Conservació de l'Energia

La mare del Dennis sabia convertir grams en blocs. Per a l'energia, necessitem la regla de cada terme, i començarem per l'energia d'un pes aixecat a prop de terra. L'argument és de Feynman, inspirat en un raonament de Carnot sobre les màquines de vapor, i parteix d'un sol postulat: el mòbil perpetu no existeix. Al nostre banc, això vol dir que, després d'un cicle complet, amb les màquines de nou al punt de partida, cap pes no pot haver quedat més amunt del que era.

Pensa en una palanca que baixa 1 unitat de pes 1 m i, amb això, aixeca 3 unitats a una altura \(X\). És reversible quan funciona igual de bé en sentit contrari, i torna a pujar la unitat fins a 1 m mentre les 3 unitats baixen la mateixa altura \(X\). Tota màquina de veritat paga algun peatge al fregament, i la reversible és el cas ideal en què aquest peatge val zero.

Prenem, doncs, una màquina reversible A, que aixeca les 3 unitats fins a \(X_A\), i una màquina B qualsevol, que les aixeca fins a \(X_B\). Fem anar B endavant, i la unitat baixa 1 m mentre la pila puja \(X_B\). Després fem anar A enrere, la pila baixa \(X_A\) i la unitat torna a 1 m. Les dues màquines tornen a ser al punt de partida, la unitat torna a ser a 1 m, i la pila ha acabat \(X_B - X_A\) més amunt del que era, sense que res de fora hi hagi ajudat.

Si \(X_B\) fos més gran que \(X_A\), n'hi hauria prou de repetir el cicle per aixecar pes sense fi, i com que el postulat ho prohibeix, concloem que cap màquina, per enginyosa que sigui, no aixeca més amunt que una de reversible. Quan B també és reversible, podem intercanviar els papers de totes dues, i el mateix raonament mostra que \(X_A\) tampoc no supera \(X_B\). Totes les reversibles aixequen a la mateixa altura, sigui quin sigui el mecanisme de dins.

Falta el valor d'aquesta altura. Feynman l'obté amb un muntatge de prestatges en què, en el balanç, una sola unitat puja \(3X\), i l'argument del mòbil perpetu, aplicat en els dos sentits, obliga \(3X\) a valer exactament 1 m. Amb la raó 1 : 3, per tant, \(X = 1/3\) m.

En una màquina reversible, el pes per l'altura no canvia: 1 unitat per 1 m abans, 3 unitats per 1/3 m després. La suma de \(W\,h\) sobre tots els pesos és el terme gravitatori de la comptabilitat, l'energia potencial gravitatòria, i com que el pes és \(W = m\,g\), s'escriu \(m\,g\,h\). Una màquina real queda per sota de la reversible, i el que perd es converteix en calor pel fregament, un terme que sortirà més endavant.

Al Feynman: §4-2 Gravitational potential energy ↗

Els passos 2 a 4 han repetit el mateix procediment. Imaginem un moviment petit d'un sistema en equilibri, anotem quant puja o baixa cada pes i exigim que la suma de pes per variació d'altura doni zero. És el principi dels treballs virtuals, i serveix per a mecanismes molt més complicats que una rampa. A la barra articulada del banc, el suport no deixa girar res, i tot i així és un gir imaginat el que ens dona la seva força.

Comencem pel gat de rosca del banc, que aixeca un cotxe de 5000 N. A cada volta completa del braç, la mà descriu una circumferència de radi \(r\) i recorre \(2\pi r\), mentre la rosca fa pujar la càrrega un pas \(p\), de pocs mil·límetres. Amb \(r = 0{,}3\) m i \(p = 4\) mm, la mà recorre 1,88 m perquè el cotxe pugi 0,004 m. El balanç zero exigeix \(F \cdot 2\pi r = W\,p\), i la força a la mà surt d'uns 10,6 N, el pes d'un paquet d'un quilo. Això val per a una rosca ideal, perquè en una de real el fregament cobra molt més.

La barra articulada és menys evident. Fa 4 m i 30 N, gira al voltant de l'extrem esquerre i porta dos pesos, de 20 N i 50 N, que pots arrossegar. Volem la força \(F\) que ha de fer un suport, a una distància \(x_F\) de l'articulació, per mantenir-la horitzontal. En un gir petit \(\delta\theta\), un punt a una distància \(x\) de l'articulació puja \(x\,\delta\theta\), i el suport puja \(x_F\,\delta\theta\). El balanç zero dona \(F\,x_F\,\delta\theta = \sum_i W_i\,x_i\,\delta\theta\), i el \(\delta\theta\) es cancel·la com la \(s\) del pas 3.

El pes de la barra mateixa hi entra com si fos tot al centre, a 2 m, perquè sumar \(W\,x\) sobre els trossos d'una barra uniforme dona el pes total per la posició del mig. Amb el suport a 3 m, la suma \(\sum_i W_i\,x_i\) val \(30 \cdot 2 + 20 \cdot 1 + 50 \cdot 2{,}5\), o sigui 205 N·m, i dividida pels 3 m dona \(F \approx 68{,}3\) N. Els dos exemples, el gat i la barra, són de Feynman, aquí amb números nostres.

Al Feynman: §4-2 Gravitational potential energy ↗

Al banc, una massa lligada a un fil d'1,2 m surt del repòs apartada 50° de la vertical, 0,43 m per sobre del punt més baix de l'arc. Quan la deixem anar, baixa, passa pel fons a gairebé 2,9 m/s i puja per l'altre costat fins a la línia discontínua, on torna a aturar-se. Al fons, l'altura de partida sembla haver desaparegut del compte, però torna sencera a la pujada, i alguna cosa l'ha d'haver guardada pel camí.

Aquesta cosa és la velocitat, i la podem mesurar en altura. Un cos que passa pel fons amb velocitat \(v\) pot pujar, com a màxim, una certa altura, i la manera més senzilla de calcular-la és pensar en una pedra llançada cap amunt. De la caiguda lliure sabem que el que cau d'una altura \(h\) arriba a baix amb \(v^2 = 2gh\), i el mateix compte, llegit al revés, diu fins on puja la pedra. La velocitat val, per tant, el mateix que un pes \(W\) aixecat a \(v^2/2g\), i com que \(W = m\,g\), \(W\,v^2/2g = \tfrac12 m v^2\). Aquest és el terme de moviment del compte, l'energia cinètica.

Les dues barres del costat del pèndol ho segueixen a cada instant, una amb l'altura perduda des de la partida i l'altra amb el \(v^2/2g\) del moment, i pugen i baixen juntes. Al gràfic, els punts de \(v^2\) en funció de \(h\) cauen sobre una recta que passa per l'origen amb pendent \(2g\), uns 19,6 m/s².

Qui ja sap derivar arriba al mateix lloc sense passar per la pedra. Si \(K = \tfrac12 m\,v^2\), la taxa de variació és \(dK/dt = m\,\vec v\cdot d\vec v/dt\), i com que \(m\,d\vec v/dt\) és la força total, val \(\vec F\cdot\vec v\). Al pèndol, la tensió del fil és sempre perpendicular a la velocitat i no hi contribueix, i el pes hi entra amb \(-W\,dy/dt\), on \(y\) és l'altura de la massa. Així, \(K\) creix exactament al ritme amb què \(W\,y\) disminueix, i la suma dels dos termes no canvia.

El botó Clau de Galileu posa un clau a la vertical del punt de suspensió. Quan el fil passa per la vertical, es doblega al clau, i la massa puja per l'altre costat per un arc més curt i més tancat que el d'abans. Galileu va descriure aquest experiment als Discorsi, del 1638, i la massa continua aturant-se a la línia discontínua, sigui quina sigui la profunditat del clau, sempre que el fil no s'afluixi. El camí de pujada ha canviat i la velocitat al fons no, i és ella la que decideix l'altura.

El pèndol i la idea de mesurar l'energia de moviment per l'altura que permet assolir són de Feynman, i el compte amb derivades i el clau de Galileu són afegits nostres. El \(\tfrac12 m v^2\) també és una aproximació, i el pas 7 mostra fins on val.

Al Feynman: §4-3 Kinetic energy ↗

Al banc, una molla de 200 N/m comprimida 10 cm guarda 1 J. Quan la deixem anar, llança cap amunt una boleta de 50 g, que puja uns 2 m abans d'aturar-se. Quan arrossegues el temps, la columna de barres canvia de color, de la part elàstica a la cinètica i de la cinètica a la gravitatòria, però la seva altura no canvia. És el compte de la mare del Dennis amb tres termes, cadascun amb la seva regla de conversió.

A Frenada, un bloc que llisca amb 50 J d'energia cinètica s'atura pel fregament, i els 50 J reapareixen com a energia tèrmica. Aquest terme és un vell conegut amb un altre nom. El fregament fa que les molècules del bloc i del terra s'agitin més de pressa, cadascuna cap a un costat, i l'energia tèrmica és l'energia cinètica d'aquest moviment desordenat, que nosaltres percebem com les dues superfícies més calentes. L'energia continua en el compte, però repartida entre un nombre enorme de partícules, i per això ningú no la pot tornar a reunir per empènyer el bloc.

A Combustió, 50 kJ d'energia química es converteixen en 45 kJ de calor i 5 kJ de llum, l'energia radiant. Una reacció reorganitza electrons i nuclis, i el que allibera ve de l'energia elèctrica entre aquestes càrregues i del moviment dels electrons, que canvia amb la disposició. L'elàstica té el mateix origen, ja que comprimir la molla acosta àtoms. Fins i tot la llum de la flama del banc neix de càrregues que s'agiten a les molècules calentes, i per això la part radiant també acaba en el compte de les càrregues elèctriques.

A Fissió, un nucli d'urani 235 que absorbeix un neutró es parteix en dos fragments, que s'allunyen amb uns 200 MeV, la major part en forma d'energia cinètica, i al banc, per simplificar, tota és cinètica. Els trossos, sumats, tenen menys massa que el nucli original més el neutró, i la diferència per \(c^2\) dona aquests 200 MeV. L'energia nuclear ve d'un equilibri entre l'atracció nuclear, que manté units protons i neutrons, i la repulsió elèctrica entre els protons, i gairebé tot el que allibera la fissió és aquesta repulsió, que empeny els dos fragments lluny l'un de l'altre. En la comptabilitat, apareix com la diferència de massa, i per \(E = m\,c^2\) la mateixa massa és una forma d'energia, que un cos té fins i tot quan està quiet.

L'energia cinètica també necessita una revisió. El \(\tfrac12 m v^2\) del pas 6 és el primer terme del desenvolupament de \((\gamma - 1)\,m\,c^2\), i les dues expressions són indistingibles mentre \(v\) és petita al costat de \(c\). A Molt ràpid, les dues corbes surten l'una al costat de l'altra, i a v/c = 0,9 la relativista ja passa de tres vegades la clàssica.

Tornem, així, als blocs del pas 1. Gravitatòria, cinètica, elàstica, tèrmica, química, radiant, elèctrica, nuclear i massa són termes de la mateixa fórmula, cadascun amb la seva regla, i la llei només garanteix que la suma no canvia. La llista segueix Feynman. En canvi, la lectura de la fissió com a repulsió elèctrica és nostra, perquè el llibre tracta l'energia nuclear com una forma a part, que no se sabia reduir a les altres, i els números dels bancs també són nostres.

Al Feynman: §4-4 Other forms of energy ↗