Temps i Distància

El banc d'aquest pas té un carril de 4 m, prou inclinat perquè la bola guanyi 0,5 m/s de velocitat cada segon, i cap rellotge. L'única manera de saber quan passa la bola per cada punt és fer servir el propi cor com a rellotge i deixar una ratlla al carril, allà on sigui la bola, a cada batec. L'exemple és de Feynman, que reconstrueix així els primers experiments de Galileu amb plans inclinats, i els números són nostres.

Amb un pols de 0,8 s, les marques cauen a 0,16 m, 0,64 m, 1,44 m i 2,56 m de la sortida, i la cinquena coincideix amb el final del carril, a 4 m. Dividides per la primera, aquestes distàncies donen 1, 4, 9, 16 i 25, els quadrats del número del batec. Els espais entre marques veïnes creixen com 1, 3, 5, 7, de manera que la bola recorre a cada batec una mica més que a l'anterior. Avui ho escrivim com \(d \propto t^2\), i la constant que hi falta és la meitat de l'acceleració.

Ningú no té un cor de metrònom, i el banc deixa que el pols variï d'un batec a l'altre. Les marques s'escampen, i la primera en surt més perjudicada, perquè depèn d'un sol batec i fa de regle per a totes les altres. Tot i així, prova rere prova, la raó mitjana es mou al voltant d'1, i la llei dels quadrats continua allà, només que amagada en el soroll.

Al banc, la distància és la part fàcil, ja que n'hi ha prou amb una cinta mètrica arran del carril. El difícil és el temps, perquè la bola triga 4 s a baixar i els rellotges mecànics de l'època s'equivocaven en minuts al llarg d'un dia. En el relat de Feynman, la sortida de Galileu va ser el seu propi cos, i aquest cronòmetre improvisat basta per canviar els tractats d'inspiració aristotèlica per una taula de números.

És la mesura el que converteix la conversa sobre el moviment en física, ja que només amb números apareix una relació com 1, 4, 9, 16. D'ara endavant, descriure un moviment serà respondre dues preguntes, que Feynman resumeix en on i quan, i la resta del capítol tracta de com respondre-les amb una precisió cada vegada més gran.

Al Feynman: §5-1 Motion ↗

Els dos gràfics del banc cobreixen un any sencer a São Paulo, a 23° de latitud sud. El de dalt mostra quant passa de 86 400 s un dia comptat des d'una sortida del Sol fins a la següent, i el de baix fa el mateix compte d'un migdia al següent. Per migdia entenem el pas del Sol pel punt més alt, i no les 12 del rellotge. A final de desembre els dos comptes donen prop de 29 s de més, i a mitjan setembre el primer baixa a 63 s de menys, mentre que el segon es queda en 22 s de menys.

El lector atent haurà notat una trampa, perquè parlar de 86 400 s suposa un rellotge, i el rellotge és justament el que encara no tenim. Per sortir del cercle, el temps passa a definir-se per la manera com el mesurem, triant alguna cosa que es repeteix i comptant-ne les repeticions. El dia és el candidat natural, i és el que el banc posa a prova.

Per fer-ho, el banc fa servir un segon rellotge que no depèn del Sol, un rellotge de sorra d'una hora, el mateix que Feynman proposa amb aquesta finalitat. El que compta són les girades acumulades entre dos esdeveniments del Sol, cosa que suposa algú de guàrdia tota l'estona.

Comptades de sortida a sortida, les girades no quadren. A São Paulo van de 23,98 al setembre a 24,01 al gener, i a 50° de latitud l'interval s'obre fins a anar de 23,96 a 24,03. Quin dels dos rellotges s'equivoca? Només amb ells, no hi ha manera de dir-ho. El que canvia a la sortida del Sol és la durada de les hores de llum, que creix o s'escurça amb les estacions i avança o endarrereix la sortida d'un matí a l'altre. A l'equador hi ha pràcticament 12 hores de llum tot l'any, i les dues corbes del banc es tornen la mateixa.

De migdia a migdia, el compte queda entre 23,99 i 24,01 a qualsevol latitud, una oscil·lació més petita que l'error d'un rellotge de sorra de debò, que la llegiria com 24 girades rodones. Això no prova que la sorra s'escoli sempre al mateix ritme, ni que el Sol torni al punt més alt a intervals idèntics, i Feynman insisteix a recordar-ho. El que el banc mostra és que els dos rellotges concorden dins de ±0,01 girada per dia, i és aquest acord, i no una prova, el que anomenem temps regular. Amb rellotges millors, que la Lupa al migdia imita, el mateix migdia passa a variar, fins a uns 30 s d'un dia a l'altre. És l'equació del temps. Té dues causes, l'òrbita el·líptica de la Terra, que es recorre més de pressa a principi de gener, i la inclinació de l'eix, i, acumulada al llarg dels mesos, fa que el rellotge de sol vagi fins a un quart d'hora avançat o endarrerit.

Al Feynman: §5-2 Time ↗

El banc deixa anar alhora dos pèndols iguals, de 0,994 m, el de l'esquerra obert a 5° i el de la dreta a 60°. El primer triga 2,001 s a anar i tornar, el segon en triga 2,146, i la diferència de 0,145 s s'acumula a cada oscil·lació. Després d'unes set anades i tornades, l'un va cap a la dreta mentre l'altre va cap a l'esquerra.

El temps d'una oscil·lació completa, el període, depèn per tant de l'amplitud. Per a oscil·lacions petites la dependència és feble, i val \(T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)\), però creix de pressa amb l'amplitud. A 90° el període ja és un 18 % més llarg que \(T_0\), i l'aproximació, que en dona un 15 %, comença a quedar-se enrere. El càlcul exacte fa servir la mitjana aritmètico-geomètrica, que convergeix en poques iteracions i dibuixa la corba contínua del gràfic.

Entre 5° i 10°, en canvi, el període canvia menys d'un 0,15 %. En el límit d'oscil·lacions petites tendeix a \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\), que només depèn de la llargada del fil i de l'acceleració de la gravetat, i és aquest límit el que fa del pèndol un rellotge.

En el relat de Feynman, va ser Galileu qui va convertir aquest límit en un instrument, tractant el pèndol d'oscil·lació curta com un marcador d'intervals iguals. El rellotge de sorra del pas anterior permet comprovar la idea. El pèndol de 0,994 m completa prop de 1800 oscil·lacions a cada hora de sorra, i canviar una obertura de 3° per una de 8° altera aquest compte en unes dues oscil·lacions, probablement menys del que un rellotge de sorra de debò és capaç de distingir. Com que el dia ja ha passat la prova del pas 2, el pèndol ens dona una manera de repartir el dia en trossos molt més petits que l'hora.

El segon és la 86 400a part del dia mitjà, \(24 \times 60 \times 60\) trossos, i el pèndol de 0,994 m s'anomena pèndol de segons perquè cada anada, d'un extrem a l'altre, dura 1 s. El període, que compta l'anada i la tornada, és de 2 s, i és fàcil confondre l'un amb l'altre.

En un rellotge de pèndol, un escapament dona una petita empenta a cada oscil·lació i retorna el que el fregament treu, de manera que l'amplitud es manté sempre igual. La dependència amb l'amplitud continua allà, com un factor fix que el rellotger compensa ajustant la llargada. El que espatllaria la marxa seria que l'amplitud canviés, perquè passar de 5° a 10° endarrereix el pèndol uns 5 s per hora, o 2 minuts per dia.

Al Feynman: §5-3 Short times ↗

La graella del banc té 400 nuclis d'un mateix isòtop radioactiu, cadascun encès mentre no es desintegra. Cap d'ells no té hora fixada, i el banc sorteja a cada instant quins s'apaguen. Tot i així, el compte passa prop de 200 després d'una semivida, \(T\), prop de 100 després de \(2T\) i prop de 50 després de \(3T\), sempre arran de l'exponencial teòrica. Les fluctuacions al voltant de la corba creixen, en termes relatius, a mesura que queden menys nuclis.

Cada nucli de la graella té la mateixa probabilitat de desintegrar-se per unitat de temps, sigui quina sigui la seva edat, i per això la mostra sencera perd, a cada semivida, la meitat del que encara té. Llegida a l'inrevés, la fracció que queda dona el temps transcorregut. Amb un vuitè de la graella encès han passat tres semivides, amb una mil·lèsima, prop de deu, i en general la raó \(B/A\) entre el que queda i el que hi havia al principi val \(\left(\tfrac12\right)^{t/T}\), cosa que basta per llegir l'edat \(t\).

Aquest rellotge no fa tic-tac. No hi ha res a comptar, només una fracció a mesurar, i continua marcant molt després que qualsevol comptador humà se n'hagi anat, cosa que el fa útil per a milers o milers de milions d'anys.

La dificultat pràctica és saber quant n'hi havia al principi, i per al carboni l'atmosfera dona la resposta. Els raigs còsmics produeixen carboni 14 a partir del nitrogen a la part alta de l'atmosfera, i la desintegració l'elimina, de manera que la fracció de carboni 14 en el diòxid de carboni de l'aire tendeix a mantenir-se aproximadament constant. Un arbre viu intercanvia carboni amb l'aire i manté aquesta fracció, i quan mor l'intercanvi s'atura i el rellotge comença a córrer. La semivida és de 5730 anys, un valor mesurat amb més cura que els 5000 rodons de Feynman, i les petites variacions de la fracció a l'aire al llarg dels mil·lennis es corregeixen amb corbes de calibratge. Aquestes corbes surten de comptadors naturals en què cada any deixa la seva marca, com els anells dels arbres i les capes anuals de sediment al fons de certs llacs, comptats un per un i datats també pel carboni 14.

El que limita la datació és el compte. Cada desintegració és un clic al detector, \(N\) clics tenen una incertesa estadística d'uns \(\sqrt N\), i això es tradueix en una incertesa d'edat de \(T/(\ln 2\,\sqrt N)\). Una mostra de 12 000 anys conserva un 23 % del carboni 14 original, i un detector que registraria 10 000 desintegracions d'una mostra nova en registra 2342 en el mateix temps, cosa que dona ±171 anys. Als 60 000 anys en queda un 0,07 %, la mateixa mesura compta unes 7 desintegracions i s'equivoca en més de 3000 anys. A la pràctica, la radiació de fons i la contaminació per carboni recent posen el límit prop dels 50 000 anys, i per a temps més llargs calen isòtops de semivida més llarga, com l'urani 238, que data roques i la mateixa Terra.

Al Feynman: §5-4 Long times ↗

A l'escenari Estrella, el banc comença per una paral·laxi de 0,77″, el valor mesurat per a Pròxima del Centaure, la més petita de les tres estrelles del sistema d'Alfa del Centaure i la més pròxima al Sol. Vista amb sis mesos d'interval, canvia una mica de lloc respecte a les estrelles molt més llunyanes del fons, perquè la Terra ha passat a l'altre costat de l'òrbita. La base del triangle és el diàmetre de l'òrbita, 2 UA, prop de 300 milions de km, i la paral·laxi és la meitat de l'angle del vèrtex. Amb 0,77″, l'estrella és a 1,30 pc, o 4,2 anys llum, unes 270 000 vegades la distància de la Terra al Sol.

El parsec és la distància a la qual una unitat astronòmica, perpendicular a la línia de visió, ocupa un segon d'arc, i es va triar perquè la distància en parsecs sigui la inversa de la paral·laxi en segons d'arc. El que amaga aquest càlcul tan simple és l'error. Un telescopi mesura angles amb un error més o menys fix, sigui quina sigui la distància de l'estrella, i l'error relatiu de la distància és aquest error dividit per la paral·laxi. Amb 0,01″ d'error, Pròxima es queda amb un 1,3 %, una estrella a 10 pc es queda amb un 10 %, i a 100 pc, on la paral·laxi té la mida del mateix error, la mesura deixa de dir res sobre la distància.

Des de terra, a través de l'atmosfera, arribar a 0,01″ ja costa feina. El satèl·lit Hipparcos, als anys noranta, va mesurar paral·laxis amb errors prop de 0,001″. Gaia, que va observar el cel del 2014 al 2025, arriba a unes quantes centèsimes de mil·lèsima de segon d'arc en les estrelles més brillants, cosa que porta la triangulació a milers de parsecs, encara dins de la nostra galàxia.

A l'escenari Satèl·lit, 1° d'error en cada visual es converteix en un 3,8 % d'error en l'altura, uns 19 km de 500. El mateix triangle reduït a un pati, amb 10 m de base i un punt a 5 m d'altura, es pot comprovar amb una cinta mètrica, i les dues lectures coincideixen dins d'aquest mateix 3,8 %, o dins del que permetin la cinta i el transportador. Això és el que, per a nosaltres, fa de la triangulació una mesura de distància, i no només un càlcul amb angles: allà on el regle i el triangle es poden fer servir junts, donen el mateix número. Aquest acord és un resultat de mesura, i diu que els angles dels triangles que podem mesurar sumen 180°, un punt que Feynman també destaca.

Els escenaris Satèl·lit i Lluna fan servir dos observadors a la superfície de la Terra. Un satèl·lit a 500 km d'altura, vist des de dues estacions separades per 1000 km, apareix sota angles ben oberts, i fins i tot 1° d'error en cada visual costa menys d'un 4 % en l'altura. Per a la Lluna, a 384 000 km, una base de 10 000 km deixa al vèrtex un angle de només 1,5°. Un error de 0,1° ja costa un 14 %, i a partir d'uns 0,75° pot ser que el triangle ni tan sols tanqui.

El Sol queda fora del banc per culpa d'un número. Amb el diàmetre de la Terra com a base, l'angle del vèrtex seria d'uns 18″, en un disc de mig grau sense vores nítides ni marques fixes on apuntar. Avui la distància fins al Sol surt d'un rellotge, i no d'un angle: un pols de radar enviat a Venus torna al cap d'uns quants minuts, i el temps d'anada i tornada, mesurat amb els oscil·ladors i els rellotges atòmics dels passos 4 a 6 i multiplicat per la velocitat de la llum, dona la distància en quilòmetres. Aquesta única distància és suficient, perquè les posicions dels planetes i les lleis de Kepler ja donen les proporcions de tot el sistema, i abans del radar el mateix paper el va fer la triangulació d'asteroides pròxims, com Eros, els dos exemples que cita Feynman.

Més enllà de l'abast de la paral·laxi, la sortida és comparar. Si una estrella té el mateix color i el mateix espectre que unes altres la distància de les quals ja ens ha donat la paral·laxi, és plausible suposar que emet la mateixa potència, i el flux que arriba aquí cau amb el quadrat de la distància. L'escenari Candela estàndard ho fa amb una estrella igual que el Sol. L'error ara ve de quant s'assembla l'estrella al model, i un 20 % d'incertesa en la potència es converteix en un 10 % en la distància, tant si és a prop com si és lluny. Amb candeles cada vegada més brillants, la mateixa idea arriba a les galàxies, i les més llunyanes que s'han observat són a distàncies de l'ordre de \(10^{26}\) m.

Al Feynman: §5-6 Large distances ↗

El banc mostra una placa de carboni de cara, tal com la veuria una partícula del feix, amb cada nucli dibuixat com un disc. Els electrons queden fora, ja que són massa lleugers per frenar una partícula molt ràpida, i el que treu una partícula del feix és el xoc amb un nucli. A escala real, els nuclis d'1 cm de carboni només tapen un 2,5 % de l'àrea i amb prou feines es veurien. Per això la figura multiplica aquesta àrea per un factor, ×20 amb els valors inicials, cosa que equival a mirar una placa de 20 cm. Cada tret cau en un punt a l'atzar, i els comptes valen per a aquesta placa equivalent, amb el factor descomptat en el càlcul del radi.

L'àrea aparent que un blanc ofereix al feix s'anomena secció eficaç, \(\sigma\). En una capa prima, de gruix \(dx\), amb \(n\) nuclis per unitat de volum, els discos cobreixen una fracció \(n\sigma\,dx\) de l'àrea, i aquesta és la fracció del feix que la capa treu. Capa rere capa, la fracció que travessa el gruix \(x\) cau com \(e^{-n\sigma x}\), la mateixa exponencial del pas 5, amb el gruix en lloc del temps.

Per al carboni, \(n \approx 1{,}1\cdot10^{23}\) nuclis per cm³. Si el 97,5 % del feix travessa 1 cm, aleshores \(n\sigma x = \ln(1/0{,}975) \approx 0{,}025\), \(\sigma \approx 2{,}3\cdot10^{-25}\) cm² i, tractant el nucli com una esfera, \(r = \sqrt{\sigma/\pi} \approx 2{,}7\) fm. Un fm, o fermi, val \(10^{-15}\) m, i la regla empírica \(r \approx 1{,}2\,A^{1/3}\) fm, en què \(A\) és el nombre de protons i neutrons, dona pràcticament el mateix valor per als 12 del carboni.

Seria d'esperar que, en un centímetre sencer de carboni, els nuclis s'amaguessin els uns darrere dels altres, i no és el que passa. Amb un 2,5 % de l'àrea coberta, un nucli de la cara del darrere té com a molt un 2,5 % de probabilitat de tenir-ne un altre al davant, i de mitjana, al llarg del gruix, la meitat, de manera que el càlcul simple, fracció aturada igual a \(n\sigma x\), s'equivoca poc. En 10 cm la cobertura sumada passa del 25 %, les ombres comencen a superposar-se, i el càlcul simple, que dona un 25 % de partícules aturades, ja s'allunya del 22 % de l'exponencial.

Com l'escala d'oscil·ladors del pas 4, la mesura de distància baixa per graons, i cada tram del regle de sota el banc té el seu instrument, la cinta mètrica fins al mil·límetre, el microscopi òptic fins a prop del micròmetre, l'electrònic fins als àtoms, els raigs X per a l'espaiat dels cristalls, prop de \(10^{-10}\) m, i, a l'escala del nucli, només el recompte de partícules d'aquest banc.

De l'àtom al nucli hi ha encara un salt de \(10^5\), el mateix que separa una sala de 7 m d'un cabell, i cap imatge no cobreix aquest salt. La mida de l'àtom tenia una comprovació independent, el volum d'un mol de cristall dividit pel nombre d'Avogadro, mentre que del nucli el que es mesura és quant destorba el pas d'un feix. Per això el banc compta partícules en lloc de mirar.

El regle de sota el banc és logarítmic, com el de temps del pas 4, i va del nucli a la galàxia més llunyana observada, de \(10^{-15}\) m a \(10^{26}\) m. Són uns 41 ordres de magnitud, gairebé els mateixos que al regle de temps, i cada tram seu ha demanat una definició de distància una mica diferent, que només acceptem perquè concorda amb l'anterior allà on totes dues se superposen.

Al Feynman: §5-7 Short distances ↗