Física · Secundària · Cinemàtica

Mviment circular

El ventilador, la nòria, l'agulla del rellotge i la Terra al voltant del Sol repeteixen el mateix camí volta rere volta, com tot el que gira. Mesurarem aquest gir, entendrem per què qui és a la vora va més de pressa i descobrirem que fer un revolt exigeix acceleració, encara que el velocímetre no es mogui, cosa que potser sorprèn a primera vista.

1Període i freqüència
2El radiant
3Velocitat angular × lineal
4Velocitat tangent
5Acceleració centrípeta
6Força centrípeta
7Politges i engranatges
8Sinus i cosinus
9MCUA
10Globus de la mort
11Lleis de Kepler
✓Reptes

PAS 1

Quant de temps triga una volta?

Anomenem període (T) el temps d'una volta completa i freqüència (f) el nombre de voltes que es fan en un segon. L'una és la inversa de l'altra, de manera que, si cada volta dura 0,5 s, en 1 s hi caben 2 voltes.

\(T = \dfrac{1}{f}\)\(f = \dfrac{1}{T}\)T en segons (s) · f en hertzs (Hz = voltes per segon) · rpm = revolucions per minut = f × 60

Per comentar

Posa en pausa a mig camí i compta quantes voltes ha fet el disc en 10 s; quan dividim aquest nombre per 10, el resultat coincideix amb f?
Si dupliquem la freqüència, què passa amb el període?
Un ventilador a 1200 rpm, quantes voltes fa per segon? Recorda que rpm compta les revolucions en un minut.

Freqüència f

Període T

rpm

Temps

Voltes

Exercicis del pas 1 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un ventilador fa 20 voltes completes en 4 s. Quina és la freqüència i quin és el període del ventilador?

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{\text{nre. de voltes}}{\text{temps}} = \dfrac{20}{4} = 5\ \text{Hz}\)
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\ \text{s}\)
\(f = 5\ \text{Hz}\) i \(T = 0{,}2\ \text{s}\)
bàsic
Una nòria completa una volta cada 40 s. Quina és la seva freqüència, en Hz?

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{40}\)
\(f = 0{,}025\ \text{Hz}\)
bàsic
La fulla d'una batedora gira a 3000 rpm. Quina és la freqüència en Hz i quin és el període?

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{3000\ \text{voltes}}{60\ \text{s}} = 50\ \text{Hz}\)
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0{,}02\ \text{s}\)
\(f = 50\ \text{Hz}\) i \(T = 0{,}02\ \text{s}\)
bàsic
Conceptual: si la freqüència de rotació d'una roda es duplica, què passa amb el seu període?

Mostra la resolució
Com que \(T = \dfrac{1}{f}\), període i freqüència són inversament proporcionals.
Fer el doble de voltes per segon vol dir trigar la meitat de temps en cada volta.
El període es redueix a la meitat.
mitjà
Un disc LP de vinil gira a 33⅓ rpm. Calcula'n la freqüència en Hz i el temps d'una volta.

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{33{,}33}{60} \approx 0{,}556\ \text{Hz}\)
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{60}{33{,}33} = 1{,}8\ \text{s}\)
\(f \approx 0{,}56\ \text{Hz}\) i \(T = 1{,}8\ \text{s}\)
mitjà
En el centrifugat, el tambor d'una rentadora gira a 1200 rpm. Quantes voltes fa en 5 minuts, i quin és el període?

Mostra la resolució
\(\text{Voltes} = 1200\ \text{voltes/min} \cdot 5\ \text{min} = 6000\)
\(f = \dfrac{1200}{60} = 20\ \text{Hz} \to T = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\ \text{s}\)
6000 voltes; \(T = 0{,}05\ \text{s}\)
mitjà
L'agulla dels minuts d'un rellotge fa una volta cada hora. Quina és la seva freqüència en Hz? Quantes voltes fa en un dia?

Mostra la resolució
\(T = 1\ \text{h} = 3600\ \text{s}\)
\(f = \dfrac{1}{3600} \approx 2{,}78 \cdot 10^{-4}\ \text{Hz}\)
En 24 h, tenim \(24 \cdot 1\ \text{volta} = 24\ \text{voltes}\)
\(f \approx 2{,}78 \cdot 10^{-4}\ \text{Hz}\); 24 voltes per dia
mitjà
El disc d'un disc dur gira a 7200 rpm. Quin és el període d'una volta, en mil·lisegons? Quantes voltes fa en 0,5 s?

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{7200}{60} = 120\ \text{Hz}\)
\(T = \dfrac{1}{120} \approx 0{,}00833\ \text{s} \approx 8{,}33\ \text{ms}\)
Voltes en 0,5 s \(= f \cdot \Delta t = 120 \cdot 0{,}5 = 60\)
\(T \approx 8{,}33\ \text{ms}\); 60 voltes
repte
El ventilador A gira amb una freqüència de 15 Hz; el ventilador B té un període de 0,05 s. En 1 minut, quantes voltes més que A fa B?

Mostra la resolució
Per a A, \(\text{voltes} = 15 \cdot 60 = 900\)
Per a B, \(f = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\ \text{Hz} \to \text{voltes} = 20 \cdot 60 = 1200\)
\(\text{Diferència} = 1200 - 900 = 300\)
B fa 300 voltes més
repte
Una làmpada estroboscòpica fa 10 centelleigs per segon i il·lumina un ventilador amb una pala marcada. La pala marcada sembla aturada. Quina és la freqüència més petita possible del ventilador, en Hz i en rpm?

Mostra la resolució
Entre dos centelleigs passen \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\ \text{s}\).
La pala sembla aturada si, en aquest interval, el ventilador fa un nombre enter de voltes, i el cas més petit és 1 volta.
\(T = 0{,}1\ \text{s} \to f = \dfrac{1}{0{,}1} = 10\ \text{Hz}\)
\(\text{rpm} = f \cdot 60 = 600\)
\(f = 10\ \text{Hz} = 600\ \text{rpm}\)

PAS 2

El radiant: mesurar angles amb el mateix radi

Agafa un cordill de la mida del radi i enganxa'l a la vora del cercle; l'angle que «abraça» és el que anomenem 1 radiant (≈ 57,3°). A la volta sencera, la nostra primera intuïció potser és comptar 6 radis, i de fet n'hi caben una mica més, exactament 2π ≈ 6,28.

\(\theta = \dfrac{s}{R}\)\(1\ \text{volta} = 2\pi\ \text{rad} = 360^\circ\)s = longitud de l'arc · R = radi · l'angle en radiants diu «quants radis» d'arc s'han recorregut

Per comentar

Arrossega fins que l'arc tingui la mida del radi taronja i mira quant marca l'angle en graus.
Quants radiants val mitja volta, i quants en val un quart de volta?
Per què els físics tendeixen a preferir els radiants? (Pista: s = θ·R queda sense conversió.)

Angle θ

En radiants

En graus

Arc (en radis)

Exercicis del pas 2 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Converteix \(90^\circ\) a radiants. Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(360^\circ = 2\pi\ \text{rad} \to 1^\circ\) \(= \dfrac{\pi}{180}\ \text{rad}\)
\(90^\circ = 90 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\)
\(\dfrac{\pi}{2} \approx \dfrac{3{,}14}{2} = 1{,}57\ \text{rad}\)
\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad} \approx 1{,}57\ \text{rad}\)
bàsic
Converteix \(\pi/3\) rad a graus.

Mostra la resolució
\(\pi\ \text{rad} = 180^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} = \dfrac{180^\circ}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} = 60^\circ\)
bàsic
Un punt de la vora d'una roda de 15 cm de radi recorre un arc de 30 cm. Quin angle ha girat, en radiants i en graus? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\theta = \dfrac{s}{R} = \dfrac{30\ \text{cm}}{15\ \text{cm}} = 2\ \text{rad}\)
Si ho passem a graus, \(2 \cdot \dfrac{180}{3{,}14} \approx 114{,}6^\circ\)
\(\theta = 2\ \text{rad} \approx 115^\circ\)
bàsic
Conceptual: per què una volta completa val \(2\pi\) rad?

Mostra la resolució
\(\theta = \dfrac{s}{R}\). En una volta completa, l'arc recorregut és la circumferència sencera, \(s = 2\pi R\).
\(\theta = \dfrac{2\pi R}{R} = 2\pi\), sigui quin sigui el radi.
Perquè la longitud de la circumferència és \(2\pi\) vegades el radi.
mitjà
L'agulla dels minuts d'un rellotge de paret fa 12 cm. Quina distància recorre la seva punta en 15 minuts? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(15\ \text{min} = \dfrac{1}{4}\) de volta \(\to \theta = \dfrac{2\pi}{4}\) \(= \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\ \text{rad}\)
\(s = \theta \cdot R = 1{,}57 \cdot 0{,}12\ \text{m}\)
\(s \approx 0{,}188\ \text{m}\)
\(s \approx 18{,}8\ \text{cm}\)
mitjà
La roda d'una bicicleta té un radi de 0,35 m i fa 3 voltes completes. Quin angle ha girat en radiants i quina distància ha recorregut un punt del pneumàtic? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\theta = 3 \cdot 2\pi\) \(= 6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14\) \(= 18{,}84\ \text{rad}\)
\(s = \theta \cdot R = 18{,}84 \cdot 0{,}35\)
\(s \approx 6{,}59\ \text{m}\)
\(\theta \approx 18{,}8\ \text{rad}\); \(s \approx 6{,}6\ \text{m}\)
mitjà
Una pizza de 20 cm de radi es talla en 8 porcions iguals. Quin és l'angle de cada porció en radiants i la longitud de la vora de cada porció? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\theta = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\ \text{rad}\)
\(s = \theta \cdot R = 0{,}785 \cdot 0{,}20\ \text{m}\)
\(s \approx 0{,}157\ \text{m}\)
\(\theta \approx 0{,}79\ \text{rad}\); vora \(\approx 15{,}7\ \text{cm}\)
mitjà
La Terra fa una volta cada 24 h i té un radi de 6400 km. En 6 hores, quin angle gira i quin arc recorre una ciutat de l'equador? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(6\ \text{h} = \dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\) de volta \(\to \theta = \dfrac{2\pi}{4} \approx 1{,}57\ \text{rad}\)
\(s = \theta \cdot R = 1{,}57 \cdot 6400\ \text{km}\)
\(s \approx 10\,048\ \text{km}\)
\(\theta = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\ \text{rad}\); \(s \approx 1{,}0 \cdot 10^4\ \text{km}\)
repte
El braç de l'eixugaparabrisa fa 50 cm i escombra un angle de \(120^\circ\). Converteix l'angle a radiants i calcula l'arc que descriu la punta. Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\theta = 120 \cdot \dfrac{\pi}{180}\) \(= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\ \text{rad}\)
\(s = \theta \cdot R = 2{,}0933 \cdot 0{,}50\)
\(s \approx 1{,}05\ \text{m}\)
\(\theta \approx 2{,}09\ \text{rad}\); \(s \approx 1{,}05\ \text{m}\)
repte
Un cotxe recorre 157 m d'una pista circular de 50 m de radi. Quin angle ha descrit, en radiants i en graus, i quina fracció de volta ha fet? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\theta = \dfrac{s}{R} = \dfrac{157}{50} = 3{,}14\ \text{rad}\)
En graus, això dona \(3{,}14 \cdot \dfrac{180}{3{,}14} = 180^\circ\)
La fracció de volta és \(\dfrac{180^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{2}\)
\(\theta \approx 3{,}14\ \text{rad} = 180^\circ\): mitja volta

PAS 3

Al carrusel tothom gira alhora, però no a la mateixa velocitat

L'Ana i l'Estela són sobre el mateix radi del carrusel i escombren el mateix angle en el mateix temps, de manera que tenen la mateixa velocitat angular ω. L'Estela, però, és més lluny del centre i recorre un camí més llarg a cada volta, i per això la seva velocitat lineal v és més gran.

\(\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f\)\(v = \omega\,R\)ω en rad/s · v en m/s · els rastres mostren la distància recorreguda durant l'últim segon

Ana Estela velocitat v

Per comentar

Posa l'Estela al doble del radi de l'Ana i mira què passa amb v i amb ω.
En quin lloc del carrusel t'imagines que hi ha més «pessigolles a la panxa», i per què?
A la Terra, qui va més de pressa, algú a l'equador o algú al pol nord?

Vel. angular ω

Radi de l'Ana

Radi de l'Estela

Període T

v de l'Ana

v de l'Estela

v Estela / v Ana

Exercicis del pas 3 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un ventilador té un període de 0,2 s. Quina és la seva velocitat angular? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14}{0{,}2}\)
\(\omega = 31{,}4\ \text{rad/s}\)
\(\omega \approx 31{,}4\ \text{rad/s}\)
bàsic
Un carrusel gira amb \(\omega = 0{,}5\ \text{rad/s}\). Quina és la velocitat d'una nena asseguda a 4 m del centre?

Mostra la resolució
\(v = \omega \cdot R = 0{,}5 \cdot 4\)
\(v = 2\ \text{m/s}\)
bàsic
Una nòria de 20 m de radi fa una volta cada 60 s. Quina és la velocitat d'una cabina? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 20}{60}\)
\(v = \dfrac{125{,}6}{60} \approx 2{,}09\ \text{m/s}\)
\(v \approx 2{,}1\ \text{m/s}\)
bàsic
Conceptual: en un carrusel, l'Ana és a la vora i l'Estela és a prop del centre. Qui té més velocitat angular? I més velocitat lineal?

Mostra la resolució
Totes dues fan una volta en el mateix temps, de manera que tenen la mateixa \(\omega\).
Com que \(v = \omega \cdot R\), qui és més lluny del centre recorre un cercle més gran en el mateix temps.
La mateixa \(\omega\); l'Ana (a la vora) té més \(v\).
mitjà
La Terra fa una volta cada 24 h i té un radi de 6400 km. Calcula la velocitat angular de la Terra i la velocitat d'un punt de l'equador.

Mostra la resolució
\(T = 24 \cdot 3600 = 86\,400\ \text{s}\)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s}\)
\(v = \omega \cdot R = 7{,}27 \cdot 10^{-5} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{6}\ \text{m}\)
\(v \approx 465\ \text{m/s}\)
\(\omega \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s}\); \(v \approx 470\ \text{m/s}\) (\(\approx 1680\ \text{km/h}\))
mitjà
L'agulla dels segons d'un rellotge fa 10 cm. Quina és la seva velocitat angular i la velocitat de la seva punta? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(T = 60\ \text{s} \to \omega\) \(= \dfrac{2\pi}{60}\) \(= \dfrac{6{,}28}{60} \approx 0{,}105\ \text{rad/s}\)
\(v = \omega \cdot R = 0{,}1047 \cdot 0{,}10\)
\(v \approx 0{,}0105\ \text{m/s}\)
\(\omega \approx 0{,}105\ \text{rad/s}\); \(v \approx 1{,}05\ \text{cm/s}\)
mitjà
Un LP gira a 33⅓ rpm. Compara la velocitat d'un punt a 15 cm del centre amb la d'un punt a 5 cm. Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{33{,}33}{60} \approx 0{,}556\ \text{Hz}\)
\(\omega = 2\pi f \approx 3{,}49\ \text{rad/s}\) (igual per als dos punts)
\(v_{15} = 3{,}49 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}52\ \text{m/s}\)
\(v_{5} = 3{,}49 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}174\ \text{m/s}\)
\(v_{15} \approx 0{,}52\ \text{m/s}\) i \(v_{5} \approx 0{,}17\ \text{m/s}\): el punt exterior va 3 vegades més de pressa
mitjà
Un ciclista va a 7 m/s. La roda té un radi de 0,35 m. Quina és la velocitat angular de la roda i quantes voltes per segon fa? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(v = \omega \cdot R \to \omega\) \(= \dfrac{v}{R}\) \(= \dfrac{7}{0{,}35}\) \(= 20\ \text{rad/s}\)
\(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{20}{6{,}28} \approx 3{,}18\ \text{Hz}\)
\(\omega = 20\ \text{rad/s}\); \(f \approx 3{,}2\) voltes per segon
repte
El disc d'un disc dur gira a 7200 rpm. Quina és la velocitat d'un punt a 4,5 cm de l'eix, en m/s i en km/h? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{7200}{60} = 120\ \text{Hz}\)
\(\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 120 = 753{,}6\ \text{rad/s}\)
\(v = \omega \cdot R\) \(= 753{,}6 \cdot 0{,}045 \approx 33{,}9\ \text{m/s}\)
En km/h, \(33{,}9 \cdot 3{,}6 \approx 122\ \text{km/h}\)
\(v \approx 34\ \text{m/s} \approx 122\ \text{km/h}\)
repte
En un disc que gira, el punt B és 0,30 m més lluny del centre que el punt A, i la velocitat de B és 1,2 m/s més gran que la d'A. Quina és la velocitat angular del disc i la seva freqüència? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
Els dos punts tenen la mateixa \(\omega\), i per això \(v_B - v_A = \omega\,(R_B - R_A)\)
\(\omega = \dfrac{1{,}2}{0{,}30} = 4\ \text{rad/s}\)
\(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{4}{6{,}28} \approx 0{,}637\ \text{Hz}\)
\(\omega = 4\ \text{rad/s}\); \(f \approx 0{,}64\ \text{Hz}\)

PAS 4

Talla el cordill: cap on va la pedra?

Una pedra gira lligada a un cordill, i abans de tallar-lo val la pena fer una predicció del que passarà, perquè la nostra intuïció tendeix a equivocar-se aquí. Després, observa.

En el moviment circular, la velocitat és sempre tangent a la circumferència (perpendicular al radi), i qui va «estirant» la pedra cap al centre, corbant-ne la trajectòria, és el cordill. Sense ell, la pedra segueix recta, per inèrcia.

Per comentar

Quan fem girar un paraigua mullat, per què l'aigua surt «per la tangent»?
En quina direcció esperes que surtin les espurnes de l'esmoladora?
En el llançament de martell, en quin moment l'atleta ha d'amollar el martell?

Tria una predicció i després talla el cordill.

Exercicis del pas 4 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Conceptual: vist des de dalt, fas girar una pedra lligada a un cordill. En l'instant en què la pedra és al punt més al nord del cercle, movent-se cap a l'est, el cordill es trenca. Cap on va?

Mostra la resolució
Sense el cordill, ja no hi ha cap força que estiri la pedra cap al centre.
Per inèrcia, segueix en línia recta amb la velocitat que tenia, que és tangent al cercle.
Segueix en línia recta cap a l'est (per la tangent), no cap al nord ni cap al centre.
bàsic
Conceptual: quan s'esmola un ganivet amb una esmoladora, en quina direcció surten les espurnes respecte al disc?

Mostra la resolució
Les espurnes són partícules calentes que es desprenen de la vora del disc.
En l'instant en què es desprenen, ja res no les manté al cercle, i segueixen amb la velocitat que tenien.
Surten per la tangent al disc, perpendiculars al radi en aquell punt.
bàsic
Conceptual: fas girar un paraigua mullat. Les gotes surten «disparades» cap enfora en la direcció del radi o per la tangent? Per què?

Mostra la resolució
Mentre és enganxada a la tela, la gota fa un moviment circular i la seva velocitat és tangent a la vora.
Quan l'adherència ja no la pot estirar cap al centre, segueix en línia recta amb aquesta velocitat.
Per la tangent, perquè la gota simplement deixa de fer la corba.
bàsic
Una pedra gira en un cercle de 0,8 m de radi i completa una volta cada 0,5 s. Amb quina velocitat surt si s'amolla el cordill? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
En amollar-la, surt amb la mateixa velocitat que tenia al cercle.
\(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}8}{0{,}5}\)
\(v \approx 10{,}05\ \text{m/s}\)
\(v \approx 10\ \text{m/s}\), tangent al cercle
mitjà
En el llançament de martell, l'atleta fa girar la bola en un cercle de 2 m de radi, a 2 voltes per segon. Amb quina velocitat surt el martell, i en quin moment l'ha d'amollar l'atleta? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(v = 2\pi R f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2 \cdot 2\)
\(v \approx 25{,}1\ \text{m/s}\)
El martell surt per la tangent, de manera que l'atleta l'ha d'amollar quan la velocitat (perpendicular al cable) apunta cap al camp.
\(v \approx 25\ \text{m/s}\); amollar-lo quan el cable és perpendicular a la direcció del camp
mitjà
Conceptual: en el centrifugat, el tambor de la rentadora gira de pressa. Per què l'aigua surt de la roba i la roba es queda enganxada a la paret?

Mostra la resolució
La paret del tambor empeny la roba cap al centre i la manté en moviment circular.
Als forats no hi ha paret, i allà res no empeny l'aigua cap al centre, de manera que segueix en línia recta per la tangent i surt pels forats.
L'aigua s'escapa per la tangent pels forats; la roba es queda, perquè la paret la reté.
mitjà
Un cotxe a 72 km/h fa un revolt i passa per sobre d'una taca d'oli, de manera que perd el fregament durant 2 s. Cap on va i quant recorre en aquest temps?

Mostra la resolució
Sense fregament, no hi ha cap força cap al centre del revolt, i el cotxe segueix recte per la tangent.
\(v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}\)
\(d = v \cdot t = 20 \cdot 2 = 40\ \text{m}\)
Segueix en línia recta per la tangent i recorre 40 m
mitjà
En una taula de coixí d'aire sense fregament, un disc lligat a un fil gira en un cercle de 0,5 m de radi, a 2 voltes per segon. El fil es trenca. Quina distància recorre el disc en 0,3 s? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(v = 2\pi R f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}5 \cdot 2 = 6{,}28\ \text{m/s}\)
Sense el fil, avança en línia recta amb aquesta velocitat.
\(d = v \cdot t = 6{,}28 \cdot 0{,}3 \approx 1{,}88\ \text{m}\)
\(d \approx 1{,}9\ \text{m}\), en línia recta per la tangent
repte
En una taula de coixí d'aire, un disc gira al voltant del punt O en un cercle d'1 m de radi, a 2 m/s. El fil es trenca quan el disc és 1 m a la dreta d'O i es mou «cap amunt» (a la pantalla). A quina distància d'O serà el disc 1 s després?

Mostra la resolució
Surt per la tangent i segueix recte «cap amunt», perpendicular al radi.
En 1 s recorre \(d = 2 \cdot 1 = 2\ \text{m}\).
Es forma un triangle rectangle amb catets d'1 m (el radi) i 2 m.
\(\text{Distància} = \sqrt{1^2 + 2^2}\) \(= \sqrt{5} \approx 2{,}24\ \text{m}\)
\(\approx 2{,}2\ \text{m}\) d'O
repte
Una bicicleta és fixada en un suport, amb la roda del darrere (0,35 m de radi) girant en l'aire a 20 rad/s. Una gota de fang es desprèn de la part més alta de la roda, a 0,90 m del terra. A quina distància horitzontal cau? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al punt més alt, la velocitat és horitzontal (tangent) i val \(v = \omega \cdot R = 20 \cdot 0{,}35 = 7\ \text{m/s}\)
Per caure 0,90 m, la gota triga \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}90}{10}} \approx 0{,}424\ \text{s}\)
\(x = v \cdot t = 7 \cdot 0{,}424 \approx 2{,}97\ \text{m}\)
\(x \approx 3{,}0\ \text{m}\)

PAS 5

El velocímetre no es mou i, tot i així, hi ha acceleració

Com que la velocitat és un vector, amb mòdul i direcció, pot canviar encara que el velocímetre no es mogui, i això és el que passa en el moviment circular uniforme (MCU), en què el mòdul no canvia i la direcció canvia tota l'estona. Canviar la velocitat, de la manera que sigui, és accelerar.

Aquesta acceleració apunta sempre cap al centre, i per això l'anomenem acceleració centrípeta. En un cotxe que fa un revolt, qui la proporciona és el fregament dels pneumàtics amb l'asfalt.

Quan activem Mostra-ho pas a pas, tallem el temps en trossos Δt. En cada tros el cotxe avança recte, i al final l'acceleració li dona una «empenteta» Δv = a·Δt que apunta cap al centre. Sumada a la velocitat anterior, aquesta empenta fa girar la velocitat sense canviar-ne el mòdul.

Val la pena mirar el dibuix amb atenció, perquè en la suma v_després = v_abans + Δv la fletxa Δv queda a la punta de v_abans (regla de la suma de vectors) i per això pot semblar «fora de lloc», però la mateixa Δv, dibuixada des del cotxe, apunta exactament cap al centre, que és la direcció de l'acceleració.

\(\vec a = \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}\)\(\vec v_{\text{després}} = \vec v_{\text{abans}} + \Delta \vec v\)\(a_c = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R\)a_c en m/s². Si dupliquem v, a_c es quadruplica, i si dupliquem R, a_c es redueix a la meitat.

velocitat v (tangent) acceleració centrípeta (cap al centre)

Per comentar

En el pas a pas, cap on apunta cada Δv? Fes servir «Avança 1 pas» i comprova-ho en diverses posicions del cotxe.
Amb 6 passos per volta, la trajectòria es converteix en un hexàgon, i ens podem preguntar què passa amb el camí quan augmentem el nombre de passos. Com queda, llavors, Δv/Δt comparat amb v²/R?
Duplica la velocitat i mira el valor d'a_c; s'ha fet 2× o 4× més gran?
Per què els revolts d'una carretera ràpida són tan oberts, amb R gran?
Si la pista és mullada i el fregament no n'hi ha prou, què fa el cotxe? (Torna al pas 4!)

Velocitat v

Radi del revolt R

a_c de 0 a 30 m/s²| = 1 g (9,8 m/s²)

v en km/h

a_c

a_c en «g»

Exercicis del pas 5 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un cotxe fa un revolt de 50 m de radi a 10 m/s, amb una velocitat de mòdul constant. Quina és la seva acceleració centrípeta?

Mostra la resolució
\(a_c = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{10^2}{50} = \dfrac{100}{50}\)
\(a_c = 2\ \text{m/s}^2\), que apunta cap al centre del revolt
bàsic
Una pedra gira a \(\omega = 4\ \text{rad/s}\) en un cercle de 0,5 m de radi. Quina és l'acceleració centrípeta?

Mostra la resolució
\(a_c = \omega^2 \cdot R = 4^2 \cdot 0{,}5 = 16 \cdot 0{,}5\)
\(a_c = 8\ \text{m/s}^2\)
bàsic
Conceptual: en un MCU el velocímetre marca sempre el mateix valor. Tot i així, hi ha acceleració? Cap on apunta?

Mostra la resolució
L'acceleració és \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\), i \(v\) és un vector.
En el MCU el mòdul de \(v\) no canvia, però la direcció canvia tota l'estona.
Sí que n'hi ha, i és l'acceleració centrípeta, que apunta cap al centre.
bàsic
En un revolt, un cotxe té una acceleració centrípeta de \(2\ \text{m/s}^2\). Si fa el mateix revolt amb el doble de velocitat, quina serà l'acceleració centrípeta?

Mostra la resolució
Com que \(a_c = \dfrac{v^2}{R}\), l'acceleració depèn del quadrat de \(v\).
Duplicar \(v \to (2)^2 = 4\) vegades més gran.
\(a_c = 4 \cdot 2\)
\(a_c = 8\ \text{m/s}^2\)
mitjà
La Terra fa una volta cada 24 h i té un radi de 6400 km. Quina és l'acceleració centrípeta d'una persona a l'equador? Compara-la amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(\omega = \dfrac{2\pi}{86\,400} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s}\)
\(a_c = \omega^2 \cdot R\) \(= (7{,}27 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6{,}4 \cdot 10^{6}\)
\(a_c \approx 0{,}0338\ \text{m/s}^2\)
\(\dfrac{a_c}{g} \approx 0{,}00338 \approx 0{,}34\%\)
\(a_c \approx 0{,}034\ \text{m/s}^2\), aproximadament el 0,3% de \(g\)
mitjà
El tambor d'una rentadora té un radi de 0,25 m i gira a 1200 rpm. Quina és l'acceleració centrípeta de la roba enganxada a la paret? Quantes vegades és més gran que g? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\). Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{1200}{60}\) \(= 20\ \text{Hz} \to \omega\) \(= 2\pi f\) \(= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 20\) \(= 125{,}6\ \text{rad/s}\)
\(a_c = \omega^2 \cdot R\) \(= 125{,}6^2 \cdot 0{,}25 \approx 3944\ \text{m/s}^2\)
\(\dfrac{a_c}{g} = \dfrac{3944}{10} \approx 394\)
\(a_c \approx 3{,}9 \cdot 10^3\ \text{m/s}^2\), unes 390 vegades \(g\)
mitjà
Una nòria de 20 m de radi fa una volta cada 60 s. Quina és l'acceleració centrípeta d'un passatger? Compara-la amb \(g\). Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\). Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 20}{60} \approx 2{,}093\ \text{m/s}\)
\(a_c = \dfrac{v^2}{R}\) \(= \dfrac{2{,}093^2}{20} \approx 0{,}219\ \text{m/s}^2\)
\(\dfrac{a_c}{g} \approx 0{,}0219 \approx 2{,}2\%\)
\(a_c \approx 0{,}22\ \text{m/s}^2\), només un 2% de \(g\), aproximadament
mitjà
Un cotxe a 20 m/s va cap al nord i, 4 s després, va cap a l'est a 20 m/s, després d'un quart de volta. Quin és el mòdul de \(\Delta v\) i de l'acceleració mitjana? Cap on apunta \(\Delta v\)?

Mostra la resolució
En \(\Delta v = v_{\text{final}} - v_{\text{inicial}}\), les dues velocitats són perpendiculars.
\(|\Delta v| = \sqrt{20^2 + 20^2}\) \(= 20\sqrt{2} \approx 28{,}3\ \text{m/s}\)
\(a_{\text{mitjana}} = \dfrac{|\Delta v|}{\Delta t}\) \(= \dfrac{28{,}3}{4} \approx 7{,}07\ \text{m/s}^2\)
\(\Delta v\) apunta cap al sud-est, és a dir, cap al centre del revolt (a la meitat del tram).
\(|\Delta v| \approx 28\ \text{m/s}\); \(a_{\text{mitjana}} \approx 7{,}1\ \text{m/s}^2\), que apunta cap al centre
repte
Un objecte en MCU té una velocitat de 10 m/s. En 0,05 s, la seva velocitat gira un angle petit de 0,1 rad. Estima \(|\Delta v|\), l'acceleració i el radi del cercle. Cap on apunta \(\Delta v\)?

Mostra la resolució
Per a un angle petit, \(|\Delta v| \approx v \cdot \Delta\theta = 10 \cdot 0{,}1\) \(= 1\ \text{m/s}\)
\(a = \dfrac{|\Delta v|}{\Delta t} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\ \text{m/s}^2\)
\(\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\) \(= \dfrac{0{,}1}{0{,}05}\) \(= 2\ \text{rad/s} \to R\) \(= \dfrac{v}{\omega}\) \(= \dfrac{10}{2}\) \(= 5\ \text{m}\)
Ho comprovem, \(\dfrac{v^2}{R} = \dfrac{100}{5} = 20\ \text{m/s}^2\) ✓
\(\Delta v\) és gairebé perpendicular a les dues velocitats i apunta cap al centre.
\(|\Delta v| \approx 1\ \text{m/s}\); \(a = 20\ \text{m/s}^2\); \(R = 5\ \text{m}\); \(\Delta v\) apunta cap al centre
repte
Perquè els passatgers vagin còmodes, l'acceleració centrípeta d'un autobús ha de ser com a màxim \(0{,}5\,g\). Quina és la velocitat més gran en un revolt de 80 m de radi? Si el conductor hi entra amb el doble d'aquesta velocitat, quina serà l'acceleració en unitats de \(g\)? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(a_{\text{màx}} = 0{,}5 \cdot 10 = 5\ \text{m/s}^2\)
\(\dfrac{v^2}{R} = 5 \to v\) \(= \sqrt{5 \cdot 80}\) \(= \sqrt{400}\) \(= 20\ \text{m/s}\) \(= 72\ \text{km/h}\)
Amb el doble (\(40\ \text{m/s}\)), tenim \(a_c = \dfrac{40^2}{80} = 20\ \text{m/s}^2 = 2g\)
\(v_{\text{màx}} = 20\ \text{m/s}\) (\(72\ \text{km/h}\)); amb el doble, \(a_c = 2g\) (quatre vegades més gran)

PAS 6

Qui estira cap al centre? La força centrípeta

Segons la 2a llei de Newton, F = m·a, tota acceleració necessita una força. Si en el moviment circular hi ha una acceleració cap al centre, alguna força també ha d'apuntar cap al centre.

Quan parlem de força centrípeta, donem nom al paper que fa una força real, i per això no és una força nova. En el cotxe aquest paper el fa el fregament, en el cordill la tensió i en el satèl·lit la gravetat, que calculem amb la llei de la gravitació, F = G·M·m/r². Si aquesta força no n'hi ha prou, l'objecte surt per la tangent, com al pas 4.

\(F_c = m\,a_c = \dfrac{m\,v^2}{R}\)F en newtons (N) · m en kg · cada situació té el seu límit, que pot ser el fregament màxim (μ·m·g), la resistència del cordill o la intensitat de la gravetat

velocitat v força cap al centre

Per comentar

En el cotxe, augmenta v fins que derrapi i intenta preveure si, amb la pista mullada, derraparà abans o després.
En la pedra, augmenta v fins que el cordill es trenqui. Si el cordill aguanta el doble, la velocitat màxima també es duplica? (Pista: v_màx = √(T_màx·R/m).)
En el satèl·lit, canvia la massa i observa la força de la gravetat i l'òrbita; què canvia, i com ho podem explicar?
Llança el satèl·lit a 7,7 km/s, després a 9, a 11 i a 6 km/s. Quina sembla ser la velocitat més petita per escapar de la Terra?
Per què el satèl·lit no cau, si la gravetat l'estira tota l'estona?
Quan l'autobús fa un revolt i la «força centrífuga» sembla llançar-te cap enfora, és una força real o és el teu cos que intenta seguir recte?
Activa «Mira-ho des de dins del cotxe» i fixa't que, per al passatger, el cotxe està aturat, i ha d'inventar alguna força per explicar-ho; quina força és aquesta? Després, fes derrapar el cotxe i mira què veu el passatger.

Massa m

Velocitat v

Radi R

Resistència del cordill

Qui la proporciona

Exercicis del pas 6 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un objecte de 2 kg gira en un cercle d'1 m de radi amb una velocitat de 4 m/s. Quina és la força centrípeta que hi actua?

Mostra la resolució
\(F_c = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(F_c = \dfrac{2 \cdot 4^2}{1} = \dfrac{2 \cdot 16}{1}\)
\(F_c = 32\ \text{N}\)
bàsic
Quan l'autobús fa un revolt, notes que et «llança» cap enfora. Hi ha una «força centrífuga» que t'empeny?

Mostra la resolució
No. Per inèrcia, el teu cos tendeix a continuar en línia recta.
És l'autobús el que fa el revolt cap a dins, i el seient o la barra és el que t'estira cap al centre.
La sensació és inèrcia, no una força cap enfora.
bàsic
Un cotxe de 1000 kg fa un revolt pla de 50 m de radi a 10 m/s. Quina força centrípeta cal i quina força real la proporciona?

Mostra la resolució
\(F_c = \dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{1000 \cdot 10^2}{50}\)
\(F_c = \dfrac{100\,000}{50}\)
\(F_c = 2000\ \text{N}\), proporcionada pel fregament dels pneumàtics amb l'asfalt
bàsic
Una pedra de 0,5 kg lligada a un cordill gira en un pla horitzontal, en un cercle de 0,8 m de radi, a 4 m/s. Quina és la tensió del cordill (no en tinguis en compte el pes)?

Mostra la resolució
\(T = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(T = \dfrac{0{,}5 \cdot 4^2}{0{,}8} = \dfrac{8}{0{,}8}\)
\(T = 10\ \text{N}\)
mitjà
Quina és la velocitat màxima perquè un cotxe faci un revolt pla de 80 m de radi si el coeficient de fregament és \(\mu = 0{,}5\)? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
A la velocitat màxima, el fregament màxim és la força centrípeta, i \(\mu \cdot m \cdot g = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot R}\) \(= \sqrt{0{,}5 \cdot 10 \cdot 80}\) \(= \sqrt{400}\)
\(v = 20\ \text{m/s} = 72\ \text{km/h}\)
mitjà
Un cordill aguanta com a màxim 50 N. Subjecta una pedra de 0,2 kg que gira en horitzontal amb un radi d'1 m. Quina és la velocitat més gran abans que el cordill es trenqui?

Mostra la resolució
\(T_{\text{màx}} = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(50 = \dfrac{0{,}2 \cdot v^2}{1}\)
\(v^2 = \dfrac{50 \cdot 1}{0{,}2} = 250\)
\(v \approx 15{,}8\ \text{m/s}\) (per sobre d'aquest valor el cordill es trenca)
mitjà
Ciclista i bicicleta sumen 80 kg i fan un revolt pla de 12 m de radi a 6 m/s. Amb \(\mu = 0{,}4\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\), el fregament pot aguantar el revolt?

Mostra la resolució
La força necessària és \(F_c = \dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{80 \cdot 36}{12} = 240\ \text{N}\)
El fregament màxim és \(\mu \cdot m \cdot g = 0{,}4 \cdot 80 \cdot 10 = 320\ \text{N}\)
\(240\ \text{N} \lt 320\ \text{N}\)
Sí, el fregament màxim (320 N) supera els 240 N necessaris.
mitjà
Dos satèl·lits, un de 500 kg i un altre de 1000 kg, són a la mateixa òrbita circular. Quin dels dos ha de tenir més velocitat?

Mostra la resolució
\(\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\)
La massa \(m\) del satèl·lit apareix als dos costats i se simplifica, i ens queda \(v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M}{r}}\).
Tots dos tenen la mateixa velocitat, perquè la massa del satèl·lit no altera l'òrbita.
repte
Un satèl·lit gira en una òrbita circular de radi \(8{,}0 \cdot 10^6\ \text{m}\) al voltant de la Terra. Sabent que \(G \cdot M_{\text{Terra}} \approx 4{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\), calcula'n la velocitat i el període. Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\) \(\Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M}{r}}\)
\(v = \sqrt{\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{8{,}0 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{5{,}0 \cdot 10^7} \approx 7071\ \text{m/s}\)
\(T = \dfrac{2\pi \cdot r}{v}\) \(= \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 8{,}0 \cdot 10^6}{7071} \approx 7105\ \text{s}\)
\(v \approx 7{,}1\ \text{km/s}\) i \(T \approx 7105\ \text{s}\) (unes 2 h)
repte
En un revolt pla de 45 m de radi, el fregament val \(\mu = 0{,}8\) amb la pista seca i \(\mu = 0{,}2\) amb la pista mullada. Calcula la velocitat màxima en els dos casos (\(g = 10\ \text{m/s}^2\)) i compara-les.

Mostra la resolució
Amb la pista seca, \(v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot R}\) \(= \sqrt{0{,}8 \cdot 10 \cdot 45}\) \(= \sqrt{360} \approx 19\ \text{m/s}\)
Amb la pista mullada, \(v = \sqrt{0{,}2 \cdot 10 \cdot 45}\) \(= \sqrt{90} \approx 9{,}5\ \text{m/s}\)
La raó entre les dues és \(\sqrt{\dfrac{0{,}8}{0{,}2}} = \sqrt{4} = 2\)
Seca \(\approx 19\ \text{m/s}\) (68 km/h), mullada \(\approx 9{,}5\ \text{m/s}\) (34 km/h), i la velocitat segura es redueix a la meitat.

PAS 7

Politges, corretges i les marxes de la bicicleta

Quan les politges estan unides per una corretja (o una cadena, o dents en contacte) i suposem que la corretja no rellisca, els punts de la vora de totes dues tenen la mateixa velocitat lineal v. La politja petita, doncs, ha de girar més vegades.

En canvi, en el mateix eix totes dues giren juntes, amb la mateixa ω i la mateixa f, i la que té la vora més ràpida és la gran.

Corretja: \(f_A\,R_A = f_B\,R_B\)Mateix eix: \(f_A = f_B\)A la bicicleta, el moviment va del pedal → plat (gran) → cadena → pinyó (petit), i el pinyó és al mateix eix que la roda del darrere

Per comentar

Si el plat té un radi 3× més gran que el pinyó, quantes voltes fa la roda amb 1 pedalada?
Per què a la pujada fem servir el pinyó gran (marxa «suau»)?
En el mateix eix, quina politja té la vora més ràpida?

Radi d'A

Radi de B

Freqüència d'A

f d'A

f de B

v vora A

v vora B

Exercicis del pas 7 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una politja A de 10 cm de radi gira a 1200 rpm i està unida per una corretja a una politja B de 30 cm de radi. Quina és la freqüència de B?

Mostra la resolució
Amb corretja, les vores tenen la mateixa velocitat \(\Rightarrow f_A \cdot R_A = f_B \cdot R_B\)
\(1200 \cdot 10 = f_B \cdot 30\)
\(f_B = \dfrac{12\,000}{30}\)
\(f_B = 400\ \text{rpm}\)
bàsic
Quina diferència hi ha entre dues politges fixades al mateix eix i dues politges unides per una corretja?

Mostra la resolució
En el mateix eix, les politges giren juntes, amb la mateixa \(\omega\) i la mateixa \(f\) (la gran té la vora més ràpida).
Amb corretja, les vores tenen la mateixa velocitat lineal \(v\) (la petita gira més de pressa).
Eix comú \(\to\) mateixa \(\omega\); corretja, cadena o dents \(\to\) mateixa \(v\) a la vora.
bàsic
Un engranatge de 12 dents gira a 90 rpm i en mou un altre de 36 dents. Quina és la freqüència del gran?

Mostra la resolució
Amb les dents engranades, \(f_A \cdot n_A = f_B \cdot n_B\)
\(90 \cdot 12 = f_B \cdot 36\)
\(f_B = \dfrac{1080}{36}\)
\(f_B = 30\ \text{rpm}\)
bàsic
En una bicicleta, el plat (del pedal) té 48 dents i el pinyó (de la roda) en té 16. Quantes voltes fa la roda a cada pedalada completa?

Mostra la resolució
Per la cadena, \(f_{\text{plat}} \cdot n_{\text{plat}} = f_{\text{pinyó}} \cdot n_{\text{pinyó}}\)
\(1 \cdot 48 = f_{\text{pinyó}} \cdot 16\) \(\Rightarrow f_{\text{pinyó}} = 3\)
La roda és al mateix eix que el pinyó.
La roda fa 3 voltes per pedalada
mitjà
Una ciclista pedala a 1 volta per segon. El plat té 44 dents, el pinyó 22 i la roda té un radi de 0,35 m. Quina és la velocitat de la bicicleta? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(f_{\text{pinyó}} = \dfrac{f_{\text{plat}} \cdot n_{\text{plat}}}{n_{\text{pinyó}}}\) \(= \dfrac{1 \cdot 44}{22}\) \(= 2\ \text{Hz}\)
Com que la roda és al mateix eix, \(f_{\text{roda}} = 2\ \text{Hz}\)
\(v = 2\pi \cdot R \cdot f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}35 \cdot 2 \approx 4{,}4\ \text{m/s}\)
\(v \approx 4{,}4\ \text{m/s} \approx 16\ \text{km/h}\)
mitjà
Per pujar un pendent, la ciclista canvia a la marxa «suau», amb el plat petit i el pinyó gran. Per què costa menys pedalar?

Mostra la resolució
Amb el plat petit i el pinyó gran, cada pedalada fa girar la roda menys vegades.
La bicicleta avança menys per pedalada, però la força necessària al pedal és més petita.
Amb la marxa suau, hi ha menys velocitat per pedalada i menys força; amb la marxa dura, al contrari.
mitjà
En una batedora, la politja del motor (2 cm de radi) gira a 6000 rpm i una corretja mou la politja de les fulles (3 cm de radi). Troba la freqüència de les fulles i la velocitat de la corretja. Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(f_B = \dfrac{f_A \cdot R_A}{R_B} = \dfrac{6000 \cdot 2}{3} = 4000\ \text{rpm}\)
\(f_A = \dfrac{6000}{60} = 100\ \text{Hz}\)
\(v = 2\pi \cdot R_A \cdot f_A\) \(= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}02 \cdot 100\) \(= 12{,}56\ \text{m/s}\)
\(f_B = 4000\ \text{rpm}\) i \(v \approx 12{,}6\ \text{m/s}\)
mitjà
Una politja A de 0,05 m de radi gira amb \(\omega = 40\ \text{rad/s}\) i està unida per una corretja a la politja B, de 0,2 m de radi. Calcula la velocitat de la corretja, \(\omega_B\) i \(f_B\). Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(v = \omega_A \cdot R_A = 40 \cdot 0{,}05 = 2\ \text{m/s}\)
\(\omega_B = \dfrac{v}{R_B} = \dfrac{2}{0{,}2} = 10\ \text{rad/s}\)
\(f_B = \dfrac{\omega_B}{2\pi}\) \(= \dfrac{10}{6{,}28} \approx 1{,}59\ \text{Hz}\)
\(v = 2\ \text{m/s}\), \(\omega_B = 10\ \text{rad/s}\), \(f_B \approx 1{,}59\ \text{Hz}\)
repte
En un rellotge, l'engranatge A (10 dents) gira a 120 rpm i mou B (40 dents). Al mateix eix que B hi ha C (10 dents), que mou D (30 dents). Quina és la freqüència de D?

Mostra la resolució
A \(\to\) B (dents): \(f_B = \dfrac{120 \cdot 10}{40} = 30\ \text{rpm}\)
B i C són al mateix eix, de manera que \(f_C = 30\ \text{rpm}\)
C \(\to\) D (dents): \(f_D = \dfrac{30 \cdot 10}{30} = 10\ \text{rpm}\)
\(f_D = 10\ \text{rpm}\) (reducció total de 12 vegades)
repte
Una ciclista vol anar a 18 km/h. La roda té un radi de 0,3 m, el plat 42 dents i el pinyó 14. Quantes pedalades per minut ha de fer? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{18}{3{,}6} = 5\ \text{m/s}\)
\(f_{\text{roda}} = \dfrac{v}{2\pi \cdot R}\) \(= \dfrac{5}{6{,}28 \cdot 0{,}3} \approx 2{,}654\ \text{Hz}\)
\(f_{\text{pinyó}} = f_{\text{roda}}\); \(f_{\text{plat}} = f_{\text{pinyó}} \cdot \dfrac{14}{42} \approx 0{,}885\ \text{Hz}\)
En rpm, això dona \(0{,}885 \cdot 60 \approx 53\)
Unes 53 pedalades per minut

PAS 8

El sinus i el cosinus són les ombres d'un gir

Si encenem una llanterna de costat cap al punt que gira, l'ombra a la paret només puja i baixa, i aquesta ombra vertical és y = R·sin θ. L'ombra a terra, en canvi, va i ve en horitzontal, i és x = R·cos θ.

Com que l'angle creix amb el temps (θ = ω·t), cada ombra dibuixa una ona. Les dues ones tenen la mateixa forma, i el cosinus va un quart de volta (π/2) per davant del sinus.

\(x = R\cos(\omega t)\)\(y = R\sin(\omega t)\)\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)L'última és el teorema de Pitàgores, en què les dues ombres són els catets i el radi és la hipotenusa del triangle rectangle de la figura.

Per comentar

Deixa només el sinus activat i mira on és el punt quan l'ona arriba al màxim i quan passa per zero.
Arrossega θ fins a 90°, 180° i 270° i anota quant valen sin θ i cos θ en cada cas.
Activa les dues ones; quina arriba primer al màxim?
Si dupliquem ω, què passa amb la mida de cada ona en el temps? (Pensa en el període T.)
Què més de la natura puja i baixa així? Podem pensar en la molla, el pèndol, la marea i el so.

sinus: ombra vertical cosinus: ombra horitzontal

Angle θ

Vel. angular ω

sin θ

cos θ

sin² + cos²

Període T

Exercicis del pas 8 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un punt gira en un cercle de 2 m de radi. Quan \(\theta = 30^\circ\), quines són les seves coordenades \(x\) i \(y\)? Utilitza \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).

Mostra la resolució
\(x = R \cdot \cos 30^\circ\) \(= 2 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(= 2 \cdot 0{,}865\)
\(y = R \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 0{,}5\)
\(x \approx 1{,}73\ \text{m}\) i \(y = 1\ \text{m}\)
bàsic
Un punt gira en un cercle de radi 1. Dona \(\sin\theta\) i \(\cos\theta\) per a \(\theta = 0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) i \(270^\circ\) i digues on és el punt.

Mostra la resolució
\(0^\circ\): \(\cos = 1\), \(\sin = 0 \to\) punt a la dreta \((1, 0)\)
\(90^\circ\): \(\cos = 0\), \(\sin = 1 \to\) a dalt \((0, 1)\)
\(180^\circ\): \(\cos = -1\), \(\sin = 0 \to\) a l'esquerra \((-1, 0)\)
\(270^\circ\): \(\cos = 0\), \(\sin = -1 \to\) a baix \((0, -1)\)
\(\cos\) és la coordenada \(x\), \(\sin\) és la coordenada \(y\) del punt.
bàsic
Un punt en MCU de 5 m de radi té \(\omega = \pi/2\ \text{rad/s}\) i surt de \(\theta = 0\). On és a \(t = 1\ \text{s}\)?

Mostra la resolució
\(\theta = \omega \cdot t\) \(= \left(\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 1\) \(= \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\) \(= 90^\circ\)
\(x = 5 \cdot \cos 90^\circ = 5 \cdot 0 = 0\)
\(y = 5 \cdot \sin 90^\circ = 5 \cdot 1 = 5\)
\((x, y) = (0,\ 5\ \text{m})\): a dalt de tot del cercle
bàsic
Per què \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) val per a qualsevol angle?

Mostra la resolució
En el cercle de radi 1, el punt forma un triangle rectangle amb catets \(\cos\theta\) (horitzontal) i \(\sin\theta\) (vertical).
La hipotenusa és el mateix radi, igual a 1.
Per Pitàgores, \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1^2\).
És el teorema de Pitàgores amb el radi com a hipotenusa.
mitjà
Una nòria de 10 m de radi fa una volta en 40 s. Una cabina surt de la posició \(\theta = 0\) (a l'altura del centre, a la dreta). A \(t = 5\ \text{s}\), a quina distància horitzontal i vertical del centre és? Utilitza \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

Mostra la resolució
\(\theta = \left(\dfrac{360^\circ}{40}\right) \cdot 5\) \(= 45^\circ\)
\(x = 10 \cdot \cos 45^\circ\) \(= 10 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 10 \cdot 0{,}705\)
\(y = 10 \cdot \sin 45^\circ \approx 10 \cdot 0{,}705\)
\(x \approx 7{,}05\ \text{m}\) i \(y \approx 7{,}05\ \text{m}\) (l'ombra a terra és a 7,05 m del centre)
mitjà
Un punt del primer quadrant té \(\sin\theta = 0{,}6\). Quant val \(\cos\theta\)?

Mostra la resolució
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
\(\cos^2\theta = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\)
\(\cos\theta = \sqrt{0{,}64}\) (positiu al 1r quadrant)
\(\cos\theta = 0{,}8\)
mitjà
La pala d'un ventilador fa 5 voltes per segon. Si dibuixem l'altura \(y(t)\) de la punta de la pala, obtenim una ona sinusoidal. Quin és el període i la freqüència d'aquesta ona?

Mostra la resolució
L'ona es repeteix a cada volta completa.
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{5}\)
\(T = 0{,}2\ \text{s}\) i \(f = 5\ \text{Hz}\) (els mateixos que el gir)
mitjà
Un punt gira amb període \(T = 8\ \text{s}\). L'ombra vertical (sinus) arriba al màxim a \(t = 3\ \text{s}\). Sabent que el cosinus va \(\pi/2\) avançat respecte al sinus, quan va arribar al màxim l'ombra horitzontal (cosinus)?

Mostra la resolució
\(\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\) és \(\dfrac{1}{4}\) de volta \(\to\) equival a \(\dfrac{T}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\ \text{s}\)
Com que el cosinus va avançat, el seu màxim arriba abans.
\(t = 3 - 2\)
\(t = 1\ \text{s}\)
repte
L'ombra d'un punt en MCU (radi 0,2 m, període 2 s) projectada en una paret fa un moviment harmònic simple. Quina és l'amplitud, el període i la velocitat màxima de l'ombra? On és més ràpida? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
Amplitud \(= R = 0{,}2\ \text{m}\); període \(= T = 2\ \text{s}\)
La velocitat màxima de l'ombra és la velocitat del punt, \(v = \dfrac{2\pi \cdot R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}2}{2} = 0{,}628\ \text{m/s}\)
Al centre, la velocitat del punt és paral·lela a la paret, i als extrems és perpendicular (l'ombra s'atura).
\(A = 0{,}2\ \text{m}\), \(T = 2\ \text{s}\), \(v_{\text{màx}} \approx 0{,}63\ \text{m/s}\), al centre de l'oscil·lació (i zero als extrems)
repte
Un punt gira amb un radi de 4 m i \(\omega = \pi/6\ \text{rad/s}\), sortint de \(\theta = 0\). Quines són les coordenades a \(t = 4\ \text{s}\)? Utilitza \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).

Mostra la resolució
\(\theta = \left(\dfrac{\pi}{6}\right) \cdot 4\) \(= \dfrac{2\pi}{3}\ \text{rad}\) \(= 120^\circ\)
\(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -0{,}5\); \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x = 4 \cdot (-0{,}5) = -2\ \text{m}\)
\(y = 4 \cdot 0{,}865 \approx 3{,}46\ \text{m}\)
\((x, y) \approx (-2\ \text{m};\ 3{,}46\ \text{m})\), al 2n quadrant

PAS 9

Engegar i apagar: el MCUA

Quan el ventilador s'engega, no arriba a la velocitat màxima de cop, i ω va creixent; quan s'apaga, ω va disminuint fins que s'atura. Si ω canvia sempre al mateix ritme, diem que el moviment és circular uniformement accelerat (MCUA) i anomenem aquest ritme acceleració angular α = Δω/Δt.

Ara l'acceleració té dues parts. La tangencial a_t = α·R, al llarg de la velocitat, canvia el mòdul de v, mentre que la centrípeta a_c = ω²·R continua canviant-ne la direcció. Quan les sumem, l'acceleració total ja no apunta cap al centre.

\(\omega = \omega_0 + \alpha\,t\)\(\theta = \omega_0\,t + \dfrac{\alpha\,t^2}{2}\)\(\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta\)\(a_t = \alpha\,R\)Són les fórmules del MRUA amb una altra roba, en què canviem la posició s → angle θ, la velocitat v → ω i l'acceleració a → α.

v a_t tangencial a_c centrípeta a total

Per comentar

Just després d'«Accelera», quina part de l'acceleració és més gran, i què canvia quan ω ja és alta?
En el gràfic ω × t, què representa el pendent de cada tram, i com és el tram de «Mantén»?
Fes clic a «Frena» i mira cap a on apunta ara a_t. Quantes voltes fa la roda fins que s'atura? Ho podem comprovar amb ω² = ω₀² + 2·α·Δθ.
Duplica |α|. La roda s'atura en la meitat del temps, i en la meitat de voltes?

Mida d'α

Temps

α ara

v a la vora

a_t

a_c

Voltes des de l'últim botó

Exercicis del pas 9 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un ventilador surt del repòs i, en 6 s, arriba a una velocitat angular de 30 rad/s. Quina és l'acceleració angular mitjana?

Mostra la resolució
\(\alpha = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\)
\(\alpha = \dfrac{30 - 0}{6}\)
\(\alpha = 5\ \text{rad/s}^2\)
bàsic
La roda d'una bicicleta gira a 20 rad/s quan el ciclista frena, amb una acceleració angular de \(-4\ \text{rad/s}^2\). Quant de temps triga la roda a aturar-se?

Mostra la resolució
\(\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t\)
\(0 = 20 + (-4) \cdot t\)
\(t = \dfrac{20}{4}\)
\(t = 5\ \text{s}\)
bàsic
Una batedora s'engega des del repòs amb una acceleració angular constant de \(50\ \text{rad/s}^2\). Quina és la velocitat angular de les fulles al cap de 4 s?

Mostra la resolució
\(\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t\)
\(\omega = 0 + 50 \cdot 4\)
\(\omega = 200\ \text{rad/s}\)
bàsic
Una centrifugadora accelera el seu gir. Quina component de l'acceleració canvia el mòdul de la velocitat i quina en canvia la direcció? L'acceleració total apunta cap al centre?

Mostra la resolució
L'acceleració tangencial (\(a_t = \alpha \cdot R\)) és tangent a la trajectòria i canvia el mòdul de \(v\).
L'acceleració centrípeta (\(a_c = \omega^2 \cdot R\)) apunta cap al centre i canvia la direcció de \(v\).
La total és la suma vectorial de totes dues, inclinada cap endavant.
\(a_t\) canvia el mòdul, \(a_c\) canvia la direcció, i la total NO apunta cap al centre.
mitjà
Una centrifugadora surt del repòs amb \(\alpha = 10\ \text{rad/s}^2\). Quin angle descriu en 8 s i quantes voltes representa? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\theta = \omega_0 \cdot t + \dfrac{\alpha \cdot t^2}{2}\)
\(\theta = 0 + \dfrac{10 \cdot 8^2}{2} = 320\ \text{rad}\)
\(\text{voltes} = \dfrac{\theta}{2\pi}\) \(= \dfrac{320}{6{,}28} \approx 50{,}96\)
\(\theta = 320\ \text{rad} \approx 51\) voltes
mitjà
Un ventilador que gira a 60 rad/s s'apaga i s'atura després de fer 30 voltes. Quina és l'acceleració angular (suposada constant)? Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\Delta\theta = 30 \cdot 2\pi\) \(= 30 \cdot 6{,}28\) \(= 188{,}4\ \text{rad}\)
\(\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \Delta\theta\)
\(0 = 60^2 + 2 \cdot \alpha \cdot 188{,}4\)
\(\alpha = -\dfrac{3600}{376{,}8}\)
\(\alpha \approx -9{,}55\ \text{rad/s}^2\) (el signe negatiu indica que frena)
mitjà
Un disc de 0,15 m de radi accelera amb \(\alpha = 4\ \text{rad/s}^2\). En l'instant en què \(\omega = 2\ \text{rad/s}\), calcula \(a_t\), \(a_c\) i l'acceleració total d'un punt de la vora.

Mostra la resolució
\(a_t = \alpha \cdot R = 4 \cdot 0{,}15 = 0{,}6\ \text{m/s}^2\)
\(a_c = \omega^2 \cdot R = 2^2 \cdot 0{,}15 = 0{,}6\ \text{m/s}^2\)
\(a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}\) \(= \sqrt{0{,}6^2 + 0{,}6^2}\) \(= \sqrt{0{,}72}\)
\(a_t = 0{,}6\ \text{m/s}^2\), \(a_c = 0{,}6\ \text{m/s}^2\), \(a \approx 0{,}85\ \text{m/s}^2\)
mitjà
En frenar, una roda passa de 12 rad/s a 4 rad/s en 2 s. Fent servir l'analogia amb el MRUA (\(\theta \leftrightarrow s\), \(\omega \leftrightarrow v\), \(\alpha \leftrightarrow a\)), calcula \(\alpha\) i l'angle girat en aquest interval.

Mostra la resolució
\(\alpha = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\) \(= \dfrac{4 - 12}{2}\) \(= -4\ \text{rad/s}^2\)
\(\theta = \omega_0 \cdot t + \dfrac{\alpha \cdot t^2}{2}\) \(= 12 \cdot 2 + \dfrac{(-4) \cdot 2^2}{2}\)
\(\theta = 24 - 8\)
\(\alpha = -4\ \text{rad/s}^2\) i \(\theta = 16\ \text{rad}\)
repte
La pala d'un ventilador té la punta a 0,5 m de l'eix. El ventilador surt del repòs amb \(\alpha = 2\ \text{rad/s}^2\). A \(t = 3\ \text{s}\), calcula \(\omega\), la velocitat de la punta i la seva acceleració total.

Mostra la resolució
\(\omega = \alpha \cdot t = 2 \cdot 3 = 6\ \text{rad/s}\)
\(v = \omega \cdot R = 6 \cdot 0{,}5 = 3\ \text{m/s}\)
\(a_t = \alpha \cdot R = 1\ \text{m/s}^2\)
\(a_c = \omega^2 \cdot R = 36 \cdot 0{,}5 = 18\ \text{m/s}^2\)
\(a = \sqrt{1^2 + 18^2} \approx 18{,}03\ \text{m/s}^2\)
\(\omega = 6\ \text{rad/s}\), \(v = 3\ \text{m/s}\), \(a \approx 18\ \text{m/s}^2\) (gairebé tota centrípeta)
repte
Una centrifugadora de laboratori surt del repòs i arriba a 100 rad/s després de 25 voltes, amb \(\alpha\) constant. Calcula \(\alpha\) i el temps que hi ha trigat. Utilitza \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
\(\Delta\theta = 25 \cdot 2\pi = 157\ \text{rad}\)
\(\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \Delta\theta\) \(\Rightarrow 100^2 = 2 \cdot \alpha \cdot 157\)
\(\alpha = \dfrac{10\,000}{314} \approx 31{,}85\ \text{rad/s}^2\)
\(t = \dfrac{\omega}{\alpha}\) \(= \dfrac{100}{31{,}85} \approx 3{,}14\ \text{s}\)
\(\alpha \approx 31{,}85\ \text{rad/s}^2\) i \(t \approx 3{,}14\ \text{s}\)

PAS 10

Globus de la mort: per què la moto no cau quan és a dalt de tot?

Al globus, la moto circula per dins d'una esfera, en un cercle vertical. Si negligim l'aire i el fregament, hi actuen dues forces, el pes P, sempre cap avall, i la normal N, que fa la paret i que apunta sempre cap al centre.

A baix, el pes apunta cap enfora del cercle, i per això la normal ha de ser gran, cosa que fa que el pilot se senti «més pesat». A dalt, el pes i la normal apunten tots dos cap al centre. Si la moto va a poc a poc, el pes tot sol ja és més del que demana la corba, i la moto es desenganxa de la paret i cau.

La geometria del punt més alt. Sense la paret, la moto es convertiria en un projectil i cauria seguint una paràbola que, a prop del punt més alt, es corba com un cercle de radi v²/g. Si v²/g > R, la caiguda seria més oberta que el globus, i la moto intentaria travessar la paret, que l'empeny de tornada. Si v²/g < R, la caiguda es corba més que el globus, i la moto s'allunya de la paret i cau. Podem comparar les dues corbes a la lupa de sota la simulació.

Dalt: \(N + P = \dfrac{m\,v^2}{R}\)Baix: \(N - P = \dfrac{m\,v^2}{R}\)\(v_{\text{mín}} = \sqrt{g\,R}\)radi de la caiguda lliure al punt més alt: \(\dfrac{v^2}{g}\)La velocitat mínima al punt més alt correspon a N = 0, quan només el pes fa la força centrípeta, i no depèn de la massa de la moto.

pes P normal N resultant cap al centre v

Per comentar

Mira la línia discontínua «camí sense paret» i fixa't quan entra a la paret (verda) i quan se'n separa cap a dins del globus (vermella).
A la lupa, deixa la corba de la caiguda exactament a sobre del globus i compara aquesta velocitat amb v_mín.
Redueix la velocitat fins que la moto caigui i observa en quin punt es desenganxa. Com es compara aquesta velocitat amb v_mín?
Canvia la massa i mira si la velocitat mínima canvia. Per què?
En quin punt del globus el pilot se sent més pesat, i quantes vegades el seu propi pes?
Per què l'aigua no cau d'una galleda que fem girar molt de pressa en vertical?

Velocitat v

Radi del globus R

Massa (moto + pilot)

v_mín a dalt

N a dalt

N a baix

Sensació de pes ara

Exercicis del pas 10 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un globus de la mort té un radi de 3,6 m. Quina és la velocitat mínima de la moto al punt més alt perquè no caigui? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al punt més alt, amb \(N = 0\), tenim \(P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R}\)
\(v_{\text{mín}} = \sqrt{10 \cdot 3{,}6} = \sqrt{36}\)
\(v_{\text{mín}} = 6\ \text{m/s}\)
bàsic
Un motorista lleuger i un altre de pesat entren al mateix globus de la mort. El més pesat necessita més velocitat al punt més alt?

Mostra la resolució
A \(v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R}\), la massa se simplifica, perquè el pes i la força centrípeta són proporcionals a \(m\).
No. La velocitat mínima depèn només de \(g\) i \(R\), no de la massa.
bàsic
Fas girar una galleda amb aigua en un cercle vertical de 0,9 m de radi. Quina és la velocitat més petita al punt més alt perquè l'aigua no caigui? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al límit, només el pes fa la centrípeta, i \(v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R}\)
\(v_{\text{mín}} = \sqrt{10 \cdot 0{,}9} = \sqrt{9}\)
\(v_{\text{mín}} = 3\ \text{m/s}\)
bàsic
Una vagoneta de muntanya russa de 100 kg passa pel punt més alt d'un looping de 5 m de radi a 10 m/s. Quina és la força normal que hi fan els rails? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al punt més alt, \(N + P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(\dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{100 \cdot 100}{5} = 2000\ \text{N}\); \(P = 1000\ \text{N}\)
\(N = 2000 - 1000\)
\(N = 1000\ \text{N}\)
mitjà
Una persona de 60 kg passa pel punt més baix d'un looping de 10 m de radi a 15 m/s. Calcula la normal del seient i la sensació de pes \(N/P\). Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
A baix, \(N - P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(\dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{60 \cdot 225}{10} = 1350\ \text{N}\); \(P = 600\ \text{N}\)
\(N = 1350 + 600 = 1950\ \text{N}\)
\(\dfrac{N}{P} = \dfrac{1950}{600} = 3{,}25\)
\(N = 1950\ \text{N}\); se sent 3,25 vegades més pesada
mitjà
Moto i pilot sumen 200 kg i passen pel punt més alt d'un globus de 4 m de radi a 8 m/s. Quina és la normal que fa el globus sobre la moto? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al punt més alt, \(N + P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(\dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{200 \cdot 64}{4} = 3200\ \text{N}\); \(P = 2000\ \text{N}\)
\(N = 3200 - 2000\)
\(N = 1200\ \text{N}\)
mitjà
Un avió fa un looping vertical de 500 m de radi. Amb quina velocitat ha de passar pel punt més alt perquè el pilot quedi «sense pes» (\(N = 0\)) al seient? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(N = 0\) \(\Rightarrow P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow v = \sqrt{g \cdot R}\)
\(v = \sqrt{10 \cdot 500} = \sqrt{5000}\)
\(v \approx 70{,}7\ \text{m/s} \approx 255\ \text{km/h}\)
mitjà
Un looping de muntanya russa té un radi de 8 m. Quina és la velocitat mínima al punt més alt, en m/s i en km/h? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
\(v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R} = \sqrt{10 \cdot 8} = \sqrt{80}\)
\(v_{\text{mín}} \approx 8{,}94\ \text{m/s}\)
En km/h, \(8{,}94 \cdot 3{,}6 \approx 32{,}2\ \text{km/h}\)
\(v_{\text{mín}} \approx 8{,}9\ \text{m/s} \approx 32\ \text{km/h}\)
repte
Un avió passa pel punt més baix d'un looping de 400 m de radi a 100 m/s. Quantes vegades més pesat se sent el pilot (\(N/P\))? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
A baix, \(N - m \cdot g = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow N = m \cdot \left(g + \dfrac{v^2}{R}\right)\)
\(\dfrac{N}{P} = 1 + \dfrac{v^2}{g \cdot R} = 1 + \dfrac{10\,000}{10 \cdot 400}\)
\(\dfrac{N}{P} = 1 + 2{,}5\)
\(\dfrac{N}{P} = 3{,}5\) (el pilot sent 3,5 vegades el seu propi pes)
repte
Al punt més alt d'un looping de 6 m de radi, un passatger nota que el seient l'empeny amb el doble del seu pes (\(N = 2P\)). Quina és la velocitat de la vagoneta? Utilitza \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
Al punt més alt, \(N + P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
\(2 \cdot m \cdot g + m \cdot g = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow v^2 = 3 \cdot g \cdot R\)
\(v^2 = 3 \cdot 10 \cdot 6 = 180\)
\(v \approx 13{,}4\ \text{m/s}\)

PAS 11

Les lleis de Kepler: les òrbites reals

Fins ara hem tractat les òrbites com a cercles. Cap al 1609, analitzant les mesures de Tycho Brahe, Johannes Kepler va descobrir com es mouen realment els planetes, i avui resumim el que va trobar en tres lleis.

1a llei, de les òrbites: cada planeta descriu una el·lipse, amb el Sol en un dels focus. Anomenem el punt més proper al Sol periheli i el més llunyà afeli, i el cercle és l'el·lipse d'excentricitat zero.

2a llei, de les àrees: la línia Sol–planeta escombra àrees iguals en temps iguals. Per això el planeta va més de pressa a prop del Sol i més a poc a poc lluny d'ell.

3a llei, dels períodes: el quadrat del període dividit pel cub del semieix major és el mateix per a tots els planetes, és a dir, T²/a³ = constant. Qui és més lluny triga molt més a fer la volta.

\(\dfrac{T^2}{a^3} = \text{constant}\)T en anys, a en UA: \(\dfrac{T^2}{a^3} = 1\)UA = unitat astronòmica = distància mitjana Terra–Sol ≈ 150 milions de km. Més endavant Newton va demostrar que les tres lleis es dedueixen de la gravitació F = G·M·m/r².

3a llei al sistema solar
Planeta	a (UA)	T (anys)	T²/a³
Mercuri	0,387	0,241	1,00
Venus	0,723	0,615	1,00
Terra	1,000	1,000	1,00
Mart	1,524	1,881	1,00
Júpiter	5,203	11,86	1,00
Saturn	9,537	29,46	1,00

Per comentar

Amb les àrees activades, totes les porcions han trigat el mateix temps; per què, doncs, les porcions a prop del Sol són curtes i amples?
On és més gran la velocitat, al periheli o a l'afeli? Ho podem comprovar amb el valor de v.
Si dupliquem el semieix a, el període també es duplica? (Pista: T = a^1,5.)
La Terra és més a prop del Sol al gener; per què, doncs, el gener no és estiu a l'hemisferi nord?

Excentricitat e

Semieix major a

Distància al Sol r

Velocitat v

Període T

T² / a³

Exercicis del pas 11 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Una companya diu: «La Terra gira en un cercle perfecte amb el Sol just al centre». D'acord amb la 1a llei de Kepler, què hi ha d'incorrecte en aquesta frase? Explica també què són el periheli i l'afeli.

Mostra la resolució
La 1a llei diu que l'òrbita de cada planeta és una el·lipse, i el Sol és en un dels focus, no al centre.
Per això, la distància planeta–Sol canvia al llarg de l'òrbita.
El periheli és el punt de l'òrbita més proper al Sol.
L'afeli és el punt de l'òrbita més llunyà del Sol.
L'òrbita de la Terra és una el·lipse d'excentricitat molt petita (gairebé un cercle), però el Sol continua fora del centre.
L'òrbita és el·líptica amb el Sol en un focus; periheli = punt més proper, afeli = punt més llunyà.
bàsic
Un planeta triga el mateix temps a anar d'A a B (a prop del periheli) i de C a D (a prop de l'afeli). Segons la 2a llei de Kepler, compara les àrees escombrades i digues en quin tram el planeta va més de pressa.

Mostra la resolució
Segons la 2a llei, el segment Sol–planeta escombra àrees iguals en temps iguals.
Com que els intervals de temps són iguals \(\to\) les dues àrees són iguals.
A prop del periheli, el segment és curt; per escombrar la mateixa àrea, el planeta ha de recórrer un arc més llarg.
A prop de l'afeli, el segment és llarg; n'hi ha prou amb un arc més curt.
Arc més llarg en el mateix temps \(\to\) velocitat més gran.
Les àrees són iguals, i el planeta va més de pressa al tram AB (a prop del periheli).
bàsic
El semieix major de l'òrbita de Mart és \(a \approx 1{,}52\ \text{UA}\). Fent servir la 3a llei de Kepler (\(T^2/a^3 = 1\), amb \(T\) en anys i \(a\) en UA), calcula el període de Mart.

Mostra la resolució
\(\dfrac{T^2}{a^3} = 1\) \(\Rightarrow T^2 = a^3\)
\(a^3 = 1{,}52^3 \approx 3{,}51\)
\(T = \sqrt{3{,}51} \approx 1{,}87\)
\(T \approx 1{,}87\) anys (aproximadament 1 any i 10 mesos).
bàsic
Júpiter té un semieix major \(a \approx 5{,}2\ \text{UA}\) i un període \(T \approx 11{,}9\) anys. Calcula \(T^2/a^3\) i digues si el resultat confirma la 3a llei de Kepler.

Mostra la resolució
\(T^2 = 11{,}9^2 \approx 141{,}6\)
\(a^3 = 5{,}2^3 \approx 140{,}6\)
\(\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{141{,}6}{140{,}6} \approx 1{,}01\)
El valor és pràcticament 1, la mateixa constant que la de la Terra (\(T = 1\) any, \(a = 1\ \text{UA}\)); la petita diferència ve de l'arrodoniment de les dades.
\(\dfrac{T^2}{a^3} \approx 1{,}01 \approx 1\): confirma la 3a llei.
mitjà
El cometa Halley té una òrbita molt allargada, amb un semieix major \(a \approx 17{,}8\ \text{UA}\). Fes servir la 3a llei de Kepler per estimar-ne el període i compara'l amb el valor observat, d'uns 75 anys.

Mostra la resolució
El Halley orbita el Sol, de manera que val \(T^2/a^3 = 1\) (\(T\) en anys, \(a\) en UA).
\(T^2 = a^3 = 17{,}8^3 \approx 5\,640\)
\(T = \sqrt{5\,640} \approx 75{,}1\)
El resultat coincideix amb el període observat (\(\approx 75\) anys).
\(T \approx 75\) anys.
mitjà
Al periheli, el cometa Halley és a unes 0,59 UA del Sol; a l'afeli, a unes 35 UA. Fent servir \(v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a\), quantes vegades més de pressa va al periheli que a l'afeli?

Mostra la resolució
\(v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a\) \(\Rightarrow \dfrac{v_p}{v_a} = \dfrac{r_a}{r_p}\)
\(\dfrac{v_p}{v_a} = \dfrac{35}{0{,}59} \approx 59{,}3\)
Comprovació: \(a = \dfrac{r_p + r_a}{2} = \dfrac{0{,}59 + 35}{2} \approx 17{,}8\ \text{UA}\), d'acord amb el semieix major conegut.
Al periheli el Halley va unes 59 vegades més de pressa que a l'afeli.
mitjà
La Lluna orbita la Terra amb un radi mitjà de 384 000 km i un període de 27,3 dies. Un satèl·lit geoestacionari té un període d'1 dia. Fent servir la 3a llei de Kepler per als cossos que orbiten la Terra, calcula el radi de l'òrbita d'aquest satèl·lit.

Mostra la resolució
Per als cossos que orbiten la Terra, \(T^2/a^3\) també és constant, però la constant no és la del sistema solar. Per això comparem dos cossos que orbiten la Terra:
\(\dfrac{T_s^2}{a_s^3} = \dfrac{T_L^2}{a_L^3}\) \(\Rightarrow a_s = a_L \cdot \left(\dfrac{T_s}{T_L}\right)^{2/3}\)
\(\dfrac{T_s}{T_L} = \dfrac{1}{27{,}3}\)
\(\left(\dfrac{1}{27{,}3}\right)^{2/3} \approx 0{,}1103\)
\(a_s \approx 384\,000 \cdot 0{,}1103 \approx 42\,350\ \text{km}\)
\(a \approx 42\,000\ \text{km}\) (comptats des del centre de la Terra).
mitjà
La Terra passa pel periheli a principis de gener (≈ 147 milions de km del Sol) i per l'afeli a principis de juliol (≈ 152 milions de km). Si la distància causés les estacions, com seria el gener als dos hemisferis? Què causa realment les estacions?

Mostra la resolució
Si la distància en fos la causa, el gener seria estiu a tot el planeta, també a l'hemisferi nord.
Però al gener és hivern a l'hemisferi nord i estiu a l'hemisferi sud, i els hemisferis tenen estacions oposades alhora.
A més, la variació de distància és petita: \(\dfrac{152 - 147}{147} \approx 3{,}4\%\).
La causa real és la inclinació de l'eix de la Terra (\(\approx 23{,}5^\circ\)), i al llarg de l'any cada hemisferi rep llum solar més directa i dies més llargs en una època, i més inclinada i dies més curts en l'altra.
Les estacions les causa la inclinació de l'eix de la Terra, no la distància al Sol.
repte
Un planeta hipotètic X orbita el Sol amb un període de 8 anys. El seu periheli és a 2 UA del Sol. Troba el semieix major, la distància a l'afeli i quantes vegades més de pressa va al periheli que a l'afeli.

Mostra la resolució
Segons la 3a llei, \(a^3 = T^2 = 8^2 = 64\) \(\Rightarrow a = \sqrt[3]{64} = 4\ \text{UA}\)
Segons la 1a llei (el·lipse), \(r_p + r_a = 2a\) \(\Rightarrow r_a = 2 \cdot 4 - 2 = 6\ \text{UA}\)
Segons la 2a llei, \(v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a\) \(\Rightarrow \dfrac{v_p}{v_a} = \dfrac{6}{2} = 3\)
\(a = 4\ \text{UA}\); afeli a 6 UA; al periheli va 3 vegades més de pressa.
repte
Un satèl·lit en òrbita baixa té un radi d'òrbita de 6 800 km (mesurat des del centre de la Terra) i un període d'uns 92 minuts. Estima el període d'un altre satèl·lit amb un radi d'òrbita de 42 200 km, en hores. Per què aquí no podem fer servir \(T^2/a^3 = 1\)?

Mostra la resolució
\(T^2/a^3 = 1\) només val (en anys i UA) per als cossos que orbiten el Sol. Els dos satèl·lits orbiten la Terra, de manera que comparteixen una altra constant, la mateixa per a tots dos.
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}\)
\(\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{42\,200}{6\,800} \approx 6{,}21\)
\((6{,}21)^{3/2} \approx 15{,}46\)
\(T_2 \approx 92 \cdot 15{,}46 \approx 1\,422\ \text{min}\)
\(\dfrac{1\,422}{60} \approx 23{,}7\ \text{h}\)
És pràcticament 1 dia, i aquesta és l'òrbita geoestacionària.
\(T \approx 23{,}7\ \text{h}\) (aproximadament 1 dia).

TANCAMENT

Reptes

Període i freqüència

Un ventilador gira a 1200 rpm; quina és la seva freqüència en Hz, i quin és el seu període?

Mostra la resolució

\(f = \dfrac{1200}{60} = 20\ \text{Hz}\)
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\ \text{s}\)

Velocitat angular

Quina és la velocitat angular de l'agulla dels segons d'un rellotge?

Mostra la resolució

\(T = 60\ \text{s}\)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) \(= \dfrac{2\pi}{60} \approx 0{,}105\ \text{rad/s}\)

Velocitat lineal

Una nòria de 10 m de radi fa una volta cada 40 s. A quina velocitat va qui és a la cabina?

Mostra la resolució

\(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 10}{40}\)
\(v \approx 1{,}57\ \text{m/s}\) (\(\approx 5{,}7\ \text{km/h}\), el ritme d'una caminada)

Acceleració centrípeta

Un cotxe fa un revolt de 50 m de radi a 72 km/h; quina és la seva acceleració centrípeta?

Mostra la resolució

\(72\ \text{km/h} \div 3{,}6 = 20\ \text{m/s}\)
\(a_c = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{400}{50} = 8\ \text{m/s}^2\)
(gairebé 1 g, per això el cos «se'n va cap al costat»)

Transmissió

A la bicicleta, el plat té 48 dents i el pinyó 16. Pedalant a 1 volta per segon, amb una roda de 0,35 m de radi, quina és la velocitat de la bicicleta?

Mostra la resolució

Dents \(\propto\) radi \(\Rightarrow f_{\text{pinyó}} = 1 \cdot \dfrac{48}{16} = 3\ \text{Hz}\)
Roda al mateix eix que el pinyó \(\Rightarrow f_{\text{roda}} = 3\ \text{Hz}\)
\(v = 2\pi R f\) \(= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}35 \cdot 3 \approx 6{,}6\ \text{m/s} \approx 24\ \text{km/h}\)

Pensar, sense comptes

Una persona a l'equador i una altra a São Paulo giren amb la Terra. Qui té més \(\omega\), i qui té més \(v\)?

Mostra la resolució

\(\omega\) és igual, perquè totes dues fan 1 volta cada 24 h.
\(v\) és més gran a l'equador, que és més lluny de l'eix de la Terra (\(R\) més gran), i \(v = \omega\,R\).

Força centrípeta

Una pedra de 0,5 kg gira lligada a un cordill d'1 m a 4 m/s; quina és la tensió del cordill?

Mostra la resolució

\(F = \dfrac{m\,v^2}{R} = \dfrac{0{,}5 \cdot 16}{1} = 8\ \text{N}\)
(la tensió fa el paper de força centrípeta)

Força i fregament

El cotxe del repte del revolt té 1000 kg. Quina força de fregament han de fer els pneumàtics, i, amb \(\mu = 0{,}4\) (pista mullada), ho aconseguirà?

Mostra la resolució

\(F = m\,a_c = 1000 \cdot 8 = 8000\ \text{N}\)
Fregament màx. \(= \mu\,m\,g = 0{,}4 \cdot 1000 \cdot 9{,}8 \approx 3920\ \text{N}\)
\(8000\ \text{N} > 3920\ \text{N}\) → derrapa i surt per la tangent

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el format de l'ENEM, amb un text base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna recorre un pas diferent de la lliçó. Al final de la llista indiquem preguntes reals de la prova sobre els mateixos temes, que potser són el millor entrenament per a qui s'hi ha de presentar.

Període i freqüència · Pas 1
El manual d'un ventilador de sostre porta una taula amb la rotació de les pales i la potència consumida en cadascuna de les tres velocitats del comandament. Suposarem que, a cada velocitat, les pales giren amb freqüència constant.

Ventilador de sostre
Velocitat Potència (W) Rotació (rpm)

1 30 120

2 45 180

3 65 240

Quan passem el comandament de la velocitat 1 a la velocitat 3, què passa amb el període de rotació de les pales?
1. Augmenta, i passa de 2 s a 4 s.
2. Disminueix, i passa de 0,5 s a 0,25 s.
3. Disminueix, i passa d'uns 0,008 s a uns 0,004 s.
4. Augmenta, i passa de 0,25 s a 0,5 s.
5. Es manté igual, perquè les pales tenen la mateixa mida a les tres velocitats.
Mostra la resolució

Resposta: B.
Com que rpm compta les voltes en un minut, dividim per 60 per obtenir la freqüència en hertzs.
\(f_1 = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{Hz}\), \(T_1 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\ \text{s}\)
\(f_3 = \dfrac{240}{60} = 4\ \text{Hz}\), \(T_3 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{s}\)
Hem duplicat la freqüència i, amb això, el període s'ha reduït a la meitat. L'opció A confon freqüència i període, la C fa servir 1/rpm, que dona el període en minuts, i la D potser ve de la intuïció que girar més de pressa «triga més»; la potència de la taula no entra en el càlcul.
Velocitat angular × lineal · Pas 3
En un CD de música, el làser recorre la pista de dades amb una velocitat lineal pràcticament constant, d'uns 1,2 m/s, i per això el disc ha de canviar de rotació a mesura que avança la lectura. La pista comença a uns 2,4 cm del centre i acaba a uns 6,0 cm.

Si suposem una velocitat lineal d'1,2 m/s a tota la pista, quines velocitats angulars ha de tenir el disc en llegir el principi i el final de la pista, en aquest ordre?
1. 0,029 rad/s i 0,072 rad/s.
2. 0,5 rad/s i 0,2 rad/s.
3. 20 rad/s i 50 rad/s.
4. 50 rad/s en tots dos casos, ja que el disc és rígid.
5. 50 rad/s i 20 rad/s.
Mostra la resolució

Resposta: E.
Partim de \(v = \omega\,R\), que ens dona \(\omega = \dfrac{v}{R}\), amb els radis en metres.
\(\omega_{\text{inici}} = \dfrac{1{,}2}{0{,}024} = 50\ \text{rad/s}\)
\(\omega_{\text{final}} = \dfrac{1{,}2}{0{,}060} = 20\ \text{rad/s}\)
El disc va desaccelerant mentre la lectura avança cap a la vora. L'opció A multiplica v per R en lloc de dividir, la B oblida passar els centímetres a metres i la C inverteix l'ordre. La D valdria per a dos punts del disc en el mateix instant, quan tots giren junts, i aquí comparem dos moments diferents de la lectura.
Politges i engranatges · Pas 7
En una bicicleta de carretera, la Helena pedala amb el plat de 44 dents i el pinyó de 22 dents, i manté una cadència de 90 pedalades per minut. La roda del darrere, amb el pneumàtic, té 70 cm de diàmetre. Suposarem que la cadena no rellisca i que el pneumàtic roda sense lliscar.

Fent servir \(\pi \approx 3{,}14\), quina és, aproximadament, la velocitat de la bicicleta?
1. 1,8 km/h
2. 6 km/h
3. 12 km/h
4. 24 km/h
5. 47 km/h
Mostra la resolució

Resposta: D.
El plat gira amb el pedal, \(f_{\text{plat}} = \dfrac{90}{60} = 1{,}5\ \text{Hz}\), i la cadena dona als dos engranatges la mateixa velocitat a la vora. Com que el nombre de dents és proporcional al radi, tenim
\(f_{\text{pinyó}} = 1{,}5 \cdot \dfrac{44}{22} = 3\ \text{Hz}\)
La roda és al mateix eix que el pinyó i també gira a 3 Hz, amb radi \(R = 0{,}35\ \text{m}\).
\(v = 2\pi R f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}35 \cdot 3\)
\(v \approx 6{,}6\ \text{m/s} \approx 24\ \text{km/h}\)
Qui inverteix la raó de les dents arriba a 6 km/h, qui s'oblida dels engranatges i fa girar la roda amb el pedal arriba a 12 km/h, i qui fa servir el diàmetre en lloc del radi arriba a 47 km/h. L'opció A divideix per 3,6 en lloc de multiplicar.
Acceleració centrípeta · Pas 5
Als laboratoris d'anàlisis clíniques, la sang extreta va a una centrifugadora, que separa els glòbuls vermells del plasma fent girar els tubs a gran velocitat. En una centrifugadora de sobretaula, el fons dels tubs és a 10 cm de l'eix i el rotor gira a 3000 rpm.

Fent servir \(\pi \approx 3{,}14\) i \(g = 10\ \text{m/s}^2\), l'acceleració centrípeta al fons dels tubs val, aproximadament,
1. 3 vegades g.
2. 25 vegades g.
3. 1000 vegades g.
4. 100 000 vegades g.
5. 350 000 vegades g.
Mostra la resolució

Resposta: C.
Comencem passant les rpm a hertzs i calculant ω.
\(f = \dfrac{3000}{60} = 50\ \text{Hz}\)
\(\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 50\)
\(\omega = 314\ \text{rad/s}\)
\(a_c = \omega^2 R = 314^2 \cdot 0{,}10\)
\(a_c \approx 9860\ \text{m/s}^2\)
\(\dfrac{a_c}{g} = \dfrac{9860}{10} \approx 986\), a prop de 1000 vegades g.
L'opció A oblida el quadrat de ω, la B oblida el factor 2π, la D fa servir el radi en centímetres i la E deixa la rotació en rpm. Un nombre d'aquesta mida sembla explicar per què la centrifugadora separa en minuts el que la gravetat tota sola separaria molt a poc a poc.
Satèl·lits i lleis de Kepler · Passos 6 i 11
Els satèl·lits de televisió són en una òrbita geoestacionària, en què una volta al voltant de la Terra dura unes 24 h, i per això semblen aturats al cel per a qui és a terra. Un satèl·lit d'observació, en una òrbita circular més baixa, fa una volta cada 3 h.

En tots dos casos, la gravetat de la Terra fa el paper de força centrípeta, i la 3a llei de Kepler, \(T^2/r^3 = \text{constant}\), val per a tots els satèl·lits de la Terra. Quantes vegades més gran és el radi de l'òrbita geoestacionària que el radi de l'òrbita del satèl·lit d'observació?
1. 2
2. 4
3. 8
4. 23
5. 64
Mostra la resolució

Resposta: B.
Com que la constant és la mateixa per als dos satèl·lits, podem igualar les raons.
\(\dfrac{T_G^2}{r_G^3} = \dfrac{T_O^2}{r_O^3}\), \(\left(\dfrac{r_G}{r_O}\right)^3 = \left(\dfrac{T_G}{T_O}\right)^2\)
\(\left(\dfrac{r_G}{r_O}\right)^3 = \left(\dfrac{24}{3}\right)^2\) \(= 64\)
\(\dfrac{r_G}{r_O} = \sqrt[3]{64} = 4\)
L'opció C suposa que el radi creix en la mateixa proporció que el període, i la E s'atura a \(8^2\) sense fer l'arrel cúbica. La A fa l'arrel cúbica de 8 sense elevar el període al quadrat, i la D intercanvia els exponents de la llei.

Ventilador de sostre
Velocitat	Potència (W)	Rotació (rpm)
1	30	120
2	45	180
3	65	240

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem trobar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2013, dia 1, quadern blau, pregunta 66. Un carnisser tria entre dos muntatges de les politges d'una serra de cinta, i hem de decidir quin deixa la fulla més lenta comparant freqüències i velocitats a les vores.
ENEM 2014, dia 1, quadern blau, pregunta 82. A partir d'una tira còmica sobre un satèl·lit en òrbita, la pregunta demana l'acceleració tangencial d'un personatge que gira amb una velocitat de mòdul constant.
ENEM 2016, dia 1, quadern blau, pregunta 66. Un rellotger munta un cronòmetre amb engranatges, i ens toca seguir la freqüència del motor, parell per parell, fins a arribar a l'agulla.
ENEM 2018, dia 2, quadern blau, pregunta 122. Canviar les rodes d'un cotxe per unes altres de diàmetre més gran afecta l'estabilitat i fa que el velocímetre s'equivoqui, i la pregunta demana aquestes dues conseqüències.
ENEM 2019, dia 2, quadern blau, pregunta 109. Partint de la caiguda de fragments d'un coet soviètic a l'Atlàntic el 1978, la pregunta compara la velocitat angular del coet amb la de la Terra.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Període i freqüència\(T = 1/f\)

Angle en radiants\(\theta = s/R \quad 2\pi = 360^\circ\)

Velocitat angular\(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\)

Velocitat lineal\(v = \omega R = 2\pi R/T\)

Acceleració centrípeta\(a_c = v^2/R = \omega^2 R\)

Corretja / dents\(f_A R_A = f_B R_B\)

Mateix eix\(\omega_A = \omega_B\)

MCUA\(\omega = \omega_0 + \alpha t \quad a_t = \alpha R\)

Globus de la mort\(v_{\text{mín}} = \sqrt{gR}\)

3a llei de Kepler\(T^2/a^3 = \text{const.}\)

Ombres del gir\(x = R\cos\omega t \quad y = R\sin\omega t\)

Força centrípeta\(F_c = m v^2/R\)

UnitatsHz · rad/s · m/s · m/s² · N