota, i quants electrons té de més, si el camp apunta cap avall? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Mostra la resolució
Si la gota està quieta, la força elèctrica equilibra el pes, \(q\,E = m\,g\), i llavors \(|q| = \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-15} \cdot 10}{5 \cdot 10^4}\).
Amb el camp cap avall, una força cap amunt exigeix una càrrega negativa, i el nombre d'electrons de més és \(|q|/e\).
La gota té \(-3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\), és a dir, 2 electrons de més.

PAS 5

Quanta energia dona el camp a una càrrega?

El camp elèctric de càrregues en repòs, com el camp gravitatori, és conservatiu. El treball que fa sobre una càrrega que va d'A a B només depèn dels dos punts, i per això podem assignar a cada punt una energia potencial elèctrica, que per a dues càrregues puntuals val \(E_p = kQq/d\).

Si dividim aquesta energia per la càrrega \(q\), obtenim el potencial elèctric, \(V = kQ/d\), mesurat en volts. El potencial és una magnitud escalar, amb signe, i amb diverses càrregues n'hi ha prou de sumar els potencials de cadascuna, sense vectors.

\(V = k\,\dfrac{Q}{d}\)\(E_p = k\,\dfrac{Q\,q}{d}\)\(\tau_{AB} = q\,(V_A - V_B)\)\(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\)Prenem el potencial com a zero molt lluny de les càrregues. A la simulació, les fonts tenen \(\pm 2\ \mu\text{C}\), la pantalla representa 80 cm d'amplada i les línies fines són les equipotencials de ±20, 40, 80, 160 i 320 kV. El treball és la suma de \(q\,\vec E \cdot \Delta\vec s\) en milers de trams petits del camí.

El treball del camp entre dos punts és \(\tau = q\,(V_A - V_B)\), i la diferència \(V_A - V_B\) és la mateixa tensió que mesurem als circuits. Les càrregues positives lliures tendeixen a anar cap a potencials més baixos, i les negatives, cap a potencials més alts.

Les superfícies equipotencials reuneixen els punts del mateix potencial i tallen les línies de camp en angle recte, i quan portem una càrrega per sobre d'una d'elles el camp no fa treball. En física atòmica, acostumem a mesurar l'energia en electronvolts; un electronvolt és l'energia que guanya un electró en travessar 1 V, \(1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Per comentar

Porta la càrrega d'A a B pel camí recte i apunta't el treball. Repeteix-ho en arc i en ziga-zaga. Què sembla que es repeteix?
Arrossega B fins a la mateixa línia fina on és A. Quant val ara el treball?
Al dipol, posa A i B sobre la línia fosca del mig. Els dos potencials són zero; el camp també hi és zero?
Canvia el signe de la càrrega que portes. Què passa amb el signe del treball, i què suggereix això sobre el seu moviment espontani?

Càrrega transportada

Potencial a A

Potencial a B

V_A − V_B

Treball al llarg del camí

q·(V_A − V_B)

Exercicis del pas 5 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Quin és el potencial elèctric a 30 cm d'una càrrega puntual de \(+2\ \mu\text{C}\), si prenem el potencial com a zero molt lluny d'ella? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
El potencial d'una càrrega puntual és \(V = k\,\dfrac{Q}{d} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6}}{0{,}3}\).
\(V = 6 \cdot 10^4\ \text{V}\)
bàsic
Una càrrega de \(3\ \mu\text{C}\) va, empesa pel camp, d'un punt A amb un potencial de 500 V fins a un punt B amb 200 V. Quin és el treball de la força elèctrica?

Mostra la resolució
El treball del camp és \(\tau = q\,(V_A - V_B)\) \(= 3 \cdot 10^{-6} \cdot (500 - 200)\).
\(\tau = 9 \cdot 10^{-4}\ \text{J}\)
bàsic
Portem una càrrega d'un punt a un altre d'una mateixa superfície equipotencial. Quant val el treball de la força elèctrica? I si el camí és llarg i ple de corbes?

Mostra la resolució
El treball del camp només depèn de la diferència de potencial entre el punt de sortida i el d'arribada, \(\tau = q\,(V_A - V_B)\).
Sobre la mateixa equipotencial, \(V_A = V_B\).
El treball és zero, sigui quin sigui el camí.
bàsic
Quina és l'energia potencial elèctrica d'una càrrega d'\(1\ \mu\text{C}\) a 10 cm d'una altra de \(2\ \mu\text{C}\)? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Per a dues càrregues puntuals, \(E_p = k\,\dfrac{Q\,q}{d}\) \(= 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 10^{-6}}{0{,}1}\).
\(E_p = 0{,}18\ \text{J}\)
mitjà
Un electró surt del repòs i és accelerat per una diferència de potencial de 2000 V. Quina energia cinètica guanya, en electronvolts i en joules, i quina velocitat assoleix? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\) i \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
Cada volt travessat dona a l'electró 1 eV, i en joules l'energia és \(E_c = 2000 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\).
A partir de l'energia cinètica, \(v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}\) \(= \sqrt{\dfrac{6{,}4 \cdot 10^{-16}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}}\).
2000 eV, o \(3{,}2 \cdot 10^{-16}\ \text{J}\), i \(v \approx 2{,}7 \cdot 10^7\ \text{m/s}\)
mitjà
Dues càrregues de \(+3\ \mu\text{C}\) i \(-3\ \mu\text{C}\) són a 20 cm l'una de l'altra. Al punt mitjà, quant val el potencial? I el camp? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
El potencial és escalar i suma les contribucions amb signe, \(V = \dfrac{k \cdot 3 \cdot 10^{-6}}{0{,}1}\) \(+ \dfrac{k \cdot (-3 \cdot 10^{-6})}{0{,}1}\).
El camp és vectorial, i els dos camps apunten cap a la càrrega negativa, \(E = 2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{3 \cdot 10^{-6}}{0{,}1^2}\).
\(V = 0\) i \(E = 5{,}4 \cdot 10^6\ \text{N/C}\); que el potencial sigui nul en un punt no implica que el camp ho sigui.
mitjà
Dues càrregues de \(+2\ \mu\text{C}\) són a 40 cm l'una de l'altra. Calcula el potencial i el camp al punt mitjà. Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Cada càrrega, a 20 cm, hi contribueix amb \(9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-6}}{0{,}2} = 9 \cdot 10^4\ \text{V}\), i els potencials se sumen.
Els camps tenen el mateix mòdul i sentits oposats i es cancel·len.
\(V = 1{,}8 \cdot 10^5\ \text{V}\) i \(E = 0\); que el camp sigui nul tampoc no implica que el potencial ho sigui.
mitjà
Una càrrega de \(-2\ \mu\text{C}\) va d'un punt A, amb un potencial de 100 V, a un punt B, amb 400 V. Quin és el treball de la força elèctrica? Aquest moviment pot passar espontàniament?

Mostra la resolució
El treball és \(\tau = q\,(V_A - V_B)\) \(= -2 \cdot 10^{-6} \cdot (100 - 400)\).
El treball del camp és positiu, i l'energia potencial de la càrrega disminueix, com en un cos que cau.
\(\tau = +6 \cdot 10^{-4}\ \text{J}\); les càrregues negatives tendeixen, en efecte, a anar cap a potencials més alts.
repte
Quin treball hem de fer per portar, a poc a poc, una càrrega d'\(1\ \mu\text{C}\) des de molt lluny fins a 10 cm d'una càrrega fixa de \(+5\ \mu\text{C}\)? Quin és el treball de la força elèctrica en aquest trajecte? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Molt lluny, l'energia potencial és zero; a 10 cm, val \(E_p = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 10^{-6}}{0{,}1}\).
Si portem la càrrega a poc a poc, sense guany d'energia cinètica, el nostre treball és igual a l'augment de l'energia potencial, i el de la força elèctrica, que és de repulsió, té el mateix mòdul i signe oposat.
Hem de fer \(+0{,}45\ \text{J}\), i la força elèctrica en fa \(-0{,}45\ \text{J}\).
repte
Una càrrega fixa de \(+4\ \mu\text{C}\) crea un camp al seu voltant. Una boleta d'1 g, amb una càrrega de \(+2\ \mu\text{C}\), es deixa anar des del repòs a 20 cm de la càrrega fixa i s'allunya, empesa pel camp. Quina velocitat té quan passa a 50 cm de la càrrega fixa? Menysprea el pes i el fregament amb l'aire. Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
Els potencials són \(V_A = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-6}}{0{,}2}\) \(= 1{,}8 \cdot 10^5\ \text{V}\) i \(V_B = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-6}}{0{,}5}\) \(= 7{,}2 \cdot 10^4\ \text{V}\).
El treball del camp, que es converteix en energia cinètica, és \(\tau = q\,(V_A - V_B)\) \(= 2 \cdot 10^{-6} \cdot (1{,}8 \cdot 10^5 - 7{,}2 \cdot 10^4)\) \(= 0{,}216\ \text{J}\), i \(v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}216}{10^{-3}}}\).
\(v \approx 21\ \text{m/s}\), segueixi el camí que segueixi la boleta.

PAS 6

Què passa entre dues plaques carregades?

Entre dues plaques paral·leles, grans i properes, amb càrregues oposades, el camp és aproximadament uniforme, amb el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit a tots els punts, de la placa positiva cap a la negativa. En aquest cas, la tensió entre les plaques i el camp es relacionen per \(U = E\,d\).

Quan llancem una partícula carregada entre les plaques, nota una força constant, \(F = qE\), perpendicular a elles. Si menyspreem el pes, que per a electrons i protons és moltíssim més petit que la força elèctrica, el moviment repeteix el llançament horitzontal de la Cinemàtica, amb velocitat constant al llarg de les plaques i acceleració constant en la direcció del camp, i la trajectòria és una paràbola.

\(E = \dfrac{U}{d}\)\(F = q\,E\)\(a = \dfrac{q\,E}{m}\)\(t = \dfrac{L}{v_0}\)\(y = \dfrac{a\,t^2}{2}\)Fem servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\), \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\) i \(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\). A la simulació, les plaques tenen \(L = 10\ \text{cm}\), suposem que el camp és uniforme entre elles i nul a fora, i la velocitat de llançament s'expressa en múltiples de \(10^7\ \text{m/s}\) per a l'electró i de \(10^5\ \text{m/s}\) per al protó.

En un conductor en equilibri, les càrregues de més queden a la superfície i el camp a l'interior del metall és nul. Per aquest motiu, un cotxe o un avió que rep un llamp protegeix els qui són a dins, i anomenem aquest efecte blindatge electrostàtic, o gàbia de Faraday.

A la superfície, les càrregues s'acumulen més a les zones punxegudes, on el camp es fa tan intens que ionitza l'aire. És el poder de les puntes, que el parallamps aprofita per oferir a la descàrrega un camí segur fins a terra, per un cable gruixut i ben connectat a terra.

Per comentar

Llança l'electró i després el protó, amb els mateixos controls. Cap a quina placa va cadascun, i per què el protó, gairebé 2000 vegades més pesant, s'ha de llançar molt més a poc a poc perquè es noti la desviació?
Duplica la tensió i observa la desviació. Després, amb la tensió fixa, duplica la distància entre les plaques. Què passa amb el camp?
Augmenta la velocitat de llançament. Sembla que la desviació disminueix molt; per què, si la força continua sent la mateixa?
Amb \(v_0 = 1 \cdot 10^7\ \text{m/s}\) i \(d = 5\ \text{cm}\), busca la tensió més petita amb què l'electró xoca amb la placa i comprova el valor amb \(y = a\,t^2/2\).

Tensió

Distància entre les plaques

Velocitat inicial (m/s)

Camp

Força

Acceleració

Temps entre les plaques

Desviació a la sortida

Exercicis del pas 6 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Dues plaques paral·leles, separades 2 cm, estan connectades a una font de 100 V. Quin és el camp elèctric entre elles, si el suposem uniforme?

Mostra la resolució
En un camp uniforme, \(U = E\,d\), i llavors \(E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{100}{0{,}02}\).
\(E = 5000\ \text{V/m}\), el mateix que 5000 N/C
bàsic
Durant una tempesta, per què és més segur quedar-se dins d'un cotxe tancat, amb la carrosseria de metall, que a l'aire lliure?

Mostra la resolució
La carrosseria de metall és un conductor. Les càrregues que porta un llamp es distribueixen per la superfície exterior i s'escolen fins a terra, i el camp a l'interior d'un conductor en equilibri és nul.
El cotxe funciona com una gàbia de Faraday i protegeix els qui són a dins; els pneumàtics no tenen cap paper en aquesta protecció.
bàsic
Per què la punta d'un parallamps és afilada, i per què necessita un fil gruixut connectat a terra?

Mostra la resolució
En un conductor carregat, les càrregues es concentren a les zones punxegudes, on el camp es fa molt intens i ionitza l'aire, cosa que crea un camí preferent per a la descàrrega; és el poder de les puntes.
El fil gruixut, de resistència baixa, porta el corrent enorme del llamp fins a terra sense escalfar-se massa.
La punta atreu la descàrrega pel poder de les puntes, i la presa de terra condueix el llamp amb seguretat fins al terra.
bàsic
Entre dues plaques paral·leles separades 3 mm, el camp és uniforme i val \(2 \cdot 10^4\ \text{V/m}\). Quina és la tensió entre les plaques?

Mostra la resolució
En un camp uniforme, \(U = E\,d = 2 \cdot 10^4 \cdot 3 \cdot 10^{-3}\).
\(U = 60\ \text{V}\)
mitjà
Un electró és entre dues plaques on el camp és uniforme i val \(1 \cdot 10^4\ \text{V/m}\). Compara la força elèctrica que actua sobre ell amb el seu pes. Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\), \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La força elèctrica és \(F = e\,E\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^4\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-15}\ \text{N}\), i el pes, \(P = m\,g = 9{,}1 \cdot 10^{-30}\ \text{N}\).
La raó és \(\dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-15}}{9{,}1 \cdot 10^{-30}}\).
La força elèctrica és unes \(1{,}8 \cdot 10^{14}\) vegades el pes, que podem menysprear.
mitjà
Un electró entra horitzontalment, amb \(2 \cdot 10^7\ \text{m/s}\), entre dues plaques de 5 cm de llargada, on el camp és vertical i val 2000 V/m. Quant es desvia en vertical fins que surt de les plaques? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\) i \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
En horitzontal, la velocitat és constant, i el temps entre les plaques és \(t = \dfrac{0{,}05}{2 \cdot 10^7}\) \(= 2{,}5 \cdot 10^{-9}\ \text{s}\).
En vertical, \(a = \dfrac{e\,E}{m}\) \(= \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 2000}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}\) \(\approx 3{,}5 \cdot 10^{14}\ \text{m/s}^2\), i la desviació és \(y = \dfrac{a\,t^2}{2}\), com en el llançament horitzontal.
\(y \approx 1{,}1 \cdot 10^{-3}\ \text{m}\), aproximadament 1,1 mm
mitjà
Un protó surt del repòs al costat de la placa positiva d'un parell de plaques paral·leles connectades a 200 V. Amb quina energia cinètica i amb quina velocitat arriba a la placa negativa? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\) i \(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
El treball del camp, \(\tau = q\,U = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 200\), es converteix en energia cinètica.
La velocitat surt de \(v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}\) \(= \sqrt{\dfrac{6{,}4 \cdot 10^{-17}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}}}\).
\(E_c = 3{,}2 \cdot 10^{-17}\ \text{J}\) i \(v \approx 2{,}0 \cdot 10^5\ \text{m/s}\)
mitjà
L'aire sec deixa de ser aïllant, i salta una espurna, quan el camp supera uns \(3 \cdot 10^6\ \text{V/m}\), un valor aproximat. Quina és la tensió més gran que podem aplicar entre dos elèctrodes plans a 1 cm l'un de l'altre, en aire sec, sense que salti cap espurna?

Mostra la resolució
Si suposem que el camp és uniforme entre els elèctrodes, \(U = E\,d = 3 \cdot 10^6 \cdot 0{,}01\).
Uns \(3 \cdot 10^4\ \text{V}\), o 30 kV; amb elèctrodes punxeguts, l'espurna salta amb tensions més petites.
repte
Un electró entra horitzontalment, amb \(1 \cdot 10^7\ \text{m/s}\), entre plaques de 10 cm de llargada, en un camp vertical de 2000 V/m. Calcula la desviació vertical a la sortida i l'angle que forma la velocitat amb l'horitzontal en aquell instant. Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\) i \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
El temps entre les plaques és \(t = \dfrac{0{,}1}{10^7} = 10^{-8}\ \text{s}\), i l'acceleració, \(a = \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 2000}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}\) \(\approx 3{,}5 \cdot 10^{14}\ \text{m/s}^2\).
La desviació és \(y = \dfrac{a\,t^2}{2}\) \(\approx 1{,}8 \cdot 10^{-2}\ \text{m}\), i la velocitat vertical a la sortida, \(v_y = a\,t\) \(\approx 3{,}5 \cdot 10^6\ \text{m/s}\).
L'angle surt de \(\tan\,\theta = \dfrac{v_y}{v_0} \approx 0{,}35\).
Desviació d'uns 1,8 cm i angle d'uns 19°
repte
Una esfera metàl·lica buida, de radi 10 cm, té una càrrega de \(+2\ \text{nC}\), en equilibri. Quant val el camp elèctric a dins, just a fora de la superfície i a 20 cm del centre? Quin és el potencial al centre? Fes servir \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).

Mostra la resolució
A l'interior d'un conductor en equilibri, el camp és nul. A fora, l'esfera es comporta com una càrrega puntual situada al centre, i just a fora de la superfície \(E = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-9}}{0{,}1^2}\).
A 20 cm, el camp és \(9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-9}}{0{,}2^2}\), la quarta part. Com que el camp intern és nul, el potencial és el mateix a tot l'interior, igual al de la superfície, \(V = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-9}}{0{,}1}\).
Camp nul a dins, 1800 N/C just a fora i 450 N/C a 20 cm; potencial de 180 V al centre.

PAS 7

Com es guarda energia en un camp elèctric?

Un condensador està format per dos conductors propers, separats per un aïllant. Quan el connectem a una bateria, rep una càrrega \(+Q\) en una placa i \(-Q\) a l'altra, proporcional a la tensió. La constant de proporcionalitat és la capacitat, \(C = Q/U\), mesurada en farads.

Per carregar el condensador, la bateria fa treball contra la repulsió de les càrregues que ja són a les plaques, i aquest treball queda emmagatzemat al camp entre elles. L'energia val \(QU/2\), o \(CU^2/2\), i la meitat apareix perquè la tensió creix de zero fins a \(U\) a mesura que van arribant les càrregues.

En un condensador de plaques planes, la capacitat augmenta amb l'àrea de les plaques i disminueix amb la distància entre elles, \(C = \varepsilon A/d\), on \(\varepsilon\) depèn de l'aïllant. Una intuïció possible és que les plaques més grans acomoden més càrrega amb la mateixa tensió, i que les plaques més properes deixen que l'atracció entre les càrregues oposades en retingui més.

El condensador acumula energia a poc a poc i la torna de cop. Al flaix d'una càmera, un condensador d'entre cent i unes quantes centenes de microfarads, típicament, carregat a uns 300 V, guarda uns quants joules, que la làmpada consumeix en aproximadament una mil·lèsima de segon. Un desfibril·lador fa una cosa semblant a una escala més gran, amb unes quantes centenes de joules lliurades en pocs mil·lisegons, probablement l'ús més espectacular d'un condensador.

\(C = \dfrac{Q}{U}\)\(E = \dfrac{Q\,U}{2} = \dfrac{C\,U^2}{2}\)\(C = \varepsilon\,\dfrac{A}{d}\)Els valors del flaix i del desfibril·lador són aproximats i varien d'un aparell a un altre. A la simulació, el condensador té \(100\ \mu\text{F}\) amb l'àrea i la distància a ×1, i la capacitat segueix \(C \propto A/d\). La bateria el carrega a través d'una resistència de 5 kΩ, i la descàrrega a la làmpada es veu a càmera lenta.

Per comentar

Carrega el condensador amb 300 V i comprova \(Q = C\,U\) i \(E = C\,U^2/2\) a les lectures. Després descarrega'l a la làmpada.
Amb la bateria connectada, duplica l'àrea de les plaques. Què passa amb la càrrega i amb l'energia?
Carrega'l, obre l'interruptor i només llavors allunya les plaques. Per què ara és la tensió la que puja, i no la càrrega la que canvia?
Compara l'energia amb 150 V i amb 300 V. Per què el doble de tensió dona quatre vegades més energia?

Tensió de la bateria

Àrea de les plaques

Distància entre les plaques

Capacitat

Tensió al condensador

Càrrega

Energia emmagatzemada

Energia de l'últim flaix

Exercicis del pas 7 10 qüestions · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Connectem un condensador de \(500\ \mu\text{F}\) a una bateria de 12 V. Quina càrrega emmagatzema?

Mostra la resolució
A partir de la definició de capacitat, \(Q = C\,U = 500 \cdot 10^{-6} \cdot 12\).
\(Q = 6 \cdot 10^{-3}\ \text{C}\), o 6 mC
bàsic
El condensador del flaix d'una càmera té \(100\ \mu\text{F}\) i es carrega a 300 V. Quanta energia emmagatzema?

Mostra la resolució
L'energia d'un condensador és \(E = \dfrac{C\,U^2}{2} = \dfrac{100 \cdot 10^{-6} \cdot 300^2}{2}\).
\(E = 4{,}5\ \text{J}\)
bàsic
En un condensador de plaques planes, què passa amb la capacitat si dupliquem l'àrea de les plaques? I si dupliquem la distància entre elles?

Mostra la resolució
La capacitat de plaques planes és \(C = \varepsilon\,\dfrac{A}{d}\), proporcional a l'àrea i inversament proporcional a la distància.
Amb el doble d'àrea, la capacitat es duplica; amb el doble de distància, es redueix a la meitat.
bàsic
Un condensador connectat a 50 V acumula una càrrega de \(2 \cdot 10^{-4}\ \text{C}\). Quina és la seva capacitat?

Mostra la resolució
La capacitat és \(C = \dfrac{Q}{U} = \dfrac{2 \cdot 10^{-4}}{50}\).
\(C = 4 \cdot 10^{-6}\ \text{F}\), o \(4\ \mu\text{F}\)
mitjà
Un desfibril·lador fa servir un condensador d'uns \(32\ \mu\text{F}\) carregat a uns 5000 V, valors aproximats que varien segons el model. Quanta energia emmagatzema, i quina és la càrrega?

Mostra la resolució
L'energia és \(E = \dfrac{C\,U^2}{2} = \dfrac{32 \cdot 10^{-6} \cdot 5000^2}{2}\), i la càrrega, \(Q = C\,U = 32 \cdot 10^{-6} \cdot 5000\).
Uns 400 J, amb una càrrega de 0,16 C.
mitjà
Un condensador connectat a una bateria passa de 6 V a 12 V quan canviem la bateria. Què passa amb la càrrega i amb l'energia emmagatzemades?

Mostra la resolució
La càrrega \(Q = C\,U\) és proporcional a la tensió i es duplica.
L'energia \(C\,U^2/2\) és proporcional al quadrat de la tensió i queda multiplicada per \(2^2 = 4\).
La càrrega es duplica i l'energia es fa quatre vegades més gran.
mitjà
El condensador d'un flaix guarda 4,5 J i els lliura a la làmpada en aproximadament 1 ms. Quina és la potència mitjana del flaix? Compara-la amb una bombeta LED de 9 W.

Mostra la resolució
La potència mitjana és l'energia dividida pel temps, \(P = \dfrac{4{,}5}{10^{-3}}\).
La raó amb la bombeta LED és \(\dfrac{4500}{9}\).
Uns 4500 W, unes 500 vegades la potència de la bombeta LED, durant una mil·lèsima de segon.
mitjà
Un condensador de \(10\ \mu\text{F}\) es carrega a 100 V i es desconnecta de la bateria. Tot seguit, allunyem les plaques fins al doble de la distància. Calcula la càrrega, la tensió i l'energia abans i després.

Mostra la resolució
Abans, \(Q = C\,U = 10^{-5} \cdot 100 = 10^{-3}\ \text{C}\) i \(E = \dfrac{10^{-5} \cdot 100^2}{2} = 0{,}05\ \text{J}\).
Desconnectat, el condensador conserva la càrrega. Amb el doble de distància, \(C\) baixa a \(5\ \mu\text{F}\), i \(U = \dfrac{Q}{C} = \dfrac{10^{-3}}{5 \cdot 10^{-6}}\) i \(E = \dfrac{Q\,U}{2}\).
La càrrega no canvia, la tensió es duplica fins a 200 V i l'energia es duplica fins a 0,1 J, gràcies al treball fet per allunyar les plaques.
repte
Una càmera fa servir dues piles AA d'1,5 V, en sèrie, cadascuna amb uns 2500 mAh, per carregar el condensador del flaix, de 4,5 J per tret. Si tota l'energia de les piles anés al flaix, quants trets serien possibles? Per què, a la pràctica, el nombre és molt més petit?

Mostra la resolució
Cada pila guarda \(E = q\,U\) \(= 2{,}5 \cdot 3600 \cdot 1{,}5\) \(= 13\,500\ \text{J}\), i les dues, 27 000 J.
El nombre de trets seria \(\dfrac{27\,000}{4{,}5}\).
Uns 6000 trets en el cas ideal; a la pràctica, el circuit que eleva la tensió a 300 V perd energia, la càmera gasta pila en altres funcions i la pila no lliura tota la càrrega.
repte
Un condensador de plaques planes a l'aire té plaques d'\(1\ \text{m}^2\) separades 1 mm. Quina és la seva capacitat? Quina àrea caldria, amb la mateixa distància, per arribar a 1 F? Fes servir \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \text{F/m}\).

Mostra la resolució
Per la fórmula del condensador pla, \(C = \varepsilon_0\,\dfrac{A}{d}\) \(= 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot \dfrac{1}{10^{-3}}\).
Per a 1 F, \(A = \dfrac{C\,d}{\varepsilon_0}\) \(= \dfrac{1 \cdot 10^{-3}}{8{,}85 \cdot 10^{-12}}\).
Uns 8,9 nF, i caldria una àrea d'\(1{,}1 \cdot 10^8\ \text{m}^2\), més de 100 km²; el farad és una unitat enorme.

TANCAMENT

Reptes

Càrrega elèctrica

En un llamp, uns 20 C de càrrega negativa passen del núvol a terra. Quants electrons representa això? (\(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\))

Mostra la resolució

El nombre d'electrons és la càrrega dividida per la càrrega de cadascun, \(n = \dfrac{20}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}\).
Això dona \(1{,}25 \cdot 10^{20}\) electrons, més de cent milions de bilions.

Electrització per contacte

Dues esferes metàl·liques idèntiques, amb +10 nC i −4 nC, es toquen i se separen. Després, una d'elles toca una tercera esfera idèntica i neutra. Quina és la càrrega final de cada esfera?

Mostra la resolució

En el primer contacte, cada esfera queda amb \(\dfrac{10 - 4}{2}\), o 3 nC.
En el segon, l'esfera de 3 nC es reparteix la càrrega amb la neutra, i les tres acaben amb 3, 1,5 i 1,5 nC, que sumen els 6 nC inicials.

Llei de Coulomb

Dues càrregues s'atrauen amb 0,9 N quan són a 10 cm l'una de l'altra. A quina distància la força baixa a 0,1 N?

Mostra la resolució

La força s'ha fet 9 vegades més petita, i com que disminueix amb \(1/d^2\), la distància ha de créixer \(\sqrt{9}\) vegades.
La nova distància és \(3 \cdot 10\), o 30 cm.

Camp elèctric

A prop de terra, amb bon temps, l'atmosfera té un camp elèctric d'uns 100 N/C, un valor aproximat. Compara la força elèctrica sobre un electró amb el seu pes. (\(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\), \(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució

La força elèctrica és \(F = e\,E\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-17}\ \text{N}\), i el pes, \(m\,g = 9{,}1 \cdot 10^{-30}\ \text{N}\).
La raó, \(\dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-17}}{9{,}1 \cdot 10^{-30}}\), dona aproximadament \(1{,}8 \cdot 10^{12}\); fins i tot un camp feble domina el moviment de l'electró.

Potencial elèctric

A quina distància d'una càrrega puntual d'1 µC el potencial val 9000 V? Quina forma té la superfície equipotencial de 9000 V? (\(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\))

Mostra la resolució

Si aïllem la distància a \(V = kQ/d\), tenim \(d = \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-6}}{9000}\), o 1 m.
Tots els punts a 1 m de la càrrega tenen aquest potencial, i l'equipotencial és una esfera d'1 m de radi, centrada a la càrrega.

Camp uniforme

Durant una tempesta, la base d'un núvol a 1 km de terra pot quedar a uns \(10^8\) V respecte del sòl. Si tractem el núvol i el terra com a plaques paral·leles, quin és, aproximadament, el camp mitjà? Compara'l amb els \(3 \cdot 10^6\ \text{V/m}\) a partir dels quals l'aire sec deixa d'aïllar.

Mostra la resolució

Amb \(E = U/d\), el camp mitjà és \(\dfrac{10^8}{1000} = 10^5\ \text{V/m}\), unes 30 vegades més petit que el límit de l'aire.
El llamp comença allà on el camp local es fa molt més gran que la mitjana, a prop de gotes, cristalls de gel i puntes, i el model de plaques només permet estimar l'ordre de magnitud del camp.

Condensadors

Un supercondensador d'1 F es carrega a 2,7 V. Quanta energia guarda? Compara-la amb els 4,5 J del condensador d'un flaix, de 100 µF a 300 V.

Mostra la resolució

L'energia és \(E = \dfrac{C\,U^2}{2} = \dfrac{1 \cdot 2{,}7^2}{2}\), aproximadament 3,6 J.
La capacitat és deu mil vegades més gran, i tot i així l'energia queda per sota de la del flaix, perquè l'energia creix amb el quadrat de la tensió.

Pensar, sense comptes

Un dia sec, la Marcela baixa del cotxe i nota una petita descàrrega en tocar la porta. Per què passa això, i per què és més rar els dies humits?

Mostra la resolució

En lliscar pel seient, el cos i la roba intercanvien electrons amb el teixit i s'electritzen per fregament.
En tocar el metall de la porta, la càrrega acumulada s'escola de cop, en una petita espurna. Els dies humits, una capa fina d'aigua sobre les superfícies condueix una mica, i la càrrega tendeix a escapar-se a poc a poc, abans d'acumular-se.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Les cinc preguntes següents les hem escrites nosaltres en el format de l'ENEM, amb un text base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall indiquem preguntes reals de la prova sobre electrostàtica, un tema que tendeix a aparèixer lligat als llamps, a les descàrregues i als aparells de casa.

Electrització per fregament · Pas 2

A la classe de ciències, en Thiago va fregar una palleta de PVC amb un drap de llana i, després, un globus de goma amb els seus propis cabells. La professora va mostrar al grup el fragment d'una sèrie triboelèctrica reproduït a sota, i va recordar que l'ordre dels materials pot variar una mica d'una font a una altra.

Del material que cedeix electrons amb més facilitat al que en rep amb més facilitat
Posició	Material
1	pell humana seca
2	vidre
3	cabell humà
4	llana
5	seda
6	cotó
7	goma
8	PVC

D'acord amb la sèrie, quina afirmació descriu correctament el que va passar?

La palleta va quedar positiva, perquè va rebre protons de la llana.
La palleta va quedar negativa i la llana, positiva, perquè van passar electrons de la llana a la palleta.
La palleta i la llana van quedar negatives, perquè el fregament va crear electrons en totes dues.
El globus va quedar positiu i els cabells, negatius, perquè el cabell apareix abans que la goma a la sèrie.
La llana va quedar negativa, perquè apareix més a prop del començament de la sèrie que el PVC.

Mostra la resolució

Resposta: B.
En el fregament, el material que apareix abans a la sèrie cedeix electrons al que apareix després. La llana (posició 4) cedeix electrons al PVC (posició 8), i la palleta queda negativa, mentre que la llana queda positiva, amb una càrrega del mateix mòdul.
L'A parla de protons, que queden lligats als nuclis, i la C suposa que el fregament crea càrrega, cosa que contradiu la conservació. La D inverteix el resultat, ja que el cabell cedeix electrons a la goma i el globus queda negatiu, i l'E llegeix la sèrie al revés.
El mateix raonament suggereix que els parells de materials més allunyats a la sèrie tendeixen a intercanviar més càrrega, tot i que la humitat de l'aire i la força del fregament també hi pesen molt.

Llei de Coulomb · Pas 3
El 1785, Coulomb va mesurar la força entre esferetes carregades amb una balança de torsió. En una reproducció de l'experiment, la Larissa mesura una força de repulsió de \(4{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\) entre dues esferetes metàl·liques a 6 cm l'una de l'altra. Tot seguit, toca una de les esferetes amb una tercera, idèntica i neutra, i la retira, cosa que redueix a la meitat la càrrega de la primera. Finalment, apropa les dues esferetes originals fins a 3 cm. Suposarem que es comporten com a càrregues puntuals.

Quina és la nova força entre les esferetes?
1. \(1{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\)
2. \(2{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\)
3. \(4{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\)
4. \(8{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\)
5. \(1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{N}\)
Mostra la resolució

Resposta: D.
Per la llei de Coulomb, \(F = k\,|q_1\,q_2|/d^2\). La càrrega reduïda a la meitat divideix la força per 2, i la distància reduïda a la meitat la multiplica per \(2^2 = 4\).
La nova força és \(F^{\prime} = 4{,}0 \cdot 10^{-4} \cdot \dfrac{4}{2}\), o \(8{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{N}\).
La B només té en compte la càrrega, i l'E només la distància. La C tracta la força com si fos inversament proporcional a la distància, sense el quadrat, i l'A inverteix l'efecte d'apropar-les.
Potencial i electronvolt · Pas 5
En radioteràpia, un accelerador lineal produeix feixos d'electrons per tractar tumors. En una de les configuracions, cada electró surt de l'accelerador amb una energia de 6 MeV, la mateixa que guanyaria si sortís del repòs i travessés una diferència de potencial de 6 milions de volts. La càrrega elemental val \(1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\).

Quina és l'energia de cada electró del feix, en joules?
1. \(2{,}7 \cdot 10^{-26}\ \text{J}\)
2. \(1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\)
3. \(9{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\)
4. \(9{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{J}\)
5. \(3{,}75 \cdot 10^{25}\ \text{J}\)
Mostra la resolució

Resposta: D.
L'energia que guanya una càrrega en travessar una diferència de potencial és \(E = q\,U\), i per a l'electró, \(E = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 6 \cdot 10^6\).
Això dona \(9{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{J}\), un valor minúscul per a nosaltres i enorme per a un sol electró.
La C s'oblida del prefix mega i calcula 6 eV, i la B correspon a 1 eV. L'A divideix la càrrega per la tensió, i l'E divideix la tensió per la càrrega.
Blindatge electrostàtic · Pas 6
En el manteniment de línies d'alta tensió sense tallar el corrent, alguns electricistes arriben al cable en una cistella aïllada, subjecta a un camió, i porten granotes teixides amb fils metàl·lics, connectades al mateix cable. Toquen cables de centenars de milers de volts i no pateixen cap descàrrega.

Quina és l'explicació física de la protecció de l'electricista?
1. La granota aïlla el cos i impedeix el pas del corrent.
2. La granota conductora queda al mateix potencial que el cable, i el camp elèctric a dins seu és pràcticament nul.
3. La tensió del cable baixa a zero en l'instant en què l'electricista el toca.
4. Els fils metàl·lics de la granota funcionen com a parallamps i porten la càrrega del cable fins a la Terra.
5. El corrent travessa el cos de l'electricista, però és inofensiu perquè és altern.
Mostra la resolució

Resposta: B.
La granota és un conductor que envolta el cos, com una gàbia de Faraday. Connectada al cable, queda al mateix potencial que ell, i a l'interior d'un conductor en equilibri el camp elèctric és nul, de manera que no hi ha diferència de potencial entre parts del cos.
La cistella aïllada impedeix el camí fins a la Terra, i per això la D falla. L'A confon la granota amb una roba aïllant, la C s'imagina que la tensió del cable desapareix, i l'E és perillosa, perquè un corrent altern que passi pel cos pot matar.
Condensadors · Pas 7
En Caio va desmuntar el llum d'emergència d'una bicicleta i hi va trobar un condensador que guarda energia per a uns quants segons de llum. Va mesurar la càrrega del condensador per a diverses tensions i va fer el gràfic de sota.

Quanta energia emmagatzema el condensador quan està carregat a 12 V?
1. \(1{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{J}\)
2. \(6{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{J}\)
3. \(7{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{J}\)
4. \(1{,}44 \cdot 10^{-2}\ \text{J}\)
5. \(7{,}2\ \text{J}\)
Mostra la resolució

Resposta: C.
L'energia emmagatzemada és l'àrea sota la recta del gràfic \(Q \times U\), un triangle, \(E = \dfrac{Q\,U}{2}\).
Amb 12 V i \(1{,}2\ \text{mC} = 1{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{C}\), \(E = \dfrac{1{,}2 \cdot 10^{-3} \cdot 12}{2}\), o \(7{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{J}\).
La D s'oblida de la meitat, i l'E s'oblida del prefix mil·li. L'A és el valor de la capacitat, \(C = Q/U = 10^{-4}\ \text{F}\), i la B divideix la càrrega per dos, sense multiplicar-la per la tensió.
Uns quants mil·lijoules potser semblen poca cosa, però n'hi ha prou per mantenir un LED encès uns quants segons.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2010, dia 1, quadern blau, pregunta 78. Dues germanes guarden el mòbil en capses de materials diferents, una de metall i una altra de fusta, i només un dels aparells rep trucades; la pregunta demana el material de la capsa que ha bloquejat el senyal i l'explicació, el blindatge electrostàtic.
ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 79. La bombeta d'un circuit amb una pila s'encén gairebé en l'instant en què tanquem l'interruptor, i hem de dir què explica aquesta rapidesa en el model clàssic de corrent, el camp elèctric que s'estableix a tot el circuit.
ENEM 2020, dia 2, quadern blau, pregunta 91. Una tira còmica mostra un gat que es frega amb uns pantalons i queda electritzat, i triem el mecanisme de l'electrització per fregament, el pas d'electrons d'un material a l'altre.
ENEM 2020, dia 2, quadern blau, pregunta 133. El text recomana l'interior d'un automòbil tancat com a refugi durant les tempestes amb llamps, i la pregunta demana el motiu físic d'aquesta protecció, el blindatge que fa la carrosseria de metall.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Càrrega quantitzada\(Q = n\,e\)

Constants\(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\), \(k = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Contacte (esferes iguals)\(Q^{\prime} = (Q_A + Q_B)/2\)

Llei de Coulomb\(F = k\,|q_1 q_2|/d^2\)

Camp elèctric\(\vec E = \vec F/q\)

Camp d'una càrrega puntual\(E = k\,|Q|/d^2\)

Potencial\(V = k\,Q/d\), \(E_p = k\,Q\,q/d\)

Treball del camp\(\tau = q\,(V_A - V_B)\)

Camp uniforme\(U = E\,d\)

Capacitat\(C = Q/U\), \(C = \varepsilon A/d\)

Energia al condensador\(E = Q\,U/2 = C\,U^2/2\)

Electronvolt\(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\)