Conservação do Momento

A bancada começa com dois carrinhos parados no meio de um trilho sem atrito, o A com 1 kg à esquerda e o B com 3 kg à direita, e uma mola comprimida e travada entre eles, guardando 6 J. O botão Soltar a mola abre a trava. Durante 0,4 s a mola empurra os dois para lados opostos, e daí em diante não toca mais em nenhum deles; o A segue a 3 m/s para a esquerda e o B a 1 m/s para a direita, cada um com a velocidade que tinha no fim do empurrão.

As marcas que os carrinhos deixam no trilho a cada segundo tornam a diferença fácil de ver. As do A ficam a 3 m umas das outras, as do B a 1 m, e a razão entre as duas distâncias não muda enquanto houver trilho. Enquanto a mola está entre eles, ela empurra o A para a esquerda e o B para a direita, e pode-se pensar nisso como o A empurrando o B através da mola e o B empurrando o A de volta. A terceira lei de Newton diz que essas duas forças têm, a cada instante, o mesmo tamanho e sentidos opostos, e as duas setas vermelhas da bancada têm por isso o mesmo comprimento, embora uma delas aja num carrinho com o triplo da massa do outro.

As duas forças também começam e terminam juntas, de modo que os impulsos que dão são iguais e opostos. No passo 1 da aula do capítulo 9, o impulso aparecia como a variação do momento; aqui ele tira do zero o momento do A e o do B na mesma medida, com sinais trocados. O A termina com 1 kg vezes −3 m/s, o B com 3 kg vezes 1 m/s, e a soma dá zero, como dava antes de a trava se abrir.

força da mola, enquanto age   velocidade

Com massas iguais nos controles, os dois saem com a mesma rapidez em sentidos opostos. É um resultado que se poderia prever sem conta nenhuma, só por simetria, já que o arranjo é o mesmo visto no espelho. Com massas diferentes, a razão entre as velocidades é o inverso da razão entre as massas, com o sinal trocado, e o carrinho com o triplo da massa sai com um terço da velocidade.

A energia da mola se reparte de outro modo. Como os dois momentos têm o mesmo tamanho \(p\), a energia cinética de cada carrinho, \(p^2/2m\), é maior no que tem menos massa. Dos 6 J da mola, o A leva 4,5 J e o B só 1,5 J, na razão inversa das massas. Quando um adulto e uma criança de patins se empurram, a criança sai mais depressa e com a maior parte da energia, embora as forças sejam iguais, como na aula de ensino médio sobre ação e reação.

Feynman observa que a experiência pode até servir para comparar massas, chamando de iguais as que saem com a mesma rapidez, e que essa aparente definição já carrega leis que só a experiência confirma.

No Feynman: §10-1 Newton’s Third Law ↗ · §10-2 Conservation of momentum ↗

Agora os carrinhos vêm um contra o outro e grudam quando se tocam, como se os para-choques tivessem velcro. Nos valores iniciais o A tem 3 kg e anda a 2 m/s para a direita, o B tem 1 kg e vem a 2 m/s para a esquerda, e depois do choque o par segue junto a 1 m/s. Os momentos de antes, 6 kg·m/s do A e −2 kg·m/s do B, somam 4 kg·m/s, e os 4 kg do par a 1 m/s dão a mesma soma. Durante o choque cada carrinho empurra o outro com forças iguais e opostas pelo mesmo tempo, e o argumento do passo 1 vale de novo: o momento que um perde o outro ganha.

A velocidade com que o par segue tem um significado próprio. Ela é a velocidade do centro de massa, a média das velocidades ponderada pelas massas, que a bancada marca com um triângulo sob o trilho. O triângulo anda a 1 m/s antes, durante e depois do choque, como se nada tivesse acontecido, e os carrinhos grudados simplesmente passam a andar com ele. A aula de ensino médio sobre colisões chega à mesma fórmula pela conservação; aqui interessa o que muda quando se troca de observador.

carrinho A   carrinho B   momento total   centro de massa

Os botões de referencial mostram a mesma colisão vista por alguém que anda ao lado do trilho com velocidade constante \(u\), e para isso basta subtrair \(u\) de toda velocidade. Para quem acompanha o A antes do choque, a 2 m/s, o A está parado, o B chega a −4 m/s e o par sai a −1 m/s. Os números mudaram todos, e o momento total vale −4 kg·m/s antes e depois. Para quem anda com o centro de massa, os dois chegam com momentos opostos, 3 e −3 kg·m/s, e o par fica parado. Estar parado ou em movimento depende de quem olha, e as leis da mecânica parecem as mesmas para todo observador que se mova em linha reta com velocidade constante; é a relatividade de Galileu.

Feynman usa essa ideia na direção contrária, para chegar à conservação do momento sem falar de forças. Duas massas iguais que vêm com velocidades opostas e grudam devem parar, por simetria. Com 2 kg nos dois carrinhos, 1,5 m/s no A e −1,5 m/s no B, o botão Carrinho A mostra o mesmo choque como um carrinho a −3 m/s que bate num parado, e o par sai com a metade, −1,5 m/s. Combinando casos simétricos e trocas de referencial, ele estende a regra a massas diferentes, e em todos os casos a soma das massas vezes as velocidades sai igual antes e depois.

A energia cinética não tem a mesma sorte. Nos valores iniciais, 8 J antes do choque viram 2 J depois, e os 6 J que faltam foram para a deformação dos para-choques e para o calor. A energia de antes e a de depois mudam de um referencial para outro, mas a diferença entre elas é a mesma nos três; visto do centro de massa, toda a energia que havia se perde. O passo 3 volta a esse ponto com colisões em que os carrinhos não grudam.

No Feynman: §10-3 Momentum is conserved! ↗

Nos valores iniciais da bancada, o A, de 1 kg, vem a 4 m/s contra o B, de 3 kg, parado, e o coeficiente de restituição está em 0,5. Depois do choque o A volta a −0,5 m/s e o B segue a 1,5 m/s. Os momentos somam 4 kg·m/s antes e depois, como nos dois passos anteriores, enquanto a energia cinética cai de 8 J para 3,5 J. Nas barras, o traço preto do momento total fica no mesmo lugar nas duas linhas, e a barra da energia encolhe, deixando tracejado o pedaço que se perdeu.

O momento se conserva em qualquer colisão porque as forças de contato são internas ao par, iguais e opostas, de borracha ou de aço. Para a energia cinética não existe garantia parecida. Durante o contato os para-choques se deformam, e a parte da deformação que não se desfaz fica como calor, som e vibração do material. O coeficiente \(e\) mede quanto volta, comparando a velocidade com que os carrinhos se afastam depois do choque com a velocidade com que se aproximavam antes. Com \(e = 1\) a colisão é elástica e a energia cinética também se conserva; com \(e = 0\) os carrinhos não se afastam, ficam grudados, e voltamos ao passo 2.

Com massas iguais, o B parado e \(e = 1\), o A para e o B sai com a velocidade que o A tinha; a velocidade passa inteira de um carrinho para o outro. É o que se vê no pêndulo de Newton, o enfeite de mesa com esferas de aço lado a lado, em que a esfera que bate fica parada e a da outra ponta sai. Com massas diferentes não há troca, e um carrinho leve que bate elasticamente num pesado volta para trás.

carrinho A   carrinho B   momento total   energia perdida

O botão Ver do centro de massa deixa as contas mais simples. Para quem anda junto com o centro de massa, a 1 m/s nos valores iniciais, o momento total é zero antes e depois; o A chega a 3 m/s, o B a −1 m/s, e depois do choque eles saem a −1,5 e 0,5 m/s. Cada um inverteu o sentido e ficou com a fração \(e\) da velocidade que tinha. Para o momento continuar nulo, as duas velocidades precisam manter a proporção inversa das massas, e por isso um único número basta para descrever a colisão inteira.

A energia também se separa em duas partes. Uma é a do movimento do centro de massa, \(\tfrac12 (m_1+m_2)\,v_{\text{CM}}^2\), 2 J nos valores iniciais, que nenhuma força interna pode alterar porque ela depende só do momento total. A outra é a do movimento relativo, 6 J nos mesmos valores, e só dela a colisão pode tirar, já que é multiplicada por \(e^2\) e cai para 1,5 J. Os 4,5 J perdidos são os mesmos vistos do trilho ou do centro de massa, como diz a segunda equação abaixo, em que \(m_1 m_2/(m_1+m_2)\) é a chamada massa reduzida.

Feynman observa que corpos tão simples que não têm onde esconder a energia colidem de modo quase elástico, e que nem assim uma colisão real chega a \(e = 1\) exatamente.

No Feynman: §10-4 Momentum and energy ↗

O foguete da bancada começa parado, cheio, com dez vezes a massa que terá vazio, e lança o combustível para trás a 3.000 m/s em relação a ele. Com uma porção só, os 90% da massa que são combustível saem de uma vez e o foguete fica com 2.700 m/s. Dividido o mesmo combustível em 1.000 porções, ele chega a 6.896 m/s, mais que o dobro, sem gastar um grama a mais.

Não há nada fora do foguete em que ele possa se apoiar, e nem precisa haver. O sistema é o foguete junto com o combustível, e o momento total, zero no início, continua zero. Cada porção que sai para trás leva um momento negativo, e o que sobra do foguete ganha o mesmo tanto para a frente, como os carrinhos do passo 1 empurrados pela mola. A aula de ensino médio sobre ação e reação trata o foguete pelo par de forças entre ele e os gases; aqui interessa quanto de velocidade cada porção rende.

Se a porção de massa \(\Delta m\) sai a \(u\) em relação ao foguete, medida já depois do empurrão, e \(m\) é a massa do foguete com a porção ainda a bordo, a conservação do momento dá exatamente \(m\,\Delta v = \Delta m\,u\). Com uma porção só, \(\Delta m\) é 90% de \(m_0\), e \(\Delta v\) sai 90% de \(u\), os 2.700 m/s da bancada. A animação mostra tudo visto de quem ficou parado no ponto de partida, e por isso as últimas porções, lançadas quando o foguete já anda mais depressa que \(u\), seguem para a frente, só que mais devagar que ele.

Dividir ajuda porque \(m\) vai diminuindo. A primeira porção empurra o foguete cheio, enquanto a última empurra pouco mais que a casca vazia, e a mesma massa de combustível rende ali muito mais velocidade. Quando as porções ficam cada vez menores, a soma dos \(\Delta m/m\) vira uma integral, e o resultado é \(\Delta v = u\ln(m_0/m_f)\), a equação que Konstantin Tsiolkovsky publicou em 1903. No gráfico os pontos de cada divisão sobem em direção à linha tracejada, sempre por baixo dela, e com razão 10 as dez porções dão 85% do limite e as cem, 98%.

O logaritmo cobra caro. Para dobrar o \(\Delta v\) é preciso elevar ao quadrado a razão entre as massas, e um foguete que vai para uma órbita baixa precisa de um \(\Delta v\) da ordem de 9 km/s, contando as perdas para a gravidade e para o ar. Com \(u\) = 3.000 m/s nem a razão 20 do controle chega lá. Por isso a maior parte da massa de um foguete na plataforma é combustível, e ele sobe em estágios; cada estágio vazio é largado no caminho, e o seguinte não precisa mais acelerar aquele peso morto.

O caso de uma porção só é o coice de uma arma de fogo, comparação que o próprio Feynman faz. A bala sai para a frente e a arma recua, tanto mais devagar quanto mais pesada for em relação à bala.

No Feynman: §10-2 Conservation of momentum ↗ · §10-4 Momentum and energy ↗

A bancada empurra um elétron, parado no início, com uma força constante de 1,6·10⁻¹³ N, a que um campo elétrico de um milhão de volts por metro faz sobre a carga dele. Tudo se passa em nanossegundos, e a animação mostra 10 ns em 8 s, em câmera lenta. Ao fim desse tempo o momento chegou a 5,86 vezes \(mc\), que para o elétron vale 2,73·10⁻²² kg·m/s, e a velocidade a 0,986 da velocidade da luz. Pela conta de Newton, o mesmo momento dividido pela massa daria 5,86 vezes \(c\).

O gráfico do momento é uma reta porque a força continua a ser a taxa de variação do momento, e uma força constante soma a mesma quantidade de momento a cada nanossegundo, sem limite. O que muda é a relação entre momento e velocidade. Com \(p = \gamma m v\), a velocidade sai da segunda equação abaixo, e quando \(p\) fica muito maior que \(mc\) a raiz do denominador se aproxima de \(p/mc\) e \(v\) se aproxima de \(c\), sem chegar lá. No gráfico da velocidade, a reta tracejada de Newton cruza a linha de \(c\) em 1,71 ns e entra na faixa sombreada, onde nenhum corpo com massa pode estar.

Por que \(\gamma m v\) e não \(mv\)? O passo 2 mostrou que trocar de referencial muda os números de uma colisão sem estragar a conservação, desde que as velocidades se somem como na relatividade de Galileu. Na relatividade de Einstein elas se combinam de outro modo, e uma soma de \(mv\) que se conserva para um observador deixa de se conservar para outro que passe a grande velocidade. A grandeza que se conserva para todos é \(\gamma m v\). Para velocidades comuns a diferença some: aos 3.000 m/s do foguete do passo 4, \(\gamma\) passa de 1 por 5·10⁻¹¹, e só a 0,6 \(c\) chega a 1,25.

momento   velocidade   previsão de Newton, \(p/m\)

Na segunda metade da corrida, de 5 a 10 ns, o elétron ganha tanto momento quanto na primeira, 2,93 \(mc\), e a velocidade sobe só de 0,946 para 0,986 \(c\). Num acelerador o efeito é ainda mais extremo. O LHC, do CERN, recebe prótons com 450 GeV, quando eles andam cerca de 650 m/s abaixo de \(c\), e os leva a 6,8 TeV, com cerca de 15 vezes mais momento, para deixá-los a uns 3 m/s de \(c\). Cada volta no anel dá mais um empurrão, e o que cresce é o momento, quase nada a velocidade.

A energia cinética segue o momento, e não a velocidade. Ela vale \((\gamma - 1)\,mc^2\), como na aula do capítulo 4, e também cresce sem limite enquanto \(v\) se aproxima de \(c\). O que a força constante entrega a cada nanossegundo, em momento e em energia, continua chegando ao elétron; só deixa de aparecer como velocidade.

Feynman escreve a mesma lei de outro modo, com \(mv\) e uma massa que cresce com a velocidade; a maioria dos textos de hoje prefere manter a massa fixa e pôr o \(\gamma\) no momento, e os números são os mesmos. Ele também observa que o momento, ao contrário da energia, é difícil de esconder no movimento desordenado dos átomos, e que o campo eletromagnético pode carregá-lo, como a luz que empurra o que ilumina.

No Feynman: §10-5 Relativistic momentum ↗