Física · Ensino Médio · Ondulatória

Ondulatória

O balanço de um pêndulo, a nota de um violão, o eco num paredão e a sirene que muda de tom quando a ambulância passa dependem de umas poucas ideias sobre oscilações e ondas. Vamos começar pelo movimento harmônico simples, o vaivém mais simples que existe, ver como uma oscilação se espalha pelo meio e vira onda, e chegar ao som. Nas contas da aula usamos \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

1Movimento harmônico simples
2Pêndulo simples
3O que é uma onda
4Reflexão e refração
5Interferência
6Ondas estacionárias
7Som
✓Desafios

PASSO 1

Um vaivém que se repete

Quando puxamos um bloco preso a uma mola e o soltamos, ele vai e volta em torno da posição de equilíbrio, no mesmo ritmo. Se desprezamos o atrito, a força da mola é \(F = -k\,x\), proporcional ao deslocamento e sempre apontando de volta para o equilíbrio, e o movimento que ela produz se chama movimento harmônico simples (MHS).

A posição segue um cosseno, \(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)\). A amplitude \(A\) é o maior afastamento, \(\omega\) é a pulsação, em rad/s, e a fase inicial \(\varphi_0\) diz em que ponto do vaivém o relógio começou a contar.

Esse cosseno tem uma origem que já conhecemos da aula de Movimento Circular. Um ponto que gira em MCU num círculo de raio \(A\), com velocidade angular \(\omega\), tem uma sombra no diâmetro horizontal que faz o mesmo vaivém do bloco, e por isso a pulsação do MHS usa a mesma letra e a mesma unidade da velocidade angular.

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)\)\(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \dfrac{2\pi}{T}\)\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)\(v_{\text{máx}} = \omega A\)\(a_{\text{máx}} = \omega^2 A\)\(E = \tfrac{1}{2}k\,x^2 + \tfrac{1}{2}m\,v^2 = \tfrac{1}{2}k\,A^2\)\(k\) em N/m, \(m\) em kg, \(\omega\) em rad/s e \(f = 1/T\) em hertz. Supomos uma mola ideal, sem massa e obedecendo à lei de Hooke, e nenhum atrito. Numa mola de verdade a amplitude tende a diminuir aos poucos.

O período depende só da massa e da rigidez da mola, \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\). Uma massa maior demora mais para ser acelerada e uma mola mais dura puxa com mais força. A amplitude não aparece na fórmula, porque o bloco solto mais longe também anda mais depressa e leva o mesmo tempo para voltar.

Durante o vaivém, a energia troca de forma. Nos extremos o bloco para por um instante e a mola guarda toda a energia, \(\tfrac{1}{2}k\,A^2\), e no centro a mola está relaxada e a energia é toda cinética. Sem atrito, a soma das duas fica constante.

Para conversar

Solte o bloco e compare a sombra do ponto que gira no círculo com o próprio bloco. Em que momento do giro o bloco passa pelo centro com a maior velocidade?
Quadruplique a massa sem mexer na mola. O período dobra, como a raiz da fórmula sugere?
Mude só a amplitude e acompanhe o período pelo gráfico. Nossa intuição tende a dizer que um balanço maior demora mais, e o período parece mudar?
Pause quando a barra de energia cinética estiver no máximo e veja onde está o bloco. E onde ele está quando a energia da mola é máxima?

Massa do bloco

Constante da mola k

Amplitude A

Pulsação ω

Período T

Frequência f

Posição x

Velocidade v

Energia total

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um bloco de 0,5 kg está preso a uma mola de constante \(k = 50\ \text{N/m}\) e oscila sobre uma mesa sem atrito. Qual é a pulsação \(\omega\), e qual é o período? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

Ver resolução
A pulsação depende só da massa e da mola, \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}5}}\) \(= \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}\).
O período é o tempo de uma volta completa do ponto que gira no círculo de referência, \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).
\(T = \dfrac{2 \cdot 3{,}14}{10} \approx 0{,}63\ \text{s}\)
básico
A posição de um corpo em MHS é dada, no SI, por \(x(t) = 0{,}2\cos(4t)\). Quais são a amplitude, a pulsação, o período e a frequência? Use \(\pi \approx 3\).

Ver resolução
Comparando com \(x = A\cos(\omega t + \varphi_0)\), lemos \(A = 0{,}2\ \text{m}\) e \(\omega = 4\ \text{rad/s}\), com \(\varphi_0 = 0\).
O período é \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2 \cdot 3}{4}\) \(= 1{,}5\ \text{s}\).
\(A = 0{,}2\ \text{m}\), \(\omega = 4\ \text{rad/s}\), \(T = 1{,}5\ \text{s}\) e \(f = \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}67\ \text{Hz}\).
básico
Num MHS, em que pontos do vaivém a velocidade é máxima, e em que pontos a aceleração é máxima?

Ver resolução
Nos extremos o corpo para por um instante para voltar, e a mola está mais esticada ou mais comprimida, com a maior força, \(|F| = k\,A\).
No centro a mola está relaxada, a força é nula e o corpo passa com toda a energia na forma cinética.
A velocidade é máxima no centro, \(v_{\text{máx}} = \omega A\), e a aceleração é máxima nos extremos, \(a_{\text{máx}} = \omega^2 A\).
básico
Um bloco preso a uma mola faz 20 oscilações completas em 10 s. Qual é o período, e qual é a frequência?

Ver resolução
O período é o tempo de uma oscilação, \(T = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\ \text{s}\).
\(T = 0{,}5\ \text{s}\) e \(f = \dfrac{1}{T} = 2\ \text{Hz}\)
médio
Um bloco de 0,2 kg oscila numa mola de 20 N/m. Trocamos o bloco por outro de 0,8 kg, na mesma mola. Quantas vezes o período aumenta? Use \(\pi \approx 3{,}14\) e calcule os dois períodos.

Ver resolução
Com o primeiro bloco, \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{20}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63\ \text{s}\).
Com o segundo, \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}8}{20}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}2 \approx 1{,}26\ \text{s}\).
O período dobra, porque a massa ficou 4 vezes maior e \(\sqrt{4} = 2\).
médio
Um bloco de 0,5 kg, preso a uma mola de 200 N/m, é puxado 10 cm e solto. Desprezando o atrito, qual é a energia mecânica do sistema, e qual é a velocidade do bloco ao passar pelo centro?

Ver resolução
No extremo toda a energia está na mola, \(E = \dfrac{1}{2}k\,A^2\) \(= \dfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}1^2 = 1\ \text{J}\).
No centro ela é toda cinética, \(\dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot v^2 = 1\), e daí \(v^2 = 4\).
Conferindo por outro caminho, \(\omega = \sqrt{200/0{,}5} = 20\ \text{rad/s}\) e \(\omega A = 20 \cdot 0{,}1\) dão o mesmo valor.
\(E = 1\ \text{J}\) e \(v = 2\ \text{m/s}\)
médio
Um ponto gira em MCU num círculo de raio 5 cm, dando 2 voltas por segundo, e uma lanterna projeta a sua sombra numa parede. Que movimento a sombra faz, e com que amplitude, frequência e velocidade máxima? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

Ver resolução
Como vimos na aula de Movimento Circular, a projeção de um MCU sobre um diâmetro é um MHS com a mesma frequência e amplitude igual ao raio, \(A = 5\ \text{cm}\) e \(f = 2\ \text{Hz}\).
A pulsação é a velocidade angular do ponto, \(\omega = 2\pi f = 4\pi \approx 12{,}6\ \text{rad/s}\).
A sombra anda mais depressa quando o ponto passa pelo alto ou por baixo do círculo, e nessa hora tem a mesma velocidade do ponto.
MHS com \(A = 5\ \text{cm}\), \(f = 2\ \text{Hz}\) e \(v_{\text{máx}} = \omega A = 12{,}6 \cdot 0{,}05\) \(\approx 0{,}63\ \text{m/s}\)
médio
Num MHS de amplitude \(A\), que fração da energia mecânica é cinética quando o corpo passa por \(x = A/2\)?

Ver resolução
A energia elástica nesse ponto é \(\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{A}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2}k\,A^2\), um quarto da energia total.
Sem atrito, o que falta para completar a energia total está na forma cinética.
Três quartos, ou 75%, da energia são cinéticos em \(x = A/2\).
desafio
Penduramos um corpo de 0,4 kg numa mola vertical, e ela estica 10 cm até o equilíbrio. Depois puxamos o corpo um pouco para baixo e o soltamos. Qual é o período da oscilação? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e \(\pi \approx 3{,}14\).

Ver resolução
No equilíbrio, a força da mola iguala o peso, \(k \cdot 0{,}1 = 0{,}4 \cdot 10\), e então \(k = 40\ \text{N/m}\).
Na mola vertical o peso só muda a posição de equilíbrio, e em torno dela o corpo faz um MHS com o mesmo período da mola deitada.
\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{40}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63\ \text{s}\)
desafio
Um bloco de 1 kg, preso a uma mola de 100 N/m sobre uma mesa sem atrito, é solto a 20 cm do equilíbrio. Qual é a sua velocidade quando ele passa a 12 cm do equilíbrio?

Ver resolução
A energia total é a da mola no extremo, \(E = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}2^2 = 2\ \text{J}\).
A 12 cm, a mola guarda \(\dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}12^2 = 0{,}72\ \text{J}\), e o resto é cinético, \(2 - 0{,}72 = 1{,}28\ \text{J}\).
Daí \(\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2 = 1{,}28\), ou seja, \(v^2 = 2{,}56\).
\(v = 1{,}6\ \text{m/s}\)

PASSO 2

Um relógio feito de fio e peso

Um pêndulo simples é uma massa pequena presa a um fio leve, balançando em torno da vertical. Para ângulos pequenos, a parte do peso que puxa a massa de volta fica quase proporcional ao afastamento, e o balanço vira um MHS.

Daí sai \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\), que vale se supomos oscilações pequenas, de até uns 15°, fio sem massa e nenhuma resistência do ar. A massa não aparece, porque um corpo mais pesado sofre uma força maior e também é mais difícil de acelerar, na mesma proporção, como na queda livre.

A amplitude quase não importa. Conta-se que Galileu percebeu isso olhando um lustre balançar na catedral de Pisa, e foi essa propriedade que Huygens usou, em 1656, para construir o primeiro relógio de pêndulo. Para ângulos grandes o período cresce um pouco, cerca de 7% a 60°.

Podemos também usar a fórmula ao contrário. Medindo \(L\) e \(T\), calculamos \(g = 4\pi^2 L/T^2\), e um pêndulo bem cuidado pode medir a gravidade local com boa precisão.

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\)\(g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\)\(f = \dfrac{1}{T}\)Vale para pequenas oscilações, até uns 15°. Na simulação, a Terra tem o \(g\) medido, 9,8 m/s², a Lua 1,6 e Marte 3,7; nas contas usamos \(g = 10\ \text{m/s}^2\). A simulação resolve o movimento completo, sem a aproximação de ângulo pequeno, e desconsidera o ar.

Para conversar

Com 10° de amplitude, cronometre 10 oscilações e compare o período medido com o da fórmula.
Leve o mesmo pêndulo para a Lua. Quantas vezes ele parece ficar mais lento, e de onde podemos tirar esse número?
Aumente a amplitude até 70° e cronometre de novo. A diferença para a fórmula ainda parece desprezível?
Qual comprimento dá um período de 2 s na Terra? Procure com o controle e confira com a fórmula.

Comprimento L

Amplitude

T da fórmula

T exato

Cronômetro

T medido

g calculado

Ângulo agora

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é o período de um pêndulo simples de 2,5 m, oscilando com ângulo pequeno? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e \(\pi \approx 3{,}14\).

Ver resolução
Para oscilações pequenas, \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}5\).
\(T = \pi \approx 3{,}14\ \text{s}\)
básico
Num pêndulo de laboratório, trocamos a esfera de 100 g por outra de 500 g, do mesmo tamanho, sem mudar o fio. O que acontece com o período?

Ver resolução
A massa não aparece em \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\). Uma esfera mais pesada sofre uma força maior e é mais difícil de acelerar, na mesma proporção.
O período não muda.
básico
Um pêndulo completa 30 oscilações em 60 s. Qual é o período, e qual é a frequência?

Ver resolução
O período é o tempo de uma oscilação, \(T = \dfrac{60}{30} = 2\ \text{s}\).
\(T = 2\ \text{s}\) e \(f = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\ \text{Hz}\)
básico
Na Lua, a aceleração da gravidade é cerca de 6 vezes menor que na Terra. O mesmo pêndulo, levado para lá, oscila mais depressa ou mais devagar, e quantas vezes o período muda?

Ver resolução
Com \(g\) no denominador, dentro da raiz, um \(g\) seis vezes menor faz o período crescer \(\sqrt{6}\) vezes.
O pêndulo fica mais lento, com período cerca de \(\sqrt{6} \approx 2{,}4\) vezes maior.
médio
Que comprimento deve ter um pêndulo para que o seu período seja de 2 s? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e \(\pi^2 \approx 10\).

Ver resolução
Elevando \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) ao quadrado e isolando \(L\), temos \(L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2}\).
\(L = \dfrac{10 \cdot 2^2}{4 \cdot 10} = 1\ \text{m}\)
médio
Um pêndulo de 0,4 m é trocado por outro de 1,6 m. Calcule os dois períodos e diga quantas vezes o período aumentou. Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e \(\pi \approx 3{,}14\).

Ver resolução
Com 0,4 m, \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{10}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}2 \approx 1{,}26\ \text{s}\).
Com 1,6 m, \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}6}{10}}\) \(= 2\pi \cdot 0{,}4 \approx 2{,}51\ \text{s}\).
O período dobrou, porque o comprimento ficou 4 vezes maior.
médio
Joaquim mede um pêndulo de 0,90 m e cronometra 10 oscilações pequenas em 19,0 s. Que valor de \(g\) ele obtém? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

Ver resolução
O período é \(T = \dfrac{19{,}0}{10} = 1{,}90\ \text{s}\). Cronometrar várias oscilações e dividir reduz o peso do erro de reação no cronômetro.
Isolando \(g\) na fórmula do pêndulo, \(g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\).
\(g = \dfrac{4 \cdot 3{,}14^2 \cdot 0{,}90}{1{,}90^2}\) \(\approx 9{,}8\ \text{m/s}^2\)
médio
Num dia quente, a haste metálica de um relógio de pêndulo dilata um pouco. O relógio passa a adiantar ou a atrasar?

Ver resolução
Com a haste mais comprida, \(L\) aumenta e o período \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) também.
Cada balanço demora mais, e o relógio conta menos balanços do que deveria num mesmo intervalo de tempo.
O relógio atrasa.
desafio
Um relógio de pêndulo, regulado na Terra para um período de 2 s, é levado a um planeta onde o mesmo pêndulo passa a ter período de 3 s. Qual é a gravidade nesse planeta? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\) para a Terra.

Ver resolução
Com o mesmo \(L\), o período é inversamente proporcional a \(\sqrt{g}\), e então \(\dfrac{g_{\text{planeta}}}{g_{\text{Terra}}} = \left(\dfrac{T_{\text{Terra}}}{T_{\text{planeta}}}\right)^2\) \(= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\).
\(g_{\text{planeta}} = 10 \cdot \dfrac{4}{9} \approx 4{,}4\ \text{m/s}^2\)
desafio
Um pêndulo de 0,8 m é solto a partir de 60° com a vertical. Desprezando o ar, com que velocidade a massa passa pelo ponto mais baixo? Por que não podemos usar a fórmula do período de pequenas oscilações para esse balanço? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Ver resolução
A massa desce uma altura \(h = L - L\cos 60^\circ\) \(= 0{,}8 - 0{,}4 = 0{,}4\ \text{m}\).
Pela conservação da energia, \(v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}4} = \sqrt{8}\).
Com 60°, a força que traz a massa de volta deixa de ser proporcional ao ângulo, e o período real fica uns 7% maior que o da fórmula.
\(v \approx 2{,}8\ \text{m/s}\), e o ângulo é grande demais para a fórmula simples.

PASSO 3

A onda leva a energia e deixa a corda no lugar

Uma onda é uma perturbação que se propaga, transportando energia de um lugar para outro sem transportar a matéria do meio. Quando sacudimos a ponta de uma corda, cada pedaço dela só sobe e desce em torno do seu lugar, e quem viaja é a forma.

Na onda transversal, como a da corda, o meio vibra perpendicularmente à direção de propagação. Na onda longitudinal, como a de uma mola esticada que empurramos e puxamos pela ponta, ou a do som no ar, o meio vibra na mesma direção em que a onda anda, e se formam regiões comprimidas e regiões esticadas.

As ondas na corda e na água e o som são ondas mecânicas, que precisam de um meio material. A luz, as ondas de rádio e os raios X são eletromagnéticas e se propagam até no vácuo, onde andam todas a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\).

\(v = \lambda\,f\)\(v = \dfrac{\lambda}{T}\)\(f = \dfrac{1}{T}\)\(1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}\)Na simulação, a onda anda a 2 m/s tanto na corda quanto na mola, a régua está em metros e a outra ponta fica tão longe que nada volta. Mudar a frequência ou a amplitude da mão muda a onda a partir dali, e a mudança viaja junto com ela.

Numa onda periódica, a amplitude \(A\) é o maior afastamento do meio, o período \(T\) é o tempo de uma oscilação completa e a frequência \(f = 1/T\) conta as oscilações por segundo, em hertz. O comprimento de onda \(\lambda\) é a distância entre duas cristas vizinhas.

Em um período a onda avança um comprimento de onda, e daí vem a equação fundamental, \(v = \lambda\,f\). A velocidade depende do meio (da tração e da massa da corda, por exemplo), e quem decide a frequência é a fonte, que aqui é a mão.

Para conversar

Acompanhe a partícula vermelha. Nossa primeira intuição talvez diga que ela vai embora junto com a onda, e o que a simulação mostra?
Dobre a frequência da mão e meça o comprimento de onda na régua, pausando se for preciso. O que aconteceu com \(\lambda\), e com a velocidade?
Aumente só a amplitude. O comprimento de onda parece mudar?
Troque para a mola e procure as compressões. Em que direção se move o anel vermelho?

Frequência da mão

Amplitude

Frequência f

Período T

Comprimento λ

Velocidade v

Amplitude A

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma onda numa corda tem comprimento de onda de 0,5 m e frequência de 4 Hz. Qual é a sua velocidade?

Ver resolução
Em um período a onda avança um comprimento de onda.
\(v = \lambda\,f = 0{,}5 \cdot 4 = 2\ \text{m/s}\)
básico
Classifique como transversal ou longitudinal: a onda numa corda de violão, o som no ar, a luz e a "ola" de uma torcida no estádio.

Ver resolução
Na corda e na ola, o meio (a corda, as pessoas) se move perpendicularmente à direção em que a onda anda. No som, o ar vai e vem na mesma direção da propagação. A luz é uma onda eletromagnética transversal.
Corda, luz e ola são transversais; o som no ar é longitudinal.
básico
Uma rádio FM transmite em 100 MHz. Qual é o comprimento de onda dessa onda eletromagnética, que anda a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)?

Ver resolução
Isolando \(\lambda\) em \(v = \lambda\,f\), com \(100\ \text{MHz} = 10^8\ \text{Hz}\), temos
\(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^8} = 3\ \text{m}\)
básico
Nos filmes, as explosões no espaço costumam ter barulho. Por que, na realidade, os astronautas veriam a luz de uma explosão distante e não ouviriam nada?

Ver resolução
O som é uma onda mecânica e precisa de um meio material para se propagar, e o espaço entre as naves é quase vácuo.
A luz, eletromagnética, atravessa o vácuo; o som não.
médio
Uma boia no mar sobe e desce 10 vezes em 20 s, e a distância entre duas cristas vizinhas é de 3 m. Quais são o período, a frequência e a velocidade das ondas?

Ver resolução
O período é \(T = \dfrac{20}{10} = 2\ \text{s}\), e a frequência, \(f = 0{,}5\ \text{Hz}\).
A distância entre cristas é o comprimento de onda, \(\lambda = 3\ \text{m}\).
\(v = \lambda\,f = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{m/s}\)
médio
Numa corda em que as ondas andam a 6 m/s, Renata sacode a ponta com 3 Hz e depois com 6 Hz. Qual é o comprimento de onda em cada caso?

Ver resolução
A velocidade depende da corda, e não da mão, e continua 6 m/s nos dois casos.
Com 3 Hz, \(\lambda = \dfrac{6}{3} = 2\ \text{m}\).
Com 3 Hz, \(\lambda = 2\ \text{m}\); com 6 Hz, \(\lambda = \dfrac{6}{6} = 1\ \text{m}\).
médio
O ouvido humano percebe sons de 20 Hz a 20 000 Hz. Com o som a 340 m/s no ar, quais são o maior e o menor comprimento de onda audíveis?

Ver resolução
O maior comprimento de onda vem da menor frequência, \(\lambda = \dfrac{340}{20} = 17\ \text{m}\).
O menor vem da maior frequência, \(\lambda = \dfrac{340}{20\,000} = 0{,}017\ \text{m}\).
De 17 m a 1,7 cm.
médio
Um ponto de uma corda leva 0,2 s para ir de uma crista até o vale seguinte, e a distância horizontal entre essa crista e esse vale é de 30 cm. Qual é a velocidade da onda?

Ver resolução
De uma crista ao vale seguinte passa meio período, e então \(T = 0{,}4\ \text{s}\).
A distância entre crista e vale vizinhos é meio comprimento de onda, e então \(\lambda = 0{,}6\ \text{m}\).
\(v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}6}{0{,}4}\) \(= 1{,}5\ \text{m/s}\)
desafio
Durante uma tempestade, Fábio vê o relâmpago e ouve o trovão 3 s depois. A que distância caiu o raio? Por que podemos desprezar o tempo que a luz leva para chegar? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
A luz, a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\), cobre um quilômetro em uns 3 milionésimos de segundo, um tempo desprezível perto de 3 s.
O atraso é praticamente todo do som.
\(d = 340 \cdot 3 = 1020\ \text{m}\), cerca de 1 km.
desafio
Num terremoto, as ondas P (longitudinais) andam a 6 km/s nas rochas e as ondas S (transversais) a 3,5 km/s. Um sismógrafo registra a chegada das ondas S 20 s depois das ondas P. A que distância ocorreu o terremoto?

Ver resolução
As duas ondas percorrem a mesma distância \(d\), e a diferença entre os tempos é de 20 s, \(\dfrac{d}{3{,}5} - \dfrac{d}{6} = 20\).
Colocando \(d\) em evidência, \(d\left(\dfrac{1}{3{,}5} - \dfrac{1}{6}\right) = 20\), ou seja, \(d \cdot \dfrac{5}{42} = 20\).
\(d = 168\ \text{km}\)

PASSO 4

O que volta e o que passa

Quando uma onda chega ao fim de um meio, parte dela volta, e chamamos isso de reflexão. Com a ponta da corda presa numa parede, o pulso volta de cabeça para baixo, porque a ponta não pode subir e a parede puxa a corda para baixo ao segurá-la.

Se a ponta é livre, presa a um anel que desliza sem atrito numa haste, o pulso volta do mesmo lado em que chegou. Nos dois casos ele volta com a mesma velocidade e a mesma largura, já que continua no mesmo meio.

Quando uma corda fina está emendada numa corda grossa, sob a mesma tração, parte do pulso passa para a grossa e parte volta. A passagem para outro meio se chama refração, e na corda grossa, mais pesada por metro, a onda anda mais devagar.

\(f_1 = f_2\)\(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{v_1}{v_2}\)\(v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}\)\(F\) é a tração e \(\mu\) a massa por metro da corda. Na simulação, a corda grossa tem quatro vezes mais massa por metro que a fina, sob a mesma tração, e a onda anda nela com metade da velocidade, 1 m/s contra 2 m/s. Supomos cordas ideais, sem perda de energia, e a mão não devolve o que chega até ela.

A frequência não muda na refração, porque cada pedaço da corda grossa é sacudido pelo pedaço da fina que está ao lado dele, no mesmo ritmo. Como \(v = \lambda\,f\), com \(f\) igual o comprimento de onda muda na mesma proporção da velocidade.

Da fina para a grossa, a parte refletida volta invertida, como na parede, que funciona como uma corda pesadíssima. Da grossa para a fina, a refletida volta sem inverter, e a parte transmitida segue sem inverter nos dois casos.

Para conversar

Mande um pulso com a ponta presa e outro com a ponta livre. Em qual dos dois casos o pulso volta invertido?
Escolha a emenda da corda fina com a grossa e compare a largura do pulso transmitido com a do incidente. A diferença parece combinar com a velocidade em cada corda?
Ligue a onda contínua na emenda e meça os comprimentos de onda nas duas cordas. A razão entre eles lembra a razão entre as velocidades?
Inverta a emenda, da grossa para a fina. O que muda no pulso refletido, e no transmitido?

Frequência (onda contínua)

v na 1ª corda

v na 2ª corda

Frequência

λ na 1ª corda

λ na 2ª corda

Amplitude refletida

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um pulso para cima viaja numa corda até uma ponta presa numa parede. Como ele volta? E se a ponta estivesse presa a um anel que desliza sem atrito numa haste?

Ver resolução
Na ponta presa, a parede segura a corda e a puxa para baixo, e o pulso volta invertido.
Na ponta livre, o anel sobe com o pulso e o devolve do mesmo lado.
Ponta fixa, o pulso volta invertido; ponta livre, volta sem inverter.
básico
Uma onda de 5 Hz passa de uma corda em que anda a 10 m/s para outra em que anda a 5 m/s. Quais são a frequência e o comprimento de onda na segunda corda?

Ver resolução
Na refração a frequência não muda, e na segunda corda ela continua 5 Hz.
\(f = 5\ \text{Hz}\) e \(\lambda_2 = \dfrac{5}{5} = 1\ \text{m}\) (na primeira corda era 2 m).
básico
Quando uma onda passa de um meio para outro, quais destas grandezas mudam: a frequência, a velocidade e o comprimento de onda?

Ver resolução
A frequência é imposta pela fonte, e cada pedaço do novo meio é sacudido no ritmo do pedaço vizinho do meio anterior. A velocidade depende do meio, e \(\lambda = v/f\) acompanha a velocidade.
Mudam a velocidade e o comprimento de onda; a frequência fica a mesma.
básico
Uma corda de 8 m tem a ponta presa numa parede, e as ondas andam nela a 4 m/s. Quanto tempo um pulso leva para ir da mão até a parede e voltar?

Ver resolução
O pulso percorre a corda duas vezes, 16 m ao todo.
\(t = \dfrac{16}{4} = 4\ \text{s}\)
médio
Uma corda com massa de 0,01 kg por metro está sob tração de 100 N. Qual é a velocidade das ondas nela? E numa corda de 0,04 kg por metro, com a mesma tração?

Ver resolução
A velocidade numa corda é \(v = \sqrt{F/\mu}\), e na primeira \(v = \sqrt{\dfrac{100}{0{,}01}}\) \(= \sqrt{10\,000} = 100\ \text{m/s}\).
Na corda mais pesada, \(v = \sqrt{\dfrac{100}{0{,}04}}\) \(= \sqrt{2500} = 50\ \text{m/s}\), metade da anterior.
médio
Numa cuba de ondas, ondas de comprimento 2 cm andam a 0,4 m/s na parte funda. Na parte rasa, a velocidade cai para 0,2 m/s. Qual é a frequência, e qual é o comprimento de onda na parte rasa?

Ver resolução
Na parte funda, \(f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{0{,}4}{0{,}02}\) \(= 20\ \text{Hz}\), e essa frequência não muda na passagem.
\(f = 20\ \text{Hz}\) e \(\lambda = \dfrac{0{,}2}{20} = 0{,}01\ \text{m} = 1\ \text{cm}\)
médio
Uma luz vermelha tem comprimento de onda de 700 nm no ar, onde anda a \(3{,}0 \cdot 10^8\ \text{m/s}\). Na água, ela anda a \(2{,}25 \cdot 10^8\ \text{m/s}\). Qual é a sua frequência, e qual é o comprimento de onda na água?

Ver resolução
No ar, \(f = \dfrac{3{,}0 \cdot 10^8}{700 \cdot 10^{-9}}\) \(\approx 4{,}3 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\), e a mesma frequência vale na água.
O comprimento de onda cai na mesma proporção da velocidade, \(\lambda_{\text{água}} = 700 \cdot \dfrac{2{,}25}{3{,}0}\).
\(f \approx 4{,}3 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}\) e \(\lambda_{\text{água}} = 525\ \text{nm}\)
médio
Um pulso para cima passa de uma corda fina para uma corda grossa, sob a mesma tração. Como ficam o pulso refletido e o pulso transmitido? E se o pulso fosse da grossa para a fina?

Ver resolução
Da fina para a grossa, a corda grossa, mais pesada, faz o papel de uma parede imperfeita, e a parte refletida volta invertida. A transmitida segue para cima, mais lenta e mais estreita.
Da grossa para a fina, a fina se comporta como uma ponta quase livre, e a refletida volta sem inverter.
Fina para grossa, refletido invertido; grossa para fina, refletido sem inverter. O transmitido nunca inverte.
desafio
Uma corda fina está emendada numa corda com 4 vezes mais massa por metro, sob a mesma tração. Uma onda de 10 Hz tem comprimento de 0,8 m na corda fina. Quais são as velocidades nas duas cordas, e qual é o comprimento de onda na corda grossa?

Ver resolução
Na corda fina, \(v_1 = \lambda_1 f = 0{,}8 \cdot 10 = 8\ \text{m/s}\).
Como \(v = \sqrt{F/\mu}\), com \(\mu\) quatro vezes maior a velocidade fica dividida por \(\sqrt{4} = 2\), e \(v_2 = 4\ \text{m/s}\).
\(v_1 = 8\ \text{m/s}\), \(v_2 = 4\ \text{m/s}\) e \(\lambda_2 = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\ \text{m}\)
desafio
Numa corda de 6 m com a ponta presa, as ondas andam a 3 m/s. Leonor manda um pulso para cima em \(t = 0\) e outro pulso igual, também para cima, em \(t = 1\ \text{s}\). Quando e onde o segundo pulso encontra o primeiro, já refletido? O que se vê no encontro?

Ver resolução
O primeiro pulso chega à parede em \(t = 2\ \text{s}\) e volta invertido, na posição \(x = 6 - 3(t - 2)\). O segundo está em \(x = 3(t - 1)\).
No encontro, \(6 - 3(t - 2) = 3(t - 1)\), e daí \(6t = 15\), ou seja, \(t = 2{,}5\ \text{s}\), em \(x = 3 \cdot 1{,}5\).
Um pulso para cima encontra outro igual, para baixo, e por um instante as formas se anulam.
Em \(t = 2{,}5\ \text{s}\), a 4,5 m da mão, a corda fica reta por um instante.

PASSO 5

Quando duas ondas se encontram

Duas ondas podem ocupar o mesmo lugar ao mesmo tempo. Onde elas se encontram, o deslocamento do meio é a soma dos deslocamentos que cada uma produziria sozinha, e depois do encontro cada onda segue como se a outra não existisse. É o princípio da superposição.

Se uma crista encontra outra crista, a soma dá uma crista maior, e dizemos que a interferência é construtiva. Se uma crista encontra um vale de mesma amplitude, os dois se anulam, e a interferência é destrutiva.

Com duas fontes iguais, em fase, batendo na água, quem decide o que acontece num ponto é a diferença entre as distâncias até as fontes. Quando ela vale um número inteiro de comprimentos de onda, as ondas chegam em fase e se reforçam, e quando vale um número ímpar de meios comprimentos de onda, chegam em oposição e se cancelam.

\(\Delta r = n\,\lambda\) (construtiva)\(\Delta r = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda\) (destrutiva)\(n = 0, 1, 2, \dots\)\(\Delta r = |r_1 - r_2|\) é a diferença entre as distâncias do ponto às duas fontes. As regras valem para fontes em fase; com as fontes em oposição de fase, elas trocam de lugar. A simulação soma as duas ondas em cada ponto e, para rodar bem também no celular, calcula a cuba numa grade mais grossa e amplia a imagem.

Os pontos de cancelamento formam linhas de água quase parada, que podemos ver na cuba, que se abrem a partir das fontes como franjas. Quanto mais afastadas as fontes, ou menor o comprimento de onda, mais linhas vemos aparecer, e elas tendem a ficar mais juntas.

Os fones com cancelamento de ruído usam a interferência destrutiva. Um microfone capta o ruído de fora, e o circuito emite pelo alto-falante uma onda de mesma forma e fase oposta, que tende a anular o ruído, sobretudo os sons graves e constantes, como o do motor de um avião.

Para conversar

Arraste a sonda até uma linha de água parada e leia \(\Delta r/\lambda\). O número fica perto de 0,5, 1,5 ou 2,5?
Afaste as fontes. As franjas ficam mais juntas ou mais separadas, e quantas linhas de cancelamento você conta?
Diminua o comprimento de onda e conte de novo as linhas de cancelamento.
Ponha as fontes em oposição de fase e olhe a linha do meio, à mesma distância das duas. O que acontece com ela, e que relação isso tem com o fone?

Distância entre as fontes

Comprimento de onda λ

Distância r₁

Distância r₂

Δr

Δr / λ

Interferência

Amplitude na sonda

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Dois pulsos numa corda, um de 3 cm e outro de 2 cm de altura, se encontram. Qual é a altura máxima no encontro se os dois estão do mesmo lado? E se estão em lados opostos?

Ver resolução
Pelo princípio da superposição, os deslocamentos se somam, com sinal.
Do mesmo lado, \(3 + 2 = 5\ \text{cm}\); em lados opostos, \(3 - 2 = 1\ \text{cm}\), do lado do pulso maior.
básico
Depois que dois pulsos se cruzam numa corda, eles saem do encontro diferentes de como entraram?

Ver resolução
A superposição só vale enquanto os pulsos ocupam o mesmo lugar. Depois do encontro, cada um segue como se o outro não tivesse existido.
Não, cada pulso sai com a mesma forma e a mesma velocidade.
básico
Duas fontes em fase produzem ondas de 2 cm de comprimento numa cuba. Num ponto P, a diferença entre as distâncias às duas fontes é de 6 cm. A interferência em P é construtiva ou destrutiva?

Ver resolução
Medimos a diferença de caminho em comprimentos de onda, \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{6}{2} = 3\), um número inteiro.
As ondas chegam em fase, e a interferência é construtiva.
básico
Com as mesmas fontes do exercício anterior (\(\lambda = 2\ \text{cm}\), em fase), num ponto Q a diferença de caminho é de 5 cm. O que acontece em Q?

Ver resolução
Agora \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\), um número inteiro de comprimentos de onda mais meio.
As ondas chegam em oposição, e a interferência é destrutiva.
médio
Duas fontes em fase geram ondas de 4 cm de comprimento na água. Um ponto P está a 20 cm de uma fonte e a 26 cm da outra. A água em P fica agitada ou quase parada?

Ver resolução
A diferença de caminho é \(\Delta r = 26 - 20 = 6\ \text{cm}\), e \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\).
Com 1,5 comprimento de onda de diferença, a interferência é destrutiva e a água em P fica quase parada.
médio
Um fone com cancelamento de ruído precisa anular um zumbido de 170 Hz. Com que atraso, em relação ao zumbido, o fone deve emitir uma onda idêntica para que as duas se cancelem? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
Para anular o zumbido, a onda do fone deve estar em oposição de fase, atrasada de meio período, \(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2f}\).
Isso equivale a meio comprimento de onda de diferença de caminho, \(\dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{340}{2 \cdot 170} = 1\ \text{m}\).
\(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot 170} \approx 0{,}0029\ \text{s}\), cerca de 2,9 ms.
médio
Dois alto-falantes em fase tocam a mesma nota de 340 Hz. Gabriel está a 3,0 m de um e a 3,5 m do outro. Ele ouve um som forte ou fraco? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
O comprimento de onda é \(\lambda = \dfrac{340}{340} = 1\ \text{m}\), e a diferença de caminho é \(\Delta r = 0{,}5\ \text{m}\), meio comprimento de onda.
A interferência é destrutiva, e Gabriel ouve um som bem fraco nesse ponto.
médio
Na interferência destrutiva, duas ondas se cancelam num ponto. Isso quer dizer que a energia das duas ondas desapareceu?

Ver resolução
A energia se conserva. Ela fica redistribuída no espaço, e o que falta nas linhas de cancelamento aparece a mais nas regiões de interferência construtiva, onde a amplitude dobra e a intensidade fica até quatro vezes maior.
Não, a energia é redistribuída entre as regiões de reforço e de cancelamento.
desafio
Duas fontes em fase, a 4 cm uma da outra, produzem ondas de 1,5 cm de comprimento numa cuba. Quantas linhas de cancelamento (linhas nodais) cortam o segmento que liga as duas fontes?

Ver resolução
Sobre o segmento, a diferença de caminho \(\Delta r\) vai de \(-4\ \text{cm}\) a \(+4\ \text{cm}\).
Há cancelamento onde \(|\Delta r| = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda\), ou seja, \(|\Delta r| = 0{,}75\), \(2{,}25\) e \(3{,}75\ \text{cm}\), todos menores que 4 cm. O próximo, 5,25 cm, já não cabe.
São 3 valores de cada lado da mediatriz, e portanto 6 linhas nodais.
desafio
Duas fontes numa cuba vibram em oposição de fase, com \(\lambda = 2\ \text{cm}\). Num ponto P, a 10 cm de uma fonte e a 13 cm da outra, a interferência é construtiva ou destrutiva? E nos pontos da mediatriz?

Ver resolução
Com fontes em oposição, as regras se trocam, porque as ondas já saem defasadas de meio período.
Em P, \(\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\), e o meio comprimento de onda extra compensa a defasagem das fontes.
Em P a interferência é construtiva, e na mediatriz, com \(\Delta r = 0\), é destrutiva.

PASSO 6

A corda do violão e as ondas que não andam

Numa corda presa nas duas pontas, as ondas vão e voltam, refletindo nas pontas, e se superpõem. Em certas frequências a soma forma um padrão que não anda, com pontos parados, os nós, e pontos que oscilam com a maior amplitude, os ventres, e chamamos esse padrão de onda estacionária.

As pontas presas têm de ser nós, e por isso só cabem na corda números inteiros de meios comprimentos de onda, \(L = n\,\lambda/2\). Cada valor de \(n\) dá um harmônico, com frequência \(f_n = n\,v/(2L)\), e o primeiro, o mais grave, se chama fundamental.

No violão, a velocidade da onda depende da tração e da massa por metro da corda. Para afinar, apertamos a tarraxa, e a tração e a velocidade sobem junto com a nota. Ao pressionar a corda contra um traste, encurtamos o pedaço que vibra e a frequência também sobe, e as cordas mais graves são as mais grossas.

\(L = n\,\dfrac{\lambda_n}{2}\)\(f_n = n\,\dfrac{v}{2L}\)\(f_n = n\,f_1\)\(v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}\)\(n = 1, 2, 3, \dots\) O harmônico \(n\) tem \(n\) ventres e \(n + 1\) nós, contando as pontas. Na simulação a corda tem \(\mu = 1{,}0\ \text{g/m}\), e o movimento aparece em câmera lenta. Com o vibrador ligado, vemos a vibração que se estabelece depois de um tempo numa corda com um pouco de amortecimento.

Quando sacudimos um corpo numa frequência igual a uma das suas frequências naturais, cada empurrão chega no momento certo e a amplitude cresce a cada ciclo. Esse fenômeno se chama ressonância, e é por ele que uma cantora pode, em princípio, quebrar uma taça de cristal sustentando a nota certa com bastante intensidade.

A ponte de Tacoma Narrows, nos Estados Unidos, que caiu em 1940 sob vento forte, costuma aparecer como exemplo de ressonância. Os estudos de engenharia indicam um mecanismo mais complicado, em que o próprio movimento da ponte alterava o vento em volta e alimentava a oscilação (o drapejamento, ou flutter), e talvez seja melhor tratá-la como um parente da ressonância simples.

Para conversar

Passe pelos harmônicos de 1 a 6 e conte os nós e os ventres em cada um. Que regra liga esses números a \(n\)?
Aperte a tarraxa até a tração ficar quatro vezes maior. O que acontece com a frequência fundamental?
Encurte a corda à metade, como ao pressionar o traste do meio no violão, e compare a nova nota com a anterior.
Ligue o vibrador e varra a frequência devagar. Em que frequências a corda parece ganhar vida, e como elas se comparam com \(f_1\)?

Comprimento L

Tração F

Frequência do vibrador

Velocidade v

Fundamental f₁

Frequência

Comprimento λ

Nós

Ventres

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma corda de 0,6 m, presa nas duas pontas, vibra no modo fundamental. Qual é o comprimento de onda?

Ver resolução
No fundamental cabe meio comprimento de onda entre as pontas, \(L = \dfrac{\lambda}{2}\).
\(\lambda = 2L = 1{,}2\ \text{m}\)
básico
A frequência fundamental de uma corda é 100 Hz. Quais são as frequências do segundo e do terceiro harmônicos?

Ver resolução
Numa corda presa nas duas pontas, \(f_n = n\,f_1\).
\(f_2 = 200\ \text{Hz}\) e \(f_3 = 300\ \text{Hz}\)
básico
Quantos nós (contando as pontas) e quantos ventres tem uma corda vibrando no 4º harmônico?

Ver resolução
No harmônico \(n\) cabem \(n\) meios comprimentos de onda, cada um com um ventre no meio e nós nas pontas.
Com \(n = 4\), são 4 ventres e 5 nós.
básico
Por que uma cantora pode quebrar uma taça de cristal com a voz, mas só se acertar uma nota específica?

Ver resolução
A taça tem frequências naturais de vibração. Quando a voz sustenta uma delas, cada empurrão chega no momento certo e a amplitude cresce a cada ciclo, o que chamamos de ressonância.
Só a nota igual a uma frequência natural da taça entra em ressonância com ela.
médio
A parte que vibra de uma corda de violão tem 0,65 m, e as ondas andam nela a 286 m/s. Qual é a frequência fundamental?

Ver resolução
No fundamental, \(\lambda = 2L = 1{,}3\ \text{m}\).
\(f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{286}{1{,}3}\) \(= 220\ \text{Hz}\)
médio
Ao afinar uma corda que soava em 110 Hz, Tiago aperta a tarraxa até a tração ficar 4 vezes maior. Qual é a nova frequência fundamental?

Ver resolução
Como \(v = \sqrt{F/\mu}\), com a tração 4 vezes maior a velocidade dobra. O comprimento não mudou, e \(f_1 = v/(2L)\) dobra também.
\(f_1 = 220\ \text{Hz}\), uma oitava acima.
médio
Uma corda solta de 0,64 m toca 330 Hz. Apertando-a no 12º traste, a parte que vibra cai à metade. Qual é a nova frequência?

Ver resolução
A velocidade, que depende da tração e da corda, não muda. Com \(L\) à metade, \(f_1 = v/(2L)\) dobra.
\(f = 660\ \text{Hz}\), também uma oitava acima.
médio
Uma corda de 1,5 m, presa nas duas pontas, vibra com 3 ventres numa frequência de 60 Hz. Qual é o comprimento de onda, e qual é a velocidade das ondas na corda?

Ver resolução
Com 3 ventres, cabem 3 meios comprimentos de onda, \(1{,}5 = 3 \cdot \dfrac{\lambda}{2}\), e então \(\lambda = 1\ \text{m}\).
\(\lambda = 1\ \text{m}\) e \(v = \lambda\,f = 1 \cdot 60 = 60\ \text{m/s}\)
desafio
Uma corda de 0,5 m, com massa de 0,005 kg por metro, está sob tração de 200 N. Quais são as frequências do fundamental e do segundo harmônico?

Ver resolução
A velocidade é \(v = \sqrt{\dfrac{200}{0{,}005}}\) \(= \sqrt{40\,000} = 200\ \text{m/s}\).
O fundamental é \(f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{200}{1{,}0}\) \(= 200\ \text{Hz}\).
\(f_1 = 200\ \text{Hz}\) e \(f_2 = 400\ \text{Hz}\)
desafio
Num forno de micro-ondas sem o prato giratório, Helena aquece uma travessa coberta de queijo e vê que ele derrete em pontos separados por 6,1 cm. O forno trabalha em 2,45 GHz. Que velocidade das ondas ela pode estimar, supondo que os pontos derretidos são ventres vizinhos de uma onda estacionária?

Ver resolução
Ventres vizinhos estão separados por meio comprimento de onda, e então \(\lambda = 2 \cdot 6{,}1 = 12{,}2\ \text{cm}\).
Com \(2{,}45\ \text{GHz} = 2{,}45 \cdot 10^9\ \text{Hz}\), \(v = \lambda\,f = 0{,}122 \cdot 2{,}45 \cdot 10^9\).
\(v \approx 3{,}0 \cdot 10^8\ \text{m/s}\), a velocidade da luz, como esperamos de uma onda eletromagnética.

PASSO 7

O som é uma onda de pressão

O som é uma onda mecânica longitudinal. O alto-falante empurra e puxa o ar à sua frente, formando camadas um pouco comprimidas e um pouco rarefeitas que se propagam, com a pressão oscilando em torno da atmosférica. No ar, a uns 20 °C, o som anda a cerca de 340 m/s, e na água e nos sólidos costuma andar bem mais depressa. No vácuo não há som.

Ouvimos frequências entre uns 20 Hz e 20 000 Hz, e abaixo dessa faixa fica o infrassom e acima, o ultrassom, que os morcegos usam para se orientar e que os aparelhos de ultrassonografia transformam em imagem. A altura de um som é a sua frequência, e na física um som alto é um som agudo, enquanto no dia a dia "alto" costuma querer dizer forte.

A intensidade mede a energia que a onda leva, por segundo, através de cada metro quadrado. O ouvido percebe uma faixa enorme, do limiar de audição, \(10^{-12}\ \text{W/m}^2\), até perto de \(1\ \text{W/m}^2\), onde o som começa a doer, e por isso usamos uma escala logarítmica, o nível sonoro em decibéis, em que cada 10 dB a mais multiplicam a intensidade por 10.

\(\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)\(I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2\)\(f^{\prime} = f\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_f}\)\(v_{\text{som}} \approx 340\ \text{m/s}\)\(\Delta t_{\text{eco}} = \dfrac{2d}{v}\)No Doppler, usamos os sinais de cima quando o observador e a fonte vão um em direção ao outro (\(+v_o\) e \(-v_f\)) e os de baixo quando vão um para longe do outro. Na simulação o ar está parado, o tempo corre em câmera lenta e desenhamos só uma frente de onda a cada 0,1 s.

O timbre distingue a mesma nota tocada num violão e numa flauta, que produzem a mesma frequência fundamental misturada a harmônicos em proporções diferentes. O eco é o som refletido num obstáculo, e para o ouvirmos separado do som original o obstáculo precisa estar a uns 17 m ou mais.

Quando uma ambulância se aproxima, a sirene soa mais aguda, e quando se afasta, mais grave. Esse é o efeito Doppler. A fonte em movimento vai alcançando as frentes de onda que ela mesma emitiu, que ficam mais juntas à frente e mais espaçadas atrás, e um observador que corre em direção à fonte encontra mais frentes por segundo.

Para conversar

Ponha a ambulância a 30 m/s e compare o espaçamento das frentes à frente e atrás dela. Confira a frequência ouvida com a fórmula.
Troque o observador de lado. A sirene soa mais aguda ou mais grave, e quanto muda?
Leve a fonte até perto de 340 m/s e depois um pouco acima. O que você imagina que vai acontecer com as frentes à frente dela? Confira em seguida.
Pare a ambulância e ponha o observador correndo em direção a ela. A frequência ouvida muda, mesmo com a fonte parada?

Frequência da sirene

Velocidade da fonte

Velocidade do observador (em direção à fonte)

f emitida

f ouvida

λ à frente

λ atrás

Fonte em km/h

v_fonte / v_som

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Diante de um paredão, Caio grita e ouve o eco 2 s depois. A que distância está o paredão? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
O som vai até o paredão e volta, e percorre o dobro da distância, \(2d = 340 \cdot 2 = 680\ \text{m}\).
\(d = 340\ \text{m}\)
básico
Uma flauta e um violino tocam a mesma nota, com a mesma intensidade. Que qualidade do som nos permite distinguir os dois instrumentos?

Ver resolução
A mesma nota quer dizer a mesma frequência fundamental, a mesma altura. Cada instrumento mistura harmônicos em proporções diferentes, e a forma da onda muda.
O timbre.
básico
Um aspirador produz 80 dB e uma conversa, 60 dB. Quantas vezes a intensidade sonora do aspirador é maior que a da conversa?

Ver resolução
Na escala de decibéis, cada 10 dB a mais multiplica a intensidade por 10. São 20 dB de diferença.
\(10 \cdot 10 = 100\) vezes.
básico
Uma ambulância passa por Sofia com a sirene ligada. Como Sofia ouve a sirene enquanto a ambulância se aproxima e depois que ela se afasta? A frequência emitida pela sirene muda?

Ver resolução
Pelo efeito Doppler, as frentes de onda chegam mais juntas enquanto a fonte se aproxima e mais espaçadas quando ela se afasta. A sirene continua emitindo a mesma frequência.
Mais aguda na aproximação e mais grave no afastamento; a frequência emitida não muda.
médio
Uma sirene de 680 Hz se aproxima de um observador parado a 20 m/s. Que frequência ele ouve? E depois que a fonte passa e se afasta com a mesma velocidade? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
Com a fonte se aproximando, usamos o sinal de cima, \(v - v_f\) no denominador, \(f^{\prime} = 680 \cdot \dfrac{340}{340 - 20}\) \(= 680 \cdot \dfrac{340}{320}\).
No afastamento, \(f^{\prime} = 680 \cdot \dfrac{340}{340 + 20}\) \(= 680 \cdot \dfrac{340}{360}\).
722,5 Hz na aproximação e cerca de 642 Hz no afastamento.
médio
Um alarme parado emite 500 Hz. Marcelo corre em direção a ele a 34 m/s, de bicicleta, ladeira abaixo. Que frequência ele ouve? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
O observador vai em direção à fonte e encontra mais frentes de onda por segundo, e usamos \(+v_o\) no numerador.
\(f^{\prime} = 500 \cdot \dfrac{340 + 34}{340}\) \(= 500 \cdot 1{,}1 = 550\ \text{Hz}\)
médio
Num show, a intensidade sonora perto da caixa de som chega a \(10^{-4}\ \text{W/m}^2\). Qual é o nível sonoro, em decibéis? O limiar de audição é \(I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2\).

Ver resolução
O nível sonoro é \(\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}\) \(= 10\log\dfrac{10^{-4}}{10^{-12}}\) \(= 10\log 10^{8}\).
\(\beta = 10 \cdot 8 = 80\ \text{dB}\)
médio
O sonar de um barco emite um pulso de ultrassom para o fundo do mar e recebe o eco 0,8 s depois. Qual é a profundidade, se o som anda a 1500 m/s na água?

Ver resolução
O pulso vai até o fundo e volta, e então \(2d = 1500 \cdot 0{,}8 = 1200\ \text{m}\).
\(d = 600\ \text{m}\)
desafio
Um carro a 20 m/s e uma ambulância a 20 m/s, com sirene de 700 Hz, andam numa estrada reta um em direção ao outro. Que frequência ouve a motorista do carro? E depois que os dois se cruzam e se afastam? Use 340 m/s para o som.

Ver resolução
Na aproximação, os dois sinais aumentam a frequência, \(f^{\prime} = 700 \cdot \dfrac{340 + 20}{340 - 20}\) \(= 700 \cdot \dfrac{360}{320} = 787{,}5\ \text{Hz}\).
No afastamento, os dois diminuem, \(f^{\prime} = 700 \cdot \dfrac{340 - 20}{340 + 20}\) \(= 700 \cdot \dfrac{320}{360}\).
Cerca de 788 Hz antes do cruzamento e de 622 Hz depois.
desafio
A 2 m de uma caixa de som, um medidor marca 80 dB. Supondo que o som se espalha igualmente em todas as direções, sem ser absorvido nem refletido, quanto o medidor marcaria a 20 m?

Ver resolução
A potência se espalha numa esfera de área \(4\pi r^2\), e a intensidade cai com \(1/r^2\). A 10 vezes a distância, a intensidade fica \(10^2 = 100\) vezes menor.
Dividir a intensidade por 100 tira \(10\log 100 = 20\ \text{dB}\) do nível sonoro.
\(80 - 20 = 60\ \text{dB}\)

FECHAMENTO

Desafios

Massa-mola

Um bloco de 2 kg oscila preso a uma mola de 200 N/m, com amplitude de 5 cm. Qual é o período, e qual é a maior velocidade do bloco? (\(\pi \approx 3{,}14\))

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A pulsação é \(\omega = \sqrt{\dfrac{200}{2}} = 10\ \text{rad/s}\), e o período, \(T = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}63\ \text{s}\).
A maior velocidade é \(v_{\text{máx}} = \omega A = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5\ \text{m/s}\), no centro.

Pêndulo

Qual deve ser o comprimento de um pêndulo para que ele dê um balanço completo por segundo? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(\pi^2 \approx 10\))

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Com \(T = 1\ \text{s}\), \(L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{10 \cdot 1}{40}\) \(= 0{,}25\ \text{m}\), ou 25 cm.

v = λ·f

Uma rádio AM transmite em 1000 kHz. Qual é o comprimento das suas ondas, que andam a \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)?

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Com \(f = 10^6\ \text{Hz}\), \(\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^6} = 300\ \text{m}\), quase três campos de futebol.

Refração

Uma onda de 6 Hz passa de uma corda em que anda a 12 m/s para outra em que anda a 4 m/s. Quais são os comprimentos de onda nas duas cordas?

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A frequência não muda na passagem. Na primeira corda, \(\lambda_1 = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}\).
Na segunda, \(\lambda_2 = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}67\ \text{m}\), três vezes menor, como a velocidade.

Interferência

Dois alto-falantes em fase tocam 680 Hz. Lívia está a 4,00 m de um e a 4,25 m do outro. Ela ouve o som reforçado ou enfraquecido? (som a 340 m/s)

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O comprimento de onda é \(\lambda = \dfrac{340}{680} = 0{,}5\ \text{m}\), e a diferença de caminho, \(\Delta r = 0{,}25\ \text{m}\), meio comprimento de onda.
A interferência é destrutiva, e o som fica bem mais fraco nesse ponto.

Ondas estacionárias

Uma corda de 0,8 m, presa nas duas pontas, vibra com 4 ventres a 500 Hz. Qual é a velocidade das ondas, e qual é a frequência fundamental?

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Com 4 ventres, \(0{,}8 = 4 \cdot \dfrac{\lambda}{2}\), e \(\lambda = 0{,}4\ \text{m}\). A velocidade é \(v = 0{,}4 \cdot 500 = 200\ \text{m/s}\).
Esse é o 4º harmônico, e \(f_1 = \dfrac{500}{4} = 125\ \text{Hz}\).

Efeito Doppler

Um trem se aproxima de uma estação a 34 m/s, apitando a 900 Hz. Que frequência ouve uma pessoa parada na plataforma? (som a 340 m/s)

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A fonte se aproxima, e usamos \(v - v_f\) no denominador, \(f^{\prime} = 900 \cdot \dfrac{340}{340 - 34}\) \(= 900 \cdot \dfrac{340}{306} = 1000\ \text{Hz}\).

Pensar, sem conta

Na Lua, uma astronauta bate com um martelo numa pedra, e o colega, a 10 m dela, não ouve nada. Se ele encostar o capacete na pedra, passa a ouvir?

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Sem ar não há meio para o som se propagar entre os dois, e o colega não ouve a batida.
Encostando o capacete na pedra, a vibração pode chegar pelo chão e pelo capacete, que são meios sólidos, e ele passa a ouvir alguma coisa.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Pêndulo simples · Passo 2
Rafael restaura relógios antigos e quer construir um relógio de parede cujo pêndulo leve 4 s para completar cada balanço de ida e volta. Antes de cortar a haste, ele mediu o período de pêndulos de vários comprimentos, com balanços pequenos em cada medida, e anotou os resultados na tabela.

Medidas de Rafael
Comprimento L (m) Período T (s)

0,25 1,0

0,50 1,4

1,00 2,0

2,25 3,0

Mantida a tendência da tabela, que comprimento deve ter o pêndulo do novo relógio?
1. 1,4 m
2. 2,0 m
3. 3,5 m
4. 4,0 m
5. 0,25 m
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Resposta: D.
A tabela mostra que, quando o comprimento fica 4 vezes maior (de 0,25 m para 1,00 m), o período só dobra, como esperamos de \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\), em que \(L\) aparece dentro da raiz.
Para dobrar de novo o período, de 2 s para 4 s, o comprimento tem de ficar outra vez 4 vezes maior, \(L = 4 \cdot 1{,}00 = 4{,}0\ \text{m}\).
Conferindo com \(g = 10\ \text{m/s}^2\) e \(\pi^2 \approx 10\), \(L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{10 \cdot 16}{40} = 4\ \text{m}\).
Quem supõe o período proporcional ao comprimento chega a 2,0 m, e quem prolonga a reta pelos dois últimos pontos da tabela chega a 3,5 m. O 1,4 m vem de trocar a raiz por um quadrado, e o 0,25 m, de achar que o pêndulo mais comprido balança mais depressa.
O que é uma onda · Passo 3
Nos exames de ultrassonografia, uma sonda encostada na pele emite pulsos de ultrassom e capta os ecos que voltam dos órgãos. Um aparelho comum trabalha com 5 MHz, e nos tecidos moles do corpo o som anda a cerca de 1540 m/s. Como regra prática, detalhes menores que um comprimento de onda tendem a não aparecer na imagem.

Qual é, aproximadamente, o comprimento de onda desse ultrassom nos tecidos moles?
1. 0,031 mm
2. 0,068 mm
3. 0,31 mm
4. 3,1 mm
5. \(7{,}7 \cdot 10^9\ \text{m}\)
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Resposta: C.
Isolando \(\lambda\) em \(v = \lambda\,f\), com \(5\ \text{MHz} = 5 \cdot 10^6\ \text{Hz}\), temos
\(\lambda = \dfrac{1540}{5 \cdot 10^6}\) \(\approx 3{,}1 \cdot 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}31\ \text{mm}\)
Por isso a ultrassonografia separa estruturas de alguns décimos de milímetro, e aparelhos de frequência mais alta mostram detalhes ainda menores.
As alternativas A e D erram a potência de dez na conversão para milímetros. A B usa a velocidade do som no ar, 340 m/s, que não vale dentro do corpo, e a E multiplica a velocidade pela frequência.
Interferência · Passo 5
Juliana viaja muito de avião e comprou um fone com cancelamento ativo de ruído. Um microfone no fone capta o ronco do motor, que dentro da cabine é dominado por um som grave de 200 Hz, e um circuito eletrônico faz o alto-falante emitir uma segunda onda sonora junto com a música. Vamos supor que o ronco seja um som puro, de frequência e amplitude constantes.

Para que o ronco praticamente desapareça no ouvido de Juliana, como deve ser a onda emitida pelo circuito?
1. Com a mesma frequência e em fase com o ronco, para que as duas ondas se somem.
2. Com a mesma frequência e a mesma amplitude do ronco, em oposição de fase, o que equivale a um atraso de 2,5 ms.
3. Com a mesma frequência e a mesma amplitude do ronco, atrasada de 5 ms.
4. Com o dobro da frequência do ronco, para que cada crista dele encontre um vale.
5. Com frequência de ultrassom, que o ouvido não percebe e que abafa o ronco.
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Resposta: B.
O cancelamento é uma interferência destrutiva, e para que crista encontre vale em todos os instantes as duas ondas precisam ter a mesma frequência, a mesma amplitude e fase oposta.
Fase oposta quer dizer meio período de atraso, \(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot 200}\) \(= 0{,}0025\ \text{s} = 2{,}5\ \text{ms}\)
A alternativa A descreve uma interferência construtiva, que dobraria o ronco. A C atrasa um período inteiro, e a onda volta a ficar em fase com o ronco. Com o dobro da frequência, como na D, as cristas só coincidem com vales de vez em quando, e um ultrassom, como na E, não interfere com o som audível de modo útil.
Fones de verdade cancelam melhor os sons graves e constantes, como esse ronco, do que vozes e ruídos que mudam depressa.
Ondas estacionárias · Passo 6
Num violão, a corda mais grave, o mi, tem 65 cm de parte vibrante entre a pestana e o cavalete e, solta, toca a nota de 82 Hz. Para tocar um lá de 110 Hz nessa mesma corda, Valéria pressiona a corda contra um traste, sem mudar a tração. Vamos supor que a corda vibre no modo fundamental.

Qual deve ser o comprimento da parte da corda que continua vibrando?
1. 48 cm
2. 87 cm
3. 36 cm
4. 65 cm
5. 17 cm
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Resposta: A.
Com a mesma tração e a mesma corda, a velocidade da onda não muda, e pela fórmula \(f_1 = \dfrac{v}{2L}\) a frequência é inversamente proporcional ao comprimento.
\(L^{\prime} = 65 \cdot \dfrac{82}{110}\) \(\approx 48\ \text{cm}\)
A alternativa B usa a razão invertida e alonga a corda, o que tornaria a nota mais grave. A C eleva a razão ao quadrado, como se a frequência dependesse do quadrado do comprimento, e a D esquece que pressionar o traste encurta a parte vibrante. Os 17 cm da E são a distância entre a pestana e o traste, e não o pedaço que vibra.
Som e efeito Doppler · Passo 7
Pedro espera para atravessar uma avenida quando um carro, a 20 m/s, buzina enquanto se aproxima e continua buzinando depois de passar por ele. A buzina emite um som de 400 Hz, e o ar está parado. Vamos usar 340 m/s para a velocidade do som.

Quais frequências Pedro ouve enquanto o carro se aproxima e depois que ele se afasta, respectivamente?
1. 400 Hz e 400 Hz
2. 378 Hz e 425 Hz
3. 424 Hz e 376 Hz
4. 420 Hz e 380 Hz
5. 425 Hz e 378 Hz
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Resposta: E.
Quem se move é a fonte, e Pedro está parado. Na aproximação, a fonte alcança em parte as frentes que emitiu, e o denominador fica \(v - v_f\).
\(f_{\text{aprox}} = 400 \cdot \dfrac{340}{340 - 20}\) \(= 425\ \text{Hz}\)
\(f_{\text{afast}} = 400 \cdot \dfrac{340}{340 + 20}\) \(\approx 378\ \text{Hz}\)
A alternativa A ignora o efeito Doppler, e a B troca a aproximação pelo afastamento. A C usa a fórmula do observador em movimento, que dá valores parecidos e diferentes, e a D soma e subtrai a velocidade do carro diretamente na frequência.

Medidas de Rafael
Comprimento L (m)	Período T (s)
0,25	1,0
0,50	1,4
1,00	2,0
2,25	3,0

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2013, 1º dia, caderno azul, questão 65. A "ola" de uma torcida no estádio é tratada como uma onda progressiva, e com a velocidade da onda e a distância entre as pessoas calculamos a sua frequência.
ENEM 2015, 1º dia, caderno azul, questão 86. Uma flauta e um piano tocam a mesma nota, e a questão pergunta que característica do som nos deixa distinguir os dois instrumentos.
ENEM 2016, 1º dia, caderno azul, questão 49. Uma ambulância passa por um observador parado, e precisamos escolher o gráfico que mostra como a frequência ouvida muda ao longo do tempo.
ENEM 2016, 1º dia, caderno azul, questão 86. Num forno de micro-ondas sem o prato giratório, a manteiga derrete em pontos alinhados, e a questão pede para reconhecer esses pontos numa onda estacionária.
ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 112. No trombone de Quincke, o som se divide em dois caminhos e some na saída quando um deles fica mais comprido, e com a diferença de caminho chegamos à frequência da fonte.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Movimento harmônico simples\(x = A\cos(\omega t + \varphi_0)\)

Massa-mola\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)

Pêndulo (ângulo pequeno)\(T = 2\pi\sqrt{L/g}\)

Energia e velocidade no MHS\(E = \tfrac{1}{2}k\,A^2\) · \(v_{\text{máx}} = \omega A\)

Frequência e pulsação\(f = 1/T\) · \(\omega = 2\pi f\)

Equação da onda\(v = \lambda\,f\)

Velocidade na corda\(v = \sqrt{F/\mu}\)

Refração\(f\) igual · \(\lambda_1/\lambda_2 = v_1/v_2\)

Interferência (fontes em fase)\(\Delta r = n\,\lambda\) · \(\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda\)

Corda presa nas pontas\(f_n = n\,v/(2L)\)

Nível sonoro\(\beta = 10\log(I/I_0)\)

Efeito Doppler\(f^{\prime} = f\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_f}\)