Física · Secundària · Termodinàmica

Termodinàmica

El motor que mou el cotxe, la central que abasteix la ciutat i la nevera que manté la llet freda intercanvien energia amb un gas, de vegades com a calor i de vegades com a treball. Partim d'on es va aturar la lliçó de Calor i temperatura, als gasos ideals, per mesurar el treball d'un gas i la seva energia interna, arribar al primer principi, estudiar les transformacions i els cicles de les màquines tèrmiques i acabar amb el segon principi, que explica per què cap motor no aprofita el 100% de la calor i per què la nevera escalfa la cuina.

1Treball d'un gas
2Energia interna
3Primer principi
4Transformacions
5Cicles i màquines
6Segon principi
7Refrigeradors
✓Reptes

PAS 1

Quan fa treball un gas?

A la lliçó de Calor i temperatura vam veure que les partícules d'un gas xoquen amb les parets del recipient i produeixen pressió. Si canviem una d'aquestes parets per un pistó que llisca, el gas l'empeny en expandir-se i fa treball sobre ell, com una força que desplaça un cos.

Amb la pressió constant, la força sobre el pistó és \(F = p\,A\), i el producte de l'àrea pel desplaçament \(d\) és la variació de volum. Així arribem a \(\tau = p\,\Delta V\), que en el gràfic \(p \times V\) és l'àrea del rectangle sota la recta horitzontal.

\(\tau = p\,\Delta V\)\(\tau = \text{àrea sota la corba } p \times V\)\(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\)La primera fórmula val a pressió constant. Amb la pressió en kPa i el volum en litres, el producte surt directament en joules, perquè \(10^3\ \text{Pa} \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 = 1\ \text{J}\). A la simulació, el cilindre té uns 0,24 mol de gas ideal, amb \(n\,R = 2\ \text{J/K}\) i \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\). Canviar la pressió amb el pistó aturat equival a canviar el pes i, alhora, escalfar o refredar el gas a volum constant.

Quan la pressió canvia durant la transformació, dividim el camí en trossets gairebé horitzontals i sumem les àrees. El treball passa a ser l'àrea sota la corba en el gràfic \(p \times V\), i per això depèn del camí entre dos estats, a més del començament i del final.

El signe ens diu qui empeny qui. En l'expansió, \(\Delta V > 0\) i el gas fa treball, \(\tau > 0\); en la compressió, \(\Delta V < 0\), el gas rep treball de fora i \(\tau < 0\). Amb el volum fix, el treball és nul, per gran que sigui la pressió.

Per comentar

Escalfa el gas a pressió constant fins que el volum arribi a 8 L i comprova el \(\tau\) que es mostra amb \(p \cdot \Delta V\), llegint els valors al gràfic.
Ara refreda el gas fins al volum inicial. El treball acumulat torna a zero? Quina àrea s'ha descomptat?
Canvia la pressió amb el pistó aturat. Quina forma té aquest tram al gràfic, i quant treball hi afegeix?
Torna a començar i porta el gas al mateix estat final per dos camins, primer escalfant i després augmentant la pressió, i després en l'ordre invers. El treball ha estat el mateix?

Pressió (pes sobre el pistó)

Pressió

Volum

Temperatura

Treball acumulat

ΔV des de l'inici

Exercicis del pas 1 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Un gas s'expandeix a la pressió constant de \(2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), i el seu volum passa de \(0{,}010\ \text{m}^3\) a \(0{,}025\ \text{m}^3\). Quant treball fa el gas?

Mostra la resolució
Amb la pressió constant, el treball és la pressió per la variació de volum, \(\tau = p\,\Delta V = 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}015\).
\(\tau = 3000\ \text{J}\)
bàsic
Un gas es comprimeix a la pressió constant de \(1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), de 6 L a 2 L. Quin és el treball del gas? En fa o en rep?

Mostra la resolució
Passem la variació de volum a metres cúbics, \(\Delta V = -4\ \text{L}\) \(= -4 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3\), i calculem \(\tau = p\,\Delta V\) \(= 1{,}0 \cdot 10^5 \cdot (-4 \cdot 10^{-3})\).
El signe negatiu indica que el gas s'ha comprimit i ha rebut treball de fora.
\(\tau = -400\ \text{J}\), és a dir, el gas rep 400 J de treball.
bàsic
Un gas s'escalfa dins d'una bombona rígida, i la seva pressió es duplica. Fa treball en aquesta transformació? Com apareix en el gràfic \(p \times V\)?

Mostra la resolució
El volum de la bombona no canvia, i sense variació de volum el gas no empeny cap paret al llarg d'un desplaçament.
En el gràfic \(p \times V\), la transformació és un segment vertical, que no té àrea a sota.
No hi ha treball, \(\tau = 0\), per gran que sigui l'augment de pressió.
bàsic
Tapem la punta d'una xeringa amb el dit i empenyem l'èmbol. Després deixem anar l'èmbol, que torna una mica enrere. En quina de les dues etapes l'aire de la xeringa fa treball, i en quina en rep?

Mostra la resolució
Quan empenyem l'èmbol, el volum de l'aire disminueix, \(\Delta V < 0\), i som nosaltres qui fem treball sobre l'aire.
Quan el deixem anar, l'aire s'expandeix, \(\Delta V > 0\), i empeny l'èmbol enrere.
L'aire rep treball en la compressió i en fa en l'expansió.
mitjà
En el gràfic \(p \times V\), un gas va en línia recta de l'estat A (2 L; 300 kPa) a l'estat B (6 L; 100 kPa). Quant treball fa? Recorda que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\).

Mostra la resolució
El treball és l'àrea sota el segment, un trapezi de bases 300 kPa i 100 kPa i altura 4 L, \(\tau = \dfrac{(300 + 100) \cdot 4}{2}\).
Com que el volum ha augmentat, el treball és positiu.
\(\tau = 800\ \text{J}\)
mitjà
Un gas surt de l'estat A (2 L; 100 kPa) i arriba a l'estat C (5 L; 300 kPa) per dos camins. En el camí I, s'escalfa a volum constant fins a 300 kPa i després s'expandeix a pressió constant. En el camí II, primer s'expandeix a 100 kPa i després s'escalfa a volum constant. Calcula el treball en cada camí.

Mostra la resolució
Els trams a volum constant no tenen treball. En el camí I, l'expansió té lloc a 300 kPa, i \(\tau_I = 300 \cdot 3 = 900\ \text{J}\).
En el camí II, l'expansió té lloc a 100 kPa, i \(\tau_{II} = 100 \cdot 3 = 300\ \text{J}\).
900 J pel camí I i 300 J pel camí II, cosa que mostra que el treball depèn del camí.
mitjà
En un cilindre, el pistó té una àrea de \(0{,}02\ \text{m}^2\), i el gas l'empeny a una pressió constant de \(1{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), de manera que el fa pujar 10 cm. Calcula el treball de dues maneres, a partir de la força sobre el pistó i amb \(p\,\Delta V\).

Mostra la resolució
La força sobre el pistó és \(F = p\,A\) \(= 1{,}5 \cdot 10^5 \cdot 0{,}02\) \(= 3000\ \text{N}\), i el seu treball és \(F\,d = 3000 \cdot 0{,}10\).
A partir del volum, \(\Delta V = A\,d = 0{,}002\ \text{m}^3\), i \(p\,\Delta V = 1{,}5 \cdot 10^5 \cdot 0{,}002\).
Tots dos càlculs donen \(\tau = 300\ \text{J}\).
mitjà
Dos mols d'un gas ideal s'escalfen a pressió constant, de 300 K a 400 K. Quant treball fa el gas? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
Per l'equació dels gasos, \(p\,V = n\,R\,T\), i amb la pressió fixa, \(p\,\Delta V = n\,R\,\Delta T\).
Així, \(\tau = n\,R\,\Delta T = 2 \cdot 8{,}3 \cdot 100\).
\(\tau = 1660\ \text{J}\)
repte
Tapem una xeringa i empenyem l'èmbol a poc a poc. La pressió de l'aire de dins creix de manera aproximadament lineal, de 100 kPa a 300 kPa, mentre el volum baixa de 60 mL a 20 mL. Estima el treball de l'aire en aquesta compressió.

Mostra la resolució
En un gràfic \(p \times V\), el camí és un segment de recta, i l'àrea que queda a sota és un trapezi, \(\dfrac{(100 + 300) \cdot 40}{2}\) \(= 8000\ \text{kPa} \cdot \text{mL}\).
Com que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{mL}\) \(= 10^3\ \text{Pa} \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3\) \(= 10^{-3}\ \text{J}\), l'àrea val \(8000 \cdot 10^{-3}\) joules, amb signe negatiu perquè el volum ha disminuït.
\(\tau \approx -8\ \text{J}\), és a dir, l'aire rep uns 8 J de treball.
repte
Un cilindre vertical, amb aire a dins, està tancat per un pistó de 20 kg i \(0{,}01\ \text{m}^2\) d'àrea, que llisca sense fregament. La pressió atmosfèrica és \(1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), i \(g = 10\ \text{m/s}^2\). En escalfar-se, l'aire aixeca el pistó 5 cm a poc a poc. Quina és la pressió de l'aire, quant treball fa i quina part d'aquest treball serveix per aixecar el pistó?

Mostra la resolució
En equilibri, l'aire sosté l'atmosfera i el pes del pistó, \(p = 1{,}0 \cdot 10^5 + \dfrac{20 \cdot 10}{0{,}01}\).
El volum creix \(\Delta V = 0{,}01 \cdot 0{,}05 = 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3\), i \(\tau = p\,\Delta V\).
Aixecar el pistó costa \(m\,g\,h = 20 \cdot 10 \cdot 0{,}05\), i la resta del treball empeny l'aire de fora.
La pressió és \(1{,}2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) i l'aire fa 60 J, dels quals 10 J aixequen el pistó i 50 J empenyen l'atmosfera.

PAS 2

Què canvia quan un gas s'escalfa?

L'energia interna \(U\) d'un gas és la suma de les energies de les seves partícules. En un gas ideal monoatòmic, com l'heli, el neó o l'argó, suposem que les partícules no interaccionen a distància, i l'energia interna es redueix a l'energia cinètica de translació.

La teoria cinètica, que vam esbossar a la lliçó de Calor i temperatura, indica que l'energia cinètica mitjana de cada partícula és proporcional a la temperatura absoluta, \(\tfrac{3}{2}\,k\,T\). Sumant sobre els \(n\) mols de partícules, arribem a \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\).

Potser sorprèn el que no trobem en aquesta fórmula. El volum i la pressió no hi apareixen, i dos recipients amb la mateixa quantitat de gas i la mateixa temperatura tenen la mateixa energia interna, encara que un sigui molt més gran que l'altre.

D'aquí surten dues conseqüències que farem servir fins al final de la lliçó. En una transformació isotèrmica del gas ideal, \(\Delta U = 0\). En un cicle, en què el gas torna a l'estat de partida, la temperatura torna al valor inicial, i també \(\Delta U = 0\).

\(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\)\(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\)\(\bar E_c = \tfrac{3}{2}\,k\,T\)\(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\), \(k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}\) i \(T\) en kelvin. D'aquí fins al final de la lliçó suposem un gas ideal monoatòmic. Per a l'aire, fet de molècules de dos àtoms que també giren, el factor 3/2 passa a ser a prop de 5/2, i les conclusions qualitatives no canvien. A la simulació, la caixa A té uns 0,24 mol de gas en 4 L, i el nombre de punts és només representatiu.

Per comentar

Deixa les dues caixes a la mateixa temperatura i canvia el volum de B. L'energia interna de B canvia? I la pressió?
Escalfa només la caixa A i compara l'agitació de les partícules i l'energia cinètica mitjana a les dues caixes.
Duplica la quantitat de gas de B, amb la mateixa temperatura que A. Què passa amb \(U\) i amb l'energia cinètica mitjana de cada partícula?
Per què, a la mateixa temperatura, la pressió depèn del volum i l'energia interna no? Pensem en què canvia quan les mateixes partícules ocupen una caixa més gran.

Temperatura d'A

Temperatura de B

Volum de B

Ec mitjana a A

Ec mitjana a B

U a A

U a B

Pressió a A

Pressió a B

Exercicis del pas 2 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Quina és l'energia interna de 2 mol d'un gas ideal monoatòmic a 300 K? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
Per al gas ideal monoatòmic, \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 8{,}3 \cdot 300\).
\(U = 7470\ \text{J}\)
bàsic
Un mol d'heli, que tractem com a gas ideal monoatòmic, s'escalfa de 300 K a 500 K. Quina és la variació de la seva energia interna? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
L'energia interna segueix la temperatura, \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 1 \cdot 8{,}3 \cdot 200\).
\(\Delta U = 2490\ \text{J}\)
bàsic
Dos recipients contenen la mateixa quantitat del mateix gas ideal, a la mateixa temperatura. Un d'ells té el triple de volum que l'altre. Quin dels dos gasos té més energia interna?

Mostra la resolució
Per al gas ideal, \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\) depèn només de la quantitat de gas i de la temperatura, i el volum no entra a la fórmula.
Les pressions són diferents, però les partícules tenen la mateixa energia cinètica mitjana als dos recipients.
Les energies internes són iguals.
bàsic
Un gas ideal s'expandeix lentament, i la seva temperatura es manté constant tot el temps. Quant val la variació de la seva energia interna?

Mostra la resolució
Per al gas ideal, l'energia interna depèn només de la temperatura, i si \(T\) no canvia, \(U\) tampoc no canvia.
\(\Delta U = 0\)
mitjà
Mig mol d'un gas ideal monoatòmic té una energia interna de 3735 J. Quina és la seva temperatura? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
Aïllant la temperatura a \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\), tenim \(T = \dfrac{U}{1{,}5\,n\,R} = \dfrac{3735}{1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 8{,}3}\).
\(T = 600\ \text{K}\)
mitjà
Quina és l'energia cinètica mitjana d'una partícula d'un gas ideal a 300 K? I a 600 K? Fes servir \(k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}\).

Mostra la resolució
L'energia cinètica mitjana de translació és \(\bar E_c = \tfrac{3}{2}\,k\,T\). A 300 K, \(\bar E_c = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300\), i a 600 K el valor es duplica, perquè és proporcional a \(T\).
Uns \(6{,}2 \cdot 10^{-21}\ \text{J}\) a 300 K i \(1{,}24 \cdot 10^{-20}\ \text{J}\) a 600 K.
mitjà
Un globus conté heli i un altre conté neó, tots dos a 27 °C. En quin les partícules tenen més energia cinètica mitjana? En quin es mouen més de pressa, de mitjana?

Mostra la resolució
L'energia cinètica mitjana de translació, \(\tfrac{3}{2}\,k\,T\), depèn només de la temperatura, i és la mateixa als dos globus.
Amb la mateixa energia cinètica, la partícula de més massa es mou més a poc a poc, i l'àtom de neó té unes cinc vegades la massa de l'àtom d'heli.
L'energia cinètica mitjana és igual en tots dos, i els àtoms d'heli es mouen més de pressa.
mitjà
Un gas ideal monoatòmic passa de l'estat (100 kPa; 3 L) a l'estat (150 kPa; 2 L), per un camí qualsevol. Quina és la variació de la seva energia interna?

Mostra la resolució
Com que \(n\,R\,T = p\,V\), l'energia interna també es pot escriure com \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\).
Als dos estats, \(p\,V = 300\ \text{kPa} \cdot \text{L} = 300\ \text{J}\), i per tant la temperatura és la mateixa.
\(\Delta U = 0\), sigui quin sigui el camí.
repte
Demostra que, per a un gas ideal monoatòmic, \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\). Fes servir aquesta relació per calcular l'energia interna d'un gas a \(2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) en \(0{,}03\ \text{m}^3\) i la seva variació si el gas s'expandeix a pressió constant fins a \(0{,}05\ \text{m}^3\).

Mostra la resolució
De l'equació dels gasos, \(n\,R\,T = p\,V\), i substituint-ho a \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\) arribem a \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\).
Al començament, \(U = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}03\), i en l'expansió, \(\Delta U = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}02\).
\(U = 9000\ \text{J}\) al començament i \(\Delta U = 6000\ \text{J}\) en l'expansió.
repte
En un recipient rígid i aïllat, una paret divisòria separa 1 mol d'argó a 300 K de 2 mol d'argó a 450 K. Traiem la divisòria i esperem l'equilibri. Si tractem l'argó com a gas ideal monoatòmic, quina és la temperatura final?

Mostra la resolució
El recipient és rígid i aïllat, i per això no hi ha treball ni calor intercanviats amb l'exterior, i l'energia interna total es conserva.
Amb \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\), la conservació dona \(1 \cdot 300 + 2 \cdot 450 = 3\,T_f\), on el factor \(\tfrac{3}{2}\,R\) se simplifica.
\(T_f = 400\ \text{K}\)

PAS 3

On va a parar la calor que rep el gas?

Quan escalfem un gas en un cilindre amb pistó, l'energia que entra com a calor pot seguir dos camins. Una part es queda al gas, augmentant l'energia interna i la temperatura, i una altra part surt com a treball, si el gas empeny el pistó.

Anomenem primer principi de la termodinàmica la conservació de l'energia escrita per a aquest balanç, \(Q = \tau + \Delta U\). La calor \(Q\) que rep el gas és igual al treball \(\tau\) que fa més la variació \(\Delta U\) de la seva energia interna.

Fem servir els signes de la taula següent, que mereixen atenció, perquè bona part dels errors en els exercicis tendeix a venir d'aquí. La calor que cedeix el gas entra amb signe negatiu, i el treball que rep en una compressió també.

Amb els signes ben posats, el principi admet casos que a primera vista semblen estranys. Un gas pot rebre calor i refredar-se, si fa més treball que la calor rebuda, i es pot escalfar sense rebre gens de calor, si se'l comprimeix.

\(Q = \tau + \Delta U\)\(\Delta U = Q - \tau\)\(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\)Quan la calor ve en calories, la passem a joules amb 1 cal ≈ 4,2 J. A la simulació, el gas és el mateix del pas 1, amb \(n\,R = 2\ \text{J/K}\), i comença a 300 K. Com que \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T = 3\,\Delta T\), en joules, la variació de temperatura surt directament del balanç.

Conveni de signes
Magnitud	Positiu	Negatiu
\(Q\)	el gas rep calor	el gas cedeix calor
\(\tau\)	el gas s'expandeix i fa treball	el gas es comprimeix i rep treball
\(\Delta U\)	la temperatura puja	la temperatura baixa

Per comentar

Tria l'escalfament a pressió constant i mira com es reparteixen els 500 J. Quina fracció es converteix en treball?
Passa a l'escalfament a volum constant. Per què ara \(\Delta U = Q\)?
En el cas adiabàtic, \(Q = 0\). D'on surt l'augment de l'energia interna?
Ajusta els controls fins que el gas rebi calor i tot i així es refredi. Quina condició ha de complir el treball?

Calor Q

Treball τ

Calor Q

Treball τ

Variació ΔU

Variació de temperatura

Temperatura final

Exercicis del pas 3 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Un gas rep 500 J de calor i fa 200 J de treball. Quina és la variació de la seva energia interna?

Mostra la resolució
Pel primer principi, \(\Delta U = Q - \tau = 500 - 200\).
\(\Delta U = 300\ \text{J}\)
bàsic
Un gas es comprimeix i rep 300 J de treball, mentre cedeix 100 J de calor a l'ambient. Quina és la variació de la seva energia interna? La temperatura puja o baixa?

Mostra la resolució
Amb els signes de la taula, \(Q = -100\ \text{J}\) i \(\tau = -300\ \text{J}\), i \(\Delta U = Q - \tau = -100 - (-300)\).
\(\Delta U = +200\ \text{J}\), i la temperatura puja.
bàsic
Un gas cedeix 50 J de calor a volum constant. Quina és la variació de la seva energia interna, i què passa amb la temperatura?

Mostra la resolució
A volum constant, \(\tau = 0\), i el primer principi queda \(\Delta U = Q = -50\ \text{J}\).
\(\Delta U = -50\ \text{J}\), i la temperatura disminueix.
bàsic
Un gas rep 100 cal de calor i fa 120 J de treball. Quina és la variació de la seva energia interna, en joules? Fes servir \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Mostra la resolució
En joules, la calor rebuda és \(Q = 100 \cdot 4{,}2 = 420\ \text{J}\), i \(\Delta U = 420 - 120\).
\(\Delta U = 300\ \text{J}\)
mitjà
Un mol de gas ideal monoatòmic s'escalfa a pressió constant, i la temperatura puja 100 K. Calcula el treball, la variació de l'energia interna i la calor rebuda. Quina fracció de la calor es converteix en treball? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
A pressió constant, \(\tau = n\,R\,\Delta T = 8{,}3 \cdot 100\), i \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 8{,}3 \cdot 100\).
Pel primer principi, \(Q = \tau + \Delta U = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), i la fracció és \(\dfrac{\tau}{Q} = \dfrac{n\,R\,\Delta T}{\tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T}\) \(= \dfrac{2}{5}\).
\(\tau = 830\ \text{J}\), \(\Delta U = 1245\ \text{J}\) i \(Q = 2075\ \text{J}\), amb el 40% de la calor convertida en treball.
mitjà
Un gas rep 1000 J de calor a una pressió constant de \(2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), i la seva energia interna augmenta 600 J. Quant ha augmentat el volum, en litres?

Mostra la resolució
El treball surt del primer principi, \(\tau = Q - \Delta U\) \(= 400\ \text{J}\).
Amb la pressió constant, \(\Delta V = \dfrac{\tau}{p} = \dfrac{400}{2 \cdot 10^5}\) \(= 2 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3\).
El volum ha augmentat 2 L.
mitjà
És possible que un gas rebi calor i, tot i així, es refredi? I que s'escalfi sense rebre gens de calor? Justifica-ho amb el primer principi.

Mostra la resolució
Pel primer principi, \(\Delta U = Q - \tau\). Si el gas rep calor, \(Q > 0\), però fa un treball més gran que aquesta calor, \(\Delta U\) és negativa i el gas es refreda.
Si no hi ha calor, \(Q = 0\), i el gas es comprimeix, \(\tau < 0\), aleshores \(\Delta U = -\tau > 0\) i el gas s'escalfa.
Tots dos casos són possibles, perquè la temperatura segueix \(\Delta U\), que depèn de la calor i del treball alhora.
mitjà
Una xeringa amb 0,05 mol d'argó, que tractem com a gas ideal monoatòmic, es comprimeix tan de pressa que gairebé no hi ha intercanvi de calor. El gas rep 50 J de treball. Quant augmenta la temperatura? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
Sense intercanvi de calor, \(Q = 0\) i \(\Delta U = -\tau = +50\ \text{J}\).
Amb \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\), tenim \(\Delta T = \dfrac{50}{1{,}5 \cdot 0{,}05 \cdot 8{,}3}\).
La temperatura puja uns 80 K.
repte
Subministrem 498 J de calor a 0,4 mol d'un gas ideal monoatòmic, primer amb el volum constant i després, partint del mateix estat, amb la pressió constant. En quin cas puja més la temperatura, i quant puja en cadascun? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
A volum constant, tota la calor es converteix en energia interna, \(\Delta T = \dfrac{Q}{1{,}5\,n\,R} = \dfrac{498}{1{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 8{,}3}\).
A pressió constant, \(Q = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), perquè una part de la calor surt com a treball, i \(\Delta T = \dfrac{498}{2{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 8{,}3}\).
Puja 100 K a volum constant i 60 K a pressió constant.
repte
Un gas ideal monoatòmic rep 500 cal de calor a la pressió constant de \(1{,}4 \cdot 10^5\ \text{Pa}\). Quant treball fa, quant augmenta la seva energia interna i quant creix el volum? Fes servir \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Mostra la resolució
En joules, \(Q = 500 \cdot 4{,}2 = 2100\ \text{J}\). En una isobàrica del gas monoatòmic, \(\tau = n\,R\,\Delta T\) i \(Q = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), de manera que \(\tau = \tfrac{2}{5}\,Q = \tfrac{2}{5} \cdot 2100\).
L'energia interna augmenta \(\Delta U = Q - \tau\), i el volum creix \(\Delta V = \dfrac{\tau}{p}\), amb \(\tau\) en joules i \(p\) en pascals.
\(\tau = 840\ \text{J}\), \(\Delta U = 1260\ \text{J}\) i el volum augmenta 6 L.

PAS 4

Quatre maneres de transformar un gas

Algunes transformacions apareixen tan sovint que els donem nom propi. En la isobàrica, la pressió es manté constant, el gràfic \(p \times V\) és una recta horitzontal i \(\tau = p\,\Delta V\). En la isocòrica, o isovolumètrica, el volum no canvia, \(\tau = 0\) i la calor intercanviada és igual a \(\Delta U\).

En la isotèrmica, la temperatura es manté constant, \(\Delta U = 0\) i \(Q = \tau\), de manera que el gas retorna com a treball la calor que rep. La corba és la hipèrbola \(p\,V = \text{constant}\) que vam veure a la lliçó de Calor i temperatura.

isobàrica: \(\tau = p\,\Delta V\)isocòrica: \(\tau = 0,\ Q = \Delta U\)isotèrmica: \(\Delta U = 0,\ Q = \tau\)adiabàtica: \(Q = 0,\ \tau = -\Delta U\)A la simulació, totes quatre parteixen de l'estat A, amb 100 kPa, 6 L i 300 K, i el gas té \(n\,R = 2\ \text{J/K}\). En l'adiabàtica del gas ideal monoatòmic es compleix \(p\,V^{5/3} = \text{constant}\), una relació que només fa servir la simulació.

En l'adiabàtica, suposem que el gas no intercanvia calor, \(Q = 0\), i \(\tau = -\Delta U\). En expandir-se, paga el treball amb la seva pròpia energia interna i es refreda, i per això veiem que l'adiabàtica baixa més de pressa que la isoterma en el gràfic.

Les transformacions ràpides tendeixen a ser gairebé adiabàtiques, perquè la calor no té temps de travessar les parets. Això pot ajudar a entendre per què la manxa de la bicicleta s'escalfa quan inflem un pneumàtic de pressa i per què el raig d'un desodorant en esprai surt fred, ja que el gas s'expandeix en sortir del pot (l'evaporació del líquid també hi contribueix).

Per comentar

Executa les quatre transformacions portant el gas fins a 9 L, o fins a 450 K en la isocòrica. En quina fa més treball el gas, i en quina baixa la temperatura?
En la isotèrmica, compara \(Q\) i \(\tau\). On ha anat a parar l'energia que ha entrat com a calor?
Comprimeix el gas de manera adiabàtica fins a 3 L, com en una manxa de bicicleta, i segueix la temperatura.
En la isocòrica, per què el treball es queda en zero, si veiem que la pressió puja?

Volum final

Temperatura final (isocòrica)

Pressió

Volum

Temperatura

Calor Q

Treball τ

Variació ΔU

Exercicis del pas 4 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Un gas rep 300 J de calor en una transformació isocòrica. Quant val el treball, i quant augmenta l'energia interna?

Mostra la resolució
En la isocòrica el volum no canvia, i \(\tau = 0\). Pel primer principi, \(\Delta U = Q - 0\).
\(\tau = 0\) i \(\Delta U = 300\ \text{J}\)
bàsic
En una expansió isotèrmica, un gas ideal fa 500 J de treball. Quanta calor rep?

Mostra la resolució
En la isotèrmica del gas ideal, \(\Delta U = 0\), i el primer principi queda \(Q = \tau\).
\(Q = 500\ \text{J}\)
bàsic
Un gas es comprimeix de manera adiabàtica i rep 200 J de treball. Quant varia la seva energia interna, i què passa amb la temperatura?

Mostra la resolució
En l'adiabàtica, \(Q = 0\), i \(\Delta U = -\tau = -(-200)\).
\(\Delta U = +200\ \text{J}\), i el gas s'escalfa.
bàsic
Qui infla de pressa un pneumàtic de bicicleta nota que el cos de la manxa s'escalfa. Per què passa això?

Mostra la resolució
La compressió és ràpida, i l'aire gairebé no té temps d'intercanviar calor amb les parets, com en una transformació adiabàtica.
Amb \(Q \approx 0\), el treball que fem sobre l'aire es converteix en energia interna, \(\Delta U = -\tau > 0\).
L'aire comprimit s'escalfa, i una part d'aquesta calor passa després al cos de la manxa.
mitjà
Quan premem la vàlvula d'un desodorant en esprai, el raig surt fred. Explica aquest refredament amb el primer principi.

Mostra la resolució
En sortir del pot, el gas s'expandeix molt de pressa, i gairebé no intercanvia calor amb l'ambient en aquest instant, cosa que s'acosta a una expansió adiabàtica.
Amb \(Q \approx 0\), el treball d'expansió surt de l'energia interna, \(\Delta U = -\tau < 0\), i la temperatura baixa. L'evaporació del líquid que surt alhora també ajuda a refredar el raig.
El gas s'expandeix gairebé sense rebre calor, paga el treball amb la seva pròpia energia interna i es refreda.
mitjà
Dos mols d'un gas ideal monoatòmic s'escalfen a volum constant de 300 K a 350 K. Calcula el treball, la variació de l'energia interna i la calor rebuda. Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
En la isocòrica, \(\tau = 0\), i \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 2 \cdot 8{,}3 \cdot 50\).
Pel primer principi, \(Q = \Delta U\).
\(\tau = 0\), \(\Delta U = 1245\ \text{J}\) i \(Q = 1245\ \text{J}\)
mitjà
Un gas ideal monoatòmic s'expandeix a la pressió constant de 100 kPa, de 2 L a 5 L. Calcula el treball, la variació de l'energia interna i la calor rebuda. Recorda que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\).

Mostra la resolució
El treball és \(\tau = p\,\Delta V = 100 \cdot 3\). Com que \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\), a pressió constant \(\Delta U = 1{,}5 \cdot 100 \cdot 3\).
Pel primer principi, \(Q = \tau + \Delta U\).
\(\tau = 300\ \text{J}\), \(\Delta U = 450\ \text{J}\) i \(Q = 750\ \text{J}\)
mitjà
En el gràfic \(p \times V\), una isoterma i una adiabàtica parteixen del mateix estat, i el gas s'expandeix fins al mateix volum final. Quina corba acaba amb la pressió més baixa? Quina expansió produeix més treball?

Mostra la resolució
En la isoterma, la temperatura es manté constant, i la pressió baixa només perquè el volum augmenta.
En l'adiabàtica, el gas paga el treball amb l'energia interna i es refreda, i la pressió baixa pels dos motius, el volum més gran i la temperatura més baixa.
L'adiabàtica acaba amb la pressió més baixa, i com que queda per sota de la isoterma, l'àrea que té a sota és més petita, i l'expansió isotèrmica produeix més treball.
repte
Un mol de gas ideal monoatòmic s'expandeix de manera adiabàtica, i la seva temperatura baixa de 400 K a 300 K. Quant treball fa el gas? Fes servir \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució
L'energia interna varia \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 1 \cdot 8{,}3 \cdot (-100)\) \(= -1245\ \text{J}\).
En l'adiabàtica, \(Q = 0\) i \(\tau = -\Delta U\).
\(\tau = 1245\ \text{J}\), trets de l'energia interna del gas.
repte
Un gas es comprimeix fins a la meitat del volum, partint sempre del mateix estat, una vegada de manera isotèrmica i una altra de manera adiabàtica. En quina de les compressions hem de fer més treball sobre el gas? Fes servir el gràfic \(p \times V\) per justificar-ho.

Mostra la resolució
En la compressió adiabàtica, el treball que fem es converteix en energia interna, la temperatura puja i la pressió creix més que en la isotèrmica. Per al gas monoatòmic es fa unes 3,2 vegades més gran, contra 2 vegades en la isotèrmica.
En el gràfic, l'adiabàtica passa per sobre de la isoterma durant la compressió, i l'àrea que té a sota, que mesura el treball rebut, és més gran.
La compressió adiabàtica exigeix més treball, perquè el gas s'escalfa i s'hi resisteix més.

PAS 5

Com transforma un motor la calor en treball?

Una màquina tèrmica repeteix un cicle. El gas rep calor \(Q_q\) d'una font calenta, fa treball, cedeix calor \(Q_f\) a una font freda i torna a l'estat de partida, a punt per tornar a començar.

Com que l'estat final és exactament igual a l'inicial, \(\Delta U = 0\) en el cicle, i el primer principi diu que el treball net és la diferència entre la calor rebuda i la cedida. En el gràfic \(p \times V\), aquest treball és l'àrea interior del cicle, positiva quan el recorregut és en sentit horari, el sentit d'un motor.

\(\Delta U_{\text{cicle}} = 0\)\(\tau = Q_q - Q_f\)\(\eta = \dfrac{\tau}{Q_q} = 1 - \dfrac{Q_f}{Q_q}\)\(Q_q\) i \(Q_f\) són valors positius, la calor rebuda de la font calenta i la calor cedida a la font freda al llarg del cicle. A la simulació, el gas és el mateix dels passos anteriors, i la calor de cada costat del rectangle surt del primer principi, amb \(\tau = 0\) als costats verticals. Els costats vermells reben calor, i els blaus en cedeixen.

Mesurem l'eficàcia d'un motor pel rendiment \(\eta = \tau/Q_q\), que diu quina fracció de la calor rebuda s'ha convertit en treball. En el motor d'un cotxe, que segueix de manera aproximada el cicle d'Otto, la mescla d'aire i combustible es comprimeix, explota, empeny el pistó en l'expansió i surt calenta pel tub d'escapament, que s'emporta la \(Q_f\), i el rendiment se sol quedar entre el 25% i el 30%.

En una central tèrmica, la combustió de carbó, gas o bagàs de canya de sucre (molt usat al Brasil) fa bullir aigua, el vapor fa girar una turbina i després es condensa amb l'aigua d'un riu o de torres de refrigeració. Aquesta aigua rep la \(Q_f\), i en general s'emporta més energia que la que surt pels cables.

Per comentar

Arrossega un vèrtex del cicle i segueix l'àrea. Quin canvi augmenta més el treball per cicle?
En el cicle inicial, comprova que \(Q_q - Q_f\) és igual a l'àrea del rectangle.
Intenta portar el rendiment per sobre del 30%. Què has hagut de fer amb les pressions i els volums?
Inverteix el sentit del cicle. Què passa amb el signe del treball i amb els papers de la calor rebuda i de la cedida?

Treball (àrea)

Calor rebuda Q_q

Calor cedida Q_f

Rendiment

ΔU en el cicle

Temperatures

Exercicis del pas 5 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Al llarg d'un cicle, un gas rep en total 1200 J de calor i en cedeix 800 J. Quant val la variació de l'energia interna en el cicle, i quant treball fa?

Mostra la resolució
El gas torna a l'estat inicial, i en el cicle \(\Delta U = 0\).
Pel primer principi, \(\tau = Q_{\text{neta}} = 1200 - 800\).
\(\Delta U = 0\) i \(\tau = 400\ \text{J}\)
bàsic
Un motor rep 1000 J de calor per cicle i en rebutja 700 J. Quin és el treball per cicle i quin és el rendiment?

Mostra la resolució
El treball és la diferència entre les calors, \(\tau = 1000 - 700\), i el rendiment és \(\eta = \dfrac{\tau}{Q_q}\).
\(\tau = 300\ \text{J}\) i \(\eta = 30\%\)
bàsic
En el gràfic \(p \times V\), un cicle és un rectangle amb volums entre 2 L i 6 L i pressions entre 100 kPa i 300 kPa, recorregut en sentit horari. Quin és el treball per cicle?

Mostra la resolució
El treball del cicle és l'àrea interior del rectangle, \(\tau = (300 - 100) \cdot (6 - 2)\), en kPa per litres, que dona joules. En sentit horari, és positiu.
\(\tau = 800\ \text{J}\)
bàsic
Un cicle recorregut en sentit horari en el gràfic \(p \times V\) correspon a un motor o a un refrigerador? I en sentit antihorari?

Mostra la resolució
En sentit horari, l'expansió es fa a pressions més altes que la compressió, i el gas fa més treball del que rep, \(\tau > 0\).
En sentit antihorari, passa el contrari, i el gas rep treball net.
Horari és motor; antihorari és refrigerador, que necessita rebre treball.
mitjà
Un motor té un rendiment del 25% i fa 500 J de treball per cicle. Quanta calor rep i quanta en rebutja per cicle?

Mostra la resolució
A partir del rendiment, \(Q_q = \dfrac{\tau}{\eta} = \dfrac{500}{0{,}25}\), i la calor rebutjada és \(Q_f = Q_q - \tau\).
Rep 2000 J i en rebutja 1500 J per cicle.
mitjà
El motor d'un cotxe, amb un rendiment del 25%, lliura 30 kW a les rodes i a les peces que fa girar. Quanta calor ha d'alliberar per segon la combustió del carburant, i quanta se'n va pel tub d'escapament i pel radiador?

Mostra la resolució
Per segon, \(Q_q = \dfrac{P_{\text{útil}}}{\eta} = \dfrac{30}{0{,}25} = 120\ \text{kW}\), i la resta és \(120 - 30\).
La combustió allibera 120 kW, i 90 kW es rebutgen com a calor.
mitjà
Una central tèrmica té un rendiment del 40% i subministra 500 MW a la xarxa. Quanta calor allibera la combustió per segon, i quanta es lliura a l'aigua de refrigeració i a l'aire?

Mostra la resolució
La potència tèrmica és \(\dfrac{500}{0{,}40} = 1250\ \text{MW}\), i la rebutjada és \(1250 - 500\).
La combustió allibera 1250 MW, i 750 MW van a l'ambient, més del que la central lliura a la xarxa.
mitjà
El motor de gasolina segueix, de manera aproximada, el cicle d'Otto, en quatre temps, que són l'admissió, la compressió, l'explosió amb expansió i l'escapament. En quin temps fa el gas el treball que mou el cotxe, i en quin en rep? On va a parar la \(Q_f\)?

Mostra la resolució
En la compressió, el pistó puja i comprimeix la mescla d'aire i combustible, que rep treball i s'escalfa, de manera gairebé adiabàtica.
Just després de l'espurna, la combustió fa pujar molt la temperatura i la pressió, i en l'expansió els gasos calents empenyen el pistó i fan un treball més gran que el rebut.
El gas fa treball en l'expansió i en rep en la compressió; la \(Q_f\) surt amb els gasos calents de l'escapament i pel sistema de refrigeració.
repte
Un gas ideal monoatòmic recorre, en sentit horari, el cicle rectangular A (2 L; 100 kPa), B (2 L; 300 kPa), C (6 L; 300 kPa), D (6 L; 100 kPa). Calcula la calor intercanviada en cada tram, la calor rebuda \(Q_q\), el treball i el rendiment.

Mostra la resolució
En els trams a volum constant, \(Q = \Delta U = \tfrac{3}{2}\,V\,\Delta p\), i en els trams a pressió constant, \(Q = \tfrac{5}{2}\,p\,\Delta V\).
En AB, \(Q = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 200 = 600\ \text{J}\); en BC, \(Q = 2{,}5 \cdot 300 \cdot 4 = 3000\ \text{J}\); en CD, \(Q = -1800\ \text{J}\); i en DA, \(Q = -1000\ \text{J}\).
Les calors positives sumen \(Q_q = 600 + 3000\), les negatives sumen \(Q_f = 2800\ \text{J}\), i el treball és la diferència, igual a l'àrea del rectangle, \(200 \cdot 4\). El rendiment és \(\eta = \tau/Q_q\).
\(Q_q = 3600\ \text{J}\), \(\tau = 800\ \text{J}\) i \(\eta \approx 22\%\)
repte
Un cotxe circula 1 hora amb el motor lliurant, de mitjana, 15 kW. El rendiment del motor és del 25%, i cada litre de gasolina allibera uns \(3{,}2 \cdot 10^7\ \text{J}\) en cremar. Quants litres de gasolina consumeix el cotxe en aquesta hora?

Mostra la resolució
L'energia útil és \(15\,000 \cdot 3600 = 5{,}4 \cdot 10^7\ \text{J}\), i la calor que ha d'alliberar la combustió és \(\dfrac{5{,}4 \cdot 10^7}{0{,}25} = 2{,}16 \cdot 10^8\ \text{J}\).
Dividint per l'energia d'un litre, \(\dfrac{2{,}16 \cdot 10^8}{3{,}2 \cdot 10^7}\).
Uns 6,8 L de gasolina.

PAS 6

Per què cap motor no aprofita tota la calor?

Podem enunciar el segon principi de la termodinàmica de maneres equivalents. Una diu que cap màquina que funciona en cicles no transforma en treball tota la calor que rep, i que una part ha d'anar a una font més freda. Una altra diu que la calor no passa espontàniament d'un cos fred a un de calent.

El 1824, Sadi Carnot va mostrar que cap màquina que funcioni entre dues temperatures no supera una màquina ideal, sense fregament i sense intercanvis bruscos de calor, que recorre l'anomenat avui cicle de Carnot. El seu rendiment depèn només de les temperatures de les fonts, en kelvin, \(\eta_C = 1 - T_f/T_q\).

\(\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_q}\)\(\eta \le \eta_C\)Les temperatures van en kelvin, \(T = \theta + 273\). A la simulació, les temperatures atribuïdes a cada màquina i els rendiments reals són valors típics i aproximats, que varien força d'un model a un altre. En els motors, \(T_q\) és la temperatura que assoleixen per un instant els gasos de la combustió.

Els motors i les centrals que construïm queden per sota d'aquest límit, a causa del fregament, de les pèrdues de calor i de processos massa ràpids. La fórmula també suggereix el camí per millorar una màquina, que és allunyar les temperatures de la font calenta i de la freda.

Darrere del segon principi hi ha una idea d'irreversibilitat. Quan obrim la divisòria d'una caixa amb gas a un sol costat, les partícules s'escampen i no es tornen a ajuntar soles, tot i que cap llei del moviment no ho prohibeix. L'entropia mesura el nombre de distribucions possibles de les partícules, que acostumem a associar al desordre, i en un sistema aïllat tendeix a augmentar.

Per comentar

Tria la central de carbó i compara el rendiment real amb el de Carnot a les mateixes temperatures. Fes el mateix amb les altres màquines.
Amb la font freda a 300 K, quina temperatura de la font calenta dona un rendiment de Carnot del 50%? I del 75%?
Acosta les dues temperatures. Què passa amb el treball que surt de cada 1000 J de calor?
Obre la divisòria i espera una bona estona. Quantes vegades has vist totes les partícules de nou al costat esquerre?

Font calenta T_q

Font freda T_f

Rendiment de Carnot

Rendiment real típic

Treball màxim per 1000 J

Calor mínima a la font freda

Partícules a l'esquerra

Exercicis del pas 6 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Quin és el rendiment d'una màquina de Carnot que funciona entre 600 K i 300 K?

Mostra la resolució
El rendiment de Carnot és \(\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_q} = 1 - \dfrac{300}{600}\).
\(\eta_C = 50\%\)
bàsic
Una màquina de Carnot funciona entre 327 °C i 27 °C. Un estudiant calcula el rendiment com \(1 - 27/327\) i obté un 92%, aproximadament. On és l'error, i quin és el valor correcte?

Mostra la resolució
La fórmula de Carnot demana temperatures absolutes, en kelvin. Sumant 273, les fonts són a 600 K i 300 K, i \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{600}\).
L'error ha estat fer servir graus Celsius; el rendiment correcte és el 50%.
bàsic
Un inventor afirma que ha construït un motor que, funcionant en cicles, transforma en treball tota la calor que rep d'una única font. Què en diu el segon principi?

Mostra la resolució
El segon principi afirma que cap màquina que funciona en cicles no transforma íntegrament en treball la calor rebuda d'una font. Una part de la calor s'ha de cedir a una font més freda.
El motor descrit és impossible, perquè violaria el segon principi.
bàsic
Obrim un flascó de perfum en un racó de la sala, i al cap d'una estona l'olor s'escampa per tot l'ambient. Per què no veiem que el perfum torni sol al flascó?

Mostra la resolució
Les molècules es mouen a l'atzar, i hi ha moltes més maneres que estiguin escampades per la sala que no pas reunides al flascó.
Tornar al flascó no viola la conservació de l'energia, però és tan improbable que, a la pràctica, no s'observa mai.
L'escampament és irreversible; l'entropia augmenta, i el procés invers no es produeix espontàniament.
mitjà
Un inventor anuncia un motor que funciona entre 500 K i 300 K amb un rendiment del 60%. Hi invertiries?

Mostra la resolució
El màxim possible entre aquestes temperatures és el rendiment de Carnot, \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{500} = 40\%\).
Cap màquina real no pot superar aquest valor.
No, perquè el 60% supera el límit de Carnot, del 40%.
mitjà
Una màquina de Carnot té un rendiment del 30% i la seva font freda és a 280 K. Quina és la temperatura de la font calenta?

Mostra la resolució
Aïllant \(T_q\) a \(\eta_C = 1 - T_f/T_q\), tenim \(T_q = \dfrac{T_f}{1 - \eta_C} = \dfrac{280}{0{,}7}\).
\(T_q = 400\ \text{K}\)
mitjà
Una màquina de Carnot funciona entre 800 K i 300 K i rep 2000 J de calor per cicle. Quant treball fa i quanta calor rebutja?

Mostra la resolució
El rendiment és \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{800} = 0{,}625\), i el treball és \(\tau = 0{,}625 \cdot 2000\). La resta va a la font freda, \(Q_f = 2000 - \tau\).
\(\tau = 1250\ \text{J}\) i \(Q_f = 750\ \text{J}\)
mitjà
En una central de carbó, el vapor arriba a la turbina a uns 830 K, i l'aigua de refrigeració és a 310 K. La central té un rendiment real del 35%. Compara'l amb el rendiment de Carnot i digues quina fracció del màxim possible aprofita.

Mostra la resolució
El límit de Carnot és \(\eta_C = 1 - \dfrac{310}{830} \approx 0{,}63\), i la raó entre el real i el màxim és \(\dfrac{0{,}35}{0{,}63}\).
El màxim seria d'un 63%, aproximadament, i la central arriba a un 56% d'aquest límit.
repte
Una màquina de Carnot funciona entre 500 K i 300 K. Per elevar el rendiment al 50%, podem escalfar la font calenta o refredar la font freda. Calcula la nova temperatura en cada cas i discuteix quina opció sembla més viable a la pràctica.

Mostra la resolució
Ara, \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{500} = 40\%\). Mantenint \(T_f = 300\ \text{K}\), necessitem \(T_q = \dfrac{300}{0{,}5}\). Mantenint \(T_q = 500\ \text{K}\), necessitem \(T_f = 0{,}5 \cdot 500\).
La font freda sol ser l'ambient, un riu o l'aire, i refredar-la per sota exigiria un refrigerador, que consumeix treball.
\(T_q = 600\ \text{K}\) o \(T_f = 250\ \text{K}\); a la pràctica, les centrals tendeixen a pujar la temperatura de la font calenta, limitada per la resistència dels materials.
repte
Una caixa amb una divisòria té \(N\) partícules que es mouen a l'atzar. Un cop oberta la divisòria, cada partícula té una probabilitat d'1/2 de ser al costat esquerre en un instant qualsevol. Quina és la probabilitat de trobar-les totes al costat esquerre, per a \(N = 4\), \(N = 10\) i \(N = 40\)? Què suggereix això per a un gas real, amb unes \(10^{22}\) partícules?

Mostra la resolució
Les partícules es mouen de manera independent, i les probabilitats es multipliquen, \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^N\). N'hi ha prou d'elevar \(\tfrac{1}{2}\) a 4, a 10 i a 40, i en l'últim cas \(2^{40} \approx 1{,}1 \cdot 10^{12}\).
Per a \(10^{22}\) partícules, el nombre és tan petit que l'esdeveniment no es veuria mai en tota l'edat de l'univers.
1/16, 1/1024 i aproximadament 1 entre \(10^{12}\); en un gas real, el retorn espontani és tan improbable que tractem l'escampament com a irreversible.

PAS 7

La nevera és un motor a l'inrevés

Si recorrem un cicle en sentit antihorari, el gas rep treball i la calor va al revés, d'una font freda a una de calenta. És el que fan la nevera, l'aire condicionat i la bomba de calor, i el segon principi explica per què això consumeix treball, ja que la calor no passaria sola del fred al calent.

A la nevera, un fluid refrigerant circula per tubs, s'evapora dins de l'aparell traient la calor \(Q_f\) dels aliments, el comprimeix el compressor, que rep el treball \(\tau\) de l'endoll, i lliura la calor \(Q_q\) a la cuina per la reixeta calenta del darrere de l'aparell. Mesurem l'eficàcia d'una nevera amb l'eficiència \(e = Q_f/\tau\), que no s'ha de confondre amb el rendiment d'un motor i que en general és més gran que 1.

Per la conservació de l'energia, \(Q_q = Q_f + \tau\), i la cuina sempre rep més calor de la que traiem dels aliments. Per això deixar la porta oberta no refreda la cuina. L'aire fred que surt es torna a escalfar a la reixeta calenta, i en el balanç final la cuina guanya l'energia que consumeix el compressor.

L'aire condicionat fa el mateix amb la sala i llença la calor al carrer. La bomba de calor inverteix els papers a l'hivern, treu calor de l'aire fred de fora i la lliura dins de casa, i amb 1 J de l'endoll podem posar dins de casa diversos joules de calor.

\(e = \dfrac{Q_f}{\tau}\)\(Q_q = Q_f + \tau\)\(e_C = \dfrac{T_f}{T_q - T_f}\)\(e_C\) és la màxima eficiència possible entre dues temperatures, en kelvin. A la simulació, la nevera funciona entre un interior a 5 °C i una cuina a 25 °C, i les potències de cada aparell són valors típics i aproximats. Les fletxes tenen una amplada proporcional a l'energia per segon.

Per comentar

Amb la nevera i l'eficiència a 3, comprova a la pantalla que \(Q_q = Q_f + \tau\).
Obre la porta de la nevera i llegeix el balanç d'energia de la cuina. Es refreda?
Redueix l'eficiència a 1,5. Quant passa a consumir el compressor per treure la mateixa calor?
Passa a la bomba de calor i compara la calor lliurada a la casa amb l'energia elèctrica consumida.

Eficiència e

Calor extreta per segon

Calor extreta Q_f

Treball τ

Calor lliurada Q_q

Eficiència e

Límit de Carnot

Energia elèctrica en 1 h

Exercicis del pas 7 10 exercicis · 4 bàsics · 4 mitjans · 2 reptes

bàsic
Una nevera treu 300 J de l'interior fent servir 100 J de treball del compressor. Quina és la seva eficiència, i quanta calor lliura a la cuina?

Mostra la resolució
L'eficiència és \(e = \dfrac{Q_f}{\tau} = \dfrac{300}{100}\), i per la conservació de l'energia, \(Q_q = Q_f + \tau\).
\(e = 3\) i \(Q_q = 400\ \text{J}\)
bàsic
En un cert interval, una nevera treu 600 J dels aliments i en lliura 800 J a la cuina. Quant treball ha fet el compressor, i quina és l'eficiència?

Mostra la resolució
De la conservació de l'energia, \(\tau = Q_q - Q_f = 800 - 600\), i \(e = \dfrac{Q_f}{\tau}\).
\(\tau = 200\ \text{J}\) i \(e = 3\)
bàsic
Un dia calorós, algú deixa la porta de la nevera oberta per refrescar la cuina, que està tancada. La cuina es refreda?

Mostra la resolució
Amb la porta oberta, l'interior i la cuina formen un únic ambient. La calor extreta d'un costat torna per la reixeta calenta de l'altre, sumada al treball del compressor.
En el balanç final, la cuina rep l'energia elèctrica que consumeix el compressor.
La cuina no es refreda; s'escalfa una mica.
bàsic
Al darrere o a sota de la nevera hi ha una reixeta de tubs que s'escalfa quan l'aparell funciona. Per a què serveix?

Mostra la resolució
El fluid refrigerant, comprimit pel compressor, arriba calent a aquesta reixeta, el condensador, i lliura calor a l'aire de la cuina.
És per aquí que surt la \(Q_q = Q_f + \tau\), la calor extreta dels aliments sumada a l'energia del compressor.
La reixeta lliura a la cuina la calor que la nevera treu de dins i el treball del compressor.
mitjà
Un aire condicionat amb eficiència 3 consumeix 1000 W de l'endoll. Quanta calor treu de la sala per segon, i quanta en llença a fora?

Mostra la resolució
Per segon, \(Q_f = e\,\tau = 3 \cdot 1000 = 3000\ \text{J}\), i \(Q_q = Q_f + \tau\).
Treu 3000 W de la sala i en llença 4000 W a fora.
mitjà
Una nevera amb eficiència 2,5 treu 150 W de l'interior mentre el compressor està engegat. Quina potència consumeix el compressor? Si funciona 8 h al dia, quanta energia elèctrica gasta la nevera cada dia, en kWh?

Mostra la resolució
La potència del compressor és \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{150}{2{,}5}\).
En 8 h al dia, \(E = \tau \cdot 8\ \text{h}\), en watts hora, i dividim per 1000 per arribar a kWh.
El compressor consumeix 60 W, i la nevera gasta 0,48 kWh al dia.
mitjà
Una bomba de calor té una eficiència de refrigeració \(e = 3\) i consumeix 1 kW. Quanta calor lliura dins de casa? Compara-ho amb un escalfador de resistència que consumeix el mateix 1 kW.

Mostra la resolució
La bomba treu \(Q_f = e\,\tau = 3\ \text{kW}\) de l'aire de fora i lliura dins de casa \(Q_q = Q_f + \tau\).
En l'escalfador de resistència, tota l'energia elèctrica es converteix en calor, i lliura 1 kW.
La bomba lliura 4 kW, quatre vegades la calor de l'escalfador, amb el mateix consum.
mitjà
El congelador d'una nevera és a −5 °C, i la cuina a 25 °C. Quina és la màxima eficiència possible d'una màquina frigorífica entre aquestes temperatures?

Mostra la resolució
En kelvin, \(T_f = 268\ \text{K}\) i \(T_q = 298\ \text{K}\), i el límit de Carnot és \(e_C = \dfrac{T_f}{T_q - T_f} = \dfrac{268}{30}\).
\(e_C \approx 8{,}9\); les neveres reals queden molt per sota.
repte
En una cuina tancada i aïllada, una nevera es queda amb la porta oberta durant 2 hores, i el compressor consumeix 150 W tot el temps. Quanta energia guanya la cuina en aquest període, en joules i en calories? Fes servir \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Mostra la resolució
Amb la porta oberta, la calor que la nevera treu d'un costat torna a l'altre, i el balanç d'energia de la cuina és el treball del compressor, \(E = 150 \cdot 7200\) joules.
En calories, dividim per 4,2.
La cuina guanya \(1{,}08 \cdot 10^6\ \text{J}\), unes \(2{,}6 \cdot 10^5\ \text{cal}\), i s'escalfa.
repte
Un congelador amb eficiència 2 congela 1 kg d'aigua que ja és a 0 °C. La calor latent de fusió de l'aigua és de 80 cal/g. Quant treball fa el compressor, i quanta calor va a la cuina? Fes servir \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Mostra la resolució
La calor que s'ha de treure és \(Q_f = m\,L\) \(= 1000 \cdot 80\) \(= 80\,000\ \text{cal}\), o \(336\,000\ \text{J}\).
El treball és \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{336\,000}{2}\), i la cuina rep \(Q_q = Q_f + \tau\).
\(\tau = 1{,}68 \cdot 10^5\ \text{J}\) i \(Q_q = 5{,}04 \cdot 10^5\ \text{J}\)

TANCAMENT

Reptes

Treball en un cicle

En el gràfic \(p \times V\), un gas recorre en sentit horari el triangle de vèrtexs (1 L; 100 kPa), (4 L; 100 kPa) i (1 L; 400 kPa). Quant treball fa per cicle?

Mostra la resolució

El treball del cicle és l'àrea del triangle, amb una base de 3 L i una altura de 300 kPa, \(\dfrac{3 \cdot 300}{2}\) en kPa per litres.
Com que el sentit és horari, el treball és positiu i val 450 J.

Energia interna

Un globus amb 0,5 mol d'heli puja i es refreda de 300 K a 270 K. Quant varia l'energia interna del gas? Tracta l'heli com a gas ideal monoatòmic, amb \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Mostra la resolució

L'energia interna segueix la temperatura, \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 8{,}3 \cdot (-30)\).
Això dona uns \(-187\ \text{J}\), una pèrdua d'energia interna.

Primer principi

Un gas ideal monoatòmic rep 1000 J de calor a pressió constant. Quina part d'aquesta calor es converteix en treball, i quina es queda com a energia interna?

Mostra la resolució

En la isobàrica, \(\tau = n\,R\,\Delta T\) i \(Q = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), i el treball és \(\tfrac{2}{5}\) de la calor.
Són 400 J de treball, i els 600 J restants es queden com a energia interna.

Adiabàtica

Quan inflem un pneumàtic de pressa, fem 60 J de treball sobre l'aire d'una manxada, sense que hi hagi temps per a l'intercanvi de calor. Quant varia l'energia interna de l'aire?

Mostra la resolució

Sense intercanvi de calor, \(Q = 0\), i l'aire rep treball, \(\tau = -60\ \text{J}\).
Pel primer principi, \(\Delta U = -\tau\), i l'energia interna augmenta 60 J, cosa que escalfa l'aire.

Rendiment

Un motor rep 5 kJ de calor per cicle, té un rendiment del 30% i completa 20 cicles per segon. Quina és la seva potència útil, i quanta calor rebutja per segon?

Mostra la resolució

Per cicle, \(\tau = 0{,}30 \cdot 5000 = 1500\ \text{J}\), i amb 20 cicles per segon la potència és \(1500 \cdot 20\) watts, o 30 kW.
La calor rebutjada per cicle és \(5000 - 1500\), i per segon arriba a 70 kW.

Carnot

Una central rep vapor a 300 °C i rebutja calor a 30 °C, amb un rendiment real del 33%. Quina fracció del rendiment de Carnot assoleix?

Mostra la resolució

En kelvin, \(T_q = 573\ \text{K}\) i \(T_f = 303\ \text{K}\), i \(\eta_C = 1 - \dfrac{303}{573} \approx 0{,}47\).
La raó és \(\dfrac{0{,}33}{0{,}47}\), i la central assoleix un 70% del límit, aproximadament.

Aire condicionat

Un aire condicionat amb eficiència 3 treu 2,1 kW d'una sala. Quina potència elèctrica consumeix, i quanta calor llença al carrer per segon?

Mostra la resolució

La potència elèctrica és \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{2{,}1}{3}\), o 0,7 kW.
Al carrer, la unitat exterior lliura \(Q_q = Q_f + \tau\), que dona 2,8 kW.

Pensar, sense comptes

Un vaixell podria navegar traient calor de l'aigua de l'oceà i transformant aquesta calor en treball, sense cremar combustible?

Mostra la resolució

El primer principi no ho prohibeix, perquè l'energia de l'oceà és enorme. El segon principi, però, exigeix una font més freda on enviar part de la calor, i el vaixell no té a prop res que sigui gaire més fred que el mateix oceà.
Sense aquesta diferència de temperatura, el rendiment màxim de Carnot és pràcticament zero, i el vaixell no avançaria.

Preguntes a l'estil de l'ENEM

L'ENEM és l'examen nacional de secundària del Brasil, que serveix per entrar a la universitat. Hem escrit les cinc preguntes següents en el seu format, amb un text base, un enunciat i cinc alternatives, i cadascuna reprèn un pas diferent de la lliçó. Més avall indiquem preguntes reals de la prova sobre termodinàmica, que potser són el millor entrenament després d'aquestes.

Treball d'un gas · Pas 1
En un laboratori escolar, l'Otávio va seguir el gas d'un cilindre amb pistó i va registrar el gràfic següent. El gas va d'A a B a pressió constant, mentre s'escalfa, i de B a C amb el pistó travat, mentre es refreda. Recordem que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\).

Quant treball ha fet el gas entre els estats A i C?
1. 200 J
2. 400 J
3. 600 J
4. 900 J
5. \(6 \cdot 10^5\ \text{J}\)
Mostra la resolució

Resposta: C.
D'A a B, la pressió es manté a 300 kPa i el volum creix 2 L, i el treball és l'àrea del rectangle sota el tram, \(\tau_{AB} = 300 \cdot 2\), en joules.
De B a C el volum no canvia, i el tram vertical no té àrea, \(\tau_{BC} = 0\). El total és 600 J.
L'A fa servir la pressió final, de 100 kPa, i la B fa servir la mitjana de les pressions. La D multiplica la pressió d'A pel volum de B, que no és un treball, i l'E multiplica pascals per litres sense convertir els litres en metres cúbics.
Transformació adiabàtica · Pas 4
En fer servir un desodorant en esprai, la Júlia nota que el raig surt molt fred, tot i que el pot és a la temperatura de l'habitació. Tractem el gas que surt del pot com un gas ideal i deixem de banda, en aquesta pregunta, l'evaporació del líquid que surt amb ell.

El refredament del raig es pot explicar perquè el gas
1. rep calor de l'ambient en sortir, cosa que redueix la seva energia interna.
2. es comprimeix en passar per la vàlvula, i la compressió refreda un gas.
3. perd pressió, i la temperatura d'un gas ideal depèn només de la pressió.
4. s'expandeix tan de pressa que gairebé no intercanvia calor, i el treball de l'expansió surt de la seva energia interna.
5. s'expandeix a temperatura constant i transforma en treball la calor que rep.
Mostra la resolució

Resposta: D.
L'expansió és molt ràpida, i el gas gairebé no té temps d'intercanviar calor, com en una adiabàtica. Amb \(Q \approx 0\), el primer principi dona \(\Delta U = -\tau\), i com que el gas fa treball en expandir-se, \(\tau > 0\), l'energia interna i la temperatura disminueixen.
L'A inverteix l'efecte de la calor rebuda, que augmentaria l'energia interna, i la B canvia l'expansió per una compressió, que escalfaria el gas. La C oblida que la temperatura depèn del producte \(p\,V\), i l'E descriu una isotèrmica, en què la temperatura no canviaria.

Rendiment · Pas 5

Un reportatge compara quatre centrals tèrmiques. Per a cadascuna, la taula mostra la potència tèrmica alliberada en la combustió del combustible i la potència elèctrica que la central lliura a la xarxa.

Potències de les centrals
Central	Combustió (MW)	Elèctrica (MW)
I	1000	350
II	800	320
III	1200	360
IV	600	180

Quina central té el rendiment més alt, i quanta calor rebutja a l'ambient cada segon?

La central I, que en rebutja 650 MW.
La central II, que en rebutja 480 MW.
La central II, que en rebutja 320 MW.
La central III, que en rebutja 840 MW.
La central IV, que en rebutja 420 MW.

Mostra la resolució

Resposta: B.
El rendiment és la raó entre la potència útil i la potència tèrmica, \(\eta = \dfrac{\tau}{Q_q}\). Les centrals I, II, III i IV tenen el 35%, el 40%, el 30% i el 30%, i el més alt és el de la II.
La calor rebutjada per segon és la diferència, \(Q_f = Q_q - \tau = 800 - 320\), o 480 MW.
La D tria la central que lliura més potència elèctrica, que no és la de rendiment més alt, i la C confon la calor rebutjada amb la potència elèctrica. L'A i l'E fan bé el càlcul per a centrals de rendiment més baix.

Segon principi · Pas 6
Una empresa anuncia un motor experimental que aprofita els gasos calents de la xemeneia d'una fàbrica. El motor trauria calor d'aquests gasos, a 400 K, rebutjaria calor a l'aire, a 300 K, i tindria un rendiment del 30%. Un enginyer desconfia de l'anunci i decideix comprovar-lo amb el segon principi.

D'acord amb el segon principi de la termodinàmica, l'anunci
1. és impossible, perquè el rendiment màxim entre aquestes temperatures és del 25%.
2. és plausible, perquè el 30% és menys que el 100%.
3. és plausible, perquè el rendiment màxim entre aquestes temperatures és del 75%.
4. és impossible, perquè cap màquina tèrmica no pot rebutjar calor a l'aire.
5. és plausible, sempre que el motor funcioni sense fregament.
Mostra la resolució

Resposta: A.
El rendiment més alt possible entre dues fonts és el de Carnot, \(\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_q} = 1 - \dfrac{300}{400}\), o el 25%, i el 30% anunciat supera aquest límit.
La C fa servir la raó \(T_f/T_q\) en lloc de \(1 - T_f/T_q\), i la B oblida que el límit no és el 100%. La D contradiu el mateix segon principi, que exigeix rebutjar calor a una font freda, i l'E ignora que ni tan sols una màquina sense fregament supera el rendiment de Carnot.
Aire condicionat · Pas 7
Per refrescar l'habitació, el Fernando va instal·lar un aire condicionat que treu 2400 J de calor de l'ambient cada segon. El manual indica una eficiència de refrigeració de 3,0, que és la raó entre la calor extreta de l'habitació i l'energia elèctrica consumida.

Quina potència elèctrica consumeix l'aparell, i quanta calor lliura la unitat exterior al carrer cada segon?
1. 7200 W i 9600 J
2. 800 W i 1600 J
3. 2400 W i 3200 J
4. 800 W i 2400 J
5. 800 W i 3200 J
Mostra la resolució

Resposta: E.
De la definició d'eficiència, \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{2400}{3{,}0}\), o 800 J per segon, una potència de 800 W.
Per la conservació de l'energia, la unitat exterior lliura \(Q_q = Q_f + \tau = 2400 + 800\), o 3200 J per segon.
L'A multiplica per l'eficiència en lloc de dividir, i la B resta el treball de la calor extreta. La C confon la potència elèctrica amb la calor extreta, i la D oblida que la calor lliurada al carrer inclou l'energia del compressor.

Preguntes reals de l'ENEM sobre aquest tema

Les proves i les solucions oficials són al web de l'INEP, on podem buscar cada pregunta per l'any, el dia, el color del quadern i el número.

ENEM 2009, dia 1, quadern blau, pregunta 20. L'esquema d'una central tèrmica de combustible fòssil mostra la caldera, la turbina i el condensador, i la pregunta demana quina acció milloraria el rendiment de la central sense reduir-ne la generació.
ENEM 2009, dia 1, quadern blau, pregunta 39. A partir del cicle de compressió i expansió del gas d'una nevera, triem l'afirmació correcta sobre els intercanvis de calor entre l'interior i l'exterior de l'aparell.
ENEM 2012, dia 1, quadern blau, pregunta 83. Un text sobre l'eficiència dels motors de combustió demana el factor que limita aquesta recerca, i la resposta passa pel segon principi de la termodinàmica.
ENEM 2015, dia 1, quadern blau, pregunta 63. Una persona tanca la nevera i li costa tornar-la a obrir just després, i la pregunta demana l'explicació, en què intervé l'aire que es refreda a volum constant dins de l'aparell.
ENEM 2020, dia 2, quadern blau, pregunta 105 (prova impresa). Els manuals desaconsellen instal·lar el refrigerador a prop de fonts de calor, i hem d'explicar per què això augmenta el consum d'energia.

Proves i solucions de l'ENEM al web de l'INEP (en portuguès) →

Xuleta de la lliçó

Treball a pressió constant\(\tau = p\,\Delta V\)

Treball en generalàrea sota la corba \(p \times V\)

Energia interna\(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\)

Primer principi\(Q = \tau + \Delta U\)

Isocòrica\(\tau = 0\), \(Q = \Delta U\)

Isotèrmica\(\Delta U = 0\), \(Q = \tau\)

Adiabàtica\(Q = 0\), \(\tau = -\Delta U\)

Cicle\(\Delta U = 0\), \(\tau = Q_q - Q_f\)

Rendiment (motor)\(\eta = \tau/Q_q = 1 - Q_f/Q_q\)

Carnot\(\eta_C = 1 - T_f/T_q\)

Eficiència (refrigerador)\(e = Q_f/\tau\), \(Q_q = Q_f + \tau\)

Constants\(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\), \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\)