Tempo e Distância

A bancada deste passo tem um trilho de 4 m, inclinado o bastante para que a bola ganhe 0,5 m/s de velocidade a cada segundo, e nenhum relógio. O único jeito de saber quando a bola passa por cada ponto é usar o próprio coração como relógio e deixar um risco no trilho, onde a bola estiver, a cada batida. O exemplo é do Feynman, que reconstrói assim os primeiros experimentos de Galileu com planos inclinados, e os números são nossos.

Com um pulso de 0,8 s, as marcas caem a 0,16 m, 0,64 m, 1,44 m e 2,56 m da largada, e a quinta coincide com o fim do trilho, em 4 m. Divididas pela primeira, essas distâncias dão 1, 4, 9, 16 e 25, os quadrados do número da batida. Os espaços entre marcas vizinhas crescem como 1, 3, 5, 7, de modo que a bola percorre em cada batida um pouco mais que na anterior. Hoje escrevemos isso como \(d \propto t^2\), e a constante que falta é metade da aceleração.

Ninguém tem um coração de metrônomo, e a bancada deixa o pulso variar de batida para batida. As marcas se espalham, e a primeira sofre mais, porque depende de uma batida só e serve de régua para todas as outras. Ainda assim, soltura após soltura, a razão média gira em torno de 1, e a lei dos quadrados continua lá, só que escondida no ruído.

Na bancada, a distância é a parte fácil, já que basta uma trena encostada no trilho. O difícil é o tempo, porque a bola leva 4 s para descer e os relógios mecânicos de então erravam por minutos ao longo de um dia. No relato do Feynman, a saída de Galileu foi o próprio corpo, e esse cronômetro improvisado basta para trocar os tratados de inspiração aristotélica por uma tabela de números.

É a medida que transforma a conversa sobre movimento em física, já que só com números aparece uma relação como 1, 4, 9, 16. Daqui para frente, descrever um movimento vai ser responder a duas perguntas, que o Feynman resume em onde e quando, e o resto do capítulo trata de como respondê-las com cada vez mais precisão.

No Feynman: §5-1 Motion ↗

Os dois gráficos da bancada cobrem um ano inteiro em São Paulo, a 23° de latitude sul. O de cima mostra quanto um dia contado de um nascer do Sol ao seguinte passa de 86 400 s, e o de baixo faz a mesma conta de um meio-dia ao seguinte. Por meio-dia entendemos a passagem do Sol pelo ponto mais alto, e não as 12h do relógio. Em fins de dezembro as duas contas dão perto de 29 s a mais, e em meados de setembro a primeira cai para 63 s a menos, enquanto a segunda fica em 22 s a menos.

O leitor atento vai notar uma trapaça, porque falar em 86 400 s supõe um relógio, e o relógio é justamente o que ainda não temos. Para sair do círculo, o tempo passa a ser definido pelo modo como o medimos, escolhendo algo que se repete e contando as repetições. O dia é o candidato natural, e é ele que a bancada põe à prova.

Para isso, a bancada usa um segundo relógio que não depende do Sol, uma ampulheta de uma hora, a mesma que o Feynman propõe para esse fim. O que ela conta são as viradas acumuladas entre dois eventos do Sol, o que supõe alguém de plantão o tempo todo.

Contadas de nascer a nascer, as viradas não fecham. Em São Paulo elas vão de 23,98 em setembro a 24,01 em janeiro, e a 50° de latitude o intervalo se abre para 23,96 a 24,03. Qual dos dois relógios está errado? Só com eles, não há como dizer. O que muda no nascer é o tamanho do dia claro, que cresce ou encolhe com as estações e adianta ou atrasa o nascer de uma manhã para a outra. No equador o dia claro tem praticamente 12 horas o ano todo, e as duas curvas da bancada se tornam a mesma.

De meio-dia a meio-dia, a conta fica entre 23,99 e 24,01 em qualquer latitude, uma oscilação menor que o erro de uma ampulheta de verdade, que a leria como 24 viradas redondas. Isso não prova que a areia escorra sempre no mesmo ritmo, nem que o Sol volte ao alto em intervalos idênticos, e o Feynman faz questão de lembrá-lo. O que a bancada mostra é que os dois relógios concordam dentro de ±0,01 virada por dia, e é a esse acordo, e não a uma prova, que chamamos de tempo regular. Com relógios melhores, que a Lupa no meio-dia imita, o próprio meio-dia passa a variar, até cerca de 30 s de um dia para o outro. É a equação do tempo. Ela tem duas causas, a órbita elíptica da Terra, percorrida mais depressa no começo de janeiro, e a inclinação do eixo, e, acumulada ao longo dos meses, deixa o relógio de sol até cerca de um quarto de hora adiantado ou atrasado.

No Feynman: §5-2 Time ↗

A bancada solta ao mesmo tempo dois pêndulos iguais, de 0,994 m, o da esquerda aberto a 5° e o da direita a 60°. O primeiro leva 2,001 s para ir e voltar, o segundo leva 2,146 s, e a diferença de 0,145 s se acumula a cada oscilação. Depois de umas sete idas e voltas, um vai para a direita enquanto o outro vai para a esquerda.

O tempo de uma oscilação completa, o período, depende portanto do tamanho do balanço. Para balanços pequenos a dependência é fraca, e vale \(T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)\), mas ela cresce depressa com a amplitude. A 90° o período já é 18 % maior que \(T_0\), e a aproximação, que dá 15 %, começa a ficar para trás. A conta exata usa a média aritmético-geométrica, que converge em poucas iterações e desenha a curva cheia do gráfico.

Entre 5° e 10°, por outro lado, o período muda menos de 0,15 %. No limite de balanços pequenos ele tende a \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\), que só depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade, e é esse limite que faz do pêndulo um relógio.

No relato do Feynman, foi Galileu quem transformou esse limite em instrumento, tratando o pêndulo de balanço curto como um marcador de intervalos iguais. A ampulheta do passo anterior permite conferir a ideia. O pêndulo de 0,994 m completa perto de 1800 oscilações em cada hora de areia, e trocar uma abertura de 3° por uma de 8° muda essa conta em umas duas oscilações, provavelmente menos do que uma ampulheta de verdade consegue distinguir. Como o dia já passou no teste do passo 2, o pêndulo nos dá um jeito de repartir o dia em pedaços bem menores que a hora.

O segundo é a 86 400ª parte do dia médio, \(24 \times 60 \times 60\) pedaços, e o pêndulo de 0,994 m é chamado de pêndulo de segundos porque cada ida, de um extremo ao outro, dura 1 s. O período, que conta a ida e a volta, é de 2 s, e é fácil trocar um pelo outro.

Num relógio de pêndulo, um escape dá um pequeno empurrão a cada balanço e repõe o que o atrito tira, de modo que a amplitude fica sempre a mesma. A dependência com a amplitude continua lá, como um fator fixo que o relojoeiro compensa ajustando o comprimento. O que estragaria a marcha seria a amplitude mudar, porque passar de 5° para 10° atrasa o pêndulo em cerca de 5 s por hora, ou 2 minutos por dia.

No Feynman: §5-3 Short times ↗

A grade da bancada tem 400 núcleos de um mesmo isótopo radioativo, cada um aceso enquanto não decai. Nenhum deles tem hora marcada, e a bancada sorteia a cada instante quais se apagam. Mesmo assim, a contagem passa perto de 200 depois de uma meia-vida, \(T\), perto de 100 depois de \(2T\) e perto de 50 depois de \(3T\), sempre rente à exponencial teórica. As flutuações em torno da curva crescem, em termos relativos, à medida que sobram menos núcleos.

Cada núcleo da grade tem a mesma chance de decair por unidade de tempo, seja qual for a idade dele, e por isso a amostra inteira perde, a cada meia-vida, metade do que ainda tem. Lida ao contrário, a fração que sobra dá o tempo decorrido. Com um oitavo da grade acesa passaram três meias-vidas, com um milésimo, perto de dez, e em geral a razão \(B/A\) entre o que resta e o que havia no início vale \(\left(\tfrac12\right)^{t/T}\), o que basta para ler a idade \(t\).

Esse relógio não tem tique. Não há nada para contar, só uma fração para medir, e ele continua marcando muito depois de qualquer contador humano ter ido embora, o que o torna útil para milhares ou bilhões de anos.

A dificuldade prática é saber quanto havia no começo, e para o carbono a atmosfera dá a resposta. Raios cósmicos produzem carbono-14 a partir do nitrogênio no alto da atmosfera, e o decaimento o remove, de modo que a fração de carbono-14 no gás carbônico do ar tende a ficar aproximadamente constante. Uma árvore viva troca carbono com o ar e mantém essa fração, e quando morre a troca para e o relógio começa a correr. A meia-vida é de 5730 anos, valor medido com mais cuidado que os 5000 redondos do Feynman, e as pequenas variações da fração no ar ao longo dos milênios se corrigem com curvas de calibração. Essas curvas vêm de contadores naturais em que cada ano deixa a sua marca, como os anéis das árvores e as camadas anuais de sedimento no fundo de certos lagos, contados um a um e datados também pelo carbono-14.

O que limita a datação é a contagem. Cada decaimento é um clique no detector, \(N\) cliques têm uma incerteza estatística de cerca de \(\sqrt N\), e isso vira uma incerteza de idade de \(T/(\ln 2\,\sqrt N)\). Uma amostra de 12 000 anos guarda 23 % do carbono-14 original, e um detector que registraria 10 000 decaimentos de uma amostra nova registra 2342 no mesmo tempo, o que dá ±171 anos. Aos 60 000 anos sobram 0,07 %, a mesma medida conta uns 7 decaimentos e erra por mais de 3000 anos. Na prática, a radiação de fundo e a contaminação por carbono recente põem o limite perto de 50 000 anos, e tempos maiores pedem isótopos de meia-vida mais longa, como o urânio-238, que data rochas e a própria Terra.

No Feynman: §5-4 Long times ↗

No cenário Estrela, a bancada começa por uma paralaxe de 0,77″, o valor medido para a Próxima Centauri, a menor das três estrelas do sistema de Alfa Centauri e a mais próxima do Sol. Vista com seis meses de intervalo, ela muda um pouco de lugar contra as estrelas muito mais distantes do fundo, porque a Terra passou para o outro lado da órbita. A base do triângulo é o diâmetro da órbita, 2 UA, perto de 300 milhões de km, e a paralaxe é metade do ângulo no vértice. Com 0,77″, a estrela fica a 1,30 pc, ou 4,2 anos-luz, umas 270 mil vezes a distância da Terra ao Sol.

O parsec é a distância em que uma unidade astronômica, perpendicular à linha de visada, ocupa um segundo de arco, e foi escolhido para que a distância em parsecs seja o inverso da paralaxe em segundos de arco. O que essa conta simples esconde é o erro. Um telescópio mede ângulos com um erro mais ou menos fixo, seja qual for a distância da estrela, e o erro relativo da distância é esse erro dividido pela paralaxe. Com 0,01″ de erro, a Próxima fica com 1,3 %, uma estrela a 10 pc fica com 10 %, e a 100 pc, onde a paralaxe tem o tamanho do próprio erro, a medida deixa de dizer qualquer coisa sobre a distância.

Do chão, através da atmosfera, chegar a 0,01″ já dá trabalho. O satélite Hipparcos, nos anos 1990, mediu paralaxes com erros perto de 0,001″. O Gaia, que observou o céu de 2014 a 2025, chega a algumas centésimas de milésimo de segundo de arco nas estrelas mais brilhantes, o que leva a triangulação a milhares de parsecs, ainda dentro da nossa galáxia.

No cenário Satélite, 1° de erro em cada visada vira 3,8 % de erro na altura, uns 19 km em 500. O mesmo triângulo encolhido para um pátio, com 10 m de base e um ponto a 5 m de altura, pode ser conferido com uma trena, e as duas leituras coincidem dentro desses mesmos 3,8 %, ou dentro do que a trena e o transferidor permitirem. É isso que, para nós, faz da triangulação uma medida de distância, e não só uma conta com ângulos: onde régua e triângulo podem ser usados juntos, dão o mesmo número. Esse acordo é um resultado de medida, e diz que os ângulos dos triângulos que conseguimos medir somam 180°, ponto que o Feynman também destaca.

Os cenários Satélite e Lua usam dois observadores na superfície da Terra. Um satélite a 500 km de altura, visto de duas estações separadas por 1000 km, aparece sob ângulos bem abertos, e mesmo 1° de erro em cada visada custa menos de 4 % na altura. Para a Lua, a 384 000 km, uma base de 10 000 km deixa no vértice um ângulo de só 1,5°. Um erro de 0,1° já custa 14 %, e a partir de uns 0,75° o triângulo pode nem fechar.

O Sol fica fora da bancada por causa de um número. Com o diâmetro da Terra como base, o ângulo no vértice seria de uns 18″, num disco de meio grau sem bordas nítidas nem marcas fixas onde mirar. Hoje a distância até ele vem de um relógio, e não de um ângulo: um pulso de radar enviado a Vênus volta em alguns minutos, e o tempo de ida e volta, medido com os osciladores e relógios atômicos dos passos 4 a 6 e multiplicado pela velocidade da luz, dá a distância em quilômetros. Essa única distância basta, porque as posições dos planetas e as leis de Kepler já dão as proporções do sistema inteiro, e antes do radar o mesmo papel coube à triangulação de asteroides próximos, como Eros, os dois exemplos citados pelo Feynman.

Além do alcance da paralaxe, a saída é comparar. Se uma estrela tem a mesma cor e o mesmo espectro de outras cuja distância a paralaxe já deu, é plausível supor que ela emita a mesma potência, e o fluxo que chega aqui cai com o quadrado da distância. O cenário Vela-padrão faz isso com uma estrela igual ao Sol. O erro agora vem de quanto a estrela se parece com o modelo, e 20 % de incerteza na potência viram 10 % na distância, perto ou longe. Com velas cada vez mais brilhantes, a mesma ideia chega às galáxias, e as mais distantes já observadas estão a distâncias da ordem de \(10^{26}\) m.

No Feynman: §5-6 Large distances ↗

A bancada mostra uma placa de carbono de frente, como a veria uma partícula do feixe, com cada núcleo desenhado como um disco. Os elétrons ficam de fora, já que são leves demais para frear uma partícula muito rápida, e o que tira uma partícula do feixe é o choque com um núcleo. Na escala verdadeira, os núcleos de 1 cm de carbono tapam só 2,5 % da área e mal apareceriam. Por isso a figura multiplica essa área por um fator, ×20 com os valores iniciais, o que equivale a olhar uma placa de 20 cm. Cada disparo cai num ponto ao acaso, e as contagens valem para essa placa equivalente, com o fator descontado na conta do raio.

A área aparente que um alvo oferece ao feixe chama-se seção de choque, \(\sigma\). Numa camada fina, de espessura \(dx\), com \(n\) núcleos por unidade de volume, os discos cobrem uma fração \(n\sigma\,dx\) da área, e é essa a fração do feixe que a camada tira. Camada após camada, a fração que atravessa a espessura \(x\) cai como \(e^{-n\sigma x}\), a mesma exponencial do passo 5, com a espessura no lugar do tempo.

Para o carbono, \(n \approx 1{,}1\cdot10^{23}\) núcleos por cm³. Se 97,5 % do feixe atravessa 1 cm, então \(n\sigma x = \ln(1/0{,}975) \approx 0{,}025\), \(\sigma \approx 2{,}3\cdot10^{-25}\) cm² e, tratando o núcleo como uma esfera, \(r = \sqrt{\sigma/\pi} \approx 2{,}7\) fm. Um fm, ou fermi, vale \(10^{-15}\) m, e a regra empírica \(r \approx 1{,}2\,A^{1/3}\) fm, em que \(A\) é o número de prótons e nêutrons, dá praticamente o mesmo valor para os 12 do carbono.

Seria de esperar que, num centímetro inteiro de carbono, os núcleos se escondessem uns atrás dos outros, e não é o que acontece. Com 2,5 % da área coberta, um núcleo da face de trás tem no máximo uns 2,5 % de chance de ter outro à frente, e em média, ao longo da espessura, metade disso, de modo que a conta simples, fração parada igual a \(n\sigma x\), erra pouco. Em 10 cm a cobertura somada passa de 25 %, as sombras começam a se sobrepor, e a conta simples, que dá 25 % de partículas paradas, já se afasta dos 22 % da exponencial.

Como a escada de osciladores do passo 4, a medida de distância desce por degraus, e cada trecho da régua embaixo da bancada tem o seu instrumento, a trena até o milímetro, o microscópio óptico até perto do micrômetro, o eletrônico até os átomos, os raios X para o espaçamento dos cristais, perto de \(10^{-10}\) m, e, na escala do núcleo, só a contagem de partículas desta bancada.

Do átomo ao núcleo há ainda um salto de \(10^5\), o mesmo que separa uma sala de 7 m de um fio de cabelo, e imagem nenhuma cobre esse salto. O tamanho do átomo tinha uma conferência independente, o volume de um mol de cristal dividido pelo número de Avogadro, enquanto do núcleo o que se mede é quanto ele atrapalha a passagem de um feixe. Por isso a bancada conta partículas em vez de olhar.

A régua embaixo da bancada é logarítmica, como a de tempos do passo 4, e vai do núcleo à galáxia mais distante já observada, de \(10^{-15}\) m a \(10^{26}\) m. São umas 41 ordens de grandeza, quase as mesmas da régua de tempos, e cada trecho dela pediu uma definição de distância um pouco diferente, que só aceitamos porque concorda com a anterior onde as duas se sobrepõem.

No Feynman: §5-7 Short distances ↗