Matemática · Ensino Médio · Conjuntos e Números

Conjuntos e Números

A lista de chamada de uma turma, as dezenas de um bilhete de loteria e as pessoas de uma pesquisa que assistem a séries são coleções de objetos, e a matemática chama cada uma delas de conjunto. Com conjuntos juntamos, cruzamos e contamos coleções, e com eles também organizamos os números, dos naturais, que contam, aos reais, que medem. As potências de 10 fecham o percurso, e com elas escrevemos do raio de um próton à distância até a galáxia de Andrômeda.

1Subconjuntos
2Operações
3Contagem
4Conjuntos numéricos
5Dízimas
6A reta real
7Intervalos
8Notação científica
9Ordem de grandeza
✓Desafios

PASSO 1

Quando um conjunto está dentro de outro?

Um conjunto fica determinado pelos seus elementos, e de cada objeto só perguntamos se ele pertence ou não ao conjunto. Escrevemos $2 \in A$ para dizer que 2 é elemento de A e $5 \notin A$ para dizer que 5 não é. Podemos dar um conjunto por extenso, como $\{2, 4, 6\}$, ou por uma propriedade, como $\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ é par e } 0 < x < 7\}$, que descreve o mesmo conjunto. A ordem e as repetições não contam, e $\{2, 4, 6\} = \{6, 2, 4, 4\}$.

B é subconjunto de A, e escrevemos $B \subset A$, quando todo elemento de B também é elemento de A. Pertinência e inclusão são relações diferentes. O símbolo $\in$ liga um elemento a um conjunto, e $\subset$ liga dois conjuntos. O conjunto vazio, $\varnothing$, é subconjunto de qualquer conjunto, porque não tem elemento nenhum que possa ficar de fora, e todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Quando $B \subset A$ e $B \ne A$, dizemos que B é um subconjunto próprio.

Para montar um subconjunto de A decidimos, elemento por elemento, se ele entra ou não. Com $n$ elementos são $n$ decisões de duas opções cada, e por isso A tem $2^n$ subconjuntos. A bancada organiza esses subconjuntos em camadas, pelo número de elementos, e liga dois deles quando diferem por um elemento só.

$B \subset A \iff (x \in B \Rightarrow x \in A)$$n(A) = n \Rightarrow$A tem $2^n$ subconjuntos$n(A)$ é o número de elementos de A. A camada $k$ do diagrama tem os subconjuntos com $k$ elementos, e a soma das camadas dá $2^n$.

Para conversar

Com A de três elementos, toque nos nós do diagrama até achar os dois subconjuntos que todo conjunto tem. Em que camadas eles ficam?
Passe de 3 para 4 elementos e conte os nós de cada camada. Como a contagem nova se relaciona com a antiga?
Escolha $B = \{a\}$. Os nós tingidos são os subconjuntos que contêm B. Quantos são, e por que eles formam exatamente a metade do diagrama?
Escolha um nó do meio e siga as linhas que sobem a partir dele. O que cada linha acrescenta ao conjunto, e quantas linhas sobem de um nó com $k$ elementos?

Subconjunto B

Subconjuntos de A

Com o tamanho de B

Que contêm B

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com $A = \{2, 4, 6, 8\}$, diga quais das afirmações $4 \in A$, $5 \in A$, $\{4\} \subset A$ e $\{4, 5\} \subset A$ são verdadeiras.

Ver resolução
O 4 está na lista de A, e o 5 não está.
O conjunto $\{4\}$ tem um único elemento, que pertence a A, e por isso está contido em A. Em $\{4, 5\}$, o 5 fica de fora.
São verdadeiras $4 \in A$ e $\{4\} \subset A$.
básico
Escreva por extenso o conjunto dos divisores positivos de 12 e o conjunto $\{x \in \mathbb{N} \mid x < 1\}$.

Ver resolução
Os divisores positivos de 12 são os números que dividem 12 sem resto.
Entre os naturais, que começam no 0, só o 0 é menor que 1.
$\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ e $\{0\}$, que tem um elemento e não é vazio.
básico
Quantos subconjuntos tem $\{x, y, z\}$? Escreva todos.

Ver resolução
São $2^3 = 8$. Separando pelo número de elementos, temos o vazio, três unitários, três com dois elementos e o próprio conjunto.
$\varnothing$, $\{x\}$, $\{y\}$, $\{z\}$, $\{x, y\}$, $\{x, z\}$, $\{y, z\}$ e $\{x, y, z\}$.
básico
Decida se vale $\varnothing \subset A$ para todo conjunto A, se vale $\varnothing \in \{1, 2\}$ e se vale $A \subset A$ para todo conjunto A.

Ver resolução
O vazio não tem elemento que possa ficar fora de A, e por isso está contido em qualquer conjunto.
Os elementos de $\{1, 2\}$ são o 1 e o 2, e o vazio não é um deles. Ele está contido em $\{1, 2\}$, o que é outra relação.
Todo elemento de A está em A.
Vale a primeira, não vale a segunda e vale a terceira.
médio
Com $A = \{1, \{1\}, 2\}$, diga quais das afirmações $1 \in A$, $\{1\} \in A$, $\{1\} \subset A$ e $\{2\} \in A$ são verdadeiras.

Ver resolução
A tem três elementos, o número 1, o conjunto $\{1\}$ e o número 2.
Por isso $1 \in A$ e $\{1\} \in A$. Também $\{1\} \subset A$, porque o único elemento de $\{1\}$, o número 1, pertence a A.
O conjunto $\{2\}$ não aparece na lista de elementos, embora $\{2\} \subset A$.
As três primeiras são verdadeiras, e $\{2\} \in A$ é falsa.
médio
Um conjunto tem 64 subconjuntos. Quantos elementos ele tem, e quantos dos seus subconjuntos têm exatamente 2 elementos?

Ver resolução
De $2^n = 64$ vem $n = 6$.
Um subconjunto de dois elementos é uma escolha de dois dos seis, sem ordem. Há $6 \cdot 5 = 30$ escolhas ordenadas, e cada par aparece duas vezes nelas.
6 elementos, e $30 / 2 = 15$ subconjuntos com dois elementos.
médio
Sejam $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ divide } 6\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ divide } 12\}$. Vale $A \subset B$? Vale $B \subset A$?

Ver resolução
Por extenso, $A = \{1, 2, 3, 6\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
Todo divisor de 6 divide 12, porque 6 divide 12. O 4 divide 12 e não divide 6.
$A \subset B$, e B não está contido em A.
médio
Quantos subconjuntos de $\{a, b, c, d, e\}$ contêm o $a$ e não contêm o $b$?

Ver resolução
A decisão sobre o $a$ e a decisão sobre o $b$ já estão tomadas.
Sobram três elementos, $c$, $d$ e $e$, cada um com duas opções.
$2^3 = 8$ subconjuntos.
desafio
Uma pizzaria oferece 6 coberturas, e o cliente escolhe quantas quiser, inclusive nenhuma, o que dá a pizza só de queijo. Quantas pizzas diferentes podem sair? E quantas têm pelo menos duas coberturas?

Ver resolução
Cada pizza corresponde a um subconjunto das 6 coberturas, e são $2^6 = 64$ pizzas.
Das 64, uma não tem cobertura e 6 têm uma só.
64 pizzas, e $64 - 1 - 6 = 57$ delas com pelo menos duas coberturas.
desafio
Explique por que, quando acrescentamos um elemento novo a um conjunto, o número de subconjuntos dobra. Use isso para mostrar que um conjunto com $n$ elementos tem $2^n$ subconjuntos.

Ver resolução
Seja A com $n$ elementos e $A' = A \cup \{z\}$, com $z \notin A$. Um subconjunto de $A'$ ou não contém $z$, e então é um subconjunto de A, ou contém $z$, e então é um subconjunto de A com o $z$ acrescentado.
Os dois grupos têm tantos subconjuntos quanto A, e $A'$ tem o dobro.
O vazio tem um subconjunto, ele mesmo, e $1 = 2^0$. Dobrando a cada elemento novo, chegamos a $2^n$ com $n$ elementos.
Na bancada, a passagem de 3 para 4 elementos mostra o diagrama antigo repetido, uma cópia sem o d e outra com ele.

PASSO 2

Como juntar, cruzar e tirar conjuntos?

A união $A \cup B$ reúne os elementos que estão em A ou em B, e um elemento que está nos dois entra uma vez só. A interseção $A \cap B$ fica com os elementos que estão nos dois ao mesmo tempo. Quando a interseção é vazia, dizemos que A e B são disjuntos. A diferença $A - B$ tem os elementos de A que não estão em B, e em geral $A - B$ e $B - A$ são conjuntos diferentes.

Quase sempre trabalhamos dentro de um conjunto maior, o universo U, que reúne todos os objetos da conversa. O complementar de A, que escrevemos $A^c$, $A'$ ou $\complement_U A$, é o que falta a A para completar o universo, $U - A$. O complementar de uma união é a interseção dos complementares, e o de uma interseção é a união deles. São as leis de De Morgan, que a bancada permite conferir elemento por elemento.

O diagrama de Venn desenha cada conjunto como uma região do plano, e cada operação pinta um pedaço do desenho. Na bancada, um número pertence a um conjunto quando está dentro do círculo correspondente, e arrastar um círculo muda o conjunto.

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}$$A - B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$O "ou" da união é inclusivo e vale também para quem está nos dois conjuntos. A outra lei de De Morgan é $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.

Para conversar

Arraste B para longe de A até os círculos se separarem. O que acontece com $A \cap B$, e como fica a conta de $n(A \cup B)$?
Ponha o círculo B inteiro dentro de A. Compare $A \cup B$ e $A \cap B$ com os próprios A e B, e veja o que sobra em $B - A$.
Escolha $(A \cup B)^c$ e anote a lista. Depois escolha $A^c$ e procure, nessa lista, os números que também estão fora de B. As duas listas coincidem em qualquer posição dos círculos?
Ligue o C e compare $(A \cup B) \cap C$ com $A \cup (B \cap C)$. Que números aparecem numa lista e faltam na outra, e em que pedaço do diagrama eles ficam?

Resultado

Contagem da união

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$, escreva $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$ e $B - A$.

Ver resolução
A união junta as duas listas, com o 4 e o 5 escritos uma vez só. A interseção fica com o que as duas listas têm em comum.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{4, 5\}$, $A - B = \{1, 2, 3\}$ e $B - A = \{6, 7\}$.
básico
No universo $U = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$, seja A o conjunto dos pares. Qual é o complementar de A?

Ver resolução
$A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$, e o complementar reúne os elementos de U que faltam a A.
$A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, os ímpares do universo.
básico
Sejam $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ é ímpar}\}$. Escreva $A \cap B$.

Ver resolução
$A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$, e entre esses números os ímpares são o 1 e o 3.
$A \cap B = \{1, 3\}$.
básico
Se $A \subset B$, a que são iguais $A \cup B$ e $A \cap B$?

Ver resolução
Todo elemento de A já está em B. A união não acrescenta nada a B, e a interseção perde só o que está em B e fora de A.
$A \cup B = B$ e $A \cap B = A$.
médio
No universo $U = \{1, 2, \ldots, 10\}$, com $A = \{1, 2, 3, 4\}$ e $B = \{3, 4, 5, 6\}$, confira que $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.

Ver resolução
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, e o complementar é $\{7, 8, 9, 10\}$.
$A^c = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ e $B^c = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$, e o que eles têm em comum é $\{7, 8, 9, 10\}$.
Os dois lados dão $\{7, 8, 9, 10\}$, os números que não estão em nenhum dos dois conjuntos.
médio
Descreva com as operações do passo a região dos elementos que estão em A ou em B, mas não nos dois. Dê duas descrições diferentes.

Ver resolução
Podemos partir da união e tirar a parte comum, $(A \cup B) - (A \cap B)$.
Podemos também juntar o que só está em A com o que só está em B, $(A - B) \cup (B - A)$.
As duas descrevem a mesma região, que costuma ser chamada de diferença simétrica de A e B.
médio
Sabemos que $A - B = \varnothing$. O que podemos dizer sobre A e B?

Ver resolução
Nenhum elemento de A fica fora de B, porque um elemento assim estaria em $A - B$.
$A \subset B$. O exemplo $A = \varnothing$ mostra que B pode ser qualquer conjunto.
médio
Seja A o conjunto dos múltiplos naturais de 4 e B o dos múltiplos naturais de 6. Descreva $A \cap B$.

Ver resolução
Um número da interseção é múltiplo de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e portanto múltiplo do mínimo múltiplo comum, 12. Os primeiros são 0, 12, 24 e 36.
O produto $4 \cdot 6 = 24$ também é múltiplo comum, mas deixaria o 12 de fora.
$A \cap B$ é o conjunto dos múltiplos naturais de 12.
desafio
Mostre com um exemplo que $A - (B - C)$ e $(A - B) - C$ podem ser conjuntos diferentes.

Ver resolução
Tome $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 3\}$ e $C = \{3\}$.
De um lado, $B - C = \{2\}$ e $A - \{2\} = \{1, 3\}$. Do outro, $A - B = \{1\}$ e $\{1\} - C = \{1\}$.
$\{1, 3\} \ne \{1\}$. O 3 está em B e em C. Na primeira conta ele sai de B junto com C e por isso não é tirado de A, e na segunda ele sai de A já com o B.
desafio
Mostre, acompanhando um elemento qualquer $x$, que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Ver resolução
$x$ está no lado esquerdo quando está em A e também está em B ou em C.
Isso acontece quando $x$ está em A e em B, ou quando está em A e em C, que é estar em $A \cap B$ ou em $A \cap C$.
As duas condições são equivalentes para qualquer $x$, e os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos. É a propriedade distributiva da interseção em relação à união.

PASSO 3

Quantos estão em pelo menos um dos grupos?

Muitas perguntas sobre conjuntos querem saber só quantos elementos há em cada pedaço. Quando somamos $n(A)$ com $n(B)$, quem está nos dois conjuntos entra duas vezes na soma, e por isso descontamos a interseção uma vez. Para dois conjuntos disjuntos a interseção é vazia, e a soma basta.

Pesquisas de sim ou não costumam informar o total de cada grupo e das interseções, e o diagrama de Venn organiza a conta. O caminho mais seguro começa pela região comum a todos os conjuntos e segue para fora, porque cada pedaço externo sai do total do seu conjunto menos o que já foi posto dentro dele. Esquecer de descontar a interseção, e contar a mesma pessoa duas vezes, é provavelmente o erro mais frequente nessas questões.

Com três conjuntos a regra ganha termos. Somamos os três, tiramos as três interseções de dois em dois e devolvemos a interseção dos três, que as subtrações tinham tirado uma vez a mais. É o princípio da inclusão e exclusão.

$n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$\quad - \, n(A \cap B)$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B)$$\quad + \, n(C) - n(A \cap B)$$\quad - \, n(A \cap C) - n(B \cap C)$$\quad + \, n(A \cap B \cap C)$Os que não estão em nenhum dos conjuntos são $n(U) - n(A \cup B)$, ou $n(U) - n(A \cup B \cup C)$ com três conjuntos.

Para conversar

Com dois conjuntos, leve $n(A \cap B)$ até zero. Como fica a conta da união, e que desenho dos círculos esse caso representa?
Aumente $n(A \cap B)$ até a bancada acusar números impossíveis. Qual é o maior valor permitido, e por quê?
Com total 40, $n(A) = 25$ e $n(B) = 20$, procure com o controle o menor valor de $n(A \cap B)$ que ainda cabe no total. De onde vem esse número?
Nos três conjuntos, avance passo a passo e pare antes de preencher "só séries". Por que não dá para começar por essa região?

Total, n(U)

n(A)

n(B)

n(A ∩ B)

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Numa turma, 18 alunos jogam futebol, 12 jogam vôlei e 5 jogam os dois. Quantos jogam pelo menos um dos dois esportes?

Ver resolução
Os 5 que jogam os dois estão entre os 18 e também entre os 12.
$n(F \cup V) = 18 + 12 - 5$
25 alunos.
básico
Sabemos que $n(A) = 30$, $n(B) = 20$ e $n(A \cup B) = 42$. Quanto vale $n(A \cap B)$?

Ver resolução
De $42 = 30 + 20 - n(A \cap B)$ vem $n(A \cap B) = 50 - 42$.
$n(A \cap B) = 8$.
básico
De 50 pessoas num escritório, 30 tomam café, 25 tomam chá e 10 tomam as duas bebidas. Quantas não tomam nenhuma das duas?

Ver resolução
Tomam pelo menos uma bebida $30 + 25 - 10 = 45$ pessoas.
$50 - 45 = 5$ pessoas não tomam nenhuma.
básico
A e B são disjuntos, com $n(A) = 7$ e $n(B) = 9$. Quanto valem $n(A \cup B)$ e $n(A - B)$?

Ver resolução
Disjuntos não têm elemento em comum, e $n(A \cap B) = 0$.
$n(A \cup B) = 16$, e $A - B = A$, com 7 elementos.
médio
Numa pesquisa com 200 pessoas, 120 leem notícias na internet, 90 ouvem podcasts e 30 não fazem nenhuma das duas coisas. Quantas fazem as duas, e quantas só leem notícias?

Ver resolução
Fazem pelo menos uma das coisas $200 - 30 = 170$ pessoas.
Então $170 = 120 + 90 - x$, e $x = 40$ fazem as duas.
Só leem notícias $120 - 40 = 80$.
40 fazem as duas, e 80 só leem notícias.
médio
Com $n(A) = 15$ e $n(B) = 10$, quais são o maior e o menor valor possíveis de $n(A \cup B)$?

Ver resolução
A união é maior quando a interseção é vazia, e vale $15 + 10 = 25$.
Ela é menor quando a interseção é a maior possível, e a interseção não passa de 10, o tamanho de B. Isso acontece com $B \subset A$, e a união é o próprio A.
No máximo 25 e no mínimo 15.
médio
Num universo de 60 elementos, $n(A) = 40$ e $n(B) = 35$. Qual é o menor valor possível de $n(A \cap B)$?

Ver resolução
A união cabe no universo, $40 + 35 - n(A \cap B) \le 60$.
Daí $n(A \cap B) \ge 15$, e o valor 15 é atingido quando todo elemento do universo está em A ou em B.
15 elementos.
médio
Numa pesquisa com 100 pessoas, 50 usam o aplicativo A, 40 o B e 30 o C; 15 usam A e B, 10 usam A e C, 8 usam B e C, e 3 usam os três. Quantas usam pelo menos um aplicativo, e quantas não usam nenhum?

Ver resolução
Pela inclusão e exclusão, $50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90$.
90 usam pelo menos um, e 10 não usam nenhum.
desafio
Numa escola, 70% dos alunos estudam inglês, 50% estudam espanhol e 10% não estudam nenhuma das duas línguas. Que porcentagem estuda as duas?

Ver resolução
A conta vale com porcentagens do mesmo total. Estudam pelo menos uma língua $100\% - 10\% = 90\%$ dos alunos.
$90\% = 70\% + 50\% - x$ dá $x = 30\%$.
30% dos alunos estudam as duas línguas. A soma de 70% com 50% passa de 100%, o que já indicava uma interseção de pelo menos 20%.
desafio
Com os dados da questão dos três aplicativos, quantas pessoas usam exatamente um aplicativo? E exatamente dois?

Ver resolução
De dentro para fora, os três aplicativos têm 3 pessoas. Só A e B têm $15 - 3 = 12$, só A e C têm $10 - 3 = 7$ e só B e C têm $8 - 3 = 5$.
Só A tem $50 - 12 - 7 - 3 = 28$, só B tem $40 - 12 - 5 - 3 = 20$ e só C tem $30 - 7 - 5 - 3 = 15$.
Conferindo, $28 + 20 + 15 + 12 + 7 + 5 + 3 = 90$, o total da questão anterior.
63 pessoas usam exatamente um aplicativo, e 24 usam exatamente dois.

PASSO 4

Em que conjunto mora cada número?

Os naturais, $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$, contam objetos, e somar ou multiplicar dois naturais dá outro natural. A subtração já escapa deles, porque $3 - 5$ não é natural, e os inteiros, $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$, acrescentam os negativos. A carga elétrica de qualquer corpo é um inteiro vezes a carga do elétron, como mostra a aula de Eletrostática.

A divisão escapa dos inteiros, porque $1 \div 3$ não é inteiro, e os racionais, $\mathbb{Q}$, reúnem as razões $p/q$ de inteiros com $q \ne 0$. Todo decimal finito e toda dízima periódica são racionais, como o passo 5 vai mostrar. Ainda assim a reta tem números que não são razão de inteiros nenhuma, como $\sqrt{2}$, a diagonal de um quadrado de lado 1, e $\pi$. Esses números são os irracionais, e com os racionais eles formam os reais, $\mathbb{R}$.

Cada conjunto está contido no seguinte, e um número pertence a todos os conjuntos que contêm o menor deles. O asterisco tira o zero, como em $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \ldots\}$, e os sinais em índice ficam com uma metade, como $\mathbb{Z}_- = \{\ldots, -2, -1, 0\}$.

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{p}{q} \;\middle|\; p, q \in \mathbb{Z},\ q \ne 0 \right\}$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} - \mathbb{Q})$$\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ é o conjunto dos irracionais, que alguns livros escrevem $\mathbb{I}$. Um real é racional ou irracional, nunca as duas coisas.

Para conversar

Arraste o √9 e o −√16 para os seus lugares. Que conta convém fazer antes de decidir onde um número com raiz mora?
Solte o 7 na faixa de ℚ, fora de ℤ. O que a bancada responde, e o 7 é ou não é racional?
O 0,333… e o 0,1010010001… têm infinitas casas decimais. Por que vão para conjuntos diferentes?
Coloque o 22/7 e o π. Os dois começam por 3,14. O que separa um do outro?

Acertos

Último cartão

Pertence a

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Diga o menor dos conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ a que pertence cada um dos números $-7$, $0$, $\dfrac{3}{4}$, $\sqrt{25}$, $\sqrt{5}$ e $-2{,}5$, ou diga que ele é irracional.

Ver resolução
$-7$ é inteiro negativo, e 0 é natural. $\dfrac{3}{4}$ e $-2{,}5 = -\dfrac{5}{2}$ são racionais não inteiros.
$\sqrt{25} = 5$ é natural, e 5 não é quadrado de inteiro nenhum, o que faz de $\sqrt{5}$ um irracional.
$\mathbb{Z}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{N}$, irracional e $\mathbb{Q}$.
básico
Decida se todo natural é inteiro, se todo inteiro é natural, se todo racional é real e se existe real que não é racional.

Ver resolução
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, e $-1$ é inteiro sem ser natural.
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, e $\sqrt{2}$ é real sem ser racional.
Todo natural é inteiro, todo racional é real e existe real que não é racional, mas nem todo inteiro é natural.
básico
Dê dois naturais cuja diferença não é natural e dois inteiros cujo quociente não é inteiro.

Ver resolução
$3 - 5 = -2$ sai de $\mathbb{N}$, e $1 \div 3$ sai de $\mathbb{Z}$.
Esses dois exemplos, ou quaisquer outros parecidos, mostram por que precisamos de $\mathbb{Z}$ e de $\mathbb{Q}$.
básico
Escreva $-2{,}5$ e $0{,}04$ como razões de inteiros em forma irredutível.

Ver resolução
$-2{,}5 = -\dfrac{25}{10}$, e simplificando por 5 fica $-\dfrac{5}{2}$.
$0{,}04 = \dfrac{4}{100}$, e simplificando por 4 fica $\dfrac{1}{25}$.
$-\dfrac{5}{2}$ e $\dfrac{1}{25}$.
médio
A soma de dois irracionais é sempre irracional?

Ver resolução
Os números $1 + \sqrt{2}$ e $1 - \sqrt{2}$ são irracionais, e a soma deles é 2.
Não. A soma pode ser racional, e às vezes é, como no exemplo.
médio
Escreva os conjuntos $\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_-$ e $\mathbb{N}^* \cap \mathbb{Z}_-$.

Ver resolução
$\mathbb{Z}_+ = \{0, 1, 2, \ldots\}$ e $\mathbb{Z}_- = \{\ldots, -2, -1, 0\}$ têm em comum só o zero.
$\mathbb{N}^*$ não tem o zero, e não sobra nada em comum com $\mathbb{Z}_-$.
$\{0\}$ e $\varnothing$.
médio
Os números $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$, $\sqrt{0{,}09}$ e $\sqrt{0{,}9}$ são racionais ou irracionais?

Ver resolução
$\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$ e $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$, porque $0{,}3^2 = 0{,}09$.
Já $0{,}9 = \dfrac{9}{10}$, e $\sqrt{0{,}9} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$. Como 10 não é quadrado de inteiro, $\sqrt{10}$ é irracional, e dividir 3 por ele dá outro irracional.
Racional, racional e irracional. A aparência engana, porque $0{,}09$ e $0{,}9$ diferem só por um zero.
médio
Mostre que o produto de um racional diferente de zero por um irracional é irracional.

Ver resolução
Sejam $r \ne 0$ racional e $x$ irracional, e suponha que $r\,x = q$ fosse racional.
Então $x = \dfrac{q}{r}$, um quociente de racionais com divisor não nulo, que é racional. Isso contradiz a hipótese sobre $x$.
O produto $r\,x$ é irracional. Com $r = 0$ a conclusão falha, porque $0 \cdot x = 0$.
desafio
Mostre que $\sqrt{2}$ é irracional.

Ver resolução
Suponha $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$, com $p$ e $q$ inteiros positivos e a fração já irredutível.
Então $p^2 = 2q^2$, e $p^2$ é par. O quadrado de um ímpar é ímpar, e assim $p$ é par, $p = 2k$.
Substituindo, $4k^2 = 2q^2$, e $q^2 = 2k^2$ também é par, e $q$ é par.
$p$ e $q$ seriam pares, e a fração não seria irredutível. A suposição leva a uma contradição, e $\sqrt{2}$ é irracional.
desafio
Mostre que entre dois racionais diferentes sempre existe outro racional, e conclua que entre eles existem infinitos racionais.

Ver resolução
Sejam $a < b$ racionais. A média $m = \dfrac{a + b}{2}$ é racional, porque somar e dividir por 2 não sai de $\mathbb{Q}$, e fica entre $a$ e $b$.
Aplicando o mesmo argumento a $a$ e $m$, achamos outro racional entre eles, e o processo não termina.
Entre dois racionais distintos há infinitos racionais. O passo 6 mostra que, mesmo assim, sobram buracos na reta para os irracionais.

PASSO 5

Por que alguns decimais acabam e outros se repetem?

Na divisão de $p$ por $q$, cada passo deixa um resto entre 0 e $q - 1$. Se algum resto é zero, a conta acaba e o decimal é finito, como $3/8 = 0{,}375$. Se nenhum resto é zero, algum deles volta a aparecer depois de no máximo $q - 1$ passos, e daí em diante a conta repete os mesmos algarismos. É a dízima periódica, como $1/7 = 0{,}142857142857\ldots$, e o bloco que se repete é o período.

O caso depende só do denominador da fração irredutível. A divisão termina quando esse denominador não tem fatores primos além de 2 e 5, porque só então a fração se escreve com denominador 10, 100 ou 1000. Com outros fatores a dízima é periódica, e se o denominador tiver também 2 ou 5 aparecem algarismos antes do período, o antiperíodo, como em $1/6 = 0{,}1666\ldots$. Chamamos a dízima de composta quando ela tem antiperíodo e de simples quando não tem.

$q = 2^m \cdot 5^n \iff$$\dfrac{p}{q}$ é decimal finito$0{,}\overline{27} = \dfrac{27}{99}$$0{,}1\overline{6} = \dfrac{16 - 1}{90}$Vale para $p/q$ irredutível. Na fração geratriz, cada algarismo do período põe um 9 no denominador, e cada algarismo do antiperíodo põe um 0 depois deles.

O caminho de volta, da dízima para a fração, é a fração geratriz. Com $x = 0{,}272727\ldots$, multiplicamos por 100 para deslocar um período inteiro, $100x = 27{,}2727\ldots$, e subtraímos $x$. As caudas infinitas se cancelam, $99x = 27$ e $x = 27/99 = 3/11$. Toda dízima periódica é, portanto, racional, e junto com a divisão longa isso mostra que os racionais são exatamente os decimais finitos e as dízimas periódicas.

A mesma conta dá um resultado que costuma surpreender. Com $x = 0{,}999\ldots$, temos $10x - x = 9$, e $x = 1$. São duas escritas do mesmo número, e não um número "quase 1".

Para conversar

Escolha $q = 7$ e mude $p$. O relógio dos restos muda de caminho? E o período, muda?
Passe por $q = 8$, 16 e 20 com $p = 1$. Onde o caminho termina, e o que esses denominadores têm em comum?
Com $p = 1$, compare $q = 3$, 6 e 12. Quantos algarismos aparecem antes do período em cada caso, e de onde eles vêm?
Com $p = 3$ e $q = 15$, por que a bancada mostra um decimal finito, se 15 tem o fator 3?

p, numerador

q, denominador

Fração irredutível

Denominador

Tipo

Antiperíodo

Período

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Sem fazer a divisão, diga quais das frações $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{5}{12}$, $\dfrac{7}{20}$ e $\dfrac{2}{9}$ dão decimal finito e quais dão dízima periódica.

Ver resolução
As quatro são irredutíveis. $8 = 2^3$ e $20 = 2^2 \cdot 5$ só têm os fatores 2 e 5. $12 = 2^2 \cdot 3$ e $9 = 3^2$ têm o fator 3.
$\dfrac{3}{8}$ e $\dfrac{7}{20}$ dão decimal finito, e $\dfrac{5}{12}$ e $\dfrac{2}{9}$ dão dízima periódica.
básico
Escreva $\dfrac{3}{8}$ e $\dfrac{5}{12}$ na forma decimal.

Ver resolução
$\dfrac{3}{8} = \dfrac{375}{1000}$, multiplicando em cima e embaixo por 125.
Na divisão de 5 por 12 aparecem 4, 1 e depois o 6 que não para mais.
$0{,}375$ e $0{,}41\overline{6}$.
básico
Ache a fração geratriz de $0{,}777\ldots$.

Ver resolução
Com $x = 0{,}777\ldots$, $10x = 7{,}777\ldots$, e a subtração dá $9x = 7$.
$x = \dfrac{7}{9}$.
básico
Ache a fração geratriz de $0{,}2525\ldots$.

Ver resolução
O período tem dois algarismos. Com $x = 0{,}2525\ldots$, $100x = 25{,}2525\ldots$, e $99x = 25$.
$x = \dfrac{25}{99}$, que já é irredutível.
médio
Ache a fração geratriz de $0{,}1666\ldots$.

Ver resolução
Com $x = 0{,}1666\ldots$, $10x = 1{,}666\ldots$ e $100x = 16{,}666\ldots$. As duas têm a mesma cauda depois da vírgula.
$100x - 10x = 15$, e $x = \dfrac{15}{90}$.
$x = \dfrac{1}{6}$.
médio
Ache a fração geratriz de $1{,}2333\ldots$.

Ver resolução
$100x = 123{,}333\ldots$ e $10x = 12{,}333\ldots$, e a subtração dá $90x = 111$.
$x = \dfrac{111}{90}$, e simplificando por 3 fica $\dfrac{37}{30}$.
$\dfrac{37}{30}$. Conferindo, $37 \div 30 = 1{,}2333\ldots$
médio
Mostre que $0{,}999\ldots = 1$.

Ver resolução
Com $x = 0{,}999\ldots$, $10x = 9{,}999\ldots$, e $10x - x = 9$. Daí $9x = 9$ e $x = 1$.
Outra conta leva ao mesmo lugar, porque $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ e $3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$.
$0{,}999\ldots$ e 1 são duas escritas do mesmo número. Se fossem números diferentes, haveria algum real entre eles, e não há.
médio
Qual é o maior tamanho possível do período de $\dfrac{p}{17}$? Por quê?

Ver resolução
Numa dízima de denominador 17, os restos possíveis vão de 1 a 16, porque o 0 terminaria a conta.
Depois de 16 passos algum resto já se repetiu, e o período não passa disso.
16 algarismos. Esse máximo é atingido, porque $\dfrac{1}{17} = 0{,}\overline{0588235294117647}$.
desafio
Qual é o algarismo da centésima casa decimal de $\dfrac{1}{7}$?

Ver resolução
$\dfrac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$, com período de 6 algarismos.
$100 = 6 \cdot 16 + 4$. Depois de 16 períodos completos, a centésima casa é a quarta do período.
O algarismo 8.
desafio
Mostre que uma fração irredutível $\dfrac{p}{2^m \cdot 5^n}$ tem decimal finito com $\max(m, n)$ casas, e use isso em $\dfrac{7}{40}$.

Ver resolução
Seja $N = \max(m, n)$. Multiplicando em cima e embaixo por $2^{N - m} \cdot 5^{N - n}$, o denominador vira $2^N \cdot 5^N = 10^N$.
Uma fração com denominador $10^N$ é um decimal com $N$ casas, e como a fração é irredutível a última casa não é zero.
$40 = 2^3 \cdot 5$, e $N = 3$. $\dfrac{7}{40} = \dfrac{7 \cdot 25}{1000} = \dfrac{175}{1000}$.
$\dfrac{7}{40} = 0{,}175$, com três casas.

PASSO 6

Sobra lugar na reta depois dos racionais?

Entre dois racionais há sempre outro racional, e por isso eles se espalham pela reta inteira, sem deixar trecho vazio. Mesmo assim, há pontos da reta que nenhum racional ocupa. A diagonal de um quadrado de lado 1 mede $\sqrt{2}$ pelo teorema de Pitágoras, e o passo 4 mostrou que $\sqrt{2}$ não é razão de inteiros. Johann Lambert mostrou em 1761 que $\pi$ também é irracional.

A bancada aproxima a reta de 10 em 10 vezes. Cada zoom divide o trecho à vista em dez partes, e o número cai numa delas, o que fixa a casa decimal seguinte. Num racional, essas casas acabam ou entram num ciclo. Em $\sqrt{2}$ e em $\pi$ elas nunca se repetem em bloco, e cada janela dá duas aproximações racionais, uma por baixo e outra por cima, que ficam a $10^{-k}$ uma da outra.

A cada ponto da reta corresponde um número real, e a cada real corresponde um ponto, e é por isso que falamos em reta real. Todo real tem uma expansão decimal, que pode ser finita, periódica ou nenhuma das duas, e os irracionais são exatamente os do último caso.

$1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$$a_k \le x < a_k + 10^{-k}$$a_k$ é o número $x$ truncado com $k$ casas decimais. As duas pontas da janela são racionais, e a largura dela fica 10 vezes menor a cada zoom.

Para conversar

Com $\sqrt{2}$, dê três zooms e anote a janela. Confira, elevando as duas pontas ao quadrado, que 2 fica entre os resultados.
Escolha $\pi$. A fração 22/7 aparece ao lado como um ponto vazado. Em que zoom ela sai da vista, e em que casa decimal os dois números se separam?
Escolha 1/3 e dê vários zooms. Em que décimo da janela o ponto cai a cada vez, e o que isso diz sobre a expansão?
O número 0,1010010001… segue uma regra. Por que essa regra não faz dele uma dízima periódica?

Janela

Cada traço vale

Casas fixadas

Tipo

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Entre que inteiros consecutivos ficam $\sqrt{20}$ e $\sqrt{50}$?

Ver resolução
$16 < 20 < 25$, e tirando a raiz, $4 < \sqrt{20} < 5$.
$49 < 50 < 64$, e $7 < \sqrt{50} < 8$.
Entre 4 e 5, e entre 7 e 8.
básico
Escreva três números entre 1,41 e 1,42.

Ver resolução
Acrescentando uma casa decimal, o trecho se divide em dez partes, de 1,410 a 1,420.
Por exemplo 1,411, 1,415 e 1,419, entre infinitas outras escolhas, como $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$
básico
Coloque em ordem crescente os números $3{,}14$, $\pi$, $\dfrac{22}{7}$ e $3{,}1416$.

Ver resolução
$\pi = 3{,}14159\ldots$ e $\dfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$
Comparando casa a casa, $3{,}14 < 3{,}14159\ldots$, $3{,}14159\ldots < 3{,}1416$ e $3{,}1416 < 3{,}142857\ldots$
$3{,}14 < \pi < 3{,}1416 < \dfrac{22}{7}$
básico
O número $0{,}1212212221\ldots$, em que cada bloco de algarismos 2 tem um 2 a mais que o anterior, é racional?

Ver resolução
Os blocos crescem sem parar, e nenhum trecho fixo se repete para sempre.
Não é dízima periódica nem decimal finito, e por isso é irracional.
médio
Use quadrados de decimais para achar $\sqrt{2}$ com duas casas, sem calculadora de raiz.

Ver resolução
$1{,}4^2 = 1{,}96$ e $1{,}5^2 = 2{,}25$, e a primeira casa é 4.
$1{,}41^2 = 1{,}9881$ e $1{,}42^2 = 2{,}0164$, e a segunda casa é 1.
$1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$. É a janela do segundo zoom da bancada.
médio
Dê um número irracional entre 0 e 0,1.

Ver resolução
$\dfrac{\sqrt{2}}{100} = 0{,}0141\ldots$ está no trecho, e é irracional, porque o produto de um racional não nulo por um irracional é irracional.
Por exemplo $\dfrac{\sqrt{2}}{100}$, ou $0{,}0101001000100001\ldots$, em que os blocos de zeros entre dois 1 seguidos têm 1, 2, 3, 4, … zeros
médio
Um quadrado tem lado de 3 cm. A medida da diagonal, em centímetros, é um número racional?

Ver resolução
Por Pitágoras, $d^2 = 3^2 + 3^2 = 18$, e $d = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Não. É o produto do racional 3 pelo irracional $\sqrt{2}$, e mede cerca de 4,24 cm.
médio
Truncando $\pi$ com quatro casas decimais, qual é o maior erro possível? Qual é o erro de fato?

Ver resolução
O truncamento com quatro casas fica abaixo do número a menos de $10^{-4}$, ou seja, a menos de 0,0001.
$\pi - 3{,}1415 = 0{,}0000926\ldots$
Menos de 0,0001, e de fato cerca de 0,00009.
desafio
Mostre que entre dois reais $a < b$ existe sempre um racional.

Ver resolução
Escolha $k$ com $10^{-k} < b - a$. Os números $m \cdot 10^{-k}$, com $m$ inteiro, formam uma grade de espaçamento menor que o trecho.
Seja $m$ o menor inteiro com $m \cdot 10^{-k} > a$. Então $(m - 1) \cdot 10^{-k} \le a$, e $m \cdot 10^{-k} \le a + 10^{-k} < b$.
$m \cdot 10^{-k}$ é um racional, um decimal finito, dentro de $]a; b[$. É o que a bancada faz quando o zoom fica fino o bastante.
desafio
Em que casa decimal $\dfrac{22}{7}$ e $\pi$ começam a diferir? Que porcentagem de $\pi$ representa a diferença entre eles?

Ver resolução
$\dfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$ e $\pi = 3{,}141592\ldots$, e eles diferem na terceira casa.
$\dfrac{22}{7} - \pi \approx 0{,}00126$, e $\dfrac{0{,}00126}{3{,}1416} \approx 0{,}0004$.
Na terceira casa, e a diferença é cerca de 0,04% de $\pi$. Para muitas contas práticas, 22/7 serve bem, embora seja outro número.

PASSO 7

Como escrever um pedaço da reta?

Um intervalo reúne todos os reais entre duas pontas. Nas escolas brasileiras, o colchete voltado para dentro diz que a ponta pertence ao intervalo, e o colchete virado para fora diz que ela fica de fora. Assim $[a; b]$ é fechado, $]a; b[$ é aberto, e $[a; b[$ e $]a; b]$ são semiabertos. Um intervalo pode não ter fim, e o infinito leva sempre o colchete aberto, porque não é um número que pertença ao conjunto. Na reta, a ponta que pertence ganha bolinha cheia, e a que não pertence ganha bolinha vazia.

Intervalos são conjuntos, e as operações do passo 2 valem para eles. A interseção de dois intervalos é outro intervalo, um ponto só ou o vazio. Já a união pode ficar com dois pedaços separados, e o complementar de um intervalo limitado sempre fica. É nessa notação que escrevemos o domínio e a imagem de uma função e o conjunto solução de uma inequação.

O cuidado está nas pontas. $[0; 1[ \cup [1; 2] = [0; 2]$, porque o 1 entra pelo segundo intervalo, mas $]0; 1[ \cup ]1; 2[$ deixa o 1 de fora. E $[0; 1] \cap [1; 2] = \{1\}$ tem um único elemento.

$[a; b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$$]a; b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$$[a; +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}$Usamos ponto e vírgula entre as pontas porque a vírgula já é o separador decimal. Muitos livros também escrevem $(a; b)$ para o intervalo aberto.

Para conversar

Escolha $A \cup B$ e afaste os intervalos até não se tocarem. Como a bancada escreve a união, e por que não dá para usar um único par de colchetes?
Encoste a ponta direita de A na ponta esquerda de B, no mesmo número, e toque nas duas pontas para abri-las e fechá-las. Em que combinação a interseção é um ponto, e em qual ela some?
Escolha $A^c$ e toque numa ponta de A. O que acontece com a mesma ponta no complementar?
Arraste a ponta direita de B para além da borda da reta. Que colchete aparece, e o que muda em $A - B$?

A por propriedade

B por propriedade

Resultado

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Escreva em notação de intervalo os conjuntos $\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x < 4\}$, $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}$ e $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$.

Ver resolução
No primeiro, o $-1$ pertence e o 4 não. O segundo não tem fim à direita, e o terceiro não tem fim à esquerda.
$[{-}1; 4[$, $]2; +\infty[$ e $]{-\infty}; 0]$.
básico
Descreva por uma propriedade os intervalos $]{-}3; 5]$ e $[2; +\infty[$.

Ver resolução
O colchete virado para fora no $-3$ pede desigualdade estrita, e o colchete voltado para dentro no 5 pede $\le$.
$\{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \le 5\}$ e $\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 2\}$.
básico
Quais dos números $-2$, $0$, $3$ e $3{,}01$ pertencem a $]{-}2; 3]$?

Ver resolução
A ponta $-2$ fica de fora, e a ponta 3 pertence. O $3{,}01$ passa do 3.
Só o 0 e o 3.
básico
Quantos números inteiros há em $[{-}2; 3[$? E quantos reais?

Ver resolução
Os inteiros são $-2$, $-1$, 0, 1 e 2, e o 3 fica de fora.
5 inteiros, e infinitos reais.
médio
Com $A = [{-}1; 4]$ e $B = ]2; 6[$, escreva $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$ e $B - A$.

Ver resolução
A união vai do começo de A ao fim de B. A interseção vai do 2, que não está em B, até o 4, que está nos dois.
Em $A - B$, o 2 não pertence a B e por isso fica no resultado. Em $B - A$, o 4 pertence a A e por isso sai.
$[{-}1; 6[$, $]2; 4]$, $[{-}1; 2]$ e $]4; 6[$.
médio
Escreva o complementar de $[{-}1; 4]$ em $\mathbb{R}$.

Ver resolução
Ficam de fora de A os reais menores que $-1$ e os maiores que 4. As pontas pertencem a A e por isso saem do complementar.
$]{-\infty}; -1[ \cup ]4; +\infty[$.
médio
Calcule $[0; 3[ \cap [3; 5]$ e $[0; 3] \cap [3; 5]$.

Ver resolução
Os intervalos só se encostam no 3. No primeiro par, o 3 não pertence ao intervalo da esquerda.
$\varnothing$ e $\{3\}$.
médio
A Organização Mundial da Saúde classifica o índice de massa corporal (IMC) de adultos em baixo peso, abaixo de 18,5; peso normal, de 18,5 até menos de 25; sobrepeso, de 25 até menos de 30; e obesidade, a partir de 30. Escreva cada faixa como intervalo, considerando só valores positivos.

Ver resolução
Cada ponta pertence à faixa que começa nela, e as faixas se emendam sem sobrar nem repetir valor.
$]0; 18{,}5[$, $[18{,}5; 25[$, $[25; 30[$ e $[30; +\infty[$. A união das quatro é $]0; +\infty[$, e as interseções de duas a duas são vazias.
desafio
Com $A = ]{-\infty}; 2]$, $B = [{-}3; 5[$ e $C = ]0; +\infty[$, calcule $A \cap B \cap C$ e $(A \cup C) - B$.

Ver resolução
$A \cap B = [{-}3; 2]$, e cortando com C sobra $]0; 2]$.
$A \cup C = \mathbb{R}$, porque A cobre até o 2 e C começa depois do 0. Tirando B, sobram $]{-\infty}; -3[$ e $[5; +\infty[$.
$]0; 2]$ e $]{-\infty}; -3[ \cup [5; +\infty[$.
desafio
Com $A = [1; 3]$ e $B = [k; k + 1]$, para que valores de $k$ a interseção $A \cap B$ não é vazia?

Ver resolução
Dois intervalos fechados se encontram quando cada um começa antes do fim do outro, $k \le 3$ e $1 \le k + 1$.
A segunda condição dá $k \ge 0$.
$k \in [0; 3]$. Nas pontas, $k = 0$ e $k = 3$, a interseção é um único ponto.

PASSO 8

Como escrever números muito grandes e muito pequenos?

Em notação científica, um número positivo é escrito como $a \times 10^n$, com $1 \le a < 10$ e $n$ inteiro. A população do Brasil no Censo 2022, 203.080.756 pessoas, fica $2{,}03080756 \times 10^8$. Andar com a vírgula uma casa para a esquerda divide $a$ por 10, e o expoente sobe 1 para compensar, de modo que o número não muda.

Os números pequenos ganham expoente negativo, porque $10^{-n} = 1/10^n$. O raio do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, $0{,}0000000000529\ldots$ m, vira $5{,}29\ldots \times 10^{-11}$ m, e ninguém precisa contar zeros. Os prefixos do Sistema Internacional são potências de 10, como quilo, $10^3$, mega, $10^6$, mili, $10^{-3}$, micro, $10^{-6}$, e nano, $10^{-9}$.

Os algarismos de $a$ são os algarismos significativos da medida. Arredondar para $2{,}03 \times 10^8$ diz que confiamos em três deles, e escrever 203.000.000 esconderia essa escolha atrás de zeros que não foram medidos. Para multiplicar, multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes, e no fim ajustamos a vírgula se $a$ sair do intervalo $[1; 10[$.

$N = a \times 10^n,\ 1 \le a < 10$$(a \times 10^m)(b \times 10^n)$$= ab \times 10^{m + n}$$10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$O expoente $n$ conta quantas casas a vírgula andou desde a forma decimal, para a esquerda quando $n > 0$ e para a direita quando $n < 0$.

Para conversar

Com a população do Brasil, arraste a vírgula da forma decimal até a notação científica, uma casa por vez. O que acontece com o expoente a cada casa?
Escolha o raio do átomo de hidrogênio e traga a vírgula para a forma decimal. Quantos zeros aparecem antes do 5, e como eles se relacionam com o expoente −11?
Na velocidade da luz, baixe os algarismos significativos para 3 e depois para 1. O que muda na notação científica, e o que muda na forma decimal?
Na massa da Terra, deixe a vírgula em qualquer lugar fora da notação científica. A medida mudou? Por que a bancada diz que a forma não é a científica?

Algarismos significativos

Forma atual

Notação científica?

Expoente

Forma decimal

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Escreva em notação científica os números 45.000, 0,00032, 7 e 1.230.000.000.

Ver resolução
Em cada número, a vírgula vai para depois do primeiro algarismo diferente de zero, e o expoente conta as casas andadas.
$4{,}5 \times 10^4$, $3{,}2 \times 10^{-4}$, $7 \times 10^0$ e $1{,}23 \times 10^9$.
básico
Escreva na forma decimal $6{,}02 \times 10^5$ e $2{,}5 \times 10^{-3}$.

Ver resolução
No primeiro, a vírgula anda cinco casas para a direita, e no segundo, três para a esquerda.
602.000 e 0,0025.
básico
A velocidade da luz no vácuo é 299.792.458 m/s. Escreva esse valor em notação científica com três algarismos significativos.

Ver resolução
$299.792.458 = 2{,}99792458 \times 10^8$. Com três algarismos, o 2,99 seguido de 7 arredonda para cima, e 2,99 vira 3,00.
$3{,}00 \times 10^8$ m/s. Os dois zeros depois da vírgula são significativos e dizem que a medida é boa até a terceira casa.
básico
Quais das escritas $12 \times 10^3$, $0{,}5 \times 10^{-2}$, $9{,}99 \times 10^7$ e $1 \times 10^0$ estão em notação científica?

Ver resolução
A mantissa precisa ficar em $[1; 10[$. O 12 passa de 10, e o 0,5 fica abaixo de 1.
Só $9{,}99 \times 10^7$ e $1 \times 10^0$. As outras seriam $1{,}2 \times 10^4$ e $5 \times 10^{-3}$.
médio
Calcule $(3 \times 10^4) \cdot (5 \times 10^{-7})$ e dê a resposta em notação científica.

Ver resolução
$3 \cdot 5 = 15$ e $10^{4 + (-7)} = 10^{-3}$, o que dá $15 \times 10^{-3}$.
A mantissa passou de 10, e andamos com a vírgula uma casa para a esquerda.
$1{,}5 \times 10^{-2}$.
médio
Calcule $\dfrac{8 \times 10^9}{2 \times 10^{-3}}$.

Ver resolução
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes, $\dfrac{8}{2} = 4$ e $10^{9 - (-3)} = 10^{12}$.
$4 \times 10^{12}$.
médio
Um nanômetro é $10^{-9}$ m. Um vírus com 120 nm de diâmetro mede quantos metros, em notação científica?

Ver resolução
$120 \times 10^{-9} = 1{,}2 \times 10^2 \times 10^{-9}$
$1{,}2 \times 10^{-7}$ m.
médio
Segundo a NASA, a massa da Terra é $5{,}9722 \times 10^{24}$ kg e a da Lua é $7{,}346 \times 10^{22}$ kg. Quantas vezes a Terra tem a massa da Lua?

Ver resolução
$\dfrac{5{,}9722 \times 10^{24}}{7{,}346 \times 10^{22}}$ $= \dfrac{5{,}9722}{7{,}346} \times 10^2$ $\approx 0{,}813 \times 10^2$
Cerca de 81 vezes.
desafio
A distância média da Terra ao Sol é $1{,}496 \times 10^{11}$ m, e a luz viaja a $3{,}00 \times 10^8$ m/s. Quanto tempo a luz do Sol leva para chegar até nós?

Ver resolução
$t = \dfrac{1{,}496 \times 10^{11}}{3{,}00 \times 10^8}$ $\approx 0{,}499 \times 10^3 = 499$ s.
Cerca de 499 s, um pouco mais de 8 minutos. A luz que vemos saiu do Sol há uns 8 minutos.
desafio
O ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano de 365,25 dias. Calcule-o em metros, em notação científica com três algarismos, usando $c \approx 3{,}00 \times 10^8$ m/s.

Ver resolução
Um ano tem $365{,}25 \cdot 24 \cdot 3600 = 31.557.600$ s, cerca de $3{,}156 \times 10^7$ s.
$3{,}00 \times 10^8 \cdot 3{,}156 \times 10^7$ $\approx 9{,}47 \times 10^{15}$ m.
Cerca de $9{,}47 \times 10^{15}$ m. Com o valor exato de $c$, 299.792.458 m/s, o resultado é $9{,}46 \times 10^{15}$ m, e a diferença vem do arredondamento de $c$.

PASSO 9

Qual é a ordem de grandeza de uma medida?

A ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima dele. Para $N = a \times 10^n$ em notação científica, a ordem é $10^n$ quando $a < \sqrt{10} \approx 3{,}16$ e $10^{n + 1}$ quando $a \ge \sqrt{10}$. O corte em $\sqrt{10}$ vem da escala logarítmica, em que cada potência de 10 está à mesma distância da seguinte e $\sqrt{10}$ fica no meio do caminho entre 1 e 10. Essa escala reaparece no pH, nos decibéis e na magnitude dos terremotos, na aula de Exponencial e logaritmo. Alguns livros cortam em 5,5, a média aritmética entre 1 e 10, e os dois critérios só discordam para mantissas entre 3,16 e 5,5.

Na régua da bancada, cada passo multiplica a medida por 10. O raio do próton e a distância da Terra ao Sol, que parecem incomparáveis, ficam separados por umas 26 ordens de grandeza, e a massa do Sol é cerca de 60 ordens de grandeza maior que a do elétron.

$\text{OG} = 10^n$ se $a < \sqrt{10}$$\text{OG} = 10^{n+1}$ se $a \ge \sqrt{10}$Na escala logarítmica, $\log_{10} \sqrt{10} = 0{,}5$, e a ordem de grandeza é $10$ elevado a $\log_{10} N$ arredondado.

A ordem de grandeza serve para estimar sem conta exata. Quantas vezes um coração bate numa vida? Com umas 70 batidas por minuto e 75 anos, a conta $70 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 75$ dá cerca de $2{,}8 \times 10^9$, e a ordem é $10^9$. Os dados da estimativa podem errar por um fator de dois sem mudar a resposta, e é provavelmente por isso que esse tipo de conta resiste tão bem a números grosseiros.

Para conversar

Arraste o cursor até o átomo de hidrogênio. A mantissa fica à esquerda ou à direita de $\sqrt{10}$ na lupa, e que ordem de grandeza isso dá?
Leve o cursor devagar de $10^5$ a $10^6$. Em que ponto a ordem de grandeza muda, e por que esse ponto não é o 5?
Ponha o próton como referência e vá até o átomo de hidrogênio. Quantas ordens de grandeza separam o núcleo do átomo?
Nas massas, compare a pessoa com o Sol e o elétron com a pessoa. Qual das duas distâncias na régua é maior?

No cursor

Ordem de grandeza

Medida mais perto

Comparado à referência

Exercícios do passo 9 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Dê a ordem de grandeza de 3000, 4000, 0,002 e 0,005.

Ver resolução
Em notação científica, $3 \times 10^3$, $4 \times 10^3$, $2 \times 10^{-3}$ e $5 \times 10^{-3}$. Comparamos cada mantissa com 3,16.
$10^3$, $10^4$, $10^{-3}$ e $10^{-2}$.
básico
Qual é a ordem de grandeza da população do Brasil no Censo 2022, 203.080.756 pessoas?

Ver resolução
$203.080.756 \approx 2{,}03 \times 10^8$, e 2,03 fica abaixo de 3,16.
$10^8$.
básico
Quantas ordens de grandeza separam 1 mm de 1 km?

Ver resolução
1 mm $= 10^{-3}$ m e 1 km $= 10^3$ m, e a razão é $10^6$.
6 ordens de grandeza. Um quilômetro tem um milhão de milímetros.
básico
Qual é a ordem de grandeza do número de segundos em um dia?

Ver resolução
$24 \cdot 3600 = 86.400 = 8{,}64 \times 10^4$, e 8,64 passa de 3,16.
$10^5$.
médio
Estime a ordem de grandeza do número de batidas do coração de uma pessoa em 75 anos, a 70 batidas por minuto.

Ver resolução
Por dia são $70 \cdot 60 \cdot 24 = 100.800$ batidas, e em 75 anos de 365 dias, $100.800 \cdot 365 \cdot 75 \approx 2{,}76 \times 10^9$.
$10^9$. Mesmo com 60 ou 80 batidas por minuto a ordem não mudaria.
médio
A distância média da Terra à Lua é de 384.400 km, e o raio da Terra é de 6371 km, segundo a NASA. Quantos raios da Terra cabem nessa distância, e qual é a ordem de grandeza do resultado?

Ver resolução
$\dfrac{384.400}{6371} \approx 60{,}3 = 6{,}03 \times 10^1$, e 6,03 passa de 3,16.
Cerca de 60 raios, com ordem de grandeza $10^2$.
médio
O raio do átomo de hidrogênio é de $5{,}29 \times 10^{-11}$ m, e o raio do próton, de $8{,}41 \times 10^{-16}$ m. Quantas vezes o átomo é maior que o seu núcleo, e qual é a ordem de grandeza dessa razão?

Ver resolução
$\dfrac{5{,}29 \times 10^{-11}}{8{,}41 \times 10^{-16}}$ $\approx 0{,}629 \times 10^5$ $= 6{,}29 \times 10^4$
Cerca de 63.000 vezes, com ordem de grandeza $10^5$. Se o próton tivesse 1 cm, o átomo teria mais de meio quilômetro de raio.
médio
A galáxia de Andrômeda fica a 2,5 milhões de anos-luz, e um ano-luz mede cerca de $9{,}46 \times 10^{15}$ m. Qual é essa distância em metros, e qual é a sua ordem de grandeza?

Ver resolução
$2{,}5 \times 10^6 \cdot 9{,}46 \times 10^{15}$ $\approx 23{,}7 \times 10^{21}$ $= 2{,}37 \times 10^{22}$ m.
Cerca de $2{,}4 \times 10^{22}$ m, com ordem de grandeza $10^{22}$.
desafio
Explique por que o corte da ordem de grandeza fica em $\sqrt{10}$, e dê um número para o qual o corte em 5,5 dá outra resposta.

Ver resolução
A ordem de grandeza escolhe a potência de 10 mais próxima em razão, e não em diferença. $a$ fica igualmente perto de 1 e de 10 quando $a / 1 = 10 / a$, isto é, quando $a^2 = 10$.
Com $4 \times 10^5$, o critério de $\sqrt{10}$ dá $10^6$, e o de 5,5 dá $10^5$.
$4 \times 10^5$ é 4 vezes $10^5$ e só 2,5 vezes menor que $10^6$, e por isso fica mais perto de $10^6$ na escala que conta multiplicações.
desafio
Estime a ordem de grandeza do número de grãos num pacote de 5 kg de arroz, supondo que um grão tenha cerca de 25 mg.

Ver resolução
25 mg $= 2{,}5 \times 10^{-5}$ kg, e $\dfrac{5}{2{,}5 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^5$.
Cerca de 200 mil grãos, com ordem de grandeza $10^5$. Um grão de 20 mg ou de 30 mg manteria a mesma ordem.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 3 e 7 · Contagem e intervalos

Numa pesquisa com 80 motoristas, 50 usam aplicativo de mapas e 35 ouvem rádio no trânsito. Se 12 não fazem nenhuma das duas coisas, quantos fazem as duas? E se ninguém tivesse informado os 12, que valores seriam possíveis para o número dos que fazem as duas?

Ver resolução

Com os 12 de fora, $80 - 12 = 68$ fazem pelo menos uma coisa, e $50 + 35 - 68 = 17$ fazem as duas.
Sem essa informação, a união não pode passar de 80, e $50 + 35 - x \le 80$ dá $x \ge 5$. A interseção também não passa de 35, o tamanho do grupo menor.
O número dos que fazem as duas é um inteiro do intervalo $[5; 35]$, qualquer um de 5 a 35. A pesquisa precisou da informação dos 12 para chegar a um número só.

Passos 4 e 5 · Dízimas

O número $x = 0{,}1272727\ldots$ é racional? Ache a sua fração geratriz e explique, pelo denominador, por que a dízima tem um algarismo antes do período.

Ver resolução

$1000x = 127{,}2727\ldots$ e $10x = 1{,}2727\ldots$ têm a mesma cauda, e $990x = 126$.
$x = \dfrac{126}{990} = \dfrac{7}{55}$, e o número é racional, como toda dízima periódica.
$55 = 5 \cdot 11$. O fator 11 faz a dízima ser periódica, e o fator 5, junto com ele, põe um algarismo antes do período. A dízima é composta.

Passos 2 e 7 · Faixas de uma tarifa

A tarifa residencial de água da Sabesp de 2026, que aparece na aula de Funções, tem faixas de 0 a 10 m³, de mais de 10 até 20 m³, de mais de 20 até 50 m³ e acima de 50 m³. Escreva cada faixa como um intervalo de reais e confira que elas não se sobrepõem e cobrem todos os consumos possíveis.

Ver resolução

As faixas são $[0; 10]$, $]10; 20]$, $]20; 50]$ e $]50; +\infty[$. Cada ponta fica em uma faixa só, a de baixo.
Duas faixas vizinhas se encostam numa ponta que pertence a uma delas e não à outra, e por isso as interseções de duas a duas são vazias.
A união das quatro é $[0; +\infty[$, todos os consumos possíveis. Faixas assim formam uma partição do conjunto dos consumos.

Passos 8 e 9 · Andrômeda

A galáxia de Andrômeda fica a 2,5 milhões de anos-luz. Há quantos segundos saiu de lá a luz que vemos hoje? Dê a resposta em notação científica e a sua ordem de grandeza, com um ano de $3{,}156 \times 10^7$ s.

Ver resolução

Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano, e a luz de Andrômeda viajou 2,5 milhões de anos.
$2{,}5 \times 10^6 \cdot 3{,}156 \times 10^7 \approx 7{,}89 \times 10^{13}$ s.
A mantissa 7,89 passa de 3,16, e a ordem de grandeza é $10^{14}$ s. Vemos a galáxia como ela era há 2,5 milhões de anos.

Passos 2 e 3 · De Morgan

Numa escola de 120 alunos, 70 não praticam esporte, 50 não fazem música e 30 não fazem nenhuma das duas coisas. Quantos alunos fazem esporte e música?

Ver resolução

Com E o conjunto dos que praticam esporte e M o dos que fazem música, $n(E^c) = 70$, $n(M^c) = 50$ e $n(E^c \cap M^c) = 30$.
$n(E^c \cup M^c) = 70 + 50 - 30 = 90$. Por De Morgan, $E^c \cup M^c = (E \cap M)^c$.
$n(E \cap M) = 120 - 90 = 30$ alunos. Conferindo, praticam esporte 50 alunos e fazem música 70, e $50 + 70 - 30 = 90$ fazem pelo menos uma coisa, deixando os 30 de fora.

Passos 4 e 6 · Entre dois decimais

Ache um número racional e um número irracional entre 1,414 e 1,415.

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A média $\dfrac{1{,}414 + 1{,}415}{2} = 1{,}4145$ é racional e fica entre os dois.
$\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ também fica, porque $1{,}414^2 = 1{,}999396$ e $1{,}415^2 = 2{,}002225$ cercam o 2.
Outro irracional do trecho é $1{,}4140101001000100001\ldots$, que depois de 1,414 segue com algarismos 1 separados por blocos de 1, 2, 3, 4, … zeros. Em qualquer trecho da reta, por menor que seja, há racionais e irracionais.

Passos 8 e 9 · Átomos enfileirados

Um átomo de hidrogênio tem diâmetro de cerca de $1{,}06 \times 10^{-10}$ m, o dobro do raio de Bohr. Quantos átomos, encostados em fila, caberiam em 1 mm? Qual é a ordem de grandeza desse número?

Ver resolução

1 mm $= 10^{-3}$ m, e $\dfrac{10^{-3}}{1{,}06 \times 10^{-10}}$ $\approx 0{,}943 \times 10^7$ $= 9{,}43 \times 10^6$.
A mantissa 9,43 passa de 3,16, e a ordem de grandeza é $10^7$.
Uns 9 milhões de átomos caberiam em 1 mm. O modelo de átomo como bolinha de raio fixo é uma simplificação, e a conta vale como estimativa.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Contagem · Passo 3
Uma escola com 300 alunos fez uma campanha de vacinação. Ao fim da campanha, a secretaria registrou que 180 alunos tomaram a vacina da gripe, 140 tomaram a vacina contra a covid-19 e 40 não tomaram nenhuma das duas.

Quantos alunos tomaram as duas vacinas?
1. 20
2. 40
3. 60
4. 80
5. 120
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Resposta: C.
Tomaram pelo menos uma vacina $300 - 40 = 260$ alunos. A soma $180 + 140 = 320$ passa de 260 porque quem tomou as duas foi contado duas vezes.
$320 - 260 = 60$ alunos tomaram as duas.
Os 20 vêm de comparar a soma com o total de 300 e esquecer os 40 que não se vacinaram. Os 40 são justamente esses alunos. Os 80 e os 120 são os que tomaram só uma das vacinas, $140 - 60$ e $180 - 60$.
Um diagrama de Venn preenchido de dentro para fora, como na bancada do passo 3, evita a contagem dupla.
Dízimas · Passo 5
Lívia dividiu um número inteiro por outro na calculadora do celular, e o visor mostrou 0,4545454545. Ela sabe que o visor só tem espaço para dez casas decimais e que, na conta exata, o bloco 45 se repete indefinidamente.

A fração irredutível que dá o resultado exato dessa divisão é
1. $\dfrac{9}{20}$
2. $\dfrac{5}{11}$
3. $\dfrac{4}{9}$
4. $\dfrac{41}{90}$
5. $\dfrac{45}{100}$
Ver resolução

Resposta: B.
Com $x = 0{,}\overline{45}$, $100x = 45{,}\overline{45}$, e $99x = 45$. Então $x = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$.
$\dfrac{9}{20}$ e $\dfrac{45}{100}$ valem 0,45, um decimal finito, e a segunda nem é irredutível. $\dfrac{4}{9} = 0{,}444\ldots$ repete só o 4, e $\dfrac{41}{90} = 0{,}4555\ldots$ repete só o 5.
O denominador 11 não tem os fatores 2 e 5, e por isso a dízima é simples, sem algarismos antes do período.
Intervalos · Passo 7
Uma loja virtual dá frete grátis para compras a partir de R$ 150,00 e desconto de 10% para compras acima de R$ 300,00 até R$ 1000,00, inclusive. Acima de R$ 1000,00, o cliente negocia as condições com um vendedor, e a loja não aplica o desconto automático.

O conjunto dos valores de compra, em real, que têm frete grátis e não têm o desconto automático é
1. $[150; 300]$
2. $[150; 300] \cup ]1000; +\infty[$
3. $[150; 300[ \cup [1000; +\infty[$
4. $]150; 300] \cup ]1000; +\infty[$
5. $[150; 1000]$
Ver resolução

Resposta: B.
O frete grátis vale em $[150; +\infty[$, e o desconto automático vale em $]300; 1000]$. Queremos a diferença entre os dois conjuntos.
Tirando $]300; 1000]$ de $[150; +\infty[$, sobram $[150; 300]$, com o 300 incluído porque ele não tem desconto, e $]1000; +\infty[$, com o 1000 excluído porque ele tem desconto.
A alternativa A esquece as compras acima de R$ 1000,00, a C troca as pontas 300 e 1000, a D tira o 150, que já tem frete grátis, e a E junta os valores com desconto.
Notação científica · Passo 8
O Censo 2022 do IBGE contou 203.080.756 pessoas no Brasil. Um jornal decidiu publicar esse número em notação científica, com três algarismos significativos.

Como o número deve aparecer no jornal?
1. $2{,}03 \times 10^6$
2. $2{,}03 \times 10^7$
3. $2{,}03 \times 10^8$
4. $2{,}04 \times 10^8$
5. $20{,}3 \times 10^7$
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Resposta: C.
A vírgula vai para depois do 2, oito casas à esquerda da posição original, e $203.080.756 = 2{,}03080756 \times 10^8$.
Com três algarismos, o quarto, um 0, manda arredondar para baixo, e fica $2{,}03 \times 10^8$.
A e B erram na contagem das casas. D arredonda para cima sem motivo. E tem o mesmo valor que C, mas a mantissa 20,3 passa de 10, e a escrita não está em notação científica.
Ordem de grandeza · Passo 9
Um relógio inteligente informa que o coração de seu dono, um atleta em repouso, bateu em média 50 vezes por minuto durante o último ano. Ele quer saber a ordem de grandeza do número de batidas num ano de 365 dias.

A ordem de grandeza desse número é
1. $10^5$
2. $10^6$
3. $10^7$
4. $10^8$
5. $10^9$
Ver resolução

Resposta: C.
$50 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 = 26.280.000$, ou $2{,}628 \times 10^7$ batidas.
A mantissa 2,628 fica abaixo de $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, e a potência de 10 mais próxima é $10^7$. Ela também fica abaixo de 5,5, e o critério que alguns livros usam dá a mesma resposta.
Quem para no número de batidas de um dia, $50 \cdot 60 \cdot 24 = 72.000$, chega a $10^5$ e marca a A, e quem conta só um mês de 30 dias, 2.160.000 batidas, marca a B. A D vem de arredondar a mantissa para cima sem compará-la com o corte, e a E seria a ordem de grandeza de uma vida inteira.

Questões reais do ENEM sobre este tema

Conferimos cada questão no caderno azul do 2º dia, no site do INEP, onde ficam as provas e os gabaritos oficiais.

ENEM 2011, 2º dia, caderno azul, questão 176. Uma tabela dá a temperatura e a luminosidade das estrelas de cada classe espectral, e a questão pede a ordem de grandeza da luminosidade de uma estrela cinco vezes mais quente que o Sol.
ENEM 2012, 2º dia, caderno azul, questão 172. Uma ilustração mostra o asteroide YU 55 passando entre a Terra e a Lua, e precisamos escrever em notação científica a menor distância dele à superfície da Terra.
ENEM 2012, 2º dia, caderno azul, questão 175. Um quadro classifica a taxa de glicose em faixas, como "maior que 70 e menor ou igual a 100", e depois de duas reduções percentuais precisamos achar a faixa do paciente.
ENEM 2015, 2º dia, caderno azul, questão 157. As exportações de soja de um mês aparecem em milhões de toneladas, e a questão pede o valor em quilogramas, em notação científica.
ENEM 2019, 2º dia, caderno azul, questão 140. O diâmetro interno do vírus da gripe é dado em milímetros, com muitos zeros, e precisamos reescrevê-lo em notação científica.
ENEM 2020, 2º dia, caderno azul, questão 144. Uma torneira pinga num balde, cada gota tem um volume escrito como potência de 10, e calculamos o tempo para encher o balde.
ENEM 2020, 2º dia, caderno azul, questão 154. Uma miniatura impressa em 3D tem 100 micrômetros de comprimento, e a questão pede essa medida em metro, em notação científica.
ENEM 2020, 2º dia, caderno azul, questão 169. Os tipos sanguíneos dependem dos antígenos A e B, e com os totais de uma coleta de amostras contamos as pessoas de um tipo, como num diagrama de Venn.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 136. Uma estudante quer ver hemácias ao microscópio, e precisamos comparar medidas em milímetros e micrômetros para escolher a ampliação.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 147. Uma "máquina caça-números" mostra números racionais em formas diferentes, como fração, decimal e porcentagem, e precisamos achar os que representam a mesma quantidade.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Pertinência e inclusão$x \in A$; $B \subset A$ quando todo elemento de B está em A

Subconjuntos de um conjunto com $n$ elementos$2^n$, contando $\varnothing$ e o próprio conjunto

União, interseção e diferença$A \cup B$ junta os dois, $A \cap B$ fica com o comum, $A - B$ tira de A o que está em B

Leis de De Morgan$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ e $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Contagem da união$n(A \cup B)$ $= n(A) + n(B)$ $- \, n(A \cap B)$

Conjuntos numéricos$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, e os irracionais são $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$

Decimal finito$p/q$ irredutível com $q = 2^m \cdot 5^n$; os outros dão dízima periódica

Fração geratriz$0{,}\overline{ab} = \dfrac{ab}{99}$ e $0{,}a\overline{b} = \dfrac{ab - a}{90}$

Intervalos[a; b] com as pontas, ]a; b[ sem elas, [a; +∞[ sem fim à direita

Notação científica$a \times 10^n$, com $1 \le a < 10$ e $n$ inteiro

Ordem de grandeza de $a \times 10^n$$10^n$ se $a < \sqrt{10} \approx 3{,}16$, e $10^{n+1}$ se $a \ge \sqrt{10}$

Produto em notação científica$(a \times 10^m)(b \times 10^n)$ $= ab \times 10^{m + n}$

Prefixos do Sistema Internacional
Prefixo	Símbolo	Potência de 10
giga	G	$10^9$
mega	M	$10^6$
quilo	k	$10^3$
mili	m	$10^{-3}$
micro	µ	$10^{-6}$
nano	n	$10^{-9}$

Prefixo	Símbolo	Potência de 10
giga	G	\(10^9\)
mega	M	\(10^6\)
quilo	k	\(10^3\)
mili	m	\(10^{-3}\)
micro	µ	\(10^{-6}\)
nano	n	\(10^{-9}\)