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Física · Ensino Médio · Dinâmica

Dinâmica

Por que o passageiro é jogado para a frente quando o ônibus freia, e por que a balança do elevador "mente"? Também podemos perguntar por que é mais difícil começar a empurrar o armário do que mantê-lo andando. A Dinâmica estuda as forças e o que elas fazem com o movimento. Com as três leis de Newton, mais peso, normal e atrito, podemos explicar e calcular quase tudo o que se move à nossa volta.

  1. 1Força e resultante
  2. 21ª lei: inércia
  3. 32ª lei: F = m·a
  4. 43ª lei: ação e reação
  5. 5Peso e normal
  6. 6Atrito
  7. 7Plano inclinado
  8. 8Blocos e polias
  9. 9Trabalho e energia
  10. 10Impulso
  11. 11Colisões
  12. ✓Desafios
PASSO 1

Força tem tamanho, direção e sentido

Uma força é um empurrão ou um puxão, e dizer apenas "10 newtons" não basta, porque falta dizer para onde ela aponta. Por isso dizemos que a força é um vetor e a desenhamos como uma seta.

Quando várias forças agem num corpo, o que importa é a força resultante \(\vec F_R\), a soma vetorial de todas elas. Se as forças estão na mesma direção, somamos (mesmo sentido) ou subtraímos (sentidos opostos), e se são perpendiculares usamos Pitágoras. A regra do polígono funciona em qualquer caso e consiste em colocar uma seta na ponta da outra, de modo que a resultante vai do início da primeira até a ponta da última seta da cadeia.

Quando a resultante é zero, dizemos que o corpo está em equilíbrio.

\(\vec F_R = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3\)\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\) (perpendiculares)Equilíbrio: \(\vec F_R = \vec 0\)A unidade de força é o newton (N). Medimos os ângulos a partir da direita (0°), no sentido anti-horário. No mesmo sentido, a resultante vale \(F_1 + F_2\) · em sentidos opostos, \(|F_1 - F_2|\).

\(\vec F_1\)   \(\vec F_2\)   \(\vec F_3\)   resultante \(\vec F_R\)

Para conversar

  • Arraste as pontas das setas (ou use os controles de módulo e ângulo) e monte 3 N a 0° e 4 N a 90°. A resultante que obtemos dá mesmo 5 N?
  • Duas forças de 3 N e 4 N podem dar resultante de 8 N? Antes de responder, tente montar esse caso na simulação e veja até onde a resultante consegue chegar.
  • Ligue a \(\vec F_3\) e ajuste-a até a resultante sumir. Como ela fica, comparada com a soma das outras duas?
  • Olhando as setas tracejadas, o polígono parece "fechar" quando o corpo está em equilíbrio?
|F₁|
|F₂|
|F₃|
Resultante
Ângulo da resultante
Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Duas pessoas empurram um armário na mesma direção e no mesmo sentido, uma com \(30\ \text{N}\) e a outra com \(50\ \text{N}\). Qual é a força resultante sobre o armário?

    Ver resolução
    Como as forças têm a mesma direção e o mesmo sentido, os módulos se somam.
    \(F_R = 30 + 50 = 80\ \text{N}\)
    \(F_R = 80\ \text{N}\), no sentido em que as duas empurram.
  2. básico

    Uma caixa é puxada para a direita com \(50\ \text{N}\) e para a esquerda com \(30\ \text{N}\). Qual é a resultante (módulo e sentido)?

    Ver resolução
    Com a mesma direção e sentidos opostos, os módulos se subtraem e o sentido é o da força maior.
    \(F_R = 50 - 30 = 20\ \text{N}\)
    \(F_R = 20\ \text{N}\), para a direita.
  3. básico

    Duas forças perpendiculares, de \(6\ \text{N}\) e \(8\ \text{N}\), atuam num mesmo corpo. Qual é o módulo da resultante?

    Ver resolução
    Forças perpendiculares formam os catetos de um triângulo retângulo, e a resultante é a hipotenusa.
    \(F_R = \sqrt{6^2 + 8^2}\) \(= \sqrt{36 + 64}\) \(= \sqrt{100}\)
    \(F_R = 10\ \text{N}\)
  4. básico

    Uma luminária está pendurada em repouso por um fio. Qual é a força resultante sobre ela, e o que isso nos diz sobre a força do fio?

    Ver resolução
    Em repouso (e continuando em repouso), o corpo está em equilíbrio, e a resultante é zero.
    Atuam sobre ela o peso (para baixo) e a tração do fio (para cima), e, para que a soma dê zero, as duas precisam ter o mesmo módulo.
    \(F_R = 0\); a tração no fio é igual ao peso da luminária.
  5. médio

    Sobre uma argola atuam três forças horizontais: \(10\ \text{N}\) para leste, \(4\ \text{N}\) para oeste e \(8\ \text{N}\) para norte. Calcule o módulo da resultante.

    Ver resolução
    Começamos somando as forças na mesma direção (leste–oeste), o que dá \(10 - 4 = 6\ \text{N}\) para leste.
    Sobram então duas forças perpendiculares, de \(6\ \text{N}\) (leste) e \(8\ \text{N}\) (norte).
    \(F_R = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{N}\)
    \(F_R = 10\ \text{N}\), apontando entre o leste e o norte.
  6. médio

    Duas forças de \(5\ \text{N}\) e \(12\ \text{N}\) atuam num corpo. Quais são o maior e o menor valor possível da resultante? E quanto vale ela se as forças forem perpendiculares?

    Ver resolução
    A maior resultante ocorre com as forças no mesmo sentido, \(5 + 12 = 17\ \text{N}\).
    A menor ocorre em sentidos opostos, \(12 - 5 = 7\ \text{N}\).
    Se forem perpendiculares, \(F_R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\ \text{N}\).
    Máxima \(17\ \text{N}\); mínima \(7\ \text{N}\); perpendiculares \(13\ \text{N}\).
  7. médio

    Num cabo de guerra, a equipe A tem 3 pessoas que puxam com \(200\ \text{N}\) cada. A equipe B tem 2 pessoas que puxam com \(250\ \text{N}\) cada e uma que puxa com \(120\ \text{N}\). Qual é a resultante sobre a corda e para que lado?

    Ver resolução
    Equipe A: \(3 \cdot 200 = 600\ \text{N}\).
    Equipe B: \(2 \cdot 250 + 120 = 620\ \text{N}\).
    Como as equipes puxam em sentidos opostos, \(F_R = 620 - 600 = 20\ \text{N}\).
    \(F_R = 20\ \text{N}\), para o lado da equipe B.
  8. médio

    É possível que duas forças, uma de \(3\ \text{N}\) e outra de \(4\ \text{N}\), tenham resultante de \(8\ \text{N}\)? Justifique.

    Ver resolução
    A resultante de duas forças fica sempre entre a diferença e a soma dos módulos.
    \(4 - 3 = 1\ \text{N} \le F_R \le 4 + 3 = 7\ \text{N}\)
    Não: o máximo possível é \(7\ \text{N}\) (forças no mesmo sentido).
  9. desafio

    Duas forças de \(10\ \text{N}\) cada formam um ângulo de \(120^\circ\) entre si. Qual é o módulo da resultante? Use \(F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta\) e \(\cos 120^\circ = -0{,}5\).

    Ver resolução
    \(F_R^2 = 10^2 + 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (-0{,}5)\)
    \(F_R^2 = 100 + 100 - 100 = 100\)
    \(F_R = 10\ \text{N}\)
    Pela regra do paralelogramo, o losango se divide em dois triângulos equiláteros, e por isso a diagonal tem o mesmo tamanho dos lados.
    \(F_R = 10\ \text{N}\), na bissetriz do ângulo entre as forças.
  10. desafio

    Um bloco está em equilíbrio sob três forças. Duas delas são \(\vec F_1\), de \(9\ \text{N}\) para leste, e \(\vec F_2\), de \(12\ \text{N}\) para norte. Qual é a terceira força (módulo e direção)?

    Ver resolução
    Em equilíbrio, \(\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = 0\), então \(\vec F_3 = -(\vec F_1 + \vec F_2)\).
    \(|\vec F_1 + \vec F_2| = \sqrt{9^2 + 12^2}\) \(= \sqrt{225}\) \(= 15\ \text{N}\)
    \(\vec F_3\) tem o mesmo módulo e sentido oposto, e aponta para sudoeste, com \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{12}{9}\), ou seja, cerca de \(53^\circ\) abaixo do oeste.
    \(F_3 = 15\ \text{N}\), para sudoeste (oposta à soma das outras duas).
PASSO 2

Sem força resultante, nada muda: a inércia

Por muito tempo se pensou que, para manter algo em movimento, era preciso continuar empurrando, e talvez essa ainda seja a nossa primeira intuição. Galileu e Newton mostraram que um corpo sem força resultante continua como está, parado ou em movimento retilíneo com velocidade constante. Chamamos essa tendência de manter a velocidade de inércia.

Na vida real, vemos as coisas pararem porque existem forças contra o movimento, como o atrito e a resistência do ar. Se tiramos o atrito e desprezamos o ar, o disco desliza para sempre.

\(\vec F_R = \vec 0 \iff \vec v = \text{constante}\)O repouso é o caso particular \(\vec v = \vec 0\). Quanto maior a massa, maior a inércia, e mais difícil fica mudar a velocidade.

No ônibus que freia, ninguém empurra o passageiro para a frente; o ônibus desacelera e ele continua com a velocidade que tinha. Algo parecido acontece com a toalha puxada rápido, que deixa a louça no lugar porque o atrito age por pouquíssimo tempo. Já o cinto de segurança exerce a força que faz você frear junto com o carro.

Para conversar

  • Empurre o disco com atrito 0,30 e depois com 0,05, e compare quanto ele anda em cada caso.
  • Leve o atrito a zero e empurre o disco para ver se ele para. Se não parar, que força precisamos aplicar para pará-lo?
  • Com o ônibus andando em velocidade constante e sem frear, o passageiro precisa de alguma força para acompanhar o ônibus? A resposta talvez surpreenda.
  • Sem cinto, mude a velocidade do ônibus e freie de novo para ver se a batida no banco fica mais forte. Depois, repita mudando a força da freada e a distância até o banco.
  • Freie o ônibus sem cinto e olhe a velocidade de cada um. Quem parece "se mover para a frente", o passageiro ou o ônibus que fica para trás?
  • Ligue o cinto e freie de novo. Que força passa, então, a frear o passageiro?
Velocidade do disco
Distância do disco
Velocidade do ônibus
Velocidade do passageiro
Batida no banco (em relação ao ônibus)
Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um ônibus freia de repente e os passageiros em pé são "jogados" para a frente. Existe uma força empurrando-os para a frente? Explique.

    Ver resolução
    Não existe força para a frente, porque os passageiros simplesmente vinham com a velocidade do ônibus.
    Quando o ônibus freia, o chão (e o próprio ônibus) desacelera, mas o corpo do passageiro tende a manter a velocidade que tinha, e é a isso que chamamos de inércia.
    Não há força para a frente: o passageiro continua indo por inércia enquanto o ônibus para.
  2. básico

    No truque da toalha, ela é puxada muito rápido e os pratos ficam sobre a mesa. Por que puxar devagar não funciona?

    Ver resolução
    Os pratos estão em repouso e tendem a continuar em repouso (inércia).
    Quando puxamos rápido, o atrito age por um tempo muito curto e quase não muda a velocidade dos pratos.
    Quando puxamos devagar, o atrito age por muito tempo e arrasta os pratos junto.
    Rápido: o atrito age pouco tempo e os pratos quase não ganham velocidade.
  3. básico

    Uma sonda no espaço profundo, longe de qualquer planeta, segue a \(2000\ \text{m/s}\) com os motores desligados. Qual será sua velocidade 1 hora depois? Quanto ela terá andado nesse tempo?

    Ver resolução
    Sem forças (resultante nula), a velocidade fica constante e continua \(2000\ \text{m/s}\).
    \(d = v \cdot t = 2000 \cdot 3600 = 7\,200\,000\ \text{m}\)
    \(v = 2000\ \text{m/s}\); \(d = 7\,200\ \text{km}\).
  4. básico

    Um carro anda a \(80\ \text{km/h}\) constantes numa estrada reta. Qual é a força resultante sobre ele?

    Ver resolução
    Com velocidade constante em linha reta, a aceleração é zero.
    Pela 1ª lei, isso só acontece quando a resultante é nula. O motor empurra, mas o atrito e o ar seguram na mesma medida.
    \(F_R = 0\).
  5. médio

    Para que serve o encosto de cabeça do banco de um carro, quando ele é atingido por trás?

    Ver resolução
    Na batida por trás, o carro (e o banco) é empurrado bruscamente para a frente.
    A cabeça, por inércia, tende a ficar onde estava, enquanto o tronco vai para a frente com o banco e o pescoço dobra para trás.
    O encosto empurra a cabeça junto com o corpo e evita a lesão.
    Ele faz a cabeça acompanhar o corpo, que é empurrado para a frente: a cabeça, por inércia, ficaria para trás.
  6. médio

    Um disco de hóquei desliza sobre gelo quase sem atrito a \(4\ \text{m/s}\). Desprezando o atrito, quanto ele anda em \(5\ \text{s}\)?

    Ver resolução
    Sem atrito, a resultante horizontal é zero, e o disco mantém \(v = 4\ \text{m/s}\).
    \(d = v \cdot t = 4 \cdot 5\)
    \(d = 20\ \text{m}\)
  7. médio

    Um aluno diz: "Se eu parar de pedalar, a bicicleta para. Então é preciso força para manter o movimento". Como Newton responderia?

    Ver resolução
    A bicicleta para porque existem forças contra o movimento, como o atrito nos eixos, a deformação dos pneus e a resistência do ar.
    Sem essas forças, ela continuaria para sempre com a mesma velocidade (1ª lei).
    O que o pedal faz é equilibrar as forças contrárias; ele não precisa "manter" o movimento.
    A força é necessária para mudar a velocidade; a bicicleta só para porque há forças contrárias.
  8. médio

    A cabeça de um martelo está frouxa. Batendo a ponta do cabo no chão (com a cabeça para cima), ela se encaixa. Por quê?

    Ver resolução
    O martelo inteiro desce junto até que o cabo bate no chão e para de repente.
    A cabeça, por inércia, continua descendo e escorrega cabo abaixo, encaixando-se mais firme.
    O cabo para, mas a cabeça continua descendo por inércia.
  9. desafio

    Uma bolinha pende de um fio preso no teto de um carro. Com o carro parado, o fio fica na vertical. O carro acelera para a frente com \(2\ \text{m/s}^2\). Para que lado o fio inclina e de que ângulo? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e \(\mathrm{tg}\,\alpha = a/g\).

    Ver resolução
    Por inércia, a bolinha "fica para trás" e o fio inclina para trás até que a componente horizontal da tração acelere a bolinha junto com o carro.
    \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{a}{g} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
    \(\alpha \approx 11{,}3^\circ\)
    Quando o carro passa a andar com velocidade constante, o fio volta à vertical.
    Inclina para trás, cerca de \(11^\circ\) com a vertical.
  10. desafio

    Um ônibus a \(72\ \text{km/h}\) freia com desaceleração de \(5\ \text{m/s}^2\). Um passageiro sem cinto está a \(1{,}0\ \text{m}\) do banco da frente e escorrega sem atrito. Quanto tempo depois do início da frenagem ele bate no banco, e com que velocidade relativa ao ônibus?

    Ver resolução
    \(72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}\). O passageiro continua a \(20\ \text{m/s}\) por inércia, enquanto o ônibus perde \(5\ \text{m/s}\) a cada segundo.
    Visto de dentro do ônibus, o passageiro se aproxima do banco com aceleração relativa de \(5\ \text{m/s}^2\), partindo do repouso.
    \(1{,}0 = \dfrac{5\,t^2}{2}\) \(\Rightarrow t = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63\ \text{s}\)
    \(v_{rel} = 5 \cdot 0{,}63 \approx 3{,}2\ \text{m/s}\) (o ônibus ainda está a \(20 - 3{,}2 \approx 16{,}8\ \text{m/s}\)).
    \(t \approx 0{,}63\ \text{s}\); bate a \(\approx 3{,}2\ \text{m/s}\) (cerca de \(11\ \text{km/h}\)) em relação ao ônibus.
PASSO 3

Força resultante muda a velocidade: \(F_R = m \cdot a\)

Quando a resultante não é zero, a velocidade muda e o corpo ganha aceleração, no mesmo sentido da resultante. Com a 2ª lei de Newton, podemos dizer de quanto é essa aceleração, que é proporcional à força e inversamente proporcional à massa.

Dobrar a força dobra a aceleração, enquanto dobrar a massa divide a aceleração pela metade. Dizemos que a massa mede a inércia porque, quanto mais massa, mais força é preciso para mudar a velocidade.

\(\vec F_R = m\,\vec a\)\(a = \dfrac{F_R}{m}\)\(1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2\)Um newton é a força que dá a 1 kg uma aceleração de 1 m/s², e no gráfico \(v \times t\) a aceleração é a inclinação da reta.

Para conversar

  • Solte o carrinho e observe se a velocidade cresce sempre do mesmo tanto a cada segundo. Como vemos isso no gráfico?
  • Aperte "Dobrar a força" e solte de novo. A reta nova parece ter o dobro da inclinação?
  • Volte a força ao valor de antes e aperte "Dobrar a massa". O que acontece com a aceleração que medimos?
  • Encontre duas combinações diferentes de F e m que deem a mesma aceleração.
  • Leve a força a zero no meio do movimento e veja se o carrinho para. Talvez valha lembrar do que já sabemos desde o passo 2.
Prevista F/m
Medida no gráfico
Velocidade
Tempo
Distância
Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma força resultante de \(20\ \text{N}\) atua sobre um bloco de \(4\ \text{kg}\). Qual é a aceleração?

    Ver resolução
    \(a = \dfrac{F_R}{m} = \dfrac{20}{4}\)
    \(a = 5\ \text{m/s}^2\)
  2. básico

    Qual é a força resultante necessária para dar a um carro de \(1000\ \text{kg}\) uma aceleração de \(2\ \text{m/s}^2\)?

    Ver resolução
    \(F_R = m \cdot a = 1000 \cdot 2\)
    \(F_R = 2000\ \text{N}\)
  3. básico

    Uma força resultante de \(30\ \text{N}\) produz num corpo uma aceleração de \(6\ \text{m/s}^2\). Qual é a massa do corpo?

    Ver resolução
    \(m = \dfrac{F_R}{a} = \dfrac{30}{6}\)
    \(m = 5\ \text{kg}\)
  4. básico

    Se dobrarmos a força resultante sobre um carrinho e também dobrarmos a sua massa, o que acontece com a aceleração?

    Ver resolução
    Como \(a = \dfrac{F_R}{m}\), dobrar o numerador dobra \(a\), e dobrar o denominador divide \(a\) por 2.
    \(a' = \dfrac{2F_R}{2m} = \dfrac{F_R}{m} = a\)
    A aceleração não muda.
  5. médio

    Um bloco de \(2\ \text{kg}\), sobre uma mesa sem atrito, é puxado com \(10\ \text{N}\) para a direita e \(4\ \text{N}\) para a esquerda. Qual é a aceleração?

    Ver resolução
    \(F_R = 10 - 4 = 6\ \text{N}\), para a direita.
    \(a = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{m/s}^2\)
    \(a = 3\ \text{m/s}^2\), para a direita.
  6. médio

    Um bloco de \(5\ \text{kg}\) parte do repouso, sem atrito, empurrado por uma força constante de \(10\ \text{N}\). Qual é a velocidade após \(4\ \text{s}\) e quanto ele andou?

    Ver resolução
    \(a = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{m/s}^2\)
    \(v = a\,t = 2 \cdot 4 = 8\ \text{m/s}\)
    \(d = \dfrac{a\,t^2}{2} = \dfrac{2 \cdot 16}{2} = 16\ \text{m}\)
    \(v = 8\ \text{m/s}\); \(d = 16\ \text{m}\).
  7. médio

    Um carro de \(1200\ \text{kg}\) vai de 0 a \(108\ \text{km/h}\) em \(10\ \text{s}\). Qual é a força resultante média sobre ele?

    Ver resolução
    \(108\ \text{km/h} = 30\ \text{m/s}\)
    \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{30}{10} = 3\ \text{m/s}^2\)
    \(F_R = m\,a = 1200 \cdot 3\)
    \(F_R = 3600\ \text{N}\)
  8. médio

    No gráfico \(v \times t\) de um carrinho de \(2\ \text{kg}\), a velocidade vai de 0 a \(12\ \text{m/s}\) em \(4\ \text{s}\), em linha reta. Qual é a força resultante?

    Ver resolução
    A inclinação do gráfico \(v \times t\) é a aceleração, que vale \(a = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m/s}^2\).
    \(F_R = m\,a = 2 \cdot 3\)
    \(F_R = 6\ \text{N}\)
  9. desafio

    Um carro de \(800\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\) freia e para em \(40\ \text{m}\), com desaceleração constante. Qual é a força de frenagem? Use \(v^2 = v_0^2 - 2\,a\,d\).

    Ver resolução
    \(0 = 20^2 - 2 \cdot a \cdot 40\) \(\Rightarrow a = \dfrac{400}{80} = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(F = m\,a = 800 \cdot 5\)
    \(F = 4000\ \text{N}\), contra o movimento.
  10. desafio

    Uma mesma força dá aceleração de \(6\ \text{m/s}^2\) a um corpo de massa \(m_1\) e de \(3\ \text{m/s}^2\) a outro de massa \(m_2\). Que aceleração essa força dá aos dois juntos (presos um ao outro)?

    Ver resolução
    \(m_1 = \dfrac{F}{6}\) e \(m_2 = \dfrac{F}{3}\)
    \(m_1 + m_2 = \dfrac{F}{6} + \dfrac{2F}{6} = \dfrac{F}{2}\)
    \(a = \dfrac{F}{m_1 + m_2} = \dfrac{F}{F/2} = 2\ \text{m/s}^2\)
    \(a = 2\ \text{m/s}^2\)
PASSO 4

Toda força tem um par: ação e reação

Forças sempre aparecem aos pares, e se A empurra B, B empurra A com uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. Chamamos essa regra de 3ª lei de Newton.

O detalhe que costuma confundir é que as duas forças agem em corpos diferentes e, por isso, não se anulam; quando dois patinadores se empurram, as forças são iguais, mas o mais leve ganha mais aceleração (\(a = F/m\)).

Você anda porque empurra o chão para trás e o chão te empurra para a frente. Com o foguete acontece o mesmo, já que ele empurra os gases para trás e os gases o empurram para a frente, mesmo no vácuo.

\(\vec F_{A \to B} = -\vec F_{B \to A}\)\(a_A = \dfrac{F}{m_A},\quad a_B = \dfrac{F}{m_B}\)Como o empurrão dura o mesmo tempo para os dois, \(m_A\,v_A = m_B\,v_B\), e quem tem metade da massa sai com o dobro da velocidade.

par ação–reação   velocidade

Para conversar

  • Empurre com massas iguais e compare as velocidades com que os dois saem.
  • Em "Adulto e criança", quem sofre a força maior, e quem sai mais rápido? Vale fazer sua aposta antes de conferir os números, porque a resposta talvez não seja a que você espera.
  • Pause durante o empurrão e compare as duas setas vermelhas que vemos nos patinadores. Elas têm o mesmo tamanho?
  • Se as forças são iguais e opostas, por que os dois não ficam parados? Nossa primeira intuição talvez diga que deveriam ficar.
Força em A
Força em B
Aceleração de A
Aceleração de B
Velocidade de A
Velocidade de B
Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Se ação e reação têm o mesmo módulo e sentidos opostos, por que elas não se anulam?

    Ver resolução
    Só se anulam (somam-se) forças que atuam no MESMO corpo.
    Ação e reação atuam em corpos diferentes, uma em A e a outra em B.
    Não se anulam porque agem em corpos diferentes.
  2. básico

    Quando você anda, que força faz você ir para a frente?

    Ver resolução
    O pé empurra o chão para trás (pelo atrito).
    Pela 3ª lei, o chão empurra o pé para a frente com a mesma intensidade.
    A força do chão sobre o seu pé, para a frente (reação ao seu empurrão para trás).
  3. básico

    Dois patinadores, uma menina de \(40\ \text{kg}\) e um menino de \(60\ \text{kg}\), se empurram. A força sobre a menina é de \(120\ \text{N}\). Qual é a força sobre o menino, e qual é a aceleração de cada um?

    Ver resolução
    Pela 3ª lei, a força sobre o menino também vale \(120\ \text{N}\), em sentido oposto.
    Menina: \(a = \dfrac{120}{40} = 3\ \text{m/s}^2\)
    Menino: \(a = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{m/s}^2\)
    \(120\ \text{N}\) em cada; menina \(3\ \text{m/s}^2\), menino \(2\ \text{m/s}^2\).
  4. básico

    Um livro está em repouso sobre a mesa. A Terra atrai o livro (peso). Qual é a reação a essa força? É a força normal?

    Ver resolução
    A reação ao peso é a força com que o LIVRO atrai a TERRA, para cima, aplicada no centro da Terra.
    A normal (mesa empurrando o livro) também é igual ao peso aqui, mas é outra interação, cuja reação é o livro empurrando a mesa para baixo.
    A reação ao peso é o livro puxando a Terra; não é a normal.
  5. médio

    Patinadores de \(50\ \text{kg}\) e \(75\ \text{kg}\), em repouso no gelo, se empurram com \(150\ \text{N}\) durante \(0{,}5\ \text{s}\). Com que velocidade cada um sai?

    Ver resolução
    Patinador de 50 kg: \(a = \dfrac{150}{50} = 3\ \text{m/s}^2\), \(v = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{m/s}\)
    Patinador de 75 kg: \(a = \dfrac{150}{75} = 2\ \text{m/s}^2\), \(v = 2 \cdot 0{,}5 = 1{,}0\ \text{m/s}\)
    \(1{,}5\ \text{m/s}\) e \(1{,}0\ \text{m/s}\), em sentidos opostos.
  6. médio

    No espaço não há ar para "empurrar". Como um foguete consegue acelerar?

    Ver resolução
    O foguete empurra os gases para trás com grande força ao expeli-los.
    Pela 3ª lei, os gases empurram o foguete para a frente com a mesma intensidade.
    Não é preciso ar nenhum, porque o par de forças é entre o foguete e os gases.
    O foguete empurra os gases para trás e os gases empurram o foguete para a frente.
  7. médio

    Um caminhão de \(10\,000\ \text{kg}\) bate num carro de \(1000\ \text{kg}\). Num instante, a força do caminhão sobre o carro é de \(50\,000\ \text{N}\). Quanto vale a força do carro sobre o caminhão, e quais são as acelerações?

    Ver resolução
    Pela 3ª lei, o carro empurra o caminhão com os mesmos \(50\,000\ \text{N}\).
    Carro: \(a = \dfrac{50\,000}{1000} = 50\ \text{m/s}^2\)
    Caminhão: \(a = \dfrac{50\,000}{10\,000} = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(50\,000\ \text{N}\) nos dois; o carro sofre aceleração 10 vezes maior (\(50\) contra \(5\ \text{m/s}^2\)).
  8. médio

    Uma maçã de \(100\ \text{g}\) cai, e a Terra a puxa com \(1\ \text{N}\). Com que força a maçã puxa a Terra? Qual é a aceleração da Terra? (massa da Terra \(\approx 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\))

    Ver resolução
    Pela 3ª lei, a maçã puxa a Terra com \(1\ \text{N}\), para cima.
    \(a_{Terra} = \dfrac{1}{6 \cdot 10^{24}} \approx 1{,}7 \cdot 10^{-25}\ \text{m/s}^2\)
    É uma aceleração tão pequena que não dá para perceber.
    \(1\ \text{N}\); \(a \approx 1{,}7 \cdot 10^{-25}\ \text{m/s}^2\).
  9. desafio

    Um astronauta de \(80\ \text{kg}\) (com o traje), parado no espaço, arremessa uma ferramenta de \(2\ \text{kg}\) a \(8\ \text{m/s}\). Com que velocidade ele recua?

    Ver resolução
    As forças entre astronauta e ferramenta são iguais e opostas e agem durante o mesmo tempo \(\Delta t\).
    Como \(F = m\,a = m\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\), o produto \(m \cdot \Delta v\) é igual para os dois.
    \(80 \cdot v = 2 \cdot 8\) \(\Rightarrow v = \dfrac{16}{80} = 0{,}2\ \text{m/s}\)
    \(v = 0{,}2\ \text{m/s}\), no sentido oposto ao da ferramenta.
  10. desafio

    Dois patinadores, A (\(50\ \text{kg}\)) e B (\(70\ \text{kg}\)), em repouso a \(10\ \text{m}\) um do outro, puxam uma corda entre eles. Desprezando o atrito, em que ponto se encontram?

    Ver resolução
    A corda puxa os dois com a mesma força \(F\) o tempo todo.
    \(a_A = F/50\) e \(a_B = F/70\); como os dois partem do repouso, as distâncias são proporcionais às acelerações, \(\dfrac{d_A}{d_B} = \dfrac{70}{50}\).
    \(d_A + d_B = 10\) \(\Rightarrow d_A = 10 \cdot \dfrac{70}{120} \approx 5{,}83\ \text{m}\), \(d_B \approx 4{,}17\ \text{m}\)
    A anda \(\approx 5{,}83\ \text{m}\) e B \(\approx 4{,}17\ \text{m}\): encontram-se mais perto da posição inicial de B.
PASSO 5

A balança mede o peso? Não exatamente

Chamamos de peso a força com que a Terra puxa um corpo, \(P = m\,g\). A massa (em kg) é a quantidade de matéria e não muda de lugar para lugar, enquanto o peso (em N) depende da gravidade. Na Lua, onde \(g\) é cerca de 1,6 m/s², o peso cai a um sexto e a massa continua a mesma.

A força normal \(N\) é o empurrão de uma superfície, perpendicular a ela. A balança mede a normal, e não o peso, algo que talvez surpreenda quem sempre se pesou nela. Num elevador acelerando para cima, a normal precisa ser maior que o peso, e acelerando para baixo, menor, até o caso extremo da queda livre, em que o chão "foge" junto com você, de modo que \(N = 0\) e você fica "sem peso".

\(P = m\,g\)\(N - P = m\,a\)\(N = m\,(g + a)\)Tomamos \(a\) positivo para cima, com \(g = 10\ \text{m/s}^2\) na Terra e \(1{,}6\ \text{m/s}^2\) na Lua. Como a balança está calibrada na Terra, ela mostra \(N/10\) em "kg".

peso \(P\)   normal \(N\)   aceleração   velocidade

Para conversar

  • Suba com velocidade constante e veja se a leitura da balança muda. Tente explicar por que isso acontece.
  • Em "Partir subindo" e em "frear na descida", a balança marca mais. O que esses dois movimentos parecem ter em comum?
  • Corte o cabo e veja quanto vale N. Será que a pessoa deixou de ter peso?
  • Leve o elevador para a Lua. A massa muda, e o que acontece com a leitura da balança?
Peso P
Normal N
Leitura da balança
Aceleração
Velocidade
Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma pessoa tem massa de \(60\ \text{kg}\). Qual é o seu peso na Terra (\(g = 10\ \text{m/s}^2\)) e na Lua (\(g = 1{,}6\ \text{m/s}^2\))? E a massa na Lua?

    Ver resolução
    Terra: \(P = m\,g = 60 \cdot 10 = 600\ \text{N}\)
    Lua: \(P = 60 \cdot 1{,}6 = 96\ \text{N}\)
    A massa (quantidade de matéria, inércia) não muda.
    \(600\ \text{N}\) na Terra, \(96\ \text{N}\) na Lua; massa \(60\ \text{kg}\) nos dois.
  2. básico

    O que está errado na frase "meu peso é 60 quilos"?

    Ver resolução
    O quilograma é unidade de massa, e o peso é uma força, medida em newtons.
    Com \(g = 10\ \text{m/s}^2\), uma massa de \(60\ \text{kg}\) tem peso \(600\ \text{N}\).
    O certo é "minha massa é 60 kg" (ou "meu peso é 600 N").
  3. básico

    Um livro de \(2\ \text{kg}\) está em repouso sobre uma mesa horizontal. Qual é a força normal? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Em repouso, \(F_R = 0\), e então \(N = P\).
    \(N = m\,g = 2 \cdot 10\)
    \(N = 20\ \text{N}\)
  4. básico

    Um elevador sobe com velocidade constante. Uma pessoa de \(70\ \text{kg}\) está sobre uma balança dentro dele. Quanto a balança marca? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Com velocidade constante, \(a = 0\), e então \(N = P = 70 \cdot 10 = 700\ \text{N}\).
    A balança (calibrada para \(g = 10\)) mostra \(700/10 = 70\ \text{kg}\).
    Marca \(70\ \text{kg}\) (\(N = 700\ \text{N}\)), igual ao elevador parado.
  5. médio

    Um elevador acelera para cima com \(2\ \text{m/s}^2\). Uma pessoa de \(50\ \text{kg}\) está numa balança dentro dele. Qual é a normal e quanto marca a balança? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(N - P = m\,a\) \(\Rightarrow N = m\,(g + a)\)
    \(N = 50 \cdot (10 + 2) = 600\ \text{N}\)
    Leitura: \(600/10 = 60\ \text{kg}\)
    \(N = 600\ \text{N}\); a balança marca \(60\ \text{kg}\).
  6. médio

    Um elevador acelera para baixo com \(3\ \text{m/s}^2\). Quanto marca a balança para uma pessoa de \(80\ \text{kg}\)? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Com a aceleração para baixo, \(P - N = m\,a\) \(\Rightarrow N = m\,(g - a)\)
    \(N = 80 \cdot (10 - 3) = 560\ \text{N}\)
    Leitura: \(560/10 = 56\ \text{kg}\)
    \(N = 560\ \text{N}\); a balança marca \(56\ \text{kg}\).
  7. médio

    Uma caixa de \(5\ \text{kg}\) está sobre a mesa, e uma pessoa aperta a caixa para baixo com \(30\ \text{N}\). Qual é a força normal? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Em repouso, a normal (para cima) equilibra o peso e o empurrão (para baixo).
    \(N = P + F = 50 + 30\)
    \(N = 80\ \text{N}\): a normal não é sempre igual ao peso.
  8. médio

    Na Estação Espacial, a cerca de \(400\ \text{km}\) de altura, \(g\) ainda vale cerca de \(8{,}7\ \text{m/s}^2\). Por que os astronautas flutuam "sem peso"?

    Ver resolução
    Eles TÊM peso, e a Terra os atrai com quase 90% da força que sentiriam no chão.
    A estação e os astronautas estão em queda livre juntos (caem em torno da Terra, em órbita).
    Como tudo cai com a mesma aceleração, o chão não empurra os pés, e \(N = 0\).
    Estão em queda livre junto com a estação: a normal é zero, por isso a sensação de "sem peso".
  9. desafio

    Numa balança dentro de um elevador, uma pessoa de \(70\ \text{kg}\) lê \(84\ \text{kg}\) (balança calibrada com \(g = 10\ \text{m/s}^2\)). Qual é a aceleração do elevador? Ele está necessariamente subindo?

    Ver resolução
    \(N = 84 \cdot 10 = 840\ \text{N}\)
    \(N = m\,(g + a)\) \(\Rightarrow 840 = 70\,(10 + a)\) \(\Rightarrow a = 12 - 10 = 2\ \text{m/s}^2\), para cima.
    Uma aceleração para cima acontece quando o elevador sobe cada vez mais rápido OU quando desce e freia.
    \(a = 2\ \text{m/s}^2\) para cima; ele pode estar subindo e acelerando ou descendo e freando.
  10. desafio

    Um elevador de \(1000\ \text{kg}\) leva uma pessoa de \(60\ \text{kg}\) e acelera para cima com \(1{,}5\ \text{m/s}^2\). Calcule a tração no cabo e a normal sobre a pessoa. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Cabo (sistema elevador + pessoa, \(1060\ \text{kg}\)): \(T - (m_{tot})\,g = m_{tot}\,a\)
    \(T = 1060 \cdot (10 + 1{,}5) = 1060 \cdot 11{,}5 = 12\,190\ \text{N}\)
    Pessoa: \(N = 60 \cdot 11{,}5 = 690\ \text{N}\)
    \(T = 12\,190\ \text{N}\); \(N = 690\ \text{N}\).
PASSO 6

Atrito: primeiro segura, depois freia

Quando empurramos de leve um móvel pesado, ele não sai do lugar. O atrito estático cresce junto com o empurrão e o equilibra até um valor máximo \(\mu_e\,N\), e, passado esse valor, o móvel desliza.

Com o móvel deslizando, atua o atrito cinético, de valor fixo \(\mu_c\,N\), que costuma ser menor que o máximo estático. Por isso, depois que ele "desgruda", fica mais fácil empurrar.

Os coeficientes \(\mu\) dependem das superfícies em contato (borracha e asfalto, madeira e madeira...), e não da área de contato, ao menos no modelo simples de atrito que usamos aqui.

\(f_e \le \mu_e\,N\)\(f_c = \mu_c\,N\)\(\mu_c < \mu_e\)Num piso horizontal, \(N = m\,g\), e \(\mu\) não tem unidade. Os valores da simulação são típicos e aproximados.

força aplicada \(F\)   atrito \(f\)   normal   peso

Para conversar

  • Ao apertar "Puxar aumentando", vemos o gráfico subir numa reta inclinada enquanto o bloco está parado. Por que isso acontece?
  • No instante em que ele começa a deslizar, o que acontece com o atrito e com a aceleração?
  • Ponha o bloco "em pé", com menos área de contato, e veja se o pico do gráfico parece mudar.
  • Dobre a massa e observe o atrito máximo. O que acontece com ele, e por quê?
  • Com o bloco deslizando, baixe a força até ficar menor que o atrito cinético e veja o que ele faz.
Força aplicada
Atrito agora
Estático máx. (μe·N)
Cinético (μc·N)
Aceleração
Estado
Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um bloco de \(10\ \text{kg}\) desliza sobre um piso horizontal com \(\mu_c = 0{,}3\). Qual é a força de atrito cinético? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No piso horizontal, \(N = P = 10 \cdot 10 = 100\ \text{N}\).
    \(f_c = \mu_c\,N = 0{,}3 \cdot 100\)
    \(f_c = 30\ \text{N}\)
  2. básico

    Uma caixa de \(20\ \text{kg}\) está no chão, com \(\mu_e = 0{,}5\). Qual é a menor força horizontal capaz de fazê-la começar a se mover? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(N = 20 \cdot 10 = 200\ \text{N}\)
    \(f_{e,\text{máx}} = \mu_e\,N = 0{,}5 \cdot 200 = 100\ \text{N}\)
    É preciso superar esse valor.
    Um pouco mais de \(100\ \text{N}\).
  3. básico

    Por que é mais difícil começar a empurrar um guarda-roupa do que mantê-lo deslizando?

    Ver resolução
    Com o guarda-roupa parado, atua o atrito estático, que pode chegar a \(\mu_e\,N\).
    Quando ele desliza, atua o atrito cinético \(\mu_c\,N\), e normalmente \(\mu_c < \mu_e\).
    O atrito estático máximo é maior que o atrito cinético.
  4. básico

    A mesma caixa de \(20\ \text{kg}\) (\(\mu_e = 0{,}5\)) é empurrada com \(60\ \text{N}\) e não se move. Quanto vale o atrito?

    Ver resolução
    A caixa continua em repouso, e portanto \(F_R = 0\).
    Então o atrito estático equilibra exatamente o empurrão, e \(f_e = 60\ \text{N}\).
    O valor \(\mu_e\,N = 100\ \text{N}\) é só o MÁXIMO que o atrito estático alcança.
    \(f_e = 60\ \text{N}\) (e não \(100\ \text{N}\)).
  5. médio

    Um bloco de \(5\ \text{kg}\) é puxado por uma força horizontal de \(25\ \text{N}\) e desliza com \(\mu_c = 0{,}2\). Qual é a aceleração? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(N = 50\ \text{N}\); \(f_c = 0{,}2 \cdot 50 = 10\ \text{N}\)
    \(F_R = 25 - 10 = 15\ \text{N}\)
    \(a = \dfrac{15}{5}\)
    \(a = 3\ \text{m/s}^2\)
  6. médio

    Um tijolo é arrastado deitado (maior área de contato) e depois em pé (menor área). O atrito muda?

    Ver resolução
    O atrito depende de \(\mu\) (das superfícies) e da normal \(N\), e a normal é o peso nos dois casos.
    Com menos área, a pressão em cada ponto aumenta e compensa a área menor.
    Não muda: o atrito não depende da área de contato.
  7. médio

    Um carro de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\) trava as rodas e derrapa até parar, com \(\mu_c = 0{,}5\). Qual é a distância de frenagem? E o tempo? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(f_c = 0{,}5 \cdot 1000 \cdot 10 = 5000\ \text{N}\); \(a = \dfrac{5000}{1000} = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(d = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{400}{10} = 40\ \text{m}\)
    \(t = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{s}\)
    \(d = 40\ \text{m}\); \(t = 4\ \text{s}\).
  8. médio

    Um bloco é lançado sobre o chão a \(6\ \text{m/s}\) e para depois de \(9\ \text{m}\). Qual é o coeficiente de atrito cinético? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(0 = 6^2 - 2\,a \cdot 9\) \(\Rightarrow a = \dfrac{36}{18} = 2\ \text{m/s}^2\)
    Como só o atrito freia, \(\mu_c\,m\,g = m\,a\) \(\Rightarrow \mu_c = \dfrac{a}{g} = \dfrac{2}{10}\)
    \(\mu_c = 0{,}2\)
  9. desafio

    Uma caixa de \(40\ \text{kg}\) tem \(\mu_e = 0{,}6\) e \(\mu_c = 0{,}4\) com o chão. (a) Qual o atrito se ela for puxada com \(200\ \text{N}\)? (b) Qual a força mínima para tirá-la do lugar? (c) Já em movimento, qual a aceleração com \(260\ \text{N}\)? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(N = 400\ \text{N}\); \(f_{e,\text{máx}} = 0{,}6 \cdot 400 = 240\ \text{N}\); \(f_c = 0{,}4 \cdot 400 = 160\ \text{N}\)
    (a) Como \(200 < 240\), ela fica parada e \(f_e = 200\ \text{N}\).
    (b) É preciso passar de \(240\ \text{N}\).
    (c) \(a = \dfrac{260 - 160}{40} = 2{,}5\ \text{m/s}^2\)
    (a) \(200\ \text{N}\); (b) mais de \(240\ \text{N}\); (c) \(2{,}5\ \text{m/s}^2\).
  10. desafio

    Um carro de \(1000\ \text{kg}\) a \(30\ \text{m/s}\) freia. Com freio ABS, os pneus não derrapam e o atrito é estático (\(\mu_e = 0{,}8\)); com as rodas travadas, é cinético (\(\mu_c = 0{,}6\)). Compare as distâncias de frenagem. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Com ABS: \(a = \mu_e\,g = 8\ \text{m/s}^2\); \(d = \dfrac{30^2}{2 \cdot 8} = \dfrac{900}{16} \approx 56{,}3\ \text{m}\)
    Travado: \(a = \mu_c\,g = 6\ \text{m/s}^2\); \(d = \dfrac{900}{12} = 75\ \text{m}\)
    ABS: \(\approx 56\ \text{m}\); travado: \(75\ \text{m}\). Não derrapar aproveita o atrito estático, que é maior.
PASSO 7

Na rampa, o peso se divide em dois

Num plano inclinado de ângulo \(\theta\), é útil decompor o peso em duas partes. Uma delas fica ao longo da rampa, \(P\,\mathrm{sen}\,\theta\), e puxa o bloco para baixo, enquanto a outra, perpendicular à rampa, \(P\cos\theta\), aperta o bloco contra ela e é equilibrada pela normal.

Se desprezamos o atrito, o bloco desce com \(a = g\,\mathrm{sen}\,\theta\), qualquer que seja a massa. Com atrito, ele só começa a escorregar quando \(P\,\mathrm{sen}\,\theta\) supera \(\mu_e\,P\cos\theta\), ou seja, quando \(\mathrm{tg}\,\theta > \mu_e\).

\(P_x = P\,\mathrm{sen}\,\theta\)\(N = P\cos\theta\)\(a = g\,(\mathrm{sen}\,\theta - \mu_c\cos\theta)\)\(\mathrm{tg}\,\theta_{\text{crítico}} = \mu_e\)Sem atrito, \(a = g\,\mathrm{sen}\,\theta\), e o ângulo em que o bloco começa a escorregar não depende da massa.

peso e componentes   normal   atrito

Para conversar

  • Com madeira, aumente o ângulo devagar, de grau em grau, e anote em que ângulo o bloco começa a escorregar. Esse valor parece bater com o "ângulo crítico"?
  • Mude a massa e repita a experiência. O ângulo crítico que medimos muda?
  • Sem atrito e a 30°, a aceleração dá 5 m/s²? E quanto ela vale a 90°, quando a rampa fica na vertical?
  • Depois que o bloco começa a descer, diminua um pouco o ângulo e veja se ele para. Por que é preciso diminuir bastante?
P·sen θ (ao longo)
N = P·cos θ
Atrito
Aceleração
Ângulo crítico
Velocidade
Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um bloco de \(4\ \text{kg}\) está num plano inclinado de \(30^\circ\), sem atrito. Calcule o peso, a componente ao longo do plano e a normal. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(\mathrm{sen}\,30^\circ = 0{,}5\) e \(\cos 30^\circ \approx 0{,}87\).

    Ver resolução
    \(P = 4 \cdot 10 = 40\ \text{N}\)
    \(P_x = P\,\mathrm{sen}\,30^\circ = 40 \cdot 0{,}5 = 20\ \text{N}\)
    \(N = P\,\cos 30^\circ \approx 40 \cdot 0{,}87 \approx 34{,}6\ \text{N}\)
    \(P = 40\ \text{N}\); \(P_x = 20\ \text{N}\); \(N \approx 34{,}6\ \text{N}\).
  2. básico

    Qual é a aceleração de um bloco que escorrega, sem atrito, por uma rampa de \(30^\circ\)? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(a = g\,\mathrm{sen}\,\theta = 10 \cdot 0{,}5\)
    \(a = 5\ \text{m/s}^2\) (não depende da massa).
  3. básico

    Quando aumentamos o ângulo de uma rampa, a força normal sobre o bloco aumenta ou diminui? E a componente do peso ao longo da rampa?

    Ver resolução
    Como \(N = P\cos\theta\) e o cosseno diminui quando \(\theta\) aumenta, a normal diminui (vale zero a \(90^\circ\)).
    Como \(P_x = P\,\mathrm{sen}\,\theta\) e o seno aumenta, a componente ao longo da rampa aumenta.
    A normal diminui e a componente ao longo da rampa aumenta.
  4. básico

    Um bloco desce sem atrito uma rampa com \(\mathrm{sen}\,\theta = 0{,}6\) (\(\theta \approx 37^\circ\)). Qual é a aceleração? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(a = g\,\mathrm{sen}\,\theta = 10 \cdot 0{,}6\)
    \(a = 6\ \text{m/s}^2\)
  5. médio

    Um bloco de \(10\ \text{kg}\) desliza para baixo numa rampa com \(\mathrm{sen}\,\theta = 0{,}6\) e \(\cos\theta = 0{,}8\), com \(\mu_c = 0{,}25\). Qual é a aceleração? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(P_x = 100 \cdot 0{,}6 = 60\ \text{N}\); \(N = 100 \cdot 0{,}8 = 80\ \text{N}\)
    \(f_c = 0{,}25 \cdot 80 = 20\ \text{N}\), para cima da rampa.
    \(a = \dfrac{60 - 20}{10}\)
    \(a = 4\ \text{m/s}^2\)
  6. médio

    Um bloco de \(2\ \text{kg}\) está parado numa rampa de \(30^\circ\). Quanto vale o atrito sobre ele, e em que sentido? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Com o bloco parado, a resultante ao longo da rampa é zero.
    O atrito estático equilibra \(P_x = 20 \cdot 0{,}5 = 10\ \text{N}\).
    \(f_e = 10\ \text{N}\), para cima ao longo da rampa.
  7. médio

    Uma caixa sobre uma tábua começa a escorregar quando a tábua atinge \(37^\circ\) (\(\mathrm{tg}\,37^\circ \approx 0{,}75\)). Qual é o coeficiente de atrito estático?

    Ver resolução
    No ângulo em que a caixa começa a escorregar, \(P\,\mathrm{sen}\,\theta = \mu_e\,P\cos\theta\).
    \(\mu_e = \mathrm{tg}\,\theta \approx 0{,}75\)
    \(\mu_e \approx 0{,}75\)
  8. médio

    Duas caixas do mesmo material, uma de \(1\ \text{kg}\) e outra de \(10\ \text{kg}\), estão sobre a mesma tábua, que vai sendo inclinada. Qual escorrega primeiro?

    Ver resolução
    A condição de escorregar é \(\mathrm{tg}\,\theta > \mu_e\), em que a massa se cancela, porque aparece em \(P_x\) e em \(N\).
    As duas escorregam no mesmo ângulo.
  9. desafio

    Um bloco parte do repouso no alto de uma rampa sem atrito de \(30^\circ\) e \(10\ \text{m}\) de comprimento. Com que velocidade chega embaixo e em quanto tempo? Compare com a queda livre da mesma altura. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(a = 10 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(v = \sqrt{2\,a\,L} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 10} = 10\ \text{m/s}\); \(t = \dfrac{v}{a} = 2\ \text{s}\)
    Altura: \(h = 10 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{m}\). Em queda livre, \(v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10\ \text{m/s}\), em \(1\ \text{s}\).
    \(v = 10\ \text{m/s}\) em \(2\ \text{s}\): mesma velocidade final da queda livre, mas leva o dobro do tempo.
  10. desafio

    Queremos empurrar uma caixa de \(50\ \text{kg}\) rampa acima, com velocidade constante, numa rampa com \(\mathrm{sen}\,\theta = 0{,}6\), \(\cos\theta = 0{,}8\) e \(\mu_c = 0{,}5\). Qual força paralela à rampa é necessária? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(P_x = 500 \cdot 0{,}6 = 300\ \text{N}\) (para baixo da rampa)
    \(N = 500 \cdot 0{,}8 = 400\ \text{N}\); \(f_c = 0{,}5 \cdot 400 = 200\ \text{N}\) (subindo, o atrito aponta para baixo)
    Com velocidade constante, \(F = P_x + f_c = 300 + 200\)
    \(F = 500\ \text{N}\)
PASSO 8

Vários blocos, uma só aceleração

Quando blocos andam juntos (encostados, ou ligados por um fio esticado), todos têm a mesma aceleração. O truque que usamos é fazer duas contas, uma com o sistema inteiro (para achar \(a\)) e outra com um bloco só (para achar a força entre eles).

Com blocos encostados, a força \(F\) acelera os dois, e o de trás empurra o da frente com a força de contato, enquanto no caso do bloco na mesa + bloco pendurado só o peso do pendurado puxa o sistema. Já na máquina de Atwood, com dois blocos numa polia, é a diferença dos pesos que acelera as duas massas.

Encostados: \(a = \dfrac{F}{m_1 + m_2}\), \(F_c = m_2\,a\)Mesa: \(a = \dfrac{m_2\,g}{m_1 + m_2}\), \(T = m_1\,a\)Atwood: \(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2}\)\(T = \dfrac{2\,m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2}\)Supomos fio ideal (sem massa, não estica) e polia ideal, de modo que a tração é a mesma nas duas pontas, e desprezamos o atrito. Usamos \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

peso   normal   tração   força aplicada   contato

Para conversar

  • No modo "mesa", a tração é maior ou menor que o peso do bloco pendurado? Nossa intuição tende a dizer que são iguais; faça sua aposta e confira nos diagramas.
  • Na Atwood, deixe as massas iguais e veja o que acontece. E com 3 kg e 2 kg, a aceleração que medimos dá 2 m/s²?
  • Nos blocos encostados, troque as massas de lugar. A aceleração muda, e o que acontece com a força de contato?
  • Em cada diagrama, a soma das forças que vemos dá exatamente \(m \cdot a\) daquele bloco?
Aceleração
Tração
Peso do bloco 1
Peso do bloco 2
Velocidade
Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Dois blocos encostados, A (\(3\ \text{kg}\)) e B (\(2\ \text{kg}\)), estão numa mesa sem atrito. Uma força de \(20\ \text{N}\) empurra A, que empurra B. Quais são a aceleração e a força de contato entre eles?

    Ver resolução
    Sistema: \(a = \dfrac{F}{m_A + m_B} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{m/s}^2\)
    A única força horizontal em B é a de contato, \(F_c = m_B\,a = 2 \cdot 4 = 8\ \text{N}\)
    \(a = 4\ \text{m/s}^2\); força de contato \(8\ \text{N}\).
  2. básico

    Na situação anterior, a mesma força de \(20\ \text{N}\) passa a empurrar o bloco B (de \(2\ \text{kg}\)), que empurra A. Qual é a força de contato agora?

    Ver resolução
    A aceleração não muda, \(a = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{m/s}^2\).
    Agora quem é empurrado pelo contato é A, com \(F_c = m_A\,a = 3 \cdot 4 = 12\ \text{N}\).
    \(F_c = 12\ \text{N}\): é maior quando se empurra pelo lado do bloco mais leve.
  3. básico

    Numa máquina de Atwood, penduramos blocos de \(3\ \text{kg}\) e \(2\ \text{kg}\). Qual é a aceleração? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2} = \dfrac{(3 - 2) \cdot 10}{5}\)
    \(a = 2\ \text{m/s}^2\) (o de \(3\ \text{kg}\) desce).
  4. básico

    Numa máquina de Atwood com massas iguais, um dos blocos recebe um empurrãozinho. O que acontece depois?

    Ver resolução
    Com massas iguais, \(a = \dfrac{(m - m)\,g}{2m} = 0\).
    Com aceleração nula, a velocidade fica constante (1ª lei).
    Os blocos seguem com a velocidade que ganharam, constante.
  5. médio

    Um bloco de \(6\ \text{kg}\) está numa mesa sem atrito, ligado por um fio (que passa por uma polia na borda) a um bloco de \(2\ \text{kg}\) pendurado. Calcule a aceleração e a tração. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Só o peso do bloco pendurado move o sistema, e \(a = \dfrac{m_2\,g}{m_1 + m_2} = \dfrac{20}{8} = 2{,}5\ \text{m/s}^2\)
    Bloco da mesa: \(T = m_1\,a = 6 \cdot 2{,}5 = 15\ \text{N}\)
    Conferindo no pendurado: \(20 - 15 = 2 \cdot 2{,}5\) ✓
    \(a = 2{,}5\ \text{m/s}^2\); \(T = 15\ \text{N}\).
  6. médio

    Na máquina de Atwood com \(3\ \text{kg}\) e \(2\ \text{kg}\) (\(a = 2\ \text{m/s}^2\)), qual é a tração no fio? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Bloco de 2 kg (sobe): \(T - 20 = 2 \cdot 2\) \(\Rightarrow T = 24\ \text{N}\)
    Conferindo no de 3 kg (desce): \(30 - T = 3 \cdot 2\) \(\Rightarrow T = 24\ \text{N}\) ✓
    Pela fórmula: \(T = \dfrac{2\,m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 10}{5} = 24\ \text{N}\)
    \(T = 24\ \text{N}\)
  7. médio

    Uma locomotiva puxa dois vagões de \(1000\ \text{kg}\) cada, ligados por engates, com aceleração de \(0{,}5\ \text{m/s}^2\) e sem atrito. Qual é a força no engate locomotiva–vagão 1 e no engate vagão 1–vagão 2?

    Ver resolução
    O engate locomotiva–vagão 1 puxa os DOIS vagões, então \(T_1 = 2000 \cdot 0{,}5 = 1000\ \text{N}\)
    O engate vagão 1–vagão 2 puxa só o último, então \(T_2 = 1000 \cdot 0{,}5 = 500\ \text{N}\)
    \(T_1 = 1000\ \text{N}\); \(T_2 = 500\ \text{N}\).
  8. médio

    No sistema "bloco na mesa + bloco pendurado", a tração no fio é maior, menor ou igual ao peso do bloco pendurado enquanto ele desce acelerando? Por quê?

    Ver resolução
    O bloco pendurado acelera para baixo, então a resultante nele aponta para baixo, com \(P_2 - T = m_2\,a > 0\).
    Logo \(T < P_2\). Se fossem iguais, ele não aceleraria.
    Menor: \(T = P_2 - m_2\,a\).
  9. desafio

    Um bloco de \(4\ \text{kg}\) numa mesa com \(\mu_c = 0{,}25\) está ligado por um fio a um bloco pendurado de \(2\ \text{kg}\). Calcule a aceleração e a tração. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Atrito no bloco da mesa: \(f_c = 0{,}25 \cdot 40 = 10\ \text{N}\)
    Sistema: \(a = \dfrac{m_2\,g - f_c}{m_1 + m_2}\) \(= \dfrac{20 - 10}{6} \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2\)
    Bloco pendurado: \(T = 20 - 2 \cdot 1{,}67 \approx 16{,}7\ \text{N}\)
    Conferindo na mesa: \(T - 10 = 4 \cdot 1{,}67 \approx 6{,}7\) ✓
    \(a \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2\); \(T \approx 16{,}7\ \text{N}\).
  10. desafio

    Numa máquina de Atwood com \(5\ \text{kg}\) e \(3\ \text{kg}\), soltos do repouso, o bloco mais pesado está a \(1{,}0\ \text{m}\) do chão. Calcule a aceleração, a tração, o tempo até ele tocar o chão e a velocidade nesse instante. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(a = \dfrac{(5 - 3) \cdot 10}{8} = 2{,}5\ \text{m/s}^2\)
    \(T = \dfrac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 10}{8} = 37{,}5\ \text{N}\)
    \(1{,}0 = \dfrac{2{,}5\,t^2}{2}\) \(\Rightarrow t = \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89\ \text{s}\)
    \(v = a\,t \approx 2{,}5 \cdot 0{,}894 \approx 2{,}24\ \text{m/s}\)
    \(a = 2{,}5\ \text{m/s}^2\); \(T = 37{,}5\ \text{N}\); \(t \approx 0{,}89\ \text{s}\); \(v \approx 2{,}24\ \text{m/s}\).
PASSO 9

Trabalho e energia: o que se conserva na montanha-russa

Dizemos que uma força realiza trabalho quando desloca um corpo, e calculamos \(\tau = F\,d\cos\theta\), em que \(\theta\) é o ângulo entre a força e o deslocamento. Uma força perpendicular ao movimento não realiza trabalho.

O trabalho transfere energia. Um corpo em movimento tem energia cinética \(E_c\), e um corpo no alto tem energia potencial gravitacional \(E_p\). O teorema da energia cinética diz que o trabalho da resultante é a variação de \(E_c\).

Se desprezamos o atrito, a energia mecânica \(E_c + E_p\) se conserva, e o carrinho troca altura por velocidade e vice-versa, sem nunca passar da altura de onde saiu; com atrito, parte da energia vira calor (energia dissipada), e a soma das três continua igual à energia inicial.

\(\tau = F\,d\cos\theta\)\(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2}\)\(E_p = m\,g\,h\)\(\tau_R = \Delta E_c\)\(E_c + E_p = \text{constante}\) (sem atrito)Medimos energia e trabalho em joules, \(1\ \text{J} = 1\ \text{N} \cdot \text{m}\). Sem atrito, \(v = \sqrt{2\,g\,(h_0 - h)}\), independente da massa.

potencial \(E_p\)   cinética \(E_c\)   dissipada (calor)

Para conversar

  • Solte de 8 m sem atrito e observe se a barra total muda enquanto o carrinho anda. Em que ponto da pista a velocidade parece ser máxima?
  • A lombada tem 5 m. Qual é a menor altura inicial de que precisamos para passar por ela sem atrito? Vale testar 4,5 m e 5,5 m.
  • Ligue o atrito e acompanhe as barras. Para onde vai a energia que parece "sumir" das barras de \(E_c\) e \(E_p\)?
  • Com atrito, 6 m ainda bastam para passar a lombada? De que altura precisamos, então?
  • Mude a massa. As energias mudam, mas será que a velocidade em cada ponto também muda?
Altura
Velocidade
Cinética Ec
Potencial Ep
Dissipada
Total
Exercícios do passo 9 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma pessoa empurra uma caixa com força horizontal de \(50\ \text{N}\) por \(4\ \text{m}\), na direção do movimento. Qual é o trabalho realizado por essa força?

    Ver resolução
    Força e deslocamento estão no mesmo sentido, e \(\cos 0^\circ = 1\).
    \(\tau = F\,d\cos\theta = 50 \cdot 4 \cdot 1\)
    \(\tau = 200\ \text{J}\)
  2. básico

    Qual é a energia cinética de um carro de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\)?

    Ver resolução
    \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2} = \dfrac{1000 \cdot 400}{2}\)
    \(E_c = 200\,000\ \text{J} = 200\ \text{kJ}\)
  3. básico

    Qual é a energia potencial gravitacional de um vaso de \(2\ \text{kg}\) a \(5\ \text{m}\) do chão? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(E_p = m\,g\,h = 2 \cdot 10 \cdot 5\)
    \(E_p = 100\ \text{J}\)
  4. básico

    Uma pessoa carrega uma mochila andando em linha reta na horizontal, com velocidade constante. A força que ela faz para segurar a mochila (vertical, para cima) realiza trabalho?

    Ver resolução
    A força é vertical e o deslocamento é horizontal, então \(\theta = 90^\circ\) e \(\cos 90^\circ = 0\).
    \(\tau = F\,d\cos 90^\circ = 0\)
    Não: o trabalho dessa força é zero (embora a pessoa se canse).
  5. médio

    Um trenó é puxado por \(10\ \text{m}\) com uma corda que faz \(60^\circ\) com o chão, com tração de \(100\ \text{N}\). Qual é o trabalho da tração? (\(\cos 60^\circ = 0{,}5\))

    Ver resolução
    \(\tau = F\,d\cos\theta = 100 \cdot 10 \cdot 0{,}5\)
    Só a componente horizontal da força (\(50\ \text{N}\)) realiza trabalho.
    \(\tau = 500\ \text{J}\)
  6. médio

    Uma bola é solta de \(20\ \text{m}\) de altura. Desprezando o ar, com que velocidade chega ao chão? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Pela conservação da energia, \(m\,g\,h = \dfrac{m\,v^2}{2}\) (a massa se cancela).
    \(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = \sqrt{400}\)
    \(v = 20\ \text{m/s}\)
  7. médio

    Um carrinho de montanha-russa parte do repouso a \(45\ \text{m}\) de altura. Sem atrito, qual é sua velocidade num ponto a \(25\ \text{m}\) de altura? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(m\,g\,h_1 = m\,g\,h_2 + \dfrac{m\,v^2}{2}\)
    \(v = \sqrt{2\,g\,(h_1 - h_2)}\) \(= \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20}\) \(= \sqrt{400}\)
    \(v = 20\ \text{m/s}\)
  8. médio

    Um bloco de \(2\ \text{kg}\) passa de \(3\ \text{m/s}\) para \(7\ \text{m/s}\). Qual é o trabalho da força resultante? Se ela agiu ao longo de \(8\ \text{m}\), qual é o seu valor?

    Ver resolução
    Pelo teorema da energia cinética, \(\tau_R = \Delta E_c\) \(= \dfrac{2 \cdot 7^2}{2} - \dfrac{2 \cdot 3^2}{2}\) \(= 49 - 9\) \(= 40\ \text{J}\)
    \(F_R = \dfrac{\tau}{d} = \dfrac{40}{8} = 5\ \text{N}\)
    \(\tau = 40\ \text{J}\); \(F_R = 5\ \text{N}\).
  9. desafio

    Um skatista de \(50\ \text{kg}\) parte do repouso no alto de uma rampa de \(5\ \text{m}\) de altura e chega embaixo a \(8\ \text{m/s}\). Quanta energia foi dissipada? Que fração da energia inicial isso representa? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Inicial: \(E_p = 50 \cdot 10 \cdot 5 = 2500\ \text{J}\)
    Final: \(E_c = \dfrac{50 \cdot 64}{2} = 1600\ \text{J}\)
    Dissipada: \(2500 - 1600 = 900\ \text{J}\); fração \(\dfrac{900}{2500} = 0{,}36\)
    \(900\ \text{J}\), ou \(36\%\) da energia inicial (virou calor e som).
  10. desafio

    Um bloco de \(2\ \text{kg}\) é lançado a \(6\ \text{m/s}\) num piso horizontal com \(\mu_c = 0{,}3\). Usando energia, calcule quanto ele anda até parar. E se a velocidade inicial dobrar? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(E_c = \dfrac{2 \cdot 36}{2} = 36\ \text{J}\); \(f_c = 0{,}3 \cdot 20 = 6\ \text{N}\)
    O trabalho do atrito consome toda a \(E_c\), e \(f_c\,d = 36\) \(\Rightarrow d = 6\ \text{m}\)
    Com \(12\ \text{m/s}\): \(E_c = 144\ \text{J}\) (4 vezes), \(d = 24\ \text{m}\)
    \(d = 6\ \text{m}\); dobrando a velocidade, \(d = 24\ \text{m}\) (4 vezes mais).
PASSO 10

Parar devagar machuca menos: impulso e quantidade de movimento

Chamamos de quantidade de movimento o produto da massa pela velocidade, \(\vec Q = m\,\vec v\). Ela é um vetor, com o mesmo sentido da velocidade, e por isso uma bola que volta depois de bater na parede passa a ter \(Q\) com o sinal trocado.

Para mudar a quantidade de movimento de um corpo, precisamos aplicar uma força durante algum tempo. O produto \(\vec F\,\Delta t\) se chama impulso e, quando a força varia, o impulso é a área sob o gráfico \(F \times t\). Da 2ª lei, \(F = m\,\Delta v/\Delta t\), tiramos o teorema do impulso, segundo o qual o impulso da resultante é igual à variação da quantidade de movimento.

Pensemos num ovo que cai de certa altura e chega ao chão com uma quantidade de movimento bem definida, que ele precisa perder para parar, caia no concreto ou no colchão. O \(\Delta Q\) é o mesmo nos dois casos, e o que vemos mudar é o tempo da parada. Como \(F_{\text{média}} = \Delta Q/\Delta t\), um choque dez vezes mais longo exige uma força dez vezes menor.

\(\vec Q = m\,\vec v\)\(\vec I = \vec F\,\Delta t\)\(I = \text{área do gráfico } F \times t\)\(\vec I_R = \Delta \vec Q = m\,\vec v_f - m\,\vec v_i\)\(F_{\text{média}} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}\)Medimos \(Q\) em kg·m/s e \(I\) em N·s, que são a mesma unidade. Na simulação, o ovo tem 60 g e para sem quicar; como o peso dele (0,6 N) é pequeno perto da força do chão durante o choque, tratamos a força do chão como a resultante.

Esse é o princípio do airbag, do colchão de ginástica, da luva do goleiro e de dobrar os joelhos ao cair de um salto. Nesses casos, a quantidade de movimento a perder continua a mesma, e o que ganhamos é tempo de parada, com uma força de pico muito menor. Nossa intuição tende a atribuir a proteção à maciez do material, e talvez seja mais útil pensar nela como uma maneira de esticar o tempo do choque, já que é esse tempo que divide o \(\Delta Q\) e decide o tamanho da força.

concreto   grama   colchão

Para conversar

  • Solte o ovo de 1,8 m no concreto, depois na grama e no colchão. As três áreas sob as curvas parecem iguais? Confira os valores escritos no gráfico.
  • Compare os picos de força. Quantas vezes o pico no concreto é maior que no colchão, e quantas vezes o choque no colchão é mais longo? As duas razões parecem iguais?
  • Na grama, procure a maior altura da qual o ovo ainda sobrevive, baixando a altura aos poucos. Supomos que a casca racha com cerca de 25 N, um valor que vale só como ordem de grandeza.
  • Passe a altura de 0,8 m para 3,2 m, quatro vezes mais. O que acontece com a velocidade de chegada, com a área e com o pico de força? A resposta talvez não seja "quatro vezes".
Velocidade ao chegar
Quantidade de movimento
Impulso (área)
Duração do choque
Pico da força
Força média
Exercícios do passo 10 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Qual é a quantidade de movimento de uma bola de \(0{,}4\ \text{kg}\) a \(15\ \text{m/s}\)? E a de um carro de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\)?

    Ver resolução
    Em cada caso, multiplicamos a massa pela velocidade.
    Bola: \(Q = m\,v = 0{,}4 \cdot 15 = 6\ \text{kg·m/s}\)
    Carro: \(Q = 1000 \cdot 20 = 20\,000\ \text{kg·m/s}\)
    \(6\ \text{kg·m/s}\) para a bola e \(20\,000\ \text{kg·m/s}\) para o carro, no sentido do movimento de cada um.
  2. básico

    Uma força constante de \(50\ \text{N}\) age sobre um corpo durante \(0{,}2\ \text{s}\). Qual é o impulso dessa força?

    Ver resolução
    Com a força constante, o impulso é o produto da força pelo tempo.
    \(I = F\,\Delta t = 50 \cdot 0{,}2\)
    \(I = 10\ \text{N·s}\), no sentido da força.
  3. básico

    Ao agarrar uma bola forte, o goleiro recua as mãos junto com ela, e a luva tem espuma grossa. Por que isso protege as mãos?

    Ver resolução
    A bola precisa perder toda a sua quantidade de movimento, e esse \(\Delta Q\) não depende de como o goleiro a segura.
    Recuando as mãos e deixando a espuma afundar, ele aumenta o tempo \(\Delta t\) da parada.
    Como \(F_{\text{média}} = \Delta Q/\Delta t\), um tempo maior significa uma força menor nas mãos.
    O \(\Delta Q\) é o mesmo; com mais tempo de parada, a força sobre as mãos é menor.
  4. básico

    Um carrinho de \(2\ \text{kg}\), inicialmente em repouso, recebe um impulso de \(8\ \text{N·s}\). Com que velocidade ele sai?

    Ver resolução
    Pelo teorema do impulso, \(I = \Delta Q = m\,v - 0\).
    \(v = \dfrac{I}{m} = \dfrac{8}{2}\)
    \(v = 4\ \text{m/s}\), no sentido do impulso.
  5. médio

    Uma bola de \(0{,}5\ \text{kg}\) bate de frente numa parede a \(10\ \text{m/s}\) e volta a \(8\ \text{m/s}\) na mesma direção. Qual é o módulo da variação da quantidade de movimento? Se o contato durou \(0{,}03\ \text{s}\), qual foi a força média da parede?

    Ver resolução
    Tomamos como positivo o sentido em que a bola chega.
    \(Q_i = 0{,}5 \cdot 10 = 5\ \text{kg·m/s}\) e \(Q_f = 0{,}5 \cdot (-8) = -4\ \text{kg·m/s}\)
    \(\Delta Q = -4 - 5 = -9\ \text{kg·m/s}\), ou seja, \(9\ \text{kg·m/s}\) apontando para fora da parede.
    \(F_{\text{média}} = \dfrac{9}{0{,}03} = 300\ \text{N}\)
    \(|\Delta Q| = 9\ \text{kg·m/s}\); \(F_{\text{média}} = 300\ \text{N}\). Como a bola volta, as duas velocidades se somam no \(\Delta Q\).
  6. médio

    Num chute, a força do pé sobre uma bola de \(0{,}2\ \text{kg}\), parada, sobe de zero a \(400\ \text{N}\) em \(0{,}01\ \text{s}\) e volta a zero em mais \(0{,}01\ \text{s}\), formando um triângulo no gráfico \(F \times t\). Qual é o impulso, e com que velocidade a bola sai?

    Ver resolução
    O impulso é a área do triângulo, de base \(0{,}02\ \text{s}\) e altura \(400\ \text{N}\).
    \(I = \dfrac{0{,}02 \cdot 400}{2} = 4\ \text{N·s}\)
    \(v = \dfrac{I}{m} = \dfrac{4}{0{,}2} = 20\ \text{m/s}\)
    \(I = 4\ \text{N·s}\); a bola sai a \(20\ \text{m/s}\).
  7. médio

    Uma pessoa de \(70\ \text{kg}\) pula de um muro e chega ao chão a \(4\ \text{m/s}\). Com as pernas esticadas, ela para em \(0{,}05\ \text{s}\); dobrando os joelhos, em \(0{,}4\ \text{s}\). Qual é a força resultante média em cada caso?

    Ver resolução
    Nos dois casos, a pessoa perde \(\Delta Q = 70 \cdot 4 = 280\ \text{kg·m/s}\).
    Pernas esticadas: \(F = \dfrac{280}{0{,}05} = 5600\ \text{N}\)
    Joelhos dobrados: \(F = \dfrac{280}{0{,}4} = 700\ \text{N}\)
    O tempo ficou 8 vezes maior, e a força ficou 8 vezes menor.
    \(5600\ \text{N}\) com as pernas esticadas e \(700\ \text{N}\) dobrando os joelhos.
  8. médio

    Numa batida a \(20\ \text{m/s}\), um passageiro de \(60\ \text{kg}\) é freado pelo airbag em \(0{,}2\ \text{s}\). Sem airbag, ele bateria no painel e pararia em \(0{,}02\ \text{s}\). Compare as forças médias sobre ele.

    Ver resolução
    Em qualquer caso, \(\Delta Q = 60 \cdot 20 = 1200\ \text{kg·m/s}\).
    Com airbag: \(F = \dfrac{1200}{0{,}2} = 6000\ \text{N}\)
    Sem airbag: \(F = \dfrac{1200}{0{,}02} = 60\,000\ \text{N}\)
    \(6000\ \text{N}\) com airbag e \(60\,000\ \text{N}\) sem ele, uma força 10 vezes maior.
  9. desafio

    Um ovo de \(60\ \text{g}\) cai de \(1{,}8\ \text{m}\) e chega ao chão a \(6\ \text{m/s}\). Ele para em \(0{,}1\ \text{s}\) sobre um colchão ou em \(0{,}004\ \text{s}\) sobre o concreto. Qual é a força média que a superfície faz sobre o ovo em cada caso, levando em conta o peso? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    O impulso da resultante é \(\Delta Q = 0{,}06 \cdot 6 = 0{,}36\ \text{kg·m/s}\), e a resultante é a força da superfície menos o peso, \(F - m\,g\).
    Assim, \(F = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} + m\,g\), com \(m\,g = 0{,}6\ \text{N}\).
    Colchão: \(F = \dfrac{0{,}36}{0{,}1} + 0{,}6 = 3{,}6 + 0{,}6 = 4{,}2\ \text{N}\)
    Concreto: \(F = \dfrac{0{,}36}{0{,}004} + 0{,}6 = 90 + 0{,}6 = 90{,}6\ \text{N}\)
    No concreto, o peso pesa menos de 1% na conta, e é por isso que costumamos desprezá-lo em choques rápidos.
    \(4{,}2\ \text{N}\) no colchão e \(90{,}6\ \text{N}\) no concreto.
  10. desafio

    Uma mangueira lança \(2\ \text{kg}\) de água por segundo, a \(10\ \text{m/s}\), contra uma parede. A água bate e escorre, perdendo toda a velocidade horizontal. Qual força a água faz sobre a parede?

    Ver resolução
    A cada segundo, \(2\ \text{kg}\) de água perdem \(10\ \text{m/s}\) na horizontal.
    \(\Delta Q\) por segundo: \(2 \cdot 10 = 20\ \text{kg·m/s}\)
    A parede faz sobre a água \(F = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{20}{1} = 20\ \text{N}\) e, pela 3ª lei, a água empurra a parede com a mesma força.
    \(F = 20\ \text{N}\), empurrando a parede.
PASSO 11

Colisões: o que se conserva quando dois corpos se chocam

Num sistema isolado, em que a resultante das forças externas é nula (ou desprezível durante o choque), a quantidade de movimento total se conserva. Durante a colisão, cada carrinho empurra o outro com forças iguais e opostas (3ª lei) pelo mesmo tempo, de modo que os impulsos se cancelam e podemos dizer que o que um ganha de \(Q\) o outro perde.

Usamos o coeficiente de restituição \(e\) para comparar a velocidade com que os corpos se afastam depois do choque com a velocidade com que se aproximavam antes. Com \(e = 1\), a colisão é elástica; com \(0 < e < 1\), parcialmente elástica; e com \(e = 0\), perfeitamente inelástica, e os corpos saem grudados.

A energia cinética só se conserva na colisão elástica. Nas outras, parte dela vira calor, som e deformação, embora a quantidade de movimento total continue a mesma. Se jogamos uma contra a outra duas bolas iguais de massa de modelar, com velocidades opostas, elas param juntas, com \(Q = 0\) antes e depois e nenhuma \(E_c\) restante.

\(Q_{\text{antes}} = Q_{\text{depois}}\)\(m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1^{\prime} + m_2 v_2^{\prime}\)\(e = \dfrac{v_2^{\prime} - v_1^{\prime}}{v_1 - v_2}\)\(e = 0:\ v^{\prime} = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\)As velocidades têm sinal (positivo para a direita). Supomos o trilho sem atrito e o choque frontal, numa só direção. Com \(e = 1\) e massas iguais, os corpos trocam de velocidade.

Com a mesma conservação explicamos o recuo de uma arma ou de um canhão. Antes do disparo, \(Q = 0\); depois, a bala vai para a frente com quantidade de movimento \(m\,v\) e o canhão vai para trás com a mesma quantidade, só que com velocidade muito menor, porque a massa dele é muito maior. Os patinadores do passo 4, que se empurram a partir do repouso, são o mesmo caso.

No pêndulo de Newton, quando soltamos uma esfera de um lado, sai uma só do outro, com a mesma velocidade. Duas esferas com metade da velocidade teriam a mesma \(Q\), mas apenas metade da energia cinética, e as colisões entre esferas de aço, tipicamente quase elásticas, não permitem essa perda.

carrinho 1   carrinho 2   total

Para conversar

  • Em "Elástica, massas iguais", olhe as velocidades antes e depois do choque. O que os carrinhos parecem ter trocado?
  • Em "Grudam", compare as barras de \(Q\) e de \(E_c\) antes e depois. Qual total se manteve, e para onde terá ido a energia que parece faltar?
  • Em "Frente a frente", os dois param. A quantidade de movimento total sumiu, ou já era zero antes do choque?
  • Com o carrinho leve contra o muito pesado, o leve volta quase com a velocidade que tinha. Por que esse caso lembra tanto uma bola batendo numa parede?
  • Leve \(e\) de 1 até 0 sem mudar mais nada e acompanhe a barra de \(E_c\) depois do choque. A barra de \(Q\) total muda em algum momento?
Q total antes
Q total depois
Ec total antes
Ec total depois
v₁ depois
v₂ depois
Exercícios do passo 11 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um carrinho de \(2\ \text{kg}\) a \(3\ \text{m/s}\) bate num carrinho de \(1\ \text{kg}\) parado, e os dois saem grudados. Com que velocidade eles seguem? Despreze o atrito.

    Ver resolução
    Sem atrito, a quantidade de movimento total se conserva.
    \(2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = (2 + 1)\,v\)
    \(v = \dfrac{6}{3}\)
    \(v = 2\ \text{m/s}\), no sentido em que vinha o primeiro carrinho.
  2. básico

    O que se conserva numa colisão elástica (\(e = 1\)) e numa colisão perfeitamente inelástica (\(e = 0\)) entre dois corpos de um sistema isolado?

    Ver resolução
    Num sistema isolado, a quantidade de movimento total se conserva em qualquer colisão.
    A energia cinética total só se conserva na elástica; na perfeitamente inelástica os corpos grudam e parte da \(E_c\) vira calor, som e deformação.
    Elástica: \(Q\) e \(E_c\). Perfeitamente inelástica: só \(Q\).
  3. básico

    Um canhão de \(500\ \text{kg}\), parado, dispara uma bala de \(5\ \text{kg}\) a \(200\ \text{m/s}\). Desprezando o atrito com o chão, com que velocidade o canhão recua?

    Ver resolução
    Antes do disparo, \(Q = 0\), e o total continua zero depois.
    \(0 = 5 \cdot 200 + 500 \cdot v_c\)
    \(v_c = -\dfrac{1000}{500} = -2\ \text{m/s}\)
    O canhão recua a \(2\ \text{m/s}\), no sentido oposto ao da bala.
  4. básico

    Uma bola de bilhar a \(2\ \text{m/s}\) bate de frente numa bola igual, parada, numa colisão elástica. O que acontece com cada bola?

    Ver resolução
    Numa colisão elástica entre massas iguais, os corpos trocam de velocidade.
    A primeira para, e a segunda sai a \(2\ \text{m/s}\).
    Conferindo: \(Q\) antes \(= m \cdot 2\) e depois \(= m \cdot 2\); \(E_c\) antes \(= \dfrac{m \cdot 4}{2}\) e depois também.
    A bola que vinha para, e a outra sai a \(2\ \text{m/s}\).
  5. médio

    Dois carrinhos de \(1\ \text{kg}\) colidem de frente. Antes, o carrinho 1 vem a \(4\ \text{m/s}\) e o 2 está parado; depois, o 1 segue a \(1\ \text{m/s}\) e o 2 a \(3\ \text{m/s}\), no mesmo sentido. Qual é o coeficiente de restituição, e quanta energia cinética se perdeu?

    Ver resolução
    Conferimos antes a conservação: \(1 \cdot 4 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3\) ✓
    \(e = \dfrac{v_2^{\prime} - v_1^{\prime}}{v_1 - v_2}\) \(= \dfrac{3 - 1}{4 - 0}\) \(= 0{,}5\)
    \(E_c\) antes \(= \dfrac{1 \cdot 16}{2} = 8\ \text{J}\); depois \(= \dfrac{1 \cdot 1}{2} + \dfrac{1 \cdot 9}{2} = 5\ \text{J}\)
    \(e = 0{,}5\); perderam-se \(3\ \text{J}\) (37,5% da energia cinética).
  6. médio

    No primeiro exercício deste passo (\(2\ \text{kg}\) a \(3\ \text{m/s}\) contra \(1\ \text{kg}\) parado, que grudam), quanto vale a energia cinética antes e depois do choque?

    Ver resolução
    Antes: \(E_c = \dfrac{2 \cdot 3^2}{2} = 9\ \text{J}\)
    Depois, os dois seguem juntos a \(2\ \text{m/s}\), e \(E_c = \dfrac{3 \cdot 2^2}{2} = 6\ \text{J}\)
    Perderam-se \(3\ \text{J}\), um terço da energia inicial, em calor, som e deformação.
    \(9\ \text{J}\) antes e \(6\ \text{J}\) depois.
  7. médio

    Um carrinho de \(3\ \text{kg}\) a \(2\ \text{m/s}\) para a direita bate de frente num de \(2\ \text{kg}\) a \(4\ \text{m/s}\) para a esquerda, e eles grudam. Qual é a velocidade final do conjunto, e quanta energia cinética resta?

    Ver resolução
    Com a direita positiva, \(Q = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 - 8 = -2\ \text{kg·m/s}\).
    \(v = \dfrac{-2}{5} = -0{,}4\ \text{m/s}\)
    \(E_c\) antes \(= \dfrac{3 \cdot 4}{2} + \dfrac{2 \cdot 16}{2} = 6 + 16 = 22\ \text{J}\); depois \(= \dfrac{5 \cdot 0{,}16}{2} = 0{,}4\ \text{J}\)
    \(v = 0{,}4\ \text{m/s}\) para a esquerda; restam só \(0{,}4\ \text{J}\) dos \(22\ \text{J}\).
  8. médio

    No pêndulo de Newton, soltamos uma esfera de um lado e sai uma só do outro, com a mesma velocidade. Por que não saem duas esferas com metade da velocidade, se isso também conservaria a quantidade de movimento?

    Ver resolução
    Com uma esfera a \(v\): \(Q = m\,v\) e \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2}\).
    Com duas esferas a \(v/2\): \(Q = 2m \cdot \dfrac{v}{2} = m\,v\) ✓, mas \(E_c = \dfrac{2m}{2}\left(\dfrac{v}{2}\right)^2 = \dfrac{m\,v^2}{4}\), só metade.
    As colisões entre esferas de aço são quase elásticas e conservam também a energia cinética, e a única saída que conserva \(Q\) e \(E_c\) ao mesmo tempo é uma esfera com a mesma velocidade.
    Duas esferas a \(v/2\) perderiam metade da energia cinética, o que uma colisão quase elástica não permite.
  9. desafio

    Uma bala de \(10\ \text{g}\) a \(400\ \text{m/s}\) se crava num bloco de \(1{,}99\ \text{kg}\) pendurado por um fio (pêndulo balístico). Com que velocidade o conjunto começa a se mover, até que altura sobe e que fração da energia cinética da bala se perde no choque? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No choque, a quantidade de movimento se conserva: \(0{,}01 \cdot 400 = (0{,}01 + 1{,}99)\,v\) \(\Rightarrow v = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{m/s}\)
    Depois do choque, sem atrito, a energia mecânica se conserva: \(h = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2\ \text{m}\)
    \(E_c\) da bala \(= \dfrac{0{,}01 \cdot 400^2}{2} = 800\ \text{J}\); logo depois do choque, \(\dfrac{2 \cdot 2^2}{2} = 4\ \text{J}\)
    \(v = 2\ \text{m/s}\); sobe \(0{,}2\ \text{m}\); perde-se \(99{,}5\%\) da energia cinética.
  10. desafio

    Um carrinho de \(1\ \text{kg}\) a \(6\ \text{m/s}\) bate de frente num carrinho de \(2\ \text{kg}\) parado, numa colisão elástica. Calcule as velocidades depois do choque e confira a energia cinética.

    Ver resolução
    Conservação: \(1 \cdot 6 = 1 \cdot v_1^{\prime} + 2\,v_2^{\prime}\)
    Com \(e = 1\): \(v_2^{\prime} - v_1^{\prime} = 6 - 0 = 6\)
    Substituindo \(v_1^{\prime} = v_2^{\prime} - 6\): \(6 = v_2^{\prime} - 6 + 2\,v_2^{\prime}\) \(\Rightarrow v_2^{\prime} = 4\ \text{m/s}\) e \(v_1^{\prime} = -2\ \text{m/s}\)
    \(E_c\): antes \(\dfrac{1 \cdot 36}{2} = 18\ \text{J}\); depois \(\dfrac{1 \cdot 4}{2} + \dfrac{2 \cdot 16}{2} = 2 + 16 = 18\ \text{J}\) ✓
    O carrinho de \(1\ \text{kg}\) volta a \(2\ \text{m/s}\) e o de \(2\ \text{kg}\) sai a \(4\ \text{m/s}\).
FECHAMENTO

Desafios

Plano + energia

Um bloco desce, a partir do repouso, uma rampa sem atrito de \(1{,}8\ \text{m}\) de altura. Com que velocidade chega embaixo? Muda algo se a rampa for mais inclinada? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Ver resolução
\(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{36} = 6\ \text{m/s}\)
A velocidade final não depende do ângulo, e uma rampa mais inclinada só faz o bloco chegar mais rápido (maior \(a = g\,\mathrm{sen}\,\theta\)).
Ação e reação + inércia

Patinadores de \(45\ \text{kg}\) e \(90\ \text{kg}\) se empurram com \(180\ \text{N}\) durante \(0{,}5\ \text{s}\). Com que velocidade cada um sai, e o que acontece depois no gelo sem atrito?

Ver resolução
\(v_1 = \dfrac{180}{45} \cdot 0{,}5 = 2\ \text{m/s}\); \(v_2 = \dfrac{180}{90} \cdot 0{,}5 = 1\ \text{m/s}\)
Depois do empurrão, a resultante é zero, e cada um segue com velocidade constante (1ª lei).
Peso e normal

Uma pessoa de \(50\ \text{kg}\) numa balança de elevador lê \(40\ \text{kg}\). Qual é a aceleração do elevador? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Ver resolução
\(N = 400\ \text{N}\); \(N = m\,(g + a)\) \(\Rightarrow 400 = 50\,(10 + a)\)
\(a = -2\ \text{m/s}^2\): \(2\ \text{m/s}^2\) para baixo (descendo e acelerando, ou subindo e freando).
Polias + energia

Numa máquina de Atwood com \(3\ \text{kg}\) e \(1\ \text{kg}\), soltas do repouso, qual é a velocidade depois que o bloco pesado desce \(1\ \text{m}\)? Resolva pela 2ª lei e confira com energia. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Ver resolução
\(a = \dfrac{(3 - 1) \cdot 10}{4} = 5\ \text{m/s}^2\); \(v = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\ \text{m/s}\)
Pela energia, o sistema perde \(30 - 10 = 20\ \text{J}\) de \(E_p\), e \(\dfrac{4\,v^2}{2} = 20\) \(\Rightarrow v^2 = 10\) ✓
Trabalho do atrito

Um carro de \(1000\ \text{kg}\) a \(30\ \text{m/s}\) freia até parar com atrito de \(\mu = 0{,}6\). Use energia para achar a distância de frenagem. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Ver resolução
\(E_c = \dfrac{1000 \cdot 900}{2} = 450\,000\ \text{J}\); \(f = 0{,}6 \cdot 10\,000 = 6000\ \text{N}\)
\(f\,d = E_c\) \(\Rightarrow d = \dfrac{450\,000}{6000} = 75\ \text{m}\)
Impulso + peso

Uma pessoa de \(60\ \text{kg}\) pula de \(1{,}25\ \text{m}\) de altura. Qual é a força média do chão sobre ela se parar em \(0{,}02\ \text{s}\), com as pernas esticadas, ou em \(0{,}25\ \text{s}\), dobrando os joelhos? Compare com o peso. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Ver resolução
\(v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1{,}25} = 5\ \text{m/s}\); \(\Delta Q = 60 \cdot 5 = 300\ \text{kg·m/s}\)
O chão precisa parar a pessoa e ainda sustentar o peso, e \(F = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} + m\,g\).
Esticadas: \(F = 15\,000 + 600 = 15\,600\ \text{N}\), cerca de 26 vezes o peso.
Dobrando os joelhos: \(F = 1200 + 600 = 1800\ \text{N}\), 3 vezes o peso.
Colisão + atrito

Um carro de \(1000\ \text{kg}\) a \(20\ \text{m/s}\) bate na traseira de um carro parado de \(1500\ \text{kg}\), e os dois seguem engatados, freados pelo atrito com \(\mu = 0{,}5\). Quanto eles deslizam, e quanta energia cinética se perdeu no choque? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

Ver resolução
No choque, \(1000 \cdot 20 = 2500\,v\) \(\Rightarrow v = 8\ \text{m/s}\)
Depois, o atrito freia com \(a = \mu\,g = 5\ \text{m/s}^2\), e \(d = \dfrac{8^2}{2 \cdot 5} = 6{,}4\ \text{m}\)
\(E_c\): \(200\ \text{kJ}\) antes e \(\dfrac{2500 \cdot 64}{2} = 80\ \text{kJ}\) depois, e perderam-se \(120\ \text{kJ}\) (60%) na batida.
Pensar, sem conta

Num cabo de guerra, pela 3ª lei, a corda puxa as duas equipes com a mesma força. Então como uma equipe pode ganhar, se a nossa intuição tende a dar a vitória a quem puxa a corda com mais força?

Ver resolução
A corda puxa as duas igualmente, mas cada equipe também recebe a força de atrito do chão nos pés.
Ganha quem empurra o chão com mais força (e tem mais atrito), e, para essa equipe, a resultante aponta para o seu lado.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos estas cinco questões no formato do ENEM, cada uma com um texto-base tirado do dia a dia, um comando e cinco alternativas, das quais só uma está certa. Os distratores repetem erros que costumamos ver em sala, e talvez valha ler a resolução mesmo quando você acertar. Mais abaixo estão questões reais da prova para treinar.

  1. Peso, normal e 2ª lei · Passos 3 e 5

    Um vídeo que circula muito nas redes mostra alguém de pé numa balança de banheiro dentro de um elevador, com o número do visor mudando durante a viagem. Lucas, que tem 60 kg, repetiu a experiência no prédio onde mora. Ele subiu do térreo ao 10º andar e anotou o que a balança marcava em cada trecho.

    Leitura da balança durante a subida
    TrechoLeitura (kg)
    Parado no térreo60,0
    Partindo para cima67,2
    Subindo com velocidade constante60,0
    Freando perto do 10º andar51,0

    Sabemos que a balança mede a força normal e mostra esse valor dividido por 10. Com g = 10 m/s², qual é a aceleração do elevador no último trecho?

    1. 1,5 m/s², para baixo.
    2. 1,5 m/s², para cima.
    3. 8,5 m/s², para baixo.
    4. 9,0 m/s², para baixo.
    5. Zero, porque a massa de Lucas não muda durante a viagem.
    Ver resolução
    Resposta: A.
    Uma leitura de 51,0 "kg" corresponde a uma normal de \(510\ \text{N}\), menor que o peso de \(600\ \text{N}\).
    \(N - P = m\,a\)
    \(510 - 600 = 60\,a\)
    \(a = -1{,}5\ \text{m/s}^2\)
    Com o sinal negativo, a aceleração aponta para baixo, como esperamos de um elevador que sobe e está freando.
    B acerta o módulo e perde o sentido, C confunde a aceleração com \(g + a\), D toma a diferença de 9 "kg" como se fosse a aceleração, e E supõe que a balança mede a massa. Talvez surpreenda que, na subida com velocidade constante, a leitura volte a ser 60,0.
  2. Plano inclinado com atrito · Passos 6 e 7

    Para descarregar caixas de um caminhão sem carregá-las no colo, um entregador apoia na carroceria, a 1,8 m do chão, uma prancha de madeira de 3,0 m de comprimento e deixa as caixas escorregarem por ela. Vamos supor que, entre o papelão e a madeira, os coeficientes de atrito sejam \(\mu_e = 0{,}5\) e \(\mu_c = 0{,}4\), e usar g = 10 m/s².

    Uma caixa colocada em repouso no alto da prancha começa a descer? Se descer, com que aceleração?

    1. Desce, com 2,0 m/s².
    2. Desce, com 2,8 m/s².
    3. Desce, com 5,6 m/s².
    4. Desce, com 6,0 m/s².
    5. Não desce, porque o atrito estático segura a caixa.
    Ver resolução
    Resposta: B.
    A prancha faz com o chão um ângulo \(\theta\) tal que \(\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6\), e então \(\cos\theta = 0{,}8\) e \(\mathrm{tg}\,\theta = 0{,}75\).
    Como \(\mathrm{tg}\,\theta = 0{,}75\) passa de \(\mu_e = 0{,}5\), o atrito estático não consegue segurar a caixa, e ela escorrega.
    \(a = g\,(\mathrm{sen}\,\theta - \mu_c\cos\theta)\)
    \(a = 10\,(0{,}6 - 0{,}4 \cdot 0{,}8)\)
    \(a = 2{,}8\ \text{m/s}^2\)
    A desconta o atrito sem o \(\cos\theta\) \((0{,}6 - 0{,}4)\), C troca o seno pelo cosseno \((0{,}8 - 0{,}4 \cdot 0{,}6)\), D despreza o atrito, e E parece vir da intuição de que uma caixa parada só sai do lugar se alguém a empurrar. A massa da caixa nem entrou na conta, algo que costuma surpreender.
  3. Energia mecânica e dissipação · Passo 9

    Numa pista de skate em forma de U, o half-pipe, o skatista troca altura por velocidade a cada descida. Pedro, de 50 kg, parte do repouso na borda de uma pista com 3,2 m de altura, e um amigo, com um radar de velocidade, mede 7,0 m/s no ponto mais baixo. Se não houvesse atrito nem resistência do ar, Pedro chegaria lá embaixo a 8,0 m/s.

    Que fração da energia mecânica inicial de Pedro foi dissipada nessa descida?

    1. 0%
    2. 12,5%
    3. Cerca de 23%
    4. Cerca de 77%
    5. 87,5%
    Ver resolução
    Resposta: C.
    Se tomamos o ponto mais baixo como referência, toda a energia inicial de Pedro é potencial.
    \(E_p = 50 \cdot 10 \cdot 3{,}2 = 1600\ \text{J}\)
    \(E_c = \dfrac{50 \cdot 7^2}{2} = 1225\ \text{J}\)
    \(\dfrac{1600 - 1225}{1600} = \dfrac{375}{1600} \approx 0{,}23\)
    B compara as velocidades \((1 - 7/8)\) e esquece que a energia depende de \(v^2\), D é a fração que sobrou como energia cinética, E é a razão \(7/8\), e A supõe que a energia mecânica se conserva, o que só vale se desprezamos o atrito e o ar. Uma perda de 1 m/s pode parecer pequena e, mesmo assim, leva quase um quarto da energia.
  4. Impulso e quantidade de movimento · Passo 10

    Capinhas de silicone tendem a salvar celulares de quedas que, sem elas, trincariam a tela. Um aparelho de 200 g escorrega do bolso, cai de 1,25 m e para no piso sem quicar. Vamos supor que, sem capinha, o choque com o piso dure 4 ms e que, com a capinha, ele dure 20 ms, e desprezar a resistência do ar (g = 10 m/s²).

    Qual é, aproximadamente, a força média que o piso exerce sobre o celular com capinha durante o choque?

    1. 0,05 N
    2. 2 N
    3. 50 N
    4. 100 N
    5. 250 N
    Ver resolução
    Resposta: C.
    O celular chega ao piso com a velocidade de uma queda livre de 1,25 m.
    \(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{25} = 5\ \text{m/s}\)
    Para parar, ele precisa perder toda a quantidade de movimento, \(\Delta Q = 0{,}2 \cdot 5 = 1\ \text{kg·m/s}\), com ou sem capinha.
    \(F_{\text{média}} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{1}{0{,}020} = 50\ \text{N}\)
    O peso do celular, de 2 N, é pequeno perto disso, e por isso tratamos a força do piso como a resultante, como fizemos com o ovo da simulação.
    A deixa o tempo em milissegundos, B fica só com o peso, D supõe que o celular volta com a mesma velocidade e E é a força sem capinha \((1/0{,}004)\). Com a capinha, o \(\Delta Q\) continua o mesmo, e um choque cinco vezes mais longo divide a força por cinco.
  5. Colisões · Passo 11

    Nos pátios de manobra das ferrovias, os vagões são engatados por choque, e o engate automático os mantém unidos daí em diante. Um vagão de 30 t, a 2,0 m/s, atinge outro de 20 t parado nos trilhos, e os dois seguem juntos. Podemos supor que, durante o choque, o atrito com os trilhos seja desprezível.

    Logo depois do engate, qual é a velocidade dos dois vagões, e que fração da energia cinética inicial se perdeu no choque?

    1. 2,0 m/s, sem nenhuma perda de energia cinética.
    2. 1,2 m/s, sem nenhuma perda de energia cinética.
    3. 3,0 m/s, com perda de 40%.
    4. 1,2 m/s, com perda de 40%.
    5. 1,2 m/s, com perda de 60%.
    Ver resolução
    Resposta: D.
    Durante o choque, os dois vagões formam um sistema isolado, e a quantidade de movimento total se conserva.
    \(30 \cdot 2{,}0 = (30 + 20)\,v\)
    \(v = \dfrac{60}{50} = 1{,}2\ \text{m/s}\)
    \(E_{c,\text{antes}} = \dfrac{30\,000 \cdot 2^2}{2} = 60\ \text{kJ}\)
    \(E_{c,\text{depois}} = \dfrac{50\,000 \cdot 1{,}2^2}{2} = 36\ \text{kJ}\)
    \(\dfrac{60 - 36}{60} = 0{,}40\)
    A imagina que o vagão parado sai com toda a velocidade do outro, o que só ocorre numa colisão elástica entre massas iguais, B supõe que a energia cinética se conserva junto com a quantidade de movimento, C troca as massas na conta e E é a fração que sobrou. Os 24 kJ que faltam viram calor, som e deformação do engate.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos achar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número. Até 2016, Ciências da Natureza caía no 1º dia.

  • ENEM 2011, 1º dia, caderno azul, questão 86. As etapas de um salto com vara servem para discutir que transformação de energia deixa o atleta subir o mais alto possível, se desprezamos as forças dissipativas.
  • ENEM 2013, 1º dia, caderno azul, questão 76. Uma pessoa sobe uma rampa empurrando o chão com os pés, e a questão pede a direção e o sentido da força de atrito que o chão faz sobre ela.
  • ENEM 2016, 1º dia, caderno azul, questão 77. Num trilho de ar, um carrinho de massa conhecida bate num carrinho parado e os dois seguem juntos, e com os tempos dos sensores é preciso descobrir a massa do segundo carrinho.
  • ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 99. Os gráficos da força de cinco modelos de cinto de segurança numa colisão frontal permitem escolher o de menor risco para o motorista, e a escolha depende do tempo de contato.
  • ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 114. Uma carga presa por duas cordas na carroceria de um caminhão, com atrito no piso, tem as trações nas cordas calculadas na arrancada e na freada.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Resultante (perpendiculares)\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\)
1ª e 2ª leis\(F_R = m\,a\) (com \(F_R = 0\), \(v\) constante)
3ª lei\(\vec F_{A \to B} = -\vec F_{B \to A}\)
Peso e normal no elevador\(P = m\,g \quad N = m\,(g + a)\)
Atrito\(f_e \le \mu_e N \quad f_c = \mu_c N\)
Plano inclinado\(P_x = P\,\mathrm{sen}\,\theta \quad N = P\cos\theta\)
Começa a escorregar\(\mathrm{tg}\,\theta = \mu_e\)
Atwood\(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2}\)
Trabalho\(\tau = F\,d\cos\theta\)
Energias\(E_c = \tfrac{m v^2}{2} \quad E_p = m g h\)
Quantidade de movimento e impulso\(\vec Q = m\,\vec v \quad I = F\,\Delta t = \Delta Q\)
Colisões (sistema isolado)\(Q_{\text{antes}} = Q_{\text{depois}} \quad e = \dfrac{v_{\text{afast}}}{v_{\text{aprox}}}\)