Características da Força

A bancada põe um carrinho de 1 kg num trilho e o puxa com uma mola de 20 N/m. A outra ponta da mola vai na mão de alguém que anda à frente do carrinho, ajustando o passo para que a mola fique sempre 0,10 m mais comprida do que em repouso. A mola foi calibrada antes, pendurando pesos conhecidos, e por isso se sabe quanto ela puxa com cada esticamento: com 0,10 m, 2 N. Aperte Puxar e a velocidade sobe em linha reta no gráfico, 2 m/s a cada segundo, até 4 m/s no fim dos 2 s da corrida.

Com a mola esticada 0,20 m, a reta seguinte sai duas vezes mais inclinada, 4 m/s². Com o esticamento de volta em 0,10 m e um carrinho de 2 kg, a inclinação cai pela metade, para 1 m/s². As corridas anteriores ficam no gráfico em cinza, e em todas elas o produto da massa pela aceleração medida reproduz o \(k\,x\) da mola, como a mensagem embaixo da bancada confere a cada corrida.

força da mola   velocidade medida   previsão \(k\,x/m\)   corridas anteriores

Nada disso seria notícia se força fosse só um nome para o produto \(m\,a\). Bastaria medir a aceleração, multiplicar pela massa e chamar o resultado de força, e a segunda lei ficaria certa por construção, sem poder errar sobre carrinho nenhum. Ela passa a afirmar alguma coisa quando a força tem uma medida independente, como o esticamento de uma mola calibrada, porque aí a previsão \(k\,x/m\) pode ser posta ao lado da inclinação da reta e pode falhar. O teste está em usar a mesma mola, com o mesmo esticamento, em corpos de massas diferentes: se ela faz sempre a mesma força, \(m\,a\) tem de dar o mesmo número em todos, e um mundo em que isso não acontecesse seria perfeitamente imaginável.

A terceira lei acrescenta uma exigência que também nenhuma definição garante. O carrinho puxa a mola para trás com a mesma força com que a mola o puxa para a frente, e o mesmo vale entre a mola e a mão, de modo que o que se mede num corpo diz quanto vale uma força que age em outro. A aula de ensino médio sobre a segunda lei usa \(F = m\,a\) como regra de cálculo; esta bancada pergunta o que, na lei, poderia ter dado errado, e o resto da aula olha de onde vêm as forças que se põem do lado esquerdo.

No Feynman: §12-1 What is a force? ↗

No cenário Puxando, um bloco de madeira de 2 kg está sobre uma mesa de madeira, e o controle Força aplicada o puxa na horizontal. Com 4 N o bloco não sai do lugar, e a mesa responde com 4 N de atrito no sentido contrário; com 8 N, responde com 8 N. No gráfico isso aparece como uma reta em que o atrito iguala a força aplicada, e o atrito estático só vai até 9,8 N, o coeficiente estático de 0,5 vezes a normal de 19,6 N. Um pouco além disso o bloco desliza.

Deslizando, o atrito cai para 5,88 N, o coeficiente cinético de 0,3 vezes a normal, e fica nesse valor com qualquer força e qualquer velocidade. Com 10 N puxando, sobram 4,12 N para acelerar os 2 kg, 2,06 m/s². Baixar a força para menos de 9,8 N não para o bloco, porque enquanto ele anda a mesa só freia com 5,88 N; ele perde velocidade e para quando a força fica abaixo desse valor. Começar exige vencer o pico \(\mu_s N\), e continuar exige apenas o patamar \(\mu_k N\).

Os coeficientes dos botões são valores típicos e aproximados. Na prática eles mudam com o estado das superfícies, e a diferença entre o estático e o cinético depende muito das condições, como o tempo em que as peças ficaram paradas em contato e a limpeza delas, e às vezes é pequena. Que o atrito quase não dependa da área de contato nem da velocidade são regras empíricas, que funcionam razoavelmente bem numa faixa de situações do dia a dia, e não leis fundamentais. A aula de ensino médio sobre o atrito mostra o mesmo pico com o bloco deitado e em pé.

força aplicada   atrito   normal   peso

O cenário Plano dá um jeito de medir \(\mu_s\) sem medidor de força nenhum. A mesa vira uma rampa e o ângulo vai subindo. A parte do peso ao longo da rampa, \(mg\,\mathrm{sen}\,\theta\), cresce, e a normal, \(mg\cos\theta\), diminui; o bloco começa a descer quando a primeira passa de \(\mu_s\) vezes a segunda, isto é, quando \(\operatorname{tg}\theta\) chega a \(\mu_s\). Com madeira sobre madeira isso acontece a 26,6°, e a massa não entra na conta, porque aparece dos dois lados. Em movimento, a 30° o bloco desce com 2,35 m/s², e só volta a parar se o ângulo cair abaixo de 16,7°, onde \(\operatorname{tg}\theta = \mu_k\). Feynman descreve a mesma medida, e a aula de ensino médio sobre a rampa decompõe o peso passo a passo.

Resta saber por que a área quase não importa. A explicação mais aceita costuma ser associada a Frank Bowden e David Tabor, em Cambridge, em meados do século XX: a área de contato verdadeira entre dois sólidos é uma fração pequena da área aparente e cresce com a força normal, e não com o tamanho do bloco. Com mais peso, os pontos onde as superfícies de fato se tocam se achatam e se multiplicam; deitar o bloco espalha o mesmo peso por mais pontos, cada um menos apertado, e a soma pouco muda. Nesses pontos os átomos das duas peças ficam perto o bastante para se atraírem, e o atrito seria, assim, uma consequência de forças entre átomos, que o passo 3 olha de perto.

No Feynman: §12-2 Friction ↗

Os dois átomos da bancada se empurram ou se puxam com uma força que depende só da distância \(r\) entre os centros. O da esquerda está preso e o da direita pode ser arrastado. As unidades são as da própria bancada, com \(\sigma = 1\) para as distâncias, \(\varepsilon = 1\) para as energias e, portanto, \(\varepsilon/\sigma\) para as forças. Levado a 1,05, o átomo móvel é empurrado para fora com 8,40; levado a 1,20, é puxado de volta com 2,21. Entre as duas posições há uma distância, 1,122, em que a força se anula, e ali o par pode ficar parado.

Os gráficos mostram o resto da curva. Para dentro de 1,122 a repulsão cresce muito depressa e a 1,02 já passa de 16. Para fora a atração aparece, chega ao máximo de 2,40 em 1,244 e depois enfraquece, até ficar abaixo de 0,1 em 2,2. A energia potencial tem um poço de profundidade \(\varepsilon\) exatamente na distância em que a força some, e a força em cada ponto é menos a inclinação da curva de energia.

As duas curvas vêm do potencial de Lennard-Jones, associado a John Lennard-Jones, que trabalhou nessa forma nos anos 1920 e 1930, e até hoje muito usado em simulações de gases nobres e líquidos simples. Ele é um modelo, não a lei exata da força entre dois átomos. O termo em \(r^{-6}\) tem justificativa física para a atração entre átomos neutros, mas o termo em \(r^{-12}\) foi escolhido em boa parte por ser cômodo nas contas. Uma explicação completa dessas forças pede mecânica quântica, porque elas resultam do arranjo dos elétrons e núcleos dos dois átomos; a bancada aproveita só a forma geral, repulsão de perto, atração de longe e um mínimo de energia entre as duas, que se repete em muitos materiais.

força do modelo   previsão de Hooke   energia potencial

Perto de 1,122 a curva da força quase não se separa da reta tracejada, de inclinação \(-k\), com \(k \approx 57{,}1\,\varepsilon/\sigma^2\). Isso é uma mola. A 1,12 a reta prevê 0,141 e o modelo dá 0,144; a 1,115, 0,426 contra 0,457. O argumento não depende dos expoentes do modelo: qualquer força que venha de uma energia com um mínimo suave é, perto dele, proporcional ao deslocamento e de sentido oposto, porque ali a curva de energia se confunde com uma parábola, a tracejada do gráfico de cima. Numa mola de aço, cada ligação entre átomos se afasta muito pouco do seu mínimo, e a resposta linear da mola inteira parece vir daí.

A reta só serve perto do fundo do poço. A 1,10 ela já erra por 19%, e a 1,15 por 29%; no máximo da atração, em 1,244, prevê quase três vezes a força do modelo. Numa mola de verdade, esticar além da faixa linear deixa uma deformação permanente ou rompe o material. O botão Soltar mostra a diferença em movimento, com o tempo medido em \(\sigma\sqrt{m/\varepsilon}\), em que \(m\) é a massa do átomo móvel. Solto em 1,15, ele vai até 1,099 e volta em 0,84, quase o 0,83 da mola de Hooke; solto em 1,5, leva 1,72, mal passa de 1,015 do lado de dentro e fica a maior parte do tempo longe, na parte rasa do poço.

No Feynman: §12-3 Molecular forces ↗

No cenário Só B, um elétron a 1 milhão de metros por segundo anda numa região de campo magnético uniforme de 1 mT, que sai da tela (são os pontos). Ele não segue reto: descreve um círculo de 5,69 mm de raio e volta ao ponto de partida em 35,7 ns. Com o dobro da velocidade o círculo dobra, e a volta continua levando 35,7 ns; com o dobro do campo, raio e tempo de volta caem pela metade. A cena roda em câmera lenta, 12 ns de elétron para cada segundo de tela, com o mesmo fator em todos os casos, e por isso os tempos de volta podem ser comparados a olho.

O que curva o elétron é a força magnética \(q\,\vec v\times\vec B\), perpendicular à velocidade e ao campo ao mesmo tempo. Como ela é sempre perpendicular ao movimento, muda a direção da velocidade sem mudar a rapidez, e faz o papel da resultante centrípeta: igualando \(|q|\,v\,B\) a \(m v^2/r\) sai o raio, e o tempo de volta, \(2\pi r/v\), deixa de depender de \(v\). A aula de ensino médio sobre a força magnética numa carga faz essa conta com íons. A carga do elétron é negativa, e para ele a força aponta para cima quando anda para a direita com o campo saindo da tela, o contrário do que sentiria um próton; por isso ele gira no sentido anti-horário.

Somando a força que um campo elétrico \(\vec E\) faz sobre qualquer carga, parada ou não, chega-se à força de Lorentz, \(\vec F = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B)\). Ela dá a força sobre a carga a partir dos dois campos no ponto em que ela está, sem perguntar o que os produz.

velocidade   força sobre o elétron   trajetória

Nada encosta no elétron, e mesmo assim ele é desviado. A ideia de campo separa quem produz a força de quem a sente: as fontes fixam o valor do campo em cada ponto, e a carga só precisa do valor no ponto onde está. Na bancada, o ímã ou a bobina que fariam esse \(\vec B\) nem aparecem. A força que as fontes produzem segue leis simples. A força entre duas cargas paradas cai com o inverso do quadrado da distância, como a gravitação, cuja lei em \(1/r^2\) a aula sobre a gravitação discute, e por isso eletricidade e gravitação são chamadas de forças fundamentais, ao contrário do atrito e da força entre átomos, que resultam de somas complicadas de efeitos elétricos.

No cenário E e B, o elétron passa entre duas placas carregadas que acrescentam um campo elétrico vertical. A força elétrica não depende da velocidade, a magnética cresce com ela, e as duas apontam em sentidos opostos. Com 1 kV/m e 1 mT elas se cancelam só para quem anda a \(E/B = 10^6\) m/s: esse elétron passa reto e atravessa a fenda. Os que andam bem mais devagar ou mais depressa batem numa placa ou erram a fenda; perto de \(E/B\) uma faixa estreita ainda passa, e com \(B\) forte o elétron pode dar voltas inteiras entre as placas e cair na fenda por acaso. Um arranjo assim escolhe velocidades, e o equilíbrio entre os dois desvios é o mesmo que J. J. Thomson usou em 1897, num tubo de raios catódicos, para medir a velocidade dos elétrons e chegar à razão entre a carga e a massa deles.

Ficam de fora as forças nucleares, que só agem a distâncias do tamanho de um núcleo, perto de \(10^{-15}\) m, e para as quais não se conhece uma lei simples como a do inverso do quadrado.

No Feynman: §12-4 Fundamental forces. Fields ↗ · §12-6 Nuclear forces ↗

Do teto do carro da bancada pende uma bolinha num fio. Com o carro andando a velocidade constante o fio fica a prumo, mas basta pôr o controle em 3 m/s² para a bolinha ficar para trás, balançar um pouco e se acomodar com o fio inclinado 17,0° em relação à vertical. Com 5 m/s² o ângulo vai a 27,0°; freando a 3 m/s², o fio inclina os mesmos 17,0°, agora para a frente. Nem a massa da bolinha nem a velocidade do carro entram no resultado, só a aceleração, e o fio para onde \(\operatorname{tg}\theta = a/g\). Um pêndulo pendurado assim serve de acelerômetro.

No botão Visto da estrada, a câmera está parada no acostamento e o carro atravessa a tela, numa cena que recomeça a cada passagem. Daí se vê a bolinha ganhar velocidade junto com o carro, e a lupa da bancada mostra as duas forças que agem nela, o peso e a tensão do fio. Com o fio inclinado as duas não se cancelam, e, depois que a bolinha se acomoda, sobra uma resultante horizontal, para a frente, que vale exatamente \(m\,a\). É ela que acelera a bolinha, e a segunda lei funciona sem ajuste nenhum. A cena roda em câmera lenta, com metade da velocidade.

tensão   peso   pseudoforça   resultante

No botão Visto de dentro do carro, a câmera vai presa ao carro. Quem anda agora é a estrada, para trás e cada vez mais depressa, e a bolinha está parada, pendurada torta. O peso e a tensão são os mesmos de antes e continuam somando uma resultante para a frente, só que, para quem está no carro, a bolinha não acelera. A segunda lei só vale ali se entrar na conta uma força a mais, \(-m\,\vec a\), que aponta para trás e que nenhum corpo exerce. É uma pseudoforça, e é ela que, para quem está dentro, parece jogar o passageiro contra o encosto quando o carro arranca. Numa pessoa de 70 kg, 3 m/s² dão 210 N, pouco menos de um terço do peso dela.

Como o peso, a pseudoforça é proporcional à massa, e de dentro do carro as duas se somam numa gravidade efetiva inclinada, de valor \(\sqrt{g^2 + a^2}\), que dá 10,25 m/s² com 3 m/s². O fio aponta na direção dela, e uma pedra solta no carro cairia ao longo do fio. Um passageiro com as janelas tapadas lê no pêndulo 17,0° e 10,25 m/s², e um carro parado num lugar onde a gravidade valesse 10,25 m/s², inclinada, daria a mesma leitura. Albert Einstein, em 1907, fez disso um princípio, o princípio de equivalência, que acabaria levando à relatividade geral, concluída em 1915.

A força centrífuga é do mesmo tipo, só que num referencial que gira, como o de um ônibus fazendo a curva. Para quem está dentro, a conta fecha com uma força para fora, proporcional à massa e sem corpo nenhum por trás; para quem olha da calçada, ela some, e o que existe é a força centrípeta, papel que a aula de ensino médio sobre a força centrípeta atribui a forças de verdade, como o atrito ou a tração. A pseudoforça não é um erro. Ela é o preço de descrever o movimento a partir de um referencial acelerado, e com ela as contas feitas dentro do carro dão o mesmo que as feitas na estrada.

No Feynman: §12-5 Pseudo forces ↗