Física · Secundària · Hidrostàtica

Hidrostàtica

Un vaixell d'acer que sura, l'orella que fa mal al fons de la piscina, el suc que puja per la canyeta i el fre del cotxe depenen d'unes poques idees sobre líquids i gasos en repòs. Començarem per la densitat i per la pressió, veurem com creix la pressió amb la profunditat i arribarem a l'empenyiment, que explica per què unes coses suren i d'altres s'enfonsen. En els càlculs de la lliçó fem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

1Densitat
2Pressió
3Llei de Stevin
4Pressió atmosfèrica
5Vasos comunicants
6Principi de Pascal
7Empenyiment
✓Reptes

PAS 1

Per què el gel sura i el ferro s'enfonsa?

La densitat d'un cos és la seva massa dividida pel volum que ocupa. Un quilo de plom i un quilo de cotó tenen la mateixa massa, i el plom cap en un volum moltes vegades més petit perquè és molt més dens.

Quan el cos és massís i fet d'un sol material, la densitat coincideix amb la massa específica d'aquest material. En un cos buit dividim la massa pel volum total, amb l'aire de dins, i per això una esfera d'acer buida pot tenir una densitat molt més petita que la de l'acer.

Per mesurar el volum d'una pedra de forma irregular, podem submergir-la en un recipient graduat i veure quant puja el nivell de l'aigua. Un cos sura en l'aigua quan és menys dens que ella, i és el cas del gel, que ocupa més espai que l'aigua que l'ha format.

\(d = \dfrac{m}{V}\)\(1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3\)\(1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3\)Valors típics, en g/cm³: fusta 0,6 · oli 0,9 · gel 0,92 · aigua 1,0 · alumini 2,7 · acer 7,8 · plom 11,3 · or 19,3. Un litre d'aigua té una massa d'1 kg, i un metre cúbic, d'una tona.

Per comentar

Tria el gel i submergeix el bloc al vas de precipitats. Quant puja el nivell, i aquest nombre sembla ser el volum de tot el bloc?
Ara empeny el gel amb el bastonet fins que quedi tot submergit i mira què canvia en la lectura del vas quan la part de dalt també entra a l'aigua.
Mantén el material i duplica l'aresta del cub. La nostra primera intuïció potser diu que la densitat també canvia, així que comprova què passa amb la massa, amb el volum i amb la densitat.
Tria l'acer i augmenta la part buida fins que el bloc comenci a surar. Quina relació pot tenir aquesta fracció amb un vaixell d'acer?

Aresta del cub

Part buida

Massa

Volum

Densitat

En kg/m³

Lectura del vas

Exercicis del pas 1 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un bloc de vidre té una massa de 200 g i un volum de 80 cm³. Quina és la seva densitat, i s'enfonsa o sura en l'aigua, que té una densitat de \(1{,}0\ \text{g/cm}^3\)?

Mostra la resolució
La densitat és la massa dividida pel volum, \(d = \dfrac{m}{V} = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\ \text{g/cm}^3\).
Com que \(2{,}5 > 1{,}0\), el vidre és més dens que l'aigua i s'enfonsa.
\(d = 2{,}5\ \text{g/cm}^3\), i el bloc s'enfonsa.
bàsic
L'alcohol té una densitat de \(0{,}8\ \text{g/cm}^3\). Quant és això en \(\text{kg/m}^3\)?

Mostra la resolució
Un metre cúbic té \(10^6\ \text{cm}^3\) i un quilogram té 1000 g, i per això \(1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3\).
N'hi ha prou de multiplicar per mil, \(0{,}8 \cdot 1000 = 800\ \text{kg/m}^3\).
\(800\ \text{kg/m}^3\)
bàsic
El gel sura en un got d'aigua. Què ens diu això sobre la densitat del gel, i què passa amb el volum de l'aigua quan es congela?

Mostra la resolució
Un cos sura en un líquid quan és menys dens que ell.
El gel té una densitat propera a \(0{,}92\ \text{g/cm}^3\), més petita que la de l'aigua líquida, d'\(1{,}0\ \text{g/cm}^3\).
La massa no canvia quan l'aigua es congela, i com que \(d = m/V\) disminueix, el volum ha d'augmentar.
El gel és menys dens que l'aigua, i l'aigua augmenta de volum en congelar-se.
bàsic
Quina és la massa de 2 L d'oli de cuina, que té una densitat de \(0{,}9\ \text{g/cm}^3\)? Recorda que \(1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3\).

Mostra la resolució
El volum és \(V = 2\ \text{L} = 2000\ \text{cm}^3\).
Aïllant la massa a \(d = m/V\), tenim \(m = d \cdot V = 0{,}9 \cdot 2000 = 1800\ \text{g}\).
\(m = 1800\ \text{g} = 1{,}8\ \text{kg}\)
mitjà
Una proveta té 50 mL d'aigua. Quan hi submergim una pedra de 54 g, el nivell puja fins a 70 mL. Quina és la densitat de la pedra?

Mostra la resolució
El volum de la pedra és el volum d'aigua que desplaça, \(V = 70 - 50 = 20\ \text{mL} = 20\ \text{cm}^3\).
Amb la massa mesurada a la balança, \(d = \dfrac{54}{20} = 2{,}7\ \text{g/cm}^3\).
\(d = 2{,}7\ \text{g/cm}^3\)
mitjà
Una esfera d'acer buida té una massa de 780 g i un volum exterior de 200 cm³, i la massa específica de l'acer és \(7{,}8\ \text{g/cm}^3\). Quina és la densitat de l'esfera, i quin és el volum de la part buida?

Mostra la resolució
La densitat del cos fa servir el volum total, amb l'aire de dins, \(d = \dfrac{780}{200} = 3{,}9\ \text{g/cm}^3\).
L'acer sol ocupa \(V_{\text{acer}} = \dfrac{780}{7{,}8} = 100\ \text{cm}^3\).
El que queda és la part buida, \(200 - 100 = 100\ \text{cm}^3\).
\(d = 3{,}9\ \text{g/cm}^3\), la meitat de la massa específica de l'acer, i la part buida té \(100\ \text{cm}^3\).
mitjà
Sovint sentim que «un quilo de plom pesa més que un quilo de cotó». Què hi ha d'equivocat en la frase, i quina és la diferència real entre tots dos?

Mostra la resolució
Les masses són iguals, 1 kg, i els pesos també, \(P = m\,g = 10\ \text{N}\) amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\), si negligim l'empenyiment de l'aire (que veurem al pas 7).
La diferència és en la densitat, ja que el plom, amb uns \(11{,}3\ \text{g/cm}^3\), ocupa un volum molt més petit que el cotó.
Tots dos pesen el mateix, i el plom, més dens, ocupa menys volum.
mitjà
Barregem 300 cm³ d'aigua (\(1{,}0\ \text{g/cm}^3\)) amb 200 cm³ de xarop de sucre (\(1{,}3\ \text{g/cm}^3\)). Suposant que els volums simplement se sumen, quina és la densitat de la mescla?

Mostra la resolució
La massa total és \(300 \cdot 1{,}0 + 200 \cdot 1{,}3 = 300 + 260 = 560\ \text{g}\).
Amb els volums sumats, \(V = 500\ \text{cm}^3\), i \(d = \dfrac{560}{500} = 1{,}12\ \text{g/cm}^3\).
\(d = 1{,}12\ \text{g/cm}^3\)
repte
Una corona de 1930 g ocupa 120 cm³. L'or té \(19{,}3\ \text{g/cm}^3\) i la plata, \(10{,}5\ \text{g/cm}^3\). La corona és d'or pur? Si és un aliatge d'or i plata, quanta plata conté?

Mostra la resolució
La densitat de la corona és \(d = \dfrac{1930}{120} \approx 16{,}1\ \text{g/cm}^3\), més petita que la de l'or, i per això no pot ser d'or pur.
Si anomenem \(x\) la massa de plata, els volums de les dues parts sumen 120, \(\dfrac{1930 - x}{19{,}3} + \dfrac{x}{10{,}5} = 120\).
Això dona \(100 - \dfrac{x}{19{,}3} + \dfrac{x}{10{,}5} = 120\), és a dir, \(x\left(\dfrac{1}{10{,}5} - \dfrac{1}{19{,}3}\right) = 20\).
D'aquí, \(x \approx \dfrac{20}{0{,}0434} \approx 461\ \text{g}\).
La corona no és d'or pur i té uns 461 g de plata (i 1469 g d'or).
repte
Una ampolla de vidre amb 1 L d'aigua va al congelador, i l'aigua es converteix en gel de densitat \(0{,}92\ \text{g/cm}^3\). Quin és el volum del gel, i per què les ampolles plenes poden rebentar al congelador?

Mostra la resolució
La massa d'aigua és \(m = 1{,}0 \cdot 1000 = 1000\ \text{g}\), i es conserva en congelar-se.
El volum del gel és \(V = \dfrac{1000}{0{,}92} \approx 1087\ \text{cm}^3\).
El volum creix uns \(87\ \text{cm}^3\), gairebé un 9%, i el gel empeny les parets de l'ampolla, que no tenen cap lloc on cedir.
\(V \approx 1087\ \text{cm}^3\), i aquesta expansió de gairebé un 9% pot trencar el vidre.

PAS 2

La mateixa força, àrees diferents

La pressió mesura com es distribueix una força sobre una superfície. És la força perpendicular dividida per l'àrea on actua, de manera que la mateixa força produeix una pressió gran en una àrea petita i una pressió petita en una àrea gran.

Per aquest motiu el ganivet esmolat talla millor que el que no té tall. En la xinxeta, la força que amb prou feines notem al cap ample es converteix, a la punta fina, en una pressió capaç de foradar la fusta, mentre que les raquetes de neu fan el contrari i reparteixen el pes de qui camina en una àrea gran.

En el Sistema Internacional mesurem la pressió en pascals, una unitat petita, i en la vida diària també apareixen l'atmosfera (atm) i el mil·límetre de mercuri (mmHg), que entendrem millor al pas 4.

\(p = \dfrac{F}{A}\)\(1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2\)\(1\ \text{atm} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\)\(1\ \text{atm} = 760\ \text{mmHg}\)\(1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2\). A la simulació fem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i suposem una neu molt simple, en què el peu s'enfonsa 1 cm per cada 1 kPa de pressió fins a arribar a terra ferma. La neu de debò tendeix a ser molt menys regular.

Per comentar

Amb la mateixa persona, canvia les bambes per les raquetes de neu i compara quantes vegades augmenta l'àrea amb quantes vegades disminueix la pressió.
Quan fem clic a «Amb un sol peu», el pes continua sent el mateix i l'àrea es redueix a la meitat. Què esperes que passi amb la pressió, abans de comprovar-ho?
Tria el taló d'agulla i mira d'explicar com una persona tan més lleugera que un elefant pot fer més pressió que ell sobre el terra.
Duplica la massa sense canviar el calçat. La pressió també es duplica, i l'enfonsament en el nostre model de neu la segueix?

Massa de la persona

Pes

Àrea de suport

Pressió

En atm

Enfonsament

Exercicis del pas 2 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una caixa fa una força de 600 N sobre una àrea de \(0{,}03\ \text{m}^2\) del terra. Quina és la pressió?

Mostra la resolució
La pressió és la força dividida per l'àrea, \(p = \dfrac{F}{A} = \dfrac{600}{0{,}03} = 20\,000\ \text{Pa}\).
\(p = 2{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\)
bàsic
Per què un ganivet esmolat talla millor que un ganivet sense tall, si la força de la mà és la mateixa?

Mostra la resolució
La pressió és la força dividida per l'àrea, \(p = F/A\).
En el tall esmolat, l'àrea de contacte amb l'aliment és molt petita, i la mateixa força produeix una pressió molt més gran.
Amb una àrea més petita, la pressió és més gran, i és ella la que trenca el material.
bàsic
Un pneumàtic de bicicleta està inflat a 3 atm. Quant és això en pascals? I una pressió de 380 mmHg, quant val en atm? Fes servir \(1\ \text{atm} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa} = 760\ \text{mmHg}\).

Mostra la resolució
En pascals, \(3 \cdot 1{,}0 \cdot 10^5 = 3{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).
En atmosferes, \(\dfrac{380}{760} = 0{,}5\ \text{atm}\).
\(3{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i \(0{,}5\ \text{atm}\)
bàsic
Un maó de 2 kg fa 20 cm × 10 cm × 5 cm i està ajagut sobre la cara més gran. Quina pressió fa sobre la taula? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
El pes del maó és \(P = m\,g = 2 \cdot 10 = 20\ \text{N}\).
La cara més gran té \(A = 0{,}20 \cdot 0{,}10 = 0{,}02\ \text{m}^2\).
La pressió és \(p = \dfrac{20}{0{,}02} = 1000\ \text{Pa}\).
\(p = 1000\ \text{Pa}\)
mitjà
El mateix maó de l'exercici anterior (2 kg, 20 cm × 10 cm × 5 cm) es posa dret, recolzat sobre la cara més petita. Quina és ara la pressió, i quantes vegades és més gran que la de la cara més gran? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La cara més petita té \(A = 0{,}10 \cdot 0{,}05 = 0{,}005\ \text{m}^2\).
Amb el mateix pes, \(p = \dfrac{20}{0{,}005} = 4000\ \text{Pa}\).
La raó \(\dfrac{4000}{1000} = 4\) és la mateixa raó que hi ha entre les àrees, \(0{,}02 / 0{,}005\).
\(p = 4000\ \text{Pa}\), quatre vegades més gran, perquè l'àrea s'ha fet quatre vegades més petita.
mitjà
Una persona de 60 kg es recolza un instant sobre el taló d'una sola sabata, amb \(1\ \text{cm}^2\) d'àrea. Compara-ho amb la pressió quan porta bambes i es recolza en un sol peu, amb \(150\ \text{cm}^2\) d'àrea. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La força és el pes, \(F = 60 \cdot 10 = 600\ \text{N}\), i \(1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2\).
Al taló, \(p = \dfrac{600}{10^{-4}} = 6{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\), unes 60 atm.
Amb les bambes, \(p = \dfrac{600}{0{,}015} = 4{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\).
La raó entre totes dues és \(\dfrac{6{,}0 \cdot 10^6}{4{,}0 \cdot 10^4} = 150\).
\(6{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\) al taló i \(4{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\) amb les bambes, 150 vegades menys.
mitjà
Empenyem una xinxeta amb 20 N. El cap té \(1\ \text{cm}^2\) i la punta, \(0{,}1\ \text{mm}^2\). Si negligim la massa de la xinxeta, quina és la pressió sobre el dit i quina és la pressió sobre la paret?

Mostra la resolució
Amb una massa negligible, la xinxeta transmet la mateixa força de 20 N als dos extrems.
Al dit, \(A = 10^{-4}\ \text{m}^2\) i \(p = \dfrac{20}{10^{-4}} = 2{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).
A la punta, \(0{,}1\ \text{mm}^2 = 10^{-7}\ \text{m}^2\) i \(p = \dfrac{20}{10^{-7}} = 2{,}0 \cdot 10^8\ \text{Pa}\).
\(2{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) al dit i \(2{,}0 \cdot 10^8\ \text{Pa}\) a la paret, mil vegades més.
mitjà
Una persona de 70 kg camina per la neu amb botes, amb una àrea total de suport de \(0{,}05\ \text{m}^2\). Amb raquetes de neu, l'àrea passa a ser de \(0{,}35\ \text{m}^2\). Calcula les dues pressions. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
El pes és \(F = 70 \cdot 10 = 700\ \text{N}\).
Amb botes, \(p = \dfrac{700}{0{,}05} = 14\,000\ \text{Pa}\).
Amb raquetes, \(p = \dfrac{700}{0{,}35} = 2000\ \text{Pa}\).
14 000 Pa amb botes i 2000 Pa amb raquetes, set vegades menys, i per això la persona s'enfonsa menys.
repte
Un elefant de 4000 kg recolza les quatre potes a terra, cadascuna amb \(0{,}1\ \text{m}^2\). Una ballarina de 50 kg s'aguanta sobre la punta d'una sabatilla, amb \(5\ \text{cm}^2\) de suport. Qui fa més pressió sobre el terra? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
L'elefant pesa 40 000 N, repartits en \(4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4\ \text{m}^2\), cosa que dona \(p = \dfrac{40\,000}{0{,}4} = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).
La ballarina pesa 500 N sobre \(5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2\), i \(p = \dfrac{500}{5 \cdot 10^{-4}} = 1{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\).
La ballarina, amb \(1{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\), deu vegades la pressió de l'elefant.
repte
Una persona de 80 kg s'estira en un llit de claus, cadascun amb una punta d'\(1\ \text{mm}^2\). Suposa que la pell aguanta fins a \(5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) sense fer-se mal i que el pes es reparteix per igual entre els claus. Quin és el nombre mínim de claus en contacte amb el cos? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
El pes és \(F = 800\ \text{N}\), i l'àrea mínima de contacte és \(A = \dfrac{F}{p_{\text{màx}}} = \dfrac{800}{5 \cdot 10^5} = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^2\).
Cada punta té \(1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2\).
El nombre de claus és \(N = \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-3}}{10^{-6}} = 1600\).
Com a mínim 1600 claus.

PAS 3

Com més fons, més pressió

Un punt dins d'un líquid en repòs sosté el pes de la columna de líquid que té a sobre, a més de la pressió de l'aire sobre la superfície. D'aquí surt la llei de Stevin, segons la qual la pressió creix en línia recta amb la profunditat.

La pressió només depèn de la profunditat i del líquid. Vasos de formes molt diferents, plens del mateix líquid fins a la mateixa altura, tenen la mateixa pressió al fons, un resultat que sol sorprendre i que anomenem paradoxa hidrostàtica.

\(p = p_0 + d\,g\,h\)\(\Delta p = d\,g\,\Delta h\)\(p_0\) és la pressió a la superfície (l'atmosfèrica, \(\approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\)), \(d\) en kg/m³ i \(h\) en metres. Amb \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\), 10 m d'aigua sumen \(10^5\ \text{Pa}\), aproximadament 1 atm. Suposem el líquid incompressible, una aproximació molt bona per a l'aigua.

En l'aigua, cada 10 m de profunditat sumen aproximadament 1 atm, i un submarinista a 20 m ja suporta unes 3 atm. Per la mateixa llei, l'aixeta de la planta baixa rep l'aigua amb més força que la del darrer pis, ja que és més avall del nivell del dipòsit.

Els mesuradors de pneumàtics i molts manòmetres només mostren el que el gas o el líquid afegeixen a la pressió de l'aire, i per això un pneumàtic desinflat, ple d'aire a pressió atmosfèrica, marca zero.

Per comentar

Arrossega el mesurador cap avall i observa el gràfic. Sembla que la pressió creix el mateix a cada metre?
Porta el mesurador a 10 m dins l'aigua i llegeix la pressió total. Quantes atmosferes hi ha, i d'on ve cadascuna?
Canvia l'aigua pel mercuri sense moure el mesurador i mira quantes vegades augmenta la part \(d\,g\,h\). El nombre recorda la raó entre les densitats?
Mira els quatre vasos, que contenen quantitats de líquid molt diferents. La intuïció tendeix a dir que el més ple fa més pressió al fons, i què mostra la simulació?
Desactiva la suma de \(p_0\) i mira què passa a mostrar el mesurador. Què passa amb la recta del gràfic, i per què un mesurador de pneumàtics funciona així?

Profunditat del mesurador

Profunditat

Part d·g·h

Pressió total

Total en atm

A cada metre

Exercicis del pas 3 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Quina és la pressió a 5 m de profunditat en una piscina? Considera \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), \(d_{\text{aigua}} = 1000\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La columna d'aigua afegeix \(d\,g\,h = 1000 \cdot 10 \cdot 5 = 5{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\).
Si hi sumem l'atmosfera, \(p = p_0 + d\,g\,h\) \(= 1{,}0 \cdot 10^5 + 0{,}5 \cdot 10^5\) \(= 1{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).
\(p = 1{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), aproximadament 1,5 atm.
bàsic
Tres recipients de formes diferents (un cilindre, un embut que s'eixampla cap amunt i un gerro que s'estreny cap amunt) tenen la mateixa àrea de fons i són plens d'aigua fins a la mateixa altura. En quin d'ells és més gran la pressió al fons?

Mostra la resolució
Per la llei de Stevin, \(p = p_0 + d\,g\,h\) només depèn del líquid i de la profunditat.
La forma del recipient i la quantitat d'aigua no apareixen a la fórmula.
La pressió al fons és la mateixa en tots tres, l'anomenada paradoxa hidrostàtica.
bàsic
Un submarinista baixa a 30 m al mar. Si fem servir la regla que cada 10 m d'aigua sumen aproximadament 1 atm, quina és la pressió total sobre ell?

Mostra la resolució
La columna d'aigua afegeix aproximadament \(\dfrac{30}{10} = 3\ \text{atm}\).
Amb l'atmosfera sobre la superfície, \(p \approx 1 + 3 = 4\ \text{atm}\).
\(p \approx 4\ \text{atm}\)
bàsic
Dos punts d'un llac són a 2 m i a 6 m de profunditat. Quina és la diferència de pressió entre ells? Fes servir \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La diferència només depèn del desnivell, \(\Delta p = d\,g\,\Delta h\) \(= 1000 \cdot 10 \cdot 4\) \(= 4{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\).
La pressió atmosfèrica apareix en tots dos punts i s'anul·la en la resta.
\(\Delta p = 4{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\)
mitjà
El nivell del dipòsit d'aigua d'un edifici és 8 m per sobre de l'aixeta de la planta baixa i 3 m per sobre de l'aixeta del darrer pis. Quin és l'augment de pressió, respecte de l'atmosfèrica, a cada aixeta? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
A la planta baixa, \(d\,g\,h = 1000 \cdot 10 \cdot 8 = 8{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\).
Al darrer pis, \(1000 \cdot 10 \cdot 3 = 3{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\).
Per això l'aigua surt amb més força a la planta baixa.
\(8{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\) a la planta baixa i \(3{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\) al darrer pis.
mitjà
En un dipòsit d'oli (\(d = 800\ \text{kg/m}^3\)), quina és la pressió total a 2 m de profunditat? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
L'oli afegeix \(d\,g\,h = 800 \cdot 10 \cdot 2 = 16\,000\ \text{Pa}\).
Si hi sumem l'atmosfera, \(p = 100\,000 + 16\,000 = 116\,000\ \text{Pa}\).
\(p = 1{,}16 \cdot 10^5\ \text{Pa}\)
mitjà
Per què les preses són molt més gruixudes a la base que a dalt?

Mostra la resolució
La pressió de l'aigua creix amb la profunditat, \(p = p_0 + d\,g\,h\).
A prop del fons, cada metre quadrat de la paret rep una força molt més gran que a prop de la superfície.
La base ha de resistir la pressió més gran, que és al fons.
mitjà
Un dipòsit té 2 m d'aigua i, al damunt, 1 m d'oli (\(d = 800\ \text{kg/m}^3\)). Quina és la pressió al fons? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Cada capa suma la seva part a la pressió de l'aire.
L'oli hi contribueix amb \(800 \cdot 10 \cdot 1 = 8000\ \text{Pa}\) i l'aigua, amb \(1000 \cdot 10 \cdot 2 = 20\,000\ \text{Pa}\).
Al fons, \(p = 100\,000 + 8000 + 20\,000 = 128\,000\ \text{Pa}\).
\(p = 1{,}28 \cdot 10^5\ \text{Pa}\)
repte
Un aquari té un fons de \(0{,}5\ \text{m} \times 0{,}3\ \text{m}\) i 40 cm d'aigua. Calcula la força de l'aigua sobre el fons (sense comptar l'atmosfera) i compara-la amb el pes de l'aigua. Imagina ara un gerro amb el mateix fons i la mateixa altura d'aigua, que s'estreny cap amunt. La força al fons canvia? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La pressió de l'aigua al fons és \(p = d\,g\,h = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}4 = 4000\ \text{Pa}\).
Amb \(A = 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15\ \text{m}^2\), la força és \(F = p\,A = 4000 \cdot 0{,}15 = 600\ \text{N}\).
L'aigua ocupa \(V = 0{,}15 \cdot 0{,}4 = 0{,}06\ \text{m}^3\), té una massa de 60 kg i pesa 600 N, el mateix valor.
En el gerro que s'estreny, \(p\) i \(A\) no canvien, i la força continua sent de 600 N, tot i que hi ha menys aigua. Les parets inclinades empenyen l'aigua cap avall i completen la diferència.
\(F = 600\ \text{N}\) en tots dos casos.
repte
Un submarí és a 200 m de profunditat, amb aire a 1 atm a dins. Quina és la força resultant de la pressió sobre una escotilla de \(0{,}5\ \text{m}^2\)? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\) (negligint la diferència entre aigua dolça i salada) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Per fora, \(p = 1{,}0 \cdot 10^5 + 1000 \cdot 10 \cdot 200 = 2{,}1 \cdot 10^6\ \text{Pa}\).
A dins hi ha \(1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), i la diferència entre els dos costats és \(2{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\).
La força resultant és \(F = 2{,}0 \cdot 10^6 \cdot 0{,}5 = 1{,}0 \cdot 10^6\ \text{N}\).
\(F = 1{,}0 \cdot 10^6\ \text{N}\), el pes d'unes 100 tones.

PAS 4

Vivim al fons d'un oceà d'aire

L'aire també té pes, i la capa d'atmosfera que tenim a sobre fa, al nivell del mar, una pressió d'uns \(10^5\ \text{Pa}\). El 1643, Torricelli va omplir de mercuri un tub de vidre d'un metre, en va tapar l'extrem i va girar el tub dins d'una cubeta també amb mercuri.

La columna va baixar fins a quedar en uns 76 cm, i va deixar gairebé el buit a la part de dalt del tub. El pes de l'aire sobre la cubeta equilibra la columna, i per això diem que 1 atm val 76 cmHg, o 760 mmHg. Amb aigua, que és 13,6 vegades menys densa, la columna hauria de fer uns 10 m.

Com més amunt pugem, menys aire queda per sobre nostre i més petita és la pressió, i a La Paz la columna de mercuri fa a prop de dos terços del que mesura a la costa. La canyeta i la ventosa depenen de la pressió atmosfèrica, ja que en tots dos casos reduïm la pressió de la banda de dins i és l'aire de fora el que empeny.

\(p_{\text{atm}} = d_{\text{Hg}}\,g\,h\)\(1\ \text{atm} = 76\ \text{cmHg} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\)\(1\ \text{atm} \approx 10\ \text{m}\) d'aiguaLa simulació fa servir els valors mesurats (1 atm = 1,013·10⁵ Pa i la g real, 9,8 m/s²), que donen 76,0 cm de mercuri i 10,3 m d'aigua; en els càlculs, amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\), els nombres canvien poc. Per a l'altitud, suposem una atmosfera de temperatura uniforme, en què la pressió es redueix a la meitat cada 5,8 km, aproximadament.

Per comentar

Canvia el mercuri per l'aigua i mira com creix la columna. Per què es fa 13,6 vegades més alta?
Inclina el tub a poc a poc i segueix la longitud de la columna i l'altura vertical. Què passa quan el tub s'inclina massa?
Porta el baròmetre de mercuri fins a La Paz i després fins al cim de l'Everest, i anota quant baixa la columna en cada cas.
Amb aigua al tub, quina sembla ser la profunditat màxima d'un pou d'on una bomba d'aspiració, instal·lada a dalt de tot, pot treure aigua?

Altitud

Inclinació del tub

Pressió

En kPa

En mmHg

Columna (vertical)

Longitud al tub

Exercicis del pas 4 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Quan prenem suc amb una canyeta, qui empeny el suc cap amunt?

Mostra la resolució
En xuclar, disminuïm la pressió de l'aire dins de la boca i de la canyeta.
La pressió atmosfèrica sobre la superfície del suc del got continua sent la mateixa i és més gran que la pressió dins de la canyeta.
És l'atmosfera la que empeny el suc, i nosaltres només reduïm la pressió dins de la canyeta.
bàsic
A La Paz, a Bolívia, a uns 3600 m d'altitud, un baròmetre de mercuri marca 49 cmHg. Quant és això en atm? Fes servir \(1\ \text{atm} = 76\ \text{cmHg}\).

Mostra la resolució
N'hi ha prou de comparar amb la columna al nivell del mar, \(p = \dfrac{49}{76} \approx 0{,}64\ \text{atm}\).
\(p \approx 0{,}64\ \text{atm}\), aproximadament dos terços de la pressió al nivell del mar.
bàsic
Si Torricelli hagués fet servir aigua en lloc de mercuri, quina seria l'altura de la columna al nivell del mar? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
En equilibri, la pressió de la columna iguala la de l'atmosfera, \(d\,g\,h = p_0\).
Aïllant l'altura, \(h = \dfrac{1{,}0 \cdot 10^5}{1000 \cdot 10} = 10\ \text{m}\).
\(h \approx 10\ \text{m}\), cosa que faria el baròmetre poc pràctic.
bàsic
Com és que una ventosa queda enganxada a una rajola llisa?

Mostra la resolució
En prémer la ventosa, expulsem part de l'aire que hi havia entre ella i la rajola.
La pressió en aquest espai queda més petita que l'atmosfèrica, i l'aire de fora empeny la ventosa contra la paret.
La diferència entre la pressió de fora i la de dins subjecta la ventosa.
mitjà
Mostra que una columna de 76 cm de mercuri (\(d = 13\,600\ \text{kg/m}^3\)) fa uns \(1 \cdot 10^5\ \text{Pa}\). Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La pressió de la columna és \(p = d\,g\,h = 13\,600 \cdot 10 \cdot 0{,}76\).
El càlcul dona \(p = 103\,360\ \text{Pa} \approx 1{,}03 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).
\(p \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), la pressió atmosfèrica al nivell del mar.
mitjà
Quina seria l'altura d'un baròmetre fet amb oli (\(d = 800\ \text{kg/m}^3\)), al nivell del mar? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Com abans, \(h = \dfrac{p_0}{d\,g} = \dfrac{1{,}0 \cdot 10^5}{800 \cdot 10} = 12{,}5\ \text{m}\).
\(h = 12{,}5\ \text{m}\), ja que com menys dens és el líquid, més alta és la columna.
mitjà
Quina és la força que l'atmosfera fa sobre el tauler d'una taula d'\(1\ \text{m}^2\)? Per què no es trenca la taula? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).

Mostra la resolució
La força és \(F = p_0\,A = 1{,}0 \cdot 10^5 \cdot 1 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{N}\), el pes d'uns 10 000 kg amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\).
L'aire també és a sota del tauler i empeny cap amunt amb una força pràcticament igual.
\(F = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{N}\), i les forces de dalt i de baix s'equilibren.
mitjà
En una ciutat de muntanya, la columna de mercuri del baròmetre fa 70 cm. Quina és la pressió atmosfèrica en pascals? Fes servir \(d_{\text{Hg}} = 13\,600\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La pressió de l'aire és la de la columna que sosté, \(p = 13\,600 \cdot 10 \cdot 0{,}70 = 95\,200\ \text{Pa}\).
\(p \approx 9{,}5 \cdot 10^4\ \text{Pa}\), una mica menys que al nivell del mar.
repte
El 1654, Otto von Guericke va ajuntar dos hemisferis de metall i en va treure l'aire de dins. Suposa un radi de 0,25 m i un buit perfecte. Quina és la força necessària per separar-los? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
La força que compta és la pressió per l'àrea del cercle de contacte, \(A = \pi r^2\) \(= 3{,}14 \cdot 0{,}0625 \approx 0{,}196\ \text{m}^2\).
D'aquí, \(F = p_0\,A\) \(= 1{,}0 \cdot 10^5 \cdot 0{,}196 \approx 1{,}96 \cdot 10^4\ \text{N}\).
Amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\), això equival al pes d'uns 2000 kg.
\(F \approx 2{,}0 \cdot 10^4\ \text{N}\), com aixecar un cotxe gran.
repte
Una bomba d'aspiració instal·lada a dalt d'un pou xucla l'aigua reduint la pressió a la canonada. Quina és la profunditat màxima d'on pot treure aigua al nivell del mar? I en una ciutat on la pressió és de 0,7 atm? Fes servir \(1\ \text{atm} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Fins i tot amb un buit perfecte a la canonada, qui empeny l'aigua cap amunt és l'atmosfera, i el límit és \(d\,g\,h = p_0\).
Al nivell del mar, \(h = \dfrac{1{,}0 \cdot 10^5}{10^4} = 10\ \text{m}\).
Amb 0,7 atm, \(h = \dfrac{0{,}7 \cdot 10^5}{10^4} = 7\ \text{m}\).
10 m al nivell del mar i 7 m a la ciutat alta. Els pous més fondos necessiten una bomba a baix de tot, que empenyi l'aigua.

PAS 5

Líquids que es comuniquen

Quan uns recipients estan connectats per la base i contenen el mateix líquid en repòs, la superfície lliure queda a la mateixa altura en tots, sigui quina sigui la forma. Aquests recipients s'anomenen vasos comunicants, i l'explicació ve de la llei de Stevin, perquè els punts del mateix líquid a la mateixa altura tenen la mateixa pressió.

El broc de la tetera i la mànega de nivell del paleta fan servir aquest principi, i l'aigua del dipòsit arriba a les aixetes de casa per la mateixa raó.

Amb dos líquids que no es barregen, com l'aigua i l'oli en un tub en U, els nivells deixen de coincidir. A l'altura de la superfície de separació, les pressions de les dues branques són iguals, cosa que dona \(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\), i el líquid menys dens queda més amunt.

Si mesurem les dues altures, aquesta relació ens dona la densitat d'un líquid desconegut a partir de la densitat de l'aigua.

\(p_A = p_B\) (mateix líquid, mateixa altura)\(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\)Les altures \(h_1\) i \(h_2\) es mesuren a partir del nivell de la superfície de separació. Com que \(g\) i \(p_0\) apareixen a tots dos costats, s'anul·len, i podem fer servir les densitats en g/cm³ i les altures en cm.

Per comentar

Abans d'abocar res, compara els nivells de les dues branques. Què els passa quan aboquem l'oli a la branca de l'esquerra?
Aboca 10 cm de querosè i comprova, amb els nombres de la simulació, si es compleix la regla \(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\).
Canvia a mercuri i aigua. Per què sembla que una columna alta d'aigua desplaça tan poc el mercuri?
Si només coneguessis la densitat de l'aigua, com podries fer servir aquest tub per mesurar la densitat d'un oli?

Columna abocada h₁

h₁ (líquid lleuger)

h₂ (líquid de la base)

d₁·h₁

d₂·h₂

Desnivell

Exercicis del pas 5 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Per què el broc d'una tetera (o d'una regadora) ha d'arribar fins a l'altura de la boca del recipient?

Mostra la resolució
La tetera i el broc formen vasos comunicants, i amb el mateix líquid el nivell és el mateix en tots dos.
Amb el broc més baix que la boca, l'aigua sortiria pel broc abans que la tetera quedés plena.
Com que els nivells s'igualen, un broc baix limitaria quant hi cap a la tetera.
bàsic
Els paletes fan servir una mànega transparent plena d'aigua per marcar dos punts a la mateixa altura en parets allunyades. Per què funciona?

Mostra la resolució
Els dos extrems de la mànega són vasos comunicants amb el mateix líquid, oberts a la mateixa atmosfera.
En equilibri, la superfície de l'aigua queda a la mateixa altura en tots dos extrems, sigui quin sigui el recorregut de la mànega.
El nivell de l'aigua als dos extrems sempre és el mateix, i per això marca la mateixa altura.
bàsic
En un tub en U amb aigua, aboquem oli (\(0{,}8\ \text{g/cm}^3\)) en una de les branques fins a formar una columna de 10 cm per sobre de la superfície de separació. Quina és l'altura de l'aigua, a l'altra branca, per sobre d'aquest nivell?

Mostra la resolució
Els punts a l'altura de la separació estan connectats per l'aigua i tenen la mateixa pressió, cosa que dona \(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\).
Amb els nombres, \(0{,}8 \cdot 10 = 1{,}0 \cdot h_2\), i \(h_2 = 8\ \text{cm}\).
\(h_2 = 8\ \text{cm}\)
bàsic
En un tub en U amb mercuri (\(13{,}6\ \text{g/cm}^3\)), una columna d'aigua de 27,2 cm equilibra quants centímetres de mercuri per sobre de la superfície de separació?

Mostra la resolució
La regla del tub en U és \(d_{\text{aigua}}\,h_{\text{aigua}} = d_{\text{Hg}}\,h_{\text{Hg}}\).
Així, \(1{,}0 \cdot 27{,}2 = 13{,}6 \cdot h\), i \(h = 2\ \text{cm}\).
\(h = 2\ \text{cm}\) de mercuri
mitjà
En un tub en U amb aigua, una columna de 12 cm d'un oli desconegut equilibra 9 cm d'aigua per sobre de la superfície de separació. Quina és la densitat de l'oli?

Mostra la resolució
La igualtat de les pressions dona \(d_{\text{oli}} \cdot 12 = 1{,}0 \cdot 9\).
Aïllant la densitat, \(d_{\text{oli}} = \dfrac{9}{12} = 0{,}75\ \text{g/cm}^3\).
\(d = 0{,}75\ \text{g/cm}^3\)
mitjà
En el tub en U amb aigua i oli, la superfície lliure de l'oli queda més alta que la de l'aigua. Explica per què.

Mostra la resolució
A l'altura de la separació, les pressions de les dues branques són iguals, \(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\).
Com que l'oli és menys dens, necessita una columna més alta per produir la mateixa pressió.
El líquid menys dens queda més amunt, perquè necessita més altura per pesar el mateix per unitat d'àrea.
mitjà
En un tub en U amb aigua, aboquem oli (\(0{,}9\ \text{g/cm}^3\)) fins a formar 20 cm de columna per sobre de la superfície de separació. Quin és el desnivell entre les superfícies lliures de l'oli i de l'aigua?

Mostra la resolució
L'aigua per sobre de la separació té una \(h_2\) donada per \(0{,}9 \cdot 20 = 1{,}0 \cdot h_2\), és a dir, \(h_2 = 18\ \text{cm}\).
El desnivell és \(20 - 18 = 2\ \text{cm}\), amb l'oli més amunt.
Desnivell de 2 cm
mitjà
En el tub en U de l'exercici 3 (10 cm d'oli de \(800\ \text{kg/m}^3\) sobre l'aigua, que equilibren 8 cm d'aigua), quina és la pressió a l'altura de la superfície de separació? Fes servir \(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Per la branca de l'oli, \(p = p_0 + d\,g\,h\) \(= 100\,000 + 800 \cdot 10 \cdot 0{,}10\) \(= 100\,800\ \text{Pa}\).
Per la branca de l'aigua, \(100\,000 + 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}08 = 100\,800\ \text{Pa}\), el mateix valor.
\(p = 100\,800\ \text{Pa}\) a totes dues bandes
repte
Un tub en U de secció constant conté mercuri, amb el mateix nivell a les dues branques. Aboquem 13,6 cm d'aigua en una de les branques. Quant baixa el mercuri en aquesta branca, i quant puja a l'altra?

Mostra la resolució
L'aigua equilibra un desnivell de mercuri \(\Delta h\) tal que \(1{,}0 \cdot 13{,}6 = 13{,}6 \cdot \Delta h\), i \(\Delta h = 1\ \text{cm}\).
Com que la secció és constant, el mercuri que baixa per un costat puja per l'altre la mateixa distància \(x\), i el desnivell val \(2x\).
D'aquí, \(2x = 1\ \text{cm}\) i \(x = 0{,}5\ \text{cm}\).
El mercuri baixa 0,5 cm per un costat i puja 0,5 cm per l'altre.
repte
En un tub en U amb mercuri, aboquem 27,2 cm d'aigua a la branca A. Quant d'oli (\(0{,}8\ \text{g/cm}^3\)) hem d'abocar a la branca B perquè els nivells del mercuri tornin a ser iguals?

Mostra la resolució
Amb el mercuri anivellat, les pressions sobre la seva superfície només s'igualen si les dues columnes de dalt tenen el mateix \(d\,h\).
Així, \(1{,}0 \cdot 27{,}2 = 0{,}8 \cdot h\), i \(h = 34\ \text{cm}\).
34 cm d'oli

PAS 6

Com aixecar un cotxe amb una mà

Un líquid gairebé no canvia de volum quan el comprimim, i per això transmet la pressió. Segons el principi de Pascal, un augment de pressió en un punt d'un líquid en equilibri arriba sencer a tots els altres punts i a les parets del recipient.

A la premsa hidràulica, empenyem un pistó d'àrea petita i la mateixa pressió arriba a un pistó d'àrea gran. Com que \(F = p\,A\), la força al pistó gran queda multiplicada per la raó entre les àrees, i és el que passa a l'elevador de cotxes del taller i al fre hidràulic, en què el peu al pedal pressiona les pastilles de les quatre rodes.

\(\dfrac{F_1}{A_1} = \dfrac{F_2}{A_2}\)\(A_1\,d_1 = A_2\,d_2\)\(F_1\,d_1 = F_2\,d_2\)Suposem els pistons al mateix nivell, sense fregament i amb massa negligible, i \(g = 10\ \text{m/s}^2\). A la simulació, els desplaçaments dels dos pistons són a la mateixa escala; el cotxe només és una icona.

Ningú no guanya energia de franc, però. El volum de líquid que surt d'un cilindre entra a l'altre, i el pistó petit ha de baixar molt més del que puja el gran. Si negligim els fregaments, el treball \(F\,d\) és el mateix a totes dues bandes.

Al gat hidràulic, una vàlvula deixa passar l'oli en un sol sentit. Així podem bombar diverses vegades, i a cada pujada el pistó petit es torna a omplir amb oli del dipòsit.

Per comentar

Arrossega el pistó petit cap avall fins al final del recorregut i compara quant ha baixat amb quant ha pujat el cotxe. La raó entre les dues distàncies recorda la raó entre les àrees?
Fes clic a «Bombar» diverses vegades i segueix el treball a les dues bandes, que hauria de ser el mateix si l'energia es conserva.
Disminueix l'àrea del pistó petit. Què hi guanyem, i què hi perdem?
Per què una bombolla d'aire al líquid de frens pot ser perillosa? Pensa què fa l'aire quan es comprimeix.

Àrea del pistó petit A₁

Àrea del pistó gran A₂

Massa del cotxe

Força al pistó petit

Pes del cotxe

Pressió a l'oli

Baixada total del pistó petit

Pujada del cotxe

Treball a cada banda

Exercicis del pas 6 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
En una premsa hidràulica, el pistó petit té \(10\ \text{cm}^2\) i el gran, \(500\ \text{cm}^2\). Apliquem 100 N al petit. Quina és la força al gran?

Mostra la resolució
La pressió és la mateixa als dos pistons, \(\dfrac{F_1}{A_1} = \dfrac{F_2}{A_2}\), i d'aquí \(F_2 = 100 \cdot \dfrac{500}{10}\).
El càlcul dona \(F_2 = 5000\ \text{N}\).
\(F_2 = 5000\ \text{N}\), 50 vegades més gran
bàsic
Enuncia el principi de Pascal i posa'n un exemple de la vida diària.

Mostra la resolució
Un augment de pressió aplicat en un punt d'un líquid en equilibri es transmet íntegrament a tots els punts del líquid i a les parets del recipient.
El fre hidràulic dels cotxes, l'elevador de cotxes dels tallers i la cadira del dentista fan servir aquesta propietat.
L'augment de pressió es transmet sencer, com al fre hidràulic.
bàsic
Un elevador hidràulic aixeca un cotxe de 1200 kg sobre un pistó d'àrea 60 vegades més gran que la del pistó on apliquem la força. Quina força hem d'aplicar? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i negligeix la massa dels pistons.

Mostra la resolució
El pistó gran sosté el pes del cotxe, \(F_2 = 1200 \cdot 10 = 12\,000\ \text{N}\).
Al pistó petit, \(F_1 = F_2 \cdot \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{12\,000}{60} = 200\ \text{N}\).
\(F_1 = 200\ \text{N}\)
bàsic
Una companya diu que la premsa hidràulica «multiplica l'energia», ja que apliquem 100 N i en surten 5000 N. Té raó?

Mostra la resolució
La força queda multiplicada, i el desplaçament queda dividit pel mateix factor.
Si negligim els fregaments, el treball \(F\,d\) fet sobre el pistó petit és igual al que fa el pistó gran.
La companya s'equivoca, perquè l'energia es conserva, i guanyem força a canvi de desplaçament.
mitjà
A la premsa de l'exercici 1 (\(10\ \text{cm}^2\) i \(500\ \text{cm}^2\)), el pistó petit baixa 25 cm. Quant puja el gran?

Mostra la resolució
El volum de líquid que surt d'un cilindre entra a l'altre, \(A_1\,d_1 = A_2\,d_2\).
Amb els nombres, \(d_2 = \dfrac{10 \cdot 25}{500} = 0{,}5\ \text{cm}\).
\(d_2 = 0{,}5\ \text{cm}\)
mitjà
Amb la mateixa premsa, calcula el treball fet sobre el pistó petit (100 N al llarg de 25 cm) i el treball que fa el pistó gran (5000 N al llarg de 0,5 cm). Què en podem concloure?

Mostra la resolució
Al pistó petit, \(W_1 = 100 \cdot 0{,}25 = 25\ \text{J}\).
Al gran, \(W_2 = 5000 \cdot 0{,}005 = 25\ \text{J}\).
\(W_1 = W_2 = 25\ \text{J}\), i l'energia es conserva.
mitjà
Els pistons d'una premsa tenen radis de 2 cm i 10 cm. Quina força al pistó petit equilibra 10 000 N al gran?

Mostra la resolució
L'àrea creix amb el quadrat del radi, \(\dfrac{A_2}{A_1} = \left(\dfrac{10}{2}\right)^2 = 25\).
D'aquí, \(F_1 = \dfrac{10\,000}{25} = 400\ \text{N}\).
\(F_1 = 400\ \text{N}\)
mitjà
Al fre d'un cotxe, el pedal transforma els 50 N del peu en 200 N sobre el cilindre mestre, d'àrea \(2\ \text{cm}^2\). El pistó de cada roda té \(8\ \text{cm}^2\). Quina és la pressió al líquid, i quina és la força a cada pistó de roda?

Mostra la resolució
La pressió al líquid és \(p = \dfrac{200}{2 \cdot 10^{-4}} = 1{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\).
Arriba igual a totes les rodes, i a cadascuna \(F = p\,A = 1{,}0 \cdot 10^6 \cdot 8 \cdot 10^{-4} = 800\ \text{N}\).
\(p = 1{,}0 \cdot 10^6\ \text{Pa}\) i \(F = 800\ \text{N}\) a cada roda.
repte
Un elevador hidràulic té pistons de \(15\ \text{cm}^2\) i \(0{,}3\ \text{m}^2\) i ha d'aixecar un cotxe de 1500 kg fins a 1,8 m d'altura. Quina és la força al pistó petit? Quant hauria de baixar en total? Si cada cop de bomba desplaça el pistó petit 20 cm, quants cops de bomba calen? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La raó entre les àrees és \(\dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{0{,}3}{0{,}0015} = 200\), i \(F_1 = \dfrac{15\,000}{200} = 75\ \text{N}\).
El desplaçament queda dividit pel mateix factor, i el pistó petit ha de baixar \(d_1 = 200 \cdot 1{,}8 = 360\ \text{m}\) en total.
Això dona \(N = \dfrac{360}{0{,}2} = 1800\) cops de bomba.
Si ho comprovem per l'energia, \(W = 75 \cdot 360 = 27\,000\ \text{J} = 15\,000 \cdot 1{,}8\).
\(F_1 = 75\ \text{N}\), 360 m de recorregut en total i 1800 cops de bomba.
repte
En una premsa amb oli (\(d = 800\ \text{kg/m}^3\)), el pistó petit (\(20\ \text{cm}^2\)) sosté un cos de 2 kg, i el pistó gran (\(0{,}2\ \text{m}^2\)) és 1 m per sota d'ell. Quina massa sobre el pistó gran queda en equilibri? I si els dos pistons fossin al mateix nivell? Negligeix la massa dels pistons i fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Sota el pistó petit, la pressió per sobre de l'atmosfèrica és \(p_1 = \dfrac{20}{0{,}002} = 10\,000\ \text{Pa}\).
Un metre més avall, la llei de Stevin hi suma \(d\,g\,h = 800 \cdot 10 \cdot 1 = 8000\ \text{Pa}\), i \(p_2 = 18\,000\ \text{Pa}\).
La força al pistó gran és \(F_2 = 18\,000 \cdot 0{,}2 = 3600\ \text{N}\), el pes de 360 kg.
Al mateix nivell, tindríem \(F_2 = 10\,000 \cdot 0{,}2 = 2000\ \text{N}\), o 200 kg.
360 kg amb el desnivell i 200 kg al mateix nivell.

PAS 7

Per què unes coses suren?

En un cos submergit, el líquid empeny per tots els costats, i empeny més per sota, on és més fondo, que per sobre. La resultant d'aquestes forces apunta cap amunt i s'anomena empenyiment.

El principi d'Arquimedes diu quant val. L'empenyiment és igual al pes del líquid desplaçat pel cos, \(E = d_{\text{líq}}\,V_{\text{sub}}\,g\), i depèn del volum submergit, i no del material de què està fet el cos.

\(E = d_{\text{líq}}\,V_{\text{sub}}\,g\)\(P_{\text{ap}} = P - E\)\(\dfrac{V_{\text{sub}}}{V} = \dfrac{d_{\text{cos}}}{d_{\text{líq}}}\) (surant)A la simulació, \(g = 10\ \text{m/s}^2\), el cos és un cub (l'ou només es dibuixa diferent) i suposem el dipòsit tan ample que el nivell gairebé no puja quan el cos hi entra. El moviment després de deixar-lo anar apareix a càmera lenta.

Penjat d'un dinamòmetre, un cos submergit sembla més lleuger, i el dinamòmetre marca el pes aparent \(P - E\). Si el deixem anar, s'enfonsa quan és més dens que el líquid. Quan és menys dens, puja i sura amb una fracció submergida igual a \(d_{\text{cos}}/d_{\text{líq}}\).

D'aquí ve el vaixell d'acer, que és buit per dins i té una densitat mitjana més petita que la de l'aigua, i l'ou, que s'enfonsa en aigua dolça i sura en la salada. El densímetre fa servir la mateixa idea, perquè s'enfonsa més en els líquids menys densos.

Per comentar

Amb el cos penjat, submergeix-lo a poc a poc i segueix la lectura del dinamòmetre. A partir de quan deixa de canviar, i per què?
Tria l'ou i deixa'l anar primer en aigua dolça i després en aigua molt salada. Què ha canviat d'un cas a l'altre, el pes de l'ou o l'empenyiment màxim?
Deixa anar la fusta i espera que el cos deixi d'oscil·lar. La fracció submergida coincideix amb la raó \(d_{\text{cos}}/d_{\text{líq}}\)?
Tria el ferro i el mercuri. Què esperes veure abans de deixar-lo anar, sabent que el ferro s'enfonsa en l'aigua sense dubtar?
Augmenta el volum mantenint la densitat. La fracció submergida canvia, o sembla que només depèn de la raó entre les densitats?

Densitat del cos

Volum del cos

Immersió (base sota la superfície)

Pes P

Empenyiment E

Dinamòmetre (P − E)

Fracció submergida

d_cos / d_líq

Exercicis del pas 7 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un cos de \(500\ \text{cm}^3\) està totalment submergit en aigua. Quin és l'empenyiment? Fes servir \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
En metres cúbics, \(V = 500\ \text{cm}^3 = 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3\).
L'empenyiment és \(E = d\,V\,g = 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-4} \cdot 10 = 5\ \text{N}\).
\(E = 5\ \text{N}\)
bàsic
Una pedra pesa 30 N a l'aire. Totalment submergida en aigua, rep un empenyiment de 10 N. Quant marca el dinamòmetre que la subjecta?

Mostra la resolució
El dinamòmetre mesura el pes aparent, \(P - E = 30 - 10 = 20\ \text{N}\).
20 N
bàsic
L'acer és gairebé 8 vegades més dens que l'aigua. Com pot surar un vaixell d'acer?

Mostra la resolució
El que decideix és la densitat mitjana del vaixell, que inclou l'enorme volum d'aire de dins del buc.
El buc desplaça un volum d'aigua el pes del qual iguala el pes del vaixell abans de quedar tot submergit.
Com que és buit per dins, el vaixell té una densitat mitjana més petita que la de l'aigua.
bàsic
Un ou s'enfonsa en un got d'aigua dolça i sura quan dissolem molta sal a l'aigua. Per què?

Mostra la resolució
La sal augmenta la densitat de l'aigua, i amb ella l'empenyiment \(E = d_{\text{líq}}\,V\,g\).
Quan l'aigua salada es fa més densa que l'ou, l'empenyiment amb l'ou tot submergit passa a superar el pes, i l'ou puja.
L'aigua salada es fa més densa que l'ou.
mitjà
Un bloc de fusta (\(0{,}6\ \text{g/cm}^3\)) sura en l'aigua. Quina fracció del seu volum queda submergida?

Mostra la resolució
Quan sura, \(E = P\), és a dir, \(d_{\text{líq}}\,V_{\text{sub}}\,g = d_{\text{c}}\,V\,g\).
La fracció submergida és \(\dfrac{V_{\text{sub}}}{V} = \dfrac{0{,}6}{1{,}0} = 0{,}6\).
El 60% del volum queda submergit.
mitjà
El gel té una densitat de \(0{,}92\ \text{g/cm}^3\) i l'aigua de mar, de \(1{,}03\ \text{g/cm}^3\). Quina fracció d'un iceberg queda per sobre de l'aigua?

Mostra la resolució
La fracció submergida és \(\dfrac{V_{\text{sub}}}{V} = \dfrac{0{,}92}{1{,}03} \approx 0{,}89\).
En queda fora \(1 - 0{,}89 = 0{,}11\).
Aproximadament un 11% de l'iceberg queda per sobre de l'aigua, la famosa punta de l'iceberg.
mitjà
Un dinamòmetre marca 12 N amb una pedra a l'aire i 8 N amb la pedra totalment submergida en aigua. Calcula l'empenyiment, el volum i la densitat de la pedra. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
L'empenyiment és la diferència entre les lectures, \(E = 12 - 8 = 4\ \text{N}\).
El volum surt d'\(E = d\,V\,g\), \(V = \dfrac{4}{1000 \cdot 10} = 4 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3 = 400\ \text{cm}^3\).
La massa és d'1,2 kg, i \(d = \dfrac{1{,}2}{4 \cdot 10^{-4}} = 3000\ \text{kg/m}^3\).
\(E = 4\ \text{N}\), \(V = 400\ \text{cm}^3\) i \(d = 3{,}0\ \text{g/cm}^3\).
mitjà
Un bloc sura en l'aigua amb el 72% del volum submergit. En oli, el mateix bloc sura amb el 90% submergit. Quina és la densitat del bloc, i quina és la de l'oli?

Mostra la resolució
En l'aigua, la fracció submergida és la raó entre les densitats, i \(d_{\text{bloc}} = 0{,}72 \cdot 1{,}0 = 0{,}72\ \text{g/cm}^3\).
En l'oli, \(0{,}90 \cdot d_{\text{oli}} = 0{,}72\), i \(d_{\text{oli}} = 0{,}8\ \text{g/cm}^3\).
\(0{,}72\ \text{g/cm}^3\) i \(0{,}8\ \text{g/cm}^3\), el mateix principi del densímetre.
repte
Una placa de porexpan de \(0{,}2\ \text{m}^3\) i densitat \(50\ \text{kg/m}^3\) fa de rai en l'aigua. Quina és la massa més gran que pot portar sense enfonsar-se? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
L'empenyiment màxim es dona amb la placa tota submergida, \(E_{\text{màx}} = 1000 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = 2000\ \text{N}\).
La mateixa placa pesa \(50 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = 100\ \text{N}\).
La càrrega pot pesar fins a \(2000 - 100 = 1900\ \text{N}\), o 190 kg.
Fins a 190 kg
repte
Un bloc d'alumini de \(100\ \text{cm}^3\) (\(2{,}7\ \text{g/cm}^3\)), penjat d'un dinamòmetre, se submergeix sencer en un got d'aigua recolzat sobre una balança, sense tocar el fons. Quant marca el dinamòmetre, i quant augmenta la lectura de la balança? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
El bloc té 270 g, i \(P = 0{,}27 \cdot 10 = 2{,}7\ \text{N}\). L'empenyiment és \(E = 1000 \cdot 10^{-4} \cdot 10 = 1\ \text{N}\).
El dinamòmetre marca el pes aparent, \(2{,}7 - 1 = 1{,}7\ \text{N}\).
Per la tercera llei de Newton, el bloc empeny l'aigua cap avall amb 1 N, i la balança passa a marcar 1 N més, l'equivalent a 100 g.
El dinamòmetre marca 1,7 N, i la balança augmenta 1 N (100 g).

TANCAMENT

Reptes

Densitat i empenyiment

Un bloc de 400 g ocupa 500 cm³. S'enfonsa o sura en l'aigua? Si sura, quina fracció del volum queda submergida?

Mostra la resolució

La densitat és \(d = \dfrac{400}{500} = 0{,}8\ \text{g/cm}^3\), més petita que la de l'aigua, i el bloc sura.
Quan sura, \(\dfrac{V_{\text{sub}}}{V} = \dfrac{0{,}8}{1{,}0} = 0{,}8\), és a dir, el 80% del volum queda submergit.

Pressió

Una persona de 70 kg s'aguanta dreta sobre un sol peu, amb 140 cm² de suport. Quina és la pressió sobre el terra, en pascals i en atmosferes? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(1\ \text{atm} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\))

Mostra la resolució

El pes és de 700 N i l'àrea, de \(0{,}014\ \text{m}^2\), i aleshores \(p = \dfrac{700}{0{,}014} = 50\,000\ \text{Pa}\).
Això dona \(5{,}0 \cdot 10^4\ \text{Pa}\), o 0,5 atm.

Llei de Stevin

Quina és la pressió total a 25 m de profunditat en un llac? (\(p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), \(d = 1000\ \text{kg/m}^3\), \(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució

L'aigua afegeix \(d\,g\,h = 1000 \cdot 10 \cdot 25 = 2{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\).
Amb l'atmosfera, \(p = 3{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), aproximadament 3,5 atm.

Pressió atmosfèrica

En una ciutat on el baròmetre de mercuri marca 68 cm, quina seria l'altura d'un baròmetre d'aigua? (\(d_{\text{Hg}} = 13{,}6\ \text{g/cm}^3\))

Mostra la resolució

Les dues columnes fan la mateixa pressió, \(d_{\text{Hg}}\,h_{\text{Hg}} = d_{\text{aigua}}\,h_{\text{aigua}}\).
D'aquí, \(h_{\text{aigua}} = 13{,}6 \cdot 68 \approx 925\ \text{cm}\), uns 9,2 m.

Vasos comunicants

En un tub en U amb aigua, aboquem 15 cm d'oli (\(0{,}8\ \text{g/cm}^3\)) en una de les branques. Quina és l'altura de l'aigua per sobre de la superfície de separació, i quin és el desnivell entre les superfícies lliures?

Mostra la resolució

A l'altura de la separació, \(0{,}8 \cdot 15 = 1{,}0 \cdot h_2\), i \(h_2 = 12\ \text{cm}\).
L'oli queda \(15 - 12 = 3\ \text{cm}\) per sobre de la superfície de l'aigua.

Principi de Pascal

Un gat hidràulic té pistons de 4 cm² i 400 cm² i aixeca un cotxe de 1000 kg. Quina força apliquem al pistó petit? Si baixa 10 cm, quant puja el cotxe? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució

La raó entre les àrees és 100, i \(F_1 = \dfrac{10\,000}{100} = 100\ \text{N}\).
El desplaçament queda dividit pel mateix factor, \(d_2 = \dfrac{10}{100} = 0{,}1\ \text{cm} = 1\ \text{mm}\).

Empenyiment

Un dinamòmetre marca 5 N amb un objecte a l'aire i 3 N amb l'objecte totalment submergit en aigua. Quin és el volum de l'objecte, i quina és la seva densitat? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Mostra la resolució

L'empenyiment és \(E = 5 - 3 = 2\ \text{N}\), i el volum surt de \(V = \dfrac{2}{1000 \cdot 10} = 2 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3\), o \(200\ \text{cm}^3\).
La massa és de 0,5 kg, o 500 g, i \(d = \dfrac{500}{200} = 2{,}5\ \text{g/cm}^3\).

Pensar, sense comptes

Un got és ple d'aigua fins a la vora, amb un glaçó que hi sura. Quan el gel es fon, l'aigua vessa?

Mostra la resolució

Mentre sura, el gel desplaça un volum d'aigua el pes del qual és igual al seu propi pes.
En fondre's, es converteix exactament en aquesta quantitat d'aigua, que ocupa l'espai que ocupava la part submergida, i el nivell no canvia.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el seu format, amb un text de base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc alternatives, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall hi ha una llista de preguntes reals de la prova sobre els mateixos temes, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

Densitat · Pas 1
La Joana treballa en una cooperativa de reciclatge i ha de classificar una peça de metall massissa que ha arribat sense cap marca. A la balança, la peça fa 540 g. Agafa una proveta amb 300 mL d'aigua, hi submergeix la peça sencera i veu que el nivell puja fins a 500 mL. Per decidir, la cooperativa té una taula amb la massa específica dels metalls que sol rebre.

Massa específica
Metall d (g/cm³)

Magnesi 1,7

Alumini 2,7

Zinc 7,1

Ferro 7,9

Coure 8,9

Quina és la densitat de la peça, i què pot concloure la Joana sobre el material?
1. 0,37 g/cm³, i la peça no és de cap metall de la taula.
2. 1,1 g/cm³, el valor més proper al del magnesi.
3. 1,8 g/cm³, el valor més proper al del magnesi.
4. 2,7 g/cm³, la de l'alumini.
5. 2,7 g/cm³, però la peça pot ser de qualsevol metall, perquè la densitat canvia amb la seva mida.
Mostra la resolució

Resposta: D.
El volum de la peça és el volum d'aigua que desplaça, i per això mirem quant ha pujat el nivell.
\(V = 500 - 300 = 200\ \text{cm}^3\), ja que 1 mL equival a 1 cm³
\(d = \dfrac{m}{V} = \dfrac{540}{200} = 2{,}7\ \text{g/cm}^3\)
El valor coincideix amb el de l'alumini, i com que la peça és massissa, aquesta densitat és la mateixa massa específica del material.
Qui divideix la massa per la lectura final de la proveta arriba a 1,1 g/cm³, i qui la divideix per la lectura inicial arriba a 1,8 g/cm³. Els 0,37 g/cm³ surten de dividir el volum per la massa. L'alternativa E oblida que la densitat d'un material no depèn de la mida de la peça.
Llei de Stevin · Pas 3
En una classe de laboratori, en Davi i la Marina van baixar un sensor de pressió, a poc a poc, dins d'un dipòsit obert amb un líquid que no coneixien. Cada mig metre van anotar la pressió total, i els punts van quedar sobre la recta del gràfic de sota. Farem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i suposarem el líquid incompressible.

A partir del gràfic, quina és la densitat del líquid?
1. 1,2 kg/m³
2. 1000 kg/m³
3. 1200 kg/m³
4. 2400 kg/m³
5. 6200 kg/m³
Mostra la resolució

Resposta: C.
La recta comença a 100 kPa perquè l'aire ja pressiona la superfície, i el que interessa és quant creix la pressió amb la profunditat.
\(\Delta p = 124 - 100 = 24\ \text{kPa}\) en \(\Delta h = 2\ \text{m}\)
Amb \(\Delta p = d\,g\,\Delta h\) i 24 kPa = 24 000 Pa, la densitat és
\(d = \dfrac{24\,000}{10 \cdot 2} = 1200\ \text{kg/m}^3\)
El 1000 apareix quan suposem, sense mirar el gràfic, que el líquid és aigua, i l'1,2 quan oblidem passar els kPa a Pa. Qui oblida la profunditat arriba a 2400, i qui fa servir la pressió total de 124 kPa, amb l'atmosfera inclosa, arriba a 6200.
Els punts mesurats de debò tendeixen a escampar-se una mica al voltant de la recta, i per això convé treure el pendent de dos punts ben allunyats, com hem fet.
Vasos comunicants · Pas 5
L'Otávio va muntar un tub en U de vidre per a la fira de ciències de l'escola. Hi va posar aigua i, després, va abocar oli de soja en una de les branques, fins a formar una columna de 25 cm per sobre de la superfície de separació entre els dos líquids. La densitat de l'oli de soja és de \(0{,}92\ \text{g/cm}^3\) i la de l'aigua, d'\(1{,}0\ \text{g/cm}^3\), i tots dos no es barregen.

Quan tot ha deixat de moure's, quina és l'altura de l'aigua, a l'altra branca, per sobre de la superfície de separació, i com queden les superfícies lliures?
1. 25 cm, i les dues superfícies lliures queden al mateix nivell.
2. 23 cm, i la superfície de l'oli queda 2 cm per sobre de la superfície de l'aigua.
3. 23 cm, i la superfície de l'aigua queda 2 cm per sobre de la superfície de l'oli.
4. 27 cm, i la superfície de l'aigua queda 2 cm per sobre de la superfície de l'oli.
5. 23 cm, i la superfície de l'oli queda 25 cm per sobre de la superfície de l'aigua.
Mostra la resolució

Resposta: B.
A l'altura de la superfície de separació, les dues branques estan connectades per l'aigua i tenen la mateixa pressió, cosa que ens dona la regla del tub en U.
Amb \(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\), tenim \(0{,}92 \cdot 25 = 1{,}0 \cdot h_2\), i \(h_2 = 23\ \text{cm}\).
L'oli, menys dens, necessita una columna més alta, i la seva superfície queda \(25 - 23 = 2\ \text{cm}\) per sobre de la superfície de l'aigua.
L'alternativa A aplica a dos líquids diferents la regla dels vasos comunicants, que només val per a un sol líquid. La C posa el líquid més dens a dalt, la D inverteix la raó entre les densitats i la E confon la columna d'oli amb el desnivell.
En un tub de debò, la curvatura de la superfície al costat del vidre probablement canvia la lectura en un o dos mil·límetres.
Principi de Pascal · Pas 6
El senyor Antônio, mecànic de motos, explica a un aprenent com funciona el fre de disc davanter. Quan el pilot prem la maneta, el pistó del cilindre mestre, d'\(1{,}5\ \text{cm}^2\), empeny el líquid de frens amb una força de 60 N i avança 12 mm. El líquid porta la pressió fins al pistó de la pinça, de \(9\ \text{cm}^2\), que pressiona la pastilla contra el disc. Suposarem el líquid incompressible, sense bombolles d'aire, i negligirem els fregaments.

Quina és la força del pistó de la pinça sobre la pastilla, i quant avança aquest pistó?
1. 10 N i 72 mm
2. 60 N i 2 mm
3. 360 N i 12 mm
4. 360 N i 72 mm
5. 360 N i 2 mm
Mostra la resolució

Resposta: E.
El líquid transmet la mateixa pressió als dos pistons, i la força queda multiplicada per la raó entre les àrees.
\(p = \dfrac{60}{1{,}5 \cdot 10^{-4}} = 4{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), i a la pinça
\(F_2 = 4{,}0 \cdot 10^5 \cdot 9 \cdot 10^{-4} = 360\ \text{N}\)
El volum de líquid que surt del cilindre mestre entra a la pinça, \(A_1\,d_1 = A_2\,d_2\), i d'aquí \(d_2 = \dfrac{1{,}5 \cdot 12}{9} = 2\ \text{mm}\).
Si ho comprovem per l'energia, \(60 \cdot 12 = 360 \cdot 2 = 720\ \text{N}\cdot\text{mm}\), el mateix treball a totes dues bandes.
L'alternativa A inverteix la raó entre les àrees, i la B confon pressió igual amb força igual. La C i la D obliden que el guany en força costa desplaçament, i la D arriba a multiplicar totes dues coses, com si la premsa creés energia.
Empenyiment · Pas 7
Una barca d'acer fa la travessia d'un riu carregada de cotxes. El buc té forma de caixa de fons pla, amb 12 m de llargada, 5 m d'amplada i 1,2 m d'altura, i la barca buida té una massa de 18 t. Per seguretat, l'autoritat portuària només permet que el buc s'enfonsi fins a 0,8 m. Prendrem la densitat de l'aigua del riu com a \(1000\ \text{kg/m}^3\).

Quina és la càrrega més gran, en tones, que pot portar la barca respectant aquest límit?
1. 30 t
2. 48 t
3. 54 t
4. 66 t
5. Cap, perquè l'acer és més dens que l'aigua i la barca només sura buida.
Mostra la resolució

Resposta: A.
Mentre sura, l'empenyiment iguala el pes de la barca amb la càrrega, i l'empenyiment és el pes de l'aigua desplaçada per la part submergida del buc.
\(V_{\text{sub}} = 12 \cdot 5 \cdot 0{,}8 = 48\ \text{m}^3\), que corresponen a \(48\,000\ \text{kg} = 48\ \text{t}\) d'aigua desplaçada
\(m_{\text{càrrega}} = 48 - 18 = 30\ \text{t}\)
El 48 apareix quan oblidem la massa de la mateixa barca, i el 66 quan la sumem en lloc de restar-la. El 54 surt de fer servir l'altura sencera del buc en lloc del límit de 0,8 m. L'alternativa E mira la densitat de l'acer quan el que decideix és la densitat mitjana del buc, que és buit per dins.
El marge de 0,4 m entre el límit i la vora del buc sembla gran. Amb vent, onades i cotxes mal repartits, però, la barca es pot inclinar, i és aquest marge el que impedeix que hi entri l'aigua.

Massa específica
Metall	d (g/cm³)
Magnesi	1,7
Alumini	2,7
Zinc	7,1
Ferro	7,9
Coure	8,9

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, pel dia, pel color del quadern i pel número.

ENEM 2010, dia 1, quadern blau, pregunta 81. Una escultura de ferro massís al fons d'una piscina buida resisteix els treballadors que intenten aixecar-la, i la pregunta demana per què omplir la piscina d'aigua faria la feina més fàcil, cosa que ens porta a l'empenyiment.
ENEM 2012, dia 1, quadern blau, pregunta 67. El manual d'una dutxa higiènica exigeix una pressió mínima de l'aigua, i hem de reconèixer, en el dibuix de la instal·lació, quina altura entre el dipòsit d'aigua i la dutxa decideix aquesta pressió.
ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 57. Una ampolla de plàstic foradada a tres altures no perd aigua mentre està tapada i en perd quan la destapem, i la pregunta demana el paper de la pressió atmosfèrica en cada cas.
ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 61. Un elevador hidràulic d'accessibilitat aixeca una persona en cadira de rodes, i amb la raó entre les àrees calculem la força que ha de fer la bomba sobre el líquid.
ENEM 2018, dia 2, quadern blau, pregunta 134. Qui intenta beure suc amb dues canyetes, una dins del got i l'altra fora, tendeix a no aconseguir-ho, i la pregunta demana l'explicació en termes de la pressió dins de la boca.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Densitat\(d = m/V\)

Unitats de densitat\(1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3\)

Pressió\(p = F/A\)

Atmosfera\(1\ \text{atm} = 76\ \text{cmHg} \approx 10^5\ \text{Pa}\)

Llei de Stevin\(p = p_0 + d\,g\,h\)

Immersió\(10\ \text{m}\) d'aigua \(\approx 1\ \text{atm}\)

Tub en U\(d_1\,h_1 = d_2\,h_2\)

Premsa hidràulica\(F_1/A_1 = F_2/A_2\)

Desplaçaments\(A_1\,d_1 = A_2\,d_2\)

Empenyiment\(E = d_{\text{líq}}\,V_{\text{sub}}\,g\)

Pes aparent\(P_{\text{ap}} = P - E\)

Flotació\(V_{\text{sub}}/V = d_{\text{cos}}/d_{\text{líq}}\)