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Física · Ensino Médio · Cinemática

Mvimento Circular

O ventilador, a roda-gigante, o ponteiro do relógio e a Terra em volta do Sol repetem o mesmo caminho volta após volta, como tudo que gira. Vamos medir esse giro, entender por que quem está na borda anda mais rápido e descobrir que fazer curva exige aceleração, mesmo com o velocímetro parado, algo que talvez surpreenda à primeira vista.

  1. 1Período e frequência
  2. 2O radiano
  3. 3Velocidade angular × linear
  4. 4Velocidade tangente
  5. 5Aceleração centrípeta
  6. 6Força centrípeta
  7. 7Polias e engrenagens
  8. 8Seno e cosseno
  9. 9MCUV
  10. 10Globo da morte
  11. 11Leis de Kepler
  12. ✓Desafios
PASSO 1

Quanto tempo leva uma volta?

Chamamos de período (T) o tempo de uma volta completa e de frequência (f) o número de voltas que acontecem em um segundo. Uma é o inverso da outra, de modo que, se cada volta leva 0,5 s, cabem 2 voltas em 1 s.

\(T = \dfrac{1}{f}\)\(f = \dfrac{1}{T}\)T em segundos (s) · f em hertz (Hz = voltas por segundo) · rpm = rotações por minuto = f × 60

Para conversar

  • Pause no meio e conte quantas voltas o disco deu em 10 s; quando dividimos esse número por 10, o resultado bate com f?
  • Se dobramos a frequência, o que acontece com o período?
  • Um ventilador a 1200 rpm faz quantas voltas por segundo? Lembre que rpm conta as rotações em um minuto.
Período T
rpm
Tempo
Voltas
Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um ventilador dá 20 voltas completas em 4 s. Qual é a frequência e qual é o período do ventilador?

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{\text{nº de voltas}}{\text{tempo}} = \dfrac{20}{4} = 5\ \text{Hz}\)
    \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\ \text{s}\)
    \(f = 5\ \text{Hz}\) e \(T = 0{,}2\ \text{s}\)
  2. básico

    Uma roda-gigante completa uma volta a cada 40 s. Qual é a sua frequência, em Hz?

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{40}\)
    \(f = 0{,}025\ \text{Hz}\)
  3. básico

    A lâmina de um liquidificador gira a 3000 rpm. Qual é a frequência em Hz e o período?

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{3000\ \text{voltas}}{60\ \text{s}} = 50\ \text{Hz}\)
    \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0{,}02\ \text{s}\)
    \(f = 50\ \text{Hz}\) e \(T = 0{,}02\ \text{s}\)
  4. básico

    Conceitual: se a frequência de rotação de uma roda dobra, o que acontece com o seu período?

    Ver resolução
    Como \(T = \dfrac{1}{f}\), período e frequência são inversamente proporcionais.
    Dar o dobro de voltas por segundo significa gastar metade do tempo em cada volta.
    O período cai pela metade.
  5. médio

    Um LP de vinil gira a 33⅓ rpm. Calcule sua frequência em Hz e o tempo de uma volta.

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{33{,}33}{60} \approx 0{,}556\ \text{Hz}\)
    \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{60}{33{,}33} = 1{,}8\ \text{s}\)
    \(f \approx 0{,}56\ \text{Hz}\) e \(T = 1{,}8\ \text{s}\)
  6. médio

    Na centrifugação, o tambor de uma máquina de lavar gira a 1200 rpm. Quantas voltas ele dá em 5 minutos, e qual é o período?

    Ver resolução
    \(\text{Voltas} = 1200\ \text{voltas/min} \cdot 5\ \text{min} = 6000\)
    \(f = \dfrac{1200}{60} = 20\ \text{Hz} \to T = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\ \text{s}\)
    6000 voltas; \(T = 0{,}05\ \text{s}\)
  7. médio

    O ponteiro dos minutos de um relógio dá uma volta por hora. Qual é a sua frequência em Hz? Quantas voltas ele dá em um dia?

    Ver resolução
    \(T = 1\ \text{h} = 3600\ \text{s}\)
    \(f = \dfrac{1}{3600} \approx 2{,}78 \cdot 10^{-4}\ \text{Hz}\)
    Em 24 h, temos \(24 \cdot 1\ \text{volta} = 24\ \text{voltas}\)
    \(f \approx 2{,}78 \cdot 10^{-4}\ \text{Hz}\); 24 voltas por dia
  8. médio

    O disco de um HD gira a 7200 rpm. Qual é o período de uma volta, em milissegundos? Quantas voltas ele dá em 0,5 s?

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{7200}{60} = 120\ \text{Hz}\)
    \(T = \dfrac{1}{120} \approx 0{,}00833\ \text{s} \approx 8{,}33\ \text{ms}\)
    Voltas em 0,5 s \(= f \cdot \Delta t = 120 \cdot 0{,}5 = 60\)
    \(T \approx 8{,}33\ \text{ms}\); 60 voltas
  9. desafio

    O ventilador A gira com frequência de 15 Hz; o ventilador B tem período de 0,05 s. Em 1 minuto, quantas voltas B dá a mais que A?

    Ver resolução
    Para A, \(\text{voltas} = 15 \cdot 60 = 900\)
    Para B, \(f = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\ \text{Hz} \to \text{voltas} = 20 \cdot 60 = 1200\)
    \(\text{Diferença} = 1200 - 900 = 300\)
    B dá 300 voltas a mais
  10. desafio

    Uma lâmpada estroboscópica pisca 10 vezes por segundo iluminando um ventilador com uma pá marcada. A pá marcada parece parada. Qual é a menor frequência possível do ventilador, em Hz e em rpm?

    Ver resolução
    Entre duas piscadas passam \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\ \text{s}\).
    A pá parece parada se, nesse intervalo, o ventilador dá um número inteiro de voltas, e o menor caso é 1 volta.
    \(T = 0{,}1\ \text{s} \to f = \dfrac{1}{0{,}1} = 10\ \text{Hz}\)
    \(\text{rpm} = f \cdot 60 = 600\)
    \(f = 10\ \text{Hz} = 600\ \text{rpm}\)
PASSO 2

O radiano: medir ângulo com o próprio raio

Pegue um barbante do tamanho do raio e cole na borda do círculo; o ângulo que ele "abraça" é o que chamamos de 1 radiano (≈ 57,3°). Na volta toda, nossa primeira intuição talvez seja contar 6 raios, e de fato cabe pouco mais que isso, exatamente 2π ≈ 6,28.

\(\theta = \dfrac{s}{R}\)\(1\ \text{volta} = 2\pi\ \text{rad} = 360^\circ\)s = comprimento do arco · R = raio · o ângulo em radianos diz "quantos raios" de arco foram percorridos

Para conversar

  • Arraste até o arco ficar do tamanho do raio laranja e veja quanto o ângulo marca em graus.
  • Quantos radianos vale meia volta, e quantos vale um quarto de volta?
  • Por que os físicos tendem a preferir radianos? (Dica: s = θ·R fica sem conversão.)
Em radianos
Em graus
Arco (em raios)
Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Converta \(90^\circ\) para radianos. Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(360^\circ = 2\pi\ \text{rad} \to 1^\circ\) \(= \dfrac{\pi}{180}\ \text{rad}\)
    \(90^\circ = 90 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\)
    \(\dfrac{\pi}{2} \approx \dfrac{3{,}14}{2} = 1{,}57\ \text{rad}\)
    \(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad} \approx 1{,}57\ \text{rad}\)
  2. básico

    Converta \(\pi/3\) rad para graus.

    Ver resolução
    \(\pi\ \text{rad} = 180^\circ\)
    \(\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} = \dfrac{180^\circ}{3}\)
    \(\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} = 60^\circ\)
  3. básico

    Um ponto na borda de uma roda de raio 15 cm percorre um arco de 30 cm. Qual foi o ângulo girado, em radianos e em graus? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\theta = \dfrac{s}{R} = \dfrac{30\ \text{cm}}{15\ \text{cm}} = 2\ \text{rad}\)
    Convertendo para graus, \(2 \cdot \dfrac{180}{3{,}14} \approx 114{,}6^\circ\)
    \(\theta = 2\ \text{rad} \approx 115^\circ\)
  4. básico

    Conceitual: por que uma volta completa vale \(2\pi\) rad?

    Ver resolução
    \(\theta = \dfrac{s}{R}\). Numa volta completa, o arco percorrido é a circunferência inteira, \(s = 2\pi R\).
    \(\theta = \dfrac{2\pi R}{R} = 2\pi\), qualquer que seja o raio.
    Porque o comprimento da circunferência é \(2\pi\) vezes o raio.
  5. médio

    O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Que distância a sua ponta percorre em 15 minutos? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(15\ \text{min} = \dfrac{1}{4}\) de volta \(\to \theta = \dfrac{2\pi}{4}\) \(= \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\ \text{rad}\)
    \(s = \theta \cdot R = 1{,}57 \cdot 0{,}12\ \text{m}\)
    \(s \approx 0{,}188\ \text{m}\)
    \(s \approx 18{,}8\ \text{cm}\)
  6. médio

    A roda de uma bicicleta tem raio 0,35 m e dá 3 voltas completas. Qual o ângulo girado em radianos e qual a distância percorrida por um ponto do pneu? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\theta = 3 \cdot 2\pi\) \(= 6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14\) \(= 18{,}84\ \text{rad}\)
    \(s = \theta \cdot R = 18{,}84 \cdot 0{,}35\)
    \(s \approx 6{,}59\ \text{m}\)
    \(\theta \approx 18{,}8\ \text{rad}\); \(s \approx 6{,}6\ \text{m}\)
  7. médio

    Uma pizza de raio 20 cm é cortada em 8 fatias iguais. Qual é o ângulo de cada fatia em radianos e o comprimento da borda de cada fatia? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\theta = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\ \text{rad}\)
    \(s = \theta \cdot R = 0{,}785 \cdot 0{,}20\ \text{m}\)
    \(s \approx 0{,}157\ \text{m}\)
    \(\theta \approx 0{,}79\ \text{rad}\); borda \(\approx 15{,}7\ \text{cm}\)
  8. médio

    A Terra gira uma volta a cada 24 h e tem raio de 6400 km. Em 6 horas, que ângulo ela gira e que arco percorre uma cidade no equador? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(6\ \text{h} = \dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\) de volta \(\to \theta = \dfrac{2\pi}{4} \approx 1{,}57\ \text{rad}\)
    \(s = \theta \cdot R = 1{,}57 \cdot 6400\ \text{km}\)
    \(s \approx 10\,048\ \text{km}\)
    \(\theta = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\ \text{rad}\); \(s \approx 1{,}0 \cdot 10^4\ \text{km}\)
  9. desafio

    O braço do limpador de para-brisa mede 50 cm e varre um ângulo de \(120^\circ\). Converta o ângulo para radianos e calcule o arco descrito pela ponta. Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\theta = 120 \cdot \dfrac{\pi}{180}\) \(= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\ \text{rad}\)
    \(s = \theta \cdot R = 2{,}0933 \cdot 0{,}50\)
    \(s \approx 1{,}05\ \text{m}\)
    \(\theta \approx 2{,}09\ \text{rad}\); \(s \approx 1{,}05\ \text{m}\)
  10. desafio

    Um carro percorre 157 m de uma pista circular de raio 50 m. Que ângulo ele descreveu, em radianos e em graus, e que fração da volta foi feita? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\theta = \dfrac{s}{R} = \dfrac{157}{50} = 3{,}14\ \text{rad}\)
    Em graus, isso dá \(3{,}14 \cdot \dfrac{180}{3{,}14} = 180^\circ\)
    A fração da volta é \(\dfrac{180^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{2}\)
    \(\theta \approx 3{,}14\ \text{rad} = 180^\circ\): meia volta
PASSO 3

No carrossel, todos giram juntos, mas não na mesma velocidade

Ana e Estela estão no mesmo raio do carrossel e varrem o mesmo ângulo no mesmo tempo, então têm a mesma velocidade angular ω. Estela, porém, está mais longe do centro e percorre um caminho maior a cada volta, e por isso sua velocidade linear v é maior.

\(\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f\)\(v = \omega\,R\)ω em rad/s · v em m/s · os rastros mostram a distância percorrida no último segundo

Ana   Estela   velocidade v

Para conversar

  • Coloque Estela no dobro do raio de Ana e veja o que acontece com v e com ω.
  • Em qual lugar do carrossel você imagina que dá mais "frio na barriga", e por quê?
  • Na Terra, quem anda mais rápido, alguém no Equador ou alguém no Polo Norte?
Período T
v da Ana
v da Estela
v Estela / v Ana
Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um ventilador tem período de 0,2 s. Qual é sua velocidade angular? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14}{0{,}2}\)
    \(\omega = 31{,}4\ \text{rad/s}\)
    \(\omega \approx 31{,}4\ \text{rad/s}\)
  2. básico

    Um carrossel gira com \(\omega = 0{,}5\ \text{rad/s}\). Qual é a velocidade de uma criança sentada a 4 m do centro?

    Ver resolução
    \(v = \omega \cdot R = 0{,}5 \cdot 4\)
    \(v = 2\ \text{m/s}\)
  3. básico

    Uma roda-gigante de raio 20 m dá uma volta a cada 60 s. Qual é a velocidade de uma cadeira? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 20}{60}\)
    \(v = \dfrac{125{,}6}{60} \approx 2{,}09\ \text{m/s}\)
    \(v \approx 2{,}1\ \text{m/s}\)
  4. básico

    Conceitual: num carrossel, Ana está na borda e Estela está perto do centro. Quem tem maior velocidade angular? E maior velocidade linear?

    Ver resolução
    As duas dão uma volta no mesmo tempo, então têm a mesma \(\omega\).
    Como \(v = \omega \cdot R\), quem está mais longe do centro percorre um círculo maior no mesmo tempo.
    Mesma \(\omega\); Ana (na borda) tem maior \(v\).
  5. médio

    A Terra gira uma volta a cada 24 h e tem raio de 6400 km. Calcule a velocidade angular da Terra e a velocidade de um ponto no equador.

    Ver resolução
    \(T = 24 \cdot 3600 = 86\,400\ \text{s}\)
    \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s}\)
    \(v = \omega \cdot R = 7{,}27 \cdot 10^{-5} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{6}\ \text{m}\)
    \(v \approx 465\ \text{m/s}\)
    \(\omega \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s}\); \(v \approx 470\ \text{m/s}\) (\(\approx 1680\ \text{km/h}\))
  6. médio

    O ponteiro dos segundos de um relógio mede 10 cm. Qual é sua velocidade angular e a velocidade da sua ponta? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(T = 60\ \text{s} \to \omega\) \(= \dfrac{2\pi}{60}\) \(= \dfrac{6{,}28}{60} \approx 0{,}105\ \text{rad/s}\)
    \(v = \omega \cdot R = 0{,}1047 \cdot 0{,}10\)
    \(v \approx 0{,}0105\ \text{m/s}\)
    \(\omega \approx 0{,}105\ \text{rad/s}\); \(v \approx 1{,}05\ \text{cm/s}\)
  7. médio

    Um LP gira a 33⅓ rpm. Compare a velocidade de um ponto a 15 cm do centro com a de um ponto a 5 cm. Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{33{,}33}{60} \approx 0{,}556\ \text{Hz}\)
    \(\omega = 2\pi f \approx 3{,}49\ \text{rad/s}\) (igual para os dois pontos)
    \(v_{15} = 3{,}49 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}52\ \text{m/s}\)
    \(v_{5} = 3{,}49 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}174\ \text{m/s}\)
    \(v_{15} \approx 0{,}52\ \text{m/s}\) e \(v_{5} \approx 0{,}17\ \text{m/s}\): o ponto externo é 3 vezes mais rápido
  8. médio

    Um ciclista anda a 7 m/s. A roda tem raio 0,35 m. Qual é a velocidade angular da roda e quantas voltas por segundo ela dá? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(v = \omega \cdot R \to \omega\) \(= \dfrac{v}{R}\) \(= \dfrac{7}{0{,}35}\) \(= 20\ \text{rad/s}\)
    \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{20}{6{,}28} \approx 3{,}18\ \text{Hz}\)
    \(\omega = 20\ \text{rad/s}\); \(f \approx 3{,}2\) voltas por segundo
  9. desafio

    O disco de um HD gira a 7200 rpm. Qual é a velocidade de um ponto a 4,5 cm do eixo, em m/s e em km/h? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{7200}{60} = 120\ \text{Hz}\)
    \(\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 120 = 753{,}6\ \text{rad/s}\)
    \(v = \omega \cdot R\) \(= 753{,}6 \cdot 0{,}045 \approx 33{,}9\ \text{m/s}\)
    Em km/h: \(33{,}9 \cdot 3{,}6 \approx 122\ \text{km/h}\)
    \(v \approx 34\ \text{m/s} \approx 122\ \text{km/h}\)
  10. desafio

    Num disco girando, o ponto B está 0,30 m mais longe do centro que o ponto A, e a velocidade de B é 1,2 m/s maior que a de A. Qual é a velocidade angular do disco e sua frequência? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    Os dois pontos têm a mesma \(\omega\), e por isso \(v_B - v_A = \omega\,(R_B - R_A)\)
    \(\omega = \dfrac{1{,}2}{0{,}30} = 4\ \text{rad/s}\)
    \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{4}{6{,}28} \approx 0{,}637\ \text{Hz}\)
    \(\omega = 4\ \text{rad/s}\); \(f \approx 0{,}64\ \text{Hz}\)
PASSO 4

Corte o barbante: para onde vai a pedra?

Uma pedra gira presa a um barbante, e antes de cortá-lo vale fazer um palpite sobre o que vai acontecer, porque nossa intuição tende a errar aqui. Depois, observe.

No movimento circular, a velocidade é sempre tangente à circunferência (perpendicular ao raio), e quem fica "puxando" a pedra para o centro, entortando sua trajetória, é o barbante. Sem ele, a pedra segue reto, por inércia.

Para conversar

  • Quando giramos um guarda-chuva molhado, por que a água sai "pela tangente"?
  • Em que direção você espera que saia a faísca do esmeril?
  • No arremesso de martelo, em que momento o atleta precisa soltar o martelo?
Escolha um palpite e depois corte o barbante.
Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Conceitual: visto de cima, você gira uma pedra presa a um barbante. No instante em que a pedra está no ponto mais ao norte do círculo, movendo-se para o leste, o barbante arrebenta. Para onde ela vai?

    Ver resolução
    Sem o barbante, não há mais força puxando a pedra para o centro.
    Por inércia, ela segue em linha reta com a velocidade que tinha, que é tangente ao círculo.
    Ela segue em linha reta para o leste (pela tangente), não para o norte nem para o centro.
  2. básico

    Conceitual: ao afiar uma faca num esmeril, as faíscas saem em que direção em relação ao disco?

    Ver resolução
    As faíscas são partículas quentes que se soltam da borda do disco.
    No instante em que se soltam, nada mais as segura no círculo, e elas seguem com a velocidade que tinham.
    Saem pela tangente ao disco, perpendiculares ao raio naquele ponto.
  3. básico

    Conceitual: você gira um guarda-chuva molhado. As gotas saem "esguichadas" para fora na direção do raio ou pela tangente? Por quê?

    Ver resolução
    Enquanto presa ao tecido, a gota faz movimento circular e sua velocidade é tangente à borda.
    Quando a aderência não consegue mais puxá-la para o centro, ela segue em linha reta com essa velocidade.
    Pela tangente, porque a gota apenas deixa de fazer a curva.
  4. básico

    Uma pedra gira num círculo de raio 0,8 m e completa uma volta a cada 0,5 s. Com que velocidade ela sai se o barbante for solto? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    Ao soltar, ela sai com a mesma velocidade que tinha no círculo.
    \(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}8}{0{,}5}\)
    \(v \approx 10{,}05\ \text{m/s}\)
    \(v \approx 10\ \text{m/s}\), tangente ao círculo
  5. médio

    No arremesso de martelo, o atleta gira a bola num círculo de raio 2 m, dando 2 voltas por segundo. Com que velocidade o martelo sai, e em que momento o atleta deve soltá-lo? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(v = 2\pi R f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2 \cdot 2\)
    \(v \approx 25{,}1\ \text{m/s}\)
    O martelo sai pela tangente, então o atleta deve soltá-lo quando a velocidade (perpendicular ao cabo) aponta para o campo.
    \(v \approx 25\ \text{m/s}\); soltar quando o cabo está perpendicular à direção do campo
  6. médio

    Conceitual: na centrifugação, o tambor da máquina de lavar gira rápido. Por que a água sai da roupa e as roupas ficam presas à parede?

    Ver resolução
    A parede do tambor empurra as roupas para o centro, mantendo-as em movimento circular.
    Nos furos não há parede, e ali nada empurra a água para o centro, e ela segue em linha reta pela tangente, saindo pelos furos.
    A água escapa pela tangente nos furos; as roupas ficam, porque a parede as segura.
  7. médio

    Um carro a 72 km/h faz uma curva e passa sobre uma mancha de óleo, perdendo o atrito por 2 s. Para onde ele vai e quanto anda nesse tempo?

    Ver resolução
    Sem atrito, não há força para o centro da curva, e o carro segue reto pela tangente.
    \(v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}\)
    \(d = v \cdot t = 20 \cdot 2 = 40\ \text{m}\)
    Segue em linha reta pela tangente e anda 40 m
  8. médio

    Numa mesa de ar sem atrito, um disco preso a um fio gira em círculo de raio 0,5 m, dando 2 voltas por segundo. O fio arrebenta. Que distância o disco percorre em 0,3 s? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(v = 2\pi R f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}5 \cdot 2 = 6{,}28\ \text{m/s}\)
    Sem o fio, ele anda em linha reta com essa velocidade.
    \(d = v \cdot t = 6{,}28 \cdot 0{,}3 \approx 1{,}88\ \text{m}\)
    \(d \approx 1{,}9\ \text{m}\), em linha reta pela tangente
  9. desafio

    Numa mesa de ar, um disco gira em torno do ponto O num círculo de raio 1 m, a 2 m/s. O fio arrebenta quando o disco está a 1 m à direita de O, movendo-se "para cima" (na tela). A que distância de O estará o disco 1 s depois?

    Ver resolução
    Ele sai pela tangente, seguindo reto "para cima", perpendicular ao raio.
    Em 1 s anda \(d = 2 \cdot 1 = 2\ \text{m}\).
    Forma-se um triângulo retângulo com catetos 1 m (raio) e 2 m.
    \(\text{Distância} = \sqrt{1^2 + 2^2}\) \(= \sqrt{5} \approx 2{,}24\ \text{m}\)
    \(\approx 2{,}2\ \text{m}\) de O
  10. desafio

    Uma bicicleta está presa num suporte, com a roda traseira (raio 0,35 m) girando no ar a 20 rad/s. Uma gota de lama se solta do topo da roda, a 0,90 m do chão. A que distância horizontal ela cai? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No topo, a velocidade é horizontal (tangente) e vale \(v = \omega \cdot R = 20 \cdot 0{,}35 = 7\ \text{m/s}\)
    Para cair 0,90 m, a gota leva \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}90}{10}} \approx 0{,}424\ \text{s}\)
    \(x = v \cdot t = 7 \cdot 0{,}424 \approx 2{,}97\ \text{m}\)
    \(x \approx 3{,}0\ \text{m}\)
PASSO 5

Velocímetro parado e mesmo assim há aceleração

Como a velocidade é um vetor, com tamanho e direção, ela pode mudar mesmo com o velocímetro parado, e é isso que acontece no movimento circular uniforme (MCU), em que o tamanho não muda e a direção muda o tempo todo. Mudar a velocidade, de qualquer jeito, é acelerar.

Essa aceleração aponta sempre para o centro, e por isso a chamamos de aceleração centrípeta. Num carro fazendo a curva, quem a fornece é o atrito dos pneus com o asfalto.

Ao ligar Ver passo a passo, cortamos o tempo em pedaços Δt. Em cada pedaço o carro anda reto, e no fim dele a aceleração dá um "empurrãozinho" Δv = a·Δt apontando para o centro. Somado à velocidade antiga, esse empurrão gira a velocidade sem mudar o tamanho dela.

Vale olhar o desenho com cuidado, porque na soma vdepois = vantes + Δv, a seta Δv fica na ponta de vantes (regra da soma de vetores) e por isso pode parecer "fora do lugar", mas a mesma Δv, desenhada saindo do carro, aponta exatamente para o centro, que é a direção da aceleração.

\(\vec a = \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}\)\(\vec v_{\text{depois}} = \vec v_{\text{antes}} + \Delta \vec v\)\(a_c = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R\)ac em m/s². Se dobramos v, ac quadruplica, e se dobramos R, ac cai pela metade.

velocidade v (tangente)   aceleração centrípeta (para o centro)

Para conversar

  • No passo a passo, para onde aponta cada Δv? Use "Avançar 1 passo" e confira isso em várias posições do carro.
  • Com 6 passos por volta, a trajetória vira um hexágono, e podemos perguntar o que acontece com o caminho quando aumentamos o número de passos. Como fica, então, Δv/Δt comparado a v²/R?
  • Dobre a velocidade e veja o número de ac; ele ficou 2× ou 4× maior?
  • Por que as curvas de uma estrada rápida são tão abertas, com R grande?
  • Se a pista estiver molhada e o atrito não der conta, o que o carro faz? (Volte ao passo 4!)
ac de 0 a 30 m/s²| = 1 g (9,8 m/s²)
v em km/h
ω
ac
ac em "g"
Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um carro faz uma curva de raio 50 m a 10 m/s, com velocidade de módulo constante. Qual é sua aceleração centrípeta?

    Ver resolução
    \(a_c = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{10^2}{50} = \dfrac{100}{50}\)
    \(a_c = 2\ \text{m/s}^2\), apontando para o centro da curva
  2. básico

    Uma pedra gira a \(\omega = 4\ \text{rad/s}\) num círculo de raio 0,5 m. Qual é a aceleração centrípeta?

    Ver resolução
    \(a_c = \omega^2 \cdot R = 4^2 \cdot 0{,}5 = 16 \cdot 0{,}5\)
    \(a_c = 8\ \text{m/s}^2\)
  3. básico

    Conceitual: num MCU o velocímetro marca sempre o mesmo valor. Mesmo assim existe aceleração? Para onde ela aponta?

    Ver resolução
    Aceleração é \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\), e \(v\) é um vetor.
    No MCU o módulo de \(v\) não muda, mas a direção muda o tempo todo.
    Sim, existe, e é a aceleração centrípeta, que aponta para o centro.
  4. básico

    Numa curva, um carro tem aceleração centrípeta de \(2\ \text{m/s}^2\). Se ele fizer a mesma curva com o dobro da velocidade, qual será a aceleração centrípeta?

    Ver resolução
    Como \(a_c = \dfrac{v^2}{R}\), a aceleração depende do quadrado de \(v\).
    Dobrar \(v \to (2)^2 = 4\) vezes maior.
    \(a_c = 4 \cdot 2\)
    \(a_c = 8\ \text{m/s}^2\)
  5. médio

    A Terra gira uma volta a cada 24 h e tem raio de 6400 km. Qual é a aceleração centrípeta de uma pessoa no equador? Compare com \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(\omega = \dfrac{2\pi}{86\,400} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s}\)
    \(a_c = \omega^2 \cdot R\) \(= (7{,}27 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6{,}4 \cdot 10^{6}\)
    \(a_c \approx 0{,}0338\ \text{m/s}^2\)
    \(\dfrac{a_c}{g} \approx 0{,}00338 \approx 0{,}34\%\)
    \(a_c \approx 0{,}034\ \text{m/s}^2\), cerca de 0,3% de \(g\)
  6. médio

    O tambor de uma máquina de lavar tem raio 0,25 m e gira a 1200 rpm. Qual é a aceleração centrípeta da roupa colada na parede? Quantas vezes isso é maior que g? Use \(\pi \approx 3{,}14\). Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(f = \dfrac{1200}{60}\) \(= 20\ \text{Hz} \to \omega\) \(= 2\pi f\) \(= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 20\) \(= 125{,}6\ \text{rad/s}\)
    \(a_c = \omega^2 \cdot R\) \(= 125{,}6^2 \cdot 0{,}25 \approx 3944\ \text{m/s}^2\)
    \(\dfrac{a_c}{g} = \dfrac{3944}{10} \approx 394\)
    \(a_c \approx 3{,}9 \cdot 10^3\ \text{m/s}^2\), cerca de 390 vezes \(g\)
  7. médio

    Uma roda-gigante de raio 20 m dá uma volta a cada 60 s. Qual é a aceleração centrípeta de um passageiro? Compare com \(g\). Use \(\pi \approx 3{,}14\). Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 20}{60} \approx 2{,}093\ \text{m/s}\)
    \(a_c = \dfrac{v^2}{R}\) \(= \dfrac{2{,}093^2}{20} \approx 0{,}219\ \text{m/s}^2\)
    \(\dfrac{a_c}{g} \approx 0{,}0219 \approx 2{,}2\%\)
    \(a_c \approx 0{,}22\ \text{m/s}^2\), só cerca de 2% de \(g\)
  8. médio

    Um carro a 20 m/s vai para o norte e, 4 s depois, está indo para o leste a 20 m/s, após um quarto de volta. Qual é o módulo de \(\Delta v\) e da aceleração média? Para onde aponta \(\Delta v\)?

    Ver resolução
    Em \(\Delta v = v_{\text{final}} - v_{\text{inicial}}\), as duas velocidades são perpendiculares.
    \(|\Delta v| = \sqrt{20^2 + 20^2}\) \(= 20\sqrt{2} \approx 28{,}3\ \text{m/s}\)
    \(a_{\text{média}} = \dfrac{|\Delta v|}{\Delta t}\) \(= \dfrac{28{,}3}{4} \approx 7{,}07\ \text{m/s}^2\)
    \(\Delta v\) aponta para o sudeste, isto é, para o centro da curva (no meio do trecho).
    \(|\Delta v| \approx 28\ \text{m/s}\); \(a_{\text{média}} \approx 7{,}1\ \text{m/s}^2\), apontando para o centro
  9. desafio

    Um objeto em MCU tem velocidade de 10 m/s. Em 0,05 s, sua velocidade gira de um ângulo pequeno de 0,1 rad. Estime \(|\Delta v|\), a aceleração e o raio do círculo. Para onde aponta \(\Delta v\)?

    Ver resolução
    Para ângulo pequeno, \(|\Delta v| \approx v \cdot \Delta\theta = 10 \cdot 0{,}1\) \(= 1\ \text{m/s}\)
    \(a = \dfrac{|\Delta v|}{\Delta t} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\ \text{m/s}^2\)
    \(\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\) \(= \dfrac{0{,}1}{0{,}05}\) \(= 2\ \text{rad/s} \to R\) \(= \dfrac{v}{\omega}\) \(= \dfrac{10}{2}\) \(= 5\ \text{m}\)
    Conferindo: \(\dfrac{v^2}{R} = \dfrac{100}{5} = 20\ \text{m/s}^2\) ✓
    \(\Delta v\) é quase perpendicular às duas velocidades e aponta para o centro.
    \(|\Delta v| \approx 1\ \text{m/s}\); \(a = 20\ \text{m/s}^2\); \(R = 5\ \text{m}\); \(\Delta v\) aponta para o centro
  10. desafio

    Para os passageiros ficarem confortáveis, a aceleração centrípeta de um ônibus deve ser no máximo \(0{,}5\,g\). Qual a maior velocidade numa curva de raio 80 m? Se o motorista entrar com o dobro dessa velocidade, qual será a aceleração em unidades de \(g\)? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(a_{\text{máx}} = 0{,}5 \cdot 10 = 5\ \text{m/s}^2\)
    \(\dfrac{v^2}{R} = 5 \to v\) \(= \sqrt{5 \cdot 80}\) \(= \sqrt{400}\) \(= 20\ \text{m/s}\) \(= 72\ \text{km/h}\)
    Com o dobro (\(40\ \text{m/s}\)), temos \(a_c = \dfrac{40^2}{80} = 20\ \text{m/s}^2 = 2g\)
    \(v_{\text{máx}} = 20\ \text{m/s}\) (\(72\ \text{km/h}\)); com o dobro, \(a_c = 2g\) (quatro vezes maior)
PASSO 6

Quem puxa para o centro? A força centrípeta

Pela 2ª lei de Newton, F = m·a, toda aceleração precisa de uma força. Se no movimento circular existe aceleração para o centro, alguma força tem de apontar para o centro também.

Quando falamos em força centrípeta, estamos dando nome ao papel que uma força de verdade cumpre, e por isso ela não é uma força nova. No carro esse papel é do atrito, no barbante é da tração e no satélite é da gravidade, que calculamos pela lei da gravitação, F = G·M·m/r². Se essa força não dá conta, o objeto sai pela tangente, como no passo 4.

\(F_c = m\,a_c = \dfrac{m\,v^2}{R}\)F em newtons (N) · m em kg · cada situação tem seu limite, que pode ser o atrito máximo (μ·m·g), a resistência do barbante ou a intensidade da gravidade

velocidade v   força para o centro

Para conversar

  • No carro, aumente v até derrapar e tente prever se, na pista molhada, ele vai derrapar antes ou depois.
  • Na pedra, aumente v até o barbante romper. Se o barbante aguenta o dobro, será que a velocidade máxima também dobra? (Dica: vmáx = √(Tmáx·R/m).)
  • No satélite, mude a massa e observe a força da gravidade e a órbita; o que muda, e como podemos explicar isso?
  • Lance o satélite a 7,7 km/s, depois a 9, a 11 e a 6 km/s. Qual parece ser a menor velocidade para escapar da Terra?
  • Por que o satélite não cai, se a gravidade puxa ele o tempo todo?
  • Quando o ônibus faz a curva e a "força centrífuga" parece jogar você para fora, isso é uma força de verdade ou é seu corpo tentando seguir reto?
  • Ligue "Ver de dentro do carro" e note que, para o passageiro, o carro está parado, e ele precisa inventar alguma força para explicar isso; que força é essa? Depois, faça o carro derrapar e veja o que o passageiro vê.
Quem fornece
Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um objeto de 2 kg gira em círculo de raio 1 m com velocidade 4 m/s. Qual é a força centrípeta sobre ele?

    Ver resolução
    \(F_c = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(F_c = \dfrac{2 \cdot 4^2}{1} = \dfrac{2 \cdot 16}{1}\)
    \(F_c = 32\ \text{N}\)
  2. básico

    Quando o ônibus faz uma curva, você sente que é "jogada" para fora. Existe uma "força centrífuga" empurrando você?

    Ver resolução
    Não. Pela inércia, seu corpo tende a continuar em linha reta.
    O ônibus é que faz a curva para dentro, e o banco ou a barra é que te puxa para o centro.
    A sensação é inércia, não uma força para fora.
  3. básico

    Um carro de 1000 kg faz uma curva plana de raio 50 m a 10 m/s. Qual força centrípeta é necessária e que força real a fornece?

    Ver resolução
    \(F_c = \dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{1000 \cdot 10^2}{50}\)
    \(F_c = \dfrac{100\,000}{50}\)
    \(F_c = 2000\ \text{N}\), fornecida pelo atrito dos pneus com o asfalto
  4. básico

    Uma pedra de 0,5 kg presa a um barbante gira num plano horizontal, em círculo de raio 0,8 m, a 4 m/s. Qual é a tração no barbante (ignore o peso)?

    Ver resolução
    \(T = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(T = \dfrac{0{,}5 \cdot 4^2}{0{,}8} = \dfrac{8}{0{,}8}\)
    \(T = 10\ \text{N}\)
  5. médio

    Qual é a velocidade máxima para um carro fazer uma curva plana de raio 80 m se o coeficiente de atrito é \(\mu = 0{,}5\)? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Na velocidade máxima, o atrito máximo é a força centrípeta, e \(\mu \cdot m \cdot g = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot R}\) \(= \sqrt{0{,}5 \cdot 10 \cdot 80}\) \(= \sqrt{400}\)
    \(v = 20\ \text{m/s} = 72\ \text{km/h}\)
  6. médio

    Um barbante aguenta no máximo 50 N. Ele prende uma pedra de 0,2 kg que gira na horizontal em raio 1 m. Qual a maior velocidade antes de o barbante romper?

    Ver resolução
    \(T_{\text{máx}} = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(50 = \dfrac{0{,}2 \cdot v^2}{1}\)
    \(v^2 = \dfrac{50 \cdot 1}{0{,}2} = 250\)
    \(v \approx 15{,}8\ \text{m/s}\) (acima disso o barbante rompe)
  7. médio

    Ciclista e bicicleta somam 80 kg e fazem uma curva plana de raio 12 m a 6 m/s. Com \(\mu = 0{,}4\) e \(g = 10\ \text{m/s}^2\), o atrito consegue segurar a curva?

    Ver resolução
    A força necessária é \(F_c = \dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{80 \cdot 36}{12} = 240\ \text{N}\)
    O atrito máximo é \(\mu \cdot m \cdot g = 0{,}4 \cdot 80 \cdot 10 = 320\ \text{N}\)
    \(240\ \text{N} \lt 320\ \text{N}\)
    Sim, o atrito máximo (320 N) supera os 240 N necessários.
  8. médio

    Dois satélites, um de 500 kg e outro de 1000 kg, estão na mesma órbita circular. Qual deles precisa ter maior velocidade?

    Ver resolução
    \(\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\)
    A massa \(m\) do satélite aparece dos dois lados e cancela, e ficamos com \(v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M}{r}}\).
    Os dois têm a mesma velocidade, porque a massa do satélite não altera a órbita.
  9. desafio

    Um satélite gira em órbita circular de raio \(8{,}0 \cdot 10^6\ \text{m}\) em torno da Terra. Sabendo que \(G \cdot M_{\text{Terra}} \approx 4{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\), calcule sua velocidade e seu período. Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\) \(\Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M}{r}}\)
    \(v = \sqrt{\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{8{,}0 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{5{,}0 \cdot 10^7} \approx 7071\ \text{m/s}\)
    \(T = \dfrac{2\pi \cdot r}{v}\) \(= \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 8{,}0 \cdot 10^6}{7071} \approx 7105\ \text{s}\)
    \(v \approx 7{,}1\ \text{km/s}\) e \(T \approx 7105\ \text{s}\) (cerca de 2 h)
  10. desafio

    Numa curva plana de raio 45 m, o atrito vale \(\mu = 0{,}8\) com pista seca e \(\mu = 0{,}2\) com pista molhada. Calcule a velocidade máxima nos dois casos (\(g = 10\ \text{m/s}^2\)) e compare.

    Ver resolução
    Com pista seca, \(v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot R}\) \(= \sqrt{0{,}8 \cdot 10 \cdot 45}\) \(= \sqrt{360} \approx 19\ \text{m/s}\)
    Com pista molhada, \(v = \sqrt{0{,}2 \cdot 10 \cdot 45}\) \(= \sqrt{90} \approx 9{,}5\ \text{m/s}\)
    A razão entre as duas é \(\sqrt{\dfrac{0{,}8}{0{,}2}} = \sqrt{4} = 2\)
    Seca \(\approx 19\ \text{m/s}\) (68 km/h), molhada \(\approx 9{,}5\ \text{m/s}\) (34 km/h), e a velocidade segura cai pela metade.
PASSO 7

Polias, correias e a marcha da bicicleta

Quando as polias estão ligadas por correia (ou corrente, ou dentes encostados) e supomos que a correia não escorrega, os pontos da borda das duas têm a mesma velocidade linear v. A polia menor precisa, então, girar mais vezes.

Já no mesmo eixo as duas giram juntas, com a mesma ω e a mesma f, e quem tem a borda mais rápida é a maior.

Correia: \(f_A\,R_A = f_B\,R_B\)Mesmo eixo: \(f_A = f_B\)Na bicicleta, o movimento vai do pedal → coroa (grande) → corrente → catraca (pequena), e a catraca está no mesmo eixo da roda traseira

Para conversar

  • Se a coroa tem raio 3× maior que a catraca, quantas vezes 1 pedalada gira a roda?
  • Por que na subida usamos a catraca maior (marcha "leve")?
  • No mesmo eixo, qual polia tem borda mais rápida?
f de A
f de B
v borda A
v borda B
Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma polia A de raio 10 cm gira a 1200 rpm e está ligada por correia a uma polia B de raio 30 cm. Qual a frequência de B?

    Ver resolução
    Com correia, as bordas têm a mesma velocidade \(\Rightarrow f_A \cdot R_A = f_B \cdot R_B\)
    \(1200 \cdot 10 = f_B \cdot 30\)
    \(f_B = \dfrac{12\,000}{30}\)
    \(f_B = 400\ \text{rpm}\)
  2. básico

    Qual a diferença entre duas polias presas no mesmo eixo e duas polias ligadas por uma correia?

    Ver resolução
    No mesmo eixo, as polias giram juntas, com a mesma \(\omega\) e a mesma \(f\) (a maior tem borda mais rápida).
    Com correia, as bordas têm a mesma velocidade linear \(v\) (a menor gira mais rápido).
    Eixo comum \(\to\) mesma \(\omega\); correia, corrente ou dentes \(\to\) mesma \(v\) na borda.
  3. básico

    Uma engrenagem de 12 dentes gira a 90 rpm e movimenta outra de 36 dentes. Qual a frequência da maior?

    Ver resolução
    Com os dentes engrenados, \(f_A \cdot n_A = f_B \cdot n_B\)
    \(90 \cdot 12 = f_B \cdot 36\)
    \(f_B = \dfrac{1080}{36}\)
    \(f_B = 30\ \text{rpm}\)
  4. básico

    Numa bicicleta, a coroa (do pedal) tem 48 dentes e a catraca (da roda) tem 16. Quantas voltas a roda dá a cada pedalada completa?

    Ver resolução
    Pela corrente, \(f_{\text{coroa}} \cdot n_{\text{coroa}} = f_{\text{catraca}} \cdot n_{\text{catraca}}\)
    \(1 \cdot 48 = f_{\text{catraca}} \cdot 16\) \(\Rightarrow f_{\text{catraca}} = 3\)
    A roda está no mesmo eixo da catraca.
    A roda dá 3 voltas por pedalada
  5. médio

    Uma ciclista pedala a 1 volta por segundo. A coroa tem 44 dentes, a catraca 22 e a roda tem raio 0,35 m. Qual a velocidade da bicicleta? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(f_{\text{catraca}} = \dfrac{f_{\text{coroa}} \cdot n_{\text{coroa}}}{n_{\text{catraca}}}\) \(= \dfrac{1 \cdot 44}{22}\) \(= 2\ \text{Hz}\)
    Como a roda está no mesmo eixo, \(f_{\text{roda}} = 2\ \text{Hz}\)
    \(v = 2\pi \cdot R \cdot f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}35 \cdot 2 \approx 4{,}4\ \text{m/s}\)
    \(v \approx 4{,}4\ \text{m/s} \approx 16\ \text{km/h}\)
  6. médio

    Para subir uma ladeira, a ciclista troca para a marcha "leve": coroa pequena e catraca grande. Por que fica mais fácil pedalar?

    Ver resolução
    Com coroa pequena e catraca grande, cada pedalada gira a roda menos vezes.
    A bicicleta anda menos por pedalada, mas a força necessária no pedal é menor.
    Na marcha leve, há menos velocidade por pedalada e menos força; na marcha pesada, o contrário.
  7. médio

    No liquidificador, a polia do motor (raio 2 cm) gira a 6000 rpm e uma correia move a polia das lâminas (raio 3 cm). Ache a frequência das lâminas e a velocidade da correia. Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(f_B = \dfrac{f_A \cdot R_A}{R_B} = \dfrac{6000 \cdot 2}{3} = 4000\ \text{rpm}\)
    \(f_A = \dfrac{6000}{60} = 100\ \text{Hz}\)
    \(v = 2\pi \cdot R_A \cdot f_A\) \(= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}02 \cdot 100\) \(= 12{,}56\ \text{m/s}\)
    \(f_B = 4000\ \text{rpm}\) e \(v \approx 12{,}6\ \text{m/s}\)
  8. médio

    Uma polia A de raio 0,05 m gira com \(\omega = 40\ \text{rad/s}\) e está ligada por correia à polia B de raio 0,2 m. Calcule a velocidade da correia, \(\omega_B\) e \(f_B\). Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(v = \omega_A \cdot R_A = 40 \cdot 0{,}05 = 2\ \text{m/s}\)
    \(\omega_B = \dfrac{v}{R_B} = \dfrac{2}{0{,}2} = 10\ \text{rad/s}\)
    \(f_B = \dfrac{\omega_B}{2\pi}\) \(= \dfrac{10}{6{,}28} \approx 1{,}59\ \text{Hz}\)
    \(v = 2\ \text{m/s}\), \(\omega_B = 10\ \text{rad/s}\), \(f_B \approx 1{,}59\ \text{Hz}\)
  9. desafio

    Num relógio, a engrenagem A (10 dentes) gira a 120 rpm e move B (40 dentes). No mesmo eixo de B está C (10 dentes), que move D (30 dentes). Qual a frequência de D?

    Ver resolução
    A \(\to\) B (dentes): \(f_B = \dfrac{120 \cdot 10}{40} = 30\ \text{rpm}\)
    B e C estão no mesmo eixo, então \(f_C = 30\ \text{rpm}\)
    C \(\to\) D (dentes): \(f_D = \dfrac{30 \cdot 10}{30} = 10\ \text{rpm}\)
    \(f_D = 10\ \text{rpm}\) (redução total de 12 vezes)
  10. desafio

    Uma ciclista quer andar a 18 km/h. A roda tem raio 0,3 m, a coroa 42 dentes e a catraca 14. Quantas pedaladas por minuto ela deve dar? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(v = \dfrac{18}{3{,}6} = 5\ \text{m/s}\)
    \(f_{\text{roda}} = \dfrac{v}{2\pi \cdot R}\) \(= \dfrac{5}{6{,}28 \cdot 0{,}3} \approx 2{,}654\ \text{Hz}\)
    \(f_{\text{catraca}} = f_{\text{roda}}\); \(f_{\text{coroa}} = f_{\text{catraca}} \cdot \dfrac{14}{42} \approx 0{,}885\ \text{Hz}\)
    Em rpm, isso dá \(0{,}885 \cdot 60 \approx 53\)
    Cerca de 53 pedaladas por minuto
PASSO 8

Seno e cosseno são as sombras de um giro

Se acendemos uma lanterna de lado para o ponto que gira, a sombra na parede só sobe e desce, e essa sombra vertical é y = R·sen θ. A sombra no chão, por sua vez, vai e volta na horizontal, e é x = R·cos θ.

Como o ângulo cresce com o tempo (θ = ω·t), cada sombra desenha uma onda. As duas ondas têm a mesma forma, e o cosseno está um quarto de volta (π/2) à frente do seno.

\(x = R\cos(\omega t)\)\(y = R\,\mathrm{sen}(\omega t)\)\(\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1\)A última é o teorema de Pitágoras, em que as duas sombras são os catetos e o raio é a hipotenusa do triângulo retângulo da figura.

Para conversar

  • Deixe só o seno ligado e veja onde o ponto está quando a onda atinge o máximo e quando ela cruza o zero.
  • Arraste θ até 90°, 180° e 270° e anote quanto valem sen θ e cos θ em cada caso.
  • Ligue as duas ondas; qual delas chega primeiro ao máximo?
  • Se dobramos ω, o que acontece com o tamanho de cada onda no tempo? (Pense no período T.)
  • O que mais na natureza sobe e desce assim? Podemos pensar na mola, no pêndulo, na maré e no som.

seno: sombra vertical   cosseno: sombra horizontal

θ
sen θ
cos θ
sen² + cos²
Período T
Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um ponto gira em círculo de raio 2 m. Quando \(\theta = 30^\circ\), quais são suas coordenadas \(x\) e \(y\)? Use \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).

    Ver resolução
    \(x = R \cdot \cos 30^\circ\) \(= 2 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(= 2 \cdot 0{,}865\)
    \(y = R \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ = 2 \cdot 0{,}5\)
    \(x \approx 1{,}73\ \text{m}\) e \(y = 1\ \text{m}\)
  2. básico

    Um ponto gira num círculo de raio 1. Dê \(\mathrm{sen}\,\theta\) e \(\cos\theta\) para \(\theta = 0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) e \(270^\circ\) e diga onde o ponto está.

    Ver resolução
    \(0^\circ\): \(\cos = 1\), \(\mathrm{sen} = 0 \to\) ponto à direita \((1, 0)\)
    \(90^\circ\): \(\cos = 0\), \(\mathrm{sen} = 1 \to\) no alto \((0, 1)\)
    \(180^\circ\): \(\cos = -1\), \(\mathrm{sen} = 0 \to\) à esquerda \((-1, 0)\)
    \(270^\circ\): \(\cos = 0\), \(\mathrm{sen} = -1 \to\) embaixo \((0, -1)\)
    \(\cos\) é a coordenada \(x\), \(\mathrm{sen}\) é a coordenada \(y\) do ponto.
  3. básico

    Um ponto em MCU de raio 5 m tem \(\omega = \pi/2\ \text{rad/s}\) e parte de \(\theta = 0\). Onde ele está em \(t = 1\ \text{s}\)?

    Ver resolução
    \(\theta = \omega \cdot t\) \(= \left(\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 1\) \(= \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\) \(= 90^\circ\)
    \(x = 5 \cdot \cos 90^\circ = 5 \cdot 0 = 0\)
    \(y = 5 \cdot \mathrm{sen}\, 90^\circ = 5 \cdot 1 = 5\)
    \((x, y) = (0,\ 5\ \text{m})\): no topo do círculo
  4. básico

    Por que \(\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1\) vale para qualquer ângulo?

    Ver resolução
    No círculo de raio 1, o ponto forma um triângulo retângulo com catetos \(\cos\theta\) (horizontal) e \(\mathrm{sen}\,\theta\) (vertical).
    A hipotenusa é o próprio raio, igual a 1.
    Por Pitágoras, \(\cos^2\theta + \mathrm{sen}^2\theta = 1^2\).
    É o teorema de Pitágoras com o raio como hipotenusa.
  5. médio

    Uma roda-gigante de raio 10 m dá uma volta em 40 s. Uma cadeira parte da posição \(\theta = 0\) (na altura do centro, à direita). Em \(t = 5\ \text{s}\), a que distância horizontal e vertical do centro ela está? Use \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

    Ver resolução
    \(\theta = \left(\dfrac{360^\circ}{40}\right) \cdot 5\) \(= 45^\circ\)
    \(x = 10 \cdot \cos 45^\circ\) \(= 10 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 10 \cdot 0{,}705\)
    \(y = 10 \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ \approx 10 \cdot 0{,}705\)
    \(x \approx 7{,}05\ \text{m}\) e \(y \approx 7{,}05\ \text{m}\) (a sombra no chão está a 7,05 m do centro)
  6. médio

    Um ponto do primeiro quadrante tem \(\mathrm{sen}\,\theta = 0{,}6\). Qual é \(\cos\theta\)?

    Ver resolução
    \(\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
    \(\cos^2\theta = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\)
    \(\cos\theta = \sqrt{0{,}64}\) (positivo no 1º quadrante)
    \(\cos\theta = 0{,}8\)
  7. médio

    A pá de um ventilador dá 5 voltas por segundo. Desenhando a altura \(y(t)\) da ponta da pá, obtemos uma onda senoidal. Qual o período e a frequência dessa onda?

    Ver resolução
    A onda se repete a cada volta completa.
    \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{5}\)
    \(T = 0{,}2\ \text{s}\) e \(f = 5\ \text{Hz}\) (os mesmos do giro)
  8. médio

    Um ponto gira com período \(T = 8\ \text{s}\). A sombra vertical (seno) atinge o máximo em \(t = 3\ \text{s}\). Sabendo que o cosseno está \(\pi/2\) adiantado em relação ao seno, quando a sombra horizontal (cosseno) atingiu o máximo?

    Ver resolução
    \(\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\) é \(\dfrac{1}{4}\) de volta \(\to\) equivale a \(\dfrac{T}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\ \text{s}\)
    Como o cosseno está adiantado, o máximo dele acontece antes.
    \(t = 3 - 2\)
    \(t = 1\ \text{s}\)
  9. desafio

    A sombra de um ponto em MCU (raio 0,2 m, período 2 s) projetada numa parede faz um movimento harmônico simples. Qual a amplitude, o período e a velocidade máxima da sombra? Onde ela é mais rápida? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    Amplitude \(= R = 0{,}2\ \text{m}\); período \(= T = 2\ \text{s}\)
    A velocidade máxima da sombra é a velocidade do ponto, \(v = \dfrac{2\pi \cdot R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}2}{2} = 0{,}628\ \text{m/s}\)
    No centro, a velocidade do ponto é paralela à parede, e nos extremos é perpendicular (a sombra para).
    \(A = 0{,}2\ \text{m}\), \(T = 2\ \text{s}\), \(v_{\text{máx}} \approx 0{,}63\ \text{m/s}\), no centro da oscilação (e zero nos extremos)
  10. desafio

    Um ponto gira em raio 4 m com \(\omega = \pi/6\ \text{rad/s}\), partindo de \(\theta = 0\). Quais as coordenadas em \(t = 4\ \text{s}\)? Use \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).

    Ver resolução
    \(\theta = \left(\dfrac{\pi}{6}\right) \cdot 4\) \(= \dfrac{2\pi}{3}\ \text{rad}\) \(= 120^\circ\)
    \(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -0{,}5\); \(\mathrm{sen}\, 120^\circ = \mathrm{sen}\, 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
    \(x = 4 \cdot (-0{,}5) = -2\ \text{m}\)
    \(y = 4 \cdot 0{,}865 \approx 3{,}46\ \text{m}\)
    \((x, y) \approx (-2\ \text{m};\ 3{,}46\ \text{m})\), no 2º quadrante
PASSO 9

Ligando e desligando: o MCUV

Quando o ventilador liga, ele não chega à velocidade máxima de uma vez, e ω vai crescendo; quando desliga, ω vai diminuindo até parar. Se ω muda sempre no mesmo ritmo, dizemos que o movimento é circular uniformemente variado e chamamos esse ritmo de aceleração angular α = Δω/Δt.

Agora a aceleração tem duas partes. A tangencial at = α·R, ao longo da velocidade, muda o tamanho de v, enquanto a centrípeta ac = ω²·R continua mudando a direção. Quando somamos as duas, a aceleração total não aponta mais para o centro.

\(\omega = \omega_0 + \alpha\,t\)\(\theta = \omega_0\,t + \dfrac{\alpha\,t^2}{2}\)\(\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta\)\(a_t = \alpha\,R\)São as fórmulas do MUV com outra roupa, em que trocamos posição s → ângulo θ, velocidade v → ω e aceleração a → α.

v   at tangencial   ac centrípeta   a total

Para conversar

  • Logo depois de "Acelerar", qual parte da aceleração é maior, e o que muda quando ω já está alto?
  • No gráfico ω × t, o que a inclinação de cada trecho representa, e como fica o trecho de "Manter"?
  • Clique em "Frear" e veja para que lado aponta at agora. Quantas voltas a roda dá até parar? Podemos conferir com ω² = ω₀² + 2·α·Δθ.
  • Dobre |α|. A roda para na metade do tempo, e na metade das voltas?
Tempo
α agora
ω
v na borda
at
ac
Voltas desde o último botão
Exercícios do passo 9 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um ventilador parte do repouso e, em 6 s, atinge velocidade angular de 30 rad/s. Qual é a aceleração angular média?

    Ver resolução
    \(\alpha = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\)
    \(\alpha = \dfrac{30 - 0}{6}\)
    \(\alpha = 5\ \text{rad/s}^2\)
  2. básico

    A roda de uma bicicleta gira a 20 rad/s quando o ciclista freia, com aceleração angular de \(-4\ \text{rad/s}^2\). Quanto tempo a roda leva para parar?

    Ver resolução
    \(\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t\)
    \(0 = 20 + (-4) \cdot t\)
    \(t = \dfrac{20}{4}\)
    \(t = 5\ \text{s}\)
  3. básico

    Um liquidificador é ligado a partir do repouso com aceleração angular constante de \(50\ \text{rad/s}^2\). Qual é a velocidade angular das lâminas após 4 s?

    Ver resolução
    \(\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t\)
    \(\omega = 0 + 50 \cdot 4\)
    \(\omega = 200\ \text{rad/s}\)
  4. básico

    Uma centrífuga está acelerando seu giro. Qual componente da aceleração muda o módulo da velocidade e qual muda a direção? A aceleração total aponta para o centro?

    Ver resolução
    A aceleração tangencial (\(a_t = \alpha \cdot R\)) é tangente à trajetória e muda o módulo de \(v\).
    A aceleração centrípeta (\(a_c = \omega^2 \cdot R\)) aponta para o centro e muda a direção de \(v\).
    A total é a soma vetorial das duas, inclinada para a frente.
    \(a_t\) muda o módulo, \(a_c\) muda a direção, e a total NÃO aponta para o centro.
  5. médio

    Uma centrífuga parte do repouso com \(\alpha = 10\ \text{rad/s}^2\). Qual ângulo ela descreve em 8 s e quantas voltas isso representa? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\theta = \omega_0 \cdot t + \dfrac{\alpha \cdot t^2}{2}\)
    \(\theta = 0 + \dfrac{10 \cdot 8^2}{2} = 320\ \text{rad}\)
    \(\text{voltas} = \dfrac{\theta}{2\pi}\) \(= \dfrac{320}{6{,}28} \approx 50{,}96\)
    \(\theta = 320\ \text{rad} \approx 51\) voltas
  6. médio

    Um ventilador girando a 60 rad/s é desligado e para depois de dar 30 voltas. Qual é a aceleração angular (suposta constante)? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\Delta\theta = 30 \cdot 2\pi\) \(= 30 \cdot 6{,}28\) \(= 188{,}4\ \text{rad}\)
    \(\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \Delta\theta\)
    \(0 = 60^2 + 2 \cdot \alpha \cdot 188{,}4\)
    \(\alpha = -\dfrac{3600}{376{,}8}\)
    \(\alpha \approx -9{,}55\ \text{rad/s}^2\) (sinal negativo: freando)
  7. médio

    Um disco de raio 0,15 m acelera com \(\alpha = 4\ \text{rad/s}^2\). No instante em que \(\omega = 2\ \text{rad/s}\), calcule \(a_t\), \(a_c\) e a aceleração total de um ponto da borda.

    Ver resolução
    \(a_t = \alpha \cdot R = 4 \cdot 0{,}15 = 0{,}6\ \text{m/s}^2\)
    \(a_c = \omega^2 \cdot R = 2^2 \cdot 0{,}15 = 0{,}6\ \text{m/s}^2\)
    \(a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}\) \(= \sqrt{0{,}6^2 + 0{,}6^2}\) \(= \sqrt{0{,}72}\)
    \(a_t = 0{,}6\ \text{m/s}^2\), \(a_c = 0{,}6\ \text{m/s}^2\), \(a \approx 0{,}85\ \text{m/s}^2\)
  8. médio

    Ao frear, uma roda passa de 12 rad/s para 4 rad/s em 2 s. Usando a analogia com o MUV (\(\theta \leftrightarrow s\), \(\omega \leftrightarrow v\), \(\alpha \leftrightarrow a\)), calcule \(\alpha\) e o ângulo girado nesse intervalo.

    Ver resolução
    \(\alpha = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\) \(= \dfrac{4 - 12}{2}\) \(= -4\ \text{rad/s}^2\)
    \(\theta = \omega_0 \cdot t + \dfrac{\alpha \cdot t^2}{2}\) \(= 12 \cdot 2 + \dfrac{(-4) \cdot 2^2}{2}\)
    \(\theta = 24 - 8\)
    \(\alpha = -4\ \text{rad/s}^2\) e \(\theta = 16\ \text{rad}\)
  9. desafio

    A pá de um ventilador tem ponta a 0,5 m do eixo. O ventilador parte do repouso com \(\alpha = 2\ \text{rad/s}^2\). Em \(t = 3\ \text{s}\), calcule \(\omega\), a velocidade da ponta e a aceleração total dela.

    Ver resolução
    \(\omega = \alpha \cdot t = 2 \cdot 3 = 6\ \text{rad/s}\)
    \(v = \omega \cdot R = 6 \cdot 0{,}5 = 3\ \text{m/s}\)
    \(a_t = \alpha \cdot R = 1\ \text{m/s}^2\)
    \(a_c = \omega^2 \cdot R = 36 \cdot 0{,}5 = 18\ \text{m/s}^2\)
    \(a = \sqrt{1^2 + 18^2} \approx 18{,}03\ \text{m/s}^2\)
    \(\omega = 6\ \text{rad/s}\), \(v = 3\ \text{m/s}\), \(a \approx 18\ \text{m/s}^2\) (quase toda centrípeta)
  10. desafio

    Uma centrífuga de laboratório parte do repouso e atinge 100 rad/s depois de 25 voltas, com \(\alpha\) constante. Calcule \(\alpha\) e o tempo gasto. Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(\Delta\theta = 25 \cdot 2\pi = 157\ \text{rad}\)
    \(\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \cdot \alpha \cdot \Delta\theta\) \(\Rightarrow 100^2 = 2 \cdot \alpha \cdot 157\)
    \(\alpha = \dfrac{10\,000}{314} \approx 31{,}85\ \text{rad/s}^2\)
    \(t = \dfrac{\omega}{\alpha}\) \(= \dfrac{100}{31{,}85} \approx 3{,}14\ \text{s}\)
    \(\alpha \approx 31{,}85\ \text{rad/s}^2\) e \(t \approx 3{,}14\ \text{s}\)
PASSO 10

Globo da morte: por que a moto não cai lá no alto?

No globo, a moto anda por dentro de uma esfera, num círculo vertical. Se desprezamos o ar e o atrito, agem nela duas forças, o peso P, sempre para baixo, e a normal N, que a parede faz e que aponta sempre para o centro.

Embaixo, o peso aponta para fora do círculo, e por isso a normal precisa ser grande, o que faz o piloto se sentir "mais pesado". No topo, peso e normal apontam juntos para o centro. Se a moto vai devagar, só o peso já é mais do que a curva pede, e ela descola da parede e cai.

A geometria do topo. Sem a parede, a moto viraria um projétil e cairia por uma parábola que, perto do topo, curva como um círculo de raio v²/g. Se v²/g > R, a queda seria mais aberta que o globo, e a moto tentaria atravessar a parede, que empurra de volta. Se v²/g < R, a queda curva mais que o globo, e a moto se afasta da parede e cai. Podemos comparar as duas curvas na lupa embaixo da simulação.

Topo: \(N + P = \dfrac{m\,v^2}{R}\)Embaixo: \(N - P = \dfrac{m\,v^2}{R}\)\(v_{\text{mín}} = \sqrt{g\,R}\)raio da queda livre no topo: \(\dfrac{v^2}{g}\)A velocidade mínima no topo corresponde a N = 0, quando só o peso faz a força centrípeta, e ela não depende da massa da moto.

peso P   normal N   resultante para o centro   v

Para conversar

  • Olhe a linha tracejada "caminho sem parede" e veja quando ela entra na parede (verde) e quando se solta para dentro do globo (vermelha).
  • Na lupa, deixe a curva da queda exatamente em cima do globo e compare essa velocidade com vmín.
  • Diminua a velocidade até a moto cair e observe em que ponto ela descola. Como essa velocidade se compara com vmín?
  • Mude a massa e veja se a velocidade mínima muda. Por quê?
  • Em que ponto do globo o piloto se sente mais pesado, e quantas vezes o próprio peso?
  • Por que a água não cai de um balde girado bem rápido na vertical?
vmín no topo
N no topo
N embaixo
Sensação de peso agora
Exercícios do passo 10 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um globo da morte tem raio 3,6 m. Qual a velocidade mínima da moto no topo para não cair? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No topo, com \(N = 0\), temos \(P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R}\)
    \(v_{\text{mín}} = \sqrt{10 \cdot 3{,}6} = \sqrt{36}\)
    \(v_{\text{mín}} = 6\ \text{m/s}\)
  2. básico

    Um motociclista leve e outro pesado entram no mesmo globo da morte. O mais pesado precisa de mais velocidade no topo?

    Ver resolução
    Em \(v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R}\), a massa cancela, pois peso e força centrípeta são proporcionais a \(m\).
    Não. A velocidade mínima depende só de \(g\) e \(R\), não da massa.
  3. básico

    Você gira um balde com água num círculo vertical de raio 0,9 m. Qual a menor velocidade no topo para a água não cair? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No limite, só o peso faz a centrípeta, e \(v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R}\)
    \(v_{\text{mín}} = \sqrt{10 \cdot 0{,}9} = \sqrt{9}\)
    \(v_{\text{mín}} = 3\ \text{m/s}\)
  4. básico

    Um carrinho de montanha-russa de 100 kg passa pelo topo de um loop de raio 5 m a 10 m/s. Qual a força normal dos trilhos sobre ele? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No topo, \(N + P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(\dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{100 \cdot 100}{5} = 2000\ \text{N}\); \(P = 1000\ \text{N}\)
    \(N = 2000 - 1000\)
    \(N = 1000\ \text{N}\)
  5. médio

    Uma pessoa de 60 kg passa pelo ponto mais baixo de um loop de raio 10 m a 15 m/s. Calcule a normal do assento e a sensação de peso \(N/P\). Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Embaixo, \(N - P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(\dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{60 \cdot 225}{10} = 1350\ \text{N}\); \(P = 600\ \text{N}\)
    \(N = 1350 + 600 = 1950\ \text{N}\)
    \(\dfrac{N}{P} = \dfrac{1950}{600} = 3{,}25\)
    \(N = 1950\ \text{N}\); ela se sente 3,25 vezes mais pesada
  6. médio

    Moto e piloto somam 200 kg e passam pelo topo de um globo de raio 4 m a 8 m/s. Qual a normal do globo sobre a moto? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No topo, \(N + P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(\dfrac{m \cdot v^2}{R} = \dfrac{200 \cdot 64}{4} = 3200\ \text{N}\); \(P = 2000\ \text{N}\)
    \(N = 3200 - 2000\)
    \(N = 1200\ \text{N}\)
  7. médio

    Um avião faz um loop vertical de raio 500 m. Com que velocidade ele deve passar pelo topo para o piloto ficar "sem peso" (\(N = 0\)) no assento? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(N = 0\) \(\Rightarrow P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow v = \sqrt{g \cdot R}\)
    \(v = \sqrt{10 \cdot 500} = \sqrt{5000}\)
    \(v \approx 70{,}7\ \text{m/s} \approx 255\ \text{km/h}\)
  8. médio

    Um loop de montanha-russa tem raio 8 m. Qual a velocidade mínima no topo, em m/s e em km/h? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    \(v_{\text{mín}} = \sqrt{g \cdot R} = \sqrt{10 \cdot 8} = \sqrt{80}\)
    \(v_{\text{mín}} \approx 8{,}94\ \text{m/s}\)
    Em km/h: \(8{,}94 \cdot 3{,}6 \approx 32{,}2\ \text{km/h}\)
    \(v_{\text{mín}} \approx 8{,}9\ \text{m/s} \approx 32\ \text{km/h}\)
  9. desafio

    Um avião passa pelo ponto mais baixo de um loop de raio 400 m a 100 m/s. Quantas vezes o piloto se sente mais pesado (\(N/P\))? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Embaixo, \(N - m \cdot g = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow N = m \cdot \left(g + \dfrac{v^2}{R}\right)\)
    \(\dfrac{N}{P} = 1 + \dfrac{v^2}{g \cdot R} = 1 + \dfrac{10\,000}{10 \cdot 400}\)
    \(\dfrac{N}{P} = 1 + 2{,}5\)
    \(\dfrac{N}{P} = 3{,}5\) (o piloto sente 3,5 vezes o próprio peso)
  10. desafio

    No topo de um loop de raio 6 m, um passageiro sente o assento empurrá-lo com o dobro do seu peso (\(N = 2P\)). Qual a velocidade do carrinho? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    No topo, \(N + P = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\)
    \(2 \cdot m \cdot g + m \cdot g = \dfrac{m \cdot v^2}{R}\) \(\Rightarrow v^2 = 3 \cdot g \cdot R\)
    \(v^2 = 3 \cdot 10 \cdot 6 = 180\)
    \(v \approx 13{,}4\ \text{m/s}\)
PASSO 11

As leis de Kepler: as órbitas reais

Até aqui, tratamos as órbitas como círculos. Por volta de 1609, analisando as medidas de Tycho Brahe, Johannes Kepler descobriu como os planetas andam de verdade, e hoje resumimos o que ele encontrou em três leis.

1ª lei, das órbitas: cada planeta descreve uma elipse, com o Sol em um dos focos. Chamamos o ponto mais próximo do Sol de periélio e o mais distante de afélio, e o círculo é a elipse de excentricidade zero.

2ª lei, das áreas: a linha Sol–planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Por isso o planeta anda mais rápido perto do Sol e mais devagar longe dele.

3ª lei, dos períodos: o quadrado do período dividido pelo cubo do semieixo maior é o mesmo para todos os planetas, ou seja, T²/a³ = constante. Quem está mais longe demora muito mais para dar a volta.

\(\dfrac{T^2}{a^3} = \text{constante}\)T em anos, a em UA: \(\dfrac{T^2}{a^3} = 1\)UA = unidade astronômica = distância média Terra–Sol ≈ 150 milhões de km. Newton depois mostrou que as três leis saem da gravitação F = G·M·m/r².
3ª lei no Sistema Solar
Planetaa (UA)T (anos)T²/a³
Mercúrio0,3870,2411,00
Vênus0,7230,6151,00
Terra1,0001,0001,00
Marte1,5241,8811,00
Júpiter5,20311,861,00
Saturno9,53729,461,00

Para conversar

  • Com as áreas ligadas, todas as fatias levaram o mesmo tempo; por que, então, as fatias perto do Sol são curtas e largas?
  • Onde a velocidade é maior, no periélio ou no afélio? Podemos conferir no número de v.
  • Se dobramos o semieixo a, será que o período também dobra? (Dica: T = a1,5.)
  • A Terra está mais perto do Sol em janeiro; por que, então, janeiro não é verão no hemisfério norte?
Distância ao Sol r
Velocidade v
Período T
T² / a³
Exercícios do passo 11 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma colega diz: “A Terra gira em um círculo perfeito com o Sol bem no centro”. De acordo com a 1ª lei de Kepler, o que está errado nessa frase? Explique também o que são periélio e afélio.

    Ver resolução
    A 1ª lei diz que a órbita de cada planeta é uma elipse, e o Sol fica em um dos focos, não no centro.
    Por isso, a distância planeta–Sol muda ao longo da órbita.
    O periélio é o ponto da órbita mais próximo do Sol.
    O afélio é o ponto da órbita mais distante do Sol.
    A órbita da Terra é uma elipse de excentricidade muito pequena (quase um círculo), mas o Sol continua fora do centro.
    A órbita é elíptica com o Sol em um foco; periélio = ponto mais próximo, afélio = ponto mais distante.
  2. básico

    Um planeta leva o mesmo tempo para ir de A até B (perto do periélio) e de C até D (perto do afélio). Pela 2ª lei de Kepler, compare as áreas varridas e diga em qual trecho o planeta anda mais rápido.

    Ver resolução
    Pela 2ª lei, o segmento Sol–planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
    Como os intervalos de tempo são iguais \(\to\) as duas áreas são iguais.
    Perto do periélio, o segmento é curto; para varrer a mesma área, o planeta precisa percorrer um arco maior.
    Perto do afélio, o segmento é longo; basta um arco menor.
    Arco maior no mesmo tempo \(\to\) velocidade maior.
    As áreas são iguais, e o planeta é mais rápido no trecho AB (perto do periélio).
  3. básico

    O semieixo maior da órbita de Marte é \(a \approx 1{,}52\ \text{UA}\). Usando a 3ª lei de Kepler (\(T^2/a^3 = 1\), com \(T\) em anos e \(a\) em UA), calcule o período de Marte.

    Ver resolução
    \(\dfrac{T^2}{a^3} = 1\) \(\Rightarrow T^2 = a^3\)
    \(a^3 = 1{,}52^3 \approx 3{,}51\)
    \(T = \sqrt{3{,}51} \approx 1{,}87\)
    \(T \approx 1{,}87\) ano (cerca de 1 ano e 10 meses).
  4. básico

    Júpiter tem semieixo maior \(a \approx 5{,}2\ \text{UA}\) e período \(T \approx 11{,}9\) anos. Calcule \(T^2/a^3\) e diga se o resultado confirma a 3ª lei de Kepler.

    Ver resolução
    \(T^2 = 11{,}9^2 \approx 141{,}6\)
    \(a^3 = 5{,}2^3 \approx 140{,}6\)
    \(\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{141{,}6}{140{,}6} \approx 1{,}01\)
    O valor é praticamente 1, a mesma constante da Terra (\(T = 1\) ano, \(a = 1\ \text{UA}\)); a pequena diferença vem do arredondamento dos dados.
    \(\dfrac{T^2}{a^3} \approx 1{,}01 \approx 1\): confirma a 3ª lei.
  5. médio

    O cometa Halley tem órbita muito alongada, com semieixo maior \(a \approx 17{,}8\ \text{UA}\). Use a 3ª lei de Kepler para estimar seu período e compare com o valor observado de cerca de 75 anos.

    Ver resolução
    O Halley orbita o Sol, então vale \(T^2/a^3 = 1\) (\(T\) em anos, \(a\) em UA).
    \(T^2 = a^3 = 17{,}8^3 \approx 5\,640\)
    \(T = \sqrt{5\,640} \approx 75{,}1\)
    O resultado coincide com o período observado (\(\approx 75\) anos).
    \(T \approx 75\) anos.
  6. médio

    No periélio, o cometa Halley fica a cerca de 0,59 UA do Sol; no afélio, a cerca de 35 UA. Usando \(v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a\), quantas vezes ele é mais rápido no periélio do que no afélio?

    Ver resolução
    \(v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a\) \(\Rightarrow \dfrac{v_p}{v_a} = \dfrac{r_a}{r_p}\)
    \(\dfrac{v_p}{v_a} = \dfrac{35}{0{,}59} \approx 59{,}3\)
    Conferência: \(a = \dfrac{r_p + r_a}{2} = \dfrac{0{,}59 + 35}{2} \approx 17{,}8\ \text{UA}\), de acordo com o semieixo maior conhecido.
    No periélio o Halley é cerca de 59 vezes mais rápido que no afélio.
  7. médio

    A Lua orbita a Terra com raio médio de 384 000 km e período de 27,3 dias. Um satélite geoestacionário tem período de 1 dia. Usando a 3ª lei de Kepler para corpos que orbitam a Terra, calcule o raio da órbita desse satélite.

    Ver resolução
    Para quem orbita a Terra, \(T^2/a^3\) também é constante, mas a constante não é a do Sistema Solar. Por isso comparamos dois corpos que orbitam a Terra:
    \(\dfrac{T_s^2}{a_s^3} = \dfrac{T_L^2}{a_L^3}\) \(\Rightarrow a_s = a_L \cdot \left(\dfrac{T_s}{T_L}\right)^{2/3}\)
    \(\dfrac{T_s}{T_L} = \dfrac{1}{27{,}3}\)
    \(\left(\dfrac{1}{27{,}3}\right)^{2/3} \approx 0{,}1103\)
    \(a_s \approx 384\,000 \cdot 0{,}1103 \approx 42\,350\ \text{km}\)
    \(a \approx 42\,000\ \text{km}\) (contados a partir do centro da Terra).
  8. médio

    A Terra passa pelo periélio no início de janeiro (≈ 147 milhões de km do Sol) e pelo afélio no início de julho (≈ 152 milhões de km). Se a distância causasse as estações, como seria janeiro nos dois hemisférios? O que realmente causa as estações?

    Ver resolução
    Se a distância fosse a causa, janeiro seria verão no planeta inteiro, inclusive no hemisfério norte.
    Mas em janeiro é inverno no hemisfério norte e verão no hemisfério sul, e os hemisférios têm estações opostas ao mesmo tempo.
    Além disso, a variação de distância é pequena: \(\dfrac{152 - 147}{147} \approx 3{,}4\%\).
    A verdadeira causa é a inclinação do eixo da Terra (\(\approx 23{,}5^\circ\)), e ao longo do ano, cada hemisfério recebe luz solar mais direta e dias mais longos em uma época, e mais inclinada e dias mais curtos na outra.
    As estações são causadas pela inclinação do eixo da Terra, não pela distância ao Sol.
  9. desafio

    Um planeta hipotético X orbita o Sol com período de 8 anos. Seu periélio fica a 2 UA do Sol. Encontre o semieixo maior, a distância no afélio e quantas vezes ele é mais rápido no periélio do que no afélio.

    Ver resolução
    Pela 3ª lei, \(a^3 = T^2 = 8^2 = 64\) \(\Rightarrow a = \sqrt[3]{64} = 4\ \text{UA}\)
    Pela 1ª lei (elipse), \(r_p + r_a = 2a\) \(\Rightarrow r_a = 2 \cdot 4 - 2 = 6\ \text{UA}\)
    Pela 2ª lei, \(v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a\) \(\Rightarrow \dfrac{v_p}{v_a} = \dfrac{6}{2} = 3\)
    \(a = 4\ \text{UA}\); afélio a 6 UA; no periélio ele é 3 vezes mais rápido.
  10. desafio

    Um satélite em órbita baixa tem raio de órbita de 6 800 km (medido do centro da Terra) e período de cerca de 92 minutos. Estime o período de outro satélite com raio de órbita de 42 200 km, em horas. Por que não dá para usar \(T^2/a^3 = 1\) aqui?

    Ver resolução
    \(T^2/a^3 = 1\) só vale (em anos e UA) para corpos que orbitam o Sol. Os dois satélites orbitam a Terra, então têm entre si outra constante, a mesma para os dois.
    \(\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}\)
    \(\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{42\,200}{6\,800} \approx 6{,}21\)
    \((6{,}21)^{3/2} \approx 15{,}46\)
    \(T_2 \approx 92 \cdot 15{,}46 \approx 1\,422\ \text{min}\)
    \(\dfrac{1\,422}{60} \approx 23{,}7\ \text{h}\)
    É praticamente 1 dia, e essa é a órbita geoestacionária.
    \(T \approx 23{,}7\ \text{h}\) (cerca de 1 dia).
FECHAMENTO

Desafios

Período e frequência

Um ventilador gira a 1200 rpm; qual é sua frequência em Hz, e qual é seu período?

Ver resolução
\(f = \dfrac{1200}{60} = 20\ \text{Hz}\)
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\ \text{s}\)
Velocidade angular

Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de um relógio?

Ver resolução
\(T = 60\ \text{s}\)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) \(= \dfrac{2\pi}{60} \approx 0{,}105\ \text{rad/s}\)
Velocidade linear

Uma roda-gigante de raio 10 m dá uma volta a cada 40 s. Com que velocidade anda quem está na cadeira?

Ver resolução
\(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 10}{40}\)
\(v \approx 1{,}57\ \text{m/s}\) (\(\approx 5{,}7\ \text{km/h}\), passo de caminhada)
Aceleração centrípeta

Um carro faz uma curva de raio 50 m a 72 km/h; qual é sua aceleração centrípeta?

Ver resolução
\(72\ \text{km/h} \div 3{,}6 = 20\ \text{m/s}\)
\(a_c = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{400}{50} = 8\ \text{m/s}^2\)
(quase 1 g, por isso o corpo "vai para o lado")
Transmissão

Na bicicleta, a coroa tem 48 dentes e a catraca 16. Pedalando 1 volta por segundo, com roda de raio 0,35 m, qual a velocidade da bicicleta?

Ver resolução
Dentes \(\propto\) raio \(\Rightarrow f_{\text{catraca}} = 1 \cdot \dfrac{48}{16} = 3\ \text{Hz}\)
Roda no mesmo eixo da catraca \(\Rightarrow f_{\text{roda}} = 3\ \text{Hz}\)
\(v = 2\pi R f\) \(= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}35 \cdot 3 \approx 6{,}6\ \text{m/s} \approx 24\ \text{km/h}\)
Pensar, sem conta

Uma pessoa no Equador e outra em São Paulo giram com a Terra. Quem tem maior \(\omega\), e quem tem maior \(v\)?

Ver resolução
\(\omega\) é igual, porque as duas dão 1 volta a cada 24 h.
\(v\) é maior no Equador, que está mais longe do eixo da Terra (\(R\) maior), e \(v = \omega\,R\).
Força centrípeta

Uma pedra de 0,5 kg gira presa a um barbante de 1 m a 4 m/s; qual é a tração no barbante?

Ver resolução
\(F = \dfrac{m\,v^2}{R} = \dfrac{0{,}5 \cdot 16}{1} = 8\ \text{N}\)
(a tração faz o papel de força centrípeta)
Força e atrito

O carro do desafio da curva tem 1000 kg. Que força de atrito os pneus precisam fazer, e será que, com \(\mu = 0{,}4\) (molhado), ele consegue?

Ver resolução
\(F = m\,a_c = 1000 \cdot 8 = 8000\ \text{N}\)
Atrito máx \(= \mu\,m\,g = 0{,}4 \cdot 1000 \cdot 9{,}8 \approx 3920\ \text{N}\)
\(8000\ \text{N} > 3920\ \text{N}\) → derrapa, sai pela tangente

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma passeia por um passo diferente da aula. No fim da lista indicamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino para quem vai fazer o exame.

  1. Período e frequência · Passo 1

    O manual de um ventilador de teto traz uma tabela com a rotação das pás e a potência consumida em cada uma das três velocidades do controle. Vamos supor que, em cada velocidade, as pás girem com frequência constante.

    Ventilador de teto
    VelocidadePotência (W)Rotação (rpm)
    130120
    245180
    365240

    Quando passamos o controle da velocidade 1 para a velocidade 3, o que acontece com o período de rotação das pás?

    1. Aumenta, e passa de 2 s para 4 s.
    2. Diminui, e passa de 0,5 s para 0,25 s.
    3. Diminui, e passa de cerca de 0,008 s para cerca de 0,004 s.
    4. Aumenta, e passa de 0,25 s para 0,5 s.
    5. Continua o mesmo, porque as pás têm o mesmo tamanho nas três velocidades.
    Ver resolução
    Resposta: B.
    Como rpm conta as voltas em um minuto, dividimos por 60 para chegar à frequência em hertz.
    \(f_1 = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{Hz}\), \(T_1 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\ \text{s}\)
    \(f_3 = \dfrac{240}{60} = 4\ \text{Hz}\), \(T_3 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{s}\)
    Dobramos a frequência e, com isso, o período caiu pela metade. A alternativa A troca frequência por período, a C usa 1/rpm, que dá o período em minutos, e a D talvez venha da intuição de que girar mais depressa "demora mais"; a potência da tabela não entra na conta.
  2. Velocidade angular × linear · Passo 3

    Num CD de música, o laser percorre a trilha de dados com velocidade linear praticamente constante, perto de 1,2 m/s, e por isso o disco precisa mudar de rotação à medida que a leitura avança. A trilha começa a cerca de 2,4 cm do centro e termina a cerca de 6,0 cm.

    Se supomos a velocidade linear de 1,2 m/s em toda a trilha, que velocidades angulares o disco deve ter ao ler o começo e o fim da trilha, nessa ordem?

    1. 0,029 rad/s e 0,072 rad/s.
    2. 0,5 rad/s e 0,2 rad/s.
    3. 20 rad/s e 50 rad/s.
    4. 50 rad/s nos dois casos, já que o disco é rígido.
    5. 50 rad/s e 20 rad/s.
    Ver resolução
    Resposta: E.
    Partimos de \(v = \omega\,R\), que nos dá \(\omega = \dfrac{v}{R}\), com os raios em metros.
    \(\omega_{\text{começo}} = \dfrac{1{,}2}{0{,}024} = 50\ \text{rad/s}\)
    \(\omega_{\text{fim}} = \dfrac{1{,}2}{0{,}060} = 20\ \text{rad/s}\)
    O disco vai desacelerando enquanto a leitura caminha para a borda. A alternativa A multiplica v por R em vez de dividir, a B esquece de passar centímetros para metros e a C inverte a ordem. A D valeria para dois pontos do disco no mesmo instante, quando todos giram juntos, e aqui comparamos dois momentos diferentes da leitura.
  3. Polias e engrenagens · Passo 7

    Numa bicicleta de estrada, Helena pedala com a coroa de 44 dentes e a catraca de 22 dentes, mantendo uma cadência de 90 pedaladas por minuto. A roda traseira, já com o pneu, tem 70 cm de diâmetro. Vamos supor que a corrente não escorregue e que o pneu role sem deslizar.

    Usando \(\pi \approx 3{,}14\), qual é, aproximadamente, a velocidade da bicicleta?

    1. 1,8 km/h
    2. 6 km/h
    3. 12 km/h
    4. 24 km/h
    5. 47 km/h
    Ver resolução
    Resposta: D.
    A coroa gira com o pedal, \(f_{\text{coroa}} = \dfrac{90}{60} = 1{,}5\ \text{Hz}\), e a corrente dá às duas engrenagens a mesma velocidade na borda. Como o número de dentes é proporcional ao raio, temos
    \(f_{\text{catraca}} = 1{,}5 \cdot \dfrac{44}{22} = 3\ \text{Hz}\)
    A roda está no mesmo eixo da catraca e também gira a 3 Hz, com raio \(R = 0{,}35\ \text{m}\).
    \(v = 2\pi R f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}35 \cdot 3\)
    \(v \approx 6{,}6\ \text{m/s} \approx 24\ \text{km/h}\)
    Quem inverte a razão dos dentes chega a 6 km/h, quem esquece as engrenagens e faz a roda girar junto com o pedal chega a 12 km/h, e quem usa o diâmetro no lugar do raio chega a 47 km/h. A alternativa A divide por 3,6 em vez de multiplicar.
  4. Aceleração centrípeta · Passo 5

    Nos laboratórios de análises clínicas, o sangue colhido vai para uma centrífuga, que separa as hemácias do plasma girando os tubos em alta rotação. Numa centrífuga de bancada, o fundo dos tubos fica a 10 cm do eixo e o rotor gira a 3000 rpm.

    Usando \(\pi \approx 3{,}14\) e \(g = 10\ \text{m/s}^2\), a aceleração centrípeta no fundo dos tubos vale, aproximadamente,

    1. 3 vezes g.
    2. 25 vezes g.
    3. 1000 vezes g.
    4. 100 000 vezes g.
    5. 350 000 vezes g.
    Ver resolução
    Resposta: C.
    Começamos passando rpm para hertz e calculando ω.
    \(f = \dfrac{3000}{60} = 50\ \text{Hz}\)
    \(\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 50\)
    \(\omega = 314\ \text{rad/s}\)
    \(a_c = \omega^2 R = 314^2 \cdot 0{,}10\)
    \(a_c \approx 9860\ \text{m/s}^2\)
    \(\dfrac{a_c}{g} = \dfrac{9860}{10} \approx 986\), perto de 1000 vezes g.
    A alternativa A esquece o quadrado de ω, a B esquece o fator 2π, a D usa o raio em centímetros e a E deixa a rotação em rpm. Um número desse tamanho parece explicar por que a centrífuga separa em minutos o que a gravidade sozinha separaria muito devagar.
  5. Satélites e leis de Kepler · Passos 6 e 11

    Os satélites de TV ficam numa órbita geoestacionária, em que uma volta em torno da Terra leva cerca de 24 h, e por isso parecem parados no céu para quem está no chão. Um satélite de observação, numa órbita circular mais baixa, dá uma volta a cada 3 h.

    Nos dois casos, a gravidade da Terra faz o papel de força centrípeta, e a 3ª lei de Kepler, \(T^2/r^3 = \text{constante}\), vale para todos os satélites da Terra. O raio da órbita geoestacionária é quantas vezes maior que o raio da órbita do satélite de observação?

    1. 2
    2. 4
    3. 8
    4. 23
    5. 64
    Ver resolução
    Resposta: B.
    Como a constante é a mesma para os dois satélites, podemos igualar as razões.
    \(\dfrac{T_G^2}{r_G^3} = \dfrac{T_O^2}{r_O^3}\), \(\left(\dfrac{r_G}{r_O}\right)^3 = \left(\dfrac{T_G}{T_O}\right)^2\)
    \(\left(\dfrac{r_G}{r_O}\right)^3 = \left(\dfrac{24}{3}\right)^2\) \(= 64\)
    \(\dfrac{r_G}{r_O} = \sqrt[3]{64} = 4\)
    A alternativa C supõe que o raio cresce na mesma proporção do período, e a E para em \(8^2\) sem tirar a raiz cúbica. A A tira a raiz cúbica de 8 sem elevar o período ao quadrado, e a D troca os expoentes da lei.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos achar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

  • ENEM 2013, 1º dia, caderno azul, questão 66. Um açougueiro escolhe entre duas montagens das polias de uma serra de fita, e precisamos decidir qual deixa a lâmina mais lenta comparando frequências e velocidades nas bordas.
  • ENEM 2014, 1º dia, caderno azul, questão 82. A partir de uma tirinha sobre um satélite em órbita, a questão pergunta pela aceleração tangencial de um personagem que gira com velocidade de módulo constante.
  • ENEM 2016, 1º dia, caderno azul, questão 66. Um relojoeiro monta um cronômetro com engrenagens, e cabe a nós acompanhar a frequência do motor, par por par, até chegar ao ponteiro.
  • ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 122. Trocar as rodas de um carro por outras de diâmetro maior mexe na estabilidade e faz o velocímetro errar, e a questão pede essas duas consequências.
  • ENEM 2019, 2º dia, caderno azul, questão 109. Partindo da queda de fragmentos de um foguete soviético no Atlântico em 1978, a questão compara a velocidade angular do foguete com a da Terra.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Período e frequência\(T = 1/f\)
Ângulo em radianos\(\theta = s/R \quad 2\pi = 360^\circ\)
Velocidade angular\(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\)
Velocidade linear\(v = \omega R = 2\pi R/T\)
Aceleração centrípeta\(a_c = v^2/R = \omega^2 R\)
Correia / dentes\(f_A R_A = f_B R_B\)
Mesmo eixo\(\omega_A = \omega_B\)
MCUV\(\omega = \omega_0 + \alpha t \quad a_t = \alpha R\)
Globo da morte\(v_{\text{mín}} = \sqrt{gR}\)
3ª lei de Kepler\(T^2/a^3 = \text{const.}\)
Sombras do giro\(x = R\cos\omega t \quad y = R\,\mathrm{sen}\,\omega t\)
Força centrípeta\(F_c = m v^2/R\)
UnidadesHz · rad/s · m/s · m/s² · N