Conservação da Energia

A mãe do Dennis sabia converter gramas em blocos. Para a energia, precisamos da regra de cada termo, e vamos começar pela energia de um peso erguido perto do chão. O argumento é do Feynman, inspirado num raciocínio de Carnot sobre máquinas a vapor, e parte de um único postulado: não existe moto-perpétuo. Na nossa bancada, isso quer dizer que, depois de um ciclo completo, com as máquinas de volta ao começo, nenhum peso pode ter ficado mais alto do que estava.

Pense numa alavanca que baixa 1 unidade de peso por 1 m e, com isso, ergue 3 unidades a uma altura \(X\). Ela é reversível quando funciona igualmente bem no sentido contrário, erguendo a unidade de volta a 1 m enquanto as 3 unidades descem a mesma altura \(X\). Toda máquina de verdade paga algum pedágio ao atrito, e a reversível é o caso ideal em que esse pedágio vale zero.

Tomemos então uma máquina reversível A, que ergue as 3 unidades até \(X_A\), e uma máquina B qualquer, que as ergue até \(X_B\). Rodamos B para frente, e a unidade desce 1 m enquanto a pilha sobe \(X_B\). Depois rodamos A para trás, a pilha desce \(X_A\) e a unidade volta a 1 m. As duas máquinas estão de novo no começo, a unidade está outra vez a 1 m, e a pilha terminou \(X_B - X_A\) mais alta do que estava, sem que nada de fora tenha ajudado.

Se \(X_B\) fosse maior que \(X_A\), bastaria repetir o ciclo para erguer peso sem fim, e como o postulado proíbe isso, concluímos que nenhuma máquina, por mais engenhosa que seja, ergue mais alto que uma reversível. Quando B também é reversível, podemos trocar os papéis das duas, e o mesmo raciocínio mostra que \(X_A\) também não supera \(X_B\). Todas as reversíveis erguem à mesma altura, seja qual for o mecanismo por dentro.

Falta o valor dessa altura. O Feynman o obtém com uma montagem de prateleiras em que, no saldo, uma única unidade sobe \(3X\), e o argumento do moto-perpétuo, aplicado nos dois sentidos, obriga \(3X\) a valer exatamente 1 m. Com a razão 1 : 3, portanto, \(X = 1/3\) m.

Numa máquina reversível, peso vezes altura não muda: 1 unidade vezes 1 m antes, 3 unidades vezes 1/3 m depois. A soma de \(W\,h\) sobre todos os pesos é o termo gravitacional da contabilidade, a energia potencial gravitacional, e como o peso é \(W = m\,g\), ela se escreve \(m\,g\,h\). Uma máquina real fica abaixo da reversível, e o que ela perde vira calor no atrito, um termo que vai aparecer mais adiante.

No Feynman: §4-2 Gravitational potential energy ↗

Os passos 2 a 4 repetiram o mesmo procedimento. Imaginamos um movimento pequeno de um sistema em equilíbrio, anotamos quanto cada peso sobe ou desce e exigimos que a soma de peso vezes variação de altura dê zero. É o princípio dos trabalhos virtuais, e ele serve para mecanismos bem mais complicados que uma rampa. Na barra articulada da bancada, o apoio não deixa nada girar, e mesmo assim é um giro imaginado que nos dá a força dele.

Comecemos pelo macaco de rosca da bancada, que ergue um carro de 5000 N. A cada volta completa do braço, a mão descreve uma circunferência de raio \(r\) e percorre \(2\pi r\), enquanto a rosca faz a carga subir um passo \(p\), de alguns milímetros. Com \(r = 0{,}3\) m e \(p = 4\) mm, a mão anda 1,88 m para o carro subir 0,004 m. O saldo zero exige \(F \cdot 2\pi r = W\,p\), e a força na mão sai em cerca de 10,6 N, o peso de um pacote de um quilo. Isso vale para uma rosca ideal, porque numa de verdade o atrito cobra bem mais.

A barra articulada é menos óbvia. Ela tem 4 m e 30 N, gira em torno da ponta esquerda e leva dois pesos, de 20 N e 50 N, que você pode arrastar. Queremos a força \(F\) que um apoio, a uma distância \(x_F\) da articulação, precisa fazer para mantê-la horizontal. Num giro pequeno \(\delta\theta\), um ponto a uma distância \(x\) da articulação sobe \(x\,\delta\theta\), e o apoio sobe \(x_F\,\delta\theta\). O saldo zero dá \(F\,x_F\,\delta\theta = \sum_i W_i\,x_i\,\delta\theta\), e o \(\delta\theta\) se cancela como o \(s\) do passo 3.

O peso da própria barra entra como se estivesse todo no centro, a 2 m, porque somar \(W\,x\) sobre os pedaços de uma barra uniforme dá o peso total vezes a posição do meio. Com o apoio a 3 m, a soma \(\sum_i W_i\,x_i\) vale \(30 \cdot 2 + 20 \cdot 1 + 50 \cdot 2{,}5\), ou 205 N·m, e dividida pelos 3 m dá \(F \approx 68{,}3\) N. Os dois exemplos, o macaco e a barra, são do Feynman, aqui com números nossos.

No Feynman: §4-2 Gravitational potential energy ↗

Na bancada, uma massa presa a um fio de 1,2 m sai do repouso afastada 50° da vertical, 0,43 m acima do ponto mais baixo do arco. Solta, ela desce, passa pelo fundo a quase 2,9 m/s e sobe do outro lado até a linha tracejada, onde para de novo. No fundo, a altura de partida parece ter sumido da conta, mas volta inteira na subida, e alguma coisa precisa tê-la guardado pelo caminho.

Essa coisa é a velocidade, e podemos medi-la em altura. Um corpo que passa pelo fundo com velocidade \(v\) consegue, no máximo, subir uma certa altura, e o jeito mais simples de calculá-la é pensar numa pedra jogada para cima. Da queda livre sabemos que quem cai de uma altura \(h\) chega embaixo com \(v^2 = 2gh\), e a mesma conta, lida de trás para frente, diz até onde a pedra sobe. A velocidade vale, portanto, o mesmo que um peso \(W\) erguido a \(v^2/2g\), e como \(W = m\,g\), \(W\,v^2/2g = \tfrac12 m v^2\). Esse é o termo de movimento da contabilidade, a energia cinética.

As duas barras ao lado do pêndulo acompanham isso a cada instante, uma com a altura perdida desde a partida e a outra com o \(v^2/2g\) do momento, e sobem e descem juntas. No gráfico, os pontos de \(v^2\) contra \(h\) caem sobre uma reta que passa pela origem com inclinação \(2g\), cerca de 19,6 m/s².

Quem já sabe derivar chega ao mesmo lugar sem passar pela pedra. Se \(K = \tfrac12 m\,v^2\), a taxa de variação é \(dK/dt = m\,\vec v\cdot d\vec v/dt\), e como \(m\,d\vec v/dt\) é a força total, ela vale \(\vec F\cdot\vec v\). No pêndulo, a tração do fio é sempre perpendicular à velocidade e não contribui, e o peso entra com \(-W\,dy/dt\), em que \(y\) é a altura da massa. Assim, \(K\) cresce exatamente no ritmo em que \(W\,y\) diminui, e a soma dos dois termos não muda.

O botão Pino de Galileu põe um prego na vertical do ponto de suspensão. Quando o fio passa pela vertical, ele dobra no pino, e a massa sobe do outro lado por um arco mais curto e mais fechado que o de antes. Galileu descreveu esse experimento nos Discorsi, de 1638, e a massa continua a parar na linha tracejada, seja qual for a profundidade do pino, desde que o fio não afrouxe. O caminho da subida mudou e a velocidade no fundo não, e é ela que decide a altura.

O pêndulo e a ideia de medir a energia de movimento pela altura que ela permite alcançar são do Feynman, e a conta com derivadas e o pino de Galileu são acréscimos nossos. O \(\tfrac12 m v^2\) também é uma aproximação, e o passo 7 mostra até onde ela vale.

No Feynman: §4-3 Kinetic energy ↗

Na bancada, uma mola de 200 N/m comprimida 10 cm guarda 1 J. Solta, ela lança para cima uma bolinha de 50 g, que sobe cerca de 2 m antes de parar. Ao arrastar o tempo, a coluna de barras troca de cor, da parcela elástica para a cinética e da cinética para a gravitacional, mas a altura dela não muda. É a conta da mãe do Dennis com três termos, cada um com a sua regra de conversão.

Em Frenagem, um bloco que desliza com 50 J de energia cinética para por atrito, e os 50 J reaparecem como energia térmica. Esse termo é um velho conhecido com outro nome. O atrito faz as moléculas do bloco e do piso se agitarem mais depressa, cada uma para um lado, e a energia térmica é a energia cinética desse movimento desordenado, que aparece para nós como as duas superfícies mais quentes. A energia continua na conta, só que espalhada por um número enorme de partículas, e é por isso que ninguém consegue juntá-la de volta para empurrar o bloco.

Em Queima, 50 kJ de energia química viram 45 kJ de calor e 5 kJ de luz, a energia radiante. Uma reação rearranja elétrons e núcleos, e o que ela libera vem da energia elétrica entre essas cargas e do movimento dos elétrons, que muda junto com o arranjo. A elástica tem a mesma origem, já que comprimir a mola aproxima átomos. Até a luz da chama da bancada nasce de cargas que se agitam nas moléculas quentes, e por isso a parcela radiante também acaba na conta das cargas elétricas.

Em Fissão, um núcleo de urânio 235 que absorve um nêutron se parte em dois fragmentos, que se afastam com cerca de 200 MeV, a maior parte como energia cinética, e é toda cinética na bancada, para simplificar. Os pedaços, somados, têm menos massa que o núcleo original mais o nêutron, e a diferença vezes \(c^2\) dá esses 200 MeV. A energia nuclear vem de um equilíbrio entre a atração nuclear, que prende prótons e nêutrons, e a repulsão elétrica entre os prótons, e quase tudo o que a fissão libera é essa repulsão empurrando os dois fragmentos para longe um do outro. Na contabilidade, ela aparece como a diferença de massa, e por \(E = m\,c^2\) a própria massa é uma forma de energia, que um corpo tem mesmo parado.

A energia cinética também precisa de revisão. O \(\tfrac12 m v^2\) do passo 6 é o primeiro termo da expansão de \((\gamma - 1)\,m\,c^2\), e as duas expressões são indistinguíveis enquanto \(v\) é pequena perto de \(c\). Em Muito rápido, as duas curvas aparecem lado a lado, e a v/c = 0,9 a relativística já passa de três vezes a clássica.

Voltamos, assim, aos blocos do passo 1. Gravitacional, cinética, elástica, térmica, química, radiante, elétrica, nuclear e massa são termos da mesma fórmula, cada um com a sua regra, e a lei garante apenas que a soma não muda. A lista segue o Feynman. Já a leitura da fissão como repulsão elétrica é nossa, porque o livro trata a energia nuclear como uma forma à parte, que não se sabia reduzir às outras, e os números das bancadas também são nossos.

No Feynman: §4-4 Other forms of energy ↗