Matemática · Ensino Médio · Exponencial e Logaritmo

Exponencial e Logaritmo

Uma colônia de bactérias, o saldo de uma aplicação e a atividade de uma amostra radioativa mudam por multiplicação, e em intervalos iguais de tempo ficam multiplicados sempre pelo mesmo número. A função exponencial descreve esse jeito de mudar. O logaritmo, que desfaz a exponencial, responde à pergunta inversa, quanto tempo leva para chegar a um valor, e permite pôr numa régua só grandezas que vão de um sussurro a uma sirene, como fazem o pH, os decibéis e a magnitude dos terremotos.

1Crescer multiplicando
2A função exponencial
3Meia-vida
4Logaritmo
5Propriedades
6Tempo de dobra
7pH, decibéis e magnitude
8Eixo logarítmico
✓Desafios

PASSO 1

O que muda quando uma grandeza cresce multiplicando?

Uma grandeza pode crescer de duas maneiras bem diferentes. Na primeira, ela ganha a mesma quantidade a cada passo, como um cofrinho que recebe R$ 10 por semana, e a lista dos valores é uma progressão aritmética. Na segunda, ela fica multiplicada pelo mesmo número a cada passo, como uma colônia de bactérias que dobra a cada hora, e a lista é uma progressão geométrica.

Na progressão aritmética, a diferença entre dois termos vizinhos é sempre a mesma, a razão $k$. Na geométrica, o que fica constante é o quociente entre vizinhos, a razão $b$, e as diferenças crescem junto com a própria grandeza. Quanto maior ela fica, mais ela ganha no passo seguinte.

Por isso a multiplicação acaba passando a soma, mesmo quando começa atrás. Uma soma de 40 por passo pode ficar muito tempo à frente de uma multiplicação por 1,1, e ainda assim a multiplicação a alcança e a deixa para trás. A bancada mostra em que passo isso acontece, e o passo 6 mostra como calcular esse passo sem tentativa.

$a_n = a_0 + k\,n$$g_n = a_0 \cdot b^{\,n}$$a_n$ soma $k$ a cada passo e $g_n$ multiplica por $b$ a cada passo, as duas começando em $a_0$. Vale $a_{n+1} - a_n = k$ e $g_{n+1} / g_n = b$.

Para conversar

Com $b = 1{,}5$ e $k = 10$, arraste o cursor de $n = 0$ até $n = 12$ e acompanhe as duas diferenças entre vizinhos. Qual delas fica parada, e qual cresce?
Leve $k$ até 40 e $b$ até 1,1. A soma fica à frente por muito tempo. A leitura diz em que passo a multiplicação passa. Isso cabe na tela?
Ponha $b = 2$ e encontre o primeiro $n$ em que a multiplicação já vale mais que mil vezes o ponto de partida. Quantos passos foram?
Com o cursor em $n = 12$, mude $b$ de 1,5 para 1,6. Quanto mudou o valor da multiplicação, e por que a mudança é tão grande para um ajuste tão pequeno?

b, multiplica por

k, soma

Somando

Multiplicando

Diferença entre vizinhos

Razão entre vizinhos

A multiplicação passa a soma

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
As duas sequências começam em 4. Uma soma 3 a cada passo e a outra multiplica por 3. Quanto vale cada uma no passo $n = 4$?

Ver resolução
Na soma, $a_4 = 4 + 3 \cdot 4 = 16$.
Na multiplicação, $g_4 = 4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$.
16 e 324.
básico
A sequência 5, 10, 20, 40, … soma ou multiplica? Quanto vale o termo $n = 10$, contando o 5 como $n = 0$?

Ver resolução
As diferenças são 5, 10 e 20, e mudam. Os quocientes são todos 2.
É uma progressão geométrica de razão 2, e $g_{10} = 5 \cdot 2^{10} = 5 \cdot 1024$.
Multiplica por 2, e $g_{10} = 5120$.
básico
Uma cultura começa com 300 bactérias e, nas condições do laboratório, dobra a cada hora. Quantas bactérias haverá depois de 5 horas?

Ver resolução
Cada hora multiplica por 2, e cinco horas multiplicam por $2^5 = 32$.
$300 \cdot 32 = 9600$.
9600 bactérias.
básico
Um carro de R$ 50.000 perde 10% do valor a cada ano. Quanto ele vale depois de 2 anos? Por que a resposta não é R$ 40.000?

Ver resolução
Perder 10% é ficar com 90%, e cada ano multiplica o valor por 0,9.
$50.000 \cdot 0{,}9^2 = 50.000 \cdot 0{,}81$
$= 40.500$.
No segundo ano os 10% incidem sobre R$ 45.000, e a perda é de R$ 4500, menor que a do primeiro ano.
R$ 40.500. Os R$ 40.000 supõem uma perda fixa de R$ 5000 por ano, que seria uma progressão aritmética.
médio
As sequências 2, 6, 18, … e 2, 6, 10, … começam iguais. Em que passo cada uma passa de 1000 pela primeira vez?

Ver resolução
A primeira multiplica por 3, $g_n = 2 \cdot 3^n$. Com $n = 5$ dá 486, e com $n = 6$ dá 1458.
A segunda soma 4, $a_n = 2 + 4n$, e $2 + 4n > 1000$ pede $n > 249{,}5$.
A geométrica passa de 1000 em $n = 6$, com 1458. A aritmética só em $n = 250$, com 1002.
médio
Um preço sobe 20% num mês e cai 20% no mês seguinte. Ele volta ao valor de antes?

Ver resolução
Subir 20% multiplica por 1,2 e cair 20% multiplica por 0,8.
$1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$.
Não volta. O preço termina em 96% do inicial, 4% abaixo, porque a queda incide sobre um valor maior que o da subida.
médio
Uma folha de papel tem 0,1 mm de espessura. Supondo que ela pudesse ser dobrada ao meio quantas vezes quiséssemos, a cada dobra a espessura dobraria. Depois de quantas dobras a pilha passaria de 1 m?

Ver resolução
Depois de $n$ dobras a espessura é $0{,}1 \cdot 2^n$ mm, e 1 m são 1000 mm. Precisamos de $2^n > 10.000$.
$2^{13} = 8192$ não basta e $2^{14} = 16.384$ basta.
14 dobras, com cerca de 1,64 m. Com 13 a pilha teria 819,2 mm. Na prática uma folha comum não aguenta nem perto disso, e a conta mostra só o que a multiplicação faria.
médio
Uma cidade de 1.000.000 de habitantes cresce 2% ao ano. Quantos habitantes ela tem depois de 3 anos? Quanto ela ganhou no primeiro ano, e quanto no terceiro?

Ver resolução
Cada ano multiplica por 1,02. Depois de 1, 2 e 3 anos, a população é 1.020.000, 1.040.400 e 1.061.208.
No primeiro ano ela ganhou 20.000 habitantes, e no terceiro, $1.061.208 - 1.040.400 = 20.808$.
1.061.208 habitantes. O ganho anual cresce, porque os 2% incidem sobre uma população cada vez maior, enquanto a razão entre anos vizinhos fica em 1,02.
desafio
Na lenda do tabuleiro de xadrez, a primeira casa recebe 1 grão de trigo, a segunda 2, a terceira 4, e assim por diante, dobrando até a casa 64. Quantos grãos vão para a última casa? Use $2^{10} \approx 10^3$ para estimar a ordem de grandeza do total.

Ver resolução
A casa $m$ recebe $2^{m-1}$ grãos, e a 64ª recebe $2^{63}$.
O total é $1 + 2 + \dots + 2^{63}$. Somando 1 a essa soma, os termos se juntam dois a dois, $1 + 1 = 2$, $2 + 2 = 4$, até $2^{63} + 2^{63} = 2^{64}$, e o total é $2^{64} - 1$.
Com $2^{10} \approx 10^3$, $2^{64} = 2^4 \cdot (2^{10})^6 \approx 16 \cdot 10^{18}$.
$2^{63}$ grãos na última casa, e o total, $2^{64} - 1$, é da ordem de $10^{19}$. O valor exato é cerca de $1{,}8 \cdot 10^{19}$, e a estimativa fica um pouco abaixo porque $2^{10} = 1024$ passa de mil.
desafio
Duas sequências começam em $a_0 = 10$, uma somando $k = 10$ e a outra multiplicando por $b$. Mostre que, com $b = 2$, a multiplicação nunca fica atrás da soma. Com $b = 1{,}1$, em que passo ela passa à frente? Use uma calculadora.

Ver resolução
Com $b = 2 = 1 + k/a_0$, queremos $10 \cdot 2^n \ge 10 + 10n$, isto é, $2^n \ge 1 + n$. Pelo binômio, $2^n = (1 + 1)^n = 1 + n + \dots$, com todas as outras parcelas positivas, e a desigualdade vale para todo $n$.
Com $b = 1{,}1$ precisamos de $1{,}1^n > 1 + n$. A calculadora dá $1{,}1^{38} \approx 37{,}4$, menor que 39, e $1{,}1^{39} \approx 41{,}1$, maior que 40.
Com $b = 2$ a multiplicação fica sempre à frente ou empatada. Com $b = 1{,}1$ ela só passa em $n = 39$, bem fora da tela da bancada, que mesmo assim mostra esse passo na leitura.

PASSO 2

Como é o gráfico de $y = a \cdot b^x$?

A função exponencial de base $b$ é $f(x) = a \cdot b^x$, com $b > 0$ e $b \ne 1$. Nos números naturais ela repete a progressão geométrica do passo 1, e o resto do domínio vem das regras das potências. O expoente negativo inverte, $2^{-1} = 1/2$, e o expoente fracionário tira raiz, $2^{1/2} = \sqrt{2}$. Com essas regras, e com um pouco de cuidado para os expoentes irracionais, $b^x$ fica definido para todo $x$ real, e o gráfico vira uma curva sem saltos.

Com $a > 0$, a curva corta o eixo $y$ em $(0, a)$ e fica sempre acima do eixo $x$. Com $b > 1$ ela cresce, devagar à esquerda e cada vez mais depressa à direita. Com $0 < b < 1$ ela decresce, e $(1/2)^x = 2^{-x}$ mostra que essa curva é a de $2^x$ espelhada no eixo $y$. Nos dois casos ela se aproxima do eixo $x$ sem nunca tocá-lo, e a reta $y = 0$ é uma assíntota horizontal.

A propriedade que define a exponencial vale para qualquer $x$, inteiro ou não. Andar uma unidade para a direita multiplica a altura por $b$, e andar $h$ unidades multiplica por $b^h$. Entre as bases possíveis, uma aparece em quase toda a ciência, o número $e \approx 2{,}718$, e o passo 6 sugere de onde ele vem.

$f(x) = a \cdot b^x$$b^0 = 1$$b^{-x} = \dfrac{1}{b^x}$$b^{p/q} = \sqrt[q]{b^p}$Com $a > 0$, $b > 0$ e $b \ne 1$, o domínio é $\mathbb{R}$ e a imagem é $]0; +\infty[$. Para todo $x$ real, $f(x + 1) = b \cdot f(x)$.

Para conversar

Com $a = 1$, troque $b = 2$ por $b = 1/2$. Onde o gráfico novo fica em relação ao antigo, e que ponto os dois têm em comum?
Com $b = 2$, arraste P até $x = -4$. A curva encosta no eixo $x$? Quanto vale a altura ali?
Mude $a$ sem mexer em $b$. Que ponto da curva acompanha o $a$, e a razão $f(x + 1)/f(x)$ muda?
Leve $b$ até 1. Que gráfico sobra, e por que a definição deixa essa base de fora?

a, altura em x = 0

b, a base

Domínio

Imagem

A função

Ponto P

f(x + 1) / f(x)

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Para $f(x) = 3 \cdot 2^x$, calcule $f(0)$, $f(3)$ e $f(-1)$.

Ver resolução
$f(0) = 3 \cdot 1 = 3$, $f(3) = 3 \cdot 8 = 24$ e $f(-1) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} = 1{,}5$.
3, 24 e 1,5.
básico
Calcule $8^{2/3}$, $4^{-1/2}$ e $(1/2)^{-3}$.

Ver resolução
$8^{2/3} = \big(\sqrt[3]{8}\big)^2 = 2^2 = 4$.
$4^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$.
$(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$.
4, 1/2 e 8.
básico
Quais destas funções são crescentes e quais são decrescentes: $3^x$, $0{,}4^x$, $(5/2)^x$ e $2^{-x}$?

Ver resolução
Com $a > 0$, a exponencial cresce quando a base passa de 1 e decresce quando a base fica entre 0 e 1.
$2^{-x} = (1/2)^x$, de base 1/2.
$3^x$ e $(5/2)^x$ são crescentes; $0{,}4^x$ e $2^{-x}$ são decrescentes.
básico
O gráfico de $f(x) = a \cdot b^x$ passa por $(0, 5)$ e por $(1, 15)$. Quanto valem $a$ e $b$?

Ver resolução
Em $x = 0$, $f(0) = a \cdot b^0 = a$, e daí $a = 5$.
Em $x = 1$, $5 \cdot b = 15$, e daí $b = 3$.
$a = 5$ e $b = 3$, e $f(x) = 5 \cdot 3^x$.
médio
O gráfico de $f(x) = a \cdot b^x$, com $b > 0$, passa por $(1, 6)$ e por $(3, 24)$. Encontre $a$ e $b$.

Ver resolução
Dividindo as duas equações, $\dfrac{a\,b^3}{a\,b} = \dfrac{24}{6}$, isto é, $b^2 = 4$. Com $b > 0$, $b = 2$.
De $a \cdot 2 = 6$ vem $a = 3$.
$a = 3$ e $b = 2$. Dois pontos de $x$ diferentes bastam para determinar uma exponencial, como bastam para uma reta.
médio
Quais são o domínio e a imagem de $f(x) = 2^x - 3$? Qual é a assíntota do gráfico?

Ver resolução
O $2^x$ existe para todo $x$ real e assume todos os valores positivos, e só esses.
Subtrair 3 desce o gráfico inteiro 3 unidades, e a imagem desce junto.
Domínio $\mathbb{R}$, imagem $]-3; +\infty[$ e assíntota $y = -3$. O gráfico cruza o eixo $x$ onde $2^x = 3$, um $x$ entre 1 e 2 que o passo 4 aprende a escrever.
médio
Sem calculadora, ponha em ordem crescente $2^{1{,}5}$, $2^{-1}$, $4^{0{,}5}$ e $(1/2)^{-2}$.

Ver resolução
Escrevemos tudo na base 2. $4^{0{,}5} = (2^2)^{0{,}5} = 2^1$ e $(1/2)^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2$.
Os expoentes ficam $1{,}5$, $-1$, $1$ e $2$, e como $2^x$ é crescente, a ordem dos valores é a ordem dos expoentes.
$2^{-1} < 4^{0{,}5} < 2^{1{,}5} < (1/2)^{-2}$.
médio
Resolva $3^{x + 1} = 81$ e $2^{2x} = \dfrac{1}{8}$.

Ver resolução
$81 = 3^4$, e como $3^x$ é injetora, os expoentes são iguais, $x + 1 = 4$.
$\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$, e daí $2x = -3$.
$x = 3$ e $x = -1{,}5$.
desafio
Mostre que, para $f(x) = a \cdot b^x$, o quociente $f(x + h)/f(x)$ não depende de $x$. Uma população cresceu 44% em 2 anos, multiplicando-se pelo mesmo fator a cada ano. Qual foi o crescimento anual?

Ver resolução
$\dfrac{a\,b^{x + h}}{a\,b^x} = b^h$, que só depende de $h$.
Em 2 anos o fator foi $b^2 = 1{,}44$, e com $b > 0$, $b = 1{,}2$.
20% ao ano, e não 22%. Metade dos 44% dá 22%, mas o crescimento do segundo ano incide sobre a população já aumentada, e $1{,}2^2 = 1{,}44$.
desafio
Quantas vezes os gráficos de $y = 2^x$ e $y = x^2$ se cruzam? Encontre os cruzamentos inteiros e diga qual das duas funções vence para $x$ grande.

Ver resolução
Em $x = 2$ as duas valem 4, e em $x = 4$ as duas valem 16.
Para $x$ negativo, $2^x$ fica entre 0 e 1 e $x^2$ vem de valores grandes. Em $x = -1$, $2^{-1} = 0{,}5 < 1$, e em $x = 0$, $1 > 0$. Há um cruzamento entre $-1$ e 0, perto de $x \approx -0{,}77$.
Entre 2 e 4, $2^3 = 8 < 9$, e depois de 4 a exponencial passa à frente, $2^5 = 32 > 25$, para não voltar mais.
Três cruzamentos, em $x \approx -0{,}77$, em $x = 2$ e em $x = 4$. Para $x$ grande $2^x$ vence, como no passo 1 a multiplicação vencia a soma.

PASSO 3

Quanto tempo leva para sobrar metade?

Quando a base fica entre 0 e 1, a exponencial descreve um decaimento. A cada intervalo igual de tempo a grandeza fica multiplicada pelo mesmo número menor que 1, e perde sempre a mesma fração do que ainda tem. É o que acontece com a quantidade de um remédio no sangue, em boa aproximação, e com o número de núcleos de uma amostra radioativa.

A meia-vida $T$ é o tempo que a grandeza leva para cair à metade. Depois de uma meia-vida resta $1/2$, depois de duas resta $1/4$, e depois de $t/T$ meias-vidas resta $(1/2)^{t/T}$. O tempo para ir de 400 a 200 é o mesmo para ir de 200 a 100, ou de 2 a 1, porque cada intervalo $T$ divide por 2 o que havia no começo dele.

Num núcleo radioativo, a chance de decair na próxima hora não depende de há quanto tempo ele existe, e por isso não dá para prever quando um núcleo em particular vai decair. Numa amostra com muitos núcleos, porém, a fração que decai em cada intervalo fica perto de uma constante, e a contagem segue de perto a curva exponencial. A aula de Física Moderna conta de onde vem essa radiação e o que ela faz. A bancada usa meias-vidas medidas, e a tela mostra a amostra sempre no mesmo ritmo, uma meia-vida a cada 3 segundos. Para o carbono-14 usamos 5700 anos, o valor atual da DDEP, com incerteza de 30 anos. A aula de Física Moderna usa 5730 anos, um valor mais antigo que cabe nessa incerteza, e as contas com um e com outro diferem menos de 1%.

$N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$$N(t + T) = \tfrac{1}{2}\,N(t)$$N_0$ é a quantidade no instante 0 e $T$ é a meia-vida, na mesma unidade de tempo que $t$. Com $b = (1/2)^{1/T}$, a mesma função se escreve $N_0 \cdot b^t$, uma exponencial de base entre 0 e 1.

Para conversar

Com o iodo-131, pause quando o tempo chegar a uma meia-vida, cerca de 8 dias. Restaram exatamente 200 núcleos? E a curva, por onde passa ali?
Recomece algumas vezes e anote a contagem em 2 meias-vidas. Quanto ela costuma se afastar de 100?
Troque para o carbono-14. O que mudou no gráfico, além dos números do eixo do tempo?
Leve o tempo até 6 meias-vidas. Que fração da amostra deveria restar, e quantos núcleos isso dá em 400?

Tempo

Meias-vidas passadas

Núcleos na amostra

Previsto pela curva

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma amostra de 640 mg de um material radioativo tem meia-vida de 5 dias. Quanto resta depois de 15 dias?

Ver resolução
15 dias são $15/5 = 3$ meias-vidas, e resta $(1/2)^3 = 1/8$ da amostra.
$640 / 8 = 80$.
80 mg.
básico
O tecnécio-99m, usado em cintilografia, tem meia-vida de cerca de 6 horas. Que fração da atividade inicial resta depois de 24 horas?

Ver resolução
24 horas são $24/6 = 4$ meias-vidas.
$(1/2)^4 = 1/16$.
Cerca de 1/16, ou 6,25%.
básico
A quantidade de um material, em gramas, é $N(t) = 800 \cdot (1/2)^{t/10}$, com $t$ em anos. Qual é a meia-vida, e quanto resta em $t = 30$?

Ver resolução
Comparando com $N_0 \cdot (1/2)^{t/T}$, $N_0 = 800$ e $T = 10$.
$N(30) = 800 \cdot (1/2)^3 = 100$.
Meia-vida de 10 anos, e restam 100 g.
básico
Depois de quantas meias-vidas resta menos de 1% de uma amostra?

Ver resolução
Precisamos de $(1/2)^n < 0{,}01$, isto é, $2^n > 100$.
$2^6 = 64$ não basta e $2^7 = 128$ basta.
7 meias-vidas, quando resta $1/128 \approx 0{,}78\%$.
médio
A concentração de um remédio no sangue cai 20% a cada hora. Quanto resta depois de 3 horas? A meia-vida fica entre que horas inteiras?

Ver resolução
Cair 20% é multiplicar por 0,8, e em 3 horas, $0{,}8^3 = 0{,}512$.
Em 4 horas, $0{,}8^4 = 0{,}4096$.
Resta 51,2% depois de 3 horas. Como 0,512 ainda passa de metade e 0,4096 já fica abaixo, a meia-vida está entre 3 e 4 horas.
médio
O césio-137 do acidente de Goiânia, em 1987, tem meia-vida de cerca de 30 anos. Que fração dele resta em 2047? E em 2026, usando uma calculadora?

Ver resolução
De 1987 a 2047 passam 60 anos, duas meias-vidas, e resta $1/4$.
De 1987 a 2026 passam 39 anos, $39/30 = 1{,}3$ meia-vida, e $(1/2)^{1{,}3} \approx 0{,}41$.
Um quarto em 2047 e cerca de 41% em 2026. Quase quatro décadas depois, a maior parte daquele césio ainda não decaiu.
médio
O iodo-131 tem meia-vida de cerca de 8 dias. Escreva a quantidade como $N_0 \cdot b^t$, com $t$ em dias, e diga que porcentagem a amostra perde por dia.

Ver resolução
$(1/2)^{t/8} = \big((1/2)^{1/8}\big)^t$, e daí $b = (1/2)^{1/8} = 2^{-1/8}$.
A calculadora dá $b \approx 0{,}917$.
$N(t) = N_0 \cdot 0{,}917^t$, e a amostra perde cerca de 8,3% por dia. Perder 8,3% por dia durante 8 dias não dá $8 \cdot 8{,}3\%$, e sim metade.
médio
Num resto de madeira, a proporção de carbono-14 é $1/8$ da que há numa árvore viva. Há quanto tempo a árvore morreu? Use a meia-vida de 5700 anos.

Ver resolução
$1/8 = (1/2)^3$, e passaram 3 meias-vidas.
$3 \cdot 5700 = 17.100$.
Há cerca de 17.100 anos. Com o valor mais antigo da meia-vida, 5730 anos, a conta dá 17.190, e a diferença fica bem dentro da incerteza de uma datação dessas.
desafio
A amostra A tem 800 núcleos e meia-vida de 2 h. A amostra B tem 400 núcleos e meia-vida de 3 h. Em que instante as duas têm o mesmo número de núcleos, e quantos são?

Ver resolução
Queremos $800 \cdot 2^{-t/2} = 400 \cdot 2^{-t/3}$, isto é, $2 = 2^{t/2 - t/3} = 2^{t/6}$.
Os expoentes são iguais, $t/6 = 1$, e $t = 6$.
Conferindo, A passou 3 meias-vidas, $800/8 = 100$, e B passou 2, $400/4 = 100$.
Em $t = 6$ h, com 100 núcleos em cada. Depois disso B fica sempre à frente, porque decai mais devagar.
desafio
Um contador registra 3200 contagens por minuto vindas de uma amostra às 8h e 400 contagens por minuto às 17h do mesmo dia. Qual é a meia-vida? A que horas a contagem passou por 1600, e quando ela vai chegar a 25 por minuto?

Ver resolução
De 3200 para 400 a contagem caiu a $1/8 = (1/2)^3$, três meias-vidas em 9 horas, e $T = 3$ h.
1600 é a metade de 3200, uma meia-vida depois das 8h, às 11h.
De 400 para 25 a contagem cai a $1/16$, quatro meias-vidas, 12 h depois das 17h.
Meia-vida de 3 h. A contagem passou por 1600 às 11h e chega a 25 às 5h do dia seguinte, se o contador só registrar a amostra. Na prática, a radiação de fundo do ambiente também entra na contagem e pesa mais quando a amostra fica fraca.

PASSO 4

Que expoente transforma a base nesse número?

O logaritmo de $x$ na base $b$ é o expoente a que precisamos elevar $b$ para chegar a $x$. Como $2^3 = 8$, escrevemos $\log_2 8 = 3$, e como $10^{-2} = 0{,}01$, $\log_{10} 0{,}01 = -2$. Pedimos $b > 0$ e $b \ne 1$, como na exponencial, e $x > 0$, porque nenhuma potência de base positiva dá zero ou um número negativo.

Calcular $\log_b x$ desfaz o que $b^x$ faz, e o logaritmo é a função inversa da exponencial de mesma base. O gráfico de $y = \log_b x$ é então o de $y = b^x$ espelhado na reta $y = x$, como na aula de Funções. A assíntota horizontal da exponencial vira uma assíntota vertical, o eixo $y$. O domínio do logaritmo é $]0; +\infty[$, a imagem é $\mathbb{R}$, e a curva passa por $(1, 0)$ e por $(b, 1)$.

Duas bases têm nome próprio. O logaritmo decimal, de base 10, escreve-se só $\log x$, e o logaritmo natural, de base $e$, escreve-se $\ln x$. O decimal mede a ordem de grandeza de um número. Um número de três algarismos fica entre $10^2$ e $10^3$, e o seu logaritmo decimal fica entre 2 e 3.

$\log_b x = y \iff b^{\,y} = x$$\log_b 1 = 0$$\log_b b = 1$$b^{\log_b x} = x$Com $b > 0$, $b \ne 1$ e $x > 0$. A última igualdade, e também $\log_b(b^y) = y$, dizem que as duas funções se desfazem uma à outra.

Para conversar

Na base 2, arraste o ponto de $x = 4$ até $x = 8$. Que expoente aparece, e onde está o espelho dele na exponencial?
Leve o ponto para um $x$ entre 0 e 1. Com que sinal fica o logaritmo, e por quê?
Troque para a base 10 e ponha o ponto em $x = 5$. Entre que inteiros fica $\log 5$?
Com a base $1/2$, compare a curva do logaritmo com a da base 2. Que espelho leva uma na outra?

log₂ x

Conferindo

Sinal

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule $\log_2 32$, $\log_3 81$, $\log 0{,}001$ e $\log_5 1$.

Ver resolução
$2^5 = 32$, $3^4 = 81$, $10^{-3} = 0{,}001$ e $5^0 = 1$.
5, 4, −3 e 0.
básico
Encontre $x$ em $\log_2 x = 6$ e em $\log_x 49 = 2$.

Ver resolução
Pela definição, $\log_2 x = 6$ quer dizer $2^6 = x$.
$\log_x 49 = 2$ quer dizer $x^2 = 49$, e a base precisa ser positiva.
$x = 64$ e $x = 7$.
básico
Qual é o domínio de $f(x) = \log(x - 3)$?

Ver resolução
O logaritmo só aceita números positivos, e precisamos de $x - 3 > 0$.
$D(f) = ]3; +\infty[$.
básico
Quanto valem $\log_7 7^{5}$ e $10^{\log 4}$?

Ver resolução
O logaritmo de base 7 desfaz a potência de base 7, e a potência de base 10 desfaz o logaritmo decimal.
5 e 4.
médio
Calcule $\log_4 8$.

Ver resolução
Procuramos $y$ com $4^y = 8$. Na base 2, $2^{2y} = 2^3$.
Os expoentes são iguais, $2y = 3$.
$\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$.
médio
Sem calculadora, diga entre que inteiros consecutivos ficam $\log_2 100$ e $\log 2026$.

Ver resolução
$2^6 = 64 < 100$ e $100 < 128 = 2^7$, e o logaritmo de base 2 é crescente.
$10^3 = 1000 < 2026$ e $2026 < 10.000 = 10^4$.
$\log_2 100$ fica entre 6 e 7, e $\log 2026$ entre 3 e 4.
médio
Quantos algarismos tem $2^{100}$? Use $\log 2 \approx 0{,}301$.

Ver resolução
$\log 2^{100} = 100 \cdot \log 2 \approx 30{,}1$, pela regra da potência do passo 5, e assim $2^{100} \approx 10^{30{,}1}$.
Esse número fica entre $10^{30}$ e $10^{31}$, e todo número desse intervalo tem 31 algarismos.
31 algarismos.
médio
Resolva $\log_3(2x + 1) = 2$.

Ver resolução
Pela definição, $2x + 1 = 3^2 = 9$, e $x = 4$.
Conferindo, $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$, dentro do domínio.
$x = 4$.
desafio
Encontre a inversa de $f(x) = 3 \cdot 2^x$ e o domínio dela. Confira com $x = 2$.

Ver resolução
De $y = 3 \cdot 2^x$ vem $2^x = y/3$, e pela definição, $x = \log_2(y/3)$.
Trocando os nomes, $f^{-1}(x) = \log_2(x/3)$, definida onde $x/3 > 0$, a imagem de $f$.
$f(2) = 12$ e $f^{-1}(12) = \log_2 4 = 2$.
$f^{-1}(x) = \log_2 \dfrac{x}{3}$, com domínio $]0; +\infty[$.
desafio
Mostre que $\log_{1/b} x = -\log_b x$. O que isso diz sobre os gráficos de $\log_2 x$ e de $\log_{1/2} x$?

Ver resolução
Seja $y = \log_{1/b} x$. Então $(1/b)^y = x$, isto é, $b^{-y} = x$, e pela definição, $-y = \log_b x$.
$\log_{1/b} x = -\log_b x$. O gráfico de $\log_{1/2} x$ é o de $\log_2 x$ espelhado no eixo $x$, e os dois se cruzam em $(1, 0)$.

PASSO 5

Por que o logaritmo troca multiplicação por soma?

Multiplicar potências de mesma base soma os expoentes, $b^m \cdot b^n = b^{m + n}$. Como o logaritmo é o expoente, essa regra se traduz em $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Do mesmo jeito, a divisão vira subtração e a potência vira multiplicação, $\log_b x^k = k \log_b x$. As três regras valem para quaisquer $x$ e $y$ positivos.

Uma quarta regra troca a base. Para calcular $\log_2 10$ numa calculadora que só tem $\log$ e $\ln$, dividimos $\log 10$ por $\log 2$. Essa mudança de base mostra que os logaritmos de bases diferentes são todos proporcionais entre si, e que o gráfico de um é o de outro esticado na vertical.

A regra do produto foi, por mais de três séculos, a maneira de fazer contas difíceis à mão. John Napier publicou as primeiras tábuas de logaritmos em 1614, e com elas uma multiplicação de números grandes virava uma soma e duas consultas à tábua. A régua de cálculo, que engenheiros usaram até a chegada das calculadoras eletrônicas, faz a mesma coisa com comprimentos. Em cada régua, o número $u$ fica a uma distância proporcional a $\log u$ do 1, e somar dois comprimentos é multiplicar os números.

$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$$\log_b x^k = k\,\log_b x$$\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$Com $x, y > 0$, $k$ real, e as bases $b$ e $c$ positivas e diferentes de 1. Não há regra para $\log_b(x + y)$.

Para conversar

Com $a = 2$ e $b = 3$, veja onde foi parar o 1 da régua de cima e que número aparece embaixo do 3. Que comprimentos foram somados?
Leve $a$ a 4 e $b$ a 5. Por que a régua passou a usar o 10 de cima, e como o 2 lido embaixo vira 20?
No modo dividir, ponha $a = 8$ e $b = 2$. Que comprimento foi tirado de qual?
Com $b = 2$, arraste a régua de cima devagar, deixando o seu 1 entre o 1 e o 5 de baixo. O número embaixo do 2 é sempre o dobro do número embaixo do 1. Por quê? E o que a régua faz quando $a$ passa de 5?

log a

log b

log a + log b

a · b

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$, calcule $\log 6$, $\log 1{,}5$ e $\log 8$.

Ver resolução
$\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}778$.
$\log 1{,}5 = \log \dfrac{3}{2}$
$= \log 3 - \log 2 \approx 0{,}176$.
$\log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 \approx 0{,}903$.
0,778, 0,176 e 0,903.
básico
Calcule $\log_2 40 - \log_2 5$.

Ver resolução
A diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente, $\log_2 \dfrac{40}{5} = \log_2 8$.
3.
básico
Calcule $\log 5 + \log 20$.

Ver resolução
A soma é o logaritmo do produto, $\log(5 \cdot 20) = \log 100$.
2.
básico
Calcule $\log_3 9^5$.

Ver resolução
Pela regra da potência, $\log_3 9^5 = 5 \log_3 9 = 5 \cdot 2$.
10.
médio
Calcule $\log_2 10$ usando $\log 2 \approx 0{,}301$.

Ver resolução
Pela mudança de base, $\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}301}$.
Cerca de 3,32. Conferindo, $2^3 = 8$ e $2^4 = 16$, e o 10 fica entre os dois, mais perto do 8.
médio
Um colega escreveu $\log(a + b) = \log a + \log b$. Mostre com um exemplo que a regra está errada e diga qual é a regra certa que ele confundiu.

Ver resolução
Com $a = b = 1$, o lado esquerdo é $\log 2 \approx 0{,}301$ e o direito é $0 + 0 = 0$.
A regra certa soma os logaritmos de um produto, $\log(ab) = \log a + \log b$.
A igualdade falha já com $a = b = 1$. O logaritmo transforma produto em soma, e a soma $a + b$ não tem regra própria.
médio
Escreva $\log \dfrac{x^3 y^2}{z}$ em termos de $\log x$, $\log y$ e $\log z$, com $x, y, z$ positivos.

Ver resolução
O quociente vira diferença, $\log(x^3 y^2) - \log z$.
O produto vira soma, $\log x^3 + \log y^2 - \log z$.
$3 \log x + 2 \log y - \log z$.
médio
Calcule $\log 5$ a partir de $\log 2 \approx 0{,}301$, sem calculadora.

Ver resolução
$5 = \dfrac{10}{2}$, e $\log 5 = \log 10 - \log 2$
$= 1 - 0{,}301$.
$\log 5 \approx 0{,}699$.
desafio
Demonstre a regra do produto a partir da definição de logaritmo.

Ver resolução
Sejam $m = \log_b x$ e $n = \log_b y$. Pela definição, $b^m = x$ e $b^n = y$.
Multiplicando, $xy = b^m \cdot b^n = b^{m + n}$.
Pela definição de novo, $\log_b(xy) = m + n$.
$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. A regra é a soma dos expoentes, lida pelo lado dos logaritmos.
desafio
Com $\log 3 \approx 0{,}477$, quantos algarismos tem $3^{50}$, e qual é o primeiro deles? Use $\log 7 \approx 0{,}845$ e $\log 8 \approx 0{,}903$.

Ver resolução
$\log 3^{50} = 50 \cdot 0{,}477 = 23{,}85$
e $3^{50} = 10^{23} \cdot 10^{0{,}85}$.
Como $10^{23} \le 3^{50} < 10^{24}$, o número tem 24 algarismos.
O fator $10^{0{,}85}$ fica entre $10^{0{,}845} \approx 7$ e $10^{0{,}903} \approx 8$, e o número começa com 7.
24 algarismos, começando com 7. O valor exato de $3^{50}$ é 717.897.987.691.852.588.770.249. Com a aproximação 0,477 a conta fica perto da fronteira entre 6 e 7, e um valor mais preciso, $\log 3 \approx 0{,}4771$, dá $23{,}856$, com mais folga.

PASSO 6

Quanto tempo até a grandeza dobrar?

Uma equação exponencial pede o expoente, como em $2^x = 64$ ou $1{,}1^x = 2$. Quando os dois lados são potências da mesma base, basta igualar os expoentes, como no passo 2. Nos outros casos aplicamos o logaritmo dos dois lados, e a regra da potência tira o $x$ do expoente, $x \log b = \log c$. A resposta $x = \log c / \log b$ é a mudança de base do passo 5.

Uma grandeza que cresce a uma taxa $r$ por período segue $N(t) = N_0 (1 + r)^t$. Ela fica multiplicada por $k$ depois de $t = \log k / \log(1 + r)$ períodos, um tempo que não depende de $N_0$. Com $k = 2$, esse é o tempo de dobra. Para taxas pequenas, uma conta de cabeça chega perto, a regra de 70, que divide 70 pela taxa em porcentagem. Ela vem de $\ln 2 \approx 0{,}69$ e de $\ln(1 + r) \approx r$, uma aproximação que piora à medida que a taxa cresce.

A mesma conta sugere de onde vem o número $e$. Uma taxa de 100% ao ano, paga de uma vez, dobra o saldo. Dividida em 12 parcelas mensais de $1/12$, ela o multiplica por $(1 + 1/12)^{12} \approx 2{,}613$, e em parcelas diárias, por $(1 + 1/365)^{365} \approx 2{,}715$. Com períodos cada vez menores, o fator se aproxima de $e \approx 2{,}718$. As taxas da bancada são ilustrativas.

$b^{\,x} = c \iff x = \dfrac{\log c}{\log b}$$t_k = \dfrac{\log k}{\log(1 + r)}$$t_2 \approx \dfrac{70}{100\,r}$Com $b, c > 0$, $b \ne 1$ e $r > 0$. Qualquer base serve para os logaritmos, desde que seja a mesma em cima e embaixo.

Para conversar

Com $r = 10\%$ e $k = 2$, leia o tempo de dobra exato e o da regra de 70. Por quanto a regra erra?
Mantendo $k = 2$, leve $r$ a 1% e depois a 20%. Em qual das duas a regra de 70 acerta melhor?
Com $r = 5\%$, compare os tempos para $k = 2$, $k = 4$ e $k = 8$. Que padrão aparece?
A curva começa em 1, o valor inicial tomado como unidade. Por que o tempo de dobra seria o mesmo para R$ 100 e para R$ 1 milhão?

r, taxa por período

k, vezes o início

Tempo exato

Períodos inteiros

Regra de 70

Erro da regra

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Resolva $2^x = 64$ e $5^x = \dfrac{1}{125}$.

Ver resolução
$64 = 2^6$ e $\dfrac{1}{125} = 5^{-3}$, e igualamos os expoentes.
$x = 6$ e $x = -3$.
básico
Resolva $3^x = 20$, com $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$.

Ver resolução
Aplicando o logaritmo, $x \log 3 = \log 20$
$= \log 2 + \log 10 \approx 1{,}301$.
$x \approx \dfrac{1{,}301}{0{,}477}$.
$x \approx 2{,}73$. Conferindo, $3^2 = 9$ e $3^3 = 27$, e o 20 fica entre os dois.
básico
Uma aplicação rende 10% ao ano. Depois de quantos anos inteiros o saldo passa a ser pelo menos o dobro do inicial?

Ver resolução
$1{,}1^7 \approx 1{,}949$, ainda abaixo de 2, e $1{,}1^8 \approx 2{,}144$.
O tempo exato é $\log 2 / \log 1{,}1 \approx 7{,}27$ anos, mas o rendimento só entra no fim de cada ano.
8 anos.
básico
Se os preços subissem 3,5% ao ano, todo ano, em quanto tempo eles dobrariam, pela regra de 70?

Ver resolução
$70 / 3{,}5 = 20$.
Cerca de 20 anos. A conta exata, $\log 2 / \log 1{,}035$, dá 20,1 anos.
médio
Uma população cresce 2% ao ano. Em quantos anos ela triplica? Use $\log 3 \approx 0{,}4771$ e $\log 1{,}02 \approx 0{,}0086$.

Ver resolução
Queremos $1{,}02^t = 3$, e $t = \dfrac{\log 3}{\log 1{,}02} \approx \dfrac{0{,}4771}{0{,}0086}$.
Cerca de 55,5 anos, se a taxa se mantiver. Taxas de crescimento de população costumam mudar bem antes disso, como mostra o passo 8.
médio
Resolva $2^{x + 1} = 3^x$, com $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$.

Ver resolução
Aplicando o logaritmo, $(x + 1) \log 2 = x \log 3$.
$x (\log 3 - \log 2) = \log 2$, e $x = \dfrac{0{,}301}{0{,}176}$.
$x \approx 1{,}71$.
médio
Um remédio tem meia-vida de 6 horas no sangue. Em quanto tempo a concentração cai a 10% da inicial? Use $\log 2 \approx 0{,}301$.

Ver resolução
Queremos $(1/2)^{t/6} = 0{,}1$, isto é, $2^{t/6} = 10$.
$\dfrac{t}{6} = \log_2 10 = \dfrac{1}{0{,}301} \approx 3{,}32$.
Cerca de 19,9 horas, pouco mais de três meias-vidas e um terço.
médio
Uma dívida cresce 5% ao mês sem pagamento nenhum. Em quantos meses ela dobra? Compare com a regra de 70.

Ver resolução
$t = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}0212} \approx 14{,}2$.
A regra dá $70 / 5 = 14$.
Cerca de 14,2 meses, e a regra de 70 erra por pouco mais de 0,2 mês.
desafio
Uma grandeza dobra a cada 10 anos. Mostre que ela quadruplica em 20 anos e calcule a taxa anual de crescimento. A regra de 70 concorda?

Ver resolução
Com $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/10}$, $N(20) = N_0 \cdot 2^2 = 4N_0$.
A taxa anual vem de $(1 + r)^{10} = 2$, e $1 + r = 2^{1/10} \approx 1{,}0718$.
Pela regra, $70 / 10 = 7\%$.
A taxa é de cerca de 7,18% ao ano, e a regra de 70 dá 7%, perto disso.
desafio
Calcule $(1 + 1/n)^n$ para $n = 1$, $2$, $12$ e $365$ e diga o que essas contas representam numa aplicação que rende 100% ao ano.

Ver resolução
$n = 1$: $2$. $n = 2$: $1{,}5^2 = 2{,}25$. $n = 12$: $\approx 2{,}613$. $n = 365$: $\approx 2{,}715$.
Cada conta divide os 100% em $n$ períodos iguais e aplica $100\%/n$ sobre o saldo já corrigido.
O fator cresce com $n$, cada vez mais devagar, e se aproxima de $e \approx 2{,}718$. Nenhuma divisão do ano em partes leva o saldo a passar de $e$ vezes o inicial.

PASSO 7

Por que pH, decibéis e magnitude contam em potências de 10?

Algumas grandezas variam por muitas ordens de grandeza. A concentração de íons H⁺ numa solução vai de mais de 1 mol/L a menos de $10^{-14}$ mol/L, e a intensidade de um som que ouvimos vai de $10^{-12}$ a mais de 1 W/m². Numa régua comum, quase todos os valores ficariam espremidos perto do zero. Uma escala logarítmica anota o expoente, e cada passo de uma unidade nela multiplica a grandeza por 10.

O pH é $-\log[\text{H}^+]$, com a concentração em mol/L. A água pura a 25 °C tem pH 7, as soluções ácidas ficam abaixo e as básicas acima, e descer uma unidade de pH multiplica por 10 a concentração de H⁺. Segundo a NOAA, a superfície do oceano, hoje com pH em torno de 8,1, perdeu 0,1 de pH desde a Revolução Industrial. Parece pouco, e corresponde a cerca de um quarto a mais de H⁺.

O nível sonoro, em decibéis, é $N = 10 \log(I/I_0)$, com $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$. Somar 10 dB multiplica a intensidade por 10, e somar 3 dB quase a dobra. Para o NIDCD, dos Institutos Nacionais de Saúde dos Estados Unidos, sons até 70 dBA dificilmente causam perda auditiva, e a exposição longa ou repetida a partir de 85 dBA pode causá-la.

Na magnitude de um terremoto, cada grau a mais corresponde a uma amplitude 10 vezes maior no sismograma e, segundo o Serviço Geológico dos Estados Unidos (USGS), a cerca de 32 vezes mais energia liberada. A escala de Richter, de 1935, deu origem às escalas usadas hoje, e muitas questões trazem a relação entre magnitude e energia na forma abaixo.

$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$$N = 10 \log \dfrac{I}{I_0}$$M_2 - M_1 = \dfrac{2}{3} \log \dfrac{E_2}{E_1}$$[\text{H}^+]$ em mol/L, $I$ em W/m² com $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$, $E$ a energia liberada. Da última vem $E_2/E_1 = 10^{1{,}5\,(M_2 - M_1)}$, e $10^{1{,}5} \approx 32$.

Para conversar

No pH, ponha A na chuva ácida, em 4,3, e B na chuva sem poluição, em 5,6. Quantas vezes mais H⁺ tem a chuva ácida?
Ainda no pH, ponha A em 8,1 e B em 8,2, as duas pontas da mudança do oceano. Quanto por cento mudou a concentração?
Nos decibéis, ponha A em 60 e B em 90. A intensidade ficou quantas vezes maior? E com B em 63?
Na magnitude, compare o Haiti, em 2010, com o Chile, em 1960. Quantas vezes mais energia liberou o terremoto maior?

Cursor A

Cursor B

De A para B

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma solução tem $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ mol/L. Qual é o pH, e ela é ácida ou básica?

Ver resolução
$\text{pH} = -\log 10^{-3} = 3$.
pH 3, abaixo de 7, e a solução é ácida.
básico
Uma solução tem pH 4 e outra tem pH 6. Quantas vezes maior é a concentração de H⁺ na primeira?

Ver resolução
$\dfrac{10^{-4}}{10^{-6}} = 10^2$.
100 vezes maior. Duas unidades de pH são dois fatores de 10.
básico
Um som de 80 dB tem quantas vezes a intensidade de um som de 60 dB?

Ver resolução
Cada 10 dB multiplicam a intensidade por 10, e 20 dB multiplicam por $10^2$.
100 vezes.
básico
Um terremoto de magnitude 7 é comparado com um de magnitude 5. Quantas vezes maior é a amplitude no sismograma? E a energia, usando $10^{1{,}5}$ por grau?

Ver resolução
Amplitude, $10^{7 - 5} = 100$.
Energia, $10^{1{,}5 \cdot 2} = 10^3$.
Amplitude 100 vezes e energia 1000 vezes maior.
médio
Uma máquina produz $I = 10^{-5}\ \text{W/m}^2$ no ouvido do operador. Qual é o nível sonoro? E com duas máquinas iguais ligadas juntas? Use $\log 2 \approx 0{,}3$.

Ver resolução
$N = 10 \log \dfrac{10^{-5}}{10^{-12}} = 10 \cdot 7 = 70$ dB.
Duas máquinas somam as intensidades, $2 \cdot 10^{-5}$, e $N = 10\,(\log 2 + 7) \approx 73$ dB.
70 dB com uma máquina e cerca de 73 dB com duas. Dobrar a intensidade não dobra os decibéis.
médio
A superfície do oceano passou de pH 8,2 para 8,1. Em quantos por cento aumentou a concentração de H⁺? A NOAA fala em cerca de 30%. Como conciliar os dois números?

Ver resolução
A razão entre as concentrações é $10^{-8{,}1}/10^{-8{,}2} = 10^{0{,}1} \approx 1{,}26$, um aumento de 26%.
Uma queda de 0,11 já daria $10^{0{,}11} \approx 1{,}29$.
Cerca de 26% com os valores arredondados. Os 30% da NOAA provavelmente vêm de valores medidos com mais casas, em que a queda fica um pouco acima de 0,1, e numa escala logarítmica uma diferença pequena na segunda casa muda a porcentagem de forma visível.
médio
No sangue arterial, o pH fica normalmente entre 7,38 e 7,42. Quanto a concentração de H⁺ na ponta ácida passa da concentração na ponta básica?

Ver resolução
$\dfrac{10^{-7{,}38}}{10^{-7{,}42}} = 10^{0{,}04} \approx 1{,}10$.
Cerca de 10%. Uma faixa que parece estreita no pH ainda deixa a concentração variar 10%.
médio
O terremoto de Tohoku, no Japão, em 2011, teve magnitude 9,1, e o de Maule, no Chile, em 2010, teve 8,8. Compare as amplitudes e as energias.

Ver resolução
Amplitude, $10^{0{,}3} \approx 2$.
Energia, $10^{1{,}5 \cdot 0{,}3} = 10^{0{,}45} \approx 2{,}8$.
O de Tohoku teve amplitude cerca de 2 vezes e energia cerca de 2,8 vezes maior. Três décimos de magnitude não são pouca coisa.
desafio
Com $M = \dfrac{2}{3} \log \dfrac{E}{E_0}$, compare a energia liberada pelo terremoto de Valdivia, no Chile, em 1960, de magnitude 9,5, com a do terremoto do Haiti, em 2010, de magnitude 7,0.

Ver resolução
Subtraindo as duas magnitudes, $9{,}5 - 7{,}0$
$= \dfrac{2}{3}\left(\log \dfrac{E_1}{E_0} - \log \dfrac{E_2}{E_0}\right)$
$= \dfrac{2}{3} \log \dfrac{E_1}{E_2}$.
$\log \dfrac{E_1}{E_2} = 1{,}5 \cdot 2{,}5 = 3{,}75$, e $\dfrac{E_1}{E_2} = 10^{3{,}75} \approx 5600$.
Cerca de 5600 vezes mais energia. O terremoto do Haiti foi muito mais mortal, e a magnitude mede a energia liberada, não o estrago, que depende também da profundidade, da distância das cidades e das construções.
desafio
Uma pessoa falando produz 60 dB a certa distância. Supondo que as intensidades de várias pessoas, todas à mesma distância, simplesmente se somem, quantas pessoas falando juntas dariam 80 dB? E 85 dB?

Ver resolução
Com $n$ pessoas a intensidade é $n$ vezes a de uma, e o nível sobe $10 \log n$.
Para subir 20 dB, $\log n = 2$ e $n = 100$.
Para subir 25 dB, $\log n = 2{,}5$ e $n = 10^{2{,}5} \approx 316$.
Cerca de 100 pessoas para 80 dB e cerca de 316 para 85 dB. A soma simples das intensidades é um modelo, que tende a valer para fontes independentes, como vozes diferentes.

PASSO 8

Como uma exponencial vira reta?

Num gráfico comum, uma exponencial parece parada no começo e explode no fim, e fica difícil comparar o que aconteceu em cada trecho. No eixo logarítmico, as marcas 1, 10, 100 e 1000 ficam igualmente espaçadas, e distâncias iguais na vertical querem dizer fatores iguais. Aplicando o logaritmo a $y = a \cdot b^x$, obtemos $\log y = \log a + x \log b$, e com $\log y$ no lugar de $y$ a curva vira uma reta de inclinação $\log b$.

Lido nesse eixo, um trecho reto quer dizer taxa de crescimento constante, um trecho mais inclinado quer dizer taxa maior, e uma curva que se dobra para baixo quer dizer taxa caindo. Uma parábola como $x^2$ não vira reta, e o eixo logarítmico ajuda a distinguir um crescimento exponencial de um crescimento que só parece rápido.

$y = a \cdot b^x$$\iff \log y = \log a + x \log b$$r = \left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{1/\Delta t} - 1$A segunda fórmula dá a taxa média anual que leva $P_1$ a $P_2$ em $\Delta t$ anos. No eixo logarítmico, a inclinação do segmento entre os dois pontos é $\log(1 + r)$ por ano.

A bancada traz a população do Brasil nos treze censos de 1872 a 2022, segundo o IBGE. Em escala comum, a série parece crescer cada vez mais depressa até por volta de 1980 e depois amansar. Em escala logarítmica ela fica quase reta até 1980, com taxas entre 1,5% e 3% ao ano, e depois se dobra para baixo, até ficar perto de 0,5% ao ano entre 2010 e 2022. A queda da fecundidade é provavelmente a maior parte dessa história, contada em detalhe pela demografia. Os intervalos entre os censos não são iguais. A tabela do IBGE não tem censos em 1910 nem em 1930, e por isso há dois intervalos de 20 anos, e o de 1991 veio onze anos depois do de 1980. A bancada calcula a taxa de cada intervalo pela sua duração.

Para conversar

Com a população em escala comum, procure o intervalo de crescimento mais rápido. Troque para a escala logarítmica e procure de novo. A resposta mudou?
No eixo logarítmico, ponha o cursor entre 1950 e 1960 e depois entre 2010 e 2022. Quantas vezes a taxa anual diminuiu?
Nas curvas, troque o eixo e veja quais delas viram retas. Que inclinação tem cada reta?
Ainda nas curvas, compare $x^2$ com $2^x$ no eixo logarítmico. A partir de onde a exponencial fica sempre acima?

Início do intervalo

Fim do intervalo

Taxa média anual

Inclinação no eixo log

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Num eixo logarítmico, a marca do 10 fica a 2 cm da marca do 1. A que distância do 1 ficam as marcas do 100 e do 1000? E a do 0,1?

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Cada fator 10 ocupa os mesmos 2 cm.
100 é $10^2$ e 1000 é $10^3$, e 0,1 é $10^{-1}$.
4 cm e 6 cm acima do 1, e 2 cm abaixo dele.
básico
No mesmo eixo, a que distância do 1 fica a marca do 2? Use $\log 2 \approx 0{,}301$.

Ver resolução
A distância é proporcional ao logaritmo, $0{,}301 \cdot 2$ cm.
Cerca de 0,6 cm. O 2 fica bem mais perto do 1 do que do 10, ao contrário de uma régua comum.
básico
Num gráfico de eixo $y$ logarítmico, a curva de $y = 5 \cdot 3^x$ é uma reta. Qual é a inclinação, em décadas por unidade de $x$, e onde ela corta o eixo $y$? Use $\log 3 \approx 0{,}477$.

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$\log y = \log 5 + x \log 3$.
Inclinação $\log 3 \approx 0{,}477$, e a reta corta o eixo $y$ na marca do 5, em $\log 5 \approx 0{,}7$.
básico
Pelos censos do IBGE, o Brasil tinha 9.930.478 habitantes em 1872 e 203.080.756 em 2022. Por quanto a população foi multiplicada nesses 150 anos?

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$\dfrac{203\,080\,756}{9\,930\,478} \approx 20{,}5$.
Cerca de 20,5 vezes, um pouco mais de 4 dobras, porque $2^4 = 16$ e $2^5 = 32$.
médio
Com os números do exercício anterior, qual foi a taxa média anual de crescimento de 1872 a 2022? Use uma calculadora.

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$r = 20{,}45^{1/150} - 1$.
Pelo logaritmo, $\log 20{,}45 \approx 1{,}311$, e $1{,}311 / 150 \approx 0{,}00874$, que dá $10^{0{,}00874} \approx 1{,}0203$.
Cerca de 2,0% ao ano em média. A bancada mostra que a taxa variou muito em volta dessa média.
médio
A população do Brasil foi de 51.944.397 em 1950 para 70.191.370 em 1960, e de 190.755.799 em 2010 para 203.080.756 em 2022. Calcule as taxas médias anuais dos dois intervalos.

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1950–1960: $\left(\dfrac{70\,191\,370}{51\,944\,397}\right)^{1/10}$
$= 1{,}3513^{0{,}1} \approx 1{,}0306$.
2010–2022: $\left(\dfrac{203\,080\,756}{190\,755\,799}\right)^{1/12}$
$= 1{,}0646^{1/12} \approx 1{,}0052$.
Cerca de 3,1% e 0,5% ao ano. A taxa caiu a menos de um quinto, e no eixo logarítmico o segundo segmento é quase horizontal.
médio
Uma grandeza tem os valores 3, 12, 48 e 192 em $x = 0, 1, 2, 3$. Num eixo logarítmico os pontos ficam alinhados? Que função passa por eles?

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Os quocientes entre vizinhos são todos 4, e a sequência é geométrica.
Os logaritmos, $\log 3 + x \log 4$, crescem a passos iguais.
Ficam alinhados, sobre a reta de inclinação $\log 4$, e a função é $y = 3 \cdot 4^x$.
médio
Os valores 1, 4, 9, 16 e 25, em $x = 1, 2, 3, 4, 5$, ficam alinhados num eixo $y$ logarítmico? Por que um gráfico desses ajuda a decidir se um crescimento é exponencial?

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Os quocientes entre vizinhos são 4, 2,25, 1,78 e 1,56, e caem.
No eixo logarítmico os degraus de altura ficam cada vez menores, e os pontos desenham uma curva que se dobra para baixo.
Não ficam alinhados, porque $y = x^2$ não é exponencial. Num eixo logarítmico, só a exponencial vira reta, e o desvio da reta aparece a olho.
desafio
Uma grandeza dobra a cada 3 anos. Num gráfico com eixo $y$ logarítmico e o tempo em anos, qual é a inclinação da reta? Quantos anos ela leva para subir uma década, isto é, ser multiplicada por 10?

Ver resolução
$y = y_0 \cdot 2^{t/3}$, e $\log y = \log y_0 + t \cdot \dfrac{\log 2}{3}$.
A inclinação é $\dfrac{0{,}301}{3} \approx 0{,}1$ década por ano.
Uma década pede $t \cdot 0{,}1 = 1$, cerca de 10 anos, ou, com mais casas, $3 \log_2 10 \approx 9{,}97$.
Cerca de 0,1 década por ano, e uma década a cada 10 anos, mais ou menos.
desafio
Pela Lei de Moore, como aparece numa questão do ENEM de 2018, a densidade de transistores num processador dobraria a cada 2 anos. Se valesse sempre, quanto tempo levaria para a densidade ser multiplicada por um milhão? Use $\log 2 \approx 0{,}3$.

Ver resolução
Precisamos de $2^{t/2} = 10^6$, e aplicando o logaritmo, $\dfrac{t}{2} \cdot 0{,}3 = 6$.
$t = 40$ anos.
Cerca de 40 anos, ou 20 dobras, porque $2^{20} = 1.048.576$. Num eixo logarítmico a Lei de Moore desenha uma reta, e qualquer curvatura nesse gráfico indicaria que a dobra passou a demorar mais ou menos.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 3 e 6 · Datação

Num osso encontrado numa escavação, a proporção de carbono-14 é 20% da encontrada num ser vivo. Há quanto tempo o animal morreu? Use a meia-vida de 5700 anos e $\log 2 \approx 0{,}301$.

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Queremos $(1/2)^{t/5700} = 0{,}2$, isto é, $2^{t/5700} = 5$.
$\dfrac{t}{5700} = \log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$
$= \dfrac{1 - 0{,}301}{0{,}301} \approx 2{,}32$.
$t \approx 2{,}32 \cdot 5700 \approx 13.200$ anos.
Entre duas meias-vidas, quando restaria 25%, e três, quando restaria 12,5%, como esperado. Com 5730 anos, o valor mais antigo da meia-vida, a conta daria cerca de 13.300 anos, uma diferença bem menor que a incerteza da própria datação. A conta supõe que a proporção de carbono-14 na atmosfera foi a mesma de hoje, e as datações reais costumam corrigir esse ponto com curvas de calibração.

Passo 7 · Decibéis

Uma caixa de som produz 80 dB num ponto da sala. Que nível teremos com duas caixas iguais, à mesma distância? Quantas caixas seriam precisas para chegar a 90 dB? Suponha que as intensidades se somem e use $\log 2 \approx 0{,}3$.

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Com $n$ caixas a intensidade fica $n$ vezes maior, e o nível sobe $10 \log n$.
Duas caixas, $10 \log 2 \approx 3$ dB a mais, cerca de 83 dB.
Para subir 10 dB, $\log n = 1$, e $n = 10$.
Dobrar o número de caixas acrescenta só 3 dB, e são precisas dez caixas para os 10 dB a mais.

Passos 2 e 4 · Inversa

Encontre a inversa de $f(x) = 10^{x - 1} + 2$, o domínio dela e a assíntota do gráfico de $f^{-1}$. Confira com $x = 3$.

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A imagem de $f$ é $]2; +\infty[$, porque $10^{x - 1}$ assume todos os valores positivos.
De $y = 10^{x - 1} + 2$ vem $10^{x - 1} = y - 2$ e $x - 1 = \log(y - 2)$.
Trocando os nomes, $f^{-1}(x) = 1 + \log(x - 2)$, com domínio $]2; +\infty[$.
A assíntota horizontal $y = 2$ de $f$ vira a assíntota vertical $x = 2$ da inversa.
Conferindo, $f(3) = 10^2 + 2 = 102$ e $f^{-1}(102) = 1 + \log 100 = 3$.

Passos 1 e 6 · Somar ou multiplicar

Duas propostas de salário começam em R$ 3000. A primeira dá R$ 300 de aumento por ano, e a segunda dá 6% de aumento por ano. A partir de que ano a segunda passa a pagar mais?

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Depois de $n$ anos, a primeira paga $3000 + 300n$ e a segunda $3000 \cdot 1{,}06^n$. Dividindo por 3000, comparamos $1 + 0{,}1n$ com $1{,}06^n$.
Com uma calculadora, $1{,}06^{17} \approx 2{,}693$, ainda abaixo de 2,7, e $1{,}06^{18} \approx 2{,}854$, acima de 2,8.
A segunda proposta só passa a pagar mais no 18º ano. Antes disso, a primeira pagou mais em todos os anos, e quem pensa ficar pouco tempo no emprego provavelmente prefere ela.

Passo 5 · Régua de cálculo

Na régua de cálculo, como se faz 3,5 × 4? Onde se lê o resultado, e por que ele aparece como 1,4?

Ver resolução

$\log 3{,}5 + \log 4 \approx 0{,}544 + 0{,}602$
$= 1{,}146$, mais que o comprimento inteiro da régua.
Pomos então o 10 da régua de cima sobre o 3,5 de baixo, o que desconta 1 da soma. Embaixo do 4 de cima lemos $10^{0{,}146} \approx 1{,}4$.
A régua não guarda a vírgula, e quem a usa decide a ordem de grandeza de cabeça, aqui $3{,}5 \times 4$ perto de $4 \times 4 = 16$. O resultado é 14.

Passos 6 e 8 · População

De 2010 a 2022, a população do Brasil cresceu em média 0,52% ao ano, segundo os censos, e chegou a 203,1 milhões. Se essa taxa se mantivesse, em que ano o país chegaria a 250 milhões?

Ver resolução

Queremos $1{,}0052^t = \dfrac{250}{203{,}1} \approx 1{,}231$.
$t = \dfrac{\log 1{,}231}{\log 1{,}0052} \approx \dfrac{0{,}0903}{0{,}00225} \approx 40$ anos.
Seria por volta de 2062. A bancada do passo 8 mostra que a taxa caiu de censo para censo desde 1960, e se a queda continuar, o país pode não chegar a esse número. A conta mostra o que a taxa daria, sem prever o que vai acontecer.

Passos 2 e 6 · Equação

Resolva $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

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Como $4^x = (2^x)^2$, chamamos $u = 2^x$ e a equação vira $u^2 - 3u - 4 = 0$, com raízes $u = 4$ e $u = -1$.
$2^x$ é sempre positivo, e $u = -1$ não serve.
De $2^x = 4$ vem $x = 2$. Conferindo, $16 - 12 - 4 = 0$.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, conferidas nos cadernos do INEP.

Crescer multiplicando · Passo 1
Às 8h, Lia enviou uma mensagem a 3 amigos. Cada pessoa que recebe a mensagem a repassa, exatamente uma hora depois, para 3 pessoas que ainda não a receberam, e ninguém recebe a mensagem duas vezes. Às 9h, portanto, 9 pessoas receberam a mensagem pela primeira vez.

Quantas pessoas receberam a mensagem pela primeira vez às 12h?
1. 15
2. 81
3. 243
4. 363
5. 729
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Resposta: C.
A cada hora, o número de pessoas novas fica multiplicado por 3: 3 às 8h, 9 às 9h, 27 às 10h, 81 às 11h e 243 às 12h, isto é, $3 \cdot 3^4 = 3^5$.
Os 15 vêm de somar 3 a cada hora, como numa progressão aritmética. Os 81 param uma hora antes, e os 729 andam uma hora a mais. Os 363 são o total de pessoas que receberam das 8h às 12h, $3 + 9 + 27 + 81 + 243$, e respondem a outra pergunta.
O modelo supõe que sempre há gente nova para receber. Numa cidade real, depois de algumas horas, a mensagem começaria a chegar a quem já a tinha, e o crescimento perderia o ritmo.
Meia-vida · Passo 3
O iodo-131, usado no tratamento de doenças da tireoide, tem meia-vida de cerca de 8 dias. Suponha que um hospital adote a regra de só descartar um frasco com restos desse material quando a atividade dele ficar abaixo de 1/100 da atividade do dia em que o frasco foi fechado.

Considere 0,30 como aproximação para $\log 2$. Qual é o menor número inteiro de dias que o frasco precisa esperar?
1. 16
2. 40
3. 54
4. 56
5. 800
Ver resolução

Resposta: C.
A atividade depois de $t$ dias é $A_0 \cdot (1/2)^{t/8}$, e queremos $(1/2)^{t/8} < \dfrac{1}{100}$, isto é, $2^{t/8} > 100$.
Aplicando o logaritmo, $\dfrac{t}{8} \cdot 0{,}30 > 2$, e $t > 53{,}3$. O menor inteiro é 54.
Os 56 dias contam 7 meias-vidas inteiras, quando a atividade já caiu a 1/128, um pouco mais do que a regra pede. Os 40 dias são 5 meias-vidas, quando resta 1/32, e os 16 dias, 2 meias-vidas. Os 800 dias tratam o decaimento como se ele tirasse 1/100 da atividade a cada 8 dias.
Propriedades do logaritmo · Passo 5
Um site exige senhas de 8 caracteres, cada um escolhido entre 62 símbolos, as 26 letras minúsculas, as 26 maiúsculas e os 10 algarismos, com repetição permitida. O número de senhas possíveis é $62^8$.

Considere 1,79 como aproximação para $\log 62$. Escrito por extenso, o número de senhas possíveis tem quantos algarismos?
1. 14
2. 15
3. 16
4. 62
5. 496
Ver resolução

Resposta: B.
Pela regra da potência, $\log 62^8 = 8 \cdot 1{,}79 = 14{,}32$, e $62^8 = 10^{14{,}32}$.
Esse número fica entre $10^{14}$, que tem 15 algarismos, e $10^{15}$, que já tem 16, e todo número desse intervalo tem 15 algarismos.
A alternativa A confunde o expoente com o número de algarismos, e $10^{14}$ é o menor número com 15. A C arredonda o logaritmo para cima antes de contar. O 62 é só o número de símbolos possíveis para um caractere, e o 496 multiplica 62 por 8. O valor exato, 218.340.105.584.896, confirma os 15 algarismos.
Escalas logarítmicas · Passo 7
Num bar, o som ambiente chega a 95 dB, enquanto uma conversa normal fica em torno de 65 dB. O nível sonoro, em decibéis, é dado por $N = 10 \log \dfrac{I}{I_0}$, em que $I$ é a intensidade do som e $I_0$ é uma intensidade de referência.

A intensidade do som no bar é quantas vezes a intensidade de uma conversa normal?
1. 1,46
2. 30
3. 300
4. 1000
5. $10^{30}$
Ver resolução

Resposta: D.
Subtraindo os dois níveis, $95 - 65 = 10 \log \dfrac{I_1}{I_0} - 10 \log \dfrac{I_2}{I_0}$
$= 10 \log \dfrac{I_1}{I_2}$.
$\log \dfrac{I_1}{I_2} = 3$, e $\dfrac{I_1}{I_2} = 10^3$.
A alternativa A divide 95 por 65, como se a escala fosse proporcional, e a B toma a diferença de 30 dB como um fator. A C multiplica 30 por 10, e a E esquece de dividir por 10.
Segundo o NIDCD, a exposição longa ou repetida a partir de 85 dBA pode causar perda auditiva, e os 95 dB do bar ficam acima desse limite.
Eixo logarítmico · Passo 8
Num laboratório, o número de bactérias de uma cultura foi contado a cada 2 horas. O gráfico abaixo usa um eixo vertical logarítmico, em que cada marca vale 10 vezes a marca de baixo, e os pontos ficaram sobre uma reta.

Supondo que a cultura cresça sempre no mesmo ritmo, por qual fator o número de bactérias fica multiplicado a cada hora?
1. 2
2. $\sqrt{10} \approx 3{,}16$
3. 5
4. 10
5. 100
Ver resolução

Resposta: B.
Uma reta num eixo logarítmico quer dizer crescimento exponencial, $N(t) = 100 \cdot b^t$. Pelo gráfico, a cada 2 horas o número sobe uma marca, isto é, fica multiplicado por 10.
Em 2 horas o fator é $b^2 = 10$, e por hora, $b = \sqrt{10} \approx 3{,}16$. Conferindo, $\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 10$.
Quem divide os 10 por 2, como se o crescimento fosse por soma, chega a 5. O 10 é o fator de 2 horas, e o 100, o de 4 horas. O 2 pode vir de ler o próprio espaçamento das contagens como fator.
No gráfico, a reta tracejada até 8 h prevê um milhão de bactérias, uma previsão que depende de a cultura continuar com espaço e alimento.

Questões reais do ENEM sobre este tema

Todas estão no caderno azul do 2º dia, o de Ciências da Natureza e Matemática, e podem ser conferidas nos arquivos de provas do INEP.

ENEM 2011, 2º dia, caderno azul, questão 137. A escala de magnitude de momento liga a magnitude $M_W$ ao momento sísmico $M_0$ por um logaritmo, e a questão pede o $M_0$ do terremoto de Kobe, de 1995, a partir da magnitude.
ENEM 2013, 2º dia, caderno azul, questão 166. O césio-137 do acidente de Goiânia tem meia-vida de 30 anos, e com uma aproximação de $\log 2$ calculamos em quanto tempo a massa cai a 10% da inicial.
ENEM 2016, 2º dia, caderno azul, questão 160. Uma liga metálica sai do forno a 3000 °C e perde 1% da temperatura a cada 30 minutos, e o logaritmo dá o tempo até ela chegar a 30 °C.
ENEM 2016, 2º dia, caderno azul, questão 180. Os terremotos do Japão, em 2011, e de Sichuan, em 2013, de magnitudes 9,0 e 7,0, são comparados pela energia liberada, com a magnitude escrita como logaritmo da energia.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 174. Pela Lei de Moore, a densidade de transistores num processador dobra a cada dois anos, e precisamos achar o ano em que ela chega a 100 bilhões por centímetro quadrado.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 152. Uma indústria escolhe a medida de proteção de cada operário pelo nível sonoro em decibéis, e calculamos esse nível para uma máquina nova a partir da intensidade do som.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 148. A temperatura de uma caneca que sai do micro-ondas é modelada por $T(t) = a + 80 \cdot b^t$, e identificamos as constantes $a$ e $b$ a partir do gráfico.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 170. Dois terremotos, um com um décimo da energia do outro, são comparados por uma relação logarítmica entre magnitude e energia.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Progressões, começando em $a_0$$a_0 + k\,n$ e $a_0 \cdot b^{\,n}$

Função exponencial$f(x) = a \cdot b^x$, com $b > 0$ e $b \ne 1$

Com $a > 0$domínio $\mathbb{R}$, imagem $]0; +\infty[$; cresce com $b > 1$ e decresce com $0 < b < 1$

Meia-vida $T$$N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/T}$

Logaritmo$\log_b x = y \iff b^{\,y} = x$, com $x > 0$

Inversas uma da outra$b^{\log_b x} = x$ e $\log_b b^{\,y} = y$

Produto e quociente$\log(xy) = \log x + \log y$, $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$

Potência e mudança de base$\log x^k = k \log x$, $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$

Equação exponencial$b^{\,x} = c \iff x = \dfrac{\log c}{\log b}$

Tempo para multiplicar por $k$$\dfrac{\log k}{\log(1 + r)}$; para dobrar, cerca de $70/(100\,r)$

Escalas$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, $N = 10 \log(I/I_0)$

Eixo logarítmico$y = a \cdot b^x$ vira a reta $\log y = \log a + x \log b$

O que vale um passo em cada escala
Escala	Grandeza	Efeito de um passo
pH	concentração de H⁺, em mol/L	1 a menos no pH multiplica a concentração por 10
decibéis	intensidade do som, em W/m²	10 dB a mais multiplicam a intensidade por 10, e 3 dB a mais quase a dobram
magnitude	amplitude e energia de um terremoto	1 a mais multiplica a amplitude por 10 e a energia por cerca de 32

O que muda quando uma grandeza cresce multiplicando?

Para conversar

Como é o gráfico de \(y = a \cdot b^x\)?

Para conversar

Quanto tempo leva para sobrar metade?

Para conversar

Que expoente transforma a base nesse número?

Para conversar

Por que o logaritmo troca multiplicação por soma?

Para conversar

Quanto tempo até a grandeza dobrar?

Para conversar

Por que pH, decibéis e magnitude contam em potências de 10?

Para conversar

Como uma exponencial vira reta?

Para conversar

Desafios

Questões no estilo ENEM

Questões reais do ENEM sobre este tema

Cola da aula