Física · Ensino Médio · Cinemática

Cinemática

O ônibus que passa no ponto, o carro que freia no sinal, a bola chutada no gol e o barco que cruza o rio são movimentos que você provavelmente vê todos os dias, e a Cinemática descreve movimentos como esses sem perguntar o que os causou. Queremos saber onde o corpo está, quão rápido ele anda e como essa rapidez muda. Vamos mexer em cada um desses movimentos até que as fórmulas façam sentido.

1Referencial e deslocamento
2Velocidade média
3Movimento uniforme
4Encontro de carros
5Aceleração e MRUV
6Queda livre
7Lançamentos
8Composição de velocidades
✓Desafios

PASSO 1

Parado ou em movimento? Depende de quem olha

Para dizer onde algo está, precisamos antes escolher um referencial, o corpo a partir do qual medimos. Na estrada, chamamos de posição s a leitura dos marcos (km), como se houvesse uma régua estendida ao longo da trajetória.

Um passageiro sentado está em repouso em relação ao ônibus e, ao mesmo tempo, em movimento em relação à pessoa no ponto. A própria trajetória depende do referencial, e podemos ver isso com uma bola jogada para cima dentro do ônibus, que sobe e desce em linha reta para o passageiro enquanto, para quem está na calçada, faz um arco.

O deslocamento \(\Delta s\) só compara o fim com o começo, enquanto a distância percorrida \(d\) soma todo o caminho, com as idas e as voltas.

deslocamento Δs trechos que somam a distância d

Para conversar

Escolha “Ida e volta” e pause quando o ônibus virar no km 8. Quanto valem Δs e d nesse instante, e quanto passam a valer no final da viagem?
Quando trocamos para “Ver de dentro do ônibus”, quem passa a se mover, o ônibus ou o ponto?
Com o ônibus andando, aperte “Jogar bola para cima” nos dois referenciais e compare a trajetória que vemos para a bola em cada um deles.
Em “Volta ao início”, o ônibus andou 14 km; por que, então, Δs termina em zero?
Jogue a bola logo antes de o ônibus parar para virar. Onde ela cai, e o que pode explicar esse resultado?

Tempo

Posição s

Deslocamento Δs

Distância d

Velocidade (estrada)

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um passageiro está sentado num ônibus que anda a 60 km/h numa avenida reta. Ele está em repouso ou em movimento?

Ver resolução
A resposta depende do referencial que escolhemos.
Em relação ao ônibus (banco, motorista), a posição dele não muda, e ele está em repouso.
Em relação à rua ou a uma pessoa no ponto, a posição muda, e ele está em movimento a \(60\,\text{km/h}\).
Repouso e movimento só fazem sentido quando dizemos “em relação a quê”.
básico
Um carro passa pelo marco km 20 de uma rodovia e, mais tarde, pelo km 70, sem voltar. Qual foi o deslocamento e qual a distância percorrida?

Ver resolução
\(\Delta s = s - s_0 = 70 - 20 = 50\,\text{km}\)
Como o carro não inverteu o sentido, a distância é igual ao módulo do deslocamento.
\(\Delta s = 50\,\text{km}\) e \(d = 50\,\text{km}\)
básico
Um ônibus sai do km 30, vai até o km 80 e volta até o km 50. Calcule o deslocamento e a distância percorrida.

Ver resolução
No deslocamento, só importam o início e o fim.
\(\Delta s = 50 - 30 = 20\,\text{km}\)
Para a distância, somamos todos os trechos.
\(d = (80 - 30) + (80 - 50) = 50 + 30 = 80\,\text{km}\)
\(\Delta s = 20\,\text{km}\); \(d = 80\,\text{km}\)
básico
Dentro de um trem que anda em linha reta com velocidade constante, uma menina solta uma bola. Que trajetória ela vê? E uma pessoa parada na plataforma?

Ver resolução
Para a menina, ela e a bola têm a mesma velocidade horizontal, e por isso a bola cai em linha reta vertical até o chão do vagão.
Para a pessoa na plataforma, a bola cai e, ao mesmo tempo, anda para a frente junto com o trem, de modo que a trajetória é um arco de parábola.
A trajetória depende do referencial: reta para a menina, curva para quem está fora.
médio
Uma atleta dá 3 voltas completas numa pista de 400 m e para exatamente no ponto de largada. Qual a distância percorrida e qual o deslocamento?

Ver resolução
\(d = 3 \cdot 400 = 1200\,\text{m}\)
Ela termina onde começou, ou seja, posição final = posição inicial.
\(\Delta s = 0\)
\(d = 1200\,\text{m}\) e \(\Delta s = 0\)
médio
Um carro passa pelo km 120 às 10 h e pelo km 90 às 10 h 30 min. Qual foi o deslocamento? O que o sinal indica?

Ver resolução
\(\Delta s = 90 - 120 = -30\,\text{km}\)
O sinal negativo indica que o carro andou no sentido contrário ao da numeração dos marcos (movimento retrógrado).
A distância percorrida é \(30\,\text{km}\), já que distância nunca é negativa.
\(\Delta s = -30\,\text{km}\): movimento no sentido decrescente dos marcos.
médio
Numa estrada, a origem \((s = 0)\) é a praça da cidade A, e o sentido positivo aponta para a cidade B. Uma moto está 15 km antes da praça e vai até 25 km depois dela, sem voltar. Quais são \(s_0\), \(s\) e \(\Delta s\)?

Ver resolução
\(s_0 = -15\,\text{km}\) (antes da origem) e \(s = +25\,\text{km}\)
\(\Delta s = 25 - (-15) = 40\,\text{km}\)
\(s_0 = -15\,\text{km}\), \(s = 25\,\text{km}\), \(\Delta s = 40\,\text{km}\)
médio
É possível a distância percorrida ser menor que o módulo do deslocamento? E em que situação as duas são iguais?

Ver resolução
O deslocamento liga o ponto de partida ao de chegada; a distância soma todo o caminho, inclusive idas e voltas.
Por isso sempre \(d \geq |\Delta s|\).
São iguais quando o carro anda em linha reta sem inverter o sentido.
Não. \(d = |\Delta s|\) só quando não há volta.
desafio
Um entregador sai do km 10, vai até o km 46, volta até o km 28 e depois segue até o km 40, onde termina. Calcule o deslocamento total e a distância percorrida.

Ver resolução
\(\Delta s = 40 - 10 = 30\,\text{km}\)
Trechos: \(46 - 10 = 36\), \(46 - 28 = 18\), \(40 - 28 = 12\)
\(d = 36 + 18 + 12 = 66\,\text{km}\)
\(\Delta s = 30\,\text{km}\); \(d = 66\,\text{km}\)
desafio
Um passageiro caminha 20 m da traseira até a frente de um vagão em 10 s. Nesse tempo, o trem avança 150 m em relação aos trilhos. Qual o deslocamento do passageiro em relação ao vagão? E em relação aos trilhos? E se ele tivesse caminhado da frente para a traseira?

Ver resolução
Em relação ao vagão: \(\Delta s = 20\,\text{m}\).
Em relação aos trilhos, os deslocamentos se somam (mesmo sentido): \(150 + 20 = 170\,\text{m}\).
Da frente para a traseira: \(150 - 20 = 130\,\text{m}\) para a frente, em relação aos trilhos.
20 m (vagão); 170 m (trilhos); 130 m se andasse para trás.

PASSO 2

Velocidade média: quanto andou dividido por quanto demorou

A velocidade média compara o deslocamento com o tempo gasto, e esse tempo inclui tudo, das paradas aos semáforos e congestionamentos. O velocímetro mede outra grandeza, que chamamos de velocidade instantânea, a velocidade de cada momento.

Parece natural fazer a média das velocidades dos trechos, mas a velocidade média não é essa média, porque quem anda devagar passa mais tempo naquele trecho e, por isso, o trecho lento “pesa” mais na conta.

No gráfico \(s \times t\), podemos ler a velocidade média como a inclinação da reta que liga o ponto de partida ao ponto atual.

\(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\)\(1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}\)\(\text{km/h} \xrightarrow{\;\div\, 3{,}6\;} \text{m/s}\)No SI, a velocidade é dada em m/s. Vale guardar de cabeça alguns pares, como 36 km/h = 10 m/s · 72 km/h = 20 m/s · 108 km/h = 30 m/s.

Para conversar

Escolha “Metade a 60, metade a 40” e faça sua aposta antes de rodar. Nossa primeira intuição tende a ser 50 km/h; confira no fim se a média dá mesmo isso.
Aumente a parada para 60 min e observe como fica a curva do gráfico durante a parada. O que acontece, então, com a velocidade média?
Ao longo da viagem, em que momentos o velocímetro marca mais que \(v_m\), e em quais marca menos?
Converta de cabeça a velocidade do velocímetro para m/s e confira o resultado na leitura em m/s.
Em que situação a média dos trechos coincide com a velocidade média? Talvez valha testar uma suspeita em “Sempre a 80”.

Velocidade no trecho 1 (60 km)

Parada no km 60

Velocidade no trecho 2 (60 km)

Cronômetro

Já percorrido

Velocímetro

Velocímetro em m/s

vₘ até agora

Média dos trechos

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um carro está a 72 km/h. Quanto é isso em m/s?

Ver resolução
Como \(1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}\), basta dividir por 3,6.
\(v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\,\text{m/s}\)
\(v = 20\,\text{m/s}\)
básico
Ao longo de uma viagem, o velocímetro de um carro mostrou 0, 40, 100 e 60 km/h em momentos diferentes. A velocidade média da viagem é a média desses números? O que o velocímetro mede?

Ver resolução
O velocímetro mede a velocidade instantânea, isto é, quão rápido o carro está naquele momento.
A velocidade média é \(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\), que depende de quanto se andou e de quanto tempo passou, incluindo as paradas.
Se fizermos a média de alguns valores do velocímetro, ignoramos quanto tempo o carro passou em cada velocidade.
Não. O velocímetro dá a velocidade instantânea; a média vem de \(\Delta s / \Delta t\).
básico
Uma família percorre 180 km em 2 h 30 min. Qual a velocidade média da viagem?

Ver resolução
\(\Delta t = 2{,}5\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{180}{2{,}5} = 72\,\text{km/h}\)
\(v_m = 72\,\text{km/h}\)
básico
Usain Bolt correu 100 m em 9,58 s. Qual foi sua velocidade média em m/s e em km/h?

Ver resolução
\(v_m = \dfrac{100}{9{,}58} \approx 10{,}44\,\text{m/s}\)
\(10{,}44 \cdot 3{,}6 \approx 37{,}6\,\text{km/h}\)
\(v_m \approx 10{,}4\,\text{m/s} \approx 37{,}6\,\text{km/h}\)
médio
Numa viagem, um carro percorre 120 km em 1,5 h, para 30 min num posto e depois percorre mais 80 km em 1 h. Qual a velocidade média da viagem toda?

Ver resolução
\(\Delta s = 120 + 80 = 200\,\text{km}\)
\(\Delta t = 1{,}5 + 0{,}5 + 1 = 3\,\text{h}\) (a parada conta!)
\(v_m = \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7\,\text{km/h}\)
\(v_m \approx 66{,}7\,\text{km/h}\)
médio
Um carro faz 120 km, a primeira metade do caminho a 60 km/h e a segunda metade a 40 km/h. A velocidade média é 50 km/h? Faça a conta antes de responder.

Ver resolução
1ª metade: \(\Delta t_1 = \dfrac{60}{60} = 1\,\text{h}\)
2ª metade: \(\Delta t_2 = \dfrac{60}{40} = 1{,}5\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{120}{1 + 1{,}5} = 48\,\text{km/h}\)
Como o carro passa mais tempo no trecho lento, a média fica abaixo de 50.
Não: \(v_m = 48\,\text{km/h}\).
médio
Num trecho de 10 km fiscalizado por velocidade média, o limite é 80 km/h. Um carro leva 6 min para percorrer o trecho. Ele será multado?

Ver resolução
\(\Delta t = 6\,\text{min} = 0{,}1\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{10}{0{,}1} = 100\,\text{km/h}\)
Para respeitar o limite, deveria levar pelo menos \(\dfrac{10}{80} = 0{,}125\,\text{h} = 7{,}5\,\text{min}\).
Sim: \(v_m = 100\,\text{km/h} > 80\,\text{km/h}\).
médio
A luz do Sol percorre cerca de \(1{,}5 \cdot 10^{11}\,\text{m}\) até a Terra, a \(3 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}\). Quanto tempo ela leva?

Ver resolução
\(\Delta t = \dfrac{\Delta s}{v}\) \(= \dfrac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^{8}}\) \(= 500\,\text{s}\)
\(500\,\text{s} = 8\,\text{min}\;20\,\text{s}\)
Vemos o Sol como ele era há pouco mais de 8 minutos.
\(\Delta t = 500\,\text{s} \approx 8{,}3\,\text{min}\)
desafio
Um carro vai de A até B a 60 km/h e volta de B até A, pelo mesmo caminho, a 40 km/h. A distância AB é 120 km. Calcule a velocidade escalar média da viagem toda (distância/tempo) e a velocidade média vetorial (deslocamento/tempo).

Ver resolução
Ida: \(\dfrac{120}{60} = 2\,\text{h}\); volta: \(\dfrac{120}{40} = 3\,\text{h}\)
Escalar média: \(\dfrac{240}{5} = 48\,\text{km/h}\)
O carro voltou a A, então o deslocamento total é zero, e a velocidade média vetorial também.
48 km/h (escalar) e 0 (vetorial).
desafio
Um carro anda a primeira metade do tempo de viagem a 80 km/h e a segunda metade do tempo a 40 km/h. Qual a velocidade média? Compare com o caso em que ele anda metade da distância a cada velocidade.

Ver resolução
Com metade do tempo a cada velocidade, chamamos cada metade de \(T\).
\(v_m = \dfrac{80T + 40T}{2T} = 60\,\text{km/h}\) (aqui sim dá a média simples).
Com metade da distância a cada velocidade, chamamos cada metade de \(D\).
\(v_m = \dfrac{2D}{\dfrac{D}{80} + \dfrac{D}{40}}\) \(= \dfrac{2D}{\dfrac{3D}{80}}\) \(= \dfrac{160}{3} \approx 53{,}3\,\text{km/h}\)
60 km/h por tempo; ≈ 53,3 km/h por distância.

PASSO 3

Movimento uniforme: a mesma velocidade o tempo todo

No movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade é constante, e o carro anda distâncias iguais em tempos iguais. Chamamos de função horária a expressão que dá a posição em cada instante.

No gráfico \(s \times t\), o MRU aparece como uma reta cuja inclinação é a velocidade. Quando passamos ao gráfico \(v \times t\), vemos uma linha horizontal, e a área entre ela e o eixo do tempo é o deslocamento.

Quando \(v > 0\), as posições aumentam e dizemos que o movimento é progressivo; quando \(v < 0\), elas diminuem e o movimento é retrógrado.

\(s = s_0 + v\,t\)\(v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\) (inclinação de \(s \times t\))\(\Delta s = \text{área sob } v \times t\)A área abaixo do eixo do tempo conta como negativa, porque corresponde a um deslocamento no sentido em que as posições diminuem.

Para conversar

Ponha \(v = 0\) e descreva como ficam os dois gráficos nesse caso.
Escolha “Retrógrado”. A reta de \(s \times t\) sobe ou desce, e de que lado do eixo fica a área de \(v \times t\)?
Mude só \(s_0\) e veja o que acontece com a reta; a inclinação também muda?
Pause perto de \(t = 4\,\text{s}\) e confira se a área do \(v \times t\) é igual a \(s - s_0\).
Se dobramos \(v\), o que acontece com a inclinação e com a área, comparadas com as de antes?

Posição inicial s₀

Velocidade v

Tempo

Posição s

Deslocamento s − s₀

Área do v × t

Tipo

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
A função horária de um carro é \(s = 20 + 5t\) (SI). Quais são a posição inicial, a velocidade e a posição em \(t = 4\,\text{s}\)?

Ver resolução
Comparando com \(s = s_0 + v\,t\): \(s_0 = 20\,\text{m}\) e \(v = 5\,\text{m/s}\).
\(s(4) = 20 + 5 \cdot 4 = 40\,\text{m}\)
\(s_0 = 20\,\text{m}\); \(v = 5\,\text{m/s}\); \(s(4) = 40\,\text{m}\)
básico
No gráfico \(s \times t\) de um MRU, a reta passa por (0 s; 10 m) e (5 s; 40 m). Qual a velocidade e a função horária?

Ver resolução
A velocidade é a inclinação da reta, que calculamos com dois pontos:
\(v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{40 - 10}{5 - 0} = 6\,\text{m/s}\)
\(s = 10 + 6t\) (SI)
básico
Um carro segue \(s = 100 - 8t\) (SI). O movimento é progressivo ou retrógrado? Em que instante ele passa pela origem?

Ver resolução
Como \(v = -8\,\text{m/s}\) é negativa, as posições diminuem e o movimento é retrógrado.
Origem: \(0 = 100 - 8t\) \(\Rightarrow t = 12{,}5\,\text{s}\)
Retrógrado; passa pela origem em \(t = 12{,}5\,\text{s}\).
básico
No gráfico \(v \times t\) de um MRU, o que representa a área sob a reta? Calcule-a para \(v = 15\,\text{m/s}\) durante 8 s.

Ver resolução
A área é um retângulo, e base × altura \(= \Delta t \cdot v = \Delta s\), que é o deslocamento.
\(\Delta s = 15 \cdot 8 = 120\,\text{m}\)
A área é o deslocamento: 120 m.
médio
Um trem de 200 m de comprimento, a 20 m/s constantes, atravessa uma ponte de 400 m. Quanto tempo leva desde que a frente entra na ponte até a traseira sair?

Ver resolução
A frente precisa andar a ponte inteira e mais o comprimento do trem.
\(\Delta s = 400 + 200 = 600\,\text{m}\)
\(\Delta t = \dfrac{600}{20} = 30\,\text{s}\)
\(\Delta t = 30\,\text{s}\)
médio
Um carro em MRU passa pelo km 40 às 8 h e pelo km 130 às 9 h 30 min. Escreva a função horária (t em horas, contado a partir das 8 h) e diga onde ele estará às 10 h.

Ver resolução
\(v = \dfrac{130 - 40}{1{,}5} = 60\,\text{km/h}\)
\(s = 40 + 60t\)
Às 10 h, \(t = 2\,\text{h}\): \(s = 40 + 60 \cdot 2 = 160\,\text{km}\)
\(s = 40 + 60t\); às 10 h, no km 160.
médio
No gráfico \(s \times t\), dois carros em MRU aparecem como retas paralelas, uma acima da outra. O que isso diz sobre as velocidades e as posições? Eles se encontram?

Ver resolução
Retas paralelas têm a mesma inclinação, logo os carros têm a mesma velocidade.
Como uma está acima da outra, as posições são diferentes em cada instante.
A distância entre eles nunca muda, então as retas nunca se cruzam.
Mesma velocidade, posições diferentes; nunca se encontram.
médio
Um carro anda a 20 m/s durante 10 s e depois volta a 10 m/s durante 6 s (velocidade \(-10\,\text{m/s}\)). Usando as áreas do gráfico \(v \times t\), calcule o deslocamento total e a distância percorrida.

Ver resolução
Área acima do eixo do tempo: \(20 \cdot 10 = 200\,\text{m}\)
Área abaixo do eixo: \(-10 \cdot 6 = -60\,\text{m}\)
\(\Delta s = 200 - 60 = 140\,\text{m}\)
\(d = 200 + 60 = 260\,\text{m}\)
\(\Delta s = 140\,\text{m}\); \(d = 260\,\text{m}\)
desafio
Uma pessoa grita diante de um paredão e ouve o eco 1,5 s depois. A velocidade do som no ar é 340 m/s. A que distância está o paredão?

Ver resolução
O som vai até o paredão e volta, percorrendo o dobro da distância.
\(2D = 340 \cdot 1{,}5 = 510\,\text{m}\)
\(D = 255\,\text{m}\)
desafio
Um ônibus em MRU está na posição 26 m em \(t = 2\,\text{s}\) e na posição 6 m em \(t = 7\,\text{s}\). Encontre a função horária e o instante em que ele passa pela origem.

Ver resolução
\(v = \dfrac{6 - 26}{7 - 2} = -4\,\text{m/s}\)
\(s_0 = s - v\,t = 26 - (-4) \cdot 2 = 34\,\text{m}\)
\(s = 34 - 4t\)
Origem: \(0 = 34 - 4t\) \(\Rightarrow t = 8{,}5\,\text{s}\)
\(s = 34 - 4t\) (SI); passa pela origem em \(8{,}5\,\text{s}\).

PASSO 4

Quando e onde dois carros se encontram?

Dois carros se encontram quando estão na mesma posição no mesmo instante. Para achar esse instante, escrevemos a função horária de cada um, com a mesma origem e o mesmo sentido positivo, e igualamos as duas.

No gráfico \(s \times t\), vemos o encontro como o cruzamento das retas, cuja coordenada horizontal dá o instante e a vertical, a posição.

Há um atalho que pode nos poupar muitas contas. Em sentidos opostos as velocidades se somam, porque os carros se aproximam mais depressa, e no mesmo sentido elas se subtraem, já que o mais rápido precisa “tirar a diferença”, que é o que importa numa ultrapassagem.

\(s_A = s_B\)\(s_{0A} + v_A\,t = s_{0B} + v_B\,t\)\(t_E = \dfrac{s_{0B} - s_{0A}}{v_A - v_B}\)Se \(v_A = v_B\), as retas são paralelas e não há encontro, a não ser que os carros comecem juntos. Um \(t_E\) negativo quer dizer que o encontro já aconteceu antes.

carro A carro B encontro

Para conversar

Em “Sentidos opostos”, calcule \(t_E\) e a posição do encontro antes de rodar e, depois, confira o resultado no gráfico.
Em “Ultrapassagem”, diminua a diferença de velocidade entre A e B e veja se o encontro passa a acontecer antes ou depois.
Em “Lado a lado”, as velocidades são iguais; por que, nesse caso, as retas nunca se cruzam?
Em “Afastando-se”, a conta dá um tempo negativo. O que esse tempo negativo pode significar na estrada?

Posição inicial de A

Velocidade de A

Posição inicial de B

Velocidade de B

Tempo

Posição de A

Posição de B

Distância entre eles

Instante do encontro

Posição do encontro

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Dois carros seguem \(s_A = 10 + 5t\) e \(s_B = 70 - 10t\) (SI). Quando e onde se encontram?

Ver resolução
No encontro, \(s_A = s_B\)
\(10 + 5t = 70 - 10t\) \(\Rightarrow 15t = 60\) \(\Rightarrow t = 4\,\text{s}\)
\(s = 10 + 5 \cdot 4 = 30\,\text{m}\)
\(t = 4\,\text{s}\), em \(s = 30\,\text{m}\)
básico
Dois carros andam no mesmo sentido, com a mesma velocidade, um 50 m atrás do outro. O de trás alcança o da frente? Como fica o gráfico \(s \times t\)?

Ver resolução
Com a mesma velocidade, a distância entre os dois carros fica sempre 50 m.
No gráfico \(s \times t\), as retas são paralelas e nunca se cruzam.
Não se alcançam; só haveria encontro se o de trás fosse mais rápido.
básico
Dois carros estão a 300 m um do outro e andam um em direção ao outro, a 20 m/s e a 10 m/s. Depois de quanto tempo se encontram? A que distância do ponto de partida do mais rápido?

Ver resolução
Pondo a origem no carro mais rápido, \(s_A = 20t\) e \(s_B = 300 - 10t\)
\(20t = 300 - 10t\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\)
\(s = 20 \cdot 10 = 200\,\text{m}\)
Pelo atalho, como em sentidos opostos as velocidades se somam, \(t = \dfrac{300}{20 + 10} = 10\,\text{s}\).
\(t = 10\,\text{s}\), a 200 m da partida do mais rápido.
básico
Um carro A, na posição 0, a 25 m/s, persegue um carro B que está na posição 100 m, a 15 m/s, no mesmo sentido. Quando e onde A alcança B?

Ver resolução
\(25t = 100 + 15t\) \(\Rightarrow 10t = 100\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\)
\(s = 25 \cdot 10 = 250\,\text{m}\)
Pelo atalho, no mesmo sentido A tira a diferença a \(25 - 15 = 10\,\text{m/s}\).
\(t = 10\,\text{s}\), em \(s = 250\,\text{m}\)
médio
As cidades A e B estão a 240 km uma da outra. Ao mesmo tempo, um carro sai de A para B a 80 km/h e uma moto sai de B para A a 40 km/h. Quando e a que distância de A eles se cruzam?

Ver resolução
\(s_{carro} = 80t\) e \(s_{moto} = 240 - 40t\)
\(80t = 240 - 40t\) \(\Rightarrow 120t = 240\) \(\Rightarrow t = 2\,\text{h}\)
\(s = 80 \cdot 2 = 160\,\text{km}\)
Depois de 2 h, a 160 km de A.
médio
Um carro de 4 m a 26 m/s vai ultrapassar um caminhão de 20 m a 20 m/s. A ultrapassagem começa quando a frente do carro chega à traseira do caminhão e termina quando a traseira do carro passa a frente do caminhão. Quanto tempo dura? Quanto o carro anda em relação à estrada?

Ver resolução
Em relação ao caminhão, o carro precisa avançar \(20 + 4 = 24\,\text{m}\).
Velocidade relativa: \(26 - 20 = 6\,\text{m/s}\)
\(\Delta t = \dfrac{24}{6} = 4\,\text{s}\)
Em relação à estrada: \(26 \cdot 4 = 104\,\text{m}\)
4 s; o carro anda 104 m.
médio
Às 8 h, um caminhão sai do km 0 a 60 km/h. Às 9 h, um carro sai do mesmo ponto, no mesmo sentido, a 90 km/h. A que horas e em que km o carro alcança o caminhão?

Ver resolução
Com t em horas a partir das 8 h: \(s_{cam} = 60t\) e \(s_{car} = 90(t - 1)\)
\(60t = 90t - 90\) \(\Rightarrow 30t = 90\) \(\Rightarrow t = 3\,\text{h}\)
\(s = 60 \cdot 3 = 180\,\text{km}\)
Às 11 h, no km 180.
médio
Dois trens andam em trilhos paralelos, em sentidos opostos: um tem 150 m e anda a 20 m/s; o outro tem 100 m e anda a 30 m/s. Quanto tempo dura o cruzamento completo (das frentes se encontrarem até as traseiras se separarem)?

Ver resolução
Velocidade relativa (sentidos opostos): \(20 + 30 = 50\,\text{m/s}\)
Comprimento a vencer: \(150 + 100 = 250\,\text{m}\)
\(\Delta t = \dfrac{250}{50} = 5\,\text{s}\)
\(\Delta t = 5\,\text{s}\)
desafio
Dois trens estão a 100 km um do outro, na mesma linha, vindo um em direção ao outro a 50 km/h cada. Um pássaro voa a 75 km/h de um trem ao outro, ida e volta, sem parar, até os trens se encontrarem. Quantos quilômetros o pássaro voa?

Ver resolução
Não precisamos somar as idas e voltas, basta conhecer o tempo.
Encontro dos trens: \(t = \dfrac{100}{50 + 50} = 1\,\text{h}\)
Como o pássaro voa o tempo todo a 75 km/h, \(d = 75 \cdot 1 = 75\,\text{km}\)
\(d = 75\,\text{km}\)
desafio
Na mesma estrada reta, o ciclista A está em \(s = 0\) a 18 km/h e o ciclista B está em \(s = 1200\,\text{m}\) a 2 m/s, no mesmo sentido. Quando e onde A alcança B? Qual a distância entre eles 10 min depois do encontro?

Ver resolução
Passando para a mesma unidade, \(18\,\text{km/h} = \dfrac{18}{3{,}6} = 5\,\text{m/s}\)
\(5t = 1200 + 2t\) \(\Rightarrow 3t = 1200\) \(\Rightarrow t = 400\,\text{s}\) (6 min 40 s)
\(s = 5 \cdot 400 = 2000\,\text{m}\)
Depois do encontro, A se afasta a \(5 - 2 = 3\,\text{m/s}\): em \(600\,\text{s}\), \(3 \cdot 600 = 1800\,\text{m}\)
Em 400 s, no ponto 2000 m; 10 min depois estão a 1800 m um do outro.

PASSO 5

Aceleração: quando a velocidade muda

A aceleração diz quanto a velocidade muda a cada segundo; com \(a = 3\,\text{m/s}^2\), por exemplo, a velocidade ganha 3 m/s por segundo. Quando a aceleração é constante, chamamos o movimento de movimento uniformemente variado (MRUV).

No MRUV, a velocidade muda em linha reta (\(v \times t\) é uma reta) e a posição segue uma parábola (\(s \times t\)). Se marcamos a posição a cada segundo e olhamos para as marcas, elas ficam cada vez mais afastadas quando o carro acelera e mais próximas quando ele freia.

A equação de Torricelli liga velocidade e deslocamento sem usar o tempo, e é a nossa favorita para calcular distâncias de frenagem.

\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\)\(v = v_0 + a\,t\)\(s = s_0 + v_0\,t + \dfrac{a\,t^2}{2}\)\(v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta s\)\(a\) em m/s². O movimento é acelerado quando \(v\) e \(a\) têm o mesmo sinal e retardado quando têm sinais opostos. A inclinação de \(v \times t\) dá \(a\), e a área de \(v \times t\) dá \(\Delta s\).

posição velocidade aceleração marcas a cada 1 s

Para conversar

Em “Do repouso”, leia as distâncias entre as marcas de 1 s, 2 s, 3 s… e diga que sequência de números parece surgir.
Em “Freando”, em que instante o carro para? Podemos conferir o instante com \(v = v_0 + a\,t\) e a distância com Torricelli.
Desligue o “freio de verdade” e veja o que a fórmula faria depois de \(v = 0\), algo que talvez surpreenda.
Escolha “Ré acelerando”, em que \(a\) é negativa, e decida se o carro está freando.
Compare as leituras \(v^2\) e \(v_0^2 + 2a\Delta s\) em vários instantes. O que essa comparação sugere sobre a equação de Torricelli?

Velocidade inicial v₀

Aceleração a

Tempo

Posição s

Velocidade v

Aceleração a

v² agora

v₀² + 2aΔs

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um carro vai de 0 a 108 km/h em 10 s. Qual a aceleração média em \(\text{m/s}^2\)?

Ver resolução
\(108\,\text{km/h} = \dfrac{108}{3{,}6} = 30\,\text{m/s}\)
\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{30 - 0}{10} = 3\,\text{m/s}^2\)
A cada segundo, a velocidade aumenta 3 m/s.
\(a = 3\,\text{m/s}^2\)
básico
A velocidade de um carro é \(v = 5 + 2t\) (SI). Quais são \(v_0\), \(a\) e a velocidade em \(t = 6\,\text{s}\)?

Ver resolução
Comparando com \(v = v_0 + a\,t\): \(v_0 = 5\,\text{m/s}\) e \(a = 2\,\text{m/s}^2\).
\(v(6) = 5 + 2 \cdot 6 = 17\,\text{m/s}\)
\(v_0 = 5\,\text{m/s}\); \(a = 2\,\text{m/s}^2\); \(v(6) = 17\,\text{m/s}\)
básico
A posição de um carro é \(s = 4 + 3t + 2t^2\) (SI). Identifique \(s_0\), \(v_0\) e \(a\) e calcule \(s\) em \(t = 2\,\text{s}\).

Ver resolução
Comparando com \(s = s_0 + v_0\,t + \dfrac{a}{2}\,t^2\): \(s_0 = 4\,\text{m}\), \(v_0 = 3\,\text{m/s}\) e \(\dfrac{a}{2} = 2\) \(\Rightarrow a = 4\,\text{m/s}^2\).
\(s(2) = 4 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 = 4 + 6 + 8 = 18\,\text{m}\)
\(s_0 = 4\,\text{m}\); \(v_0 = 3\,\text{m/s}\); \(a = 4\,\text{m/s}^2\); \(s(2) = 18\,\text{m}\)
básico
Aceleração negativa significa sempre que o carro está freando? Explique com um exemplo.

Ver resolução
Não. Quem decide é a comparação entre os sinais de \(v\) e de \(a\).
Com sinais iguais, o módulo da velocidade aumenta (acelerado); com sinais opostos, diminui (retardado).
Por exemplo, com \(v = -10\,\text{m/s}\) e \(a = -2\,\text{m/s}^2\), o carro anda no sentido negativo cada vez mais rápido.
Aceleração negativa com velocidade negativa é movimento acelerado.
médio
Um carro a 20 m/s freia com aceleração constante de módulo \(5\,\text{m/s}^2\). Que distância ele percorre até parar e quanto tempo leva?

Ver resolução
Torricelli: \(0 = 20^2 + 2 \cdot (-5) \cdot \Delta s\) \(\Rightarrow \Delta s = \dfrac{400}{10} = 40\,\text{m}\)
Tempo: \(0 = 20 - 5t\) \(\Rightarrow t = 4\,\text{s}\)
40 m em 4 s.
médio
No gráfico \(v \times t\), a velocidade vai de 4 m/s em \(t = 0\) a 16 m/s em \(t = 6\,\text{s}\), em linha reta. Calcule a aceleração e o deslocamento.

Ver resolução
A aceleração é a inclinação: \(a = \dfrac{16 - 4}{6} = 2\,\text{m/s}^2\)
O deslocamento é a área do trapézio: \(\Delta s = \dfrac{(4 + 16) \cdot 6}{2} = 60\,\text{m}\)
\(a = 2\,\text{m/s}^2\); \(\Delta s = 60\,\text{m}\)
médio
Um corpo parte do repouso com \(a = 2\,\text{m/s}^2\). Quanto ele anda durante o 1º, o 2º e o 3º segundo? Que padrão aparece?

Ver resolução
Com \(s_0 = 0\) e \(v_0 = 0\): \(s = \dfrac{2}{2}\,t^2 = t^2\).
\(s(1) = 1\,\text{m}\), \(s(2) = 4\,\text{m}\), \(s(3) = 9\,\text{m}\)
1º segundo: 1 m; 2º: \(4 - 1 = 3\,\text{m}\); 3º: \(9 - 4 = 5\,\text{m}\)
1, 3, 5 m: os números ímpares (regra de Galileu). As marcas ficam cada vez mais afastadas.
médio
Um avião precisa atingir 80 m/s para decolar e acelera a \(4\,\text{m/s}^2\) a partir do repouso. Qual o comprimento mínimo da pista? Quanto tempo leva?

Ver resolução
\(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s\) \(\Rightarrow 80^2 = 0 + 2 \cdot 4 \cdot \Delta s\) \(\Rightarrow 6400 = 8\,\Delta s\) \(\Rightarrow \Delta s = 800\,\text{m}\)
\(t = \dfrac{80}{4} = 20\,\text{s}\)
800 m de pista; 20 s.
desafio
Um motorista a 72 km/h vê um obstáculo a 50 m. Ele demora 0,7 s para reagir (nesse tempo o carro segue em MRU) e depois freia com \(5\,\text{m/s}^2\). (a) Ele para antes do obstáculo? (b) Qual a maior velocidade que permitiria parar a tempo?

Ver resolução
(a) \(72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}\). Reação: \(20 \cdot 0{,}7 = 14\,\text{m}\). Frenagem: \(\dfrac{20^2}{2 \cdot 5} = 40\,\text{m}\). Total: \(54\,\text{m} > 50\,\text{m}\). Não para: bate.
(b) \(0{,}7\,v + \dfrac{v^2}{10} = 50\) \(\Rightarrow v^2 + 7v - 500 = 0\)
\(v = \dfrac{-7 + \sqrt{49 + 2000}}{2} \approx 19{,}1\,\text{m/s} \approx 68{,}9\,\text{km/h}\)
(a) Não (precisaria de 54 m). (b) Cerca de 19,1 m/s ≈ 69 km/h.
desafio
Um carro A parte do repouso com \(a = 2\,\text{m/s}^2\) no exato instante em que um carro B passa por ele a 10 m/s constantes. Quando e onde A alcança B? Qual a velocidade de A nesse momento?

Ver resolução
\(s_A = \dfrac{2}{2}\,t^2 = t^2\) e \(s_B = 10t\)
\(t^2 = 10t\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\) (\(t = 0\) é a partida)
\(s = 10 \cdot 10 = 100\,\text{m}\)
\(v_A = 2 \cdot 10 = 20\,\text{m/s}\), o dobro da velocidade de B.
Em 10 s, a 100 m; A está a 20 m/s.

PASSO 6

Queda livre: sem ar, tudo cai junto

Perto da superfície da Terra, e supondo que estamos sem a resistência do ar, todo corpo cai com a mesma aceleração, \(g \approx 10\,\text{m/s}^2\), qualquer que seja a massa. Na Lua, que não tem ar, um astronauta soltou um martelo e uma pena, e os dois chegaram juntos ao chão.

A queda livre é um MRUV com \(a = g\) para baixo. Quando lançamos um corpo para cima, ele perde 10 m/s a cada segundo enquanto sobe, para por um instante no topo (\(v = 0\), mas a aceleração continua \(g\)!) e desce, gastando na descida, ainda sem ar, o mesmo tempo que gastou na subida.

\(v = v_0 - g\,t\)\(y = y_0 + v_0\,t - \dfrac{g\,t^2}{2}\)\(t_q = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\)\(H = \dfrac{v_0^2}{2g}\)Usamos o eixo \(y\) para cima e \(g = 10\,\text{m/s}^2\). Um corpo solto do repouso de uma altura \(h\) chega ao chão com \(v = \sqrt{2gh}\).

velocidade aceleração g

Para conversar

Solte de 45 m e tente estimar quanto tempo a bola leva até o chão, para depois conferir com \(t = \sqrt{2h/g}\).
Ligue a câmera lenta e observe as distâncias entre as fotos, tiradas a cada 0,1 s. Elas parecem crescer na proporção 1, 3, 5…?
Lance para cima a 20 m/s, pause no topo e veja quanto valem, nesse instante, a velocidade e a aceleração.
Troque para “Com ar” e veja qual dos dois chega primeiro ao chão, a pena ou o martelo. E o que muda quando tiramos o ar?

Altura inicial

Velocidade para cima v₀

Tempo

Altura da bola

Velocidade

Aceleração

Tempo até o chão

Altura máxima

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma pedra é solta do alto de um muro de 20 m. Quanto tempo leva para chegar ao chão e com que velocidade chega? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\) e despreze o ar.

Ver resolução
\(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,\text{s}\)
\(v = g\,t = 10 \cdot 2 = 20\,\text{m/s}\)
2 s; 20 m/s.
básico
Em 1971, um astronauta na Lua soltou ao mesmo tempo um martelo e uma pena. O que aconteceu, e por que na Terra seria diferente?

Ver resolução
Como na Lua não há ar, os dois têm a mesma aceleração (a da gravidade lunar) e chegam juntos ao chão.
Na Terra, a resistência do ar freia muito mais a pena, que é leve e larga.
Sem ar, a queda não depende da massa; a diferença do dia a dia vem do ar.
básico
Uma bola é solta e cai livremente por 3 s. Qual a sua velocidade e quanto ela caiu? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
\(v = g\,t = 10 \cdot 3 = 30\,\text{m/s}\)
\(h = \dfrac{g\,t^2}{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\,\text{m}\)
30 m/s; 45 m.
básico
Uma bola é jogada para cima. No ponto mais alto, a velocidade é zero. A aceleração também é zero nesse ponto?

Ver resolução
Não. A aceleração é \(g = 10\,\text{m/s}^2\) para baixo durante todo o voo.
Se a aceleração fosse zero no topo, a bola ficaria parada lá no ar!
No topo, a velocidade está passando de positiva (subindo) para negativa (descendo).
No topo, \(v = 0\), mas \(a = g\) para baixo.
médio
Uma bola é lançada para cima a 20 m/s. Calcule o tempo de subida, a altura máxima e o tempo até voltar à mão. Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
Subida: \(0 = 20 - 10t\) \(\Rightarrow t_s = 2\,\text{s}\)
Altura máxima: \(H = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{400}{20} = 20\,\text{m}\)
A descida leva o mesmo tempo da subida: total \(= 4\,\text{s}\), e a bola volta a 20 m/s.
2 s; 20 m; 4 s.
médio
Uma foto estroboscópica registra uma bola solta a cada 0,1 s. Quanto ela cai no 1º, no 2º e no 3º intervalo de 0,1 s? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
\(h = \dfrac{g\,t^2}{2} = 5t^2\): \(h(0{,}1) = 0{,}05\,\text{m}\), \(h(0{,}2) = 0{,}20\,\text{m}\), \(h(0{,}3) = 0{,}45\,\text{m}\)
Intervalos: \(5\,\text{cm}\); \(20 - 5 = 15\,\text{cm}\); \(45 - 20 = 25\,\text{cm}\)
5, 15 e 25 cm: crescem na proporção 1, 3, 5.
médio
Uma moeda cai do alto de um prédio de 80 m. Desprezando o ar, quanto tempo ela leva e com que velocidade chega ao chão (em km/h)? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4\,\text{s}\)
\(v = 10 \cdot 4 = 40\,\text{m/s} = 40 \cdot 3{,}6 = 144\,\text{km/h}\)
Na realidade, o ar reduz bastante esse valor.
4 s; 144 km/h.
médio
Uma bola lançada verticalmente para cima atinge 45 m de altura máxima. Com que velocidade foi lançada e quanto tempo fica no ar? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
No topo \(v = 0\): \(0 = v_0^2 - 2gH\) \(\Rightarrow v_0^2 = 2 \cdot 10 \cdot 45 = 900\) \(\Rightarrow v_0 = 30\,\text{m/s}\)
Subida: \(\dfrac{30}{10} = 3\,\text{s}\); no ar: \(2 \cdot 3 = 6\,\text{s}\)
30 m/s; 6 s no ar.
desafio
Do alto de um prédio de 20 m, uma bola é lançada para cima a 15 m/s. Quanto tempo leva para chegar ao chão e com que velocidade chega? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
Com o eixo para cima e a origem no alto do prédio, \(y = 15t - 5t^2\). O chão está em \(y = -20\,\text{m}\).
\(-20 = 15t - 5t^2\) \(\Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0\) \(\Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0\) \(\Rightarrow t = 4\,\text{s}\)
\(v = 15 - 10 \cdot 4 = -25\,\text{m/s}\) (25 m/s para baixo)
Confere por Torricelli: \(v^2 = 15^2 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 625\) \(\Rightarrow |v| = 25\,\text{m/s}\)
4 s; 25 m/s para baixo.
desafio
Uma bola A é solta de 45 m de altura. No mesmo instante, na mesma vertical, uma bola B é lançada do chão para cima a 30 m/s. Quando e a que altura elas se encontram? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
\(y_A = 45 - 5t^2\) e \(y_B = 30t - 5t^2\)
Igualando: \(45 = 30t\) \(\Rightarrow t = 1{,}5\,\text{s}\). O termo \(5t^2\) se cancela, e podemos ler isso como as duas “caindo juntas”, com a distância entre elas diminuindo a 30 m/s.
\(y = 45 - 5 \cdot 1{,}5^2 = 45 - 11{,}25 = 33{,}75\,\text{m}\)
Em 1,5 s, a 33,75 m do chão.

PASSO 7

Lançamentos: dois movimentos ao mesmo tempo

Se desprezamos o ar, um projétil faz dois movimentos independentes. Na horizontal não há aceleração, e temos um MRU com \(v_x\) constante; na vertical atua a aceleração \(g\), e o movimento é um MRUV igual ao que estudamos no passo 6. Juntos, os dois desenham uma parábola.

As sombras podem ajudar a ver essa independência. A sombra no chão anda passos iguais em tempos iguais, enquanto a sombra na parede sobe e desce como uma bola jogada para cima.

No lançamento horizontal (\(\theta = 0^\circ\)), o tempo de queda é o mesmo de quando soltamos a bola parada, e depende só da altura. Se a bola sai e chega na mesma altura, 45° dá o maior alcance, e ângulos complementares, como 30° e 60°, dão o mesmo alcance.

\(v_x = v_0\cos\theta\)\(v_y = v_0\,\mathrm{sen}\,\theta - g\,t\)\(x = v_x\,t\)\(H = \dfrac{(v_0\,\mathrm{sen}\,\theta)^2}{2g}\)\(A = \dfrac{v_0^2\,\mathrm{sen}(2\theta)}{g}\)As fórmulas de \(H\) e \(A\) valem para lançamento a partir do chão (saída e chegada na mesma altura), sem ar, com \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

\(v_x\) e sombra no chão \(v_y\) e sombra na parede \(\vec v\)

Para conversar

Fixe \(v_0\) e procure o ângulo que parece dar o maior alcance. Ele é mesmo 45°?
Ligue “ângulo complementar” e veja se os dois tiros caem no mesmo lugar. Qual deles sobe mais, e qual fica mais tempo no ar?
Durante o voo, o que acontece com \(v_x\) e com \(v_y\)? Pause no topo e veja quanto vale \(v_y\) ali.
Em “Horizontal do penhasco”, dobre \(v_0\) e observe se o tempo de queda muda. O que acontece com o alcance?
Por que as marcas da sombra no chão ficam igualmente espaçadas e as da parede não?

Velocidade inicial v₀

Ângulo θ

Altura de saída

Tempo

Velocidade horizontal vx

Velocidade vertical vy

Alcance

Altura máxima

Tempo de voo

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma bolinha rola sobre uma mesa de 0,8 m de altura e sai pela borda a 3 m/s. Quanto tempo leva até o chão e a que distância da mesa cai? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
Vertical (queda livre): \(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}8}{10}} = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4\,\text{s}\)
Horizontal (MRU): \(x = 3 \cdot 0{,}4 = 1{,}2\,\text{m}\)
0,4 s; cai a 1,2 m da mesa.
básico
Do mesmo ponto e no mesmo instante, uma bala é disparada na horizontal e outra é apenas solta. Qual chega primeiro ao chão (sem ar, chão plano)?

Ver resolução
O movimento vertical das duas é igual, já que ambas começam com \(v_y = 0\) e têm a mesma aceleração \(g\).
A velocidade horizontal da bala não muda o tempo de queda (independência dos movimentos).
Chegam juntas.
básico
Uma bola é chutada a 20 m/s, com 30° acima da horizontal. Calcule \(v_x\) e \(v_y\) iniciais. Use \(\mathrm{sen}\,30^\circ = 0{,}5\) e \(\cos 30^\circ \approx 0{,}87\).

Ver resolução
\(v_x = v_0 \cos\theta\) \(= 20 \cdot 0{,}87 \approx 17{,}4\,\text{m/s}\)
\(v_y = v_0\,\mathrm{sen}\,\theta = 20 \cdot 0{,}5 = 10\,\text{m/s}\)
\(v_x \approx 17{,}4\,\text{m/s}\); \(v_y = 10\,\text{m/s}\)
básico
No ponto mais alto de um lançamento oblíquo, a velocidade da bola é zero?

Ver resolução
Não. No topo, só a componente vertical se anula, e temos \(v_y = 0\).
A componente horizontal continua \(v_x = v_0\cos\theta\) (MRU), e a aceleração continua \(g\) para baixo.
No topo, a velocidade é \(v_x \neq 0\), na horizontal.
médio
Uma bola é lançada do chão a 20 m/s com 45°. Calcule o alcance e a altura máxima. Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\) e \(\mathrm{sen}^2 45^\circ = 0{,}5\).

Ver resolução
\(A = \dfrac{v_0^2\,\mathrm{sen}(2\theta)}{g}\) \(= \dfrac{400 \cdot \mathrm{sen}\,90^\circ}{10}\) \(= \dfrac{400 \cdot 1}{10}\) \(= 40\,\text{m}\)
\(H = \dfrac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\theta}{2g} = \dfrac{400 \cdot 0{,}5}{20} = 10\,\text{m}\)
\(A = 40\,\text{m}\); \(H = 10\,\text{m}\)
médio
Um canhão dispara a 30 m/s, primeiro com 30° e depois com 60°. Compare os alcances e as alturas máximas. Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\), \(\mathrm{sen}\,60^\circ = \mathrm{sen}\,120^\circ \approx 0{,}87\), \(\mathrm{sen}^2 30^\circ = 0{,}25\) e \(\mathrm{sen}^2 60^\circ = 0{,}75\).

Ver resolução
Alcance: \(\mathrm{sen}(2 \cdot 30^\circ) = \mathrm{sen}(2 \cdot 60^\circ) \approx 0{,}87\), então \(A = \dfrac{900 \cdot 0{,}87}{10} \approx 78\,\text{m}\) nos dois casos.
\(H_{30} = \dfrac{900 \cdot 0{,}25}{20} = 11{,}25\,\text{m}\)
\(H_{60} = \dfrac{900 \cdot 0{,}75}{20} = 33{,}75\,\text{m}\)
Ângulos complementares: mesmo alcance (≈ 78 m), mas o tiro de 60° sobe 3 vezes mais.
médio
Um avião de socorro voa na horizontal a 50 m/s, a 500 m de altura, e solta um pacote. Quanto tempo o pacote leva para cair e quantos metros antes do alvo ele deve ser solto? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\) e despreze o ar.

Ver resolução
\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 500}{10}} = \sqrt{100} = 10\,\text{s}\)
\(x = 50 \cdot 10 = 500\,\text{m}\) antes do alvo
Durante a queda, o pacote fica sempre embaixo do avião, porque tem o mesmo \(v_x\).
10 s; 500 m antes do alvo.
médio
Uma bola sai do chão com \(v_x = 12\,\text{m/s}\) e \(v_y = 16\,\text{m/s}\). Calcule \(v_0\), o tempo de voo, o alcance e a altura máxima. Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
\(v_0 = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20\,\text{m/s}\)
Tempo de voo: \(t = \dfrac{2\,v_y}{g} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2\,\text{s}\)
\(A = 12 \cdot 3{,}2 = 38{,}4\,\text{m}\)
\(H = \dfrac{16^2}{2 \cdot 10} = 12{,}8\,\text{m}\)
20 m/s; 3,2 s; 38,4 m; 12,8 m.
desafio
Uma bola sai rolando de uma mesa de 1,25 m de altura e toca o chão a 2 m da base da mesa. Com que velocidade saiu da mesa? Com que velocidade (módulo) chega ao chão? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução
\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}25}{10}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\,\text{s}\)
\(v_x = \dfrac{2}{0{,}5} = 4\,\text{m/s}\)
Ao chegar: \(v_y = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{m/s}\)
\(v = \sqrt{4^2 + 5^2}\) \(= \sqrt{41} \approx 6{,}4\,\text{m/s}\)
Saiu a 4 m/s; chega a ≈ 6,4 m/s.
desafio
Um atleta de salto em distância quer alcançar 8,1 m. Supondo que podemos tratá-lo como uma partícula lançada a 45° que cai na mesma altura, qual a menor velocidade de saída? Qual a altura máxima do salto? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\) e \(\mathrm{sen}^2 45^\circ = 0{,}5\).

Ver resolução
A 45°, \(\mathrm{sen}(2\theta) = 1\): \(A = \dfrac{v_0^2}{g}\)
\(v_0^2 = 8{,}1 \cdot 10 = 81\) \(\Rightarrow v_0 = 9\,\text{m/s}\)
\(H = \dfrac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2 45^\circ}{2g}\) \(= \dfrac{81 \cdot 0{,}5}{20} \approx 2{,}0\,\text{m}\)
Como 45° dá o maior alcance, qualquer outro ângulo exigiria mais velocidade.
\(v_0 = 9\,\text{m/s}\); \(H \approx 2\,\text{m}\)

PASSO 8

Velocidades se somam como vetores

Como tem módulo, direção e sentido, dizemos que a velocidade é um vetor. Quando um movimento acontece “dentro” de outro, como o do barco na água que corre, o do avião no vento ou o da pessoa na escada rolante, a velocidade em relação ao chão é a soma vetorial das duas.

Na mesma direção, basta somar ou subtrair. Um avião a 800 km/h com vento de 100 km/h a favor faz 900 km/h, e contra o vento faz 700 km/h; numa escada a 0,5 m/s, a pessoa que anda a 1 m/s sobe a 1,5 m/s. Em direções perpendiculares, usamos Pitágoras.

No rio, só a parte da velocidade que atravessa decide o tempo de travessia. A correnteza apenas empurra o barco rio abaixo, e chamamos esse desvio de deriva.

\(\vec v_R = \vec v_b + \vec v_c\)\(v_R = \sqrt{v_b^2 + v_c^2}\) (perpendiculares)\(t = \dfrac{L}{v_b\cos\alpha}\)\(\text{deriva} = (v_c + v_b\,\mathrm{sen}\,\alpha)\,t\)\(\alpha\) é o ângulo entre a proa e a perpendicular às margens, negativo quando o barco aponta rio acima. O rio tem \(L = 60\,\text{m}\) de largura.

barco (em relação à água) correnteza resultante

Para conversar

Em “Apontar reto”, confira \(v_R\) com Pitágoras e calcule quanto vale a deriva nesse caso.
Se aumentarmos a correnteza sem mexer no barco, o tempo de travessia muda?
Use “Chegar em frente” e repare para onde o barco aponta. Ele chega mais rápido ou mais devagar do que quando apontava reto?
Com a correnteza mais forte que o barco, pode existir algum ângulo que leve o barco exatamente em frente?

Velocidade do barco

Direção da proa α

Correnteza

Velocidade resultante

Tempo de travessia

Deriva

Distância percorrida

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um barco atravessa um rio apontando perpendicularmente à margem a 4 m/s, e a correnteza é de 3 m/s. Qual a velocidade do barco em relação à margem?

Ver resolução
Como as duas velocidades são perpendiculares, usamos Pitágoras.
\(v_R = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\,\text{m/s}\)
\(v_R = 5\,\text{m/s}\)
básico
Um avião voa a 800 km/h em relação ao ar. Qual a sua velocidade em relação ao solo com vento de 100 km/h a favor? E contra?

Ver resolução
Na mesma direção, basta somar ou subtrair.
A favor: \(800 + 100 = 900\,\text{km/h}\)
Contra: \(800 - 100 = 700\,\text{km/h}\)
900 km/h a favor; 700 km/h contra.
básico
Uma escada rolante de 15 m anda a 0,5 m/s. Uma pessoa sobe andando a 1 m/s em relação aos degraus. Quanto tempo leva? E se ficar parada na escada?

Ver resolução
Andando: \(v = 1 + 0{,}5 = 1{,}5\,\text{m/s}\) e \(t = \dfrac{15}{1{,}5} = 10\,\text{s}\)
Parada: \(t = \dfrac{15}{0{,}5} = 30\,\text{s}\)
10 s andando; 30 s parada.
básico
Um barco atravessa um rio sempre apontando perpendicularmente às margens. Se a correnteza ficar mais forte, o tempo de travessia muda? O que muda?

Ver resolução
O tempo depende só da componente da velocidade que atravessa o rio, que é a do barco: \(t = \dfrac{L}{v_b}\).
A correnteza é paralela às margens e, por isso, não ajuda nem atrapalha a travessia.
O que aumenta é a deriva: o barco chega mais longe, rio abaixo.
O tempo não muda; a deriva aumenta.
médio
Um rio tem 60 m de largura e correnteza de 2 m/s. Um barco aponta perpendicularmente às margens a 3 m/s. Calcule o tempo de travessia, a deriva e a distância total percorrida em relação às margens.

Ver resolução
\(t = \dfrac{60}{3} = 20\,\text{s}\)
Deriva: \(2 \cdot 20 = 40\,\text{m}\) rio abaixo
\(d = \sqrt{60^2 + 40^2}\) \(= \sqrt{5200} \approx 72{,}1\,\text{m}\)
20 s; 40 m de deriva; ≈ 72,1 m.
médio
Um barco a 5 m/s (em relação à água) quer atravessar um rio de 80 m e chegar exatamente em frente, com correnteza de 3 m/s. Para onde deve apontar? Qual a sua velocidade em relação à margem e quanto tempo leva?

Ver resolução
Ele deve apontar um pouco rio acima, de modo que essa componente cancele a correnteza:
\(5\,\mathrm{sen}\,\alpha = 3\) \(\Rightarrow \mathrm{sen}\,\alpha = 0{,}6\) \(\Rightarrow \alpha \approx 37^\circ\) com a perpendicular
Sobra a componente que atravessa: \(v_R = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,\text{m/s}\)
\(t = \dfrac{80}{4} = 20\,\text{s}\)
Aponta ≈ 37° rio acima; 4 m/s; 20 s.
médio
Um avião voa para o norte a 400 km/h em relação ao ar, e o vento sopra para o leste a 300 km/h. Qual a velocidade do avião em relação ao solo? Quanto ele percorre em 2 h?

Ver resolução
\(v_R = \sqrt{400^2 + 300^2}\) \(= \sqrt{250\,000}\) \(= 500\,\text{km/h}\)
Desvio: \(\tan\theta = \dfrac{300}{400} = 0{,}75\) \(\Rightarrow \theta \approx 37^\circ\) a leste do norte
\(d = 500 \cdot 2 = 1000\,\text{km}\)
500 km/h; 1000 km em 2 h.
médio
A chuva cai na vertical a 8 m/s. Um carro anda a 6 m/s. Para o motorista, com que velocidade e com que inclinação a chuva cai?

Ver resolução
Em relação ao carro, a chuva ganha uma componente horizontal de 6 m/s, vinda da frente.
\(v = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\,\text{m/s}\)
\(\tan\theta = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\) \(\Rightarrow \theta \approx 37^\circ\) com a vertical
Por isso as gotas riscam o vidro lateral na diagonal.
10 m/s, inclinada ≈ 37° com a vertical.
desafio
Parada numa escada rolante, uma pessoa sobe em 30 s. Andando com a escada desligada, sobe em 20 s. Quanto tempo leva andando com a escada ligada?

Ver resolução
Chamando o comprimento de \(L\), \(v_{esc} = \dfrac{L}{30}\) e \(v_{pes} = \dfrac{L}{20}\)
\(v = \dfrac{L}{30} + \dfrac{L}{20} = \dfrac{2L + 3L}{60} = \dfrac{L}{12}\)
\(t = 12\,\text{s}\)
desafio
Um rio de 100 m tem correnteza de 2 m/s; um barco anda a 4 m/s em relação à água. (a) Apontando perpendicularmente às margens, quanto tempo leva e qual a deriva? (b) Para chegar exatamente em frente, quanto tempo leva? Qual estratégia é mais rápida?

Ver resolução
(a) \(t = \dfrac{100}{4} = 25\,\text{s}\); deriva \(= 2 \cdot 25 = 50\,\text{m}\)
(b) \(v_R = \sqrt{4^2 - 2^2}\) \(= \sqrt{12} \approx 3{,}46\,\text{m/s}\); \(t = \dfrac{100}{3{,}46} \approx 28{,}9\,\text{s}\)
Apontar perpendicularmente é mais rápido (25 s); chegar em frente custa mais tempo (≈ 28,9 s).

FECHAMENTO

Desafios

Referencial e velocidade média

Um ônibus vai do km 10 ao km 70 em 45 min e, em seguida, volta ao km 40 em 30 min. Calcule o deslocamento, a distância percorrida, a velocidade escalar média e a velocidade média vetorial.

Ver resolução

\(\Delta s = 40 - 10 = 30\,\text{km}\)
\(d = 60 + 30 = 90\,\text{km}\)
\(\Delta t = 45 + 30 = 75\,\text{min} = 1{,}25\,\text{h}\)
Escalar média: \(\dfrac{90}{1{,}25} = 72\,\text{km/h}\)
Vetorial média: \(\dfrac{30}{1{,}25} = 24\,\text{km/h}\)

MRU + MRUV

Um carro está a 108 km/h quando o motorista olha o celular por 2 s e só então freia, com \(6\,\text{m/s}^2\). Quantos metros o carro anda desde o início da distração até parar?

Ver resolução

\(108\,\text{km/h} = 30\,\text{m/s}\)
Distração (MRU): \(30 \cdot 2 = 60\,\text{m}\)
Frenagem (Torricelli): \(\Delta s = \dfrac{30^2}{2 \cdot 6} = 75\,\text{m}\)
Total: \(60 + 75 = 135\,\text{m}\)

Encontro com aceleração

Uma viatura parada parte com \(a = 4\,\text{m/s}^2\) no instante em que um carro passa por ela a 20 m/s constantes. Quando e onde a viatura alcança o carro, e com que velocidade?

Ver resolução

\(s_V = \dfrac{4}{2}\,t^2 = 2t^2\) e \(s_C = 20t\)
\(2t^2 = 20t\) \(\Rightarrow t = 10\,\text{s}\)
\(s = 20 \cdot 10 = 200\,\text{m}\)
\(v_V = 4 \cdot 10 = 40\,\text{m/s} = 144\,\text{km/h}\)

Queda livre

Uma gota de chuva cai de uma nuvem a 2000 m de altura. Se não houvesse ar, com que velocidade ela chegaria ao chão, e por que isso não acontece? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução

\(v = \sqrt{2gh}\) \(= \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2000}\) \(= \sqrt{40\,000}\) \(= 200\,\text{m/s}\)
\(200 \cdot 3{,}6 = 720\,\text{km/h}\): seria como um tiro!
O ar freia a gota, que logo atinge uma velocidade limite de poucos metros por segundo.

Lançamento horizontal

Uma bola sai rolando do alto de um penhasco de 45 m a 10 m/s, na horizontal. Quanto tempo leva para cair, a que distância da base toca o chão e com que velocidade? Use \(g = 10\,\text{m/s}^2\).

Ver resolução

\(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{10}} = 3\,\text{s}\)
\(x = 10 \cdot 3 = 30\,\text{m}\)
\(v_y = 10 \cdot 3 = 30\,\text{m/s}\)
\(v = \sqrt{10^2 + 30^2}\) \(= \sqrt{1000} \approx 31{,}6\,\text{m/s}\)

Vetores

Um barco atravessa um rio de 120 m apontando perpendicularmente às margens a 4 m/s, numa correnteza de 3 m/s. Calcule o tempo, a deriva, a velocidade em relação à margem e a distância percorrida.

Ver resolução

\(t = \dfrac{120}{4} = 30\,\text{s}\)
Deriva: \(3 \cdot 30 = 90\,\text{m}\)
\(v_R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{m/s}\)
\(d = 5 \cdot 30 = 150\,\text{m}\) (confere: \(\sqrt{120^2 + 90^2} = 150\))

Gráfico v × t

Um carro vai do repouso a 20 m/s em 5 s, mantém 20 m/s por 10 s e freia até parar em 4 s. Calcule as acelerações de cada trecho, o deslocamento total e a velocidade média.

Ver resolução

Acelerações: \(\dfrac{20}{5} = 4\,\text{m/s}^2\); \(0\); \(-\dfrac{20}{4} = -5\,\text{m/s}^2\)
Áreas: \(\dfrac{5 \cdot 20}{2} = 50\,\text{m}\); \(10 \cdot 20 = 200\,\text{m}\); \(\dfrac{4 \cdot 20}{2} = 40\,\text{m}\)
\(\Delta s = 290\,\text{m}\) em \(19\,\text{s}\)
\(v_m = \dfrac{290}{19} \approx 15{,}3\,\text{m/s}\)

Pensar, sem conta

Dentro de um ônibus em movimento retilíneo uniforme, você joga uma moeda para cima. Ela cai na sua mão, atrás ou na frente, e como uma pessoa na calçada vê a trajetória? Talvez ajude imaginar a cena antes de fazer qualquer conta.

Ver resolução

Cai na sua mão, porque a moeda já tem a mesma velocidade horizontal que você e o ônibus, e mantém essa velocidade no ar (independência dos movimentos).
Para você, ela sobe e desce em linha reta.
Para quem está na calçada, ela descreve um arco de parábola, andando junto com o ônibus.
Se o ônibus frear durante o voo, aí sim a moeda cai à sua frente.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos estas cinco questões no formato do ENEM, com um texto-base tirado do dia a dia, um comando e cinco alternativas, das quais só uma está certa. Os distratores repetem erros comuns em sala, e por isso talvez valha ler a resolução mesmo quando você acertar. Mais abaixo estão questões reais da prova para treinar.

Velocidade média · Passo 2
Aplicativos de corrida registram pelo GPS do celular a distância e o tempo de cada treino e, no fim, mostram uma velocidade média. Num treino de 10 km, Camila correu os primeiros 5 km em 25 min, parou 5 min num bebedouro e fez os últimos 5 km em 30 min, sem pausar o cronômetro do aplicativo.

Se o aplicativo calcula a velocidade média do treino como fazemos na física, que valor, em km/h, ele deve mostrar?
1. 2,8
2. 10,0
3. 10,9
4. 11,0
5. 12,0
Ver resolução

Resposta: B.
A velocidade média sempre usa o tempo total, e a parada no bebedouro entra na conta.
\(\Delta t = 25 + 5 + 30 = 60\,\text{min} = 1\,\text{h}\)
\(v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\) \(= \dfrac{10\,\text{km}}{1\,\text{h}}\) \(= 10{,}0\,\text{km/h}\)
Quem marca C deixou a parada de fora \(\left(\dfrac{10}{55/60} \approx 10{,}9\right)\), D faz a média simples de 12 e 10 km/h, E fica só com o primeiro trecho, e A traz o valor em m/s \((10/3{,}6 \approx 2{,}8)\) como se fosse km/h. Talvez surpreenda quem fez a média dos trechos.
Encontro · Passo 4
Muitas avenidas dividem o espaço entre um corredor de ônibus e uma ciclovia, e o GPS permite acompanhar os dois veículos ao mesmo tempo. Numa avenida reta, um semáforo serve de origem, e o GPS registra a cada 10 s a posição de um ônibus e a da ciclista Larissa, que seguem no mesmo sentido.

Posições registradas pelo GPS
t (s) 0 10 20 30

ônibus (m) 0 80 160 240

Larissa (m) 300 350 400 450

Supondo que os dois mantenham as velocidades que a tabela sugere, em que instante e em que posição o ônibus alcança Larissa?
1. Em cerca de 23 s, perto da posição 185 m.
2. Em 37,5 s, na posição 300 m.
3. Em 60 s, na posição 480 m.
4. Em 100 s, na posição 500 m.
5. Em 100 s, na posição 800 m.
Ver resolução

Resposta: E.
As posições mudam o mesmo tanto a cada 10 s. Então os dois estão em MRU e podemos ler as velocidades na tabela.
\(v_{\text{ônibus}} = \dfrac{80}{10} = 8\,\text{m/s}\) e \(v_L = \dfrac{50}{10} = 5\,\text{m/s}\)
\(s_{\text{ônibus}} = 8t\) e \(s_L = 300 + 5t\)
\(8t = 300 + 5t\) \(\Rightarrow 3t = 300\) \(\Rightarrow t = 100\,\text{s}\)
\(s = 8 \cdot 100 = 800\,\text{m}\)
A soma as velocidades, como se os dois viessem em sentidos opostos; B esquece que Larissa também anda; C divide os 300 m pela velocidade dela; D acerta o tempo e calcula a posição sem o \(s_0 = 300\,\text{m}\).
Aceleração e gráfico v × t · Passo 5
Entre duas estações, um trem de metrô parte do repouso, acelera, segue um trecho com velocidade constante e freia até parar na plataforma seguinte. O gráfico mostra, de forma simplificada, a velocidade que o sistema de controle registrou ao longo desse percurso.

Com base no gráfico, qual é a aceleração do trem na partida e qual a distância entre as duas estações?
1. 1 m/s² e 1100 m.
2. 1 m/s² e 1400 m.
3. 20 m/s² e 1100 m.
4. 2 m/s² e 1100 m.
5. 1 m/s² e 800 m.
Ver resolução

Resposta: A.
A aceleração na partida é a inclinação do primeiro trecho do gráfico.
\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{20 - 0}{20} = 1\,\text{m/s}^2\)
A distância é a área sob o gráfico, que podemos dividir em dois triângulos e um retângulo.
\(\Delta s = \dfrac{20 \cdot 20}{2} + 40 \cdot 20 + \dfrac{10 \cdot 20}{2}\)
\(\Delta s = 200 + 800 + 100 = 1100\,\text{m}\)
B trata a área como um único retângulo \((20 \cdot 70)\), C confunde velocidade com aceleração, D usa a inclinação da frenagem \((20/10 = 2)\) e E fica só com o trecho de velocidade constante.
Tempo de reação e frenagem · Passos 3 e 5
A distância que um carro percorre até parar tem duas partes. Enquanto o motorista reage, o pé ainda não chegou ao freio e o carro segue com a mesma velocidade; depois, os freios produzem uma desaceleração que, em asfalto seco, podemos supor constante. Diego dirige a 72 km/h. Atento, ele leva 0,8 s para reagir. Vamos supor que, falando ao celular, esse tempo chegue a 2,0 s, e que nos dois casos os freios desacelerem o carro a 8 m/s².

Distraído pelo celular, quantos metros Diego percorre desde o instante em que um pedestre aparece à frente até o carro parar?
1. 25
2. 40
3. 41
4. 65
5. 90
Ver resolução

Resposta: D.
Em unidades do SI, \(72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}\).
Durante a reação o carro está em MRU.
\(d_r = 20 \cdot 2{,}0 = 40\,\text{m}\)
A frenagem sai de Torricelli, com velocidade final zero.
\(0 = 20^2 - 2 \cdot 8 \cdot d_f\) \(\Rightarrow d_f = \dfrac{400}{16} = 25\,\text{m}\)
\(d = 40 + 25 = 65\,\text{m}\)
A e B ficam com só uma das partes, C é a distância do Diego atento \((16 + 25)\) e E vem de quem esquece o 2 de Torricelli \((400/8 = 50)\). O celular acrescenta 24 m, algo perto do comprimento de cinco carros.
Queda livre e lançamentos · Passos 6 e 7
Drones já são testados para levar remédios e kits de primeiros socorros a lugares de difícil acesso. Num teste, um drone voa na horizontal a 12 m/s, a 20 m de altura, e solta um pacote compacto. Vamos desprezar a resistência do ar, o que parece razoável para um pacote pesado e pequeno, e usar g = 10 m/s².

A que distância horizontal do ponto em que foi solto o pacote toca o chão?
1. 0 m
2. 17 m
3. 24 m
4. 40 m
5. 48 m
Ver resolução

Resposta: C.
Ao ser solto, o pacote mantém a velocidade horizontal do drone, e o movimento se separa em dois. Na vertical, há uma queda livre a partir do repouso.
\(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 20}{10}} = 2\,\text{s}\)
Na horizontal, o pacote segue em MRU.
\(x = v_x\,t = 12 \cdot 2 = 24\,\text{m}\)
A supõe que o pacote cai na vertical, algo que, sem ar, nunca acontece com o que sai de um drone em movimento; B esquece o 2 dentro da raiz \((t \approx 1{,}4\,\text{s})\), D usa a velocidade vertical de chegada \((\sqrt{2gh} = 20\,\text{m/s})\) no lugar de \(v_x\) e E esquece a raiz \((t = 4\,\text{s})\). Dois segundos de queda podem parecer pouco.

Posições registradas pelo GPS
t (s)	0	10	20	30
ônibus (m)	0	80	160	240
Larissa (m)	300	350	400	450

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos achar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número. Até 2016, Ciências da Natureza caía no 1º dia.

ENEM 2012, 1º dia, caderno azul, questão 60. Um trem de metrô acelera, mantém a velocidade e freia entre duas estações, e a questão pede o gráfico \(s \times t\) que corresponde a esse movimento.
ENEM 2012, 1º dia, caderno azul, questão 72. Uma entrega passa por dois trechos com limites de velocidade diferentes, e a pergunta é o tempo total da viagem.
ENEM 2016, 1º dia, caderno azul, questão 63. A parada de um carro em duas etapas, reação e frenagem, vira um gráfico da velocidade em função da distância, e é preciso reconhecer o esboço correto.
ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 131. A questão compara a distância de parada de um motorista atento com a de outro que usa o celular e demora mais para começar a frear.
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 100. O alcance de um jato de água lançado na horizontal serve para estimar a altura que o mesmo jato atingiria apontado para cima.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Deslocamento\(\Delta s = s - s_0\)

Velocidade média\(v_m = \Delta s / \Delta t\)

Unidades\(1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}\)

MRU\(s = s_0 + v\,t\)

Encontro\(s_A = s_B\)

Aceleração\(a = \Delta v / \Delta t\)

MRUV: velocidade\(v = v_0 + a\,t\)

MRUV: posição\(s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}\)

Torricelli\(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s\)

Queda livre (g ≈ 10 m/s²)\(t_q = \sqrt{2h/g}\quad H = \frac{v_0^2}{2g}\)

Lançamento oblíquo\(v_x = v_0\cos\theta\quad A = \frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,2\theta}{g}\)

Composição (perpendiculares)\(v_R = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)