Física · Secundària · Òptica geomètrica

Òptica

L'ombra a terra, el reflex a l'aparador, la cullera «trencada» dins el got, les ulleres i l'arc de Sant Martí semblen fenòmens sense cap relació entre ells. Els podem explicar tots seguint el camí de la llum amb raigs en línia recta i tres regles: la llum es reflecteix amb angles iguals, es refracta quan canvia de medi i cada color es desvia una mica diferent.

1Llum i propagació rectilínia
2Reflexió i miralls plans
3Miralls esfèrics
4Refracció
5Reflexió total
6Lents esfèriques
7L'ull humà
8Dispersió i colors
✓Reptes

PAS 1

La llum va en línia recta, i per això existeixen les ombres

Només veiem un objecte quan la llum que en surt arriba al nostre ull. Anomenem fonts primàries les que produeixen llum pròpia (el Sol, una làmpada, una espelma), i fonts secundàries les que només reflecteixen la llum que reben (la Lluna, aquesta pàgina, tu mateix).

En un medi transparent (aire, vidre llis), la llum passa ordenada. En canvi, en un medi translúcid (vidre glaçat, paper vegetal) passa escampada, i en un d'opac (fusta, paret) no passa.

En un medi homogeni, la llum segueix en línia recta, i per això un objecte opac que bloqueja els raigs deixa al darrere una ombra. Amb una font puntual, la vora de l'ombra és nítida; amb una font extensa, apareix també la penombra, la regió que rep llum només d'una part de la font. Els eclipsis són el mateix fenomen a escala astronòmica.

A la cambra fosca, cada punt de l'objecte envia un raig pel foradet, i els raigs s'hi creuen. Per això la imatge surt invertida, i en podem obtenir la mida per semblança de triangles.

\(\dfrac{o}{i} = \dfrac{p}{p^{\prime}}\)\(\dfrac{\text{ombra}}{\text{objecte}} = \dfrac{L}{a}\) (font puntual)o = alçària de l'objecte · i = alçària de la imatge · p = distància de l'objecte al forat · p′ = profunditat de la cambra · L i a = distàncies de la font a la pantalla i a l'objecte

Per comentar

Fes clic a «Font puntual» i mira si hi ha penombra. Després augmenta a poc a poc la mida de la font i observa què apareix a la vora de l'ombra.
Quan acostem l'objecte a la font, l'ombra creix o disminueix, i què passa amb la penombra?
Fes clic a «Eclipsi anular», una situació en què la font és més gran que l'objecte. On ha anat a parar l'ombra?
A la cambra fosca, allunya l'espelma i segueix la mida de la imatge. Els nombres que veiem a les lectures confirmen \(o/i = p/p^{\prime}\)?
Per què la imatge de la cambra fosca surt de cap per avall? Potser ajuda seguir un raig que surt de la part de dalt de l'espelma.

raigs límit

Mida de la font

Mida de l'objecte

Distància font–objecte

Exercicis del pas 1 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Classifica com a font primària (llum pròpia) o secundària (només reflecteix llum): el Sol, la Lluna, una espelma encesa, la pantalla del mòbil encesa i la pàgina d'aquesta llibreta.

Mostra la resolució
La font primària produeix llum pròpia, mentre que la secundària només retorna (reflecteix) la llum que rep.
El Sol, l'espelma encesa i la pantalla encesa emeten llum pròpia.
La Lluna i la pàgina només reflecteixen la llum del Sol o de la làmpada.
Primàries: Sol, espelma, pantalla encesa. Secundàries: Lluna i pàgina.
bàsic
Classifica els medis en transparent, translúcid o opac: aire net, vidre llis de la finestra, vidre de la mampara de la dutxa (glaçat), paper vegetal, paret de maó.

Mostra la resolució
En un medi transparent, la llum passa de manera ordenada i hi veiem a través amb nitidesa.
En un de translúcid, la llum passa escampada, i no se'n veu la forma nítida.
En un d'opac, la llum no passa.
Transparents: aire i vidre llis. Translúcids: vidre glaçat i paper vegetal. Opac: maó.
bàsic
Un edifici de \(6\ \text{m}\) d'alçària és a \(30\ \text{m}\) d'una cambra fosca de \(20\ \text{cm}\) de profunditat. Quina alçària té la imatge al fons de la cambra?

Mostra la resolució
Fem servir la semblança de triangles, \(\dfrac{o}{i} = \dfrac{p}{p^{\prime}}\)
\(i = \dfrac{o \cdot p^{\prime}}{p} = \dfrac{6 \cdot 0{,}20}{30}\)
\(i = 0{,}04\ \text{m}\)
\(i = 4\ \text{cm}\) (i invertida)
bàsic
En el mateix instant, un fanal de \(3\ \text{m}\) projecta una ombra de \(4\ \text{m}\) a terra. Quina longitud té l'ombra d'una persona de \(1{,}8\ \text{m}\) que és al seu costat?

Mostra la resolució
Els raigs del Sol arriben paral·lels, de manera que els triangles fanal–ombra i persona–ombra són semblants.
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{1{,}8}{s}\)
\(s = \dfrac{1{,}8 \cdot 4}{3} = 2{,}4\ \text{m}\)
\(s = 2{,}4\ \text{m}\)
mitjà
Una cambra fosca té \(25\ \text{cm}\) de profunditat. La imatge d'una persona de \(1{,}75\ \text{m}\) hi apareix amb \(3{,}5\ \text{cm}\) d'alçària. A quina distància de la cambra és la persona?

Mostra la resolució
\(\dfrac{o}{i} = \dfrac{p}{p^{\prime}}\) \(\Rightarrow p = \dfrac{o \cdot p^{\prime}}{i}\)
Passant-ho tot a metres, \(p = \dfrac{1{,}75 \cdot 0{,}25}{0{,}035}\)
\(p = \dfrac{0{,}4375}{0{,}035} = 12{,}5\ \text{m}\)
\(p = 12{,}5\ \text{m}\)
mitjà
En un eclipsi solar, per què l'eclipsi total només es veu en una franja estreta de la Terra, mentre que el parcial es veu en una regió molt més gran? En quin ordre queden el Sol, la Lluna i la Terra?

Mostra la resolució
El Sol és una font extensa, de manera que la Lluna projecta ombra (umbra) i penombra.
Qui és a la umbra no veu cap punt del Sol i observa l'eclipsi total, i la umbra que arriba a la Terra és petita.
Qui és a la penombra veu només una part del Sol i observa un eclipsi parcial, en una regió molt més ampla.
Ordre: Sol – Lluna – Terra. Total a la umbra (franja estreta); parcial a la penombra (regió ampla).
mitjà
Per mesurar l'alçària d'un edifici, una alumna clava una vara d'\(1\ \text{m}\) a terra. L'ombra de la vara fa \(0{,}6\ \text{m}\) i la de l'edifici, \(15\ \text{m}\). Quina alçària té l'edifici?

Mostra la resolució
Com que els raigs del Sol arriben paral·lels, els triangles són semblants.
\(\dfrac{H}{15} = \dfrac{1}{0{,}6}\)
\(H = \dfrac{15}{0{,}6} = 25\ \text{m}\)
\(H = 25\ \text{m}\)
mitjà
Una làmpada petita (puntual) és a \(1\ \text{m}\) d'un disc opac de radi \(10\ \text{cm}\), paral·lel a una paret que és a \(3\ \text{m}\) de la làmpada. Quin radi té l'ombra a la paret? Quantes vegades és més gran l'àrea de l'ombra que la del disc?

Mostra la resolució
Amb una font puntual, només hi ha ombra, sense penombra.
Per semblança, \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{3}{1}\) \(\Rightarrow R = 3 \cdot 10 = 30\ \text{cm}\)
L'àrea creix amb el quadrat de la raó, \(\left(\dfrac{30}{10}\right)^2 = 9\)
\(R = 30\ \text{cm}\); l'àrea de l'ombra és 9 vegades la del disc.
repte
Una cambra fosca de \(20\ \text{cm}\) de profunditat, a \(10\ \text{m}\) d'un arbre, mostra una imatge de \(6\ \text{cm}\). (a) Quina alçària té l'arbre? (b) Si portem la cambra a \(6\ \text{m}\) de l'arbre, quina alçària tindrà la nova imatge?

Mostra la resolució
(a) \(o = \dfrac{i \cdot p}{p^{\prime}} = \dfrac{0{,}06 \cdot 10}{0{,}20} = 3\ \text{m}\)
(b) \(i = \dfrac{o \cdot p^{\prime}}{p} = \dfrac{3 \cdot 0{,}20}{6} = 0{,}10\ \text{m}\)
En acostar-nos, la imatge creix, perquè \(i\) és inversament proporcional a \(p\).
(a) \(3\ \text{m}\); (b) \(10\ \text{cm}\)
repte
Una làmpada de \(10\ \text{cm}\) de diàmetre (font extensa) és a \(1\ \text{m}\) d'un disc opac de \(20\ \text{cm}\) de diàmetre. La paret és a \(3\ \text{m}\) de la làmpada. Calcula el diàmetre de l'ombra (umbra) i el diàmetre exterior de la penombra.

Mostra la resolució
Els raigs límit creuats donen la vora de l'ombra, i els raigs del mateix costat donen la vora exterior de la penombra. Per semblança, amb \(\dfrac{L}{a} = \dfrac{3}{1} = 3\):
Ombra: \(D_s = d \cdot 3 - F \cdot (3 - 1) = 20 \cdot 3 - 10 \cdot 2 = 40\ \text{cm}\)
Penombra: \(D_p = d \cdot 3 + F \cdot (3 - 1) = 60 + 20 = 80\ \text{cm}\)
Ombra de \(40\ \text{cm}\) de diàmetre, envoltada de penombra fins a \(80\ \text{cm}\).

PAS 2

Al mirall, la llum torna amb el mateix angle

Quan la llum toca una superfície polida, es reflecteix. Mesurem els angles a partir de la normal, la recta perpendicular al mirall en el punt on arriba el raig.

La 1a llei diu que el raig incident, la normal i el raig reflectit són al mateix pla, i la 2a llei, que l'angle de reflexió és igual al d'incidència.

Quan ens mirem en un mirall pla, els raigs reflectits semblen venir d'un punt del darrere. La imatge és virtual (els raigs no hi passen), dreta, de la mateixa mida i simètrica, és a dir, queda tan lluny pel darrere com l'objecte és al davant, amb l'esquerra i la dreta intercanviades.

Una cosa que potser sorprèn és que, per veure'ns de cos sencer, n'hi ha prou amb un mirall de la meitat de la nostra alçària, a qualsevol distància. En canvi, dos miralls en angle fan diverses imatges, l'una reflectint l'altra.

\(i = r\)\(d_{\text{imatge}} = d_{\text{objecte}}\)\(\ell_{\min} = \dfrac{H}{2}\)\(N = \dfrac{360^\circ}{\alpha} - 1\)i i r es mesuren a partir de la normal. La fórmula de N val quan 360°/α és enter (i, si és senar, amb l'objecte a la bisectriu).

Per comentar

En el mode «Raig», arrossega el làser i mira si l'angle reflectit segueix sempre l'incident.
A «Objecte i imatge», arrossega l'ull. D'on semblen venir els raigs que hi arriben, i hi ha posicions en què l'ull no veu la imatge?
A «Cos sencer», allunya la persona del mirall. La nostra intuïció tendeix a dir que el tros de mirall que fem servir canvia de mida; canvia de debò?
A «Dos miralls», tanca l'angle de 90° a 60° i després a 45°. Compta les imatges en cada cas i comprova-ho amb \(N = 360^\circ/\alpha - 1\).

raig incident

raig reflectit

normal / prolongació

Angle d'incidència

Exercicis del pas 2 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un raig de llum forma \(30^\circ\) amb la superfície d'un mirall pla. Quant valen l'angle d'incidència i el de reflexió? Quin angle formen el raig incident i el reflectit?

Mostra la resolució
Els angles es mesuren a partir de la normal, no del mirall.
\(i = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) i, per la llei de la reflexió, \(r = i = 60^\circ\).
Entre els raigs, l'angle és \(i + r = 120^\circ\).
\(i = r = 60^\circ\); els raigs formen \(120^\circ\) entre ells.
bàsic
Ets a \(2\ \text{m}\) d'un mirall pla. A quina distància de tu és la teva imatge? I si fas mig metre cap al mirall?

Mostra la resolució
La imatge queda darrere el mirall, a la mateixa distància que l'objecte és al davant.
La distància entre tu i la imatge és \(2 + 2 = 4\ \text{m}\).
Si camines \(0{,}5\ \text{m}\), quedes a \(1{,}5\ \text{m}\) del mirall, i la imatge també, cosa que dona \(1{,}5 + 1{,}5 = 3\ \text{m}\).
\(4\ \text{m}\); després, \(3\ \text{m}\).
bàsic
Per què la paraula AMBULÀNCIA es pinta «a l'inrevés» a la part del davant de les ambulàncies?

Mostra la resolució
La imatge en un mirall pla és simètrica i intercanvia l'esquerra per la dreta (és enantiomorfa).
El conductor del cotxe de davant veu l'ambulància pel retrovisor, que torna a invertir el text.
Invertida dues vegades, la paraula apareix llegible al retrovisor.
bàsic
Quantes imatges d'una espelma veus entre dos miralls plans que formen \(90^\circ\)? I \(60^\circ\)?

Mostra la resolució
\(N = \dfrac{360^\circ}{\alpha} - 1\)
\(\alpha = 90^\circ\): \(N = 4 - 1 = 3\)
\(\alpha = 60^\circ\): \(N = 6 - 1 = 5\)
3 imatges a \(90^\circ\); 5 imatges a \(60^\circ\).
mitjà
Una persona d'\(1{,}70\ \text{m}\), amb els ulls a \(1{,}60\ \text{m}\) de terra, es vol veure de cos sencer en un mirall pla vertical. Quina és la mida mínima del mirall i a quina alçària de terra ha de quedar la vora de baix? Depèn de la distància al mirall?

Mostra la resolució
El raig que ve dels peus es reflecteix a l'alçària mitjana entre els peus i els ulls, \(\dfrac{1{,}60}{2} = 0{,}80\ \text{m}\).
El raig de la part de dalt del cap es reflecteix al punt mitjà entre el cap i els ulls, \(\dfrac{1{,}70 + 1{,}60}{2} = 1{,}65\ \text{m}\).
La mida del mirall és, doncs, \(1{,}65 - 0{,}80 = 0{,}85\ \text{m}\), la meitat de l'alçària.
\(0{,}85\ \text{m}\), amb la vora de baix a \(0{,}80\ \text{m}\) de terra; no depèn de la distància.
mitjà
Una persona camina cap a un mirall pla quiet a \(1{,}5\ \text{m/s}\). Quina velocitat té la imatge respecte a terra? I respecte a la persona?

Mostra la resolució
La imatge sempre és simètrica, de manera que, si la persona s'acosta \(1{,}5\ \text{m}\) cada segon, la imatge també s'acosta al mirall \(1{,}5\ \text{m}\) cada segon, en sentit contrari.
Respecte a terra, la imatge es mou a \(1{,}5\ \text{m/s}\).
Respecte a la persona, com que els sentits són oposats, sumem \(1{,}5 + 1{,}5 = 3\ \text{m/s}\).
\(1{,}5\ \text{m/s}\) respecte a terra i \(3\ \text{m/s}\) respecte a la persona.
mitjà
Un raig incideix en un mirall pla. Si girem el mirall \(15^\circ\) (amb el raig incident fix), quant gira el raig reflectit?

Mostra la resolució
Girar el mirall fa girar la normal \(15^\circ\), de manera que l'angle d'incidència canvia \(15^\circ\).
L'angle de reflexió també canvia \(15^\circ\), i els dos efectes se sumen per al raig reflectit.
Gir del reflectit \(= 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ\).
El raig reflectit gira \(30^\circ\).
mitjà
Dos miralls plans en angle formen 7 imatges d'un objecte col·locat entre ells. Quin angle formen els miralls?

Mostra la resolució
\(N = \dfrac{360^\circ}{\alpha} - 1\) \(\Rightarrow 7 + 1 = \dfrac{360^\circ}{\alpha}\)
\(\alpha = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ\)
\(\alpha = 45^\circ\)
repte
Dos miralls plans formen \(90^\circ\). Un raig arriba al primer amb un angle d'incidència de \(40^\circ\). Amb quin angle incideix en el segon, i en quina direcció surt després de les dues reflexions?

Mostra la resolució
En el triangle format pel vèrtex i pels dos punts de reflexió, el raig reflectit al primer mirall fa \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\) amb aquest mirall.
Com que els miralls fan \(90^\circ\), aquest raig fa \(180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\) amb el segon mirall, és a dir, una incidència de \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
Cada reflexió inverteix una component del moviment, i les dues juntes inverteixen el sentit del raig.
Incideix a \(50^\circ\) en el segon i surt paral·lel al raig inicial, en sentit contrari (retroreflector).
repte
Ets a \(2\ \text{m}\) d'un mirall pla d'\(1\ \text{m}\) d'amplada, amb els ulls davant del centre. Darrere teu, a \(5\ \text{m}\) del mirall, hi ha una paret. Quina amplada d'aquesta paret pots veure pel mirall?

Mostra la resolució
El camp visual queda limitat per les rectes que surten de la imatge de l'ull (a \(2\ \text{m}\) darrere el mirall) i passen per les vores del mirall.
De la imatge de l'ull fins al mirall hi ha \(2\ \text{m}\), i fins a la paret, \(2 + 5 = 7\ \text{m}\).
Per semblança, \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{7}{2}\) \(\Rightarrow x = 3{,}5\ \text{m}\)
Veus \(3{,}5\ \text{m}\) de paret.

PAS 3

Miralls corbs: ampliar, reduir, invertir

Podem pensar un mirall esfèric com un tros d'una esfera de mirall. En el còncau, la cara que reflecteix és la de dins, com una cullera mirada per dins, i en el convex és la de fora. Anomenem C el centre de curvatura, V el vèrtex i F el focus, que queda al mig entre tots dos.

Per a raigs propers a l'eix, podem traçar la imatge amb uns quants raigs notables. El raig que arriba paral·lel a l'eix es reflecteix passant pel focus (en el convex, com si en vingués), i el que passa pel focus torna paral·lel. El que passa per C torna sobre si mateix, mentre que el que toca el vèrtex es reflecteix simètric respecte a l'eix. La imatge és on es creuen els raigs reflectits.

En el còncau, la imatge depèn d'on col·loquem l'objecte: més enllà de C → real, invertida, més petita; a C → real, invertida, igual; entre C i F → real, invertida, més gran; a F → impròpia (els raigs surten paral·lels, com en el far); entre F i V → virtual, dreta, més gran (mirall de maquillatge). El convex, en canvi, sempre dona una imatge virtual, dreta i més petita, com en el retrovisor i en el mirall de la sortida d'un garatge.

\(f = \dfrac{R}{2}\)\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}}\)\(A = \dfrac{i}{o} = -\dfrac{p^{\prime}}{p}\)En el conveni de signes que fem servir, p > 0 (objecte real) · p′ > 0 imatge real, al davant; p′ < 0 virtual, al darrere · f > 0 còncau, f < 0 convex · A > 0 dreta, A < 0 invertida

Per comentar

Arrossega l'objecte des de lluny fins a prop del mirall còncau i busca el punt en què la imatge sembla «girar» de real a virtual.
Posa l'objecte a C i comprova a la lectura que \(A = -1\). Què ens diu aquest valor sobre la imatge?
Posa l'objecte a F. Cap on van els raigs reflectits, i per què el far aprofita aquesta disposició?
Quan canviem a convex i arrosseguem l'objecte a qualsevol lloc, la classificació de la imatge arriba a canviar?
Tria p i f, calcula \(p^{\prime}\) a la llibreta amb l'equació de Gauss i només després comprova-ho amb la lectura.

paral·lel → focus

focus → paral·lel

pel vèrtex

per C

Distància focal |f|

Distància de l'objecte p

Posició de la imatge p′

Augment A

Alçària (objecte de 10 cm)

Imatge

Exercicis del pas 3 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Un mirall còncau té un radi de curvatura \(R = 40\ \text{cm}\). On és el focus?

Mostra la resolució
\(f = \dfrac{R}{2} = \dfrac{40}{2}\)
\(f = 20\ \text{cm}\) del vèrtex, al mig entre el vèrtex i el centre de curvatura.
bàsic
Un objecte és a \(30\ \text{cm}\) d'un mirall còncau de focus \(10\ \text{cm}\). On es forma la imatge i quines característiques té?

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}\)
\(p^{\prime} = 15\ \text{cm}\) (positiu: real, davant del mirall)
\(A = -\dfrac{p^{\prime}}{p} = -\dfrac{15}{30} = -0{,}5\)
Imatge a \(15\ \text{cm}\): real, invertida i de la meitat de la mida.
bàsic
Per què el retrovisor del costat dret dels cotxes és convex, i per què hi posa «els objectes són més a prop del que semblen»?

Mostra la resolució
El mirall convex sempre forma una imatge virtual, dreta i més petita.
Com que la imatge és més petita, hi caben més coses, i el camp visual és més gran.
Com que la imatge és petita, el cervell interpreta que el cotxe és més lluny.
Convex = camp visual ampli; la imatge reduïda enganya sobre la distància.
bàsic
En els fars dels cotxes, la làmpada és al focus d'un mirall còncau. Per què?

Mostra la resolució
Els raigs que surten del focus i toquen el mirall còncau tornen paral·lels a l'eix (raig notable).
Així, la llum surt en un feix estret que arriba lluny, sense escampar-se.
Amb l'objecte al focus, la imatge és impròpia (a l'«infinit»).
Làmpada al focus → feix paral·lel i concentrat.
mitjà
En un mirall de maquillatge còncau de focus \(20\ \text{cm}\), la cara és a \(10\ \text{cm}\). On és la imatge i quant s'amplia? Amb quina mida apareix una piga de \(3\ \text{mm}\)?

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{10} = -\dfrac{1}{20}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -20\ \text{cm}\) (virtual, darrere el mirall)
\(A = -\dfrac{-20}{10} = 2\) (dreta, 2 vegades més gran)
\(i = 2 \cdot 3 = 6\ \text{mm}\)
Imatge virtual a \(20\ \text{cm}\) darrere el mirall, dreta, ampliada 2 vegades: \(6\ \text{mm}\).
mitjà
Un objecte de \(9\ \text{cm}\) és a \(30\ \text{cm}\) d'un mirall convex de focus \(15\ \text{cm}\) (fes servir \(f = -15\ \text{cm}\)). Troba la posició i l'alçària de la imatge.

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = -\dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{30} = -\dfrac{3}{30}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -10\ \text{cm}\)
\(A = -\dfrac{-10}{30} = \dfrac{1}{3}\)
\(i = \dfrac{9}{3} = 3\ \text{cm}\)
Imatge virtual a \(10\ \text{cm}\) darrere el mirall, dreta, de \(3\ \text{cm}\).
mitjà
Un objecte és exactament sobre el centre de curvatura d'un mirall còncau de \(R = 30\ \text{cm}\). On és la imatge i quin és l'augment?

Mostra la resolució
\(f = 15\ \text{cm}\) i \(p = 30\ \text{cm}\)
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{30}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = 30\ \text{cm}\)
\(A = -\dfrac{30}{30} = -1\)
La imatge també és a C: real, invertida i de la mateixa mida.
mitjà
Un mirall còncau projecta en una pantalla, a \(60\ \text{cm}\) d'ell, la imatge real d'una espelma 3 vegades més gran. A quina distància és l'espelma i quin és el focus del mirall?

Mostra la resolució
Com que la imatge és real i projectada, és invertida, i \(A = -3 = -\dfrac{p^{\prime}}{p}\)
\(p = \dfrac{60}{3} = 20\ \text{cm}\)
\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{60} = \dfrac{4}{60}\) \(\Rightarrow f = 15\ \text{cm}\)
Espelma a \(20\ \text{cm}\); \(f = 15\ \text{cm}\).
repte
Vols un mirall de maquillatge que, amb la cara a \(20\ \text{cm}\), mostri una imatge dreta i 3 vegades més gran. Quin tipus de mirall, amb quin focus i quin radi de curvatura?

Mostra la resolució
Només el còncau dona una imatge dreta i més gran, amb l'objecte entre F i V.
\(A = 3 = -\dfrac{p^{\prime}}{20}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -60\ \text{cm}\)
\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{60} = \dfrac{2}{60}\) \(\Rightarrow f = 30\ \text{cm}\)
\(R = 2f = 60\ \text{cm}\)
Còncau amb \(f = 30\ \text{cm}\) i \(R = 60\ \text{cm}\).
repte
El retrovisor convex d'un cotxe té un radi de curvatura de \(2\ \text{m}\). Un cotxe d'\(1{,}5\ \text{m}\) d'alçària és a \(9\ \text{m}\) del mirall. Quina alçària té la imatge i on es forma?

Mostra la resolució
\(f = -\dfrac{R}{2} = -1\ \text{m}\) (convex)
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = -1 - \dfrac{1}{9} = -\dfrac{10}{9}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -0{,}9\ \text{m}\)
\(A = -\dfrac{-0{,}9}{9} = 0{,}1\) \(\Rightarrow i = 0{,}1 \cdot 1{,}5 = 0{,}15\ \text{m}\)
Imatge virtual, dreta, de \(15\ \text{cm}\), a \(0{,}9\ \text{m}\) darrere el mirall.

PAS 4

Canvia de medi, canvia de velocitat, canvia de direcció

La llum és més lenta a l'aigua i al vidre que a l'aire. L'índex de refracció \(n = c/v\) diu quantes vegades es torna més lenta, i alguns valors típics són aire ≈ 1,00; aigua ≈ 1,33; vidre ≈ 1,50; diamant ≈ 2,42.

Quan passa d'un medi a un altre amb incidència obliqua, el raig canvia de direcció, i anomenem aquest canvi refracció. Quan entra en un medi més refringent (n més gran), s'acosta a la normal; quan en surt, se n'allunya. Una part feble de la llum sempre es reflecteix.

Per això la piscina sembla menys fonda i el llapis sembla «trencat» dins el got. El nostre ull prolonga en línia recta raigs que s'han desviat a la superfície.

\(n = \dfrac{c}{v}\)\(n_1\,\sin\,\theta_1 = n_2\,\sin\,\theta_2\)\(h^{\prime} \approx h\,\dfrac{n_{\text{obs}}}{n_{\text{obj}}}\)c = 3·10⁸ m/s, i θ es mesura des de la normal. En la refracció canvien la velocitat i la longitud d'ona, mentre que la freqüència (el color) es manté. L'expressió de h′ val per a qui mira gairebé en vertical.

Per comentar

Amb aire → aigua a 40°, el raig s'acosta a la normal o se n'allunya? I quan ho invertim, aigua → aire?
Posa l'angle a zero i mira si el raig es desvia. Encara que no es desviï, podem dir que la velocitat canvia?
Activa els fronts d'ona i fixa't que queden més junts en el medi més lent. Què ho pot explicar?
Tria aire → diamant i compara θ₂ amb el que hem vist en el cas de l'aigua.
En el mode «Moneda a la piscina», inclina la mirada a poc a poc. La moneda sembla que puja o que baixa?

Medi 1 (a dalt)

Medi 2 (a baix)

Angle d'incidència θ₁

Exercicis del pas 4 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
La llum viatja pel vidre, d'índex \(n = 1{,}5\). Quina velocitat hi té? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
\(n = \dfrac{c}{v}\) \(\Rightarrow v = \dfrac{c}{n}\)
\(v = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}5}\)
\(v = 2 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)
bàsic
Al diamant, la llum va a \(1{,}25 \cdot 10^8\ \text{m/s}\). Quin és l'índex de refracció del diamant? Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
\(n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}25 \cdot 10^8}\)
\(n = 2{,}4\)
bàsic
Un raig passa de l'aire a l'aigua. S'acosta a la normal o se n'allunya? I si arriba perpendicular a la superfície, què passa?

Mostra la resolució
L'aigua és més refringent que l'aire (\(n\) més gran), de manera que la llum es torna més lenta i el raig s'acosta a la normal.
Amb incidència perpendicular (\(\theta_1 = 0^\circ\)), tenim \(\sin\,\theta_2 = 0\), i el raig canvia de velocitat sense canviar de direcció.
S'acosta a la normal; amb incidència perpendicular passa sense desviar-se.
bàsic
Un raig ve de l'aire (\(n_1 = 1\)) amb un angle de \(30^\circ\) i, a l'altre medi, segueix amb \(\sin\,\theta_2 = 0{,}25\). Quin és l'índex de refracció d'aquest medi? Fes servir \(\sin\,30^\circ = 0{,}5\).

Mostra la resolució
\(n_1\,\sin\,\theta_1 = n_2\,\sin\,\theta_2\)
\(1 \cdot 0{,}5 = n_2 \cdot 0{,}25\)
\(n_2 = 2\)
mitjà
Un raig ve de l'aire amb un angle d'incidència de \(60^\circ\) i entra en un vidre d'índex \(\sqrt{3}\). Quin és l'angle de refracció? Fes servir \(\sin\,60^\circ = \dfrac{\sqrt 3}{2}\).

Mostra la resolució
\(1 \cdot \sin\,60^\circ = \sqrt 3 \cdot \sin\,\theta_2\)
\(\sin\,\theta_2 = \dfrac{\sqrt3/2}{\sqrt 3} = \dfrac{1}{2}\)
\(\theta_2 = 30^\circ\)
mitjà
Una piscina té \(2\ \text{m}\) de fondària. Mirant-la gairebé en vertical, des de fora, quina fondària sembla tenir? Fes servir \(n_{\text{aigua}} = \dfrac{4}{3}\).

Mostra la resolució
Per a una visió gairebé vertical, fem servir \(h^{\prime} = h \cdot \dfrac{n_{\text{observador}}}{n_{\text{objecte}}}\)
\(h^{\prime} = 2 \cdot \dfrac{1}{4/3} = 2 \cdot \dfrac{3}{4}\)
\(h^{\prime} = 1{,}5\ \text{m}\): la piscina sembla menys fonda.
mitjà
Quantes vegades és més ràpida la llum a l'aigua (\(n = \dfrac{4}{3}\)) que al vidre (\(n = 1{,}5\))?

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{c}{n}\), de manera que \(\dfrac{v_{\text{aigua}}}{v_{\text{vidre}}} = \dfrac{n_{\text{vidre}}}{n_{\text{aigua}}}\)
\(\dfrac{1{,}5}{4/3} = \dfrac{1{,}5 \cdot 3}{4} = 1{,}125\)
\(1{,}125\) vegades (prop d'un 12,5% més ràpida).
mitjà
Un pescador amb arpó veu un peix dins l'aigua. Ha d'apuntar exactament on veu el peix, més amunt o més avall? Explica-ho amb la refracció.

Mostra la resolució
La llum del peix surt de l'aigua i s'allunya de la normal en passar a l'aire.
L'ull prolonga el raig en línia recta, i la prolongació passa per sobre de la posició real.
Per això el peix sembla menys fondo, com la piscina i el llapis «trencat» dins el got.
Ha d'apuntar per sota d'on veu el peix.
repte
Un raig passa de l'aigua (\(n = \dfrac{4}{3}\)) al vidre (\(n = 1{,}5\)) amb un angle d'incidència de \(45^\circ\). Quin és l'angle de refracció? Fes servir \(\sin\,45^\circ \approx 0{,}707\).

Mostra la resolució
\(\dfrac{4}{3} \cdot 0{,}707 = 1{,}5 \cdot \sin\,\theta_2\)
\(\sin\,\theta_2 = \dfrac{0{,}943}{1{,}5} \approx 0{,}629\)
\(\theta_2 \approx 38{,}9^\circ\), més petit que \(45^\circ\), ja que el vidre és més refringent que l'aigua.
\(\theta_2 \approx 39^\circ\)
repte
Un submarinista, dins l'aigua, mira amunt i veu un ocell aturat a \(3\ \text{m}\) per sobre de la superfície. Mirant gairebé en vertical, a quina alçària sembla que és l'ocell? Fes servir \(n_{\text{aigua}} = \dfrac{4}{3}\).

Mostra la resolució
Ara l'observador és en el medi més refringent, i continuem fent servir \(h^{\prime} = h \cdot \dfrac{n_{\text{observador}}}{n_{\text{objecte}}}\)
\(h^{\prime} = 3 \cdot \dfrac{4/3}{1} = 4\ \text{m}\)
Per a qui és dins l'aigua, el que hi ha a fora sembla més lluny.
L'ocell sembla que és a \(4\ \text{m}\) de la superfície.

PAS 5

Quan la llum no pot sortir

Quan la llum passa d'un medi més refringent a un de menys refringent, de l'aigua a l'aire, per exemple, el raig s'allunya de la normal. Si augmentem l'angle d'incidència, el refractat es va ajaient fins que surt arran de la superfície (\(\theta_2 = 90^\circ\)), i anomenem aquest angle d'incidència angle límit L.

Per sobre de L no hi ha refracció, i tota la llum torna. És la reflexió total, més eficient que qualsevol mirall, i només passa quan la llum va del medi més refringent al menys refringent.

La fibra òptica reté la llum per reflexions totals successives i porta internet al llarg de quilòmetres. El mateix efecte explica la brillantor del diamant (L ≈ 24°), en què la llum queda atrapada i surt per la cara de dalt, i també el miratge a l'asfalt calent, que és llum del cel que es corba en l'aire calent arran de terra.

\(\sin\,L = \dfrac{n_{\text{menor}}}{n_{\text{major}}}\)reflexió total si \(\theta > L\)Per a aigua–aire, L ≈ 48,6° (amb n = 4/3; amb n = 1,33 dona 48,8°) · vidre–aire: L ≈ 41,8° · diamant–aire: L ≈ 24,4°

Per comentar

Amb la font dins l'aigua, quins raigs surten i quins tornen? On sembla que hi ha la frontera entre els dos grups?
Porta el raig destacat fins a l'angle límit i observa com surt el raig refractat.
Quan canviem l'aigua per diamant, el «con» de llum que surt es fa més gran o més petit? Potser val la pena preveure la resposta amb l'angle límit abans de mirar.
En el mode fibra, augmenta l'angle d'entrada fins que la llum comenci a escapar-se. Després canvia el revestiment per aire i compara.
Per què no hi ha reflexió total quan la llum va de l'aire a l'aigua?

raig que surt

reflexió total

angle límit

Raig destacat θ

Exercicis del pas 5 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Quin és l'angle límit per a la llum que va de l'aigua (\(n = \dfrac{4}{3}\)) a l'aire?

Mostra la resolució
\(\sin\,L = \dfrac{n_{\text{menor}}}{n_{\text{major}}} = \dfrac{1}{4/3} = 0{,}75\)
\(L \approx 48{,}6^\circ\)
bàsic
Quines són les dues condicions perquè hi hagi reflexió total?

Mostra la resolució
1. La llum ha d'anar del medi més refringent al menys refringent (per exemple, de l'aigua a l'aire).
2. L'angle d'incidència ha de ser més gran que l'angle límit \(L\).
Del més al menys refringent, amb \(\theta > L\).
bàsic
L'angle límit vidre–aire és d'uns \(42^\circ\) (\(n_{\text{vidre}} = 1{,}5\)). Un raig dins el vidre arriba a la superfície amb \(45^\circ\). Surt del vidre?

Mostra la resolució
\(\sin\,L = \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667\) \(\Rightarrow L \approx 41{,}8^\circ\)
Com que \(45^\circ > 41{,}8^\circ\), el raig no pot sortir.
No: pateix reflexió total i torna cap a dins del vidre.
bàsic
Com aconsegueix la fibra òptica portar llum per un cable ple de corbes?

Mostra la resolució
El nucli de la fibra té un índex més gran que el revestiment que l'envolta.
La llum toca la paret amb un angle més gran que el límit i pateix reflexió total, gairebé sense pèrdua.
Rebotant així, segueix el camí del fil, fins i tot quan fa corbes suaus.
Per reflexions totals successives al nucli.
mitjà
El diamant té \(n = 2{,}42\). Quin és el seu angle límit amb l'aire? Per què això fa que el diamant brilli tant?

Mostra la resolució
\(\sin\,L = \dfrac{1}{2{,}42} \approx 0{,}413\) \(\Rightarrow L \approx 24{,}4^\circ\)
Amb un angle límit tan petit, gairebé tota la llum que entra toca les cares internes per sobre de \(L\) i pateix reflexió total diverses vegades.
La talla fa que la llum surti concentrada per la cara de dalt.
\(L \approx 24^\circ\): moltes reflexions totals tornen la llum a l'observador.
mitjà
Fent mesures, un alumne descobreix que l'angle límit d'un material amb l'aire és de \(30^\circ\). Quin és l'índex de refracció del material?

Mostra la resolució
\(\sin\,L = \dfrac{1}{n}\) \(\Rightarrow n = \dfrac{1}{\sin\,30^\circ}\)
\(n = \dfrac{1}{0{,}5}\)
\(n = 2\)
mitjà
Hi pot haver reflexió total per a la llum que va del vidre (\(n = 1{,}5\)) a l'aigua (\(n = \dfrac{4}{3}\))? Si és així, quin és l'angle límit?

Mostra la resolució
Sí, perquè el vidre és més refringent que l'aigua.
\(\sin\,L = \dfrac{4/3}{1{,}5} = \dfrac{8}{9} \approx 0{,}889\)
\(L \approx 62{,}7^\circ\) (més gran que el de vidre–aire, perquè els índexs són més propers).
mitjà
Els dies de calor, l'asfalt sembla tenir un «bassal d'aigua» que desapareix quan ens hi acostem. Explica aquest miratge.

Mostra la resolució
L'aire de prop de l'asfalt calent és menys dens i té un índex de refracció una mica més petit.
La llum del cel, que baixa inclinada, travessa capes de \(n\) cada vegada més petit, s'allunya de la normal i acaba corbant-se (reflexió total) cap amunt.
L'ull veu la imatge del cel a terra, i el cervell la interpreta com aigua que reflecteix el cel.
És la imatge del cel, desviada per l'aire calent arran de terra.
repte
Una llanterna al fons d'una piscina de \(2\ \text{m}\) fa llum en totes les direccions cap amunt. A la superfície, la llum només surt per un cercle. Calcula el radi d'aquest cercle. Fes servir \(n_{\text{aigua}} = \dfrac{4}{3}\).

Mostra la resolució
Fora del cercle, els raigs arriben amb \(\theta > L\) i pateixen reflexió total.
\(\sin\,L = \dfrac{3}{4}\) \(\Rightarrow \cos L = \dfrac{\sqrt 7}{4}\) \(\Rightarrow \tan\,L = \dfrac{3}{\sqrt 7} \approx 1{,}134\)
\(r = h \cdot \tan\,L = 2 \cdot 1{,}134 \approx 2{,}27\ \text{m}\)
\(r \approx 2{,}3\ \text{m}\) (una àrea d'uns \(16\ \text{m}^2\)).
repte
Una fibra òptica té un nucli amb \(n_1 = 1{,}50\) i un revestiment amb \(n_2 = 1{,}40\). (a) Quin és l'angle límit nucli–revestiment? (b) Quin és l'angle més gran que pot fer el raig amb l'eix de la fibra i continuar atrapat?

Mostra la resolució
(a) \(\sin\,L = \dfrac{1{,}40}{1{,}50} \approx 0{,}933\) \(\Rightarrow L \approx 69{,}0^\circ\)
(b) L'angle d'incidència a la paret es mesura des de la normal, que és perpendicular a l'eix. Si el raig fa \(\alpha\) amb l'eix, incideix amb \(90^\circ - \alpha\).
Queda atrapat si \(90^\circ - \alpha > 69{,}0^\circ\) \(\Rightarrow \alpha < 21{,}0^\circ\).
(a) \(L \approx 69^\circ\); (b) fins a uns \(21^\circ\) amb l'eix.

PAS 6

Lents: la refracció treballant dues vegades

Una lent és un vidre amb cares corbes, i la llum s'hi refracta dues vegades, en entrar i en sortir. A l'aire, les lents de vores primes són convergents (reuneixen raigs paral·lels en un focus real), i les lents de vores gruixudes són divergents (separen els raigs, que semblen venir d'un focus virtual).

Si la lent és prima i els raigs són propers a l'eix, tornem a fer servir raigs notables. El que arriba paral·lel a l'eix surt pel focus (o com si en vingués, en la divergent), el que passa pel centre òptic segueix recte, i el que passa pel focus del costat d'entrada surt paral·lel.

En la convergent, quan col·loquem l'objecte lluny (més enllà de 2f), obtenim una imatge real, invertida i més petita, com a la càmera i a l'ull. Entre 2f i f, la imatge és real, invertida i més gran, el cas del projector, i entre f i la lent és virtual, dreta i més gran, com a la lupa. La divergent sempre dona una imatge virtual, dreta i més petita.

\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}}\)\(A = -\dfrac{p^{\prime}}{p}\)\(V = \dfrac{1}{f}\)La potència V es dona en diòptries (D) amb f en metres · f > 0 convergent, f < 0 divergent · p′ > 0 indica una imatge real, a l'altre costat de la lent, i p′ < 0, una imatge virtual, del costat de l'objecte

Per comentar

Arrossega l'objecte des de lluny fins a prop de la lent convergent. En quin moment la imatge passa a l'altre costat i es torna virtual?
Fes clic a «Projector». A primera vista, sembla estrany que la diapositiva hagi d'entrar de cap per avall; per què passa això?
Fes clic a «Lupa» i compara-ho amb el mirall de maquillatge del pas 3. Què tenen en comú les dues imatges?
Canvia a divergent i busca alguna posició que doni una imatge real. N'hi ha cap?
Redueix f i mira què passa amb la potència V. Podem dir, doncs, que una lent «més forta» té el focus més curt o més llarg?

paral·lel → focus

focus → paral·lel

pel centre

Distància focal |f|

Distància de l'objecte p

Posició de la imatge p′

Augment A

Potència V

Imatge

Exercicis del pas 6 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Quina és la potència d'una lent convergent de focus \(50\ \text{cm}\)? I la d'una divergent de focus \(25\ \text{cm}\)?

Mostra la resolució
\(V = \dfrac{1}{f}\), amb \(f\) en metres (positiu en la convergent, negatiu en la divergent).
\(V_1 = \dfrac{1}{0{,}5} = +2\ \text{D}\)
\(V_2 = \dfrac{1}{-0{,}25} = -4\ \text{D}\)
\(+2\ \text{D}\) i \(-4\ \text{D}\).
bàsic
Un objecte és a \(30\ \text{cm}\) d'una lent convergent de focus \(10\ \text{cm}\). On es forma la imatge i quin és l'augment?

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = 15\ \text{cm}\)
\(A = -\dfrac{15}{30} = -0{,}5\)
Imatge real a \(15\ \text{cm}\) a l'altre costat de la lent, invertida, de la meitat de la mida.
bàsic
Per fer servir una lent convergent com a lupa, on ha de quedar l'objecte? Com és la imatge?

Mostra la resolució
L'objecte ha de quedar entre el focus i la lent (\(p < f\)).
En aquest cas \(p^{\prime} < 0\), i els raigs surten divergents, de manera que l'ull en veu la prolongació.
Imatge virtual, dreta i més gran, del mateix costat que l'objecte.
bàsic
Què fa una lent divergent amb un feix de raigs paral·lels a l'eix? Quin tipus d'imatge forma d'un objecte real?

Mostra la resolució
Els raigs surten obrint-se, com si vinguessin del focus del costat per on arriba la llum (focus virtual).
Per a qualsevol posició d'un objecte real, la imatge és virtual, dreta i més petita.
Obre el feix; imatge sempre virtual, dreta i més petita.
mitjà
Un projector té una lent de focus \(10\ \text{cm}\) i la pantalla és a \(5\ \text{m}\) de la lent. A quina distància de la lent ha de quedar la diapositiva, i quantes vegades és més gran la imatge?

Mostra la resolució
\(p^{\prime} = 500\ \text{cm}\): \(\dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{500} = \dfrac{49}{500}\)
\(p = \dfrac{500}{49} \approx 10{,}2\ \text{cm}\) (una mica més enllà del focus)
\(A = -\dfrac{500}{500/49} = -49\)
Diapositiva a \(\approx 10{,}2\ \text{cm}\); imatge 49 vegades més gran (i invertida: per això la diapositiva va de cap per avall).
mitjà
Una lupa de focus \(5\ \text{cm}\) és a \(4\ \text{cm}\) d'una lletra. On es forma la imatge i quin és l'augment?

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{20}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -20\ \text{cm}\)
\(A = -\dfrac{-20}{4} = 5\)
Imatge virtual a \(20\ \text{cm}\) de la lent, del costat de la lletra, dreta i 5 vegades més gran.
mitjà
Un objecte és a \(20\ \text{cm}\) d'una lent divergent de focus \(20\ \text{cm}\) (\(f = -20\ \text{cm}\)). Troba la imatge.

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = -\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{20} = -\dfrac{1}{10}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -10\ \text{cm}\)
\(A = -\dfrac{-10}{20} = 0{,}5\)
Virtual, a \(10\ \text{cm}\) de la lent, dreta, de la meitat de la mida.
mitjà
Una càmera té una lent de focus \(50\ \text{mm}\). Fotografia una persona d'\(1{,}80\ \text{m}\) a \(5\ \text{m}\) de distància. A quina distància de la lent queda el sensor i quina alçària té la imatge?

Mostra la resolució
\(p = 5000\ \text{mm}\): \(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{50} - \dfrac{1}{5000} = \dfrac{99}{5000}\)
\(p^{\prime} = \dfrac{5000}{99} \approx 50{,}5\ \text{mm}\)
\(|A| = \dfrac{50{,}5}{5000} \approx 0{,}0101\) \(\Rightarrow i \approx 0{,}0101 \cdot 1800 \approx 18{,}2\ \text{mm}\)
Sensor a \(\approx 50{,}5\ \text{mm}\); imatge real i invertida d'\(\approx 18\ \text{mm}\).
repte
Una lent forma, en una pantalla, una imatge 4 vegades més gran que l'objecte. La distància entre l'objecte i la pantalla és de \(125\ \text{cm}\). Troba \(p\), \(p^{\prime}\), el focus i la potència de la lent.

Mostra la resolució
Com que la imatge es forma a la pantalla, és real i invertida, i \(p^{\prime} = 4p\).
\(p + 4p = 125\) \(\Rightarrow p = 25\ \text{cm}\) i \(p^{\prime} = 100\ \text{cm}\)
\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{100} = \dfrac{5}{100}\) \(\Rightarrow f = 20\ \text{cm}\)
\(V = \dfrac{1}{0{,}20} = 5\ \text{D}\)
\(p = 25\ \text{cm}\), \(p^{\prime} = 100\ \text{cm}\), \(f = 20\ \text{cm}\), \(V = 5\ \text{D}\).
repte
Un objecte i una pantalla estan fixos, a \(90\ \text{cm}\) l'un de l'altre. Fem lliscar entre tots dos una lent convergent de focus \(20\ \text{cm}\). En quines posicions la imatge queda nítida a la pantalla?

Mostra la resolució
\(p + p^{\prime} = 90\) i \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{20}\) \(\Rightarrow p \cdot p^{\prime} = 20 \cdot 90 = 1800\)
\(p\) i \(p^{\prime}\) són les arrels de \(x^2 - 90x + 1800 = 0\): \(x = \dfrac{90 \pm \sqrt{8100 - 7200}}{2} = \dfrac{90 \pm 30}{2}\)
\(x = 60\) o \(x = 30\)
Amb la lent a \(30\ \text{cm}\) de l'objecte (imatge 2 vegades més gran) o a \(60\ \text{cm}\) (imatge de la meitat de la mida).

PAS 7

L'ull és una càmera amb una lent que canvia d'enfocament

La còrnia i el cristal·lí funcionen junts com una lent convergent que forma a la retina una imatge real, invertida i més petita. Com que la distància fins a la retina no canvia, qui s'ajusta és el cristal·lí, que els músculs fan més corbat per veure de prop. Anomenem aquest ajust acomodació.

En la miopia, l'ull convergeix massa (o és llarg), i la imatge d'un objecte llunyà es forma abans de la retina; la corregim amb una lent divergent. En la hipermetropia, convergeix massa poc (o és curt), i la imatge d'un objecte proper es formaria després de la retina, cosa que demana una lent convergent. I en la presbícia («vista cansada»), el cristal·lí s'endureix amb l'edat i perd l'acomodació, i fem servir una lent convergent per llegir.

La «graduació» de les ulleres és la potència de la lent en diòptries, de manera que −2 D correspon a una divergent de 50 cm de focus.

\(V = \dfrac{1}{f}\)miopia: \(f = -d_{\text{remot}}\)\(V_{\text{ull}} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}_{\text{retina}}}\)En l'ull normal, el punt proper és a uns 25 cm i el punt remot a l'infinit, i l'ull sencer té unes 60 D. A la simulació, tractem la lent de les ulleres com si estigués enganxada a l'ull i exagerem l'error d'enfocament perquè es vegi.

Per comentar

En l'ull normal, canvia l'objecte de lluny a prop. Quanta acomodació ha necessitat el cristal·lí?
En l'ull miop amb l'objecte lluny, on sembla que es forma la imatge al dibuix? Després posa-li les ulleres i mira què canvia.
L'ull hipermetrop pot veure de lluny? Si pot, quant d'esforç (acomodació) hi gasta, i què passa de prop?
En la presbícia, posa les ulleres de lectura i després mira lluny. Què passa amb la imatge?
Per què les ulleres de qui té miopia tenen una potència negativa?

raigs de llum

on es forma la imatge

Acomodació utilitzada

La imatge es forma

Ulleres

Hi veu nítid des de… fins a…

Exercicis del pas 7 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
A l'ull, quina part funciona com una lent d'enfocament ajustable i on s'ha de formar la imatge? Com és aquesta imatge?

Mostra la resolució
El cristal·lí (juntament amb la còrnia) és una lent convergent, i uns músculs en canvien la curvatura (acomodació).
La imatge s'ha de formar sobre la retina.
És real, invertida i més petita, i el cervell «redreça» la imatge.
El cristal·lí; imatge real, invertida i més petita sobre la retina.
bàsic
Una recepta d'ulleres diu «\(-2{,}0\) D». La lent és convergent o divergent? Quin és el focus? Quin defecte corregeix?

Mostra la resolució
Com que la potència és negativa, la lent és divergent.
\(f = \dfrac{1}{V} = \dfrac{1}{-2} = -0{,}5\ \text{m}\)
I és la lent divergent la que corregeix la miopia.
Divergent, \(f = -50\ \text{cm}\), per a la miopia.
bàsic
En la hipermetropia, on tendeix a formar-se la imatge d'un objecte proper? Quina lent la corregeix?

Mostra la resolució
L'ull hipermetrop és «feble» (o massa curt), i els raigs encara no han convergit quan arriben a la retina.
La imatge tendeix a formar-se darrere la retina.
Una lent convergent avança la convergència.
Darrere la retina; es corregeix amb una lent convergent.
bàsic
Per què, a partir dels 40 anys, molta gent allunya el mòbil per llegir? Com s'anomena aquest defecte i com es corregeix?

Mostra la resolució
Amb l'edat, el cristal·lí s'endureix i perd la capacitat d'acomodació.
El punt proper s'allunya, i l'ull ja no pot enfocar objectes de prop.
Presbícia («vista cansada»); es corregeix amb lents convergents per llegir.
mitjà
Una persona miop només hi veu nítid fins a \(50\ \text{cm}\) (punt remot). Quina lent la corregeix? Dona'n la potència.

Mostra la resolució
La lent ha de fer que un objecte a l'infinit formi una imatge virtual al punt remot, de manera que \(f = -50\ \text{cm} = -0{,}5\ \text{m}\).
\(V = \dfrac{1}{-0{,}5} = -2\ \text{D}\)
Divergent de \(-2\ \text{D}\) («2 diòptries» de miopia).
mitjà
Una persona porta ulleres de \(-4\ \text{D}\) per a la miopia. Fins a quina distància hi veu bé sense ulleres?

Mostra la resolució
En la correcció, \(|f|\) és igual al punt remot.
\(f = \dfrac{1}{-4} = -0{,}25\ \text{m}\)
Punt remot a \(25\ \text{cm}\): sense ulleres, només hi veu nítid fins a \(25\ \text{cm}\).
mitjà
Un hipermetrop té el punt proper a \(1\ \text{m}\). Quina lent li permet llegir a \(25\ \text{cm}\)?

Mostra la resolució
La lent ha de fer que el llibre (\(p = 25\ \text{cm}\)) formi una imatge virtual a \(100\ \text{cm}\) (\(p^{\prime} = -100\ \text{cm}\)).
\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{100} = \dfrac{3}{100}\) \(\Rightarrow f \approx 33{,}3\ \text{cm}\)
\(V = \dfrac{1}{0{,}333} = 3\ \text{D}\)
Convergent de \(+3\ \text{D}\).
mitjà
En un model senzill, la retina és a \(2{,}0\ \text{cm}\) del cristal·lí. Quina potència ha de tenir l'ull per veure un objecte molt llunyà? I per veure un objecte a \(25\ \text{cm}\)? Quant ha hagut d'«acomodar» l'ull?

Mostra la resolució
Per a lluny (\(p \to \infty\)), \(V = \dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{0{,}02} = 50\ \text{D}\)
Per a prop, \(V = \dfrac{1}{0{,}25} + \dfrac{1}{0{,}02} = 4 + 50 = 54\ \text{D}\)
L'acomodació és la diferència, \(54 - 50 = 4\ \text{D}\)
\(50\ \text{D}\) i \(54\ \text{D}\); acomodació de \(4\ \text{D}\).
repte
Una persona amb presbícia té el punt proper a \(50\ \text{cm}\). Quina potència han de tenir les ulleres per llegir a \(25\ \text{cm}\)? Amb aquestes ulleres, per què hi veu malament de lluny?

Mostra la resolució
\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{50} = \dfrac{1}{50}\) \(\Rightarrow f = 50\ \text{cm}\) \(\Rightarrow V = +2\ \text{D}\)
De lluny, l'ull ja és relaxat, i la lent convergent de més fa que la imatge es formi abans de la retina.
\(+2\ \text{D}\); per això es fan servir ulleres de lectura o lents multifocals.
repte
Un miop té el punt remot a \(50\ \text{cm}\) i el punt proper a \(10\ \text{cm}\). Porta ulleres de \(-2\ \text{D}\) (considera la lent enganxada a l'ull). Quin és el nou punt proper?

Mostra la resolució
Amb ulleres, l'objecte més proper que es pot veure és aquell la imatge virtual del qual cau a \(10\ \text{cm}\), és a dir, \(p^{\prime} = -10\ \text{cm}\), \(f = -50\ \text{cm}\).
\(\dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p^{\prime}} = -\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{50}\)
\(p = 12{,}5\ \text{cm}\)
El punt proper passa a \(12{,}5\ \text{cm}\).

PAS 8

La llum blanca és un arc de Sant Martí barrejat

Newton va mostrar que la llum blanca és una barreja de colors. Al vidre, l'índex de refracció depèn del color, més gran per al violeta i més petit per al vermell, i per això, en travessar un prisma, cada color es desvia un angle diferent i la llum s'obre en un espectre. Anomenem aquest efecte dispersió. L'arc de Sant Martí és el mateix efecte a les gotes de pluja (amb una reflexió dins de cada gota), amb el Sol a l'esquena de qui mira.

El color que veiem en un objecte depèn de la llum que reflecteix, i una poma vermella reflecteix el vermell i absorbeix la resta. Sota llum verda, no hi ha vermell per reflectir, i sembla negra.

Els colors llum se sumen, com a les pantalles i als focus, i el vermell, el verd i el blau (RGB) junts donen blanc. Els pigments, al contrari, resten, i el cian, el magenta i el groc junts absorbeixen gairebé tot i donen negre.

\(n_{\text{violeta}} > n_{\text{vermell}}\)\(v = \dfrac{c}{n}\)R + G = groc · R + B = magenta · G + B = cian · R + G + B = blancEn el vidre corrent, n va d'≈ 1,51 (vermell) a 1,53 (violeta). El color (la freqüència) no canvia quan canvia el medi.

Per comentar

Quin color surt més desviat del prisma? Fes la teva aposta i comprova la desviació de cada un a les lectures.
Si augmentem l'angle del prisma, el ventall de colors s'obre o es tanca?
Desactiva «Exagera la separació». Si la dispersió real és tan petita, què pot explicar que tot i així veiem l'arc de Sant Martí?
Il·lumina els objectes amb llum verda. Quins es tornen negres, i per què?
A «Colors llum vs. pintures», engega només el vermell i el verd. Quin color apareix al mig? Potser el resultat sorprèn qui pensa en pintura.

Angle del prisma

Angle d'incidència

Exercicis del pas 8 10 preguntes · 4 bàsiques · 4 mitjanes · 2 reptes

bàsic
Què passa amb la llum blanca del Sol quan travessa un prisma de vidre? Per què?

Mostra la resolució
La llum blanca és una barreja de tots els colors.
L'índex de refracció del vidre és una mica diferent per a cada color, i per això cada color es desvia un angle diferent.
Se separa en un espectre (vermell, taronja, groc, verd, blau, anyil, violeta): és la dispersió.
bàsic
Il·luminem una poma vermella només amb llum verda en una habitació fosca. De quin color sembla?

Mostra la resolució
Un objecte vermell reflecteix la llum vermella i absorbeix els altres colors.
Sota llum verda, no hi ha vermell per reflectir, i el verd queda absorbit.
Sembla negra.
bàsic
En colors llum (RGB), quin color es veu en sumar: (a) vermell + verd; (b) vermell + blau; (c) vermell + verd + blau?

Mostra la resolució
Els colors llum se sumen (barreja additiva, com als píxels d'una pantalla).
(a) vermell + verd = groc
(b) vermell + blau = magenta
(c) els tres junts = blanc
Groc, magenta i blanc.
bàsic
Al prisma, quin color pateix la desviació més gran, el vermell o el violeta? Què ens diu això sobre l'índex de refracció per a cada color?

Mostra la resolució
El violeta és el color més desviat, i el vermell, el menys desviat.
Es desvia més el color que té l'índex de refracció més gran, és a dir, el que el vidre «frena» més.
El violeta es desvia més: \(n_{\text{violeta}} > n_{\text{vermell}}\).
mitjà
En un vidre, \(n_{\text{vermell}} = 1{,}51\) i \(n_{\text{violeta}} = 1{,}53\). Calcula la velocitat de cada color al vidre. Fes servir \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

Mostra la resolució
\(v = \dfrac{c}{n}\)
Vermell: \(v = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}51} \approx 1{,}99 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)
Violeta: \(v = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}53} \approx 1{,}96 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)
El vermell va una mica més de pressa que el violeta dins el vidre.
mitjà
Llum blanca ve de l'aire amb una incidència de \(60^\circ\) i entra al vidre de l'exercici anterior (\(n_{\text{vermell}} = 1{,}51\), \(n_{\text{violeta}} = 1{,}53\)). Calcula l'angle de refracció de cada color. Fes servir \(\sin\,60^\circ \approx 0{,}866\).

Mostra la resolució
Vermell: \(\sin\,\theta = \dfrac{0{,}866}{1{,}51} \approx 0{,}574\) \(\Rightarrow \theta \approx 35{,}0^\circ\)
Violeta: \(\sin\,\theta = \dfrac{0{,}866}{1{,}53} \approx 0{,}566\) \(\Rightarrow \theta \approx 34{,}5^\circ\)
La diferència és de només \(\approx 0{,}5^\circ\), però n'hi ha prou per separar els colors al llarg del camí.
\(\approx 35{,}0^\circ\) (vermell) i \(\approx 34{,}5^\circ\) (violeta).
mitjà
En un escenari, una samarreta blanca i una samarreta blava s'il·luminen amb un focus groc (groc = vermell + verd). De quin color apareix cada una?

Mostra la resolució
La samarreta blanca reflecteix tots els colors que rep, és a dir, el vermell i el verd → groga.
La samarreta blava només reflecteix el blau, que no és al focus, i absorbeix el vermell i el verd → negra.
La blanca sembla groga; la blava sembla negra.
mitjà
Quan barregem pintura cian amb pintura groga, obtenim verd. Per què la barreja de pintures no segueix la mateixa regla que la suma de colors llum?

Mostra la resolució
La pintura no emet llum, sinó que absorbeix (resta) colors de la llum blanca.
El cian absorbeix el vermell, i el groc absorbeix el blau.
Amb les dues juntes, només queda el verd per reflectir.
Els pigments resten colors (barreja subtractiva); les llums sumen (barreja additiva).
repte
Llum blanca incideix a \(45^\circ\) en una làmina de vidre amb \(n_{\text{vermell}} = 1{,}50\) i \(n_{\text{violeta}} = 1{,}54\). Calcula els dos angles de refracció i digues quin color s'acosta més a la normal. Fes servir \(\sin\,45^\circ \approx 0{,}707\).

Mostra la resolució
Vermell: \(\sin\,\theta = \dfrac{0{,}707}{1{,}50} \approx 0{,}471\) \(\Rightarrow \theta \approx 28{,}1^\circ\)
Violeta: \(\sin\,\theta = \dfrac{0{,}707}{1{,}54} \approx 0{,}459\) \(\Rightarrow \theta \approx 27{,}3^\circ\)
El violeta, amb \(n\) més gran, queda més a prop de la normal.
\(\approx 28{,}1^\circ\) i \(\approx 27{,}3^\circ\); el violeta s'acosta més a la normal.
repte
La bandera del Brasil (verd, groc, blau i blanc) s'il·lumina només amb llum verda. Després, només amb llum vermella. Quins colors apareixen en cada cas? (Considera el groc com a vermell + verd.)

Mostra la resolució
Cada part només reflecteix els colors de la llum incident que «té».
Llum verda: verd → verd; groc (R+G) → verd; blau → negre; blanc → verd.
Llum vermella: verd → negre; groc → vermell; blau → negre; blanc → vermell.
Sota llum verda: verd, verd, negre, verd. Sota llum vermella: negre, vermell, negre, vermell.

TANCAMENT

Reptes

Cambra fosca

Un arbre de \(4{,}5\ \text{m}\) és a \(15\ \text{m}\) d'una cambra fosca de \(20\ \text{cm}\) de profunditat. Quina alçària té la imatge?

Mostra la resolució

\(\dfrac{o}{i} = \dfrac{p}{p^{\prime}}\) \(\Rightarrow i = \dfrac{4{,}5 \cdot 0{,}20}{15}\)
\(i = 0{,}06\ \text{m} = 6\ \text{cm}\), invertida.

Mirall pla

Una persona d'\(1{,}80\ \text{m}\), amb els ulls a \(1{,}70\ \text{m}\) de terra, es vol veure sencera en un mirall de paret. Quina és la mida mínima i a quina alçària ha de quedar la vora de baix?

Mostra la resolució

La vora de baix queda a \(\dfrac{1{,}70}{2} = 0{,}85\ \text{m}\)
La vora de dalt queda a \(\dfrac{1{,}80 + 1{,}70}{2} = 1{,}75\ \text{m}\)
La mida és \(1{,}75 - 0{,}85 = 0{,}90\ \text{m}\) (la meitat de l'alçària).

Mirall esfèric

Un objecte és a \(18\ \text{cm}\) d'un mirall còncau de focus \(12\ \text{cm}\). On és la imatge i com és?

Mostra la resolució

\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{36}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = 36\ \text{cm}\)
\(A = -\dfrac{36}{18} = -2\)
Real, invertida i 2 vegades més gran (objecte entre C i F).

Refracció

Un raig ve de l'aire amb \(\sin\,\theta_1 = 0{,}8\) (uns \(53^\circ\)) i entra a l'aigua (\(n = \dfrac{4}{3}\)). Quin és l'angle de refracció?

Mostra la resolució

\(1 \cdot 0{,}8 = \dfrac{4}{3} \cdot \sin\,\theta_2\)
\(\sin\,\theta_2 = 0{,}6\) \(\Rightarrow \theta_2 \approx 37^\circ\)
El raig s'ha acostat a la normal, perquè l'aigua és més refringent.

Reflexió total

Dins d'un bloc de vidre (\(n = 1{,}5\)), un raig arriba a la cara amb l'aire formant \(50^\circ\) amb la normal. Surt del vidre?

Mostra la resolució

\(\sin\,L = \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667\) \(\Rightarrow L \approx 41{,}8^\circ\)
Com que \(50^\circ > L\), hi ha reflexió total, i el raig no surt.

Lents

Una lent de \(+4\ \text{D}\) forma la imatge d'un objecte col·locat a \(50\ \text{cm}\) d'ella. On és la imatge i quin és l'augment?

Mostra la resolució

\(f = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{m} = 25\ \text{cm}\)
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{50} = \dfrac{1}{50}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = 50\ \text{cm}\)
\(A = -1\): real, invertida, de la mateixa mida (objecte a \(2f\)).

Ull humà

Un miop només hi veu nítid fins a \(2\ \text{m}\). Quina potència han de tenir les ulleres? Convergents o divergents?

Mostra la resolució

La lent ha de portar l'infinit al punt remot, de manera que \(f = -2\ \text{m}\)
\(V = \dfrac{1}{-2} = -0{,}5\ \text{D}\): divergent («mitja diòptria»).

Pensar, sense comptes

En un eclipsi total de Lluna, la Lluna no desapareix, sinó que es torna vermellosa. Fes servir l'ombra de la Terra i la refracció a l'atmosfera per explicar per què.

Mostra la resolució

En l'eclipsi de Lluna l'ordre és Sol – Terra – Lluna, i la Lluna entra a l'ombra de la Terra.
L'atmosfera de la Terra refracta la llum del Sol i la desvia cap a dins de l'ombra.
En el llarg camí per l'aire, el blau s'escampa i queda sobretot el vermell, el mateix efecte de la posta de sol, i és aquesta llum la que il·lumina la Lluna.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el seu format, amb un text de partida tret de la vida quotidiana, un enunciat i cinc opcions, de les quals només una és correcta. Més avall hi ha una llista de preguntes reals de l'examen sobre els mateixos temes, que poden servir per practicar després d'aquestes.

Cambra fosca · Pas 1
Per a la fira de ciències, la Luana va transformar una llauna de \(25\ \text{cm}\) de profunditat en una cambra fosca, amb un foradet en una tapa i paper vegetal a l'altra. Quan va apuntar la llauna cap a un edifici a \(40\ \text{m}\) de distància, va veure al paper una imatge invertida de l'edifici, de \(15\ \text{cm}\) d'alçària.

Si tractem el forat com un punt i menyspreem el gruix de les tapes, quina és l'alçària aproximada de l'edifici?
1. \(0{,}94\ \text{mm}\)
2. \(2{,}4\ \text{m}\)
3. \(6\ \text{m}\)
4. \(24\ \text{m}\)
5. \(160\ \text{m}\)
Mostra la resolució

Resposta: D.
Els raigs que creuen el forat formen dos triangles semblants, i per això \(\dfrac{o}{i} = \dfrac{p}{p^{\prime}}\).
Amb tot en metres, \(o = \dfrac{i \cdot p}{p^{\prime}} = \dfrac{0{,}15 \cdot 40}{0{,}25} = 24\ \text{m}\).
Els altres valors surten d'errors habituals: \(6\ \text{m}\) s'oblida de dividir per \(p^{\prime}\), \(2{,}4\ \text{m}\) confon \(0{,}25\ \text{m}\) amb \(2{,}5\ \text{m}\), \(160\ \text{m}\) és només la raó \(p/p^{\prime}\), i \(0{,}94\ \text{mm}\) inverteix \(p\) i \(p^{\prime}\).
Miralls esfèrics · Pas 3
A la sortida d'un garatge, un mirall convex de seguretat, amb un radi de curvatura de \(4\ \text{m}\), mostra al conductor qui ve per la vorera. En un instant determinat, un cotxe d'\(1{,}6\ \text{m}\) d'alçària és a \(6\ \text{m}\) del mirall.

Segons l'equació de Gauss, amb el conveni de signes que hem fet servir a la lliçó, com és la imatge d'aquest cotxe?
1. Real i invertida, \(3\ \text{m}\) davant del mirall, amb la meitat de l'alçària del cotxe.
2. Virtual i dreta, \(1{,}5\ \text{m}\) darrere el mirall, amb \(0{,}4\ \text{m}\) d'alçària.
3. Virtual i dreta, \(2{,}4\ \text{m}\) darrere el mirall, amb \(0{,}64\ \text{m}\) d'alçària.
4. Virtual i dreta, \(6\ \text{m}\) darrere el mirall, amb \(1{,}6\ \text{m}\) d'alçària.
5. Virtual i dreta, \(1{,}5\ \text{m}\) darrere el mirall, amb \(6{,}4\ \text{m}\) d'alçària.
Mostra la resolució

Resposta: B.
En el convex el focus és negatiu, \(f = -\dfrac{R}{2} = -2\ \text{m}\).
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\)
\(\dfrac{1}{p^{\prime}} = -\dfrac{4}{6}\) \(\Rightarrow p^{\prime} = -1{,}5\ \text{m}\), una imatge virtual darrere el mirall.
\(A = -\dfrac{p^{\prime}}{p} = \dfrac{1{,}5}{6} = 0{,}25\)
\(i = A \cdot o = 0{,}25 \cdot 1{,}6 = 0{,}4\ \text{m}\)
Val la pena notar que la imatge petita tendeix a fer creure al conductor que el cotxe és més lluny del que és.
Qui fa servir \(f = +2\ \text{m}\) arriba a l'opció A, qui confon \(f\) amb \(R\) arriba a la C, la D tracta el convex com un mirall pla, i la E inverteix l'augment.

Reflexió total · Pas 5

Els prismàtics i els periscopis acostumen a fer servir prismes en lloc de miralls, perquè la reflexió total perd menys llum que una superfície metal·litzada. En aquests prismes, la llum arriba per dins a la cara amb l'aire formant \(45^\circ\) amb la normal. Un equip va muntar peces amb aquesta forma fent servir els materials de la taula.

Índex de refracció (llum groga)
Material	\(n\)
Gel	1,31
Aigua	1,33
Acrílic	1,49
Vidre crown	1,52
Diamant	2,42

Prenent \(\sin\,45^\circ \approx 0{,}71\) i l'índex de l'aire igual a 1, en quines peces el raig pateix reflexió total en aquesta cara?

Només en la de diamant.
En totes, perquè la llum sempre va del material a l'aire.
En les d'acrílic, vidre i diamant.
Només en les de gel i aigua.
En cap, perquè la reflexió total exigeix que la llum vagi de l'aire al material.

Mostra la resolució

Resposta: C.
Hi ha reflexió total quan l'angle d'incidència supera l'angle límit, és a dir, quan \(\sin\,45^\circ > \sin\,L = \dfrac{1}{n}\).
Això demana \(n > \dfrac{1}{0{,}71} \approx 1{,}41\).
Calculant \(\sin\,L = \dfrac{1}{n}\), obtenim gel \(0{,}76\), aigua \(0{,}75\), acrílic \(0{,}67\), vidre \(0{,}66\) i diamant \(0{,}41\), i només els tres últims queden per sota de \(0{,}71\).
L'opció A sembla atractiva perquè el diamant és el cas famós, la B oblida la condició de l'angle, la D inverteix la desigualtat, i la E canvia el sentit en què ha d'anar la llum.

Ull humà · Pas 7
A la consulta, en Rafael va explicar que només pot llegir la pissarra des de la primera fila. La revisió va mostrar que hi veu nítid només fins a \(40\ \text{cm}\) dels ulls, el seu punt remot, i l'oftalmòloga li va receptar ulleres per a lluny.

Si tractem la lent com si estigués enganxada a l'ull, quina potència han de tenir les ulleres d'en Rafael?
1. \(+2{,}5\ \text{D}\), amb lent convergent.
2. \(-0{,}025\ \text{D}\), amb lent divergent.
3. \(+0{,}4\ \text{D}\), amb lent convergent.
4. \(-4\ \text{D}\), amb lent divergent.
5. \(-2{,}5\ \text{D}\), amb lent divergent.
Mostra la resolució

Resposta: E.
En Rafael és miop, i la lent ha de portar la imatge d'un objecte a l'infinit al seu punt remot, de manera que \(f = -0{,}40\ \text{m}\).
\(V = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{-0{,}40} = -2{,}5\ \text{D}\)
L'opció A s'equivoca de signe i corregiria una hipermetropia, la B deixa \(f\) en centímetres, la C confon \(f\) amb \(V\), i la D fa servir els \(25\ \text{cm}\) del punt proper normal.
Color · Pas 8
En un assaig de teatre, una actriu porta una brusa groga i una faldilla blava, tenyides amb pigments corrents. Sota llum blanca, la brusa reflecteix el vermell i el verd, mentre que la faldilla només reflecteix el blau. En l'escena final, l'escenari queda il·luminat només per un focus vermell.

En aquesta escena, com tendeix a veure el públic la brusa i la faldilla?
1. Brusa vermella i faldilla negra.
2. Brusa groga i faldilla blava.
3. Brusa taronja i faldilla violeta.
4. Brusa negra i faldilla vermella.
5. Brusa i faldilla negres.
Mostra la resolució

Resposta: A.
Un objecte només pot reflectir la llum que rep, i sota el focus només hi arriba vermell.
La brusa reflecteix el vermell que rep i es veu vermella, mentre que la faldilla, que absorbeix el vermell, no retorna res i es veu negra.
La B suposa que el color pertany a l'objecte, la C barreja els colors com si fossin pintura, la D intercanvia els papers, i la E oblida que la brusa groga també reflecteix vermell.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, i podem localitzar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número. Potser val la pena començar per la del 2015, que relaciona la cambra fosca amb l'ull, com hem fet als passos 1 i 7.

ENEM 2015, dia 1, quadern blau, pregunta 85. Parteix de la cambra fosca descrita per Alhazen i demana la part de l'ull que fa el paper de la tela on es forma la imatge invertida.
ENEM 2018, dia 2, quadern blau, pregunta 125. Un feix amb llum vermella, verda i blava travessa un prisma, i hem de preveure l'ordre de les taques de colors, cosa que podem fer a partir de la desviació de cada color.
ENEM 2019, dia 2, quadern blau, pregunta 132. Discuteix per què un poble de la costa de Tailàndia hi veu millor sota l'aigua quan contrau les pupil·les, i relaciona l'efecte amb la refracció dins l'ull.
ENEM 2022, dia 2, quadern blau, pregunta 135. Pregunta quin fenomen òptic explica la «llum embotellada», ampolles de plàstic amb aigua fixades al teulat per il·luminar les cases durant el dia.
ENEM 2024, dia 2, quadern blau, pregunta 100. Tracta d'una joguina amb dos miralls còncaus que produeix una imatge flotant i demana la naturalesa d'aquesta imatge i la seva distància a l'objecte.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Cambra fosca\(\dfrac{o}{i} = \dfrac{p}{p^{\prime}}\)

Reflexió\(i = r\)

Mirall pla\(\ell_{\min} = H/2\)

Miralls en angle\(N = \dfrac{360^\circ}{\alpha} - 1\)

Mirall esfèric\(f = R/2\)

Gauss (miralls i lents)\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}}\)

Augment\(A = \dfrac{i}{o} = -\dfrac{p^{\prime}}{p}\)

Índex de refracció\(n = c/v\)

Llei de Snell\(n_1\,\sin\,\theta_1 = n_2\,\sin\,\theta_2\)

Angle límit\(\sin\,L = n_{\text{menor}}/n_{\text{major}}\)

Potència\(V = 1/f\) (D, f en m)

Signesp′ > 0 real · f < 0 convex/divergent