A Teoria da Gravitação

A bancada começa com dois alfinetes a 10 cm um do outro e um laço de barbante de 30 cm passado em volta deles. Esticado pela ponta do lápis, o laço forma um triângulo em que o lado entre os alfinetes nunca muda, e por isso os outros dois lados, as distâncias \(r_1\) e \(r_2\) do lápis a cada alfinete, somam sempre 30 − 10 = 20 cm. A curva que o lápis desenha sob essa restrição é uma elipse, e os alfinetes marcam os seus dois focos.

Metade daquela soma é o semieixo maior, \(a = 10\) cm, a distância do centro até a ponta mais afastada da curva. A distância \(c\) de cada foco ao centro, medida em unidades de \(a\), é a excentricidade \(e = c/a\), que vale 0 quando os alfinetes coincidem e o lápis desenha um círculo e se aproxima de 1 quando a distância \(2c\) entre eles se aproxima de \(2a\) e a elipse se achata num segmento. No alto da curva o lápis fica à mesma distância \(a\) dos dois alfinetes, e o triângulo retângulo formado ali dá o semieixo menor, \(b = a\sqrt{1-e^2}\), ou 8,66 cm com \(e = 0{,}5\).

Kepler chegou à elipse no começo do século XVII, ao tentar ajustar a órbita de Marte às observações de Tycho Brahe. O detalhe que mais costuma surpreender é que o Sol não ocupa o centro da curva, mas um dos focos, e que no outro foco não há nada. A construção com alfinetes e barbante é antiga e aparece também no Feynman; a vantagem dela é transformar uma definição geométrica num gesto que qualquer um pode repetir na mesa.

O cenário Áreas põe o Sol no foco da direita e divide cada volta do planeta em oito intervalos de tempo iguais. Cada intervalo deixa um setor colorido entre o Sol e o arco percorrido: perto do Sol os setores são curtos e abertos em leque, do lado oposto são compridos e finos, e todos têm 34,0 cm². Essa é a segunda lei de Kepler, a de que a reta que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais, e ela obriga o planeta a andar mais depressa quando está perto do Sol.

A razão entre a velocidade no periélio, o ponto mais próximo do Sol, e a velocidade no afélio, o mais afastado, é \((1+e)/(1-e)\), ou 3,00 com \(e = 0{,}5\). A órbita da Terra, com \(e = 0{,}0167\), tem o semieixo menor apenas 0,014 % mais curto que o maior, uma diferença que na escala da bancada seria de 14 µm, mais fina que o traço do lápis. O Sol, no entanto, fica 1,7 mm fora do centro, e a velocidade da Terra varia uns 3 % ao longo do ano. Mercúrio, com 0,2056, já tem uma razão de velocidades de 1,52, e o cometa de Halley, com 0,967, passa pelo periélio quase 60 vezes mais depressa que pelo afélio.

No Feynman: §7-2 Kepler’s laws ↗

A bancada põe os oito planetas num gráfico com os dois eixos em escala logarítmica, o semieixo maior \(a\) em unidades astronômicas e o período \(T\) em anos. Nessa escala uma lei de potência \(T \propto a^p\) vira uma reta de inclinação \(p\), e os oito pontos, de Mercúrio, a 0,387 UA e 88 dias, a Netuno, a 30 UA e 165 anos, caem sobre uma reta de inclinação 1,500. Dito de outro modo, \(T^2/a^3\) é o mesmo para todos eles, com diferenças de no máximo 0,2 %, e essa é a terceira lei de Kepler.

A reta vermelha mostra o que produziria uma força com outra dependência da distância. Suponha que a força por unidade de massa a uma distância \(r\) do Sol seja \(k/r^n\) e que a órbita seja um círculo. A aceleração centrípeta \(v^2/r\) tem de ser igual a essa força, de modo que \(v^2 = k/r^{n-1}\), e o período \(T = 2\pi r/v\) cresce como \(r^{(n+1)/2}\). Com \(n = 3\), o valor inicial da bancada, a reta passa pela Terra, mas prevê 904 anos para Netuno, mais de cinco vezes o período medido.

Só um expoente põe a reta sobre os planetas: a inclinação \((n+1)/2 = 3/2\) exige \(n = 2\), e com ele o erro no período de Netuno cai para 0,06 %. Uma força que caísse como \(1/r\) daria aos planetas externos voltas curtas demais, e uma que caísse como \(1/r^3\), voltas longas demais. Esse argumento, com as órbitas tomadas como círculos, é provavelmente o caminho mais curto entre a terceira lei de Kepler e a força do inverso do quadrado, e foi por ele que Newton começou; a prova de que a mesma força produz elipses exatas, com a lei valendo para o semieixo maior, veio depois e dá bem mais trabalho. O Feynman menciona o resultado sem fazer a conta, que aqui cabe em duas linhas.

A conta não diz nada sobre o valor de \(k\), que só fixa a altura da reta. As luas de Júpiter seguem a mesma lei, com a mesma inclinação de 3/2, mas sobre uma reta deslocada para cima, porque o \(k\) de Júpiter é menor e a mesma distância leva mais tempo para ser percorrida. Esse deslocamento mede a razão entre as massas de Júpiter e do Sol, perto de um milésimo, e a aula de ensino médio sobre gravitação faz essa pesagem com as próprias luas.

No Feynman: §7-4 Newton’s law of gravitation ↗

A bancada põe um ponto num círculo de 1 m de raio, dando uma volta por segundo, o que corresponde a uma velocidade \(v = 2\pi\) m/s, ou 6,28 m/s. A reta tracejada é a tangente ao círculo no ponto de partida. Depois de \(\Delta t = 0{,}05\) s, um vigésimo de volta, o ponto andou 18° pelo círculo e está 4,89 cm abaixo da tangente, medidos na direção do centro. Esse afastamento \(x\) é o que a bancada usa para medir a aceleração.

Medir o afastamento a partir da tangente, e não do ponto de partida, é a escolha que a inércia impõe. Sem força nenhuma, o ponto seguiria pela reta tracejada com a mesma velocidade, e a força só aparece na diferença entre essa reta e o caminho de fato. Na bancada essa diferença aponta sempre para o centro do círculo, e ao longo da tangente o ponto não precisa de empurrão algum. O princípio da inércia vem de Galileu; a leitura de cada desvio da reta como a marca de uma força é de Newton.

A geometria do afastamento sai do teorema de Pitágoras. Chamando de \(S\) o avanço do ponto ao longo da tangente, o centro, a posição final e o pé da perpendicular formam um triângulo retângulo de catetos \(S\) e \(R - x\) e hipotenusa \(R\), de modo que \(x(2R - x) = S^2\) exatamente. Num intervalo curto, \(x\) é muito menor que \(2R\) e sobra \(x \approx S^2/2R\), um afastamento que cresce com o quadrado do avanço. Na bancada, \(S = 30{,}9\) cm e \(S^2/2R\) dá 4,77 cm, uns 2 % abaixo do valor exato.

Um afastamento que cresce com o quadrado do tempo tem cara de queda. Como \(S \approx v\,\Delta t\), temos \(x \approx v^2\Delta t^2/2R\), e a comparação com a queda a partir do repouso, \(x = \tfrac12 a\,\Delta t^2\), dá uma aceleração em direção ao centro \(a = v^2/R\), 39,478 m/s² na bancada. Com \(\Delta t = 0{,}05\) s a estimativa \(2x/\Delta t^2\) fica em 39,155 m/s², 0,8 % abaixo; com 0,001 s as duas coincidem nos cinco algarismos mostrados, porque o erro cai com \(\Delta t^2\).

A conta supõe que o avanço ao longo da tangente e a queda em direção ao centro se somam sem interferir um no outro. É a mesma independência que, na aula de ensino médio sobre lançamentos, faz uma bola lançada na horizontal chegar ao chão junto com outra apenas solta. A diferença é que no círculo a direção da queda gira com o ponto, e a cada instante ela recomeça a partir de uma tangente nova. O resultado é a aceleração centrípeta de sempre, obtida aqui só com o quanto o corpo se afasta da reta, e é essa a conta que o passo seguinte aplica à Lua.

No Feynman: §7-3 Development of dynamics ↗

A bancada solta um planeta a uma unidade de distância do Sol, com velocidade 15 % maior que a de uma órbita circular, e calcula o movimento em passos curtos, com uma força que aponta sempre para o Sol e cai com o quadrado da distância. A órbita sai uma elipse de excentricidade 0,32, e a cada oitavo de volta a bancada pinta um setor entre o Sol e o arco percorrido. A taxa com que a reta Sol–planeta varre área, medida a cada passo, fica em 0,000 % de variação, volta após volta.

A razão está num triângulo. Num intervalo curto \(\Delta t\) o planeta sai da posição \(\vec r\) e se desloca \(\vec v\,\Delta t\), e a área varrida é a metade de \(|\vec r \times \vec v|\,\Delta t\). Só a parte do deslocamento perpendicular ao raio conta nesse produto. Um puxão dirigido ao Sol acrescenta à velocidade um pedaço paralelo a \(\vec r\), que desaparece no produto vetorial, e o triângulo seguinte varre a mesma área; já uma componente da força perpendicular ao raio aumenta ou diminui essa área.

O botão Ligar empurrão tangencial acrescenta essa componente, a favor do movimento e igual a uma fração da atração. Com 2 %, a taxa de áreas sobe perto de 11 % por volta, os setores incham e a órbita se abre em espiral. Lida ao contrário, a conta é o argumento de Newton: se a área varrida cresce na mesma proporção do tempo, como Kepler mediu, a força não tem componente tangencial e aponta, a cada instante, para o Sol. A lei das áreas não diz nada sobre como essa força varia com a distância, e essa parte coube ao passo 2.

O cenário Lua põe o resultado do passo 3 para trabalhar. A Lua percorre um círculo de \(3{,}844\cdot10^8\) m em 27,32 dias, o que lhe dá uma aceleração em direção à Terra de \(4\pi^2 r_L/T_L^2 = 2{,}72\cdot10^{-3}\) m/s². Essa distância vale 60,3 raios terrestres, e os 9,81 m/s² da superfície divididos por \(60{,}3^2\) dão \(2{,}69\cdot10^{-3}\) m/s². A aula de ensino médio sobre gravitação faz essa comparação com números redondos; aqui ela pode responder a uma pergunta a mais.

A razão entre as duas acelerações medidas, a da superfície e a da Lua, é 3602, e a razão entre as distâncias ao centro da Terra é 60,34. Uma força que caísse como \(1/r^n\) daria \(60{,}34^n = 3602\), ou seja, \(n = 1{,}997\). Como o expoente sai de um logaritmo, o 1 % de diferença entre as acelerações mexe só na terceira casa, e o resultado é 2 com uma folga de uns três milésimos. O teste da Lua mede o expoente por um caminho que não passa pelos planetas, com outro corpo central, e chega ao mesmo 2 do passo 2. Com \(n = 1\) a Lua precisaria cair com 0,163 m/s², 60 vezes mais, e com \(n = 3\), com \(4{,}5\cdot10^{-5}\) m/s², 60 vezes menos.

Os 1,1 % que separam as duas barras têm explicação provável. A Terra não fica parada: ela e a Lua giram em torno do centro de massa comum, e a conta correta troca a massa da Terra pela soma das duas, 1,2 % maior, já que a Lua tem 1/81 da massa da Terra. O que sobra, uns poucos décimos de por cento, pode vir de efeitos como a excentricidade da órbita e a atração do Sol.

No Feynman: §7-4 Newton’s law of gravitation ↗

A bancada põe duas estrelas presas uma à outra pela gravidade, com 2 massas solares no total e um semieixo maior de 10 UA na órbita de uma em relação à outra. Nenhuma das duas fica parada no meio. Ambas giram em torno de um ponto entre elas, o centro de massa, marcado com uma cruz, e cada uma descreve uma elipse com um foco nesse ponto. As duas elipses têm a mesma excentricidade e o mesmo período, mas tamanhos diferentes, e as estrelas ficam sempre em lados opostos.

O tamanho de cada elipse depende da massa. Como o centro de massa não se move, a estrela mais pesada tem de ficar mais perto dele, e os semieixos \(a_1\) e \(a_2\) das duas elipses estão na razão inversa das massas. Com a estrela 2 tendo 0,6 da massa da estrela 1, a elipse da estrela 1 sai com 3,75 UA e a da estrela 2 com 6,25 UA. A soma das duas é o semieixo \(a = 10\) UA da órbita relativa, a que se veria olhando uma estrela a partir da outra.

A massa total vem da terceira lei de Kepler. No passo 2 o período de uma órbita era \(T = 2\pi a^{3/2}/\sqrt{k}\), e numa estrela dupla \(k = G(M_1 + M_2)\), porque o movimento relativo é o de um corpo atraído pelas duas massas somadas. Com \(a\) em UA, \(T\) em anos e as massas em massas solares, a Terra em volta do Sol vira a régua, com \(a = T = M = 1\), e as constantes somem da conta. Na bancada, 10 UA e 22,4 anos dão \(10^3/22{,}4^2 \approx 2{,}0\) massas solares.

O cenário Sirius A e B traz para a bancada a estrela mais brilhante do céu noturno. O par completa uma volta em 50,1 anos, com \(a \approx 19{,}8\) UA, e a terceira lei dá \(19{,}8^3/50{,}1^2 = 3{,}09\) massas solares. A elipse de Sirius A tem perto de metade do tamanho da de Sirius B, de modo que A fica com uns dois terços do total, 2,06 massas solares, e B com o terço restante, 1,03. A companheira foi deduzida antes de ser vista. Em 1844 Bessel notou que Sirius A oscilava em relação às estrelas de fundo, e em 1862 Alvan Graham Clark a encontrou ao testar uma lente nova.

Sirius B guarda uma massa parecida com a do Sol num corpo do tamanho da Terra; é uma anã branca, o que sobra de uma estrela que esgotou o combustível nuclear. Nada disso entra na conta, que só usa o período e as duas elipses. O que importa aqui é que a lei ajustada aos planetas, em torno de uma única estrela, descreve também duas estrelas em torno uma da outra. Como bastam o período e o tamanho das duas elipses, as estrelas duplas são provavelmente o caminho mais direto para pesar uma estrela. No céu a órbita aparece inclinada, e o Feynman mostra, com as medidas de Sirius ao longo de quatro décadas, por que a projeção tira Sirius A do foco aparente. A bancada olha a órbita de frente.

No Feynman: §7-5 Universal gravitation ↗

A bancada mostra de cima o Sol, a Terra a 1 UA e Júpiter a 5,2 UA, com as órbitas tomadas como círculos no mesmo plano, que é a simplificação do modelo. No instante zero a Terra está entre o Sol e Júpiter, na posição chamada oposição, e os dois planetas estão a 4,20 UA, a menor distância possível. A Terra dá uma volta por ano e Júpiter leva 11,86 anos. Pouco depois de meio ano a Terra passa para o outro lado do Sol, e a distância chega a 6,20 UA na conjunção.

Io, a mais próxima das quatro grandes luas de Júpiter, dá uma volta em 1,769 dia e a cada volta entra na sombra do planeta. Da Terra, o eclipse se vê como um apagar repentino, e a sequência deles funciona como um relógio. Com o intervalo medido perto da oposição dá para montar uma tabela dos eclipses seguintes, mas a tabela logo começa a falhar. Enquanto a Terra se afasta de Júpiter, cada eclipse chega até uns 14 s depois do que o anterior faria prever; enquanto ela se aproxima, chega outros tantos segundos antes.

O gráfico da bancada mostra o efeito acumulado. A luz do eclipse precisa atravessar a distância entre Júpiter e a Terra, e cada UA a mais custa 499 s de viagem. O atraso em relação à tabela é, portanto, a distância extra dividida por \(c\). Ele cresce até 16,6 min na conjunção, quando a distância extra é o diâmetro da órbita da Terra, 2 UA. Só volta a zero na oposição seguinte, depois de 1,09 ano, porque nesse meio-tempo Júpiter também andou.

Ole Rømer, que trabalhava no Observatório de Paris, propôs essa explicação em 1676, com eclipses de Io acompanhados ao longo de vários anos. Pela estimativa dele, a luz levava uns 22 minutos para atravessar o diâmetro da órbita da Terra. Christiaan Huygens combinou esse número com o tamanho da órbita estimado na época e chegou a uma velocidade perto de 220 mil km/s. A diferença para os 16,6 min de hoje vem provavelmente da dificuldade de cronometrar um eclipse com os telescópios e relógios do século XVII. Perto da conjunção, além disso, Júpiter se perde no brilho do Sol e não pode ser observado.

Rømer não precisou da gravitação para chegar a essa leitura. Em 1676 os Principia de Newton ainda estavam a onze anos de distância, e o que ele tinha era a confiança no ritmo de Io. A explicação também não convenceu de imediato: Cassini, que dirigia o observatório, não a aceitou, e a velocidade finita da luz só foi aceita de forma ampla depois que Bradley descobriu a aberração da luz, em 1729. O Feynman olha o episódio de trás para a frente, já com a gravitação em mãos. A órbita de Io depende da atração de Júpiter e não de onde a Terra está, de modo que um desvio como esse ameaçaria a lei, a menos que outra coisa o explicasse; aqui, essa outra coisa é a luz.

No Feynman: §7-5 Universal gravitation ↗

A bancada monta a balança de torção com os números de Henry Cavendish: uma haste de 1,86 m pendurada pelo meio num fio fino, com uma esfera de chumbo de 0,73 kg em cada ponta, e duas esferas de 158 kg ao lado das pequenas, com os centros a 0,23 m. Cada par se atrai com \(GMm/r^2 = 1{,}5\cdot10^{-7}\) N, o peso de uns 15 microgramas, perto de um quarto de um grão de sal de cozinha. As duas forças puxam as pontas da haste para lados opostos e somam um torque \(GMmL/r^2\), que torce o fio até que a resistência dele, \(\kappa\,\theta\), equilibre o puxão.

Com esses números o ângulo de equilíbrio é de \(9{,}6\cdot10^{-4}\) rad, menos de um décimo de grau, pequeno demais para ser lido na própria haste. Um espelho preso ao fio resolve o problema: quando ele gira \(\theta\), o feixe refletido gira \(2\theta\), e numa escala a 5 m o ponto de luz anda \(2\theta D = 9{,}6\) mm. Trocar as esferas grandes de lado inverte o torque e leva o ponto para o outro lado, num percurso de 19,2 mm, de modo que a medida dispensa saber onde fica o fio sem torção.

Cavendish, em 1798, não usou espelho. Ele fechou a balança numa sala, para protegê-la das correntes de ar e das diferenças de temperatura, e acompanhava as pontas da haste de fora, com lunetas apontadas para escalas finas iluminadas por lâmpadas. O espelho com o feixe de luz veio depois, em versões do século XIX, e é esse arranjo que a bancada desenha, com o giro da haste fora de escala.

Falta a constante \(\kappa\) do fio, que Cavendish não precisou medir à parte. Solta, a haste oscila em torno do equilíbrio com período \(T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}\), em que \(I = mL^2/2\) é o momento de inércia das esferas pequenas, e nas medidas dele uma oscilação levava uns 7 min. Tirando \(\kappa\) do período e levando-o ao equilíbrio dos torques, a massa \(m\) some, e sobra uma expressão para \(G\) feita de duas distâncias, um ângulo, um tempo e a massa das esferas grandes.

Com \(G\) em mãos, a Terra pode ser pesada. A aceleração na superfície é \(g = GM_T/R_T^2\), e com \(g = 9{,}81\) m/s² e \(R_T = 6{,}37\cdot10^6\) m a massa sai \(M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\) kg. Cavendish apresentou o resultado como a densidade média da Terra, 5,48 vezes a da água, e a experiência ficou lembrada como a que pesou o planeta; o \(G\) que se tira dos números dele fica a cerca de 1 % do valor atual. A aula de ensino médio sobre gravitação calcula a mesma atração entre duas esferas, sem a balança.

No Feynman: §7-6 Cavendish’s experiment ↗

O cenário Fraqueza põe dois elétrons a \(10^{-10}\) m, perto do tamanho de um átomo, e compara as duas forças entre eles. A repulsão elétrica vale \(2{,}3\cdot10^{-8}\) N e a atração gravitacional \(5{,}5\cdot10^{-51}\) N, e as barras, em escala logarítmica, ficam separadas por mais de 42 potências de 10. Como as duas forças caem com o quadrado da distância, a razão \(4{,}17\cdot10^{42}\) não muda com a separação e depende só das cargas e das massas. Entre dois prótons, com a mesma carga e 1836 vezes a massa, ela cai para \(1{,}23\cdot10^{36}\), um número que continua imenso.

Se a gravidade perde por tanto, é razoável perguntar por que é ela que governa planetas e estrelas. As cargas vêm em dois sinais e se cancelam, e um corpo grande tem quase exatamente tantos prótons quanto elétrons; as massas têm um sinal só e se somam sempre. Nas esferas de chumbo do passo 7, sobrar uma carga a cada \(4\cdot10^{17}\) prótons já bastaria para criar uma força elétrica do tamanho da atração que a balança mede, e é a neutralidade quase perfeita da matéria que deixa a gravidade sozinha nas escalas grandes.

A lei de Newton também não diz como a atração atravessa o espaço vazio. Numa carta de 1693 a Richard Bentley, Newton chamou de absurda a ideia de um corpo agir sobre outro à distância sem nada entre eles, e mesmo assim não arriscou um mecanismo. Propostas não faltaram desde o século XVIII, e nenhuma resistiu às observações; o Feynman discute uma delas no §7-7. A bancada, como a lei, só calcula quanto as massas se atraem, sem dizer como.

O cenário Luz faz um raio passar a uma distância \(b\) do centro do Sol. Tratando a luz como uma partícula que viaja a \(c\) sob a lei de Newton, a conta dá um desvio de 0,875″ para o raio rasante, perto do que Johann von Soldner calculou em 1801. A relatividade geral de Einstein, de 1915, dá o dobro, 1,75″, e nas duas teorias o desvio cai com \(1/b\). A luz cai porque, na teoria de Einstein, a energia gravita tal como a massa, e a metade que falta a Newton vem da curvatura do espaço perto do Sol.

A medida pede um eclipse total, que escurece o céu em volta do Sol e deixa ver as estrelas perto da borda. Em 1919, expedições organizadas por Frank Dyson e Arthur Eddington fotografaram um eclipse em Sobral, no Ceará, e na ilha do Príncipe, e os desvios medidos, com incertezas declaradas entre uns 6 e 20 %, favoreceram o valor de Einstein; a qualidade dessas placas foi discutida por décadas. Hoje, a posição de quasares observados com radiotelescópios quando o Sol passa perto deles confirma o valor da relatividade a melhor que 0,1 %.

O que levou Einstein a mexer na lei de Newton não foi a luz. Na fórmula de Newton, a força acompanha a posição atual das massas, de modo que mover o Sol mudaria no mesmo instante a força sobre a Terra, um sinal mais rápido que a luz, que a relatividade proíbe. A correção é pequena no Sistema Solar, e além da luz ela aparece no periélio de Mercúrio, que avança 43″ por século a mais do que a atração dos outros planetas explica.

No Feynman: §7-7 What is gravity? ↗ · §7-8 Gravity and relativity ↗