Probabilitat

El banc té tres daus, A, B i C, i un d'ells s'ha sortejat en secret perquè sigui el trucat. En aquest dau el sis surt una vegada de cada tres, i cadascuna de les altres cares surt dues vegades de cada quinze. Cada clic tira els tres daus alhora, i els histogrames mostren la fracció de vegades que ha sortit cada cara, al costat d'una línia discontínua a 1/6. Després de deu tirades, els tres histogrames solen semblar igual de torts, i no és rar que un dau equilibrat tregui tres o quatre sisos.

La línia a 1/6 no ve de cap tirada. Ve de mirar un dau ben fet i no trobar cap motiu per preferir una cara a les altres, i sis cares sense preferència divideixen el total en sis parts iguals. El que aquesta fracció promet és una proporció al llarg de moltes repeticions, i no el resultat d'una tirada: la fracció observada \(N_A/N\) oscil·la al voltant d'1/6 i tendeix a acostar-s'hi a mesura que el nombre \(N\) de tirades creix, sense deixar mai d'oscil·lar.

Amb 600 tirades per dau, el nombre esperat de sisos és 100 en un dau equilibrat i 200 en el trucat. Un dau equilibrat rarament s'allunya de 100 més d'uns 20, i la distància entre 100 i 200 és prou gran perquè els histogrames, que al començament es confonien, passin a explicar històries diferents.

Les barres de baix responen a una altra pregunta, quin dels tres és el trucat. Abans de la primera tirada totes tres són a 1/3, perquè res no distingeix un dau de l'altre. A cada tirada el banc compara com de probable seria obtenir els recomptes observats suposant trucat cadascun dels daus, i el dau que acumula sisos de més guanya crèdit. A les nostres simulacions, amb 10 tirades per dau la conjectura passa del 95 % en menys d'un sorteig de cada deu, i amb 100 hi passa en gairebé tots.

Els daus no canvien durant l'experiment, i tot i així la probabilitat que B sigui el trucat puja i baixa a cada clic. Això només sembla estrany mentre es pensa en la probabilitat com una propietat del dau. La lectura de Feynman és una altra: la probabilitat és la nostra millor conjectura davant d'una informació incompleta, i per això depèn del que sabem. El botó que mostra el trucat ho deixa a la vista, perquè qui el prem passa a atribuir 1 a un dau i 0 als altres dos sense que als daus els hagi passat res.

Al Feynman: §6-1 Chance and likelihood ↗

Cada partida del banc té 30 tirades d'una moneda equilibrada, que es mostren a dalt com a cercles marcats C, de cara, o X, de creu, i el nombre de cares de cada partida va a l'histograma de baix. Els punts vermells sobre l'histograma són la previsió de quantes partides han de caure en cada nombre de cares. Amb poques partides les barres salten per sobre i per sota dels punts, i amb uns quants centenars passen a seguir-los de prop.

Abans de jugar, la conjectura natural és 15, la meitat de 30, i de fet cap altre nombre no és més probable. Però 15 exactes només surten en un 14 % de les partides, i en una sèrie de cinc partides la probabilitat de no veure cap 15 és de gairebé la meitat. Els resultats s'escampen al voltant de 15: entre 12 i 18 hi cau prop del 80 % de les partides, i a la franja de 13 a 17, que és la franja \(15 \pm \sqrt{30}/2\) que fan servir les estadístiques del banc, prop del 64 %. Resultats encara més allunyats, 9 cares o menys, o 21 o més, apareixen en prop d'un 4 % de les partides sense que la moneda tingui res d'estrany.

D'on surten aquests nombres? Una seqüència de 30 tirades és una d'entre \(2^{30}\), poc més de mil milions, totes igual de probables amb una moneda equilibrada, i les que tenen exactament \(k\) cares són \(\binom{30}{k}\). Per a \(k = 15\) en són poc més de 155 milions, i la raó dona 0,14. El mateix càlcul amb 100 tirades per partida mostra que el valor més probable, 50, surt només en un 8 % de les partides, mentre que la franja de 45 a 55 en cobreix un 73 %.

Aquesta amplada és el que permet desconfiar d'una moneda. Qui veu 18 cares en 30 no té cap motiu per acusar ningú, ja que gairebé una de cada cinc partides amb una moneda equilibrada en dona 18 o més. En canvi, 24 cares surten d'una moneda equilibrada menys d'una vegada de cada mil partides, i aquí la sospita comença a tenir fonament. El que importa és si el resultat cap dins de l'amplada que l'atzar sol produir.

Al Feynman: §6-2 Fluctuations ↗

A l'escenari Camins, una versió vertical del diagrama de camins de Feynman, cada fila de la figura és una tirada, cada baixada cap a la dreta és una cara, C, i cada baixada cap a l'esquerra, una creu, X, amb les lletres del pas 2. El nombre de dins de cada node compta els camins que hi arriben des de dalt. Amb 3 tirades l'última fila mostra 1, 3, 3, 1, i en tocar el node de 2 cares s'encenen els tres camins que hi porten, XCC, CXC i CCX.

Amb una moneda equilibrada, cadascuna de les 8 seqüències possibles de 3 tirades té la mateixa probabilitat, 1/8, i la probabilitat de 2 cares és simplement la fracció de les seqüències que acaben en aquest node, 3/8. La regla val per a qualsevol nombre de tirades: hi ha \(2^N\) seqüències igual de probables, i \(\binom{N}{k}\) d'elles tenen exactament \(k\) cares. Aquest és el càlcul que hi ha darrere del 14 % de partides amb 15 cares del pas anterior.

Per omplir la figura no cal fer la llista de cap seqüència. Un camí només pot arribar a un node venint d'un dels dos nodes que té just a sobre, el de l'esquerra, amb una cara a l'última tirada, o el de la dreta, amb una creu. Així cada nombre és la suma dels dos que té a sobre, i la figura sencera és el triangle de Pascal. Amb 6 tirades, el node del mig rep 10 + 10 = 20 camins d'un total de 64.

L'escenari Galton fa el mateix recompte amb boles, en un tauler com el que Francis Galton va construir al segle XIX. Hi ha 10 fileres de claus, i a cada clau la bola es desvia cap a l'esquerra o cap a la dreta amb probabilitat 1/2, com una moneda. La caixa on cau registra quantes vegades ha anat cap a la dreta, és a dir, quantes cares han sortit en 10 tirades. La caixa del mig rep prop d'una quarta part de les boles, perquè 252 dels 1.024 camins hi acaben, mentre que cada caixa de l'extrem té un sol camí.

Amb 200 boles les caixes dibuixen una campana que segueix la corba vermella, i les caixes de la 4 a la 6 juntes es queden prop del 66 % de les boles. Cap bola no ha de saber res de la corba perquè aparegui, n'hi ha prou que hi hagi molts més camins cap al mig que cap als extrems. Les dues caixes dels extrems, per la seva banda, solen quedar buides, i en prop de dues terceres parts de les sessions de 200 boles no n'hi arriba cap.

Al Feynman: §6-2 Fluctuations ↗

Cada caminant del banc surt de \(D = 0\) i, a cada pas, avança una unitat cap amunt o cap avall segons el resultat d'una moneda. Amb 200 caminants, els traços s'obren en un ventall que segueix les corbes \(\pm\sqrt{N}\), i després de 400 passos el \(D_{\text{rms}}\) mesurat queda entre 18 i 22 en prop del 95 % de les sessions, a prop de \(\sqrt{400} = 20\). Amb 20 caminants la mateixa mesura varia força més, de 15 a 25 en nou de cada deu sessions, i amb un de sol cau entre 2 i 40 en la mateixa proporció.

El caminant és la moneda del pas 2 vista des d'un altre angle. Si cada cara és un pas cap amunt i cada creu un pas cap avall, \(D\) és el nombre de cares menys el de creus, \(D = 2k - N\). Cada cara de més desplaça el caminant dos passos, i per això la franja \(15 \pm \sqrt{30}/2\) del pas 2 és el mateix que \(D\) dins de \(\pm\sqrt{30}\).

La mitjana de \(D\) es manté a prop de zero tota l'estona, perquè cada camí que puja té un bessó igual de probable que baixa. Diu cap a quin costat tendeix a anar el grup, i la resposta és que cap, però no diu fins on arriba cadascun. El banc mesura llavors l'arrel de la mitjana dels quadrats, \(D_{\text{rms}} = \sqrt{\langle D^2\rangle}\), en què un caminant 20 passos per sota de l'origen compta tant com un que és 20 passos per sobre.

El gràfic de \(\langle D^2\rangle\) contra \(N\) surt gairebé una recta, i la raó rau en un sol pas. Qui és a \(D\) va a \(D+1\) o a \(D-1\), i el quadrat passa a \(D^2 + 2D + 1\) o a \(D^2 - 2D + 1\). En la mitjana de les dues sortides el terme \(2D\) es cancel·la i queda \(D^2 + 1\), de manera que cada pas suma exactament 1 al quadrat mitjà, sigui on sigui el caminant. Partint de zero, \(\langle D_N^2\rangle = N\), i la distància típica creix com \(\sqrt{N}\).

El mateix càlcul descriu una partícula de pols empesa a l'atzar per les molècules de l'aire, el moviment brownià, i la suma de moltes petites fonts d'error en una mesura, cadascuna amb un signe imprevisible. Els errors no es compensen del tot: la suma de \(N\) contribucions independents de mida 1 tendeix a tenir mida \(\sqrt{N}\), més petita que \(N\) però que creix sense parar. Per la mateixa raó, una partícula que s'escampa a l'atzar necessita quatre vegades més passos per arribar dues vegades més lluny.

Al Feynman: §6-3 The random walk ↗

El banc tira tres monedes equilibrades 10.000 vegades cadascuna i segueix les tres seqüències en un eix de \(N\) en escala logarítmica, en què cada divisió multiplica per deu el nombre de tirades. El gràfic de dalt mostra la fracció de cares \(N_C/N\) de cada seqüència, i el de baix, l'excés de cares sobre la meitat, \(N_C - N/2\). Les fraccions comencen escampades entre 0 i 1 i es van estrenyent al voltant d'1/2, mentre que els excessos fan el contrari i s'allunyen de zero, i sovint arriben a unes quantes desenes de cares al final.

L'excés de cares és el caminant del pas 4 amb passos de mitja unitat. Cada cara augmenta \(N_C - N/2\) en ½ i cada creu el disminueix en ½, de manera que l'excés val \(D/2\) i la seva distància típica a zero, mesurada per l'arrel de la mitjana dels quadrats, és \(\tfrac12\sqrt{N}\). La fracció s'allunya d'1/2 en aquest mateix excés dividit per \(N\), i \(\sqrt{N}/2\) dividit per \(N\) dona \(1/(2\sqrt{N})\), que disminueix a mesura que \(N\) creix. L'excés creix, però el nombre de tirades que el divideix creix més de pressa.

Les corbes vermelles del gràfic de dalt marquen aquesta distància típica al voltant d'1/2, la contínua a \(\tfrac12 \pm 1/(2\sqrt{N})\) i la discontínua al doble. Quan \(N\) passa d'uns quants centenars, la fracció d'una seqüència sol ser dins de la corba contínua prop d'un 68 % de les vegades i dins de la discontínua prop d'un 95 %. A \(N = 10.000\) la discontínua és a 0,5 ± 0,01, massa estreta per veure-la en l'escala de 0 a 1, i per això a partir de \(N = 1.000\) un requadre a la cantonada del gràfic amplia la franja de 0,47 a 0,53. Les tres seqüències acaben dins de la discontínua en prop del 87 % de les sessions.

És aquest estrenyiment el que dona sentit a la definició del pas 1, en què la probabilitat és la proporció dels casos al llarg de moltes repeticions. Cap seqüència finita no fixa aquesta proporció, però la franja en què la fracció oscil·la s'estreny com \(1/\sqrt{N}\), i per això la fracció mesurada convergeix mentre els recomptes que la formen continuen allunyant-se. Qui només mira l'excés pot pensar que la moneda va de mal en pitjor, i qui mira la fracció veu el contrari, encara que tots dos mirin la mateixa seqüència.

El mateix càlcul diu quant costa mesurar una probabilitat. Perquè l'amplada \(1/(2\sqrt{N})\) sigui de 0,01, és a dir, d'un 1 % en una probabilitat propera a 1/2, \(\sqrt{N}\) ha de valer 50, i calen unes 2.500 tirades. Aquesta amplada, l'arrel de la mitjana dels quadrats de la desviació, és el que s'anomena desviació típica, i amb 2.500 tirades la fracció mesurada queda a menys de 0,01 de la vertadera en prop de dues terceres parts de les vegades. Per arribar al 95 % cal que 0,01 valgui dues amplades, cosa que demana les 10.000 tirades del banc, i cada xifra més de precisió costa cent vegades més tirades.

Al Feynman: §6-3 The random walk ↗

A l'escenari Suma de passos, cada caminant fa passos de mida sortejada, qualsevol valor entre \(-\sqrt{3}\) i \(+\sqrt{3}\) amb la mateixa probabilitat, una franja escollida perquè la mitjana dels quadrats d'un pas sigui 1, com en els passos d'una unitat del pas 4. El banc suma els passos de 5.000 caminants i fa l'histograma de les posicions finals \(x\). Amb 1 pas l'histograma és un rectangle, amb 2 esdevé un triangle, amb 5 ja recorda la campana de la corba vermella, i amb 30 tots dos pràcticament es confonen.

L'amplada creix com \(\sqrt{N}\) per l'argument del pas 4: a cada pas, el quadrat mitjà de la posició augmenta en la mitjana dels quadrats del pas, que aquí val 1, i després de \(N\) passos \(\langle x^2\rangle = N\). L'arrel d'aquest nombre és la desviació típica \(\sigma = \sqrt{N}\). El que sorprèn és la forma, perquè el pas del banc no té res de campana i tot i així la suma de pocs passos ja s'assembla a una gaussiana d'amplada \(\sigma\). Aquest resultat, el teorema del límit central, val per a gairebé qualsevol forma de pas, sempre que els passos siguin independents, tinguin mitjana zero i una mitjana dels quadrats finita.

Amb passos de mida contínua, la probabilitat d'acabar exactament a \(x = 0\), o a qualsevol altre valor escollit abans, és zero, i cap de les 5.000 sumes no encerta un nombre fixat amb tots els seus decimals. Per això l'eix vertical no mostra probabilitats, sinó una densitat \(p(x)\), i cada barra té l'altura de la fracció de les sumes que hi ha caigut dividida per l'amplada de la barra. La probabilitat de caure en un interval és llavors l'àrea sota \(p(x)\) entre les vores, i l'àrea total val 1.

La franja ombrejada és aquest interval, i les seves vores s'arrosseguen amb el dit o amb el ratolí. Entre \(-\sigma\) i \(+\sigma\) la gaussiana preveu un 68,3 % de les sumes, i entre \(-2\sigma\) i \(+2\sigma\), un 95,4 %. Amb 1 pas el recompte dona prop d'un 58 % a \(\pm\sigma\), ja que el rectangle no té cues, amb 2 passos dona prop d'un 65 %, i a partir de 5 la diferència amb el 68,3 % queda de la mida del soroll de 5.000 sumes.

A l'escenari Gas, la corba és la densitat de velocitats de les molècules de nitrogen, la distribució de Maxwell. A 300 K, la velocitat més probable, al pic de la corba, és 422 m/s, la mitjana és 476 m/s i l'arrel de la mitjana dels quadrats, la velocitat rms, és 517 m/s, totes una mica per sobre de la velocitat del so a l'aire, prop de 350 m/s. Les tres difereixen perquè la corba no és simètrica. Surt de zero, ja que una velocitat gairebé nul·la exigeix que les tres components de la velocitat siguin petites alhora, i té una cua llarga cap al costat de les velocitats altes.

La temperatura desplaça i eixampla la corba alhora. Les tres velocitats creixen com \(\sqrt{T}\) i a 1.200 K valen el doble de les de 300 K, i com que l'àrea continua sent 1, el pic baixa. La lectura de l'àrea és la mateixa que en les sumes de passos: la fracció de les molècules entre 400 i 600 m/s cau del 36 % a 300 K al 13 % a 1.200 K, mentre que la fracció per sobre de 1.000 m/s puja de prop de l'1 % al 42 %.

Al Feynman: §6-4 A probability distribution ↗

A l'escenari Paquet, la corba de l'esquerra és la densitat \(p_1(x)\) de la posició d'una partícula, amb l'amplada \(\Delta x\) escollida al control, i la de la dreta és la densitat \(p_2(v)\) de la velocitat, amb l'amplada \(\Delta v\) més petita que la mecànica quàntica admet per a aquell \(\Delta x\). Amb \(\Delta x = 10^{-10}\) m, més o menys la mida d'un àtom, el \(\Delta v\) mínim d'un electró és de 579 km/s, el d'un protó és de 315 m/s i el d'un gra de pols de \(10^{-15}\) kg és de \(5{,}3\cdot10^{-10}\) m/s.

Els tres nombres surten de la mateixa regla, que impedeix que el producte de les dues amplades quedi per sota de \(\hbar/2m\), on \(m\) és la massa i \(\hbar \approx 1{,}05\cdot10^{-34}\) J·s és la constant de Planck dividida per \(2\pi\). Aquesta desigualtat és el principi d'incertesa de Heisenberg, en la forma en què Feynman l'escriu, amb la velocitat en lloc del moment \(mv\). En arrossegar el control cap a l'esquerra, la corba de la posició s'estreny i la de la velocitat s'eixampla en la mateixa proporció, ja que dividir \(\Delta x\) per deu multiplica per deu el \(\Delta v\) mínim, i les escales dels eixos canvien a salts, d'1 a 2, 5 i 10, perquè les dues corbes continuïn cabent a la pantalla. La massa al denominador explica la distància entre les tres partícules: el protó té 1.836 vegades la massa de l'electró, i el gra de pols, unes \(10^{15}\) vegades.

Per al gra de pols, la regla val però no deixa cap marca que es pugui mesurar. Fins i tot amb un \(\Delta x\) d'1 µm, la mida del mateix gra, el \(\Delta v\) mínim es queda en \(5{,}3\cdot10^{-14}\) m/s, mentre que l'agitació tèrmica del gra a l'aire a 300 K li dona velocitats al voltant de 2 mm/s, més de deu ordres de magnitud per sobre. Per a un electró lligat a un àtom la situació s'inverteix, i el \(\Delta v\) mínim de centenars de km/s indica que cap descripció en què l'electró està quiet en un punt conegut no pot ser correcta.

Les dues corbes del Paquet no són un resum de velocitats ben definides que hem deixat de seguir, com la corba de Maxwell del pas 6, en què cada molècula de nitrogen té la seva velocitat i la densitat és una tria de conveniència davant de massa molècules. Per a l'electró del banc, \(p_1(x)\) i \(p_2(v)\) són la descripció més completa que ofereix la mecànica quàntica, sense res més precís a sota, i per això l'amplada mínima de \(p_2(v)\) no disminueix amb cap mesura més acurada.

A l'escenari Hidrogen, cada punt és una posició possible de l'electró en l'estat fonamental de l'àtom, i el conjunt forma el núvol que Feynman fa servir per representar l'àtom al final del capítol. Els punts se sortegen en tres dimensions i es projecten a la pantalla, com en una fotografia, de manera que molts apareixen més a prop del protó del que realment són. L'histograma de la dreta fa servir la distància real \(r\) de cada punt al protó i segueix la corba \(P(r)\), el pic de la qual, el radi més probable, és al radi de Bohr \(a_0 \approx 0{,}53\cdot10^{-10}\) m, mentre que el radi mitjà és \(1{,}5\,a_0\). La mitjana dels punts tendeix a aquest valor amb un error típic que cau com \(1/\sqrt{N}\), prop de 0,09 \(a_0\) amb 100 punts i de 0,009 \(a_0\) amb 10.000.

El núvol té una amplada \(a_0\) en cada direcció, i segons la regla el \(\Delta v\) de l'electró a l'àtom no pot quedar per sota d'uns 1.100 km/s. En l'estat fonamental, el \(\Delta v\) en cada direcció és prop de 1.260 km/s, i el producte \(\Delta x\,\Delta v\) queda només un 15 % per sobre del mínim que la regla admet.

Al Feynman: §6-5 The uncertainty principle ↗