Matemática · Ensino Médio · Funções

Funções

O preço da carne depende do peso na balança, a temperatura da tarde depende da hora, e a conta de luz depende do consumo do mês. Em cada caso uma grandeza fica determinada pela outra, e o gráfico deixa ver essa dependência inteira de uma vez, com os máximos, os trechos de subida e de descida e os saltos. A regra que devolve exatamente uma saída para cada entrada é o que chamamos de função.

1O que é uma função
2Domínio e imagem
3Leitura de gráficos
4Taxa de variação
5Funções por partes
6Transformações
7Composição
8Inversa
✓Desafios

PASSO 1

Que regra merece o nome de função?

Uma função de A em B é uma regra que associa a cada elemento do conjunto de partida A um único elemento do conjunto de chegada B. Podemos imaginá-la como uma máquina que recebe uma entrada e devolve uma saída, sempre a mesma para a mesma entrada.

Duas entradas podem dar a mesma saída. Se Ana e Bia tiraram 8 na prova, a regra que leva cada aluno à sua nota continua sendo função, porque cada aluna tem uma nota só. A definição proíbe duas coisas, a mesma entrada com duas saídas, como na relação que leva o 4 às duas raízes quadradas, 2 e −2, e uma entrada sem saída nenhuma.

No plano cartesiano, a entrada $x$ fica no eixo horizontal e a saída $y$ no vertical. Uma curva é o gráfico de uma função de $x$ quando toda reta vertical a corta no máximo uma vez. Esse teste da reta vertical traduz para o desenho a exigência de uma única saída por entrada, e uma reta vertical que não toca a curva só diz que aquele $x$ está fora do domínio.

$f: A \to B$$x \mapsto y = f(x)$Para cada $x \in A$ existe um, e só um, $y \in B$ com $y = f(x)$. Chamamos $y$ de imagem de $x$, e o passo 2 trata do domínio e da imagem da função inteira.

Para conversar

Na relação entre aluno e nota, arraste a ponta da flecha de Caio até o 8. Agora três alunos têm a mesma nota. A relação deixou de ser função?
Escolha "± raiz" e toque no 4 para ver o que a máquina devolve. Depois apague uma flecha de cada número que sai com duas. Que regra conhecida sobra?
No preço do quilo, arraste do 1 kg uma flecha nova até R$ 45. O que a máquina responde para 1 kg, e o que isso significaria na balança do açougue?
No modo da reta vertical, escolha o círculo e leve a reta até x = 2. Quantos cortes aparecem ali, e quantos logo à esquerda? Repita com a parábola deitada perto de x = 0.

É função?

Onde falha

Imagem dos pares

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{4, 5, 6\}$, a relação $\{(1, 4), (2, 5), (3, 5)\}$ é uma função de A em B?

Ver resolução
Cada elemento de A aparece como primeira coordenada exatamente uma vez, o 1 com o 4, o 2 com o 5 e o 3 com o 5.
O 2 e o 3 têm a mesma saída, o que a definição permite, e o 6 fica sem flecha chegando, o que ela também permite.
Sim, é função.
básico
Com os mesmos conjuntos, a relação $\{(1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 6)\}$ é uma função de A em B?

Ver resolução
O 1 sai com duas flechas, uma para o 4 e outra para o 5, e a regra não diz qual das duas é a saída de 1.
Não é função, por causa do 1.
básico
Com $A = \{0, 1, 2, 3\}$, a relação $\{(0, 1), (1, 2), (2, 3)\}$ é uma função de A em $\mathbb{N}$?

Ver resolução
Cada elemento listado tem uma saída só, mas o 3 está em A e não tem saída nenhuma.
Não é função de A em $\mathbb{N}$. Seria uma função de $\{0, 1, 2\}$ em $\mathbb{N}$.
básico
A regra que leva cada pessoa à sua data de nascimento é uma função? E a regra que leva cada data às pessoas nascidas nela?

Ver resolução
Cada pessoa nasceu num dia só, e por isso a primeira regra dá uma única saída por entrada. Muitas pessoas compartilham a data, o que não atrapalha.
Na segunda regra, uma mesma data leva a várias pessoas, e há datas em que, num grupo pequeno, ninguém nasceu.
A primeira é função e a segunda não é.
médio
Para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 3x - 2$, calcule $f(0)$ e $f(-1)$, e encontre o $x$ com $f(x) = 10$.

Ver resolução
$f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = -2$ e $f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -5$.
Para a saída 10, resolvemos $3x - 2 = 10$, que dá $3x = 12$.
$f(0) = -2$, $f(-1) = -5$ e $x = 4$.
médio
A circunferência $x^2 + y^2 = 25$ é o gráfico de uma função de $x$? Se não for, que parte dela é?

Ver resolução
A reta vertical $x = 3$ corta a circunferência em $(3, 4)$ e em $(3, -4)$, duas saídas para a mesma entrada.
Resolvendo para $y$, $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$. Ficando só com o sinal positivo, cada $x$ de $[-5; 5]$ tem uma saída.
Não é. A metade de cima, $y = \sqrt{25 - x^2}$, é o gráfico de uma função, e a de baixo também.
médio
Quais das equações definem $y$ como função de $x$ em todo o plano: (a) $y = |x|$, (b) $|y| = x$, (c) $x = 3$, (d) $y = 3$?

Ver resolução
(a) Para cada $x$ o valor absoluto é um número só.
(b) Com $x = 2$, tanto $y = 2$ quanto $y = -2$ servem.
(c) A própria curva é uma reta vertical, e a entrada $x = 3$ aparece com todos os valores de $y$, enquanto as outras entradas não têm saída.
(d) Cada $x$ tem a saída 3, uma reta horizontal que passa no teste.
(a) e (d) são funções de $x$; (b) e (c) não são.
médio
A curva $y^2 = x + 1$ é o gráfico de uma função de $x$? E $x$ é função de $y$ nessa curva?

Ver resolução
Com $x = 3$, $y^2 = 4$, e a reta vertical $x = 3$ corta a curva em $y = 2$ e em $y = -2$.
Isolando $x$, temos $x = y^2 - 1$, uma única saída para cada $y$.
$y$ não é função de $x$, mas $x$ é função de $y$, $x = y^2 - 1$. A curva é uma parábola deitada.
desafio
Quantas funções diferentes existem de $A = \{1, 2\}$ em $B = \{a, b, c\}$? Em quantas delas a imagem tem um elemento só?

Ver resolução
Uma função fica determinada pela saída de cada elemento de A. O 1 tem 3 escolhas e o 2 tem outras 3, independentes.
Isso dá $3 \cdot 3 = 9$ funções.
A imagem tem um elemento só quando 1 e 2 vão para o mesmo lugar, o que pode acontecer de 3 maneiras.
9 funções, e 3 delas têm imagem com um só elemento.
desafio
O gráfico de uma função passou no teste da reta vertical. Refletido pela reta $y = x$, ele continua passando? Dê um exemplo e diga quando isso acontece.

Ver resolução
A reflexão troca $x$ com $y$, e as retas verticais da figura nova correspondem às retas horizontais da figura antiga.
A parábola $y = x^2$ passa no teste, e a refletida, $x = y^2$, não passa, porque a horizontal $y = 4$ cortava a original em $x = 2$ e em $x = -2$.
Nem sempre. A figura refletida passa no teste quando a original é cortada no máximo uma vez por toda reta horizontal, isto é, quando entradas diferentes dão saídas diferentes. O passo 8 volta a essa ideia, na inversa.

PASSO 2

Que valores entram, e que valores saem?

Uma função vem com três conjuntos, e a regra sozinha não basta para descrevê-la. O domínio é o conjunto dos valores de $x$ que a função aceita como entrada, o contradomínio é o conjunto em que as saídas moram, e a imagem reúne só as saídas que de fato aparecem.

Quando ninguém diz qual é o domínio, tomamos o maior conjunto em que a conta pode ser feita, que chamamos de domínio natural. Duas contas costumam tirar números dele. A raiz quadrada de um número negativo não existe entre os reais, e por isso $\sqrt{x}$ só aceita $x \ge 0$, e a divisão por zero não tem resultado, o que tira o 0 do domínio de $1/x$.

No gráfico, o domínio é a sombra que a curva projeta no eixo $x$, e a imagem é a sombra que ela projeta no eixo $y$. A imagem cabe sempre dentro do contradomínio e pode ser bem menor que ele, como em $x^2$, que tem contradomínio $\mathbb{R}$ e nunca dá um número negativo.

Escrevemos esses conjuntos como intervalos. O colchete voltado para dentro, como em [2; 5], diz que a ponta pertence ao intervalo, e o colchete virado para fora, como em ]2; 5[, diz que ela fica de fora. O infinito leva sempre o colchete aberto. É a notação das escolas brasileiras, com ponto e vírgula entre as pontas porque a vírgula já serve de separador decimal.

$f: A \to B$$D(f) = A$$\text{Im}(f) \subset B$$D(f)$ é o domínio, $B$ é o contradomínio e $\text{Im}(f) = \{\,f(x) : x \in A\,\}$ é a imagem. Nos intervalos, [a; b] tem as duas pontas, ]a; b[ não tem nenhuma, e [a; +∞[ reúne todos os números a partir de a.

Para conversar

Escolha $x^2$ e use as alças para restringir o domínio a [0; 2]. Depois leve a alça da esquerda até −2 e compare as duas imagens. Por que a faixa do eixo $y$ não cresceu junto com a do eixo $x$?
Escolha $\sqrt{x}$ e arraste a alça da esquerda para os negativos. Onde ela para, e o que a regra precisaria fazer do outro lado?
Em $1/x$, deixe o 0 dentro do intervalo e compare a imagem com a de [1; 4]. O que acontece com a faixa do eixo $y$ quando uma alça chega perto do zero?
Com $\operatorname{sen} x$, alargue o intervalo aos poucos até a imagem parar de crescer. Depois mude a posição das alças sem mudar a largura. Que largura garante a imagem [−1; 1] em qualquer posição?

Regra

Domínio

Imagem

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é o domínio natural de $f(x) = \sqrt{x - 3}$?

Ver resolução
A raiz quadrada só existe entre os reais quando o radicando não é negativo, $x - 3 \ge 0$.
Isso dá $x \ge 3$.
$D(f) = [3; +\infty[$
básico
Qual é o domínio natural de $f(x) = \dfrac{5}{x + 2}$?

Ver resolução
A conta só falha quando o denominador zera, $x + 2 = 0$, ou seja, em $x = -2$.
Todos os outros reais servem.
$D(f) = \mathbb{R} - \{-2\}$, que também escrevemos $]-\infty; -2[ \cup ]-2; +\infty[$.
básico
A função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é dada por $f(x) = x^2$. Qual é o contradomínio, qual é a imagem, e o número $-1$ pertence a qual deles?

Ver resolução
O contradomínio é o conjunto que aparece depois da flecha, $\mathbb{R}$.
Um quadrado nunca é negativo, e todo $y \ge 0$ é o quadrado de $\sqrt{y}$, e assim a imagem é $[0; +\infty[$.
Contradomínio $\mathbb{R}$, imagem $[0; +\infty[$. O $-1$ está no contradomínio e fora da imagem.
básico
Escreva na notação de intervalo os conjuntos $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$ e $\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 1\}$.

Ver resolução
No primeiro, o $-2$ fica de fora e o 5 fica dentro, e por isso o colchete do $-2$ vira para fora.
No segundo, o 1 fica dentro e o intervalo não tem fim à direita, o que pede colchete aberto no infinito.
$]-2; 5]$ e $[1; +\infty[$
médio
Qual é o domínio natural de $f(x) = \dfrac{\sqrt{4 - x}}{x - 1}$?

Ver resolução
A raiz pede $4 - x \ge 0$, isto é, $x \le 4$.
A fração pede $x - 1 \ne 0$, isto é, $x \ne 1$.
As duas condições valem ao mesmo tempo, e o 1 sai do intervalo $]-\infty; 4]$.
$D(f) = ]-\infty; 1[ \cup ]1; 4]$
médio
Restrinja $f(x) = x^2$ ao domínio $[-1; 3]$. Qual é a imagem? Muita gente responde $[1; 9]$. Onde está o erro?

Ver resolução
Nas pontas temos $f(-1) = 1$ e $f(3) = 9$, e a resposta $[1; 9]$ supõe que o menor valor está numa ponta.
O zero, porém, está dentro do intervalo, e $f(0) = 0$ é menor que 1.
Entre 0 e 3 a função cresce de 0 até 9, e entre $-1$ e 0 ela só passa por valores de 0 a 1, que já estão cobertos.
$\text{Im}(f) = [0; 9]$. O mínimo aparece no meio do intervalo, em $x = 0$.
médio
O gráfico de uma função $f$ é uma linha sem saltos que vai do ponto $(-2, 3)$, marcado com bolinha cheia, ao ponto $(4, -1)$, marcado com bolinha vazia, descendo o tempo todo. Quais são o domínio e a imagem de $f$?

Ver resolução
A sombra do gráfico no eixo $x$ vai de $-2$, que pertence ao gráfico, até 4, que não pertence.
No eixo $y$, a sombra vai de 3, incluído, até $-1$, excluído, porque a função só desce.
$D(f) = [-2; 4[$ e $\text{Im}(f) = ]-1; 3]$
médio
A função $f: A \to B$, com $A = \{0, 1, 2, 3\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, é dada por $f(x) = 2x + 1$. Qual é a imagem, e quais elementos do contradomínio ficam sem flecha chegando?

Ver resolução
Calculando, $f(0) = 1$, $f(1) = 3$, $f(2) = 5$ e $f(3) = 7$.
A imagem é $\{1, 3, 5, 7\}$, contida em $B$ como deve ser.
$\text{Im}(f) = \{1, 3, 5, 7\}$, e os números 2, 4, 6 e 8 estão no contradomínio sem ser imagem de nenhum $x$.
desafio
Qual é o domínio natural de $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 4x}}$?

Ver resolução
A raiz pede $x^2 - 4x \ge 0$, e o denominador não pode ser zero, o que torna a desigualdade estrita, $x^2 - 4x > 0$.
Fatorando, $x(x - 4) > 0$. O produto é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal, ou seja, para $x < 0$ ou para $x > 4$.
$D(f) = ]-\infty; 0[ \cup ]4; +\infty[$
desafio
A função $f(x) = \dfrac{1}{x}$ tem domínio $[-2; 0[ \cup ]0; 4]$. Qual é a imagem, e o 0 pertence a ela?

Ver resolução
Em $[-2; 0[$, $1/x$ começa em $f(-2) = -0{,}5$ e desce sem limite à medida que $x$ se aproxima de 0 pela esquerda, o que dá $]-\infty; -0{,}5]$.
Em $]0; 4]$, a função vem de valores tão grandes quanto quisermos e desce até $f(4) = 0{,}25$, o que dá $[0{,}25; +\infty[$.
Uma fração com numerador 1 nunca vale zero.
$\text{Im}(f) = ]-\infty; -0{,}5] \cup [0{,}25; +\infty[$, e o 0 fica de fora.

PASSO 3

O que um gráfico de dados conta?

Um gráfico de dados guarda uma tabela inteira num desenho. Dele lemos o valor num instante, os trechos em que a grandeza cresce e aqueles em que decresce, o máximo e o mínimo, e os zeros, os instantes em que a grandeza vale zero e o sinal pode trocar.

A bancada traz duas séries reais. A primeira é a temperatura do ar medida de hora em hora pela estação do INMET no Mirante de Santana, em São Paulo, num dia seco de inverno, 16 de agosto de 2024. A segunda é o volume do Sistema Cantareira, que abastece boa parte da Grande São Paulo, no dia 1 de cada mês de 2013 a 2016, os anos da crise hídrica.

$y(t) = y_i + \dfrac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i}\,(t - x_i)$É o valor que o cursor lê entre duas medidas vizinhas, com $x_i \le t \le x_{i+1}$. Sobre uma medida, $t = x_i$, e o valor lido é o próprio $y_i$.

Os pontos são as medidas, e os segmentos que os ligam são uma escolha nossa. Entre duas medidas não sabemos o que aconteceu, e a reta supõe que a grandeza variou de modo regular, o que parece razoável para a temperatura de hora em hora e é menos seguro com medidas separadas por um mês.

O índice do Cantareira que usamos desconta a reserva técnica, a água que fica abaixo das tomadas normais e que só sai com bombas. Com o índice negativo, o volume útil já tinha acabado. Os rios continuavam trazendo água, e o que faltava para manter a captação, já reduzida, passou a ser tirado da reserva. Os dois zeros do gráfico marcam o esgotamento do volume útil, em 2014, e a sua recuperação, no fim de 2015.

Para conversar

Com a temperatura, arraste o cursor pela madrugada até achar o mínimo. Por que o dia tende a ficar mais frio logo antes do nascer do sol do que à meia-noite?
Leve o cursor até o meio de duas horas cheias, como 13h30. O valor lido foi medido pela estação? De onde ele vem?
Troque para o Cantareira e encontre os dois zeros. Por quantos meses, mais ou menos, o índice ficou negativo?
No Cantareira, procure o trecho de descida mais longo. Em que mês ele começa e em que mês termina, e o que a série faz logo depois?

No cursor

Trecho

Máximo

Mínimo

Zeros

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Numa cidade, a temperatura foi medida às 6h, 9h, 12h, 15h e 18h, com os valores 12, 18, 25, 27 e 21 °C. Quais são o máximo, o mínimo e a amplitude térmica dessas medidas?

Ver resolução
O maior valor é 27 °C, às 15h, e o menor é 12 °C, às 6h.
A amplitude é a diferença entre os dois, $27 - 12 = 15$.
Máximo de 27 °C às 15h, mínimo de 12 °C às 6h e amplitude de 15 °C.
básico
Na bancada, em 16/08/2024, a maior temperatura medida no Mirante de Santana foi 30,9 °C, às 15h, e a menor foi 14,5 °C, às 6h. Qual foi a amplitude térmica, e quantas horas a temperatura levou para ir do mínimo ao máximo?

Ver resolução
A amplitude é $30{,}9 - 14{,}5 = 16{,}4$.
Das 6h às 15h passam 9 horas, todas num trecho em que a série só cresce.
16,4 °C, em 9 horas.
básico
Uma função $f$, de gráfico sem saltos, cresce em $[0; 3]$ e decresce em $[3; 7]$, com $f(0) = -2$, $f(3) = 4$ e $f(7) = -1$. Quantos zeros ela tem em $[0; 7]$, e qual é o máximo?

Ver resolução
Em $[0; 3]$ a função sobe de $-2$ até 4 e passa pelo zero uma única vez, porque só sobe.
Em $[3; 7]$ ela desce de 4 até $-1$ e passa de novo pelo zero uma vez só.
Dois zeros, um em $]0; 3[$ e outro em $]3; 7[$. O máximo é $f(3) = 4$.
básico
A temperatura era 20 °C às 10h e 24 °C às 11h. Ligando as duas medidas por um segmento, que valor lemos às 10h30? Esse valor foi medido?

Ver resolução
Meia hora é metade do intervalo, e o segmento sobe metade de $24 - 20 = 4$, isto é, 2 °C.
$20 + 2 = 22$.
22 °C, um valor que vem do segmento e não de uma medida. A temperatura real às 10h30 pode ter sido um pouco diferente.
médio
Uma série tem $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ e $y = 3, 1, -2, -1, 2, 4$. Ligando os pontos por segmentos, onde ficam os zeros, e onde a série é positiva?

Ver resolução
O sinal troca entre $x = 1$ e $x = 2$, em que $y$ cai de 1 para $-2$. O segmento perde 3 em uma unidade e chega a zero depois de perder 1, em $x = 1 + \tfrac{1}{3}$.
Entre $x = 3$ e $x = 4$, $y$ sobe de $-1$ para 2, e o zero fica em $x = 3 + \tfrac{1}{3}$.
Zeros em $x = \tfrac{4}{3}$ e $x = \tfrac{10}{3}$. A série é positiva em $[0; \tfrac{4}{3}[$ e em $]\tfrac{10}{3}; 5]$, e negativa entre os dois zeros.
médio
No Cantareira, o índice foi de 62,8% em 1/5/2013 a $-24{,}3$% em 1/2/2015, descendo o tempo todo. Quanto ele caiu, em média, por mês?

Ver resolução
A variação foi $-24{,}3 - 62{,}8 = -87{,}1$ pontos percentuais.
De maio de 2013 a fevereiro de 2015 passam 21 meses.
$-87{,}1 / 21 \approx -4{,}1$.
Cerca de 4,1 pontos percentuais por mês. O passo 4 dá nome a essa conta, a taxa de variação média.
médio
Uma grandeza vale 10, 14, 17, 19 e 20 em cinco medidas igualmente espaçadas. Ela cresce em todo o intervalo? O crescimento é sempre do mesmo tamanho?

Ver resolução
Cada valor é maior que o anterior, e a série cresce em todo o intervalo.
Os aumentos, porém, são 4, 3, 2 e 1, cada vez menores.
Cresce sempre, cada vez mais devagar. O gráfico sobe e vai se achatando.
médio
O arquivo do INMET também traz, para cada hora, a maior temperatura registrada na hora anterior. Em 16/08/2024, entre 15h e 16h, ela chegou a 31,4 °C, acima dos 30,9 °C da bancada. Como as duas coisas podem ser verdade?

Ver resolução
A série da bancada guarda uma leitura por hora cheia, e o máximo do gráfico é o maior desses números.
Entre duas leituras a temperatura continuou mudando, e a estação registrou um pico de 31,4 °C no meio da hora, que nenhuma das leituras horárias pegou.
O máximo de uma série de medidas é o máximo do que foi medido. O máximo real do dia pode ter ficado entre duas medidas.
desafio
No Cantareira, o índice valia 1,8% em 1/7/2014 e $-3{,}3$% em 1/8/2014, e depois $-9{,}7$% em 1/12/2015 e 0,7% em 1/1/2016. Ligando os pontos por segmentos, estime quando o índice cruzou o zero nas duas vezes e por quanto tempo ficou negativo.

Ver resolução
Na primeira vez, o segmento perde $1{,}8 + 3{,}3 = 5{,}1$ pontos em um mês, e chega a zero depois de perder 1,8, em $1{,}8 / 5{,}1 \approx 0{,}35$ mês, perto do dia 11 de julho.
Na segunda, ganha $9{,}7 + 0{,}7 = 10{,}4$ pontos em um mês e chega a zero depois de $9{,}7 / 10{,}4 \approx 0{,}93$ mês, perto do fim de dezembro.
De meados de julho de 2014 ao fim de dezembro de 2015 são cerca de 17,6 meses.
Cerca de um ano e meio. Nos dados diários da Sabesp, o índice ficou negativo de 11/07/2014 a 30/12/2015, bem perto do que os segmentos estimam.
desafio
Uma grandeza que varia sem saltos valia 5 em $t = 2$ e $-3$ em $t = 6$. Ela passou pelo zero entre esses instantes? Quantas vezes? E o que o segmento entre as duas medidas diz?

Ver resolução
Para ir de um valor positivo a um negativo sem saltar, a grandeza precisa passar pelo zero ao menos uma vez.
Nada impede que ela tenha descido, subido e descido de novo, cruzando o zero três vezes, e as duas medidas não distinguem esses casos.
O segmento cai 8 em 4 unidades de tempo, 2 por unidade, e chega a zero em $t = 2 + 5/2 = 4{,}5$.
Passou ao menos uma vez, e o número exato de vezes não se decide com duas medidas. O segmento dá um único zero, em $t = 4{,}5$, que é uma estimativa.

PASSO 4

Quão depressa uma grandeza muda?

Entre dois valores da entrada, $a$ e $b$, a função passa de $f(a)$ para $f(b)$. A taxa de variação média divide a mudança na saída pela mudança na entrada e diz quanto $y$ muda, em média, para cada unidade de $x$.

No gráfico, os pontos $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ determinam uma reta, a secante. Quando andamos $\Delta x$ para a direita, ela sobe $\Delta y$, e a taxa média é a sua inclinação. Taxa positiva quer dizer secante subindo, taxa negativa quer dizer secante descendo, e a taxa zero aparece sempre que $f(a) = f(b)$, por mais que a curva tenha oscilado entre os dois pontos.

Num gráfico da posição $s$ contra o tempo $t$, a mesma conta dá a velocidade média, $\Delta s / \Delta t$, que a aula de Cinemática trata em detalhe. Na temperatura do passo 3, ela diz quantos graus o ar ganhou por hora. Das 6h às 12h de 16/08/2024 a temperatura foi de 14,5 °C a 28,5 °C, cerca de 2,3 °C por hora, e essa média junta horas de subida rápida com horas de subida lenta.

Quando aproximamos B de A, a secante passa a cortar a curva em dois pontos quase iguais e tende a uma reta que só encosta na curva em A. A taxa média num trecho tão curto descreve o que a função faz ali, naquele ponto, e essa ideia volta mais adiante no estudo de limites.

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$Vale para $a \ne b$. A unidade da taxa é a unidade de $y$ dividida pela de $x$, como °C por hora ou km por hora.

Para conversar

Em $x^2$, ponha A em −2 e B em 2. A taxa média dá zero, e a curva nem por isso ficou parada entre os dois pontos. O que ela fez no caminho?
Em $2^x$, mantenha B uma unidade à direita de A e leve o par da esquerda para a direita. O que acontece com a taxa, e o que isso diz sobre o crescimento da exponencial?
Escolha a temperatura e ponha A às 6h e B às 15h. Depois traga B para as 12h. Em qual dos dois trechos o ar esquentou mais depressa, em média?
Em $\operatorname{sen} x$, aproxime B de A até quase encostar, em vários lugares da curva. Onde a secante fica horizontal, e onde ela fica mais inclinada?

Ponto A

Ponto B

Δx

Δy

Taxa média

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a taxa de variação média de $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ e $x = 3$?

Ver resolução
$f(1) = 1$ e $f(3) = 9$.
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4$.
A taxa média é 4. Entre 1 e 3, $y$ cresce em média 4 para cada unidade de $x$.
básico
Um carro está no km 20 de uma estrada às 8h e no km 140 às 10h. Qual foi a sua velocidade média nesse intervalo?

Ver resolução
A posição mudou $\Delta s = 140 - 20 = 120$ km em $\Delta t = 10 - 8 = 2$ h.
$\Delta s / \Delta t = 120 / 2 = 60$.
60 km/h, a inclinação da secante no gráfico da posição contra o tempo.
básico
Na bancada, a temperatura em São Paulo era 14,5 °C às 6h e 28,5 °C às 12h de 16/08/2024. Quantos graus por hora o ar ganhou, em média, nessa manhã?

Ver resolução
$\Delta y = 28{,}5 - 14{,}5 = 14$ °C e $\Delta x = 12 - 6 = 6$ h.
$14 / 6 \approx 2{,}33$.
Cerca de 2,3 °C por hora, em média. Hora a hora, os aumentos foram de 0,5 °C a 3,4 °C.
básico
Calcule a taxa de variação média de $f(x) = 3x - 2$ entre $-1$ e $4$, e depois entre $10$ e $20$. Por que as duas dão o mesmo número?

Ver resolução
Entre $-1$ e 4, $\dfrac{10 - (-5)}{4 - (-1)} = \dfrac{15}{5} = 3$.
Entre 10 e 20, $\dfrac{58 - 28}{20 - 10} = \dfrac{30}{10} = 3$.
O gráfico é uma reta, e toda secante coincide com ela.
As duas valem 3, o coeficiente de $x$. Numa função afim a taxa média é a mesma em qualquer intervalo.
médio
Para $f(x) = 2^x$, calcule a taxa média entre 0 e 1, entre 1 e 2 e entre 2 e 3. O que os resultados mostram?

Ver resolução
Entre 0 e 1, $(2 - 1)/1 = 1$.
Entre 1 e 2, $(4 - 2)/1 = 2$.
Entre 2 e 3, $(8 - 4)/1 = 4$.
Taxas 1, 2 e 4. Com intervalos de mesma largura, a taxa dobra a cada passo, e a exponencial cresce cada vez mais depressa.
médio
A taxa média de $\operatorname{sen} x$ entre 0 e $\pi$ é zero. Isso quer dizer que a função ficou constante nesse intervalo?

Ver resolução
$\operatorname{sen} 0 = 0$ e $\operatorname{sen} \pi = 0$, e a taxa é $0/\pi = 0$.
No meio do caminho, porém, o seno sobe até 1 em $x = \pi/2$ e volta.
Não. A taxa média só compara as pontas, e uma subida seguida de uma descida do mesmo tamanho dá taxa zero.
médio
Na bancada, a temperatura era 30,9 °C às 15h e 23,8 °C às 20h. Qual foi a taxa média nesse trecho, e o que o sinal indica?

Ver resolução
$\Delta y = 23{,}8 - 30{,}9 = -7{,}1$ °C em $\Delta x = 5$ h.
$-7{,}1 / 5 = -1{,}42$.
$-1{,}42$ °C por hora. O sinal negativo indica que a temperatura caiu, e a secante desce da esquerda para a direita.
médio
Sabe-se que $f(1) = 5$ e que a taxa de variação média de $f$ entre 1 e 4 vale $-2$. Quanto vale $f(4)$?

Ver resolução
$\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = -2$, e assim $f(4) - 5 = -6$.
$f(4) = -1$.
desafio
Para $f(x) = x^2$, calcule a taxa média entre 2 e $2 + h$, com $h \ne 0$. O que acontece com ela quando $h$ vale 0,1, depois 0,01, depois 0,001?

Ver resolução
$\dfrac{(2 + h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h$.
Para $h = 0{,}1$, $0{,}01$ e $0{,}001$, a taxa vale 4,1, 4,01 e 4,001.
A taxa é $4 + h$ e se aproxima de 4 à medida que $h$ encolhe. A secante tende à reta de inclinação 4 que só encosta na parábola em $(2, 4)$.
desafio
Mostre que a taxa média de $f(x) = x^2$ entre $a$ e $b$, com $a \ne b$, vale $a + b$. Em que intervalo de largura 2 essa taxa é zero?

Ver resolução
$\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = \dfrac{(b - a)(b + a)}{b - a} = a + b$.
Com $b = a + 2$, a taxa $2a + 2$ zera em $a = -1$.
No intervalo $[-1; 1]$, simétrico em torno do vértice, onde $f(-1) = f(1)$.

PASSO 5

E quando a regra muda no meio do caminho?

Uma função definida por partes divide o domínio em faixas e usa uma regra diferente em cada faixa. Muitas tarifas funcionam assim, e o gráfico costuma denunciar as viradas de faixa, com quinas ou com saltos.

A conta de água da Sabesp na Região Metropolitana de São Paulo cobra um valor fixo pelos primeiros 10 m³ do mês, e quem gasta 3 m³ paga o mesmo que quem gasta 10. A partir daí, cada metro cúbico custa mais caro conforme a faixa em que cai, e o preço mais alto vale só para a parte do consumo que entra na faixa. O gráfico segue sem saltos e fica mais inclinado a cada virada, e cada quina marca uma troca de preço por m³.

O imposto de renda segue a mesma ideia, com alíquotas no lugar dos preços por m³. Quem ganha um pouco acima de uma virada paga a alíquota maior só sobre esse pouco, e por isso passar de faixa nunca faz a renda líquida cair. Em 2026 a Lei nº 15.270/2025 acrescentou à tabela uma redução que zera o imposto de quem recebe até R$ 5 mil por mês e diminui o de quem recebe até R$ 7.350, e a bancada mostra só a tabela progressiva.

O frete por peso tem outra forma. Cada faixa tem um preço único, e o pacote paga o preço inteiro da faixa em que cai. O gráfico é feito de degraus, com saltos nas viradas. A bolinha cheia no fim de cada degrau diz que o peso da virada ainda pertence à faixa de baixo, e a bolinha vazada no começo do degrau seguinte diz que ali a regra nova ainda não vale.

$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \le x_1 \\ f_2(x), & x_1 < x \le x_2 \\ \;\vdots \end{cases}$Em cada faixa vale uma regra. Nas tarifas progressivas as regras se emendam nas viradas e o gráfico só faz quina. Nas tabelas em degraus elas não se emendam e o gráfico salta.

Para conversar

Na conta de água, leve o consumo de 0 a 10 m³. O que acontece com o valor a pagar, e quanto custa o próximo m³ em cada ponto?
Ponha o consumo em 20 m³ e depois em 21 m³. A conta saltou, ou só passou a subir mais depressa? Compare com o frete entre 2 kg e 2,1 kg.
No imposto, escolha uma renda logo acima de uma virada de faixa. Quanto do imposto vem da alíquota nova? Confira na conta faixa a faixa.
No frete, procure dois pesos diferentes que paguem o mesmo valor. O que isso diz sobre a inversa dessa função, que o passo 8 vai tratar?

Consumo do mês

Valor a pagar

Faixa atual

Próximo m³

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Pela tabela residencial da Sabesp de 2026, os primeiros 10 m³ custam R$ 40,42 no mês. Quanto paga de água uma família que consumiu 8 m³? E uma que consumiu 3 m³?

Ver resolução
Os dois consumos ficam dentro da faixa mínima, que cobra um valor fixo.
R$ 40,42 nos dois casos. Até 10 m³ o gráfico é um trecho horizontal.
básico
Na mesma tabela, de 10 a 20 m³ cada m³ custa R$ 6,40. Quanto paga de água uma família que consumiu 18 m³?

Ver resolução
Os primeiros 10 m³ custam R$ 40,42.
Os 8 m³ seguintes caem na segunda faixa, $8 \times 6{,}40 = 51{,}20$.
$40{,}42 + 51{,}20 = 91{,}62$.
R$ 91,62 pela água.
básico
Na tabela de frete da bancada, pacotes de 1 kg a 2 kg pagam R$ 32 e pacotes de 2 kg a 5 kg pagam R$ 45, com o 2 kg na faixa de baixo. Quanto custa mandar 1,8 kg? E 2,1 kg?

Ver resolução
1,8 kg fica na faixa até 2 kg, que custa R$ 32 inteiros.
2,1 kg passa da virada e cai na faixa de 2 a 5 kg.
R$ 32 e R$ 45. Os 300 gramas a mais custam R$ 13.
básico
Seja $f(x) = x + 1$ para $x < 2$ e $f(x) = 5 - x$ para $x \ge 2$. Calcule $f(0)$, $f(2)$ e $f(5)$. O gráfico salta em $x = 2$?

Ver resolução
$f(0) = 0 + 1 = 1$, $f(2) = 5 - 2 = 3$ e $f(5) = 5 - 5 = 0$.
Pela esquerda, $x + 1$ se aproxima de 3 quando $x$ chega a 2, o mesmo valor de $f(2)$.
$f(0) = 1$, $f(2) = 3$, $f(5) = 0$. As duas regras se emendam em $(2, 3)$, e o gráfico faz uma quina sem saltar.
médio
Com a tabela residencial da Sabesp de 2026 (R$ 40,42 até 10 m³, R$ 6,40 por m³ de 10 a 20 e R$ 15,95 por m³ de 20 a 50), quanto custa a água de 30 m³? Onde há coleta de esgoto, que é cobrada pela mesma tabela, quanto fica a conta inteira?

Ver resolução
Faixa mínima, R$ 40,42.
De 10 a 20 m³, $10 \times 6{,}40 = 64{,}00$.
De 20 a 30 m³, $10 \times 15{,}95 = 159{,}50$.
Água, $40{,}42 + 64{,}00 + 159{,}50 = 263{,}92$.
R$ 263,92 pela água e R$ 527,84 com o esgoto.
médio
Uma pessoa com renda tributável de R$ 3.000 por mês viu na tabela que a faixa dela tem alíquota de 15% e concluiu que paga $0{,}15 \times 3000 = 450$ reais de imposto. Onde está o erro? Use a tabela de 2026, sem a redução.

Ver resolução
A alíquota de 15% vale só para a parte da renda acima de R$ 2.826,65.
Até R$ 2.428,80, nada.
De R$ 2.428,80 a R$ 2.826,65, $397{,}85 \times 0{,}075 \approx 29{,}84$.
De R$ 2.826,65 a R$ 3.000, $173{,}35 \times 0{,}15 \approx 26{,}00$.
Pela parcela a deduzir da Receita, $0{,}15 \times 3000 - 394{,}16 = 55{,}84$, o mesmo valor.
R$ 55,84. Aplicar a alíquota da última faixa sobre a renda toda cobra 15% de reais que estão em faixas mais baratas.
médio
Pela tabela progressiva de 2026, o imposto sobre R$ 5.000 é $0{,}275 \times 5000 - 908{,}73$. Quanto dá, e que porcentagem da renda isso representa? Por que o valor fica tão abaixo de 27,5%?

Ver resolução
$1375 - 908{,}73 = 466{,}27$.
$466{,}27 / 5000 \approx 0{,}093$.
R$ 466,27, cerca de 9,3% da renda. A bancada mostra R$ 466,28 porque soma faixa a faixa, e a Receita arredonda a parcela a deduzir ao centavo, o que pode deixar os dois caminhos um centavo distantes. Os 27,5% só incidem sobre o que passa de R$ 4.664,68, e as faixas de baixo pesam menos. Em 2026, a redução da Lei nº 15.270/2025 ainda zera esse imposto.
médio
No frete da bancada, quanto valem $F(2)$ e $F(2{,}001)$? Que bolinhas aparecem no gráfico em $x = 2$, e o que cada uma quer dizer?

Ver resolução
O 2 pertence à faixa de 1 a 2 kg, e $F(2) = 32$.
Qualquer peso logo acima de 2 cai na faixa seguinte, e $F(2{,}001) = 45$.
Bolinha cheia em $(2, 32)$, porque o ponto pertence ao gráfico, e bolinha vazada em $(2, 45)$, porque o degrau de cima começa logo depois do 2 sem incluí-lo.
desafio
A parcela a deduzir da faixa de 15% da tabela de 2026 é R$ 394,16. Mostre de onde vem esse número, sabendo que o imposto sobre R$ 2.826,65 é R$ 29,84.

Ver resolução
Na faixa de 15%, o imposto é o valor da virada mais 15% do que passa dela, $29{,}84 + 0{,}15\,(x - 2826{,}65)$.
Abrindo os parênteses, o imposto fica $0{,}15x - (0{,}15 \times 2826{,}65 - 29{,}84)$.
Como $0{,}15 \times 2826{,}65 \approx 424{,}00$, o que se subtrai é $424{,}00 - 29{,}84$.
$424{,}00 - 29{,}84 = 394{,}16$. A parcela a deduzir é o desconto que transforma a conta faixa a faixa numa única multiplicação.
desafio
A parte de água de uma conta residencial da Sabesp de 2026 veio em R$ 200,12. Quantos m³ a família consumiu?

Ver resolução
Até 20 m³ a água custa no máximo $40{,}42 + 64{,}00 = 104{,}42$, menos que a conta.
O consumo passou de 20 m³, e o que sobra, $200{,}12 - 104{,}42 = 95{,}70$, foi pago a R$ 15,95 o m³.
$95{,}70 / 15{,}95 = 6$.
26 m³. A conta inverte a função faixa a faixa, primeiro achando a faixa e depois resolvendo a regra dela.

PASSO 6

Como mexer num gráfico sem refazer a conta?

Muitas funções que aparecem nos problemas são uma curva conhecida que foi deslocada, esticada ou espelhada. O gráfico de $y = 2(x - 1)^2 + 3$ é a parábola de $x^2$ levada uma unidade para a direita, esticada duas vezes na vertical e erguida três unidades. Quatro números descrevem essas mudanças, e cada um age de um jeito.

O $k$, somado do lado de fora, sobe a curva inteira quando é positivo e a desce quando é negativo. O $h$, subtraído do $x$ lá dentro, leva a curva para os lados, e com $h$ positivo ela anda para a direita. Isso costuma parecer ao contrário, já que o sinal que aparece na fórmula é o de menos. A curva nova chega em $x = h$ ao valor que a antiga tinha em $x = 0$, e por isso tudo nela acontece $h$ unidades mais tarde.

O $a$ multiplica as saídas e estica a curva na vertical, ou a achata quando fica entre −1 e 1. Com $a$ negativo as saídas trocam de sinal, e o gráfico se espelha no eixo $x$. O $b$ multiplica a entrada e age na horizontal ao contrário do que o número sugere. Com $b = 2$ a curva chega a cada valor na metade do caminho e fica comprimida, e com $b$ negativo a entrada troca de sinal e o gráfico se espelha no eixo $y$.

$y = a\,f\big(b\,(x - h)\big) + k$Com $a \ne 0$ e $b \ne 0$, o ponto $(x_0, y_0)$ do gráfico de $f$ vai para $\big(h + x_0/b,\ a\,y_0 + k\big)$. Os parâmetros $a$ e $k$ agem nas saídas e mexem na vertical, e $b$ e $h$ agem na entrada e mexem na horizontal.

Lida de dentro para fora, a fórmula subtrai $h$, multiplica por $b$, aplica $f$, multiplica por $a$ e soma $k$. É uma cadeia de funções aplicadas uma depois da outra, a composição que o passo 7 trata com calma.

Para conversar

Escolha $x^2$ e leve $h$ para 2. Para onde foi o vértice? Escreva a fórmula com $x - 2$ e confira que $x = 2$ zera o parêntese.
Com $|x|$, aperte "Espelhar no eixo y". A curva mudou? Faça o mesmo com $2^x$ e explique a diferença.
Em $\operatorname{sen} x$, ponha $b = 2$ e depois $b = 0{,}5$. Quantas ondas cabem na tela em cada caso, e o que aconteceu com a altura delas?
Em $1/x$, mexa em $h$ e em $k$ e acompanhe as duas retas de que a curva se aproxima sem tocar. Que parâmetro move cada uma?

a, vertical

b, horizontal

h, para os lados

k, para cima

Ponto marcado

O que cada número faz

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
A partir do gráfico de $y = x^2$, descreva o de $y = (x + 3)^2 - 2$. Onde fica o vértice?

Ver resolução
Na forma $a\,f\big(b\,(x - h)\big) + k$, o parêntese $x + 3$ é $x - (-3)$, e assim $h = -3$ e $k = -2$, com $a = b = 1$.
O vértice de $x^2$, em $(0, 0)$, vai para $(-3, -2)$.
A parábola anda 3 unidades para a esquerda e desce 2, com vértice em $(-3, -2)$.
básico
O gráfico de $y = \sqrt{x}$ começa na origem. Onde começa o de $y = \sqrt{x - 4} + 1$, e qual é o domínio dessa função?

Ver resolução
Aqui $h = 4$ e $k = 1$, e a origem vai para $(4, 1)$.
A raiz pede $x - 4 \ge 0$, ou seja, $x \ge 4$.
Começa em $(4, 1)$, e o domínio é $[4; +\infty[$.
básico
Que fórmula descreve o gráfico de $y = |x|$ espelhado no eixo $x$ e depois erguido 3 unidades?

Ver resolução
Espelhar no eixo $x$ troca o sinal das saídas, $a = -1$, e dá $y = -|x|$.
Erguer 3 unidades soma 3 do lado de fora, $k = 3$.
$y = -|x| + 3$, um V de cabeça para baixo com o bico em $(0, 3)$.
básico
O gráfico de $y = 2^x$ passa por $(0, 1)$. Por onde passa o de $y = 3 \cdot 2^x$? E o de $y = 2^{-x}$?

Ver resolução
Com $a = 3$, a altura do ponto é multiplicada por 3, e $(0, 1)$ vai para $(0, 3)$.
Com $b = -1$, a abscissa vira $0/(-1) = 0$, e o ponto fica em $(0, 1)$. A curva inteira, porém, se espelha no eixo $y$.
$(0, 3)$ e $(0, 1)$. A segunda curva é o espelho de $2^x$ no eixo $y$ e decresce, já que $2^{-x} = (1/2)^x$.
médio
Compare $y = 2\operatorname{sen} x$ com $y = \operatorname{sen}(2x)$. Qual das duas tem imagem $[-2; 2]$, e qual tem período $\pi$?

Ver resolução
Em $2\operatorname{sen} x$, $a = 2$ multiplica as saídas, a imagem passa a $[-2; 2]$ e as ondas mantêm a largura $2\pi$.
Em $\operatorname{sen}(2x)$, $b = 2$ faz a curva chegar a cada valor na metade do caminho, e uma onda inteira cabe em $2\pi / 2 = \pi$. A altura continua entre $-1$ e 1.
$2\operatorname{sen} x$ tem imagem $[-2; 2]$, e $\operatorname{sen}(2x)$ tem período $\pi$.
médio
O ponto $(2, 5)$ está no gráfico de uma função $f$. Que ponto está, com certeza, no gráfico de $y = 3f(x - 1) - 4$?

Ver resolução
Com $a = 3$, $b = 1$, $h = 1$ e $k = -4$, o ponto vai para $\big(1 + 2,\ 3 \cdot 5 - 4\big) = (3, 11)$.
Conferindo, em $x = 3$ o parêntese vale $3 - 1 = 2$, $f(2) = 5$ e $3 \cdot 5 - 4 = 11$.
$(3, 11)$
médio
Escreva $y = x^2 - 6x + 11$ na forma $a(x - h)^2 + k$ e descreva o gráfico a partir do de $x^2$.

Ver resolução
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$, e assim $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$.
Isso dá $a = 1$, $h = 3$ e $k = 2$.
$y = (x - 3)^2 + 2$, a parábola de $x^2$ levada 3 unidades para a direita e 2 para cima, com vértice em $(3, 2)$.
médio
O gráfico de $y = 1/x$ se aproxima, sem tocar, das retas $x = 0$ e $y = 0$, as suas assíntotas. Quais são as assíntotas de $y = \dfrac{1}{x - 2} + 1$, e quais são o domínio e a imagem dessa função?

Ver resolução
Com $h = 2$, a assíntota vertical anda de $x = 0$ para $x = 2$.
Com $k = 1$, a horizontal sobe de $y = 0$ para $y = 1$.
A curva de $1/x$ não passa por $x = 0$ nem por $y = 0$, e a nova não passa pelas retas deslocadas.
Assíntotas $x = 2$ e $y = 1$, domínio $\mathbb{R} - \{2\}$ e imagem $\mathbb{R} - \{1\}$.
desafio
Um estudante diz que o gráfico de $y = \sqrt{2x - 6}$ é o de $\sqrt{x}$ comprimido duas vezes e levado 6 unidades para a direita. Corrija, escrevendo a função na forma $f\big(b\,(x - h)\big)$.

Ver resolução
Pondo o 2 em evidência, $2x - 6 = 2(x - 3)$, e assim $b = 2$ e $h = 3$.
O gráfico começa onde o radicando zera, $2x - 6 = 0$, em $x = 3$.
Comprimir e depois levar 6 para a direita daria $\sqrt{2(x - 6)} = \sqrt{2x - 12}$, outra função.
$y = \sqrt{2(x - 3)}$, comprimida duas vezes e levada 3 unidades para a direita. O 6 da fórmula já é o $h$ multiplicado por $b$.
desafio
Uma função é par quando $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ do domínio. Mostre que espelhar no eixo $y$ o gráfico de uma função par não muda nada, e decida se $f(x) = x^2 + x$ é par.

Ver resolução
Espelhar no eixo $y$ é tomar $b = -1$, o que dá $y = f(-x)$. Para uma função par, $f(-x) = f(x)$, e a fórmula é a mesma.
Para $x^2 + x$, $f(1) = 2$ e $f(-1) = 0$, e um único $x$ com $f(-x) \ne f(x)$ basta.
O espelho é $y = x^2 - x$, com vértice em $(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{4})$, enquanto o de $f$ fica em $(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{4})$.
$x^2 + x$ não é par. O espelho dela é outra parábola, $x^2 - x$. Na bancada, $x^2$ e $|x|$ são pares, e por isso o botão do eixo $y$ não as muda.

PASSO 7

O que acontece quando uma função alimenta a outra?

Numa compra feita no exterior com cartão, o preço em dólares passa por algumas contas até virar o valor da fatura. Cada conta é uma função, e a saída de uma vira a entrada da seguinte. Essa ligação em série se chama composição.

Escrevemos $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ e lemos "g composta com f". A conta começa por dentro, com $f$ aplicada a $x$, e só depois $g$ age sobre o resultado. A notação engana quem lê da esquerda para a direita, porque a função escrita primeiro é a última a agir.

A ordem costuma mudar o resultado. Se uma máquina converte dólares em reais multiplicando por 5 e a outra soma uma tarifa de 10, converter e depois somar dá $5x + 10$, e somar e depois converter dá $5(x + 10) = 5x + 50$. Quando as duas multiplicam, como o câmbio e o IOF, a ordem deixa de importar, porque $1{,}035 \cdot 5x = 5 \cdot 1{,}035x$.

A composta só existe onde a cadeia não quebra. Um $x$ pertence ao domínio de $g \circ f$ quando está no domínio de $f$ e quando $f(x)$ cai no domínio de $g$. Com $f(x) = x - 4$ e $g(x) = \sqrt{x}$, a composta $g(f(x)) = \sqrt{x - 4}$ aceita só $x \ge 4$, embora $f$ aceite qualquer número.

$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$$x \in D(g \circ f)$$\iff x \in D(f)\ \text{e}\ f(x) \in D(g)$Primeiro $f$, depois $g$. Em geral $g \circ f \ne f \circ g$, e as duas só coincidem em casos particulares, como o de duas funções que apenas multiplicam.

Para conversar

Com câmbio e depois tarifa, leve o preço de US$ 20 a US$ 180. A diferença para a outra ordem muda? Por que ela fica sempre igual?
Troque a tarifa pelo IOF e compare as duas ordens. O que essas duas máquinas têm em comum que a tarifa não tinha?
Escolha tarifa e IOF. Em uma das ordens o imposto incide também sobre a tarifa. Em qual, e quanto isso custa?
Se você fosse o banco e pudesse escolher a ordem do câmbio e da tarifa, qual escolheria? E se fosse o cliente?

Preço em dólares

Entrada

Depois da 1ª

Depois da 2ª

Na outra ordem

Diferença

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$, calcule $g(f(3))$ e $f(g(3))$.

Ver resolução
$f(3) = 7$ e $g(7) = 49$.
$g(3) = 9$ e $f(9) = 19$.
$g(f(3)) = 49$ e $f(g(3)) = 19$.
básico
Com $f(x) = x + 4$ e $g(x) = 3x$, escreva $(g \circ f)(x)$ e $(f \circ g)(x)$.

Ver resolução
$g(f(x)) = 3(x + 4) = 3x + 12$.
$f(g(x)) = 3x + 4$.
$3x + 12$ e $3x + 4$, que diferem por 8 em todo $x$. O 4 somado antes de multiplicar sai multiplicado por 3.
básico
Com o câmbio a R$ 5 por dólar e o IOF de 3,5%, quanto aparece na fatura por uma compra de US$ 40? A ordem das contas importa?

Ver resolução
Convertendo primeiro, $5 \cdot 40 = 200$ e $1{,}035 \cdot 200 = 207$.
Com o IOF primeiro, $1{,}035 \cdot 40 = 41{,}40$ dólares e $5 \cdot 41{,}40 = 207$.
R$ 207,00 nas duas ordens. As duas contas são multiplicações, e a ordem dos fatores não altera o produto.
básico
Sabe-se que $f(1) = 3$, $f(2) = 1$, $f(3) = 2$, $g(1) = 2$, $g(2) = 3$ e $g(3) = 1$. Calcule $(g \circ f)(1)$, $(f \circ g)(1)$ e $(f \circ f)(2)$.

Ver resolução
$g(f(1)) = g(3) = 1$.
$f(g(1)) = f(2) = 1$.
$f(f(2)) = f(1) = 3$.
1, 1 e 3.
médio
Com $f(x) = x^2$ e $g(x) = x - 3$, escreva $g \circ f$ e $f \circ g$ e resolva $g(f(x)) = f(g(x))$.

Ver resolução
$g(f(x)) = x^2 - 3$ e $f(g(x)) = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Igualando, $x^2 - 3 = x^2 - 6x + 9$, o que dá $6x = 12$.
$x = 2$, o único ponto em que as duas compostas coincidem, ambas valendo 1.
médio
Qual é o domínio de $g \circ f$, com $f(x) = 1 - x$ e $g(x) = \sqrt{x}$?

Ver resolução
$f$ aceita qualquer real, e $g$ pede entrada não negativa.
$g(f(x)) = \sqrt{1 - x}$ exige $1 - x \ge 0$, isto é, $x \le 1$.
$D(g \circ f) = ]-\infty; 1]$
médio
Escreva $h(x) = (2x + 5)^3$ como composição de duas funções mais simples. Há uma única maneira?

Ver resolução
Com $f(x) = 2x + 5$ e $g(x) = x^3$, $g(f(x)) = (2x + 5)^3$.
Com $f(x) = 2x$ e $g(x) = (x + 5)^3$, também se chega a $h$.
$h = g \circ f$, com $f(x) = 2x + 5$ e $g(x) = x^3$. A decomposição não é única.
médio
Com $f(x) = ax + 3$ e $g(x) = 2x - 1$, para que valor de $a$ vale $f \circ g = g \circ f$?

Ver resolução
$f(g(x)) = a(2x - 1) + 3$ $= 2ax - a + 3$.
$g(f(x)) = 2(ax + 3) - 1 = 2ax + 5$.
Os termos em $x$ já coincidem, e falta $-a + 3 = 5$.
$a = -2$. Conferindo, as duas compostas dão $-4x + 5$.
desafio
Com $f(x) = x^2 - 2x$ e $g(x) = x + 1$, escreva $f \circ g$ e mostre que o gráfico dela é o de $f$ deslocado. Para que lado, e de quanto?

Ver resolução
$f(g(x)) = (x + 1)^2 - 2(x + 1)$ $= x^2 + 2x + 1 - 2x - 2$ $= x^2 - 1$.
Completando o quadrado, $f(x) = (x - 1)^2 - 1$, com vértice em $(1, -1)$, e $f(g(x)) = f(x + 1)$ tem vértice em $(0, -1)$.
$f(g(x)) = x^2 - 1$, o gráfico de $f$ levado 1 unidade para a esquerda. Somar 1 antes de $f$ é o $h = -1$ do passo 6.
desafio
Numa loja, uma compra de $x$ reais pode receber um desconto de 20%, $D(x) = 0{,}8x$, e um cupom de R$ 30, $C(x) = x - 30$. Escreva as duas ordens e diga qual é melhor para o cliente, e por quanto.

Ver resolução
Desconto e depois cupom, $C(D(x)) = 0{,}8x - 30$.
Cupom e depois desconto, $D(C(x)) = 0{,}8(x - 30) = 0{,}8x - 24$.
A diferença é $30 - 24 = 6$ para qualquer $x$.
Aplicar o desconto primeiro sai R$ 6 mais barato. Na outra ordem, o desconto de 20% também reduz o cupom, de 30 para 24.

PASSO 8

Dá para desfazer o que uma função fez?

A inversa de uma função $f$ é a função que desfaz o que $f$ fez. Se $f$ leva a temperatura em graus Celsius à temperatura em graus Fahrenheit, a inversa recebe o valor em Fahrenheit e devolve o Celsius de onde ele veio. Escrevemos $f^{-1}$, e o expoente aqui é só um nome, sem relação com $1/f$.

Para desfazer, cada saída precisa ter vindo de uma única entrada, e a função com essa propriedade se chama injetora. A inversa também precisa de uma saída para cada elemento do conjunto de chegada de $f$, o que pede uma função sobrejetora, aquela cuja imagem é o contradomínio inteiro. Só a função que é as duas coisas, chamada de bijetora, tem inversa. Na prática tomamos a imagem como conjunto de chegada, e o que sobra para conferir é a injetividade.

Trocar a entrada com a saída troca os eixos, e por isso o gráfico de $f^{-1}$ é o de $f$ espelhado na reta $y = x$. A parábola de $x^2$ em todo $\mathbb{R}$ falha, porque 2 e −2 dão 4, e o espelho dela é a parábola deitada do passo 1, que não é gráfico de função. Restringindo o domínio a $x \ge 0$, sobra meia parábola, injetora, cujo espelho é o gráfico de $\sqrt{x}$. É por isso que a raiz quadrada devolve sempre o número não negativo.

$f^{-1}\big(f(x)\big) = x$$f\big(f^{-1}(y)\big) = y$$(a, b) \in \text{gráfico de } f$$\iff (b, a) \in \text{gráfico de } f^{-1}$A primeira igualdade vale para todo $x$ do domínio de $f$, e a segunda para todo $y$ da imagem. Para achar a fórmula da inversa, escrevemos $y = f(x)$, isolamos $x$ e depois trocamos os nomes das variáveis.

Para conversar

Em °C → °F, arraste o ponto até −40. Onde fica o espelho dele, e por que essa temperatura se escreve igual nas duas escalas?
Escolha $x^2$ e puxe a alça do domínio para −2. O que acontece com o espelho, e onde a reta vertical o corta duas vezes?
Com $x^2$ restrita a $x \ge 0$, ponha o ponto em $x = 3$ e leia o espelho. Que conta a inversa fez com o 9?
Em $2^x$, leve o ponto para a esquerda. O espelho chega a encostar no eixo $y$? Que função é essa inversa?

Entrada x

Saída f(x)

Injetora?

Sobrejetora sobre a imagem?

Fórmula da inversa

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 6$ e confira com $x = 1$.

Ver resolução
De $y = 3x - 6$ vem $3x = y + 6$ e $x = \dfrac{y + 6}{3}$.
Trocando os nomes, $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3} = \dfrac{x}{3} + 2$.
Conferindo, $f(1) = -3$ e $f^{-1}(-3) = -1 + 2 = 1$.
$f^{-1}(x) = \dfrac{x}{3} + 2$
básico
A temperatura em Fahrenheit é $F = 1{,}8\,C + 32$. Que temperatura em Celsius corresponde a 86 °F?

Ver resolução
A inversa é $C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$.
$\dfrac{86 - 32}{1{,}8} = \dfrac{54}{1{,}8} = 30$.
30 °C
básico
A função $f(x) = x^2$, com domínio $\mathbb{R}$, tem inversa? Explique com dois números.

Ver resolução
$f(3) = 9$ e $f(-3) = 9$.
Uma inversa teria de levar o 9 de volta a uma entrada só, e há duas candidatas.
Não tem, porque $f$ não é injetora em $\mathbb{R}$. Restrita a $x \ge 0$, passa a ter, e a inversa é $\sqrt{x}$.
básico
O ponto $(2, 7)$ está no gráfico de uma função inversível $f$. Que ponto está, com certeza, no gráfico de $f^{-1}$? Quanto vale $f^{-1}(7)$?

Ver resolução
$f(2) = 7$, e a inversa desfaz essa conta, $f^{-1}(7) = 2$.
No gráfico, isso troca as coordenadas.
$(7, 2)$, e $f^{-1}(7) = 2$.
médio
Encontre a inversa de $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$, com $x \ne 2$. Qual é o domínio da inversa?

Ver resolução
De $y(x - 2) = x + 1$ vem $yx - 2y = x + 1$, e assim $x(y - 1) = 2y + 1$.
Para $y \ne 1$, $x = \dfrac{2y + 1}{y - 1}$, e trocando os nomes, $f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.
Como $f(x) = 1 + \dfrac{3}{x - 2}$, o valor 1 nunca sai de $f$, e a imagem de $f$ é $\mathbb{R} - \{1\}$.
$f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, com domínio $\mathbb{R} - \{1\}$, a imagem de $f$.
médio
Restrinja $f(x) = (x - 1)^2$ ao maior intervalo que contém o 3 e em que ela é injetora, e encontre a inversa.

Ver resolução
O vértice está em $x = 1$, e a parábola só sobe a partir dali. O intervalo é $[1; +\infty[$.
De $y = (x - 1)^2$ com $x \ge 1$ vem $x - 1 = \sqrt{y}$.
$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x}$, com domínio $[0; +\infty[$ e imagem $[1; +\infty[$.
médio
A função $f(x) = 2^x$ tem inversa? Qual é o domínio de $f^{-1}$, e quanto vale $f^{-1}(32)$?

Ver resolução
$2^x$ só cresce, e é injetora em $\mathbb{R}$. A imagem é $]0; +\infty[$.
A inversa é o logaritmo de base 2, $f^{-1}(x) = \log_2 x$, definida na imagem de $f$.
$2^5 = 32$.
Tem, com domínio $]0; +\infty[$, e $f^{-1}(32) = 5$.
médio
Mostre que $f(x) = 5 - x$ é a sua própria inversa. O que isso diz sobre o gráfico dela?

Ver resolução
De $y = 5 - x$ vem $x = 5 - y$, e trocando os nomes, $f^{-1}(x) = 5 - x = f(x)$.
Conferindo, $f(f(x)) = 5 - (5 - x) = x$.
$f^{-1} = f$. O gráfico coincide com o seu espelho na reta $y = x$, e a reta $y = 5 - x$ é perpendicular a ela.
desafio
Em que ponto o gráfico de $f(x) = 2x - 3$ encontra o da sua inversa? Mostre que, para uma função crescente, um encontro desses fica sempre sobre a reta $y = x$.

Ver resolução
$f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{2}$. Igualando, $2x - 3 = \dfrac{x + 3}{2}$, $4x - 6 = x + 3$, $x = 3$, e o ponto é $(3, 3)$.
No caso geral, um ponto $(a, b)$ comum aos dois gráficos dá $f(a) = b$ e $f(b) = a$.
Se fosse $a < b$, uma função crescente daria $f(a) < f(b)$, isto é, $b < a$, uma contradição. O caso $a > b$ cai na mesma contradição.
$(3, 3)$. Com $f$ crescente o encontro tem $a = b$ e fica sobre $y = x$. Uma função decrescente pode encontrar a inversa fora dessa reta.
desafio
A conta de água do passo 5 cobra R$ 40,42 por qualquer consumo até 10 m³ e depois sobe faixa a faixa. Ela tem inversa em $[0; 60]$? E em $[10; 60]$?

Ver resolução
Em $[0; 10]$ todos os consumos dão R$ 40,42, e a conta não é injetora em $[0; 60]$. Ninguém saberia dizer, pelo valor da água, se a família gastou 3 ou 8 m³.
A partir de 10 m³ cada faixa cobra um preço positivo por m³, e a conta só cresce. Em $[10; 60]$ ela é injetora, e restrita à sua imagem tem inversa.
Não em $[0; 60]$, sim em $[10; 60]$. O desafio 10 do passo 5, que achou 26 m³ a partir de R$ 200,12, calculava justamente essa inversa num ponto.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 3 e 4 · Gráfico e taxa

Na temperatura de 16/08/2024 em São Paulo, a da bancada do passo 3, o ar estava a 18,0 °C às 8h, a 26,6 °C às 11h, a 30,9 °C às 15h e a 25,7 °C às 18h. Em qual dos dois trechos, das 8h às 11h ou das 15h às 18h, a temperatura mudou mais depressa, em média?

Ver resolução

De manhã, $\dfrac{26{,}6 - 18{,}0}{11 - 8} = \dfrac{8{,}6}{3} \approx 2{,}9\ ^\circ\text{C/h}$.
No fim da tarde, $\dfrac{25{,}7 - 30{,}9}{18 - 15} = \dfrac{-5{,}2}{3} \approx -1{,}7\ ^\circ\text{C/h}$.
Comparamos a rapidez pelo tamanho da taxa, e o sinal só diz se o ar esquentou ou esfriou. A manhã ganhou quase 3 °C por hora, e a tarde perdeu menos de 2 °C por hora, e foi de manhã que a temperatura mudou mais depressa. Num dia seco e sem nuvens, o sol da manhã parece aquecer o ar mais depressa do que o fim da tarde consegue esfriá-lo.

Passos 5 e 8 · Tarifa e inversa

Escreva a regra por partes da tarifa de água da Sabesp de 2026 para consumos de 0 a 50 m³. Uma família recebeu uma conta de R$ 591,64, com água e esgoto, que seguem a mesma tabela. Quanto ela consumiu no mês?

Ver resolução

Com $x$ em m³,
$A(x) = \begin{cases} 40{,}42, \\ \quad 0 \le x \le 10 \\[4pt] 40{,}42 + 6{,}40\,(x - 10), \\ \quad 10 < x \le 20 \\[4pt] 104{,}42 + 15{,}95\,(x - 20), \\ \quad 20 < x \le 50 \end{cases}$
As três linhas se emendam em 10 m³, com R$ 40,42, e em 20 m³, com R$ 104,42. Em 50 m³ a água chega a R$ 582,92.
O esgoto dobra a conta, e a água sozinha custou $591{,}64 / 2 = 295{,}82$. O valor fica entre R$ 104,42 e R$ 582,92, na terceira faixa.
$104{,}42 + 15{,}95\,(x - 20) = 295{,}82$ dá $x - 20 = \dfrac{191{,}40}{15{,}95} = 12$, e a família gastou 32 m³.

Passo 6 · Transformações

Uma parábola passa pelos pontos $(-1, 0)$, $(1, 8)$ e $(3, 0)$. Que transformações levam o gráfico de $y = x^2$ até ela, e qual é a sua fórmula?

Ver resolução

Os dois zeros, em −1 e em 3, ficam à mesma distância de $x = 1$, e o vértice da parábola está sobre essa reta. O vértice é então o ponto $(1, 8)$, e daí $h = 1$ e $k = 8$.
Em $x = 3$, $a\,(3 - 1)^2 + 8 = 0$, e $a = -2$.
A fórmula é $y = -2(x - 1)^2 + 8$. Partindo de $x^2$, esticamos duas vezes na vertical, espelhamos no eixo $x$, andamos uma unidade para a direita e subimos oito.
Com $x^2$ a escolha não é única, porque $(b\,x)^2 = b^2 x^2$ e só o produto $a\,b^2$ importa. Com $a = -1$ e $b = \sqrt{2}$ chegamos à mesma curva.

Passo 7 · Composição

Um site de ingressos cobra uma taxa de serviço de 10% e uma taxa de conveniência de R$ 8 por ingresso. Faz diferença em que ordem as duas entram na conta? E se a segunda taxa também fosse um percentual, de 5%?

Ver resolução

Com $f(x) = x + 8$ e $g(x) = 1{,}1\,x$, as duas ordens dão $g(f(x)) = 1{,}1\,x + 8{,}80$ e $f(g(x)) = 1{,}1\,x + 8$.
As compostas diferem em R$ 0,80 por ingresso, qualquer que seja o preço, porque numa das ordens os 10% incidem também sobre a taxa fixa.
Com duas taxas percentuais as duas funções só multiplicam, e $1{,}05 \cdot 1{,}1\,x = 1{,}1 \cdot 1{,}05\,x = 1{,}155\,x$. Nesse caso a composição comuta e a ordem deixa de importar.

Passos 2 e 8 · Domínio e inversa

A função $f(x) = (x - 3)^2 + 1$ não tem inversa em $\mathbb{R}$. Qual é o maior intervalo que contém o 5 em que ela passa a ter inversa? Escreva $f^{-1}$ e o seu domínio.

Ver resolução

Em $\mathbb{R}$ a função não é injetora, porque $f(2) = f(4) = 2$. O gráfico é uma parábola com vértice em $(3, 1)$, que desce até $x = 3$ e sobe depois dele.
O maior intervalo com o 5 em que ela só sobe é $[3; +\infty[$, e ali a função é injetora, com imagem $[1; +\infty[$.
De $y = (x - 3)^2 + 1$ com $x \ge 3$ vem $x - 3 = \sqrt{y - 1}$, com a raiz positiva porque $x - 3 \ge 0$.
Trocando os nomes, $f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 1}$, com domínio $[1; +\infty[$, a imagem da $f$ restrita.

Passos 1 e 5 · Função por partes

Um colega definiu $f(x) = x + 1$ para $x \le 2$ e $f(x) = x^2$ para $x \ge 2$. Essa regra é uma função? Mude uma coisa só na definição para que ela passe a ser, e depois mude outra, de modo que o gráfico não salte.

Ver resolução

As duas faixas incluem o 2, e as duas regras dão $f(2) = 3$ e $f(2) = 4$. Uma entrada com duas saídas é justamente o que a definição do passo 1 proíbe, e a regra não é função.
Trocando $x \ge 2$ por $x > 2$, o 2 fica só na primeira faixa, e $f(2) = 3$. O gráfico salta de 3 para 4 em $x = 2$, com bolinha cheia em $(2, 3)$ e vazada em $(2, 4)$.
Para que as regras se emendem, a primeira precisa dar 4 em $x = 2$, como $x + 2$. O gráfico fica sem salto e faz uma quina no ponto $(2, 4)$, onde a inclinação passa de 1 para 4.

Passos 3 e 8 · Gráfico e inversa

Na mesma temperatura de 16/08/2024, o ar passou por 24 °C às 10h e às 19h. A função que leva a hora à temperatura tem inversa no dia inteiro? Em que intervalo de horas, contendo as 9h, ela passa a ter inversa? E quando, nesse intervalo, o ar passou por 20 °C?

Ver resolução

Duas horas com a mesma temperatura bastam para que a função não seja injetora, e no dia inteiro ela não tem inversa. Quem lê 24 °C não sabe dizer se era de manhã ou de noite.
A temperatura chega ao mínimo de 14,5 °C às 6h e sobe sem parar até o máximo de 30,9 °C às 15h. Em $[6; 15]$ ela só sobe, e ali tem inversa.
O 20 °C cai entre 18,0 °C às 8h e 20,6 °C às 9h. No segmento que liga as duas medidas, $t = 8 + \dfrac{20 - 18{,}0}{20{,}6 - 18{,}0} \approx 8{,}77\ \text{h}$, por volta das 8h46.
Esse minuto vem da reta entre duas medidas, e o termômetro provavelmente passou por 20 °C um pouco antes ou um pouco depois.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Leitura de gráficos · Passo 3
Helena instalou no celular um aplicativo que registra a carga da bateria ao longo do dia. Num sábado, ela tirou o aparelho da tomada às 7h, com a carga completa, e o pôs para carregar duas vezes, no almoço e no começo da noite. O gráfico abaixo mostra o registro das 7h às 23h, e vamos supor que a carga variou de modo regular entre os pontos marcados.

Das 7h às 23h, por quantas horas, ao todo, a carga da bateria diminuiu?
1. 3 horas
2. 6 horas
3. 11 horas
4. 13 horas
5. 16 horas
Ver resolução

Resposta: D.
A carga diminui nos trechos em que o gráfico desce da esquerda para a direita, e somamos a duração de cada um deles.
Das 7h às 12h são 5 horas, das 13h às 19h são 6 horas e das 21h às 23h são mais 2 horas, e $5 + 6 + 2 = 13$.
As 3 horas são o tempo na tomada, das 12h às 13h e das 19h às 21h, e as 6 horas são só o trecho mais longo de descida. Quem chega a 11 horas esquece a descida depois da segunda carga, e as 16 horas cobrem o registro inteiro.
A carga mais baixa do dia, 20% às 19h, não muda a resposta. Um gráfico desses responde a perguntas diferentes, e convém ler no comando se ela é sobre um valor, sobre um instante ou sobre um trecho.
Taxa de variação · Passo 4
Na caderneta de saúde de Lucas, a pediatra marcou a altura do menino no nascimento e nos aniversários de 1, 2, 4 e 6 anos. No gráfico abaixo, as medidas foram ligadas por segmentos de reta.

Qual foi a taxa média de crescimento de Lucas entre os 2 e os 6 anos, em centímetro por ano?
1. 6,5
2. 7,0
3. 7,5
4. 10,8
5. 28,0
Ver resolução

Resposta: B.
A taxa média divide o quanto a altura mudou pelo tempo em que mudou, e para calculá-la só precisamos das duas pontas do trecho.
$\dfrac{\Delta h}{\Delta t} = \dfrac{115 - 87}{6 - 2} = \dfrac{28}{4} = 7\ \text{cm por ano}$
Quem esquece de dividir pelo tempo fica com os 28 cm. Os 7,5 e os 6,5 são as taxas de cada metade do trecho, dos 2 aos 4 anos e dos 4 aos 6, e a taxa do trecho inteiro fica entre as duas. Os 10,8 vêm de contar desde o nascimento, $\dfrac{115 - 50}{6}$.
O gráfico também mostra que a taxa cai com a idade, de 25 cm no primeiro ano para 6,5 cm por ano no fim, e os segmentos ficam cada vez menos inclinados. A curva real de crescimento é provavelmente mais suave do que esses segmentos sugerem.
Funções por partes · Passo 5
Na entrada do estacionamento de um shopping, uma placa informa a tabela de preços. A primeira hora, ou fração dela, custa R$ 12,00. Cada hora adicional, ou fração, custa R$ 4,00, e o valor cobrado nunca passa da diária de R$ 30,00. Rodrigo entrou às 14h05 e saiu às 18h25.

Quanto Rodrigo pagou pelo estacionamento?
1. R$ 24,00
2. R$ 25,33
3. R$ 28,00
4. R$ 29,33
5. R$ 30,00
Ver resolução

Resposta: C.
Rodrigo ficou 4 h 20 min. A primeira hora custa R$ 12,00, e sobram 3 h 20 min de horas adicionais.
Uma fração de hora é cobrada como hora inteira, e as 3 h 20 min contam como 4 horas adicionais, $4 \cdot 4 = 16$.
O total é $12 + 16 = 28$, abaixo da diária de R$ 30,00, que por isso não entra na conta.
Quem ignora os 20 minutos chega a R$ 24,00, e quem cobra a fração pelo tempo exato, como $4 \cdot 3{,}33$, chega a R$ 25,33. Os R$ 29,33 vêm de cobrar as 4 h 20 min inteiras como horas adicionais, e os R$ 30,00 aplicam a diária sem conferir se ela já valia.
O gráfico dessa tarifa é uma escada, como o frete da bancada, e salta R$ 4,00 a cada hora cheia depois da primeira, até encostar no teto de R$ 30,00.
Transformações · Passo 6
Uma arquiteta desenha, num programa de computador, o contorno de uma porta em arco para uma capela, com 4 m de largura e 4 m de altura, e as medidas em metro. O programa parte da curva $y = x^2$, tracejada no gráfico, e a transforma até chegar ao arco, em linha cheia, que toca o chão nos pontos $(0, 0)$ e $(4, 0)$ e tem o topo em $(2, 4)$.

Quais transformações, feitas nessa ordem, levam o gráfico de $y = x^2$ até o arco?
1. Deslocar a curva 2 unidades para a direita e 4 para cima.
2. Espelhar a curva no eixo $x$, deslocá-la 2 unidades para a esquerda e 4 para cima.
3. Espelhar a curva no eixo $y$, deslocá-la 2 unidades para a direita e 4 para cima.
4. Espelhar a curva no eixo $x$, esticá-la 2 vezes na vertical e deslocá-la 4 unidades para cima.
5. Espelhar a curva no eixo $x$, deslocá-la 2 unidades para a direita e 4 para cima.
Ver resolução

Resposta: E.
O arco tem a boca para baixo, e por isso a curva precisa ser espelhada no eixo $x$, o que dá $y = -x^2$, com o vértice ainda em $(0, 0)$.
O vértice tem de ir para $(2, 4)$, com $h = 2$ e $k = 4$, e chegamos a $y = -(x - 2)^2 + 4$.
Conferindo, $x = 0$ e $x = 4$ dão $-(\pm 2)^2 + 4 = 0$, os dois pontos em que o arco toca o chão, e não sobrou nenhum esticamento a fazer, $a = -1$.
A alternativa A esquece o espelho e deixa a boca para cima. A B troca o sinal de $h$, o engano mais comum com $x - h$. A C espelha no eixo $y$, o que não muda uma parábola com vértice sobre esse eixo, e chega à mesma curva da A. A D dá $y = -2x^2 + 4$, que toca o chão em $\pm\sqrt{2}$ e deixa a porta com menos de 3 m de largura.
Inversa · Passo 8
Um aplicativo de transporte de uma cidade cobra R$ 5,00 de tarifa base e R$ 3,00 por quilômetro rodado, e o preço de uma corrida de $d$ quilômetros é $P(d) = 5 + 3d$. Os passageiros pediram que o extrato mostrasse também a distância percorrida, e os programadores decidiram calculá-la a partir do valor pago.

Qual expressão dá a distância $d$ em função do valor pago $P$, e quantos quilômetros teve uma corrida de R$ 41,00?
1. $d = \dfrac{P - 5}{3}$, e a corrida teve 12 km.
2. $d = \dfrac{P + 5}{3}$, e a corrida teve cerca de 15,3 km.
3. $d = \dfrac{P}{3} - 5$, e a corrida teve cerca de 8,7 km.
4. $d = \dfrac{P - 3}{5}$, e a corrida teve 7,6 km.
5. $d = 5 + 3P$, e a corrida teve 128 km.
Ver resolução

Resposta: A.
A função que calcula a distância a partir do preço desfaz o que $P$ faz, e é a inversa de $P$. A conta de $P$ multiplica a distância por 3 e depois soma 5, e a inversa desfaz as duas operações na ordem contrária.
De $P = 5 + 3d$ vem $P - 5 = 3d$, e isolamos $d = \dfrac{P - 5}{3}$.
Com $P = 41$, $d = \dfrac{36}{3} = 12\ \text{km}$. Conferindo, $5 + 3 \cdot 12 = 41$.
A B soma os 5 em vez de subtraí-los, e a C desfaz as operações na ordem errada, dividindo antes de tirar a tarifa base. A D troca os papéis da tarifa e do preço por quilômetro, e a E só reescreve $P$ com as letras trocadas.
A conta só funciona porque $P$ é injetora, já que corridas mais longas custam sempre mais. Um aplicativo que cobrasse também pelo tempo parado no trânsito tenderia a dar preços iguais a corridas de distâncias diferentes, e o extrato não teria como recuperar a distância só pelo preço.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 136. O gráfico registra a temperatura de uma máquina ao longo de 10 horas, a velocidade de um pistão depende dessa temperatura por $V = T^2 - 4$, e a questão pergunta quantas vezes a velocidade se anulou, o que pede uma composição lida no gráfico.
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 157. O salário de um vendedor tem uma parte fixa e uma comissão que paga um valor por peça até a quinquagésima e outro a partir dela, e precisamos escolher a expressão por partes que descreve o salário.
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 162. Um gráfico mostra as vendas de dois setores de uma loja nos primeiros vinte dias do mês, e com a tendência linear de cada um estimamos quanto falta para a meta no fim do mês.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 156. Um aplicativo registra a intensidade do sinal de internet de um celular durante uma caminhada de 30 minutos, e lemos no gráfico por quanto tempo o aparelho ficou sem sinal.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 163. O gráfico dá a distância de um vigilante de moto até a base ao longo de uma patrulha, e a questão pede a vista de cima do trajeto que produz esse gráfico.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 177. Uma roda-gigante gira com velocidade constante a partir do instante em que uma cadeira está no alto, e precisamos reconhecer o gráfico da altura dessa cadeira em função do tempo.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Função de A em Bcada $x \in A$ tem um único $f(x) \in B$

Teste da reta verticalcada reta vertical corta o gráfico no máximo uma vez

Em $f: A \to B$, domínio A e contradomínio B$D(f) = A$ e $\text{Im}(f) \subset B$

Intervalos[a; b] com as pontas, ]a; b[ sem elas, [a; +∞[

Taxa de variação média$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Função por partesuma regra em cada faixa do domínio

Quina e saltoregras que se emendam fazem quina, e as que não se emendam fazem salto

Transformações de $f$$a\,f\big(b\,(x - h)\big) + k$

Composição, com $f$ agindo primeiro$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$

Domínio da composta$x \in D(f)$ e $f(x) \in D(g)$

Inversaexiste quando $f$ é bijetora, e $f^{-1}\big(f(x)\big) = x$

Gráfico da inversao de $f$ espelhado na reta $y = x$

Os parâmetros das transformações
Parâmetro	Onde entra	Efeito no gráfico
$k$	somado às saídas	sobe com $k > 0$ e desce com $k < 0$
$h$	subtraído da entrada	anda para a direita com $h > 0$ e para a esquerda com $h < 0$
$a$	multiplica as saídas	estica na vertical com $\|a\| > 1$, achata com $0 < \|a\| < 1$ e espelha no eixo $x$ com $a < 0$
$b$	multiplica a entrada	comprime na horizontal com $\|b\| > 1$, alarga com $0 < \|b\| < 1$ e espelha no eixo $y$ com $b < 0$

Parâmetro	Onde entra	Efeito no gráfico
\(k\)	somado às saídas	sobe com \(k > 0\) e desce com \(k < 0\)
\(h\)	subtraído da entrada	anda para a direita com \(h > 0\) e para a esquerda com \(h < 0\)
\(a\)	multiplica as saídas	estica na vertical com \(\|a\| > 1\), achata com \(0 < \|a\| < 1\) e espelha no eixo \(x\) com \(a < 0\)
\(b\)	multiplica a entrada	comprime na horizontal com \(\|b\| > 1\), alarga com \(0 < \|b\| < 1\) e espelha no eixo \(y\) com \(b < 0\)