Vetores

A bancada lança uma bola a 10 m/s, 45° acima do chão, e dois laboratórios medem o mesmo voo. O A pôs a origem dos seus eixos no ponto de lançamento. O B pôs a dele 8 m adiante e 2 m acima, num lugar que se pode mudar arrastando o círculo magenta. Meio segundo depois do lançamento, o A anota a bola em (3,54; 2,31) m e o B em (−4,46; 0,31) m, e os dois estão certos sem concordar em número nenhum.

O que eles têm em comum aparece nas diferenças. Entre duas linhas seguidas das tabelas, separadas por 0,25 s, a bola avança 1,77 m na horizontal para o A e 1,77 m para o B, e o mesmo acontece na vertical, porque a origem de B entra nas duas posições e desaparece na subtração. Divididas pelo intervalo, essas diferenças dão a velocidade média em cada trecho, que por isso é a mesma nos dois laboratórios. O Δy encolhe cerca de 0,61 m de uma linha para a seguinte, nas duas tabelas, e essa é a marca da gravidade, uma aceleração que os dois também medem igual.

Com a mesma aceleração, a mesma massa e as mesmas forças, a lei \(F = ma\) que vale para o A vale para o B na mesma forma, só com outras letras nas coordenadas. Nenhum experimento de mecânica pode, assim, apontar a origem verdadeira do espaço, porque não há uma; a aula de ensino médio sobre referenciais usa essa liberdade sempre que escolhe o zero onde as contas ficam mais simples.

laboratório A   laboratório B   trajetória   velocidade

Os físicos chamam isso de simetria, num sentido que Feynman toma de Hermann Weyl. Chama-se simétrico aquilo que sai de uma operação sem que se possa dizer que ela foi feita. A operação desta bancada é levar a origem para outro ponto, uma translação, e o que fica sem diferença são as leis do movimento. Diz-se então que as leis da mecânica são invariantes por translação.

A simetria é das leis, e não das coisas. Um prédio no alto de um morro não é o mesmo que um prédio à beira-mar, e uma bola lançada da beira de um penhasco cai mais que a da bancada, porque o chão não está onde estava. Para que a experiência se repita igual em outro lugar, é preciso levar junto tudo o que age sobre ela, e no lançamento da bancada isso inclui o chão e a Terra que a puxa.

No Feynman: §11-1 Symmetry in physics ↗ · §11-2 Translations ↗

Agora a origem fica onde está e quem se mexe são os eixos. A seta vermelha da bancada é uma força de 5 N, com componentes de 4 N e 3 N nos eixos verdes, os originais. Nos eixos magenta, girados de 30°, a mesma força tem componentes de 4,96 N e 0,60 N. As linhas tracejadas mostram de onde saem esses números: cada componente é a projeção da seta sobre um eixo, e girando o eixo a projeção muda.

A conta que leva de um par de números ao outro usa só um cosseno e um seno do ângulo, e é a mesma para as coordenadas de um ponto e para as componentes de uma força, de uma velocidade ou de qualquer outra seta. O comprimento é o que não muda. Os quadrados de 4 e 3 somam 25, os de 4,96 e 0,60 também, e o quadro Comprimento fica parado enquanto se gira o ângulo, porque girar os eixos não estica nem encolhe nada. Arrastar a ponta da força muda o comprimento, mas o novo valor é o mesmo nos dois sistemas.

eixos originais   eixos girados   força ou gravidade   trajetória

O cenário Lançamento põe o mesmo giro num problema de mecânica. Uma bola sai a 10 m/s, e a gravidade, que nos eixos verdes aponta toda para baixo, nos magenta girados de 30° tem duas componentes, −4,90 m/s² ao longo de x′ e −8,49 m/s² ao longo de y′. Quem só usasse os eixos girados veria uma bola acelerada nas duas direções. Aplicando a mesma lei do lançamento a cada componente, acharia a cada instante a posição que se obtém girando a do sistema verde, como a mensagem da bancada confere. A aula de ensino médio sobre o lançamento oblíquo põe o eixo y na vertical para economizar contas, e a bancada mostra que qualquer outra escolha descreve a mesma trajetória.

Daí não se segue que qualquer aparelho funcione igual em qualquer inclinação. Um relógio de pêndulo montado torto marca o tempo de outro jeito, ou para, e a mecânica não tem culpa disso: quem puxa o pêndulo é a Terra, e a Terra não foi girada junto com o relógio. A invariância por rotação promete o mesmo resultado quando se gira tudo o que produz as forças. Girar o laboratório inteiro, Terra incluída, equivale ao que a bancada faz, olhar o mesmo experimento por eixos girados ao contrário. O exemplo do relógio é do Feynman.

No Feynman: §11-3 Rotations ↗

A bancada começa com duas setas que saem da mesma origem, \(\vec a\) com componentes 3 e 4 e \(\vec b\) com −1 e 2, e cada uma pode ser arrastada pela ponta. Somá-las é somar as componentes uma a uma, 3 − 1 = 2 em x e 4 + 2 = 6 em y, e a seta vermelha que termina em (2; 6) é \(\vec a + \vec b\). O mesmo ponto aparece sem conta nenhuma quando se encaixa a cauda de \(\vec b\) na ponta de \(\vec a\), porque andar 3 e 4 e depois −1 e 2 leva aonde se chega andando 2 e 6 de uma vez. Começando por \(\vec b\) se chega lá de novo, e os dois caminhos fecham o paralelogramo tracejado da bancada.

O botão Girar eixos troca os eixos verdes pelos magenta, inclinados de 30° como no passo 2. Nos eixos novos \(\vec a\) tem componentes 4,60 e 1,96, \(\vec b\) tem 0,13 e 2,23, e as somas, cerca de 4,73 e 4,20, são o que as fórmulas do passo 2 dão para o ponto (2; 6); a pequena diferença na segunda casa vem só de somar parcelas já arredondadas. Somar nos eixos verdes ou nos magenta produz a mesma seta vermelha, descrita por outros números, e o comprimento de 6,32 não se altera.

Os eixos girados dão a chave do que é um vetor. No espaço ele tem três componentes, e no plano da bancada, duas; o que faz dele um vetor é o modo como elas respondem ao giro dos eixos, pela mesma regra de cossenos e senos que vale para as coordenadas de um ponto. A posição e a força passam nesse teste. A soma também passa, porque a regra só multiplica componentes por números fixos e soma os produtos, de modo que girar e depois somar dá o mesmo que somar e depois girar.

\(\vec a\)   \(\vec b\)   resultado   eixos originais   eixos girados

A Diferença usa a mesma soma. Multiplicar \(\vec b\) por −1 vira a seta ao contrário, e somar esse oposto a \(\vec a\) dá \(\vec a - \vec b\), que na bancada vale (4; 2), com 4,47 de comprimento. A Escala multiplica \(\vec a\) por um número \(k\). Com \(k = 1{,}5\) a seta cresce para (4,5; 6) e 7,5 de comprimento sem sair da sua reta, e com \(k\) negativo passa a apontar para o lado oposto. Multiplicar por um número também não depende dos eixos, e por isso \(k\vec a\) e \(\vec a - \vec b\) são vetores como os outros. A aula de ensino médio sobre a soma de velocidades usa essas regras para atravessar um rio.

A vantagem aparece quando se escreve uma lei. A segunda lei de Newton na forma \(\vec F = m\vec a\) guarda numa linha só as igualdades \(F_x = m a_x\) e \(F_y = m a_y\), e as guarda em quaisquer eixos, porque os dois lados mudam pela mesma regra quando os eixos giram. Se ela vale nos eixos verdes, vale nos magenta, e não é preciso refazer a conta do passo 2 para cada lei nova. Uma equação escrita só com vetores e com as operações desta bancada já traz consigo a invariância por rotação.

No Feynman: §11-4 Vectors ↗ · §11-5 Vector algebra ↗

A bancada põe um carro numa pista circular de 5 m de raio, saindo a 2 m/s e ganhando 0,5 m/s a cada segundo. Do centro da pista ao carro vai a seta da posição. Ela muda a cada instante, e a taxa dessa mudança, a derivada da seta no tempo, é a velocidade, a seta azul, sempre tangente à pista. A derivada se toma componente por componente, e como o giro dos eixos só combina componentes com cossenos e senos fixos, derivar e depois girar dá o mesmo que girar e depois derivar, como acontecia com a soma no passo 3; a velocidade é, portanto, um vetor. A aceleração é a derivada da velocidade, e é um vetor pelo mesmo motivo.

No passo 2 da aula do capítulo 9 o ponto girava com rapidez constante, e a aceleração apontava sempre para o centro. Aqui o velocímetro sobe, e a seta vermelha deixa de apontar para o centro: com o controle Tempo em 4 s e o carro a 4 m/s, ela está inclinada cerca de 9° para a frente. As setas laranja e magenta a decompõem em duas partes em ângulo reto, uma ao longo da velocidade e outra na direção do centro da pista.

velocidade   aceleração e \(\Delta\vec v\)   parte tangencial   parte normal

O quadro das velocidades mostra de onde vêm as duas partes. Ele copia para uma mesma origem a velocidade de meio segundo antes e a atual, e \(\Delta\vec v\) é a seta vermelha que liga as pontas. O arco tracejado marca até onde a seta nova chegaria sem mudar de tamanho, e \(\Delta\vec v\) é a soma de dois pedaços: a corda magenta entre as pontas no arco, que só gira a seta, e o trecho laranja ao longo da velocidade nova, que só a alonga. Em t = 4 s, \(|\Delta\vec v|\) vale 1,51 m/s, mas a rapidez cresceu só 0,25 m/s nesse meio segundo, e quase todo o \(\Delta\vec v\) é giro. Com meio segundo de intervalo a corda ainda não é perpendicular à velocidade nova: em t = 4 s a seta girou 22°, e a corda faz com ela 90° menos a metade disso, 79°. Ela só fica perpendicular no limite de intervalos cada vez menores.

Divididos pelo intervalo, e com o intervalo encolhendo, os dois pedaços viram as duas componentes da aceleração. A tangencial é a taxa com que a rapidez muda, 0,5 m/s² em qualquer instante desta corrida. A normal é a do capítulo 9, \(v^2/R\), que com 4 m/s e 5 m de raio dá 3,2 m/s² e cresce com o quadrado da rapidez. Para fazer isso com o carro, o chão precisa empurrar os pneus com a força \(m\vec a\), inclinada como a seta vermelha, e a igualdade \(\vec F = m\vec a\) vale componente a componente em qualquer par de direções perpendiculares, as dos eixos x e y ou estas duas, que acompanham o carro. A aula de ensino médio sobre o movimento circular variado chega às mesmas duas partes pela velocidade angular.

No Feynman: §11-6 Newton’s laws in vector notation ↗

A bancada começa com duas setas na mesma origem, \(\vec a\) com componentes 4 e 2 e \(\vec b\) com 1 e 3. Multiplicando as componentes de mesmo nome e somando os produtos, 4 × 1 + 2 × 3, sai o número 10. Nos eixos magenta, girados 30° no sentido horário, as componentes passam a 2,46 e 3,73 para \(\vec a\) e a −0,63 e 3,10 para \(\vec b\); os produtos agora valem −1,56 e 11,56, e a soma dá 10 de novo. O controle Giro dos eixos pode ir de −90° a 90° sem que esse número saia do lugar, enquanto os quatro números que o produzem mudam o tempo todo.

Esse número é o produto escalar, escrito \(\vec a\cdot\vec b\). Escalar, aqui, é um número que não aponta para lado nenhum e que vale o mesmo para quem usa os eixos verdes e para quem usa os magenta, ao contrário das componentes, que cada sistema tem as suas. O passo 2 já tinha um número assim, o comprimento. A soma dos quadrados das componentes é o produto escalar de uma seta com ela mesma, \(\vec a\cdot\vec a = |\vec a|^2\), e o quadro Comprimento daquela bancada ficava parado pelo mesmo motivo que o quadro do produto fica parado nesta.

O motivo aparece quando se escreve cada seta pelo seu comprimento e pelo ângulo que ela faz com o eixo x. Se \(\vec a\) faz um ângulo \(\alpha\) e \(\vec b\) um ângulo \(\beta\), a soma dos produtos vira \(|\vec a|\,|\vec b|\,(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\), que é \(|\vec a|\,|\vec b|\cos(\beta - \alpha)\). Girar os eixos tira o mesmo ângulo de \(\alpha\) e de \(\beta\) e deixa intacta a diferença, que é o ângulo \(\theta\) entre as setas. Na bancada, \(\vec a\) faz 26,6° com o x verde e \(\vec b\) faz 71,6°; medidos a partir do x′ magenta, os ângulos passam a 56,6° e 101,6°, e a diferença continua 45°. O produto dos comprimentos, 4,47 × 3,16, dá 14,14, e vezes cos 45° dá os mesmos 10.

\(\vec a\) ou \(\vec d\)   \(\vec b\) ou \(\vec F\)   sombra sobre \(\vec a\) ou \(\vec d\)   eixos originais   eixos girados

A forma com o cosseno diz o que o número mede. \(|\vec b|\cos\theta\) é o tamanho da sombra de \(\vec b\) sobre a reta de \(\vec a\), a faixa laranja da bancada, e o produto escalar é o comprimento de \(\vec a\) vezes essa sombra, 4,47 × 2,24. A sombra encolhe à medida que o ângulo se abre, some com as setas em ângulo reto e, passados os 90°, cai do outro lado da origem, e o produto fica negativo.

O cenário Trabalho leva a sombra para a mecânica. Uma força de 10 N, inclinada 60° acima do chão, acompanha um bloco que anda 3 m na horizontal. Só a sombra da força sobre o deslocamento, 5 N, empurra o bloco para a frente, e a outra parte puxa para cima, numa direção em que o bloco não anda. O trabalho da força é \(\vec F\cdot\vec d\), 5 N × 3 m = 15 J, e a forma com o cosseno, 10 × 3 × cos 60°, dá o mesmo. O peso do bloco é perpendicular ao chão e não trabalha. Na rampa do passo 3 da aula do capítulo 4, a conta de peso vezes altura era esse produto, com o sinal trocado: do caminho ao longo da rampa, o peso só enxerga a parte vertical, e o trabalho dele é negativo quando o bloco sobe.

A energia cinética entra na mesma família. O \(v^2\) de \(\tfrac12 m v^2\) é \(\vec v\cdot\vec v\), e um corpo de 2 kg com velocidade de componentes 3 e 4 m/s tem \(\vec v\cdot\vec v = 25\) m²/s² e 25 J de energia em quaisquer eixos. Daí também se entende o passo 4. A parte normal da aceleração é perpendicular à velocidade, tem produto escalar nulo com ela e por isso não muda a rapidez; o passo 6 da aula do capítulo 4 mostra que \(K\) varia no ritmo de \(\vec F\cdot\vec v\). Os dois usos, trabalho e energia cinética, também aparecem no Feynman.

No Feynman: §11-7 Scalar product of vectors ↗