Física · Secundària · Ones i oscil·lacions

Ones i oscil·lacions

El balanceig d'un pèndol, la nota d'una guitarra, l'eco contra una paret de roca i la sirena que canvia de to quan l'ambulància passa depenen d'unes poques idees sobre oscil·lacions i ones. Començarem pel moviment harmònic simple, el vaivé més senzill que existeix, veurem com una oscil·lació s'escampa pel medi i es converteix en ona, i arribarem al so. En els càlculs de la lliçó fem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

1Moviment harmònic simple
2Pèndol simple
3Què és una ona
4Reflexió i refracció
5Interferència
6Ones estacionàries
7So
✓Reptes

PAS 1

Un vaivé que es repeteix

Quan estirem un bloc lligat a una molla i el deixem anar, va i ve al voltant de la posició d'equilibri, sempre al mateix ritme. Si negligim el fregament, la força de la molla és \(F = -k\,x\), proporcional al desplaçament i sempre apuntant cap a l'equilibri, i el moviment que produeix s'anomena moviment harmònic simple (MHS).

La posició segueix un cosinus, \(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)\). L'amplitud \(A\) és l'allunyament més gran, \(\omega\) és la pulsació, en rad/s, i la fase inicial \(\varphi_0\) indica en quin punt del vaivé el rellotge ha començat a comptar.

Aquest cosinus té un origen que ja coneixem de la lliçó de Moviment circular. Un punt que gira en MCU (moviment circular uniforme) en un cercle de radi \(A\), amb velocitat angular \(\omega\), té una ombra sobre el diàmetre horitzontal que fa el mateix vaivé que el bloc, i per això la pulsació de l'MHS fa servir la mateixa lletra i la mateixa unitat que la velocitat angular.

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)\)\(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \dfrac{2\pi}{T}\)\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)\(v_{\text{màx}} = \omega A\)\(a_{\text{màx}} = \omega^2 A\)\(E = \tfrac{1}{2}k\,x^2 + \tfrac{1}{2}m\,v^2 = \tfrac{1}{2}k\,A^2\)\(k\) en N/m, \(m\) en kg, \(\omega\) en rad/s i \(f = 1/T\) en hertzs. Suposem una molla ideal, sense massa i que compleix la llei de Hooke, i cap fregament. En una molla de veritat l'amplitud tendeix a disminuir a poc a poc.

El període només depèn de la massa i de la rigidesa de la molla, \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\). Una massa més gran costa més d'accelerar i una molla més dura estira amb més força. L'amplitud no apareix a la fórmula, perquè el bloc deixat anar més lluny també va més de pressa i triga el mateix temps a tornar.

Durant el vaivé, l'energia canvia de forma. Als extrems el bloc s'atura un instant i la molla guarda tota l'energia, \(\tfrac{1}{2}k\,A^2\), i al centre la molla està relaxada i l'energia és tota cinètica. Sense fregament, la suma de totes dues es manté constant.

Per comentar

Deixa anar el bloc i compara l'ombra del punt que gira en el cercle amb el mateix bloc. En quin moment del gir passa el bloc pel centre amb la velocitat més gran?
Quadruplica la massa sense tocar la molla. El període es duplica, com suggereix l'arrel de la fórmula?
Canvia només l'amplitud i segueix el període al gràfic. La nostra intuïció tendeix a dir que un balanceig més gran triga més, i el període sembla canviar?
Posa en pausa quan la barra d'energia cinètica sigui al màxim i mira on és el bloc. I on és quan l'energia de la molla és màxima?

Massa del bloc

Constant de la molla k

Amplitud A

Pulsació ω

Període T

Freqüència f

Posició x

Velocitat v

Energia total

Exercicis del pas 1 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Un bloc de 0,5 kg està lligat a una molla de constant \(k = 50\ \text{N/m}\) i oscil·la sobre una taula sense fregament. Quina és la pulsació \(\omega\), i quin és el període? Fes servir \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
La pulsació només depèn de la massa i de la molla, \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}5}}\) \(= \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}\).
El període és el temps d'una volta completa del punt que gira en el cercle de referència, \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).
\(T = \dfrac{2 \cdot 3{,}14}{10} \approx 0{,}63\ \text{s}\)
bàsic
La posició d'un cos en MHS (moviment harmònic simple) ve donada, en unitats del SI, per \(x(t) = 0{,}2\cos(4t)\). Quines són l'amplitud, la pulsació, el període i la freqüència? Fes servir \(\pi \approx 3\).

Mostra la resolució
Comparant amb \(x = A\cos(\omega t + \varphi_0)\), llegim \(A = 0{,}2\ \text{m}\) i \(\omega = 4\ \text{rad/s}\), amb \(\varphi_0 = 0\).
El període és \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2 \cdot 3}{4}\) \(= 1{,}5\ \text{s}\).
\(A = 0{,}2\ \text{m}\), \(\omega = 4\ \text{rad/s}\), \(T = 1{,}5\ \text{s}\) i \(f = \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}67\ \text{Hz}\).
bàsic
En un MHS (moviment harmònic simple), en quins punts del vaivé la velocitat és màxima, i en quins punts l'acceleració és màxima?

Mostra la resolució
Als extrems el cos s'atura un instant per tornar enrere, i la molla està més estirada o més comprimida, amb la força més gran, \(|F| = k\,A\).
Al centre la molla està relaxada, la força és nul·la i el cos hi passa amb tota l'energia en forma cinètica.
La velocitat és màxima al centre, \(v_{\text{màx}} = \omega A\), i l'acceleració és màxima als extrems, \(a_{\text{màx}} = \omega^2 A\).
bàsic
Un bloc lligat a una molla fa 20 oscil·lacions completes en 10 s. Quin és el període, i quina és la freqüència?

Mostra la resolució
El període és el temps d'una oscil·lació, \(T = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\ \text{s}\).
\(T = 0{,}5\ \text{s}\) i \(f = \dfrac{1}{T} = 2\ \text{Hz}\)
mitjà
Un bloc de 0,2 kg oscil·la en una molla de 20 N/m. Canviem el bloc per un altre de 0,8 kg, a la mateixa molla. Quantes vegades augmenta el període? Fes servir \(\pi \approx 3{,}14\) i calcula els dos períodes.

Mostra la resolució
Amb el primer bloc, \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{20}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63\ \text{s}\).
Amb el segon, \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}8}{20}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}2 \approx 1{,}26\ \text{s}\).
El període es duplica, perquè la massa s'ha fet 4 vegades més gran i \(\sqrt{4} = 2\).
mitjà
Un bloc de 0,5 kg, lligat a una molla de 200 N/m, s'estira 10 cm i es deixa anar. Si negligim el fregament, quina és l'energia mecànica del sistema, i quina és la velocitat del bloc quan passa pel centre?

Mostra la resolució
A l'extrem tota l'energia és a la molla, \(E = \dfrac{1}{2}k\,A^2\) \(= \dfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}1^2 = 1\ \text{J}\).
Al centre és tota cinètica, \(\dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot v^2 = 1\), i d'aquí \(v^2 = 4\).
Si ho comprovem per un altre camí, \(\omega = \sqrt{200/0{,}5} = 20\ \text{rad/s}\) i \(\omega A = 20 \cdot 0{,}1\) donen el mateix valor.
\(E = 1\ \text{J}\) i \(v = 2\ \text{m/s}\)
mitjà
Un punt gira en MCU (moviment circular uniforme) en un cercle de radi 5 cm, fent 2 voltes per segon, i una llanterna en projecta l'ombra en una paret. Quin moviment fa l'ombra, i amb quina amplitud, freqüència i velocitat màxima? Fes servir \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
Com vam veure a la lliçó de Moviment circular, la projecció d'un MCU sobre un diàmetre és un MHS (moviment harmònic simple) amb la mateixa freqüència i amplitud igual al radi, \(A = 5\ \text{cm}\) i \(f = 2\ \text{Hz}\).
La pulsació és la velocitat angular del punt, \(\omega = 2\pi f = 4\pi \approx 12{,}6\ \text{rad/s}\).
L'ombra va més de pressa quan el punt passa per dalt o per baix del cercle, i en aquell moment té la mateixa velocitat que el punt.
MHS amb \(A = 5\ \text{cm}\), \(f = 2\ \text{Hz}\) i \(v_{\text{màx}} = \omega A = 12{,}6 \cdot 0{,}05\) \(\approx 0{,}63\ \text{m/s}\)
mitjà
En un MHS (moviment harmònic simple) d'amplitud \(A\), quina fracció de l'energia mecànica és cinètica quan el cos passa per \(x = A/2\)?

Mostra la resolució
L'energia elàstica en aquest punt és \(\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{A}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2}k\,A^2\), una quarta part de l'energia total.
Sense fregament, el que falta per completar l'energia total és en forma cinètica.
Tres quartes parts, o el 75%, de l'energia són cinètiques a \(x = A/2\).
repte
Pengem un cos de 0,4 kg d'una molla vertical, i s'estira 10 cm fins a l'equilibri. Després estirem el cos una mica cap avall i el deixem anar. Quin és el període de l'oscil·lació? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
A l'equilibri, la força de la molla iguala el pes, \(k \cdot 0{,}1 = 0{,}4 \cdot 10\), i per tant \(k = 40\ \text{N/m}\).
En la molla vertical el pes només canvia la posició d'equilibri, i al voltant d'aquesta posició el cos fa un MHS (moviment harmònic simple) amb el mateix període que la molla horitzontal.
\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{40}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63\ \text{s}\)
repte
Un bloc d'1 kg, lligat a una molla de 100 N/m sobre una taula sense fregament, es deixa anar a 20 cm de l'equilibri. Quina velocitat té quan passa a 12 cm de l'equilibri?

Mostra la resolució
L'energia total és la de la molla a l'extrem, \(E = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}2^2 = 2\ \text{J}\).
A 12 cm, la molla guarda \(\dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}12^2 = 0{,}72\ \text{J}\), i la resta és cinètica, \(2 - 0{,}72 = 1{,}28\ \text{J}\).
D'aquí \(\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2 = 1{,}28\), és a dir, \(v^2 = 2{,}56\).
\(v = 1{,}6\ \text{m/s}\)

PAS 2

Un rellotge fet de fil i pes

Un pèndol simple és una massa petita penjada d'un fil lleuger, que es balanceja al voltant de la vertical. Per a angles petits, la part del pes que retorna la massa cap al centre és gairebé proporcional a l'allunyament, i el balanceig es converteix en un MHS (moviment harmònic simple).

D'aquí surt \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\), que és vàlida si suposem oscil·lacions petites, fins a uns 15°, un fil sense massa i cap resistència de l'aire. La massa no hi apareix, perquè un cos més pesant rep una força més gran i també costa més d'accelerar, en la mateixa proporció, com en la caiguda lliure.

L'amplitud gairebé no hi compta. Es diu que Galileu se'n va adonar mirant com es balancejava una llàntia a la catedral de Pisa, i va ser aquesta propietat la que Huygens va aprofitar, el 1656, per construir el primer rellotge de pèndol. Per a angles grans el període creix una mica, un 7% aproximadament a 60°.

També podem fer servir la fórmula a l'inrevés. Si mesurem \(L\) i \(T\), calculem \(g = 4\pi^2 L/T^2\), i un pèndol ben construït pot mesurar la gravetat local amb bona precisió.

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\)\(g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\)\(f = \dfrac{1}{T}\)És vàlida per a oscil·lacions petites, fins a uns 15°. A la simulació, la Terra té la \(g\) mesurada, 9,8 m/s², la Lluna 1,6 i Mart 3,7; en els càlculs fem servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\). La simulació resol el moviment complet, sense l'aproximació d'angle petit, i no té en compte l'aire.

Per comentar

Amb 10° d'amplitud, cronometra 10 oscil·lacions i compara el període mesurat amb el de la fórmula.
Porta el mateix pèndol a la Lluna. Quantes vegades sembla que es fa més lent, i d'on podem treure aquest nombre?
Augmenta l'amplitud fins a 70° i torna a cronometrar. La diferència amb la fórmula encara sembla negligible?
Quina longitud dona un període de 2 s a la Terra? Busca-la amb el control i comprova-la amb la fórmula.

Longitud L

Amplitud

T de la fórmula

T exacte

Cronòmetre

T mesurat

g calculada

Angle ara

Exercicis del pas 2 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Quin és el període d'un pèndol simple de 2,5 m que oscil·la amb un angle petit? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
Per a oscil·lacions petites, \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}5\).
\(T = \pi \approx 3{,}14\ \text{s}\)
bàsic
En un pèndol de laboratori, canviem l'esfera de 100 g per una altra de 500 g, de la mateixa mida, sense canviar el fil. Què passa amb el període?

Mostra la resolució
La massa no apareix a \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\). Una esfera més pesant rep una força més gran i costa més d'accelerar, en la mateixa proporció.
El període no canvia.
bàsic
Un pèndol completa 30 oscil·lacions en 60 s. Quin és el període, i quina és la freqüència?

Mostra la resolució
El període és el temps d'una oscil·lació, \(T = \dfrac{60}{30} = 2\ \text{s}\).
\(T = 2\ \text{s}\) i \(f = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\ \text{Hz}\)
bàsic
A la Lluna, l'acceleració de la gravetat és unes 6 vegades més petita que a la Terra. El mateix pèndol, portat allà, oscil·la més de pressa o més a poc a poc, i quantes vegades canvia el període?

Mostra la resolució
Amb \(g\) al denominador, dins de l'arrel, una \(g\) sis vegades més petita fa créixer el període \(\sqrt{6}\) vegades.
El pèndol es torna més lent, amb un període unes \(\sqrt{6} \approx 2{,}4\) vegades més gran.
mitjà
Quina longitud ha de tenir un pèndol perquè el seu període sigui de 2 s? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(\pi^2 \approx 10\).

Mostra la resolució
Si elevem \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) al quadrat i aïllem \(L\), tenim \(L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2}\).
\(L = \dfrac{10 \cdot 2^2}{4 \cdot 10} = 1\ \text{m}\)
mitjà
Un pèndol de 0,4 m es canvia per un altre d'1,6 m. Calcula els dos períodes i digues quantes vegades ha augmentat el període. Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
Amb 0,4 m, \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{10}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}2 \approx 1{,}26\ \text{s}\).
Amb 1,6 m, \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}6}{10}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}4 \approx 2{,}51\ \text{s}\).
El període s'ha duplicat, perquè la longitud s'ha fet 4 vegades més gran.
mitjà
En Joaquim mesura un pèndol de 0,90 m i cronometra 10 oscil·lacions petites en 19,0 s. Quin valor de \(g\) obté? Fes servir \(\pi \approx 3{,}14\).

Mostra la resolució
El període és \(T = \dfrac{19{,}0}{10} = 1{,}90\ \text{s}\). Cronometrar diverses oscil·lacions i dividir redueix el pes de l'error de reacció en el cronòmetre.
Si aïllem \(g\) a la fórmula del pèndol, \(g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\).
\(g = \dfrac{4 \cdot 3{,}14^2 \cdot 0{,}90}{1{,}90^2}\) \(\approx 9{,}8\ \text{m/s}^2\)
mitjà
Un dia de calor, la barra metàl·lica d'un rellotge de pèndol es dilata una mica. El rellotge passa a avançar-se o a endarrerir-se?

Mostra la resolució
Amb la barra més llarga, \(L\) augmenta i el període \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) també.
Cada balanceig triga més, i el rellotge compta menys balancejos dels que hauria de comptar en un mateix interval de temps.
El rellotge s'endarrereix.
repte
Un rellotge de pèndol, ajustat a la Terra per a un període de 2 s, es porta a un planeta on el mateix pèndol passa a tenir un període de 3 s. Quina és la gravetat en aquest planeta? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\) per a la Terra.

Mostra la resolució
Amb la mateixa \(L\), el període és inversament proporcional a \(\sqrt{g}\), i per tant \(\dfrac{g_{\text{planeta}}}{g_{\text{Terra}}} = \left(\dfrac{T_{\text{Terra}}}{T_{\text{planeta}}}\right)^2\) \(= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\).
\(g_{\text{planeta}} = 10 \cdot \dfrac{4}{9} \approx 4{,}4\ \text{m/s}^2\)
repte
Un pèndol de 0,8 m es deixa anar des de 60° respecte de la vertical. Si negligim l'aire, amb quina velocitat passa la massa pel punt més baix? Per què no podem fer servir la fórmula del període de les oscil·lacions petites per a aquest balanceig? Fes servir \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Mostra la resolució
La massa baixa una altura \(h = L - L\cos 60^\circ\) \(= 0{,}8 - 0{,}4 = 0{,}4\ \text{m}\).
Per la conservació de l'energia, \(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}4} = \sqrt{8}\).
Amb 60°, la força que retorna la massa deixa de ser proporcional a l'angle, i el període real és aproximadament un 7% més gran que el de la fórmula.
\(v \approx 2{,}8\ \text{m/s}\), i l'angle és massa gran per a la fórmula simple.

PAS 3

L'ona s'emporta l'energia i deixa la corda al seu lloc

Una ona és una pertorbació que es propaga i transporta energia d'un lloc a un altre sense transportar la matèria del medi. Quan sacsegem l'extrem d'una corda, cada tros de corda només puja i baixa al voltant del seu lloc, i el que viatja és la forma.

En l'ona transversal, com la de la corda, el medi vibra perpendicularment a la direcció de propagació. En l'ona longitudinal, com la d'una molla estirada que empenyem i estirem per l'extrem, o la del so a l'aire, el medi vibra en la mateixa direcció en què avança l'ona, i es formen zones comprimides i zones estirades.

Les ones en una corda i a l'aigua i el so són ones mecàniques, que necessiten un medi material. La llum, les ones de ràdio i els raigs X són electromagnètiques i es propaguen fins i tot en el buit, on totes avancen a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

\(v = \lambda\,f\)\(v = \dfrac{\lambda}{T}\)\(f = \dfrac{1}{T}\)\(1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}\)A la simulació, l'ona avança a 2 m/s tant a la corda com a la molla, el regle està en metres i l'altre extrem és tan lluny que no torna res. Si canviem la freqüència o l'amplitud de la mà, l'ona canvia a partir d'aquell punt, i el canvi viatja amb ella.

En una ona periòdica, l'amplitud \(A\) és l'allunyament més gran del medi, el període \(T\) és el temps d'una oscil·lació completa i la freqüència \(f = 1/T\) compta les oscil·lacions per segon, en hertzs. La longitud d'ona \(\lambda\) és la distància entre dues crestes veïnes.

En un període l'ona avança una longitud d'ona, i d'aquí ve l'equació fonamental, \(v = \lambda\,f\). La velocitat depèn del medi (de la tensió i de la massa de la corda, per exemple), i qui decideix la freqüència és la font, que aquí és la mà.

Per comentar

Segueix la partícula vermella. La nostra primera intuïció potser diu que se'n va amb l'ona, i què mostra la simulació?
Duplica la freqüència de la mà i mesura la longitud d'ona amb el regle, posant en pausa si cal. Què ha passat amb \(\lambda\), i amb la velocitat?
Augmenta només l'amplitud. Sembla que la longitud d'ona canviï?
Canvia a la molla i busca les compressions. En quina direcció es mou l'anella vermella?

Freqüència de la mà

Amplitud

Freqüència f

Període T

Longitud λ

Velocitat v

Amplitud A

Exercicis del pas 3 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Una ona en una corda té una longitud d'ona de 0,5 m i una freqüència de 4 Hz. Quina és la seva velocitat?

Mostra la resolució
En un període l'ona avança una longitud d'ona.
\(v = \lambda\,f = 0{,}5 \cdot 4 = 2\ \text{m/s}\)
bàsic
Classifica com a transversal o longitudinal: l'ona en una corda de guitarra, el so a l'aire, la llum i l'«onada» del públic en un estadi.

Mostra la resolució
A la corda i a l'onada, el medi (la corda, les persones) es mou perpendicularment a la direcció en què avança l'ona. En el so, l'aire va i ve en la mateixa direcció de la propagació. La llum és una ona electromagnètica transversal.
La corda, la llum i l'onada són transversals; el so a l'aire és longitudinal.
bàsic
Una ràdio FM emet a 100 MHz. Quina és la longitud d'ona d'aquesta ona electromagnètica, que avança a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)?

Mostra la resolució
Si aïllem \(\lambda\) a \(v = \lambda\,f\), amb \(100\ \text{MHz} = 10^8\ \text{Hz}\), tenim
\(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^8} = 3\ \text{m}\)
bàsic
A les pel·lícules, les explosions a l'espai acostumen a fer soroll. Per què, en realitat, els astronautes veurien la llum d'una explosió llunyana i no sentirien res?

Mostra la resolució
El so és una ona mecànica i necessita un medi material per propagar-se, i l'espai entre les naus és gairebé buit.
La llum, electromagnètica, travessa el buit; el so, no.
mitjà
Una boia al mar puja i baixa 10 vegades en 20 s, i la distància entre dues crestes veïnes és de 3 m. Quins són el període, la freqüència i la velocitat de les ones?

Mostra la resolució
El període és \(T = \dfrac{20}{10} = 2\ \text{s}\), i la freqüència, \(f = 0{,}5\ \text{Hz}\).
La distància entre crestes és la longitud d'ona, \(\lambda = 3\ \text{m}\).
\(v = \lambda\,f = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{m/s}\)
mitjà
En una corda on les ones avancen a 6 m/s, la Renata sacseja l'extrem a 3 Hz i després a 6 Hz. Quina és la longitud d'ona en cada cas?

Mostra la resolució
La velocitat depèn de la corda, i no de la mà, i continua sent 6 m/s en tots dos casos.
Amb 3 Hz, \(\lambda = \dfrac{6}{3} = 2\ \text{m}\).
Amb 3 Hz, \(\lambda = 2\ \text{m}\); amb 6 Hz, \(\lambda = \dfrac{6}{6} = 1\ \text{m}\).
mitjà
L'orella humana percep sons de 20 Hz a 20 000 Hz. Amb el so a 340 m/s a l'aire, quines són la longitud d'ona audible més gran i la més petita?

Mostra la resolució
La longitud d'ona més gran correspon a la freqüència més baixa, \(\lambda = \dfrac{340}{20} = 17\ \text{m}\).
La més petita correspon a la freqüència més alta, \(\lambda = \dfrac{340}{20\,000} = 0{,}017\ \text{m}\).
De 17 m a 1,7 cm.
mitjà
Un punt d'una corda triga 0,2 s a anar d'una cresta a la vall següent, i la distància horitzontal entre aquesta cresta i aquesta vall és de 30 cm. Quina és la velocitat de l'ona?

Mostra la resolució
D'una cresta a la vall següent passa mig període, i per tant \(T = 0{,}4\ \text{s}\).
La distància entre una cresta i la vall veïna és mitja longitud d'ona, i per tant \(\lambda = 0{,}6\ \text{m}\).
\(v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}6}{0{,}4}\) \(= 1{,}5\ \text{m/s}\)
repte
Durant una tempesta, en Fábio veu el llamp i sent el tro 3 s després. A quina distància ha caigut el llamp? Per què podem negligir el temps que la llum triga a arribar? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
La llum, a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\), recorre un quilòmetre en uns 3 milionèsims de segon, un temps negligible al costat de 3 s.
El retard és pràcticament tot del so.
\(d = 340 \cdot 3 = 1020\ \text{m}\), aproximadament 1 km.
repte
En un terratrèmol, les ones P (longitudinals) avancen a 6 km/s a les roques i les ones S (transversals) a 3,5 km/s. Un sismògraf registra l'arribada de les ones S 20 s després de les ones P. A quina distància s'ha produït el terratrèmol?

Mostra la resolució
Les dues ones recorren la mateixa distància \(d\), i la diferència entre els temps és de 20 s, \(\dfrac{d}{3{,}5} - \dfrac{d}{6} = 20\).
Si traiem \(d\) factor comú, \(d\left(\dfrac{1}{3{,}5} - \dfrac{1}{6}\right) = 20\), és a dir, \(d \cdot \dfrac{5}{42} = 20\).
\(d = 168\ \text{km}\)

PAS 4

El que torna i el que passa

Quan una ona arriba al final d'un medi, una part torna enrere, i això ho anomenem reflexió. Amb l'extrem de la corda fixat a una paret, el pols torna cap per avall, perquè l'extrem no pot pujar i la paret, en subjectar la corda, l'estira cap avall.

Si l'extrem és lliure, lligat a una anella que llisca sense fregament per una barra, el pols torna pel mateix costat pel qual ha arribat. En tots dos casos torna amb la mateixa velocitat i la mateixa amplada, ja que continua en el mateix medi.

Quan una corda fina està empalmada a una corda gruixuda, amb la mateixa tensió, una part del pols passa a la gruixuda i una part torna. El pas a un altre medi s'anomena refracció, i a la corda gruixuda, més pesant per metre, l'ona avança més a poc a poc.

\(f_1 = f_2\)\(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{v_1}{v_2}\)\(v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}\)\(F\) és la tensió i \(\mu\) la massa per metre de la corda. A la simulació, la corda gruixuda té quatre vegades més massa per metre que la fina, amb la mateixa tensió, i l'ona hi avança amb la meitat de velocitat, 1 m/s contra 2 m/s. Suposem cordes ideals, sense pèrdua d'energia, i la mà no retorna el que hi arriba.

La freqüència no canvia en la refracció, perquè cada tros de la corda gruixuda és sacsejat pel tros de la fina que té al costat, al mateix ritme. Com que \(v = \lambda\,f\), amb \(f\) igual la longitud d'ona canvia en la mateixa proporció que la velocitat.

De la fina a la gruixuda, la part reflectida torna invertida, com a la paret, que fa el paper d'una corda pesantíssima. De la gruixuda a la fina, la reflectida torna sense invertir-se, i la part transmesa continua sense invertir-se en tots dos casos.

Per comentar

Envia un pols amb l'extrem fix i un altre amb l'extrem lliure. En quin dels dos casos torna invertit el pols?
Tria l'empalmament de la corda fina amb la gruixuda i compara l'amplada del pols transmès amb la del pols incident. La diferència sembla quadrar amb la velocitat a cada corda?
Engega l'ona contínua a l'empalmament i mesura les longituds d'ona a les dues cordes. La raó entre elles recorda la raó entre les velocitats?
Inverteix l'empalmament, de la gruixuda a la fina. Què canvia en el pols reflectit, i en el transmès?

Freqüència (ona contínua)

v a la 1a corda

v a la 2a corda

Freqüència

λ a la 1a corda

λ a la 2a corda

Amplitud reflectida

Exercicis del pas 4 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Un pols cap amunt viatja per una corda fins a un extrem fixat a una paret. Com torna? I si l'extrem estigués lligat a una anella que llisca sense fregament per una barra?

Mostra la resolució
A l'extrem fix, la paret subjecta la corda i l'estira cap avall, i el pols torna invertit.
A l'extrem lliure, l'anella puja amb el pols i el retorna pel mateix costat.
Amb l'extrem fix, el pols torna invertit; amb l'extrem lliure, torna sense invertir-se.
bàsic
Una ona de 5 Hz passa d'una corda on avança a 10 m/s a una altra on avança a 5 m/s. Quines són la freqüència i la longitud d'ona a la segona corda?

Mostra la resolució
En la refracció la freqüència no canvia, i a la segona corda continua sent 5 Hz.
\(f = 5\ \text{Hz}\) i \(\lambda_2 = \dfrac{5}{5} = 1\ \text{m}\) (a la primera corda era de 2 m).
bàsic
Quan una ona passa d'un medi a un altre, quines d'aquestes magnituds canvien: la freqüència, la velocitat i la longitud d'ona?

Mostra la resolució
La freqüència la imposa la font, i cada tros del nou medi és sacsejat al ritme del tros veí del medi anterior. La velocitat depèn del medi, i \(\lambda = v/f\) segueix la velocitat.
Canvien la velocitat i la longitud d'ona; la freqüència es manté igual.
bàsic
Una corda de 8 m té l'extrem fixat a una paret, i les ones hi avancen a 4 m/s. Quant de temps triga un pols a anar de la mà fins a la paret i tornar?

Mostra la resolució
El pols recorre la corda dues vegades, 16 m en total.
\(t = \dfrac{16}{4} = 4\ \text{s}\)
mitjà
Una corda amb una massa de 0,01 kg per metre està sotmesa a una tensió de 100 N. Quina és la velocitat de les ones? I en una corda de 0,04 kg per metre, amb la mateixa tensió?

Mostra la resolució
La velocitat en una corda és \(v = \sqrt{F/\mu}\), i a la primera \(v = \sqrt{\dfrac{100}{0{,}01}}\) \(= \sqrt{10\,000} = 100\ \text{m/s}\).
A la corda més pesant, \(v = \sqrt{\dfrac{100}{0{,}04}}\) \(= \sqrt{2500} = 50\ \text{m/s}\), la meitat de l'anterior.
mitjà
En una cubeta d'ones, ones de 2 cm de longitud avancen a 0,4 m/s a la part fonda. A la part de poca fondària, la velocitat baixa a 0,2 m/s. Quina és la freqüència, i quina és la longitud d'ona a la part de poca fondària?

Mostra la resolució
A la part fonda, \(f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{0{,}4}{0{,}02}\) \(= 20\ \text{Hz}\), i aquesta freqüència no canvia en el pas.
\(f = 20\ \text{Hz}\) i \(\lambda = \dfrac{0{,}2}{20} = 0{,}01\ \text{m} = 1\ \text{cm}\)
mitjà
Una llum vermella té una longitud d'ona de 700 nm a l'aire, on avança a \(3{,}0 \cdot 10^8\ \text{m/s}\). A l'aigua, avança a \(2{,}25 \cdot 10^8\ \text{m/s}\). Quina és la seva freqüència, i quina és la longitud d'ona a l'aigua?

Mostra la resolució
A l'aire, \(f = \dfrac{3{,}0 \cdot 10^8}{700 \cdot 10^{-9}}\) \(\approx 4{,}3 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\), i la mateixa freqüència val a l'aigua.
La longitud d'ona disminueix en la mateixa proporció que la velocitat, \(\lambda_{\text{aigua}} = 700 \cdot \dfrac{2{,}25}{3{,}0}\).
\(f \approx 4{,}3 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\) i \(\lambda_{\text{aigua}} = 525\ \text{nm}\)
mitjà
Un pols cap amunt passa d'una corda fina a una corda gruixuda, amb la mateixa tensió. Com són el pols reflectit i el pols transmès? I si el pols anés de la gruixuda a la fina?

Mostra la resolució
De la fina a la gruixuda, la corda gruixuda, més pesant, fa el paper d'una paret imperfecta, i la part reflectida torna invertida. La transmesa continua cap amunt, més lenta i més estreta.
De la gruixuda a la fina, la fina es comporta com un extrem gairebé lliure, i la reflectida torna sense invertir-se.
De fina a gruixuda, el reflectit torna invertit; de gruixuda a fina, el reflectit no s'inverteix. El transmès no s'inverteix mai.
repte
Una corda fina està empalmada a una corda amb 4 vegades més massa per metre, amb la mateixa tensió. Una ona de 10 Hz té una longitud de 0,8 m a la corda fina. Quines són les velocitats a les dues cordes, i quina és la longitud d'ona a la corda gruixuda?

Mostra la resolució
A la corda fina, \(v_1 = \lambda_1 f = 0{,}8 \cdot 10 = 8\ \text{m/s}\).
Com que \(v = \sqrt{F/\mu}\), amb una \(\mu\) quatre vegades més gran la velocitat queda dividida per \(\sqrt{4} = 2\), i \(v_2 = 4\ \text{m/s}\).
\(v_1 = 8\ \text{m/s}\), \(v_2 = 4\ \text{m/s}\) i \(\lambda_2 = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\ \text{m}\)
repte
En una corda de 6 m amb l'extrem fix, les ones avancen a 3 m/s. La Leonor envia un pols cap amunt a \(t = 0\) i un altre pols igual, també cap amunt, a \(t = 1\ \text{s}\). Quan i on troba el segon pols el primer, ja reflectit? Què es veu en la trobada?

Mostra la resolució
El primer pols arriba a la paret a \(t = 2\ \text{s}\) i torna invertit, a la posició \(x = 6 - 3(t - 2)\). El segon és a \(x = 3(t - 1)\).
En la trobada, \(6 - 3(t - 2) = 3(t - 1)\), i d'aquí \(6t = 15\), és a dir, \(t = 2{,}5\ \text{s}\), a \(x = 3 \cdot 1{,}5\).
Un pols cap amunt en troba un altre d'igual cap avall, i durant un instant les formes s'anul·len.
A \(t = 2{,}5\ \text{s}\), a 4,5 m de la mà, la corda queda recta durant un instant.

PAS 5

Quan dues ones es troben

Dues ones poden ocupar el mateix lloc al mateix temps. On es troben, el desplaçament del medi és la suma dels desplaçaments que cadascuna produiria tota sola, i després de la trobada cada ona continua com si l'altra no existís. És el principi de superposició.

Si una cresta en troba una altra, la suma dona una cresta més gran, i diem que la interferència és constructiva. Si una cresta troba una vall de la mateixa amplitud, totes dues s'anul·len, i la interferència és destructiva.

Amb dues fonts iguals, en fase, picant a l'aigua, el que decideix què passa en un punt és la diferència entre les distàncies fins a les fonts. Quan val un nombre enter de longituds d'ona, les ones arriben en fase i es reforcen, i quan val un nombre senar de mitges longituds d'ona, arriben en oposició i s'anul·len.

\(\Delta r = n\,\lambda\) (constructiva)\(\Delta r = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda\) (destructiva)\(n = 0, 1, 2, \dots\)\(\Delta r = |r_1 - r_2|\) és la diferència entre les distàncies del punt a les dues fonts. Les regles valen per a fonts en fase; amb les fonts en oposició de fase, s'intercanvien. La simulació suma les dues ones a cada punt i, perquè funcioni bé també al mòbil, calcula la cubeta en una quadrícula més grossa i amplia la imatge.

Els punts d'anul·lació formen línies d'aigua gairebé quieta, que podem veure a la cubeta, i que s'obren a partir de les fonts com franges. Com més separades són les fonts, o més petita és la longitud d'ona, més línies veiem aparèixer, i tendeixen a quedar més juntes.

Els auriculars amb cancel·lació de soroll aprofiten la interferència destructiva. Un micròfon capta el soroll de fora, i el circuit emet per l'altaveu una ona de la mateixa forma i fase oposada, que tendeix a anul·lar el soroll, sobretot els sons greus i constants, com el del motor d'un avió.

Per comentar

Arrossega la sonda fins a una línia d'aigua quieta i llegeix \(\Delta r/\lambda\). El nombre queda a prop de 0,5, 1,5 o 2,5?
Separa les fonts. Les franges queden més juntes o més separades, i quantes línies d'anul·lació comptes?
Redueix la longitud d'ona i torna a comptar les línies d'anul·lació.
Posa les fonts en oposició de fase i mira la línia del mig, a la mateixa distància de totes dues. Què li passa, i quina relació té això amb els auriculars?

Distància entre les fonts

Longitud d'ona λ

Distància r₁

Distància r₂

Δr

Δr / λ

Interferència

Amplitud a la sonda

Exercicis del pas 5 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Dos polsos en una corda, un de 3 cm i un altre de 2 cm d'altura, es troben. Quina és l'altura màxima en la trobada si tots dos són del mateix costat? I si són a costats oposats?

Mostra la resolució
Pel principi de superposició, els desplaçaments se sumen, amb signe.
Del mateix costat, \(3 + 2 = 5\ \text{cm}\); a costats oposats, \(3 - 2 = 1\ \text{cm}\), del costat del pols més gran.
bàsic
Després que dos polsos es creuen en una corda, surten de la trobada diferents de com hi han entrat?

Mostra la resolució
La superposició només actua mentre els polsos ocupen el mateix lloc. Després de la trobada, cadascun continua com si l'altre no hagués existit.
No, cada pols surt amb la mateixa forma i la mateixa velocitat.
bàsic
Dues fonts en fase produeixen ones de 2 cm de longitud en una cubeta. En un punt P, la diferència entre les distàncies a les dues fonts és de 6 cm. La interferència a P és constructiva o destructiva?

Mostra la resolució
Mesurem la diferència de camí en longituds d'ona, \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{6}{2} = 3\), un nombre enter.
Les ones arriben en fase, i la interferència és constructiva.
bàsic
Amb les mateixes fonts de l'exercici anterior (\(\lambda = 2\ \text{cm}\), en fase), en un punt Q la diferència de camí és de 5 cm. Què passa a Q?

Mostra la resolució
Ara \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\), un nombre enter de longituds d'ona més mitja.
Les ones arriben en oposició, i la interferència és destructiva.
mitjà
Dues fonts en fase generen ones de 4 cm de longitud a l'aigua. Un punt P és a 20 cm d'una font i a 26 cm de l'altra. L'aigua a P queda agitada o gairebé quieta?

Mostra la resolució
La diferència de camí és \(\Delta r = 26 - 20 = 6\ \text{cm}\), i \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\).
Amb 1,5 longituds d'ona de diferència, la interferència és destructiva i l'aigua a P queda gairebé quieta.
mitjà
Uns auriculars amb cancel·lació de soroll han d'anul·lar un brunzit de 170 Hz. Amb quin retard, respecte del brunzit, han d'emetre els auriculars una ona idèntica perquè totes dues s'anul·lin? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
Per anul·lar el brunzit, l'ona dels auriculars ha d'estar en oposició de fase, endarrerida mig període, \(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2f}\).
Això equival a mitja longitud d'ona de diferència de camí, \(\dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{340}{2 \cdot 170} = 1\ \text{m}\).
\(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot 170} \approx 0{,}0029\ \text{s}\), uns 2,9 ms.
mitjà
Dos altaveus en fase toquen la mateixa nota de 340 Hz. En Gabriel és a 3,0 m d'un i a 3,5 m de l'altre. Sent un so fort o feble? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
La longitud d'ona és \(\lambda = \dfrac{340}{340} = 1\ \text{m}\), i la diferència de camí és \(\Delta r = 0{,}5\ \text{m}\), mitja longitud d'ona.
La interferència és destructiva, i en Gabriel sent un so molt feble en aquest punt.
mitjà
En la interferència destructiva, dues ones s'anul·len en un punt. Vol dir això que l'energia de les dues ones ha desaparegut?

Mostra la resolució
L'energia es conserva. Queda redistribuïda en l'espai, i el que falta a les línies d'anul·lació apareix de més a les zones d'interferència constructiva, on l'amplitud es duplica i la intensitat arriba a ser quatre vegades més gran.
No, l'energia es redistribueix entre les zones de reforç i les d'anul·lació.
repte
Dues fonts en fase, a 4 cm l'una de l'altra, produeixen ones d'1,5 cm de longitud en una cubeta. Quantes línies d'anul·lació (línies nodals) tallen el segment que uneix les dues fonts?

Mostra la resolució
Sobre el segment, la diferència de camí \(\Delta r\) va de \(-4\ \text{cm}\) a \(+4\ \text{cm}\).
Hi ha anul·lació on \(|\Delta r| = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda\), és a dir, \(|\Delta r| = 0{,}75\), \(2{,}25\) i \(3{,}75\ \text{cm}\), tots més petits que 4 cm. El següent, 5,25 cm, ja no hi cap.
Són 3 valors a cada costat de la mediatriu, i per tant 6 línies nodals.
repte
Dues fonts en una cubeta vibren en oposició de fase, amb \(\lambda = 2\ \text{cm}\). En un punt P, a 10 cm d'una font i a 13 cm de l'altra, la interferència és constructiva o destructiva? I als punts de la mediatriu?

Mostra la resolució
Amb fonts en oposició, les regles s'intercanvien, perquè les ones ja surten desfasades mig període.
A P, \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\), i la mitja longitud d'ona extra compensa el desfasament de les fonts.
A P la interferència és constructiva, i a la mediatriu, amb \(\Delta r = 0\), és destructiva.

PAS 6

La corda de la guitarra i les ones que no avancen

En una corda fixada pels dos extrems, les ones van i tornen, es reflecteixen als extrems i se superposen. A certes freqüències la suma forma un patró que no avança, amb punts quiets, els nodes, i punts que oscil·len amb l'amplitud més gran, els ventres, i aquest patró l'anomenem ona estacionària.

Els extrems fixos han de ser nodes, i per això a la corda només hi caben nombres enters de mitges longituds d'ona, \(L = n\,\lambda/2\). Cada valor de \(n\) dona un harmònic, amb freqüència \(f_n = n\,v/(2L)\), i el primer, el més greu, s'anomena fonamental.

A la guitarra, la velocitat de l'ona depèn de la tensió i de la massa per metre de la corda. Per afinar, girem la clavilla, i la tensió i la velocitat pugen juntament amb la nota. Quan premem la corda contra un trast, escurcem el tros que vibra i la freqüència també puja, i les cordes més greus són les més gruixudes.

\(L = n\,\dfrac{\lambda_n}{2}\)\(f_n = n\,\dfrac{v}{2L}\)\(f_n = n\,f_1\)\(v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}\)\(n = 1, 2, 3, \dots\) L'harmònic \(n\) té \(n\) ventres i \(n + 1\) nodes, comptant-hi els extrems. A la simulació la corda té \(\mu = 1{,}0\ \text{g/m}\), i el moviment apareix a càmera lenta. Amb el vibrador engegat, veiem la vibració que s'estableix al cap d'una estona en una corda amb una mica d'esmorteïment.

Quan sacsegem un cos a una freqüència igual a una de les seves freqüències naturals, cada empenta arriba en el moment just i l'amplitud creix a cada cicle. Aquest fenomen s'anomena ressonància, i és per això que una cantant pot, en principi, trencar una copa de cristall sostenint la nota adequada amb prou intensitat.

El pont de Tacoma Narrows, als Estats Units, que es va ensorrar el 1940 amb vent fort, sol aparèixer com a exemple de ressonància. Els estudis d'enginyeria indiquen un mecanisme més complicat, en què el mateix moviment del pont alterava el vent del voltant i alimentava l'oscil·lació (el flameig, o flutter), i potser és millor tractar-lo com un parent de la ressonància simple.

Per comentar

Passa pels harmònics de l'1 al 6 i compta els nodes i els ventres de cadascun. Quina regla lliga aquests nombres amb \(n\)?
Gira la clavilla fins que la tensió sigui quatre vegades més gran. Què passa amb la freqüència fonamental?
Escurça la corda a la meitat, com quan premem el trast del mig a la guitarra, i compara la nova nota amb l'anterior.
Engega el vibrador i escombra la freqüència a poc a poc. A quines freqüències sembla que la corda cobri vida, i com es comparen amb \(f_1\)?

Longitud L

Tensió F

Freqüència del vibrador

Velocitat v

Fonamental f₁

Freqüència

Longitud λ

Nodes

Ventres

Exercicis del pas 6 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Una corda de 0,6 m, fixada pels dos extrems, vibra en el mode fonamental. Quina és la longitud d'ona?

Mostra la resolució
En el fonamental hi cap mitja longitud d'ona entre els extrems, \(L = \dfrac{\lambda}{2}\).
\(\lambda = 2L = 1{,}2\ \text{m}\)
bàsic
La freqüència fonamental d'una corda és de 100 Hz. Quines són les freqüències del segon i del tercer harmònic?

Mostra la resolució
En una corda fixada pels dos extrems, \(f_n = n\,f_1\).
\(f_2 = 200\ \text{Hz}\) i \(f_3 = 300\ \text{Hz}\)
bàsic
Quants nodes (comptant-hi els extrems) i quants ventres té una corda que vibra en el 4t harmònic?

Mostra la resolució
En l'harmònic \(n\) hi caben \(n\) mitges longituds d'ona, cadascuna amb un ventre al mig i nodes als extrems.
Amb \(n = 4\), són 4 ventres i 5 nodes.
bàsic
Per què una cantant pot trencar una copa de cristall amb la veu, però només si encerta una nota concreta?

Mostra la resolució
La copa té freqüències naturals de vibració. Quan la veu en sosté una, cada empenta arriba en el moment just i l'amplitud creix a cada cicle, i això és el que anomenem ressonància.
Només la nota igual a una freqüència natural de la copa hi entra en ressonància.
mitjà
La part que vibra d'una corda de guitarra fa 0,65 m, i les ones hi avancen a 286 m/s. Quina és la freqüència fonamental?

Mostra la resolució
En el fonamental, \(\lambda = 2L = 1{,}3\ \text{m}\).
\(f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{286}{1{,}3}\) \(= 220\ \text{Hz}\)
mitjà
Quan afina una corda que sonava a 110 Hz, en Tiago gira la clavilla fins que la tensió és 4 vegades més gran. Quina és la nova freqüència fonamental?

Mostra la resolució
Com que \(v = \sqrt{F/\mu}\), amb la tensió 4 vegades més gran la velocitat es duplica. La longitud no ha canviat, i \(f_1 = v/(2L)\) també es duplica.
\(f_1 = 220\ \text{Hz}\), una octava més amunt.
mitjà
Una corda lliure de 0,64 m fa sonar 330 Hz. Si la premem al 12è trast, la part que vibra es redueix a la meitat. Quina és la nova freqüència?

Mostra la resolució
La velocitat, que depèn de la tensió i de la corda, no canvia. Amb \(L\) a la meitat, \(f_1 = v/(2L)\) es duplica.
\(f = 660\ \text{Hz}\), també una octava més amunt.
mitjà
Una corda d'1,5 m, fixada pels dos extrems, vibra amb 3 ventres a una freqüència de 60 Hz. Quina és la longitud d'ona, i quina és la velocitat de les ones a la corda?

Mostra la resolució
Amb 3 ventres, hi caben 3 mitges longituds d'ona, \(1{,}5 = 3 \cdot \dfrac{\lambda}{2}\), i per tant \(\lambda = 1\ \text{m}\).
\(\lambda = 1\ \text{m}\) i \(v = \lambda\,f = 1 \cdot 60 = 60\ \text{m/s}\)
repte
Una corda de 0,5 m, amb una massa de 0,005 kg per metre, està sotmesa a una tensió de 200 N. Quines són les freqüències del fonamental i del segon harmònic?

Mostra la resolució
La velocitat és \(v = \sqrt{\dfrac{200}{0{,}005}}\) \(= \sqrt{40\,000} = 200\ \text{m/s}\).
El fonamental és \(f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{200}{1{,}0}\) \(= 200\ \text{Hz}\).
\(f_1 = 200\ \text{Hz}\) i \(f_2 = 400\ \text{Hz}\)
repte
En un forn de microones sense el plat giratori, l'Helena escalfa una safata coberta de formatge i veu que es fon en punts separats 6,1 cm. El forn funciona a 2,45 GHz. Quina velocitat de les ones pot estimar, si suposa que els punts fosos són ventres veïns d'una ona estacionària?

Mostra la resolució
Els ventres veïns estan separats per mitja longitud d'ona, i per tant \(\lambda = 2 \cdot 6{,}1 = 12{,}2\ \text{cm}\).
Amb \(2{,}45\ \text{GHz} = 2{,}45 \cdot 10^9\ \text{Hz}\), \(v = \lambda\,f = 0{,}122 \cdot 2{,}45 \cdot 10^9\).
\(v \approx 3{,}0 \cdot 10^8\ \text{m/s}\), la velocitat de la llum, com esperem d'una ona electromagnètica.

PAS 7

El so és una ona de pressió

El so és una ona mecànica longitudinal. L'altaveu empeny i estira l'aire que té al davant, i forma capes una mica comprimides i una mica enrarides que es propaguen, amb la pressió oscil·lant al voltant de l'atmosfèrica. A l'aire, a uns 20 °C, el so avança a uns 340 m/s, i a l'aigua i als sòlids acostuma a anar molt més de pressa. En el buit no hi ha so.

Sentim freqüències d'entre uns 20 Hz i 20 000 Hz, i per sota d'aquesta franja hi ha l'infrasò i per sobre, l'ultrasò, que els ratpenats fan servir per orientar-se i que els aparells d'ecografia transformen en imatge. L'altura d'un so és la seva freqüència, i en física un so alt és un so agut, mentre que en el dia a dia «alt» acostuma a voler dir fort.

La intensitat mesura l'energia que l'ona transporta, per segon, a través de cada metre quadrat. L'orella percep una franja enorme, des del llindar d'audició, \(10^{-12}\ \text{W/m}^2\), fins a prop d'\(1\ \text{W/m}^2\), on el so comença a fer mal, i per això fem servir una escala logarítmica, el nivell sonor en decibels, en què cada 10 dB de més multipliquen la intensitat per 10.

\(\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)\(I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2\)\(f^{\prime} = f\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_f}\)\(v_{\text{so}} \approx 340\ \text{m/s}\)\(\Delta t_{\text{eco}} = \dfrac{2d}{v}\)En l'efecte Doppler, fem servir els signes de dalt quan l'observador i la font van l'un cap a l'altre (\(+v_o\) i \(-v_f\)) i els de baix quan s'allunyen l'un de l'altre. A la simulació l'aire està quiet, el temps passa a càmera lenta i només dibuixem un front d'ona cada 0,1 s.

El timbre distingeix la mateixa nota tocada amb una guitarra i amb una flauta, que produeixen la mateixa freqüència fonamental barrejada amb harmònics en proporcions diferents. L'eco és el so reflectit en un obstacle, i perquè el sentim separat del so original l'obstacle ha de ser a uns 17 m o més.

Quan una ambulància s'acosta, la sirena sona més aguda, i quan s'allunya, més greu. Aquest és l'efecte Doppler. La font en moviment va atrapant els fronts d'ona que ella mateixa ha emès, que queden més junts al davant i més espaiats al darrere, i un observador que corre cap a la font troba més fronts per segon.

Per comentar

Posa l'ambulància a 30 m/s i compara l'espaiat dels fronts al davant i al darrere. Comprova la freqüència percebuda amb la fórmula.
Canvia l'observador de costat. La sirena sona més aguda o més greu, i quant canvia?
Porta la font fins a prop de 340 m/s i després una mica per sobre. Què t'imagines que passarà amb els fronts que té al davant? Comprova-ho tot seguit.
Atura l'ambulància i fes que l'observador corri cap a ella. La freqüència percebuda canvia, fins i tot amb la font aturada?

Freqüència de la sirena

Velocitat de la font

Velocitat de l'observador (cap a la font)

f emesa

f percebuda

λ al davant

λ al darrere

Font en km/h

v_font / v_so

Exercicis del pas 7 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Davant d'una paret de roca, en Caio crida i sent l'eco 2 s després. A quina distància és la paret? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
El so va fins a la paret i torna, i recorre el doble de la distància, \(2d = 340 \cdot 2 = 680\ \text{m}\).
\(d = 340\ \text{m}\)
bàsic
Una flauta i un violí toquen la mateixa nota, amb la mateixa intensitat. Quina qualitat del so ens permet distingir els dos instruments?

Mostra la resolució
La mateixa nota vol dir la mateixa freqüència fonamental, la mateixa altura. Cada instrument barreja harmònics en proporcions diferents, i la forma de l'ona canvia.
El timbre.
bàsic
Una aspiradora produeix 80 dB i una conversa, 60 dB. Quantes vegades és més gran la intensitat sonora de l'aspiradora que la de la conversa?

Mostra la resolució
A l'escala de decibels, cada 10 dB de més multipliquen la intensitat per 10. Hi ha 20 dB de diferència.
\(10 \cdot 10 = 100\) vegades.
bàsic
Una ambulància passa pel costat de la Sofia amb la sirena engegada. Com sent la Sofia la sirena mentre l'ambulància s'acosta i després que s'allunya? La freqüència emesa per la sirena canvia?

Mostra la resolució
Per l'efecte Doppler, els fronts d'ona arriben més junts mentre la font s'acosta i més espaiats quan s'allunya. La sirena continua emetent la mateixa freqüència.
Més aguda quan s'acosta i més greu quan s'allunya; la freqüència emesa no canvia.
mitjà
Una sirena de 680 Hz s'acosta a 20 m/s a un observador aturat. Quina freqüència sent? I després que la font passa i s'allunya amb la mateixa velocitat? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
Amb la font que s'acosta, fem servir el signe de dalt, \(v - v_f\) al denominador, \(f^{\prime} = 680 \cdot \dfrac{340}{340 - 20}\) \(= 680 \cdot \dfrac{340}{320}\).
Quan s'allunya, \(f^{\prime} = 680 \cdot \dfrac{340}{340 + 20}\) \(= 680 \cdot \dfrac{340}{360}\).
722,5 Hz quan s'acosta i uns 642 Hz quan s'allunya.
mitjà
Una alarma aturada emet 500 Hz. En Marcelo hi va a 34 m/s, en bicicleta, baixant una pendent. Quina freqüència sent? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
L'observador va cap a la font i troba més fronts d'ona per segon, i fem servir \(+v_o\) al numerador.
\(f^{\prime} = 500 \cdot \dfrac{340 + 34}{340}\) \(= 500 \cdot 1{,}1 = 550\ \text{Hz}\)
mitjà
En un concert, la intensitat sonora a prop de l'altaveu arriba a \(10^{-4}\ \text{W/m}^2\). Quin és el nivell sonor, en decibels? El llindar d'audició és \(I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2\).

Mostra la resolució
El nivell sonor és \(\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}\) \(= 10\log\dfrac{10^{-4}}{10^{-12}}\) \(= 10\log 10^{8}\).
\(\beta = 10 \cdot 8 = 80\ \text{dB}\)
mitjà
El sonar d'un vaixell emet un pols d'ultrasò cap al fons del mar i rep l'eco 0,8 s després. Quina és la fondària, si el so avança a 1500 m/s a l'aigua?

Mostra la resolució
El pols va fins al fons i torna, i per tant \(2d = 1500 \cdot 0{,}8 = 1200\ \text{m}\).
\(d = 600\ \text{m}\)
repte
Un cotxe a 20 m/s i una ambulància a 20 m/s, amb una sirena de 700 Hz, circulen per una carretera recta l'un cap a l'altre. Quina freqüència sent la conductora del cotxe? I després que tots dos es creuen i s'allunyen? Fes servir 340 m/s per al so.

Mostra la resolució
Quan s'acosten, els dos signes augmenten la freqüència, \(f^{\prime} = 700 \cdot \dfrac{340 + 20}{340 - 20}\) \(= 700 \cdot \dfrac{360}{320} = 787{,}5\ \text{Hz}\).
Quan s'allunyen, tots dos la disminueixen, \(f^{\prime} = 700 \cdot \dfrac{340 - 20}{340 + 20}\) \(= 700 \cdot \dfrac{320}{360}\).
Uns 788 Hz abans de creuar-se i uns 622 Hz després.
repte
A 2 m d'un altaveu, un sonòmetre marca 80 dB. Si suposem que el so s'escampa igual en totes les direccions, sense ser absorbit ni reflectit, quant marcaria el sonòmetre a 20 m?

Mostra la resolució
La potència s'escampa en una esfera d'àrea \(4\pi r^2\), i la intensitat disminueix com \(1/r^2\). A 10 vegades la distància, la intensitat es fa \(10^2 = 100\) vegades més petita.
Dividir la intensitat per 100 treu \(10\log 100 = 20\ \text{dB}\) al nivell sonor.
\(80 - 20 = 60\ \text{dB}\)

TANCAMENT

Reptes

Massa-molla

Un bloc de 2 kg oscil·la lligat a una molla de 200 N/m, amb una amplitud de 5 cm. Quin és el període, i quina és la velocitat més gran del bloc? (\(\pi \approx 3{,}14\))

Mostra la resolució

La pulsació és \(\omega = \sqrt{\dfrac{200}{2}} = 10\ \text{rad/s}\), i el període, \(T = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}63\ \text{s}\).
La velocitat més gran és \(v_{\text{màx}} = \omega A = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5\ \text{m/s}\), al centre.

Pèndol

Quina ha de ser la longitud d'un pèndol perquè faci un balanceig complet per segon? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(\pi^2 \approx 10\))

Mostra la resolució

Amb \(T = 1\ \text{s}\), \(L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{10 \cdot 1}{40}\) \(= 0{,}25\ \text{m}\), o sigui 25 cm.

v = λ·f

Una ràdio AM emet a 1000 kHz. Quina és la longitud de les seves ones, que avancen a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)?

Mostra la resolució

Amb \(f = 10^6\ \text{Hz}\), \(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^6} = 300\ \text{m}\), gairebé tres camps de futbol.

Refracció

Una ona de 6 Hz passa d'una corda on avança a 12 m/s a una altra on avança a 4 m/s. Quines són les longituds d'ona a les dues cordes?

Mostra la resolució

La freqüència no canvia en el pas. A la primera corda, \(\lambda_1 = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}\).
A la segona, \(\lambda_2 = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}67\ \text{m}\), tres vegades més petita, com la velocitat.

Interferència

Dos altaveus en fase toquen 680 Hz. La Lívia és a 4,00 m d'un i a 4,25 m de l'altre. Sent el so reforçat o afeblit? (so a 340 m/s)

Mostra la resolució

La longitud d'ona és \(\lambda = \dfrac{340}{680} = 0{,}5\ \text{m}\), i la diferència de camí, \(\Delta r = 0{,}25\ \text{m}\), mitja longitud d'ona.
La interferència és destructiva, i el so queda molt més feble en aquest punt.

Ones estacionàries

Una corda de 0,8 m, fixada pels dos extrems, vibra amb 4 ventres a 500 Hz. Quina és la velocitat de les ones, i quina és la freqüència fonamental?

Mostra la resolució

Amb 4 ventres, \(0{,}8 = 4 \cdot \dfrac{\lambda}{2}\), i \(\lambda = 0{,}4\ \text{m}\). La velocitat és \(v = 0{,}4 \cdot 500 = 200\ \text{m/s}\).
Aquest és el 4t harmònic, i \(f_1 = \dfrac{500}{4} = 125\ \text{Hz}\).

Efecte Doppler

Un tren s'acosta a una estació a 34 m/s, xiulant a 900 Hz. Quina freqüència sent una persona aturada a l'andana? (so a 340 m/s)

Mostra la resolució

La font s'acosta, i fem servir \(v - v_f\) al denominador, \(f^{\prime} = 900 \cdot \dfrac{340}{340 - 34}\) \(= 900 \cdot \dfrac{340}{306} = 1000\ \text{Hz}\).

Pensar, sense comptes

A la Lluna, una astronauta pica amb un martell sobre una roca, i el seu company, a 10 m, no sent res. Si ell recolza el casc a la roca, passa a sentir-hi alguna cosa?

Mostra la resolució

Sense aire no hi ha cap medi perquè el so es propagui entre tots dos, i el company no sent el cop.
Si recolza el casc a la roca, la vibració pot arribar-li pel terra i pel casc, que són medis sòlids, i passa a sentir alguna cosa.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el format de l'ENEM, amb un text base tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall hi ha una llista de preguntes reals de la prova sobre els mateixos temes, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

Pèndol simple · Pas 2
En Rafael restaura rellotges antics i vol construir un rellotge de paret amb un pèndol que trigui 4 s a completar cada balanceig d'anada i tornada. Abans de tallar la barra, va mesurar el període de pèndols de diverses longituds, amb balancejos petits a cada mesura, i va anotar els resultats a la taula.

Mesures d'en Rafael
Longitud L (m) Període T (s)

0,25 1,0

0,50 1,4

1,00 2,0

2,25 3,0

Si es manté la tendència de la taula, quina longitud ha de tenir el pèndol del nou rellotge?
1. 1,4 m
2. 2,0 m
3. 3,5 m
4. 4,0 m
5. 0,25 m
Mostra la resolució

Resposta: D.
La taula mostra que, quan la longitud es fa 4 vegades més gran (de 0,25 m a 1,00 m), el període només es duplica, com esperem de \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\), en què \(L\) apareix dins de l'arrel.
Per tornar a duplicar el període, de 2 s a 4 s, la longitud s'ha de fer una altra vegada 4 vegades més gran, \(L = 4 \cdot 1{,}00 = 4{,}0\ \text{m}\).
Si ho comprovem amb \(g = 10\ \text{m/s}^2\) i \(\pi^2 \approx 10\), \(L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{10 \cdot 16}{40} = 4\ \text{m}\).
Qui suposa el període proporcional a la longitud arriba a 2,0 m, i qui allarga la recta que passa pels dos últims punts de la taula arriba a 3,5 m. L'1,4 m surt de canviar l'arrel per un quadrat, i el 0,25 m, de pensar que el pèndol més llarg es balanceja més de pressa.
Què és una ona · Pas 3
En les ecografies, una sonda recolzada a la pell emet polsos d'ultrasò i capta els ecos que tornen dels òrgans. Un aparell corrent treballa a 5 MHz, i als teixits tous del cos el so avança a uns 1540 m/s. Com a regla pràctica, els detalls més petits que una longitud d'ona tendeixen a no aparèixer a la imatge.

Quina és, aproximadament, la longitud d'ona d'aquest ultrasò als teixits tous?
1. 0,031 mm
2. 0,068 mm
3. 0,31 mm
4. 3,1 mm
5. \(7{,}7 \cdot 10^9\ \text{m}\)
Mostra la resolució

Resposta: C.
Si aïllem \(\lambda\) a \(v = \lambda\,f\), amb \(5\ \text{MHz} = 5 \cdot 10^6\ \text{Hz}\), tenim
\(\lambda = \dfrac{1540}{5 \cdot 10^6}\) \(\approx 3{,}1 \cdot 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}31\ \text{mm}\)
Per això l'ecografia separa estructures d'unes quantes dècimes de mil·límetre, i els aparells de freqüència més alta mostren detalls encara més petits.
Les opcions A i D s'equivoquen en la potència de deu en passar a mil·límetres. La B fa servir la velocitat del so a l'aire, 340 m/s, que no val dins del cos, i la E multiplica la velocitat per la freqüència.
Interferència · Pas 5
La Juliana viatja molt amb avió i s'ha comprat uns auriculars amb cancel·lació activa de soroll. Un micròfon dels auriculars capta el brogit del motor, que dins de la cabina està dominat per un so greu de 200 Hz, i un circuit electrònic fa que l'altaveu emeti una segona ona sonora juntament amb la música. Suposarem que el brogit és un so pur, de freqüència i amplitud constants.

Perquè el brogit gairebé desaparegui a l'orella de la Juliana, com ha de ser l'ona emesa pel circuit?
1. Amb la mateixa freqüència i en fase amb el brogit, perquè les dues ones se sumin.
2. Amb la mateixa freqüència i la mateixa amplitud que el brogit, en oposició de fase, cosa que equival a un retard de 2,5 ms.
3. Amb la mateixa freqüència i la mateixa amplitud que el brogit, endarrerida 5 ms.
4. Amb el doble de la freqüència del brogit, perquè cada cresta seva trobi una vall.
5. Amb una freqüència d'ultrasò, que l'orella no percep i que apaga el brogit.
Mostra la resolució

Resposta: B.
La cancel·lació és una interferència destructiva, i perquè una cresta trobi una vall en tots els instants les dues ones han de tenir la mateixa freqüència, la mateixa amplitud i fase oposada.
Fase oposada vol dir mig període de retard, \(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot 200}\) \(= 0{,}0025\ \text{s} = 2{,}5\ \text{ms}\)
L'opció A descriu una interferència constructiva, que duplicaria el brogit. La C endarrereix un període sencer, i l'ona torna a estar en fase amb el brogit. Amb el doble de la freqüència, com a la D, les crestes només coincideixen amb valls de tant en tant, i un ultrasò, com a la E, no interfereix de manera útil amb el so audible.
Els auriculars de veritat cancel·len millor els sons greus i constants, com aquest brogit, que no pas les veus i els sorolls que canvien de pressa.
Ones estacionàries · Pas 6
En una guitarra, la corda més greu, el mi, té 65 cm de part vibrant entre la cellera i el pont i, lliure, fa sonar la nota de 82 Hz. Per tocar un la de 110 Hz en aquesta mateixa corda, la Valéria prem la corda contra un trast, sense canviar la tensió. Suposarem que la corda vibra en el mode fonamental.

Quina ha de ser la longitud de la part de la corda que continua vibrant?
1. 48 cm
2. 87 cm
3. 36 cm
4. 65 cm
5. 17 cm
Mostra la resolució

Resposta: A.
Amb la mateixa tensió i la mateixa corda, la velocitat de l'ona no canvia, i per la fórmula \(f_1 = \dfrac{v}{2L}\) la freqüència és inversament proporcional a la longitud.
\(L^{\prime} = 65 \cdot \dfrac{82}{110}\) \(\approx 48\ \text{cm}\)
L'opció B fa servir la raó invertida i allarga la corda, cosa que faria la nota més greu. La C eleva la raó al quadrat, com si la freqüència depengués del quadrat de la longitud, i la D oblida que prémer el trast escurça la part vibrant. Els 17 cm de la E són la distància entre la cellera i el trast, i no el tros que vibra.
So i efecte Doppler · Pas 7
En Pedro espera per travessar una avinguda quan un cotxe, a 20 m/s, toca el clàxon mentre s'acosta i continua tocant-lo després de passar pel seu costat. El clàxon emet un so de 400 Hz, i l'aire està quiet. Farem servir 340 m/s per a la velocitat del so.

Quines freqüències sent en Pedro mentre el cotxe s'acosta i després que s'allunya, respectivament?
1. 400 Hz i 400 Hz
2. 378 Hz i 425 Hz
3. 424 Hz i 376 Hz
4. 420 Hz i 380 Hz
5. 425 Hz i 378 Hz
Mostra la resolució

Resposta: E.
Qui es mou és la font, i en Pedro està aturat. Quan s'acosta, la font atrapa en part els fronts que ha emès, i el denominador queda \(v - v_f\).
\(f_{\text{apr}} = 400 \cdot \dfrac{340}{340 - 20}\) \(= 425\ \text{Hz}\)
\(f_{\text{allun}} = 400 \cdot \dfrac{340}{340 + 20}\) \(\approx 378\ \text{Hz}\)
L'opció A ignora l'efecte Doppler, i la B confon l'apropament amb l'allunyament. La C fa servir la fórmula de l'observador en moviment, que dona valors semblants però diferents, i la D suma i resta la velocitat del cotxe directament a la freqüència.

Mesures d'en Rafael
Longitud L (m)	Període T (s)
0,25	1,0
0,50	1,4
1,00	2,0
2,25	3,0

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2013, Dia 1, quadern blau, pregunta 65. L'«onada» del públic en un estadi es tracta com una ona progressiva, i amb la velocitat de l'ona i la distància entre les persones en calculem la freqüència.
ENEM 2015, Dia 1, quadern blau, pregunta 86. Una flauta i un piano toquen la mateixa nota, i la pregunta demana quina característica del so ens permet distingir els dos instruments.
ENEM 2016, Dia 1, quadern blau, pregunta 49. Una ambulància passa pel costat d'un observador aturat, i hem de triar el gràfic que mostra com canvia amb el temps la freqüència percebuda.
ENEM 2016, Dia 1, quadern blau, pregunta 86. En un forn de microones sense el plat giratori, la mantega es fon en punts alineats, i la pregunta demana reconèixer aquests punts en una ona estacionària.
ENEM 2017, Dia 2, quadern blau, pregunta 112. En el tub de Quincke, el so es divideix en dos camins i desapareix a la sortida quan un dels dos s'allarga, i amb la diferència de camí arribem a la freqüència de la font.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Moviment harmònic simple\(x = A\cos(\omega t + \varphi_0)\)

Massa-molla\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)

Pèndol (angle petit)\(T = 2\pi\sqrt{L/g}\)

Energia i velocitat en l'MHS (moviment harmònic simple)\(E = \tfrac{1}{2}k\,A^2\) · \(v_{\text{màx}} = \omega A\)

Freqüència i pulsació\(f = 1/T\) · \(\omega = 2\pi f\)

Equació de l'ona\(v = \lambda\,f\)

Velocitat a la corda\(v = \sqrt{F/\mu}\)

Refracció\(f\) igual · \(\lambda_1/\lambda_2 = v_1/v_2\)

Interferència (fonts en fase)\(\Delta r = n\,\lambda\) · \(\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda\)

Corda fixada pels extrems\(f_n = n\,v/(2L)\)

Nivell sonor\(\beta = 10\log(I/I_0)\)

Efecte Doppler\(f^{\prime} = f\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_f}\)