Moviment

El banc segueix un cotxe en una carretera recta durant tres minuts. Surt del repòs, arriba a 20 m/s, o 72 km/h, en 20 s, manté aquesta velocitat fins als 120 s, frena fins a aturar-se als 150 s i es queda aturat fins al final. Cada 20 s el banc anota a quina distància és del punt de partida, i les deu lectures, de 0 a 2.500 m, formen la taula a l'esquerra del gràfic.

Abans de la primera lectura calia fer dues tries. Una és el punt del cotxe la posició del qual s'anota, per exemple la punta del para-xocs del davant; com que el cotxe no canvia de llargada, qualsevol altre punt seu donaria lectures desplaçades en un valor fix. L'altra és l'origen, que aquí és el punt de partida, amb les distàncies comptades en el sentit del viatge. Un origen 500 m més endavant restaria 500 m a totes les lectures, i el que diuen del moviment continuaria sent el mateix. Fetes les dues tries, a cada instant li correspon una sola posició, i la notació \(s = s(t)\) només diu això; el banc calcula aquesta funció amb una fórmula per a cada tram del viatge, i la taula en recull deu valors.

Posant el temps a l'eix horitzontal i la posició al vertical, cada fila de la taula es converteix en un punt, i la corba que hi passa explica tot el viatge d'un cop d'ull. Surt horitzontal i es corba cap amunt mentre el cotxe guanya velocitat, es fa recta en el tram en què avança 400 m cada 20 s, es corba cap a l'altre costat durant la frenada i acaba plana a 2.500 m.

L'escenari Caiguda canvia el cotxe per una pilota que es deixa anar des del repòs, sense resistència de l'aire, amb la distància caiguda anotada cada mig segon. Les lectures creixen cada cop més de pressa, d'1,2 m en el primer mig segon a 78,4 m als 4 s, i segueixen una regla senzilla: en el doble de temps, la pilota cau quatre vegades més, com mostren els 19,6 m als 2 s. La regla és \(s = \tfrac12 g t^2\), amb \(g = 9{,}8\) m/s², i el gràfic és una branca de paràbola. La lliçó de secundària sobre la caiguda lliure mostra d'on surt aquesta fórmula; aquí només hi entra com a descripció.

En tots dos escenaris, la taula i el gràfic guarden tot el que es pot dir del moviment, però no mostren directament com de ràpid va el cos a cada instant, i llegir aquesta rapidesa a la corba és el tema del pas 2. El cotxe i la pilota que cau són els dos exemples amb què Feynman obre el capítol, aquí amb nombres nostres.

Al Feynman: §8-1 Description of motion ↗

El banc marca un punt P a la corba de la caiguda, a \(t = 1\) s, quan la pilota ja ha caigut 4,9 m, i un segon punt un interval \(\Delta t\) després. Amb \(\Delta t = 0{,}1\) s la pilota cau 1,029 m més en aquest interval, i la raó \(\Delta s/\Delta t\) dona 10,29 m/s. Aquesta és la velocitat mitjana en l'interval, la que un cos hauria de mantenir, sense variar-la, per cobrir la mateixa distància en el mateix temps.

El valor depèn de l'interval. Amb 1 s la mitjana seria de 14,7 m/s, amb 0,01 s baixa a 9,849 m/s i amb 0,001 s a 9,8049 m/s. L'àlgebra explica la seqüència: desenvolupant el quadrat de \(\tfrac12 g (t+\Delta t)^2\), la mitjana queda \(g t + \tfrac12 g\,\Delta t\), i el segon terme, 4,9 m/s² per \(\Delta t\), és tot el que la separa de \(g t = 9{,}8\) m/s. Com que aquest terme pot fer-se tan petit com es vulgui, les mitjanes tendeixen a \(g t\) quan \(\Delta t\) s'escurça, i és aquest valor el que s'anomena velocitat en l'instant \(t\).

Al gràfic, el mateix càlcul té una lectura geomètrica. La mitjana és el pendent de la recta que passa per P i pel segon punt, la secant, i a mesura que \(\Delta t\) disminueix el segon punt llisca per la corba cap a P i la secant gira. El límit d'aquest gir és la recta discontínua, la tangent a P, el pendent de la qual és la velocitat en l'instant.

A l'escenari Cotxe, amb P a 120 s, el banc dona 20 m/s, o 72 km/h, que és el que el velocímetre marcaria en aquell instant: mesura la velocitat de cada instant, i no una mitjana sobre una hora de viatge. Mig minut després el cotxe és aturat, després d'avançar només 300 m més, i la lectura de 72 km/h continua sent correcta, perquè no parlava de l'hora següent. Deia que, en un interval prou curt a partir d'aquell moment, el cotxe avança prop de 20 m cada segon, amb una diferència que es redueix alhora que l'interval.

Fer la raó entre una distància i un temps cada cop més petits i veure a quin nombre s'acosta és prendre un límit, i el càlcul diferencial va néixer d'aquesta operació, desenvolupat per Newton i per Leibniz, cadascun pel seu compte, a la segona meitat del segle XVII. El cotxe també mostra el que la caiguda no mostra. En el tram de velocitat constant la mitjana és la mateixa per a qualsevol \(\Delta t\), i en la frenada queda per sota de la velocitat en l'instant, perquè el cotxe perd velocitat durant l'interval. La lliçó de secundària sobre la velocitat mitjana tracta la mitjana d'un viatge sencer; aquí interessa què passa quan l'interval s'escurça.

Al Feynman: §8-2 Speed ↗

Al banc, una bomba infla un globus esfèric amb un cabal fix, 120 cm³ cada segon en la posició inicial del control. El volum creix en la mateixa proporció que el temps, però el radi no el segueix: arriba a 5 cm en 4,4 s i necessita 30,5 s més per anar de 5 a 10 cm. Al gràfic del radi en funció del temps, la corba surt gairebé vertical i es va aplanant, i el que es vol saber és el seu pendent en un instant qualsevol, la taxa \(dr/dt\) en centímetres per segon.

La geometria dona la relació entre volum i radi, \(V = \tfrac43\pi r^3\), i, com que el volum en l'instant \(t\) és el cabal per \(t\), se'n treu el radi a cada instant. El càlcul diu on és la vora del globus a cada instant, però la rapidesa amb què es mou no apareix escrita enlloc de la fórmula; per obtenir-la cal comparar el radi en dos instants molt pròxims, com es va fer amb la caiguda. La idea d'un globus que s'infla com a pregunta sobre rapidesa és de Feynman, que la deixa al lector en el capítol; el cabal i els radis d'aquí són els del banc.

El camí és la idea del pas 2, mirar un interval curt \(\Delta t\). En aquest interval la bomba hi posa un volum \(\Delta V\), el cabal per \(\Delta t\), que s'acomoda en una capa prima al voltant del globus, la franja taronja del banc. Una capa de gruix \(\Delta r\) té un volum pròxim a l'àrea de l'esfera, \(4\pi r^2\), pel gruix, i l'aproximació millora a mesura que la capa s'aprima. Amb un radi de 10 cm l'àrea és de 1.257 cm², i els 12 cm³ que entren en 0,1 s formen una capa de menys d'una centèsima de centímetre, 0,0095 cm. Dividint \(\Delta V \approx 4\pi r^2\,\Delta r\) per \(\Delta t\) i fent que l'interval s'escurci, l'aproximació es torna igualtat i en queda la taxa del radi, que amb 120 cm³/s i 10 cm de radi val 0,0955 cm/s.

La fórmula explica per què el globus sembla frenar. El mateix cabal s'escampa per una àrea que creix amb el quadrat del radi, i quan el radi es duplica la taxa baixa a una quarta part, de 0,382 cm/s a 5 cm a 0,0955 cm/s a 10 cm. Amb l'animació en pausa, el botó Mesura fa el càlcul pel camí numèric: calcula el radi una mica després, divideix l'increment per l'interval i el compara amb la fórmula.

Al Feynman: §8-2 Speed ↗

Al pas 2 la velocitat de la caiguda va sortir de desenvolupar un quadrat i veure desaparèixer el terme en \(\Delta t\). Amb \(s = t^2\) el càlcul és el mateix: \((t+\Delta t)^2 - t^2 = 2t\,\Delta t + \Delta t^2\), la raó \(\Delta s/\Delta t\) dona \(2t + \Delta t\), i en el límit queda \(2t\). Amb \(s = t^3\) el cub desenvolupat aporta \(3t^2\,\Delta t + 3t\,\Delta t^2 + \Delta t^3\); després de dividir per \(\Delta t\) els dos últims termes encara porten \(\Delta t\), desapareixen en el límit i deixen \(3t^2\).

El patró es repeteix per a qualsevol potència entera. En \((t+\Delta t)^n\) el binomi de Newton dona \(t^n\), després \(n\,t^{n-1}\Delta t\), i tots els termes següents tenen \(\Delta t\) al quadrat o més, de manera que només el segon sobreviu a la divisió i al límit. Es pot demostrar que la mateixa regla val per a exponents fraccionaris i negatius, i d'aquí surten les files \(\sqrt t = t^{1/2}\) i \(1/t = t^{-1}\) de la taula del banc.

La derivada de \(s\) respecte de \(t\) s'escriu \(ds/dt\), i la d recorda que és el límit de \(\Delta s/\Delta t\). La notació demana una precaució. \(\Delta s\) és un sol nombre, la diferència \(s(t+\Delta t) - s(t)\), i la Δ no multiplica res; ratllar les Δ de \(\Delta s/\Delta t\) per quedar-se amb \(s/t\) donaria, en la caiguda a \(t = 1\) s, 4,9 m/s, la meitat dels 9,8 m/s correctes.

Amb dues regles n'hi ha prou per combinar les files de la taula. La derivada d'una suma és la suma de les derivades, perquè la \(\Delta s\) d'una suma és la suma de les \(\Delta s\) dels sumands, i un factor constant surt fora de la derivada, perquè multiplica cada \(\Delta s\); una constant sola no canvia i té derivada zero. Amb aquestes regles, la posició de la caiguda, \(\tfrac12 g\,t^2\), té derivada \(\tfrac12 g \cdot 2t = g t\), el resultat del pas 2 sense refer el límit, i \(4t^2 - 3\sqrt t\) té derivada \(8t - \tfrac{3}{2\sqrt t}\).

El banc comprova la taula amb nombres. Per a la funció triada, calcula \(\Delta s/\Delta t\) en un interval d'amplada \(\Delta t\) centrat en el punt, de \(t - \tfrac12\Delta t\) a \(t + \tfrac12\Delta t\), que s'acosta a la derivada més de pressa que l'interval del pas 2, i posa els punts sobre el gràfic de la derivada donada per la taula. Amb \(\Delta t = 1\) els punts de \(t^3\) queden 0,25 per sobre de la corba; amb \(10^{-4}\), les sis funcions coincideixen amb la taula en sis decimals. El sinus i l'exponencial no són potències de \(t\), i de moment el banc és l'única justificació que la lliçó ofereix per a les seves files: la derivada del sinus és el cosinus, i la de l'exponencial és ella mateixa.

Al Feynman: §8-3 Speed as a derivative ↗

El gràfic d'aquest banc és el del velocímetre de la pilota que cau, una recta que surt de zero i arriba a 39,2 m/s als 4 s, i ara la pregunta va en sentit contrari al dels passos anteriors: sabent només el que marcava el velocímetre, quant ha caigut la pilota? Amb una lectura al començament de cada segon, 0, 9,8, 19,6 i 29,4 m/s, es pot suposar que la pilota manté cada lectura fins a la següent. En cada segon recorre aleshores \(v\,\Delta t\), i els quatre trossos sumen 58,8 m, molt menys que els 78,4 m que el pas 1 donava per a la caiguda sencera.

Al gràfic, cada terme \(v\,\Delta t\) és l'àrea d'un rectangle de base \(\Delta t\) i altura igual a la lectura, i la suma és l'àrea d'una escala. Aquesta escala queda per sota de la recta perquè la pilota va més de pressa al final de cada segon que al començament. Si es llegeix el velocímetre al final de cada interval, l'escala passa per sobre de la recta i la suma arriba a 98 m. Mentre la velocitat només creix, la distància veritable queda entre les dues sumes, i la separació entre elles, de 39,2 m amb 4 rectangles, es redueix a la meitat cada vegada que el nombre de rectangles es duplica.

Amb 200 rectangles de 0,02 s les dues sumes donen 78,01 i 78,79 m, i en el límit en què \(\Delta t\) tendeix a zero totes dues tendeixen a l'àrea sota la recta. Aquest límit de sumes s'anomena integral i s'escriu \(\int_0^t v\,dt\), amb \(dt\) en lloc de la \(\Delta t\) que s'ha escurçat.

En la caiguda, l'àrea no necessita el límit. Fins a l'instant \(t\) la regió sota la recta és un triangle de base \(t\) i altura \(g t\), l'àrea del qual, la meitat de la base per l'altura, és \(\tfrac12 g t^2\), la fórmula del pas 1; amb 4 s dona 78,4 m. En el mode mig, que llegeix el velocímetre al mig de cada interval, el banc encerta aquest valor amb qualsevol nombre de rectangles, perquè en una recta el tros que cada rectangle perd a un costat del punt mitjà és igual al que guanya a l'altre. En el cotxe, l'àrea sota el gràfic és un trapezi de 2.500 m, la distància del pas 1, i les sumes s'hi acosten a mesura que els rectangles s'estrenyen, no sempre pel mateix costat.

L'àrea també mostra com la integral es lliga a la derivada. Quan l'instant final avança \(\Delta t\), l'àrea guanya una franja estreta d'altura \(v\) i amplada \(\Delta t\), i l'increment dividit per \(\Delta t\) tendeix a \(v\): la derivada de la distància acumulada és la velocitat de la qual s'havia partit. Integrar desfà derivar, i els càlculs en els dos sentits es comproven l'un amb l'altre, ja que la derivada de \(\tfrac12 g t^2\) és \(g t\), com al pas 4.

Al Feynman: §8-4 Distance as an integral ↗

A l'escenari Cotxe el banc apila tres gràfics del mateix viatge: la posició, la velocitat i, a sota, la rapidesa amb què canvia la velocitat, que s'anomena acceleració. Durant els primers 20 s el velocímetre puja 1 m/s cada segon, una acceleració d'1 m/s², un metre per segon cada segon. En el tram a 72 km/h és zero, i en la frenada la velocitat perd 20 m/s en 30 s, cosa que dona −2/3 m/s², o −0,667 m/s², amb el signe que indica que la velocitat disminueix.

La velocitat és la derivada de la posició, i l'acceleració és la derivada de la velocitat, per tant la derivada de la derivada de la posició, la derivada segona, que s'escriu \(d^2s/dt^2\). El banc la calcula només amb posicions, en tres instants pròxims: l'avanç entre \(t\) i \(t + \Delta t\) menys l'avanç entre \(t - \Delta t\) i \(t\), dividit per \(\Delta t^2\). En la caiguda, la derivada de \(g t\) és la constant \(g\), i per això els 9,8 m/s² s'anomenen acceleració de la gravetat. Als instants 20, 120 i 150 s, l'acceleració del cotxe salta d'un valor a un altre, perquè el viatge del banc canvia de règim de cop; en un cotxe de debò el canvi duraria com a mínim una fracció de segon.

A l'escenari Llançament, una pilota surt de terra amb 5 m/s en horitzontal i 10 m/s cap amunt, i la posició passa a demanar dos nombres, la distància \(x\) al llarg del terra i l'altura \(y\). Cadascun és una funció del temps, amb la seva pròpia velocitat i la seva pròpia acceleració, i tots dos es tracten per separat, com si fossin dos moviments en una recta. Sense l'aire, res no empeny ni frena la pilota en horitzontal i \(v_x\) es manté en 5 m/s; en vertical, \(v_y\) perd 9,8 m/s cada segon i s'anul·la al punt més alt, al cap d'1,02 s i a 5,10 m d'altura, i la pilota torna a terra al cap de 2,04 s, 10,2 m més enllà.

Si s'aïlla \(t = x/v_x\) de la primera equació i se substitueix a la segona, \(y\) queda escrita en funció de \(x\), un terme en \(x\) menys un terme en \(x^2\), i el gràfic és una paràbola. El rastre, un punt cada 0,1 s, mostra el mateix: els punts queden igual d'espaiats en horitzontal i s'apinyen prop del punt més alt. Les fletxes mostren la velocitat, sempre tangent al rastre, que gira de 63° per sobre de l'horitzontal a 63° per sota, mentre l'acceleració apunta cap avall de cap a cap. Feynman tanca el capítol amb una pilota llançada horitzontalment, i aquí aquest cas és la meitat del vol que ve després del punt més alt. La lliçó de secundària sobre llançaments tracta l'angle i l'abast.

Al Feynman: §8-5 Acceleration ↗