La Teoria de la Gravitació

El banc comença amb dues agulles clavades a 10 cm l'una de l'altra i un llaç de cordill de 30 cm passat al seu voltant. Tibat per la punta del llapis, el llaç forma un triangle en què el costat entre les agulles no canvia mai, i per això els altres dos costats, les distàncies \(r_1\) i \(r_2\) del llapis a cada agulla, sumen sempre 30 − 10 = 20 cm. La corba que dibuixa el llapis amb aquesta restricció és una el·lipse, i les agulles en marquen els dos focus.

La meitat d'aquesta suma és el semieix major, \(a = 10\) cm, la distància del centre fins a la punta més allunyada de la corba. La distància \(c\) de cada focus al centre, mesurada en unitats de \(a\), és l'excentricitat \(e = c/a\), que val 0 quan les agulles coincideixen i el llapis dibuixa un cercle, i s'acosta a 1 quan la distància \(2c\) entre elles s'acosta a \(2a\) i l'el·lipse s'aplana fins a fer-se un segment. Al capdamunt de la corba el llapis queda a la mateixa distància \(a\) de les dues agulles, i el triangle rectangle que s'hi forma dona el semieix menor, \(b = a\sqrt{1-e^2}\), o 8,66 cm amb \(e = 0{,}5\).

Kepler va arribar a l'el·lipse a principis del segle XVII, quan intentava ajustar l'òrbita de Mart a les observacions de Tycho Brahe. El detall que més sol sorprendre és que el Sol no ocupa el centre de la corba sinó un dels focus, i que a l'altre focus no hi ha res. La construcció amb agulles i cordill és antiga i també surt a Feynman; el seu avantatge és que converteix una definició geomètrica en un gest que tothom pot repetir damunt la taula.

L'escenari Àrees posa el Sol al focus de la dreta i divideix cada volta del planeta en vuit intervals de temps iguals. Cada interval deixa un sector de color entre el Sol i l'arc recorregut: a prop del Sol els sectors són curts i oberts en ventall, a l'altra banda són llargs i prims, i tots fan 34,0 cm². És la segona llei de Kepler, segons la qual la recta que uneix el Sol i el planeta escombra àrees iguals en temps iguals, i obliga el planeta a anar més de pressa quan és a prop del Sol.

La raó entre la velocitat al periheli, el punt més pròxim al Sol, i la velocitat a l'afeli, el més allunyat, és \((1+e)/(1-e)\), o 3,00 amb \(e = 0{,}5\). L'òrbita de la Terra, amb \(e = 0{,}0167\), té el semieix menor només un 0,014 % més curt que el major, una diferència que a l'escala del banc seria de 14 µm, més fina que el traç del llapis. El Sol, en canvi, queda 1,7 mm fora del centre, i la velocitat de la Terra varia un 3 % al llarg de l'any. Mercuri, amb 0,2056, ja té una raó de velocitats d'1,52, i el cometa Halley, amb 0,967, passa pel periheli gairebé 60 vegades més de pressa que per l'afeli.

Al Feynman: §7-2 Kepler’s laws ↗

El banc posa els vuit planetes en un gràfic amb els dos eixos en escala logarítmica, el semieix major \(a\) en unitats astronòmiques i el període \(T\) en anys. En aquesta escala una llei de potència \(T \propto a^p\) es converteix en una recta de pendent \(p\), i els vuit punts, de Mercuri, a 0,387 UA i 88 dies, a Neptú, a 30 UA i 165 anys, cauen sobre una recta de pendent 1,500. Dit d'una altra manera, \(T^2/a^3\) és el mateix per a tots, amb diferències de com a màxim un 0,2 %, i aquesta és la tercera llei de Kepler.

La recta vermella mostra què produiria una força amb una altra dependència de la distància. Suposem que la força per unitat de massa a una distància \(r\) del Sol és \(k/r^n\) i que l'òrbita és un cercle. L'acceleració centrípeta \(v^2/r\) ha de ser igual a aquesta força, de manera que \(v^2 = k/r^{n-1}\), i el període \(T = 2\pi r/v\) creix com \(r^{(n+1)/2}\). Amb \(n = 3\), el valor inicial del banc, la recta passa per la Terra, però preveu 904 anys per a Neptú, més de cinc vegades el període mesurat.

Només un exponent posa la recta sobre els planetes: el pendent \((n+1)/2 = 3/2\) exigeix \(n = 2\), i amb aquest valor l'error en el període de Neptú baixa al 0,06 %. Una força que decaigués com \(1/r\) donaria als planetes exteriors voltes massa curtes, i una que decaigués com \(1/r^3\), voltes massa llargues. Aquest argument, amb les òrbites preses com a cercles, és probablement el camí més curt entre la tercera llei de Kepler i la força de l'invers del quadrat, i Newton va començar per aquí; la prova que la mateixa força produeix el·lipses exactes, amb la llei valent per al semieix major, va venir després i costa molta més feina. Feynman esmenta el resultat sense fer el càlcul, que aquí cap en dues línies.

El càlcul no diu res sobre el valor de \(k\), que només fixa l'altura de la recta. Les llunes de Júpiter segueixen la mateixa llei, amb el mateix pendent de 3/2, però sobre una recta desplaçada cap amunt, perquè la \(k\) de Júpiter és més petita i la mateixa distància triga més a recórrer-se. Aquest desplaçament mesura la raó entre les masses de Júpiter i del Sol, prop d'una mil·lèsima, i la lliçó de secundària sobre la gravitació fa aquesta pesada amb les mateixes llunes.

Al Feynman: §7-4 Newton’s law of gravitation ↗

El banc posa un punt en un cercle d'1 m de radi, que fa una volta per segon, cosa que correspon a una velocitat \(v = 2\pi\) m/s, o 6,28 m/s. La recta discontínua és la tangent al cercle en el punt de partida. Després de \(\Delta t = 0{,}05\) s, la vintena part d'una volta, el punt ha recorregut 18° del cercle i és 4,89 cm per sota de la tangent, mesurats en la direcció del centre. Aquesta separació \(x\) és el que el banc fa servir per mesurar l'acceleració.

Mesurar la separació a partir de la tangent, i no del punt de partida, és l'elecció que imposa la inèrcia. Sense cap força, el punt seguiria per la recta discontínua amb la mateixa velocitat, i la força només apareix en la diferència entre aquesta recta i el camí real. Al banc aquesta diferència apunta sempre cap al centre del cercle, i al llarg de la tangent el punt no necessita cap empenta. El principi d'inèrcia ve de Galileu; la lectura de cada desviació de la recta com la marca d'una força és de Newton.

La geometria de la separació surt del teorema de Pitàgores. Si anomenem \(S\) l'avanç del punt al llarg de la tangent, el centre, la posició final i el peu de la perpendicular formen un triangle rectangle de catets \(S\) i \(R - x\) i hipotenusa \(R\), de manera que \(x(2R - x) = S^2\) exactament. En un interval curt, \(x\) és molt més petita que \(2R\) i queda \(x \approx S^2/2R\), una separació que creix amb el quadrat de l'avanç. Al banc, \(S = 30{,}9\) cm i \(S^2/2R\) dona 4,77 cm, un 2 % per sota del valor exacte.

Una separació que creix amb el quadrat del temps fa cara de caiguda. Com que \(S \approx v\,\Delta t\), tenim \(x \approx v^2\Delta t^2/2R\), i la comparació amb la caiguda des del repòs, \(x = \tfrac12 a\,\Delta t^2\), dona una acceleració cap al centre \(a = v^2/R\), 39,478 m/s² al banc. Amb \(\Delta t = 0{,}05\) s l'estimació \(2x/\Delta t^2\) queda en 39,155 m/s², un 0,8 % per sota; amb 0,001 s les dues coincideixen en les cinc xifres que es mostren, perquè l'error baixa amb \(\Delta t^2\).

El càlcul suposa que l'avanç al llarg de la tangent i la caiguda cap al centre se sumen sense interferir l'un amb l'altre. És la mateixa independència que, a la lliçó de secundària sobre llançaments, fa que una pilota llançada horitzontalment arribi a terra alhora que una altra que només s'ha deixat anar. La diferència és que en el cercle la direcció de la caiguda gira amb el punt, i a cada instant la caiguda torna a començar a partir d'una tangent nova. El resultat és l'acceleració centrípeta de sempre, obtinguda aquí només amb el que el cos s'allunya de la recta, i és aquest el càlcul que el pas següent aplica a la Lluna.

Al Feynman: §7-3 Development of dynamics ↗

El banc deixa anar un planeta a una unitat de distància del Sol, amb una velocitat un 15 % més gran que la d'una òrbita circular, i calcula el moviment en passos curts, amb una força que apunta sempre cap al Sol i decau amb el quadrat de la distància. L'òrbita resulta ser una el·lipse d'excentricitat 0,32, i a cada vuitena part de volta el banc pinta un sector entre el Sol i l'arc recorregut. La taxa amb què la recta Sol–planeta escombra àrea, mesurada a cada pas, varia un 0,000 %, volta rere volta.

La raó és en un triangle. En un interval curt \(\Delta t\) el planeta surt de la posició \(\vec r\) i es desplaça \(\vec v\,\Delta t\), i l'àrea escombrada és la meitat de \(|\vec r \times \vec v|\,\Delta t\). En aquest producte només compta la part del desplaçament perpendicular al radi. Una estirada dirigida al Sol afegeix a la velocitat un tros paral·lel a \(\vec r\), que desapareix en el producte vectorial, i el triangle següent escombra la mateixa àrea; en canvi, una component de la força perpendicular al radi fa créixer o minvar aquesta àrea.

El botó Activa l'empenta tangencial afegeix aquesta component, a favor del moviment i igual a una fracció de l'atracció. Amb un 2 %, la taxa d'àrees puja prop d'un 11 % per volta, els sectors s'inflen i l'òrbita s'obre en espiral. Llegit al revés, el càlcul és l'argument de Newton: si l'àrea escombrada creix en la mateixa proporció que el temps, com va mesurar Kepler, la força no té component tangencial i apunta, a cada instant, cap al Sol. La llei de les àrees no diu res sobre com varia aquesta força amb la distància, i d'aquesta part se'n va ocupar el pas 2.

L'escenari Lluna posa a treballar el resultat del pas 3. La Lluna recorre un cercle de \(3{,}844\cdot10^8\) m en 27,32 dies, cosa que li dona una acceleració cap a la Terra de \(4\pi^2 r_L/T_L^2 = 2{,}72\cdot10^{-3}\) m/s². Aquesta distància equival a 60,3 radis terrestres, i els 9,81 m/s² de la superfície dividits per \(60{,}3^2\) donen \(2{,}69\cdot10^{-3}\) m/s². La lliçó de secundària sobre la gravitació fa aquesta comparació amb nombres rodons; aquí pot respondre una pregunta més.

La raó entre les dues acceleracions mesurades, la de la superfície i la de la Lluna, és 3602, i la raó entre les distàncies al centre de la Terra és 60,34. Una força que decaigués com \(1/r^n\) donaria \(60{,}34^n = 3602\), és a dir, \(n = 1{,}997\). Com que l'exponent surt d'un logaritme, l'1 % de diferència entre les acceleracions només toca la tercera xifra decimal, i el resultat és 2 amb un marge d'unes tres mil·lèsimes. La prova de la Lluna mesura l'exponent per un camí que no passa pels planetes, amb un altre cos central, i arriba al mateix 2 del pas 2. Amb \(n = 1\) la Lluna hauria de caure amb 0,163 m/s², 60 vegades més, i amb \(n = 3\), amb \(4{,}5\cdot10^{-5}\) m/s², 60 vegades menys.

L'1,1 % que separa les dues barres té una explicació probable. La Terra no està quieta: ella i la Lluna giren al voltant del centre de massa comú, i el càlcul correcte canvia la massa de la Terra per la suma de totes dues, un 1,2 % més gran, ja que la Lluna té 1/81 de la massa de la Terra. El que queda, unes poques dècimes per cent, pot venir d'efectes com l'excentricitat de l'òrbita i l'atracció del Sol.

Al Feynman: §7-4 Newton’s law of gravitation ↗

El banc posa dues estrelles lligades l'una a l'altra per la gravetat, amb 2 masses solars en total i un semieix major de 10 UA en l'òrbita de l'una respecte de l'altra. Cap de les dues no es queda quieta al mig. Totes dues giren al voltant d'un punt entre elles, el centre de massa, marcat amb una creu, i cadascuna descriu una el·lipse amb un focus en aquest punt. Les dues el·lipses tenen la mateixa excentricitat i el mateix període, però mides diferents, i les estrelles queden sempre a costats oposats.

La mida de cada el·lipse depèn de la massa. Com que el centre de massa no es mou, l'estrella més pesant ha de quedar-ne més a prop, i els semieixos \(a_1\) i \(a_2\) de les dues el·lipses estan en raó inversa de les masses. Si l'estrella 2 té 0,6 vegades la massa de l'estrella 1, l'el·lipse de l'estrella 1 fa 3,75 UA i la de l'estrella 2, 6,25 UA. La suma de totes dues és el semieix \(a = 10\) UA de l'òrbita relativa, la que es veuria mirant una estrella des de l'altra.

La massa total surt de la tercera llei de Kepler. Al pas 2 el període d'una òrbita era \(T = 2\pi a^{3/2}/\sqrt{k}\), i en una estrella doble \(k = G(M_1 + M_2)\), perquè el moviment relatiu és el d'un cos atret per les dues masses sumades. Amb \(a\) en UA, \(T\) en anys i les masses en masses solars, la Terra al voltant del Sol fa de regle, amb \(a = T = M = 1\), i les constants desapareixen del càlcul. Al banc, 10 UA i 22,4 anys donen \(10^3/22{,}4^2 \approx 2{,}0\) masses solars.

L'escenari Sirius A i B porta al banc l'estrella més brillant del cel nocturn. La parella completa una volta en 50,1 anys, amb \(a \approx 19{,}8\) UA, i la tercera llei dona \(19{,}8^3/50{,}1^2 = 3{,}09\) masses solars. L'el·lipse de Sirius A fa gairebé la meitat de la de Sirius B, de manera que A es queda uns dos terços del total, 2,06 masses solars, i B el terç restant, 1,03. La companya es va deduir abans de ser vista. El 1844 Bessel va notar que Sirius A oscil·lava respecte de les estrelles del fons, i el 1862 Alvan Graham Clark la va trobar mentre provava una lent nova.

Sirius B conté una massa semblant a la del Sol en un cos de la mida de la Terra; és una nana blanca, el que queda d'una estrella que ha esgotat el combustible nuclear. Res d'això no entra en el càlcul, que només fa servir el període i les dues el·lipses. El que importa aquí és que la llei ajustada als planetes, al voltant d'una sola estrella, descriu també dues estrelles l'una al voltant de l'altra. Com que n'hi ha prou amb el període i la mida de les dues el·lipses, les estrelles dobles són probablement el camí més directe per pesar una estrella. Al cel l'òrbita apareix inclinada, i Feynman mostra, amb les mesures de Sirius al llarg de quatre dècades, per què la projecció treu Sirius A del focus aparent. El banc mira l'òrbita de cara.

Al Feynman: §7-5 Universal gravitation ↗

El banc mostra des de dalt el Sol, la Terra a 1 UA i Júpiter a 5,2 UA, amb les òrbites preses com a cercles en el mateix pla, que és la simplificació del model. A l'instant zero la Terra és entre el Sol i Júpiter, en la posició anomenada oposició, i els dos planetes són a 4,20 UA, la distància més petita possible. La Terra fa una volta per any i Júpiter en triga 11,86. Poc després de mig any la Terra passa a l'altra banda del Sol, i la distància arriba a 6,20 UA en la conjunció.

Io, la més pròxima de les quatre grans llunes de Júpiter, fa una volta en 1,769 dies i a cada volta entra a l'ombra del planeta. Des de la Terra, l'eclipsi es veu com un apagament sobtat, i la seqüència d'eclipsis funciona com un rellotge. Amb l'interval mesurat prop de l'oposició es pot fer una taula dels eclipsis següents, però la taula aviat comença a fallar. Mentre la Terra s'allunya de Júpiter, cada eclipsi arriba fins a uns 14 s més tard del que l'anterior feia preveure; mentre s'hi acosta, arriba uns altres tants segons abans.

El gràfic del banc mostra l'efecte acumulat. La llum de l'eclipsi ha de travessar la distància entre Júpiter i la Terra, i cada UA de més costa 499 s de viatge. El retard respecte de la taula és, per tant, la distància extra dividida per \(c\). Creix fins a 16,6 min en la conjunció, quan la distància extra és el diàmetre de l'òrbita de la Terra, 2 UA. No torna a zero fins a l'oposició següent, al cap d'1,09 anys, perquè mentrestant Júpiter també s'ha mogut.

Ole Rømer, que treballava a l'Observatori de París, va proposar aquesta explicació el 1676, amb eclipsis d'Io seguits al llarg de diversos anys. Segons la seva estimació, la llum trigava uns 22 minuts a travessar el diàmetre de l'òrbita de la Terra. Christiaan Huygens va combinar aquest nombre amb la mida de l'òrbita que s'estimava aleshores i va arribar a una velocitat d'uns 220.000 km/s. La diferència amb els 16,6 min d'avui ve probablement de la dificultat de cronometrar un eclipsi amb els telescopis i els rellotges del segle XVII. A més, prop de la conjunció Júpiter es perd en la claror del Sol i no es pot observar.

Rømer no va necessitar la gravitació per arribar a aquesta lectura. El 1676 encara faltaven onze anys per als Principia de Newton, i el que tenia era la confiança en el ritme d'Io. L'explicació tampoc no va convèncer de seguida: Cassini, que dirigia l'observatori, no la va acceptar, i la velocitat finita de la llum no es va acceptar de manera àmplia fins que Bradley va descobrir l'aberració de la llum, el 1729. Feynman mira l'episodi en retrospectiva, ja amb la gravitació a les mans. L'òrbita d'Io depèn de l'atracció de Júpiter i no d'on és la Terra, de manera que una desviació com aquesta amenaçaria la llei, tret que una altra cosa l'expliqués; aquí, aquesta altra cosa és la llum.

Al Feynman: §7-5 Universal gravitation ↗

El banc munta la balança de torsió amb els nombres de Henry Cavendish: una barra d'1,86 m penjada pel mig d'un fil fi, amb una esfera de plom de 0,73 kg a cada extrem, i dues esferes de 158 kg al costat de les petites, amb els centres a 0,23 m. Cada parella s'atrau amb \(GMm/r^2 = 1{,}5\cdot10^{-7}\) N, el pes d'uns 15 micrograms, prop d'un quart d'un gra de sal de cuina. Les dues forces estiren els extrems de la barra cap a costats oposats i sumen un moment \(GMmL/r^2\), que torça el fil fins que la seva resistència, \(\kappa\,\theta\), equilibra l'estirada.

Amb aquests nombres l'angle d'equilibri és de \(9{,}6\cdot10^{-4}\) rad, menys d'una dècima de grau, massa petit per llegir-lo a la mateixa barra. Un mirall fixat al fil resol el problema: quan gira \(\theta\), el feix reflectit gira \(2\theta\), i en una escala a 5 m el punt de llum es desplaça \(2\theta D = 9{,}6\) mm. Canviar les esferes grans de costat inverteix el moment i porta el punt a l'altra banda, en un recorregut de 19,2 mm, de manera que la mesura no necessita saber on és el fil sense torsió.

Cavendish, el 1798, no va fer servir cap mirall. Va tancar la balança en una sala, per protegir-la dels corrents d'aire i de les diferències de temperatura, i seguia els extrems de la barra des de fora, amb ulleres apuntades a escales fines il·luminades amb llums. El mirall amb el feix de llum va venir després, en versions del segle XIX, i és aquest muntatge el que dibuixa el banc, amb el gir de la barra fora d'escala.

Falta la constant \(\kappa\) del fil, que Cavendish no va haver de mesurar a part. Deixada anar, la barra oscil·la al voltant de l'equilibri amb un període \(T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}\), en què \(I = mL^2/2\) és el moment d'inèrcia de les esferes petites, i en les seves mesures una oscil·lació durava uns 7 min. Si es treu \(\kappa\) del període i es porta a l'equilibri dels moments, la massa \(m\) desapareix, i queda una expressió per a \(G\) feta de dues distàncies, un angle, un temps i la massa de les esferes grans.

Amb \(G\) a les mans, es pot pesar la Terra. L'acceleració a la superfície és \(g = GM_T/R_T^2\), i amb \(g = 9{,}81\) m/s² i \(R_T = 6{,}37\cdot10^6\) m la massa surt \(M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\) kg. Cavendish va presentar el resultat com la densitat mitjana de la Terra, 5,48 vegades la de l'aigua, i l'experiment ha quedat com el que va pesar el planeta; la \(G\) que es treu dels seus nombres queda a un 1 % del valor actual. La lliçó de secundària sobre la gravitació calcula la mateixa atracció entre dues esferes, sense la balança.

Al Feynman: §7-6 Cavendish’s experiment ↗

L'escenari Feblesa posa dos electrons a \(10^{-10}\) m, prop de la mida d'un àtom, i compara les dues forces entre ells. La repulsió elèctrica val \(2{,}3\cdot10^{-8}\) N i l'atracció gravitatòria \(5{,}5\cdot10^{-51}\) N, i les barres, en escala logarítmica, queden separades per més de 42 potències de 10. Com que totes dues forces decauen amb el quadrat de la distància, la raó \(4{,}17\cdot10^{42}\) no canvia amb la separació i només depèn de les càrregues i de les masses. Entre dos protons, amb la mateixa càrrega i 1836 vegades la massa, baixa a \(1{,}23\cdot10^{36}\), un nombre que continua sent immens.

Si la gravetat perd per tanta diferència, és raonable preguntar-se per què és ella la que governa planetes i estrelles. Les càrregues tenen dos signes i es compensen, i un cos gran té gairebé exactament tants protons com electrons; les masses tenen un sol signe i sempre se sumen. A les esferes de plom del pas 7, n'hi hauria prou amb una càrrega de més per cada \(4\cdot10^{17}\) protons per crear una força elèctrica de la mida de l'atracció que mesura la balança, i és la neutralitat gairebé perfecta de la matèria la que deixa la gravetat sola a les escales grans.

La llei de Newton tampoc no diu com travessa l'atracció l'espai buit. En una carta del 1693 a Richard Bentley, Newton va qualificar d'absurda la idea que un cos actuï sobre un altre a distància sense res entremig, i tot i així no es va arriscar a proposar cap mecanisme. Des del segle XVIII no han faltat propostes, i cap no ha resistit les observacions; Feynman en discuteix una al §7-7. El banc, com la llei, només calcula quant s'atrauen les masses, sense dir com.

L'escenari Llum fa passar un raig a una distància \(b\) del centre del Sol. Si es tracta la llum com una partícula que viatja a \(c\) sota la llei de Newton, el càlcul dona una desviació de 0,875″ per al raig rasant, prop del que va calcular Johann von Soldner el 1801. La relativitat general d'Einstein, del 1915, en dona el doble, 1,75″, i en totes dues teories la desviació decau amb \(1/b\). La llum cau perquè, en la teoria d'Einstein, l'energia gravita igual que la massa, i la meitat que li falta a Newton ve de la curvatura de l'espai a prop del Sol.

La mesura demana un eclipsi total, que enfosqueix el cel al voltant del Sol i deixa veure les estrelles prop de la vora. El 1919, expedicions organitzades per Frank Dyson i Arthur Eddington van fotografiar un eclipsi a Sobral, al Ceará, i a l'illa de Príncipe, i les desviacions mesurades, amb incerteses declarades d'entre un 6 i un 20 %, van afavorir el valor d'Einstein; la qualitat d'aquelles plaques es va discutir durant dècades. Avui, la posició de quàsars observats amb radiotelescopis quan el Sol passa a prop seu confirma el valor de la relativitat amb una precisió millor que el 0,1 %.

El que va portar Einstein a modificar la llei de Newton no va ser la llum. En la fórmula de Newton, la força segueix la posició actual de les masses, de manera que moure el Sol canviaria a l'instant la força sobre la Terra, un senyal més ràpid que la llum, que la relativitat prohibeix. La correcció és petita al sistema solar, i a part de la llum apareix en el periheli de Mercuri, que avança 43″ per segle més del que explica l'atracció dels altres planetes.

Al Feynman: §7-7 What is gravity? ↗ · §7-8 Gravity and relativity ↗