Conservació del Moment

El banc comença amb dos carretons aturats al mig d'un rail sense fregament, l'A d'1 kg a l'esquerra i el B de 3 kg a la dreta, i una molla comprimida i travada entre tots dos, que guarda 6 J. El botó Deixa anar la molla obre el fiador. Durant 0,4 s la molla empeny tots dos cap a costats oposats, i a partir d'aleshores ja no en toca cap; l'A continua a 3 m/s cap a l'esquerra i el B a 1 m/s cap a la dreta, cadascun amb la velocitat que tenia al final de l'empenta.

Les marques que els carretons deixen al rail cada segon fan que la diferència es vegi de seguida. Les de l'A queden a 3 m les unes de les altres, les del B a 1 m, i la raó entre les dues distàncies no canvia mentre hi hagi rail. Mentre la molla és entre tots dos, empeny l'A cap a l'esquerra i el B cap a la dreta, i s'hi pot pensar com si l'A empenyés el B a través de la molla i el B li tornés l'empenta. La tercera llei de Newton diu que aquestes dues forces tenen, a cada instant, la mateixa mida i sentits oposats, i per això les dues fletxes vermelles del banc tenen la mateixa llargada, tot i que una actua sobre un carretó amb el triple de massa que l'altre.

Les dues forces també comencen i acaben alhora, de manera que els impulsos que donen són iguals i oposats. Al pas 1 de la lliçó del capítol 9, l'impuls apareixia com la variació del moment; aquí treu de zero el moment de l'A i el del B en la mateixa mesura, amb els signes canviats. L'A acaba amb 1 kg per −3 m/s, el B amb 3 kg per 1 m/s, i la suma dona zero, com abans que s'obrís el fiador.

força de la molla, mentre actua   velocitat

Amb masses iguals als controls, tots dos surten amb la mateixa rapidesa en sentits oposats. És un resultat que es podria preveure sense cap càlcul, només per simetria, ja que el muntatge és el mateix vist en un mirall. Amb masses diferents, la raó entre les velocitats és la inversa de la raó entre les masses, amb el signe canviat, i el carretó amb el triple de massa surt amb un terç de la velocitat.

L'energia de la molla es reparteix d'una altra manera. Com que els dos moments tenen la mateixa mida \(p\), l'energia cinètica de cada carretó, \(p^2/2m\), és més gran en el que té menys massa. Dels 6 J de la molla, l'A se n'emporta 4,5 J i el B només 1,5 J, en la raó inversa de les masses. Quan un adult i un infant amb patins s'empenyen, l'infant surt més de pressa i amb la major part de l'energia, tot i que les forces són iguals, com a la lliçó de secundària sobre l'acció i la reacció.

Feynman observa que l'experiment fins i tot pot servir per comparar masses, si s'anomenen iguals les que surten amb la mateixa rapidesa, i que aquesta aparent definició ja porta a dins lleis que només l'experiència confirma.

Al Feynman: §10-1 Newton’s Third Law ↗ · §10-2 Conservation of momentum ↗

Ara els carretons venen l'un contra l'altre i s'enganxen quan es toquen, com si els para-xocs portessin velcro. Amb els valors inicials, l'A té 3 kg i va a 2 m/s cap a la dreta, el B té 1 kg i ve a 2 m/s cap a l'esquerra, i després del xoc la parella continua junta a 1 m/s. Els moments d'abans, 6 kg·m/s de l'A i −2 kg·m/s del B, sumen 4 kg·m/s, i els 4 kg de la parella a 1 m/s donen la mateixa suma. Durant el xoc cada carretó empeny l'altre amb forces iguals i oposades durant el mateix temps, i l'argument del pas 1 torna a valer: el moment que l'un perd, l'altre el guanya.

La velocitat amb què continua la parella té un significat propi. És la velocitat del centre de masses, la mitjana de les velocitats ponderada per les masses, que el banc marca amb un triangle sota el rail. El triangle avança a 1 m/s abans del xoc, durant i després, com si no hagués passat res, i els carretons enganxats simplement passen a anar amb ell. La lliçó de secundària sobre les col·lisions arriba a la mateixa fórmula per la conservació; aquí interessa què canvia quan es canvia d'observador.

carretó A   carretó B   moment total   centre de masses

Els botons de referencial mostren la mateixa col·lisió vista per algú que camina al costat del rail amb velocitat constant \(u\), i per a això n'hi ha prou de restar \(u\) de cada velocitat. Per a qui acompanya l'A abans del xoc, a 2 m/s, l'A està aturat, el B arriba a −4 m/s i la parella surt a −1 m/s. Han canviat tots els nombres, i el moment total val −4 kg·m/s abans i després. Per a qui va amb el centre de masses, tots dos arriben amb moments oposats, 3 i −3 kg·m/s, i la parella queda aturada. Estar aturat o en moviment depèn de qui mira, i les lleis de la mecànica semblen les mateixes per a tot observador que es mogui en línia recta amb velocitat constant; és la relativitat de Galileu.

Feynman fa servir aquesta idea en la direcció contrària, per arribar a la conservació del moment sense parlar de forces. Dues masses iguals que venen amb velocitats oposades i s'enganxen s'han d'aturar, per simetria. Amb 2 kg a tots dos carretons, 1,5 m/s a l'A i −1,5 m/s al B, el botó Carretó A mostra el mateix xoc com un carretó a −3 m/s que en topa un d'aturat, i la parella surt amb la meitat, −1,5 m/s. Combinant casos simètrics i canvis de referencial, l'estén a masses diferents, i en tots els casos la suma de les masses per les velocitats surt igual abans i després.

L'energia cinètica no té la mateixa sort. Amb els valors inicials, 8 J abans del xoc es converteixen en 2 J després, i els 6 J que falten han anat a la deformació dels para-xocs i a la calor. L'energia d'abans i la de després canvien d'un referencial a l'altre, però la diferència entre totes dues és la mateixa en els tres; vist des del centre de masses, tota l'energia que hi havia es perd. El pas 3 hi torna amb col·lisions en què els carretons no s'enganxen.

Al Feynman: §10-3 Momentum is conserved! ↗

Amb els valors inicials del banc, l'A, d'1 kg, ve a 4 m/s contra el B, de 3 kg, aturat, i el coeficient de restitució és 0,5. Després del xoc l'A torna a −0,5 m/s i el B continua a 1,5 m/s. Els moments sumen 4 kg·m/s abans i després, com en els dos passos anteriors, mentre que l'energia cinètica baixa de 8 J a 3,5 J. A les barres, el traç negre del moment total queda al mateix lloc a les dues línies, i la barra de l'energia s'encongeix i deixa ratllat el tros que s'ha perdut.

El moment es conserva en qualsevol col·lisió perquè les forces de contacte són internes a la parella, iguals i oposades, tant si són de goma com d'acer. Per a l'energia cinètica no hi ha cap garantia semblant. Durant el contacte els para-xocs es deformen, i la part de la deformació que no es desfà queda com a calor, so i vibració del material. El coeficient \(e\) mesura quant en torna, comparant la velocitat amb què els carretons s'allunyen després del xoc amb la velocitat amb què s'acostaven abans. Amb \(e = 1\) la col·lisió és elàstica i l'energia cinètica també es conserva; amb \(e = 0\) els carretons no s'allunyen, queden enganxats, i tornem al pas 2.

Amb masses iguals, el B aturat i \(e = 1\), l'A s'atura i el B surt amb la velocitat que tenia l'A; la velocitat passa sencera d'un carretó a l'altre. És el que es veu al pèndol de Newton, l'ornament d'escriptori amb boles d'acer l'una al costat de l'altra, en què la bola que pica queda quieta i surt la de l'altra punta. Amb masses diferents no hi ha intercanvi, i un carretó lleuger que xoca elàsticament amb un de pesant torna enrere.

carretó A   carretó B   moment total   energia perduda

El botó Mira-ho des del centre de masses fa més senzills els comptes. Per a qui va amb el centre de masses, a 1 m/s amb els valors inicials, el moment total és zero abans i després; l'A arriba a 3 m/s, el B a −1 m/s, i després del xoc surten a −1,5 i 0,5 m/s. Cadascun ha invertit el sentit i s'ha quedat amb la fracció \(e\) de la velocitat que tenia. Perquè el moment continuï essent nul, les dues velocitats han de mantenir la proporció inversa de les masses, i per això n'hi ha prou amb un sol nombre per descriure tota la col·lisió.

L'energia també se separa en dues parts. Una és la del moviment del centre de masses, \(\tfrac12 (m_1+m_2)\,v_{\text{CM}}^2\), 2 J amb els valors inicials, que cap força interna no pot alterar perquè només depèn del moment total. L'altra és la del moviment relatiu, 6 J amb els mateixos valors, i només d'aquesta en pot treure la col·lisió, ja que queda multiplicada per \(e^2\) i baixa a 1,5 J. Els 4,5 J perduts són els mateixos vistos des del rail o des del centre de masses, com diu la segona equació de sota, en què \(m_1 m_2/(m_1+m_2)\) és l'anomenada massa reduïda.

Feynman observa que els cossos tan simples que no tenen on amagar l'energia xoquen de manera gairebé elàstica, i que ni així una col·lisió real arriba exactament a \(e = 1\).

Al Feynman: §10-4 Momentum and energy ↗

El coet del banc comença aturat, ple, amb deu vegades la massa que tindrà buit, i llança el combustible cap enrere a 3.000 m/s respecte d'ell. Amb una sola porció, el 90 % de la massa, que és combustible, surt de cop i el coet es queda amb 2.700 m/s. Si el mateix combustible es divideix en 1.000 porcions, arriba a 6.896 m/s, més del doble, sense gastar ni un gram més.

No hi ha res fora del coet on es pugui recolzar, ni cal que n'hi hagi. El sistema és el coet amb el combustible, i el moment total, zero al principi, continua essent zero. Cada porció que surt cap enrere s'emporta un moment negatiu, i el que queda del coet en guanya la mateixa quantitat cap endavant, com els carretons del pas 1 empesos per la molla. La lliçó de secundària sobre l'acció i la reacció tracta el coet pel parell de forces entre ell i els gasos; aquí interessa quanta velocitat dona cada porció.

Si la porció de massa \(\Delta m\) surt a \(u\) respecte del coet, mesurada ja després de l'empenta, i \(m\) és la massa del coet amb la porció encara a bord, la conservació del moment dona exactament \(m\,\Delta v = \Delta m\,u\). Amb una sola porció, \(\Delta m\) és el 90 % de \(m_0\), i \(\Delta v\) surt el 90 % de \(u\), els 2.700 m/s del banc. L'animació ho mostra tot vist per qui s'ha quedat aturat al punt de sortida, i per això les últimes porcions, llançades quan el coet ja va més de pressa que \(u\), continuen cap endavant, però més lentament que ell.

Dividir ajuda perquè \(m\) va disminuint. La primera porció empeny el coet ple, mentre que l'última empeny poc més que la carcassa buida, i la mateixa massa de combustible hi dona molta més velocitat. Quan les porcions es fan cada vegada més petites, la suma dels \(\Delta m/m\) es converteix en una integral, i el resultat és \(\Delta v = u\ln(m_0/m_f)\), l'equació que Konstantin Tsiolkovski va publicar el 1903. Al gràfic els punts de cada divisió pugen cap a la línia discontínua, sempre per sota, i amb raó 10 les deu porcions donen el 85 % del límit i les cent, el 98 %.

El logaritme cobra car. Per duplicar el \(\Delta v\) cal elevar al quadrat la raó entre les masses, i un coet que va a una òrbita baixa necessita un \(\Delta v\) de l'ordre de 9 km/s, comptant les pèrdues per la gravetat i per l'aire. Amb \(u\) = 3.000 m/s, ni la raó 20 del control no hi arriba. Per això la major part de la massa d'un coet a la plataforma és combustible, i puja per etapes; cada etapa buida es deixa anar pel camí, i la següent ja no ha d'accelerar aquell pes mort.

El cas d'una sola porció és el retrocés d'una arma de foc, una comparació que fa el mateix Feynman. La bala surt cap endavant i l'arma recula, tant més lentament com més pesant sigui en relació amb la bala.

Al Feynman: §10-2 Conservation of momentum ↗ · §10-4 Momentum and energy ↗

El banc empeny un electró, aturat al principi, amb una força constant d'1,6·10⁻¹³ N, la que un camp elèctric d'un milió de volts per metre fa sobre la seva càrrega. Tot passa en nanosegons, i l'animació mostra 10 ns en 8 s, a càmera lenta. Al final d'aquest temps el moment ha arribat a 5,86 vegades \(mc\), que per a l'electró val 2,73·10⁻²² kg·m/s, i la velocitat a 0,986 de la velocitat de la llum. Segons el compte de Newton, el mateix moment dividit per la massa donaria 5,86 vegades \(c\).

El gràfic del moment és una recta perquè la força continua essent el ritme de variació del moment, i una força constant hi afegeix la mateixa quantitat cada nanosegon, sense límit. El que canvia és la relació entre moment i velocitat. Amb \(p = \gamma m v\), la velocitat surt de la segona equació de sota, i quan \(p\) es fa molt més gran que \(mc\) l'arrel del denominador s'acosta a \(p/mc\) i \(v\) s'acosta a \(c\), sense arribar-hi. Al gràfic de la velocitat, la recta discontínua de Newton travessa la línia de \(c\) a 1,71 ns i entra a la franja ombrejada, on no hi pot haver cap cos amb massa.

Per què \(\gamma m v\) i no \(mv\)? El pas 2 ha mostrat que canviar de referencial canvia els nombres d'una col·lisió sense espatllar la conservació, sempre que les velocitats se sumin com en la relativitat de Galileu. En la relativitat d'Einstein es combinen d'una altra manera, i una suma de \(mv\) que es conserva per a un observador deixa de conservar-se per a un altre que passi a gran velocitat. La magnitud que es conserva per a tothom és \(\gamma m v\). Per a velocitats corrents la diferència desapareix: als 3.000 m/s del coet del pas 4, \(\gamma\) supera 1 en 5·10⁻¹¹, i només a 0,6 \(c\) arriba a 1,25.

moment   velocitat   previsió de Newton, \(p/m\)

A la segona meitat de la cursa, de 5 a 10 ns, l'electró guanya tant moment com a la primera, 2,93 \(mc\), i la velocitat puja només de 0,946 a 0,986 \(c\). En un accelerador l'efecte és encara més extrem. El LHC, del CERN, rep protons amb 450 GeV, quan van uns 650 m/s per sota de \(c\), i els porta a 6,8 TeV, amb unes 15 vegades més moment, per deixar-los a uns 3 m/s de \(c\). Cada volta a l'anell els dona una empenta més, i el que creix és el moment, i gairebé gens la velocitat.

L'energia cinètica segueix el moment, i no la velocitat. Val \((\gamma - 1)\,mc^2\), com a la lliçó del capítol 4, i també creix sense límit mentre \(v\) s'acosta a \(c\). El que la força constant lliura cada nanosegon, en moment i en energia, continua arribant a l'electró; només deixa d'aparèixer com a velocitat.

Feynman escriu la mateixa llei d'una altra manera, amb \(mv\) i una massa que creix amb la velocitat; la majoria dels textos d'avui prefereixen mantenir la massa fixa i posar la \(\gamma\) al moment, i els nombres són els mateixos. També observa que el moment, a diferència de l'energia, és difícil d'amagar en el moviment desordenat dels àtoms, i que el camp electromagnètic el pot transportar, com la llum que empeny allò que il·lumina.

Al Feynman: §10-5 Relativistic momentum ↗