As Leis de Newton da Dinâmica

Na bancada há dois carrinhos parados num trilho sem atrito, o A com 1 kg e o B com 4 kg. O botão Empurrar aplica a cada um a mesma força, 2 N, durante os mesmos 2 s, e depois os deixa correr sozinhos. Enquanto a força age, a velocidade do A cresce quatro vezes mais depressa que a do B; quando ela acaba, o A segue a 4 m/s e o B a 1 m/s.

Do fim do empurrão em diante, as duas retas do gráfico ficam horizontais. Sem força, nenhum carrinho ganha ou perde velocidade, e o B seguiria a 1 m/s por quanto trilho houvesse. Os carrinhos parados, antes do botão, são o mesmo caso com velocidade zero. Essa é a inércia, que Galileu já tinha percebido.

A segunda lei fala do momento, o produto da massa pela velocidade, e diz que a força é a taxa com que ele varia no tempo. Com massa constante, a derivada só alcança a velocidade e a lei vira \(F = ma\): os mesmos 2 N dão ao carrinho de 1 kg uma aceleração de 2 m/s² e ao de 4 kg uma de 0,5 m/s². É nesse sentido que a massa mede a inércia, a resistência de um corpo a ter a velocidade mudada, e a bancada mostra isso nas inclinações das duas retas durante o empurrão.

força, enquanto age   velocidade

Os momentos finais guardam a parte mais curiosa. O A termina com 1 kg vezes 4 m/s, o B com 4 kg vezes 1 m/s, e os dois têm os mesmos 4 kg·m/s. Somando a segunda lei ao longo do empurrão, a variação do momento é a força vezes o tempo em que ela agiu, o impulso \(F\,T\), e a massa não entra na conta. Qualquer par de massas nos controles termina com momentos iguais; o que a massa decide é como esse momento se reparte entre muita massa e pouca velocidade ou o contrário. A aula de ensino médio sobre impulso usa a mesma relação para explicar por que um choque mais longo machuca menos.

A lei deixa uma coisa em aberto, e convém dizer qual. Ela não diz o que é uma força nem de onde vem; diz quanto o momento muda por segundo enquanto ela age. Para prever um movimento falta uma segunda informação, a lei da força de cada caso, e o passo 3 usa a da mola para calcular um movimento inteiro. A aula de ensino médio sobre a segunda lei trabalha \(F = ma\) com forças dadas; aqui interessa a forma com o momento, que é a que o próprio Newton escreveu, falando em quantidade de movimento.

No Feynman: §9-1 Momentum and force ↗

A bancada põe um ponto a girar num círculo de 2 m de raio, com uma volta a cada 6,28 s e 2 m/s o tempo todo. Um velocímetro preso a ele ficaria parado nos 2 m/s, e mesmo assim a seta azul da velocidade nunca é a mesma em dois instantes, porque gira junto com o ponto. Por isso a física separa rapidez de velocidade. A rapidez é o tamanho da velocidade, o número que o velocímetro mostra; a velocidade é esse número acompanhado de uma direção, e mudar só a direção já é mudar a velocidade.

Para ver de quanto ela muda, a bancada marca o ponto em dois instantes separados por \(\Delta t\) e desenha, ao lado, as duas velocidades saindo de uma mesma origem. A seta vermelha que vai da ponta da primeira à ponta da segunda é \(\Delta\vec v\), o que foi preciso somar à primeira para chegar à segunda. Com \(\Delta t = 0{,}1\) s as duas setas quase coincidem e \(\Delta\vec v\) mede só 0,2 m/s, mas dividida pelos 0,1 s ela dá 1,999 m/s², uma aceleração que não desaparece quando o intervalo encolhe.

Copiada para o círculo, no ponto da volta que fica no meio dos dois instantes, a mesma seta aponta exatamente para o centro, para qualquer \(\Delta t\). É ela que curva a trajetória sem mexer na rapidez, e a razão \(|\Delta\vec v|/\Delta t\) tende a \(v^2/R\), 2 m/s² nos valores iniciais, a aceleração centrípeta da aula de ensino médio sobre movimento circular. O carro do título, portanto, acelera, e a força que o faz virar vem do chão, pelo atrito dos pneus.

As barras à direita do quadro guardam a mesma seta azul em dois números. Escolhidos dois eixos, \(v_x\) diz quantos metros por segundo o ponto anda na direção x e \(v_y\) na direção y, e as barras da bancada mostram as duas trocando de valor ao longo da volta, enquanto \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) fica nos 2 m/s. A aceleração e a força se decompõem do mesmo jeito, e a segunda lei vale em cada eixo separadamente. Uma força sem componente horizontal não muda a velocidade horizontal, e é por isso que a bola do cenário Lançamento, no passo 6 da aula do capítulo 8, mantém os 5 m/s na horizontal do começo ao fim do voo.

No Feynman: §9-2 Speed and velocity ↗ · §9-3 Components of velocity, acceleration, and force ↗

A bancada prende uma massa de 1 kg a uma mola de 2 N/m, puxa a massa 0,6 m para a direita e a solta. Ninguém precisa saber de antemão que movimento vem daí. Basta a tabela embaixo do gráfico, preenchida linha a linha com contas de somar e multiplicar, e cada clique em Mais um passo acrescenta uma linha à tabela e um ponto ao gráfico.

A segunda lei, sozinha, não faria esse trabalho. Ela liga a força à variação da velocidade, mas alguém precisa dizer quanto vale a força em cada posição, e para a mola a resposta é a lei de Hooke: esticada \(x\) metros, ela puxa de volta com \(kx\) newtons. Com as duas juntas, a aceleração vale \(-(k/m)\,x\) em cada instante, e essa regra diz como a velocidade vai mudar logo adiante a partir de onde a massa está agora.

A tabela usa a regra com um passo \(\varepsilon\) de 0,05 s. Em t = 0 a massa está em 0,6 m e a aceleração vale −2 × 0,6 = −1,2 m/s². A velocidade da primeira linha não é a do instante zero, que é nula, mas a do meio do primeiro intervalo, em 0,025 s, e meio passo de aceleração a leva a −0,03 m/s. Com ela a posição em 0,05 s fica 0,6 − 0,05 × 0,03 = 0,5985 m, a aceleração ali passa a −1,197 m/s², e a velocidade em 0,075 s sai −0,03 − 0,05 × 1,197 = −0,0899 m/s. Cada linha nova repete essas três contas.

força da mola sobre a massa   velocidade

As colunas da tabela andam desencontradas: x e a valem nos instantes 0; 0,05; 0,10 s, e v vale entre eles, em 0,025; 0,075; 0,125 s. Cada velocidade leva a posição de uma linha à seguinte, e cada aceleração corrige a velocidade de um meio intervalo para o próximo. O desencontro é de propósito. A velocidade do começo do intervalo já está desatualizada no fim dele, e andar com ela erra sempre para o mesmo lado, um erro que se acumula volta após volta, como o método de Euler do passo 4 deixa ver; a do meio fica perto da média do intervalo, e os desvios para um lado e para o outro quase se cancelam. O Feynman monta a conta desse jeito no capítulo, com outros números iniciais e outra tabela.

Calcular uma volta preenche a tabela por um período inteiro. Os pontos caem sobre a curva tracejada, \(x_0\cos\omega t\) com \(\omega = \sqrt{k/m}\), a solução exata que o cálculo diferencial fornece e que a tabela nunca usou. O período sai das passagens por x = 0, interpoladas entre os dois pontos vizinhos: a massa cruza o zero indo para a esquerda em 1,11 s e voltando em 3,33 s, o que dá uma volta de 4,44 s, igual a \(2\pi\sqrt{m/k}\) nas duas casas da tela. A amplitude não entra nessa fórmula, e a bancada pode confirmar que puxar a mola mais ou menos não muda o período.

No Feynman: §9-4 What is the force? ↗ · §9-5 Meaning of the dynamical equations ↗ · §9-6 Numerical solution of the equations ↗

A bancada deixa o Sol parado na origem e lança um planeta de x = 1, a uma unidade de distância, com velocidade 1,2 apontada na direção y. As unidades são escolhidas para que GM valha 1, a mesma simplificação que o Feynman faz no capítulo. Deixar o Sol imóvel é uma aproximação, boa enquanto a massa dele for muito maior que a do planeta. Cada passo de ε = 0,01 acrescenta um ponto à curva, calculado com a receita do passo 3, agora com duas posições e duas velocidades em vez de uma de cada.

A única coisa nova é a lei da força. A gravitação dá ao planeta uma aceleração de tamanho GM/r², apontada para o Sol, e a direção para o Sol é a do vetor (−x, −y) dividido pelo seu comprimento r. O produto das duas coisas tem componentes −GMx/r³ e −GMy/r³, as da caixa ao lado. Em cada passo da conta, portanto, sai r de x e y, saem dele as duas acelerações, e as duas velocidades e as duas posições avançam como avançava a única da mola.

O que os pontos desenham é uma elipse com o Sol num dos focos, e a palavra elipse não aparece em lugar nenhum da conta. O planeta se afasta até 2,57 do Sol e chega lá a 0,47, menos de 40 % da velocidade de partida. Depois de uns 1.500 passos volta a x = 1, em cima da curva tracejada, que é a elipse de Kepler com a mesma energia. O período medido nessa volta é 14,994. A energia por unidade de massa, \(\tfrac12 v^2 - GM/r\), vale −0,28 na partida e dá um semieixo de 1,786. Com ele, a terceira lei de Kepler, a mesma que o passo 2 da aula do capítulo 7 usa para chegar ao 1/r², prevê 14,993, e com ε = 0,001 os dois números coincidem nas três casas.

Os setores sombreados da primeira volta juntam o mesmo número de passos cada um, 125, ou seja, o mesmo tempo. Perto do Sol eles saem curtos e largos, do outro lado compridos e estreitos, e todos varrem a mesma área, 0,750. É a lei das áreas, que a conta nunca recebeu como regra. Ela decorre só de a força apontar para o Sol, como mostra o passo 4 da aula do capítulo 7, que já calculava uma órbita em passos curtos. O método do meio passo a cumpre à risca para qualquer ε, porque cada correção da velocidade aponta para o Sol e deixa intacta a área do triângulo seguinte.

O passo grande cobra o preço onde o planeta corre mais. Com v = 0,6 ele parte do afélio e mergulha até 0,22 do Sol, onde gira muito mais depressa. Com ε = 0,05 a volta medida já sai 4,7 % mais longa que a de Kepler, a órbita calculada gira alguns graus por volta em relação à tracejada, e com ε = 0,2 ela se desfaz. A órbita de v = 1,2, que nunca chega a menos de 1 do Sol, aguenta o mesmo ε = 0,2 errando o período em 1,8 %.

As tabelas de posição dos planetas usadas hoje por observatórios e missões espaciais saem de integrações numéricas passo a passo, com métodos mais refinados que o desta bancada. A receita de fundo é a mesma, e nada nela exige um Sol parado e um planeta só. Com vários corpos, a aceleração de cada um passa a ser a soma das atrações de todos os outros, cada uma com o seu termo do tipo −GMx/r³, e o próprio Sol entra na conta como mais um corpo que se move. Com passos pequenos o bastante, a conta acompanha os desvios que um planeta provoca no outro, as perturbações.

No Feynman: §9-7 Planetary motions ↗