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Física · Ensino Médio · Física Moderna

Física Moderna

O GPS do celular, a radiografia no hospital, o painel solar no telhado e a cor das estrelas dependem de uma física que surgiu no começo do século XX. Vamos partir do fóton e do efeito fotoelétrico, passar pelos níveis de energia do átomo e pela dualidade onda-partícula, chegar ao núcleo, com a radioatividade e a energia nuclear, e terminar na relatividade, que mudou a nossa ideia de tempo.

  1. 1Espectro e fóton
  2. 2Efeito fotoelétrico
  3. 3Modelo de Bohr
  4. 4Onda e partícula
  5. 5Radioatividade
  6. 6Energia nuclear
  7. 7Relatividade
  8. ✓Desafios
PASSO 1

Do rádio ao raio gama

A luz que enxergamos é uma faixa estreita de uma família muito maior, a das ondas eletromagnéticas, em que campos elétricos e magnéticos oscilam e se propagam juntos. No vácuo, todas viajam com a mesma velocidade, \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\), e o que distingue uma da outra é o comprimento de onda ou, o que dá no mesmo, a frequência, ligados por \(c = \lambda\,f\).

Quando as ordenamos pelo comprimento de onda, obtemos o espectro eletromagnético, com os raios gama, os raios X, o ultravioleta, a luz visível, o infravermelho, as micro-ondas e as ondas de rádio. O visível vai de cerca de 400 nm, no violeta, a cerca de 700 nm, no vermelho. As fronteiras entre as outras regiões são convenções, sem um ponto exato em que uma termina e a outra começa.

Em 1900, para explicar a luz emitida por corpos quentes, Max Planck supôs que a energia trocada com a radiação vinha em pacotes. Em 1905, Einstein foi além e propôs que a própria luz é feita desses pacotes, que hoje chamamos de fótons, cada um com energia \(E = h\,f\), em que \(h\) é a constante de Planck.

\(c = \lambda\,f\)\(E = h\,f = \dfrac{h\,c}{\lambda}\)\(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\)Nesta aula usamos \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), o mesmo que \(4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), a energia que um elétron ganha ao atravessar uma diferença de potencial de 1 V. Com esses valores, \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\), e a energia do fóton em eV sai de \(1240/\lambda\), com λ em nanômetros. Como \(h\) está arredondado, contas feitas por caminhos diferentes podem diferir na segunda casa. Na simulação, tratamos como danoso, para simplificar, todo fóton com mais de 3,9 eV, a borda do UV-B.

Com a ideia de fóton entendemos por que o ultravioleta causa queimadura de sol e a luz visível não causa. Um fóton de UV-B carrega cerca de 4 eV, uma energia da ordem da que mantém unidos os átomos de moléculas como o DNA, e por isso pode romper essas ligações. Um fóton de luz vermelha tem menos de 2 eV.

Uma luz visível mais intensa traz mais fótons, e cada um continua fraco demais para esse estrago. Ela pode esquentar a pele, que é outro efeito, a soma da energia de muitos fótons virando calor. O que decide a queimadura, como podemos ver na simulação, é a energia de cada fóton, e não a quantidade de luz.

Para conversar

  • Arraste o marcador do vermelho ao violeta, na régua ou no zoom do visível. O que acontece com a frequência e com a energia de cada fóton?
  • Clique em "Wi-Fi" e depois em "Micro-ondas (forno)". As frequências são parecidas? Quantas vezes a energia de um fóton de luz verde supera a de um fóton de Wi-Fi?
  • Escolha a luz verde e leve a intensidade ao máximo. Algum fóton rompe ligações na pele? Agora escolha o UV-B com a intensidade baixa e compare.
  • Procure o ponto da régua em que o fóton passa de 10 eV. Em que região do espectro estamos, e por que essa radiação é chamada de ionizante?
Comprimento de onda
Frequência
Energia do fóton
Energia em joules
Região
Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma rádio FM transmite na frequência de 100 MHz. Qual é o comprimento de onda dessas ondas? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

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    Da relação \(c = \lambda\,f\), com \(f = 100 \cdot 10^6 = 10^8\ \text{Hz}\), temos \(\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^8}\).
    \(\lambda = 3\ \text{m}\)
  2. básico

    Ordene, da menor para a maior frequência, as seguintes radiações: luz visível, raios X, micro-ondas, ultravioleta e ondas de rádio.

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    No vácuo, todas viajam com a mesma velocidade \(c\), e, como \(f = c/\lambda\), a frequência cresce quando o comprimento de onda diminui.
    Basta então ordenar do maior para o menor comprimento de onda.
    Ondas de rádio, micro-ondas, luz visível, ultravioleta e raios X.
  3. básico

    Um fóton de luz alaranjada tem frequência \(5 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\). Qual é a sua energia, em joules e em elétrons-volt? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

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    A energia do fóton é \(E = h\,f = 6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 5 \cdot 10^{14}\) \(= 3{,}3 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
    Para passar a elétrons-volt, dividimos por \(1{,}6 \cdot 10^{-19}\), \(\dfrac{3{,}3 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 2{,}1\).
    \(E = 3{,}3 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), cerca de \(2{,}1\ \text{eV}\).
  4. básico

    Débora passa a tarde sob uma luminária de LED muito forte e não se queima. No dia seguinte, fica meia hora ao sol de inverno, que parece fraco, e a pele fica vermelha. Como a ideia de fóton explica a diferença?

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    A queimadura de sol é causada pelo ultravioleta, cujos fótons carregam energia suficiente para romper ligações em moléculas da pele, como o DNA.
    Os fótons da luz visível do LED têm menos energia cada um. Uma luz mais intensa traz mais fótons, mas cada fóton continua sem energia para o estrago, e o que decide é a energia por fóton, \(E = h\,f\).
    O sol de inverno ainda manda fótons de ultravioleta, de frequência alta, e o LED, por mais forte que seja, só manda fótons visíveis, de energia menor.
  5. médio

    Um forno de micro-ondas funciona com ondas de 2,45 GHz. Qual é o comprimento de onda dessas ondas e a energia, em eV, de cada fóton? Quantas vezes essa energia é menor que a de um fóton de luz visível de 2 eV? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\).

    Ver resolução
    O comprimento de onda é \(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{2{,}45 \cdot 10^9} \approx 0{,}12\ \text{m}\).
    A energia do fóton é \(E = h\,f = 4{,}1 \cdot 10^{-15} \cdot 2{,}45 \cdot 10^9\) \(\approx 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{eV}\), e a razão é \(\dfrac{2}{1{,}0 \cdot 10^{-5}} = 2 \cdot 10^5\).
    \(\lambda \approx 12\ \text{cm}\) e \(E \approx 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{eV}\), cerca de 200 mil vezes menos que o fóton visível.
  6. médio

    A radiação UV-B do Sol tem comprimento de onda de cerca de 300 nm. Qual é a energia de um desses fótons, em joules e em eV? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    Com \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\) e \(\lambda = 3 \cdot 10^{-7}\ \text{m}\), temos \(E = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^{-7}}\) \(= 6{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
    Em elétrons-volt, \(\dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 4{,}1\).
    \(E = 6{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), cerca de \(4{,}1\ \text{eV}\).
  7. médio

    Uma ponteira laser verde emite 5 mW de luz com comprimento de onda de 532 nm. Quantos fótons ela emite por segundo? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    Cada fóton tem \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{532 \cdot 10^{-9}}\) \(\approx 3{,}7 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
    A potência é a energia emitida por segundo, e o número de fótons por segundo é \(\dfrac{5 \cdot 10^{-3}}{3{,}7 \cdot 10^{-19}}\).
    Cerca de \(1{,}3 \cdot 10^{16}\) fótons por segundo.
  8. médio

    O LED de um controle remoto emite infravermelho de 940 nm. Qual é a frequência dessa radiação e a energia de cada fóton, em eV? Por que não vemos a luz do controle, embora a câmera de muitos celulares a mostre? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    A frequência é \(f = \dfrac{c}{\lambda}\) \(= \dfrac{3 \cdot 10^8}{940 \cdot 10^{-9}} \approx 3{,}2 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\), e a energia, \(E = h\,f \approx 2{,}1 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), ou cerca de 1,3 eV.
    Os nossos olhos respondem a comprimentos de onda entre cerca de 400 nm e 700 nm, e 940 nm fica fora dessa faixa. O sensor da câmera responde a uma faixa um pouco mais larga e registra parte desse infravermelho.
    \(f \approx 3{,}2 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\) e \(E \approx 1{,}3\ \text{eV}\), com λ fora da faixa que o olho percebe.
  9. desafio

    Um LED de 10 W transforma em luz cerca de 30% da energia que recebe. Supondo que toda essa luz tenha comprimento de onda de 550 nm, quantos fótons ele emite por segundo? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    A potência luminosa é \(0{,}30 \cdot 10 = 3\ \text{W}\), ou 3 J de luz por segundo.
    Cada fóton tem \(E = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{550 \cdot 10^{-9}}\) \(= 3{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), e o número de fótons por segundo é \(\dfrac{3}{3{,}6 \cdot 10^{-19}}\).
    Cerca de \(8 \cdot 10^{18}\) fótons por segundo.
  10. desafio

    Os raios X de uma radiografia têm comprimento de onda de cerca de 0,1 nm. Calcule a energia de um desses fótons, em eV, e compare com a de um fóton de luz visível de 500 nm. Por que um fóton de raio X consegue ionizar átomos e o de luz visível não? Use \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

    Ver resolução
    Com \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\), o fóton de raio X tem \(E \approx \dfrac{1240}{0{,}1} \approx 1{,}2 \cdot 10^4\ \text{eV}\), e o de luz visível, \(E \approx \dfrac{1240}{500} \approx 2{,}5\ \text{eV}\).
    A razão entre as energias é igual à razão inversa dos comprimentos de onda, \(\dfrac{500}{0{,}1} = 5000\).
    Para arrancar um elétron de um átomo são precisos, tipicamente, de alguns a algumas dezenas de eV, e um único fóton visível não chega a isso.
    O fóton de raio X tem cerca de 12 000 eV, 5000 vezes a energia do fóton visível, e sobra energia para ionizar.
PASSO 2

Luz que arranca elétrons

Quando iluminamos uma placa de metal com luz de frequência alta o bastante, elétrons escapam da superfície. Esse é o efeito fotoelétrico, observado por Heinrich Hertz em 1887 e estudado em detalhe por Philipp Lenard por volta de 1900.

Os resultados contrariavam a teoria ondulatória da luz. Por ela, uma luz mais intensa deveria arrancar elétrons mais rápidos, e qualquer cor acabaria por arrancá-los se esperássemos o bastante. Nos experimentos, abaixo de certa frequência de corte nenhum elétron sai, por mais forte que seja a luz, e acima dela os elétrons saem praticamente na hora, com uma energia máxima que depende só da frequência.

Em 1905, Einstein explicou os dados supondo que a luz chega em fótons de energia \(h\,f\) e que cada fóton entrega toda a sua energia a um único elétron. Uma parte, no mínimo a função trabalho \(W\) do metal, é gasta para tirar o elétron da placa, e o resto vira energia cinética. Se aumentamos a intensidade, chegam mais fótons por segundo e arrancamos mais elétrons, cada um com a mesma energia máxima de antes.

\(E_{c,\text{máx}} = h\,f - W\)\(f_0 = \dfrac{W}{h}\)\(\lambda_0 = \dfrac{h\,c}{W}\)\(W\) é a função trabalho, a energia mínima para arrancar um elétron do metal, e \(f_0\) e \(\lambda_0\) são a frequência e o comprimento de onda de corte. Os valores da simulação são aproximados, com césio 2,1 eV, sódio 2,3 eV, zinco 4,3 eV, cobre 4,7 eV e platina 5,6 eV, e as medidas variam com o estado da superfície. Supomos que cada fóton é absorvido por um único elétron, e a velocidade máxima sai de \(E_c = m\,v^2/2\), com a massa do elétron, \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

Millikan mediu a energia dos elétrons em vários metais e encontrou, no gráfico de \(E_c\) contra \(f\), retas paralelas com inclinação igual a \(h\), como Einstein previa, embora ele mesmo desconfiasse da ideia de fóton. Foi por esse trabalho que Einstein recebeu o Nobel de 1921.

Encontramos o efeito fotoelétrico em sensores de luz, como os de portas automáticas e os que acendem a iluminação pública ao anoitecer, quase sempre na versão que acontece dentro de semicondutores, em que o elétron é liberado dentro do material sem sair dele. Painéis solares e as câmeras dos celulares funcionam com a mesma ideia.

Para conversar

  • Com o sódio, comece em 700 nm e diminua λ aos poucos. Em que comprimento de onda os primeiros elétrons aparecem? Compare com \(\lambda_0 = h\,c/W\).
  • Em 600 nm, leve a intensidade ao máximo. Sai algum elétron? Agora, em 400 nm, diminua a intensidade. O que muda, o número de elétrons ou a rapidez deles?
  • Troque o sódio pelo zinco sem mexer na luz. Por que os elétrons param de sair, e que λ seria preciso para voltarem?
  • No gráfico, compare as retas dos cinco metais. Elas têm a mesma inclinação? Onde cada uma corta o eixo das frequências?
Energia do fóton
Função trabalho
Frequência de corte
λ de corte
Energia cinética máxima
Velocidade máxima
Elétrons por segundo
Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma placa de sódio, com função trabalho de 2,3 eV, é iluminada por fótons de 3,0 eV. Qual é a energia cinética máxima dos elétrons arrancados?

    Ver resolução
    Cada fóton entrega toda a sua energia a um elétron, e pelo menos 2,3 eV são gastos para tirá-lo da placa, \(E_{c,\text{máx}} = h\,f - W = 3{,}0 - 2{,}3\).
    \(E_{c,\text{máx}} = 0{,}7\ \text{eV}\)
  2. básico

    A função trabalho do zinco é de cerca de 4,3 eV. Qual é a frequência de corte do zinco, e a que comprimento de onda ela corresponde? Use \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\) e \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Na frequência de corte, o fóton tem só a energia necessária para arrancar o elétron, \(h\,f_0 = W\), e então \(f_0 = \dfrac{4{,}3}{4{,}1 \cdot 10^{-15}}\) \(\approx 1{,}05 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\).
    O comprimento de onda correspondente é \(\lambda_0 = \dfrac{c}{f_0} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}05 \cdot 10^{15}}\).
    \(f_0 \approx 1{,}0 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\) e \(\lambda_0 \approx 2{,}9 \cdot 10^{-7}\ \text{m}\), cerca de 290 nm, no ultravioleta.
  3. básico

    Uma luz violeta arranca elétrons de uma placa de césio. Se dobramos a intensidade da luz, sem mudar a cor, o que acontece com o número de elétrons arrancados por segundo e com a energia cinética máxima de cada um?

    Ver resolução
    Dobrar a intensidade, com a mesma frequência, dobra o número de fótons que chegam por segundo, e cada fóton continua com a mesma energia \(h\,f\).
    Como cada fóton arranca no máximo um elétron, o número de elétrons por segundo dobra, e a energia máxima de cada um, \(h\,f - W\), não muda.
    O número de elétrons por segundo dobra, e a energia cinética máxima continua a mesma.
  4. básico

    Iuri ilumina uma placa de zinco com um holofote vermelho muito forte, por vários minutos, e nenhum elétron é arrancado. Em seguida, uma lâmpada ultravioleta fraca arranca elétrons na hora. Explique.

    Ver resolução
    Cada fóton age sozinho sobre um elétron. Um fóton de luz vermelha tem menos de 2 eV, e o zinco exige cerca de 4,3 eV para soltar um elétron.
    Somar fótons fracos não adianta, porque um elétron não acumula a energia de vários fótons, e esperar mais tempo só traz mais fótons fracos.
    O fóton ultravioleta tem energia maior que a função trabalho do zinco, e o vermelho não, qualquer que seja a intensidade.
  5. médio

    Uma placa de cobre, com função trabalho de 4,7 eV, é iluminada por ultravioleta de 200 nm. Qual é a energia cinética máxima dos elétrons, em eV? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    A energia do fóton é \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda} = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{2 \cdot 10^{-7}}\) \(= 9{,}9 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), ou cerca de 6,2 eV.
    Descontando a função trabalho, \(E_{c,\text{máx}} = 6{,}2 - 4{,}7\).
    \(E_{c,\text{máx}} \approx 1{,}5\ \text{eV}\)
  6. médio

    Os elétrons arrancados de uma placa saem com energia cinética máxima de 2,0 eV. Qual é a velocidade máxima desses elétrons? Use a massa do elétron, \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\), e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    Em joules, a energia é \(2{,}0 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
    De \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2}\), temos \(v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3{,}2 \cdot 10^{-19}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}}\).
    \(v \approx 8{,}4 \cdot 10^5\ \text{m/s}\), cerca de 840 km/s.
  7. médio

    Num experimento, o gráfico da energia cinética máxima dos elétrons em função da frequência da luz é uma reta que corta o eixo das frequências em \(5{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\) e passa pelo ponto (\(1{,}0 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\); 2,05 eV). Determine a constante de Planck, em eV·s, e a função trabalho do metal.

    Ver resolução
    A inclinação da reta é \(h = \dfrac{\Delta E_c}{\Delta f}\) \(= \dfrac{2{,}05}{1{,}0 \cdot 10^{15} - 5{,}0 \cdot 10^{14}}\) \(= 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\).
    No ponto de corte, \(E_c = 0\) e \(W = h\,f_0 = 4{,}1 \cdot 10^{-15} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{14}\).
    \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\) e \(W \approx 2{,}1\ \text{eV}\)
  8. médio

    Uma placa de potássio, com função trabalho de 2,3 eV, é iluminada primeiro com luz de 600 nm e depois com luz de 400 nm. Em qual caso saem elétrons, e com que energia cinética máxima? Use \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

    Ver resolução
    Com 600 nm, cada fóton tem \(E \approx \dfrac{1240}{600} \approx 2{,}1\ \text{eV}\), menos que a função trabalho, e nenhum elétron sai.
    Com 400 nm, \(E \approx \dfrac{1240}{400} = 3{,}1\ \text{eV}\), e sobram \(3{,}1 - 2{,}3\) para a energia cinética.
    Só a luz de 400 nm arranca elétrons, com energia cinética máxima de cerca de 0,8 eV.
  9. desafio

    Com luz de \(1{,}0 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\), os elétrons de um metal saem com energia cinética máxima de 2,0 eV. Com \(1{,}5 \cdot 10^{15}\ \text{Hz}\), saem com 4,05 eV. Sem usar o valor de \(h\) dado na aula, determine a constante de Planck e a função trabalho do metal.

    Ver resolução
    As duas medidas obedecem a \(E_{c,\text{máx}} = h\,f - W\), com \(2{,}0 = h \cdot 1{,}0 \cdot 10^{15} - W\) e \(4{,}05 = h \cdot 1{,}5 \cdot 10^{15} - W\).
    Subtraindo a primeira da segunda, \(2{,}05 = h \cdot 0{,}5 \cdot 10^{15}\), e \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\).
    Voltando à primeira, \(W = 4{,}1 - 2{,}0\).
    \(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\) e \(W = 2{,}1\ \text{eV}\)
  10. desafio

    No modelo ondulatório clássico, a energia da luz se espalharia por igual sobre a placa, e um átomo só poderia captar a energia que cai na sua área, de cerca de \(10^{-20}\ \text{m}^2\). Com uma luz fraca, de \(10^{-6}\ \text{W/m}^2\), quanto tempo um átomo levaria para juntar os 2 eV necessários para soltar um elétron? Compare com o que se observa, em que os elétrons saem em menos de um bilionésimo de segundo. Use \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    A potência que chega a um átomo, nesse modelo, é \(10^{-6} \cdot 10^{-20} = 10^{-26}\ \text{W}\), e a energia necessária é \(2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
    O tempo seria \(t = \dfrac{3{,}2 \cdot 10^{-19}}{10^{-26}} = 3{,}2 \cdot 10^7\ \text{s}\).
    Cerca de \(3 \cdot 10^7\ \text{s}\), perto de um ano, enquanto os elétrons saem praticamente na hora, um dos dados que levaram Einstein a propor os fótons.
PASSO 3

Por que cada elemento tem as suas cores?

Quando aquecemos um gás ou fazemos passar uma descarga elétrica por ele, o gás emite luz, e um prisma mostra que essa luz contém só algumas cores, em linhas finas e separadas. Esse é o espectro de emissão, e cada elemento tem o seu conjunto de linhas, tão característico quanto uma impressão digital.

Em 1913, Niels Bohr propôs um modelo para o hidrogênio em que o elétron só pode ocupar certos níveis de energia, \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV, com \(n = 1, 2, 3, \dots\) O sinal negativo indica que o elétron está preso ao núcleo, e precisamos de 13,6 eV para arrancá-lo do nível mais baixo, o estado fundamental.

Ao passar de um nível mais alto para um mais baixo, o elétron emite um fóton com energia igual à diferença entre os níveis, e para subir precisa absorver um fóton com exatamente essa energia. Nas quedas para o nível 2 obtemos as linhas visíveis do hidrogênio, a série de Balmer, medidas em 656, 486, 434 e 410 nm, e o modelo de Bohr reproduz esses valores com uma precisão que impressionou os físicos da época.

\(E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}\)\(E_{\text{fóton}} = E_i - E_f\)\(\lambda = \dfrac{h\,c}{E_{\text{fóton}}}\)\(E_i\) e \(E_f\) são as energias dos níveis inicial e final. As linhas de Balmer citadas no texto são medidas; com os valores arredondados de \(h\) e \(c\) desta aula, o cálculo dá 655, 485, 433 e 409 nm, com diferenças de cerca de 1 nm que vêm sobretudo do arredondamento. Na simulação, as alturas dos níveis e os raios das órbitas estão fora de escala.

Devemos, porém, tratar esse modelo com cuidado. A imagem do elétron girando em órbitas definidas foi abandonada com a mecânica quântica, e o modelo falha para átomos com mais de um elétron. A ideia de níveis de energia discretos continua valendo, e a mecânica quântica dá para o hidrogênio os mesmos níveis que Bohr calculou.

Usamos os espectros para identificar elementos, na Terra e fora dela. A luz amarelada das lâmpadas de sódio vem de duas linhas perto de 589 nm, e as cores dos fogos de artifício vêm de sais de estrôncio, no vermelho, de bário, no verde, e de cobre, no azul.

O espectro do Sol mostra linhas escuras de absorção, porque os gases da sua atmosfera absorvem as mesmas cores que emitiriam. Foi assim que o hélio foi descoberto no Sol, em 1868, quase trinta anos antes de ser encontrado na Terra.

Para conversar

  • Leve o elétron ao nível 3 e deixe-o cair para o 2. Que cor aparece no espectro de emissão, e quanto vale o comprimento de onda?
  • Repita com as quedas de 4, 5 e 6 para o 2. As linhas ficam mais próximas umas das outras à medida que \(n\) cresce?
  • Com o elétron no nível 2, suba para o 4. Onde aparece a linha escura no espectro de absorção? Ela coincide com alguma linha de emissão?
  • Faça o elétron cair de qualquer nível para o 1. Por que essas linhas não aparecem na faixa visível? Depois ligue a lâmpada de hidrogênio e espere o espectro se formar.
Nível do elétron
Energia do nível
Último fóton
Comprimento de onda
Tipo e região
Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    No modelo de Bohr, os níveis de energia do hidrogênio são \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV. Calcule a energia dos níveis 1, 2 e 3.

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    Substituindo \(n\), temos \(E_1 = -\dfrac{13{,}6}{1}\), \(E_2 = -\dfrac{13{,}6}{4}\) e \(E_3 = -\dfrac{13{,}6}{9}\).
    \(E_1 = -13{,}6\ \text{eV}\), \(E_2 = -3{,}4\ \text{eV}\) e \(E_3 \approx -1{,}51\ \text{eV}\)
  2. básico

    O elétron de um átomo de hidrogênio cai do nível 3 para o nível 2. Qual é a energia do fóton emitido? Use \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV.

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    O fóton leva a diferença de energia entre os níveis, \(E = E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}4)\).
    \(E \approx 1{,}89\ \text{eV}\)
  3. básico

    Por que a luz de um gás aquecido, como o hidrogênio de uma lâmpada de descarga, forma linhas separadas ao passar por um prisma, e não um arco-íris contínuo como a luz de uma lâmpada incandescente?

    Ver resolução
    Os elétrons do gás só ocupam certos níveis de energia, e cada fóton emitido tem a energia da diferença entre dois desses níveis.
    Só algumas energias são possíveis, e portanto só alguns comprimentos de onda. O filamento de uma lâmpada incandescente é um sólido quente, em que os átomos interagem fortemente e a emissão cobre todas as cores.
    Os níveis discretos do átomo isolado permitem só certas energias de fóton, que aparecem como linhas.
  4. básico

    Como os astrônomos sabem que existe hidrogênio e sódio na atmosfera de uma estrela distante, sem nunca terem ido até lá?

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    A luz da estrela, ao atravessar a sua atmosfera, perde as cores que os átomos dali absorvem, e o espectro mostra linhas escuras.
    Cada elemento absorve nas mesmas posições em que emite no laboratório, e comparando as linhas escuras com essas posições conhecidas identificamos os elementos.
    As linhas escuras do espectro da estrela coincidem com as linhas do hidrogênio e do sódio medidas na Terra.
  5. médio

    Calcule o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron do hidrogênio cai do nível 3 para o nível 2. Em que região do espectro ele está? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\) e \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

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    A energia do fóton é \(1{,}89\ \text{eV} = 1{,}89 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) \(\approx 3{,}02 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).
    Com \(\lambda = \dfrac{h\,c}{E}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3{,}02 \cdot 10^{-19}}\), chegamos a \(6{,}55 \cdot 10^{-7}\ \text{m}\).
    \(\lambda \approx 655\ \text{nm}\), luz vermelha, a mesma linha que se mede em 656 nm.
  6. médio

    Quanta energia é preciso dar a um elétron do hidrogênio que está no nível 2 para arrancá-lo do átomo? Qual é o maior comprimento de onda de um fóton capaz de fazer isso? Use \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

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    Para arrancar o elétron, levamos a sua energia de \(E_2 = -3{,}4\ \text{eV}\) até 0, o que exige 3,4 eV.
    O maior comprimento de onda corresponde ao fóton de energia mínima, \(\lambda = \dfrac{1240}{3{,}4}\).
    São precisos 3,4 eV, e o fóton deve ter λ de no máximo cerca de 365 nm, no ultravioleta.
  7. médio

    Num gás de hidrogênio, os elétrons foram excitados até o nível 4 e vão descendo, por todos os caminhos possíveis, até o nível 1. Quantas linhas diferentes podem aparecer no espectro? Quais delas são visíveis?

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    Cada linha corresponde a um par de níveis, e os pares possíveis são 4→3, 4→2, 4→1, 3→2, 3→1 e 2→1.
    As visíveis são as que terminam no nível 2, a série de Balmer, e as que terminam no nível 1 caem no ultravioleta. A queda 4→3 cai no infravermelho.
    Seis linhas, das quais só duas são visíveis, 3→2 (vermelha, 656 nm) e 4→2 (azul-esverdeada, 486 nm).
  8. médio

    Um átomo de hidrogênio no estado fundamental recebe um fóton de 10,2 eV, e depois outro átomo, também no estado fundamental, recebe um fóton de 11 eV. O que acontece em cada caso? Use \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV.

    Ver resolução
    Com 10,2 eV, o elétron iria de \(-13{,}6\ \text{eV}\) para \(-13{,}6 + 10{,}2 = -3{,}4\ \text{eV}\), que é exatamente \(E_2\), e o fóton é absorvido.
    Com 11 eV, o elétron iria para \(-2{,}6\ \text{eV}\), e não há nível com essa energia, porque \(E_2 = -3{,}4\ \text{eV}\) e \(E_3 \approx -1{,}51\ \text{eV}\).
    O fóton de 10,2 eV é absorvido e leva o elétron ao nível 2; o de 11 eV não é absorvido e atravessa o gás.
  9. desafio

    Calcule os comprimentos de onda das quedas do nível 4 para o 2 e do nível 6 para o 2 no hidrogênio, e compare com os valores medidos, 486 nm e 410 nm. Use \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV e \(h\,c = 1237{,}5\ \text{eV} \cdot \text{nm}\), o valor que sai das constantes da aula.

    Ver resolução
    Na queda 4→2, \(E = 13{,}6 \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}\right)\) \(= 2{,}55\ \text{eV}\), e \(\lambda = \dfrac{1237{,}5}{2{,}55} \approx 485\ \text{nm}\).
    Na queda 6→2, \(E = 13{,}6 \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{36}\right)\) \(\approx 3{,}022\ \text{eV}\), e \(\lambda = \dfrac{1237{,}5}{3{,}022} \approx 409{,}5\ \text{nm}\).
    As diferenças de cerca de 1 nm vêm sobretudo do arredondamento de \(h\) e \(c\).
    Cerca de 485 nm e 409,5 nm, praticamente os valores medidos, um dos grandes acertos do modelo de Bohr.
  10. desafio

    A luz amarela das lâmpadas de sódio da iluminação pública tem comprimento de onda de cerca de 589 nm. Qual é a diferença de energia, em eV, entre os dois níveis envolvidos? Por que não podemos usar \(E_n = -13{,}6/n^2\) para calcular os níveis do sódio? Use \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

    Ver resolução
    A diferença de energia é a energia do fóton, \(E = \dfrac{1240}{589} \approx 2{,}1\ \text{eV}\).
    A fórmula de Bohr vale para um único elétron em torno de um núcleo com um próton. O sódio tem 11 elétrons, que se repelem e blindam parte da carga do núcleo, e o modelo de Bohr não dá conta disso, ainda que os níveis continuem discretos.
    Cerca de 2,1 eV; os níveis do sódio existem, mas não seguem a fórmula do hidrogênio, porque o átomo tem muitos elétrons.
PASSO 4

Onda ou partícula?

Se a luz, que tratávamos como onda, também se comporta como partícula, talvez a matéria, que tratamos como partícula, também se comporte como onda. Essa foi a hipótese de Louis de Broglie, em 1924, que associou a toda partícula de massa \(m\) e velocidade \(v\) um comprimento de onda \(\lambda = h/(m\,v)\).

Em 1927, Davisson e Germer, nos Estados Unidos, e G. P. Thomson, na Inglaterra, observaram a difração de elétrons em cristais, com o comprimento de onda previsto por de Broglie. Os microscópios eletrônicos usam esse comportamento, e o comprimento de onda curto dos elétrons revela detalhes que a luz visível não alcança.

Se calculamos \(\lambda\) para uma bola de futebol de 0,43 kg a 20 m/s, encontramos cerca de \(8 \cdot 10^{-35}\ \text{m}\), um valor tão pequeno perto de qualquer fenda ou obstáculo que nenhum efeito de onda pode ser percebido. Para um elétron a \(10^6\ \text{m/s}\), \(\lambda\) fica perto de 0,7 nm, comparável à distância entre os átomos de um cristal.

\(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\)\(\Delta y \approx \dfrac{\lambda\,L}{d}\)\(\Delta y\) é a distância entre franjas claras vizinhas numa tela a uma distância \(L\) de duas fendas separadas por \(d\), quando \(\Delta y\) é bem menor que \(L\). Na simulação, as fendas estão separadas por 1 µm, cada uma com 0,2 µm de largura, e a tela fica a 1 m, valores escolhidos para que as franjas tenham tamanho visível. A massa do elétron é \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

No experimento da dupla fenda com elétrons, feito com elétrons chegando um de cada vez na Itália, na década de 1970, e repetido com mais clareza no Japão, em 1989, cada elétron deixa um único ponto na tela, como uma partícula. Com milhares de pontos, aparecem franjas claras e escuras, o padrão de interferência de uma onda que passou pelas duas fendas, e se fechamos uma das fendas as franjas somem.

O que podemos afirmar com segurança é o que se mede. A mecânica quântica prevê a probabilidade de o elétron chegar a cada ponto da tela, e essa previsão concorda com os experimentos. Já a pergunta sobre por qual fenda o elétron passou, quando não medimos isso, não tem uma resposta aceita por todos, e é justamente aí que as interpretações da teoria divergem.

Para conversar

  • Pare os disparos, limpe a tela e dispare os elétrons um a um. Dá para prever onde o próximo vai cair?
  • Deixe chegar alguns milhares de elétrons. Onde ficam as faixas com mais pontos, e onde quase não chega nenhum? Compare com a curva tracejada.
  • Feche a fenda de baixo e espere de novo. As franjas continuam lá? Por que o padrão não é simplesmente a metade do anterior?
  • Aumente a velocidade dos elétrons. O que acontece com \(\lambda\) e com a distância entre as franjas?
Elétrons na tela
Velocidade
λ de De Broglie
Distância entre franjas
Fendas abertas
Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Qual é o comprimento de onda de De Broglie de um elétron com velocidade de \(2 \cdot 10^6\ \text{m/s}\)? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\) e a massa do elétron, \(9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

    Ver resolução
    Pela relação de De Broglie, \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 2 \cdot 10^6}\).
    \(\lambda \approx 3{,}6 \cdot 10^{-10}\ \text{m}\), cerca de 0,36 nm.
  2. básico

    Qual é o comprimento de onda de De Broglie de uma bola de tênis de 60 g a 50 m/s? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\).

    Ver resolução
    Com a massa em quilogramas, \(m = 0{,}06\ \text{kg}\), temos \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v} = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{0{,}06 \cdot 50}\).
    \(\lambda = 2{,}2 \cdot 10^{-34}\ \text{m}\)
  3. básico

    Se toda partícula tem um comprimento de onda associado, por que não vemos uma bola de futebol fazer interferência ao passar pelo vão entre dois jogadores da barreira?

    Ver resolução
    Os efeitos de onda, como a interferência e a difração, só ficam visíveis quando o comprimento de onda é comparável ao tamanho das fendas ou obstáculos.
    Para a bola, \(\lambda\) fica perto de \(10^{-34}\ \text{m}\), trilhões de trilhões de vezes menor que um vão de meio metro, e as franjas ficariam tão juntas que nenhum instrumento as separaria.
    O comprimento de onda da bola é pequeno demais, perto de qualquer vão, para que algum efeito de onda apareça.
  4. básico

    Num experimento de dupla fenda, elétrons são disparados um de cada vez. O que cada elétron deixa na tela? O que aparece depois que milhares de elétrons chegaram?

    Ver resolução
    Cada elétron é detectado num único ponto da tela, como uma partícula, e não dá para prever em qual ponto.
    Com muitos elétrons, os pontos se acumulam em faixas claras e escuras, o padrão de interferência que esperaríamos de uma onda passando pelas duas fendas.
    Um ponto por elétron, e, no conjunto, franjas de interferência.
  5. médio

    Um elétron e um próton têm a mesma velocidade. Qual dos dois tem o maior comprimento de onda de De Broglie, e quantas vezes maior? Use \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\) e \(m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\).

    Ver resolução
    Com a mesma velocidade, \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\) é inversamente proporcional à massa, e \(\dfrac{\lambda_e}{\lambda_p} = \dfrac{m_p}{m_e}\) \(= \dfrac{1{,}67 \cdot 10^{-27}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}\).
    O elétron, com um comprimento de onda cerca de 1800 vezes maior.
  6. médio

    Que velocidade deve ter um elétron para que o seu comprimento de onda de De Broglie seja de 0,1 nm, parecido com a distância entre os átomos de um cristal? Use \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\) e \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\).

    Ver resolução
    Isolando a velocidade, \(v = \dfrac{h}{m\,\lambda}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-10}}\).
    \(v \approx 7{,}3 \cdot 10^6\ \text{m/s}\), cerca de 2% da velocidade da luz.
  7. médio

    Elétrons com comprimento de onda de 0,5 nm passam por duas fendas separadas por 1 µm e chegam a uma tela a 1 m de distância. Qual é a distância entre franjas claras vizinhas? E se a velocidade dos elétrons dobrar?

    Ver resolução
    Para franjas pouco espaçadas, \(\Delta y = \dfrac{\lambda\,L}{d}\) \(= \dfrac{0{,}5 \cdot 10^{-9} \cdot 1}{10^{-6}}\) \(= 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}\).
    Dobrando a velocidade, \(\lambda = h/(m\,v)\) cai à metade, e \(\Delta y\) também.
    \(\Delta y = 0{,}5\ \text{mm}\), e com o dobro da velocidade, 0,25 mm.
  8. médio

    No experimento de dupla fenda com elétrons, fechamos uma das fendas. O padrão na tela é a metade do padrão com as duas fendas abertas? O que aparece?

    Ver resolução
    Não. Com as duas fendas abertas, as franjas escuras são lugares onde quase nenhum elétron chega, e com uma fenda só alguns desses lugares passam a receber elétrons.
    O que aparece é uma faixa larga, a difração por uma fenda só, sem as franjas finas de interferência.
    As franjas somem e sobra uma faixa larga, o que mostra que o padrão com duas fendas não é a soma do que cada fenda faria sozinha.
  9. desafio

    Um elétron parte do repouso e é acelerado por uma diferença de potencial de 100 V. Calcule a sua velocidade e o seu comprimento de onda de De Broglie. Por que elétrons assim servem para estudar a estrutura de cristais? Use \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}\), \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}\) e \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\).

    Ver resolução
    A energia cinética é \(E_c = q\,U = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100\) \(= 1{,}6 \cdot 10^{-17}\ \text{J}\), e \(v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}\) \(\approx 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}\).
    O comprimento de onda é \(\lambda = \dfrac{h}{m\,v}\) \(= \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 5{,}9 \cdot 10^6}\) \(\approx 1{,}2 \cdot 10^{-10}\ \text{m}\).
    Esse valor é parecido com a distância entre os átomos de um cristal, e os elétrons sofrem difração na rede, como os de Davisson e Germer em 1927.
    \(v \approx 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}\) e \(\lambda \approx 0{,}12\ \text{nm}\), da ordem do espaçamento atômico.
  10. desafio

    Duas colegas discutem o experimento de dupla fenda com elétrons. Para Lara, cada elétron é uma onda que vira partícula quando bate na tela. Para Sônia, cada elétron é uma partícula que passa por uma das fendas, só que não sabemos qual. O que o experimento estabelece, e o que continua em aberto?

    Ver resolução
    O experimento estabelece que cada elétron é detectado num ponto só, que os pontos se distribuem com as franjas de interferência e que as franjas somem quando fechamos uma fenda ou registramos por qual fenda cada elétron passou.
    Uma partícula que passasse por uma fenda sem nenhuma influência da outra não produziria franjas. Algumas interpretações mantêm a trajetória da partícula, mas acrescentam uma onda que passa pelas duas fendas e a guia.
    A mecânica quântica prevê com precisão as probabilidades de chegada, e todas as interpretações concordam com essas previsões. A descrição do que acontece entre a fonte e a tela é que muda de uma interpretação para outra.
    As medidas são as mesmas para todos; o que fica em aberto é a interpretação, e as duas falas, do jeito que foram ditas, simplificam demais o que se sabe.
PASSO 5

Núcleos que se transformam sozinhos

Alguns núcleos atômicos são instáveis e, mais cedo ou mais tarde, se transformam em outros, emitindo a radiação que detectamos com um contador Geiger. Esse fenômeno, a radioatividade, foi descoberto por Henri Becquerel em 1896 e estudado por Marie e Pierre Curie, que isolaram o polônio e o rádio.

As emissões mais comuns são de três tipos. A radiação alfa (α) é um núcleo de hélio, com dois prótons e dois nêutrons, e para numa folha de papel. Bem mais penetrante, a beta (β) é um elétron ou um pósitron rápido, que atravessa o papel e é barrado por alguns milímetros de alumínio. Já a gama (γ), um fóton de energia muito alta, só é bem atenuada por camadas grossas de chumbo ou de concreto.

Não há como prever quando um núcleo em particular vai decair, mas numa amostra com muitos núcleos a fração que decai por unidade de tempo é constante. Chamamos de meia-vida \(T\) o tempo para que metade dos núcleos decaia, e depois de um tempo \(t\) restam \(N = N_0/2^{t/T}\). O iodo-131 tem meia-vida de cerca de 8 dias, o carbono-14, de cerca de 5730 anos, e o urânio-238, de 4,5 bilhões de anos.

\(N = \dfrac{N_0}{2^{t/T}}\)\(A = \dfrac{A_0}{2^{t/T}}\)\(N\) é o número de núcleos que ainda não decaíram, \(T\) é a meia-vida, e a atividade \(A\), o número de decaimentos por segundo, cai na mesma proporção. Os valores de dose do texto são aproximados e variam com o lugar e com o equipamento. Na simulação, a meia-vida está em segundos, para caber na tela, e o painel de penetração mostra as tendências, sem as proporções exatas.

Os seres vivos trocam carbono com o ambiente e mantêm a mesma proporção de carbono-14 do ar. Depois da morte, o carbono-14 deixa de ser reposto e decai, e, medindo a fração que resta, sabemos há quanto tempo o organismo morreu. A datação por carbono-14 funciona bem até algumas dezenas de milhares de anos.

Na medicina, a radiação ionizante produz imagens, como nas radiografias e nas cintilografias, e trata tumores na radioterapia. O efeito no corpo é medido pela dose, em sieverts (Sv). Recebemos, em média, alguns milissieverts por ano de fontes naturais, uma radiografia de tórax fica abaixo de um décimo de milissievert e uma tomografia dá alguns milissieverts.

Doses de vários sieverts em pouco tempo causam danos graves, e por isso fontes radioativas e aparelhos são controlados, e os profissionais usam proteção e monitores de dose. Nas doses dos exames que fazemos, o benefício do diagnóstico tende a superar em muito o risco, que é pequeno.

Para conversar

  • Com 400 núcleos, pause quando o tempo chegar a uma meia-vida. Quantos núcleos restam? É exatamente a metade?
  • Repita com 100 e com 1600 núcleos. Em qual dos casos a contagem fica mais perto da curva teórica, e por quê?
  • Observe a amostra depois de três meias-vidas. A fração que resta confere com \(1/2^3\)?
  • No painel de baixo, escolha cada radiação separadamente. Qual barreira detém cada uma?
Tempo
Meias-vidas
Núcleos restantes
Previsão N₀/2^(t/T)
Diferença
Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    O iodo-131, usado no tratamento da tireoide, tem meia-vida de 8 dias. De uma amostra de 80 g, quanto resta depois de 24 dias?

    Ver resolução
    Em 24 dias passam \(\dfrac{24}{8} = 3\) meias-vidas, e \(m = \dfrac{m_0}{2^3} = \dfrac{80}{8}\).
    Restam 10 g de iodo-131.
  2. básico

    Ordene as radiações alfa, beta e gama pelo poder de penetração e diga o que basta para barrar cada uma delas.

    Ver resolução
    A alfa, um núcleo de hélio, é pesada e tem carga, e para numa folha de papel ou em poucos centímetros de ar.
    A beta, um elétron rápido, atravessa o papel e para em alguns milímetros de alumínio. A gama, um fóton de alta energia, não tem carga e precisa de camadas espessas de chumbo ou concreto para ser bem atenuada.
    Da menos para a mais penetrante, alfa (papel), beta (alumínio) e gama (chumbo grosso).
  3. básico

    Uma amostra tem 1600 núcleos radioativos, com meia-vida de 5 minutos. Quantos núcleos, em média, ainda não decaíram depois de 20 minutos?

    Ver resolução
    Em 20 minutos passam 4 meias-vidas, e \(N = \dfrac{N_0}{2^4} = \dfrac{1600}{16}\).
    Cerca de 100 núcleos.
  4. básico

    Um colega diz que, se em uma meia-vida a amostra perde metade dos núcleos, em duas meias-vidas ela perde todos. Ele está certo?

    Ver resolução
    A cada meia-vida, decai metade dos núcleos que havia no começo daquele intervalo, e não metade da amostra original.
    Depois da primeira meia-vida resta \(\dfrac{1}{2}\), e depois da segunda, metade disso, \(\dfrac{1}{4}\).
    Não. Depois de duas meias-vidas resta um quarto da amostra.
  5. médio

    Num fóssil, a proporção de carbono-14 é 1/8 da encontrada num ser vivo. Há quanto tempo o organismo morreu? A meia-vida do carbono-14 é de cerca de 5730 anos.

    Ver resolução
    Para a proporção cair a \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}\), precisam passar 3 meias-vidas, e \(t = 3 \cdot 5730\).
    Há cerca de 17 190 anos.
  6. médio

    O tecnécio-99m, usado em exames de cintilografia, tem meia-vida de cerca de 6 h. Um paciente recebe a dose às 8 h. Que fração da atividade inicial resta às 8 h do dia seguinte?

    Ver resolução
    Entre as 8 h de um dia e as 8 h do dia seguinte passam 24 h, ou \(\dfrac{24}{6} = 4\) meias-vidas.
    A atividade cai a \(\dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}\) da inicial.
    Resta 1/16 da atividade, cerca de 6%.
  7. médio

    Quanto tempo leva para a atividade de uma amostra de iodo-131, com meia-vida de 8 dias, cair a 1/32 do valor inicial?

    Ver resolução
    Como \(32 = 2^5\), a atividade precisa cair à metade 5 vezes, e \(t = 5 \cdot 8\).
    40 dias.
  8. médio

    Uma amostra tem só 4 núcleos radioativos. Depois de uma meia-vida, restam obrigatoriamente 2? Qual é a probabilidade de restarem exatamente 2?

    Ver resolução
    Cada núcleo tem, independentemente dos outros, probabilidade \(\dfrac{1}{2}\) de ainda não ter decaído depois de uma meia-vida. A meia-vida descreve o comportamento médio, e com poucos núcleos o resultado varia bastante.
    Há \(2^4 = 16\) combinações igualmente prováveis, e em 6 delas sobram exatamente 2 núcleos.
    Não; a probabilidade de restarem exatamente 2 é \(\dfrac{6}{16} = 37{,}5\%\).
  9. desafio

    O césio-137 envolvido no acidente de Goiânia, em 1987, tem meia-vida de cerca de 30 anos. Que fração da atividade resta depois de 1 ano? Em que ano a atividade daquele material cairá a 1/8 da de 1987?

    Ver resolução
    Depois de 1 ano, a fração é \(\dfrac{1}{2^{1/30}} \approx 0{,}977\), ou cerca de 97,7%, e a atividade quase não muda em um ano.
    Para cair a \(\dfrac{1}{8}\) são precisas 3 meias-vidas, \(3 \cdot 30 = 90\) anos, e \(1987 + 90 = 2077\).
    Cerca de 97,7% depois de um ano, e 1/8 só por volta de 2077.
  10. desafio

    Suponha, como valores aproximados, que uma pessoa receba cerca de 3 mSv por ano de fontes naturais, que uma radiografia de tórax dê cerca de 0,02 mSv e que uma tomografia de tórax dê cerca de 7 mSv. A quantos dias de radiação natural equivale cada exame?

    Ver resolução
    Por dia, a radiação natural dá \(\dfrac{3}{365}\) mSv. A radiografia equivale a \(\dfrac{0{,}02}{3} \cdot 365 \approx 2{,}4\) dias.
    A tomografia equivale a \(\dfrac{7}{3} \approx 2{,}3\) anos, ou cerca de 850 dias.
    A radiografia equivale a uns 2 ou 3 dias de radiação natural, e a tomografia, a pouco mais de 2 anos, o que explica por que ela só é pedida quando o benefício para o diagnóstico compensa.
PASSO 6

Quanta energia cabe na massa?

Em 1905, Einstein mostrou que massa e energia são equivalentes, \(E = m\,c^2\). Como \(c^2\) é enorme, \(9 \cdot 10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\), vemos que uma massa pequena corresponde a muita energia, e um grama equivale a \(9 \cdot 10^{13}\ \text{J}\), mais ou menos a energia de vinte mil toneladas de TNT.

A massa de um núcleo é um pouco menor que a soma das massas dos seus prótons e nêutrons separados, e a diferença corresponde à energia que o mantém unido. Quando um núcleo pesado se parte em dois menores, ou quando dois leves se juntam num maior, a massa total diminui um pouco e a diferença aparece como energia.

Na fissão, um núcleo de urânio-235 absorve um nêutron e se parte em dois fragmentos, liberando cerca de 200 MeV e mais dois ou três nêutrons, que podem provocar novas fissões numa reação em cadeia. Chamamos de \(k\) o número médio de nêutrons de cada fissão que provocam outra. Com \(k < 1\) a reação se apaga, com \(k = 1\) se mantém e com \(k > 1\) cresce.

Numa usina, como as que temos em Angra dos Reis, Angra 1 e Angra 2, o reator opera com \(k = 1\). Barras de controle, feitas de materiais que absorvem nêutrons, entram ou saem do núcleo do reator para ajustar \(k\), e o calor das fissões aquece água, cujo vapor move as turbinas. O urânio da usina é pouco enriquecido, com 3% a 5% de urânio-235, e não explode como uma bomba, que exige urânio muito mais enriquecido e uma montagem própria.

A fusão mantém o Sol brilhando. No seu centro, a cerca de 15 milhões de kelvins, núcleos de hidrogênio se fundem em hélio, e o Sol converte em energia cerca de 4 milhões de toneladas de massa por segundo. Ainda não conseguimos usar a fusão controlada para gerar eletricidade, e esse é um dos grandes desafios da pesquisa em energia.

\(E = m\,c^2\)\(\Delta E = \Delta m\,c^2\)\(1\ \text{MeV} = 1{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{J}\)Valores aproximados de energia por quilograma: gasolina queimada, \(4{,}5 \cdot 10^7\ \text{J}\); urânio-235 que fissiona por completo, \(8 \cdot 10^{13}\ \text{J}\); hidrogênio que vira hélio no Sol, \(6 \cdot 10^{14}\ \text{J}\). Na simulação, cada fissão libera 2 ou 3 nêutrons, cada núcleo partido é reposto depois de um tempo, como se o combustível não acabasse, e uma fonte fraca de partida solta um nêutron de vez em quando, se houver poucos em voo.

Para conversar

  • Insira bem as barras, deixando \(k < 1\), e observe a população de nêutrons. O que acontece com as cadeias que a fonte inicia?
  • Ajuste as barras até \(k = 1\). O número de nêutrons fica estável, mesmo com as flutuações?
  • Retire as barras, com \(k > 1\), e acompanhe o gráfico. Em quanto tempo a população dobra? Depois reinsira as barras e tente estabilizar a reação.
  • Desligue a fonte com \(k < 1\) e dispare um nêutron. Quantas fissões a cadeia produz antes de se apagar?
Fator k
Nêutrons em voo
Fissões
Energia liberada
Regime
Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Pela relação \(E = m\,c^2\), quanta energia corresponde a uma massa de 1 g? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Com a massa em quilogramas, \(m = 10^{-3}\ \text{kg}\), temos \(E = m\,c^2 = 10^{-3} \cdot (3 \cdot 10^8)^2\).
    \(E = 9 \cdot 10^{13}\ \text{J}\)
  2. básico

    Qual é a diferença entre fissão e fusão nuclear? Qual delas acontece nas usinas de Angra e qual acontece no Sol?

    Ver resolução
    Na fissão, um núcleo pesado, como o do urânio-235, se parte em dois núcleos menores. Na fusão, núcleos leves, como os do hidrogênio, se juntam e formam um núcleo maior.
    Nos dois casos a massa final é um pouco menor que a inicial, e a diferença aparece como energia.
    As usinas de Angra usam a fissão do urânio, e o Sol brilha pela fusão do hidrogênio em hélio.
  3. básico

    Para que servem as barras de controle de um reator nuclear? O que acontece com a reação em cadeia quando elas são inseridas mais fundo?

    Ver resolução
    As barras são feitas de materiais que absorvem nêutrons. Inseridas mais fundo, elas capturam mais nêutrons, que deixam de provocar novas fissões, e o fator de multiplicação \(k\) diminui.
    Elas regulam a reação; inseridas mais fundo, reduzem \(k\) e a potência do reator, e podem desligá-lo.
  4. básico

    Numa reação em cadeia, \(k\) é o número médio de nêutrons de cada fissão que provocam nova fissão. O que acontece com a reação quando \(k < 1\), \(k = 1\) e \(k > 1\)? Com que \(k\) uma usina deve operar?

    Ver resolução
    Com \(k < 1\), cada geração tem menos fissões que a anterior, e a reação se apaga. Com \(k = 1\), o número de fissões por geração fica estável, e com \(k > 1\) ele cresce a cada geração.
    A usina opera com \(k = 1\), no regime crítico, em que a potência fica constante.
  5. médio

    Cada fissão de um núcleo de urânio-235 libera cerca de 200 MeV. Quanto é isso em joules? Quantas fissões por segundo são precisas para produzir uma potência de 1 W? Use \(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\).

    Ver resolução
    Em joules, \(200 \cdot 10^6 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) \(= 3{,}2 \cdot 10^{-11}\ \text{J}\).
    Para 1 J por segundo, o número de fissões por segundo é \(\dfrac{1}{3{,}2 \cdot 10^{-11}}\).
    Cerca de \(3{,}2 \cdot 10^{-11}\ \text{J}\) por fissão, e uns \(3 \cdot 10^{10}\) fissões por segundo para cada watt.
  6. médio

    O reator de uma usina libera 3000 MW de calor. Quanta massa é convertida em energia num dia de funcionamento? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Em um dia, de 86 400 s, a energia liberada é \(E = 3 \cdot 10^9 \cdot 86\,400\) \(\approx 2{,}6 \cdot 10^{14}\ \text{J}\).
    A massa correspondente é \(m = \dfrac{E}{c^2} = \dfrac{2{,}6 \cdot 10^{14}}{9 \cdot 10^{16}}\).
    Cerca de \(2{,}9 \cdot 10^{-3}\ \text{kg}\), uns 3 g por dia.
  7. médio

    Um quilograma de urânio-235 que fissiona por completo libera cerca de \(8 \cdot 10^{13}\ \text{J}\), e um quilograma de gasolina, ao queimar, cerca de \(4{,}5 \cdot 10^7\ \text{J}\). Quantos quilogramas de gasolina liberam a mesma energia que 1 kg de urânio-235?

    Ver resolução
    A massa de gasolina é a razão entre as energias, \(\dfrac{8 \cdot 10^{13}}{4{,}5 \cdot 10^7}\).
    Cerca de \(1{,}8 \cdot 10^6\ \text{kg}\), perto de 1800 toneladas de gasolina.
  8. médio

    Numa reação em cadeia com \(k = 1{,}1\), quantas gerações são precisas, aproximadamente, para o número de fissões dobrar?

    Ver resolução
    Depois de \(n\) gerações, o número de fissões fica multiplicado por \(1{,}1^n\), e precisamos de \(1{,}1^n \approx 2\).
    Por tentativa, \(1{,}1^7 \approx 1{,}95\) e \(1{,}1^8 \approx 2{,}14\).
    Cerca de 7 gerações.
  9. desafio

    O Sol emite cerca de \(3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{W}\). Quanta massa ele converte em energia a cada segundo? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Em um segundo, o Sol emite \(3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{J}\), e a massa correspondente é \(m = \dfrac{E}{c^2} = \dfrac{3{,}8 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}}\).
    Cerca de \(4{,}2 \cdot 10^9\ \text{kg}\) por segundo, uns 4 milhões de toneladas.
  10. desafio

    Na fusão de um deutério (2,0141 u) com um trítio (3,0160 u), formam-se um núcleo de hélio-4 (4,0026 u) e um nêutron (1,0087 u). Quanta massa desaparece, e quanta energia é liberada, em MeV? Uma unidade de massa atômica (1 u) corresponde a cerca de 931 MeV.

    Ver resolução
    A massa inicial é \(2{,}0141 + 3{,}0160 = 5{,}0301\ \text{u}\), e a final, \(4{,}0026 + 1{,}0087 = 5{,}0113\ \text{u}\).
    A diferença é \(\Delta m = 0{,}0188\ \text{u}\), e a energia liberada é \(0{,}0188 \cdot 931\).
    Desaparecem 0,0188 u, que viram cerca de 17,5 MeV.
PASSO 7

O tempo passa igual para todos?

Em 1905, Einstein partiu de dois postulados. As leis da física são as mesmas para todos os observadores que se movem com velocidade constante uns em relação aos outros, e a velocidade da luz no vácuo, \(c\), também é a mesma para todos eles, qualquer que seja o movimento da fonte ou do observador.

O segundo postulado contraria a intuição, já que esperaríamos somar as velocidades da fonte e da luz, e tem uma consequência surpreendente. Num relógio de luz, um pulso de luz vai e volta entre dois espelhos. Para quem vê o relógio passar, a luz percorre um caminho inclinado e mais longo, com a mesma velocidade \(c\), e cada tique demora mais. É a dilatação do tempo, \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\), em que \(\Delta t_0\) é o intervalo medido no referencial do próprio relógio.

Nas velocidades do cotidiano, \(\gamma\) fica tão perto de 1 que não percebemos o efeito. Perto da velocidade da luz, ele cresce depressa, e com \(v = 0{,}8\,c\) vale 5/3, enquanto com \(v = 0{,}995\,c\) chega a cerca de 10.

Os múons criados por raios cósmicos a cerca de 10 km de altura vivem, em média, 2,2 µs no seu próprio referencial. Mesmo perto da velocidade da luz, nesse tempo andariam uns 660 m, e quase nenhum chegaria ao chão. Medimos, porém, muitos múons ao nível do mar, porque, para nós, o tempo de vida deles está dilatado.

O GPS que usamos no celular depende disso. Os satélites do sistema andam a cerca de 3,9 km/s, e pela dilatação do tempo os seus relógios marcam cerca de 7 µs a menos por dia que os relógios do chão. Há também um efeito da gravidade, previsto pela relatividade geral, que faz esses relógios adiantarem. O sistema corrige os dois, e sem a correção o erro de posição cresceria vários quilômetros por dia.

\(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\)\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)\(\Delta t_0\) é o tempo próprio, medido por um relógio que acompanha o objeto, e \(\Delta t\) é o tempo medido por quem vê o objeto passar com velocidade \(v\). Na simulação, os dois relógios são idênticos, e o tamanho da tela e a velocidade da luz na tela não estão em escala.

Para conversar

  • Com \(v = 0\), zere os tiques e compare os dois relógios. Eles tiquetaqueiam juntos?
  • Leve \(v\) a 0,6 c, zere os tiques e espere uns vinte tiques do relógio parado. Quantas vezes o relógio em movimento é mais lento? Confira com \(\gamma\).
  • Clique em "Múon" e leia a distância que ele percorre em 2,2 µs, com e sem a dilatação.
  • Escolha o GPS. Por que, nessa velocidade, os tiques parecem iguais na tela, e mesmo assim o atraso de um dia importa?
Velocidade
Fator γ
Tiques parado / em movimento
Múon sem dilatação
Múon com dilatação
Atraso por dia
Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Calcule o fator \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\) para uma nave com \(v = 0{,}6\,c\).

    Ver resolução
    Com \(v/c = 0{,}6\), temos \(v^2/c^2 = 0{,}36\) e \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}}\) \(= \dfrac{1}{\sqrt{0{,}64}}\) \(= \dfrac{1}{0{,}8}\).
    \(\gamma = 1{,}25\)
  2. básico

    Num trem que anda a metade da velocidade da luz, um passageiro acende uma lanterna para a frente. Com que velocidade a luz se afasta da lanterna, para o passageiro? E para uma pessoa parada na estação?

    Ver resolução
    Pelo segundo postulado de Einstein, a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores que se movem com velocidade constante, qualquer que seja o movimento da fonte.
    A soma \(c + 0{,}5\,c\), que a intuição sugere, não vale para a luz.
    As duas pessoas medem a mesma velocidade, \(c\).
  3. básico

    Um relógio numa nave marca 2 s entre dois eventos que acontecem na própria nave. Para observadores na Terra, a nave anda com \(\gamma = 2\). Quanto tempo passa entre os eventos, para eles?

    Ver resolução
    Os 2 s da nave são o tempo próprio \(\Delta t_0\), e na Terra \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = 2 \cdot 2\).
    \(\Delta t = 4\ \text{s}\)
  4. básico

    Por que não percebemos a dilatação do tempo quando viajamos de carro ou de avião?

    Ver resolução
    O fator \(\gamma\) depende de \(v^2/c^2\), e mesmo a velocidade de um avião, cerca de 250 m/s, é menos de um milionésimo da velocidade da luz.
    Assim \(\gamma\) fica em 1 + algo da ordem de \(10^{-13}\), e a diferença de tempo numa viagem inteira é de bilionésimos de segundo, que só relógios atômicos medem.
    Nas velocidades do cotidiano, \(\gamma\) é praticamente 1, e o efeito é pequeno demais para ser percebido.
  5. médio

    Um múon tem tempo de vida médio de 2,2 µs no seu próprio referencial e viaja a \(0{,}995\,c\). Quanto ele andaria nesse tempo sem a dilatação? E com a dilatação, para um observador na Terra? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Sem dilatação, \(d = v\,\Delta t_0\) \(= 0{,}995 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6}\) \(\approx 657\ \text{m}\).
    Com \(v = 0{,}995\,c\), \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}990}} \approx 10\), e para nós o múon vive \(\gamma\,\Delta t_0 \approx 22\ \mu\text{s}\), andando cerca de dez vezes mais.
    Cerca de 660 m sem a dilatação, e cerca de 6,6 km com ela.
  6. médio

    Uma nave viaja a \(0{,}8\,c\) em relação à Terra. O relógio de bordo marca 30 min de viagem. Quanto tempo passa para quem ficou na Terra?

    Ver resolução
    Com \(v/c = 0{,}8\), \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3}\).
    O tempo na Terra é \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = \dfrac{5}{3} \cdot 30\).
    \(\Delta t = 50\ \text{min}\)
  7. médio

    Num relógio de luz, os espelhos estão a 1,5 m um do outro, e um tique é uma ida e volta da luz. Quanto dura um tique com o relógio parado? E para quem vê o relógio passar a \(0{,}6\,c\)? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Parado, a luz percorre 3 m por tique, e \(\Delta t_0 = \dfrac{3}{3 \cdot 10^8} = 10^{-8}\ \text{s}\).
    Visto passar a \(0{,}6\,c\), com \(\gamma = 1{,}25\), cada tique dura \(\Delta t = 1{,}25 \cdot 10^{-8}\ \text{s}\).
    \(10^{-8}\ \text{s}\) parado e \(1{,}25 \cdot 10^{-8}\ \text{s}\) em movimento.
  8. médio

    Uma partícula instável vive, em média, 1 µs no seu próprio referencial. Num acelerador, ela anda a \(0{,}99\,c\). Quanto tempo ela vive, em média, para os físicos do laboratório?

    Ver resolução
    Com \(v/c = 0{,}99\), \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}}\) \(= \dfrac{1}{\sqrt{0{,}0199}} \approx 7{,}1\).
    No laboratório, \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \approx 7{,}1 \cdot 1\ \mu\text{s}\).
    Cerca de 7,1 µs.
  9. desafio

    Os satélites do GPS andam a cerca de 3,9 km/s. Para velocidades pequenas, podemos usar \(\gamma \approx 1 + \dfrac{v^2}{2\,c^2}\). Quanto o relógio de um satélite atrasa por dia, só pela dilatação do tempo? Que erro de distância isso causaria, multiplicado por \(c\)? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    Temos \(\dfrac{v^2}{2\,c^2} = \dfrac{(3{,}9 \cdot 10^3)^2}{2 \cdot 9 \cdot 10^{16}}\) \(\approx 8{,}5 \cdot 10^{-11}\), a fração de tempo que o relógio do satélite perde.
    Num dia, \(8{,}5 \cdot 10^{-11} \cdot 86\,400 \approx 7{,}3 \cdot 10^{-6}\ \text{s}\), e multiplicando por \(c\), \(7{,}3 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^8 \approx 2{,}2 \cdot 10^3\ \text{m}\).
    O efeito da gravidade, previsto pela relatividade geral, age no sentido oposto e é maior, e o sistema corrige os dois juntos.
    Cerca de 7 µs por dia, o que daria um erro de uns 2 km por dia se não fosse corrigido.
  10. desafio

    A que velocidade uma nave precisa andar para que o seu relógio, visto da Terra, ande à metade do ritmo, isto é, para que \(\gamma = 2\)? Use \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Ver resolução
    De \(\gamma = 2\), temos \(\sqrt{1 - v^2/c^2} = \dfrac{1}{2}\), \(1 - \dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{1}{4}\) e \(\dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{3}{4}\).
    Então \(v = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c \approx 0{,}866 \cdot 3 \cdot 10^8\).
    \(v \approx 0{,}87\,c\), cerca de \(2{,}6 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).
FECHAMENTO

Desafios

Espectro e fóton

Um celular 4G transmite em 1,8 GHz. Qual é o comprimento de onda dessas ondas e a energia de cada fóton, em eV? (\(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\))

Ver resolução
O comprimento de onda é \(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{1{,}8 \cdot 10^9} \approx 0{,}17\ \text{m}\), uns 17 cm.
Cada fóton tem \(E = h\,f = 4{,}1 \cdot 10^{-15} \cdot 1{,}8 \cdot 10^9\) \(\approx 7{,}4 \cdot 10^{-6}\ \text{eV}\), longe dos elétrons-volt necessários para romper ligações.
Efeito fotoelétrico

Uma placa de césio, com \(W = 2{,}1\ \text{eV}\), é iluminada com luz azul de 450 nm. Qual é a energia cinética máxima dos elétrons? (\(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\))

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O fóton tem \(E \approx \dfrac{1240}{450} \approx 2{,}76\ \text{eV}\), e \(E_{c,\text{máx}} = 2{,}76 - 2{,}1\).
Os elétrons saem com até cerca de 0,66 eV.
Modelo de Bohr

Qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron do hidrogênio cai do nível 2 para o nível 1? Em que região do espectro ele fica? (\(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\))

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A energia é \(E = -3{,}4 - (-13{,}6) = 10{,}2\ \text{eV}\), e \(\lambda \approx \dfrac{1240}{10{,}2} \approx 122\ \text{nm}\).
É a primeira linha da série de Lyman, no ultravioleta.
Dualidade

Nêutrons "térmicos", usados para estudar materiais, andam a cerca de 2200 m/s. Qual é o seu comprimento de onda de De Broglie? (\(m_n = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\), \(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\))

Ver resolução
Pela relação de De Broglie, \(\lambda = \dfrac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 2200}\) \(\approx 1{,}8 \cdot 10^{-10}\ \text{m}\).
São 0,18 nm, da ordem da distância entre os átomos de um cristal, e por isso os nêutrons sofrem difração nos materiais.
Meia-vida

Um contador registra 800 contagens por minuto vindas de uma amostra e, 12 h depois, 50 contagens por minuto. Qual é a meia-vida do material?

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A atividade caiu a \(\dfrac{50}{800} = \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2^4}\), o que corresponde a 4 meias-vidas.
Então \(T = \dfrac{12}{4}\), 3 h.
Energia nuclear

Uma usina produz 1000 MW de eletricidade e transforma em eletricidade cerca de um terço do calor do reator. Quantos quilogramas de urânio-235 ela fissiona por dia? (1 kg de urânio-235 fissionado libera cerca de \(8 \cdot 10^{13}\ \text{J}\))

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O reator libera cerca de 3000 MW de calor, e em um dia, \(3 \cdot 10^9 \cdot 86\,400\) \(\approx 2{,}6 \cdot 10^{14}\ \text{J}\).
A massa fissionada é \(\dfrac{2{,}6 \cdot 10^{14}}{8 \cdot 10^{13}}\), cerca de 3,2 kg por dia.
Relatividade

Uma nave viaja a 0,8 c até uma estrela que, medida da Terra, fica a 4 anos-luz. Quanto dura a viagem para quem ficou na Terra e para quem está na nave?

Ver resolução
Na Terra, a viagem dura \(\dfrac{4\ \text{anos-luz}}{0{,}8\,c} = 5\) anos.
Com \(\gamma = \dfrac{5}{3}\), o relógio de bordo marca \(\Delta t_0 = \dfrac{\Delta t}{\gamma} = \dfrac{5}{5/3}\), ou 3 anos.
Pensar, sem conta

Sob uma lâmpada de "luz negra", de ultravioleta fraco, certos minerais e tecidos brancos brilham em azul. Sob uma lâmpada vermelha muito forte, nada brilha. Por quê?

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Os materiais fluorescentes absorvem um fóton, sobem de nível e voltam emitindo fótons de energia um pouco menor, no visível.
O fóton ultravioleta tem energia para isso, e o fóton vermelho, de energia menor, não consegue levar o material a um nível de onde ele emitiria luz azul, de energia maior, por mais fótons que cheguem.

Questões no estilo ENEM

As cinco questões abaixo foram escritas por nós no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo indicamos questões reais da prova sobre física moderna, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

  1. Espectro e fóton · Passo 1

    Para um cartaz sobre proteção da pele, a farmacêutica Teresa montou a tabela abaixo, com radiações do dia a dia e os seus comprimentos de onda aproximados. Para simplificar, ela supôs que só fótons com mais de 3,5 eV conseguem romper as ligações das moléculas da pele que levam à queimadura.

    Radiações do dia a dia
    RadiaçãoComprimento de onda
    Rádio FM3 m
    Wi-Fi12 cm
    Infravermelho do controle remoto940 nm
    Luz verde550 nm
    Ultravioleta B300 nm

    Usando \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\), quais radiações da tabela têm fótons capazes de causar esse dano?

    1. Todas, desde que a intensidade seja alta o bastante.
    2. Apenas o ultravioleta B.
    3. Apenas a luz verde e o ultravioleta B.
    4. Apenas o rádio FM e o Wi-Fi, que têm os maiores comprimentos de onda.
    5. Nenhuma, porque um único fóton nunca tem energia para romper uma ligação.
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    Resposta: B.
    A energia de cada fóton é \(E = \dfrac{h\,c}{\lambda}\), e com λ em nanômetros, \(E \approx \dfrac{1240}{\lambda}\) eV.
    O ultravioleta B dá \(\dfrac{1240}{300} \approx 4{,}1\ \text{eV}\), acima de 3,5 eV, e a luz verde dá \(\dfrac{1240}{550} \approx 2{,}3\ \text{eV}\), abaixo. O infravermelho fica em cerca de 1,3 eV, e os fótons de Wi-Fi e de rádio têm energias de \(10^{-5}\ \text{eV}\) ou menos.
    A alternativa A confunde intensidade com energia por fóton, e a C trata a luz visível como se tivesse a energia do ultravioleta. A D inverte a relação entre comprimento de onda e energia, e a E contraria o próprio cálculo.
    O limiar único de 3,5 eV é uma simplificação; na pele real, o dano cresce aos poucos ao longo do ultravioleta.
  2. Efeito fotoelétrico · Passo 2

    Fábio monta, numa feira de ciências, um alarme com uma célula fotoelétrica cujo cátodo é de um metal de função trabalho igual a 2,3 eV. Ele tem dois lasers à disposição, um vermelho, de 650 nm e 50 mW, e um violeta, de 405 nm e só 5 mW. O alarme funciona quando a luz arranca elétrons do cátodo. Considere \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

    Qual dos lasers faz a célula funcionar?

    1. Só o vermelho, porque a sua potência é dez vezes maior.
    2. Só o violeta, porque cada um dos seus fótons tem energia maior que a função trabalho do metal.
    3. Os dois, porque qualquer luz arranca elétrons se ficar ligada tempo suficiente.
    4. Só o vermelho, porque comprimentos de onda maiores carregam mais energia por fóton.
    5. Nenhum, porque fótons de luz visível nunca superam 2,3 eV.
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    Resposta: B.
    O fóton vermelho tem \(E \approx \dfrac{1240}{650} \approx 1{,}9\ \text{eV}\), menos que os 2,3 eV da função trabalho, e não arranca nenhum elétron, qualquer que seja a potência.
    O fóton violeta tem \(E \approx \dfrac{1240}{405} \approx 3{,}1\ \text{eV}\), e os elétrons saem com até \(3{,}1 - 2{,}3 = 0{,}8\ \text{eV}\) de energia cinética.
    A A e a C usam a ideia ondulatória de que mais potência ou mais tempo compensariam a frequência baixa, que é justamente o que o efeito fotoelétrico desmente. A D inverte a relação entre λ e energia, e a E esquece que o violeta passa de 3 eV.
    A potência menor do laser violeta só reduz o número de elétrons arrancados por segundo, e para um alarme isso tende a bastar.
  3. Modelo de Bohr · Passo 3

    Analisando a luz de uma nebulosa, a astrônoma Bruna encontra uma linha intensa em 486 nm, na faixa azul-esverdeada. Ela suspeita que a linha venha do hidrogênio, cujos níveis de energia, no modelo de Bohr, são \(E_n = -13{,}6/n^2\) eV. Considere \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\).

    Que transição do elétron no átomo de hidrogênio emite um fóton com esse comprimento de onda?

    1. Do nível 2 para o nível 1.
    2. Do nível 3 para o nível 2.
    3. Do nível 4 para o nível 2.
    4. Do nível 4 para o nível 3.
    5. Do nível 2 para o nível 4.
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    Resposta: C.
    O fóton de 486 nm tem \(E \approx \dfrac{1240}{486} \approx 2{,}55\ \text{eV}\).
    Na queda do nível 4 para o 2, \(E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}\right) = 2{,}55\ \text{eV}\), exatamente a energia procurada.
    A queda 2→1 dá 10,2 eV, no ultravioleta, e a 3→2 dá 1,89 eV, a linha vermelha de 656 nm. A 4→3 dá cerca de 0,66 eV, no infravermelho, e a E descreve uma subida, em que o átomo absorve um fóton em vez de emitir.
    Linhas como essa, medidas em nebulosas e estrelas, são uma das formas de saber do que é feito o universo longe da Terra.
  4. Meia-vida · Passo 5

    O tecnécio-99m é usado em exames de cintilografia. O gráfico mostra a atividade de uma dose desse material, em porcentagem da atividade no momento da aplicação, ao longo das horas seguintes.

    1007550250 06121824 tempo desde a aplicação (h)atividade (%)

    Gustavo recebeu uma dose às 7 h. O hospital só considera a atividade desprezível para o exame seguinte quando ela cai a 1/8 da inicial.

    A partir de que horário a atividade da dose de Gustavo chega a esse valor?

    1. 13 h do mesmo dia.
    2. 19 h do mesmo dia.
    3. 1 h da madrugada do dia seguinte.
    4. 7 h do dia seguinte.
    5. 7 h de dois dias depois.
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    Resposta: C.
    Pelo gráfico, a atividade cai à metade a cada 6 h, e essa é a meia-vida do tecnécio-99m.
    Para chegar a \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}\), passam 3 meias-vidas, \(3 \cdot 6 = 18\ \text{h}\), e \(7\ \text{h} + 18\ \text{h}\) dá 1 h da madrugada do dia seguinte.
    A A corresponde a uma só meia-vida e a B, a duas. A D conta 24 h, quando a atividade já caiu a 1/16, e a E toma 1/8 como se fossem oito meias-vidas.
    A meia-vida curta é uma das razões de o tecnécio ser tão usado, porque o exame fica pronto em poucas horas e a dose no corpo cai depressa.
  5. Dilatação do tempo · Passo 7

    Raios cósmicos que atingem a alta atmosfera criam múons a cerca de 10 km de altitude. No seu próprio referencial, um múon vive, em média, 2,2 µs antes de decair. Os múons descem com cerca de 0,995 da velocidade da luz, para a qual o fator \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\) vale aproximadamente 10. Considere \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

    Para um observador na superfície da Terra, qual é, aproximadamente, a distância média que um desses múons percorre antes de decair?

    1. 66 m
    2. 660 m
    3. 6,6 km
    4. 66 km
    5. 10 km, porque todo múon criado na alta atmosfera chega ao chão.
    Ver resolução
    Resposta: C.
    Para nós, o tempo de vida do múon está dilatado, \(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \approx 10 \cdot 2{,}2\) \(= 22\ \mu\text{s}\).
    Nesse tempo ele percorre \(d = v\,\Delta t \approx 0{,}995 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 22 \cdot 10^{-6}\), cerca de 6,6 km.
    A B ignora a dilatação do tempo, e a A divide por \(\gamma\) em vez de multiplicar. A D aplica o fator 10 duas vezes, e a E trata a vida média como se valesse para todos os múons, quando ela é só uma média.
    Sem a dilatação, quase nenhum múon desceria muito mais que 1 km, e o grande número de múons medidos ao nível do mar é um dos testes clássicos da relatividade.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

  • ENEM 2013, 1º dia, caderno azul, questão 49. A glicose marcada com carbono-11, de meia-vida de cerca de 20 minutos, é usada em tomografia por emissão de pósitrons, e calculamos quanto resta de 1 g do nuclídeo depois de cinco meias-vidas.
  • ENEM 2015, 1º dia, caderno azul, questão 50. Uma figura dá as frequências que separam o UV-A, o UV-B e o UV-C, e precisamos convertê-las em comprimentos de onda para escolher, entre cinco espectros de absorção, o protetor solar que mais absorve no UV-B.
  • ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 104. A datação de um fóssil pelo carbono-14 aparece por meio da contagem de emissões beta, e a idade sai do número de meias-vidas que a atividade levou para cair até o valor medido.
  • ENEM 2020, 2º dia, caderno azul, questão 126. A questão pergunta qual processo nuclear acontece na detonação de uma bomba atômica, e as alternativas comparam fissão, fusão e outros processos com as partículas que os provocam.
  • ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 130. O texto diz que os cones do olho respondem à energia dos fótons e os bastonetes, ao número de fótons, e precisamos deduzir como enxerga um animal de bastonetes mais sensíveis.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Onda\(c = \lambda\,f\), \(c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)
Energia do fóton\(E = h\,f = h\,c/\lambda\)
Constante de Planck\(h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}\)
\(h = 4{,}1 \cdot 10^{-15}\ \text{eV} \cdot \text{s}\)
Elétron-volt\(1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}\), \(h\,c \approx 1240\ \text{eV} \cdot \text{nm}\)
Efeito fotoelétrico\(E_{c,\text{máx}} = h\,f - W\)
Frequência de corte\(f_0 = W/h\)
Níveis do hidrogênio\(E_n = -13{,}6/n^2\ \text{eV}\)
Fóton emitido ou absorvido\(E = E_i - E_f\)
De Broglie\(\lambda = h/(m\,v)\)
Meia-vida\(N = N_0/2^{t/T}\)
Massa e energia\(E = m\,c^2\)
Dilatação do tempo\(\Delta t = \gamma\,\Delta t_0\), \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\)