Física · Secundària · Física moderna

Física moderna

El GPS del mòbil, la radiografia a l'hospital, la placa solar del terrat i el color de les estrelles depenen d'una física que va néixer a començament del segle XX. Partirem del fotó i de l'efecte fotoelèctric, passarem pels nivells d'energia de l'àtom i per la dualitat ona-partícula, arribarem al nucli, amb la radioactivitat i l'energia nuclear, i acabarem amb la relativitat, que va canviar la nostra idea del temps.

1Espectre i fotó
2Efecte fotoelèctric
3Model de Bohr
4Ona i partícula
5Radioactivitat
6Energia nuclear
7Relativitat
✓Reptes

PAS 1

De la ràdio als raigs gamma

La llum que veiem és una franja estreta d'una família molt més gran, la de les ones electromagnètiques, en què camps elèctrics i magnètics oscil·len i es propaguen junts. En el buit, totes viatgen a la mateixa velocitat, \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\), i el que en distingeix una de l'altra és la longitud d'ona o, el que és el mateix, la freqüència, lligades per \(c = \lambda\,f\).

Quan les ordenem per la longitud d'ona, obtenim l'espectre electromagnètic, amb els raigs gamma, els raigs X, l'ultraviolat, la llum visible, l'infraroig, les microones i les ones de ràdio. El visible va d'uns 400 nm, en el violeta, a uns 700 nm, en el vermell. Les fronteres entre les altres regions són convencions, sense un punt exacte on una s'acaba i comença l'altra.

El 1900, per explicar la llum que emeten els cossos calents, Max Planck va suposar que l'energia intercanviada amb la radiació venia en paquets. El 1905, Einstein va anar més lluny i va proposar que la llum mateixa està feta d'aquests paquets, que avui anomenem fotons, cadascun amb energia \(E = h\,f\), on \(h\) és la constant de Planck.

\(c = \lambda\,f\)\(E = h\,f = \dfrac{h\,c}{\lambda}\)\(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\)En aquesta lliçó fem servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), que és el mateix que \(4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), l'energia que guanya un electró quan travessa una diferència de potencial d'1 V. Amb aquests valors, \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\), i l'energia del fotó en eV surt de \(1240/\lambda\), amb λ en nanòmetres. Com que \(h\) està arrodonida, els càlculs fets per camins diferents poden diferir en la segona xifra decimal. A la simulació, per simplificar, tractem com a nociu tot fotó de més de 3,9 eV, la vora de l'UV-B.

Amb la idea de fotó entenem per què l'ultraviolat crema la pell i la llum visible no. Un fotó d'UV-B porta uns 4 eV, una energia de l'ordre de la que manté units els àtoms de molècules com l'ADN, i per això pot trencar aquests enllaços. Un fotó de llum vermella té menys de 2 eV.

Una llum visible més intensa porta més fotons, i cadascun continua sent massa feble per fer aquest mal. Pot escalfar la pell, que és un altre efecte, la suma de l'energia de molts fotons convertida en calor. El que decideix la cremada, com podem veure a la simulació, és l'energia de cada fotó, i no la quantitat de llum.

Per comentar

Arrossega el marcador del vermell al violeta, al regle o al zoom del visible. Què passa amb la freqüència i amb l'energia de cada fotó?
Fes clic a «Wi-Fi» i després a «Microones (forn)». Les freqüències s'assemblen? Quantes vegades supera l'energia d'un fotó de llum verda la d'un fotó de Wi-Fi?
Tria la llum verda i porta la intensitat al màxim. Algun fotó trenca enllaços a la pell? Ara tria l'UV-B amb la intensitat baixa i compara.
Busca el punt del regle on el fotó passa de 10 eV. En quina regió de l'espectre som, i per què aquesta radiació s'anomena ionitzant?

Longitud d'ona

Intensitat

Longitud d'ona

Freqüència

Energia del fotó

Energia en joules

Regió

Exercicis del pas 1 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Una ràdio FM emet a la freqüència de 100 MHz. Quina és la longitud d'ona d'aquestes ones? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
De la relació \(c = \lambda\,f\), amb \(f = 100 \cdot 10^6 = 10^8\ \text{Hz}\), tenim \(\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^8}\).
\(\lambda = 3\ \text{m}\)
bàsic
Ordena, de menor a més freqüència, aquestes radiacions: llum visible, raigs X, microones, ultraviolat i ones de ràdio.

Mostra la resolució
En el buit, totes viatgen a la mateixa velocitat \(c\), i, com que \(f = c/\lambda\), la freqüència creix quan la longitud d'ona disminueix.
N'hi ha prou, doncs, d'ordenar-les de més a menys longitud d'ona.
Ones de ràdio, microones, llum visible, ultraviolat i raigs X.
bàsic
Un fotó de llum ataronjada té una freqüència de \(5 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\). Quina és la seva energia, en joules i en electronvolts? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
L'energia del fotó és \(E = h\,f = 6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 5 \cdot 10^{14}\) \(= 3{,}3 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
Per passar-la a electronvolts, dividim per \(1{,}6 \cdot 10^{-19}\), \(\dfrac{3{,}3 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 2{,}1\).
\(E = 3{,}3 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), uns \(2{,}1\ \text{eV}\).
bàsic
La Débora passa la tarda sota un llum de LED molt fort i no es crema. L'endemà es queda mitja hora al sol d'hivern, que sembla feble, i la pell se li posa vermella. Com explica la diferència la idea de fotó?

Mostra la resolució
La cremada de sol la causa l'ultraviolat, els fotons del qual porten prou energia per trencar enllaços de molècules de la pell, com l'ADN.
Els fotons de la llum visible del LED tenen menys energia cadascun. Una llum més intensa porta més fotons, però cada fotó continua sense energia per fer el mal, i el que decideix és l'energia per fotó, \(E = h\,f\).
El sol d'hivern encara envia fotons ultraviolats, d'alta freqüència, i el LED, per fort que sigui, només envia fotons visibles, de menys energia.
mitjà
Un forn de microones funciona amb ones de 2,45 GHz. Quina és la longitud d'ona d'aquestes ones i l'energia, en eV, de cada fotó? Quantes vegades és més petita aquesta energia que la d'un fotó de llum visible de 2 eV? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\).

Mostra la resolució
La longitud d'ona és \(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{2{,}45 \cdot 10^9} \approx 0{,}12\ \text{m}\).
L'energia del fotó és \(E = h\,f = 4{,}1 \cdot 10^{-15} \cdot 2{,}45 \cdot 10^9\) \(\approx 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{eV}\), i la raó és \(\dfrac{2}{1{,}0 \cdot 10^{-5}} = 2 \cdot 10^5\).
\(\lambda \approx 12\ \text{cm}\) i \(E \approx 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{eV}\), unes 200 mil vegades menys que el fotó visible.
mitjà
La radiació UV-B del Sol té una longitud d'ona d'uns 300 nm. Quina és l'energia d'un d'aquests fotons, en joules i en eV? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
Amb \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\) i \(\lambda = 3 \cdot 10^{-7}\ \text{m}\), tenim \(E = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^{-7}}\) \(= 6{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
En electronvolts, \(\dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 4{,}1\).
\(E = 6{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), uns \(4{,}1\ \text{eV}\).
mitjà
Un punter làser verd emet 5 mW de llum amb una longitud d'ona de 532 nm. Quants fotons emet per segon? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
Cada fotó té \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{532 \cdot 10^{-9}}\) \(\approx 3{,}7 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
La potència és l'energia emesa per segon, i el nombre de fotons per segon és \(\dfrac{5 \cdot 10^{-3}}{3{,}7 \cdot 10^{-19}}\).
Uns \(1{,}3 \cdot 10^{16}\) fotons per segon.
mitjà
El LED d'un comandament a distància emet infraroig de 940 nm. Quina és la freqüència d'aquesta radiació i l'energia de cada fotó, en eV? Per què no veiem la llum del comandament, tot i que la càmera de molts mòbils la mostra? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
La freqüència és \(f = \dfrac{c}{\lambda}\) \(= \dfrac{3 \cdot 10^8}{940 \cdot 10^{-9}} \approx 3{,}2 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\), i l'energia, \(E = h\,f \approx 2{,}1 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), o uns 1,3 eV.
Els nostres ulls responen a longituds d'ona d'entre uns 400 nm i 700 nm, i 940 nm queda fora d'aquesta franja. El sensor de la càmera respon a una franja una mica més ampla i registra part d'aquest infraroig.
\(f \approx 3{,}2 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\) i \(E \approx 1{,}3\ \text{eV}\), amb λ fora de la franja que percep l'ull.
repte
Un LED de 10 W transforma en llum un 30% de l'energia que rep. Suposant que tota aquesta llum té una longitud d'ona de 550 nm, quants fotons emet per segon? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
La potència lluminosa és \(0{,}30 \cdot 10 = 3\ \text{W}\), o 3 J de llum per segon.
Cada fotó té \(E = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{550 \cdot 10^{-9}}\) \(= 3{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), i el nombre de fotons per segon és \(\dfrac{3}{3{,}6 \cdot 10^{-19}}\).
Uns \(8 \cdot 10^{18}\) fotons per segon.
repte
Els raigs X d'una radiografia tenen una longitud d'ona d'uns 0,1 nm. Calcula l'energia d'un d'aquests fotons, en eV, i compara-la amb la d'un fotó de llum visible de 500 nm. Per què un fotó de raigs X pot ionitzar àtoms i el de llum visible no? Fes servir \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

Mostra la resolució
Amb \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\), el fotó de raigs X té \(E \approx \dfrac{1240}{0{,}1} \approx 1{,}2 \cdot 10^4\ \text{eV}\), i el de llum visible, \(E \approx \dfrac{1240}{500} \approx 2{,}5\ \text{eV}\).
La raó entre les energies és igual a la raó inversa de les longituds d'ona, \(\dfrac{500}{0{,}1} = 5000\).
Per arrencar un electró d'un àtom calen, típicament, d'uns quants eV a unes quantes desenes d'eV, i un sol fotó visible no hi arriba.
El fotó de raigs X té uns 12 000 eV, 5000 vegades l'energia del fotó visible, i li sobra energia per ionitzar.

PAS 2

Llum que arrenca electrons

Quan il·luminem una placa de metall amb llum de freqüència prou alta, n'escapen electrons de la superfície. Aquest és l'efecte fotoelèctric, observat per Heinrich Hertz el 1887 i estudiat en detall per Philipp Lenard cap al 1900.

Els resultats contradeien la teoria ondulatòria de la llum. Segons aquesta teoria, una llum més intensa hauria d'arrencar electrons més ràpids, i qualsevol color acabaria arrencant-ne si esperàvem prou. En els experiments, per sota d'una certa freqüència llindar no en surt cap electró, per forta que sigui la llum, i per sobre d'aquesta freqüència els electrons surten pràcticament a l'instant, amb una energia màxima que només depèn de la freqüència.

El 1905, Einstein va explicar les dades suposant que la llum arriba en fotons d'energia \(h\,f\) i que cada fotó lliura tota la seva energia a un sol electró. Una part, com a mínim la funció de treball \(W\) del metall, es gasta per treure l'electró de la placa, i la resta es converteix en energia cinètica. Si augmentem la intensitat, arriben més fotons per segon i arrenquem més electrons, cadascun amb la mateixa energia màxima d'abans.

\(E_{c,\text{màx}} = h\,f - W\)\(f_0 = \dfrac{W}{h}\)\(\lambda_0 = \dfrac{h\,c}{W}\)\(W\) és la funció de treball, l'energia mínima per arrencar un electró del metall, i \(f_0\) i \(\lambda_0\) són la freqüència i la longitud d'ona llindar. Els valors de la simulació són aproximats, amb cesi 2,1 eV, sodi 2,3 eV, zinc 4,3 eV, coure 4,7 eV i platí 5,6 eV, i les mesures varien amb l'estat de la superfície. Suposem que cada fotó l'absorbeix un sol electró, i la velocitat màxima surt d'\(E_c = m\,v^2/2\), amb la massa de l'electró, \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Millikan va mesurar l'energia dels electrons en diversos metalls i va trobar, al gràfic d'\(E_c\) en funció d'\(f\), rectes paral·leles amb pendent igual a \(h\), com Einstein havia previst, tot i que ell mateix desconfiava de la idea de fotó. Va ser per aquest treball que Einstein va rebre el Nobel de 1921.

Trobem l'efecte fotoelèctric en sensors de llum, com els de les portes automàtiques i els que encenen l'enllumenat públic quan es fa fosc, gairebé sempre en la versió que passa dins dels semiconductors, en què l'electró queda alliberat dins del material sense sortir-ne. Les plaques solars i les càmeres dels mòbils funcionen amb la mateixa idea.

Per comentar

Amb el sodi, comença a 700 nm i redueix λ a poc a poc. A quina longitud d'ona apareixen els primers electrons? Compara-la amb \(\lambda_0 = h\,c/W\).
A 600 nm, porta la intensitat al màxim. Surt algun electró? Ara, a 400 nm, redueix la intensitat. Què canvia, el nombre d'electrons o la rapidesa que porten?
Canvia el sodi pel zinc sense tocar la llum. Per què els electrons deixen de sortir, i quina λ caldria perquè tornessin a sortir?
Al gràfic, compara les rectes dels cinc metalls. Tenen el mateix pendent? On talla cadascuna l'eix de les freqüències?

Longitud d'ona

Intensitat

Energia del fotó

Funció de treball

Freqüència llindar

λ llindar

Energia cinètica màxima

Velocitat màxima

Electrons per segon

Exercicis del pas 2 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Una placa de sodi, amb una funció de treball de 2,3 eV, s'il·lumina amb fotons de 3,0 eV. Quina és l'energia cinètica màxima dels electrons arrencats?

Mostra la resolució
Cada fotó lliura tota la seva energia a un electró, i com a mínim 2,3 eV es gasten per treure'l de la placa, \(E_{c,\text{màx}} = h\,f - W = 3{,}0 - 2{,}3\).
\(E_{c,\text{màx}} = 0{,}7\ \text{eV}\)
bàsic
La funció de treball del zinc és d'uns 4,3 eV. Quina és la freqüència llindar del zinc, i a quina longitud d'ona correspon? Fes servir \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\) i \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
A la freqüència llindar, el fotó té just l'energia necessària per arrencar l'electró, \(h\,f_0 = W\), i per tant \(f_0 = \dfrac{4{,}3}{4{,}1 \cdot 10^{-15}}\) \(\approx 1{,}05 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\).
La longitud d'ona corresponent és \(\lambda_0 = \dfrac{c}{f_0} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}05 \cdot 10^{15}}\).
\(f_0 \approx 1{,}0 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\) i \(\lambda_0 \approx 2{,}9 \cdot 10^{-7}\ \text{m}\), uns 290 nm, a l'ultraviolat.
bàsic
Una llum violeta arrenca electrons d'una placa de cesi. Si dupliquem la intensitat de la llum, sense canviar-ne el color, què passa amb el nombre d'electrons arrencats per segon i amb l'energia cinètica màxima de cadascun?

Mostra la resolució
Duplicar la intensitat, amb la mateixa freqüència, duplica el nombre de fotons que arriben per segon, i cada fotó continua tenint la mateixa energia \(h\,f\).
Com que cada fotó arrenca com a màxim un electró, el nombre d'electrons per segon es duplica, i l'energia màxima de cadascun, \(h\,f - W\), no canvia.
El nombre d'electrons per segon es duplica, i l'energia cinètica màxima continua sent la mateixa.
bàsic
L'Iuri il·lumina una placa de zinc amb un focus vermell molt fort, durant uns quants minuts, i no s'arrenca cap electró. Després, una làmpada ultraviolada feble n'arrenca a l'instant. Explica-ho.

Mostra la resolució
Cada fotó actua tot sol sobre un electró. Un fotó de llum vermella té menys de 2 eV, i el zinc n'exigeix uns 4,3 per alliberar un electró.
Sumar fotons febles no serveix de res, perquè un electró no acumula l'energia de diversos fotons, i esperar més temps només porta més fotons febles.
El fotó ultraviolat té més energia que la funció de treball del zinc, i el vermell no, sigui quina sigui la intensitat.
mitjà
Una placa de coure, amb una funció de treball de 4,7 eV, s'il·lumina amb ultraviolat de 200 nm. Quina és l'energia cinètica màxima dels electrons, en eV? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
L'energia del fotó és \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda} = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{2 \cdot 10^{-7}}\) \(= 9{,}9 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), o uns 6,2 eV.
Si descomptem la funció de treball, \(E_{c,\text{màx}} = 6{,}2 - 4{,}7\).
\(E_{c,\text{màx}} \approx 1{,}5\ \text{eV}\)
mitjà
Els electrons arrencats d'una placa surten amb una energia cinètica màxima de 2,0 eV. Quina és la velocitat màxima d'aquests electrons? Fes servir la massa de l'electró, \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\), i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
En joules, l'energia és \(2{,}0 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
D'\(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2}\), tenim \(v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3{,}2 \cdot 10^{-19}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}}\).
\(v \approx 8{,}4 \cdot 10^5\ \text{m/s}\), uns 840 km/s.
mitjà
En un experiment, el gràfic de l'energia cinètica màxima dels electrons en funció de la freqüència de la llum és una recta que talla l'eix de les freqüències a \(5{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\) i passa pel punt (\(1{,}0 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\); 2,05 eV). Determina la constant de Planck, en eV·s, i la funció de treball del metall.

Mostra la resolució
El pendent de la recta és \(h = \dfrac{\Delta E_c}{\Delta f}\) \(= \dfrac{2{,}05}{1{,}0 \cdot 10^{15} - 5{,}0 \cdot 10^{14}}\) \(= 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\).
Al punt de tall, \(E_c = 0\) i \(W = h\,f_0 = 4{,}1 \cdot 10^{-15} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{14}\).
\(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\) i \(W \approx 2{,}1\ \text{eV}\)
mitjà
Una placa de potassi, amb una funció de treball de 2,3 eV, s'il·lumina primer amb llum de 600 nm i després amb llum de 400 nm. En quin cas surten electrons, i amb quina energia cinètica màxima? Fes servir \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

Mostra la resolució
Amb 600 nm, cada fotó té \(E \approx \dfrac{1240}{600} \approx 2{,}1\ \text{eV}\), menys que la funció de treball, i no en surt cap electró.
Amb 400 nm, \(E \approx \dfrac{1240}{400} = 3{,}1\ \text{eV}\), i en sobren \(3{,}1 - 2{,}3\) per a l'energia cinètica.
Només la llum de 400 nm arrenca electrons, amb una energia cinètica màxima d'uns 0,8 eV.
repte
Amb llum d'\(1{,}0 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\), els electrons d'un metall surten amb una energia cinètica màxima de 2,0 eV. Amb \(1{,}5 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\), surten amb 4,05 eV. Sense fer servir el valor d'\(h\) que dona la lliçó, determina la constant de Planck i la funció de treball del metall.

Mostra la resolució
Les dues mesures obeeixen \(E_{c,\text{màx}} = h\,f - W\), amb \(2{,}0 = h \cdot 1{,}0 \cdot 10^{15} - W\) i \(4{,}05 = h \cdot 1{,}5 \cdot 10^{15} - W\).
Si restem la primera de la segona, \(2{,}05 = h \cdot 0{,}5 \cdot 10^{15}\), i \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\).
Tornant a la primera, \(W = 4{,}1 - 2{,}0\).
\(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\) i \(W = 2{,}1\ \text{eV}\)
repte
En el model ondulatori clàssic, l'energia de la llum es repartiria per igual sobre la placa, i un àtom només podria captar l'energia que cau a la seva àrea, d'uns \(10^{-20}\ \text{m}^2\). Amb una llum feble, de \(10^{-6}\ \text{W/m}^2\), quant de temps trigaria un àtom a reunir els 2 eV necessaris per alliberar un electró? Compara-ho amb el que s'observa, en què els electrons surten en menys d'una mil·milionèsima de segon. Fes servir \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
La potència que arriba a un àtom, en aquest model, és \(10^{-6} \cdot 10^{-20} = 10^{-26}\ \text{W}\), i l'energia necessària és \(2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
El temps seria \(t = \dfrac{3{,}2 \cdot 10^{-19}}{10^{-26}} = 3{,}2 \cdot 10^7\ \text{s}\).
Uns \(3 \cdot 10^7\ \text{s}\), prop d'un any, mentre que els electrons surten pràcticament a l'instant, una de les dades que van portar Einstein a proposar els fotons.

PAS 3

Per què cada element té els seus colors?

Quan escalfem un gas o hi fem passar una descàrrega elèctrica, el gas emet llum, i un prisma mostra que aquesta llum només conté alguns colors, en línies fines i separades. Aquest és l'espectre d'emissió, i cada element té el seu conjunt de línies, tan característic com una empremta digital.

El 1913, Niels Bohr va proposar un model per a l'hidrogen en què l'electró només pot ocupar certs nivells d'energia, \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV, amb \(n = 1, 2, 3, \dots\) El signe negatiu indica que l'electró està lligat al nucli, i necessitem 13,6 eV per arrencar-lo del nivell més baix, l'estat fonamental.

Quan passa d'un nivell més alt a un de més baix, l'electró emet un fotó amb una energia igual a la diferència entre els nivells, i per pujar ha d'absorbir un fotó amb exactament aquesta energia. En les caigudes al nivell 2 obtenim les línies visibles de l'hidrogen, la sèrie de Balmer, mesurades a 656, 486, 434 i 410 nm, i el model de Bohr reprodueix aquests valors amb una precisió que va impressionar els físics de l'època.

\(E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}\)\(E_{\text{fotó}} = E_i - E_f\)\(\lambda = \dfrac{h\,c}{E_{\text{fotó}}}\)\(E_i\) i \(E_f\) són les energies dels nivells inicial i final. Les línies de Balmer citades al text són mesures; amb els valors arrodonits d'\(h\) i \(c\) d'aquesta lliçó, el càlcul dona 655, 485, 433 i 409 nm, amb diferències d'1 nm aproximadament que vénen sobretot de l'arrodoniment. A la simulació, les altures dels nivells i els radis de les òrbites no estan a escala.

Ara bé, hem de tractar aquest model amb compte. La imatge de l'electró girant en òrbites definides es va abandonar amb la mecànica quàntica, i el model falla per als àtoms amb més d'un electró. La idea de nivells d'energia discrets continua sent vàlida, i la mecànica quàntica dona per a l'hidrogen els mateixos nivells que va calcular Bohr.

Fem servir els espectres per identificar elements, a la Terra i fora d'ella. La llum groguenca dels llums de sodi ve de dues línies a prop de 589 nm, i els colors dels focs artificials vénen de sals d'estronci, en el vermell, de bari, en el verd, i de coure, en el blau.

L'espectre del Sol mostra línies fosques d'absorció, perquè els gasos de la seva atmosfera absorbeixen els mateixos colors que emetrien. Així es va descobrir l'heli al Sol, el 1868, gairebé trenta anys abans de trobar-lo a la Terra.

Per comentar

Porta l'electró al nivell 3 i deixa'l caure al 2. Quin color apareix a l'espectre d'emissió, i quant val la longitud d'ona?
Repeteix-ho amb les caigudes del 4, el 5 i el 6 al 2. Les línies queden més juntes a mesura que \(n\) creix?
Amb l'electró al nivell 2, puja'l al 4. On apareix la línia fosca a l'espectre d'absorció? Coincideix amb alguna línia d'emissió?
Fes caure l'electró de qualsevol nivell a l'1. Per què aquestes línies no apareixen a la franja visible? Després encén la làmpada d'hidrogen i espera que es formi l'espectre.

Nivell de l'electró

Energia del nivell

Últim fotó

Longitud d'ona

Tipus i regió

Exercicis del pas 3 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
En el model de Bohr, els nivells d'energia de l'hidrogen són \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV. Calcula l'energia dels nivells 1, 2 i 3.

Mostra la resolució
Si substituïm \(n\), tenim \(E_1 = -\dfrac{13{,}6}{1}\), \(E_2 = -\dfrac{13{,}6}{4}\) i \(E_3 = -\dfrac{13{,}6}{9}\).
\(E_1 = -13{,}6\ \text{eV}\), \(E_2 = -3{,}4\ \text{eV}\) i \(E_3 \approx -1{,}51\ \text{eV}\)
bàsic
L'electró d'un àtom d'hidrogen cau del nivell 3 al nivell 2. Quina és l'energia del fotó emès? Fes servir \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV.

Mostra la resolució
El fotó s'emporta la diferència d'energia entre els nivells, \(E = E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}4)\).
\(E \approx 1{,}89\ \text{eV}\)
bàsic
Per què la llum d'un gas escalfat, com l'hidrogen d'una làmpada de descàrrega, forma línies separades quan passa per un prisma, i no un arc de Sant Martí continu com la llum d'una bombeta d'incandescència?

Mostra la resolució
Els electrons del gas només ocupen certs nivells d'energia, i cada fotó emès té l'energia de la diferència entre dos d'aquests nivells.
Només són possibles algunes energies, i per tant només algunes longituds d'ona. El filament d'una bombeta d'incandescència és un sòlid calent, en què els àtoms interaccionen fortament i l'emissió cobreix tots els colors.
Els nivells discrets de l'àtom aïllat només permeten certes energies de fotó, que apareixen com a línies.
bàsic
Com saben els astrònoms que hi ha hidrogen i sodi a l'atmosfera d'una estrella llunyana, sense haver-hi anat mai?

Mostra la resolució
La llum de l'estrella, quan travessa la seva atmosfera, perd els colors que hi absorbeixen els àtoms, i l'espectre mostra línies fosques.
Cada element absorbeix a les mateixes posicions on emet al laboratori, i comparant les línies fosques amb aquestes posicions conegudes identifiquem els elements.
Les línies fosques de l'espectre de l'estrella coincideixen amb les línies de l'hidrogen i del sodi mesurades a la Terra.
mitjà
Calcula la longitud d'ona del fotó emès quan l'electró de l'hidrogen cau del nivell 3 al nivell 2. En quina regió de l'espectre és? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) i \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
L'energia del fotó és \(1{,}89\ \text{eV} = 1{,}89 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) \(\approx 3{,}02 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
Amb \(\lambda = \dfrac{h\,c}{E}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3{,}02 \cdot 10^{-19}}\), arribem a \(6{,}55 \cdot 10^{-7}\ \text{m}\).
\(\lambda \approx 655\ \text{nm}\), llum vermella, la mateixa línia que es mesura a 656 nm.
mitjà
Quanta energia cal donar a un electró de l'hidrogen que és al nivell 2 per arrencar-lo de l'àtom? Quina és la longitud d'ona més gran d'un fotó capaç de fer-ho? Fes servir \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

Mostra la resolució
Per arrencar l'electró, portem la seva energia d'\(E_2 = -3{,}4\ \text{eV}\) fins a 0, cosa que exigeix 3,4 eV.
La longitud d'ona més gran correspon al fotó d'energia mínima, \(\lambda = \dfrac{1240}{3{,}4}\).
Calen 3,4 eV, i el fotó ha de tenir una λ com a màxim d'uns 365 nm, a l'ultraviolat.
mitjà
En un gas d'hidrogen, els electrons s'han excitat fins al nivell 4 i van baixant, per tots els camins possibles, fins al nivell 1. Quantes línies diferents poden aparèixer a l'espectre? Quines són visibles?

Mostra la resolució
Cada línia correspon a un parell de nivells, i els parells possibles són 4→3, 4→2, 4→1, 3→2, 3→1 i 2→1.
Les visibles són les que acaben al nivell 2, la sèrie de Balmer, i les que acaben al nivell 1 cauen a l'ultraviolat. La caiguda 4→3 cau a l'infraroig.
Sis línies, de les quals només dues són visibles, 3→2 (vermella, 656 nm) i 4→2 (blava verdosa, 486 nm).
mitjà
Un àtom d'hidrogen en l'estat fonamental rep un fotó de 10,2 eV, i després un altre àtom, també en l'estat fonamental, rep un fotó d'11 eV. Què passa en cada cas? Fes servir \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV.

Mostra la resolució
Amb 10,2 eV, l'electró aniria de \(-13{,}6\ \text{eV}\) a \(-13{,}6 + 10{,}2 = -3{,}4\ \text{eV}\), que és exactament \(E_2\), i el fotó s'absorbeix.
Amb 11 eV, l'electró aniria a \(-2{,}6\ \text{eV}\), i no hi ha cap nivell amb aquesta energia, perquè \(E_2 = -3{,}4\ \text{eV}\) i \(E_3 \approx -1{,}51\ \text{eV}\).
El fotó de 10,2 eV s'absorbeix i porta l'electró al nivell 2; el d'11 eV no s'absorbeix i travessa el gas.
repte
Calcula les longituds d'ona de les caigudes del nivell 4 al 2 i del nivell 6 al 2 a l'hidrogen, i compara-les amb els valors mesurats, 486 nm i 410 nm. Fes servir \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV i \(h\,c = 1237{,}5\ \text{eV} \cdot \text{nm}\), el valor que surt de les constants de la lliçó.

Mostra la resolució
En la caiguda 4→2, \(E = 13{,}6 \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}\right)\) \(= 2{,}55\ \text{eV}\), i \(\lambda = \dfrac{1237{,}5}{2{,}55} \approx 485\ \text{nm}\).
En la caiguda 6→2, \(E = 13{,}6 \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{36}\right)\) \(\approx 3{,}022\ \text{eV}\), i \(\lambda = \dfrac{1237{,}5}{3{,}022} \approx 409{,}5\ \text{nm}\).
Les diferències d'1 nm aproximadament vénen sobretot de l'arrodoniment d'\(h\) i \(c\).
Uns 485 nm i 409,5 nm, pràcticament els valors mesurats, un dels grans encerts del model de Bohr.
repte
La llum groga dels llums de sodi de l'enllumenat públic té una longitud d'ona d'uns 589 nm. Quina és la diferència d'energia, en eV, entre els dos nivells implicats? Per què no podem fer servir \(E_n = -13{,}6/n^2\) per calcular els nivells del sodi? Fes servir \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

Mostra la resolució
La diferència d'energia és l'energia del fotó, \(E = \dfrac{1240}{589} \approx 2{,}1\ \text{eV}\).
La fórmula de Bohr val per a un sol electró al voltant d'un nucli amb un protó. El sodi té 11 electrons, que es repel·leixen i apantallen part de la càrrega del nucli, i el model de Bohr no ho té en compte, encara que els nivells continuïn sent discrets.
Uns 2,1 eV; els nivells del sodi existeixen, però no segueixen la fórmula de l'hidrogen, perquè l'àtom té molts electrons.

PAS 4

Ona o partícula?

Si la llum, que tractàvem com una ona, també es comporta com una partícula, potser la matèria, que tractem com a partícula, també es comporta com una ona. Aquesta va ser la hipòtesi de Louis de Broglie, el 1924, que va associar a tota partícula de massa \(m\) i velocitat \(v\) una longitud d'ona \(\lambda = h/(m\,v)\).

El 1927, Davisson i Germer, als Estats Units, i G. P. Thomson, a Anglaterra, van observar la difracció d'electrons en cristalls, amb la longitud d'ona que havia previst de Broglie. Els microscopis electrònics aprofiten aquest comportament, i la longitud d'ona curta dels electrons revela detalls que la llum visible no pot mostrar.

Si calculem \(\lambda\) per a una pilota de futbol de 0,43 kg a 20 m/s, trobem uns \(8 \cdot 10^{-35}\ \text{m}\), un valor tan petit al costat de qualsevol escletxa o obstacle que no es pot percebre cap efecte d'ona. Per a un electró a \(10^6\ \text{m/s}\), \(\lambda\) és a prop de 0,7 nm, comparable a la distància entre els àtoms d'un cristall.

\(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\)\(\Delta y \approx \dfrac{\lambda\,L}{d}\)\(\Delta y\) és la distància entre franges clares veïnes en una pantalla a una distància \(L\) de dues escletxes separades per \(d\), quan \(\Delta y\) és molt més petita que \(L\). A la simulació, les escletxes estan separades per 1 µm, cadascuna amb 0,2 µm d'amplada, i la pantalla és a 1 m, valors triats perquè les franges tinguin una mida visible. La massa de l'electró és \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

En l'experiment de la doble escletxa amb electrons, fet amb electrons que arribaven d'un en un a Itàlia, a la dècada de 1970, i repetit amb més claredat al Japó, el 1989, cada electró deixa un sol punt a la pantalla, com una partícula. Amb milers de punts, apareixen franges clares i fosques, el patró d'interferència d'una ona que ha passat per les dues escletxes, i si tanquem una de les escletxes les franges desapareixen.

El que podem afirmar amb seguretat és el que es mesura. La mecànica quàntica prediu la probabilitat que l'electró arribi a cada punt de la pantalla, i aquesta predicció concorda amb els experiments. En canvi, la pregunta de per quina escletxa ha passat l'electró, quan no ho mesurem, no té una resposta acceptada per tothom, i és justament aquí on les interpretacions de la teoria divergeixen.

Per comentar

Atura els trets, esborra la pantalla i dispara els electrons d'un en un. Es pot predir on caurà el següent?
Deixa arribar uns quants milers d'electrons. On queden les franges amb més punts, i on no n'hi arriba gairebé cap? Compara-ho amb la corba discontínua.
Tanca l'escletxa de baix i torna a esperar. Les franges continuen allà? Per què el patró no és simplement la meitat de l'anterior?
Augmenta la velocitat dels electrons. Què passa amb \(\lambda\) i amb la distància entre les franges?

Velocitat (m/s)

Electrons a la pantalla

Velocitat

λ de De Broglie

Distància entre franges

Escletxes obertes

Exercicis del pas 4 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Quina és la longitud d'ona de De Broglie d'un electró amb una velocitat de \(2 \cdot 10^6\ \text{m/s}\)? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\) i la massa de l'electró, \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
Per la relació de De Broglie, \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 2 \cdot 10^6}\).
\(\lambda \approx 3{,}6 \cdot 10^{-10}\ \text{m}\), uns 0,36 nm.
bàsic
Quina és la longitud d'ona de De Broglie d'una pilota de tennis de 60 g a 50 m/s? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\).

Mostra la resolució
Amb la massa en quilograms, \(m = 0{,}06\ \text{kg}\), tenim \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v} = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{0{,}06 \cdot 50}\).
\(\lambda = 2{,}2 \cdot 10^{-34}\ \text{m}\)
bàsic
Si tota partícula té una longitud d'ona associada, per què no veiem una pilota de futbol fer interferència quan passa per l'espai entre dos jugadors de la barrera?

Mostra la resolució
Els efectes d'ona, com la interferència i la difracció, només es fan visibles quan la longitud d'ona és comparable a la mida de les escletxes o dels obstacles.
Per a la pilota, \(\lambda\) és a prop de \(10^{-34}\ \text{m}\), bilions de bilions de vegades més petita que un espai de mig metre, i les franges quedarien tan juntes que cap instrument no les separaria.
La longitud d'ona de la pilota és massa petita, al costat de qualsevol espai, perquè aparegui cap efecte d'ona.
bàsic
En un experiment de doble escletxa, es disparen electrons d'un en un. Què deixa cada electró a la pantalla? Què apareix després que n'hagin arribat milers?

Mostra la resolució
Cada electró es detecta en un sol punt de la pantalla, com una partícula, i no es pot predir en quin punt.
Amb molts electrons, els punts s'acumulen en franges clares i fosques, el patró d'interferència que esperaríem d'una ona que passa per les dues escletxes.
Un punt per electró, i, en conjunt, franges d'interferència.
mitjà
Un electró i un protó tenen la mateixa velocitat. Quin dels dos té la longitud d'ona de De Broglie més gran, i quantes vegades més gran? Fes servir \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\) i \(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
Amb la mateixa velocitat, \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\) és inversament proporcional a la massa, i \(\dfrac{\lambda_e}{\lambda_p} = \dfrac{m_p}{m_e}\) \(= \dfrac{1{,}67 \cdot 10^{-27}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}\).
L'electró, amb una longitud d'ona unes 1800 vegades més gran.
mitjà
Quina velocitat ha de tenir un electró perquè la seva longitud d'ona de De Broglie sigui de 0,1 nm, semblant a la distància entre els àtoms d'un cristall? Fes servir \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\) i \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Mostra la resolució
Si aïllem la velocitat, \(v = \dfrac{h}{m\,\lambda}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-10}}\).
\(v \approx 7{,}3 \cdot 10^6\ \text{m/s}\), un 2% de la velocitat de la llum.
mitjà
Electrons amb una longitud d'ona de 0,5 nm passen per dues escletxes separades per 1 µm i arriben a una pantalla a 1 m de distància. Quina és la distància entre franges clares veïnes? I si la velocitat dels electrons es duplica?

Mostra la resolució
Per a franges poc espaiades, \(\Delta y = \dfrac{\lambda\,L}{d}\) \(= \dfrac{0{,}5 \cdot 10^{-9} \cdot 1}{10^{-6}}\) \(= 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}\).
Si la velocitat es duplica, \(\lambda = h/(m\,v)\) es redueix a la meitat, i \(\Delta y\) també.
\(\Delta y = 0{,}5\ \text{mm}\), i amb el doble de velocitat, 0,25 mm.
mitjà
En l'experiment de doble escletxa amb electrons, tanquem una de les escletxes. El patró a la pantalla és la meitat del patró amb les dues escletxes obertes? Què hi apareix?

Mostra la resolució
No. Amb les dues escletxes obertes, les franges fosques són llocs on no hi arriba gairebé cap electró, i amb una sola escletxa alguns d'aquests llocs passen a rebre'n.
El que apareix és una franja ampla, la difracció per una sola escletxa, sense les franges fines d'interferència.
Les franges desapareixen i queda una franja ampla, cosa que mostra que el patró amb dues escletxes no és la suma del que faria cada escletxa tota sola.
repte
Un electró parteix del repòs i s'accelera amb una diferència de potencial de 100 V. Calcula'n la velocitat i la longitud d'ona de De Broglie. Per què electrons com aquest serveixen per estudiar l'estructura dels cristalls? Fes servir \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\), \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\) i \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\).

Mostra la resolució
L'energia cinètica és \(E_c = q\,U = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-17}\ \text{J}\), i \(v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}\) \(\approx 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}\).
La longitud d'ona és \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 5{,}9 \cdot 10^6}\) \(\approx 1{,}2 \cdot 10^{-10}\ \text{m}\).
Aquest valor s'assembla a la distància entre els àtoms d'un cristall, i els electrons es difracten a la xarxa, com els de Davisson i Germer el 1927.
\(v \approx 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}\) i \(\lambda \approx 0{,}12\ \text{nm}\), de l'ordre de l'espaiat atòmic.
repte
Dues companyes discuteixen l'experiment de la doble escletxa amb electrons. Per a la Lara, cada electró és una ona que es converteix en partícula quan xoca amb la pantalla. Per a la Sônia, cada electró és una partícula que passa per una de les escletxes, només que no sabem per quina. Què estableix l'experiment, i què continua obert?

Mostra la resolució
L'experiment estableix que cada electró es detecta en un sol punt, que els punts es distribueixen segons les franges d'interferència i que les franges desapareixen quan tanquem una escletxa o registrem per quina escletxa passa cada electró.
Una partícula que passés per una escletxa sense cap influència de l'altra no produiria franges. Algunes interpretacions mantenen la trajectòria de la partícula, però hi afegeixen una ona que passa per les dues escletxes i la guia.
La mecànica quàntica prediu amb precisió les probabilitats d'arribada, i totes les interpretacions concorden amb aquestes prediccions. El que canvia d'una interpretació a una altra és la descripció del que passa entre la font i la pantalla.
Les mesures són les mateixes per a tothom; el que queda obert és la interpretació, i les dues afirmacions, tal com s'han dit, simplifiquen massa el que sabem.

PAS 5

Nuclis que es transformen sols

Alguns nuclis atòmics són inestables i, tard o d'hora, es transformen en uns altres, i emeten la radiació que detectem amb un comptador Geiger. Aquest fenomen, la radioactivitat, el va descobrir Henri Becquerel el 1896 i el van estudiar Marie i Pierre Curie, que van aïllar el poloni i el radi.

Les emissions més comunes són de tres tipus. La radiació alfa (α) és un nucli d'heli, amb dos protons i dos neutrons, i s'atura en un full de paper. Molt més penetrant, la beta (β) és un electró o un positró ràpid, que travessa el paper i queda aturada per uns quants mil·límetres d'alumini. La gamma (γ), un fotó d'energia molt alta, només l'atenuen bé capes gruixudes de plom o de formigó.

No hi ha manera de predir quan es desintegrarà un nucli concret, però en una mostra amb molts nuclis la fracció que es desintegra per unitat de temps és constant. Anomenem període de semidesintegració \(T\) el temps perquè es desintegri la meitat dels nuclis, i després d'un temps \(t\) en queden \(N = N_0/2^{t/T}\). El iode-131 té un període de semidesintegració d'uns 8 dies, el carboni-14, d'uns 5730 anys, i l'urani-238, de 4,5 mil milions d'anys.

\(N = \dfrac{N_0}{2^{t/T}}\)\(A = \dfrac{A_0}{2^{t/T}}\)\(N\) és el nombre de nuclis que encara no s'han desintegrat, \(T\) és el període de semidesintegració, i l'activitat \(A\), el nombre de desintegracions per segon, disminueix en la mateixa proporció. Els valors de dosi del text són aproximats i varien amb el lloc i amb l'equip. A la simulació, el període de semidesintegració és en segons, perquè càpiga a la pantalla, i el tauler de penetració mostra les tendències, sense les proporcions exactes.

Els éssers vius intercanvien carboni amb l'ambient i mantenen la mateixa proporció de carboni-14 que l'aire. Després de la mort, el carboni-14 ja no es reposa i es desintegra, i, mesurant la fracció que en queda, sabem quant de temps fa que l'organisme va morir. La datació per carboni-14 funciona bé fins a unes quantes desenes de milers d'anys.

En medicina, la radiació ionitzant produeix imatges, com en les radiografies i les gammagrafies, i tracta tumors en la radioteràpia. L'efecte en el cos es mesura amb la dosi, en sieverts (Sv). Rebem, de mitjana, uns quants mil·lisieverts l'any de fonts naturals, una radiografia de tòrax queda per sota d'una dècima de mil·lisievert i una tomografia en dona uns quants mil·lisieverts.

Dosis de diversos sieverts en poc temps causen danys greus, i per això les fonts radioactives i els aparells estan controlats, i els professionals porten protecció i dosímetres. Amb les dosis de les proves que ens fem, el benefici del diagnòstic tendeix a superar de molt el risc, que és petit.

Per comentar

Amb 400 nuclis, fes una pausa quan el temps arribi a un període de semidesintegració. Quants nuclis en queden? És exactament la meitat?
Repeteix-ho amb 100 i amb 1600 nuclis. En quin dels casos el recompte s'acosta més a la corba teòrica, i per què?
Observa la mostra després de tres períodes de semidesintegració. La fracció que en queda coincideix amb \(1/2^3\)?
Al tauler de baix, tria cada radiació per separat. Quina barrera atura cadascuna?

Període de semidesintegració

Temps

Períodes passats

Nuclis restants

Predicció N₀/2^(t/T)

Diferència

Exercicis del pas 5 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
El iode-131, que s'usa en el tractament de la tiroide, té un període de semidesintegració de 8 dies. D'una mostra de 80 g, quant en queda al cap de 24 dies?

Mostra la resolució
En 24 dies passen \(\dfrac{24}{8} = 3\) períodes de semidesintegració, i \(m = \dfrac{m_0}{2^3} = \dfrac{80}{8}\).
Queden 10 g de iode-131.
bàsic
Ordena les radiacions alfa, beta i gamma pel poder de penetració i digues què n'hi ha prou per aturar cadascuna.

Mostra la resolució
L'alfa, un nucli d'heli, és pesant i té càrrega, i s'atura en un full de paper o en pocs centímetres d'aire.
La beta, un electró ràpid, travessa el paper i s'atura en uns quants mil·límetres d'alumini. La gamma, un fotó d'alta energia, no té càrrega i necessita capes gruixudes de plom o de formigó per quedar ben atenuada.
De la menys a la més penetrant, alfa (paper), beta (alumini) i gamma (plom gruixut).
bàsic
Una mostra té 1600 nuclis radioactius, amb un període de semidesintegració de 5 minuts. Quants nuclis, de mitjana, encara no s'han desintegrat al cap de 20 minuts?

Mostra la resolució
En 20 minuts passen 4 períodes de semidesintegració, i \(N = \dfrac{N_0}{2^4} = \dfrac{1600}{16}\).
Uns 100 nuclis.
bàsic
Un company diu que, si en un període de semidesintegració la mostra perd la meitat dels nuclis, en dos períodes els perd tots. Té raó?

Mostra la resolució
A cada període de semidesintegració es desintegra la meitat dels nuclis que hi havia al començament d'aquell interval, i no la meitat de la mostra original.
Després del primer període en queda \(\dfrac{1}{2}\), i després del segon, la meitat d'això, \(\dfrac{1}{4}\).
No. Després de dos períodes de semidesintegració en queda una quarta part de la mostra.
mitjà
En un fòssil, la proporció de carboni-14 és 1/8 de la que es troba en un ésser viu. Quant de temps fa que va morir l'organisme? El període de semidesintegració del carboni-14 és d'uns 5730 anys.

Mostra la resolució
Perquè la proporció baixi a \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}\), han de passar 3 períodes de semidesintegració, i \(t = 3 \cdot 5730\).
Fa uns 17 190 anys.
mitjà
El tecneci-99m, que s'usa en gammagrafies, té un període de semidesintegració d'unes 6 h. Un pacient rep la dosi a les 8 h. Quina fracció de l'activitat inicial en queda a les 8 h de l'endemà?

Mostra la resolució
Entre les 8 h d'un dia i les 8 h de l'endemà passen 24 h, o \(\dfrac{24}{6} = 4\) períodes de semidesintegració.
L'activitat baixa a \(\dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}\) de la inicial.
En queda 1/16 de l'activitat, un 6%.
mitjà
Quant de temps triga l'activitat d'una mostra de iode-131, amb un període de semidesintegració de 8 dies, a baixar a 1/32 del valor inicial?

Mostra la resolució
Com que \(32 = 2^5\), l'activitat s'ha de reduir a la meitat 5 vegades, i \(t = 5 \cdot 8\).
40 dies.
mitjà
Una mostra només té 4 nuclis radioactius. Després d'un període de semidesintegració, n'han de quedar 2 per força? Quina és la probabilitat que en quedin exactament 2?

Mostra la resolució
Cada nucli té, independentment dels altres, una probabilitat de \(\dfrac{1}{2}\) de no haver-se desintegrat encara després d'un període de semidesintegració. El període descriu el comportament mitjà, i amb pocs nuclis el resultat varia força.
Hi ha \(2^4 = 16\) combinacions igualment probables, i en 6 d'elles queden exactament 2 nuclis.
No; la probabilitat que en quedin exactament 2 és \(\dfrac{6}{16} = 37{,}5\%\).
repte
El cesi-137 de l'accident de Goiânia, al Brasil, el 1987, té un període de semidesintegració d'uns 30 anys. Quina fracció de l'activitat en queda al cap d'1 any? En quin any l'activitat d'aquell material baixarà a 1/8 de la de 1987?

Mostra la resolució
Al cap d'1 any, la fracció és \(\dfrac{1}{2^{1/30}} \approx 0{,}977\), o un 97,7%, i l'activitat gairebé no canvia en un any.
Per baixar a \(\dfrac{1}{8}\) calen 3 períodes de semidesintegració, \(3 \cdot 30 = 90\) anys, i \(1987 + 90 = 2077\).
Un 97,7% al cap d'un any, i 1/8 només cap al 2077.
repte
Suposa, com a valors aproximats, que una persona rep uns 3 mSv l'any de fonts naturals, que una radiografia de tòrax dona uns 0,02 mSv i que una tomografia de tòrax dona uns 7 mSv. A quants dies de radiació natural equival cada prova?

Mostra la resolució
Per dia, la radiació natural dona \(\dfrac{3}{365}\) mSv. La radiografia equival a \(\dfrac{0{,}02}{3} \cdot 365 \approx 2{,}4\) dies.
La tomografia equival a \(\dfrac{7}{3} \approx 2{,}3\) anys, o uns 850 dies.
La radiografia equival a uns 2 o 3 dies de radiació natural, i la tomografia, a una mica més de 2 anys, cosa que explica per què només es demana quan el benefici per al diagnòstic compensa.

PAS 6

Quanta energia cap en la massa?

El 1905, Einstein va mostrar que massa i energia són equivalents, \(E = m\,c^2\). Com que \(c^2\) és enorme, \(9 \cdot 10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\), veiem que una massa petita correspon a molta energia, i un gram equival a \(9 \cdot 10^{13}\ \text{J}\), més o menys l'energia de vint mil tones de TNT.

La massa d'un nucli és una mica més petita que la suma de les masses dels seus protons i neutrons separats, i la diferència correspon a l'energia que el manté unit. Quan un nucli pesant es parteix en dos de més petits, o quan dos de lleugers s'uneixen en un de més gran, la massa total disminueix una mica i la diferència apareix com a energia.

En la fissió, un nucli d'urani-235 absorbeix un neutró i es parteix en dos fragments, i allibera uns 200 MeV i dos o tres neutrons més, que poden provocar noves fissions en una reacció en cadena. Anomenem \(k\) el nombre mitjà de neutrons de cada fissió que en provoquen una altra. Amb \(k < 1\) la reacció s'apaga, amb \(k = 1\) es manté i amb \(k > 1\) creix.

En una central nuclear, com les que el Brasil té a Angra dos Reis, Angra 1 i Angra 2, el reactor funciona amb \(k = 1\). Les barres de control, fetes de materials que absorbeixen neutrons, entren al nucli del reactor o en surten per ajustar \(k\), i la calor de les fissions escalfa aigua, el vapor de la qual mou les turbines. L'urani de la central és poc enriquit, amb un 3% a un 5% d'urani-235, i no explota com una bomba, que exigeix urani molt més enriquit i un muntatge propi.

La fusió manté el Sol brillant. Al seu centre, a uns 15 milions de kelvins, els nuclis d'hidrogen es fusionen en heli, i el Sol converteix en energia uns 4 milions de tones de massa per segon. Encara no aconseguim fer servir la fusió controlada per generar electricitat, i aquest és un dels grans reptes de la recerca en energia.

\(E = m\,c^2\)\(\Delta E = \Delta m\,c^2\)\(1\ \text{MeV} = 1{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{J}\)Valors aproximats d'energia per quilogram: gasolina cremada, \(4{,}5 \cdot 10^7\ \text{J}\); urani-235 que es fissiona del tot, \(8 \cdot 10^{13}\ \text{J}\); hidrogen que es converteix en heli al Sol, \(6 \cdot 10^{14}\ \text{J}\). A la simulació, cada fissió allibera 2 o 3 neutrons, cada nucli partit es reposa al cap d'un temps, com si el combustible no s'acabés mai, i una font feble d'engegada deixa anar un neutró de tant en tant, si n'hi ha pocs en vol.

Per comentar

Introdueix bé les barres, deixant \(k < 1\), i observa la població de neutrons. Què passa amb les cadenes que inicia la font?
Ajusta les barres fins a \(k = 1\). El nombre de neutrons es manté estable, tot i les fluctuacions?
Retira les barres, amb \(k > 1\), i segueix el gràfic. En quant de temps es duplica la població? Després torna a introduir les barres i intenta estabilitzar la reacció.
Apaga la font amb \(k < 1\) i dispara un neutró. Quantes fissions produeix la cadena abans d'apagar-se?

Barres introduïdes

Factor k

Neutrons en vol

Fissions

Energia alliberada

Règim

Exercicis del pas 6 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Segons la relació \(E = m\,c^2\), quanta energia correspon a una massa d'1 g? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
Amb la massa en quilograms, \(m = 10^{-3}\ \text{kg}\), tenim \(E = m\,c^2 = 10^{-3} \cdot (3 \cdot 10^8)^2\).
\(E = 9 \cdot 10^{13}\ \text{J}\)
bàsic
Quina diferència hi ha entre la fissió i la fusió nuclear? Quina de les dues passa a les centrals d'Angra i quina passa al Sol?

Mostra la resolució
En la fissió, un nucli pesant, com el de l'urani-235, es parteix en dos nuclis més petits. En la fusió, nuclis lleugers, com els de l'hidrogen, s'uneixen i formen un nucli més gran.
En tots dos casos la massa final és una mica més petita que la inicial, i la diferència apareix com a energia.
Les centrals d'Angra fan servir la fissió de l'urani, i el Sol brilla per la fusió de l'hidrogen en heli.
bàsic
Per a què serveixen les barres de control d'un reactor nuclear? Què passa amb la reacció en cadena quan s'introdueixen més endins?

Mostra la resolució
Les barres són de materials que absorbeixen neutrons. Si s'introdueixen més endins, capturen més neutrons, que deixen de provocar noves fissions, i el factor de multiplicació \(k\) disminueix.
Regulen la reacció; introduïdes més endins, redueixen \(k\) i la potència del reactor, i el poden aturar.
bàsic
En una reacció en cadena, \(k\) és el nombre mitjà de neutrons de cada fissió que en provoquen una de nova. Què passa amb la reacció quan \(k < 1\), \(k = 1\) i \(k > 1\)? Amb quina \(k\) ha de funcionar una central?

Mostra la resolució
Amb \(k < 1\), cada generació té menys fissions que l'anterior, i la reacció s'apaga. Amb \(k = 1\), el nombre de fissions per generació es manté estable, i amb \(k > 1\) creix a cada generació.
La central funciona amb \(k = 1\), en el règim crític, en què la potència es manté constant.
mitjà
Cada fissió d'un nucli d'urani-235 allibera uns 200 MeV. Quant és això en joules? Quantes fissions per segon calen per produir una potència d'1 W? Fes servir \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

Mostra la resolució
En joules, \(200 \cdot 10^6 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) \(= 3{,}2 \cdot 10^{-11}\ \text{J}\).
Per tenir 1 J per segon, el nombre de fissions per segon és \(\dfrac{1}{3{,}2 \cdot 10^{-11}}\).
Uns \(3{,}2 \cdot 10^{-11}\ \text{J}\) per fissió, i unes \(3 \cdot 10^{10}\) fissions per segon per cada watt.
mitjà
El reactor d'una central allibera 3000 MW de calor. Quanta massa es converteix en energia en un dia de funcionament? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
En un dia, de 86 400 s, l'energia alliberada és \(E = 3 \cdot 10^9 \cdot 86\,400\) \(\approx 2{,}6 \cdot 10^{14}\ \text{J}\).
La massa corresponent és \(m = \dfrac{E}{c^2} = \dfrac{2{,}6 \cdot 10^{14}}{9 \cdot 10^{16}}\).
Uns \(2{,}9 \cdot 10^{-3}\ \text{kg}\), uns 3 g per dia.
mitjà
Un quilogram d'urani-235 que es fissiona del tot allibera uns \(8 \cdot 10^{13}\ \text{J}\), i un quilogram de gasolina, quan crema, uns \(4{,}5 \cdot 10^7\ \text{J}\). Quants quilograms de gasolina alliberen la mateixa energia que 1 kg d'urani-235?

Mostra la resolució
La massa de gasolina és la raó entre les energies, \(\dfrac{8 \cdot 10^{13}}{4{,}5 \cdot 10^7}\).
Uns \(1{,}8 \cdot 10^6\ \text{kg}\), prop de 1800 tones de gasolina.
mitjà
En una reacció en cadena amb \(k = 1{,}1\), quantes generacions calen, aproximadament, perquè el nombre de fissions es dupliqui?

Mostra la resolució
Després de \(n\) generacions, el nombre de fissions queda multiplicat per \(1{,}1^n\), i necessitem \(1{,}1^n \approx 2\).
Per tempteig, \(1{,}1^7 \approx 1{,}95\) i \(1{,}1^8 \approx 2{,}14\).
Unes 7 generacions.
repte
El Sol emet uns \(3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{W}\). Quanta massa converteix en energia cada segon? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
En un segon, el Sol emet \(3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{J}\), i la massa corresponent és \(m = \dfrac{E}{c^2} = \dfrac{3{,}8 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}}\).
Uns \(4{,}2 \cdot 10^9\ \text{kg}\) per segon, uns 4 milions de tones.
repte
En la fusió d'un deuteri (2,0141 u) amb un triti (3,0160 u), es formen un nucli d'heli-4 (4,0026 u) i un neutró (1,0087 u). Quanta massa desapareix, i quanta energia s'allibera, en MeV? Una unitat de massa atòmica (1 u) correspon a uns 931 MeV.

Mostra la resolució
La massa inicial és \(2{,}0141 + 3{,}0160 = 5{,}0301\ \text{u}\), i la final, \(4{,}0026 + 1{,}0087 = 5{,}0113\ \text{u}\).
La diferència és \(\Delta m = 0{,}0188\ \text{u}\), i l'energia alliberada és \(0{,}0188 \cdot 931\).
Desapareixen 0,0188 u, que es converteixen en uns 17,5 MeV.

PAS 7

El temps passa igual per a tothom?

El 1905, Einstein va partir de dos postulats. Les lleis de la física són les mateixes per a tots els observadors que es mouen amb velocitat constant els uns respecte dels altres, i la velocitat de la llum en el buit, \(c\), també és la mateixa per a tots ells, sigui quin sigui el moviment de la font o de l'observador.

El segon postulat va contra la intuïció, ja que esperaríem sumar les velocitats de la font i de la llum, i té una conseqüència sorprenent. En un rellotge de llum, un pols de llum va i ve entre dos miralls. Per a qui veu passar el rellotge, la llum recorre un camí inclinat i més llarg, amb la mateixa velocitat \(c\), i cada tic dura més. És la dilatació del temps, \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\), on \(\Delta t_0\) és l'interval mesurat en el sistema de referència del rellotge mateix.

A les velocitats de la vida quotidiana, \(\gamma\) és tan a prop d'1 que no notem l'efecte. A prop de la velocitat de la llum, creix de pressa, i amb \(v = 0{,}8\,c\) val 5/3, mentre que amb \(v = 0{,}995\,c\) arriba a 10, aproximadament.

Els muons creats pels raigs còsmics a uns 10 km d'altura viuen, de mitjana, 2,2 µs en el seu propi sistema de referència. Fins i tot a prop de la velocitat de la llum, en aquest temps recorrerien uns 660 m, i gairebé cap no arribaria a terra. Tanmateix, mesurem molts muons al nivell del mar, perquè, per a nosaltres, el seu temps de vida està dilatat.

El GPS que fem servir al mòbil en depèn. Els satèl·lits del sistema van a uns 3,9 km/s, i per la dilatació del temps els seus rellotges marquen uns 7 µs menys per dia que els rellotges de terra. També hi ha un efecte de la gravetat, previst per la relativitat general, que fa avançar aquests rellotges. El sistema corregeix tots dos efectes, i sense la correcció l'error de posició creixeria diversos quilòmetres per dia.

\(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\)\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)\(\Delta t_0\) és el temps propi, mesurat per un rellotge que acompanya l'objecte, i \(\Delta t\) és el temps mesurat per qui veu passar l'objecte amb velocitat \(v\). A la simulació, els dos rellotges són idèntics, i la mida de la pantalla i la velocitat de la llum a la pantalla no estan a escala.

Per comentar

Amb \(v = 0\), posa els tics a zero i compara els dos rellotges. Fan tic-tac alhora?
Porta \(v\) a 0,6 c, posa els tics a zero i espera uns vint tics del rellotge aturat. Quantes vegades més lent va el rellotge en moviment? Comprova-ho amb \(\gamma\).
Fes clic a «Muó» i llegeix la distància que recorre en 2,2 µs, amb dilatació i sense.
Tria el GPS. Per què, a aquesta velocitat, els tics semblen iguals a la pantalla, i tot i així el retard d'un dia importa?

Velocitat v/c

Velocitat

Factor γ

Tics aturat / en moviment

Muó sense dilatació

Muó amb dilatació

Retard per dia

Exercicis del pas 7 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Calcula el factor \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\) per a una nau amb \(v = 0{,}6\,c\).

Mostra la resolució
Amb \(v/c = 0{,}6\), tenim \(v^2/c^2 = 0{,}36\) i \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}}\) \(= \dfrac{1}{\sqrt{0{,}64}}\) \(= \dfrac{1}{0{,}8}\).
\(\gamma = 1{,}25\)
bàsic
En un tren que va a la meitat de la velocitat de la llum, un passatger encén una llanterna cap endavant. A quina velocitat s'allunya la llum de la llanterna, per al passatger? I per a una persona aturada a l'estació?

Mostra la resolució
Pel segon postulat d'Einstein, la velocitat de la llum en el buit és la mateixa per a tots els observadors que es mouen amb velocitat constant, sigui quin sigui el moviment de la font.
La suma \(c + 0{,}5\,c\), que suggereix la intuïció, no val per a la llum.
Les dues persones mesuren la mateixa velocitat, \(c\).
bàsic
Un rellotge en una nau marca 2 s entre dos esdeveniments que passen a la mateixa nau. Per als observadors de la Terra, la nau va amb \(\gamma = 2\). Quant de temps passa entre els esdeveniments, per a ells?

Mostra la resolució
Els 2 s de la nau són el temps propi \(\Delta t_0\), i a la Terra \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = 2 \cdot 2\).
\(\Delta t = 4\ \text{s}\)
bàsic
Per què no notem la dilatació del temps quan viatgem en cotxe o en avió?

Mostra la resolució
El factor \(\gamma\) depèn de \(v^2/c^2\), i fins i tot la velocitat d'un avió, uns 250 m/s, és menys d'una milionèsima de la velocitat de la llum.
Així, \(\gamma\) val 1 + una quantitat de l'ordre de \(10^{-13}\), i la diferència de temps en tot un viatge és de mil·milionèsimes de segon, que només mesuren els rellotges atòmics.
A les velocitats de la vida quotidiana, \(\gamma\) és pràcticament 1, i l'efecte és massa petit per notar-lo.
mitjà
Un muó té una vida mitjana de 2,2 µs en el seu propi sistema de referència i viatja a \(0{,}995\,c\). Quant recorreria en aquest temps sense la dilatació? I amb la dilatació, per a un observador a la Terra? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
Sense dilatació, \(d = v\,\Delta t_0\) \(= 0{,}995 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6}\) \(\approx 657\ \text{m}\).
Amb \(v = 0{,}995\,c\), \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}990}} \approx 10\), i per a nosaltres el muó viu \(\gamma\,\Delta t_0 \approx 22\ \mu\text{s}\) i recorre unes deu vegades més distància.
Uns 660 m sense la dilatació, i uns 6,6 km amb la dilatació.
mitjà
Una nau viatja a \(0{,}8\,c\) respecte de la Terra. El rellotge de bord marca 30 min de viatge. Quant de temps passa per als qui s'han quedat a la Terra?

Mostra la resolució
Amb \(v/c = 0{,}8\), \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3}\).
El temps a la Terra és \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = \dfrac{5}{3} \cdot 30\).
\(\Delta t = 50\ \text{min}\)
mitjà
En un rellotge de llum, els miralls són a 1,5 m l'un de l'altre, i un tic és una anada i tornada de la llum. Quant dura un tic amb el rellotge aturat? I per a qui veu passar el rellotge a \(0{,}6\,c\)? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
Amb el rellotge aturat, la llum recorre 3 m per tic, i \(\Delta t_0 = \dfrac{3}{3 \cdot 10^8} = 10^{-8}\ \text{s}\).
Vist passar a \(0{,}6\,c\), amb \(\gamma = 1{,}25\), cada tic dura \(\Delta t = 1{,}25 \cdot 10^{-8}\ \text{s}\).
\(10^{-8}\ \text{s}\) aturat i \(1{,}25 \cdot 10^{-8}\ \text{s}\) en moviment.
mitjà
Una partícula inestable viu, de mitjana, 1 µs en el seu propi sistema de referència. En un accelerador, va a \(0{,}99\,c\). Quant de temps viu, de mitjana, per als físics del laboratori?

Mostra la resolució
Amb \(v/c = 0{,}99\), \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}}\) \(= \dfrac{1}{\sqrt{0{,}0199}} \approx 7{,}1\).
Al laboratori, \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \approx 7{,}1 \cdot 1\ \mu\text{s}\).
Uns 7,1 µs.
repte
Els satèl·lits del GPS van a uns 3,9 km/s. Per a velocitats petites, podem fer servir \(\gamma \approx 1 + \dfrac{v^2}{2\,c^2}\). Quant s'endarrereix per dia el rellotge d'un satèl·lit, només per la dilatació del temps? Quin error de distància causaria això, multiplicat per \(c\)? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
Tenim \(\dfrac{v^2}{2\,c^2} = \dfrac{(3{,}9 \cdot 10^3)^2}{2 \cdot 9 \cdot 10^{16}}\) \(\approx 8{,}5 \cdot 10^{-11}\), la fracció de temps que perd el rellotge del satèl·lit.
En un dia, \(8{,}5 \cdot 10^{-11} \cdot 86\,400 \approx 7{,}3 \cdot 10^{-6}\ \text{s}\), i si ho multipliquem per \(c\), \(7{,}3 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^8 \approx 2{,}2 \cdot 10^3\ \text{m}\).
L'efecte de la gravetat, previst per la relativitat general, actua en sentit contrari i és més gran, i el sistema corregeix tots dos alhora.
Uns 7 µs per dia, que donarien un error d'uns 2 km per dia si no es corregissin.
repte
A quina velocitat ha d'anar una nau perquè el seu rellotge, vist des de la Terra, vagi a la meitat del ritme, és a dir, perquè \(\gamma = 2\)? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
De \(\gamma = 2\), tenim \(\sqrt{1 - v^2/c^2} = \dfrac{1}{2}\), \(1 - \dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{1}{4}\) i \(\dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{3}{4}\).
Aleshores \(v = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c \approx 0{,}866 \cdot 3 \cdot 10^8\).
\(v \approx 0{,}87\,c\), uns \(2{,}6 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

TANCAMENT

Reptes

Espectre i fotó

Un mòbil 4G emet a 1,8 GHz. Quina és la longitud d'ona d'aquestes ones i l'energia de cada fotó, en eV? (\(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\))

Mostra la resolució

La longitud d'ona és \(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}8 \cdot 10^9} \approx 0{,}17\ \text{m}\), uns 17 cm.
Cada fotó té \(E = h\,f = 4{,}1 \cdot 10^{-15} \cdot 1{,}8 \cdot 10^9\) \(\approx 7{,}4 \cdot 10^{-6}\ \text{eV}\), lluny dels electronvolts necessaris per trencar enllaços.

Efecte fotoelèctric

Una placa de cesi, amb \(W = 2{,}1\ \text{eV}\), s'il·lumina amb llum blava de 450 nm. Quina és l'energia cinètica màxima dels electrons? (\(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\))

Mostra la resolució

El fotó té \(E \approx \dfrac{1240}{450} \approx 2{,}76\ \text{eV}\), i \(E_{c,\text{màx}} = 2{,}76 - 2{,}1\).
Els electrons surten amb fins a uns 0,66 eV.

Model de Bohr

Quina és la longitud d'ona del fotó emès quan l'electró de l'hidrogen cau del nivell 2 al nivell 1? En quina regió de l'espectre queda? (\(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\))

Mostra la resolució

L'energia és \(E = -3{,}4 - (-13{,}6) = 10{,}2\ \text{eV}\), i \(\lambda \approx \dfrac{1240}{10{,}2} \approx 122\ \text{nm}\).
És la primera línia de la sèrie de Lyman, a l'ultraviolat.

Dualitat

Els neutrons «tèrmics», que s'usen per estudiar materials, van a uns 2200 m/s. Quina és la seva longitud d'ona de De Broglie? (\(m_n = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\), \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\))

Mostra la resolució

Per la relació de De Broglie, \(\lambda = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 2200}\) \(\approx 1{,}8 \cdot 10^{-10}\ \text{m}\).
Són 0,18 nm, de l'ordre de la distància entre els àtoms d'un cristall, i per això els neutrons es difracten en els materials.

Període de semidesintegració

Un comptador registra 800 comptes per minut que vénen d'una mostra i, 12 h després, 50 comptes per minut. Quin és el període de semidesintegració del material?

Mostra la resolució

L'activitat ha baixat a \(\dfrac{50}{800} = \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2^4}\), que correspon a 4 períodes de semidesintegració.
Aleshores \(T = \dfrac{12}{4}\), 3 h.

Energia nuclear

Una central produeix 1000 MW d'electricitat i transforma en electricitat aproximadament un terç de la calor del reactor. Quants quilograms d'urani-235 fissiona per dia? (1 kg d'urani-235 fissionat allibera uns \(8 \cdot 10^{13}\ \text{J}\))

Mostra la resolució

El reactor allibera uns 3000 MW de calor, i en un dia, \(3 \cdot 10^9 \cdot 86\,400\) \(\approx 2{,}6 \cdot 10^{14}\ \text{J}\).
La massa fissionada és \(\dfrac{2{,}6 \cdot 10^{14}}{8 \cdot 10^{13}}\), uns 3,2 kg per dia.

Relativitat

Una nau viatja a 0,8 c fins a una estrella que, mesurada des de la Terra, és a 4 anys llum. Quant dura el viatge per als qui s'han quedat a la Terra i per als qui van a la nau?

Mostra la resolució

A la Terra, el viatge dura \(\dfrac{4\ \text{anys llum}}{0{,}8\,c} = 5\) anys.
Amb \(\gamma = \dfrac{5}{3}\), el rellotge de bord marca \(\Delta t_0 = \dfrac{\Delta t}{\gamma} = \dfrac{5}{5/3}\), o 3 anys.

Pensar, sense comptes

Sota una làmpada de «llum negra», d'ultraviolat feble, certs minerals i teixits blancs brillen de color blau. Sota una làmpada vermella molt forta, no brilla res. Per què?

Mostra la resolució

Els materials fluorescents absorbeixen un fotó, pugen de nivell i tornen emetent fotons d'una energia una mica més petita, en el visible.
El fotó ultraviolat té energia per fer-ho, i el fotó vermell, de menys energia, no pot portar el material a un nivell des del qual emetria llum blava, de més energia, per molts fotons que arribin.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el format de l'ENEM, amb un text base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall indiquem preguntes reals de la prova sobre física moderna, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

Espectre i fotó · Pas 1

Per a un cartell sobre la protecció de la pell, la farmacèutica Teresa va fer la taula següent, amb radiacions del dia a dia i les seves longituds d'ona aproximades. Per simplificar, va suposar que només els fotons de més de 3,5 eV poden trencar els enllaços de les molècules de la pell que porten a la cremada.

Radiacions del dia a dia
Radiació	Longitud d'ona
Ràdio FM	3 m
Wi-Fi	12 cm
Infraroig del comandament a distància	940 nm
Llum verda	550 nm
Ultraviolat B	300 nm

Si fem servir \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\), quines radiacions de la taula tenen fotons capaços de causar aquest dany?

Totes, sempre que la intensitat sigui prou alta.
Només l'ultraviolat B.
Només la llum verda i l'ultraviolat B.
Només la ràdio FM i el Wi-Fi, que tenen les longituds d'ona més grans.
Cap, perquè un sol fotó mai no té energia per trencar un enllaç.

Mostra la resolució

Resposta: B.
L'energia de cada fotó és \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\), i amb λ en nanòmetres, \(E \approx \dfrac{1240}{\lambda}\) eV.
L'ultraviolat B dona \(\dfrac{1240}{300} \approx 4{,}1\ \text{eV}\), per sobre de 3,5 eV, i la llum verda dona \(\dfrac{1240}{550} \approx 2{,}3\ \text{eV}\), per sota. L'infraroig queda en uns 1,3 eV, i els fotons de Wi-Fi i de ràdio tenen energies de \(10^{-5}\ \text{eV}\) o menys.
L'opció A confon la intensitat amb l'energia per fotó, i la C tracta la llum visible com si tingués l'energia de l'ultraviolat. La D inverteix la relació entre longitud d'ona i energia, i la E contradiu el mateix càlcul.
El llindar únic de 3,5 eV és una simplificació; a la pell real, el dany creix a poc a poc al llarg de l'ultraviolat.

Efecte fotoelèctric · Pas 2
En una fira de ciències, el Fábio munta una alarma amb una cèl·lula fotoelèctrica el càtode de la qual és d'un metall amb una funció de treball de 2,3 eV. Té dos làsers a l'abast, un de vermell, de 650 nm i 50 mW, i un de violeta, de 405 nm i només 5 mW. L'alarma funciona quan la llum arrenca electrons del càtode. Considera \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

Quin dels làsers fa funcionar la cèl·lula?
1. Només el vermell, perquè la seva potència és deu vegades més gran.
2. Només el violeta, perquè cadascun dels seus fotons té més energia que la funció de treball del metall.
3. Tots dos, perquè qualsevol llum arrenca electrons si es manté encesa prou temps.
4. Només el vermell, perquè les longituds d'ona més grans porten més energia per fotó.
5. Cap, perquè els fotons de llum visible mai no superen 2,3 eV.
Mostra la resolució

Resposta: B.
El fotó vermell té \(E \approx \dfrac{1240}{650} \approx 1{,}9\ \text{eV}\), menys que els 2,3 eV de la funció de treball, i no arrenca cap electró, sigui quina sigui la potència.
El fotó violeta té \(E \approx \dfrac{1240}{405} \approx 3{,}1\ \text{eV}\), i els electrons surten amb fins a \(3{,}1 - 2{,}3 = 0{,}8\ \text{eV}\) d'energia cinètica.
La A i la C fan servir la idea ondulatòria que més potència o més temps compensarien la freqüència baixa, que és justament el que desmenteix l'efecte fotoelèctric. La D inverteix la relació entre λ i energia, i la E oblida que el violeta passa de 3 eV.
La potència més petita del làser violeta només redueix el nombre d'electrons arrencats per segon, i per a una alarma això tendeix a ser suficient.
Model de Bohr · Pas 3
Analitzant la llum d'una nebulosa, l'astrònoma Bruna troba una línia intensa a 486 nm, a la franja blava verdosa. Sospita que la línia ve de l'hidrogen, els nivells d'energia del qual, en el model de Bohr, són \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV. Considera \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

Quina transició de l'electró a l'àtom d'hidrogen emet un fotó amb aquesta longitud d'ona?
1. Del nivell 2 al nivell 1.
2. Del nivell 3 al nivell 2.
3. Del nivell 4 al nivell 2.
4. Del nivell 4 al nivell 3.
5. Del nivell 2 al nivell 4.
Mostra la resolució

Resposta: C.
El fotó de 486 nm té \(E \approx \dfrac{1240}{486} \approx 2{,}55\ \text{eV}\).
En la caiguda del nivell 4 al 2, \(E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}\right) = 2{,}55\ \text{eV}\), exactament l'energia que busquem.
La caiguda 2→1 dona 10,2 eV, a l'ultraviolat, i la 3→2 dona 1,89 eV, la línia vermella de 656 nm. La 4→3 dona uns 0,66 eV, a l'infraroig, i la E descriu una pujada, en què l'àtom absorbeix un fotó en lloc d'emetre'l.
Línies com aquesta, mesurades en nebuloses i estrelles, són una de les maneres de saber de què està fet l'univers lluny de la Terra.
Període de semidesintegració · Pas 5
El tecneci-99m s'usa en gammagrafies. El gràfic mostra l'activitat d'una dosi d'aquest material, en percentatge de l'activitat en el moment de l'aplicació, al llarg de les hores següents.

El Gustavo va rebre una dosi a les 7 h. L'hospital només considera l'activitat negligible per a la prova següent quan baixa a 1/8 de la inicial.

A partir de quina hora l'activitat de la dosi del Gustavo arriba a aquest valor?
1. A les 13 h del mateix dia.
2. A les 19 h del mateix dia.
3. A la 1 h de la matinada de l'endemà.
4. A les 7 h de l'endemà.
5. A les 7 h de l'altre demà.
Mostra la resolució

Resposta: C.
Segons el gràfic, l'activitat es redueix a la meitat cada 6 h, i aquest és el període de semidesintegració del tecneci-99m.
Per arribar a \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}\), passen 3 períodes de semidesintegració, \(3 \cdot 6 = 18\ \text{h}\), i \(7\ \text{h} + 18\ \text{h}\) dona la 1 h de la matinada de l'endemà.
La A correspon a un sol període i la B, a dos. La D compta 24 h, quan l'activitat ja ha baixat a 1/16, i la E pren 1/8 com si fossin vuit períodes.
El període curt és una de les raons per les quals el tecneci s'usa tant, perquè la prova es fa en poques hores i la dosi al cos baixa de pressa.
Dilatació del temps · Pas 7
Els raigs còsmics que arriben a l'alta atmosfera creen muons a uns 10 km d'altitud. En el seu propi sistema de referència, un muó viu, de mitjana, 2,2 µs abans de desintegrar-se. Els muons baixen a uns 0,995 de la velocitat de la llum, per a la qual el factor \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\) val aproximadament 10. Considera \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Per a un observador a la superfície de la Terra, quina és, aproximadament, la distància mitjana que recorre un d'aquests muons abans de desintegrar-se?
1. 66 m
2. 660 m
3. 6,6 km
4. 66 km
5. 10 km, perquè tot muó creat a l'alta atmosfera arriba a terra.
Mostra la resolució

Resposta: C.
Per a nosaltres, el temps de vida del muó està dilatat, \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \approx 10 \cdot 2{,}2\) \(= 22\ \mu\text{s}\).
En aquest temps recorre \(d = v\,\Delta t \approx 0{,}995 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 22 \cdot 10^{-6}\), uns 6,6 km.
La B ignora la dilatació del temps, i la A divideix per \(\gamma\) en lloc de multiplicar. La D aplica el factor 10 dues vegades, i la E tracta la vida mitjana com si valgués per a tots els muons, quan només és una mitjana.
Sense la dilatació, gairebé cap muó no baixaria gaire més d'1 km, i el gran nombre de muons que es mesuren al nivell del mar és una de les proves clàssiques de la relativitat.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2013, Dia 1, quadern blau, pregunta 49. La glucosa marcada amb carboni-11, d'un període de semidesintegració d'uns 20 minuts, s'usa en la tomografia per emissió de positrons, i calculem quant en queda d'1 g del núclid després de cinc períodes de semidesintegració.
ENEM 2015, Dia 1, quadern blau, pregunta 50. Una figura dona les freqüències que separen l'UV-A, l'UV-B i l'UV-C, i les hem de convertir en longituds d'ona per triar, entre cinc espectres d'absorció, la crema solar que absorbeix més en l'UV-B.
ENEM 2017, Dia 2, quadern blau, pregunta 104. La datació d'un fòssil pel carboni-14 apareix a través del recompte d'emissions beta, i l'edat surt del nombre de períodes de semidesintegració que l'activitat ha trigat a baixar fins al valor mesurat.
ENEM 2020, Dia 2, quadern blau, pregunta 126. La pregunta demana quin procés nuclear passa en la detonació d'una bomba atòmica, i les opcions comparen la fissió, la fusió i altres processos amb les partícules que els provoquen.
ENEM 2022, Dia 2, quadern blau, pregunta 130. El text diu que els cons de l'ull responen a l'energia dels fotons i els bastons, al nombre de fotons, i hem de deduir com veu un animal amb bastons més sensibles.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Ona\(c = \lambda\,f\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)

Energia del fotó\(E = h\,f = h\,c/\lambda\)

Constant de Planck\(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\)
\(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\)

Electronvolt\(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\)

Efecte fotoelèctric\(E_{c,\text{màx}} = h\,f - W\)

Freqüència llindar\(f_0 = W/h\)

Nivells de l'hidrogen\(E_n = -13{,}6/n^2\ \text{eV}\)

Fotó emès o absorbit\(E = E_i - E_f\)

De Broglie\(\lambda = h/(m\,v)\)

Període de semidesintegració\(N = N_0/2^{t/T}\)

Massa i energia\(E = m\,c^2\)

Dilatació del temps\(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\), \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\)