Física · Ensino Médio · Estática

Estática

A ponte que aguenta caminhões, o quadro torto na parede, a chave de roda que só funciona com um cano encaixado e a pilha de livros que desaba fora de hora obedecem às mesmas duas regras. A estática estuda os corpos em equilíbrio, e veremos que eles precisam ter resultante nula e, quando podem girar, também momento resultante nulo. Partimos de um ponto pendurado por fios, passamos pelo torque, pelas alavancas e pelo centro de massa, e chegamos às pontes e às roldanas. Nas contas da aula usamos \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

1Equilíbrio de um ponto
2Momento de uma força
3Corpo extenso
4Alavancas
5Centro de massa
6Viga em dois apoios
7Roldanas
✓Desafios

PASSO 1

Por que o varal nunca fica reto?

Quando o tamanho de um corpo e a sua rotação não importam para o problema, podemos tratá-lo como um ponto material. Ele fica em equilíbrio quando a resultante das forças que agem sobre ele é nula, e como as forças são vetores, a soma precisa dar zero na horizontal e na vertical, separadamente.

Para somar forças inclinadas, decompomos cada uma em duas componentes perpendiculares, usando o seno e o cosseno do ângulo. No quadro pendurado por dois fios iguais, as componentes horizontais das trações se cancelam, e as verticais, juntas, sustentam o peso.

Daí sai um resultado que costuma surpreender. Quanto mais os fios se abrem, menor fica a componente vertical de cada tração, e a tração precisa crescer para continuar segurando o mesmo peso. Com os fios na horizontal nenhuma tração bastaria, e é por isso que um varal com roupa cede um pouco no meio, por mais que o estiquemos.

\(\vec F_R = \vec 0\)\(\sum F_x = 0\ \text{ e }\ \sum F_y = 0\)\(F_x = F\cos\theta\)\(F_y = F\,\mathrm{sen}\,\theta\)\(T = \dfrac{P}{2\cos\theta}\) (fios simétricos)Nos fios simétricos, \(\theta\) é o ângulo de cada fio com a vertical. Supomos fios ideais, sem massa e inextensíveis, e \(g = 10\ \text{m/s}^2\). No triângulo de forças, desenhamos \(\vec P\), \(\vec T_2\) e \(\vec T_1\) um depois do outro, e a figura fecha porque a resultante é nula.

peso P tração T₁ (fio da esquerda) tração T₂ (fio da direita)

Para conversar

Comece com os fios quase verticais e vá abrindo aos poucos. Em que ângulo cada tração fica igual ao peso do quadro?
Leve a abertura até 85° e compare as trações com o peso. Por que um varal muito esticado pode arrebentar com pouca roupa?
Crie uma assimetria e veja qual fio passa a puxar mais. Nossa primeira intuição tende a apostar no fio mais comprido, e vale conferir se ela acerta.
Dobre a massa do quadro sem mexer nos ângulos. O triângulo de forças muda de forma ou só de tamanho?

Abertura dos fios

Assimetria

Massa do quadro

Peso P

Tração T₁

Tração T₂

Maior tração

Resultante

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um vaso de planta de 2 kg está pendurado no teto por um único fio vertical e permanece parado. Qual é a tração no fio? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Parado, o vaso está em equilíbrio, e as duas forças que agem nele, o peso para baixo e a tração para cima, precisam se anular.
O peso é \(P = m\,g = 2 \cdot 10\), e a tração tem o mesmo módulo.
\(T = 20\ \text{N}\)
básico
Ao pendurar roupa molhada num varal, ninguém consegue deixar a corda perfeitamente reta, por mais que a estique. Por que isso acontece?

Ver resolução
No ponto em que a roupa está presa, as trações dos dois lados da corda precisam ter uma componente vertical que equilibre o peso da roupa.
Com a corda reta e horizontal, essa componente seria zero, e nenhuma tração, por maior que fosse, sustentaria a roupa.
A corda sempre cede um pouco, porque só inclinada ela tem componente vertical para segurar o peso.
básico
Um quadro de 4 kg está pendurado por dois fios verticais iguais, presos nas duas pontas da moldura. Qual é a tração em cada fio? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Com os fios verticais e simétricos, cada um sustenta metade do peso \(P = 4 \cdot 10 = 40\ \text{N}\).
\(T = 20\ \text{N}\) em cada fio
básico
Uma força de 10 N puxa um caixote formando 60° com o chão. Quais são as componentes horizontal e vertical da força? Use \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) e \(\mathrm{sen}\,60^\circ \approx 0{,}87\).

Ver resolução
A componente horizontal é a projeção da força no chão, \(F_x = F\cos 60^\circ = 10 \cdot 0{,}5\), e a vertical é \(F_y = F\,\mathrm{sen}\,60^\circ = 10 \cdot 0{,}87\).
\(F_x = 5\ \text{N}\) e \(F_y \approx 8{,}7\ \text{N}\)
médio
Um quadro de 3 kg está pendurado num prego por dois fios simétricos, cada um formando 60° com a vertical. Qual é a tração em cada fio? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Lembre que \(\cos 60^\circ = 0{,}5\).

Ver resolução
As componentes horizontais das duas trações se anulam, e as verticais somam o peso, \(2\,T\cos\theta = P\).
Com \(P = 30\ \text{N}\), temos \(T = \dfrac{P}{2\cos\theta} = \dfrac{30}{2 \cdot 0{,}5}\).
\(T = 30\ \text{N}\), o peso inteiro em cada fio, embora sejam dois
médio
Uma luminária de 2,4 kg fica presa por dois cabos simétricos, cada um a 37° da vertical. Qual é a tração em cada cabo? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\cos 37^\circ = 0{,}8\).

Ver resolução
No caso simétrico, \(2\,T\cos\theta = P\), com \(P = 24\ \text{N}\).
Daí \(T = \dfrac{24}{2 \cdot 0{,}8} = \dfrac{24}{1{,}6}\).
\(T = 15\ \text{N}\)
médio
Um saco de 5 kg pende de uma corda. Gabriel empurra o saco com uma força horizontal até a corda formar 37° com a vertical, e o saco fica parado. Qual é a força de Gabriel, e qual é a tração na corda? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\mathrm{sen}\,37^\circ = 0{,}6\) e \(\cos 37^\circ = 0{,}8\).

Ver resolução
Na vertical, só a corda segura o peso, \(T\cos 37^\circ = 50\), e então \(T = \dfrac{50}{0{,}8} = 62{,}5\ \text{N}\).
Na horizontal, a força de Gabriel equilibra a componente horizontal da tração, \(F = T\,\mathrm{sen}\,37^\circ = 62{,}5 \cdot 0{,}6\).
\(F = 37{,}5\ \text{N}\) e \(T = 62{,}5\ \text{N}\)
médio
Um semáforo de 6 kg está preso a um cabo horizontal, amarrado a um poste, e a um segundo cabo que sobe até o alto de outro poste formando 37° com a horizontal. Quais são as trações nos dois cabos? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\mathrm{sen}\,37^\circ = 0{,}6\) e \(\cos 37^\circ = 0{,}8\).

Ver resolução
Só o cabo inclinado tem componente vertical, e ela sustenta todo o peso, \(T_2\,\mathrm{sen}\,37^\circ = 60\), o que dá \(T_2 = \dfrac{60}{0{,}6} = 100\ \text{N}\).
O cabo horizontal equilibra a componente horizontal do outro, \(T_1 = T_2\cos 37^\circ\) \(= 100 \cdot 0{,}8\).
\(T_1 = 80\ \text{N}\) no cabo horizontal e \(T_2 = 100\ \text{N}\) no inclinado
desafio
Uma camiseta molhada de 2 kg está presa bem no meio de um varal, e cada metade da corda forma um ângulo \(\alpha\) com a horizontal. A corda arrebenta acima de 200 N. Qual é o menor ângulo \(\alpha\) que ela aguenta? E qual seria a tração se o ângulo fosse 5°? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\mathrm{sen}\,5^\circ \approx 0{,}087\).

Ver resolução
Com o ângulo medido a partir da horizontal, as componentes verticais somam o peso, \(2\,T\,\mathrm{sen}\,\alpha = P\), e \(T = \dfrac{P}{2\,\mathrm{sen}\,\alpha}\).
No limite, \(\mathrm{sen}\,\alpha = \dfrac{20}{2 \cdot 200} = 0{,}05\), o que corresponde a \(\alpha \approx 2{,}9^\circ\).
Com \(\alpha = 5^\circ\), \(T = \dfrac{20}{2 \cdot 0{,}087} \approx 115\ \text{N}\), mais de cinco vezes o peso da camiseta.
O ângulo não pode ser menor que cerca de 2,9°, e a 5° a tração é de uns 115 N.
desafio
Um quadro de 5 kg está pendurado por dois fios presos em pregos diferentes. O fio A forma 37° com a horizontal e o fio B, 53°, de modo que os dois fios são perpendiculares entre si. Calcule as trações. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\mathrm{sen}\,37^\circ = \cos 53^\circ = 0{,}6\) e \(\cos 37^\circ = \mathrm{sen}\,53^\circ = 0{,}8\).

Ver resolução
Na horizontal, \(T_A\cos 37^\circ = T_B\cos 53^\circ\), ou \(0{,}8\,T_A = 0{,}6\,T_B\).
Na vertical, \(T_A\,\mathrm{sen}\,37^\circ + T_B\,\mathrm{sen}\,53^\circ = 50\), ou \(0{,}6\,T_A + 0{,}8\,T_B = 50\).
Como os fios são perpendiculares, o triângulo de forças é retângulo, com o peso na hipotenusa e as trações nos catetos, \(T_A = 50 \cdot 0{,}6\) e \(T_B = 50 \cdot 0{,}8\) (substituindo, as duas equações se verificam).
\(T_A = 30\ \text{N}\) e \(T_B = 40\ \text{N}\); o fio mais inclinado em relação à horizontal, o B, puxa mais

PASSO 2

O que faz uma porta girar

Uma força aplicada num corpo que pode girar em torno de um eixo produz um momento, também chamado de torque. Ele depende da força e da distância entre o eixo e a linha de ação dela, que chamamos de braço de alavanca \(d\).

Com a força perpendicular à barra, o braço é a própria distância do eixo ao ponto de aplicação. Inclinada, só a componente perpendicular faz girar, e o momento ganha o fator \(\mathrm{sen}\,\theta\). Se puxamos a chave na direção dela mesma, nada gira, porque a linha de ação passa pelo eixo.

Por isso a maçaneta fica longe das dobradiças, e quem empurra a porta perto delas precisa de muito mais força para abri-la. Na chave de roda, um cano encaixado no cabo aumenta o braço e pode soltar um parafuso que a mão sozinha não soltava.

Para somar momentos, damos a cada um o sinal do sentido em que ele gira o corpo, e aqui adotamos como positivo o sentido anti-horário.

\(M = F\,d\)\(d = r\,\mathrm{sen}\,\theta\)\(M = F\,r\,\mathrm{sen}\,\theta\)unidade: \(\text{N}\cdot\text{m}\)\(r\) é a distância do eixo ao ponto de aplicação e \(\theta\), o ângulo entre a força e a barra. Na simulação, o parafuso só solta com pelo menos 60 N·m no sentido anti-horário, e a porta, que supomos ter uma mola, só abre com 9 N·m.

Para conversar

Com a força perpendicular, arraste o ponto de aplicação da ponta da chave até perto do parafuso. Que força seria necessária, ali, para chegar aos 60 N·m?
Arraste a ponta da seta até a força ficar ao longo da chave. O que acontece com o braço \(d\), e com o momento?
Gire a força para o outro lado da chave. O momento troca de sinal, e o parafuso passa a apertar em vez de soltar.
Passe para a porta e compare empurrar na maçaneta com empurrar perto da dobradiça, mantendo a mesma força.

Força

Distância ao eixo

Ângulo com a barra

Força

Distância r

Braço d

Momento

Sentido

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Para soltar o parafuso de uma roda, Rafael aplica 50 N perpendicularmente à ponta de uma chave de 40 cm. Qual é o momento da força em relação ao parafuso?

Ver resolução
Com a força perpendicular à chave, o braço é o próprio comprimento, \(d = 0{,}40\ \text{m}\), e \(M = F\,d = 50 \cdot 0{,}40\).
\(M = 20\ \text{N}\cdot\text{m}\)
básico
Por que as maçanetas ficam do lado oposto ao das dobradiças, e não perto delas?

Ver resolução
A porta gira em torno das dobradiças, e o momento da força da mão é \(M = F\,d\), com \(d\) medido a partir delas.
Longe das dobradiças, o braço é grande, e uma força pequena já produz o momento necessário para girar a porta.
Com o braço maior, precisamos de menos força para o mesmo momento.
básico
Lívia puxa uma chave de roda com 30 N, a 20 cm do parafuso, mas na direção da própria chave, como se quisesse esticá-la. Qual é o momento produzido?

Ver resolução
A linha de ação da força passa pelo eixo do parafuso, e o braço de alavanca, que é a distância do eixo até essa linha, vale zero.
Em termos da fórmula, o ângulo entre a força e a chave é 0°, e \(\mathrm{sen}\,0^\circ = 0\).
\(M = 0\), e o parafuso não gira, por mais forte que ela puxe.
básico
Um parafuso precisa de um momento de 60 N·m para soltar. Com uma chave de 30 cm, que força perpendicular precisamos aplicar na ponta?

Ver resolução
De \(M = F\,d\), isolamos a força, \(F = \dfrac{M}{d} = \dfrac{60}{0{,}30}\).
\(F = 200\ \text{N}\)
médio
Na mesma chave de 40 cm, Rafael aplica agora os 50 N na ponta, mas formando 30° com a chave. Qual é o momento, e qual é o braço de alavanca efetivo? Use \(\mathrm{sen}\,30^\circ = 0{,}5\).

Ver resolução
Só a componente perpendicular da força faz girar, e \(M = F\,d\,\mathrm{sen}\,\theta\) \(= 50 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}5\) \(= 10\ \text{N}\cdot\text{m}\).
O mesmo resultado sai do braço efetivo, a distância do eixo à linha de ação, \(d\,\mathrm{sen}\,\theta = 0{,}40 \cdot 0{,}5\).
Braço efetivo de \(0{,}20\ \text{m}\), e o momento cai à metade do caso perpendicular.
médio
Uma porta pesada precisa de um momento de 16 N·m para começar a abrir. Compare a força perpendicular necessária quando empurramos a 10 cm das dobradiças com a força quando empurramos na maçaneta, a 80 cm delas.

Ver resolução
De \(F = M/d\), perto da dobradiça temos \(F = \dfrac{16}{0{,}10} = 160\ \text{N}\).
Na maçaneta, \(F = \dfrac{16}{0{,}80} = 20\ \text{N}\).
160 N perto da dobradiça e 20 N na maçaneta, oito vezes menos.
médio
Uma barra pode girar em torno de um eixo no seu centro. Uma força de 20 N, a 0,5 m do eixo, tende a girá-la no sentido anti-horário, e outra, de 30 N, a 0,2 m do outro lado, tende a girá-la no sentido horário. As duas são perpendiculares à barra. Qual é o momento resultante? Adote o anti-horário como positivo.

Ver resolução
O primeiro momento é \(M_1 = +20 \cdot 0{,}5 = +10\ \text{N}\cdot\text{m}\), e o segundo, \(M_2 = -30 \cdot 0{,}2 = -6\ \text{N}\cdot\text{m}\).
Somando com os sinais, \(M = 10 - 6\).
\(M = +4\ \text{N}\cdot\text{m}\), e a barra tende a girar no sentido anti-horário, apesar de a força maior puxar para o outro lado.
médio
O parafuso de uma roda exige 120 N·m para soltar, e Tomás consegue empurrar a chave com no máximo 400 N, perpendicularmente. A chave do carro tem 25 cm. Ele consegue? Qual é o menor comprimento de chave que resolve o problema?

Ver resolução
Com a chave do carro, o maior momento é \(M = 400 \cdot 0{,}25 = 100\ \text{N}\cdot\text{m}\), menos que os 120 necessários.
O comprimento mínimo sai de \(d = \dfrac{M}{F} = \dfrac{120}{400}\).
Não consegue com a chave de 25 cm; precisa de pelo menos 0,30 m, o que um cano encaixado no cabo resolve.
desafio
Sem conseguir soltar um parafuso com as mãos, Joaquim, de 60 kg, sobe na ponta de uma chave de roda de 40 cm. A chave está inclinada 30° acima da horizontal. Qual é o momento do peso dele em relação ao parafuso? E se a chave estivesse na horizontal? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\mathrm{sen}\,60^\circ \approx 0{,}87\).

Ver resolução
O peso, \(P = 600\ \text{N}\), é vertical, e a chave forma 30° com a horizontal, ou seja, 60° com a vertical.
O momento é \(M = P\,d\,\mathrm{sen}\,60^\circ\) \(= 600 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}87 \approx 209\ \text{N}\cdot\text{m}\).
Com a chave horizontal, o ângulo seria 90° e \(M = 600 \cdot 0{,}40 = 240\ \text{N}\cdot\text{m}\).
Cerca de 209 N·m inclinada e 240 N·m na horizontal, a posição mais eficiente.
desafio
Com o braço esticado na horizontal, Helena segura um haltere de 5 kg a 0,6 m do ombro. O braço tem 4 kg, com centro de massa a 0,3 m do ombro. Qual é o momento total em relação ao ombro? E se ela baixar o braço esticado até ele formar 60° com a horizontal? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Use \(\cos 60^\circ = 0{,}5\).

Ver resolução
Os dois pesos giram o braço no mesmo sentido.
\(M = 50 \cdot 0{,}6 + 40 \cdot 0{,}3\) \(= 30 + 12 = 42\ \text{N}\cdot\text{m}\)
Com o braço inclinado, cada braço de alavanca é a distância horizontal até o ombro, que fica multiplicada por \(\cos 60^\circ\), e \(M = 42 \cdot 0{,}5\).
42 N·m na horizontal e 21 N·m com o braço a 60°, e por isso cansa tanto segurar peso com o braço esticado para a frente.

PASSO 3

Como equilibrar uma gangorra

Num corpo extenso, o tamanho importa, porque as forças agem em pontos diferentes e podem fazê-lo girar. Para ficar em equilíbrio ele precisa satisfazer duas condições ao mesmo tempo, a resultante nula, que impede o deslocamento, e o momento resultante nulo, que impede a rotação.

Na gangorra, cada criança produz um momento em relação ao apoio, uma no sentido horário e a outra no anti-horário. A prancha fica equilibrada quando os dois são iguais, e é assim que uma criança leve consegue equilibrar uma pesada, sentando mais longe do apoio.

A força que o apoio faz para cima, a normal, equilibra a soma de todos os pesos. Num corpo em equilíbrio, a soma dos momentos é zero em relação a qualquer ponto, e por isso podemos escolher o ponto que deixa a conta mais simples, que em geral é aquele onde atua uma força que ainda não conhecemos.

\(\sum \vec F = \vec 0\)\(\sum M = 0\)\(P_1\,d_1 = P_2\,d_2\)\(N = P_1 + P_2 + P_{\text{prancha}}\)Na simulação, a prancha tem 4 m e 10 kg e está apoiada pelo meio, e o peso dela não produz momento. Supomos o apoio na altura da prancha, e a ponta que desce encosta no chão quando a inclinação chega a uns 14°.

Para conversar

Desequilibre a gangorra mudando a massa de Caio, espere a prancha inclinar e clique em "Equilibrar". Nossa intuição talvez espere que ela volte para a horizontal, e vale conferir se volta.
Arraste Caio até a ponta e tente adivinhar, sem conta, onde Ana precisa sentar. Depois confira com \(P_1\,d_1 = P_2\,d_2\).
Quando uma ponta toca o chão, a normal no apoio diminui. Para onde parece ter ido o resto do peso?
Dobre a massa de Ana. A que distância do apoio ela precisa sentar agora para manter o equilíbrio?

Massa de Ana

Distância de Ana ao apoio

Massa de Caio

Distância de Caio ao apoio

Momento de Ana

Momento de Caio

Resultante

Normal no apoio

Inclinação

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Ana, de 30 kg, senta a 2 m do apoio de uma gangorra. Onde Caio, de 40 kg, deve sentar, do outro lado, para que a gangorra fique em equilíbrio? Despreze a massa da prancha, ou suponha que ela está apoiada pelo meio.

Ver resolução
Os momentos dos dois pesos em relação ao apoio precisam ser iguais, \(m_1\,g\,d_1 = m_2\,g\,d_2\), e o \(g\) se cancela.
Com os números, \(30 \cdot 2 = 40 \cdot d_2\), e \(d_2 = \dfrac{60}{40}\).
Caio deve sentar a 1,5 m do apoio.
básico
Quais são as duas condições para que um corpo extenso fique em equilíbrio? Dê um exemplo em que só uma delas é satisfeita.

Ver resolução
A resultante das forças deve ser nula, \(\sum \vec F = 0\), para que o corpo não se desloque, e a soma dos momentos também, \(\sum M = 0\), para que ele não gire.
No volante de um carro, as duas mãos podem fazer forças iguais e opostas nos dois lados. A resultante é zero, mas os momentos se somam e o volante gira.
\(\sum \vec F = 0\) e \(\sum M = 0\); um par de forças opostas no volante satisfaz só a primeira.
básico
Uma gangorra de 10 kg, apoiada pelo meio, tem duas crianças de 25 kg nas pontas e está em equilíbrio. Qual é a força que o apoio faz na prancha? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
A prancha não sobe nem desce, e a força do apoio equilibra todos os pesos, \(N = 250 + 250 + 100\).
\(N = 600\ \text{N}\)
básico
Uma régua leve está apoiada pelo meio. Um peso de 6 N fica a 30 cm do apoio, à esquerda. Que peso, colocado a 45 cm do apoio, à direita, mantém a régua em equilíbrio?

Ver resolução
Os momentos dos dois lados se igualam, \(6 \cdot 30 = P \cdot 45\), e \(P = \dfrac{180}{45}\).
\(P = 4\ \text{N}\)
médio
Numa gangorra apoiada pelo meio, Bruno (50 kg) senta a 1,2 m do apoio, à esquerda, e Luísa (30 kg), a 1,5 m, à direita. Onde Teo, de 20 kg, deve sentar para equilibrar a gangorra?

Ver resolução
Bruno produz \(50 \cdot 1{,}2 = 60\) (em kg·m, já que o \(g\) se cancela) e Luísa, \(30 \cdot 1{,}5 = 45\). Falta 15 do lado de Luísa.
Teo deve sentar do lado direito, a uma distância tal que \(20\,x = 15\).
A 0,75 m do apoio, do lado de Luísa.
médio
Uma gangorra leve está em equilíbrio com uma criança de 300 N a 1 m do apoio, de um lado, e outra de 200 N a 1,5 m, do outro. Calcule a força do apoio e confira que a soma dos momentos também é zero em relação ao ponto onde está a primeira criança.

Ver resolução
A força do apoio equilibra os pesos, \(N = 300 + 200 = 500\ \text{N}\).
Em relação à primeira criança, o peso dela tem braço zero. A normal está a 1 m e gira a prancha num sentido, com \(500 \cdot 1 = 500\ \text{N}\cdot\text{m}\), e a segunda criança está a \(1 + 1{,}5 = 2{,}5\ \text{m}\) e gira no outro, com \(200 \cdot 2{,}5 = 500\ \text{N}\cdot\text{m}\).
\(N = 500\ \text{N}\), e os momentos se anulam também em relação a esse ponto, como devem se anular em relação a qualquer ponto.
médio
Uma prancha homogênea de 3 m e 20 kg está apoiada a 1 m de uma das pontas. Que massa devemos pôr na ponta mais curta para equilibrá-la? Quanto vale então a força do apoio? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
O peso da prancha age no seu centro, a 1,5 m da ponta, ou seja, a 0,5 m do apoio, do lado mais longo, e gira a prancha com \(200 \cdot 0{,}5 = 100\ \text{N}\cdot\text{m}\).
A massa na ponta curta, a 1 m do apoio, precisa equilibrar esse momento, \(m \cdot 10 \cdot 1 = 100\), e daí \(m = 10\ \text{kg}\).
10 kg na ponta curta, com o apoio fazendo \(N = 200 + 100 = 300\ \text{N}\).
médio
Duas crianças estão equilibradas numa gangorra apoiada pelo meio, com a prancha na horizontal. Alguém inclina a prancha e a solta. Ela volta para a horizontal, desce para um dos lados ou fica onde foi deixada? Suponha que o apoio está na altura da prancha.

Ver resolução
Com a prancha inclinada de um ângulo \(\theta\), o braço de cada peso passa a ser a distância horizontal até o apoio, \(d\cos\theta\).
Os dois braços ficam multiplicados pelo mesmo fator, e os momentos, que eram iguais, continuam iguais.
Ela fica onde foi deixada: o equilíbrio é indiferente.
desafio
Uma gangorra homogênea de 4 m e 30 kg está apoiada pelo meio. Clara, de 40 kg, senta numa ponta. Onde deve sentar Márcio, de 50 kg, para equilibrar a gangorra? Se Márcio for até a outra ponta, que massa extra precisamos colocar a 1 m do apoio, do lado de Clara?

Ver resolução
O peso da prancha age no apoio e não produz momento. A ponta de Clara está a 2 m, e \(40 \cdot 2 = 50\,x\), o que dá \(x = 1{,}6\ \text{m}\).
Com Márcio na ponta, o lado dele produz \(50 \cdot 2 = 100\), e o de Clara, \(40 \cdot 2 = 80\). Faltam 20, e a massa extra a 1 m precisa ter \(m \cdot 1 = 20\).
Márcio senta a 1,6 m do apoio; na ponta, precisamos de mais 20 kg do lado de Clara.
desafio
Uma régua homogênea de 1 m e 100 g está sobre uma mesa, com 30 cm para fora da borda. Qual é a maior massa que podemos pendurar na ponta de fora sem que a régua tombe? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Na iminência de tombar, a régua se apoia só na quina da mesa, e é em relação a ela que comparamos os momentos.
O peso da régua, \(1\ \text{N}\), age no meio, a 50 cm de cada ponta, ou seja, 20 cm para dentro da mesa. A massa pendurada fica 30 cm para fora.
No limite, \(1 \cdot 0{,}20 = m \cdot 10 \cdot 0{,}30\), e \(m = \dfrac{0{,}2}{3}\ \text{kg}\).
Cerca de 67 g; com mais que isso, a régua tomba.

PASSO 4

Alavancas, do alicate ao bíceps

Uma alavanca é uma barra que gira em torno de um apoio. Sobre ela agem a força potente, que fazemos, e a força resistente, que queremos vencer, e no equilíbrio os momentos das duas em relação ao apoio são iguais.

Chamamos de braço potente \(b_p\) e de braço resistente \(b_r\) as distâncias de cada força até o apoio. A razão \(b_p/b_r\) é a vantagem mecânica, que diz quantas vezes a força potente é menor que a resistente.

Classificamos as alavancas pelo elemento que fica no meio. Na interfixa, o apoio fica entre as forças, como na tesoura, no alicate e na gangorra. Na inter-resistente, a resistência fica no meio, como no carrinho de mão e no quebra-nozes, e a vantagem mecânica é sempre maior que 1.

Na interpotente, a força potente fica no meio, como na pinça e no nosso antebraço, em que o bíceps puxa a poucos centímetros do cotovelo. O músculo precisa fazer uma força várias vezes maior que o peso na mão, e em troca a mão percorre um arco largo enquanto o músculo encurta pouco.

\(F_p\,b_p = F_r\,b_r\)\(\text{VM} = \dfrac{b_p}{b_r} = \dfrac{F_r}{F_p}\)Desprezamos o peso da barra e supomos as forças perpendiculares a ela. Na simulação, a barra tem 1 m, as posições são medidas a partir da ponta esquerda, e a força potente calculada é a que mantém a barra em equilíbrio.

Para conversar

Na interfixa, afaste a força potente do apoio. A força parece cair na mesma proporção em que a vantagem mecânica cresce?
Escolha a inter-resistente e leve a carga para perto da roda, como num carrinho de mão bem carregado.
Passe para a interpotente e procure uma posição em que a força fique menor que a carga. Por que isso parece impossível nesse tipo de alavanca?
Arraste a força potente para cima do apoio e veja o que acontece com a força necessária.

Posição do apoio

Posição da carga

Posição da força potente

Peso da carga

Tipo

Braço potente

Braço resistente

Força potente

Vantagem mecânica

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Classifique as alavancas da tesoura, do carrinho de mão e da pinça de sobrancelha, dizendo o que fica no meio em cada uma.

Ver resolução
Na tesoura, o eixo (apoio) fica entre a mão e o papel, e a alavanca é interfixa.
No carrinho de mão, a carga fica entre a roda (apoio) e as mãos, e a alavanca é inter-resistente.
Na pinça, os dedos apertam entre a articulação (apoio) e as pontas que seguram o pelo, e a alavanca é interpotente.
Tesoura interfixa, carrinho inter-resistente e pinça interpotente.
básico
Com um pé de cabra, Mateus quer levantar uma pedra que exige 600 N. A ponta fica a 5 cm do apoio e a mão, a 60 cm. Que força ele precisa fazer, e qual é a vantagem mecânica?

Ver resolução
Pela regra da alavanca, \(F_p\,b_p = F_r\,b_r\), e \(F_p = \dfrac{600 \cdot 5}{60} = 50\ \text{N}\).
A vantagem mecânica é a razão entre os braços, \(\dfrac{b_p}{b_r} = \dfrac{60}{5}\).
50 N, com vantagem mecânica de 12.
básico
Um carrinho de mão leva uma carga de 600 N cujo centro de massa fica a 0,4 m do eixo da roda. As mãos seguram os cabos a 1,2 m do eixo. Que força vertical as mãos fazem? Despreze o peso do carrinho.

Ver resolução
O apoio é a roda, e os momentos em relação a ela se igualam, \(F \cdot 1{,}2 = 600 \cdot 0{,}4\).
Daí \(F = \dfrac{240}{1{,}2}\).
\(F = 200\ \text{N}\), um terço do peso da carga.
básico
Nas alavancas interpotentes, como a pinça e o nosso antebraço, a força potente é sempre maior que a resistente. Por que alguém usaria uma alavanca assim?

Ver resolução
Na interpotente, a força potente fica entre o apoio e a resistência, e o braço potente é sempre o menor, o que dá vantagem mecânica menor que 1.
Em troca, a ponta da alavanca percorre um arco maior que o ponto onde aplicamos a força, e o movimento sai mais amplo e mais rápido. Na pinça, ganhamos delicadeza e precisão.
Perdemos força e ganhamos amplitude, velocidade ou precisão.
médio
O bíceps se prende ao antebraço a 4 cm do cotovelo. Com o antebraço na horizontal, a mão segura uma bola de 3 kg a 32 cm do cotovelo. Que força o bíceps precisa fazer? Despreze o peso do antebraço. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
O cotovelo é o apoio, e o bíceps puxa entre ele e a bola, o que faz do antebraço uma alavanca interpotente.
Igualando os momentos, \(F_b \cdot 4 = 30 \cdot 32\), e \(F_b = \dfrac{960}{4}\).
\(F_b = 240\ \text{N}\), oito vezes o peso da bola.
médio
Num quebra-nozes, a noz fica a 3 cm da articulação e a mão aperta a 15 cm dela. Se a casca quebra com 200 N, que força a mão precisa fazer? Que tipo de alavanca é essa?

Ver resolução
A noz fica entre a articulação e a mão, e a alavanca é inter-resistente.
Pela regra da alavanca, \(F_p \cdot 15 = 200 \cdot 3\), e \(F_p = \dfrac{600}{15}\).
\(F_p = 40\ \text{N}\), numa alavanca inter-resistente.
médio
Um alicate tem cabos de 12 cm, medidos a partir do eixo, e corta o arame a 2 cm do eixo. Se a mão aperta com 100 N, qual é a força sobre o arame?

Ver resolução
O eixo fica entre a mão e o arame, numa alavanca interfixa, e \(100 \cdot 12 = F_r \cdot 2\).
\(F_r = 600\ \text{N}\), seis vezes a força da mão.
médio
Isadora aperta os cabos de uma tesoura com 40 N, a 8 cm do eixo. Qual é a força de corte sobre um papelão colocado a 2 cm do eixo? E na ponta das lâminas, também a 8 cm do eixo?

Ver resolução
Perto do eixo, \(40 \cdot 8 = F \cdot 2\), e a força é \(160\ \text{N}\).
Na ponta, os braços são iguais, e a força de corte é a mesma da mão, \(40\ \text{N}\).
160 N perto do eixo e 40 N na ponta; quem corta papelão grosso aprende a enfiá-lo até o fundo da tesoura.
desafio
Um carrinho de mão de 12 kg tem centro de massa a 0,5 m do eixo da roda. Ele leva 60 kg de areia, com centro de massa a 0,4 m do eixo, e as mãos seguram a 1,5 m. Que força vertical as mãos fazem, e quanto a roda sustenta? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Os momentos em relação à roda se equilibram.
\(F \cdot 1{,}5 = 120 \cdot 0{,}5 + 600 \cdot 0{,}4\) \(= 60 + 240\)
Daí \(F = \dfrac{300}{1{,}5} = 200\ \text{N}\).
A roda sustenta o resto do peso total, \(720 - 200\).
As mãos fazem 200 N e a roda sustenta 520 N.
desafio
O antebraço de Renan tem 1,5 kg, com centro de massa a 15 cm do cotovelo, e a mão segura uma bola de 4 kg a 35 cm do cotovelo. O bíceps puxa verticalmente a 5 cm do cotovelo. Que força faz o bíceps, e que força a articulação do cotovelo faz no antebraço? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Em relação ao cotovelo,
\(F_b \cdot 0{,}05 = 15 \cdot 0{,}15 + 40 \cdot 0{,}35\) \(= 2{,}25 + 14\)
Daí \(F_b = \dfrac{16{,}25}{0{,}05} = 325\ \text{N}\).
A soma das forças verticais também é zero. O bíceps puxa para cima com 325 N, os pesos somam 55 N para baixo, e o cotovelo precisa empurrar o antebraço para baixo com a diferença, \(325 - 55\).
O bíceps faz 325 N e o cotovelo, 270 N para baixo.

PASSO 5

Até onde a pilha aguenta?

O centro de massa é o ponto que se comporta como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele. Para um conjunto de partes, ele é a média das posições ponderada pelas massas, e por isso fica mais perto das partes mais pesadas.

Perto do chão, onde a gravidade é praticamente uniforme, podemos tratar o peso do corpo como uma força só, aplicada no centro de massa. Um corpo apoiado não tomba enquanto a vertical que passa pelo centro de massa cair dentro da base de apoio, e tomba quando ela sai.

Chamamos o equilíbrio de estável quando o corpo, depois de um pequeno empurrão, volta à posição inicial, como a bola no fundo de uma tigela. Ele é instável quando o corpo se afasta cada vez mais, como a bola no alto da tigela virada, e indiferente quando o corpo fica onde o deixamos, como a bola numa mesa plana.

Baixar o centro de massa e alargar a base tendem a deixar um corpo mais estável, e é o que fazemos quando afastamos os pés num ônibus em movimento. A torre de Pisa, inclinada há séculos, continua de pé porque a vertical do seu centro de massa ainda passa dentro da base.

\(x_{cm} = \dfrac{\sum m_i\,x_i}{\sum m_i}\)tomba se a vertical do CM sai da base\(\mathrm{tg}\,\theta_{\text{tomba}} = \dfrac{b}{h}\)A última fórmula vale para um bloco de base \(b\) e altura \(h\) numa rampa, se o atrito impede que ele escorregue. Na simulação, os livros são iguais, com 20 cm, e o centro de massa de cada um fica no seu meio; a pilha é examinada de baixo para cima, e cada grupo de livros precisa ter o centro de massa sobre o livro que o sustenta.

Para conversar

Escolha o livro de cima e empurre-o para fora devagar. Ele cai quando a sua ponta passa de que fração do livro de baixo?
Agora desloque o livro de baixo e acompanhe o centro de massa de todos. O que parece decidir se a pilha cai de uma vez?
Antes de clicar em "Pilha ideal" com 4 livros, arrisque um palpite sobre a pergunta que vem a seguir. Será que o livro de cima consegue passar por completo da borda da mesa?
Monte a pilha começando pelo livro de baixo e depois começando pelo de cima. Qual das duas estratégias parece levar mais longe?

Ponta do livro escolhido

Número de livros

CM de todos (borda = 0)

Balanço do livro de cima

Fora da mesa

Estado

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um haltere improvisado tem uma barra leve de 50 cm com 2 kg numa ponta e 3 kg na outra. A que distância da ponta de 2 kg fica o centro de massa?

Ver resolução
Pondo a origem na ponta de 2 kg, \(x_{cm} = \dfrac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 50}{2 + 3} = \dfrac{150}{5}\).
\(x_{cm} = 30\ \text{cm}\), mais perto da massa maior.
básico
Uma bolinha pode ficar parada no fundo de uma tigela, no alto de uma tigela virada e sobre uma mesa plana. Classifique o equilíbrio em cada caso.

Ver resolução
No fundo da tigela, um empurrãozinho faz a bolinha subir, e ela volta: o equilíbrio é estável.
No alto da tigela virada, qualquer empurrão a afasta cada vez mais, e o equilíbrio é instável.
Na mesa plana, ela fica parada onde a deixarmos, e o equilíbrio é indiferente.
Estável, instável e indiferente.
básico
Uma régua homogênea de 30 cm e 40 g tem uma borracha de 20 g presa numa das pontas. Onde fica o centro de massa do conjunto, medido a partir da outra ponta?

Ver resolução
O centro de massa da régua está no meio, a 15 cm, e a borracha está a 30 cm.
\(x_{cm} = \dfrac{40 \cdot 15 + 20 \cdot 30}{40 + 20}\) \(= \dfrac{1200}{60}\)
\(x_{cm} = 20\ \text{cm}\)
básico
A torre de Pisa está inclinada há séculos e não cai. O que precisa continuar valendo para que ela fique de pé?

Ver resolução
Um corpo apoiado não tomba enquanto a vertical que passa pelo seu centro de massa cair dentro da base de apoio.
Na torre, essa vertical ainda passa dentro da base, e o peso tende a trazê-la de volta. Se a inclinação crescesse até a vertical do centro de massa sair da base, o peso passaria a girá-la para fora.
A vertical do centro de massa precisa continuar dentro da base.
médio
Dois livros iguais, de 20 cm, estão empilhados sobre uma mesa. Deslocamos o de cima 8 cm para fora em relação ao de baixo. Ele cai? Qual é o maior deslocamento possível?

Ver resolução
O centro de massa do livro de cima está no seu meio, que fica \(10 + 8 = 18\ \text{cm}\) à frente da borda de trás do livro de baixo, ainda antes da borda da frente, a 20 cm.
Ele só cai quando o seu centro passa da borda do livro de baixo, ou seja, com mais da metade do comprimento para fora.
Não cai; o máximo é 10 cm, metade do livro.
médio
Um bloco de base 30 cm e altura 60 cm está sobre uma rampa cuja inclinação podemos aumentar, e o atrito é suficiente para que ele não escorregue. A partir de que inclinação ele tomba?

Ver resolução
O bloco tomba quando a vertical do centro de massa passa pela quina de baixo da base. Nesse limite, \(\mathrm{tg}\,\theta = \dfrac{b}{h}\), com \(b\) a largura da base e \(h\) a altura.
Daí \(\mathrm{tg}\,\theta = \dfrac{30}{60} = 0{,}5\).
A partir do ângulo cuja tangente é 0,5, perto de 27°.
médio
Três pequenas esferas estão num plano: 1 kg em (0, 0), 1 kg em (4, 0) e 2 kg em (0, 4), com as coordenadas em centímetros. Onde fica o centro de massa?

Ver resolução
Fazemos a média ponderada em cada eixo, \(x_{cm} = \dfrac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0}{4}\) e \(y_{cm} = \dfrac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4}{4}\).
\((x_{cm}, y_{cm}) = (1, 2)\ \text{cm}\)
médio
Felipe, de 70 kg, coloca nas costas uma mochila de 10 kg cujo centro de massa fica 20 cm atrás do centro de massa do corpo dele. Quanto o centro de massa do conjunto se desloca, e o que ele faz para não cair para trás?

Ver resolução
Com a origem no centro de massa do corpo e o eixo apontando para a frente, \(x_{cm} = \dfrac{70 \cdot 0 + 10 \cdot (-20)}{80}\), ou seja, \(-2{,}5\ \text{cm}\).
O centro de massa vai 2,5 cm para trás, e para mantê-lo sobre os pés Felipe se inclina para a frente.
2,5 cm para trás, e Felipe compensa inclinando o tronco para a frente.
desafio
Temos quatro livros iguais, de 24 cm, e queremos empilhá-los na borda de uma mesa com o de cima o mais para fora possível. Sabendo que o livro de cima pode avançar até metade do comprimento sobre o segundo, que os dois de cima juntos podem avançar um quarto sobre o terceiro, que os três de cima podem avançar um sexto sobre o quarto e que os quatro juntos podem avançar um oitavo sobre a mesa, quanto o livro de cima fica além da borda?

Ver resolução
Cada avanço põe o centro de massa do bloco de cima exatamente sobre a borda do apoio de baixo.
Somando, o balanço total é
\(\dfrac{24}{2} + \dfrac{24}{4} + \dfrac{24}{6} + \dfrac{24}{8}\) \(= 12 + 6 + 4 + 3\).
O total passa do comprimento de um livro, e o de cima fica inteiro fora da mesa.
25 cm além da borda, mais que o livro inteiro; na prática, deixamos uma pequena folga para a pilha não ficar no limite.
desafio
Um bloco de base 20 cm e altura 50 cm está numa rampa, e o coeficiente de atrito estático entre os dois é 0,6. Aumentando a inclinação aos poucos, o bloco tomba antes de escorregar, ou escorrega antes de tombar?

Ver resolução
O bloco começa a escorregar quando \(\mathrm{tg}\,\theta = \mu = 0{,}6\), perto de 31°.
Ele tomba quando \(\mathrm{tg}\,\theta = \dfrac{b}{h} = \dfrac{20}{50} = 0{,}4\), perto de 22°.
A condição de tombamento é atingida primeiro, com a rampa menos inclinada.
Ele tomba antes, por volta de 22°, sem chegar a escorregar.

PASSO 6

Quanto cada pilar sustenta?

Uma viga apoiada em dois pontos, como uma ponte sobre dois pilares ou a tábua do pedreiro sobre dois cavaletes, talvez seja o exemplo mais comum de corpo extenso em equilíbrio. As forças dos apoios, \(N_A\) e \(N_B\), são as reações, e as duas condições de equilíbrio bastam para calculá-las.

A soma das reações é o peso total. Para separar uma da outra, calculamos os momentos em relação a um dos apoios, o que tira a reação dele da conta e deixa uma equação com uma incógnita só.

\(N_A + N_B = P_{\text{ponte}} + P_c\)\(N_B\,L = P_{\text{ponte}}\,\dfrac{L}{2} + P_c\,x\)\(N_B = \dfrac{P_{\text{ponte}}}{2} + P_c\,\dfrac{x}{L}\)\(x\) é a distância do caminhão ao pilar A e \(L\), o vão. Tratamos o caminhão como uma carga só, aplicada no seu centro de massa, e a ponte como homogênea, com o peso no meio. Na simulação, \(L = 20\ \text{m}\) e a ponte tem 20 t; com \(g = 10\ \text{m/s}^2\), cada tonelada pesa 10 kN.

peso do caminhão reação no pilar A reação no pilar B

Acompanhando a travessia do caminhão, vemos cada reação mudar em linha reta com a posição dele. Em cima do pilar A, o caminhão pesa só sobre A, e no meio da ponte o seu peso se divide igualmente entre os dois pilares.

A mesma conta vale para a prancha do pedreiro. Se um dos cavaletes fica longe da ponta, a tábua forma um balanço, e um pedreiro que anda além do cavalete pode fazê-la tombar, porque a reação do outro apoio teria de puxar a tábua para baixo, coisa que um cavalete não faz.

Para conversar

Clique em "Atravessar" e acompanhe as duas setas dos pilares. Qual delas cresce enquanto a outra diminui, e as duas parecem mudar no mesmo ritmo?
Pare o caminhão no meio da ponte. As reações ficam iguais, como a simetria sugere?
Desligue o peso da ponte e arraste o caminhão para cima de A. Quanto o pilar B sustenta?
Dobre a massa do caminhão e observe o que acontece com a inclinação das retas no gráfico.

Massa do caminhão

Distância ao pilar A

Peso do caminhão

Peso da ponte

N_A

N_B

N_A + N_B

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma prancha leve de 4 m está apoiada em dois cavaletes, um em cada ponta. Um pedreiro de 80 kg fica de pé exatamente no meio. Quanto cada cavalete sustenta? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Por simetria, os dois cavaletes dividem o peso, \(N_A = N_B = \dfrac{800}{2}\).
\(N_A = N_B = 400\ \text{N}\)
básico
Uma ponte de 200 kN está apoiada em dois pilares, um em cada ponta, e não há nenhum veículo sobre ela. Quanto cada pilar sustenta?

Ver resolução
A ponte é homogênea, e o seu peso age no meio, à mesma distância dos dois pilares, que dividem o peso por igual.
100 kN em cada pilar
básico
Um caminhão para exatamente em cima do pilar A de uma ponte. Quanto do peso do caminhão passa para o pilar B?

Ver resolução
Em relação ao pilar A, o peso do caminhão tem braço zero e não produz momento.
A reação em B só precisa equilibrar o peso da ponte, e o caminhão inteiro fica por conta de A.
Nada; o pilar B sustenta só a sua metade do peso da ponte.
básico
Uma tábua leve de 3 m está apoiada nas pontas A e B. Uma lata de tinta de 30 kg está a 1 m de A. Quanto cada apoio sustenta? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Em relação a A, o momento da lata, \(300 \cdot 1\), é equilibrado pela reação em B, a 3 m, \(N_B \cdot 3 = 300\), e \(N_B = 100\ \text{N}\).
A soma das reações é o peso, e \(N_A = 300 - 100\).
\(N_A = 200\ \text{N}\) e \(N_B = 100\ \text{N}\); o apoio mais perto da lata sustenta mais.
médio
Uma ponte de 20 m e 200 kN está apoiada nos pilares A e B, nas pontas. Um caminhão de 100 kN está a 5 m de A. Calcule as duas reações.

Ver resolução
Em relação a A, a ponte (no meio, a 10 m) e o caminhão (a 5 m) são equilibrados por \(N_B\), a 20 m, \(N_B \cdot 20 = 200 \cdot 10 + 100 \cdot 5\), e \(N_B = \dfrac{2500}{20} = 125\ \text{kN}\).
As reações somam o peso total, \(N_A = 300 - 125\).
\(N_A = 175\ \text{kN}\) e \(N_B = 125\ \text{kN}\)
médio
Na mesma ponte (20 m, 200 kN, caminhão de 100 kN), mostre que \(N_B\) cresce em linha reta com a distância \(x\) do caminhão ao pilar A. Onde está o caminhão quando \(N_B = 180\ \text{kN}\)?

Ver resolução
Em relação a A, \(N_B \cdot 20 = 200 \cdot 10 + 100\,x\), e então \(N_B = 100 + 5\,x\) (em kN, com \(x\) em metros), uma função do primeiro grau.
Para \(N_B = 180\), \(5\,x = 80\).
\(x = 16\ \text{m}\), a 4 m do pilar B.
médio
Uma tábua de 4 m e 20 kg, apoiada nas pontas A e B, sustenta um pedreiro de 80 kg a 1 m de A. Quanto cada apoio sustenta? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Em relação a A, o peso da tábua age no meio (2 m) e o do pedreiro a 1 m, \(N_B \cdot 4 = 200 \cdot 2 + 800 \cdot 1\) \(= 1200\), e daí \(N_B = 300\ \text{N}\).
O peso total é 1000 N, e \(N_A = 1000 - 300\).
\(N_A = 700\ \text{N}\) e \(N_B = 300\ \text{N}\)
médio
Uma viga leve de 6 m, apoiada nas pontas A e B, sustenta 600 N a 2 m de A e 300 N a 4 m de A. Calcule as reações.

Ver resolução
Em relação a A, \(N_B \cdot 6 = 600 \cdot 2 + 300 \cdot 4\) \(= 2400\), e \(N_B = 400\ \text{N}\).
A soma das reações é \(900\ \text{N}\), e \(N_A = 900 - 400\).
\(N_A = 500\ \text{N}\) e \(N_B = 400\ \text{N}\)
desafio
Uma tábua homogênea de 4 m e 20 kg está apoiada em dois cavaletes, A na ponta esquerda e B a 3 m dela, de modo que sobra 1 m de balanço depois de B. Até onde, além de B, um pedreiro de 60 kg pode andar antes que a tábua comece a tombar? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
Quando a tábua está para tombar, ela deixa de tocar A, e tudo se apoia em B. Comparamos então os momentos em relação a B.
O peso da tábua age no meio, 1 m antes de B, e gira a tábua para o lado de A com \(200 \cdot 1 = 200\ \text{N}\cdot\text{m}\). O pedreiro, a uma distância \(s\) além de B, gira para o outro lado com \(600\,s\).
No limite, \(600\,s = 200\), e \(s = \dfrac{1}{3}\ \text{m}\).
Só cerca de 33 cm além de B; os pedreiros pregam a tábua no cavalete por esse motivo.
desafio
Os dois pilares de uma ponte de 200 kN suportam até 250 kN cada um. Qual é o caminhão mais pesado que pode atravessá-la inteira?

Ver resolução
A reação num pilar é máxima quando o caminhão está em cima dele, e então \(N = 100 + P\) (em kN), com 100 kN vindos da ponte.
A condição \(100 + P \le 250\) dá \(P \le 150\ \text{kN}\).
Até 150 kN, ou cerca de 15 t; o momento crítico é a chegada sobre cada pilar, e não o meio da ponte.

PASSO 7

Erguer pesos com metade da força

A roldana fixa gira presa no teto e só muda a direção da corda. A força é a mesma dos dois lados, e o que ganhamos é poder puxar para baixo, com a ajuda do próprio peso, em vez de erguer a carga com os braços.

Na roldana móvel, a carga fica pendurada na própria roldana, sustentada por dois trechos de corda, e cada um puxa com metade do peso. Quando associamos \(n\) roldanas móveis numa talha, em que cada roldana sustenta a de baixo, a força cai à metade a cada roldana.

Essa troca não cria energia. Para a carga subir 1 m com uma roldana móvel, os dois trechos encurtam 1 m cada, e a mão puxa 2 m de corda. Na talha, a corda puxada cresce como \(2^n\), e o trabalho da mão, força vezes corda, fica igual ao peso vezes a altura. Uma talha de verdade tende a pedir um pouco mais de força que isso, porque as roldanas têm atrito e massa.

\(F = P\) (fixa)\(F = \dfrac{P}{2^n}\)\(s = 2^n\,h\)\(F\,s = P\,h\)Supomos cordas sem massa e roldanas sem atrito, e \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Na simulação, as polias não têm massa, a menos que você ligue a opção de 1 kg por polia.

Para conversar

Com só a roldana fixa, erga a carga e compare a corda puxada com a subida.
Passe para 3 roldanas móveis e erga 1 m. Quanta corda passou pela mão, e quanto vale o trabalho dos dois lados?
Ligue as polias de 1 kg e escolha uma carga leve, de 10 kg. A talha de 3 roldanas ainda divide a força por 8, ou o peso das polias tende a pesar na conta?
Uma pessoa de 50 kg, puxando a corda para baixo, não consegue fazer mais força que o próprio peso. Que carga ela ergueria com 3 roldanas móveis?

Massa da carga

Peso da carga

Força na mão

P / F

Corda para subir 1 m

A carga subiu

Trabalho: mão / carga

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um balde de 20 kg é erguido por uma corda que passa por uma roldana fixa no alto de um prédio em obras. Que força o operário faz, e para que serve a roldana? Despreze os atritos. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
A roldana fixa só muda a direção da corda, e a tração é a mesma dos dois lados, igual ao peso do balde, \(F = 20 \cdot 10\).
\(F = 200\ \text{N}\); a roldana permite puxar para baixo, usando o próprio peso, em vez de puxar para cima.
básico
Uma carga de 400 N está presa a uma roldana móvel leve, com uma ponta da corda presa no teto. Que força precisamos fazer na outra ponta para sustentar a carga?

Ver resolução
A roldana móvel fica pendurada por dois trechos de corda, que dividem o peso, \(2\,F = 400\).
\(F = 200\ \text{N}\)
básico
Uma talha tem três roldanas móveis associadas, cada uma dividindo a força por dois. Que força ergue uma carga de 800 N? Despreze o peso das roldanas.

Ver resolução
Com \(n\) roldanas móveis, \(F = \dfrac{P}{2^n} = \dfrac{800}{2^3} = \dfrac{800}{8}\).
\(F = 100\ \text{N}\)
básico
Com uma roldana móvel, fazemos metade da força. Por que isso não é uma forma de ganhar energia de graça?

Ver resolução
Para a carga subir 1 m, os dois trechos de corda que a sustentam precisam encurtar 1 m cada, e a mão puxa 2 m de corda.
O trabalho da mão, metade da força vezes o dobro da distância, é o mesmo que o da força que ergue a carga.
A força cai à metade e a corda puxada dobra, e o trabalho continua o mesmo.
médio
Com uma talha de duas roldanas móveis, quanto vale a força para erguer um saco de 60 kg, e quanta corda precisamos puxar para ele subir 3 m? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

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A força é \(F = \dfrac{600}{2^2} = 150\ \text{N}\).
A corda puxada é \(2^2\) vezes o que a carga sobe, \(4 \cdot 3\).
150 N, puxando 12 m de corda.
médio
Quantas roldanas móveis precisamos, numa talha como a da simulação, para erguer 1600 N fazendo só 200 N?

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Precisamos de \(2^n = \dfrac{1600}{200} = 8\).
\(n = 3\) roldanas móveis
médio
Uma talha de três roldanas móveis ergue 800 N a 2 m de altura. Calcule a força, a corda puxada e o trabalho feito pela mão, e compare com o trabalho necessário para erguer a carga.

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A força é \(F = \dfrac{800}{8} = 100\ \text{N}\), e a corda puxada é \(8 \cdot 2 = 16\ \text{m}\).
O trabalho da mão é \(100 \cdot 16 = 1600\ \text{J}\), e erguer a carga exige \(800 \cdot 2 = 1600\ \text{J}\).
100 N, 16 m de corda e 1600 J nos dois casos.
médio
Uma roldana móvel pesa 20 N e sustenta uma carga de 380 N. Que força precisamos fazer?

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A roldana sobe junto com a carga, e os dois trechos de corda sustentam as duas, \(2\,F = 380 + 20\).
\(F = 200\ \text{N}\)
desafio
Paulo tem 70 kg e puxa a corda para baixo, de pé no chão. Qual é a maior massa que ele consegue sustentar com uma só roldana fixa? E com uma talha de uma roldana móvel? E com duas? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

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Puxando para baixo, Paulo não consegue fazer mais força que o próprio peso, 700 N, sem ser erguido do chão.
Com a roldana fixa, a carga pode pesar até 700 N, ou 70 kg. Com uma móvel, \(2 \cdot 700 = 1400\ \text{N}\), e com duas, \(4 \cdot 700 = 2800\ \text{N}\).
70 kg, 140 kg e 280 kg.
desafio
Uma talha tem duas roldanas móveis de 1 kg cada e ergue uma carga de 300 N. Que força precisamos fazer? Compare com o caso de roldanas sem massa. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

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A roldana de baixo sustenta a carga e o próprio peso, e a corda dela tem tração \(T_1 = \dfrac{300 + 10}{2} = 155\ \text{N}\).
A segunda roldana sustenta essa tração e o seu peso, \(F = \dfrac{155 + 10}{2}\).
Sem a massa das roldanas, seria \(\dfrac{300}{4} = 75\ \text{N}\).
\(F = 82{,}5\ \text{N}\), contra 75 N no caso ideal.

FECHAMENTO

Desafios

Equilíbrio de um ponto

Um lustre de 6 kg pende de duas correntes iguais, cada uma a 60° da vertical. Qual é a tração em cada corrente? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\))

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No caso simétrico, as componentes verticais somam o peso, e \(T = \dfrac{P}{2\cos\theta} = \dfrac{60}{2 \cdot 0{,}5} = 60\ \text{N}\).
Cada corrente puxa com o peso inteiro do lustre, porque as duas estão bem abertas.

Momento de uma força

Pedro aplica 200 N perpendicularmente à ponta de uma chave de 30 cm, e o parafuso só solta com 90 N·m. Ele consegue? Qual seria o comprimento mínimo da chave para a mesma força?

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O momento é \(M = 200 \cdot 0{,}30 = 60\ \text{N}\cdot\text{m}\), abaixo dos 90 necessários, e o parafuso não solta.
Com a mesma força, a chave precisaria de \(d = \dfrac{90}{200} = 0{,}45\ \text{m}\).

Corpo extenso

Um pai de 80 kg e a filha de 20 kg brincam numa gangorra de 4 m apoiada pelo meio. Se a filha senta na ponta, onde o pai deve sentar para equilibrar a gangorra?

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A filha está a 2 m do apoio, e os momentos se igualam, \(20 \cdot 2 = 80\,x\).
Daí \(x = 0{,}5\ \text{m}\), bem perto do apoio, do outro lado.

Alavancas

Um carrinho de mão leva 1000 N de terra, com centro de massa a 0,3 m do eixo da roda, e as mãos seguram os cabos a 1,5 m do eixo. Que força as mãos fazem, e qual é a vantagem mecânica? Despreze o peso do carrinho.

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Em relação à roda, \(F \cdot 1{,}5 = 1000 \cdot 0{,}3\), e \(F = 200\ \text{N}\).
A vantagem mecânica é a razão entre os braços, \(\dfrac{1{,}5}{0{,}3} = 5\).

Centro de massa

Com dois livros iguais de 20 cm, empilhados na borda de uma mesa, quanto o livro de cima pode avançar além da borda, no máximo?

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O livro de cima avança até metade do comprimento sobre o de baixo, 10 cm. Os dois juntos avançam um quarto sobre a mesa, 5 cm, o que põe o centro de massa do par exatamente sobre a borda.
O balanço máximo é \(10 + 5 = 15\ \text{cm}\).

Viga em dois apoios

Uma ponte de 12 m e 60 kN está apoiada nas pontas. Um caminhão de 120 kN para a 3 m do pilar A. Quanto cada pilar sustenta?

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Em relação a A, \(N_B \cdot 12 = 60 \cdot 6 + 120 \cdot 3 = 720\), e \(N_B = 60\ \text{kN}\).
As reações somam 180 kN, e \(N_A = 120\ \text{kN}\).

Roldanas

Uma talha de duas roldanas móveis ergue um saco de cimento de 50 kg a 4 m de altura. Calcule a força, a corda puxada e o trabalho da mão. (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))

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A força é \(F = \dfrac{500}{2^2} = 125\ \text{N}\), e a corda puxada, \(4 \cdot 4 = 16\ \text{m}\).
O trabalho da mão é \(125 \cdot 16 = 2000\ \text{J}\), o mesmo que \(500 \cdot 4\) para erguer o saco.

Pensar, sem conta

Quem carrega um balde pesado numa só mão inclina o corpo para o outro lado. Por que costuma ser mais confortável levar dois baldes, um em cada mão?

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Com um balde de um lado só, o centro de massa do conjunto sai da linha do corpo, e para mantê-lo sobre os pés inclinamos o tronco para o lado oposto.
Com um balde em cada mão, o centro de massa fica no meio, sobre os pés, e podemos andar com o corpo ereto.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre estática, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Equilíbrio de um ponto · Passo 1
Marcos quer pendurar uma rede na varanda, presa em dois ganchos na mesma altura. Ele tem 70 kg e, deitado no meio da rede, faz as duas cordas formarem o mesmo ângulo \(\alpha\) com a horizontal. O fabricante garante que cada gancho aguenta até 600 N. Vamos usar \(g = 10\ \text{m/s}^2\), desprezar a massa da rede e supor que o peso de Marcos se divide igualmente entre as duas cordas.

Seno de alguns ângulos
Ângulo α sen α

15° 0,26

30° 0,50

45° 0,71

60° 0,87

Entre os ângulos da tabela, qual é o menor que mantém a tração de cada corda dentro do limite dos ganchos?
1. 15°
2. 30°
3. 45°
4. 60°
5. Qualquer um deles, porque cada corda sustenta metade do peso, 350 N, em qualquer ângulo.
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Resposta: C.
Só as componentes verticais das trações sustentam o peso, e \(2\,T\,\mathrm{sen}\,\alpha = 700\), ou seja, \(T = \dfrac{350}{\mathrm{sen}\,\alpha}\).
Com 30°, \(T = \dfrac{350}{0{,}50} = 700\ \text{N}\), acima do limite. Com 45°, \(T = \dfrac{350}{0{,}71} \approx 493\ \text{N}\), dentro dele.
A alternativa A aparece quando trocamos o seno pelo cosseno, e a B, quando esquecemos de comparar a tração com o limite. A D é segura, mas não é o menor ângulo, e a E esquece que só a componente vertical da tração segura o peso.
Na prática, a corda estica um pouco quando Marcos deita, e o ângulo tende a diminuir, o que pede alguma folga na instalação.
Momento de uma força · Passo 2
A porta corta-fogo da escada de um prédio tem uma mola que a mantém fechada, e para começar a abri-la é preciso um momento de 24 N·m em relação às dobradiças. A maçaneta fica a 80 cm das dobradiças. Rita, a síndica, quer saber que força uma pessoa precisa fazer, empurrando perpendicularmente à porta, na maçaneta e num ponto a 20 cm das dobradiças.

Quais são essas duas forças, respectivamente?
1. 19,2 N e 4,8 N
2. 30 N e 7,5 N
3. 30 N e 30 N
4. 30 N e 120 N
5. 120 N e 30 N
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Resposta: D.
Com a força perpendicular à porta, \(M = F\,d\), e a força necessária é \(F = M/d\).
Na maçaneta, \(F = \dfrac{24}{0{,}8} = 30\ \text{N}\). Perto das dobradiças, \(F = \dfrac{24}{0{,}2} = 120\ \text{N}\).
A alternativa A multiplica o momento pela distância em vez de dividir, e a B supõe que a força diminui junto com a distância. A C ignora o braço de alavanca, e a E troca a ordem pedida.
Alavancas · Passo 4
Numa sessão de fisioterapia, Sônia segura um halter de 2 kg com o antebraço na horizontal. O halter fica a 30 cm do cotovelo, e o tendão do bíceps se prende ao antebraço a 4 cm do cotovelo, puxando-o para cima. Vamos usar \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e desprezar o peso do próprio antebraço.

Qual é a força que o bíceps faz, e que tipo de alavanca é o antebraço?
1. 2,7 N, numa alavanca interfixa.
2. 20 N, numa alavanca interpotente.
3. 150 N, numa alavanca inter-resistente.
4. 150 N, numa alavanca interpotente.
5. 600 N, numa alavanca interpotente.
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Resposta: D.
O cotovelo é o apoio, e os momentos em relação a ele se igualam, \(F_b \cdot 4 = 20 \cdot 30\), o que dá \(F_b = \dfrac{600}{4} = 150\ \text{N}\).
O bíceps puxa entre o apoio e o halter, e por isso a alavanca é interpotente, com a força potente maior que a resistente.
A alternativa A inverte a razão entre os braços, e a B ignora a alavanca. A C acerta a força e erra o tipo, e a E esquece de dividir pelo braço do bíceps.
Viga em dois apoios · Passo 6
Engenheiros instalaram sensores nos dois pilares de uma pequena ponte de 20 m para acompanhar a passagem de um caminhão. O gráfico mostra a força medida no pilar A em função da distância \(x\) entre o caminhão e esse pilar, enquanto ele atravessa a ponte sozinho. Vamos tratar o caminhão como uma carga concentrada no seu centro de massa e a ponte como homogênea, apoiada nas pontas.

Qual é o peso do caminhão, e quanto o pilar B sustenta quando ele está a 8 m de A?
1. 100 kN e 160 kN
2. 150 kN e 160 kN
3. 150 kN e 190 kN
4. 250 kN e 160 kN
5. 350 kN e 190 kN
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Resposta: B.
Com o caminhão sobre B (\(x = 20\ \text{m}\)), o pilar A sustenta só a sua metade do peso da ponte, e o gráfico dá \(\dfrac{P_{\text{ponte}}}{2} = 100\ \text{kN}\).
Com o caminhão sobre A (\(x = 0\)), \(N_A = 100 + P_c = 250\ \text{kN}\), e o caminhão pesa \(P_c = 150\ \text{kN}\). O peso total é \(200 + 150 = 350\ \text{kN}\).
A reta cai 7,5 kN por metro, e em \(x = 8\ \text{m}\) temos \(N_A = 250 - 7{,}5 \cdot 8 = 190\ \text{kN}\), o que deixa \(N_B = 350 - 190 = 160\ \text{kN}\).
A alternativa A toma o valor final do gráfico pelo peso do caminhão, e a D, o valor inicial, esquecendo a ponte. A C lê \(N_A\) no lugar de \(N_B\), e a E confunde o peso total com o do caminhão.
Roldanas · Passo 7
Numa obra pequena, sem guincho, o mestre de obras Wagner monta uma talha com duas roldanas móveis e uma fixa, como a da simulação do passo 7, para levar sacos de cimento de 50 kg até a laje, 6 m acima do chão. Vamos supor cordas leves, roldanas sem massa e sem atrito, e \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Que força o operário faz na corda, e quanta corda ele precisa puxar para levar um saco até a laje?
1. 250 N e 12 m
2. 125 N e 6 m
3. 125 N e 24 m
4. 500 N e 6 m
5. 125 N e 1,5 m
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Resposta: C.
Cada roldana móvel divide a força por dois, e \(F = \dfrac{500}{2^2} = 125\ \text{N}\).
A corda puxada cresce na mesma proporção, \(s = 2^2 \cdot 6 = 24\ \text{m}\), e o trabalho confere, \(125 \cdot 24 = 500 \cdot 6 = 3000\ \text{J}\).
A alternativa A conta uma roldana móvel só, e a B esquece que a corda puxada aumenta. A D vale para a roldana fixa sozinha, e a E divide o deslocamento em vez de multiplicá-lo, como se a talha também economizasse corda.

Seno de alguns ângulos
Ângulo α	sen α
15°	0,26
30°	0,50
45°	0,71
60°	0,87

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2012, 1º dia, caderno azul, questão 55. Uma porta presa ao batente por duas dobradiças fica parada, e a questão pede o desenho das forças que as dobradiças fazem nela, o que exige anular ao mesmo tempo a resultante e o momento.
ENEM 2015, 1º dia, caderno azul, questão 82. Um professor equilibra uma barra homogênea sobre um apoio triangular com um saco de arroz pendurado numa ponta, e a massa da barra sai da igualdade entre os momentos.
ENEM 2016, 1º dia, caderno azul, questão 82. A polia composta de Arquimedes aparece puxando um navio, e precisamos descobrir quantas roldanas móveis bastam para que uma força pequena vença o atrito.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 104. Entre objetos como a pinça, o alicate, o quebra-nozes e o carrinho de mão, a questão pergunta em qual deles a força que fazemos é maior que a resistência, o que nos leva à alavanca interpotente.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 96. No balanceamento da roda de um carro, o centro de massa do conjunto está fora do centro geométrico, e a questão pede o ponto onde fixar o contrapeso para trazê-lo de volta.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Equilíbrio de um ponto\(\sum F_x = 0\)
\(\sum F_y = 0\)

Componentes\(F_x = F\cos\theta\)
\(F_y = F\,\mathrm{sen}\,\theta\)

Dois fios simétricos\(T = \dfrac{P}{2\cos\theta}\)

Momento de uma força\(M = F\,r\,\mathrm{sen}\,\theta = F\,d\)

Corpo extenso\(\sum \vec F = \vec 0\) e \(\sum M = 0\)

Alavanca e gangorra\(F_p\,b_p = F_r\,b_r\)

Vantagem mecânica\(\text{VM} = b_p/b_r\)

Centro de massa\(x_{cm} = \dfrac{\sum m_i\,x_i}{\sum m_i}\)

Tombamento numa rampa\(\mathrm{tg}\,\theta = b/h\)

Viga em dois apoios\(N_B = \dfrac{P_{\text{viga}}}{2} + P\,\dfrac{x}{L}\)

Talha com n roldanas móveis\(F = P/2^n\)

Corda puxada\(s = 2^n\,h\)