Física · Secundària · Gravitació

Gravitació

La poma que cau de la branca, la Lluna que fa la volta a la Terra cada mes i el mar que puja i baixa a la platja tenen el mateix origen, l'atracció gravitatòria entre les masses. Partirem de la llei de Newton, entendrem el camp gravitatori i les òrbites, desfarem la idea que a l'espai no hi ha gravetat, pesarem planetes amb les lleis de Kepler i acabarem amb la velocitat d'escapament i les marees.

1Llei de la gravitació
2Camp gravitatori
3Òrbites
4Imponderabilitat
5Kepler i les masses
6Velocitat d'escapament
7Marees
✓Reptes

PAS 1

La força que fa caure la poma és la que sosté la Lluna?

A la lliçó de Moviment circular, en el pas de la força centrípeta, vam veure que la Lluna només fa la corba al voltant de la Terra perquè alguna força l'estira cap al centre, i vam avançar que aquesta força és la gravetat. Ara mirarem de prop la llei que Newton va proposar per a aquesta força, la llei de la gravitació universal.

Dos cossos qualssevol s'atreuen amb una força proporcional al producte de les masses i inversament proporcional al quadrat de la distància entre els centres. Com que la constant \(G\) és minúscula, l'atracció entre dos objectes de la vida quotidiana tendeix a passar desapercebuda, i només es fa gran quan almenys una de les masses té la mida d'un planeta.

Newton va posar a prova la idea amb un càlcul famós. La Lluna és a uns 60 radis terrestres del centre de la Terra i, si la llei és vàlida, la gravetat allà ha de ser \(60^2 = 3600\) vegades més feble que aquí. En 1 s la poma cau 4,9 m, i la Lluna hauria de caure cap a la Terra 3600 vegades menys, poc més d'1 mm, que és justament la desviació que exigeix l'òrbita observada.

La força apareix per parelles, com diu la 3a llei de Newton. La poma estira la Terra amb la mateixa intensitat amb què la Terra estira la poma, i si no veiem la Terra pujar a trobar-la és perquè, amb una massa tan gran, l'acceleració de la Terra és pràcticament nul·la.

\(F = \dfrac{G\,M\,m}{d^2}\)\(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)\(d\) és la distància entre els centres dels cossos. En tota la lliçó fem servir \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), la massa de la Terra \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\) i el radi de la Terra \(R_T = 6400\ \text{km}\). A la simulació, les mides i les distàncies no són a escala, i \(d_0\) és la distància inicial de cada escenari.

força gravitatòria sobre cada cos

Per comentar

Amb les esferes, dobla la distància i després triplica-la. La nostra primera intuïció potser és que la força baixa a la meitat i a un terç; comprova al gràfic si baixa més que això.
Dobla la massa A i després la massa B. Què passa amb la força, i amb les fletxes dels dos costats?
Tria Terra i poma i compara les dues acceleracions. Per què només sembla que es mogui la poma?
A Terra i Lluna, deixa la distància en 60 radis i compara l'acceleració de la Lluna amb els 9,8 m/s² de la poma. La raó s'acosta a 3600?

Massa A

Massa B

Distància

Força

Distància

Força comparada amb la de d₀

Acceleració d'A

Acceleració de B

Exercicis del pas 1 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Dues persones, de 60 kg i de 80 kg, seuen a 2 m l'una de l'altra. Amb quina força s'atreuen? Tracta cada persona com un punt i fes servir \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

Mostra la resolució
Per la llei de la gravitació, \(F = \dfrac{G\,m_1\,m_2}{d^2}\) \(= \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 60 \cdot 80}{2^2}\).
\(F \approx 8{,}0 \cdot 10^{-8}\ \text{N}\), una força massa petita perquè la notem.
bàsic
Dos cossos s'atreuen amb una força \(F\). Si la distància entre ells es triplica, quina passa a ser la força?

Mostra la resolució
La força és inversament proporcional al quadrat de la distància, i triplicar \(d\) divideix la força per \(3^2\).
La força passa a ser \(F/9\).
bàsic
Una poma de 0,2 kg cau de l'arbre, estirada per la Terra amb una força de 2 N. Amb quina força estira la poma la Terra? Per què no veiem la Terra pujar a trobar-la?

Mostra la resolució
Per la 3a llei de Newton, la poma estira la Terra amb una força de la mateixa intensitat, en sentit oposat.
L'acceleració de la Terra, però, és \(a = \dfrac{F}{M_T} = \dfrac{2}{6 \cdot 10^{24}}\) \(\approx 3 \cdot 10^{-25}\ \text{m/s}^2\), massa petita per a qualsevol mesura.
La poma estira la Terra amb 2 N, cap amunt, i la massa enorme de la Terra fa que la seva acceleració sigui pràcticament nul·la.
bàsic
Calcula la força amb què la Terra atreu un cos d'1 kg a la superfície. Fes servir \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), \(R_T = 6400\ \text{km}\) i \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

Mostra la resolució
Passem el radi a metres, \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\), i fem servir \(F = \dfrac{G\,M_T\,m}{R_T^2}\) \(= \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 1}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2}\).
\(F \approx 9{,}8\ \text{N}\), el pes d'1 kg que ja coneixíem.
mitjà
La Lluna és a uns 60 radis terrestres del centre de la Terra. Quantes vegades és més petita allà l'acceleració causada per la Terra que a la superfície? Quant cau la Lluna cap a la Terra en 1 s, si a la superfície un cos cau 4,9 m en aquest temps?

Mostra la resolució
L'acceleració disminueix amb el quadrat de la distància, i a 60 radis és \(60^2\) vegades més petita.
En 1 s, la caiguda també és 3600 vegades més petita, \(\dfrac{4{,}9\ \text{m}}{3600}\).
L'acceleració és 3600 vegades més petita, i la Lluna cau uns 1,4 mm cada segon.
mitjà
Calcula la força d'atracció entre la Terra i la Lluna. Fes servir \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), \(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\), \(d = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\) i \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

Mostra la resolució
A la llei de la gravitació, el numerador val \(G\,M_T\,M_L\) \(= 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}\) \(\cdot\ 7{,}4 \cdot 10^{22} \approx 2{,}97 \cdot 10^{37}\), i el denominador, \(d^2 = (3{,}84 \cdot 10^8)^2 \approx 1{,}47 \cdot 10^{17}\).
Aleshores \(F = \dfrac{2{,}97 \cdot 10^{37}}{1{,}47 \cdot 10^{17}}\).
\(F \approx 2 \cdot 10^{20}\ \text{N}\)
mitjà
Dos cossos s'atreuen amb una força \(F\). Dupliquem la massa de cadascun i també la distància entre ells. Quina és la nova força?

Mostra la resolució
Amb les noves magnituds, \(F' = \dfrac{G\,(2m_1)(2m_2)}{(2d)^2}\) \(= \dfrac{4}{4} \cdot \dfrac{G\,m_1\,m_2}{d^2}\).
La força continua sent igual a \(F\).
mitjà
Una nau viatja en línia recta de la Terra a la Lluna. En quin punt s'anul·len les atraccions de totes dues? La massa de la Terra és unes 81 vegades la de la Lluna, i la distància entre els centres és de 384 000 km.

Mostra la resolució
Si anomenem \(x\) la distància al centre de la Terra, les forces s'igualen quan \(\dfrac{G\,M_T\,m}{x^2} = \dfrac{G\,M_L\,m}{(d - x)^2}\).
Això dona \(\dfrac{x}{d - x} = \sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}} = \sqrt{81} = 9\), i aleshores \(x = \dfrac{9}{10}\,d\).
A uns 346 000 km del centre de la Terra, a nou desenes parts del camí.
repte
Newton va comprovar la llei de la gravitació amb el moviment de la Lluna, que descriu una òrbita gairebé circular de radi \(3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\) en 27,3 dies. Calcula l'acceleració centrípeta de la Lluna i compara-la amb \(g/60^2\), fent servir \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) i recordant que aquest radi és d'uns 60 radis terrestres.

Mostra la resolució
El període en segons és \(T = 27{,}3 \cdot 86\,400 \approx 2{,}36 \cdot 10^6\ \text{s}\).
L'acceleració centrípeta és \(a_c = \dfrac{4\pi^2\,r}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 \cdot 3{,}84 \cdot 10^8}{(2{,}36 \cdot 10^6)^2}\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^{-3}\ \text{m/s}^2\).
La llei de la gravitació preveu \(\dfrac{9{,}8}{3600} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-3}\ \text{m/s}^2\).
Els dos valors coincideixen, i la gravetat que fa caure la poma explica l'òrbita de la Lluna.
repte
Dues esferes de plom de 100 kg cadascuna tenen els centres a 0,5 m de distància. Calcula l'atracció entre elles i la massa d'un objecte que, a la Terra, tindria un pes igual a aquesta força. Fes servir \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
L'atracció val \(F = \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 100 \cdot 100}{0{,}5^2}\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^{-6}\ \text{N}\).
Un pes igual correspon a una massa \(m = \dfrac{F}{g} = \dfrac{2{,}7 \cdot 10^{-6}}{10}\).
\(m \approx 2{,}7 \cdot 10^{-7}\ \text{kg}\), menys d'un terç de mil·ligram, i per això Cavendish va necessitar una balança de torsió molt sensible per mesurar aquesta força.

PAS 2

Quant pesa un astronauta en un altre món?

Podem pensar la Terra com una cosa que modifica l'espai que l'envolta. A cada punt hi ha un camp gravitatori \(\vec g\), la força que la Terra faria sobre cada quilogram que hi poséssim, i el pes d'un cos és la seva massa per aquest camp.

Si dividim la llei de Newton per la massa \(m\), arribem a \(g = G\,M/r^2\). Amb les dades de la lliçó, la superfície de la Terra queda amb \(g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2\), el valor que ja fèiem servir a Cinemàtica i a Dinàmica, on gairebé sempre l'arrodoníem a 10.

La massa mesura la quantitat de matèria i la inèrcia del cos, i no canvia d'un planeta a un altre. El pes canvia amb la \(g\) del lloc, i una bàscula de bany, que mesura força i la divideix per 9,8, mostraria a Mart un nombre molt més petit que a la Terra.

\(g = \dfrac{G\,M}{r^2}\)\(P = m\,g\)\(\dfrac{g}{g_0} = \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2\)\(r = R + h\) és la distància al centre del planeta, \(R\) n'és el radi i \(g_0\), el valor a la superfície. Els valors de la taula són aproximats i surten de les masses i els radis que fa servir la simulació; el de Júpiter val a la part alta dels núvols.

g a la superfície
Astre	Massa (kg)	Radi (km)	g (m/s²)
Mercuri	3,3·10²³	2440	3,7
Venus	4,9·10²⁴	6050	8,9
Terra	6,0·10²⁴	6400	9,8
Lluna	7,4·10²²	1740	1,6
Mart	6,4·10²³	3400	3,7
Júpiter	1,9·10²⁷	71 500	24,9

A mesura que pugem, \(g\) disminueix amb el quadrat de la distància al centre. A 400 km d'altura, on vola l'Estació Espacial Internacional, encara tenim \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\), gairebé el 90% del valor a terra, cosa que potser sorprèn qui s'imaginava l'espai sense gravetat.

Per comentar

Pesa l'astronauta a la Terra, a la Lluna i a Júpiter. Què canvia en la lectura de la bàscula, i què continua igual?
Llança el coet a la Terra i segueix el gràfic. A quina altura \(g\) baixa a la meitat, i a quina altura baixa a una quarta part?
Porta el coet a 400 km, l'altura de l'ISS. Quant val \(g\) allà, comparada amb la de terra?
Compara la corba de la Lluna amb la de la Terra en els primers mil quilòmetres. En quina sembla que \(g\) baixa més de pressa, i com ho podem explicar?

Massa de la persona

Altitud

g a la superfície

g a aquesta altitud

Massa

Pes

Lectura de la bàscula

Exercicis del pas 2 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
A la Lluna, \(g \approx 1{,}6\ \text{m/s}^2\). Quin és el pes d'un astronauta de 80 kg allà, i quina és la seva massa?

Mostra la resolució
El pes és \(P = m\,g = 80 \cdot 1{,}6\), i la massa no canvia d'un lloc a un altre.
\(P = 128\ \text{N}\), i la massa continua sent de 80 kg.
bàsic
Calcula \(g\) a la superfície de la Terra amb \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\) i \(R_T = 6400\ \text{km}\).

Mostra la resolució
\(g = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2}\) \(= \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2}\) \(= \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{4{,}1 \cdot 10^{13}}\).
\(g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2\)
bàsic
Una bàscula de bany mesura la força que hi fem i mostra el resultat en quilograms, dividint per 9,8 m/s². Una persona de 70 kg puja a aquesta bàscula a Mart, on \(g \approx 3{,}7\ \text{m/s}^2\). Què mostra la bàscula? La persona s'ha aprimat?

Mostra la resolució
A Mart, la força sobre la bàscula és el pes \(P = 70 \cdot 3{,}7 = 259\ \text{N}\), i la bàscula divideix aquest valor per 9,8, \(\dfrac{259}{9{,}8}\).
La bàscula mostra uns 26 kg, i la massa continua sent de 70 kg; el que ha canviat és el pes, juntament amb la \(g\).
bàsic
A una altitud igual al radi de la Terra, la distància al centre es duplica. Quant val \(g\) allà, si a la superfície val 9,8 m/s²?

Mostra la resolució
Amb el doble de distància al centre, \(g\) baixa a \(\dfrac{1}{2^2}\) del valor de la superfície, \(\dfrac{9{,}8}{4}\).
\(g = 2{,}45\ \text{m/s}^2\)
mitjà
L'Estació Espacial Internacional vola a uns 400 km d'altura. Calcula \(g\) a aquesta altura amb les dades de la lliçó, \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(R_T = 6400\ \text{km}\), i compara-la amb el valor a la superfície, 9,8 m/s².

Mostra la resolució
La distància al centre és \(r = 6400 + 400 = 6800\ \text{km}\), i \(g = \dfrac{G\,M_T}{r^2} = \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{(6{,}8 \cdot 10^6)^2}\).
Si la comparem amb la superfície, la raó és \(\left(\dfrac{6400}{6800}\right)^2 \approx 0{,}89\).
\(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\), aproximadament el 89% del valor a terra.
mitjà
Un planeta té el doble de la massa de la Terra i el doble del radi. Quant val \(g\) a la seva superfície, si a la Terra val 9,8 m/s²?

Mostra la resolució
\(g' = \dfrac{G\,(2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{G\,M}{R^2}\).
\(g' = 4{,}9\ \text{m/s}^2\), la meitat del valor de la Terra.
mitjà
A quina altitud, per sobre de la superfície de la Terra, \(g\) val una novena part del valor a terra? Dona la resposta en quilòmetres, amb \(R_T = 6400\ \text{km}\).

Mostra la resolució
Com que \(g \propto 1/r^2\), perquè \(g\) baixi a 1/9 la distància al centre s'ha de triplicar, \(r = 3\,R_T\).
L'altitud és \(h = r - R_T = 2\,R_T\).
\(h = 12\,800\ \text{km}\)
mitjà
Mart té una massa de \(6{,}4 \cdot 10^{23}\ \text{kg}\) i un radi de 3400 km. Calcula \(g\) a la superfície de Mart, amb \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

Mostra la resolució
\(g = \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23}}{(3{,}4 \cdot 10^6)^2}\) \(= \dfrac{4{,}29 \cdot 10^{13}}{1{,}16 \cdot 10^{13}}\).
\(g \approx 3{,}7\ \text{m/s}^2\)
repte
Henry Cavendish es va fer conegut per pesar la Terra, en mesurar \(G\) al laboratori. Mostra com, si coneixem \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) i \(R_T = 6400\ \text{km}\), calculem la massa de la Terra.

Mostra la resolució
De l'expressió del camp a la superfície, \(g = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2}\), aïllem \(M_T = \dfrac{g\,R_T^2}{G}\) \(= \dfrac{9{,}8 \cdot (6{,}4 \cdot 10^6)^2}{6{,}7 \cdot 10^{-11}}\).
\(M_T \approx 6{,}0 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\)
repte
Un planeta té la mateixa densitat que la Terra i la meitat del seu radi. Quant val \(g\) a la seva superfície, comparada amb la de la Terra? Recorda que el volum d'una esfera és \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\).

Mostra la resolució
Amb densitat \(\rho\), la massa és \(M = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3\), i aleshores \(g = \dfrac{G\,M}{R^2} = \dfrac{4}{3}\pi\,G\,\rho\,R\).
Amb la mateixa densitat, \(g\) és proporcional al radi.
La \(g\) del planeta és la meitat de la \(g\) de la Terra, uns 4,9 m/s².

PAS 3

Per què la Lluna no cau a la Terra?

També a la lliçó de Moviment circular vam llançar un satèl·lit i vam veure que, amb la velocitat adequada, fa voltes en lloc de caure. Allà la gravetat fa el paper de força centrípeta, i igualant-les arribem a la velocitat de l'òrbita circular.

Newton va imaginar el mateix amb un canó al cim d'una muntanya altíssima, per sobre de l'aire. Una bala lenta cau a prop, una de més ràpida cau més lluny i, a una certa velocitat, la superfície de la Terra es corba lluny de la bala tan de pressa com ella cau, de manera que la bala no arriba mai a terra. Un satèl·lit cau contínuament i, contínuament, no encerta la Terra.

La massa del satèl·lit se simplifica en el càlcul, i la velocitat i el període només depenen de la massa de la Terra i del radi de l'òrbita. Com més alt és el satèl·lit, més a poc a poc va i més temps triga a fer la volta, i ho podem comprovar comparant l'ISS, que completa una volta en uns 93 minuts, amb la Lluna, que en triga 27 dies.

Un cas especial és el satèl·lit geostacionari, que gira sobre l'equador, en el mateix sentit que la Terra, amb un període de 24 h. Vist des de terra, es queda quiet al cel, i per això les antenes parabòliques de televisió poden estar fixes. Segons el càlcul, el radi d'aquesta òrbita geostacionària és d'uns 42 000 km, uns 36 000 km per sobre de la superfície.

\(\dfrac{m\,v^2}{r} = \dfrac{G\,M\,m}{r^2}\)\(v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\)\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M}}\)\(r\) és el radi de l'òrbita, mesurat des del centre de la Terra, i \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\). A la simulació, la muntanya fa 400 km i suposem que no hi ha aire; a prop de la superfície real, l'aire frenaria la bala molt abans. La trajectòria es calcula pas a pas, amb passos de 5 s.

Per comentar

Dispara a 4 km/s i a 6 km/s i compara on cau la bala. Sembla que l'abast creix en la mateixa proporció que la velocitat?
Busca la velocitat de l'òrbita circular i compara-la amb \(\sqrt{G\,M/r}\) per a \(r = 6800\ \text{km}\).
Dispara a 9 km/s i a 10 km/s. On és el punt més alt de cada el·lipse, i per quin punt torna a passar sempre la bala?
Quant de temps triga la bala a fer la volta a l'òrbita circular? Compara-ho amb el període de l'ISS, d'uns 93 minuts.

Velocitat

Velocitat del tret

Velocitat circular allà

Velocitat d'escapament allà

Resultat

Període

Temps de vol

Exercicis del pas 3 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Quina seria la velocitat d'un satèl·lit en òrbita circular arran de la superfície de la Terra, si no hi hagués aire ni muntanyes? Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\).

Mostra la resolució
\(v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T}} = \sqrt{\dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}4 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{6{,}28 \cdot 10^7}\).
\(v \approx 7{,}9\ \text{km/s}\)
bàsic
Si la gravetat estira la Lluna cap a la Terra tota l'estona, per què la Lluna no cau?

Mostra la resolució
La Lluna sí que cau, en el sentit que la seva trajectòria es corba tota l'estona cap a la Terra.
Alhora, avança cap al costat a prop d'1 km/s, i la caiguda només doblega la trajectòria al voltant de la Terra, com la bala del canó de Newton a la velocitat d'òrbita.
La Lluna sempre cau i sempre falla la Terra, i la gravetat fa el paper de força centrípeta.
bàsic
Dos satèl·lits, un de 200 kg i un altre de 2000 kg, giren en la mateixa òrbita circular. Quin dels dos té el període més gran?

Mostra la resolució
Si igualem la força gravitatòria a la centrípeta, \(\dfrac{m\,v^2}{r} = \dfrac{G\,M\,m}{r^2}\), la massa \(m\) del satèl·lit se simplifica, i \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\) només depèn de \(r\) i de la massa de la Terra.
Tots dos tenen el mateix període.
bàsic
L'ISS gira a 6800 km del centre de la Terra. Calcula'n la velocitat i el període. Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

Mostra la resolució
\(v = \sqrt{\dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}8 \cdot 10^6}}\) \(\approx 7{,}69 \cdot 10^3\ \text{m/s}\).
El període és la longitud de l'òrbita dividida per la velocitat, \(T = \dfrac{2\pi\,r}{v} = \dfrac{2\pi \cdot 6{,}8 \cdot 10^6}{7{,}69 \cdot 10^3}\) \(\approx 5{,}56 \cdot 10^3\ \text{s}\).
\(v \approx 7{,}7\ \text{km/s}\) i \(T \approx 93\ \text{min}\)
mitjà
Calcula el radi de l'òrbita d'un satèl·lit geostacionari, de període 24 h, i la seva altura sobre el terra. Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\), \(R_T = 6400\ \text{km}\) i \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

Mostra la resolució
De \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\) surt \(r^3 = \dfrac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}\), amb \(T = 86\,400\ \text{s}\).
\(r^3 = \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14} \cdot (8{,}64 \cdot 10^4)^2}{4 \cdot 9{,}87}\) \(\approx 7{,}6 \cdot 10^{22}\ \text{m}^3\), i \(r = \sqrt[3]{7{,}6 \cdot 10^{22}}\).
\(r \approx 4{,}24 \cdot 10^7\ \text{m}\), uns 42 000 km des del centre, o 36 000 km per sobre del terra.
mitjà
A quina velocitat va un satèl·lit geostacionari, l'òrbita del qual té un radi d'uns 42 400 km?

Mostra la resolució
Fa una volta completa en 24 h, i \(v = \dfrac{2\pi\,r}{T} = \dfrac{2\pi \cdot 4{,}24 \cdot 10^7}{86\,400}\).
\(v \approx 3{,}1\ \text{km/s}\)
mitjà
Un satèl·lit passa a una òrbita circular de radi quatre vegades més gran. Què passa amb la seva velocitat i amb el seu període?

Mostra la resolució
Com que \(v = \sqrt{G\,M/r}\), quadruplicar \(r\) divideix \(v\) per \(\sqrt 4 = 2\).
Com que \(T \propto r^{3/2}\), el període queda multiplicat per \(4^{3/2} = 8\).
La velocitat baixa a la meitat i el període es fa 8 vegades més gran.
mitjà
Per què tots els satèl·lits geostacionaris són sobre la línia de l'equador? Un satèl·lit de període 24 h en una òrbita inclinada també es quedaria quiet al cel?

Mostra la resolució
Tota òrbita té el centre de la Terra en el seu pla, i el satèl·lit ha d'acompanyar el punt del terra que gira a sota seu.
Només els punts de l'equador giren en un cercle centrat en el centre de la Terra, i només allà el pla de l'òrbita pot coincidir amb el del moviment del terra.
En una òrbita inclinada de 24 h, el satèl·lit passaria mig dia al nord de l'equador i mig dia al sud, i dibuixaria al cel una figura en forma de vuit.
Només una òrbita equatorial, de 24 h i en el sentit de la rotació, manté el satèl·lit quiet al cel.
repte
Quantes voltes fa l'ISS al voltant de la Terra en un dia? Fes servir el període d'uns 92,6 min que hem calculat per a l'òrbita de radi 6800 km.

Mostra la resolució
Un dia té 1440 min, i el nombre de voltes és \(\dfrac{1440}{92{,}6}\).
Unes 15,5 voltes per dia, i els astronautes veuen sortir el Sol unes 15 o 16 vegades cada 24 h.
repte
El canó de Newton és al cim d'una muntanya imaginària, a 6800 km del centre de la Terra, per sobre de l'aire. La bala surt en horitzontal a 9 km/s, més de pressa que els 7,7 km/s de l'òrbita circular a aquesta altura. Descriu la trajectòria i calcula la distància màxima al centre de la Terra. Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i el fet que, en una òrbita el·líptica, l'energia per quilogram val \(-G\,M/(2a)\), on \(a\) és el semieix major.

Mostra la resolució
L'energia per quilogram en el moment del tret és \(\dfrac{v^2}{2} - \dfrac{G\,M}{r}\) \(= \dfrac{(9 \cdot 10^3)^2}{2} - \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}8 \cdot 10^6}\) \(\approx 4{,}05 \cdot 10^7 - 5{,}91 \cdot 10^7\) \(= -1{,}86 \cdot 10^7\ \text{J/kg}\).
Com que és negativa, indica una òrbita tancada, una el·lipse, amb \(a = \dfrac{G\,M}{2 \cdot 1{,}86 \cdot 10^7}\) \(\approx 1{,}08 \cdot 10^7\ \text{m}\).
El punt del tret és el perigeu, i el punt més llunyà és a \(r_a = 2a - r_p\) \(= 2{,}16 \cdot 10^7 - 6{,}8 \cdot 10^6\).
La bala descriu una el·lipse i arriba a uns \(1{,}48 \cdot 10^7\ \text{m}\) del centre, uns 8400 km per sobre del terra, i torna al cim de la muntanya a cada volta.

PAS 4

Els astronautes suren perquè no hi ha gravetat?

Les imatges de l'Estació Espacial Internacional, amb astronautes i objectes que suren, suggereixen un lloc sense gravetat. Al pas 2, però, vam veure que a 400 km d'altura \(g\) encara val uns 8,7 m/s², i és aquesta gravetat la que manté l'estació en òrbita.

La pista, com veurem, és a la bàscula. Mesura la força amb què empenyem el terra, i anomenem aquesta lectura pes aparent. Quan la cabina accelera, la bàscula ha de fer una força diferent del pes perquè la persona acompanyi la cabina, i la lectura canvia, encara que la gravetat continuï sent la mateixa.

En un ascensor en caiguda lliure, la persona, la bàscula i la cabina cauen amb la mateixa acceleració \(g\), i ningú no empeny ningú. La lectura baixa a zero, i la sensació és de surar. L'estació espacial és en aquesta mateixa situació, caient tota l'estona al voltant de la Terra, i aquest estat l'anomenem imponderabilitat.

Els avions de vol parabòlic, que es fan servir per entrenar astronautes, ho reprodueixen durant uns 20 segons cada vegada. El pilot fa que l'avió segueixi la mateixa paràbola que seguiria una pedra llançada, i a dins tot sura.

\(N - m\,g = m\,a\)\(N = m\,(g + a)\)\(a = -g \Rightarrow N = 0\)\(N\) és la força de la bàscula sobre la persona, i \(a\) és l'acceleració de la cabina, positiva cap amunt. Com les bàscules de bany, la de la simulació mostra \(N/9{,}8\) en quilograms, i l'ascensor accelera a 2 m/s² quan no és en caiguda lliure.

Per comentar

Compara les dues barres amb l'ascensor aturat i després accelerant cap amunt. Quina ha canviat?
Deixa anar la pilota amb l'ascensor aturat i després en caiguda lliure. Què sembla que fa la pilota, respecte de la cabina, en cada cas?
Tria l'estació en òrbita. La barra de la gravetat ha baixat a zero? Si no, com podem explicar que la bàscula marqui zero?
Canvia la massa de la persona durant el vol parabòlic. La lectura de la bàscula depèn de la massa?

Massa de la persona

g al lloc

Acceleració de la cabina

Força de la gravetat

Lectura de la bàscula

Exercicis del pas 4 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Una persona de 60 kg és sobre una bàscula en un ascensor aturat. Quant marca la bàscula, en newtons? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Amb l'ascensor aturat, l'acceleració és zero i \(N = m\,g = 60 \cdot 10\).
\(N = 600\ \text{N}\)
bàsic
El mateix ascensor puja accelerant a 2 m/s². Quant marca ara la bàscula?

Mostra la resolució
La resultant ha d'apuntar cap amunt, \(N - m\,g = m\,a\), i aleshores \(N = m\,(g + a) = 60 \cdot 12\).
\(N = 720\ \text{N}\), i la persona se sent més pesant.
bàsic
El cable de l'ascensor es trenca i l'ascensor cau en caiguda lliure. Quant marca la bàscula durant la caiguda, si menyspreem l'aire?

Mostra la resolució
En caiguda lliure, \(a = -g\), i \(N = m\,(g + a) = 60 \cdot (10 - 10)\).
La bàscula marca zero, perquè la persona i la bàscula cauen juntes.
bàsic
El Lucas afirma que els astronautes de l'ISS suren perquè, a 400 km d'altura, ja no hi ha gravetat. Què hi ha d'equivocat en aquesta explicació?

Mostra la resolució
A 400 km d'altura, \(g\) encara val uns 8,7 m/s², gairebé el 90% del valor a terra, i és aquesta gravetat la que manté l'estació en òrbita.
Els astronautes suren perquè ells i l'estació són junts en caiguda lliure, caient al voltant de la Terra amb la mateixa acceleració.
La gravetat hi és, i és forta; el que falta és una força de contacte, ja que res no empeny l'astronauta contra el terra.
mitjà
L'ascensor baixa accelerant a 3 m/s². Quant marca la bàscula per a la persona de 60 kg, en newtons, i què mostra una bàscula que divideix la força per 10 m/s² per donar quilograms?

Mostra la resolució
Amb l'acceleració cap avall, \(a = -3\ \text{m/s}^2\), i \(N = m\,(g + a) = 60 \cdot (10 - 3)\).
La bàscula en quilograms divideix aquesta força per 10.
\(N = 420\ \text{N}\), i la bàscula mostra 42 kg.
mitjà
En un vol parabòlic, l'avió puja amb una velocitat vertical de 100 m/s quan el pilot comença a ajustar els motors només per compensar l'aire, i l'avió continua en caiguda lliure fins que la velocitat vertical és de 100 m/s cap avall. Quant dura la imponderabilitat? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
En caiguda lliure, la velocitat vertical passa de \(+100\) a \(-100\ \text{m/s}\), una variació de 200 m/s, a raó de 10 m/s cada segon, i \(\Delta t = \dfrac{200}{10}\).
\(\Delta t = 20\ \text{s}\) d'imponderabilitat.
mitjà
L'ascensor baixa amb una velocitat constant de 5 m/s. Quant marca la bàscula per a la persona de 60 kg?

Mostra la resolució
Amb velocitat constant l'acceleració és zero, i la bàscula només ha d'equilibrar el pes, \(N = m\,g = 60 \cdot 10\).
\(N = 600\ \text{N}\), la mateixa lectura que amb l'ascensor aturat.
mitjà
Dins de l'ISS, l'astronauta Helena deixa anar un bolígraf davant de la cara. Què veu? I què veuria algú que observés l'escena des de fora, en repòs respecte del centre de la Terra?

Mostra la resolució
El bolígraf, l'astronauta i l'estació cauen junts al voltant de la Terra, amb la mateixa acceleració.
Respecte de la Helena, el bolígraf es queda quiet a l'aire, surant.
Per a qui observa des de fora, el bolígraf segueix la mateixa òrbita que l'estació, a uns 7,7 km/s, caient al voltant de la Terra.
Dins de l'estació el bolígraf sura, i des de fora orbita la Terra juntament amb l'estació.
repte
Per crear una gravetat artificial, una estació espacial en forma de roda gira al voltant del seu eix. Amb un radi de 50 m, quina ha de ser la velocitat angular perquè un astronauta a la vora senti una acceleració de 10 m/s²? Quant de temps triga cada volta?

Mostra la resolució
El terra de la vora empeny l'astronauta cap al centre i fa el paper de la força centrípeta, amb \(a_c = \omega^2\,r\).
Aleshores \(\omega = \sqrt{a_c/r} = \sqrt{10/50}\), i el període és \(T = 2\pi/\omega\).
\(\omega \approx 0{,}45\ \text{rad/s}\), una volta cada 14 s.
repte
En un ascensor, la bàscula marca 480 N per a una persona de 60 kg. Quina és l'acceleració de l'ascensor? Es pot saber si puja o si baixa? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
De \(N = m\,(g + a)\) surt \(a = \dfrac{N}{m} - g = \dfrac{480}{60} - 10\).
Una acceleració cap avall apareix tant en un ascensor que baixa cada vegada més de pressa com en un que puja i va frenant.
\(a = -2\ \text{m/s}^2\), o 2 m/s² cap avall, i la bàscula tota sola no diu si l'ascensor puja o baixa.

PAS 5

Com es pesa Júpiter sense sortir de la Terra?

A la lliçó de Moviment circular, en el pas de les lleis de Kepler, vam conèixer les tres lleis que Kepler va treure de les observacions, entre elles la tercera, \(T^2/a^3 = \text{constant}\). Ara podem mostrar d'on surt, perquè, si elevem al quadrat la fórmula del període de l'òrbita circular, trobem \(T^2/r^3 = 4\pi^2/(G\,M)\).

El càlcul diu més del que sabia Kepler. La constant només depèn de la massa \(M\) del cos central i val per a tots els satèl·lits que hi giren al voltant, sigui quina sigui la massa de cadascun. Les llunes de Júpiter tenen una constant, els planetes al voltant del Sol en tenen una altra i els satèl·lits artificials de la Terra, una tercera.

Així guanyem una balança astronòmica. Si mesurem el radi i el període d'una sola lluna, calculem la massa del planeta, i d'aquesta manera es va obtenir la massa de Júpiter, la de la Terra, a partir de la Lluna, i la del Sol, a partir de la mateixa Terra.

\(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M}\)\(M = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\)\(r_p\,v_p = r_a\,v_a\)En les òrbites el·líptiques, \(r\) se substitueix pel semieix major \(a\). L'última relació val entre el periheli (\(p\)) i l'afeli (\(a\)), els punts on la velocitat és perpendicular al radi. Els radis i els períodes de la simulació són valors aproximats, i la recta s'ajusta als punts pel mètode dels mínims quadrats.

La segona llei, la de les àrees, també té una lectura nova. Equival a la conservació del moment angular, i al periheli i a l'afeli el producte de la distància per la velocitat és el mateix. El planeta accelera quan s'acosta al Sol, estirat endavant per la mateixa gravetat, i desaccelera quan se n'allunya.

A la simulació, cada satèl·lit es converteix en un punt del gràfic de \(T^2\) en funció de \(r^3\). Si la teoria és correcta, els punts han de quedar, aproximadament, sobre una recta que passa per l'origen, i el pendent d'aquesta recta, \(4\pi^2/(G\,M)\), ens dona la massa central.

Per comentar

Amb les llunes de Júpiter, comprova si els quatre punts queden sobre la mateixa recta. Quina massa calcula la simulació per a Júpiter?
Mou el cos nou lluny i a prop. Quantes vegades sembla que augmenta el període quan el radi es duplica?
Canvia als satèl·lits de la Terra i després als planetes. El pendent de la recta canvia? Per què?
Als satèl·lits de la Terra, porta el cos nou tan a prop com puguis. Es pot arribar a una volta per hora?

Radi del cos nou

Massa central calculada

T²/r³

Radi del cos nou

Període del cos nou

Velocitat del cos nou

Exercicis del pas 5 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
El satèl·lit B gira al voltant de la Terra en una òrbita de radi quatre vegades més gran que la del satèl·lit A. Quantes vegades és més gran el període de B que el d'A?

Mostra la resolució
Per la 3a llei, \(T^2 \propto r^3\), i \(\dfrac{T_B}{T_A} = \left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)^{3/2} = 4^{3/2}\).
El període de B és 8 vegades el d'A.
bàsic
La raó \(T^2/r^3\) calculada per a la Lluna, al voltant de la Terra, és igual que la calculada per a la Terra, al voltant del Sol? Per què?

Mostra la resolució
La raó val \(\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\), on \(M\) és la massa del cos central.
Per a la Lluna, el cos central és la Terra; per a la Terra, és el Sol, que té una massa unes 330 mil vegades més gran.
Les raons són diferents, perquè cadascuna depèn de la massa del cos al voltant del qual es gira.
bàsic
La Terra passa més a prop del Sol a principis de gener, al periheli, i més lluny a principis de juliol, a l'afeli. En quin dels dos mesos va més de pressa en l'òrbita?

Mostra la resolució
Per la 2a llei, la línia Sol–Terra escombra àrees iguals en temps iguals, cosa que equival a \(r\,v\) constant en aquests dos punts.
Amb una \(r\) més petita, la velocitat ha de ser més gran.
Al gener, al periheli.
bàsic
Mart gira al voltant del Sol a 1,52 ua. Quant dura l'any marcià, en anys terrestres? Fes servir \(T^2 = r^3\), amb \(T\) en anys i \(r\) en ua.

Mostra la resolució
\(T = \sqrt{r^3} = \sqrt{1{,}52^3} = \sqrt{3{,}51}\).
\(T \approx 1{,}87\) anys terrestres, aproximadament 1 any i 10 mesos.
mitjà
La Lluna fa una volta al voltant de la Terra en 27,3 dies, en una òrbita de radi \(3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\). Calcula la massa de la Terra. Fes servir \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) i \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

Mostra la resolució
El període en segons és \(T = 27{,}3 \cdot 86\,400 \approx 2{,}36 \cdot 10^6\ \text{s}\).
\(M = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 9{,}87 \cdot (3{,}84 \cdot 10^8)^3}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot (2{,}36 \cdot 10^6)^2}\).
\(M \approx 6{,}0 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), el mateix valor que vam obtenir de \(g\) i de \(R_T\) al pas 2.
mitjà
La Terra gira al voltant del Sol a \(1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}\), amb un període d'un any, \(3{,}15 \cdot 10^7\ \text{s}\). Calcula la massa del Sol, amb \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) i \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

Mostra la resolució
\(M_S = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 9{,}87 \cdot (1{,}5 \cdot 10^{11})^3}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot (3{,}15 \cdot 10^7)^2}\).
\(M_S \approx 2{,}0 \cdot 10^{30}\ \text{kg}\)
mitjà
Al periheli, la Terra és a 147 milions de km del Sol; a l'afeli, és a 152 milions de km i va a 29,3 km/s. Quina és la seva velocitat al periheli?

Mostra la resolució
En tots dos punts la velocitat és perpendicular al radi, i la 2a llei de Kepler dona \(r_p\,v_p = r_a\,v_a\), o \(v_p = \dfrac{152 \cdot 29{,}3}{147}\).
\(v_p \approx 30{,}3\ \text{km/s}\)
mitjà
Io, una de les llunes de Júpiter, té una òrbita de radi \(4{,}22 \cdot 10^8\ \text{m}\) i un període d'1,77 dies. Calcula la massa de Júpiter, amb \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) i \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

Mostra la resolució
En segons, \(T = 1{,}77 \cdot 86\,400 \approx 1{,}53 \cdot 10^5\ \text{s}\).
\(M_J = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 9{,}87 \cdot (4{,}22 \cdot 10^8)^3}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot (1{,}53 \cdot 10^5)^2}\).
\(M_J \approx 1{,}9 \cdot 10^{27}\ \text{kg}\), més de 300 vegades la massa de la Terra.
repte
És possible que un satèl·lit faci una volta a la Terra cada hora? Calcula el període més curt possible, el d'una òrbita arran de la superfície, i treu-ne una conclusió. Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\).

Mostra la resolució
\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R_T^3}{G\,M_T}}\) \(= 2\pi\sqrt{\dfrac{(6{,}4 \cdot 10^6)^3}{4{,}02 \cdot 10^{14}}}\) \(\approx 5{,}07 \cdot 10^3\ \text{s}\).
Un període més curt exigiria un radi més petit que el de la Terra, perquè \(T\) creix amb \(r\).
No és possible, perquè cap satèl·lit de la Terra no fa la volta en menys d'uns 85 minuts.
repte
El cometa Halley torna cada 76 anys i, al periheli, passa a 0,59 ua del Sol. Calcula el semieix major de l'òrbita i la distància de l'afeli. Fes servir \(T^2 = a^3\), amb \(T\) en anys i \(a\) en ua, i recorda que l'eix major mesura \(r_p + r_a = 2a\).

Mostra la resolució
El semieix major és \(a = T^{2/3} = 76^{2/3} = \sqrt[3]{5776}\).
L'afeli és a \(r_a = 2a - r_p \approx 35{,}9 - 0{,}59\).
\(a \approx 17{,}9\ \text{ua}\), i l'afeli és a unes 35 ua, més enllà de l'òrbita de Neptú.

PAS 6

A quina velocitat ens escapem de la Terra?

Quan un cos puja, canvia energia cinètica per energia potencial gravitatòria. A prop de terra fèiem servir \(E_p = m\,g\,h\), però aquesta fórmula suposa \(g\) constant, i per a altures comparables al radi de la Terra necessitem l'expressió general, \(E_p = -G\,M\,m/r\).

El signe negatiu potser incomoda a primera vista. Triem el zero de l'energia potencial a l'infinit, on l'atracció desapareix, i, com que la gravetat estira cap endins, qualsevol punt més a prop del planeta té una energia més petita que allà. D'aquí ve el valor negatiu, que s'acosta a zero a mesura que \(r\) augmenta. El gràfic d'aquesta energia recorda un pou, i treballarem amb aquesta imatge.

Si l'energia total \(E_c + E_p\) és negativa, el cos puja fins a un punt de retorn i torna a caure. Si és zero o positiva, se'n va per sempre. La velocitat de llançament més petita que fa zero l'energia total és la velocitat d'escapament, que a la Terra val uns 11,2 km/s, si menyspreem l'aire.

\(E_p = -\dfrac{G\,M\,m}{r}\)\(\dfrac{m\,v_e^2}{2} - \dfrac{G\,M\,m}{R} = 0\)\(v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}\)\(R\) és el radi del planeta, i la velocitat d'escapament no depèn de la massa del projectil. A la simulació, menyspreem l'aire i la rotació del planeta, la columna de l'esquerra arriba fins a 6 radis i l'eix del pou, fins a 10.

A la Lluna, la velocitat d'escapament és de només 2,4 km/s. Les molècules d'un gas s'agiten amb velocitats que, de mitjana, queden per sota d'aquest valor, però una part d'elles és molt més ràpida, i al llarg de milers de milions d'anys aquestes molècules s'haurien escapat. Aquesta és, probablement, la raó principal que la Lluna gairebé no tingui atmosfera.

Si comprimíssim una massa en un radi prou petit, la velocitat d'escapament superaria la velocitat de la llum, i ni tan sols la llum en sortiria. Aquesta és la idea d'un forat negre, que la teoria d'Einstein descriu amb més cura que el nostre càlcul.

Per comentar

A la Terra, llança a 5 km/s i a 8 km/s. On toca el pou la línia de l'energia total, i a quina altura s'atura el projectil?
Prem el botó de la velocitat d'escapament. Què passa amb la línia de l'energia total respecte del zero?
Compara les velocitats d'escapament de la Terra, la Lluna i Mart. Quin d'aquests astres reté millor una atmosfera?
A 8 km/s, el projectil puja uns 6700 km. Quant donaria \(v^2/(2g)\), amb \(g\) constant, i com podem explicar la diferència?

Velocitat de llançament

Velocitat d'escapament

Energia total per kg

Altura màxima prevista

Altura ara

Velocitat ara

Exercicis del pas 6 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Calcula la velocitat d'escapament de la Terra amb \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\), menyspreant l'aire.

Mostra la resolució
\(v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{R_T}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}4 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{1{,}26 \cdot 10^8}\).
\(v_e \approx 11{,}2\ \text{km/s}\)
bàsic
Per què l'energia potencial gravitatòria \(E_p = -G\,M\,m/r\) és negativa? Augmenta o disminueix quan el cos s'allunya de la Terra?

Mostra la resolució
Triem el zero de l'energia potencial a l'infinit, on l'atracció desapareix.
Per portar un cos des de prop de la Terra fins allà, hem de subministrar energia, i aleshores qualsevol punt a una distància finita té una energia més petita que zero.
És negativa per l'elecció del zero a l'infinit, i augmenta, acostant-se a zero, a mesura que el cos s'allunya.
bàsic
Un camió i una boleta de vidre necessitarien la mateixa velocitat per escapar de la Terra? I la mateixa energia?

Mostra la resolució
En el càlcul de la velocitat d'escapament, \(\dfrac{m\,v_e^2}{2} = \dfrac{G\,M\,m}{R}\), la massa \(m\) se simplifica, i \(v_e\) no en depèn.
L'energia necessària, \(G\,M\,m/R\), és proporcional a la massa.
La velocitat és la mateixa, 11,2 km/s, i el camió necessita molta més energia.
bàsic
Un satèl·lit de 1000 kg és a 12 800 km del centre de la Terra. Quina és la seva energia potencial gravitatòria? Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

Mostra la resolució
\(E_p = -\dfrac{G\,M_T\,m}{r}\) \(= -\dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14} \cdot 1000}{1{,}28 \cdot 10^7}\).
\(E_p \approx -3{,}1 \cdot 10^{10}\ \text{J}\)
mitjà
La Lluna té una massa de \(7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) i un radi de 1740 km. Calcula la velocitat d'escapament de la Lluna, amb \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

Mostra la resolució
\(v_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}4 \cdot 10^{22}}{1{,}74 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{5{,}7 \cdot 10^6}\).
\(v_e \approx 2{,}4\ \text{km/s}\), poc més d'una cinquena part de la velocitat d'escapament de la Terra.
mitjà
Quanta energia cal per portar un satèl·lit de 1000 kg des de la superfície de la Terra fins a 400 km d'altura, sense comptar l'energia cinètica de l'òrbita? Compara-la amb \(m\,g\,h\), fent servir \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

Mostra la resolució
La variació de l'energia potencial és \(\Delta E_p = G\,M\,m\left(\dfrac{1}{R_T} - \dfrac{1}{r}\right)\), i el parèntesi val \(\dfrac{1}{6{,}4 \cdot 10^6} - \dfrac{1}{6{,}8 \cdot 10^6}\) \(\approx 9{,}2 \cdot 10^{-9}\ \text{m}^{-1}\), de manera que \(\Delta E_p = 4{,}02 \cdot 10^{17} \cdot 9{,}2 \cdot 10^{-9}\).
Amb \(g\) constant, \(m\,g\,h = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 4 \cdot 10^5\) \(\approx 3{,}9 \cdot 10^9\ \text{J}\), una mica més, perquè en realitat \(g\) disminueix amb l'altura.
Uns \(3{,}7 \cdot 10^9\ \text{J}\), aproximadament un 6% menys que \(m\,g\,h\).
mitjà
Es llança un projectil verticalment des de la superfície de la Terra a 5 km/s, sense aire. Fins a quina altura puja? Compara-la amb \(v^2/(2g)\), que suposa \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) constant. Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\).

Mostra la resolució
Per la conservació de l'energia, \(\dfrac{v^2}{2} - \dfrac{G\,M}{R_T} = -\dfrac{G\,M}{r_{\text{màx}}}\), i \(\dfrac{G\,M}{r_{\text{màx}}} = 6{,}28 \cdot 10^7 - 1{,}25 \cdot 10^7\) \(= 5{,}03 \cdot 10^7\ \text{J/kg}\).
Aleshores \(r_{\text{màx}} = \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{5{,}03 \cdot 10^7} \approx 7{,}99 \cdot 10^6\ \text{m}\), i l'altura és \(r_{\text{màx}} - R_T\).
Amb \(g\) constant, donaria \(\dfrac{(5 \cdot 10^3)^2}{2 \cdot 9{,}8} \approx 1{,}28 \cdot 10^6\ \text{m}\).
Uns 1590 km, bastant més que els 1280 km del càlcul amb \(g\) constant, perquè la gravetat s'afebleix durant la pujada.
mitjà
La Terra té atmosfera i la Lluna, pràcticament gens. Explica la diferència fent servir la velocitat d'escapament.

Mostra la resolució
Les molècules d'un gas s'agiten en totes direccions, i una part d'elles, encara que petita, va molt més de pressa que la mitjana.
A la Lluna, la velocitat d'escapament és de només 2,4 km/s, i al llarg de milers de milions d'anys aquestes molècules més ràpides s'han anat escapant, mentre que la Terra, amb 11,2 km/s, reté la major part del seu aire.
La gravetat feble de la Lluna no reté un gas durant milers de milions d'anys, i l'atmosfera que hagi pogut tenir s'ha escapat.
repte
Fins a quin radi hauríem de comprimir la Terra, mantenint-ne la massa, perquè la velocitat d'escapament a la superfície fos igual a la de la llum, \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)? Fes servir la fórmula newtoniana, que en aquest cas coincideix amb la de la relativitat, i \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

Mostra la resolució
Si fem \(v_e = c\) a \(v_e = \sqrt{2\,G\,M/R}\), tenim \(R = \dfrac{2\,G\,M}{c^2}\) \(= \dfrac{2 \cdot 4{,}02 \cdot 10^{14}}{9 \cdot 10^{16}}\).
\(R \approx 9 \cdot 10^{-3}\ \text{m}\), menys d'1 cm, la mida d'una boleta de vidre.
repte
Un satèl·lit de massa \(m\) és en òrbita circular de radi \(r\). Mostra que la seva energia cinètica val \(G\,M\,m/(2r)\) i l'energia mecànica total, \(-G\,M\,m/(2r)\). Quant falta, en velocitat, perquè un objecte a l'òrbita de l'ISS, amb \(r = 6800\ \text{km}\) i \(v = 7{,}7\ \text{km/s}\), s'escapi de la Terra?

Mostra la resolució
De l'òrbita circular, \(m\,v^2 = G\,M\,m/r\), i aleshores \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2} = \dfrac{G\,M\,m}{2r}\).
Si hi sumem l'energia potencial, \(E = \dfrac{G\,M\,m}{2r} - \dfrac{G\,M\,m}{r}\) \(= -\dfrac{G\,M\,m}{2r}\).
Per escapar d'allà, l'energia ha d'arribar a zero, cosa que demana \(v_e = \sqrt{2}\,v\) \(\approx 1{,}41 \cdot 7{,}7 \approx 10{,}9\ \text{km/s}\).
Falten uns 3,2 km/s, sumats en la direcció del moviment.

PAS 7

Per què el mar puja dues vegades al dia?

Qui passa un dia a la platja veu el mar pujar i baixar, i els pescadors saben que hi ha, en general, dues marees altes al dia, separades per poc més de 12 hores. La principal responsable és la Lluna, i el que importa aquí és que la seva atracció té intensitats diferents en punts diferents de la Terra.

El costat de la Terra que mira cap a la Lluna n'és més a prop i és estirat amb més força que el centre, i el centre és estirat amb més força que el costat oposat. Si ho mirem des del centre de la Terra, és com si l'oceà s'estirés en les dues direccions i formés dues protuberàncies, una de cara a la Lluna i una altra al costat contrari. La Terra gira per sota d'elles, i cada port passa per dues marees altes a cada volta.

Aquesta diferència l'anomenem força de marea. Disminueix amb el cub de la distància, més de pressa que la mateixa gravetat, i per això el Sol, que estira la Terra amb una força unes 180 vegades més gran que la de la Lluna, produeix marees amb menys de la meitat de la intensitat de les lunars.

Amb lluna nova i amb lluna plena, el Sol, la Terra i la Lluna queden alineats, els dos efectes se sumen i tenim les marees vives, o de sizígia, de més amplitud. En el quart creixent i en el quart minvant, el Sol i la Lluna estiren en direccions perpendiculars, i les marees mortes, o de quadratura, són més febles.

\(a_{\text{marea}} \approx \dfrac{2\,G\,M_L\,R_T}{d^3}\)\(\dfrac{\text{marea del Sol}}{\text{marea de la Lluna}} \approx 0{,}45\)\(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) és la massa de la Lluna i \(d\), la distància entre els centres. A la simulació, la deformació de l'oceà és molt exagerada i les distàncies no són a escala, i cada dia dura 10 s. Ignorem els continents i el fregament de l'aigua, que endarrereixen i deformen les marees reals.

força de marea, vista des del centre de la Terra

Per comentar

Atura la Lluna i segueix el port durant un dia. Quantes marees altes apareixen al gràfic?
Posa la Lluna en moviment. L'interval entre dues marees altes continua sent de 12 h?
Passa de la lluna nova al quart creixent. Com canvia la diferència entre la marea alta i la baixa?
Observa les fletxes del costat oposat a la Lluna. Com podem explicar que apuntin lluny d'ella?

Posició de la Lluna

Fase de la Lluna

Tipus de marea

Amplitud (Lluna sola = 1)

Dues marees altes cada

Exercicis del pas 7 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Quantes marees altes hi ha al dia en un port, i quin és, aproximadament, l'interval entre dues?

Mostra la resolució
La Lluna deixa l'oceà amb dues protuberàncies, una de cara a ella i una altra al costat oposat, i la Terra gira per sota de totes dues.
Com que la Lluna també avança en l'òrbita, la Terra necessita unes 24 h 50 min per tornar a la mateixa posició respecte d'ella.
Dues marees altes al dia, separades per unes 12 h 25 min.
bàsic
En quines fases de la Lluna hi ha marees vives, les de més amplitud, i per què?

Mostra la resolució
Amb lluna nova i amb lluna plena, el Sol, la Terra i la Lluna queden alineats.
Les protuberàncies causades pel Sol i per la Lluna apunten en la mateixa direcció i se sumen.
Amb lluna nova i amb lluna plena, quan els efectes del Sol i de la Lluna se sumen.
bàsic
I les marees mortes, de menys amplitud, en quines fases es produeixen?

Mostra la resolució
En el quart creixent i en el quart minvant, la direcció de la Lluna és perpendicular a la del Sol, vista des de la Terra.
La protuberància causada pel Sol queda on la Lluna produeix marea baixa, i l'una compensa part de l'altra.
En el quart creixent i en el quart minvant.
bàsic
Si la Lluna estira l'aigua cap al seu costat, per què també hi ha marea alta al costat de la Terra oposat a la Lluna?

Mostra la resolució
La Lluna estira el centre de la Terra amb més força que l'aigua del costat oposat, que és més lluny.
Vist des del centre de la Terra, és com si aquesta aigua es quedés enrere, allunyant-se de la Lluna.
La marea alta del costat oposat apareix perquè la Terra és estirada lluny de l'aigua d'aquest costat, i el que compta és la diferència entre les atraccions.
mitjà
Calcula la diferència entre l'acceleració que la Lluna causa en el punt de la Terra més proper a ella i en el centre de la Terra, fent servir l'aproximació \(a_{\text{marea}} \approx 2\,G\,M_L\,R_T/d^3\). Dades: \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\), \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\) i \(d = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\).

Mostra la resolució
El numerador és \(2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}4 \cdot 10^{22} \cdot 6{,}4 \cdot 10^6\) \(\approx 6{,}35 \cdot 10^{19}\), i el denominador, \((3{,}84 \cdot 10^8)^3 \approx 5{,}66 \cdot 10^{25}\).
L'acceleració de marea és la raó entre tots dos.
\(a_{\text{marea}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{-6}\ \text{m/s}^2\), aproximadament una deumilionèsima part de \(g\).
mitjà
Les marees altes d'un port arriben, de mitjana, uns 50 minuts més tard cada dia. Explica aquest retard sabent que la Lluna fa una volta completa al cel, respecte del Sol, cada 29,5 dies.

Mostra la resolució
Mentre la Terra gira una vegada, la Lluna avança en l'òrbita, en el mateix sentit, uns \(\dfrac{360^\circ}{29{,}5} \approx 12{,}2^\circ\).
La Terra gira \(15^\circ\) per hora i necessita \(\dfrac{12{,}2}{15}\ \text{h}\) més per atrapar la Lluna.
Unes 0,81 h, o 49 min per dia, perquè la Lluna avança en l'òrbita mentre la Terra gira.
mitjà
El Sol estira la Terra amb una força unes 180 vegades més gran que la de la Lluna, i tot i així les marees solars són més febles que les lunars. Calcula la raó entre els efectes de marea del Sol i de la Lluna, que depèn de \(M/d^3\). Fes servir \(M_S = 2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}\), \(d_S = 1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}\), \(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) i \(d_L = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\).

Mostra la resolució
La raó és \(\dfrac{M_S}{M_L}\left(\dfrac{d_L}{d_S}\right)^3\) \(= \dfrac{2 \cdot 10^{30}}{7{,}4 \cdot 10^{22}} \cdot \left(\dfrac{3{,}84 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^{11}}\right)^3\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^7 \cdot 1{,}68 \cdot 10^{-8}\).
L'efecte de marea del Sol és aproximadament 0,45 el de la Lluna, menys de la meitat, perquè depèn del cub de la distància.
mitjà
Amb l'efecte de marea del Sol igual a 0,45 el de la Lluna, estima la raó entre l'amplitud de les marees vives i la de les marees mortes.

Mostra la resolució
A la sizígia els efectes se sumen, \(1 + 0{,}45 = 1{,}45\), i a la quadratura l'un descompta l'altre, \(1 - 0{,}45 = 0{,}55\).
La raó és \(\dfrac{1{,}45}{0{,}55}\).
Les marees vives són unes 2,6 vegades més àmplies que les mortes.
repte
Si la Lluna fos a la meitat de la distància actual, quantes vegades més intenses serien les marees lunars? I quantes vegades més gran seria la força amb què la Lluna estira la Terra?

Mostra la resolució
L'efecte de marea és proporcional a \(1/d^3\), i amb la meitat de la distància es fa \(2^3\) vegades més gran.
La força gravitatòria és proporcional a \(1/d^2\) i es fa \(2^2\) vegades més gran.
Marees 8 vegades més intenses i una força 4 vegades més gran.
repte
La Terra també causa marees a la Lluna. Calcula l'efecte de marea de la Terra sobre la Lluna, \(2\,G\,M_T\,R_L/d^3\), amb \(R_L = 1{,}74 \cdot 10^6\ \text{m}\), i compara'l amb el de la Lluna sobre la Terra, \(1{,}1 \cdot 10^{-6}\ \text{m/s}^2\). Fes servir \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(d = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\).

Mostra la resolució
\(a = \dfrac{2 \cdot 4{,}02 \cdot 10^{14} \cdot 1{,}74 \cdot 10^6}{(3{,}84 \cdot 10^8)^3}\) \(= \dfrac{1{,}40 \cdot 10^{21}}{5{,}66 \cdot 10^{25}}\) \(\approx 2{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{m/s}^2\).
Si ho dividim per l'efecte de la Lluna sobre la Terra, \(\dfrac{2{,}5 \cdot 10^{-5}}{1{,}1 \cdot 10^{-6}}\).
Les marees que la Terra provoca a la Lluna són unes 22 vegades més fortes, i al llarg de milions d'anys aquest esforç va frenar la rotació de la Lluna, que avui ens mostra sempre la mateixa cara.

TANCAMENT

Reptes

Llei de la gravitació

El Sol té una massa de \(2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}\) i és a \(1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}\) de la Terra; la Lluna té \(7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) i és a \(3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\). Quantes vegades estira el Sol la Terra amb més força que la Lluna?

Mostra la resolució

La raó entre les forces és \(\dfrac{M_S}{M_L}\left(\dfrac{d_L}{d_S}\right)^2\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^7 \cdot 6{,}55 \cdot 10^{-6}\).
El Sol estira la Terra amb una força unes 180 vegades més gran que la de la Lluna, i és al seu voltant que gira la Terra.

Camp gravitatori

A quina altitud el pes d'un cos és un 1% més petit que a la superfície de la Terra? Fes servir \(R_T = 6400\ \text{km}\).

Mostra la resolució

Volem \(\left(\dfrac{R_T}{R_T + h}\right)^2 = 0{,}99\), i aleshores \(\dfrac{R_T + h}{R_T} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}99}}\) \(\approx 1{,}005\).
L'altitud és \(h \approx 0{,}005 \cdot 6400\), uns 32 km, gairebé quatre vegades l'altura de l'Everest.

Òrbites

Els satèl·lits del GPS fan dues voltes al dia, amb un període de 12 h. Si l'òrbita geostacionària, de 24 h, té un radi de 42 400 km, quin és el radi de l'òrbita del GPS?

Mostra la resolució

Per la 3a llei, \(r \propto T^{2/3}\), i \(r_{\text{GPS}} = 42\,400 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2/3}\) \(\approx 42\,400 \cdot 0{,}63\).
El radi és d'uns 26 700 km, uns 20 000 km per sobre del terra.

Imponderabilitat

Una astronauta de 70 kg és a l'ISS, on \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\). Quina és la força gravitatòria sobre ella, i quant marca una bàscula fixada al terra de l'estació?

Mostra la resolució

La força de la gravetat és \(P = m\,g = 70 \cdot 8{,}7\), uns 610 N.
La bàscula marca zero, perquè l'astronauta i l'estació cauen juntes al voltant de la Terra i res no empeny l'una contra l'altra.

Lleis de Kepler

Si la Lluna girés al voltant de la Terra a la meitat de la distància actual, quin seria el seu període? Avui és de 27,3 dies.

Mostra la resolució

Per la 3a llei, \(T \propto r^{3/2}\), i \(T' = 27{,}3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/2}\) \(\approx 27{,}3 \cdot 0{,}354\).
El nou període seria d'uns 9,7 dies.

Velocitat d'escapament

Mart té una massa de \(6{,}4 \cdot 10^{23}\ \text{kg}\) i un radi de 3400 km. Quina és la velocitat d'escapament de Mart?

Mostra la resolució

\(v_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23}}{3{,}4 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{2{,}52 \cdot 10^7}\).
La velocitat d'escapament és d'uns 5,0 km/s, menys de la meitat de la terrestre, i una sonda que torna de Mart gasta molt menys combustible per sortir-ne del que va gastar per sortir d'aquí.

Marees

El Sol estira la Terra unes 180 vegades més fort que la Lluna i, tot i així, produeix marees més petites. Com s'explica?

Mostra la resolució

La marea depèn de la diferència entre l'atracció d'un costat de la Terra i la de l'altre, i aquesta diferència disminueix amb \(1/d^3\).
El Sol és unes 390 vegades més lluny que la Lluna, i el cub d'aquesta distància en redueix l'efecte a un 45% de l'efecte lunar.

Pensar, sense comptes

Si la Terra s'encongís fins a la meitat del radi, sense perdre massa, què passaria amb l'òrbita de la Lluna? I amb el nostre pes, a la nova superfície?

Mostra la resolució

La Lluna no notaria res, perquè la força sobre ella només depèn de la massa de la Terra i de la distància entre els centres, que no canvien.
A la nova superfície, seríem a la meitat de la distància al centre, i el nostre pes es faria quatre vegades més gran.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el format de l'ENEM, amb un text base tret d'una situació real, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall indiquem preguntes de la prova sobre gravitació, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

Camp gravitatori · Pas 2
Una agència espacial prova un robot d'exploració de 300 kg. Les seves potes aguanten, sense torçar-se, una força màxima de 1200 N contra el terra, i l'equip vol saber en quins astres s'hi podria sostenir dret sense danys. La taula dona valors aproximats de \(g\) a la superfície.

g a la superfície
Astre g (m/s²)

Lluna 1,6

Mercuri 3,7

Mart 3,7

Venus 8,9

Terra 9,8

Si suposem el robot quiet sobre el terra, en quins astres les potes n'aguanten el pes?
1. Només a la Lluna.
2. A la Lluna, a Mercuri i a Mart.
3. En tots els astres de la taula, perquè la massa del robot és la mateixa a tot arreu.
4. Només a la Terra, on el robot es va dissenyar i provar.
5. En cap, perquè 300 kg de massa corresponen sempre a 3000 N.
Mostra la resolució

Resposta: B.
El pes és \(P = m\,g\), i les potes aguanten mentre \(300\,g \le 1200\), és a dir, mentre \(g \le 4\ \text{m/s}^2\).
A la Lluna el pes és de 480 N, i a Mercuri i a Mart, de \(300 \cdot 3{,}7 = 1110\ \text{N}\), per sota del límit. A Venus i a la Terra passa de 2600 N.
La C confon massa amb pes, i la E fa servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) a qualsevol astre. La A oblida Mercuri i Mart, que queden a prop del límit, i la D no fa cap càlcul.
Òrbites · Pas 3
A casa del Teodoro, l'antena parabòlica apunta sempre al mateix punt del cel, sense cap motor per seguir el satèl·lit. El tècnic li va explicar que el satèl·lit de televisió és geostacionari, és a dir, gira sobre l'equador i fa una volta cada 24 h, acompanyant la rotació de la Terra. Suposem l'òrbita circular i fem servir \(G\,M_T = 4{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) i \(\pi^2 \approx 10\).

Quin és, aproximadament, el radi de l'òrbita d'aquest satèl·lit, mesurat des del centre de la Terra?
1. 180 km
2. 6400 km
3. 36 000 km
4. 42 000 km
5. 380 000 km
Mostra la resolució

Resposta: D.
Si igualem la gravetat a la força centrípeta, \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\), i aleshores \(r^3 = \dfrac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}\), amb \(T = 86\,400\ \text{s}\).
\(r^3 = \dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14} \cdot (8{,}64 \cdot 10^4)^2}{40}\) \(\approx 7{,}5 \cdot 10^{22}\ \text{m}^3\), i \(r \approx 4{,}2 \cdot 10^7\ \text{m}\).
La C és l'altura sobre el terra, i no el radi mesurat des del centre. La A apareix quan deixem el període en hores, la B és el radi de la mateixa Terra i la E, la distància fins a la Lluna.
Imponderabilitat · Pas 4
Un reportatge sobre l'Estació Espacial Internacional diu que els astronautes suren perquè, a 400 km d'altura, són «fora de l'abast de la gravetat de la Terra». L'estació fa una volta a la Terra cada 93 minuts, i a aquesta altura el valor de \(g\) és d'uns 8,7 m/s².

Quina afirmació explica per què els astronautes suren dins de l'estació?
1. La gravetat a 400 km d'altura és nul·la, com diu el reportatge.
2. L'atracció de la Lluna compensa la de la Terra a aquesta altura.
3. L'estació i els astronautes són junts en caiguda lliure al voltant de la Terra, i res no empeny els astronautes contra el terra.
4. Una força centrífuga anul·la la gravetat, i la força resultant sobre els astronautes és zero.
5. La falta d'aire a l'espai elimina el pes dels cossos.
Mostra la resolució

Resposta: C.
Amb \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\), la gravetat encara té gairebé el 90% del valor a terra, i és ella la que fa girar l'estació al voltant de la Terra, com a força centrípeta.
Els astronautes i l'estació cauen amb la mateixa acceleració, i la bàscula, o el terra, no ha d'empènyer ningú.
La A repeteix l'error del reportatge, i la B sobrevalora molt l'atracció de la Lluna. La D oblida que la resultant sobre els astronautes no és zero, ja que fan una corba, i la E confon la falta d'aire amb la falta de pes.
Velocitat d'escapament · Pas 6
Una empresa estudia llançar des de la superfície de la Lluna petites càpsules amb mostres de roca, fent servir un rail electromagnètic en lloc de coets. La Lluna no té aire, i la seva massa i el seu radi valen \(7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) i \(1{,}74 \cdot 10^6\ \text{m}\). Fes servir \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

Quina és la velocitat mínima amb què la càpsula ha de sortir del rail per escapar de l'atracció de la Lluna?
1. 1,6 km/s
2. 1,7 km/s
3. 2,4 km/s
4. 11,2 km/s
5. 5700 km/s
Mostra la resolució

Resposta: C.
La càpsula s'escapa quan l'energia total arriba a zero, \(\dfrac{m\,v_e^2}{2} = \dfrac{G\,M\,m}{R}\), i la seva massa se simplifica.
\(v_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}4 \cdot 10^{22}}{1{,}74 \cdot 10^6}}\) \(\approx \sqrt{5{,}7 \cdot 10^6}\ \text{m/s}\), o uns 2400 m/s.
La B oblida el factor 2 i dona la velocitat d'una òrbita rasant, i la E oblida l'arrel. La D és la velocitat d'escapament de la Terra, i la A confon la resposta amb el valor de \(g\) a la Lluna.

g a la superfície
Astre	g (m/s²)
Lluna	1,6
Mercuri	3,7
Mart	3,7
Venus	8,9
Terra	9,8

Marees · Pas 7

En un poble de pescadors, la Marilene anota la diferència entre la marea alta i la marea baixa de cada dia, en metres, juntament amb la fase de la Lluna. La taula mostra quatre registres d'un mateix mes.

Registres del mes
Dia	Fase de la Lluna	Diferència (m)
1	nova	2,6
8	quart creixent	1,0
15	plena	2,5
22	quart minvant	1,1

Quina explicació és compatible amb aquests registres?

Les marees les causa només el Sol, que és més a prop de la Terra amb lluna nova i amb lluna plena.
Amb lluna nova i amb lluna plena, el Sol i la Lluna queden alineats amb la Terra i els seus efectes de marea se sumen; en els quarts, actuen en direccions perpendiculars i l'un compensa part de l'altre.
Amb lluna plena la Lluna és més a prop de la Terra i amb lluna nova, més lluny, i per això les diferències varien.
Les marees més grans es produeixen quan la Lluna és il·luminada, perquè la llum del Sol escalfa i dilata l'aigua.
En el quart creixent i en el quart minvant, la Lluna queda a l'altre costat del Sol i la seva atracció s'anul·la.

Mostra la resolució

Resposta: B.
Les diferències grans apareixen amb lluna nova i amb lluna plena, les marees vives, i les petites, en els quarts, les marees mortes.
Si l'efecte del Sol val uns 0,45 el de la Lluna, la raó esperada és \(\dfrac{1 + 0{,}45}{1 - 0{,}45} \approx 2{,}6\), propera a \(\dfrac{2{,}6}{1{,}0}\) a la taula.
La A i la C s'inventen distàncies que no canvien d'aquesta manera al llarg del mes, i la D canvia la gravetat per la calor. La E s'equivoca en la geometria, perquè en els quarts la Lluna forma un angle recte amb el Sol, vista des de la Terra.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2009, Dia 1, quadern blau, pregunta 27. Davant del telescopi Hubble, en òrbita, un astronauta comenta que té una massa gran i un pes petit, i ens toca jutjar la frase separant massa i pes i recordant el paper de la gravetat en l'òrbita.
ENEM 2012, Dia 1, quadern blau, pregunta 74. Un registre de les posicions de Mart al cel, fet cada 10 dies, mostra un bucle, que hem d'explicar per la diferència entre les velocitats orbitals de la Terra i de Mart.
ENEM 2018, Dia 2, quadern blau, pregunta 142. A la prova de Matemàtiques, un gràfic situa tres satèl·lits per la massa i pel radi de l'òrbita, i la llei de la gravitació permet ordenar les forces que la Terra fa sobre ells.
ENEM 2022, Dia 2, quadern blau, pregunta 123. El Sol se substitueix, en pensament, per un forat negre de la mateixa massa, i la pregunta demana què passaria amb les òrbites dels planetes.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Gravitació universal\(F = G\,M\,m/d^2\)

Dades de la lliçó\(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\), \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), \(R_T = 6400\ \text{km}\)

Camp gravitatori\(g = G\,M/r^2\)

Pes\(P = m\,g\)

Bàscula en una cabina\(N = m\,(g + a)\)

Òrbita circular\(v = \sqrt{G\,M/r}\)

Període de l'òrbita\(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\)

3a llei de Kepler\(T^2/r^3 = 4\pi^2/(G\,M)\)

2a llei de Kepler\(r_p\,v_p = r_a\,v_a\)

Energia potencial\(E_p = -G\,M\,m/r\)

Velocitat d'escapament\(v_e = \sqrt{2\,G\,M/R}\)

Força de marea\(a_{\text{marea}} \approx 2\,G\,M\,R/d^3\)