Física · Ensino Médio · Termodinâmica

Termodinâmica

O motor que move o carro, a usina que abastece a cidade e a geladeira que mantém o leite frio trocam energia com um gás, ora como calor, ora como trabalho. Partimos de onde a aula de Calor e Temperatura parou, nos gases ideais, para medir o trabalho de um gás e a sua energia interna, chegar à primeira lei, estudar as transformações e os ciclos das máquinas térmicas e terminar na segunda lei, que explica por que nenhum motor aproveita 100% do calor e por que a geladeira esquenta a cozinha.

1Trabalho de um gás
2Energia interna
3Primeira lei
4Transformações
5Ciclos e máquinas
6Segunda lei
7Refrigeradores
✓Desafios

PASSO 1

Quando um gás realiza trabalho?

Na aula de Calor e Temperatura vimos que as partículas de um gás batem nas paredes do recipiente e produzem pressão. Se trocamos uma dessas paredes por um pistão que desliza, o gás o empurra ao se expandir e realiza trabalho sobre ele, como uma força que desloca um corpo.

Com a pressão constante, a força no pistão é \(F = p\,A\), e o produto da área pelo deslocamento \(d\) é a variação de volume. Chegamos assim a \(\tau = p\,\Delta V\), que no gráfico \(p \times V\) é a área do retângulo sob a reta horizontal.

\(\tau = p\,\Delta V\)\(\tau = \text{área sob a curva } p \times V\)\(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\)A primeira fórmula vale a pressão constante. Com a pressão em kPa e o volume em litros, o produto sai direto em joules, porque \(10^3\ \text{Pa} \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 = 1\ \text{J}\). Na simulação, o cilindro tem cerca de 0,24 mol de gás ideal, com \(n\,R = 2\ \text{J/K}\) e \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\). Mudar a pressão com o pistão parado corresponde a trocar o peso e, ao mesmo tempo, aquecer ou esfriar o gás a volume constante.

Quando a pressão muda durante a transformação, dividimos o caminho em pedacinhos quase horizontais e somar as áreas. O trabalho passa a ser a área sob a curva no gráfico \(p \times V\), e por isso depende do caminho entre dois estados, além do começo e do fim.

O sinal nos diz quem empurra quem. Na expansão, \(\Delta V > 0\) e o gás realiza trabalho, \(\tau > 0\); na compressão, \(\Delta V < 0\), o gás recebe trabalho de fora e \(\tau < 0\). Com o volume fixo, o trabalho é nulo, por maior que seja a pressão.

Para conversar

Aqueça o gás a pressão constante até o volume chegar a 8 L e confira o \(\tau\) mostrado com \(p \cdot \Delta V\), lendo os valores no gráfico.
Agora esfrie o gás até o volume inicial. O trabalho acumulado volta a zero? Que área foi descontada?
Mude a pressão com o pistão parado. Que forma tem esse trecho no gráfico, e quanto trabalho ele acrescenta?
Recomece e leve o gás ao mesmo estado final por dois caminhos, primeiro aquecendo e depois aumentando a pressão, e depois na ordem inversa. O trabalho foi o mesmo?

Pressão (peso no pistão)

Pressão

Volume

Temperatura

Trabalho acumulado

ΔV desde o início

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um gás se expande a pressão constante de \(2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), e o seu volume passa de \(0{,}010\ \text{m}^3\) para \(0{,}025\ \text{m}^3\). Quanto trabalho o gás realiza?

Ver resolução
Com a pressão constante, o trabalho é a pressão vezes a variação de volume, \(\tau = p\,\Delta V = 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}015\).
\(\tau = 3000\ \text{J}\)
básico
Um gás é comprimido a pressão constante de \(1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), de 6 L para 2 L. Qual é o trabalho do gás? Ele realiza ou recebe trabalho?

Ver resolução
Passamos a variação de volume para metros cúbicos, \(\Delta V = -4\ \text{L}\) \(= -4 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3\), e calculamos \(\tau = p\,\Delta V\) \(= 1{,}0 \cdot 10^5 \cdot (-4 \cdot 10^{-3})\).
O sinal negativo indica que o gás foi comprimido e recebeu trabalho de fora.
\(\tau = -400\ \text{J}\): o gás recebe 400 J de trabalho.
básico
Um gás é aquecido dentro de um botijão rígido, e a sua pressão dobra. Ele realiza trabalho nessa transformação? Como ela aparece no gráfico \(p \times V\)?

Ver resolução
O volume do botijão não muda, e sem variação de volume o gás não empurra nenhuma parede ao longo de um deslocamento.
No gráfico \(p \times V\), a transformação é um segmento vertical, que não tem área embaixo.
Não há trabalho, \(\tau = 0\), por maior que seja o aumento de pressão.
básico
Tampamos a ponta de uma seringa com o dedo e empurramos o êmbolo. Em seguida, soltamos o êmbolo, que volta um pouco. Em qual das duas etapas o ar da seringa realiza trabalho, e em qual ele recebe trabalho?

Ver resolução
Ao empurrarmos o êmbolo, o volume do ar diminui, \(\Delta V < 0\), e somos nós que fazemos trabalho sobre o ar.
Quando soltamos, o ar se expande, \(\Delta V > 0\), e empurra o êmbolo de volta.
O ar recebe trabalho na compressão e realiza trabalho na expansão.
médio
No gráfico \(p \times V\), um gás vai em linha reta do estado A (2 L; 300 kPa) ao estado B (6 L; 100 kPa). Quanto trabalho ele realiza? Lembre que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\).

Ver resolução
O trabalho é a área sob o segmento, um trapézio de bases 300 kPa e 100 kPa e altura 4 L, \(\tau = \dfrac{(300 + 100) \cdot 4}{2}\).
Como o volume aumentou, o trabalho é positivo.
\(\tau = 800\ \text{J}\)
médio
Um gás sai do estado A (2 L; 100 kPa) e chega ao estado C (5 L; 300 kPa) por dois caminhos. No caminho I, ele é aquecido a volume constante até 300 kPa e depois se expande a pressão constante. No caminho II, ele se expande primeiro a 100 kPa e depois é aquecido a volume constante. Calcule o trabalho em cada caminho.

Ver resolução
Os trechos a volume constante não têm trabalho. No caminho I, a expansão acontece a 300 kPa, e \(\tau_I = 300 \cdot 3 = 900\ \text{J}\).
No caminho II, a expansão acontece a 100 kPa, e \(\tau_{II} = 100 \cdot 3 = 300\ \text{J}\).
900 J pelo caminho I e 300 J pelo caminho II, o que mostra que o trabalho depende do caminho.
médio
Num cilindro, o pistão tem área de \(0{,}02\ \text{m}^2\), e o gás o empurra a uma pressão constante de \(1{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), fazendo-o subir 10 cm. Calcule o trabalho de duas maneiras, pela força no pistão e por \(p\,\Delta V\).

Ver resolução
A força no pistão é \(F = p\,A\) \(= 1{,}5 \cdot 10^5 \cdot 0{,}02\) \(= 3000\ \text{N}\), e o trabalho dela é \(F\,d = 3000 \cdot 0{,}10\).
Pelo volume, \(\Delta V = A\,d = 0{,}002\ \text{m}^3\), e \(p\,\Delta V = 1{,}5 \cdot 10^5 \cdot 0{,}002\).
As duas contas dão \(\tau = 300\ \text{J}\).
médio
Dois mols de um gás ideal são aquecidos a pressão constante, de 300 K para 400 K. Quanto trabalho o gás realiza? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
Pela equação dos gases, \(p\,V = n\,R\,T\), e com a pressão fixa, \(p\,\Delta V = n\,R\,\Delta T\).
Assim, \(\tau = n\,R\,\Delta T = 2 \cdot 8{,}3 \cdot 100\).
\(\tau = 1660\ \text{J}\)
desafio
Tampamos uma seringa e empurramos o êmbolo devagar. A pressão do ar dentro dela cresce de modo aproximadamente linear, de 100 kPa para 300 kPa, enquanto o volume cai de 60 mL para 20 mL. Estime o trabalho do ar nessa compressão.

Ver resolução
Num gráfico \(p \times V\), o caminho é um segmento de reta, e a área sob ele é um trapézio, \(\dfrac{(100 + 300) \cdot 40}{2}\) \(= 8000\ \text{kPa} \cdot \text{mL}\).
Como \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{mL}\) \(= 10^3\ \text{Pa} \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3\) \(= 10^{-3}\ \text{J}\), a área vale \(8000 \cdot 10^{-3}\) joules, com sinal negativo porque o volume diminuiu.
\(\tau \approx -8\ \text{J}\): o ar recebe cerca de 8 J de trabalho.
desafio
Um cilindro vertical, com ar dentro, é fechado por um pistão de 20 kg e área de \(0{,}01\ \text{m}^2\), que desliza sem atrito. A pressão atmosférica é \(1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), e \(g = 10\ \text{m/s}^2\). Aquecido, o ar levanta o pistão 5 cm devagar. Qual é a pressão do ar, quanto trabalho ele realiza e que parte desse trabalho serve para erguer o pistão?

Ver resolução
Em equilíbrio, o ar sustenta a atmosfera e o peso do pistão, \(p = 1{,}0 \cdot 10^5 + \dfrac{20 \cdot 10}{0{,}01}\).
O volume cresce \(\Delta V = 0{,}01 \cdot 0{,}05 = 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3\), e \(\tau = p\,\Delta V\).
Erguer o pistão custa \(m\,g\,h = 20 \cdot 10 \cdot 0{,}05\), e o resto do trabalho empurra o ar de fora.
A pressão é \(1{,}2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) e o ar realiza 60 J, dos quais 10 J erguem o pistão e 50 J empurram a atmosfera.

PASSO 2

O que muda quando um gás esquenta?

A energia interna \(U\) de um gás é a soma das energias das suas partículas. Num gás ideal monoatômico, como o hélio, o neônio ou o argônio, supomos que as partículas não interagem a distância, e a energia interna se resume à energia cinética de translação.

A teoria cinética, que esboçamos na aula de Calor e Temperatura, indica que a energia cinética média de cada partícula é proporcional à temperatura absoluta, \(\tfrac{3}{2}\,k\,T\). Somando sobre os \(n\) mols de partículas, chegamos a \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\).

Algo que talvez surpreenda é o que não encontramos nessa fórmula. O volume e a pressão não aparecem, e dois recipientes com a mesma quantidade de gás e a mesma temperatura têm a mesma energia interna, ainda que um seja muito maior que o outro.

Daí saem duas consequências que vamos usar até o fim da aula. Numa transformação isotérmica do gás ideal, \(\Delta U = 0\). Num ciclo, em que o gás volta ao estado de partida, a temperatura volta ao valor inicial, e também \(\Delta U = 0\).

\(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\)\(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\)\(\bar E_c = \tfrac{3}{2}\,k\,T\)\(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\), \(k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}\) e \(T\) em kelvin. Daqui até o fim da aula supomos um gás ideal monoatômico. Para o ar, feito de moléculas de dois átomos que também giram, o fator 3/2 fica perto de 5/2, e as conclusões qualitativas não mudam. Na simulação, a caixa A tem cerca de 0,24 mol de gás em 4 L, e o número de pontos é só representativo.

Para conversar

Deixe as duas caixas na mesma temperatura e mude o volume de B. A energia interna de B muda? E a pressão?
Aqueça só a caixa A e compare a agitação das partículas e a energia cinética média nas duas caixas.
Dobre a quantidade de gás em B, com a mesma temperatura de A. O que acontece com \(U\) e com a energia cinética média de cada partícula?
Por que, na mesma temperatura, a pressão depende do volume e a energia interna não? Pensemos no que muda quando as mesmas partículas ocupam uma caixa maior.

Temperatura de A

Temperatura de B

Volume de B

Ec média em A

Ec média em B

U em A

U em B

Pressão em A

Pressão em B

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a energia interna de 2 mol de um gás ideal monoatômico a 300 K? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
Para o gás ideal monoatômico, \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 8{,}3 \cdot 300\).
\(U = 7470\ \text{J}\)
básico
Um mol de hélio, que tratamos como gás ideal monoatômico, é aquecido de 300 K para 500 K. Qual é a variação da sua energia interna? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
A energia interna acompanha a temperatura, \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 1 \cdot 8{,}3 \cdot 200\).
\(\Delta U = 2490\ \text{J}\)
básico
Dois recipientes guardam a mesma quantidade do mesmo gás ideal, à mesma temperatura. Um deles tem o triplo do volume do outro. Qual dos dois gases tem mais energia interna?

Ver resolução
Para o gás ideal, \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\) depende só da quantidade de gás e da temperatura, e o volume não entra na fórmula.
As pressões são diferentes, mas as partículas têm a mesma energia cinética média nos dois recipientes.
As energias internas são iguais.
básico
Um gás ideal se expande lentamente, e a temperatura dele fica constante o tempo todo. Quanto vale a variação da sua energia interna?

Ver resolução
Para o gás ideal, a energia interna depende só da temperatura, e se \(T\) não muda, \(U\) também não muda.
\(\Delta U = 0\)
médio
Meio mol de um gás ideal monoatômico tem energia interna de 3735 J. Qual é a sua temperatura? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
Isolando a temperatura em \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\), temos \(T = \dfrac{U}{1{,}5\,n\,R} = \dfrac{3735}{1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 8{,}3}\).
\(T = 600\ \text{K}\)
médio
Qual é a energia cinética média de uma partícula de um gás ideal a 300 K? E a 600 K? Use \(k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}\).

Ver resolução
A energia cinética média de translação é \(\bar E_c = \tfrac{3}{2}\,k\,T\). A 300 K, \(\bar E_c = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300\), e a 600 K o valor dobra, porque é proporcional a \(T\).
Cerca de \(6{,}2 \cdot 10^{-21}\ \text{J}\) a 300 K e \(1{,}24 \cdot 10^{-20}\ \text{J}\) a 600 K.
médio
Um balão tem hélio e outro tem neônio, os dois a 27 °C. Em qual deles as partículas têm mais energia cinética média? Em qual elas andam mais depressa, em média?

Ver resolução
A energia cinética média de translação, \(\tfrac{3}{2}\,k\,T\), depende só da temperatura, e é a mesma nos dois balões.
Com a mesma energia cinética, a partícula de massa maior anda mais devagar, e o átomo de neônio tem cerca de cinco vezes a massa do átomo de hélio.
A energia cinética média é igual nos dois, e os átomos de hélio andam mais depressa.
médio
Um gás ideal monoatômico passa do estado (100 kPa; 3 L) ao estado (150 kPa; 2 L), por um caminho qualquer. Qual é a variação da sua energia interna?

Ver resolução
Como \(n\,R\,T = p\,V\), a energia interna também pode ser escrita como \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\).
Nos dois estados, \(p\,V = 300\ \text{kPa} \cdot \text{L} = 300\ \text{J}\), e portanto a temperatura é a mesma.
\(\Delta U = 0\), qualquer que tenha sido o caminho.
desafio
Mostre que, para um gás ideal monoatômico, \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\). Use essa relação para calcular a energia interna de um gás a \(2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\) em \(0{,}03\ \text{m}^3\) e a variação dela se o gás se expandir a pressão constante até \(0{,}05\ \text{m}^3\).

Ver resolução
Da equação dos gases, \(n\,R\,T = p\,V\), e substituindo em \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\) chegamos a \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\).
No início, \(U = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}03\), e na expansão, \(\Delta U = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 10^5 \cdot 0{,}02\).
\(U = 9000\ \text{J}\) no início e \(\Delta U = 6000\ \text{J}\) na expansão.
desafio
Num recipiente rígido e isolado, uma divisória separa 1 mol de argônio a 300 K de 2 mol de argônio a 450 K. Retiramos a divisória e esperamos o equilíbrio. Tratando o argônio como gás ideal monoatômico, qual é a temperatura final?

Ver resolução
O recipiente é rígido e isolado, e por isso não há trabalho nem calor trocados com fora, e a energia interna total se conserva.
Com \(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\), a conservação dá \(1 \cdot 300 + 2 \cdot 450 = 3\,T_f\), em que o fator \(\tfrac{3}{2}\,R\) se cancela.
\(T_f = 400\ \text{K}\)

PASSO 3

Para onde vai o calor que o gás recebe?

Quando aquecemos um gás num cilindro com pistão, a energia que entra como calor pode seguir dois caminhos. Parte dela fica no gás, aumentando a energia interna e a temperatura, e parte sai como trabalho, se o gás empurrar o pistão.

Chamamos de primeira lei da termodinâmica a conservação da energia escrita para esse balanço, \(Q = \tau + \Delta U\). O calor \(Q\) que o gás recebe é igual ao trabalho \(\tau\) que ele realiza mais a variação \(\Delta U\) da sua energia interna.

Usamos os sinais da tabela abaixo, que merecem atenção, porque boa parte dos erros nos exercícios tende a vir deles. O calor que o gás cede entra com sinal negativo, e o trabalho que ele recebe numa compressão também.

Com os sinais certos, a lei admite casos que parecem estranhos à primeira vista. Um gás pode receber calor e esfriar, se realizar mais trabalho do que o calor recebido, e pode esquentar sem receber calor nenhum, se for comprimido.

\(Q = \tau + \Delta U\)\(\Delta U = Q - \tau\)\(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\)Quando o calor vier em calorias, passamos para joules com 1 cal ≈ 4,2 J. Na simulação, o gás é o mesmo do passo 1, com \(n\,R = 2\ \text{J/K}\), e começa a 300 K. Como \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T = 3\,\Delta T\), em joules, a variação de temperatura sai direto do balanço.

Convenção de sinais
Grandeza	Positivo	Negativo
\(Q\)	o gás recebe calor	o gás cede calor
\(\tau\)	o gás se expande e realiza trabalho	o gás é comprimido e recebe trabalho
\(\Delta U\)	a temperatura sobe	a temperatura cai

Para conversar

Escolha o aquecimento a pressão constante e veja como os 500 J se dividem. Que fração vira trabalho?
Passe para o aquecimento a volume constante. Por que agora \(\Delta U = Q\)?
No caso adiabático, \(Q = 0\). De onde vem o aumento da energia interna?
Ajuste os controles até o gás receber calor e mesmo assim esfriar. Que condição o trabalho precisa cumprir?

Calor Q

Trabalho τ

Calor Q

Trabalho τ

Variação ΔU

Variação de temperatura

Temperatura final

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um gás recebe 500 J de calor e realiza 200 J de trabalho. Qual é a variação da sua energia interna?

Ver resolução
Pela primeira lei, \(\Delta U = Q - \tau = 500 - 200\).
\(\Delta U = 300\ \text{J}\)
básico
Um gás é comprimido e recebe 300 J de trabalho, enquanto cede 100 J de calor ao ambiente. Qual é a variação da sua energia interna? A temperatura sobe ou desce?

Ver resolução
Com os sinais da tabela, \(Q = -100\ \text{J}\) e \(\tau = -300\ \text{J}\), e \(\Delta U = Q - \tau = -100 - (-300)\).
\(\Delta U = +200\ \text{J}\), e a temperatura sobe.
básico
Um gás cede 50 J de calor a volume constante. Qual é a variação da sua energia interna, e o que acontece com a temperatura?

Ver resolução
A volume constante, \(\tau = 0\), e a primeira lei fica \(\Delta U = Q = -50\ \text{J}\).
\(\Delta U = -50\ \text{J}\), e a temperatura diminui.
básico
Um gás recebe 100 cal de calor e realiza 120 J de trabalho. Qual é a variação da sua energia interna, em joules? Use \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Ver resolução
Em joules, o calor recebido é \(Q = 100 \cdot 4{,}2 = 420\ \text{J}\), e \(\Delta U = 420 - 120\).
\(\Delta U = 300\ \text{J}\)
médio
Um mol de gás ideal monoatômico é aquecido a pressão constante, e a temperatura sobe 100 K. Calcule o trabalho, a variação da energia interna e o calor recebido. Que fração do calor vira trabalho? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
A pressão constante, \(\tau = n\,R\,\Delta T = 8{,}3 \cdot 100\), e \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 8{,}3 \cdot 100\).
Pela primeira lei, \(Q = \tau + \Delta U = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), e a fração é \(\dfrac{\tau}{Q} = \dfrac{n\,R\,\Delta T}{\tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T}\) \(= \dfrac{2}{5}\).
\(\tau = 830\ \text{J}\), \(\Delta U = 1245\ \text{J}\) e \(Q = 2075\ \text{J}\), com 40% do calor virando trabalho.
médio
Um gás recebe 1000 J de calor a uma pressão constante de \(2 \cdot 10^5\ \text{Pa}\), e a sua energia interna aumenta 600 J. Quanto aumentou o volume, em litros?

Ver resolução
O trabalho sai da primeira lei, \(\tau = Q - \Delta U\) \(= 400\ \text{J}\).
Com a pressão constante, \(\Delta V = \dfrac{\tau}{p} = \dfrac{400}{2 \cdot 10^5}\) \(= 2 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3\).
O volume aumentou 2 L.
médio
É possível um gás receber calor e, mesmo assim, esfriar? E esquentar sem receber calor nenhum? Justifique com a primeira lei.

Ver resolução
Pela primeira lei, \(\Delta U = Q - \tau\). Se o gás recebe calor, \(Q > 0\), mas realiza um trabalho maior que esse calor, \(\Delta U\) fica negativo e o gás esfria.
Se não há calor, \(Q = 0\), e o gás é comprimido, \(\tau < 0\), então \(\Delta U = -\tau > 0\) e o gás esquenta.
Os dois casos são possíveis, porque a temperatura acompanha \(\Delta U\), que depende do calor e do trabalho juntos.
médio
Uma seringa com 0,05 mol de argônio, que tratamos como gás ideal monoatômico, é comprimida tão depressa que quase não há troca de calor. O gás recebe 50 J de trabalho. Quanto a temperatura aumenta? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
Sem troca de calor, \(Q = 0\) e \(\Delta U = -\tau = +50\ \text{J}\).
Com \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\), temos \(\Delta T = \dfrac{50}{1{,}5 \cdot 0{,}05 \cdot 8{,}3}\).
A temperatura sobe cerca de 80 K.
desafio
Fornecemos 498 J de calor a 0,4 mol de um gás ideal monoatômico, primeiro com o volume constante e depois, partindo do mesmo estado, com a pressão constante. Em qual caso a temperatura sobe mais, e quanto sobe em cada um? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
A volume constante, todo o calor vira energia interna, \(\Delta T = \dfrac{Q}{1{,}5\,n\,R} = \dfrac{498}{1{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 8{,}3}\).
A pressão constante, \(Q = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), porque parte do calor sai como trabalho, e \(\Delta T = \dfrac{498}{2{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 8{,}3}\).
Sobe 100 K a volume constante e 60 K a pressão constante.
desafio
Um gás ideal monoatômico recebe 500 cal de calor a pressão constante de \(1{,}4 \cdot 10^5\ \text{Pa}\). Quanto trabalho ele realiza, quanto aumenta a sua energia interna e quanto cresce o volume? Use \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Ver resolução
Em joules, \(Q = 500 \cdot 4{,}2 = 2100\ \text{J}\). Numa isobárica do gás monoatômico, \(\tau = n\,R\,\Delta T\) e \(Q = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), de modo que \(\tau = \tfrac{2}{5}\,Q = \tfrac{2}{5} \cdot 2100\).
A energia interna aumenta \(\Delta U = Q - \tau\), e o volume cresce \(\Delta V = \dfrac{\tau}{p}\), com \(\tau\) em joules e \(p\) em pascals.
\(\tau = 840\ \text{J}\), \(\Delta U = 1260\ \text{J}\) e o volume aumenta 6 L.

PASSO 4

Quatro maneiras de transformar um gás

Algumas transformações aparecem com tanta frequência que lhes damos nomes próprios. Na isobárica, a pressão fica constante, o gráfico \(p \times V\) é uma reta horizontal e \(\tau = p\,\Delta V\). Na isocórica, ou isovolumétrica, o volume não muda, \(\tau = 0\) e o calor trocado é igual a \(\Delta U\).

Na isotérmica, a temperatura fica constante, \(\Delta U = 0\) e \(Q = \tau\), de modo que o gás devolve como trabalho o calor que recebe. A curva é a hipérbole \(p\,V = \text{constante}\) que vimos na aula de Calor e Temperatura.

isobárica: \(\tau = p\,\Delta V\)isocórica: \(\tau = 0,\ Q = \Delta U\)isotérmica: \(\Delta U = 0,\ Q = \tau\)adiabática: \(Q = 0,\ \tau = -\Delta U\)Na simulação, as quatro partem do estado A, com 100 kPa, 6 L e 300 K, e o gás tem \(n\,R = 2\ \text{J/K}\). Na adiabática do gás ideal monoatômico vale \(p\,V^{5/3} = \text{constante}\), uma relação que só a simulação usa.

Na adiabática, supomos que o gás não troca calor, \(Q = 0\), e \(\tau = -\Delta U\). Ao se expandir, ele paga o trabalho com a própria energia interna e esfria, e por isso vemos a adiabática cair mais depressa que a isoterma no gráfico.

Transformações rápidas tendem a ser quase adiabáticas, porque o calor não tem tempo de atravessar as paredes. Isso pode ajudar a entender por que a bomba de bicicleta esquenta quando enchemos um pneu depressa e por que o jato de um desodorante sai gelado, já que o gás se expande ao sair da lata (a evaporação do líquido também contribui).

Para conversar

Execute as quatro transformações levando o gás até 9 L, ou até 450 K na isocórica. Em qual delas o gás realiza mais trabalho, e em qual a temperatura cai?
Na isotérmica, compare \(Q\) e \(\tau\). Para onde foi a energia que entrou como calor?
Comprima o gás de forma adiabática até 3 L, como numa bomba de bicicleta, e acompanhe a temperatura.
Na isocórica, por que o trabalho fica em zero, se vemos a pressão subir?

Volume final

Temperatura final (isocórica)

Pressão

Volume

Temperatura

Calor Q

Trabalho τ

Variação ΔU

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um gás recebe 300 J de calor numa transformação isocórica. Quanto vale o trabalho, e quanto aumenta a energia interna?

Ver resolução
Na isocórica o volume não muda, e \(\tau = 0\). Pela primeira lei, \(\Delta U = Q - 0\).
\(\tau = 0\) e \(\Delta U = 300\ \text{J}\)
básico
Numa expansão isotérmica, um gás ideal realiza 500 J de trabalho. Quanto calor ele recebe?

Ver resolução
Na isotérmica do gás ideal, \(\Delta U = 0\), e a primeira lei fica \(Q = \tau\).
\(Q = 500\ \text{J}\)
básico
Um gás é comprimido de forma adiabática e recebe 200 J de trabalho. Quanto varia a sua energia interna, e o que acontece com a temperatura?

Ver resolução
Na adiabática, \(Q = 0\), e \(\Delta U = -\tau = -(-200)\).
\(\Delta U = +200\ \text{J}\), e o gás esquenta.
básico
Quem enche um pneu de bicicleta depressa percebe que o corpo da bomba esquenta. Por que isso acontece?

Ver resolução
A compressão é rápida, e o ar quase não tem tempo de trocar calor com as paredes, como numa transformação adiabática.
Com \(Q \approx 0\), o trabalho que fazemos sobre o ar vira energia interna, \(\Delta U = -\tau > 0\).
O ar comprimido esquenta, e parte desse calor passa depois para o corpo da bomba.
médio
Ao apertarmos a válvula de um desodorante em spray, o jato sai frio. Explique esse resfriamento com a primeira lei.

Ver resolução
Ao sair da lata, o gás se expande muito depressa, e quase não troca calor com o ambiente nesse instante, o que se aproxima de uma expansão adiabática.
Com \(Q \approx 0\), o trabalho de expansão sai da energia interna, \(\Delta U = -\tau < 0\), e a temperatura cai. A evaporação do líquido que sai junto também ajuda a esfriar o jato.
O gás se expande quase sem receber calor, paga o trabalho com a própria energia interna e esfria.
médio
Dois mols de um gás ideal monoatômico são aquecidos a volume constante de 300 K para 350 K. Calcule o trabalho, a variação da energia interna e o calor recebido. Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
Na isocórica, \(\tau = 0\), e \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 2 \cdot 8{,}3 \cdot 50\).
Pela primeira lei, \(Q = \Delta U\).
\(\tau = 0\), \(\Delta U = 1245\ \text{J}\) e \(Q = 1245\ \text{J}\)
médio
Um gás ideal monoatômico se expande a pressão constante de 100 kPa, de 2 L para 5 L. Calcule o trabalho, a variação da energia interna e o calor recebido. Lembre que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\).

Ver resolução
O trabalho é \(\tau = p\,\Delta V = 100 \cdot 3\). Como \(U = \tfrac{3}{2}\,p\,V\), a pressão constante \(\Delta U = 1{,}5 \cdot 100 \cdot 3\).
Pela primeira lei, \(Q = \tau + \Delta U\).
\(\tau = 300\ \text{J}\), \(\Delta U = 450\ \text{J}\) e \(Q = 750\ \text{J}\)
médio
No gráfico \(p \times V\), uma isoterma e uma adiabática partem do mesmo estado, e o gás se expande até o mesmo volume final. Qual curva termina com a pressão mais baixa? Qual expansão produz mais trabalho?

Ver resolução
Na isoterma, a temperatura fica constante, e a pressão cai só porque o volume aumenta.
Na adiabática, o gás paga o trabalho com a energia interna e esfria, e a pressão cai pelos dois motivos, o volume maior e a temperatura menor.
A adiabática termina com a pressão mais baixa, e como fica abaixo da isoterma, a área sob ela é menor, e a expansão isotérmica produz mais trabalho.
desafio
Um mol de gás ideal monoatômico se expande de forma adiabática, e a sua temperatura cai de 400 K para 300 K. Quanto trabalho o gás realiza? Use \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

Ver resolução
A energia interna varia \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 1 \cdot 8{,}3 \cdot (-100)\) \(= -1245\ \text{J}\).
Na adiabática, \(Q = 0\) e \(\tau = -\Delta U\).
\(\tau = 1245\ \text{J}\), tirados da energia interna do gás.
desafio
Um gás é comprimido até a metade do volume, partindo sempre do mesmo estado, uma vez de forma isotérmica e outra de forma adiabática. Em qual das compressões precisamos fazer mais trabalho sobre o gás? Use o gráfico \(p \times V\) para justificar.

Ver resolução
Na compressão adiabática, o trabalho que fazemos vira energia interna, a temperatura sobe e a pressão cresce mais que na isotérmica. Para o gás monoatômico ela fica cerca de 3,2 vezes maior, contra 2 vezes na isotérmica.
No gráfico, a adiabática passa acima da isoterma durante a compressão, e a área sob ela, que mede o trabalho recebido, é maior.
A compressão adiabática exige mais trabalho, porque o gás esquenta e resiste mais.

PASSO 5

Como um motor transforma calor em trabalho?

Uma máquina térmica repete um ciclo. O gás recebe calor \(Q_q\) de uma fonte quente, realiza trabalho, cede calor \(Q_f\) a uma fonte fria e volta ao estado de partida, pronto para começar de novo.

Como o estado final é exatamente igual ao inicial, \(\Delta U = 0\) no ciclo, e a primeira lei diz que o trabalho líquido é a diferença entre o calor recebido e o cedido. No gráfico \(p \times V\), esse trabalho é a área interna do ciclo, positiva quando o percurso é no sentido horário, o sentido de um motor.

\(\Delta U_{\text{ciclo}} = 0\)\(\tau = Q_q - Q_f\)\(\eta = \dfrac{\tau}{Q_q} = 1 - \dfrac{Q_f}{Q_q}\)\(Q_q\) e \(Q_f\) são valores positivos, o calor recebido e o calor cedido ao longo do ciclo. Na simulação, o gás é o mesmo dos passos anteriores, e o calor de cada lado do retângulo sai da primeira lei, com \(\tau = 0\) nos lados verticais. Os lados vermelhos recebem calor, e os azuis cedem.

Medimos o desempenho de um motor pelo rendimento \(\eta = \tau/Q_q\), que diz que fração do calor recebido virou trabalho. No motor de um carro, que segue de modo aproximado o ciclo de Otto, a mistura de ar e combustível é comprimida, explode, empurra o pistão na expansão e sai quente pelo escapamento, levando o \(Q_f\) embora, e o rendimento tipicamente fica entre 25% e 30%.

Numa usina termelétrica, a queima de carvão, gás ou bagaço ferve água, o vapor gira uma turbina e depois é condensado com a água de um rio ou de torres de resfriamento. Essa água recebe o \(Q_f\), e em geral ela leva embora mais energia do que a que sai pelos fios.

Para conversar

Arraste um vértice do ciclo e acompanhe a área. Que mudança aumenta mais o trabalho por ciclo?
No ciclo inicial, confira que \(Q_q - Q_f\) é igual à área do retângulo.
Tente levar o rendimento acima de 30%. O que você precisou fazer com as pressões e os volumes?
Inverta o sentido do ciclo. O que acontece com o sinal do trabalho e com os papéis do calor recebido e do cedido?

Trabalho (área)

Calor recebido Q_q

Calor cedido Q_f

Rendimento

ΔU no ciclo

Temperaturas

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Ao longo de um ciclo, um gás recebe ao todo 1200 J de calor e cede 800 J. Quanto vale a variação da energia interna no ciclo, e quanto trabalho ele realiza?

Ver resolução
O gás volta ao estado inicial, e no ciclo \(\Delta U = 0\).
Pela primeira lei, \(\tau = Q_{\text{líquido}} = 1200 - 800\).
\(\Delta U = 0\) e \(\tau = 400\ \text{J}\)
básico
Um motor recebe 1000 J de calor por ciclo e rejeita 700 J. Qual é o trabalho por ciclo e qual é o rendimento?

Ver resolução
O trabalho é a diferença entre os calores, \(\tau = 1000 - 700\), e o rendimento é \(\eta = \dfrac{\tau}{Q_q}\).
\(\tau = 300\ \text{J}\) e \(\eta = 30\%\)
básico
No gráfico \(p \times V\), um ciclo é um retângulo com volumes entre 2 L e 6 L e pressões entre 100 kPa e 300 kPa, percorrido no sentido horário. Qual é o trabalho por ciclo?

Ver resolução
O trabalho do ciclo é a área interna do retângulo, \(\tau = (300 - 100) \cdot (6 - 2)\), em kPa vezes litros, que dá joules. No sentido horário, ele é positivo.
\(\tau = 800\ \text{J}\)
básico
Um ciclo percorrido no sentido horário no gráfico \(p \times V\) corresponde a um motor ou a um refrigerador? E no sentido anti-horário?

Ver resolução
No sentido horário, a expansão acontece com pressões maiores que a compressão, e o gás realiza mais trabalho do que recebe, \(\tau > 0\).
No sentido anti-horário, ocorre o contrário, e o gás recebe trabalho líquido.
Horário é motor; anti-horário é refrigerador, que precisa receber trabalho.
médio
Um motor tem rendimento de 25% e realiza 500 J de trabalho por ciclo. Quanto calor ele recebe e quanto rejeita por ciclo?

Ver resolução
Do rendimento, \(Q_q = \dfrac{\tau}{\eta} = \dfrac{500}{0{,}25}\), e o calor rejeitado é \(Q_f = Q_q - \tau\).
Recebe 2000 J e rejeita 1500 J por ciclo.
médio
O motor de um carro, com rendimento de 25%, entrega 30 kW às rodas e às peças que gira. Quanto calor a queima do combustível precisa liberar por segundo, e quanto vai embora pelo escapamento e pelo radiador?

Ver resolução
Por segundo, \(Q_q = \dfrac{P_{\text{útil}}}{\eta} = \dfrac{30}{0{,}25} = 120\ \text{kW}\), e o restante é \(120 - 30\).
A queima libera 120 kW, e 90 kW são rejeitados como calor.
médio
Uma usina termelétrica tem rendimento de 40% e fornece 500 MW à rede. Quanto calor a queima libera por segundo, e quanto é entregue à água de resfriamento e ao ar?

Ver resolução
A potência térmica é \(\dfrac{500}{0{,}40} = 1250\ \text{MW}\), e a rejeitada é \(1250 - 500\).
A queima libera 1250 MW, e 750 MW vão para o ambiente, mais do que a usina entrega à rede.
médio
O motor a gasolina segue, de modo aproximado, o ciclo de Otto, em quatro tempos: admissão, compressão, explosão com expansão e escape. Em qual tempo o gás realiza o trabalho que move o carro, e em qual ele recebe trabalho? Onde fica o \(Q_f\)?

Ver resolução
Na compressão, o pistão sobe e comprime a mistura de ar e combustível, que recebe trabalho e esquenta, de forma quase adiabática.
Logo depois da faísca, a queima eleva muito a temperatura e a pressão, e na expansão os gases quentes empurram o pistão e realizam um trabalho maior que o recebido.
O gás realiza trabalho na expansão e recebe trabalho na compressão; o \(Q_f\) sai com os gases quentes do escape e pelo sistema de arrefecimento.
desafio
Um gás ideal monoatômico percorre, no sentido horário, o ciclo retangular A (2 L; 100 kPa), B (2 L; 300 kPa), C (6 L; 300 kPa), D (6 L; 100 kPa). Calcule o calor trocado em cada trecho, o calor recebido \(Q_q\), o trabalho e o rendimento.

Ver resolução
Nos trechos a volume constante, \(Q = \Delta U = \tfrac{3}{2}\,V\,\Delta p\), e nos trechos a pressão constante, \(Q = \tfrac{5}{2}\,p\,\Delta V\).
Em AB, \(Q = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 200 = 600\ \text{J}\); em BC, \(Q = 2{,}5 \cdot 300 \cdot 4 = 3000\ \text{J}\); em CD, \(Q = -1800\ \text{J}\); e em DA, \(Q = -1000\ \text{J}\).
Os calores positivos somam \(Q_q = 600 + 3000\), os negativos somam \(Q_f = 2800\ \text{J}\), e o trabalho é a diferença, igual à área do retângulo, \(200 \cdot 4\). O rendimento é \(\eta = \tau/Q_q\).
\(Q_q = 3600\ \text{J}\), \(\tau = 800\ \text{J}\) e \(\eta \approx 22\%\)
desafio
Um carro anda 1 hora com o motor entregando, em média, 15 kW. O rendimento do motor é de 25%, e cada litro de gasolina libera cerca de \(3{,}2 \cdot 10^7\ \text{J}\) ao queimar. Quantos litros de gasolina o carro consome nessa hora?

Ver resolução
A energia útil é \(15\,000 \cdot 3600 = 5{,}4 \cdot 10^7\ \text{J}\), e o calor que a queima precisa liberar é \(\dfrac{5{,}4 \cdot 10^7}{0{,}25} = 2{,}16 \cdot 10^8\ \text{J}\).
Dividindo pela energia de um litro, \(\dfrac{2{,}16 \cdot 10^8}{3{,}2 \cdot 10^7}\).
Cerca de 6,8 L de gasolina.

PASSO 6

Por que nenhum motor aproveita o calor inteiro?

Podemos enunciar a segunda lei da termodinâmica de formas equivalentes. Uma delas diz que nenhuma máquina que opera em ciclos transforma em trabalho todo o calor que recebe, e parte dele precisa ir para uma fonte mais fria. Outra diz que o calor não passa espontaneamente de um corpo frio para um quente.

Em 1824, Sadi Carnot mostrou que nenhuma máquina operando entre duas temperaturas supera uma máquina ideal, sem atrito e sem trocas bruscas de calor, que percorre o hoje chamado ciclo de Carnot. O rendimento dela depende só das temperaturas das fontes, em kelvin, \(\eta_C = 1 - T_f/T_q\).

\(\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_q}\)\(\eta \le \eta_C\)As temperaturas entram em kelvin, \(T = \theta + 273\). Na simulação, as temperaturas atribuídas a cada máquina e os rendimentos reais são valores típicos e aproximados, que variam bastante de um modelo para outro. Nos motores, \(T_q\) é a temperatura que os gases da combustão atingem por um instante.

Os motores e as usinas que construímos ficam abaixo desse limite, por causa de atrito, de perdas de calor e de processos rápidos demais. A fórmula também sugere o caminho para melhorar uma máquina, que é afastar as temperaturas da fonte quente e da fria.

Por trás da segunda lei há uma ideia de irreversibilidade. Quando abrimos a divisória de uma caixa com gás de um lado só, as partículas se espalham e não voltam a se juntar sozinhas, embora nenhuma lei do movimento as proíba. A entropia mede o número de arranjos possíveis das partículas, que costumamos associar à desordem, e num sistema isolado ela tende a aumentar.

Para conversar

Escolha a usina a carvão e compare o rendimento real com o de Carnot nas mesmas temperaturas. Faça o mesmo com as outras máquinas.
Com a fonte fria em 300 K, que temperatura da fonte quente dá um rendimento de Carnot de 50%? E de 75%?
Aproxime as duas temperaturas. O que acontece com o trabalho que sai de cada 1000 J de calor?
Abra a divisória e espere um bom tempo. Quantas vezes você viu todas as partículas de volta ao lado esquerdo?

Fonte quente T_q

Fonte fria T_f

Rendimento de Carnot

Rendimento real típico

Trabalho máximo por 1000 J

Calor mínimo para a fonte fria

Partículas à esquerda

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é o rendimento de uma máquina de Carnot que opera entre 600 K e 300 K?

Ver resolução
O rendimento de Carnot é \(\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_q} = 1 - \dfrac{300}{600}\).
\(\eta_C = 50\%\)
básico
Uma máquina de Carnot opera entre 327 °C e 27 °C. Um estudante calcula o rendimento como \(1 - 27/327\) e acha cerca de 92%. Onde está o erro, e qual é o valor certo?

Ver resolução
A fórmula de Carnot pede temperaturas absolutas, em kelvin. Somando 273, as fontes ficam em 600 K e 300 K, e \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{600}\).
O erro foi usar graus Celsius; o rendimento correto é 50%.
básico
Um inventor afirma ter construído um motor que, operando em ciclos, transforma em trabalho todo o calor que recebe de uma única fonte. O que a segunda lei diz sobre isso?

Ver resolução
A segunda lei afirma que nenhuma máquina que opera em ciclos transforma integralmente em trabalho o calor recebido de uma fonte. Parte do calor precisa ser cedida a uma fonte mais fria.
O motor descrito é impossível, porque violaria a segunda lei.
básico
Abrimos um frasco de perfume num canto da sala, e depois de algum tempo o cheiro se espalha pelo ambiente. Por que não vemos o perfume voltar sozinho para o frasco?

Ver resolução
As moléculas se movem ao acaso, e existem muito mais maneiras de elas estarem espalhadas pela sala do que reunidas no frasco.
Voltar ao frasco não viola a conservação da energia, mas é tão improvável que, na prática, nunca é observado.
O espalhamento é irreversível; a entropia aumenta, e o processo inverso não acontece espontaneamente.
médio
Um inventor anuncia um motor que trabalha entre 500 K e 300 K com rendimento de 60%. Você investiria nele?

Ver resolução
O máximo possível entre essas temperaturas é o rendimento de Carnot, \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{500} = 40\%\).
Nenhuma máquina real pode superar esse valor.
Não, porque 60% passa do limite de Carnot, de 40%.
médio
Uma máquina de Carnot tem rendimento de 30% e a sua fonte fria está a 280 K. Qual é a temperatura da fonte quente?

Ver resolução
Isolando \(T_q\) em \(\eta_C = 1 - T_f/T_q\), temos \(T_q = \dfrac{T_f}{1 - \eta_C} = \dfrac{280}{0{,}7}\).
\(T_q = 400\ \text{K}\)
médio
Uma máquina de Carnot opera entre 800 K e 300 K e recebe 2000 J de calor por ciclo. Quanto trabalho ela realiza e quanto calor rejeita?

Ver resolução
O rendimento é \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{800} = 0{,}625\), e o trabalho é \(\tau = 0{,}625 \cdot 2000\). O resto vai para a fonte fria, \(Q_f = 2000 - \tau\).
\(\tau = 1250\ \text{J}\) e \(Q_f = 750\ \text{J}\)
médio
Numa usina a carvão, o vapor chega à turbina a cerca de 830 K, e a água de resfriamento está a 310 K. A usina tem rendimento real de 35%. Compare com o rendimento de Carnot e diga que fração do máximo possível ela aproveita.

Ver resolução
O limite de Carnot é \(\eta_C = 1 - \dfrac{310}{830} \approx 0{,}63\), e a razão entre o real e o máximo é \(\dfrac{0{,}35}{0{,}63}\).
O máximo seria cerca de 63%, e a usina chega a uns 56% desse limite.
desafio
Uma máquina de Carnot trabalha entre 500 K e 300 K. Para elevar o rendimento a 50%, podemos aquecer a fonte quente ou esfriar a fonte fria. Calcule a nova temperatura em cada caso e discuta qual parece mais viável na prática.

Ver resolução
Hoje, \(\eta_C = 1 - \dfrac{300}{500} = 40\%\). Mantendo \(T_f = 300\ \text{K}\), precisamos de \(T_q = \dfrac{300}{0{,}5}\). Mantendo \(T_q = 500\ \text{K}\), precisamos de \(T_f = 0{,}5 \cdot 500\).
A fonte fria costuma ser o ambiente, um rio ou o ar, e esfriá-la abaixo dele exigiria um refrigerador, que consome trabalho.
\(T_q = 600\ \text{K}\) ou \(T_f = 250\ \text{K}\); na prática, as usinas tendem a subir a temperatura da fonte quente, limitada pela resistência dos materiais.
desafio
Uma caixa com uma divisória tem \(N\) partículas que se movem ao acaso. Depois de aberta a divisória, cada partícula tem chance de 1/2 de estar no lado esquerdo num instante qualquer. Qual é a chance de encontrarmos todas do lado esquerdo, para \(N = 4\), \(N = 10\) e \(N = 40\)? O que isso sugere para um gás real, com cerca de \(10^{22}\) partículas?

Ver resolução
As partículas se movem de forma independente, e as chances se multiplicam, \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^N\). Basta elevar \(\tfrac{1}{2}\) a 4, a 10 e a 40, e no último caso \(2^{40} \approx 1{,}1 \cdot 10^{12}\).
Para \(10^{22}\) partículas, o número é tão pequeno que o evento nunca seria visto na idade do universo.
1/16, 1/1024 e cerca de 1 em \(10^{12}\); num gás real, o retorno espontâneo é tão improvável que tratamos o espalhamento como irreversível.

PASSO 7

A geladeira é um motor ao contrário

Se percorremos um ciclo no sentido anti-horário, o gás recebe trabalho e o calor anda ao contrário, de uma fonte fria para uma quente. É o que fazem a geladeira, o ar-condicionado e a bomba de calor, e a segunda lei explica por que isso consome trabalho, já que o calor não passaria sozinho do frio para o quente.

Na geladeira, um fluido refrigerante circula em tubos, evapora dentro do aparelho retirando o calor \(Q_f\) dos alimentos, é comprimido pelo compressor, que recebe o trabalho \(\tau\) da tomada, e entrega o calor \(Q_q\) à cozinha pela grade quente atrás do aparelho. Medimos o desempenho pela eficiência \(e = Q_f/\tau\), que em geral passa de 1.

Pela conservação da energia, \(Q_q = Q_f + \tau\), e a cozinha sempre recebe mais calor do que o que retiramos dos alimentos. Por isso deixar a porta aberta não esfria a cozinha. O ar frio que sai é aquecido de novo na grade quente, e no saldo a cozinha ganha a energia que o compressor consome.

O ar-condicionado faz o mesmo com a sala e joga o calor na rua. A bomba de calor inverte os papéis no inverno, retira calor do ar frio de fora e o entrega dentro de casa, e com 1 J da tomada podemos pôr dentro de casa vários joules de calor.

\(e = \dfrac{Q_f}{\tau}\)\(Q_q = Q_f + \tau\)\(e_C = \dfrac{T_f}{T_q - T_f}\)\(e_C\) é a maior eficiência possível entre duas temperaturas, em kelvin. Na simulação, a geladeira trabalha entre um interior a 5 °C e uma cozinha a 25 °C, e as potências de cada aparelho são valores típicos e aproximados. As setas têm largura proporcional à energia por segundo.

Para conversar

Com a geladeira e a eficiência em 3, confira na tela que \(Q_q = Q_f + \tau\).
Abra a porta da geladeira e leia o saldo de energia da cozinha. Ela esfria?
Reduza a eficiência para 1,5. Quanto o compressor passa a consumir para retirar o mesmo calor?
Passe para a bomba de calor e compare o calor entregue à casa com a energia elétrica consumida.

Eficiência e

Calor retirado por segundo

Calor retirado Q_f

Trabalho τ

Calor entregue Q_q

Eficiência e

Limite de Carnot

Energia elétrica em 1 h

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma geladeira retira 300 J do interior usando 100 J de trabalho do compressor. Qual é a sua eficiência, e quanto calor ela entrega à cozinha?

Ver resolução
A eficiência é \(e = \dfrac{Q_f}{\tau} = \dfrac{300}{100}\), e pela conservação da energia, \(Q_q = Q_f + \tau\).
\(e = 3\) e \(Q_q = 400\ \text{J}\)
básico
Em certo intervalo, uma geladeira retira 600 J dos alimentos e entrega 800 J à cozinha. Quanto trabalho o compressor realizou, e qual é a eficiência?

Ver resolução
Da conservação da energia, \(\tau = Q_q - Q_f = 800 - 600\), e \(e = \dfrac{Q_f}{\tau}\).
\(\tau = 200\ \text{J}\) e \(e = 3\)
básico
Num dia quente, alguém deixa a porta da geladeira aberta para refrescar a cozinha fechada. A cozinha esfria?

Ver resolução
Com a porta aberta, o interior e a cozinha formam um único ambiente. O calor retirado de um lado volta pela grade quente do outro, somado ao trabalho do compressor.
No saldo, a cozinha recebe a energia elétrica que o compressor consome.
A cozinha não esfria; ela esquenta um pouco.
básico
Atrás ou embaixo da geladeira há uma grade de tubos que fica quente quando o aparelho funciona. Para que ela serve?

Ver resolução
O fluido refrigerante, comprimido pelo compressor, chega quente a essa grade, o condensador, e entrega calor ao ar da cozinha.
É por ela que sai o \(Q_q = Q_f + \tau\), o calor retirado dos alimentos somado à energia do compressor.
A grade entrega à cozinha o calor que a geladeira retira de dentro e o trabalho do compressor.
médio
Um ar-condicionado com eficiência 3 consome 1000 W da tomada. Quanto calor ele retira da sala por segundo, e quanto joga para fora?

Ver resolução
Por segundo, \(Q_f = e\,\tau = 3 \cdot 1000 = 3000\ \text{J}\), e \(Q_q = Q_f + \tau\).
Retira 3000 W da sala e joga 4000 W para fora.
médio
Uma geladeira com eficiência 2,5 retira 150 W do interior enquanto o compressor está ligado. Que potência o compressor consome? Se ele funciona 8 h por dia, quanta energia elétrica a geladeira gasta por dia, em kWh?

Ver resolução
A potência do compressor é \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{150}{2{,}5}\).
Em 8 h por dia, \(E = \tau \cdot 8\ \text{h}\), em watts-hora, e dividimos por 1000 para chegar a kWh.
O compressor consome 60 W, e a geladeira gasta 0,48 kWh por dia.
médio
Uma bomba de calor tem eficiência de refrigeração \(e = 3\) e consome 1 kW. Quanto calor ela entrega dentro de casa? Compare com um aquecedor de resistência que consome o mesmo 1 kW.

Ver resolução
A bomba retira \(Q_f = e\,\tau = 3\ \text{kW}\) do ar de fora e entrega dentro de casa \(Q_q = Q_f + \tau\).
No aquecedor de resistência, toda a energia elétrica vira calor, e ele entrega 1 kW.
A bomba entrega 4 kW, quatro vezes o calor do aquecedor, com o mesmo consumo.
médio
O freezer de uma geladeira fica a −5 °C, e a cozinha a 25 °C. Qual é a maior eficiência possível de uma máquina refrigeradora entre essas temperaturas?

Ver resolução
Em kelvin, \(T_f = 268\ \text{K}\) e \(T_q = 298\ \text{K}\), e o limite de Carnot é \(e_C = \dfrac{T_f}{T_q - T_f} = \dfrac{268}{30}\).
\(e_C \approx 8{,}9\); as geladeiras reais ficam bem abaixo disso.
desafio
Numa cozinha fechada e isolada, uma geladeira fica com a porta aberta durante 2 horas, e o compressor consome 150 W o tempo todo. Quanta energia a cozinha ganha nesse período, em joules e em calorias? Use \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

Ver resolução
Com a porta aberta, o calor que a geladeira retira de um lado volta para o outro, e o saldo de energia da cozinha é o trabalho do compressor, \(E = 150 \cdot 7200\) joules.
Em calorias, dividimos por 4,2.
A cozinha ganha \(1{,}08 \cdot 10^6\ \text{J}\), cerca de \(2{,}6 \cdot 10^5\ \text{cal}\), e esquenta.
desafio
Um freezer com eficiência 2 congela 1 kg de água que já está a 0 °C. O calor latente de fusão da água é de 80 cal/g. Quanto trabalho o compressor realiza, e quanto calor vai para a cozinha? Use \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\).

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O calor que precisa ser retirado é \(Q_f = m\,L\) \(= 1000 \cdot 80\) \(= 80\,000\ \text{cal}\), ou \(336\,000\ \text{J}\).
O trabalho é \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{336\,000}{2}\), e a cozinha recebe \(Q_q = Q_f + \tau\).
\(\tau = 1{,}68 \cdot 10^5\ \text{J}\) e \(Q_q = 5{,}04 \cdot 10^5\ \text{J}\)

FECHAMENTO

Desafios

Trabalho num ciclo

No gráfico \(p \times V\), um gás percorre no sentido horário o triângulo de vértices (1 L; 100 kPa), (4 L; 100 kPa) e (1 L; 400 kPa). Quanto trabalho ele realiza por ciclo?

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O trabalho do ciclo é a área do triângulo, com base de 3 L e altura de 300 kPa, \(\dfrac{3 \cdot 300}{2}\) em kPa vezes litros.
Como o sentido é horário, o trabalho é positivo e vale 450 J.

Energia interna

Um balão com 0,5 mol de hélio sobe e esfria de 300 K para 270 K. Quanto varia a energia interna do gás? Trate o hélio como gás ideal monoatômico, com \(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\).

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A energia interna acompanha a temperatura, \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,\Delta T\) \(= 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 8{,}3 \cdot (-30)\).
Isso dá cerca de \(-187\ \text{J}\), uma perda de energia interna.

Primeira lei

Um gás ideal monoatômico recebe 1000 J de calor a pressão constante. Quanto desse calor vira trabalho, e quanto fica como energia interna?

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Na isobárica, \(\tau = n\,R\,\Delta T\) e \(Q = \tfrac{5}{2}\,n\,R\,\Delta T\), e o trabalho é \(\tfrac{2}{5}\) do calor.
São 400 J de trabalho, e os 600 J restantes ficam como energia interna.

Adiabática

Ao encher um pneu depressa, fazemos 60 J de trabalho sobre o ar de uma bombada, sem que haja tempo para troca de calor. Quanto varia a energia interna do ar?

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Sem troca de calor, \(Q = 0\), e o ar recebe trabalho, \(\tau = -60\ \text{J}\).
Pela primeira lei, \(\Delta U = -\tau\), e a energia interna aumenta 60 J, o que esquenta o ar.

Rendimento

Um motor recebe 5 kJ de calor por ciclo, tem rendimento de 30% e completa 20 ciclos por segundo. Qual é a sua potência útil, e quanto calor ele rejeita por segundo?

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Por ciclo, \(\tau = 0{,}30 \cdot 5000 = 1500\ \text{J}\), e em 20 ciclos por segundo a potência é \(1500 \cdot 20\) watts, ou 30 kW.
O calor rejeitado por ciclo é \(5000 - 1500\), e por segundo chega a 70 kW.

Carnot

Uma usina recebe vapor a 300 °C e rejeita calor a 30 °C, com rendimento real de 33%. Que fração do rendimento de Carnot ela alcança?

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Em kelvin, \(T_q = 573\ \text{K}\) e \(T_f = 303\ \text{K}\), e \(\eta_C = 1 - \dfrac{303}{573} \approx 0{,}47\).
A razão é \(\dfrac{0{,}33}{0{,}47}\), e a usina alcança cerca de 70% do limite.

Ar-condicionado

Um ar-condicionado com eficiência 3 retira 2,1 kW de uma sala. Que potência elétrica ele consome, e quanto calor joga na rua por segundo?

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A potência elétrica é \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{2{,}1}{3}\), ou 0,7 kW.
Na rua, a unidade externa entrega \(Q_q = Q_f + \tau\), que dá 2,8 kW.

Pensar, sem conta

Um navio poderia andar retirando calor da água do oceano e transformando esse calor em trabalho, sem queimar combustível?

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A primeira lei não proíbe, porque a energia do oceano é enorme. A segunda lei, porém, exige uma fonte mais fria para onde mandar parte do calor, e o navio não tem, por perto, nada bem mais frio que o próprio oceano.
Sem essa diferença de temperatura, o rendimento máximo de Carnot é praticamente zero, e o navio não andaria.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo indicamos questões reais da prova sobre termodinâmica, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Trabalho de um gás · Passo 1
Num laboratório escolar, Otávio acompanhou o gás de um cilindro com pistão e registrou o gráfico abaixo. O gás vai de A até B a pressão constante, enquanto é aquecido, e de B até C com o pistão travado, enquanto esfria. Vamos lembrar que \(1\ \text{kPa} \cdot 1\ \text{L} = 1\ \text{J}\).

Quanto trabalho o gás realizou entre os estados A e C?
1. 200 J
2. 400 J
3. 600 J
4. 900 J
5. \(6 \cdot 10^5\ \text{J}\)
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Resposta: C.
De A até B, a pressão fica em 300 kPa e o volume cresce 2 L, e o trabalho é a área do retângulo sob o trecho, \(\tau_{AB} = 300 \cdot 2\), em joules.
De B até C o volume não muda, e o trecho vertical não tem área, \(\tau_{BC} = 0\). O total é 600 J.
A A usa a pressão final, de 100 kPa, e a B usa a média das pressões. A D multiplica a pressão de A pelo volume de B, que não é trabalho, e a E multiplica pascals por litros sem converter os litros em metros cúbicos.
Transformação adiabática · Passo 4
Ao usar um desodorante em spray, Júlia percebe que o jato sai bem frio, embora a lata esteja à temperatura do quarto. Vamos tratar o gás que sai da lata como um gás ideal e deixar de lado, nesta questão, a evaporação do líquido que sai junto com ele.

O resfriamento do jato pode ser explicado porque o gás
1. recebe calor do ambiente ao sair, o que reduz a sua energia interna.
2. é comprimido ao passar pela válvula, e a compressão esfria um gás.
3. perde pressão, e a temperatura de um gás ideal depende só da pressão.
4. se expande tão depressa que quase não troca calor, e o trabalho da expansão sai da sua energia interna.
5. se expande a temperatura constante e transforma em trabalho o calor que recebe.
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Resposta: D.
A expansão é muito rápida, e o gás quase não tem tempo de trocar calor, como numa adiabática. Com \(Q \approx 0\), a primeira lei dá \(\Delta U = -\tau\), e como o gás realiza trabalho ao se expandir, \(\tau > 0\), a energia interna e a temperatura diminuem.
A A inverte o efeito do calor recebido, que aumentaria a energia interna, e a B troca expansão por compressão, que esquentaria o gás. A C esquece que a temperatura depende do produto \(p\,V\), e a E descreve uma isotérmica, em que a temperatura não mudaria.
Rendimento · Passo 5
Uma reportagem compara quatro usinas termelétricas. Para cada uma, a tabela mostra a potência térmica liberada na queima do combustível e a potência elétrica que a usina entrega à rede.

Potências das usinas
Usina Queima (MW) Elétrica (MW)

I 1000 350

II 800 320

III 1200 360

IV 600 180

Qual usina tem o maior rendimento, e quanto calor ela rejeita ao ambiente a cada segundo?
1. A usina I, que rejeita 650 MW.
2. A usina II, que rejeita 480 MW.
3. A usina II, que rejeita 320 MW.
4. A usina III, que rejeita 840 MW.
5. A usina IV, que rejeita 420 MW.
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Resposta: B.
O rendimento é a razão entre a potência útil e a potência térmica, \(\eta = \dfrac{\tau}{Q_q}\). As usinas I, II, III e IV têm 35%, 40%, 30% e 30%, e a maior é a II.
O calor rejeitado por segundo é a diferença, \(Q_f = Q_q - \tau = 800 - 320\), ou 480 MW.
A D escolhe a usina que entrega mais potência elétrica, que não é a de maior rendimento, e a C confunde o calor rejeitado com a potência elétrica. A A e a E fazem a conta certa para usinas de rendimento menor.
Segunda lei · Passo 6
Uma empresa anuncia um motor experimental que aproveita os gases quentes da chaminé de uma fábrica. O motor retiraria calor desses gases, a 400 K, rejeitaria calor ao ar, a 300 K, e teria rendimento de 30%. Um engenheiro desconfia do anúncio e decide conferi-lo com a segunda lei.

Com base na segunda lei da termodinâmica, o anúncio
1. é impossível, porque o rendimento máximo entre essas temperaturas é de 25%.
2. é plausível, porque 30% é menor que 100%.
3. é plausível, porque o rendimento máximo entre essas temperaturas é de 75%.
4. é impossível, porque nenhuma máquina térmica pode rejeitar calor ao ar.
5. é plausível, desde que o motor funcione sem atrito.
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Resposta: A.
O maior rendimento possível entre duas fontes é o de Carnot, \(\eta_C = 1 - \dfrac{T_f}{T_q} = 1 - \dfrac{300}{400}\), ou 25%, e os 30% anunciados passam desse limite.
A C usa a razão \(T_f/T_q\) no lugar de \(1 - T_f/T_q\), e a B esquece que o limite não é 100%. A D contradiz a própria segunda lei, que exige rejeitar calor a uma fonte fria, e a E ignora que nem uma máquina sem atrito supera o rendimento de Carnot.
Ar-condicionado · Passo 7
Para refrescar o quarto, Fernando instalou um ar-condicionado que retira 2400 J de calor do ambiente a cada segundo. O manual informa uma eficiência de refrigeração de 3,0, que é a razão entre o calor retirado do quarto e a energia elétrica consumida.

Que potência elétrica o aparelho consome, e quanto calor a unidade externa entrega à rua a cada segundo?
1. 7200 W e 9600 J
2. 800 W e 1600 J
3. 2400 W e 3200 J
4. 800 W e 2400 J
5. 800 W e 3200 J
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Resposta: E.
Da definição de eficiência, \(\tau = \dfrac{Q_f}{e} = \dfrac{2400}{3{,}0}\), ou 800 J por segundo, uma potência de 800 W.
Pela conservação da energia, a unidade externa entrega \(Q_q = Q_f + \tau = 2400 + 800\), ou 3200 J por segundo.
A A multiplica pela eficiência em vez de dividir, e a B subtrai o trabalho do calor retirado. A C confunde a potência elétrica com o calor retirado, e a D esquece que o calor entregue à rua inclui a energia do compressor.

Potências das usinas
Usina	Queima (MW)	Elétrica (MW)
I	1000	350
II	800	320
III	1200	360
IV	600	180

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2009, 1º dia, caderno azul, questão 20. O esquema de uma usina termelétrica a combustível fóssil mostra a caldeira, a turbina e o condensador, e a questão pergunta que ação melhoraria o rendimento da usina sem reduzir a geração.
ENEM 2009, 1º dia, caderno azul, questão 39. A partir do ciclo de compressão e expansão do gás de uma geladeira, escolhemos a afirmação correta sobre as trocas de calor entre o interior e o exterior do aparelho.
ENEM 2012, 1º dia, caderno azul, questão 83. Um texto sobre a eficiência dos motores a combustão pede o fator que limita essa busca, e a resposta passa pela segunda lei da termodinâmica.
ENEM 2015, 1º dia, caderno azul, questão 63. Uma pessoa fecha a geladeira e tem dificuldade para reabri-la logo em seguida, e a questão pede a explicação, que envolve o ar que esfria a volume constante dentro do aparelho.
ENEM 2020, 2º dia, caderno azul, questão 105 (prova impressa). Os manuais desaconselham instalar o refrigerador perto de fontes de calor, e precisamos explicar por que isso aumenta o consumo de energia.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Trabalho a pressão constante\(\tau = p\,\Delta V\)

Trabalho em geralárea sob a curva \(p \times V\)

Energia interna\(U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T\)

Primeira lei\(Q = \tau + \Delta U\)

Isocórica\(\tau = 0\), \(Q = \Delta U\)

Isotérmica\(\Delta U = 0\), \(Q = \tau\)

Adiabática\(Q = 0\), \(\tau = -\Delta U\)

Ciclo\(\Delta U = 0\), \(\tau = Q_q - Q_f\)

Rendimento\(\eta = \tau/Q_q = 1 - Q_f/Q_q\)

Carnot\(\eta_C = 1 - T_f/T_q\)

Refrigerador\(e = Q_f/\tau\), \(Q_q = Q_f + \tau\)

Constantes\(R = 8{,}3\ \text{J/(mol·K)}\), \(1\ \text{cal} \approx 4{,}2\ \text{J}\)