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Física · Ensino Médio · Gravitação

Gravitação

A maçã que cai do galho, a Lua que dá a volta na Terra a cada mês e o mar que sobe e desce na praia têm a mesma origem, a atração gravitacional entre as massas. Vamos partir da lei de Newton, entender o campo gravitacional e as órbitas, desfazer a ideia de que no espaço não há gravidade, pesar planetas com as leis de Kepler e terminar na velocidade de escape e nas marés.

  1. 1Lei da gravitação
  2. 2Campo gravitacional
  3. 3Órbitas
  4. 4Imponderabilidade
  5. 5Kepler e as massas
  6. 6Velocidade de escape
  7. 7Marés
  8. ✓Desafios
PASSO 1

A força que derruba a maçã segura a Lua?

Na aula de Movimento Circular, no passo da força centrípeta, vimos que a Lua só faz a curva em volta da Terra porque alguma força a puxa para o centro, e adiantamos que essa força é a gravidade. Vamos agora olhar de perto a lei que Newton propôs para ela, a lei da gravitação universal.

Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros. Como a constante \(G\) é minúscula, a atração entre dois objetos do dia a dia tende a passar despercebida, e ela só se torna grande quando pelo menos uma das massas tem o tamanho de um planeta.

Newton testou a ideia com uma conta famosa. A Lua está a cerca de 60 raios terrestres do centro da Terra e, se a lei vale, a gravidade lá deve ser \(60^2 = 3600\) vezes mais fraca que aqui. Em 1 s a maçã cai 4,9 m, e a Lua deveria cair em direção à Terra 3600 vezes menos, pouco mais de 1 mm, que é justamente o desvio que a órbita observada exige.

A força aparece aos pares, como manda a 3ª lei de Newton. A maçã puxa a Terra com a mesma intensidade com que a Terra puxa a maçã, e só não vemos a Terra subir ao encontro dela porque, com uma massa tão grande, a aceleração da Terra fica praticamente nula.

\(F = \dfrac{G\,M\,m}{d^2}\)\(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)\(d\) é a distância entre os centros dos corpos. Em toda a aula usamos \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), a massa da Terra \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\) e o raio da Terra \(R_T = 6400\ \text{km}\). Na simulação, os tamanhos e as distâncias estão fora de escala, e \(d_0\) é a distância inicial de cada cenário.

força gravitacional sobre cada corpo

Para conversar

  • Com as esferas, dobre a distância e depois triplique. Nossa primeira intuição talvez seja que a força cai à metade e a um terço; confira no gráfico se ela cai mais do que isso.
  • Dobre a massa A e depois a massa B. O que acontece com a força, e com as setas dos dois lados?
  • Escolha Terra e maçã e compare as duas acelerações. Por que só a maçã parece se mexer?
  • Em Terra e Lua, deixe a distância em 60 raios e compare a aceleração da Lua com os 9,8 m/s² da maçã. A razão fica perto de 3600?
Força
Distância
Força comparada com a de d₀
Aceleração de A
Aceleração de B
Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Duas pessoas, de 60 kg e de 80 kg, estão sentadas a 2 m uma da outra. Com que força elas se atraem? Trate cada pessoa como um ponto e use \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

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    Pela lei da gravitação, \(F = \dfrac{G\,m_1\,m_2}{d^2}\) \(= \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 60 \cdot 80}{2^2}\).
    \(F \approx 8{,}0 \cdot 10^{-8}\ \text{N}\), uma força pequena demais para a sentirmos.
  2. básico

    Dois corpos se atraem com uma força \(F\). Se a distância entre eles triplica, qual passa a ser a força?

    Ver resolução
    A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância, e triplicar \(d\) divide a força por \(3^2\).
    A força passa a \(F/9\).
  3. básico

    Uma maçã de 0,2 kg cai da árvore, puxada pela Terra com uma força de 2 N. Com que força a maçã puxa a Terra? Por que não vemos a Terra subir ao encontro dela?

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    Pela 3ª lei de Newton, a maçã puxa a Terra com uma força de mesma intensidade, no sentido oposto.
    A aceleração da Terra, porém, é \(a = \dfrac{F}{M_T} = \dfrac{2}{6 \cdot 10^{24}}\) \(\approx 3 \cdot 10^{-25}\ \text{m/s}^2\), pequena demais para qualquer medida.
    A maçã puxa a Terra com 2 N, para cima, e a massa enorme da Terra deixa a aceleração dela praticamente nula.
  4. básico

    Calcule a força com que a Terra atrai um corpo de 1 kg na superfície. Use \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), \(R_T = 6400\ \text{km}\) e \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

    Ver resolução
    Passamos o raio para metros, \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\), e usamos \(F = \dfrac{G\,M_T\,m}{R_T^2}\) \(= \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 1}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2}\).
    \(F \approx 9{,}8\ \text{N}\), o peso de 1 kg que já conhecíamos.
  5. médio

    A Lua está a cerca de 60 raios terrestres do centro da Terra. Quantas vezes a aceleração causada pela Terra é menor lá do que na superfície? Quanto a Lua cai em direção à Terra em 1 s, se na superfície um corpo cai 4,9 m nesse tempo?

    Ver resolução
    A aceleração cai com o quadrado da distância, e a 60 raios ela fica \(60^2\) vezes menor.
    Em 1 s, a queda também fica 3600 vezes menor, \(\dfrac{4{,}9\ \text{m}}{3600}\).
    A aceleração é 3600 vezes menor, e a Lua cai cerca de 1,4 mm a cada segundo.
  6. médio

    Calcule a força de atração entre a Terra e a Lua. Use \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), \(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\), \(d = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\) e \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

    Ver resolução
    Na lei da gravitação, o numerador vale \(G\,M_T\,M_L\) \(= 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}\) \(\cdot\ 7{,}4 \cdot 10^{22} \approx 2{,}97 \cdot 10^{37}\), e o denominador, \(d^2 = (3{,}84 \cdot 10^8)^2 \approx 1{,}47 \cdot 10^{17}\).
    Então \(F = \dfrac{2{,}97 \cdot 10^{37}}{1{,}47 \cdot 10^{17}}\).
    \(F \approx 2 \cdot 10^{20}\ \text{N}\)
  7. médio

    Dois corpos se atraem com uma força \(F\). Dobramos a massa de cada um e também a distância entre eles. Qual é a nova força?

    Ver resolução
    Com as novas grandezas, \(F' = \dfrac{G\,(2m_1)(2m_2)}{(2d)^2}\) \(= \dfrac{4}{4} \cdot \dfrac{G\,m_1\,m_2}{d^2}\).
    A força continua igual a \(F\).
  8. médio

    Uma nave viaja em linha reta da Terra para a Lua. Em que ponto as atrações das duas se cancelam? A massa da Terra é cerca de 81 vezes a da Lua, e a distância entre os centros é de 384 000 km.

    Ver resolução
    Chamando de \(x\) a distância ao centro da Terra, as forças se igualam quando \(\dfrac{G\,M_T\,m}{x^2} = \dfrac{G\,M_L\,m}{(d - x)^2}\).
    Isso dá \(\dfrac{x}{d - x} = \sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}} = \sqrt{81} = 9\), e então \(x = \dfrac{9}{10}\,d\).
    A cerca de 346 000 km do centro da Terra, a nove décimos do caminho.
  9. desafio

    Newton conferiu a lei da gravitação com o movimento da Lua, que descreve uma órbita quase circular de raio \(3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\) em 27,3 dias. Calcule a aceleração centrípeta da Lua e compare com \(g/60^2\), usando \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) e lembrando que esse raio é cerca de 60 raios terrestres.

    Ver resolução
    O período em segundos é \(T = 27{,}3 \cdot 86\,400 \approx 2{,}36 \cdot 10^6\ \text{s}\).
    A aceleração centrípeta é \(a_c = \dfrac{4\pi^2\,r}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 \cdot 3{,}84 \cdot 10^8}{(2{,}36 \cdot 10^6)^2}\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^{-3}\ \text{m/s}^2\).
    A lei da gravitação prevê \(\dfrac{9{,}8}{3600} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-3}\ \text{m/s}^2\).
    Os dois valores coincidem, e a gravidade que derruba a maçã explica a órbita da Lua.
  10. desafio

    Duas esferas de chumbo de 100 kg cada estão com os centros a 0,5 m de distância. Calcule a atração entre elas e a massa de um objeto que, na Terra, teria um peso igual a essa força. Use \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) e \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    A atração vale \(F = \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 100 \cdot 100}{0{,}5^2}\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^{-6}\ \text{N}\).
    Um peso igual corresponde a uma massa \(m = \dfrac{F}{g} = \dfrac{2{,}7 \cdot 10^{-6}}{10}\).
    \(m \approx 2{,}7 \cdot 10^{-7}\ \text{kg}\), menos de um terço de miligrama, e por isso Cavendish precisou de uma balança de torção muito sensível para medir essa força.
PASSO 2

Quanto pesa um astronauta em outro mundo?

Podemos pensar na Terra como algo que modifica o espaço à sua volta. Em cada ponto existe um campo gravitacional \(\vec g\), a força que a Terra faria sobre cada quilograma colocado ali, e o peso de um corpo é a sua massa vezes esse campo.

Dividindo a lei de Newton pela massa \(m\), chegamos a \(g = G\,M/r^2\). Com os números da aula, a superfície da Terra fica com \(g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2\), o valor que já usávamos em Cinemática e Dinâmica, onde quase sempre o arredondávamos para 10.

A massa mede a quantidade de matéria e a inércia do corpo, e não muda de um planeta para outro. O peso muda junto com o \(g\) do lugar, e uma balança de banheiro, que mede força e divide por 9,8, mostraria em Marte um número bem menor que na Terra.

\(g = \dfrac{G\,M}{r^2}\)\(P = m\,g\)\(\dfrac{g}{g_0} = \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2\)\(r = R + h\) é a distância ao centro do planeta, \(R\) é o raio dele e \(g_0\), o valor na superfície. Os valores da tabela são aproximados e saem das massas e dos raios usados na simulação; o de Júpiter vale no topo das nuvens.
g na superfície
AstroMassa (kg)Raio (km)g (m/s²)
Mercúrio3,3·10²³24403,7
Vênus4,9·10²⁴60508,9
Terra6,0·10²⁴64009,8
Lua7,4·10²²17401,6
Marte6,4·10²³34003,7
Júpiter1,9·10²⁷71 50024,9

Subindo, \(g\) diminui com o quadrado da distância ao centro. A 400 km de altura, onde voa a Estação Espacial Internacional, ainda temos \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\), quase 90% do valor no chão, algo que talvez surpreenda quem imaginava o espaço sem gravidade.

Para conversar

  • Pese o astronauta na Terra, na Lua e em Júpiter. O que muda na leitura da balança, e o que continua igual?
  • Lance o foguete na Terra e acompanhe o gráfico. A que altura \(g\) cai para a metade, e a que altura cai para um quarto?
  • Leve o foguete a 400 km, a altura da ISS. Quanto vale \(g\) ali, comparado com o chão?
  • Compare a curva da Lua com a da Terra nos primeiros mil quilômetros. Em qual delas \(g\) parece cair mais depressa, e como podemos explicar isso?
g na superfície
g nessa altitude
Massa
Peso
Leitura da balança
Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Na Lua, \(g \approx 1{,}6\ \text{m/s}^2\). Qual é o peso de um astronauta de 80 kg lá, e qual é a sua massa?

    Ver resolução
    O peso é \(P = m\,g = 80 \cdot 1{,}6\), e a massa não muda de um lugar para outro.
    \(P = 128\ \text{N}\), e a massa continua 80 kg.
  2. básico

    Calcule \(g\) na superfície da Terra com \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\) e \(R_T = 6400\ \text{km}\).

    Ver resolução
    \(g = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2}\) \(= \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2}\) \(= \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{4{,}1 \cdot 10^{13}}\).
    \(g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2\)
  3. básico

    Uma balança de banheiro mede a força que fazemos sobre ela e mostra o resultado em quilogramas, dividindo por 9,8 m/s². Uma pessoa de 70 kg sobe nessa balança em Marte, onde \(g \approx 3{,}7\ \text{m/s}^2\). O que a balança mostra? A pessoa emagreceu?

    Ver resolução
    Em Marte, a força sobre a balança é o peso \(P = 70 \cdot 3{,}7 = 259\ \text{N}\), e a balança divide esse valor por 9,8, \(\dfrac{259}{9{,}8}\).
    A balança mostra cerca de 26 kg, e a massa continua 70 kg; o que mudou foi o peso, junto com o \(g\).
  4. básico

    A uma altitude igual ao raio da Terra, a distância ao centro dobra. Quanto vale \(g\) ali, se na superfície vale 9,8 m/s²?

    Ver resolução
    Com o dobro da distância ao centro, \(g\) cai para \(\dfrac{1}{2^2}\) do valor da superfície, \(\dfrac{9{,}8}{4}\).
    \(g = 2{,}45\ \text{m/s}^2\)
  5. médio

    A Estação Espacial Internacional voa a cerca de 400 km de altura. Calcule \(g\) nessa altura com os dados da aula, \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(R_T = 6400\ \text{km}\), e compare com o valor na superfície, 9,8 m/s².

    Ver resolução
    A distância ao centro é \(r = 6400 + 400 = 6800\ \text{km}\), e \(g = \dfrac{G\,M_T}{r^2} = \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{(6{,}8 \cdot 10^6)^2}\).
    Comparando com a superfície, a razão é \(\left(\dfrac{6400}{6800}\right)^2 \approx 0{,}89\).
    \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\), cerca de 89% do valor no chão.
  6. médio

    Um planeta tem o dobro da massa da Terra e o dobro do raio. Quanto vale \(g\) na sua superfície, se na Terra vale 9,8 m/s²?

    Ver resolução
    \(g' = \dfrac{G\,(2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{G\,M}{R^2}\).
    \(g' = 4{,}9\ \text{m/s}^2\), metade do valor da Terra.
  7. médio

    A que altitude, acima da superfície da Terra, \(g\) vale um nono do valor no chão? Dê a resposta em quilômetros, com \(R_T = 6400\ \text{km}\).

    Ver resolução
    Como \(g \propto 1/r^2\), para \(g\) cair a 1/9 a distância ao centro precisa triplicar, \(r = 3\,R_T\).
    A altitude é \(h = r - R_T = 2\,R_T\).
    \(h = 12\,800\ \text{km}\)
  8. médio

    Marte tem massa de \(6{,}4 \cdot 10^{23}\ \text{kg}\) e raio de 3400 km. Calcule \(g\) na superfície de Marte, com \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

    Ver resolução
    \(g = \dfrac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23}}{(3{,}4 \cdot 10^6)^2}\) \(= \dfrac{4{,}29 \cdot 10^{13}}{1{,}16 \cdot 10^{13}}\).
    \(g \approx 3{,}7\ \text{m/s}^2\)
  9. desafio

    Henry Cavendish ficou conhecido por pesar a Terra, ao medir \(G\) em laboratório. Mostre como, conhecendo \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) e \(R_T = 6400\ \text{km}\), calculamos a massa da Terra.

    Ver resolução
    Da expressão do campo na superfície, \(g = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2}\), isolamos \(M_T = \dfrac{g\,R_T^2}{G}\) \(= \dfrac{9{,}8 \cdot (6{,}4 \cdot 10^6)^2}{6{,}7 \cdot 10^{-11}}\).
    \(M_T \approx 6{,}0 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\)
  10. desafio

    Um planeta tem a mesma densidade da Terra e metade do seu raio. Quanto vale \(g\) na superfície dele, comparado com o da Terra? Lembre que o volume de uma esfera é \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\).

    Ver resolução
    Com densidade \(\rho\), a massa é \(M = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3\), e então \(g = \dfrac{G\,M}{R^2} = \dfrac{4}{3}\pi\,G\,\rho\,R\).
    Com a mesma densidade, \(g\) é proporcional ao raio.
    O \(g\) do planeta é metade do \(g\) da Terra, cerca de 4,9 m/s².
PASSO 3

Por que a Lua não cai na Terra?

Ainda na aula de Movimento Circular, lançamos um satélite e vimos que, com a velocidade certa, ele dá voltas em vez de cair. A gravidade faz ali o papel de força centrípeta, e igualando as duas chegamos à velocidade da órbita circular.

Newton imaginou a mesma coisa com um canhão no alto de uma montanha altíssima, acima do ar. Uma bala lenta cai perto, uma mais rápida cai mais longe e, a certa velocidade, a superfície da Terra se curva para longe da bala tão depressa quanto ela cai, de modo que a bala nunca chega ao chão. Um satélite cai continuamente e, continuamente, erra a Terra.

A massa do satélite cancela na conta, e a velocidade e o período dependem só da massa da Terra e do raio da órbita. Quanto mais alto o satélite, mais devagar ele anda e mais tempo leva para dar a volta, e podemos conferir isso comparando a ISS, que completa uma volta em cerca de 93 minutos, com a Lua, que leva 27 dias.

Um caso especial é o satélite geoestacionário, que gira sobre o equador, no mesmo sentido da Terra, com período de 24 h. Visto do chão, ele fica parado no céu, e por isso as antenas parabólicas de TV podem ficar fixas. Pela conta, o raio dessa órbita é de cerca de 42 000 km, uns 36 000 km acima da superfície.

\(\dfrac{m\,v^2}{r} = \dfrac{G\,M\,m}{r^2}\)\(v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\)\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M}}\)\(r\) é o raio da órbita, medido a partir do centro da Terra, e \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\). Na simulação, a montanha tem 400 km e supomos que não há ar; perto da superfície real, o ar frearia a bala muito antes. A trajetória é calculada passo a passo, com passos de 5 s.

Para conversar

  • Dispare a 4 km/s e a 6 km/s e compare onde a bala cai. O alcance parece crescer na mesma proporção que a velocidade?
  • Procure a velocidade da órbita circular e compare com \(\sqrt{G\,M/r}\) para \(r = 6800\ \text{km}\).
  • Dispare a 9 km/s e a 10 km/s. Onde fica o ponto mais alto de cada elipse, e por qual ponto a bala sempre volta a passar?
  • Quanto tempo a bala leva para dar a volta na órbita circular? Compare com o período da ISS, de cerca de 93 minutos.
Velocidade do disparo
Velocidade circular ali
Velocidade de escape ali
Resultado
Período
Tempo de voo
Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Qual seria a velocidade de um satélite em órbita circular rente à superfície da Terra, se não houvesse ar nem montanhas? Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\).

    Ver resolução
    \(v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T}} = \sqrt{\dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}4 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{6{,}28 \cdot 10^7}\).
    \(v \approx 7{,}9\ \text{km/s}\)
  2. básico

    Se a gravidade puxa a Lua para a Terra o tempo todo, por que a Lua não cai?

    Ver resolução
    A Lua cai, no sentido de que a trajetória dela se curva o tempo todo em direção à Terra.
    Ao mesmo tempo, ela anda para o lado a cerca de 1 km/s, e a queda só dobra a trajetória em volta da Terra, como a bala do canhão de Newton na velocidade de órbita.
    A Lua está sempre caindo e sempre errando a Terra, e a gravidade faz o papel de força centrípeta.
  3. básico

    Dois satélites, um de 200 kg e outro de 2000 kg, giram na mesma órbita circular. Qual deles tem o maior período?

    Ver resolução
    Igualando a força gravitacional à centrípeta, \(\dfrac{m\,v^2}{r} = \dfrac{G\,M\,m}{r^2}\), a massa \(m\) do satélite cancela, e \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\) depende só de \(r\) e da massa da Terra.
    Os dois têm o mesmo período.
  4. básico

    A ISS gira a 6800 km do centro da Terra. Calcule a sua velocidade e o seu período. Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

    Ver resolução
    \(v = \sqrt{\dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}8 \cdot 10^6}}\) \(\approx 7{,}69 \cdot 10^3\ \text{m/s}\).
    O período é o comprimento da órbita dividido pela velocidade, \(T = \dfrac{2\pi\,r}{v} = \dfrac{2\pi \cdot 6{,}8 \cdot 10^6}{7{,}69 \cdot 10^3}\) \(\approx 5{,}56 \cdot 10^3\ \text{s}\).
    \(v \approx 7{,}7\ \text{km/s}\) e \(T \approx 93\ \text{min}\)
  5. médio

    Calcule o raio da órbita de um satélite geoestacionário, de período 24 h, e a sua altura acima do solo. Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\), \(R_T = 6400\ \text{km}\) e \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

    Ver resolução
    De \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\) vem \(r^3 = \dfrac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}\), com \(T = 86\,400\ \text{s}\).
    \(r^3 = \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14} \cdot (8{,}64 \cdot 10^4)^2}{4 \cdot 9{,}87}\) \(\approx 7{,}6 \cdot 10^{22}\ \text{m}^3\), e \(r = \sqrt[3]{7{,}6 \cdot 10^{22}}\).
    \(r \approx 4{,}24 \cdot 10^7\ \text{m}\), cerca de 42 000 km do centro, ou 36 000 km acima do solo.
  6. médio

    Com que velocidade anda um satélite geoestacionário, cuja órbita tem raio de cerca de 42 400 km?

    Ver resolução
    Ele dá uma volta completa em 24 h, e \(v = \dfrac{2\pi\,r}{T} = \dfrac{2\pi \cdot 4{,}24 \cdot 10^7}{86\,400}\).
    \(v \approx 3{,}1\ \text{km/s}\)
  7. médio

    Um satélite passa para uma órbita circular de raio quatro vezes maior. O que acontece com a sua velocidade e com o seu período?

    Ver resolução
    Como \(v = \sqrt{G\,M/r}\), quadruplicar \(r\) divide \(v\) por \(\sqrt 4 = 2\).
    Como \(T \propto r^{3/2}\), o período fica multiplicado por \(4^{3/2} = 8\).
    A velocidade cai à metade e o período fica 8 vezes maior.
  8. médio

    Por que todos os satélites geoestacionários ficam sobre a linha do equador? Um satélite de período 24 h numa órbita inclinada também ficaria parado no céu?

    Ver resolução
    Toda órbita tem o centro da Terra no seu plano, e o satélite precisa acompanhar o ponto do chão que gira abaixo dele.
    Só os pontos do equador giram num círculo centrado no centro da Terra, e só ali o plano da órbita pode coincidir com o do movimento do chão.
    Numa órbita inclinada de 24 h, o satélite passaria metade do dia ao norte do equador e metade ao sul, desenhando no céu uma figura em forma de oito.
    Só uma órbita equatorial, de 24 h e no sentido da rotação, mantém o satélite parado no céu.
  9. desafio

    Quantas voltas a ISS dá em torno da Terra num dia? Use o período de cerca de 92,6 min que calculamos para a órbita de raio 6800 km.

    Ver resolução
    Um dia tem 1440 min, e o número de voltas é \(\dfrac{1440}{92{,}6}\).
    Cerca de 15,5 voltas por dia, e os astronautas veem o Sol nascer umas 15 ou 16 vezes a cada 24 h.
  10. desafio

    O canhão de Newton está no alto de uma montanha imaginária, a 6800 km do centro da Terra, acima do ar. A bala sai na horizontal a 9 km/s, mais rápido que os 7,7 km/s da órbita circular nessa altura. Descreva a trajetória e calcule a maior distância ao centro da Terra. Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e o fato de que, numa órbita elíptica, a energia por quilograma vale \(-G\,M/(2a)\), em que \(a\) é o semieixo maior.

    Ver resolução
    A energia por quilograma no disparo é \(\dfrac{v^2}{2} - \dfrac{G\,M}{r}\) \(= \dfrac{(9 \cdot 10^3)^2}{2} - \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}8 \cdot 10^6}\) \(\approx 4{,}05 \cdot 10^7 - 5{,}91 \cdot 10^7\) \(= -1{,}86 \cdot 10^7\ \text{J/kg}\).
    Sendo negativa, ela indica uma órbita fechada, uma elipse, com \(a = \dfrac{G\,M}{2 \cdot 1{,}86 \cdot 10^7}\) \(\approx 1{,}08 \cdot 10^7\ \text{m}\).
    O ponto de disparo é o perigeu, e o ponto mais distante fica a \(r_a = 2a - r_p\) \(= 2{,}16 \cdot 10^7 - 6{,}8 \cdot 10^6\).
    A bala descreve uma elipse e chega a cerca de \(1{,}48 \cdot 10^7\ \text{m}\) do centro, uns 8400 km acima do solo, voltando ao topo da montanha a cada volta.
PASSO 4

Os astronautas flutuam porque falta gravidade?

As imagens da Estação Espacial Internacional, com astronautas e objetos flutuando, sugerem um lugar sem gravidade. Vimos no passo 2, porém, que a 400 km de altura \(g\) ainda vale cerca de 8,7 m/s², e é essa gravidade que mantém a estação em órbita.

A pista, como veremos, está na balança. Ela mede a força com que empurramos o piso, e chamamos essa leitura de peso aparente. Quando a cabine acelera, a balança precisa fazer uma força diferente do peso para que a pessoa acompanhe a cabine, e a leitura muda, embora a gravidade continue a mesma.

Num elevador em queda livre, a pessoa, a balança e a cabine caem com a mesma aceleração \(g\), e ninguém empurra ninguém. A leitura vai a zero, e a sensação é de flutuar. A estação espacial está nessa mesma situação, caindo o tempo todo em volta da Terra, e chamamos esse estado de imponderabilidade.

Os aviões de voo parabólico, usados no treino de astronautas, reproduzem isso por cerca de 20 segundos de cada vez. O piloto faz o avião seguir a mesma parábola que uma pedra lançada seguiria, e lá dentro tudo flutua.

\(N - m\,g = m\,a\)\(N = m\,(g + a)\)\(a = -g \Rightarrow N = 0\)\(N\) é a força da balança sobre a pessoa, e \(a\) é a aceleração da cabine, positiva para cima. Como as balanças de banheiro, a da simulação mostra \(N/9{,}8\) em quilogramas, e o elevador acelera a 2 m/s² quando não está em queda livre.

Para conversar

  • Compare as duas barras com o elevador parado e depois acelerando para cima. Qual delas mudou?
  • Solte a bola com o elevador parado e depois em queda livre. O que a bola parece fazer, em relação à cabine, em cada caso?
  • Escolha a estação em órbita. A barra da gravidade zerou? Se não zerou, como podemos explicar a balança marcando zero?
  • Mude a massa da pessoa durante o voo parabólico. A leitura da balança depende da massa?
g no local
Aceleração da cabine
Força da gravidade
Leitura da balança
Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma pessoa de 60 kg está sobre uma balança num elevador parado. Quanto marca a balança, em newtons? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Com o elevador parado, a aceleração é zero e \(N = m\,g = 60 \cdot 10\).
    \(N = 600\ \text{N}\)
  2. básico

    O mesmo elevador sobe acelerando a 2 m/s². Quanto marca a balança agora?

    Ver resolução
    A resultante precisa apontar para cima, \(N - m\,g = m\,a\), e então \(N = m\,(g + a) = 60 \cdot 12\).
    \(N = 720\ \text{N}\), e a pessoa se sente mais pesada.
  3. básico

    O cabo do elevador se rompe e ele cai em queda livre. Quanto marca a balança durante a queda, se desprezamos o ar?

    Ver resolução
    Em queda livre, \(a = -g\), e \(N = m\,(g + a) = 60 \cdot (10 - 10)\).
    A balança marca zero, porque a pessoa e a balança caem juntas.
  4. básico

    Lucas afirma que os astronautas da ISS flutuam porque, a 400 km de altura, já não existe gravidade. O que está errado nessa explicação?

    Ver resolução
    A 400 km de altura, \(g\) ainda vale cerca de 8,7 m/s², quase 90% do valor no chão, e é essa gravidade que mantém a estação em órbita.
    Os astronautas flutuam porque eles e a estação estão em queda livre juntos, caindo em volta da Terra com a mesma aceleração.
    A gravidade está lá, e forte; o que falta é uma força de contato, já que nada empurra o astronauta contra o piso.
  5. médio

    O elevador desce acelerando a 3 m/s². Quanto marca a balança para a pessoa de 60 kg, em newtons, e o que mostra uma balança que divide a força por 10 m/s² para dar quilogramas?

    Ver resolução
    Com a aceleração para baixo, \(a = -3\ \text{m/s}^2\), e \(N = m\,(g + a) = 60 \cdot (10 - 3)\).
    A balança em quilogramas divide essa força por 10.
    \(N = 420\ \text{N}\), e a balança mostra 42 kg.
  6. médio

    Num voo parabólico, o avião sobe com velocidade vertical de 100 m/s quando o piloto passa a ajustar os motores só para compensar o ar, e o avião segue em queda livre até a velocidade vertical ser de 100 m/s para baixo. Quanto tempo dura a imponderabilidade? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    Em queda livre, a velocidade vertical muda de \(+100\) para \(-100\ \text{m/s}\), uma variação de 200 m/s, à razão de 10 m/s a cada segundo, e \(\Delta t = \dfrac{200}{10}\).
    \(\Delta t = 20\ \text{s}\) de imponderabilidade.
  7. médio

    O elevador desce com velocidade constante de 5 m/s. Quanto marca a balança para a pessoa de 60 kg?

    Ver resolução
    Com velocidade constante a aceleração é zero, e a balança só precisa equilibrar o peso, \(N = m\,g = 60 \cdot 10\).
    \(N = 600\ \text{N}\), a mesma leitura do elevador parado.
  8. médio

    Dentro da ISS, a astronauta Helena solta uma caneta diante do rosto. O que ela vê? E o que veria alguém que acompanhasse a cena de fora, parado em relação ao centro da Terra?

    Ver resolução
    A caneta, a astronauta e a estação caem juntas em volta da Terra, com a mesma aceleração.
    Em relação a Helena, a caneta fica parada no ar, flutuando.
    Para quem observa de fora, a caneta segue a mesma órbita da estação, a uns 7,7 km/s, caindo em volta da Terra.
    Dentro da estação a caneta flutua, e de fora ela orbita a Terra junto com a estação.
  9. desafio

    Para criar uma gravidade artificial, uma estação espacial em forma de roda gira em torno do próprio eixo. Com raio de 50 m, qual deve ser a velocidade angular para que um astronauta no aro sinta uma aceleração de 10 m/s²? Quanto tempo leva cada volta?

    Ver resolução
    O piso do aro empurra o astronauta para o centro e faz o papel da força centrípeta, com \(a_c = \omega^2\,r\).
    Então \(\omega = \sqrt{a_c/r} = \sqrt{10/50}\), e o período é \(T = 2\pi/\omega\).
    \(\omega \approx 0{,}45\ \text{rad/s}\), uma volta a cada 14 s.
  10. desafio

    Num elevador, a balança marca 480 N para uma pessoa de 60 kg. Qual é a aceleração do elevador? Dá para saber se ele está subindo ou descendo? Use \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

    Ver resolução
    De \(N = m\,(g + a)\) vem \(a = \dfrac{N}{m} - g = \dfrac{480}{60} - 10\).
    Uma aceleração para baixo aparece tanto num elevador que desce cada vez mais rápido quanto num que sobe e está freando.
    \(a = -2\ \text{m/s}^2\), ou 2 m/s² para baixo, e a balança sozinha não diz se o elevador sobe ou desce.
PASSO 5

Como pesar Júpiter sem sair da Terra?

Na aula de Movimento Circular, no passo das leis de Kepler, conhecemos as três leis que Kepler tirou das observações, entre elas a terceira, \(T^2/a^3 = \text{constante}\). Agora podemos mostrar de onde ela vem, porque, elevando ao quadrado a fórmula do período da órbita circular, encontramos \(T^2/r^3 = 4\pi^2/(G\,M)\).

A conta diz mais do que Kepler sabia. A constante depende só da massa \(M\) do corpo central e vale para todos os satélites que giram em volta dele, qualquer que seja a massa de cada um. As luas de Júpiter têm uma constante, os planetas em volta do Sol têm outra e os satélites artificiais da Terra, uma terceira.

Ganhamos assim uma balança astronômica. Medindo o raio e o período de uma única lua, calculamos a massa do planeta, e foi desse modo que se obteve a massa de Júpiter, a da Terra, pela Lua, e a do Sol, pela própria Terra.

\(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M}\)\(M = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\)\(r_p\,v_p = r_a\,v_a\)Nas órbitas elípticas, \(r\) dá lugar ao semieixo maior \(a\). A última relação vale entre o periélio (\(p\)) e o afélio (\(a\)), os pontos em que a velocidade é perpendicular ao raio. Os raios e os períodos da simulação são valores aproximados, e a reta é ajustada aos pontos pelo método dos mínimos quadrados.

A segunda lei, a das áreas, também ganha uma leitura nova. Ela equivale à conservação do momento angular, e no periélio e no afélio o produto da distância pela velocidade é o mesmo. O planeta acelera ao se aproximar do Sol, puxado para a frente pela própria gravidade, e desacelera ao se afastar.

Na simulação, cada satélite vira um ponto no gráfico de \(T^2\) contra \(r^3\). Se a teoria estiver certa, os pontos devem cair, aproximadamente, sobre uma reta que passa pela origem, e a inclinação dessa reta, \(4\pi^2/(G\,M)\), nos entrega a massa central.

Para conversar

  • Com as luas de Júpiter, confira se os quatro pontos ficam na mesma reta. Que massa a simulação calcula para Júpiter?
  • Mova o corpo novo para longe e para perto. Quantas vezes o período parece aumentar quando o raio dobra?
  • Troque para os satélites da Terra e depois para os planetas. A inclinação da reta muda? Por quê?
  • Nos satélites da Terra, puxe o corpo novo o mais perto possível. Dá para chegar a uma volta por hora?
Massa central calculada
T²/r³
Raio do corpo novo
Período do corpo novo
Velocidade do corpo novo
Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    O satélite B gira em torno da Terra numa órbita de raio quatro vezes maior que a do satélite A. Quantas vezes o período de B é maior que o de A?

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    Pela 3ª lei, \(T^2 \propto r^3\), e \(\dfrac{T_B}{T_A} = \left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)^{3/2} = 4^{3/2}\).
    O período de B é 8 vezes o de A.
  2. básico

    A razão \(T^2/r^3\) calculada para a Lua, em volta da Terra, é igual à calculada para a Terra, em volta do Sol? Por quê?

    Ver resolução
    A razão vale \(\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\), em que \(M\) é a massa do corpo central.
    Para a Lua, o corpo central é a Terra; para a Terra, é o Sol, cuja massa é cerca de 330 mil vezes maior.
    As razões são diferentes, porque cada uma depende da massa do corpo em volta do qual se gira.
  3. básico

    A Terra passa mais perto do Sol no começo de janeiro, no periélio, e mais longe no começo de julho, no afélio. Em qual dos dois meses ela anda mais depressa na órbita?

    Ver resolução
    Pela 2ª lei, a linha Sol–Terra varre áreas iguais em tempos iguais, o que equivale a \(r\,v\) constante nesses dois pontos.
    Com \(r\) menor, a velocidade precisa ser maior.
    Em janeiro, no periélio.
  4. básico

    Marte gira em torno do Sol a 1,52 UA. Quanto dura o ano marciano, em anos terrestres? Use \(T^2 = r^3\), com \(T\) em anos e \(r\) em UA.

    Ver resolução
    \(T = \sqrt{r^3} = \sqrt{1{,}52^3} = \sqrt{3{,}51}\).
    \(T \approx 1{,}87\) ano terrestre, cerca de 1 ano e 10 meses.
  5. médio

    A Lua dá uma volta em torno da Terra em 27,3 dias, numa órbita de raio \(3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\). Calcule a massa da Terra. Use \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) e \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

    Ver resolução
    O período em segundos é \(T = 27{,}3 \cdot 86\,400 \approx 2{,}36 \cdot 10^6\ \text{s}\).
    \(M = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 9{,}87 \cdot (3{,}84 \cdot 10^8)^3}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot (2{,}36 \cdot 10^6)^2}\).
    \(M \approx 6{,}0 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), o mesmo valor que tiramos de \(g\) e de \(R_T\) no passo 2.
  6. médio

    A Terra gira em torno do Sol a \(1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}\), com período de um ano, \(3{,}15 \cdot 10^7\ \text{s}\). Calcule a massa do Sol, com \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) e \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

    Ver resolução
    \(M_S = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 9{,}87 \cdot (1{,}5 \cdot 10^{11})^3}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot (3{,}15 \cdot 10^7)^2}\).
    \(M_S \approx 2{,}0 \cdot 10^{30}\ \text{kg}\)
  7. médio

    No periélio, a Terra está a 147 milhões de km do Sol; no afélio, está a 152 milhões de km e anda a 29,3 km/s. Qual é a sua velocidade no periélio?

    Ver resolução
    Nos dois pontos a velocidade é perpendicular ao raio, e a 2ª lei de Kepler dá \(r_p\,v_p = r_a\,v_a\), ou \(v_p = \dfrac{152 \cdot 29{,}3}{147}\).
    \(v_p \approx 30{,}3\ \text{km/s}\)
  8. médio

    Io, uma das luas de Júpiter, tem órbita de raio \(4{,}22 \cdot 10^8\ \text{m}\) e período de 1,77 dia. Calcule a massa de Júpiter, com \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) e \(\pi^2 \approx 9{,}87\).

    Ver resolução
    Em segundos, \(T = 1{,}77 \cdot 86\,400 \approx 1{,}53 \cdot 10^5\ \text{s}\).
    \(M_J = \dfrac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 9{,}87 \cdot (4{,}22 \cdot 10^8)^3}{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot (1{,}53 \cdot 10^5)^2}\).
    \(M_J \approx 1{,}9 \cdot 10^{27}\ \text{kg}\), mais de 300 vezes a massa da Terra.
  9. desafio

    É possível um satélite dar uma volta em torno da Terra a cada hora? Calcule o menor período possível, o de uma órbita rente à superfície, e conclua. Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\).

    Ver resolução
    \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R_T^3}{G\,M_T}}\) \(= 2\pi\sqrt{\dfrac{(6{,}4 \cdot 10^6)^3}{4{,}02 \cdot 10^{14}}}\) \(\approx 5{,}07 \cdot 10^3\ \text{s}\).
    Um período menor exigiria um raio menor que o da Terra, porque \(T\) cresce com \(r\).
    Não é possível, porque nenhum satélite da Terra dá a volta em menos de uns 85 minutos.
  10. desafio

    O cometa Halley volta a cada 76 anos e, no periélio, passa a 0,59 UA do Sol. Calcule o semieixo maior da órbita e a distância do afélio. Use \(T^2 = a^3\), com \(T\) em anos e \(a\) em UA, e lembre que o eixo maior mede \(r_p + r_a = 2a\).

    Ver resolução
    O semieixo maior é \(a = T^{2/3} = 76^{2/3} = \sqrt[3]{5776}\).
    O afélio fica a \(r_a = 2a - r_p \approx 35{,}9 - 0{,}59\).
    \(a \approx 17{,}9\ \text{UA}\), e o afélio fica a cerca de 35 UA, além da órbita de Netuno.
PASSO 6

Com que velocidade escapamos da Terra?

Quando um corpo sobe, ele troca energia cinética por energia potencial gravitacional. Perto do chão usávamos \(E_p = m\,g\,h\), mas essa fórmula supõe \(g\) constante, e para alturas comparáveis ao raio da Terra precisamos da expressão geral, \(E_p = -G\,M\,m/r\).

O sinal negativo talvez incomode à primeira vista. Escolhemos o zero da energia potencial no infinito, onde a atração desaparece, e, como a gravidade puxa para dentro, qualquer ponto mais perto do planeta tem energia menor que lá. Daí o valor negativo, que se aproxima de zero à medida que \(r\) aumenta. O gráfico dessa energia lembra um poço, e é com essa imagem que vamos trabalhar.

Se a energia total \(E_c + E_p\) é negativa, o corpo sobe até um ponto de retorno e cai de volta. Se ela é zero ou positiva, ele vai embora para sempre. A menor velocidade de lançamento que zera a energia total é a velocidade de escape, que na Terra vale cerca de 11,2 km/s, se desprezamos o ar.

\(E_p = -\dfrac{G\,M\,m}{r}\)\(\dfrac{m\,v_e^2}{2} - \dfrac{G\,M\,m}{R} = 0\)\(v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}\)\(R\) é o raio do planeta, e a velocidade de escape não depende da massa do projétil. Na simulação, desprezamos o ar e a rotação do planeta, a coluna da esquerda vai até 6 raios e o eixo do poço, até 10.

Na Lua, a velocidade de escape é de só 2,4 km/s. As moléculas de um gás se agitam com velocidades que, em média, ficam abaixo disso, mas uma parte delas é bem mais rápida, e ao longo de bilhões de anos essas moléculas teriam escapado. Essa é, provavelmente, a principal razão de a Lua quase não ter atmosfera.

Se comprimíssemos uma massa num raio pequeno o bastante, a velocidade de escape passaria da velocidade da luz, e nem a luz sairia. Essa é a ideia de um buraco negro, que a teoria de Einstein descreve com mais cuidado do que a nossa conta.

Para conversar

  • Na Terra, lance a 5 km/s e a 8 km/s. Onde a linha da energia total toca o poço, e a que altura o projétil para?
  • Aperte o botão da velocidade de escape. O que acontece com a linha da energia total em relação ao zero?
  • Compare as velocidades de escape da Terra, da Lua e de Marte. Qual desses astros segura melhor uma atmosfera?
  • A 8 km/s, o projétil sobe uns 6700 km. Quanto daria \(v^2/(2g)\), com \(g\) constante, e como podemos explicar a diferença?
Velocidade de escape
Energia total por kg
Altura máxima prevista
Altura agora
Velocidade agora
Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Calcule a velocidade de escape da Terra com \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\), desprezando o ar.

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    \(v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{R_T}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4{,}02 \cdot 10^{14}}{6{,}4 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{1{,}26 \cdot 10^8}\).
    \(v_e \approx 11{,}2\ \text{km/s}\)
  2. básico

    Por que a energia potencial gravitacional \(E_p = -G\,M\,m/r\) é negativa? Ela aumenta ou diminui quando o corpo se afasta da Terra?

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    Escolhemos o zero da energia potencial no infinito, onde a atração desaparece.
    Para levar um corpo de perto da Terra até lá, precisamos fornecer energia, e então qualquer ponto a distância finita tem energia menor que zero.
    Ela é negativa por causa da escolha do zero no infinito, e aumenta, aproximando-se de zero, à medida que o corpo se afasta.
  3. básico

    Um caminhão e uma bolinha de gude precisariam da mesma velocidade para escapar da Terra? E da mesma energia?

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    Na conta da velocidade de escape, \(\dfrac{m\,v_e^2}{2} = \dfrac{G\,M\,m}{R}\), a massa \(m\) cancela, e \(v_e\) não depende dela.
    A energia necessária, \(G\,M\,m/R\), é proporcional à massa.
    A velocidade é a mesma, 11,2 km/s, e o caminhão precisa de muito mais energia.
  4. básico

    Um satélite de 1000 kg está a 12 800 km do centro da Terra. Qual é a sua energia potencial gravitacional? Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

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    \(E_p = -\dfrac{G\,M_T\,m}{r}\) \(= -\dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14} \cdot 1000}{1{,}28 \cdot 10^7}\).
    \(E_p \approx -3{,}1 \cdot 10^{10}\ \text{J}\)
  5. médio

    A Lua tem massa de \(7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) e raio de 1740 km. Calcule a velocidade de escape da Lua, com \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

    Ver resolução
    \(v_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}4 \cdot 10^{22}}{1{,}74 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{5{,}7 \cdot 10^6}\).
    \(v_e \approx 2{,}4\ \text{km/s}\), pouco mais de um quinto da velocidade de escape da Terra.
  6. médio

    Quanta energia é preciso para levar um satélite de 1000 kg da superfície da Terra até 400 km de altura, sem contar a energia cinética da órbita? Compare com \(m\,g\,h\), usando \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\). Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

    Ver resolução
    A variação da energia potencial é \(\Delta E_p = G\,M\,m\left(\dfrac{1}{R_T} - \dfrac{1}{r}\right)\), e o parêntese vale \(\dfrac{1}{6{,}4 \cdot 10^6} - \dfrac{1}{6{,}8 \cdot 10^6}\) \(\approx 9{,}2 \cdot 10^{-9}\ \text{m}^{-1}\), de modo que \(\Delta E_p = 4{,}02 \cdot 10^{17} \cdot 9{,}2 \cdot 10^{-9}\).
    Com \(g\) constante, \(m\,g\,h = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 4 \cdot 10^5\) \(\approx 3{,}9 \cdot 10^9\ \text{J}\), um pouco mais, porque na verdade \(g\) diminui com a altura.
    Cerca de \(3{,}7 \cdot 10^9\ \text{J}\), uns 6% menos que \(m\,g\,h\).
  7. médio

    Um projétil é lançado verticalmente da superfície da Terra a 5 km/s, sem ar. Até que altura ele sobe? Compare com \(v^2/(2g)\), que supõe \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) constante. Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\).

    Ver resolução
    Pela conservação da energia, \(\dfrac{v^2}{2} - \dfrac{G\,M}{R_T} = -\dfrac{G\,M}{r_{\text{máx}}}\), e \(\dfrac{G\,M}{r_{\text{máx}}} = 6{,}28 \cdot 10^7 - 1{,}25 \cdot 10^7\) \(= 5{,}03 \cdot 10^7\ \text{J/kg}\).
    Então \(r_{\text{máx}} = \dfrac{4{,}02 \cdot 10^{14}}{5{,}03 \cdot 10^7} \approx 7{,}99 \cdot 10^6\ \text{m}\), e a altura é \(r_{\text{máx}} - R_T\).
    Com \(g\) constante, daria \(\dfrac{(5 \cdot 10^3)^2}{2 \cdot 9{,}8} \approx 1{,}28 \cdot 10^6\ \text{m}\).
    Cerca de 1590 km, bem mais que os 1280 km da conta com \(g\) constante, porque a gravidade enfraquece durante a subida.
  8. médio

    A Terra tem atmosfera e a Lua, praticamente nenhuma. Explique a diferença usando a velocidade de escape.

    Ver resolução
    As moléculas de um gás se agitam em todas as direções, e uma parte delas, ainda que pequena, anda bem mais rápido que a média.
    Na Lua, a velocidade de escape é de só 2,4 km/s, e ao longo de bilhões de anos essas moléculas mais rápidas foram escapando, enquanto a Terra, com 11,2 km/s, segura a maior parte do seu ar.
    A gravidade fraca da Lua não retém um gás por bilhões de anos, e a atmosfera que ela possa ter tido escapou.
  9. desafio

    Até que raio precisaríamos comprimir a Terra, mantendo a sua massa, para que a velocidade de escape na superfície fosse igual à da luz, \(3 \cdot 10^8\ \text{m/s}\)? Use a fórmula newtoniana, que neste caso coincide com a da relatividade, e \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\).

    Ver resolução
    Fazendo \(v_e = c\) em \(v_e = \sqrt{2\,G\,M/R}\), temos \(R = \dfrac{2\,G\,M}{c^2}\) \(= \dfrac{2 \cdot 4{,}02 \cdot 10^{14}}{9 \cdot 10^{16}}\).
    \(R \approx 9 \cdot 10^{-3}\ \text{m}\), menos de 1 cm, o tamanho de uma bolinha de gude.
  10. desafio

    Um satélite de massa \(m\) está em órbita circular de raio \(r\). Mostre que a sua energia cinética vale \(G\,M\,m/(2r)\) e a energia mecânica total, \(-G\,M\,m/(2r)\). Quanto falta, em velocidade, para um objeto na órbita da ISS, com \(r = 6800\ \text{km}\) e \(v = 7{,}7\ \text{km/s}\), escapar da Terra?

    Ver resolução
    Da órbita circular, \(m\,v^2 = G\,M\,m/r\), e então \(E_c = \dfrac{m\,v^2}{2} = \dfrac{G\,M\,m}{2r}\).
    Somando a energia potencial, \(E = \dfrac{G\,M\,m}{2r} - \dfrac{G\,M\,m}{r}\) \(= -\dfrac{G\,M\,m}{2r}\).
    Para escapar dali, a energia precisa chegar a zero, o que pede \(v_e = \sqrt{2}\,v\) \(\approx 1{,}41 \cdot 7{,}7 \approx 10{,}9\ \text{km/s}\).
    Faltam cerca de 3,2 km/s, somados na direção do movimento.
PASSO 7

Por que o mar sobe duas vezes por dia?

Quem passa um dia na praia vê o mar subir e descer, e os pescadores sabem que há, em geral, duas marés altas por dia, separadas por pouco mais de 12 horas. A principal responsável é a Lua, e o que importa aqui é que a atração dela tem intensidades diferentes em pontos diferentes da Terra.

O lado da Terra voltado para a Lua está mais perto dela e é puxado com mais força que o centro, e o centro é puxado com mais força que o lado oposto. Se olharmos do centro da Terra, é como se o oceano fosse esticado nas duas direções, formando duas protuberâncias, uma voltada para a Lua e outra do lado contrário. A Terra gira por baixo delas, e cada porto passa por duas marés altas a cada volta.

Chamamos essa diferença de força de maré. Ela cai com o cubo da distância, mais depressa que a própria gravidade, e por isso o Sol, que puxa a Terra com uma força cerca de 180 vezes maior que a da Lua, produz marés com menos da metade da intensidade das lunares.

Nas luas nova e cheia, Sol, Terra e Lua ficam alinhados, os dois efeitos se somam e temos as marés de sizígia, de maior amplitude. Nos quartos crescente e minguante, Sol e Lua puxam em direções perpendiculares, e as marés de quadratura ficam mais fracas.

\(a_{\text{maré}} \approx \dfrac{2\,G\,M_L\,R_T}{d^3}\)\(\dfrac{\text{maré do Sol}}{\text{maré da Lua}} \approx 0{,}45\)\(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) é a massa da Lua e \(d\), a distância entre os centros. Na simulação, a deformação do oceano está muito exagerada e as distâncias, fora de escala, e cada dia dura 10 s. Ignoramos os continentes e o atrito da água, que atrasam e deformam as marés reais.

força de maré, vista do centro da Terra

Para conversar

  • Pare a Lua e acompanhe o porto durante um dia. Quantas marés altas aparecem no gráfico?
  • Ponha a Lua em movimento. O intervalo entre duas marés altas continua sendo de 12 h?
  • Passe da lua nova para o quarto crescente. Como muda a diferença entre a maré alta e a baixa?
  • Observe as setas no lado oposto ao da Lua. Como podemos explicar que elas apontem para longe dela?
Fase da Lua
Tipo de maré
Amplitude (Lua sozinha = 1)
Duas marés altas a cada
Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Quantas marés altas acontecem por dia num porto, e qual é, aproximadamente, o intervalo entre duas delas?

    Ver resolução
    A Lua deixa o oceano com duas protuberâncias, uma voltada para ela e outra do lado oposto, e a Terra gira por baixo das duas.
    Como a Lua também avança na órbita, a Terra precisa de cerca de 24 h 50 min para voltar à mesma posição em relação a ela.
    Duas marés altas por dia, separadas por cerca de 12 h 25 min.
  2. básico

    Em que fases da Lua acontecem as marés de sizígia, as de maior amplitude, e por quê?

    Ver resolução
    Nas luas nova e cheia, o Sol, a Terra e a Lua ficam alinhados.
    As protuberâncias causadas pelo Sol e pela Lua apontam na mesma direção e se somam.
    Na lua nova e na lua cheia, quando os efeitos do Sol e da Lua se somam.
  3. básico

    E as marés de quadratura, de menor amplitude, em que fases acontecem?

    Ver resolução
    Nos quartos crescente e minguante, a direção da Lua é perpendicular à do Sol, vista da Terra.
    A protuberância causada pelo Sol fica onde a Lua produz maré baixa, e uma compensa parte da outra.
    Nos quartos crescente e minguante.
  4. básico

    Se a Lua puxa a água para o lado dela, por que também há maré alta no lado da Terra oposto à Lua?

    Ver resolução
    A Lua puxa o centro da Terra com mais força que a água do lado oposto, que está mais longe.
    Visto do centro da Terra, é como se essa água ficasse para trás, afastando-se da Lua.
    A maré alta do lado oposto aparece porque a Terra é puxada para longe da água desse lado, e o que conta é a diferença entre as atrações.
  5. médio

    Calcule a diferença entre a aceleração que a Lua causa no ponto da Terra mais próximo dela e no centro da Terra, usando a aproximação \(a_{\text{maré}} \approx 2\,G\,M_L\,R_T/d^3\). Dados: \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\), \(R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}\) e \(d = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\).

    Ver resolução
    O numerador é \(2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}4 \cdot 10^{22} \cdot 6{,}4 \cdot 10^6\) \(\approx 6{,}35 \cdot 10^{19}\), e o denominador, \((3{,}84 \cdot 10^8)^3 \approx 5{,}66 \cdot 10^{25}\).
    A aceleração de maré é a razão entre os dois.
    \(a_{\text{maré}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{-6}\ \text{m/s}^2\), cerca de um décimo de milionésimo de \(g\).
  6. médio

    As marés altas de um porto acontecem, em média, uns 50 minutos mais tarde a cada dia. Explique esse atraso sabendo que a Lua dá uma volta completa no céu, em relação ao Sol, a cada 29,5 dias.

    Ver resolução
    Enquanto a Terra gira uma vez, a Lua avança na órbita, no mesmo sentido, cerca de \(\dfrac{360^\circ}{29{,}5} \approx 12{,}2^\circ\).
    A Terra gira \(15^\circ\) por hora e precisa de mais \(\dfrac{12{,}2}{15}\ \text{h}\) para alcançar a Lua.
    Cerca de 0,81 h, ou 49 min por dia, porque a Lua avança na órbita enquanto a Terra gira.
  7. médio

    O Sol puxa a Terra com uma força cerca de 180 vezes maior que a da Lua, e mesmo assim as marés solares são mais fracas que as lunares. Calcule a razão entre os efeitos de maré do Sol e da Lua, que depende de \(M/d^3\). Use \(M_S = 2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}\), \(d_S = 1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}\), \(M_L = 7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) e \(d_L = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\).

    Ver resolução
    A razão é \(\dfrac{M_S}{M_L}\left(\dfrac{d_L}{d_S}\right)^3\) \(= \dfrac{2 \cdot 10^{30}}{7{,}4 \cdot 10^{22}} \cdot \left(\dfrac{3{,}84 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^{11}}\right)^3\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^7 \cdot 1{,}68 \cdot 10^{-8}\).
    O efeito de maré do Sol é cerca de 0,45 do da Lua, menos da metade, porque depende do cubo da distância.
  8. médio

    Com o efeito de maré do Sol igual a 0,45 do da Lua, estime a razão entre a amplitude das marés de sizígia e a das marés de quadratura.

    Ver resolução
    Na sizígia os efeitos se somam, \(1 + 0{,}45 = 1{,}45\), e na quadratura um desconta o outro, \(1 - 0{,}45 = 0{,}55\).
    A razão é \(\dfrac{1{,}45}{0{,}55}\).
    As marés de sizígia são cerca de 2,6 vezes mais amplas que as de quadratura.
  9. desafio

    Se a Lua estivesse à metade da distância atual, quantas vezes mais intensas seriam as marés lunares? E quantas vezes maior seria a força com que a Lua puxa a Terra?

    Ver resolução
    O efeito de maré é proporcional a \(1/d^3\), e com metade da distância fica \(2^3\) vezes maior.
    A força gravitacional é proporcional a \(1/d^2\) e fica \(2^2\) vezes maior.
    Marés 8 vezes mais intensas e força 4 vezes maior.
  10. desafio

    A Terra também causa marés na Lua. Calcule o efeito de maré da Terra sobre a Lua, \(2\,G\,M_T\,R_L/d^3\), com \(R_L = 1{,}74 \cdot 10^6\ \text{m}\), e compare com o da Lua sobre a Terra, \(1{,}1 \cdot 10^{-6}\ \text{m/s}^2\). Use \(G\,M_T = 4{,}02 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(d = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\).

    Ver resolução
    \(a = \dfrac{2 \cdot 4{,}02 \cdot 10^{14} \cdot 1{,}74 \cdot 10^6}{(3{,}84 \cdot 10^8)^3}\) \(= \dfrac{1{,}40 \cdot 10^{21}}{5{,}66 \cdot 10^{25}}\) \(\approx 2{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{m/s}^2\).
    Dividindo pelo efeito da Lua sobre a Terra, \(\dfrac{2{,}5 \cdot 10^{-5}}{1{,}1 \cdot 10^{-6}}\).
    As marés que a Terra provoca na Lua são cerca de 22 vezes mais fortes, e ao longo de milhões de anos esse esforço freou a rotação da Lua, que hoje nos mostra sempre a mesma face.
FECHAMENTO

Desafios

Lei da gravitação

O Sol tem massa de \(2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}\) e está a \(1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}\) da Terra; a Lua tem \(7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) e está a \(3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}\). Quantas vezes o Sol puxa a Terra com mais força que a Lua?

Ver resolução
A razão entre as forças é \(\dfrac{M_S}{M_L}\left(\dfrac{d_L}{d_S}\right)^2\) \(\approx 2{,}7 \cdot 10^7 \cdot 6{,}55 \cdot 10^{-6}\).
O Sol puxa a Terra com uma força cerca de 180 vezes maior que a da Lua, e é em volta dele que a Terra gira.
Campo gravitacional

A que altitude o peso de um corpo fica 1% menor que na superfície da Terra? Use \(R_T = 6400\ \text{km}\).

Ver resolução
Queremos \(\left(\dfrac{R_T}{R_T + h}\right)^2 = 0{,}99\), e então \(\dfrac{R_T + h}{R_T} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}99}}\) \(\approx 1{,}005\).
A altitude é \(h \approx 0{,}005 \cdot 6400\), cerca de 32 km, quase quatro vezes a altura do Everest.
Órbitas

Os satélites do GPS dão duas voltas por dia, com período de 12 h. Se a órbita geoestacionária, de 24 h, tem raio de 42 400 km, qual é o raio da órbita do GPS?

Ver resolução
Pela 3ª lei, \(r \propto T^{2/3}\), e \(r_{\text{GPS}} = 42\,400 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2/3}\) \(\approx 42\,400 \cdot 0{,}63\).
O raio fica perto de 26 700 km, uns 20 000 km acima do solo.
Imponderabilidade

Uma astronauta de 70 kg está na ISS, onde \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\). Qual é a força gravitacional sobre ela, e quanto marca uma balança presa ao piso da estação?

Ver resolução
A força da gravidade é \(P = m\,g = 70 \cdot 8{,}7\), cerca de 610 N.
A balança marca zero, porque a astronauta e a estação caem juntas em volta da Terra e nada empurra uma contra a outra.
Leis de Kepler

Se a Lua girasse em volta da Terra à metade da distância atual, qual seria o seu período? Hoje ele é de 27,3 dias.

Ver resolução
Pela 3ª lei, \(T \propto r^{3/2}\), e \(T' = 27{,}3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/2}\) \(\approx 27{,}3 \cdot 0{,}354\).
O novo período seria de cerca de 9,7 dias.
Velocidade de escape

Marte tem massa de \(6{,}4 \cdot 10^{23}\ \text{kg}\) e raio de 3400 km. Qual é a velocidade de escape de Marte?

Ver resolução
\(v_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23}}{3{,}4 \cdot 10^6}}\) \(= \sqrt{2{,}52 \cdot 10^7}\).
A velocidade de escape fica perto de 5,0 km/s, menos da metade da terrestre, e uma sonda que volta de Marte gasta bem menos combustível para sair de lá do que gastou para sair daqui.
Marés

O Sol puxa a Terra cerca de 180 vezes mais forte que a Lua e, mesmo assim, produz marés menores. Como explicar?

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A maré depende da diferença entre a atração de um lado da Terra e a do outro, e essa diferença cai com \(1/d^3\).
O Sol está cerca de 390 vezes mais longe que a Lua, e o cubo dessa distância reduz o efeito dele a uns 45% do efeito lunar.
Pensar, sem conta

Se a Terra encolhesse até a metade do raio, sem perder massa, o que aconteceria com a órbita da Lua? E com o nosso peso, na nova superfície?

Ver resolução
A Lua não perceberia nada, porque a força sobre ela depende só da massa da Terra e da distância entre os centros, que não mudam.
Na nova superfície, estaríamos à metade da distância ao centro, e o nosso peso ficaria quatro vezes maior.

Questões no estilo ENEM

As cinco questões abaixo foram escritas por nós no formato do ENEM, com um texto-base tirado de uma situação real, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo indicamos questões da prova sobre gravitação, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

  1. Campo gravitacional · Passo 2

    Uma agência espacial testa um robô de exploração de 300 kg. As pernas dele aguentam, sem entortar, uma força de no máximo 1200 N contra o solo, e a equipe quer saber em quais astros ele poderia ficar de pé sem danos. A tabela traz valores aproximados de \(g\) na superfície.

    g na superfície
    Astrog (m/s²)
    Lua1,6
    Mercúrio3,7
    Marte3,7
    Vênus8,9
    Terra9,8

    Supondo o robô parado sobre o solo, em quais astros as pernas aguentam o peso dele?

    1. Somente na Lua.
    2. Na Lua, em Mercúrio e em Marte.
    3. Em todos os astros da tabela, porque a massa do robô é a mesma em qualquer lugar.
    4. Somente na Terra, onde o robô foi projetado e testado.
    5. Em nenhum deles, porque 300 kg de massa correspondem sempre a 3000 N.
    Ver resolução
    Resposta: B.
    O peso é \(P = m\,g\), e as pernas aguentam enquanto \(300\,g \le 1200\), ou seja, enquanto \(g \le 4\ \text{m/s}^2\).
    Na Lua o peso é de 480 N, e em Mercúrio e em Marte, de \(300 \cdot 3{,}7 = 1110\ \text{N}\), abaixo do limite. Em Vênus e na Terra ele passa de 2600 N.
    A C confunde massa com peso, e a E usa \(g = 10\ \text{m/s}^2\) em qualquer astro. A A esquece Mercúrio e Marte, que ficam perto do limite, e a D não faz conta nenhuma.
  2. Órbitas · Passo 3

    Na casa de Teodoro, a antena parabólica aponta sempre para o mesmo ponto do céu, sem nenhum motor para acompanhar o satélite. O técnico explicou que o satélite de TV é geoestacionário, isto é, gira sobre o equador e dá uma volta a cada 24 h, acompanhando a rotação da Terra. Vamos supor a órbita circular e usar \(G\,M_T = 4{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(\pi^2 \approx 10\).

    Qual é, aproximadamente, o raio da órbita desse satélite, medido a partir do centro da Terra?

    1. 180 km
    2. 6400 km
    3. 36 000 km
    4. 42 000 km
    5. 380 000 km
    Ver resolução
    Resposta: D.
    Igualando a gravidade à força centrípeta, \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\), e então \(r^3 = \dfrac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}\), com \(T = 86\,400\ \text{s}\).
    \(r^3 = \dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14} \cdot (8{,}64 \cdot 10^4)^2}{40}\) \(\approx 7{,}5 \cdot 10^{22}\ \text{m}^3\), e \(r \approx 4{,}2 \cdot 10^7\ \text{m}\).
    A C é a altura acima do solo, e não o raio medido do centro. A A aparece quando deixamos o período em horas, a B é o raio da própria Terra e a E, a distância até a Lua.
  3. Imponderabilidade · Passo 4

    Uma reportagem sobre a Estação Espacial Internacional diz que os astronautas flutuam porque, a 400 km de altura, estão "fora do alcance da gravidade da Terra". A estação dá uma volta na Terra a cada 93 minutos, e nessa altura o valor de \(g\) é de cerca de 8,7 m/s².

    Qual afirmação explica por que os astronautas flutuam dentro da estação?

    1. A gravidade a 400 km de altura é nula, como diz a reportagem.
    2. A atração da Lua compensa a da Terra nessa altura.
    3. A estação e os astronautas estão em queda livre juntos em volta da Terra, e nada empurra os astronautas contra o piso.
    4. Uma força centrífuga cancela a gravidade, e a força resultante sobre os astronautas é zero.
    5. A falta de ar no espaço elimina o peso dos corpos.
    Ver resolução
    Resposta: C.
    Com \(g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2\), a gravidade ainda tem quase 90% do valor no chão, e é ela que faz a estação girar em volta da Terra, como força centrípeta.
    Astronautas e estação caem com a mesma aceleração, e a balança, ou o piso, não precisa empurrar ninguém.
    A A repete o erro da reportagem, e a B superestima muito a atração da Lua. A D esquece que a resultante sobre os astronautas não é zero, já que eles fazem uma curva, e a E confunde a falta de ar com a falta de peso.
  4. Velocidade de escape · Passo 6

    Uma empresa estuda lançar da superfície da Lua pequenas cápsulas com amostras de rocha, usando um trilho eletromagnético em vez de foguetes. A Lua não tem ar, e a sua massa e o seu raio valem \(7{,}4 \cdot 10^{22}\ \text{kg}\) e \(1{,}74 \cdot 10^6\ \text{m}\). Use \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\).

    Qual é a menor velocidade com que a cápsula deve sair do trilho para escapar da atração da Lua?

    1. 1,6 km/s
    2. 1,7 km/s
    3. 2,4 km/s
    4. 11,2 km/s
    5. 5700 km/s
    Ver resolução
    Resposta: C.
    A cápsula escapa quando a energia total chega a zero, \(\dfrac{m\,v_e^2}{2} = \dfrac{G\,M\,m}{R}\), e a massa dela cancela.
    \(v_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}4 \cdot 10^{22}}{1{,}74 \cdot 10^6}}\) \(\approx \sqrt{5{,}7 \cdot 10^6}\ \text{m/s}\), ou cerca de 2400 m/s.
    A B esquece o fator 2 e dá a velocidade de uma órbita rasante, e a E esquece a raiz. A D é a velocidade de escape da Terra, e a A confunde a resposta com o valor de \(g\) na Lua.
  5. Marés · Passo 7

    Numa colônia de pescadores, Marilene anota a diferença entre a maré alta e a maré baixa de cada dia, em metros, junto com a fase da Lua. A tabela mostra quatro registros de um mesmo mês.

    Registros do mês
    DiaFase da LuaDiferença (m)
    1nova2,6
    8quarto crescente1,0
    15cheia2,5
    22quarto minguante1,1

    Que explicação é compatível com esses registros?

    1. As marés são causadas só pelo Sol, que fica mais perto da Terra nas luas nova e cheia.
    2. Nas luas nova e cheia, o Sol e a Lua ficam alinhados com a Terra e os seus efeitos de maré se somam; nos quartos, eles atuam em direções perpendiculares e um compensa parte do outro.
    3. Na lua cheia a Lua está mais perto da Terra e na lua nova, mais longe, e por isso as diferenças variam.
    4. As marés maiores acontecem quando a Lua está iluminada, porque a luz do Sol aquece e dilata a água.
    5. Nos quartos crescente e minguante, a Lua fica do outro lado do Sol e a atração dela se anula.
    Ver resolução
    Resposta: B.
    As diferenças grandes aparecem na lua nova e na cheia, as marés de sizígia, e as pequenas, nos quartos, as marés de quadratura.
    Se o efeito do Sol vale cerca de 0,45 do da Lua, a razão esperada é \(\dfrac{1 + 0{,}45}{1 - 0{,}45} \approx 2{,}6\), próxima de \(\dfrac{2{,}6}{1{,}0}\) na tabela.
    A A e a C inventam distâncias que não mudam desse jeito ao longo do mês, e a D troca a gravidade pelo calor. A E erra a geometria, porque nos quartos a Lua forma um ângulo reto com o Sol, visto da Terra.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

  • ENEM 2009, 1º dia, caderno azul, questão 27. Diante do telescópio Hubble, em órbita, um astronauta comenta que ele tem massa grande e peso pequeno, e cabe a nós julgar a frase separando massa de peso e lembrando o papel da gravidade na órbita.
  • ENEM 2012, 1º dia, caderno azul, questão 74. Um registro das posições de Marte no céu, feito a cada 10 dias, mostra uma laçada, que precisamos explicar pela diferença entre as velocidades orbitais da Terra e de Marte.
  • ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 142. Na prova de Matemática, um gráfico posiciona três satélites pela massa e pelo raio da órbita, e a lei da gravitação permite ordenar as forças que a Terra faz sobre eles.
  • ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 123. O Sol é trocado, em pensamento, por um buraco negro de mesma massa, e a questão pergunta o que aconteceria com as órbitas dos planetas.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Gravitação universal\(F = G\,M\,m/d^2\)
Dados da aula\(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\), \(M_T = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}\), \(R_T = 6400\ \text{km}\)
Campo gravitacional\(g = G\,M/r^2\)
Peso\(P = m\,g\)
Balança numa cabine\(N = m\,(g + a)\)
Órbita circular\(v = \sqrt{G\,M/r}\)
Período da órbita\(T = 2\pi\sqrt{r^3/(G\,M)}\)
3ª lei de Kepler\(T^2/r^3 = 4\pi^2/(G\,M)\)
2ª lei de Kepler\(r_p\,v_p = r_a\,v_a\)
Energia potencial\(E_p = -G\,M\,m/r\)
Velocidade de escape\(v_e = \sqrt{2\,G\,M/R}\)
Força de maré\(a_{\text{maré}} \approx 2\,G\,M\,R/d^3\)