← Totes les lliçons
Física · Secundària · Estàtica

Estàtica

El pont que aguanta camions, el quadre tort a la paret, la clau de roda que només funciona amb un tub encaixat i la pila de llibres que s'esfondra quan menys t'ho esperes obeeixen les mateixes dues regles. L'estàtica estudia els cossos en equilibri, i veurem que han de tenir resultant nul·la i, quan poden girar, també moment resultant nul. Partim d'un punt penjat de dos fils, passem pel moment d'una força, per les palanques i pel centre de masses, i arribem als ponts i a les politges. En els càlculs de la lliçó fem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

  1. 1Equilibri d'un punt
  2. 2Moment d'una força
  3. 3Cos extens
  4. 4Palanques
  5. 5Centre de masses
  6. 6Biga sobre dos suports
  7. 7Politges
  8. ✓Reptes
PAS 1

Per què l'estenedor mai no queda recte?

Quan la mida d'un cos i la seva rotació no importen per al problema, el podem tractar com un punt material. Està en equilibri quan la resultant de les forces que hi actuen és nul·la, i com que les forces són vectors, la suma ha de donar zero en l'horitzontal i en la vertical, per separat.

Per sumar forces inclinades, descomponem cadascuna en dues components perpendiculars, fent servir el sinus i el cosinus de l'angle. En el quadre penjat de dos fils iguals, les components horitzontals de les tensions s'anul·len, i les verticals, juntes, sostenen el pes.

D'aquí surt un resultat que sol sorprendre. Com més s'obren els fils, més petita es fa la component vertical de cada tensió, i la tensió ha de créixer per continuar aguantant el mateix pes. Amb els fils horitzontals no n'hi hauria prou amb cap tensió, i per això un estenedor amb roba cedeix una mica pel mig, per molt que el tibem.

\(\vec F_R = \vec 0\)\(\sum F_x = 0\ \text{ i }\ \sum F_y = 0\)\(F_x = F\cos\theta\)\(F_y = F\sin \theta\)\(T = \dfrac{P}{2\cos\theta}\) (fils simètrics)En els fils simètrics, \(\theta\) és l'angle de cada fil amb la vertical. Suposem fils ideals, sense massa i inextensibles, i \(g = 10\ \text{m/s}^2\). En el triangle de forces, dibuixem \(\vec P\), \(\vec T_2\) i \(\vec T_1\) l'un darrere l'altre, i la figura es tanca perquè la resultant és nul·la.

pes P   tensió T₁ (fil de l'esquerra)   tensió T₂ (fil de la dreta)

Per comentar

  • Comença amb els fils gairebé verticals i ves-los obrint a poc a poc. A quin angle cada tensió es fa igual al pes del quadre?
  • Porta l'obertura fins a 85° i compara les tensions amb el pes. Per què un estenedor molt tibat es pot trencar amb poca roba?
  • Crea una asimetria i mira quin fil passa a estirar més. La nostra primera intuïció tendeix a apostar pel fil més llarg, i val la pena comprovar si l'encerta.
  • Duplica la massa del quadre sense tocar els angles. El triangle de forces canvia de forma o només de mida?
Pes P
Tensió T₁
Tensió T₂
Tensió més gran
Resultant
Exercicis del pas 1 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un test amb una planta, de 2 kg, penja del sostre d'un sol fil vertical i està quiet. Quina és la tensió del fil? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Quiet, el test està en equilibri, i les dues forces que hi actuen, el pes cap avall i la tensió cap amunt, s'han d'anul·lar.
    El pes és \(P = m\,g = 2 \cdot 10\), i la tensió té el mateix mòdul.
    \(T = 20\ \text{N}\)
  2. bàsic

    Quan estenem roba mullada en un estenedor, ningú no aconsegueix deixar la corda perfectament recta, per molt que la tibi. Per què passa això?

    Mostra la resolució
    Al punt on la roba està subjecta, les tensions dels dos costats de la corda han de tenir una component vertical que equilibri el pes de la roba.
    Amb la corda recta i horitzontal, aquesta component seria zero, i cap tensió, per gran que fos, no aguantaria la roba.
    La corda sempre cedeix una mica, perquè només inclinada té component vertical per aguantar el pes.
  3. bàsic

    Un quadre de 4 kg penja de dos fils verticals iguals, lligats als dos extrems del marc. Quina és la tensió de cada fil? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Amb els fils verticals i simètrics, cadascun sosté la meitat del pes \(P = 4 \cdot 10 = 40\ \text{N}\).
    \(T = 20\ \text{N}\) a cada fil
  4. bàsic

    Una força de 10 N estira una caixa formant 60° amb el terra. Quines són les components horitzontal i vertical de la força? Fes servir \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) i \(\sin 60^\circ \approx 0{,}87\).

    Mostra la resolució
    La component horitzontal és la projecció de la força sobre el terra, \(F_x = F\cos 60^\circ = 10 \cdot 0{,}5\), i la vertical és \(F_y = F\sin 60^\circ = 10 \cdot 0{,}87\).
    \(F_x = 5\ \text{N}\) i \(F_y \approx 8{,}7\ \text{N}\)
  5. mitjà

    Un quadre de 3 kg penja d'un clau amb dos fils simètrics, cadascun formant 60° amb la vertical. Quina és la tensió de cada fil? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Recorda que \(\cos 60^\circ = 0{,}5\).

    Mostra la resolució
    Les components horitzontals de les dues tensions s'anul·len, i les verticals sumen el pes, \(2\,T\cos\theta = P\).
    Amb \(P = 30\ \text{N}\), tenim \(T = \dfrac{P}{2\cos\theta} = \dfrac{30}{2 \cdot 0{,}5}\).
    \(T = 30\ \text{N}\), el pes sencer a cada fil, tot i que n'hi ha dos
  6. mitjà

    Un llum de 2,4 kg està subjecte per dos cables simètrics, cadascun a 37° de la vertical. Quina és la tensió de cada cable? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\cos 37^\circ = 0{,}8\).

    Mostra la resolució
    En el cas simètric, \(2\,T\cos\theta = P\), amb \(P = 24\ \text{N}\).
    D'aquí, \(T = \dfrac{24}{2 \cdot 0{,}8} = \dfrac{24}{1{,}6}\).
    \(T = 15\ \text{N}\)
  7. mitjà

    Un sac de 5 kg penja d'una corda. En Gabriel empeny el sac amb una força horitzontal fins que la corda forma 37° amb la vertical, i el sac queda quiet. Quina és la força d'en Gabriel, i quina és la tensió de la corda? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\sin 37^\circ = 0{,}6\) i \(\cos 37^\circ = 0{,}8\).

    Mostra la resolució
    En la vertical, només la corda aguanta el pes, \(T\cos 37^\circ = 50\), i per tant \(T = \dfrac{50}{0{,}8} = 62{,}5\ \text{N}\).
    En l'horitzontal, la força d'en Gabriel equilibra la component horitzontal de la tensió, \(F = T\sin 37^\circ = 62{,}5 \cdot 0{,}6\).
    \(F = 37{,}5\ \text{N}\) i \(T = 62{,}5\ \text{N}\)
  8. mitjà

    Un semàfor de 6 kg està subjecte a un cable horitzontal, lligat a un pal, i a un segon cable que puja fins dalt d'un altre pal formant 37° amb l'horitzontal. Quines són les tensions dels dos cables? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\sin 37^\circ = 0{,}6\) i \(\cos 37^\circ = 0{,}8\).

    Mostra la resolució
    Només el cable inclinat té component vertical, i aquesta sosté tot el pes, \(T_2\sin 37^\circ = 60\), cosa que dona \(T_2 = \dfrac{60}{0{,}6} = 100\ \text{N}\).
    El cable horitzontal equilibra la component horitzontal de l'altre, \(T_1 = T_2\cos 37^\circ\) \(= 100 \cdot 0{,}8\).
    \(T_1 = 80\ \text{N}\) al cable horitzontal i \(T_2 = 100\ \text{N}\) a l'inclinat
  9. repte

    Una samarreta mullada de 2 kg està penjada just al mig d'un estenedor, i cada meitat de la corda forma un angle \(\alpha\) amb l'horitzontal. La corda es trenca per sobre de 200 N. Quin és l'angle \(\alpha\) més petit que aguanta? I quina seria la tensió si l'angle fos de 5°? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\sin 5^\circ \approx 0{,}087\).

    Mostra la resolució
    Amb l'angle mesurat des de l'horitzontal, les components verticals sumen el pes, \(2\,T\sin \alpha = P\), i \(T = \dfrac{P}{2\sin \alpha}\).
    Al límit, \(\sin \alpha = \dfrac{20}{2 \cdot 200} = 0{,}05\), que correspon a \(\alpha \approx 2{,}9^\circ\).
    Amb \(\alpha = 5^\circ\), \(T = \dfrac{20}{2 \cdot 0{,}087} \approx 115\ \text{N}\), més de cinc vegades el pes de la samarreta.
    L'angle no pot ser més petit que uns 2,9°, i a 5° la tensió és d'uns 115 N.
  10. repte

    Un quadre de 5 kg penja de dos fils lligats a claus diferents. El fil A forma 37° amb l'horitzontal i el fil B, 53°, de manera que els dos fils són perpendiculars entre si. Calcula les tensions. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\sin 37^\circ = \cos 53^\circ = 0{,}6\) i \(\cos 37^\circ = \sin 53^\circ = 0{,}8\).

    Mostra la resolució
    En l'horitzontal, \(T_A\cos 37^\circ = T_B\cos 53^\circ\), o \(0{,}8\,T_A = 0{,}6\,T_B\).
    En la vertical, \(T_A\sin 37^\circ + T_B\sin 53^\circ = 50\), o \(0{,}6\,T_A + 0{,}8\,T_B = 50\).
    Com que els fils són perpendiculars, el triangle de forces és rectangle, amb el pes a la hipotenusa i les tensions als catets, \(T_A = 50 \cdot 0{,}6\) i \(T_B = 50 \cdot 0{,}8\) (substituint, les dues equacions es compleixen).
    \(T_A = 30\ \text{N}\) i \(T_B = 40\ \text{N}\); el fil més inclinat respecte de l'horitzontal, el B, estira més
PAS 2

Què fa girar una porta

Una força aplicada a un cos que pot girar al voltant d'un eix produeix un moment, que també s'anomena torque. Depèn de la força i de la distància entre l'eix i la seva línia d'acció, que anomenem braç de palanca \(d\).

Amb la força perpendicular a la barra, el braç és la mateixa distància de l'eix al punt d'aplicació. Si és inclinada, només la component perpendicular fa girar, i el moment guanya el factor \(\sin \theta\). Si estirem la clau en la seva pròpia direcció, no gira res, perquè la línia d'acció passa per l'eix.

Per això la maneta és lluny de les frontisses, i qui empeny la porta a prop d'elles necessita molta més força per obrir-la. En la clau de roda, un tub encaixat al mànec augmenta el braç i pot afluixar un cargol que la mà sola no afluixava.

Per sumar moments, donem a cadascun el signe del sentit en què fa girar el cos, i aquí prenem com a positiu el sentit antihorari.

\(M = F\,d\)\(d = r\sin \theta\)\(M = F\,r\sin \theta\)unitat: \(\text{N}\cdot\text{m}\)\(r\) és la distància de l'eix al punt d'aplicació i \(\theta\), l'angle entre la força i la barra. A la simulació, el cargol només s'afluixa amb almenys 60 N·m en sentit antihorari, i la porta, que suposem que té una molla, només s'obre amb 9 N·m.

Per comentar

  • Amb la força perpendicular, arrossega el punt d'aplicació des de la punta de la clau fins a prop del cargol. Quina força caldria, allà, per arribar als 60 N·m?
  • Arrossega la punta de la fletxa fins que la força quedi al llarg de la clau. Què passa amb el braç \(d\), i amb el moment?
  • Gira la força cap a l'altre costat de la clau. El moment canvia de signe, i el cargol passa a estrènyer-se en lloc d'afluixar-se.
  • Passa a la porta i compara empènyer a la maneta amb empènyer a prop de la frontissa, mantenint la mateixa força.
Força
Distància r
Braç d
Moment
Sentit
Exercicis del pas 2 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Per afluixar el cargol d'una roda, en Rafael aplica 50 N perpendicularment a la punta d'una clau de 40 cm. Quin és el moment de la força respecte del cargol?

    Mostra la resolució
    Amb la força perpendicular a la clau, el braç és la mateixa longitud, \(d = 0{,}40\ \text{m}\), i \(M = F\,d = 50 \cdot 0{,}40\).
    \(M = 20\ \text{N}\cdot\text{m}\)
  2. bàsic

    Per què les manetes són al costat oposat al de les frontisses, i no a prop d'elles?

    Mostra la resolució
    La porta gira al voltant de les frontisses, i el moment de la força de la mà és \(M = F\,d\), amb \(d\) mesurat des d'elles.
    Lluny de les frontisses, el braç és gran, i una força petita ja produeix el moment necessari per fer girar la porta.
    Amb el braç més gran, necessitem menys força per al mateix moment.
  3. bàsic

    La Lívia estira una clau de roda amb 30 N, a 20 cm del cargol, però en la direcció de la mateixa clau, com si la volgués allargar. Quin moment produeix?

    Mostra la resolució
    La línia d'acció de la força passa per l'eix del cargol, i el braç de palanca, que és la distància de l'eix a aquesta línia, val zero.
    En termes de la fórmula, l'angle entre la força i la clau és 0°, i \(\sin 0^\circ = 0\).
    \(M = 0\), i el cargol no gira, per molt fort que estiri.
  4. bàsic

    Un cargol necessita un moment de 60 N·m per afluixar-se. Amb una clau de 30 cm, quina força perpendicular hem d'aplicar a la punta?

    Mostra la resolució
    De \(M = F\,d\), aïllem la força, \(F = \dfrac{M}{d} = \dfrac{60}{0{,}30}\).
    \(F = 200\ \text{N}\)
  5. mitjà

    Amb la mateixa clau de 40 cm, en Rafael aplica ara els 50 N a la punta, però formant 30° amb la clau. Quin és el moment, i quin és el braç de palanca efectiu? Fes servir \(\sin 30^\circ = 0{,}5\).

    Mostra la resolució
    Només la component perpendicular de la força fa girar, i \(M = F\,d\sin \theta\) \(= 50 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}5\) \(= 10\ \text{N}\cdot\text{m}\).
    El mateix resultat surt del braç efectiu, la distància de l'eix a la línia d'acció, \(d\sin \theta = 0{,}40 \cdot 0{,}5\).
    Braç efectiu de \(0{,}20\ \text{m}\), i el moment es redueix a la meitat del cas perpendicular.
  6. mitjà

    Una porta pesant necessita un moment de 16 N·m per començar a obrir-se. Compara la força perpendicular necessària quan empenyem a 10 cm de les frontisses amb la força quan empenyem a la maneta, a 80 cm d'elles.

    Mostra la resolució
    De \(F = M/d\), a prop de la frontissa tenim \(F = \dfrac{16}{0{,}10} = 160\ \text{N}\).
    A la maneta, \(F = \dfrac{16}{0{,}80} = 20\ \text{N}\).
    160 N a prop de la frontissa i 20 N a la maneta, vuit vegades menys.
  7. mitjà

    Una barra pot girar al voltant d'un eix situat al seu centre. Una força de 20 N, a 0,5 m de l'eix, tendeix a fer-la girar en sentit antihorari, i una altra, de 30 N, a 0,2 m a l'altre costat, tendeix a fer-la girar en sentit horari. Totes dues són perpendiculars a la barra. Quin és el moment resultant? Pren l'antihorari com a positiu.

    Mostra la resolució
    El primer moment és \(M_1 = +20 \cdot 0{,}5 = +10\ \text{N}\cdot\text{m}\), i el segon, \(M_2 = -30 \cdot 0{,}2 = -6\ \text{N}\cdot\text{m}\).
    Sumant amb els signes, \(M = 10 - 6\).
    \(M = +4\ \text{N}\cdot\text{m}\), i la barra tendeix a girar en sentit antihorari, tot i que la força més gran estira cap a l'altre costat.
  8. mitjà

    El cargol d'una roda necessita 120 N·m per afluixar-se, i en Tomás pot empènyer la clau amb un màxim de 400 N, perpendicularment. La clau del cotxe fa 25 cm. Ho aconsegueix? Quina és la longitud mínima de clau que resol el problema?

    Mostra la resolució
    Amb la clau del cotxe, el moment més gran és \(M = 400 \cdot 0{,}25 = 100\ \text{N}\cdot\text{m}\), menys que els 120 necessaris.
    La longitud mínima surt de \(d = \dfrac{M}{F} = \dfrac{120}{400}\).
    No ho aconsegueix amb la clau de 25 cm; necessita almenys 0,30 m, cosa que resol un tub encaixat al mànec.
  9. repte

    Com que no aconsegueix afluixar un cargol amb les mans, en Joaquim, de 60 kg, puja a la punta d'una clau de roda de 40 cm. La clau està inclinada 30° per sobre de l'horitzontal. Quin és el moment del seu pes respecte del cargol? I si la clau fos horitzontal? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\sin 60^\circ \approx 0{,}87\).

    Mostra la resolució
    El pes, \(P = 600\ \text{N}\), és vertical, i la clau forma 30° amb l'horitzontal, és a dir, 60° amb la vertical.
    El moment és \(M = P\,d\sin 60^\circ\) \(= 600 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}87 \approx 209\ \text{N}\cdot\text{m}\).
    Amb la clau horitzontal, l'angle seria 90° i \(M = 600 \cdot 0{,}40 = 240\ \text{N}\cdot\text{m}\).
    Uns 209 N·m inclinada i 240 N·m horitzontal, la posició més eficient.
  10. repte

    Amb el braç estirat en horitzontal, l'Helena aguanta una pesa de 5 kg a 0,6 m de l'espatlla. El braç fa 4 kg, amb el centre de masses a 0,3 m de l'espatlla. Quin és el moment total respecte de l'espatlla? I si abaixa el braç estirat fins que formi 60° amb l'horitzontal? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(\cos 60^\circ = 0{,}5\).

    Mostra la resolució
    Els dos pesos fan girar el braç en el mateix sentit.
    \(M = 50 \cdot 0{,}6 + 40 \cdot 0{,}3\) \(= 30 + 12 = 42\ \text{N}\cdot\text{m}\)
    Amb el braç inclinat, cada braç de palanca és la distància horitzontal fins a l'espatlla, que queda multiplicada per \(\cos 60^\circ\), i \(M = 42 \cdot 0{,}5\).
    42 N·m en horitzontal i 21 N·m amb el braç a 60°, i per això cansa tant aguantar un pes amb el braç estirat cap endavant.
PAS 3

Com s'equilibra un balancí

En un cos extens, la mida importa, perquè les forces actuen en punts diferents i el poden fer girar. Per estar en equilibri ha de complir dues condicions alhora, la resultant nul·la, que n'impedeix el desplaçament, i el moment resultant nul, que n'impedeix la rotació.

En el balancí, cada infant produeix un moment respecte del suport, l'un en sentit horari i l'altre en antihorari. El tauló queda equilibrat quan tots dos són iguals, i és així com un infant lleuger pot equilibrar-ne un de pesant, asseient-se més lluny del suport.

La força que el suport fa cap amunt, la normal, equilibra la suma de tots els pesos. En un cos en equilibri, la suma dels moments és zero respecte de qualsevol punt, i per això podem triar el punt que deixa el càlcul més senzill, que en general és aquell on actua una força que encara no coneixem.

\(\sum \vec F = \vec 0\)\(\sum M = 0\)\(P_1\,d_1 = P_2\,d_2\)\(N = P_1 + P_2 + P_{\text{tauló}}\)A la simulació, el tauló fa 4 m i 10 kg i està recolzat pel mig, i el seu pes no produeix moment. Suposem el suport a l'altura del tauló, i l'extrem que baixa toca a terra quan la inclinació arriba a uns 14°.

Per comentar

  • Desequilibra el balancí canviant la massa d'en Caio, espera que el tauló s'inclini i fes clic a «Equilibra». Potser la nostra intuïció espera que torni a l'horitzontal, i val la pena comprovar si hi torna.
  • Arrossega en Caio fins a l'extrem i intenta endevinar, sense fer comptes, on s'ha d'asseure l'Ana. Després comprova-ho amb \(P_1\,d_1 = P_2\,d_2\).
  • Quan un extrem toca a terra, la normal al suport disminueix. On sembla que ha anat la resta del pes?
  • Duplica la massa de l'Ana. A quina distància del suport s'ha d'asseure ara per mantenir l'equilibri?
Moment de l'Ana
Moment d'en Caio
Resultant
Normal al suport
Inclinació
Exercicis del pas 3 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    L'Ana, de 30 kg, s'asseu a 2 m del suport d'un balancí. On s'ha d'asseure en Caio, de 40 kg, a l'altre costat, perquè el balancí quedi en equilibri? Menysprea la massa del tauló, o suposa que està recolzat pel mig.

    Mostra la resolució
    Els moments dels dos pesos respecte del suport han de ser iguals, \(m_1\,g\,d_1 = m_2\,g\,d_2\), i la \(g\) se simplifica.
    Amb els nombres, \(30 \cdot 2 = 40 \cdot d_2\), i \(d_2 = \dfrac{60}{40}\).
    En Caio s'ha d'asseure a 1,5 m del suport.
  2. bàsic

    Quines són les dues condicions perquè un cos extens estigui en equilibri? Posa un exemple en què només se'n compleix una.

    Mostra la resolució
    La resultant de les forces ha de ser nul·la, \(\sum \vec F = 0\), perquè el cos no es desplaci, i la suma dels moments també, \(\sum M = 0\), perquè no giri.
    En el volant d'un cotxe, les dues mans poden fer forces iguals i oposades als dos costats. La resultant és zero, però els moments se sumen i el volant gira.
    \(\sum \vec F = 0\) i \(\sum M = 0\); un parell de forces oposades al volant només compleix la primera.
  3. bàsic

    Un balancí de 10 kg, recolzat pel mig, té dos infants de 25 kg als extrems i està en equilibri. Quina força fa el suport sobre el tauló? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    El tauló no puja ni baixa, i la força del suport equilibra tots els pesos, \(N = 250 + 250 + 100\).
    \(N = 600\ \text{N}\)
  4. bàsic

    Un regle lleuger està recolzat pel mig. Un pes de 6 N és a 30 cm del suport, a l'esquerra. Quin pes, col·locat a 45 cm del suport, a la dreta, manté el regle en equilibri?

    Mostra la resolució
    Els moments dels dos costats s'igualen, \(6 \cdot 30 = P \cdot 45\), i \(P = \dfrac{180}{45}\).
    \(P = 4\ \text{N}\)
  5. mitjà

    En un balancí recolzat pel mig, en Bruno (50 kg) s'asseu a 1,2 m del suport, a l'esquerra, i la Luísa (30 kg), a 1,5 m, a la dreta. On s'ha d'asseure en Teo, de 20 kg, per equilibrar el balancí?

    Mostra la resolució
    En Bruno produeix \(50 \cdot 1{,}2 = 60\) (en kg·m, ja que la \(g\) se simplifica) i la Luísa, \(30 \cdot 1{,}5 = 45\). En falten 15 al costat de la Luísa.
    En Teo s'ha d'asseure al costat dret, a una distància tal que \(20\,x = 15\).
    A 0,75 m del suport, al costat de la Luísa.
  6. mitjà

    Un balancí lleuger està en equilibri amb un infant de 300 N a 1 m del suport, en un costat, i un altre de 200 N a 1,5 m, a l'altre. Calcula la força del suport i comprova que la suma dels moments també és zero respecte del punt on hi ha el primer infant.

    Mostra la resolució
    La força del suport equilibra els pesos, \(N = 300 + 200 = 500\ \text{N}\).
    Respecte del primer infant, el seu pes té braç zero. La normal és a 1 m i fa girar el tauló en un sentit, amb \(500 \cdot 1 = 500\ \text{N}\cdot\text{m}\), i el segon infant és a \(1 + 1{,}5 = 2{,}5\ \text{m}\) i el fa girar en l'altre, amb \(200 \cdot 2{,}5 = 500\ \text{N}\cdot\text{m}\).
    \(N = 500\ \text{N}\), i els moments també s'anul·len respecte d'aquest punt, com s'han d'anul·lar respecte de qualsevol punt.
  7. mitjà

    Un tauló homogeni de 3 m i 20 kg està recolzat a 1 m d'un dels extrems. Quina massa hem de posar a l'extrem més curt per equilibrar-lo? Quant val llavors la força del suport? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    El pes del tauló actua al seu centre, a 1,5 m de l'extrem, és a dir, a 0,5 m del suport, al costat més llarg, i fa girar el tauló amb \(200 \cdot 0{,}5 = 100\ \text{N}\cdot\text{m}\).
    La massa a l'extrem curt, a 1 m del suport, ha d'equilibrar aquest moment, \(m \cdot 10 \cdot 1 = 100\), i d'aquí \(m = 10\ \text{kg}\).
    10 kg a l'extrem curt, amb el suport fent \(N = 200 + 100 = 300\ \text{N}\).
  8. mitjà

    Dos infants estan equilibrats en un balancí recolzat pel mig, amb el tauló horitzontal. Algú inclina el tauló i el deixa anar. Torna a l'horitzontal, baixa cap a un dels costats o es queda on l'han deixat? Suposa que el suport és a l'altura del tauló.

    Mostra la resolució
    Amb el tauló inclinat un angle \(\theta\), el braç de cada pes passa a ser la distància horitzontal fins al suport, \(d\cos\theta\).
    Els dos braços queden multiplicats pel mateix factor, i els moments, que eren iguals, continuen sent iguals.
    Es queda on l'han deixat: l'equilibri és indiferent.
  9. repte

    Un balancí homogeni de 4 m i 30 kg està recolzat pel mig. La Clara, de 40 kg, s'asseu en un extrem. On s'ha d'asseure en Márcio, de 50 kg, per equilibrar el balancí? Si en Márcio va fins a l'altre extrem, quina massa addicional hem de col·locar a 1 m del suport, al costat de la Clara?

    Mostra la resolució
    El pes del tauló actua al suport i no produeix moment. L'extrem de la Clara és a 2 m, i \(40 \cdot 2 = 50\,x\), cosa que dona \(x = 1{,}6\ \text{m}\).
    Amb en Márcio a l'extrem, el seu costat produeix \(50 \cdot 2 = 100\), i el de la Clara, \(40 \cdot 2 = 80\). En falten 20, i la massa addicional a 1 m ha de complir \(m \cdot 1 = 20\).
    En Márcio s'asseu a 1,6 m del suport; a l'extrem, necessitem 20 kg més al costat de la Clara.
  10. repte

    Un regle homogeni d'1 m i 100 g és sobre una taula, amb 30 cm fora de la vora. Quina és la massa més gran que podem penjar a l'extrem de fora sense que el regle bolqui? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    A punt de bolcar, el regle només es recolza en el cantell de la taula, i és respecte d'aquest punt que comparem els moments.
    El pes del regle, \(1\ \text{N}\), actua al mig, a 50 cm de cada extrem, és a dir, 20 cm cap a dins de la taula. La massa penjada queda 30 cm cap a fora.
    Al límit, \(1 \cdot 0{,}20 = m \cdot 10 \cdot 0{,}30\), i \(m = \dfrac{0{,}2}{3}\ \text{kg}\).
    Uns 67 g; amb més, el regle bolca.
PAS 4

Palanques, de les alicates al bíceps

Una palanca és una barra que gira al voltant d'un suport. Hi actuen la potència, la força que fem, i la resistència, la força que volem vèncer, i en l'equilibri els moments de totes dues respecte del suport són iguals.

Anomenem braç de potència \(b_p\) i braç de resistència \(b_r\) les distàncies de cada força al suport. La raó \(b_p/b_r\) és l'avantatge mecànic, que diu quantes vegades la potència és més petita que la resistència.

Classifiquem les palanques segons l'element que queda al mig. En la de primer gènere, el suport és entre les forces, com a les tisores, a les alicates i al balancí. En la de segon gènere, la resistència queda al mig, com al carretó i al trencanous, i l'avantatge mecànic és sempre més gran que 1.

En la de tercer gènere, la potència queda al mig, com a les pinces i al nostre avantbraç, en què el bíceps estira a pocs centímetres del colze. El múscul ha de fer una força diverses vegades més gran que el pes que té la mà, i a canvi la mà recorre un arc ample mentre el múscul s'escurça poc.

\(F_p\,b_p = F_r\,b_r\)\(\text{AM} = \dfrac{b_p}{b_r} = \dfrac{F_r}{F_p}\)Menyspreem el pes de la barra i suposem les forces perpendiculars a ella. A la simulació, la barra fa 1 m, les posicions es mesuren des de l'extrem esquerre, i la potència calculada és la que manté la barra en equilibri.

Per comentar

  • En la de primer gènere, allunya la potència del suport. Sembla que la força baixa en la mateixa proporció en què creix l'avantatge mecànic?
  • Tria la de segon gènere i porta la càrrega a prop de la roda, com en un carretó ben carregat.
  • Passa a la de tercer gènere i busca una posició en què la força quedi més petita que la càrrega. Per què sembla impossible en aquest tipus de palanca?
  • Arrossega la potència fins a sobre del suport i mira què passa amb la força necessària.
Tipus
Braç de potència
Braç de resistència
Potència
Avantatge mecànic
Exercicis del pas 4 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Classifica les palanques de les tisores, del carretó i de les pinces de depilar, dient què queda al mig en cadascuna.

    Mostra la resolució
    A les tisores, l'eix (suport) és entre la mà i el paper, i la palanca és de primer gènere.
    Al carretó, la càrrega és entre la roda (suport) i les mans, i la palanca és de segon gènere.
    A les pinces, els dits premen entre l'articulació (suport) i les puntes que agafen el pèl, i la palanca és de tercer gènere.
    Tisores de primer gènere, carretó de segon gènere i pinces de tercer gènere.
  2. bàsic

    Amb un alçaprem, en Mateus vol aixecar una pedra que exigeix 600 N. La punta és a 5 cm del suport i la mà, a 60 cm. Quina força ha de fer, i quin és l'avantatge mecànic?

    Mostra la resolució
    Per la llei de la palanca, \(F_p\,b_p = F_r\,b_r\), i \(F_p = \dfrac{600 \cdot 5}{60} = 50\ \text{N}\).
    L'avantatge mecànic és la raó entre els braços, \(\dfrac{b_p}{b_r} = \dfrac{60}{5}\).
    50 N, amb un avantatge mecànic de 12.
  3. bàsic

    Un carretó porta una càrrega de 600 N amb el centre de masses a 0,4 m de l'eix de la roda. Les mans agafen els mànecs a 1,2 m de l'eix. Quina força vertical fan les mans? Menysprea el pes del carretó.

    Mostra la resolució
    El suport és la roda, i els moments respecte d'ella s'igualen, \(F \cdot 1{,}2 = 600 \cdot 0{,}4\).
    D'aquí, \(F = \dfrac{240}{1{,}2}\).
    \(F = 200\ \text{N}\), un terç del pes de la càrrega.
  4. bàsic

    En les palanques de tercer gènere, com les pinces i el nostre avantbraç, la potència és sempre més gran que la resistència. Per què faria servir algú una palanca així?

    Mostra la resolució
    En la de tercer gènere, la potència és entre el suport i la resistència, i el braç de potència és sempre el més petit, cosa que dona un avantatge mecànic més petit que 1.
    A canvi, l'extrem de la palanca recorre un arc més gran que el punt on apliquem la força, i el moviment surt més ampli i més ràpid. A les pinces, guanyem delicadesa i precisió.
    Perdem força i guanyem amplitud, velocitat o precisió.
  5. mitjà

    El bíceps s'insereix a l'avantbraç a 4 cm del colze. Amb l'avantbraç horitzontal, la mà aguanta una pilota de 3 kg a 32 cm del colze. Quina força ha de fer el bíceps? Menysprea el pes de l'avantbraç. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    El colze és el suport, i el bíceps estira entre ell i la pilota, cosa que fa de l'avantbraç una palanca de tercer gènere.
    Igualant els moments, \(F_b \cdot 4 = 30 \cdot 32\), i \(F_b = \dfrac{960}{4}\).
    \(F_b = 240\ \text{N}\), vuit vegades el pes de la pilota.
  6. mitjà

    En un trencanous, la nou és a 3 cm de l'articulació i la mà prem a 15 cm d'ella. Si la closca es trenca amb 200 N, quina força ha de fer la mà? Quin tipus de palanca és?

    Mostra la resolució
    La nou és entre l'articulació i la mà, i la palanca és de segon gènere.
    Per la llei de la palanca, \(F_p \cdot 15 = 200 \cdot 3\), i \(F_p = \dfrac{600}{15}\).
    \(F_p = 40\ \text{N}\), en una palanca de segon gènere.
  7. mitjà

    Unes alicates tenen mànecs de 12 cm, mesurats des de l'eix, i tallen el filferro a 2 cm de l'eix. Si la mà prem amb 100 N, quina és la força sobre el filferro?

    Mostra la resolució
    L'eix és entre la mà i el filferro, en una palanca de primer gènere, i \(100 \cdot 12 = F_r \cdot 2\).
    \(F_r = 600\ \text{N}\), sis vegades la força de la mà.
  8. mitjà

    La Isadora prem els mànecs d'unes tisores amb 40 N, a 8 cm de l'eix. Quina és la força de tall sobre un cartró col·locat a 2 cm de l'eix? I a la punta de les fulles, també a 8 cm de l'eix?

    Mostra la resolució
    A prop de l'eix, \(40 \cdot 8 = F \cdot 2\), i la força és \(160\ \text{N}\).
    A la punta, els braços són iguals, i la força de tall és la mateixa de la mà, \(40\ \text{N}\).
    160 N a prop de l'eix i 40 N a la punta; qui talla cartró gruixut aprèn a ficar-lo fins al fons de les tisores.
  9. repte

    Un carretó de 12 kg té el centre de masses a 0,5 m de l'eix de la roda. Porta 60 kg de sorra, amb el centre de masses a 0,4 m de l'eix, i les mans l'agafen a 1,5 m. Quina força vertical fan les mans, i quant sosté la roda? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Els moments respecte de la roda s'equilibren.
    \(F \cdot 1{,}5 = 120 \cdot 0{,}5 + 600 \cdot 0{,}4\) \(= 60 + 240\)
    D'aquí, \(F = \dfrac{300}{1{,}5} = 200\ \text{N}\).
    La roda sosté la resta del pes total, \(720 - 200\).
    Les mans fan 200 N i la roda sosté 520 N.
  10. repte

    L'avantbraç d'en Renan fa 1,5 kg, amb el centre de masses a 15 cm del colze, i la mà aguanta una pilota de 4 kg a 35 cm del colze. El bíceps estira verticalment a 5 cm del colze. Quina força fa el bíceps, i quina força fa l'articulació del colze sobre l'avantbraç? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Respecte del colze,
    \(F_b \cdot 0{,}05 = 15 \cdot 0{,}15 + 40 \cdot 0{,}35\) \(= 2{,}25 + 14\)
    D'aquí, \(F_b = \dfrac{16{,}25}{0{,}05} = 325\ \text{N}\).
    La suma de les forces verticals també és zero. El bíceps estira cap amunt amb 325 N, els pesos sumen 55 N cap avall, i el colze ha d'empènyer l'avantbraç cap avall amb la diferència, \(325 - 55\).
    El bíceps fa 325 N i el colze, 270 N cap avall.
PAS 5

Fins on aguanta la pila?

El centre de masses és el punt que es comporta com si tota la massa del cos hi estigués concentrada. Per a un conjunt de parts, és la mitjana de les posicions ponderada per les masses, i per això queda més a prop de les parts més pesants.

A prop del terra, on la gravetat és pràcticament uniforme, podem tractar el pes del cos com una sola força, aplicada al centre de masses. Un cos recolzat no bolca mentre la vertical que passa pel centre de masses caigui dins de la base de suport, i bolca quan en surt.

Diem que l'equilibri és estable quan el cos, després d'una petita empenta, torna a la posició inicial, com la bola al fons d'un bol. És inestable quan el cos se n'allunya cada vegada més, com la bola a dalt del bol capgirat, i indiferent quan el cos es queda on el deixem, com la bola sobre una taula plana.

Abaixar el centre de masses i eixamplar la base tendeixen a fer un cos més estable, i és el que fem quan separem els peus en un autobús en marxa. La torre de Pisa, inclinada des de fa segles, continua dreta perquè la vertical del seu centre de masses encara passa dins de la base.

\(x_{cm} = \dfrac{\sum m_i\,x_i}{\sum m_i}\)bolca si la vertical del CM surt de la base\(\tan \theta_{\text{bolca}} = \dfrac{b}{h}\)L'última fórmula val per a un bloc de base \(b\) i altura \(h\) sobre una rampa, si el fregament impedeix que llisqui. A la simulació, els llibres són iguals, de 20 cm, i el centre de masses de cadascun és al seu mig; la pila s'examina de baix a dalt, i cada grup de llibres ha de tenir el centre de masses sobre el llibre que el sosté.

Per comentar

  • Tria el llibre de dalt i empeny-lo cap a fora a poc a poc. Cau quan la seva punta passa de quina fracció del llibre de sota?
  • Ara desplaça el llibre de baix i segueix el centre de masses de tots. Què sembla que decideix si la pila cau de cop?
  • Abans de fer clic a «Pila ideal» amb 4 llibres, aventura una resposta a la pregunta que ve a continuació. Pot ser que el llibre de dalt passi del tot la vora de la taula?
  • Munta la pila començant pel llibre de baix i després començant pel de dalt. Quina de les dues estratègies sembla que arriba més lluny?
CM de tots (vora = 0)
Voladís del llibre de dalt
Fora de la taula
Estat
Exercicis del pas 5 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una pesa improvisada té una barra lleugera de 50 cm amb 2 kg en un extrem i 3 kg a l'altre. A quina distància de l'extrem de 2 kg queda el centre de masses?

    Mostra la resolució
    Posant l'origen a l'extrem de 2 kg, \(x_{cm} = \dfrac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 50}{2 + 3} = \dfrac{150}{5}\).
    \(x_{cm} = 30\ \text{cm}\), més a prop de la massa més gran.
  2. bàsic

    Una boleta pot quedar quieta al fons d'un bol, a dalt d'un bol capgirat i sobre una taula plana. Classifica l'equilibri en cada cas.

    Mostra la resolució
    Al fons del bol, una empenteta fa pujar la boleta, i torna: l'equilibri és estable.
    A dalt del bol capgirat, qualsevol empenta l'allunya cada vegada més, i l'equilibri és inestable.
    Sobre la taula plana, es queda quieta on la deixem, i l'equilibri és indiferent.
    Estable, inestable i indiferent.
  3. bàsic

    Un regle homogeni de 30 cm i 40 g té una goma d'esborrar de 20 g enganxada en un dels extrems. On queda el centre de masses del conjunt, mesurat des de l'altre extrem?

    Mostra la resolució
    El centre de masses del regle és al mig, a 15 cm, i la goma és a 30 cm.
    \(x_{cm} = \dfrac{40 \cdot 15 + 20 \cdot 30}{40 + 20}\) \(= \dfrac{1200}{60}\)
    \(x_{cm} = 20\ \text{cm}\)
  4. bàsic

    La torre de Pisa està inclinada des de fa segles i no cau. Què ha de continuar complint-se perquè es mantingui dreta?

    Mostra la resolució
    Un cos recolzat no bolca mentre la vertical que passa pel seu centre de masses caigui dins de la base de suport.
    A la torre, aquesta vertical encara passa dins de la base, i el pes tendeix a tornar-la enrere. Si la inclinació creixés fins que la vertical del centre de masses sortís de la base, el pes passaria a fer-la girar cap a fora.
    La vertical del centre de masses ha de continuar dins de la base.
  5. mitjà

    Dos llibres iguals, de 20 cm, estan apilats sobre una taula. Desplacem el de dalt 8 cm cap a fora respecte del de sota. Cau? Quin és el desplaçament més gran possible?

    Mostra la resolució
    El centre de masses del llibre de dalt és al seu mig, que queda \(10 + 8 = 18\ \text{cm}\) per davant de la vora del darrere del llibre de sota, encara abans de la vora del davant, a 20 cm.
    Només cau quan el seu centre passa de la vora del llibre de sota, és a dir, amb més de la meitat de la longitud a fora.
    No cau; el màxim és 10 cm, la meitat del llibre.
  6. mitjà

    Un bloc de base 30 cm i altura 60 cm és sobre una rampa la inclinació de la qual podem augmentar, i el fregament és suficient perquè no llisqui. A partir de quina inclinació bolca?

    Mostra la resolució
    El bloc bolca quan la vertical del centre de masses passa pel cantell de baix de la base. En aquest límit, \(\tan \theta = \dfrac{b}{h}\), amb \(b\) l'amplada de la base i \(h\) l'altura.
    D'aquí, \(\tan \theta = \dfrac{30}{60} = 0{,}5\).
    A partir de l'angle la tangent del qual és 0,5, a prop de 27°.
  7. mitjà

    Tres esferes petites són en un pla: 1 kg a (0, 0), 1 kg a (4, 0) i 2 kg a (0, 4), amb les coordenades en centímetres. On queda el centre de masses?

    Mostra la resolució
    Fem la mitjana ponderada en cada eix, \(x_{cm} = \dfrac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0}{4}\) i \(y_{cm} = \dfrac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4}{4}\).
    \((x_{cm}, y_{cm}) = (1, 2)\ \text{cm}\)
  8. mitjà

    En Felipe, de 70 kg, es posa a l'esquena una motxilla de 10 kg el centre de masses de la qual queda 20 cm per darrere del centre de masses del seu cos. Quant es desplaça el centre de masses del conjunt, i què fa ell per no caure enrere?

    Mostra la resolució
    Amb l'origen al centre de masses del cos i l'eix apuntant endavant, \(x_{cm} = \dfrac{70 \cdot 0 + 10 \cdot (-20)}{80}\), és a dir, \(-2{,}5\ \text{cm}\).
    El centre de masses va 2,5 cm enrere, i per mantenir-lo sobre els peus en Felipe s'inclina endavant.
    2,5 cm enrere, i en Felipe ho compensa inclinant el tronc endavant.
  9. repte

    Tenim quatre llibres iguals, de 24 cm, i els volem apilar a la vora d'una taula amb el de dalt tan a fora com sigui possible. Sabent que el llibre de dalt pot avançar fins a la meitat de la longitud sobre el segon, que els dos de dalt junts poden avançar un quart sobre el tercer, que els tres de dalt poden avançar un sisè sobre el quart i que els quatre junts poden avançar un vuitè sobre la taula, quant sobresurt el llibre de dalt de la vora?

    Mostra la resolució
    Cada avanç posa el centre de masses del bloc de dalt exactament sobre la vora del suport de sota.
    Sumant, el voladís total és
    \(\dfrac{24}{2} + \dfrac{24}{4} + \dfrac{24}{6} + \dfrac{24}{8}\) \(= 12 + 6 + 4 + 3\).
    El total supera la longitud d'un llibre, i el de dalt queda sencer fora de la taula.
    25 cm més enllà de la vora, més que el llibre sencer; a la pràctica, deixem un petit marge perquè la pila no quedi al límit.
  10. repte

    Un bloc de base 20 cm i altura 50 cm és sobre una rampa, i el coeficient de fregament estàtic entre tots dos és 0,6. Augmentant la inclinació a poc a poc, el bloc bolca abans de lliscar, o llisca abans de bolcar?

    Mostra la resolució
    El bloc comença a lliscar quan \(\tan \theta = \mu = 0{,}6\), a prop de 31°.
    Bolca quan \(\tan \theta = \dfrac{b}{h} = \dfrac{20}{50} = 0{,}4\), a prop de 22°.
    La condició de bolcada s'assoleix primer, amb la rampa menys inclinada.
    Bolca abans, cap als 22°, sense arribar a lliscar.
PAS 6

Quant sosté cada pilar?

Una biga recolzada en dos punts, com un pont sobre dos pilars o el tauló del paleta sobre dos cavallets, potser és l'exemple més comú de cos extens en equilibri. Les forces dels suports, \(N_A\) i \(N_B\), són les reaccions, i n'hi ha prou amb les dues condicions d'equilibri per calcular-les.

La suma de les reaccions és el pes total. Per separar l'una de l'altra, calculem els moments respecte d'un dels suports, cosa que treu la seva reacció del càlcul i deixa una equació amb una sola incògnita.

\(N_A + N_B = P_{\text{pont}} + P_c\)\(N_B\,L = P_{\text{pont}}\,\dfrac{L}{2} + P_c\,x\)\(N_B = \dfrac{P_{\text{pont}}}{2} + P_c\,\dfrac{x}{L}\)\(x\) és la distància del camió al pilar A i \(L\), la llum del pont. Tractem el camió com una sola càrrega, aplicada al seu centre de masses, i el pont com a homogeni, amb el pes al mig. A la simulació, \(L = 20\ \text{m}\) i el pont fa 20 t; amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\), cada tona pesa 10 kN.

pes del camió   reacció al pilar A   reacció al pilar B

Seguint la travessia del camió, veiem cada reacció canviar en línia recta amb la seva posició. A sobre del pilar A, el camió només pesa sobre A, i al mig del pont el seu pes es reparteix a parts iguals entre els dos pilars.

El mateix càlcul val per al tauló del paleta. Si un dels cavallets queda lluny de l'extrem, el tauló forma un voladís, i un paleta que camina més enllà del cavallet el pot fer bolcar, perquè la reacció de l'altre suport hauria d'estirar el tauló cap avall, cosa que un cavallet no fa.

Per comentar

  • Fes clic a «Travessa» i segueix les dues fletxes dels pilars. Quina creix mentre l'altra disminueix, i sembla que canvien totes dues al mateix ritme?
  • Atura el camió al mig del pont. Les reaccions queden iguals, com suggereix la simetria?
  • Desactiva el pes del pont i arrossega el camió fins a sobre d'A. Quant sosté el pilar B?
  • Duplica la massa del camió i observa què passa amb el pendent de les rectes del gràfic.
Pes del camió
Pes del pont
N_A
N_B
N_A + N_B
Exercicis del pas 6 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Un tauló lleuger de 4 m està recolzat sobre dos cavallets, un a cada extrem. Un paleta de 80 kg està dret exactament al mig. Quant sosté cada cavallet? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Per simetria, els dos cavallets es reparteixen el pes, \(N_A = N_B = \dfrac{800}{2}\).
    \(N_A = N_B = 400\ \text{N}\)
  2. bàsic

    Un pont de 200 kN està recolzat sobre dos pilars, un a cada extrem, i no hi ha cap vehicle a sobre. Quant sosté cada pilar?

    Mostra la resolució
    El pont és homogeni, i el seu pes actua al mig, a la mateixa distància dels dos pilars, que es reparteixen el pes a parts iguals.
    100 kN a cada pilar
  3. bàsic

    Un camió s'atura exactament a sobre del pilar A d'un pont. Quina part del pes del camió passa al pilar B?

    Mostra la resolució
    Respecte del pilar A, el pes del camió té braç zero i no produeix moment.
    La reacció a B només ha d'equilibrar el pes del pont, i el camió sencer queda a càrrec d'A.
    Gens; el pilar B només sosté la seva meitat del pes del pont.
  4. bàsic

    Un tauló lleuger de 3 m està recolzat als extrems A i B. Una llauna de pintura de 30 kg és a 1 m d'A. Quant sosté cada suport? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Respecte d'A, el moment de la llauna, \(300 \cdot 1\), queda equilibrat per la reacció a B, a 3 m, \(N_B \cdot 3 = 300\), i \(N_B = 100\ \text{N}\).
    La suma de les reaccions és el pes, i \(N_A = 300 - 100\).
    \(N_A = 200\ \text{N}\) i \(N_B = 100\ \text{N}\); el suport més a prop de la llauna en sosté més.
  5. mitjà

    Un pont de 20 m i 200 kN està recolzat sobre els pilars A i B, als extrems. Un camió de 100 kN és a 5 m d'A. Calcula les dues reaccions.

    Mostra la resolució
    Respecte d'A, el pont (al mig, a 10 m) i el camió (a 5 m) queden equilibrats per \(N_B\), a 20 m, \(N_B \cdot 20 = 200 \cdot 10 + 100 \cdot 5\), i \(N_B = \dfrac{2500}{20} = 125\ \text{kN}\).
    Les reaccions sumen el pes total, \(N_A = 300 - 125\).
    \(N_A = 175\ \text{kN}\) i \(N_B = 125\ \text{kN}\)
  6. mitjà

    En el mateix pont (20 m, 200 kN, camió de 100 kN), mostra que \(N_B\) creix en línia recta amb la distància \(x\) del camió al pilar A. On és el camió quan \(N_B = 180\ \text{kN}\)?

    Mostra la resolució
    Respecte d'A, \(N_B \cdot 20 = 200 \cdot 10 + 100\,x\), i per tant \(N_B = 100 + 5\,x\) (en kN, amb \(x\) en metres), una funció de primer grau.
    Per a \(N_B = 180\), \(5\,x = 80\).
    \(x = 16\ \text{m}\), a 4 m del pilar B.
  7. mitjà

    Un tauló de 4 m i 20 kg, recolzat als extrems A i B, sosté un paleta de 80 kg a 1 m d'A. Quant sosté cada suport? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Respecte d'A, el pes del tauló actua al mig (2 m) i el del paleta a 1 m, \(N_B \cdot 4 = 200 \cdot 2 + 800 \cdot 1\) \(= 1200\), i d'aquí \(N_B = 300\ \text{N}\).
    El pes total és 1000 N, i \(N_A = 1000 - 300\).
    \(N_A = 700\ \text{N}\) i \(N_B = 300\ \text{N}\)
  8. mitjà

    Una biga lleugera de 6 m, recolzada als extrems A i B, sosté 600 N a 2 m d'A i 300 N a 4 m d'A. Calcula les reaccions.

    Mostra la resolució
    Respecte d'A, \(N_B \cdot 6 = 600 \cdot 2 + 300 \cdot 4\) \(= 2400\), i \(N_B = 400\ \text{N}\).
    La suma de les reaccions és \(900\ \text{N}\), i \(N_A = 900 - 400\).
    \(N_A = 500\ \text{N}\) i \(N_B = 400\ \text{N}\)
  9. repte

    Un tauló homogeni de 4 m i 20 kg està recolzat sobre dos cavallets, A a l'extrem esquerre i B a 3 m d'aquest, de manera que queda 1 m de voladís més enllà de B. Fins on, més enllà de B, pot caminar un paleta de 60 kg abans que el tauló comenci a bolcar? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Quan el tauló està a punt de bolcar, deixa de tocar A, i tot es recolza en B. Comparem, doncs, els moments respecte de B.
    El pes del tauló actua al mig, 1 m abans de B, i fa girar el tauló cap al costat d'A amb \(200 \cdot 1 = 200\ \text{N}\cdot\text{m}\). El paleta, a una distància \(s\) més enllà de B, el fa girar cap a l'altre costat amb \(600\,s\).
    Al límit, \(600\,s = 200\), i \(s = \dfrac{1}{3}\ \text{m}\).
    Només uns 33 cm més enllà de B; per aquest motiu els paletes claven el tauló al cavallet.
  10. repte

    Els dos pilars d'un pont de 200 kN suporten fins a 250 kN cadascun. Quin és el camió més pesant que el pot travessar sencer?

    Mostra la resolució
    La reacció en un pilar és màxima quan el camió és a sobre seu, i llavors \(N = 100 + P\) (en kN), amb 100 kN que vénen del pont.
    La condició \(100 + P \le 250\) dona \(P \le 150\ \text{kN}\).
    Fins a 150 kN, o unes 15 t; el moment crític és l'arribada sobre cada pilar, i no el mig del pont.
PAS 7

Aixecar pesos amb la meitat de la força

La politja fixa gira subjecta al sostre i només canvia la direcció de la corda. La força és la mateixa als dos costats, i el que hi guanyem és poder estirar cap avall, amb l'ajuda del nostre propi pes, en lloc d'aixecar la càrrega amb els braços.

En la politja mòbil, la càrrega penja de la mateixa politja, sostinguda per dos trams de corda, i cadascun estira amb la meitat del pes. Quan associem \(n\) politges mòbils en un polispast, en què cada politja sosté la de sota, la força es redueix a la meitat a cada politja.

Aquest intercanvi no crea energia. Perquè la càrrega pugi 1 m amb una politja mòbil, els dos trams s'escurcen 1 m cadascun, i la mà estira 2 m de corda. En el polispast, la corda estirada creix com \(2^n\), i el treball de la mà, força per corda, és igual al pes per l'altura. Un polispast de debò tendeix a demanar una mica més de força que això, perquè les politges tenen fregament i massa.

\(F = P\) (fixa)\(F = \dfrac{P}{2^n}\)\(s = 2^n\,h\)\(F\,s = P\,h\)Suposem cordes sense massa i politges sense fregament, i \(g = 10\ \text{m/s}^2\). A la simulació, les politges no tenen massa, tret que activis l'opció d'1 kg per politja.

Per comentar

  • Només amb la politja fixa, aixeca la càrrega i compara la corda estirada amb la pujada.
  • Passa a 3 politges mòbils i aixeca 1 m. Quanta corda ha passat per la mà, i quant val el treball als dos costats?
  • Activa les politges d'1 kg i tria una càrrega lleugera, de 10 kg. El polispast de 3 politges encara divideix la força per 8, o el pes de les politges tendeix a pesar en el càlcul?
  • Una persona de 50 kg, estirant la corda cap avall, no pot fer més força que el seu propi pes. Quina càrrega aixecaria amb 3 politges mòbils?
Pes de la càrrega
Força a la mà
P / F
Corda per pujar 1 m
La càrrega ha pujat
Treball: mà / càrrega
Exercicis del pas 7 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes
  1. bàsic

    Una galleda de 20 kg s'aixeca amb una corda que passa per una politja fixa a dalt d'un edifici en obres. Quina força fa l'obrer, i per a què serveix la politja? Menysprea els fregaments. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    La politja fixa només canvia la direcció de la corda, i la tensió és la mateixa als dos costats, igual al pes de la galleda, \(F = 20 \cdot 10\).
    \(F = 200\ \text{N}\); la politja permet estirar cap avall, aprofitant el propi pes, en lloc d'estirar cap amunt.
  2. bàsic

    Una càrrega de 400 N està subjecta a una politja mòbil lleugera, amb un extrem de la corda lligat al sostre. Quina força hem de fer a l'altre extrem per sostenir la càrrega?

    Mostra la resolució
    La politja mòbil penja de dos trams de corda, que es reparteixen el pes, \(2\,F = 400\).
    \(F = 200\ \text{N}\)
  3. bàsic

    Un polispast té tres politges mòbils associades, cadascuna dividint la força per dos. Quina força aixeca una càrrega de 800 N? Menysprea el pes de les politges.

    Mostra la resolució
    Amb \(n\) politges mòbils, \(F = \dfrac{P}{2^n} = \dfrac{800}{2^3} = \dfrac{800}{8}\).
    \(F = 100\ \text{N}\)
  4. bàsic

    Amb una politja mòbil, fem la meitat de la força. Per què no és una manera de guanyar energia de franc?

    Mostra la resolució
    Perquè la càrrega pugi 1 m, els dos trams de corda que la sostenen s'han d'escurçar 1 m cadascun, i la mà estira 2 m de corda.
    El treball de la mà, la meitat de la força pel doble de la distància, és el mateix que el de la força que aixeca la càrrega.
    La força es redueix a la meitat i la corda estirada es duplica, i el treball continua sent el mateix.
  5. mitjà

    Amb un polispast de dues politges mòbils, quant val la força per aixecar un sac de 60 kg, i quanta corda hem d'estirar perquè pugi 3 m? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    La força és \(F = \dfrac{600}{2^2} = 150\ \text{N}\).
    La corda estirada és \(2^2\) vegades el que puja la càrrega, \(4 \cdot 3\).
    150 N, estirant 12 m de corda.
  6. mitjà

    Quantes politges mòbils necessitem, en un polispast com el de la simulació, per aixecar 1600 N fent només 200 N?

    Mostra la resolució
    Necessitem \(2^n = \dfrac{1600}{200} = 8\).
    \(n = 3\) politges mòbils
  7. mitjà

    Un polispast de tres politges mòbils aixeca 800 N a 2 m d'altura. Calcula la força, la corda estirada i el treball que fa la mà, i compara'l amb el treball necessari per aixecar la càrrega.

    Mostra la resolució
    La força és \(F = \dfrac{800}{8} = 100\ \text{N}\), i la corda estirada és \(8 \cdot 2 = 16\ \text{m}\).
    El treball de la mà és \(100 \cdot 16 = 1600\ \text{J}\), i aixecar la càrrega exigeix \(800 \cdot 2 = 1600\ \text{J}\).
    100 N, 16 m de corda i 1600 J en tots dos casos.
  8. mitjà

    Una politja mòbil pesa 20 N i sosté una càrrega de 380 N. Quina força hem de fer?

    Mostra la resolució
    La politja puja juntament amb la càrrega, i els dos trams de corda sostenen totes dues, \(2\,F = 380 + 20\).
    \(F = 200\ \text{N}\)
  9. repte

    En Paulo fa 70 kg i estira la corda cap avall, dret a terra. Quina és la massa més gran que pot sostenir amb una sola politja fixa? I amb un polispast d'una politja mòbil? I amb dues? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    Estirant cap avall, en Paulo no pot fer més força que el seu propi pes, 700 N, sense que el pugin del terra.
    Amb la politja fixa, la càrrega pot pesar fins a 700 N, o 70 kg. Amb una de mòbil, \(2 \cdot 700 = 1400\ \text{N}\), i amb dues, \(4 \cdot 700 = 2800\ \text{N}\).
    70 kg, 140 kg i 280 kg.
  10. repte

    Un polispast té dues politges mòbils d'1 kg cadascuna i aixeca una càrrega de 300 N. Quina força hem de fer? Compara-la amb el cas de politges sense massa. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Mostra la resolució
    La politja de baix sosté la càrrega i el seu propi pes, i la seva corda té una tensió \(T_1 = \dfrac{300 + 10}{2} = 155\ \text{N}\).
    La segona politja sosté aquesta tensió i el seu pes, \(F = \dfrac{155 + 10}{2}\).
    Sense la massa de les politges, seria \(\dfrac{300}{4} = 75\ \text{N}\).
    \(F = 82{,}5\ \text{N}\), davant dels 75 N del cas ideal.
TANCAMENT

Reptes

Equilibri d'un punt

Un llum de sostre de 6 kg penja de dues cadenes iguals, cadascuna a 60° de la vertical. Quina és la tensió de cada cadena? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\))

Mostra la resolució
En el cas simètric, les components verticals sumen el pes, i \(T = \dfrac{P}{2\cos\theta} = \dfrac{60}{2 \cdot 0{,}5} = 60\ \text{N}\).
Cada cadena estira amb el pes sencer del llum, perquè totes dues estan molt obertes.
Moment d'una força

En Pedro aplica 200 N perpendicularment a la punta d'una clau de 30 cm, i el cargol només s'afluixa amb 90 N·m. Ho aconsegueix? Quina seria la longitud mínima de la clau per a la mateixa força?

Mostra la resolució
El moment és \(M = 200 \cdot 0{,}30 = 60\ \text{N}\cdot\text{m}\), per sota dels 90 necessaris, i el cargol no s'afluixa.
Amb la mateixa força, la clau necessitaria \(d = \dfrac{90}{200} = 0{,}45\ \text{m}\).
Cos extens

Un pare de 80 kg i la seva filla de 20 kg juguen en un balancí de 4 m recolzat pel mig. Si la filla s'asseu a l'extrem, on s'ha d'asseure el pare per equilibrar el balancí?

Mostra la resolució
La filla és a 2 m del suport, i els moments s'igualen, \(20 \cdot 2 = 80\,x\).
D'aquí, \(x = 0{,}5\ \text{m}\), molt a prop del suport, a l'altre costat.
Palanques

Un carretó porta 1000 N de terra, amb el centre de masses a 0,3 m de l'eix de la roda, i les mans agafen els mànecs a 1,5 m de l'eix. Quina força fan les mans, i quin és l'avantatge mecànic? Menysprea el pes del carretó.

Mostra la resolució
Respecte de la roda, \(F \cdot 1{,}5 = 1000 \cdot 0{,}3\), i \(F = 200\ \text{N}\).
L'avantatge mecànic és la raó entre els braços, \(\dfrac{1{,}5}{0{,}3} = 5\).
Centre de masses

Amb dos llibres iguals de 20 cm, apilats a la vora d'una taula, quant pot sobresortir com a màxim el llibre de dalt més enllà de la vora?

Mostra la resolució
El llibre de dalt avança fins a la meitat de la longitud sobre el de sota, 10 cm. Els dos junts avancen un quart sobre la taula, 5 cm, cosa que posa el centre de masses del parell exactament sobre la vora.
El voladís màxim és \(10 + 5 = 15\ \text{cm}\).
Biga sobre dos suports

Un pont de 12 m i 60 kN està recolzat als extrems. Un camió de 120 kN s'atura a 3 m del pilar A. Quant sosté cada pilar?

Mostra la resolució
Respecte d'A, \(N_B \cdot 12 = 60 \cdot 6 + 120 \cdot 3 = 720\), i \(N_B = 60\ \text{kN}\).
Les reaccions sumen 180 kN, i \(N_A = 120\ \text{kN}\).
Politges

Un polispast de dues politges mòbils aixeca un sac de ciment de 50 kg a 4 m d'altura. Calcula la força, la corda estirada i el treball de la mà. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució
La força és \(F = \dfrac{500}{2^2} = 125\ \text{N}\), i la corda estirada, \(4 \cdot 4 = 16\ \text{m}\).
El treball de la mà és \(125 \cdot 16 = 2000\ \text{J}\), el mateix que \(500 \cdot 4\) per aixecar el sac.
Pensar, sense comptes

Qui porta una galleda pesant amb una sola mà inclina el cos cap a l'altre costat. Per què sol ser més còmode portar dues galledes, una a cada mà?

Mostra la resolució
Amb una galleda només en un costat, el centre de masses del conjunt surt de la línia del cos, i per mantenir-lo sobre els peus inclinem el tronc cap al costat oposat.
Amb una galleda a cada mà, el centre de masses queda al mig, sobre els peus, i podem caminar amb el cos dret.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el seu format, amb un text de base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall hi ha una llista de preguntes reals de l'examen sobre estàtica, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

  1. Equilibri d'un punt · Pas 1

    En Marcos vol penjar una hamaca al balcó, lligada a dos ganxos a la mateixa altura. Fa 70 kg i, estirat al mig de la hamaca, fa que les dues cordes formin el mateix angle \(\alpha\) amb l'horitzontal. El fabricant garanteix que cada ganxo aguanta fins a 600 N. Farem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\), menyspreem la massa de la hamaca i suposem que el pes d'en Marcos es reparteix a parts iguals entre les dues cordes.

    Sinus d'alguns angles
    Angle αsin α
    15°0,26
    30°0,50
    45°0,71
    60°0,87

    Entre els angles de la taula, quin és el més petit que manté la tensió de cada corda dins del límit dels ganxos?

    1. 15°
    2. 30°
    3. 45°
    4. 60°
    5. Qualsevol d'ells, perquè cada corda sosté la meitat del pes, 350 N, a qualsevol angle.
    Mostra la resolució
    Resposta: C.
    Només les components verticals de les tensions sostenen el pes, i \(2\,T\sin \alpha = 700\), és a dir, \(T = \dfrac{350}{\sin \alpha}\).
    Amb 30°, \(T = \dfrac{350}{0{,}50} = 700\ \text{N}\), per sobre del límit. Amb 45°, \(T = \dfrac{350}{0{,}71} \approx 493\ \text{N}\), dins del límit.
    L'opció A apareix quan confonem el sinus amb el cosinus, i la B, quan oblidem comparar la tensió amb el límit. La D és segura, però no és l'angle més petit, i la E oblida que només la component vertical de la tensió aguanta el pes.
    A la pràctica, la corda s'allarga una mica quan en Marcos s'hi estira, i l'angle tendeix a disminuir, cosa que demana un cert marge en la instal·lació.
  2. Moment d'una força · Pas 2

    La porta tallafocs de l'escala d'un edifici té una molla que la manté tancada, i per començar a obrir-la cal un moment de 24 N·m respecte de les frontisses. La maneta és a 80 cm de les frontisses. La Rita, la presidenta de la comunitat, vol saber quina força ha de fer una persona, empenyent perpendicularment a la porta, a la maneta i en un punt a 20 cm de les frontisses.

    Quines són aquestes dues forces, respectivament?

    1. 19,2 N i 4,8 N
    2. 30 N i 7,5 N
    3. 30 N i 30 N
    4. 30 N i 120 N
    5. 120 N i 30 N
    Mostra la resolució
    Resposta: D.
    Amb la força perpendicular a la porta, \(M = F\,d\), i la força necessària és \(F = M/d\).
    A la maneta, \(F = \dfrac{24}{0{,}8} = 30\ \text{N}\). A prop de les frontisses, \(F = \dfrac{24}{0{,}2} = 120\ \text{N}\).
    L'opció A multiplica el moment per la distància en lloc de dividir-lo, i la B suposa que la força disminueix juntament amb la distància. La C ignora el braç de palanca, i la E inverteix l'ordre demanat.
  3. Palanques · Pas 4

    En una sessió de fisioteràpia, la Sônia aguanta una pesa de 2 kg amb l'avantbraç horitzontal. La pesa és a 30 cm del colze, i el tendó del bíceps s'insereix a l'avantbraç a 4 cm del colze, i l'estira cap amunt. Farem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i menyspreem el pes del mateix avantbraç.

    Quina és la força que fa el bíceps, i quin tipus de palanca és l'avantbraç?

    1. 2,7 N, en una palanca de primer gènere.
    2. 20 N, en una palanca de tercer gènere.
    3. 150 N, en una palanca de segon gènere.
    4. 150 N, en una palanca de tercer gènere.
    5. 600 N, en una palanca de tercer gènere.
    Mostra la resolució
    Resposta: D.
    El colze és el suport, i els moments respecte d'ell s'igualen, \(F_b \cdot 4 = 20 \cdot 30\), cosa que dona \(F_b = \dfrac{600}{4} = 150\ \text{N}\).
    El bíceps estira entre el suport i la pesa, i per això la palanca és de tercer gènere, amb la potència més gran que la resistència.
    L'opció A inverteix la raó entre els braços, i la B ignora la palanca. La C encerta la força i s'equivoca de tipus, i la E oblida dividir pel braç del bíceps.
  4. Biga sobre dos suports · Pas 6

    Uns enginyers van instal·lar sensors als dos pilars d'un pont petit de 20 m per seguir el pas d'un camió. El gràfic mostra la força mesurada al pilar A en funció de la distància \(x\) entre el camió i aquest pilar, mentre el travessa tot sol. Tractarem el camió com una càrrega concentrada al seu centre de masses i el pont com a homogeni, recolzat als extrems.

    2501000 01020 N_A (kN)x (m)

    Quin és el pes del camió, i quant sosté el pilar B quan és a 8 m d'A?

    1. 100 kN i 160 kN
    2. 150 kN i 160 kN
    3. 150 kN i 190 kN
    4. 250 kN i 160 kN
    5. 350 kN i 190 kN
    Mostra la resolució
    Resposta: B.
    Amb el camió sobre B (\(x = 20\ \text{m}\)), el pilar A només sosté la seva meitat del pes del pont, i el gràfic dona \(\dfrac{P_{\text{pont}}}{2} = 100\ \text{kN}\).
    Amb el camió sobre A (\(x = 0\)), \(N_A = 100 + P_c = 250\ \text{kN}\), i el camió pesa \(P_c = 150\ \text{kN}\). El pes total és \(200 + 150 = 350\ \text{kN}\).
    La recta baixa 7,5 kN per metre, i a \(x = 8\ \text{m}\) tenim \(N_A = 250 - 7{,}5 \cdot 8 = 190\ \text{kN}\), cosa que deixa \(N_B = 350 - 190 = 160\ \text{kN}\).
    L'opció A pren el valor final del gràfic pel pes del camió, i la D, el valor inicial, oblidant el pont. La C llegeix \(N_A\) en lloc de \(N_B\), i la E confon el pes total amb el del camió.
  5. Politges · Pas 7

    En una obra petita, sense grua, el mestre d'obres Wagner munta un polispast amb dues politges mòbils i una de fixa, com el de la simulació del pas 7, per pujar sacs de ciment de 50 kg fins al forjat, 6 m per sobre del terra. Suposarem cordes lleugeres, politges sense massa i sense fregament, i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Quina força fa l'obrer a la corda, i quanta corda ha d'estirar per pujar un sac fins al forjat?

    1. 250 N i 12 m
    2. 125 N i 6 m
    3. 125 N i 24 m
    4. 500 N i 6 m
    5. 125 N i 1,5 m
    Mostra la resolució
    Resposta: C.
    Cada politja mòbil divideix la força per dos, i \(F = \dfrac{500}{2^2} = 125\ \text{N}\).
    La corda estirada creix en la mateixa proporció, \(s = 2^2 \cdot 6 = 24\ \text{m}\), i el treball quadra, \(125 \cdot 24 = 500 \cdot 6 = 3000\ \text{J}\).
    L'opció A compta una sola politja mòbil, i la B oblida que la corda estirada augmenta. La D val per a la politja fixa sola, i la E divideix el desplaçament en lloc de multiplicar-lo, com si el polispast també estalviés corda.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

  • ENEM 2012, dia 1, quadern blau, pregunta 55. Una porta subjecta al marc per dues frontisses està quieta, i la pregunta demana el dibuix de les forces que les frontisses hi fan, cosa que exigeix anul·lar alhora la resultant i el moment.
  • ENEM 2015, dia 1, quadern blau, pregunta 82. Un professor equilibra una barra homogènia sobre un suport triangular amb un sac d'arròs penjat en un extrem, i la massa de la barra surt de la igualtat entre els moments.
  • ENEM 2016, dia 1, quadern blau, pregunta 82. La politja composta d'Arquimedes apareix estirant un vaixell, i hem de descobrir quantes politges mòbils calen perquè una força petita venci el fregament.
  • ENEM 2018, dia 2, quadern blau, pregunta 104. Entre objectes com les pinces, les alicates, el trencanous i el carretó, la pregunta demana en quin la força que fem és més gran que la resistència, cosa que ens porta a la palanca de tercer gènere.
  • ENEM 2024, dia 2, quadern blau, pregunta 96. En l'equilibratge de la roda d'un cotxe, el centre de masses del conjunt és fora del centre geomètric, i la pregunta demana el punt on cal fixar el contrapès per tornar-lo al seu lloc.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Equilibri d'un punt\(\sum F_x = 0\)
\(\sum F_y = 0\)
Components\(F_x = F\cos\theta\)
\(F_y = F\sin \theta\)
Dos fils simètrics\(T = \dfrac{P}{2\cos\theta}\)
Moment d'una força\(M = F\,r\sin \theta = F\,d\)
Cos extens\(\sum \vec F = \vec 0\) i \(\sum M = 0\)
Palanca i balancí\(F_p\,b_p = F_r\,b_r\)
Avantatge mecànic\(\text{AM} = b_p/b_r\)
Centre de masses\(x_{cm} = \dfrac{\sum m_i\,x_i}{\sum m_i}\)
Bolcada en una rampa\(\tan \theta = b/h\)
Biga sobre dos suports\(N_B = \dfrac{P_{\text{biga}}}{2} + P\,\dfrac{x}{L}\)
Polispast amb n politges mòbils\(F = P/2^n\)
Corda estirada\(s = 2^n\,h\)