Movimento

A bancada acompanha um carro numa estrada reta durante três minutos. Ele sai do repouso, chega a 20 m/s, ou 72 km/h, em 20 s, mantém essa velocidade até os 120 s, freia até parar aos 150 s e fica parado até o fim. A cada 20 s a bancada anota a que distância ele está do ponto de partida, e as dez leituras, de 0 a 2.500 m, formam a tabela à esquerda do gráfico.

Antes da primeira leitura foi preciso fazer duas escolhas. Uma é o ponto do carro cuja posição se anota, digamos a ponta do para-choque dianteiro; como o carro não muda de comprimento, qualquer outro ponto dele daria leituras deslocadas por um valor fixo. A outra é a origem, que aqui é o ponto de partida, com as distâncias contadas no sentido da viagem. Uma origem 500 m adiante tiraria 500 m de todas as leituras, e o que elas dizem sobre o movimento continuaria o mesmo. Feitas as duas escolhas, a cada instante corresponde uma única posição, e a notação \(s = s(t)\) diz só isso; a bancada calcula essa função com uma fórmula para cada trecho da viagem, e a tabela registra dez dos seus valores.

Pondo o tempo no eixo horizontal e a posição no vertical, cada linha da tabela vira um ponto, e a curva que passa por eles conta a viagem de uma vez. Ela sai horizontal e se encurva para cima enquanto o carro ganha velocidade, vira uma reta no trecho em que ele anda 400 m a cada 20 s, encurva-se para o outro lado durante a freada e termina deitada em 2.500 m.

O cenário Queda troca o carro por uma bola solta do repouso, sem resistência do ar, com a distância caída anotada a cada meio segundo. As leituras crescem cada vez mais depressa, de 1,2 m no primeiro meio segundo a 78,4 m aos 4 s, e obedecem a uma regra simples: no dobro do tempo, a bola cai quatro vezes mais, como mostram os 19,6 m aos 2 s. A regra é \(s = \tfrac12 g t^2\), com \(g = 9{,}8\) m/s², e o gráfico é um ramo de parábola. A aula de ensino médio sobre queda livre mostra de onde vem essa fórmula; aqui ela entra apenas como descrição.

Nos dois cenários, a tabela e o gráfico guardam tudo o que se pode dizer do movimento, mas não mostram diretamente quão depressa o corpo anda em cada instante, e ler essa rapidez na curva é o assunto do passo 2. O carro e a bola em queda são os dois exemplos com que o Feynman abre o capítulo, aqui com números nossos.

No Feynman: §8-1 Description of motion ↗

A bancada marca um ponto P na curva da queda, em \(t = 1\) s, quando a bola já caiu 4,9 m, e um segundo ponto um intervalo \(\Delta t\) depois. Com \(\Delta t = 0{,}1\) s a bola cai mais 1,029 m nesse intervalo, e a razão \(\Delta s/\Delta t\) dá 10,29 m/s. Essa é a velocidade média no intervalo, a que um corpo teria de manter, sem variar, para cobrir a mesma distância no mesmo tempo.

O valor depende do intervalo. Com 1 s a média seria 14,7 m/s, com 0,01 s ela cai para 9,849 m/s e com 0,001 s para 9,8049 m/s. A álgebra explica a sequência: expandindo o quadrado em \(\tfrac12 g (t+\Delta t)^2\), a média fica \(g t + \tfrac12 g\,\Delta t\), e o segundo termo, 4,9 m/s² vezes \(\Delta t\), é tudo o que a separa de \(g t = 9{,}8\) m/s. Como esse termo pode ficar tão pequeno quanto se queira, as médias tendem a \(g t\) quando \(\Delta t\) encolhe, e é esse valor que se chama velocidade no instante \(t\).

No gráfico a mesma conta tem uma leitura geométrica. A média é a inclinação da reta que passa por P e pelo segundo ponto, a secante, e à medida que \(\Delta t\) diminui o segundo ponto escorrega pela curva em direção a P e a secante gira. O limite dessa rotação é a reta tracejada, a tangente em P, cuja inclinação é a velocidade no instante.

No cenário Carro, com P em 120 s, a bancada dá 20 m/s, ou 72 km/h, que é o que o velocímetro mostraria naquele instante: ele mede a velocidade de cada instante, e não uma média sobre uma hora de viagem. Meio minuto depois o carro está parado, tendo andado só mais 300 m, e a leitura de 72 km/h continua certa, porque não falava da hora seguinte. Ela dizia que, num intervalo curto o bastante a partir dali, o carro anda perto de 20 m a cada segundo, com uma diferença que diminui junto com o intervalo.

Fazer a razão entre uma distância e um tempo cada vez menores e ver de que número ela se aproxima é tomar um limite, e o cálculo diferencial nasceu dessa operação, desenvolvido por Newton e por Leibniz, cada um por seu lado, na segunda metade do século XVII. O carro também mostra o que a queda não mostra. No trecho de velocidade constante a média é a mesma para qualquer \(\Delta t\), e na freada ela fica abaixo da velocidade no instante, porque o carro perde velocidade durante o intervalo. A aula de ensino médio sobre velocidade média trata da média numa viagem inteira; aqui interessa o que acontece quando o intervalo encolhe.

No Feynman: §8-2 Speed ↗

Na bancada, uma bomba enche um balão esférico com vazão fixa, 120 cm³ a cada segundo na posição inicial do controle. O volume cresce na mesma proporção do tempo, mas o raio não acompanha: chega a 5 cm em 4,4 s e precisa de mais 30,5 s para ir de 5 a 10 cm. No gráfico do raio contra o tempo a curva sai quase vertical e vai se deitando, e o que se quer saber é a sua inclinação num instante qualquer, a taxa \(dr/dt\) em centímetros por segundo.

A geometria dá a relação entre volume e raio, \(V = \tfrac43\pi r^3\), e, como o volume no instante \(t\) é a vazão vezes \(t\), dela se tira o raio em cada instante. A conta diz onde está a borda do balão em cada instante, mas a rapidez com que ela anda não aparece escrita em parte alguma da fórmula; para obtê-la é preciso comparar o raio em dois instantes muito próximos, como se fez com a queda. A ideia de um balão sendo inflado como pergunta sobre rapidez é do Feynman, que a deixa ao leitor no capítulo; a vazão e os raios aqui são os da bancada.

O caminho é a ideia do passo 2, olhar um intervalo curto \(\Delta t\). Nele a bomba põe um volume \(\Delta V\), a vazão vezes \(\Delta t\), que se acomoda numa casca fina em volta do balão, a faixa laranja da bancada. Uma casca de espessura \(\Delta r\) tem volume próximo da área da esfera, \(4\pi r^2\), vezes a espessura, e a aproximação melhora à medida que a casca afina. Com raio de 10 cm a área é de 1.257 cm², e os 12 cm³ que entram em 0,1 s formam uma camada de menos de um centésimo de centímetro, 0,0095 cm. Dividindo \(\Delta V \approx 4\pi r^2\,\Delta r\) por \(\Delta t\) e fazendo o intervalo encolher, a aproximação vira igualdade e sobra a taxa do raio, que com 120 cm³/s e 10 cm de raio vale 0,0955 cm/s.

A fórmula explica por que o balão parece frear. A mesma vazão se espalha por uma área que cresce com o quadrado do raio, e no dobro do raio a taxa cai a um quarto, de 0,382 cm/s em 5 cm para 0,0955 cm/s em 10 cm. Com a animação pausada, o botão Medir faz a conta pelo caminho numérico: calcula o raio um pouco depois, divide o acréscimo pelo intervalo e compara com a fórmula.

No Feynman: §8-2 Speed ↗

No passo 2 a velocidade da queda saiu de expandir um quadrado e ver o termo em \(\Delta t\) desaparecer. Com \(s = t^2\) a conta é a mesma: \((t+\Delta t)^2 - t^2 = 2t\,\Delta t + \Delta t^2\), a razão \(\Delta s/\Delta t\) dá \(2t + \Delta t\), e no limite sobra \(2t\). Com \(s = t^3\) o cubo expandido traz \(3t^2\,\Delta t + 3t\,\Delta t^2 + \Delta t^3\); depois da divisão por \(\Delta t\) os dois últimos termos ainda carregam \(\Delta t\), somem no limite e deixam \(3t^2\).

O padrão se repete para qualquer potência inteira. Em \((t+\Delta t)^n\) o binômio de Newton dá \(t^n\), depois \(n\,t^{n-1}\Delta t\), e todos os termos seguintes têm \(\Delta t\) ao quadrado ou mais, de modo que só o segundo sobrevive à divisão e ao limite. Pode-se mostrar que a mesma regra vale para expoentes fracionários e negativos, e é dela que saem as linhas \(\sqrt t = t^{1/2}\) e \(1/t = t^{-1}\) da tabela da bancada.

A derivada de \(s\) em relação a \(t\) se escreve \(ds/dt\), e o d lembra que ela é o limite de \(\Delta s/\Delta t\). A notação pede um cuidado. \(\Delta s\) é um único número, a diferença \(s(t+\Delta t) - s(t)\), e o Δ não multiplica coisa alguma; riscar os Δ de \(\Delta s/\Delta t\) para ficar com \(s/t\) daria, na queda em \(t = 1\) s, 4,9 m/s, a metade dos 9,8 m/s corretos.

Duas regras bastam para combinar as linhas da tabela. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, porque o \(\Delta s\) de uma soma é a soma dos \(\Delta s\) das parcelas, e um fator constante sai da derivada, porque multiplica cada \(\Delta s\); uma constante sozinha não muda e tem derivada zero. Com elas, a posição da queda, \(\tfrac12 g\,t^2\), tem derivada \(\tfrac12 g \cdot 2t = g t\), o resultado do passo 2 sem refazer o limite, e \(4t^2 - 3\sqrt t\) tem derivada \(8t - \tfrac{3}{2\sqrt t}\).

A bancada confere a tabela com números. Para a função escolhida, ela calcula \(\Delta s/\Delta t\) num intervalo de largura \(\Delta t\) centrado no ponto, de \(t - \tfrac12\Delta t\) a \(t + \tfrac12\Delta t\), que se aproxima da derivada mais depressa que o intervalo do passo 2, e põe os pontos sobre o gráfico da derivada dada pela tabela. Com \(\Delta t = 1\) os pontos de \(t^3\) ficam 0,25 acima da curva; com \(10^{-4}\), as seis funções batem com a tabela em seis casas decimais. Seno e exponencial não são potências de \(t\), e por ora a bancada é a única justificativa que a aula oferece para as suas linhas: a derivada do seno é o cosseno, e a da exponencial é ela mesma.

No Feynman: §8-3 Speed as a derivative ↗

O gráfico desta bancada é o do velocímetro da bola em queda, uma reta que sai de zero e chega a 39,2 m/s aos 4 s, e a pergunta agora corre no sentido contrário ao dos passos anteriores: sabendo só o que o velocímetro marcava, quanto a bola caiu? Com uma leitura no começo de cada segundo, 0, 9,8, 19,6 e 29,4 m/s, pode-se supor que a bola mantém cada leitura até a seguinte. Em cada segundo ela cobre então \(v\,\Delta t\), e as quatro parcelas somam 58,8 m, bem menos que os 78,4 m que o passo 1 deu para a queda inteira.

No gráfico, cada parcela \(v\,\Delta t\) é a área de um retângulo de base \(\Delta t\) e altura igual à leitura, e a soma é a área de uma escada. Essa escada fica abaixo da reta porque a bola anda mais depressa no fim de cada segundo do que no começo. Lendo o velocímetro no fim de cada intervalo, ela passa por cima da reta e a soma vai a 98 m. Enquanto a velocidade só cresce, a distância verdadeira fica entre as duas somas, e o vão entre elas, de 39,2 m com 4 retângulos, cai à metade cada vez que o número de retângulos dobra.

Com 200 retângulos de 0,02 s as duas somas dão 78,01 e 78,79 m, e no limite em que \(\Delta t\) vai a zero ambas tendem à área sob a reta. Esse limite de somas se chama integral e se escreve \(\int_0^t v\,dt\), com \(dt\) no lugar do \(\Delta t\) que encolheu.

Na queda a área dispensa o limite. Até o instante \(t\) a região sob a reta é um triângulo de base \(t\) e altura \(g t\), cuja área, metade da base vezes a altura, é \(\tfrac12 g t^2\), a fórmula do passo 1; com 4 s ela dá 78,4 m. No modo meio, que lê o velocímetro no meio de cada intervalo, a bancada acerta esse valor com qualquer número de retângulos, porque numa reta o pedaço que cada retângulo perde de um lado do ponto médio é igual ao que ganha do outro. No carro a área sob o gráfico é um trapézio de 2.500 m, a distância do passo 1, e as somas se aproximam dela à medida que os retângulos estreitam, nem sempre pelo mesmo lado.

A área também mostra como a integral se liga à derivada. Quando o instante final avança \(\Delta t\), a área ganha uma faixa estreita de altura \(v\) e largura \(\Delta t\), e o acréscimo dividido por \(\Delta t\) tende a \(v\): a derivada da distância acumulada é a velocidade de que se partiu. Integrar desfaz derivar, e as contas dos dois sentidos se conferem, já que a derivada de \(\tfrac12 g t^2\) é \(g t\), como no passo 4.

No Feynman: §8-4 Distance as an integral ↗

No cenário Carro a bancada empilha três gráficos da mesma viagem: a posição, a velocidade e, embaixo, a rapidez com que a velocidade muda, que se chama aceleração. Nos primeiros 20 s o velocímetro sobe 1 m/s a cada segundo, uma aceleração de 1 m/s², um metro por segundo a cada segundo. No trecho a 72 km/h ela é zero, e na freada a velocidade perde 20 m/s em 30 s, o que dá −2/3 m/s², ou −0,667 m/s², com o sinal dizendo que a velocidade diminui.

A velocidade é a derivada da posição, e a aceleração é a derivada da velocidade, portanto a derivada da derivada da posição, a derivada segunda, escrita \(d^2s/dt^2\). A bancada a calcula só com posições, em três instantes próximos: o avanço entre \(t\) e \(t + \Delta t\) menos o avanço entre \(t - \Delta t\) e \(t\), dividido por \(\Delta t^2\). Na queda, a derivada de \(g t\) é a constante \(g\), e é por isso que os 9,8 m/s² se chamam aceleração da gravidade. Nos instantes 20, 120 e 150 s, a aceleração do carro salta de um valor a outro, porque a viagem da bancada troca de regime de uma vez; num carro de verdade a troca levaria pelo menos uma fração de segundo.

No cenário Lançamento, uma bola sai do chão com 5 m/s na horizontal e 10 m/s para cima, e a posição passa a pedir dois números, a distância \(x\) ao longo do chão e a altura \(y\). Cada um é uma função do tempo, com sua própria velocidade e sua própria aceleração, e os dois se tratam em separado, como se fossem dois movimentos numa reta. Sem o ar, nada empurra nem freia a bola na horizontal e \(v_x\) fica em 5 m/s; na vertical \(v_y\) perde 9,8 m/s a cada segundo, zera no alto, aos 1,02 s e 5,10 m de altura, e a bola volta ao chão aos 2,04 s, 10,2 m adiante.

Tirando \(t = x/v_x\) da primeira equação e pondo na segunda, \(y\) fica escrito em função de \(x\), um termo em \(x\) menos um termo em \(x^2\), e o gráfico é uma parábola. O rastro, um ponto a cada 0,1 s, mostra o mesmo: os pontos se espaçam por igual na horizontal e se juntam perto do alto. As setas mostram a velocidade, sempre tangente ao rastro, girando de 63° acima da horizontal a 63° abaixo, enquanto a aceleração aponta para baixo do começo ao fim. O Feynman fecha o capítulo com uma bola lançada na horizontal, e aqui esse caso é a metade do voo depois do ponto mais alto. A aula de ensino médio sobre lançamentos trata do ângulo e do alcance.

No Feynman: §8-5 Acceleration ↗