Probabilidade

A bancada tem três dados, A, B e C, e um deles foi sorteado em segredo para ser viciado. Nele o seis sai uma vez em três, e cada uma das outras faces sai duas vezes em quinze. Cada clique lança os três dados juntos, e os histogramas mostram a fração de vezes em que cada face apareceu, ao lado de uma linha tracejada em 1/6. Depois de dez lançamentos, os três histogramas costumam parecer igualmente tortos, e não é raro que um dado honesto mostre três ou quatro seis.

A linha em 1/6 não vem de lançamento nenhum. Ela vem de olhar para um dado bem feito e não encontrar motivo para preferir uma face às outras, e seis faces sem preferência dividem o total em seis partes iguais. O que essa fração promete é uma proporção ao longo de muitas repetições, e não o resultado de um lançamento: a fração observada \(N_A/N\) oscila em volta de 1/6 e tende a se aproximar dela à medida que o número \(N\) de lançamentos cresce, sem nunca parar de oscilar.

Com 600 lançamentos por dado, o número esperado de seis é 100 num dado honesto e 200 no viciado. Um dado honesto raramente se afasta de 100 por mais de uns 20, e a distância entre 100 e 200 é grande o bastante para que os histogramas, que no começo se confundiam, passem a contar histórias diferentes.

As barras de baixo respondem a outra pergunta, qual dos três é o viciado. Antes do primeiro lançamento as três ficam em 1/3, porque nada distingue um dado do outro. A cada lançamento a bancada compara quão provável seria obter as contagens observadas supondo viciado cada um dos dados, e o dado que acumula seis em excesso ganha crédito. Nas nossas simulações, com 10 lançamentos por dado o palpite passa de 95 % em menos de um sorteio em dez, e com 100 passa em quase todos.

Os dados não mudam durante o experimento, e ainda assim a probabilidade de B ser o viciado sobe e desce a cada clique. Isso só parece estranho enquanto se pensa na probabilidade como uma propriedade do dado. A leitura do Feynman é outra: a probabilidade é o nosso melhor palpite diante de uma informação incompleta, e por isso depende do que sabemos. O botão que mostra o viciado deixa isso à vista, porque quem o aperta passa a atribuir 1 a um dado e 0 aos outros dois sem que nada tenha acontecido aos dados.

No Feynman: §6-1 Chance and likelihood ↗

Cada jogo da bancada tem 30 lançamentos de uma moeda honesta, mostrados em cima como círculos marcados C, de cara, ou K, de coroa, e o número de caras de cada jogo vai para o histograma de baixo. Os pontos vermelhos sobre o histograma são a previsão de quantos jogos devem cair em cada número de caras. Com poucos jogos as barras pulam acima e abaixo dos pontos, e com algumas centenas passam a acompanhá-los de perto.

Antes de jogar, o palpite natural é 15, metade de 30, e de fato nenhum outro número é mais provável. Só que 15 exatos saem em apenas 14 % dos jogos, e numa série de cinco jogos a chance de não ver nenhum 15 é de quase metade. Os resultados se espalham em volta de 15: entre 12 e 18 caem cerca de 80 % dos jogos, e na faixa de 13 a 17, que é a faixa \(15 \pm \sqrt{30}/2\) usada nas estatísticas da bancada, cerca de 64 %. Resultados ainda mais afastados, 9 caras ou menos, ou 21 ou mais, aparecem em uns 4 % dos jogos sem que a moeda tenha nada de errado.

De onde vêm esses números? Uma sequência de 30 lançamentos é uma entre \(2^{30}\), pouco mais de um bilhão, todas igualmente prováveis com uma moeda honesta, e as que têm exatamente \(k\) caras são \(\binom{30}{k}\). Para \(k = 15\) são pouco mais de 155 milhões, e a razão dá 0,14. A mesma conta com 100 lançamentos por jogo mostra que o valor mais provável, 50, sai em só 8 % dos jogos, enquanto a faixa de 45 a 55 cobre 73 %.

Essa largura é o que permite desconfiar de uma moeda. Quem vê 18 caras em 30 não tem motivo para acusar ninguém, já que quase um em cada cinco jogos honestos dá 18 ou mais. Já 24 caras saem de uma moeda honesta menos de uma vez em mil jogos, e aí a suspeita começa a ter fundamento. O que importa é se o resultado cabe na largura que o acaso costuma produzir.

No Feynman: §6-2 Fluctuations ↗

No cenário Caminhos, uma versão em pé do diagrama de caminhos do Feynman, cada linha da figura é um lançamento, e cada descida para a direita é uma cara, C, e cada descida para a esquerda, uma coroa, K, com as letras do passo 2. O número dentro de cada nó conta os caminhos que chegam até ele a partir do topo. Com 3 lançamentos a última linha mostra 1, 3, 3, 1, e ao tocar no nó de 2 caras se acendem os três caminhos que levam a ele, KCC, CKC e CCK.

Com uma moeda honesta, cada uma das 8 sequências possíveis de 3 lançamentos tem a mesma chance, 1/8, e a probabilidade de 2 caras é simplesmente a fração das sequências que terminam nesse nó, 3/8. A regra vale para qualquer número de lançamentos: há \(2^N\) sequências igualmente prováveis, e \(\binom{N}{k}\) delas têm exatamente \(k\) caras. É essa a conta por trás dos 14 % de jogos com 15 caras do passo anterior.

Para preencher a figura não é preciso listar sequência nenhuma. Um caminho só pode chegar a um nó vindo de um dos dois nós logo acima dele, do que fica à esquerda, com uma cara no último lançamento, ou do que fica à direita, com uma coroa. Assim cada número é a soma dos dois que estão sobre ele, e a figura toda é o triângulo de Pascal. Com 6 lançamentos, o nó do meio recebe 10 + 10 = 20 caminhos de um total de 64.

O cenário Galton faz a mesma contagem com bolinhas, num tabuleiro como o que Francis Galton construiu no século XIX. São 10 fileiras de pinos, e em cada pino a bolinha desvia para a esquerda ou para a direita com chance 1/2, como uma moeda. A caixa em que ela cai registra quantas vezes foi para a direita, isto é, quantas caras saíram em 10 lançamentos. A caixa do meio recebe perto de um quarto das bolinhas, porque 252 dos 1.024 caminhos terminam nela, enquanto cada caixa da ponta tem um caminho só.

Com 200 bolinhas as caixas desenham um sino que segue a curva vermelha, e as caixas de 4 a 6 juntas ficam com cerca de 66 % das bolinhas. Nenhuma bolinha precisa saber da curva para que ela apareça, basta que haja muito mais caminhos para o meio do que para as pontas. As duas caixas das pontas, por sua vez, costumam ficar vazias, e em cerca de dois terços das sessões de 200 bolinhas nenhuma chega a elas.

No Feynman: §6-2 Fluctuations ↗

Cada andarilho da bancada parte de \(D = 0\) e, a cada passo, anda uma unidade para cima ou para baixo conforme o resultado de uma moeda. Com 200 andarilhos, os traços se abrem num leque que acompanha as curvas \(\pm\sqrt{N}\), e depois de 400 passos o \(D_{\text{rms}}\) medido fica entre 18 e 22 em cerca de 95 % das sessões, perto de \(\sqrt{400} = 20\). Com 20 andarilhos a mesma medida varia bem mais, de 15 a 25 em nove de cada dez sessões, e com um só cai entre 2 e 40 na mesma proporção.

O andarilho é a moeda do passo 2 vista de outro ângulo. Se cada cara é um passo para cima e cada coroa um passo para baixo, \(D\) é o número de caras menos o de coroas, \(D = 2k - N\). Cada cara a mais desloca o andarilho de dois passos, e por isso a faixa \(15 \pm \sqrt{30}/2\) do passo 2 é a mesma coisa que \(D\) dentro de \(\pm\sqrt{30}\).

A média de \(D\) fica perto de zero o tempo todo, porque cada caminho que sobe tem um gêmeo igualmente provável que desce. Ela diz para que lado o grupo tende a ir, que é lado nenhum, mas não diz até onde cada um chega. A bancada mede então a raiz da média dos quadrados, \(D_{\text{rms}} = \sqrt{\langle D^2\rangle}\), em que um andarilho 20 passos abaixo da origem conta tanto quanto um 20 passos acima.

O gráfico de \(\langle D^2\rangle\) contra \(N\) sai quase uma reta, e a razão está num único passo. Quem está em \(D\) vai para \(D+1\) ou para \(D-1\), e o quadrado passa a \(D^2 + 2D + 1\) ou a \(D^2 - 2D + 1\). Na média das duas saídas o termo \(2D\) se cancela e sobra \(D^2 + 1\), de modo que cada passo soma exatamente 1 ao quadrado médio, esteja o andarilho onde estiver. Partindo de zero, \(\langle D_N^2\rangle = N\), e a distância típica cresce como \(\sqrt{N}\).

A mesma conta descreve uma partícula de poeira empurrada ao acaso pelas moléculas do ar, o movimento browniano, e a soma de muitas pequenas fontes de erro numa medida, cada uma com um sinal imprevisível. Os erros não se compensam por completo: a soma de \(N\) contribuições independentes de tamanho 1 tende a ter tamanho \(\sqrt{N}\), menor que \(N\) mas crescendo sem parar. Pela mesma razão, uma partícula que se espalha ao acaso precisa de quatro vezes mais passos para ir duas vezes mais longe.

No Feynman: §6-3 The random walk ↗

A bancada lança três moedas honestas 10.000 vezes cada e acompanha as três sequências num eixo de \(N\) em escala logarítmica, em que cada divisão multiplica o número de lançamentos por dez. O gráfico de cima mostra a fração de caras \(N_C/N\) de cada sequência, e o de baixo, o excesso de caras sobre a metade, \(N_C - N/2\). As frações começam espalhadas entre 0 e 1 e vão se apertando em volta de 1/2, enquanto os excessos fazem o contrário e se afastam de zero, chegando com frequência a algumas dezenas de caras no fim.

O excesso de caras é o andarilho do passo 4 com passos de meia unidade. Cada cara aumenta \(N_C - N/2\) de ½ e cada coroa o diminui de ½, de modo que o excesso vale \(D/2\) e sua distância típica de zero, medida pela raiz da média dos quadrados, é \(\tfrac12\sqrt{N}\). A fração se afasta de 1/2 por esse mesmo excesso dividido por \(N\), e \(\sqrt{N}/2\) dividido por \(N\) dá \(1/(2\sqrt{N})\), que diminui à medida que \(N\) cresce. O excesso cresce, mas o número de lançamentos que o divide cresce mais depressa.

As curvas vermelhas do gráfico de cima marcam essa distância típica em volta de 1/2, a cheia em \(\tfrac12 \pm 1/(2\sqrt{N})\) e a tracejada no dobro disso. Quando \(N\) passa de algumas centenas, a fração de uma sequência costuma estar dentro da curva cheia em cerca de 68 % das vezes e dentro da tracejada em cerca de 95 %. Em \(N = 10.000\) a tracejada está em 0,5 ± 0,01, estreita demais para se ver na escala de 0 a 1, e por isso a partir de \(N = 1.000\) um quadro no canto do gráfico amplia a faixa de 0,47 a 0,53. As três sequências terminam dentro da tracejada em perto de 87 % das sessões.

É esse aperto que dá sentido à definição do passo 1, em que a probabilidade é a proporção dos casos ao longo de muitas repetições. Nenhuma sequência finita fixa essa proporção, mas a faixa em que a fração oscila se estreita como \(1/\sqrt{N}\), e por isso a fração medida converge enquanto as contagens que a formam continuam se afastando. Quem olha só para o excesso pode achar que a moeda está piorando, e quem olha para a fração vê o contrário, embora os dois estejam olhando para a mesma sequência.

A mesma conta diz quanto custa medir uma probabilidade. Para que a largura \(1/(2\sqrt{N})\) seja de 0,01, isto é, de 1 % numa probabilidade perto de 1/2, \(\sqrt{N}\) precisa valer 50, e são precisos uns 2.500 lançamentos. Essa largura, a raiz da média dos quadrados do desvio, é o que se chama desvio padrão, e com 2.500 lançamentos a fração medida fica a menos de 0,01 da verdadeira em cerca de dois terços das vezes. Para chegar a 95 % é preciso que 0,01 valha duas larguras, o que pede os 10.000 lançamentos da bancada, e cada algarismo a mais de precisão custa cem vezes mais lançamentos.

No Feynman: §6-3 The random walk ↗

No cenário Soma de passos, cada andarilho dá passos de tamanho sorteado, qualquer valor entre \(-\sqrt{3}\) e \(+\sqrt{3}\) com a mesma chance, uma faixa escolhida para que a média dos quadrados de um passo seja 1, como nos passos de uma unidade do passo 4. A bancada soma os passos de 5.000 andarilhos e faz o histograma das posições finais \(x\). Com 1 passo o histograma é um retângulo, com 2 vira um triângulo, com 5 já lembra o sino da curva vermelha, e com 30 os dois praticamente se confundem.

A largura cresce como \(\sqrt{N}\) pelo argumento do passo 4: a cada passo, o quadrado médio da posição aumenta pela média dos quadrados do passo, que aqui vale 1, e depois de \(N\) passos \(\langle x^2\rangle = N\). A raiz desse número é o desvio padrão \(\sigma = \sqrt{N}\). O que surpreende é a forma, porque o passo da bancada não tem nada de sino e ainda assim a soma de poucos deles já se parece com uma gaussiana de largura \(\sigma\). Esse resultado, o teorema central do limite, vale para quase qualquer forma de passo, desde que os passos sejam independentes, tenham média zero e média dos quadrados finita.

Com passos de tamanho contínuo, a chance de terminar exatamente em \(x = 0\), ou em qualquer outro valor escolhido antes, é zero, e nenhuma das 5.000 somas acerta um número fixado com todas as suas casas decimais. Por isso o eixo vertical não mostra probabilidades, mas uma densidade \(p(x)\), e cada barra tem a altura da fração das somas que caiu nela dividida pela largura da barra. A probabilidade de cair num intervalo é então a área sob \(p(x)\) entre as bordas, e a área toda vale 1.

A faixa sombreada é esse intervalo, e suas bordas se arrastam com o dedo ou o mouse. Entre \(-\sigma\) e \(+\sigma\) a gaussiana prevê 68,3 % das somas, e entre \(-2\sigma\) e \(+2\sigma\), 95,4 %. Com 1 passo a contagem dá cerca de 58 % em \(\pm\sigma\), já que o retângulo não tem caudas, com 2 passos dá cerca de 65 %, e a partir de 5 a diferença para 68,3 % fica do tamanho do ruído de 5.000 somas.

No cenário Gás, a curva é a densidade de velocidades das moléculas de nitrogênio, a distribuição de Maxwell. A 300 K, a velocidade mais provável, no pico da curva, é 422 m/s, a média é 476 m/s e a raiz da média dos quadrados, a velocidade rms, é 517 m/s, todas um pouco acima da velocidade do som no ar, perto de 350 m/s. As três diferem porque a curva não é simétrica. Ela parte de zero, já que velocidade quase nula exige que as três componentes da velocidade sejam pequenas ao mesmo tempo, e tem uma cauda longa do lado das velocidades altas.

A temperatura desloca e alarga a curva ao mesmo tempo. As três velocidades crescem como \(\sqrt{T}\) e a 1.200 K valem o dobro das de 300 K, e como a área continua 1, o pico desce. A leitura da área é a mesma das somas de passos: a fração das moléculas entre 400 e 600 m/s cai de 36 % a 300 K para 13 % a 1.200 K, enquanto a fração acima de 1.000 m/s sobe de cerca de 1 % para 42 %.

No Feynman: §6-4 A probability distribution ↗

No cenário Pacote, a curva da esquerda é a densidade \(p_1(x)\) da posição de uma partícula, com a largura \(\Delta x\) escolhida no controle, e a da direita é a densidade \(p_2(v)\) da velocidade, com a menor largura \(\Delta v\) que a mecânica quântica admite para aquele \(\Delta x\). Com \(\Delta x = 10^{-10}\) m, mais ou menos o tamanho de um átomo, o \(\Delta v\) mínimo de um elétron é de 579 km/s, o de um próton é de 315 m/s e o de um grão de poeira de \(10^{-15}\) kg é de \(5{,}3\cdot10^{-10}\) m/s.

Os três números saem da mesma regra, que impede o produto das duas larguras de ficar abaixo de \(\hbar/2m\), em que \(m\) é a massa e \(\hbar \approx 1{,}05\cdot10^{-34}\) J·s é a constante de Planck dividida por \(2\pi\). Essa desigualdade é o princípio da incerteza de Heisenberg, na forma em que o Feynman o escreve, com a velocidade no lugar do momento \(mv\). Ao arrastar o controle para a esquerda, a curva da posição se estreita e a da velocidade se alarga na mesma proporção, já que dividir \(\Delta x\) por dez multiplica o \(\Delta v\) mínimo por dez, e as escalas dos eixos mudam aos saltos, de 1 para 2, 5 e 10, para que as duas curvas continuem cabendo na tela. A massa no denominador explica a distância entre as três partículas: o próton tem 1.836 vezes a massa do elétron, e o grão de poeira, cerca de \(10^{15}\) vezes.

Para o grão de poeira, a regra vale mas não deixa marca que se possa medir. Mesmo com \(\Delta x\) de 1 µm, o tamanho do próprio grão, o \(\Delta v\) mínimo fica em \(5{,}3\cdot10^{-14}\) m/s, enquanto a agitação térmica do grão no ar a 300 K lhe dá velocidades em torno de 2 mm/s, mais de dez ordens de grandeza acima. Para um elétron preso num átomo a situação se inverte, e o \(\Delta v\) mínimo de centenas de km/s indica que nenhuma descrição em que o elétron fica parado num ponto conhecido pode estar certa.

As duas curvas do Pacote não são um resumo de velocidades bem definidas que deixamos de acompanhar, como a curva de Maxwell do passo 6, em que cada molécula de nitrogênio tem a sua velocidade e a densidade é uma escolha de conveniência diante de moléculas demais. Para o elétron da bancada, \(p_1(x)\) e \(p_2(v)\) são a descrição mais completa que a mecânica quântica oferece, sem nada mais preciso por baixo, e por isso a largura mínima de \(p_2(v)\) não diminui com nenhuma medida mais cuidadosa.

No cenário Hidrogênio, cada ponto é uma posição possível do elétron no estado fundamental do átomo, e o conjunto forma a nuvem que o Feynman usa para representar o átomo no fim do capítulo. Os pontos são sorteados em três dimensões e projetados na tela, como numa fotografia, de modo que muitos aparecem mais perto do próton do que de fato estão. O histograma da direita usa a distância verdadeira \(r\) de cada ponto ao próton e segue a curva \(P(r)\), cujo pico, o raio mais provável, fica no raio de Bohr \(a_0 \approx 0{,}53\cdot10^{-10}\) m, enquanto o raio médio é \(1{,}5\,a_0\). A média dos pontos tende a esse valor com um erro típico que cai como \(1/\sqrt{N}\), perto de 0,09 \(a_0\) com 100 pontos e de 0,009 \(a_0\) com 10.000.

A nuvem tem largura \(a_0\) em cada direção, e pela regra o \(\Delta v\) do elétron no átomo não pode ficar abaixo de cerca de 1.100 km/s. No estado fundamental, o \(\Delta v\) em cada direção é perto de 1.260 km/s, e o produto \(\Delta x\,\Delta v\) fica só uns 15 % acima do mínimo que a regra admite.

No Feynman: §6-5 The uncertainty principle ↗