Matemática · Ensino Médio · Matemática financeira

Matemática financeira

A etiqueta anuncia 30% de desconto, o aluguel sobe pelo índice do ano, e a loja oferece dez parcelas sem juros. Por trás de cada uma dessas frases há uma conta com o mesmo ingrediente, um fator que multiplica o valor. Aumentos e descontos multiplicam fatores, juros compostos repetem o mesmo fator mês após mês, e trazer um pagamento futuro para hoje é dividir por ele. Um financiamento junta tudo isso numa tabela de parcelas.

1Porcentagem
2Aumentos e descontos
3Variações sucessivas
4Juros simples
5Juros compostos
6Taxas equivalentes
7Valor presente
8Financiamento
✓Desafios

PASSO 1

O que quer dizer "por cento"?

Por cento quer dizer por cem. Uma taxa de 15% é a fração $\tfrac{15}{100}$, que também escrevemos 0,15, e 15% de um valor $V$ é $0{,}15 \cdot V$. Toda porcentagem se refere a um valor de referência, e a mesma taxa dá partes diferentes conforme ele muda. Os 10% de desconto num café e numa geladeira são a mesma fração de preços muito diferentes. A referência pode até mudar dentro de uma mesma conta, como no imposto de renda, em que cada alíquota incide só sobre a parte da renda que cai na sua faixa, o assunto das funções por partes na aula de Funções.

A conta também anda ao contrário. Para saber que porcentagem uma parte representa, dividimos a parte pelo todo e lemos o resultado em centésimos, e 14 alunos de óculos numa turma de 40 são $14/40 = 0{,}35$, ou 35% da turma. Uma taxa pode passar de 100%, e um preço que subiu 150% ganhou uma vez e meia o próprio valor. Uma redução, ao contrário, para em 100%, já que tirar o valor inteiro deixa zero.

Quando a grandeza já é uma porcentagem, como uma taxa de juros ou a taxa de desemprego, convém separar duas medidas de mudança. Se o desemprego passa de 8% para 10%, ele subiu 2 pontos percentuais, a diferença entre as duas taxas, e cresceu 25% em relação ao valor de antes, porque 2 é um quarto de 8. As duas frases descrevem o mesmo fato, e uma notícia pode escolher a que soa maior.

$p\% \text{ de } V = \dfrac{p}{100} \cdot V$$\text{taxa} = \dfrac{\text{parte}}{\text{todo}}$Na bancada e no resto da aula, as taxas aparecem tanto como porcentagem, 15%, quanto como número decimal, 0,15, e as contas usam sempre o decimal.

Para conversar

Ponha a taxa em 25% e o valor em R$ 80. Quantos quadradinhos ficam pintados, quanto vale cada um, e que fração simples aparece?
Mantenha a taxa em 10% e leve o valor de R$ 100 até R$ 1000. O que muda na grade, e o que muda na parte?
Leve a taxa acima de 100%. Quantas grades aparecem, e quantas vezes o valor cabe na parte com 150%?
Procure duas combinações diferentes de taxa e valor que deem a mesma parte, R$ 30. O que a taxa precisa fazer quando o valor dobra?

Taxa

Valor de referência

Fração

Forma decimal

Cada quadradinho

A parte

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Quanto é 15% de R$ 240,00?

Ver resolução
15% é a fração $0{,}15$.
$0{,}15 \times 240 = 36$.
R$ 36,00.
básico
Numa turma de 40 alunos, 14 usam óculos. Que porcentagem da turma usa óculos?

Ver resolução
A taxa é a parte dividida pelo todo, $14/40 = 0{,}35$.
Em centésimos, $0{,}35 = 35/100$.
35% da turma.
básico
Escreva 7,5% como fração irredutível e como número decimal.

Ver resolução
$7{,}5\% = \dfrac{7{,}5}{100} = \dfrac{75}{1000}$.
Dividindo numerador e denominador por 25, $\dfrac{75}{1000} = \dfrac{3}{40}$.
$\dfrac{3}{40}$ e $0{,}075$.
básico
Um produto de R$ 80,00 passou a custar R$ 92,00. De quantos por cento foi o aumento?

Ver resolução
O aumento foi de $92 - 80 = 12$ reais.
A referência é o preço de antes, e $12/80 = 0{,}15$.
15%.
médio
Uma conta de restaurante teve 30% de acréscimo por serviço e entrega, e esse acréscimo deu R$ 54,00. Qual era o valor da conta sem o acréscimo?

Ver resolução
Os R$ 54,00 são 30% do valor procurado $V$, e $0{,}3\,V = 54$.
$V = 54/0{,}3 = 180$.
R$ 180,00. Conferindo, 30% de 180 dá 54.
médio
A taxa de inadimplência de um banco passou de 4% para 5% dos clientes. Quantos pontos percentuais ela subiu, e de quantos por cento foi o aumento?

Ver resolução
A diferença entre as taxas é $5 - 4 = 1$ ponto percentual.
Em relação ao valor de antes, $1/4 = 0{,}25$.
1 ponto percentual, que é um aumento de 25% na taxa.
médio
Quanto é 20% de 30% de 500? A que porcentagem de 500 isso corresponde?

Ver resolução
30% de 500 é $0{,}3 \times 500 = 150$, e 20% de 150 é $0{,}2 \times 150 = 30$.
As duas frações se multiplicam, $0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}06$.
30, que é 6% de 500. Porcentagem de porcentagem se multiplica, e não se soma.
médio
O preço de um ingresso triplicou em dez anos. De quantos por cento foi o aumento?

Ver resolução
Se o preço era $V$, passou a $3V$, e o aumento foi de $3V - V = 2V$.
Em relação ao preço de antes, $2V/V = 2 = 200/100$.
200%. Quem responde 300% está comparando o preço novo inteiro com o antigo, e não o aumento.
desafio
Uma jarra tem 2 litros de refresco com 40% de suco e o resto de água. Quanta água precisamos acrescentar para que o suco passe a ser 25% do refresco?

Ver resolução
O suco não muda, $0{,}4 \times 2 = 0{,}8$ litro.
Com $x$ litros de água a mais, o suco é 25% do total, $\dfrac{0{,}8}{2 + x} = 0{,}25$.
Isso dá $2 + x = 3{,}2$.
1,2 litro de água. A taxa caiu porque o todo cresceu, com a parte parada.
desafio
Numa eleição, 60% dos eleitores de uma cidade foram votar, e 45% dos votantes escolheram a candidata A. Que porcentagem do eleitorado inteiro votou em A? Ela ganhou o apoio de quantos pontos percentuais a mais do que um candidato que tivesse 40% dos votantes?

Ver resolução
A referência muda no meio da conta. A tem 45% de 60% do eleitorado, $0{,}45 \times 0{,}6 = 0{,}27$.
O outro candidato teria $0{,}40 \times 0{,}6 = 0{,}24$ do eleitorado.
27% do eleitorado, 3 pontos percentuais acima dos 24% do outro. Medidos entre os votantes, os mesmos números dão 5 pontos de diferença.

PASSO 2

Por que um aumento de 20% seguido de um desconto de 20% não devolve o preço?

Aumentar um preço em 20% é somar a ele 20% dele mesmo, $V + 0{,}2\,V = 1{,}2\,V$. O aumento inteiro cabe numa só multiplicação pelo fator 1,2, e um desconto de 20% é a multiplicação por 0,8. Em geral, uma variação de taxa $i$ multiplica o valor por $1 + i$, com $i$ negativo nos descontos.

Com fatores, duas variações seguidas viram um produto. Depois de um aumento de 20% e de um desconto de 20%, o preço fica multiplicado por $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ e termina 4% abaixo do começo. As duas taxas têm o mesmo tamanho, e o desconto incide sobre o preço já aumentado, o que lhe dá mais reais para tirar do que o aumento tinha posto. Como a multiplicação não depende da ordem, o desconto antes do aumento chega ao mesmo 0,96.

Para desfazer um aumento de taxa $a$, o desconto precisa levar o fator $1 + a$ de volta a 1, o que pede o fator $1/(1 + a)$, ou seja, um desconto de $a/(1 + a)$. Um aumento de 25% se desfaz com um desconto de 20%, e um aumento de 100%, que dobra o preço, com um desconto de 50%. É a mesma ideia da função inversa da aula de Funções, aplicada a uma máquina que só multiplica.

$V \mapsto (1 + i)\,V$$(1 + a)(1 - d)$$d = \dfrac{a}{1 + a}$Aumento de taxa $a$ e desconto de taxa $d$ aplicados em seguida multiplicam o valor por $(1 + a)(1 - d)$, em qualquer ordem. O desconto $d = a/(1 + a)$ desfaz o aumento $a$.

Para conversar

Ponha o aumento e o desconto em 20%. Onde fica a terceira barra em relação à linha do preço inicial, e por quantos reais?
Mude o preço inicial com as taxas paradas. A diferença em reais muda, e a variação total em porcentagem? Por quê?
Leve o aumento a 50% e aperte "Desconto que desfaz". Que desconto aparece, e por que ele é menor que 50%?
Com o aumento em 100%, procure o desconto que deixa o preço final 10% abaixo do inicial. Confira multiplicando os fatores.

Preço inicial

Aumento

Desconto

Fator do aumento

Fator do desconto

Fator total

Preço final

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um aluguel de R$ 1250,00 vai ter um reajuste de 12%. Qual será o novo valor?

Ver resolução
O fator de um aumento de 12% é 1,12.
$1{,}12 \times 1250 = 1400$.
R$ 1400,00.
básico
Uma camiseta de R$ 90,00 está com 15% de desconto. Quanto ela custa?

Ver resolução
O fator de um desconto de 15% é $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
$0{,}85 \times 90 = 76{,}50$.
R$ 76,50.
básico
Que fator multiplica um valor que aumenta 7%? E um que diminui 7%? E um que aumenta 130%?

Ver resolução
Aumento de 7%, $1 + 0{,}07 = 1{,}07$.
Redução de 7%, $1 - 0{,}07 = 0{,}93$.
Aumento de 130%, $1 + 1{,}3 = 2{,}3$.
1,07, 0,93 e 2,3.
básico
O preço de um quilo de café passou de R$ 60,00 para R$ 51,00. Que desconto foi dado?

Ver resolução
O fator é $51/60 = 0{,}85$.
Um fator de 0,85 corresponde a $1 - 0{,}85 = 0{,}15$.
Desconto de 15%.
médio
Um preço sofreu dois aumentos seguidos de 10%. De quanto foi o aumento total?

Ver resolução
Os fatores se multiplicam, $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$.
O fator 1,21 é um aumento de 21%.
21%. O segundo aumento incide também sobre os 10% do primeiro, e por isso o total passa de 20%.
médio
Uma loja dá 30% de desconto e, no caixa, mais 20% sobre o preço já descontado. A que desconto único isso equivale?

Ver resolução
$0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$.
O preço final é 56% do original, e o desconto foi de $1 - 0{,}56 = 0{,}44$.
44%, e não os 50% que a soma sugere.
médio
Uma passagem aumentou 25%. Que desconto sobre o preço novo traria a passagem de volta ao preço antigo?

Ver resolução
O desconto precisa do fator $1/1{,}25 = 0{,}8$.
Pela fórmula, $d = \dfrac{0{,}25}{1{,}25} = 0{,}2$.
20%. Conferindo com R$ 100, a passagem foi a R$ 125, e 20% de 125 são os R$ 25 do aumento.
médio
Depois de um desconto de 20%, um tênis custa R$ 264,00. Qual era o preço antes do desconto? Muita gente responde R$ 316,80. Onde está o erro?

Ver resolução
O preço antigo $V$ multiplicado por 0,8 dá 264, e $V = 264/0{,}8 = 330$.
Os R$ 316,80 vêm de $1{,}2 \times 264$, que soma 20% do preço já descontado, uma base menor que a do desconto.
R$ 330,00. Para voltar, dividimos pelo fator, e o aumento de 20% não desfaz o desconto de 20%.
desafio
Antes de uma liquidação, uma loja aumentou os preços em 40% e depois anunciou "30% de desconto em tudo". Em relação ao preço de antes do aumento, o cliente ganhou ou perdeu, e quanto?

Ver resolução
$1{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}98$.
O preço final é 98% do preço de antes do aumento.
O cliente paga 2% menos do que pagaria antes do aumento, um desconto real bem menor que os 30% do anúncio.
desafio
Um salário teve dois reajustes no ano, de 5% e de 8%, e a inflação do mesmo período foi de 12%. O poder de compra desse salário subiu ou caiu, e quanto?

Ver resolução
O salário foi multiplicado por $1{,}05 \times 1{,}08 = 1{,}134$, e os preços por 1,12.
O que o salário compra fica multiplicado por $1{,}134 / 1{,}12 \approx 1{,}0125$.
Subiu cerca de 1,25%. Somar e subtrair as taxas, $5 + 8 - 12 = 1$, dá um número parecido por acaso, e o passo 6 mostra a conta da taxa real com calma.

PASSO 3

Como se acumulam doze meses de inflação?

Uma sequência de variações multiplica fatores, e a variação total sai do produto. Três reajustes mensais de 1% dão $1{,}01^3 \approx 1{,}0303$, um pouco mais que 3%, porque cada mês incide também sobre o que os anteriores acrescentaram. Cada reajuste é uma função que multiplica, e encadear reajustes é a composição da aula de Funções, aqui com máquinas que comutam.

O IPCA, o índice de preços ao consumidor que o IBGE calcula todo mês e que o Conselho Monetário Nacional usa na meta de inflação, se acumula assim. De setembro de 2025 a agosto de 2026, as doze taxas mensais somam 4,15%, e o acumulado publicado pelo IBGE é 4,22%. A diferença de 0,07 ponto percentual vem de cada mês incidir sobre uma base já corrigida pelos anteriores.

Em agosto de 2026 o índice caiu 0,32%, uma deflação, e o fator do mês, 0,9968, puxou o acumulado para baixo. Uma variação negativa entra no produto como qualquer outra, com fator menor que 1.

$(1 + i_1)(1 + i_2)\cdots(1 + i_n) - 1$$\ne i_1 + i_2 + \cdots + i_n$A variação acumulada de $n$ variações seguidas. Com todas iguais a $i$, o produto vira a potência $(1 + i)^n$, que o passo 5 vai explorar. A ordem dos fatores não muda o produto.

Para conversar

Arraste o cursor até fevereiro de 2026. Quanto a inflação já tinha acumulado, e quanto dá a soma simples das taxas até ali?
Leve o cursor de julho para agosto de 2026. O que a deflação de agosto faz com a linha do acumulado e com a distância até a soma?
Aperte "Todos os meses iguais". Que taxa mensal constante chega aos mesmos 4,22% em doze meses? Compare com a média das doze taxas.
Em que mês o acumulado e a soma ficam mais distantes? Por que essa distância tende a crescer com o tempo quando as taxas são positivas?

Até o mês

Taxa do mês

Acumulado

Soma das taxas

Diferença

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um preço teve dois aumentos seguidos de 5%. De quanto foi o aumento acumulado?

Ver resolução
$1{,}05 \times 1{,}05 = 1{,}1025$.
10,25%.
básico
A inflação de um país foi de 0,5% em janeiro e de 0,4% em fevereiro. Quanto ela acumulou no bimestre?

Ver resolução
$1{,}005 \times 1{,}004 = 1{,}00902$.
Cerca de 0,90%, praticamente a soma, porque com taxas pequenas o produto das duas, $0{,}005 \times 0{,}004$, quase não pesa.
básico
Um índice subiu 2% num mês e caiu 2% no mês seguinte. Qual foi a variação nos dois meses?

Ver resolução
$1{,}02 \times 0{,}98 = 0{,}9996$.
Queda de 0,04%. O índice não volta ao ponto de partida, como no aumento e no desconto do passo 2.
básico
O IPCA acumulado de setembro de 2025 a agosto de 2026 foi de 4,22%. Quanto passaria a valer um preço de R$ 50,00 corrigido por esse índice?

Ver resolução
$1{,}0422 \times 50 = 52{,}11$.
R$ 52,11.
médio
Um aluguel teve três reajustes anuais seguidos de 10%. De quanto foi o reajuste acumulado nos três anos?

Ver resolução
$1{,}1^3 = 1{,}331$.
33,1%, e não 30%.
médio
Um preço subiu 10%, depois caiu 5% e depois subiu 20%. Qual foi a variação total? Ela mudaria se as três variações viessem na ordem contrária?

Ver resolução
$1{,}1 \times 0{,}95 \times 1{,}2 = 1{,}254$.
Na ordem contrária o produto é $1{,}2 \times 0{,}95 \times 1{,}1$, o mesmo número.
Aumento de 25,4%, em qualquer ordem.
médio
Que aumento mensal constante, repetido por dois meses, acumula 21%?

Ver resolução
Procuramos $i$ com $(1 + i)^2 = 1{,}21$.
$1 + i = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$.
10% ao mês. Metade do acumulado, 10,5%, passaria do ponto.
médio
A mensalidade de uma escola subiu 8% num ano e 8% no seguinte. De quanto ela precisaria subir no terceiro ano para acumular 30% nos três?

Ver resolução
Depois de dois anos, $1{,}08^2 = 1{,}1664$.
O terceiro fator precisa dar $1{,}1664 \cdot f = 1{,}3$, e $f = 1{,}3 / 1{,}1664 \approx 1{,}1145$.
Cerca de 11,45%. A subtração $30 - 16 = 14$ erra porque trata os fatores como parcelas de uma soma.
desafio
Mostre que duas variações seguidas, de taxas $a$ e $b$, acumulam $a + b + ab$. O que mede o termo $ab$, e quanto ele vale para duas inflações mensais de 0,5%?

Ver resolução
$(1 + a)(1 + b) - 1$ $= 1 + a + b + ab - 1$ $= a + b + ab$.
O termo $ab$ é a segunda variação incidindo sobre a primeira, $b$ aplicado ao acréscimo $a$.
Com $a = b = 0{,}005$, $ab = 0{,}000025$.
$ab = 0{,}0025\%$, ou 0,0025 ponto percentual. Em taxas mensais pequenas ele quase some, e em doze meses esses termos se juntam nos 0,07 ponto da bancada.
desafio
Que taxa mensal constante, repetida de setembro de 2025 a agosto de 2026, daria o mesmo IPCA acumulado de 4,22%? Compare com a média aritmética das doze taxas, que somam 4,15%.

Ver resolução
Procuramos $i$ com $(1 + i)^{12} = 1{,}0422$, e $i = 1{,}0422^{1/12} - 1 \approx 0{,}00345$.
A média aritmética é $4{,}15\% / 12 \approx 0{,}346\%$.
Cerca de 0,345% ao mês, um pouco abaixo da média, 0,346%. A taxa constante equivalente é uma média geométrica dos fatores, e ela nunca passa da média aritmética.

PASSO 4

O que cresce em linha reta nos juros simples?

Quem empresta dinheiro cobra pelo tempo em que fica sem ele, e esse aluguel do dinheiro é o juro. O valor emprestado ou aplicado é o capital $C$, a taxa $i$ diz quanto se paga por período em fração do capital, e o montante $M$ é o capital somado aos juros.

Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. Cada período rende os mesmos $C\,i$, e em $t$ períodos os juros somam $J = C\,i\,t$. O montante $M = C(1 + i\,t)$ é uma função afim do tempo, com coeficiente angular $C\,i$, e o gráfico é uma reta que parte de $C$ no instante zero.

Taxa e tempo precisam estar na mesma unidade, e nos juros simples converter é só dividir ou multiplicar. Uma taxa de 24% ao ano rende o mesmo que 2% ao mês. Os contratos de crédito quase sempre capitalizam os juros, e os juros simples servem sobretudo como primeira aproximação para prazos curtos e em algumas cobranças por atraso, calculadas dia a dia sobre o valor original da conta.

$J = C\,i\,t$$M = C\,(1 + i\,t)$$C$ é o capital, $i$ a taxa por período, como fração, e $t$ o número de períodos, na mesma unidade da taxa. Os juros de cada período são sempre $C\,i$.

Para conversar

Com capital de R$ 1000 e taxa de 2% ao mês, arraste o ponto até 5 meses. Quanto rendeu cada mês, e quanto rendeu ao todo?
Dobre a taxa com o capital parado. O que muda na reta, e qual ponto dela fica no mesmo lugar?
Agora dobre o capital com a taxa parada. Os degraus de juros mudam de tamanho? E a altura de onde a reta parte?
Com 5% ao mês, procure o tempo em que o montante chega ao dobro do capital. Que conta dá esse tempo sem a bancada?

O eixo vertical começa um pouco abaixo do capital, e não no zero, para que os degraus de juros apareçam.

Capital

Taxa ao mês

Tempo

Juros de cada mês

Juros acumulados

Montante

Dobra em

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um capital de R$ 2000,00 fica aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 6 meses. Quanto rende, e qual é o montante?

Ver resolução
$J = 2000 \times 0{,}03 \times 6 = 360$.
$M = 2000 + 360 = 2360$.
R$ 360,00 de juros e montante de R$ 2360,00.
básico
Quanto rendem R$ 800,00 em um ano, a juros simples de 1,5% ao mês?

Ver resolução
Um ano são 12 meses, na unidade da taxa.
$J = 800 \times 0{,}015 \times 12 = 144$.
R$ 144,00.
básico
Um empréstimo de R$ 1000,00 a juros simples cobrou R$ 150,00 de juros em 5 meses. Qual foi a taxa mensal?

Ver resolução
$150 = 1000 \cdot i \cdot 5$, e $i = 150/5000 = 0{,}03$.
3% ao mês.
básico
Nos juros simples, a que taxa mensal corresponde uma taxa de 24% ao ano? E 1,5% ao mês corresponde a quanto ao ano?

Ver resolução
Nos juros simples os juros de cada mês são iguais, e um ano junta doze deles.
$24\% / 12 = 2\%$ e $1{,}5\% \times 12 = 18\%$.
2% ao mês e 18% ao ano. O passo 6 mostra por que essa conta não vale nos juros compostos.
médio
Que capital, aplicado a juros simples de 2% ao mês, chega a um montante de R$ 1160,00 em 8 meses?

Ver resolução
$M = C(1 + 0{,}02 \times 8) = 1{,}16\,C$.
$C = 1160 / 1{,}16 = 1000$.
R$ 1000,00.
médio
Em quanto tempo um capital de R$ 500,00 triplica a juros simples de 4% ao mês? O valor do capital importa?

Ver resolução
Triplicar pede juros iguais a duas vezes o capital, $C \cdot 0{,}04 \cdot t = 2C$.
O $C$ cancela, e $t = 2/0{,}04 = 50$.
50 meses, para qualquer capital.
médio
Suponha que uma conta de R$ 300,00 paga com 10 dias de atraso tenha multa de 2% e juros de mora de 1% ao mês, calculados por dia, com o mês contado como 30 dias, sobre o valor original. Quanto se paga?

Ver resolução
Multa, $0{,}02 \times 300 = 6$.
Juros de mora, $300 \times 0{,}01 \times \dfrac{10}{30} = 1$.
R$ 307,00. A mora é um juro simples com o tempo em fração de mês.
médio
A juros simples, o que rende mais em dois anos, 1,2% ao mês ou 15% ao ano?

Ver resolução
1,2% ao mês por 24 meses, $1{,}2 \times 24 = 28{,}8\%$.
15% ao ano por 2 anos, $15 \times 2 = 30\%$.
15% ao ano rende mais. Nos juros simples, 1,2% ao mês equivale a 14,4% ao ano.
desafio
O gráfico do montante de uma aplicação a juros simples é uma reta que passa por $(0;\ 1200)$ e por $(10;\ 1500)$, com o tempo em meses e o montante em reais. Quais são o capital e a taxa mensal?

Ver resolução
No instante zero o montante é o capital, $C = 1200$.
A inclinação é $\dfrac{1500 - 1200}{10 - 0} = 30$ reais por mês, os juros de cada mês, $C\,i = 30$.
Capital de R$ 1200,00 e taxa de $30/1200 = 2{,}5\%$ ao mês.
desafio
Ana aplicou R$ 1000,00 a juros simples de 3% ao mês, e Bruno aplicou R$ 1500,00 a juros simples de 1% ao mês, no mesmo dia. Depois de quanto tempo os montantes ficam iguais?

Ver resolução
$1000 + 30t = 1500 + 15t$, e $15t = 500$.
$t = 500/15 \approx 33{,}3$.
Cerca de 33 meses e 10 dias, com R$ 2000,00 em cada aplicação. As duas retas se cruzam ali, e depois a de Ana fica por cima.

PASSO 5

O que muda quando os juros também rendem juros?

Nos juros compostos, os juros de cada período se somam ao saldo e passam a render também. O saldo de cada período é o anterior multiplicado pelo fator $1 + i$, e depois de $t$ períodos o montante é $M = C(1 + i)^t$. Como cada período rende $i$ vezes o saldo do momento, os degraus de juros crescem de um período para o outro.

O montante composto é uma função exponencial do tempo, e os seus valores nos períodos inteiros formam uma progressão geométrica de razão $1 + i$, enquanto os dos juros simples formam uma progressão aritmética de razão $C\,i$. No fim do primeiro período as duas contas coincidem, e daí em diante a curva se afasta da reta cada vez mais depressa. Antes de completar o primeiro período a reta fica por cima, uma diferença pequena que quase nunca pesa.

O tempo que o montante leva para dobrar ajuda a sentir o ritmo. Ele vale $\ln 2 / \ln(1 + i)$ e não depende do capital. A 1% ao mês, passa de 69 meses, e a 15,18% ao mês, a taxa média do rotativo do cartão de crédito em agosto de 2026 segundo o Banco Central, fica abaixo de 5 meses. A Lei nº 14.690/2023 pediu aos emissores de cartão que submetessem ao Conselho Monetário Nacional limites para os juros do rotativo e do parcelamento da fatura, e fixou que, sem limites aprovados em 90 dias, ou para o emissor que não aderisse, os juros e encargos não passariam do valor original da dívida. Os limites não foram aprovados no prazo, e a Resolução CMN nº 5.112/2023 aplica esse teto de 100% às operações feitas desde janeiro de 2024.

$M = C\,(1 + i)^t$$J = M - C$$t_{\text{dobro}} = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + i)}$Os montantes $C,\ C(1 + i),\ C(1 + i)^2, \ldots$ formam uma progressão geométrica. Em $t = 1$, juros simples e compostos dão o mesmo montante.

Para conversar

Com 2% ao mês, ponha o tempo em 1 mês e depois em 36. Onde as duas curvas coincidem, e quanto o composto já rendeu a mais em três anos?
Escolha 0,5% ao mês. Por quantos meses as duas curvas parecem uma só? O que isso diz sobre usar juros simples como aproximação?
Aperte o botão do rotativo do cartão. Em quantos meses a dívida dobra, e quanto vale em um ano uma dívida de R$ 1000 sem pagamento nenhum e sem teto?
Leia o tempo para dobrar com 2% e com 4% ao mês. Dobrar a taxa corta esse tempo exatamente pela metade?

Taxa ao mês

Tempo

Juros simples

Juros compostos

Diferença

Dobra em

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Quanto vale, depois de 3 meses, um capital de R$ 1000,00 aplicado a juros compostos de 10% ao mês?

Ver resolução
$1000 \times 1{,}1^3 = 1000 \times 1{,}331$.
R$ 1331,00. Os degraus foram de R$ 100,00, R$ 110,00 e R$ 121,00.
básico
Quanto rendem R$ 5000,00 em 2 meses a 1% ao mês, em juros compostos? E em juros simples?

Ver resolução
Compostos, $5000 \times 1{,}01^2$ $= 5000 \times 1{,}0201$ $= 5100{,}50$.
Simples, $5000 \times 0{,}01 \times 2 = 100$.
R$ 100,50 e R$ 100,00. Os 50 centavos são o juro do segundo mês sobre os R$ 50,00 do primeiro.
básico
Um capital de R$ 2000,00 fica aplicado por um único período a 5%. O montante muda conforme os juros sejam simples ou compostos?

Ver resolução
Simples, $2000(1 + 0{,}05 \times 1) = 2100$.
Compostos, $2000 \times 1{,}05^1 = 2100$.
Não muda, R$ 2100,00 nos dois casos. Os juros compostos só se distinguem a partir do segundo período.
básico
Por que fator um capital fica multiplicado em 12 meses a juros compostos de 2% ao mês?

Ver resolução
$1{,}02^{12} \approx 1{,}2682$.
Cerca de 1,268, um aumento de 26,8% em um ano, acima dos 24% dos juros simples.
médio
Que capital, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, chega a R$ 1040,40 em 2 meses?

Ver resolução
$C \times 1{,}02^2 = 1040{,}40$, e $1{,}02^2 = 1{,}0404$.
$C = 1040{,}40 / 1{,}0404 = 1000$.
R$ 1000,00. Achar o capital é dividir pelo fator, a conta do passo 7.
médio
Uma dívida de R$ 500,00 fica no rotativo do cartão à taxa média de agosto de 2026, 15,18% ao mês, sem pagamento nenhum. Quanto ela valeria depois de 3 meses, se não houvesse teto?

Ver resolução
$500 \times 1{,}1518^3 \approx 500 \times 1{,}5280$.
Cerca de R$ 764,01, mais de 50% de juros em três meses. Como os limites próprios dos emissores não foram aprovados no prazo do art. 28 da Lei nº 14.690/2023, vale desde janeiro de 2024 o teto subsidiário da lei, e os juros e encargos dessa dívida não passam dos R$ 500,00 originais.
médio
Em quantos meses inteiros um capital passa a valer o dobro, a juros compostos de 3% ao mês? Use $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 1{,}03 \approx 0{,}0128$.

Ver resolução
Procuramos $t$ com $1{,}03^t = 2$, e tomando logaritmos, $t \log 1{,}03 = \log 2$.
$t \approx 0{,}301 / 0{,}0128 \approx 23{,}5$.
24 meses. Em 23 meses o capital ainda não dobrou.
médio
Uma aplicação a juros compostos passou de R$ 1000,00 para R$ 1210,00 em dois anos. Qual foi a taxa anual?

Ver resolução
$(1 + i)^2 = 1210/1000 = 1{,}21$.
$1 + i = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$.
10% ao ano.
desafio
Mostre que, depois de dois períodos, o montante composto passa o simples em exatamente $C\,i^2$. De onde vem esse termo?

Ver resolução
$C(1 + i)^2 - C(1 + 2i)$ $= C(1 + 2i + i^2) - C - 2Ci$ $= C\,i^2$.
No segundo período, os juros compostos incidem também sobre os juros $C\,i$ do primeiro, à taxa $i$.
A diferença é $C\,i^2$, os juros dos juros. Com $C = 1000$ e $i = 0{,}02$, são 40 centavos.
desafio
Uma regra de bolso diz que o tempo para dobrar é cerca de 70 dividido pela taxa em porcentagem. Explique de onde ela vem e confira com 2% e com 10% por período.

Ver resolução
O tempo exato é $\ln 2 / \ln(1 + i)$, com $\ln 2 \approx 0{,}693$. Para $i$ pequeno, $\ln(1 + i) \approx i$, e o tempo fica perto de $0{,}693 / i$, que é 69,3 dividido pela taxa em porcentagem.
Com 2%, a regra dá 35 e a conta exata dá cerca de 35,0.
Com 10%, a regra dá 7 e a conta exata dá cerca de 7,27.
A regra funciona bem para taxas pequenas e erra para menos quando a taxa cresce, porque $\ln(1 + i)$ fica abaixo de $i$.

PASSO 6

Que taxa mensal corresponde a uma taxa anual, e quanto sobra depois da inflação?

Nos juros compostos, uma taxa mensal e uma taxa anual são equivalentes quando levam o mesmo capital ao mesmo montante em um ano, $1 + i_a = (1 + i_m)^{12}$. Dividir a taxa anual por 12 dá a taxa proporcional, que só vale nos juros simples, e nos compostos ela produz um ano com mais juros do que o anunciado. Uma taxa de 1% ao mês equivale a cerca de 12,68% ao ano.

As taxas do Banco Central mostram o tamanho do efeito. Em agosto de 2026, a taxa média dos financiamentos de veículos para pessoas físicas foi de 1,97% ao mês e 26,42% ao ano, e a do rotativo do cartão de crédito, de 15,18% ao mês e 444,89% ao ano, muito longe dos 182% que doze vezes 15,18 dariam. A meta da taxa Selic, a taxa básica da economia, estava em 13,75% ao ano desde 17 de setembro de 2026, e a poupança rende 0,65% no período que começou em 7 de outubro, porque com a Selic acima de 8,5% ao ano ela paga 0,5% ao mês mais a TR.

Juros e inflação também se combinam por fatores. Se um valor rende 13,75% num ano em que os preços sobem 4,22%, o poder de compra fica multiplicado por $1{,}1375 / 1{,}0422 \approx 1{,}0914$, e a taxa real é de cerca de 9,14%, um pouco abaixo da diferença simples, 9,53 pontos. A conta da bancada tem esse caráter ilustrativo, porque junta uma meta de juros de hoje com a inflação dos doze meses passados.

$1 + i_a = (1 + i_m)^{12}$$i_m = (1 + i_a)^{1/12} - 1$$1 + r = \dfrac{1 + i}{1 + \pi}$$i_a$ e $i_m$ são taxas anual e mensal equivalentes, $i$ é a taxa do período, $\pi$ a inflação do mesmo período e $r$ a taxa real.

Para conversar

Escolha a taxa de veículos. Compare a anual equivalente com doze vezes a mensal. Quanto a conta proporcional deixa de fora?
Com o rotativo do cartão, veja as duas linhas se separarem. Em que mês a curva composta passa de 100%, e onde está a reta nesse mês?
Com a Selic, leia a taxa mensal equivalente. Por que ela fica abaixo de 13,75/12, e o que isso diz sobre a conta ao contrário?
Com a taxa livre, procure a taxa que deixa a taxa real em zero. Que número é esse, e onde a curva composta encontra a da inflação?

Taxa ao mês

Taxa ao ano, equivalente

12 × taxa ao mês

Taxa real ao ano

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Que taxa anual equivale a 2% ao mês em juros compostos?

Ver resolução
$1{,}02^{12} \approx 1{,}2682$.
Cerca de 26,82% ao ano, e não 24%.
básico
Que taxa semestral equivale a 21% ao ano em juros compostos?

Ver resolução
Um ano tem dois semestres, e $(1 + i_s)^2 = 1{,}21$.
$1 + i_s = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$.
10% ao semestre.
básico
Uma aplicação rendeu 10% num ano em que a inflação foi de 10%. Qual foi a taxa real?

Ver resolução
$1{,}10 / 1{,}10 = 1$.
Zero. O dinheiro cresceu, e o que ele compra ficou igual.
básico
Uma taxa trimestral de 3% equivale a quanto ao ano, em juros compostos?

Ver resolução
Um ano tem quatro trimestres, e $1{,}03^4 \approx 1{,}1255$.
Cerca de 12,55% ao ano.
médio
Que taxa mensal equivale a 12% ao ano em juros compostos? Por que ela fica abaixo de 1%?

Ver resolução
$i_m = 1{,}12^{1/12} - 1 \approx 0{,}00949$.
Com 1% ao mês, os juros de cada mês renderiam nos seguintes e o ano fecharia em 12,68%, acima de 12%.
Cerca de 0,949% ao mês.
médio
Uma aplicação rendeu 8% num ano em que a inflação foi de 5%. Qual foi a taxa real?

Ver resolução
$1{,}08 / 1{,}05 \approx 1{,}0286$.
Cerca de 2,86%, um pouco abaixo dos 3 pontos da diferença simples.
médio
A taxa média do rotativo do cartão em agosto de 2026 foi de 15,18% ao mês. Que taxa anual equivalente isso dá, e quanto dá a conta proporcional?

Ver resolução
Equivalente, $1{,}1518^{12} \approx 5{,}4516$, cerca de 445% ao ano.
Proporcional, $12 \times 15{,}18\% = 182{,}16\%$.
Cerca de 445% ao ano contra 182%. O Banco Central publica 444,89% ao ano, e a pequena diferença deve vir do arredondamento da taxa mensal a duas casas.
médio
No período de 7 de outubro a 7 de novembro de 2026, a TR é de 0,1493%, e a poupança renderá 0,6500%. Mostre que esse rendimento é a TR composta com 0,5%. Que taxa anual daria esse rendimento repetido por doze meses?

Ver resolução
$1{,}001493 \times 1{,}005 \approx 1{,}0065005$, que arredonda para 0,6500%.
Repetido por doze meses, $1{,}0065^{12} \approx 1{,}0808$.
Cerca de 8,08% ao ano. A TR muda de um período para o outro, e o número só vale se ela ficar parada.
desafio
Que rendimento anual mantém uma taxa real de 5% quando a inflação é a do IPCA de setembro de 2025 a agosto de 2026, 4,22%?

Ver resolução
$1 + i = 1{,}05 \times 1{,}0422 = 1{,}09431$.
Cerca de 9,43% ao ano, e não os 9,22% da soma.
desafio
Um anúncio fala em "juros de 24% ao ano" e cobra 2% ao mês capitalizados mensalmente. Qual é a taxa anual efetiva? Se uma dívida ficasse um ano sem pagamento, quanto de cada R$ 1000,00 o anúncio deixaria de mostrar?

Ver resolução
A taxa de 24% ao ano é nominal, com capitalização mensal à taxa proporcional $24/12 = 2\%$.
A efetiva é $1{,}02^{12} - 1 \approx 0{,}2682$.
Em um ano, R$ 1000,00 viram cerca de R$ 1268,24, e não R$ 1240,00.
26,82% ao ano, cerca de R$ 28,24 a mais por R$ 1000,00 do que os 24% sugerem.

PASSO 7

Quanto vale hoje um dinheiro que só chega daqui a alguns meses?

R$ 100 hoje valem mais do que R$ 100 daqui a um ano, porque o dinheiro de hoje pode render, ou evitar uma dívida, até lá. Se o dinheiro rende à taxa $i$ por período, um valor $F$ pago daqui a $k$ períodos equivale hoje a $F/(1 + i)^k$, o seu valor presente. É a conta dos juros compostos feita ao contrário, dividindo pelo fator em vez de multiplicar.

Pagamentos em datas diferentes só se somam depois de trazidos para a mesma data. Uma loja que vende por R$ 1200 em 10 parcelas "sem juros" de R$ 120 e dá 10% de desconto à vista cobra, na prática, R$ 1080 por quem paga hoje, e as parcelas embutem juros. A taxa embutida é a que torna o valor presente das parcelas igual ao preço à vista, e ela sai de uma equação que em geral só se resolve por tentativas, como a bancada faz, e no exemplo dá cerca de 1,96% ao mês.

A taxa usada na comparação depende da situação de quem paga. Para quem tem o dinheiro guardado, ela é o que ele renderia, e para quem precisaria pegar um empréstimo, é a taxa desse empréstimo. A conta mostra qual pagamento custa menos a cada taxa, e a taxa certa para cada pessoa fica fora da matemática.

$VP = \dfrac{F}{(1 + i)^k}$$VP = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{P}{(1 + i)^k}$A soma vale para $n$ parcelas iguais a $P$, a primeira um período depois da compra. Com entrada, a primeira parcela é paga no ato e entra sem desconto, e o índice vai de 0 a $n - 1$.

Para conversar

Com 10 parcelas, sem desconto à vista e sem entrada, ponha a taxa de comparação em zero. O valor presente bate com o preço? E com 1% ao mês?
Dê 10% de desconto à vista. Que taxa embutida aparece, e o que acontece com a comparação quando a taxa de comparação passa dela?
Mude para "com entrada", a primeira parcela no ato. A taxa embutida sobe ou desce, e por quê?
Reduza para 3 parcelas, mantendo os 10% de desconto. A taxa embutida fica maior ou menor do que com 10 parcelas?

Parcelas

Desconto à vista

Taxa de comparação ao mês

Parcela

Valor presente

Preço à vista

Taxa embutida ao mês

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é o valor presente de R$ 1100,00 pagos daqui a um ano, com taxa de 10% ao ano?

Ver resolução
$1100 / 1{,}1 = 1000$.
R$ 1000,00. Aplicados a 10% ao ano, eles virariam os R$ 1100,00.
básico
Qual é o valor presente de R$ 1210,00 pagos daqui a 2 meses, com taxa de 10% ao mês?

Ver resolução
$1210 / 1{,}1^2 = 1210 / 1{,}21 = 1000$.
R$ 1000,00.
básico
Qual é o valor presente de R$ 1000,00 pagos daqui a 12 meses, com taxa de 1% ao mês?

Ver resolução
$1000 / 1{,}01^{12} \approx 1000 / 1{,}1268$.
Cerca de R$ 887,45.
básico
Um produto custa R$ 1000,00 com pagamento em 30 dias, ou R$ 950,00 à vista. Que taxa mensal está embutida no pagamento a prazo?

Ver resolução
Quem paga a prazo adia R$ 950,00 por um mês e paga R$ 1000,00.
$1000 / 950 \approx 1{,}0526$.
Cerca de 5,26% ao mês, acima dos 5% do desconto, porque o desconto incide sobre R$ 1000,00 e os juros sobre R$ 950,00.
médio
À taxa de 10% ao mês, o que vale mais hoje, R$ 1000,00 à vista ou duas parcelas de R$ 550,00, em 30 e em 60 dias?

Ver resolução
$\dfrac{550}{1{,}1} + \dfrac{550}{1{,}21}$ $= 500 + 454{,}55$ $= 954{,}55$.
As parcelas valem cerca de R$ 954,55 hoje, menos que R$ 1000,00. A essa taxa, pagar parcelado custa menos em valor de hoje, embora as parcelas somem R$ 1100,00.
médio
Uma loja vende um celular por R$ 900,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 500,00, uma no ato e outra em 30 dias. Que taxa mensal está embutida?

Ver resolução
A primeira parcela é paga no ato, e o valor financiado é $900 - 500 = 400$.
Esses R$ 400,00 viram R$ 500,00 em um mês, $500/400 = 1{,}25$.
25% ao mês. Pagar metade no ato faz a taxa parecer menor do que é.
médio
Uma parcela de R$ 1040,40 vence daqui a 2 meses. Pelo contrato, quem antecipa paga o valor presente à taxa de 2% ao mês. Quanto se paga hoje, e quanto se economiza?

Ver resolução
$1040{,}40 / 1{,}02^2$ $= 1040{,}40 / 1{,}0404$ $= 1000$.
R$ 1000,00 hoje, uma economia de R$ 40,40.
médio
Uma loja oferece 10 parcelas "sem juros" de R$ 120,00, a primeira em 30 dias, ou R$ 1080,00 à vista. A bancada dá uma taxa embutida perto de 1,96% ao mês. Confira que, a 2% ao mês, o valor presente das parcelas fica abaixo de R$ 1080,00, e explique o que isso diz sobre a taxa embutida.

Ver resolução
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{120}{1{,}02^k}$ $\displaystyle= 120 \cdot \dfrac{1 - 1{,}02^{-10}}{0{,}02}$ $\displaystyle\approx 120 \times 8{,}9826$ $\displaystyle\approx 1077{,}91$.
O valor presente cai quando a taxa sobe, e a 2% ele já ficou abaixo de R$ 1080,00.
Cerca de R$ 1077,91, e por isso a taxa embutida, que dá exatamente R$ 1080,00, fica um pouco abaixo de 2%.
desafio
Mostre que o valor presente de $n$ parcelas iguais a $P$, a primeira um período depois da compra, é $P\,\dfrac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$. Use a fórmula com $P = 100$, $i = 1\%$ e $n = 12$.

Ver resolução
A soma $\dfrac{P}{1 + i} + \dfrac{P}{(1 + i)^2} + \cdots + \dfrac{P}{(1 + i)^n}$ é uma progressão geométrica com primeiro termo $\dfrac{P}{1 + i}$ e razão $q = \dfrac{1}{1 + i}$.
Pela soma da PG, $\dfrac{P}{1 + i} \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$, e como $1 - q = \dfrac{i}{1 + i}$, sobra $P\,\dfrac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$.
Com os números, $100 \times \dfrac{1 - 1{,}01^{-12}}{0{,}01} \approx 100 \times 11{,}2551$.
Cerca de R$ 1125,51, contra R$ 1200,00 de soma das parcelas.
desafio
Uma loja vende por um preço cheio pago em 30 dias, ou com desconto $d$ à vista. Mostre que a taxa mensal embutida é $\dfrac{d}{1 - d}$, e calcule para $d = 10\%$.

Ver resolução
Com preço cheio $V$, quem paga à vista paga $(1 - d)\,V$, e a prazo paga $V$ um mês depois.
A taxa embutida satisfaz $(1 - d)\,V\,(1 + i) = V$, o que dá $1 + i = \dfrac{1}{1 - d}$ e $i = \dfrac{d}{1 - d}$.
Com $d = 10\%$, $i = 0{,}1/0{,}9 \approx 11{,}1\%$ ao mês. O desconto à vista é uma das formas de uma loja embutir juros num preço "sem juros".

PASSO 8

O que há dentro de cada parcela de um financiamento?

Num financiamento, cada parcela tem duas partes. Os juros do mês incidem sobre o saldo devedor, o que ainda se deve, e o resto da parcela é a amortização, que abate o saldo. Os sistemas de amortização diferem na forma de repartir as parcelas, e em qualquer um deles as amortizações somam o valor financiado e o saldo termina em zero.

No sistema Price, todas as parcelas são iguais, e o valor delas é o que faz o valor presente das $n$ parcelas igualar o valor financiado. No começo o saldo é grande, os juros levam quase toda a parcela, e a amortização cresce mês a mês. No SAC, o sistema de amortização constante, cada parcela amortiza a mesma fração do valor financiado, e os juros caem junto com o saldo, o que faz as parcelas começarem mais altas e descerem em linha reta.

Como os juros de cada mês são a taxa vezes o saldo, e o SAC derruba o saldo mais depressa no início, ele paga menos juros no total, enquanto a Price começa com parcelas menores. Antes da contratação, a Resolução CMN nº 4.881/2020 obriga a instituição a informar o Custo Efetivo Total, o CET, uma taxa anual que junta juros, tarifas, tributos, seguros e outras despesas da operação. Uma tarifa paga no início reduz o dinheiro que de fato chega ao cliente e leva o CET para cima da taxa de juros anunciada.

$J_k = i\,S_{k-1}$$A_k = P_k - J_k$$\text{Price: } P = \dfrac{PV \cdot i}{1 - (1 + i)^{-n}}$$\text{SAC: } A_k = \dfrac{PV}{n}$$PV$ é o valor financiado, $S_k$ o saldo depois da parcela $k$, com $S_0 = PV$, $J_k$ os juros e $A_k$ a amortização da parcela $k$. O CET é a taxa anual que iguala o valor presente das parcelas ao crédito que chega ao cliente.

Para conversar

Na Price, com a taxa média de veículos de agosto de 2026, compare a parte de juros da primeira parcela com a da última. Em que parcela a amortização passa dos juros?
Troque para o SAC com os mesmos números. Quanto sobe a primeira parcela, e quanto cai o total de juros?
Leve o prazo de 24 para 60 meses. O que acontece com a parcela e com o total de juros?
Ponha uma tarifa de R$ 1500 paga no início. A taxa de juros ficou a mesma. Por que o CET mudou?

Valor financiado

Taxa ao mês

Prazo

Tarifa paga no início

1ª parcela

Última parcela

Soma das parcelas

Total de juros

CET ao ano

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um empréstimo de R$ 1000,00 vai ser pago pelo SAC em 4 parcelas mensais, a 10% ao mês. Monte as quatro parcelas.

Ver resolução
A amortização é $1000/4 = 250$ por mês, e os saldos antes de cada parcela são 1000, 750, 500 e 250.
Os juros são 10% desses saldos, 100, 75, 50 e 25.
Parcelas de R$ 350,00, R$ 325,00, R$ 300,00 e R$ 275,00, com R$ 250,00 de juros no total.
básico
O mesmo empréstimo, pela Price. Qual é a parcela, e quanto se paga de juros no total?

Ver resolução
$P = \dfrac{1000 \times 0{,}1}{1 - 1{,}1^{-4}} \approx \dfrac{100}{0{,}3170} \approx 315{,}47$.
As quatro parcelas somam cerca de $4 \times 315{,}47 = 1261{,}88$.
Parcelas de cerca de R$ 315,47 e R$ 261,88 de juros, R$ 11,88 a mais que no SAC.
básico
Num financiamento de R$ 10.000,00 a 2% ao mês, quanto da primeira parcela é juros, na Price e no SAC?

Ver resolução
Nos dois sistemas, os juros da primeira parcela incidem sobre o valor financiado inteiro.
$0{,}02 \times 10{.}000 = 200$.
R$ 200,00 nos dois. A diferença entre os sistemas aparece na amortização.
básico
Um financiamento de R$ 12.000,00 pelo SAC em 24 meses, a 1% ao mês. Quanto se amortiza por mês, e qual é a primeira parcela?

Ver resolução
$12{.}000 / 24 = 500$.
Juros da primeira, $0{,}01 \times 12{.}000 = 120$.
R$ 500,00 por mês, e a primeira parcela é de R$ 620,00.
médio
No mesmo financiamento SAC do exercício anterior, qual é a 10ª parcela?

Ver resolução
Antes da 10ª parcela já foram feitas 9 amortizações, e o saldo é $12{.}000 - 9 \times 500 = 7500$.
Juros, $0{,}01 \times 7500 = 75$.
R$ 575,00. As parcelas do SAC caem R$ 5,00 por mês, e $620 - 9 \times 5 = 575$.
médio
Qual é a parcela, pela Price, de um financiamento de R$ 20.000,00 em 12 meses a 1,5% ao mês?

Ver resolução
$P = \dfrac{20{.}000 \times 0{,}015}{1 - 1{,}015^{-12}} \approx \dfrac{300}{0{,}16361}$.
Cerca de R$ 1833,60, e as doze somam cerca de R$ 22.003,20.
médio
Com os mesmos valor, taxa e prazo, por que a Price paga mais juros no total do que o SAC?

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Os juros de cada mês são a taxa vezes o saldo devedor.
No começo, a parcela da Price amortiza menos que a do SAC, e o saldo da Price fica maior em todos os meses intermediários.
Com saldos maiores mês a mês, a Price acumula mais juros. Ela compensa com parcelas iniciais menores, como no exercício 2.
médio
Um financiamento de R$ 10.000,00 em 12 parcelas pela Price, a 2% ao mês, cobra uma tarifa de R$ 500,00 descontada na liberação. A parcela é de cerca de R$ 945,60. Por que o custo efetivo fica acima de 2% ao mês? A bancada dá um CET perto de 40% ao ano. A que taxa mensal isso corresponde?

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As parcelas são calculadas sobre R$ 10.000,00, mas só R$ 9500,00 chegam ao cliente.
A taxa que iguala o valor presente das parcelas a R$ 9500,00 precisa ser maior que 2%.
Um CET de cerca de 40,03% ao ano corresponde a $1{,}4003^{1/12} - 1 \approx 2{,}85\%$ ao mês.
Cerca de 2,85% ao mês, contra os 2% anunciados, que dão 26,82% ao ano.
desafio
Mostre que, na Price, cada amortização é a anterior multiplicada por $1 + i$.

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A parcela é sempre $P = J_k + A_k$.
Depois da parcela $k$, o saldo caiu $A_k$, e os juros do mês seguinte caem $i\,A_k$, $J_{k+1} = J_k - i\,A_k$.
Então $A_{k+1}$ $= P - J_{k+1}$ $= P - J_k + i\,A_k$ $= A_k + i\,A_k$.
$A_{k+1} = (1 + i)\,A_k$. As amortizações da Price formam uma progressão geométrica de razão $1 + i$.
desafio
Mostre que, no SAC, o total de juros é $i \cdot PV \cdot \dfrac{n + 1}{2}$, e confira com o exercício 1.

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Os saldos sobre os quais incidem os juros são $PV,\ \tfrac{n-1}{n} PV, \ldots,\ \tfrac{1}{n} PV$, uma progressão aritmética de $n$ termos.
A soma deles é $n \cdot \dfrac{PV + PV/n}{2} = PV\,\dfrac{n + 1}{2}$, e os juros são $i$ vezes essa soma.
No exercício 1, $0{,}1 \times 1000 \times \dfrac{5}{2} = 250$.
$i \cdot PV \cdot \dfrac{n + 1}{2}$, e R$ 250,00 no exercício 1.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 1 e 3 · Pontos percentuais

A meta da taxa Selic era de 15,00% ao ano em junho de 2025 e passou a 13,75% ao ano em setembro de 2026, segundo o Banco Central. Em quantos pontos percentuais ela caiu, e em quantos por cento? Quanto mudam, nessas duas taxas, os juros de um ano sobre R$ 10.000,00?

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A diferença entre as taxas é $15{,}00 - 13{,}75 = 1{,}25$ ponto percentual.
Em relação à taxa de antes, $1{,}25 / 15 \approx 0{,}0833$, uma queda de cerca de 8,33%.
Os juros de um ano passam de $0{,}15 \times 10{.}000 = 1500$ para $0{,}1375 \times 10{.}000 = 1375$, R$ 125,00 a menos, que são 1,25% do capital e 8,33% dos juros antigos.
As duas medidas descrevem a mesma queda, e uma manchete que fale em "8% de queda nos juros" e outra que fale em "1,25 ponto" estão ambas certas.

Passos 2 e 5 · Desfazer um aumento composto

Um preço subiu 2% ao mês durante 12 meses. Que desconto único, aplicado no fim, traria o preço de volta ao valor do começo?

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Em doze meses o preço ficou multiplicado por $1{,}02^{12} \approx 1{,}2682$, um aumento de cerca de 26,82%.
O desconto que desfaz um aumento $a$ é $\dfrac{a}{1 + a} = 1 - \dfrac{1}{1 + a}$, e aqui $1 - \dfrac{1}{1{,}2682} \approx 0{,}2115$.
Um desconto de cerca de 21,15% traz o preço de volta, bem menos que os 26,82% do aumento e menos ainda que os 24% de doze vezes 2%.

Passos 3 e 6 · Inflação e taxa real

Uma aplicação rendeu 0,9% ao mês de setembro de 2025 a agosto de 2026, os doze meses em que o IPCA acumulou 4,22%. Quanto ela rendeu no período, e qual foi a taxa real?

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Doze meses a 0,9% dão $1{,}009^{12} \approx 1{,}1135$, um rendimento de cerca de 11,35%.
O poder de compra fica multiplicado por $1{,}1135 / 1{,}0422 \approx 1{,}0684$.
A taxa real foi de cerca de 6,84% no período, abaixo dos $11{,}35 - 4{,}22 = 7{,}13$ pontos da subtração direta.

Passos 5 e 7 · Doze vezes sem juros

Uma televisão custa R$ 2400,00 em 12 parcelas de R$ 200,00, a primeira em 30 dias, ou R$ 2040,00 à vista, com 15% de desconto. Com 12 parcelas e 15% de desconto, a bancada do passo 7 mostra que o parcelamento embute cerca de 2,59% ao mês. Para quem compara com uma taxa de 1% ao mês, qual forma de pagar custa menos em valor de hoje?

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A 1% ao mês, as parcelas valem hoje $200 \cdot \dfrac{1 - 1{,}01^{-12}}{0{,}01}$ $\approx 200 \times 11{,}2551$ $\approx 2251{,}02$.
O preço à vista é R$ 2040,00, cerca de R$ 211,02 a menos que o valor de hoje das parcelas.
A essa taxa de comparação, pagar à vista custa menos. A conclusão só se inverteria com uma taxa de comparação acima dos cerca de 2,59% embutidos, a taxa em que as duas formas se equivalem.

Passos 5 e 8 · Price contra SAC

Um financiamento de R$ 60.000,00 em 120 parcelas mensais a 1% ao mês pode ser feito pela Price ou pelo SAC. Quanto de juros se paga em cada sistema, e qual é a diferença?

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No SAC, os juros totais são $i \cdot PV \cdot \dfrac{n + 1}{2}$ $= 0{,}01 \times 60{.}000 \times \dfrac{121}{2}$ $= 36{.}300$.
Na Price, $P = \dfrac{60{.}000 \times 0{,}01}{1 - 1{,}01^{-120}} \approx 860{,}83$, e as 120 parcelas somam cerca de R$ 103.299,08, com cerca de R$ 43.299,08 de juros.
A Price paga cerca de R$ 6999,08 a mais de juros. Em troca, a primeira parcela dela, R$ 860,83, fica bem abaixo da primeira do SAC, $500 + 600 = 1100$ reais.

Passos 5 e 6 · Rotativo e o teto da lei

Uma fatura de R$ 1000,00 que não foi paga entra no rotativo à taxa média de agosto de 2026, 15,18% ao mês, sem nenhum pagamento depois. Se não houvesse teto, em que mês os juros passariam do valor original da dívida? O que a Lei nº 14.690/2023 muda nessa conta?

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Os juros passam de R$ 1000,00 quando a dívida passa de R$ 2000,00, isto é, quando $1{,}1518^t > 2$, o que pede $t > \ln 2 / \ln 1{,}1518 \approx 4{,}9$.
Depois de 4 meses a dívida está em cerca de R$ 1759,98, e depois de 5 meses em cerca de R$ 2027,15.
Sem teto, os juros passariam do valor original no quinto mês. O art. 28 da Lei nº 14.690/2023 pediu aos emissores de cartão limites próprios para os juros do rotativo e do parcelamento da fatura, a aprovar pelo Conselho Monetário Nacional, e fixou que, sem aprovação em 90 dias, ou para o emissor que não aderisse, os juros e encargos não passariam do valor original da dívida. Os limites não foram aprovados no prazo, e a Resolução CMN nº 5.112/2023 aplica esse teto às operações feitas desde janeiro de 2024. Com ele, os juros e encargos dessa fatura param em R$ 1000,00, por mais que o tempo corra.

Passos 7 e 8 · Tarifa e CET

Um financiamento de R$ 20.000,00 em 24 parcelas pela Price, a 2% ao mês, cobra uma tarifa de R$ 800,00 descontada na liberação. Calcule a parcela, escreva a equação do CET e explique por que ele passa dos 26,82% ao ano que a taxa de juros dá sozinha.

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$P = \dfrac{20{.}000 \times 0{,}02}{1 - 1{,}02^{-24}} \approx 1057{,}42$.
Chegam ao cliente $20{.}000 - 800 = 19{.}200$ reais, e o CET é a taxa anual $c$ com $\displaystyle\sum_{k=1}^{24} \dfrac{1057{,}42}{(1 + c)^{k/12}} = 19{.}200$, contando cada mês como 1/12 de ano.
As parcelas foram calculadas sobre R$ 20.000,00, e à taxa de 26,82% ao ano o valor presente delas é R$ 20.000,00, mais que os R$ 19.200,00 recebidos. Para baixar o valor presente até R$ 19.200,00, a taxa precisa subir.
A bancada do passo 8 dá um CET de cerca de 32,36% ao ano, perto de 2,36% ao mês.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Aumentos e descontos · Passo 2
Às vésperas de uma liquidação, uma loja de calçados aumentou em 60% o preço de todos os produtos. No primeiro dia da liquidação, as vitrines anunciavam "37,5% de desconto em toda a loja", aplicado sobre os preços já aumentados. Uma cliente que tinha visto um par de tênis antes do aumento voltou para comprá-lo nesse dia.

Em relação ao preço de antes do aumento, o preço que a cliente pagou foi
1. igual.
2. 22,5% maior.
3. 22,5% menor.
4. 37,5% menor.
5. 60% maior.
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Resposta: A.
O aumento multiplica o preço por 1,6 e o desconto por 0,625, e $1{,}6 \times 0{,}625 = 1$.
O desconto de 37,5% sobre o preço aumentado desfaz exatamente o aumento de 60%, porque $\dfrac{0{,}6}{1{,}6} = 0{,}375$.
Quem subtrai as taxas, $60 - 37{,}5$, chega aos 22,5% maiores da B, e quem faz a mesma subtração com os sinais trocados chega aos 22,5% menores da C. A D enxerga só o desconto e esquece o aumento, e a E enxerga só o aumento e esquece o desconto.
Os 37,5% do anúncio apenas devolveram o preço de antes do aumento, e a cliente pagou na liquidação o mesmo que pagaria antes do aumento.
Variações sucessivas · Passo 3
A passagem de ônibus de uma cidade teve dois reajustes no mesmo ano, de 5% em janeiro e de 4% em julho, o segundo calculado sobre a tarifa já reajustada. Um vereador afirmou na tribuna que a tarifa subiu 9% no ano.

O reajuste acumulado da tarifa no ano foi de
1. 4,5%.
2. 9,0%.
3. 9,2%.
4. 9,4%.
5. 20,0%.
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Resposta: C.
Os fatores se multiplicam, $1{,}05 \times 1{,}04 = 1{,}092$, um reajuste de 9,2%.
Os 9,0% do vereador somam as taxas e esquecem que o reajuste de julho incide também sobre os 5% de janeiro, e esse termo vale $0{,}05 \times 0{,}04 = 0{,}002$. Os 4,5% são a média das duas taxas, e os 20% multiplicam os números 5 e 4 como se fossem porcentagens. Os 9,4% não correspondem a nenhuma conta com esses dados.
Com taxas pequenas a soma chega perto, e o erro de 0,2 ponto parece pouco, mas ele cresce com o número de reajustes e com o tamanho das taxas.
Juros compostos · Passo 5
Mariana guardou R$ 2000,00 numa aplicação que paga juros compostos de 1% ao mês. Seu irmão aplicou a mesma quantia, no mesmo dia, num produto que paga juros simples de 1% ao mês sobre o valor inicial. Nenhum dos dois fez depósitos nem saques.

Depois de 3 meses, quanto Mariana terá a mais que o irmão?
1. R$ 0,20
2. R$ 0,60
3. R$ 20,00
4. R$ 60,00
5. R$ 60,60
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Resposta: B.
Mariana terá $2000 \times 1{,}01^3$ $= 2000 \times 1{,}030301$ $= 2060{,}602$, cerca de R$ 2060,60.
O irmão terá $2000 \times (1 + 0{,}01 \times 3) = 2060$.
A diferença é de cerca de R$ 0,60. Ela vem dos juros sobre juros, R$ 0,20 dos juros do primeiro mês rendendo no segundo e cerca de R$ 0,40 dos juros acumulados rendendo no terceiro.
Quem conta só o que os juros renderam no segundo mês marca a A, e quem toma a diferença pelos juros de um mês, $0{,}01 \times 2000$, marca a C. Os R$ 60,00 da D são os juros do irmão, e os R$ 60,60 da E são os de Mariana, e nenhum dos dois é a diferença.
Em prazos curtos e taxas pequenas os dois sistemas ficam muito perto, como a bancada do passo 5 mostra.
Valor presente · Passo 7
Uma loja de eletrodomésticos vende uma geladeira por R$ 1800,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 1000,00, a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. O vendedor diz ao cliente que o parcelamento "sai só R$ 200,00 mais caro, o que dá uns 11% a mais".

A taxa mensal de juros embutida nesse parcelamento é de
1. 10,0%.
2. 11,1%.
3. 12,5%.
4. 20,0%.
5. 25,0%.
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Resposta: E.
A primeira parcela é paga no ato, e o que fica de fato financiado é $1800 - 1000 = 800$ reais.
Esses R$ 800,00 são pagos um mês depois com R$ 1000,00, e $1000 / 800 = 1{,}25$.
A taxa é de 25% ao mês. Os 11,1% do vendedor dividem os R$ 200,00 pelo preço inteiro, $200/1800$, como se toda a geladeira fosse financiada, e os 10% dividem pelo total parcelado. Os 20% dividem os R$ 200,00 pela parcela de R$ 1000,00, e os 12,5% repartem os 25% pelos dois meses do parcelamento, embora o dinheiro financiado fique emprestado um mês só.
A entrada no ato encolhe o dinheiro financiado e deixa os juros mais pesados do que a diferença de preço sugere.
Financiamento · Passo 8
Paulo financiou R$ 24.000,00 para comprar um carro usado, em 48 parcelas mensais pelo sistema de amortização constante (SAC), com juros de 1% ao mês sobre o saldo devedor. A primeira parcela vence um mês depois da contratação, e cada parcela é a amortização fixa somada aos juros do mês.

Qual é o valor da 13ª parcela?
1. R$ 500,00
2. R$ 675,00
3. R$ 680,00
4. R$ 685,00
5. R$ 740,00
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Resposta: C.
A amortização é $24{.}000 / 48 = 500$ reais por mês.
Antes da 13ª parcela, 12 amortizações já foram pagas, e o saldo é $24{.}000 - 12 \times 500 = 18{.}000$.
Os juros do mês são $0{,}01 \times 18{.}000 = 180$, e a parcela é $500 + 180 = 680$.
A A esquece os juros, e a E é a primeira parcela, com juros sobre o valor inteiro. A B calcula os juros sobre o saldo depois da 13ª amortização, R$ 17.500,00, e a D usa o saldo depois de 11 amortizações, R$ 18.500,00.
As parcelas do SAC caem R$ 5,00 por mês, e $740 - 12 \times 5 = 680$ confere o resultado.

Questões reais do ENEM sobre este tema

Conferimos cada questão no caderno azul do 2º dia, baixado do site do INEP, onde podemos procurar a prova pelo ano, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2015, 2º dia, caderno azul, questão 156. Um financiamento imobiliário de R$ 180.000,00 é pago em 360 prestações de R$ 500,00 mais 1% de juros sobre o saldo devedor, e a questão pede a décima prestação, uma conta do SAC.
ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 136. Um empréstimo em oito parcelas iguais, a juros compostos, é quitado no ato da sexta parcela pelo valor atual das que faltam, e precisamos escolher a expressão desse valor.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 137. Num contrato de sessenta parcelas de R$ 820,00 a 1,32% ao mês, uma parcela pode ser antecipada junto com a trigésima se o desconto passar de 25%, e a questão pede, com logaritmos, a primeira que se qualifica.
ENEM 2019, 2º dia, caderno azul, questão 150. Um produto pago em duas parcelas, de R$ 202,00 e R$ 204,02, em 30 e 60 dias, a juros compostos de 1% ao mês, e a questão pede o valor à vista que deve constar na nota fiscal.
ENEM 2021, 2º dia, caderno azul, questão 174. Três farmácias têm preços diferentes para três medicamentos e oferecem descontos com condições diferentes, e precisamos montar a compra mais barata.
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 167. Uma geladeira tem preço promocional à vista, preço normal 10% maior e 2% de desconto no cartão da loja, e a cliente que somou e subtraiu as taxas chega a um valor diferente do da loja.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 161. Uma loja aumenta o preço à vista em 20% e o divide em três parcelas, no ato, em 30 e em 60 dias, e a questão pede a taxa mensal de juros compostos embutida.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 162. As 100 parcelas de um apartamento crescem por um acréscimo percentual fixo, a imobiliária paga as parcelas do mês de aniversário do comprador, e precisamos escolher o mês da compra que minimiza o total.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Porcentagem$p\% \text{ de } V = \dfrac{p}{100}\,V$

Pontos percentuaisdiferença entre duas taxas, de 8% a 10% são 2 pontos e um aumento de 25%

Fator de uma variação $i$$V \mapsto (1 + i)\,V$, com $i < 0$ nos descontos

Variações sucessivas$(1 + i_1)(1 + i_2)\cdots(1 + i_n) - 1$

Desconto que desfaz um aumento $a$$d = \dfrac{a}{1 + a}$

Juros simples$J = C\,i\,t$ e $M = C(1 + i\,t)$

Juros compostos$M = C(1 + i)^t$

Tempo para dobrar$t = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + i)}$

Taxas equivalentes$1 + i_a = (1 + i_m)^{12}$

Taxa real, com inflação $\pi$$1 + r = \dfrac{1 + i}{1 + \pi}$

Valor presente$VP = \dfrac{F}{(1 + i)^k}$

CETtaxa anual que junta juros, tarifas, tributos e seguros

Price e SAC, com os mesmos valor, taxa e prazo
Item	Price	SAC
Parcela	constante, $P = \dfrac{PV\,i}{1 - (1 + i)^{-n}}$	decrescente, cai $i\,PV/n$ por mês
Amortização	cresce, em PG de razão $1 + i$	constante, $PV/n$
Juros do mês	$i$ vezes o saldo, caindo devagar	$i$ vezes o saldo, caindo em linha reta
Total de juros	maior	menor, $i\,PV\,\dfrac{n + 1}{2}$

Item	Price	SAC
Parcela	constante, \(P = \dfrac{PV\,i}{1 - (1 + i)^{-n}}\)	decrescente, cai \(i\,PV/n\) por mês
Amortização	cresce, em PG de razão \(1 + i\)	constante, \(PV/n\)
Juros do mês	\(i\) vezes o saldo, caindo devagar	\(i\) vezes o saldo, caindo em linha reta
Total de juros	maior	menor, \(i\,PV\,\dfrac{n + 1}{2}\)