Les Lleis de Newton de la Dinàmica

Al banc hi ha dos carretons aturats en un rail sense fregament, l'A d'1 kg i el B de 4 kg. El botó Empeny aplica a cadascun la mateixa força, 2 N, durant els mateixos 2 s, i després els deixa córrer sols. Mentre la força actua, la velocitat de l'A creix quatre vegades més de pressa que la del B; quan s'acaba, l'A continua a 4 m/s i el B a 1 m/s.

Des del final de l'empenta, les dues rectes del gràfic queden horitzontals. Sense força, cap carretó no guanya ni perd velocitat, i el B continuaria a 1 m/s per tant de rail com n'hi hagués. Els carretons aturats, abans de prémer el botó, són el mateix cas amb velocitat zero. Això és la inèrcia, que Galileu ja havia observat.

La segona llei parla del moment, el producte de la massa per la velocitat, i diu que la força és el ritme amb què aquest moment varia en el temps. Amb la massa constant, la derivada només toca la velocitat i la llei es converteix en \(F = ma\): els mateixos 2 N donen al carretó d'1 kg una acceleració de 2 m/s² i al de 4 kg una de 0,5 m/s². En aquest sentit la massa mesura la inèrcia, la resistència d'un cos a deixar-se canviar la velocitat, i el banc ho mostra en els pendents de les dues rectes durant l'empenta.

força, mentre actua   velocitat

Els moments finals guarden la part més curiosa. L'A acaba amb 1 kg per 4 m/s, el B amb 4 kg per 1 m/s, i tots dos tenen els mateixos 4 kg·m/s. Sumant la segona llei al llarg de l'empenta, la variació del moment és la força multiplicada pel temps durant el qual ha actuat, l'impuls \(F\,T\), i la massa no entra en el compte. Qualsevol parell de masses als controls acaba amb moments iguals; el que decideix la massa és com es reparteix aquest moment entre molta massa i poca velocitat o al revés. La lliçó de secundària sobre l'impuls fa servir la mateixa relació per explicar per què un xoc més llarg fa menys mal.

La llei deixa una cosa oberta, i convé dir quina. No diu què és una força ni d'on ve; diu quant canvia el moment per segon mentre actua. Per preveure un moviment falta una segona informació, la llei de la força de cada cas, i el pas 3 fa servir la de la molla per calcular un moviment sencer. La lliçó de secundària sobre la segona llei treballa \(F = ma\) amb forces donades; aquí interessa la forma amb el moment, que és la que el mateix Newton va escriure, parlant de quantitat de moviment.

Al Feynman: §9-1 Momentum and force ↗

El banc fa girar un punt en un cercle de 2 m de radi, amb una volta cada 6,28 s i 2 m/s tota l'estona. Un velocímetre lligat al punt es quedaria quiet als 2 m/s, i tot i així la fletxa blava de la velocitat no és mai la mateixa en dos instants, perquè gira amb el punt. Per això la física separa la rapidesa de la velocitat. La rapidesa és la mida de la velocitat, el nombre que mostra el velocímetre; la velocitat és aquest nombre acompanyat d'una direcció, i canviar només la direcció ja és canviar la velocitat.

Per veure quant canvia, el banc marca el punt en dos instants separats per \(\Delta t\) i dibuixa, al costat, les dues velocitats sortint d'un mateix origen. La fletxa vermella que va de la punta de la primera a la punta de la segona és \(\Delta\vec v\), el que ha calgut sumar a la primera per arribar a la segona. Amb \(\Delta t = 0{,}1\) s les dues fletxes gairebé coincideixen i \(\Delta\vec v\) només mesura 0,2 m/s, però dividida pels 0,1 s dona 1,999 m/s², una acceleració que no desapareix quan l'interval s'escurça.

Copiada al cercle, en el punt de la volta que queda al mig dels dos instants, la mateixa fletxa apunta exactament cap al centre, per a qualsevol \(\Delta t\). És ella la que corba la trajectòria sense tocar la rapidesa, i la raó \(|\Delta\vec v|/\Delta t\) tendeix a \(v^2/R\), 2 m/s² amb els valors inicials, l'acceleració centrípeta de la lliçó de secundària sobre el moviment circular. El cotxe del títol, doncs, accelera, i la força que el fa girar ve de terra, pel fregament dels pneumàtics.

Les barres de la dreta del dibuix guarden la mateixa fletxa blava en dos nombres. Triats dos eixos, \(v_x\) diu quants metres per segon avança el punt en la direcció x i \(v_y\) en la direcció y, i les barres del banc mostren com totes dues canvien de valor al llarg de la volta, mentre \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) es manté als 2 m/s. L'acceleració i la força es descomponen de la mateixa manera, i la segona llei val a cada eix per separat. Una força sense component horitzontal no canvia la velocitat horitzontal, i per això la pilota de l'escenari Llançament, al pas 6 de la lliçó del capítol 8, manté els 5 m/s en horitzontal de l'inici al final del vol.

Al Feynman: §9-2 Speed and velocity ↗ · §9-3 Components of velocity, acceleration, and force ↗

El banc lliga una massa d'1 kg a una molla de 2 N/m, estira la massa 0,6 m cap a la dreta i la deixa anar. Ningú no necessita saber per endavant quin moviment en sortirà. N'hi ha prou amb la taula de sota el gràfic, omplerta fila a fila amb sumes i multiplicacions, i cada clic a Un pas més afegeix una fila a la taula i un punt al gràfic.

La segona llei, tota sola, no faria aquesta feina. Lliga la força a la variació de la velocitat, però algú ha de dir quant val la força a cada posició, i per a la molla la resposta és la llei de Hooke: si s'allarga \(x\) metres, tira cap enrere amb \(kx\) newtons. Amb totes dues juntes, l'acceleració val \(-(k/m)\,x\) a cada instant, i aquesta regla diu com canviarà la velocitat tot seguit a partir d'on és ara la massa.

La taula aplica la regla amb un pas \(\varepsilon\) de 0,05 s. A t = 0 la massa és a 0,6 m i l'acceleració val −2 × 0,6 = −1,2 m/s². La velocitat de la primera fila no és la de l'instant zero, que és nul·la, sinó la del mig del primer interval, a 0,025 s, i mig pas d'acceleració la porta a −0,03 m/s. Amb aquesta velocitat, la posició a 0,05 s queda en 0,6 − 0,05 × 0,03 = 0,5985 m, l'acceleració hi passa a −1,197 m/s², i la velocitat a 0,075 s surt −0,03 − 0,05 × 1,197 = −0,0899 m/s. Cada fila nova repeteix aquests tres càlculs.

força de la molla sobre la massa   velocitat

Les columnes de la taula van desacompassades: x i a valen als instants 0; 0,05; 0,10 s, i v val entre aquests instants, a 0,025; 0,075; 0,125 s. Cada velocitat porta la posició d'una fila a la següent, i cada acceleració corregeix la velocitat d'un mig interval al següent. El desacompassament és volgut. La velocitat del començament de l'interval ja ha quedat enrere quan s'arriba al final, i fer-la servir per avançar fa errar sempre cap al mateix costat, un error que s'acumula volta rere volta, com deixa veure el mètode d'Euler del pas 4; la del mig queda a prop de la mitjana de l'interval, i les desviacions cap a un costat i cap a l'altre gairebé es compensen. Feynman munta el càlcul d'aquesta manera al capítol, amb altres nombres inicials i una altra taula.

Calcula una volta omple la taula durant un període sencer. Els punts cauen sobre la corba discontínua, \(x_0\cos\omega t\) amb \(\omega = \sqrt{k/m}\), la solució exacta que proporciona el càlcul diferencial i que la taula no ha fet servir mai. El període surt de les passades per x = 0, interpolades entre els dos punts veïns: la massa travessa el zero cap a l'esquerra a 1,11 s i de tornada a 3,33 s, cosa que dona una volta de 4,44 s, igual a \(2\pi\sqrt{m/k}\) en els dos decimals de la pantalla. L'amplitud no entra en aquesta fórmula, i el banc permet confirmar que estirar més o menys la molla no canvia el període.

Al Feynman: §9-4 What is the force? ↗ · §9-5 Meaning of the dynamical equations ↗ · §9-6 Numerical solution of the equations ↗

El banc deixa el Sol quiet a l'origen i llança un planeta des d'x = 1, a una unitat de distància, amb velocitat 1,2 en la direcció y. Les unitats es trien perquè GM valgui 1, la mateixa simplificació que fa Feynman al capítol. Deixar el Sol immòbil és una aproximació, bona mentre la seva massa sigui molt més gran que la del planeta. Cada pas d'ε = 0,01 afegeix un punt a la corba, calculat amb la recepta del pas 3, ara amb dues posicions i dues velocitats en lloc d'una de cada.

L'única cosa nova és la llei de la força. La gravitació dona al planeta una acceleració de mida GM/r², dirigida cap al Sol, i la direcció cap al Sol és la del vector (−x, −y) dividit per la seva longitud r. El producte de totes dues coses té components −GMx/r³ i −GMy/r³, les de la caixa del costat. A cada pas del càlcul, doncs, surt r d'x i y, en surten les dues acceleracions, i les dues velocitats i les dues posicions avancen com avançava l'única de la molla.

El que dibuixen els punts és una el·lipse amb el Sol en un dels focus, i la paraula el·lipse no apareix enlloc del càlcul. El planeta s'allunya fins a 2,57 del Sol i hi arriba amb una velocitat de 0,47, menys del 40 % de la de sortida. Després d'uns 1.500 passos torna a x = 1, damunt la corba discontínua, que és l'el·lipse de Kepler amb la mateixa energia. El període mesurat en aquesta volta és 14,994. L'energia per unitat de massa, \(\tfrac12 v^2 - GM/r\), val −0,28 a la sortida i dona un semieix d'1,786. Amb aquest semieix, la tercera llei de Kepler, la mateixa que fa servir el pas 2 de la lliçó del capítol 7 per arribar a 1/r², preveu 14,993, i amb ε = 0,001 els dos nombres coincideixen en els tres decimals.

Els sectors ombrejats de la primera volta apleguen cadascun el mateix nombre de passos, 125, és a dir, el mateix temps. A prop del Sol surten curts i amples, a l'altra banda llargs i estrets, i tots escombren la mateixa àrea, 0,750. És la llei de les àrees, que el càlcul no ha rebut mai com a regla. Es desprèn només del fet que la força apunta cap al Sol, com mostra el pas 4 de la lliçó del capítol 7, que ja calculava una òrbita en passos curts. El mètode del mig pas la compleix al peu de la lletra per a qualsevol ε, perquè cada correcció de la velocitat apunta cap al Sol i deixa intacta l'àrea del triangle següent.

El pas gran passa factura allà on el planeta corre més. Amb v = 0,6 surt de l'afeli i s'enfonsa fins a 0,22 del Sol, on gira molt més de pressa. Amb ε = 0,05 la volta mesurada ja surt un 4,7 % més llarga que la de Kepler, l'òrbita calculada gira uns quants graus per volta respecte de la discontínua, i amb ε = 0,2 es desfà. L'òrbita de v = 1,2, que mai no s'acosta al Sol a menys d'1, aguanta el mateix ε = 0,2 amb un error de l'1,8 % en el període.

Les taules de posicions dels planetes que fan servir avui observatoris i missions espacials surten d'integracions numèriques pas a pas, amb mètodes més refinats que el d'aquest banc. La recepta de fons és la mateixa, i res no hi exigeix un Sol quiet i un únic planeta. Amb diversos cossos, l'acceleració de cadascun passa a ser la suma de les atraccions de tots els altres, cadascuna amb el seu terme del tipus −GMx/r³, i el mateix Sol entra al càlcul com un cos més que es mou. Amb passos prou petits, el càlcul ressegueix les desviacions que un planeta provoca en l'altre, les pertorbacions.

Al Feynman: §9-7 Planetary motions ↗