Matemática · Ensino Médio · Função Afim

Função Afim

O taxímetro soma o mesmo valor a cada quilômetro, a vela encurta o mesmo tanto a cada hora, e a conta do celular cresce o mesmo tanto a cada gigabyte extra. Grandezas que mudam num ritmo constante formam o caso mais simples de dependência entre duas grandezas, e o gráfico delas é uma reta. A função que as descreve é a função afim, e com ela decidimos qual tarifa compensa, até onde o orçamento alcança e que tendência um conjunto de dados sugere.

1Taxa constante
2Os coeficientes a e b
3Reta por dois pontos
4Proporcionalidade
5Comparar tarifas
6Zero e sinal
7Inequações
8Reta para dados
✓Desafios

PASSO 1

O que acontece quando x anda sempre o mesmo tanto?

Numa corrida de táxi em São Paulo, o taxímetro começa na bandeirada de R$ 6,55 e soma R$ 4,80 a cada quilômetro rodado, em bandeira 1. O décimo quilômetro custa o mesmo que o primeiro. Quando uma grandeza muda sempre o mesmo tanto a cada passo igual da outra, dizemos que ela tem taxa de variação constante.

Numa tabela com os valores de $x$ igualmente espaçados, a taxa constante aparece nas diferenças entre linhas vizinhas. No táxi, de quilômetro em quilômetro, todas as diferenças valem R$ 4,80. Na área de um quadrado de lados 0, 1, 2 e 3, as áreas 0, 1, 4 e 9 crescem 1, depois 3, depois 5, e a taxa muda a cada linha.

A função que tem a mesma taxa de variação em qualquer trecho é a função afim, $f(x) = ax + b$, e o seu gráfico é uma reta. A taxa média que a aula de Funções lia na inclinação de uma secante dá, na afim, sempre o mesmo número $a$, porque toda secante coincide com a própria reta.

$f(x) = ax + b$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a$Para quaisquer $x_1 \ne x_2$, $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{a\,(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a$. Com passos iguais de tamanho $\Delta x$, todos os degraus da tabela sobem $a\,\Delta x$.

Para conversar

No táxi, troque o passo de 1 km para 2 km. O que acontece com os degraus Δy, e que número continua igual?
Na área do quadrado, compare os degraus com passo 1 e com passo 0,5. Em algum dos dois a taxa ficou constante?
Na vela, a taxa é negativa. O que o sinal diz sobre a vela, e em quantas horas ela acabaria se continuasse assim?
Com passo 0,5 no táxi, quanto custa cada meio quilômetro? Confira que ele custa a metade de um quilômetro inteiro.

Degraus Δy

Taxa Δy/Δx

É afim?

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Na tabela, $x$ vale 0, 1, 2 e 3, e $y$ vale 5, 8, 11 e 14. A taxa de variação é constante? Se for, que função afim a tabela descreve?

Ver resolução
Os degraus são $8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$ e $14 - 11 = 3$, com passos de 1 em $x$.
A taxa vale 3 em todos os trechos, e em $x = 0$ temos $y = 5$.
É constante, e a tabela descreve $f(x) = 3x + 5$.
básico
Quanto custa uma corrida de táxi de 7 km em São Paulo, em bandeira 1 e sem paradas, com a bandeirada de R$ 6,55 e R$ 4,80 por quilômetro?

Ver resolução
Os 7 km custam $7 \times 4{,}80 = 33{,}60$.
Somando a bandeirada, $6{,}55 + 33{,}60 = 40{,}15$.
R$ 40,15.
básico
Na tabela, $x$ vale 1, 2, 3 e 4, e $y$ vale 2, 4, 8 e 16. Ela pode ser de uma função afim?

Ver resolução
Com passos de 1 em $x$, os degraus são 2, 4 e 8, cada um o dobro do anterior.
A taxa muda de um trecho para o outro.
Não pode. Os valores dobram a cada passo, o comportamento de uma exponencial.
básico
Na tabela, $x$ vale 0, 2, 5 e 6, e $y$ vale 1, 7, 16 e 19. Os degraus de $y$ são 6, 9 e 3, todos diferentes. A tabela pode ser de uma função afim?

Ver resolução
Os passos em $x$ também são diferentes, 2, 3 e 1, e é a razão entre os dois que interessa.
$6/2 = 3$, $9/3 = 3$ e $3/1 = 3$.
Pode, e os pontos estão sobre $y = 3x + 1$. Com $x$ desigualmente espaçado, comparamos as taxas $\Delta y/\Delta x$, e não os degraus.
médio
A altura da vela da bancada é $h(t) = 24 - 1{,}5\,t$, em centímetros, com $t$ em horas. Quanto ela mede depois de 6 horas, e em que instante chega a 9 cm?

Ver resolução
$h(6) = 24 - 9 = 15$.
Para $h(t) = 9$, $1{,}5\,t = 24 - 9 = 15$, e $t = 10$.
15 cm depois de 6 horas, e 9 cm depois de 10 horas.
médio
Na tabela, $x$ vale $-2$, 0, 3 e 7, e $y$ vale 11, 7, 1 e $-7$. Ela é de uma função afim? Se for, qual?

Ver resolução
$\dfrac{7 - 11}{0 - (-2)} = \dfrac{-4}{2} = -2$, $\dfrac{1 - 7}{3 - 0} = -2$ e $\dfrac{-7 - 1}{7 - 3} = -2$.
A taxa é a mesma nos três trechos, e em $x = 0$ temos $y = 7$.
É, $f(x) = -2x + 7$.
médio
Na bandeira 2, das 20h às 6h de segunda a sábado e o dia todo aos domingos e feriados, a tarifa quilométrica do táxi de São Paulo tem um acréscimo de 30%, e a bandeirada não muda. Quanto custa à noite a corrida de 7 km do exercício 2?

Ver resolução
O quilômetro passa a custar $4{,}80 \times 1{,}3 = 6{,}24$.
$6{,}55 + 7 \times 6{,}24$ $= 6{,}55 + 43{,}68 = 50{,}23$.
R$ 50,23, R$ 10,08 a mais que de dia. A bandeira 2 muda a inclinação da reta e deixa o ponto de partida no mesmo lugar.
médio
Mostre que, numa função afim $f(x) = ax + b$, aumentar $x$ em 3 unidades aumenta $y$ em $3a$, qualquer que seja o $x$ de partida. Quanto custam 3 km a mais no táxi?

Ver resolução
$f(x + 3) - f(x)$ $= a(x + 3) + b - ax - b = 3a$, e o $x$ some da conta.
No táxi, $a = 4{,}80$.
A variação é $3a$ em qualquer ponto, e 3 km a mais custam $3 \times 4{,}80 = 14{,}40$ reais, seja a corrida curta ou longa.
desafio
Uma tabela tem $x = 1, 2, 3$ e $y = 4, 7, 10$. Um colega afirma que ela vem de $f(x) = 3x + 1$. A tabela garante isso?

Ver resolução
Os três pontos estão alinhados, com taxa 3, e $3x + 1$ passa por todos.
A função $g(x) = 3x + 1$ $+ (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ também passa, porque o produto zera nos três valores, e $g(4) = 13 + 6 = 19$, enquanto $f(4) = 13$.
Não garante. A tabela mostra que os três pontos estão numa reta, e a afim é a explicação mais simples, mas outras funções dão os mesmos valores nesses $x$ e diferem fora deles.
desafio
Uma função $f$, definida em $\mathbb{R}$, tem taxa de variação média igual a $a$ entre quaisquer dois pontos. Mostre que $f$ é afim.

Ver resolução
Tomando os pontos 0 e $x$, com $x \ne 0$, $\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = a$.
Daí $f(x) = ax + f(0)$, e a fórmula vale também em $x = 0$.
Com $b = f(0)$, $f(x) = ax + b$. Taxa constante e função afim são a mesma coisa.

PASSO 2

O que dizem os números a e b?

Em $f(x) = ax + b$, o número $b$ é o valor da função em $x = 0$. No gráfico, ele marca o ponto $(0, b)$ em que a reta corta o eixo $y$, e por isso o chamamos de coeficiente linear, ou de valor inicial. No táxi, $b$ é a bandeirada, que pagamos antes de rodar o primeiro metro.

O número $a$ é a taxa de variação, o quanto $y$ muda quando $x$ aumenta uma unidade. Ele dá a inclinação da reta e se chama coeficiente angular. Com $a > 0$ a função é crescente, com $a < 0$ é decrescente, e com $a = 0$ o gráfico é uma reta horizontal, a função constante.

Quando $a \ne 0$, a reta corta o eixo $x$ num único ponto, o zero da função, que achamos resolvendo $ax + b = 0$. A conta dá $x = -b/a$, e o passo 6 volta a ele. A afim com $b = 0$, como $y = 3x$, passa pela origem e se chama linear, e o passo 4 mostra por que ela tem nome próprio.

$f(0) = b$$f(x + 1) - f(x) = a$$x_0 = -\dfrac{b}{a}$O zero $x_0$ só existe quando $a \ne 0$. Com $a = 0$ e $b \ne 0$, a reta horizontal nunca toca o eixo $x$, e com $a = b = 0$ ela é o próprio eixo.

Para conversar

Arraste a alça do eixo $y$ e veja a reta subir e descer sem mudar de inclinação. O que acontece com o zero?
Arraste a alça de $x = 1$ até a reta ficar horizontal. Quanto vale $a$, e para onde foi o zero?
Ponha $a = 2$ e $b = -4$, e depois $a = -2$ e $b = 4$. As duas retas cortam o eixo $x$ no mesmo ponto? Por quê?
Com $a = 0{,}5$, quanto $x$ precisa aumentar para $y$ subir 3? Confira contando os quadradinhos da grade.

Coeficiente a

Coeficiente b

a, inclinação

b, corte no eixo y

Zero

A função é

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Em $f(x) = -3x + 6$, quais são os coeficientes, a função é crescente ou decrescente, e qual é o zero?

Ver resolução
$a = -3$ e $b = 6$. Como $a < 0$, a função é decrescente.
$-3x + 6 = 0$ dá $x = 2$.
$a = -3$, $b = 6$, decrescente, com zero em $x = 2$. A reta corta os eixos em $(0, 6)$ e $(2, 0)$.
básico
Em $f(x) = 4x$, quanto valem $a$, $b$ e $f(0)$? Por onde passa o gráfico?

Ver resolução
$a = 4$ e $b = 0$, e $f(0) = 0$.
O gráfico passa pela origem. É uma função linear, a afim com $b = 0$.
básico
Escreva a função afim que vale 5 em $x = 0$ e diminui 2 a cada unidade de $x$. Quanto ela vale em $x = 4$?

Ver resolução
O valor em zero é $b = 5$, e a taxa é $a = -2$.
$f(4) = -8 + 5 = -3$.
$f(x) = -2x + 5$, com $f(4) = -3$.
básico
A função $f(x) = 7$ é afim? Como é o gráfico, e ela tem zero?

Ver resolução
É a afim com $a = 0$ e $b = 7$.
O gráfico é a reta horizontal $y = 7$, que nunca toca o eixo $x$.
É afim, constante, e não tem zero.
médio
Uma reta corta o eixo $y$ em $-3$ e o eixo $x$ em 2. Qual é a sua equação?

Ver resolução
O corte no eixo $y$ dá $b = -3$.
O zero em 2 dá $2a - 3 = 0$, e $a = 1{,}5$.
$y = 1{,}5x - 3$.
médio
Para que valores de $k$ a função $f(x) = (k - 2)\,x + 1$ é decrescente? E para que valor ela é constante?

Ver resolução
O coeficiente angular é $k - 2$.
A função decresce quando $k - 2 < 0$ e é constante quando $k - 2 = 0$.
Decrescente para $k < 2$, constante para $k = 2$, quando vira $f(x) = 1$.
médio
A temperatura em graus Fahrenheit é $F = 1{,}8\,C + 32$, com $C$ em graus Celsius. O que dizem os coeficientes 1,8 e 32? Em que temperatura Celsius a escala Fahrenheit marca zero?

Ver resolução
O 32 é o valor em $C = 0$, e a água congela a 32 °F.
O 1,8 diz que cada grau Celsius a mais equivale a 1,8 grau Fahrenheit a mais.
$1{,}8\,C + 32 = 0$ dá $C = -32/1{,}8 \approx -17{,}8$.
Cerca de $-17{,}8$ °C.
médio
Uma reta sobe 6 unidades quando $x$ anda 4 e passa por $(0, -1)$. Qual é a equação, e onde fica o zero?

Ver resolução
$a = 6/4 = 1{,}5$ e $b = -1$.
$1{,}5x - 1 = 0$ dá $x = 1/1{,}5 = 2/3$.
$y = 1{,}5x - 1$, com zero em $x = \tfrac{2}{3}$.
desafio
Com $a \ne b$, as retas $y = ax + b$ e $y = bx + a$ se cruzam sempre no mesmo $x$. Qual, e em que altura? O que acontece quando $a = b$?

Ver resolução
$ax + b = bx + a$ dá $(a - b)\,x = a - b$, e com $a \ne b$ podemos dividir, $x = 1$.
Ali, $y = a + b$.
Em $(1, a + b)$. Com $a = b$ as duas equações são a mesma, e as retas coincidem.
desafio
Mostre que $f(x) = ax + b$, com $a \ne 0$, tem imagem $\mathbb{R}$ e que cada $y$ vem de um único $x$. Que função desfaz $f$?

Ver resolução
Dado um $y$ qualquer, $ax + b = y$ tem a solução $x = \dfrac{y - b}{a}$, que existe porque $a \ne 0$, e é a única.
Assim todo real é imagem, e de um único $x$.
$f$ é bijetora de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, e a inversa é $f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}$, outra função afim, como na aula de Funções.

PASSO 3

Como achar a reta que passa por dois pontos?

Dois pontos com abscissas diferentes determinam uma única reta, e com ela uma única função afim. Com $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, a inclinação é a taxa de variação entre os dois. O $b$ sai de qualquer um deles, porque $y_1 = a\,x_1 + b$ dá $b = y_1 - a\,x_1$.

É assim que descobrimos uma tarifa a partir de duas contas. Em São Paulo, uma corrida de táxi de 2 km custa R$ 16,15 e uma de 10 km custa R$ 54,55. Os 8 km de diferença custaram R$ 38,40, ou R$ 4,80 por quilômetro, e tirando $2 \times 4{,}80$ da primeira corrida sobram os R$ 6,55 da bandeirada. Contas reais costumam trazer arredondamentos e itens extras, e duas contas podem não bastar para revelar a tarifa, como mostra o último exercício deste passo.

Quando A e B ficam na mesma vertical, $x_2 - x_1 = 0$ e a conta da inclinação não tem resultado. A linha que passa por eles é $x = x_1$, que falha no teste da reta vertical de Funções e não é gráfico de nenhuma função de $x$.

$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$b = y_1 - a\,x_1$Vale para $x_1 \ne x_2$. A mesma reta também se escreve $y - y_1 = a\,(x - x_1)$, a forma mais curta quando conhecemos um ponto e a inclinação.

Para conversar

Arraste B até a mesma altura de A. Que coeficiente zera, e que tipo de função aparece?
Ponha A em $(0, 2)$ e mova só o B. Por que o $b$ da equação não muda?
Leve B até a vertical de A. O que a bancada diz, e por que não há função afim passando pelos dois pontos?
Arraste A para a direita de B. A inclinação muda de sinal, ou só os nomes dos pontos se trocam?

Ponto A

Ponto B

a = Δy/Δx

b = y₁ − a·x₁

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a função afim cujo gráfico passa por $(1, 2)$ e $(3, 8)$?

Ver resolução
$a = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$.
$b = 2 - 3 \cdot 1 = -1$.
$f(x) = 3x - 1$. Conferindo, $f(3) = 8$.
básico
Qual é a função afim cujo gráfico passa por $(0, 4)$ e $(2, 0)$?

Ver resolução
O ponto $(0, 4)$ já dá $b = 4$.
$a = \dfrac{0 - 4}{2 - 0} = -2$.
$f(x) = -2x + 4$, com zero em 2.
básico
Qual é a reta que passa por $(-1, 5)$ e $(3, 5)$?

Ver resolução
$a = \dfrac{5 - 5}{3 - (-1)} = 0$, e $b = 5$.
A reta horizontal $y = 5$, gráfico da função constante 5.
básico
Num plano de celular ilustrativo, a conta foi de R$ 49 num mês com 2 GB extras e de R$ 64 num mês com 5 GB extras. Supondo uma mensalidade fixa e um preço por GB extra, quanto vale cada parte?

Ver resolução
Os 3 GB a mais custaram $64 - 49 = 15$, e $a = 15/3 = 5$ reais por GB.
$b = 49 - 2 \times 5 = 39$.
Mensalidade de R$ 39 e R$ 5 por GB extra, com a conta $C(g) = 5g + 39$.
médio
Duas corridas de táxi em São Paulo, de dia e sem paradas, custaram R$ 23,35, com 3,5 km, e R$ 64,15, com 12 km. Confira a partir delas a bandeirada e o preço do quilômetro.

Ver resolução
$a = \dfrac{64{,}15 - 23{,}35}{12 - 3{,}5}$ $= \dfrac{40{,}80}{8{,}5} = 4{,}80$.
$b = 23{,}35 - 3{,}5 \times 4{,}80$ $= 23{,}35 - 16{,}80 = 6{,}55$.
R$ 4,80 por km e R$ 6,55 de bandeirada, a tarifa da Prefeitura.
médio
Os pontos $(1, 1)$, $(3, 5)$ e $(6, 11)$ estão sobre uma mesma reta?

Ver resolução
Entre o primeiro e o segundo, $a = 4/2 = 2$. Entre o segundo e o terceiro, $a = 6/3 = 2$.
As inclinações coincidem e os trechos compartilham o ponto $(3, 5)$.
Estão, sobre $y = 2x - 1$.
médio
Um carro em movimento uniforme está na posição 20 m no instante 2 s e na posição 50 m no instante 8 s. Escreva a função horária $s(t)$.

Ver resolução
A velocidade é a inclinação, $v = \dfrac{50 - 20}{8 - 2} = 5$ m/s.
$s_0 = 20 - 5 \times 2 = 10$.
$s(t) = 10 + 5t$, a função horária do movimento uniforme da aula de Cinemática.
médio
Para que valor de $k$ o ponto $(2, k)$ fica sobre a reta que passa por $(0, -3)$ e $(4, 5)$?

Ver resolução
$b = -3$ e $a = \dfrac{5 - (-3)}{4} = 2$.
Em $x = 2$, $y = 4 - 3 = 1$.
$k = 1$.
desafio
Qual é a reta que passa por $(2, 1)$ e é paralela a $y = -0{,}5x + 4$?

Ver resolução
Retas paralelas têm a mesma inclinação, $a = -0{,}5$.
$1 = -0{,}5 \times 2 + b$ dá $b = 2$.
$y = -0{,}5x + 2$.
desafio
Uma tarifa de energia ilustrativa cobra um valor fixo e um preço por kWh. Uma casa pagou R$ 132 por 150 kWh e R$ 181 por 220 kWh. No mês seguinte, gastou 300 kWh e pagou R$ 245. A terceira conta segue a mesma tarifa?

Ver resolução
As duas primeiras dão $a = \dfrac{181 - 132}{220 - 150} = \dfrac{49}{70} = 0{,}70$ e $b = 132 - 150 \times 0{,}70 = 27$.
Por essa reta, 300 kWh custariam $27 + 210 = 237$.
Não segue. A conta veio R$ 8 acima da reta, e os três pontos não estão alinhados. Talvez o consumo alto tenha caído numa faixa mais cara, ou a conta inclua outro item, e só com os três números não dá para saber qual das duas coisas aconteceu.

PASSO 4

Quando dobrar x dobra y?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão $y/x$ é sempre a mesma. Com a gasolina a R$ 6,00 o litro, um número redondo que usamos só como exemplo, 10 litros custam R$ 60 e 20 litros custam R$ 120. Dobrar o volume dobra o preço, e o preço dividido pelo volume dá sempre 6.

Toda proporcionalidade direta segue $y = kx$, a função afim com $b = 0$, que chamamos de linear. O gráfico é uma reta que passa pela origem, e a constante de proporcionalidade $k$ é a própria inclinação. A regra de três funciona exatamente nesse caso, porque supõe que $y/x$ não muda.

Com $b \ne 0$ a taxa continua constante e a proporcionalidade se perde. No táxi, 2 km custam R$ 16,15 e 4 km custam R$ 25,75, bem menos que o dobro, porque a bandeirada entra uma vez só. O que é proporcional à distância é o que se paga além da bandeirada, $y - b = ax$, e a regra de três aplicada direto ao preço da corrida erra.

$y = kx$$\dfrac{y}{x} = k\ \ (x \ne 0)$$f(2x) - 2f(x) = -b$Numa afim, $f(2x) = 2ax + b$ e $2f(x) = 2ax + 2b$. O dobro da entrada dá o dobro da saída só quando a parte fixa é zero.

Para conversar

Escolha a gasolina e leve $x$ de 2 para 4 litros. O ponto Q fica sempre sobre a semirreta tracejada que sai da origem? Por quê?
Troque para o táxi. Quanto vale $y(2x) \div y(x)$ em 1 km, e em 10 km? Para que número essa razão parece tender?
No táxi, leve a parte fixa até zero. O que acontece com a semirreta tracejada e com a reta?
Com a parte fixa em R$ 10, procure um $x$ em que $y/x$ fique igual ao preço por unidade. Ele existe?

Preço por unidade

Parte fixa

Quantidade x

y(x)

y(2x)

y(2x) ÷ y(x)

y ÷ x

Proporcional?

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Três quilos de arroz custam R$ 18. Com o preço proporcional ao peso, quanto custam 7 kg?

Ver resolução
A constante é $18/3 = 6$ reais por quilo.
$7 \times 6 = 42$.
R$ 42.
básico
Quais destas funções descrevem grandezas diretamente proporcionais: (a) $y = 5x$, (b) $y = 5x + 1$, (c) $y = x/4$, (d) $y = 3$?

Ver resolução
Em (a) e (c), $y/x$ vale sempre 5 e $\tfrac{1}{4}$.
Em (b), $y/x = 5 + 1/x$ muda com $x$. Em (d), $y/x = 3/x$ também muda.
Só (a) e (c), as lineares, com gráfico passando pela origem.
básico
Na tabela, $x$ vale 2, 5 e 8, e $y$ vale 7, 17,5 e 28. As grandezas são proporcionais?

Ver resolução
$7/2 = 3{,}5$, $17{,}5/5 = 3{,}5$ e $28/8 = 3{,}5$.
São, com $y = 3{,}5x$.
básico
Uma corrida de táxi de 5 km em São Paulo custou R$ 30,55. Um colega concluiu que 10 km custariam o dobro, R$ 61,10. Quanto custam de fato, e de onde vem a diferença?

Ver resolução
$6{,}55 + 10 \times 4{,}80 = 54{,}55$.
O dobro da corrida de 5 km conta a bandeirada duas vezes.
R$ 54,55. A diferença de R$ 6,55 é a bandeirada cobrada a mais.
médio
Um carro faz 12 km por litro na estrada. Escreva a distância $d$ em função do volume $V$ de combustível, em litros, e calcule quantos litros ele gasta em 330 km.

Ver resolução
A distância é proporcional ao volume, $d = 12V$.
$330 = 12V$ dá $V = 27{,}5$.
$d = 12V$, e 27,5 litros para 330 km.
médio
Num mapa na escala 1 : 50 000, duas cidades estão a 7,4 cm uma da outra. Qual é a distância real, em quilômetros?

Ver resolução
A distância real é proporcional à do mapa, com constante 50 000.
$7{,}4 \times 50\,000 = 370\,000$ cm.
370 000 cm, ou 3,7 km.
médio
Uma função afim tem $f(2) = 9$ e $f(4) = 18$. Ela é linear? E uma que tenha $f(2) = 9$ e $f(4) = 17$?

Ver resolução
Na primeira, $a = 9/2 = 4{,}5$ e $b = 9 - 9 = 0$.
Na segunda, $a = 8/2 = 4$ e $b = 9 - 8 = 1$.
A primeira é linear, $f(x) = 4{,}5x$. A segunda não, $f(x) = 4x + 1$, e por isso $f(4)$ fica 1 abaixo do dobro de $f(2)$.
médio
No táxi, calcule o que se paga além da bandeirada em corridas de 2 km e de 4 km. Essa parte é proporcional à distância?

Ver resolução
Em 2 km, $16{,}15 - 6{,}55 = 9{,}60$. Em 4 km, $25{,}75 - 6{,}55 = 19{,}20$.
A parte variável dobrou junto com a distância.
É, com constante R$ 4,80 por km. O preço total é afim, e o que ele tem acima da bandeirada é linear.
desafio
Mostre que uma função afim satisfaz $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos os reais $x$ e $y$ se, e só se, $b = 0$.

Ver resolução
$f(x + y) = a(x + y) + b$ e $f(x) + f(y) = a(x + y) + 2b$.
As duas expressões coincidem para todo $x$ e $y$ exatamente quando $b = 2b$, isto é, $b = 0$.
Só as lineares têm essa propriedade, que é a proporcionalidade escrita de outro jeito.
desafio
Um carro gasta 1 litro a cada 12 km, e o litro custa R$ 6,00 no exemplo da bancada. O custo da viagem é proporcional à distância? Qual é a constante, e quanto custa uma viagem de 330 km?

Ver resolução
O volume é $V = d/12$, e o custo é $C = 6V$.
Juntando, $C = 6 \cdot d/12 = 0{,}5\,d$, outra função linear.
É, com R$ 0,50 por quilômetro, e 330 km custam R$ 165. A composição de duas proporcionalidades é uma proporcionalidade, com o produto das constantes.

PASSO 5

Qual das duas tarifas sai mais barata?

Quando dois serviços cobram de jeitos diferentes, cada um vira uma reta, e a pergunta sobre qual compensa vira uma comparação entre retas. Para pouco uso, a tarifa com a parte fixa menor tende a sair na frente, e a que tem a taxa menor passa à frente a partir de algum ponto, desde que as duas taxas sejam diferentes. Nesse ponto, que chamamos de ponto de equilíbrio, as duas custam o mesmo e as retas se cruzam.

Para achá-lo, igualamos as duas regras. Comparamos o táxi de São Paulo com um aplicativo ilustrativo que cobra R$ 10,15 de saída e R$ 4,20 por quilômetro. A equação $6{,}55 + 4{,}80x = 10{,}15 + 4{,}20x$ dá $0{,}60x = 3{,}60$, e $x = 6$ km. Abaixo de 6 km o táxi sai mais barato, acima o aplicativo, e em 6 km as duas corridas custam R$ 35,35, sem contar o tempo parado no trânsito, que o táxi cobra por hora.

O mesmo cruzamento aparece no encontro de dois carros em movimento uniforme, que a aula de Cinemática resolve igualando as funções horárias. Retas paralelas, com a mesma taxa, nunca se cruzam, e nesse caso uma das tarifas fica mais barata para qualquer uso.

$a_1x + b_1 = a_2x + b_2$$x = \dfrac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$Vale para $a_1 \ne a_2$. A altura do cruzamento sai de qualquer uma das duas regras, e é o valor que as duas tarifas cobram no equilíbrio.

Para conversar

No táxi contra o aplicativo, leve a distância de 2 km até 10 km. Em que ponto a tarifa mais barata troca de lado?
Na academia, quantas aulas por mês tornam a mensalidade vantajosa? E para quem vai só 7 vezes?
Na locadora, o plano de quilometragem livre parece caro para uma volta curta. A partir de que distância ele compensa?
Em quais cenários uma das retas é horizontal, e o que isso diz sobre aquela tarifa?

Distância

Tarifa A

Tarifa B

Mais barata

Equilíbrio

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
O plano A cobra R$ 20 mais R$ 2 por unidade, e o plano B cobra R$ 50 mais R$ 1 por unidade. Em que uso os dois custam o mesmo, e quanto?

Ver resolução
$20 + 2x = 50 + x$ dá $x = 30$.
$20 + 2 \times 30 = 80$.
Em 30 unidades, com R$ 80 nos dois planos. Abaixo disso o A sai mais barato, acima o B.
básico
Na academia da bancada, a aula avulsa custa R$ 15 e a mensalidade R$ 120. Para quem vai 10 vezes no mês, qual opção sai mais barata?

Ver resolução
Avulsas, $10 \times 15 = 150$. A mensalidade custa 120.
A mensalidade, com R$ 30 de economia.
básico
Na locadora da bancada, a diária com quilometragem custa R$ 90 mais R$ 0,60 por km, e a de quilometragem livre custa R$ 150. Para rodar 80 km num dia, qual compensa?

Ver resolução
Com quilometragem, $90 + 0{,}60 \times 80 = 90 + 48 = 138$.
A diária com quilometragem, R$ 138 contra R$ 150.
básico
As retas $y = 2x + 1$ e $y = 2x + 5$ se cruzam?

Ver resolução
$2x + 1 = 2x + 5$ dá $1 = 5$, uma igualdade falsa para qualquer $x$.
Não. As retas são paralelas, com a mesma inclinação, e a segunda fica sempre 4 unidades acima da primeira.
médio
Para uma corrida de 9 km, quanto custam o táxi de São Paulo e o aplicativo ilustrativo da bancada, que cobra R$ 10,15 mais R$ 4,20 por km?

Ver resolução
Táxi, $6{,}55 + 9 \times 4{,}80 = 49{,}75$.
Aplicativo, $10{,}15 + 9 \times 4{,}20 = 47{,}95$.
O aplicativo sai R$ 1,80 mais barato, como esperado para uma distância acima do equilíbrio de 6 km.
médio
Dois carros andam na mesma estrada, com posições $s_A = 10 + 20t$ e $s_B = 100 - 25t$, em quilômetros, com $t$ em horas. Quando e onde eles se encontram?

Ver resolução
$10 + 20t = 100 - 25t$ dá $45t = 90$, e $t = 2$.
$s = 10 + 40 = 50$.
Depois de 2 horas, no quilômetro 50. É o cruzamento das duas retas no gráfico da posição contra o tempo.
médio
Um plano de celular cobra R$ 30 mais R$ 0,50 por minuto de ligação, e outro cobra R$ 60 mais R$ 0,20 por minuto. A partir de quantos minutos o segundo compensa?

Ver resolução
$30 + 0{,}50m = 60 + 0{,}20m$ dá $0{,}30m = 30$, e $m = 100$.
Acima disso, a taxa menor do segundo plano compensa a mensalidade maior.
A partir de 100 minutos, quando os dois custam R$ 80.
médio
Na bandeira 2, cobrada à noite e aos domingos e feriados, o quilômetro do táxi de São Paulo passa a R$ 6,24, e a bandeirada continua em R$ 6,55. Se o aplicativo ilustrativo mantiver R$ 10,15 mais R$ 4,20 por km, onde fica o novo ponto de equilíbrio?

Ver resolução
$6{,}55 + 6{,}24x = 10{,}15 + 4{,}20x$ dá $2{,}04x = 3{,}60$.
$x = 3{,}60/2{,}04 \approx 1{,}76$.
Cerca de 1,76 km. À noite o táxi só compensa para corridas bem curtas, porque a sua reta ficou mais inclinada.
desafio
Três planos cobram $A(x) = 3x$, $B(x) = 20 + 2x$ e $C(x) = 60 + x$, em reais, com $x$ unidades de uso. Para que usos cada plano é o mais barato dos três?

Ver resolução
A e B se igualam em $x = 20$, B e C em $x = 40$, e A e C em $x = 30$.
Para $x < 20$, A é o menor. Entre 20 e 40, B fica abaixo dos dois, e em $x = 30$, por exemplo, A e C cobram 90 e B cobra 80. Acima de 40, C é o menor.
A para menos de 20 unidades, B de 20 a 40, e C acima de 40. Nos usos 20 e 40, dois planos empatam.
desafio
Na locadora da bancada, que preço por quilômetro faria a diária de R$ 90 empatar com a quilometragem livre de R$ 150 exatamente em 150 km?

Ver resolução
Queremos $90 + 150p = 150$.
$150p = 60$ dá $p = 0{,}40$.
R$ 0,40 por km. Baixar o preço por quilômetro deixa a reta menos inclinada e empurra o equilíbrio para a direita, de 100 km para 150 km.

PASSO 6

Onde a reta cruza o eixo x, e o que o sinal conta?

O zero da função afim é o $x$ que torna $f(x) = 0$, $x_0 = -b/a$, e no gráfico é o ponto em que a reta corta o eixo $x$. Em muitos modelos ele marca um fim. Um carro ilustrativo comprado por R$ 80.000, que perca R$ 8.000 por ano, vale $V(t) = 80\,000 - 8\,000\,t$ e chega a zero em $t = 10$ anos.

O sinal diz onde a função é positiva e onde é negativa. Na afim com $a \ne 0$, o zero divide a reta real em duas semirretas, com um sinal só em cada uma. Com $a > 0$ a função é negativa antes do zero e positiva depois, e com $a < 0$ é o contrário.

Num modelo, a parte negativa muitas vezes não faz sentido. O carro não passa a valer menos que nada no décimo primeiro ano, e a bateria não chega a −10%. A fórmula continua dando números, e quem decide até onde ela vale é o problema, que restringe o domínio, no caso do carro a [0; 10].

$f(x) = 0 \iff x = x_0 = -\dfrac{b}{a}$$a > 0:\ f(x) < 0$ para $x < x_0$, $f(x) > 0$ para $x > x_0$Com $a < 0$ os sinais trocam de lado. Estudar o sinal é resolver as inequações $f(x) > 0$ e $f(x) < 0$, o assunto do passo 7.

Para conversar

No carro, arraste o cursor até o valor chegar à metade do preço de compra. Em que ano isso acontece?
Na bateria, em que instante a carga zera? Leve o cursor além desse instante e leia o que a fórmula responde.
Na reta $y = 2x - 3$, onde a função é negativa? Compare o lado negativo com o sinal de $a$.
Em qual das três situações a parte do gráfico abaixo do eixo $x$ tem algum sentido?

No cursor

Zero

Positiva em

Negativa em

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é o zero de $f(x) = 5x - 20$?

Ver resolução
$5x - 20 = 0$ dá $x = 4$.
$x = 4$, e o gráfico passa por $(4, 0)$.
básico
Estude o sinal de $f(x) = -2x + 6$.

Ver resolução
O zero é $x = 3$, e com $a = -2 < 0$ a reta desce.
$f(x) > 0$ para $x < 3$, $f(3) = 0$ e $f(x) < 0$ para $x > 3$.
básico
Quanto vale o carro ilustrativo da bancada, $V(t) = 80\,000 - 8\,000\,t$, depois de três anos e meio?

Ver resolução
$V(3{,}5) = 80\,000 - 28\,000$ $= 52\,000$.
R$ 52.000.
básico
A carga da bateria ilustrativa da bancada é $B(t) = 100 - 12{,}5\,t$, em porcentagem, com $t$ em horas. Quanto resta depois de 2 horas, e quando a carga acaba?

Ver resolução
$B(2) = 100 - 25 = 75$.
$100 - 12{,}5\,t = 0$ dá $t = 8$.
75% depois de 2 horas, e a bateria acaba em 8 horas.
médio
Uma caixa-d'água com 1.500 litros perde 60 litros por hora por um vazamento, e ninguém repõe a água. Escreva o volume $V(t)$, diga quando a caixa esvazia e em que domínio a fórmula faz sentido.

Ver resolução
$V(t) = 1500 - 60t$, com zero em $t = 1500/60 = 25$.
Antes de $t = 0$ não havia vazamento, e depois de $t = 25$ não há mais água para vazar.
Esvazia em 25 horas, e a fórmula vale em [0; 25].
médio
Para que valores de $x$ a função $f(x) = 3x + 4$ é negativa?

Ver resolução
O zero é $x = -4/3$, e a reta sobe, com $a = 3$.
Antes do zero ela fica abaixo do eixo.
Para $x < -\tfrac{4}{3}$, isto é, em $]{-}\infty; -\tfrac{4}{3}[$.
médio
Uma função afim vale $-10$ em $x = 0$ e tem zero em $x = 5$. Qual é a fórmula, e onde ela é positiva?

Ver resolução
$b = -10$ e $5a - 10 = 0$, e assim $a = 2$.
Com $a > 0$, a função é positiva depois do zero.
$f(x) = 2x - 10$, positiva em $]5; +\infty[$.
médio
Uma máquina de R$ 12.000 perde valor de modo linear e fica sem valor contábil em 8 anos. Quanto ela perde por ano, e quanto vale depois de 5 anos?

Ver resolução
A perda anual é $12\,000/8 = 1\,500$, e $V(t) = 12\,000 - 1\,500\,t$.
$V(5) = 12\,000 - 7\,500 = 4\,500$.
R$ 1.500 por ano, e R$ 4.500 depois de 5 anos.
desafio
Estude o sinal do produto $P(x) = (x - 2)(-x + 5)$ usando o sinal de cada fator.

Ver resolução
$x - 2$ é negativo antes de 2 e positivo depois. $-x + 5$ é positivo antes de 5 e negativo depois.
Antes de 2 os sinais são $-$ e $+$, entre 2 e 5 são $+$ e $+$, e depois de 5 são $+$ e $-$.
$P(x) > 0$ em $]2; 5[$, $P(x) < 0$ em $]{-}\infty; 2[ \cup ]5; +\infty[$, e $P$ zera em 2 e em 5.
desafio
Para que valores de $x$ vale $\dfrac{x - 1}{x + 3} \ge 0$?

Ver resolução
O numerador zera em 1 e o denominador em $-3$, que fica fora do domínio.
Antes de $-3$, os dois são negativos e o quociente é positivo. Entre $-3$ e 1, o numerador é negativo e o denominador positivo. Depois de 1, os dois são positivos.
$]{-}\infty; -3[ \cup [1; +\infty[$. O 1 entra porque ali o quociente vale zero, e o $-3$ fica de fora porque ali o quociente não existe.

PASSO 7

Para que valores de x a desigualdade vale?

Uma inequação do 1º grau pergunta para que valores de $x$ uma expressão afim fica acima ou abaixo de um número. Com R$ 50 no bolso, que distância de táxi cabe no orçamento? A pergunta é $6{,}55 + 4{,}80x \le 50$, e a resposta é um intervalo inteiro de distâncias.

Resolvemos como uma equação, com um cuidado a mais. Somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados mantém a desigualdade, e multiplicar ou dividir por um número positivo também. Dividir por um negativo inverte o sentido, porque $-2 < 3$ vira $2 > -3$ quando trocamos os sinais. No táxi, $4{,}80x \le 43{,}45$ dá $x \le 9{,}05$, um pouco mais de 9 km.

No gráfico, a solução é a sombra, no eixo $x$, do pedaço da reta que fica abaixo, ou acima, da linha horizontal $y = c$. A ponta é o $x$ em que as duas se cruzam, com bolinha cheia quando a desigualdade aceita a igualdade, em $\le$ e $\ge$, e vazada quando não aceita.

$ax + b < c$$\iff x < \dfrac{c - b}{a}$ se $a > 0$$\iff x > \dfrac{c - b}{a}$ se $a < 0$O mesmo vale para $\le$, $>$ e $\ge$. Com $a = 0$ a desigualdade não depende de $x$, e a solução é $\mathbb{R}$ inteiro ou o conjunto vazio.

Para conversar

Com $a > 0$, arraste a linha $y = c$ para cima. Para que lado a solução de $ax + b < c$ cresce?
Troque $<$ por $\le$ e olhe a ponta do intervalo no eixo $x$. O que muda, e por quê?
Leve $a$ para um valor negativo sem mexer em mais nada. A solução virou de lado? Confira na conta, dividindo por $a$.
Ponha $a = 0$. Quando a solução é $\mathbb{R}$ inteiro, e quando ela fica vazia?

Coeficiente a

Coeficiente b

Nível c

Solução

Ponta

Sentido ao dividir por a

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Resolva $3x - 5 > 7$.

Ver resolução
$3x > 12$, e dividindo por 3, que é positivo, $x > 4$.
$]4; +\infty[$
básico
Resolva $-2x + 8 \ge 0$.

Ver resolução
$-2x \ge -8$. Dividindo por $-2$, o sentido inverte, $x \le 4$.
$]{-}\infty; 4]$
básico
Com R$ 50, até que distância uma corrida de táxi em São Paulo cabe no orçamento, de dia e sem paradas?

Ver resolução
$6{,}55 + 4{,}80x \le 50$ dá $4{,}80x \le 43{,}45$.
$x \le 43{,}45/4{,}80 \approx 9{,}05$.
Até cerca de 9,05 km. Um engarrafamento no caminho, cobrado por hora, pode encurtar bastante essa distância.
básico
Resolva $5 - x < 2$.

Ver resolução
$-x < -3$. Multiplicando por $-1$, $x > 3$.
$]3; +\infty[$
médio
Resolva $2(x - 3) \le 5x + 9$.

Ver resolução
$2x - 6 \le 5x + 9$.
Passando $2x$ para a direita e 9 para a esquerda, $-15 \le 3x$, e $x \ge -5$.
$[{-}5; +\infty[$
médio
No plano de celular ilustrativo do passo 3, a conta é $39 + 5g$, com $g$ gigabytes extras. Quantos GB extras inteiros cabem num limite de R$ 70?

Ver resolução
$39 + 5g \le 70$ dá $5g \le 31$, e $g \le 6{,}2$.
Até 6 GB extras, que custam R$ 69.
médio
Resolva a inequação dupla $-1 < 2x + 3 \le 9$.

Ver resolução
Subtraindo 3 das três partes, $-4 < 2x \le 6$.
Dividindo por 2, $-2 < x \le 3$.
$]{-}2; 3]$
médio
Quantos inteiros positivos satisfazem $\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x}{3} < 2$?

Ver resolução
Multiplicando tudo por 6, que é positivo, $3x + 3 - 2x < 12$.
Daí $x < 9$.
Oito, de 1 a 8.
desafio
Para que valor de $m$ a solução de $(m - 1)\,x > 2$ é $]{-}\infty; -1[$?

Ver resolução
Para a solução ficar à esquerda, o sentido precisa inverter, e $m - 1 < 0$.
A ponta é $\dfrac{2}{m - 1} = -1$, e $m - 1 = -2$.
$m = -1$. Conferindo, $-2x > 2$ dá $x < -1$.
desafio
Na locadora do passo 5, alguém tem R$ 130 para o aluguel de um dia. Que plano pode escolher, e até quantos quilômetros pode rodar?

Ver resolução
A quilometragem livre custa R$ 150, acima do orçamento, e fica descartada.
Na diária com quilometragem, $90 + 0{,}60x \le 130$ dá $0{,}60x \le 40$, e $x \le 66{,}7$.
Só a diária com quilometragem, até cerca de 66 km. Nessa faixa ela também é a mais barata, porque o equilíbrio fica em 100 km.

PASSO 8

Que reta descreve dados reais?

Dados medidos raramente caem exatamente sobre uma reta. A concentração média anual de gás carbônico no ar, medida pela NOAA no observatório de Mauna Loa, no Havaí, subiu de 390,10 ppm em 2010 para 427,35 ppm em 2025. Os pontos ficam quase alinhados, com pequenas oscilações de um ano para o outro, e uma reta parece resumir bem a tendência.

Para escolher a reta, olhamos os resíduos, as distâncias verticais entre cada ponto e a reta. A reta de mínimos quadrados torna mínima a soma dos quadrados dos resíduos. Nos dados de Mauna Loa, a inclinação dela fica perto de 2,5 ppm por ano. Outros critérios, como somar os valores absolutos dos resíduos, também são possíveis e podem dar retas um pouco diferentes, e os quadrados talvez prevaleçam porque levam às fórmulas fechadas da caixa abaixo.

$a = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$$b = \bar{y} - a\,\bar{x}$$\bar{x}$ e $\bar{y}$ são as médias, e a reta ajustada passa sempre pelo ponto $(\bar{x}, \bar{y})$. Elevar ao quadrado impede que resíduos positivos e negativos se cancelem.

Uma reta ajustada serve para resumir e, com cautela, para prever. Prolongada até 2030, ela sugere cerca de 439 ppm, supondo que o ritmo dos últimos dezesseis anos continue. O ajuste não garante esse ritmo, e na mesma série a década de 1980 subia perto de 1,6 ppm por ano, o que sugere que a taxa de crescimento também tem crescido.

Para conversar

Arraste as alças até a reta passar no meio dos pontos e leia a soma dos quadrados. Quão perto da mínima você chegou?
Aperte o botão da reta de mínimos quadrados. Algum ponto fica exatamente sobre ela?
Incline a reta um pouco mais, girando-a em torno do meio. O que acontece com os resíduos dos primeiros e dos últimos anos?
Leia a previsão para 2030. Que hipótese sobre os próximos anos essa previsão faz?

Inclinação

Previsão para 2030

Soma dos quadrados

Mínima possível

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Contando os anos desde 2010, a reta de mínimos quadrados da bancada fica, com duas casas, $y = 389{,}24 + 2{,}49\,t$. O que significam os números 389,24 e 2,49?

Ver resolução
389,24 é o valor da reta em $t = 0$, o ano de 2010, perto dos 390,10 ppm medidos.
2,49 é a inclinação, o quanto a reta sobe por ano.
389,24 ppm é o valor ajustado para 2010, e 2,49 ppm por ano é a taxa de crescimento média do período.
básico
Com a mesma reta, que valor de CO₂ ela prevê para 2030?

Ver resolução
2030 corresponde a $t = 20$.
$389{,}24 + 2{,}49 \times 20$ $= 389{,}24 + 49{,}80 = 439{,}04$.
Cerca de 439 ppm, se o ritmo de 2010 a 2025 continuar.
básico
Em 2016 o valor medido foi 404,41 ppm. Qual é o resíduo desse ponto na reta arredondada $y = 389{,}24 + 2{,}49\,t$? O ponto fica acima ou abaixo da reta?

Ver resolução
2016 corresponde a $t = 6$, e a reta dá $389{,}24 + 14{,}94 = 404{,}18$.
O resíduo é $404{,}41 - 404{,}18 = 0{,}23$.
0,23 ppm, positivo, e o ponto fica um pouco acima da reta.
básico
Calcule a taxa de variação média do CO₂ entre 2010 e 2025 usando só as duas pontas, 390,10 e 427,35 ppm. Ela é parecida com a inclinação da reta ajustada?

Ver resolução
$\dfrac{427{,}35 - 390{,}10}{2025 - 2010}$ $= \dfrac{37{,}25}{15} \approx 2{,}48$.
Cerca de 2,48 ppm por ano, muito perto dos 2,49 da reta ajustada. Com dados quase alinhados, as pontas já contam quase tudo, e o ajuste usa todos os pontos, o que o torna menos sensível a um ano fora do ritmo.
médio
Para os pontos $(0, 1)$, $(1, 2)$ e $(2, 6)$, calcule a soma dos quadrados dos resíduos da reta $y = 2x + 1$ e a da reta de mínimos quadrados.

Ver resolução
Com $y = 2x + 1$, os valores da reta são 1, 3 e 5, os resíduos são 0, $-1$ e 1, e a soma dos quadrados é 2.
Pelas fórmulas, $\bar{x} = 1$, $\bar{y} = 3$ e $a = \dfrac{(-1)(-2) + 0 + (1)(3)}{1 + 0 + 1}$ $= 2{,}5$, com $b = 3 - 2{,}5 = 0{,}5$.
A reta $y = 2{,}5x + 0{,}5$ dá 0,5, 3 e 5,5, resíduos 0,5, $-1$ e 0,5, e soma $0{,}25 + 1 + 0{,}25 = 1{,}5$.
2 contra 1,5. A reta ajustada erra mais no primeiro ponto e menos no último, e o total fica menor.
médio
Mostre que a reta de mínimos quadrados passa pelo ponto das médias $(\bar{x}, \bar{y})$. Qual é esse ponto nos dados do CO₂?

Ver resolução
Com $b = \bar{y} - a\,\bar{x}$, a reta em $x = \bar{x}$ vale $a\,\bar{x} + \bar{y} - a\,\bar{x} = \bar{y}$.
Os anos de 2010 a 2025 têm média 2017,5, e os dezesseis valores têm média de cerca de 407,89 ppm.
A reta passa por $(2017{,}5;\ 407{,}89)$, aproximadamente.
médio
Na mesma série da NOAA, a média de 1980 foi 338,76 ppm e a de 1989 foi 353,20 ppm. Qual foi a taxa média nesse intervalo, e o que a comparação com 2,49 ppm por ano sugere?

Ver resolução
$\dfrac{353{,}20 - 338{,}76}{9}$ $= \dfrac{14{,}44}{9} \approx 1{,}60$.
Cerca de 1,6 ppm por ano. O crescimento parece ter acelerado, e uma reta única de 1980 a 2025 provavelmente subestimaria os anos recentes e superestimaria os antigos.
médio
Use a reta $y = 389{,}24 + 2{,}49\,t$ para estimar o CO₂ de 1980, com $t = -30$, e compare com os 338,76 ppm medidos. O que isso diz sobre prolongar uma reta para longe dos dados?

Ver resolução
$389{,}24 - 2{,}49 \times 30$ $= 389{,}24 - 74{,}70 = 314{,}54$.
A estimativa fica cerca de 24 ppm abaixo do valor medido.
Fora do intervalo dos dados, a reta descreve só a hipótese de que o ritmo foi sempre o mesmo, e aqui a hipótese falha. Extrapolar exige uma razão para acreditar que a tendência se mantém.
desafio
Mostre que, para qualquer reta que passa por $(\bar{x}, \bar{y})$, a soma dos resíduos, sem elevar ao quadrado, é zero. Por que então não escolhemos a reta pela soma dos resíduos?

Ver resolução
$\sum (y_i - a x_i - b)$ $= n\bar{y} - a\,n\bar{x} - nb$, que zera quando $b = \bar{y} - a\,\bar{x}$, qualquer que seja $a$.
A soma dos resíduos vale zero para toda reta que passa pelo ponto das médias, inclusive para retas muito ruins, e não distingue uma da outra. Os quadrados não se cancelam, e só a reta ajustada torna a soma deles mínima.
desafio
Ache a reta de mínimos quadrados dos pontos $(0, 0)$, $(1, 1)$ e $(2, 1)$ e compare a soma dos quadrados dos resíduos com a da reta que liga o primeiro ao último ponto.

Ver resolução
$\bar{x} = 1$, $\bar{y} = \tfrac{2}{3}$ e $a = \dfrac{(-1)(-\tfrac{2}{3}) + 0 + (1)(\tfrac{1}{3})}{2}$ $= \dfrac{1}{2}$, com $b = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{6}$.
A reta dá $\tfrac{1}{6}$, $\tfrac{2}{3}$ e $\tfrac{7}{6}$, resíduos $-\tfrac{1}{6}$, $\tfrac{1}{3}$ e $-\tfrac{1}{6}$, e soma $\tfrac{1}{36} + \tfrac{4}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{1}{6}$.
A reta $y = 0{,}5x$ passa pelas pontas e erra só o ponto do meio, por 0,5, com soma 0,25.
$y = 0{,}5x + \tfrac{1}{6}$, com soma $\tfrac{1}{6} \approx 0{,}17$, menor que 0,25. A reta ajustada sobe um pouco para dividir o erro entre os três pontos.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 1 e 3 · Tabela e reta

Uma copiadora ilustrativa cobrou R$ 27,50 por 50 cópias, R$ 48,50 por 120 e R$ 72,50 por 200. Os preços seguem uma função afim? Se seguirem, quanto custa cada cópia, qual é a taxa fixa, e quanto custam 500 cópias?

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As quantidades não estão igualmente espaçadas, e comparamos as taxas. $\dfrac{48{,}50 - 27{,}50}{120 - 50} = \dfrac{21}{70} = 0{,}30$ e $\dfrac{72{,}50 - 48{,}50}{200 - 120} = \dfrac{24}{80} = 0{,}30$.
A taxa é a mesma, e os três preços estão sobre uma reta com R$ 0,30 por cópia. A taxa fixa é $27{,}50 - 50 \times 0{,}30 = 12{,}50$.
Com $P(n) = 0{,}30\,n + 12{,}50$, 500 cópias custam $150 + 12{,}50 = 162{,}50$ reais, supondo que a copiadora não dê desconto para pedidos grandes.

Passos 3 e 5 · Duas contas e o equilíbrio

No plano X de celular, ilustrativo, as contas foram de R$ 49 com 2 GB extras e R$ 64 com 5 GB. No plano Y, de R$ 63 com 3 GB e R$ 75 com 7 GB. A partir de quantos GB extras o plano Y compensa?

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No X, $a = 15/3 = 5$ e $b = 49 - 10 = 39$, e a conta é $39 + 5g$.
No Y, $a = 12/4 = 3$ e $b = 63 - 9 = 54$, e a conta é $54 + 3g$.
$39 + 5g = 54 + 3g$ dá $g = 7{,}5$, com as duas contas em R$ 76,50. Acima de 7,5 GB extras o Y sai mais barato, e abaixo, o X.

Passos 5 e 7 · Orçamento

Na academia do passo 5, com aula avulsa a R$ 15 e mensalidade de R$ 120, uma pessoa tem R$ 100 por mês. Quantas aulas ela pode fazer? E quem tem um orçamento folgado, a partir de quantas aulas deve preferir a mensalidade?

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A mensalidade passa do orçamento. Pagando avulsas, $15n \le 100$ dá $n \le 6{,}67$, e cabem 6 aulas.
Sem limite de orçamento, a mensalidade compensa quando $120 < 15n$, isto é, $n > 8$. Com exatamente 8 aulas as duas opções empatam em R$ 120, e a partir de 9 a mensalidade sai mais barata.

Passos 6 e 7 · Sinal e inequação

Para que valores de $x$ a reta $f(x) = -3x + 12$ fica acima da reta $g(x) = x - 4$? Resolva de dois jeitos, pela inequação e pelo sinal de $f - g$.

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Pela inequação, $-3x + 12 > x - 4$ dá $16 > 4x$, e $x < 4$.
Pelo sinal, $f(x) - g(x) = -4x + 16$ tem zero em 4 e $a = -4 < 0$, e é positiva antes do zero.
Os dois caminhos dão $]{-}\infty; 4[$. Em $x = 4$ as retas se cruzam, as duas valendo 0.

Passos 4 e 8 · Proporcionalidade e tendência

O CO₂ de Mauna Loa subiu 37,25 ppm de 2010 a 2025, de 390,10 para 427,35 ppm. Um colega conclui que, dobrando o tempo, a concentração dobra, e que em 2040 ela estaria perto de 855 ppm. Onde está o erro, e o que uma tendência linear sugere para 2040?

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A concentração não é proporcional ao tempo. Ela é aproximadamente afim, com uma parte "fixa" de cerca de 390 ppm em 2010, e o que cresce perto do proporcional é o aumento desde 2010.
Em 30 anos, no mesmo ritmo, o aumento seria cerca de $2 \times 37{,}25 = 74{,}5$ ppm, e a concentração chegaria a uns $390{,}10 + 74{,}5 \approx 464{,}6$ ppm.
Mesmo esse número supõe que a taxa dos últimos quinze anos continue até 2040, uma hipótese que a própria série põe em dúvida, já que a taxa cresceu de uma década para a outra.

Passos 1 e 5 · Táxi parado no trânsito

O táxi de São Paulo também cobra R$ 55,50 por hora parado ou abaixo de 15 km/h. Quanto custa uma corrida de 8 km com 12 minutos parados? E quantos minutos parados fazem uma corrida de 5 km custar o mesmo que uma de 8 km sem paradas?

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12 minutos são 0,2 hora, e a corrida custa $6{,}55 + 8 \times 4{,}80 + 0{,}2 \times 55{,}50$ $= 6{,}55 + 38{,}40 + 11{,}10 = 56{,}05$ reais.
Sem paradas, 8 km custam R$ 44,95 e 5 km custam R$ 30,55. A diferença de R$ 14,40 precisa vir da hora parada, $55{,}50\,h = 14{,}40$, e $h \approx 0{,}26$ hora, cerca de 16 minutos.
O preço depende agora da distância e do tempo parado. Fixado um dos dois, ele é afim no outro. O taxímetro troca de regra conforme a velocidade, como as funções por partes da aula de Funções.

Passos 1, 5 e 6 · Duas velas

Uma vela de 30 cm, queimando a taxa constante, mede 26 cm depois de 2 horas. Outra, de 20 cm, perde 1 cm por hora. As duas foram acesas juntas. Quando elas têm a mesma altura, e qual delas acaba primeiro?

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A primeira perde $4/2 = 2$ cm por hora, e as alturas são $30 - 2t$ e $20 - t$.
$30 - 2t = 20 - t$ dá $t = 10$, com as duas em 10 cm.
Os zeros são $t = 15$ e $t = 20$. A vela maior acaba primeiro, porque queima no dobro do ritmo, e depois de 10 horas ela fica sempre abaixo da outra.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre função afim, conferidas nos cadernos do INEP.

Taxa constante · Passo 1
Um técnico acompanhou o enchimento de uma caixa-d'água que já tinha alguma água no começo. Com o registro aberto e a mesma vazão o tempo todo, ele anotou o volume na caixa em alguns instantes.

Tempo (min) 0 5 10 20

Volume (L) 200 350 500 800

Mantida a vazão, a expressão que dá o volume $V$, em litros, depois de $t$ minutos é
1. $V = 30t$
2. $V = 200 + 30t$
3. $V = 200 + 150t$
4. $V = 350t$
5. $V = 200t + 30$
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Resposta: B.
Os intervalos da tabela não são iguais, e comparamos as taxas. De 0 a 5 min, $150/5 = 30$. De 5 a 10, também 30. De 10 a 20, $300/10 = 30$. A caixa ganha 30 litros por minuto, e em $t = 0$ já tinha 200 litros.
A A esquece a água que já estava na caixa, e a C usa como taxa o aumento de 5 minutos, 150 litros, no lugar do aumento por minuto. A D toma o volume em 5 minutos como se fosse por minuto, e a E troca os papéis dos dois coeficientes.
Reta por dois pontos · Passo 3
A conta de gás encanado de um prédio, num exemplo ilustrativo, tem um valor fixo mensal e um preço por metro cúbico consumido. Em março, o consumo foi de 12 m³ e a conta veio em R$ 95,40. Em abril, o consumo foi de 20 m³ e a conta veio em R$ 143,00.

Mantida a tarifa, quanto será a conta de um mês com consumo de 15 m³?
1. R$ 89,25
2. R$ 107,25
3. R$ 113,25
4. R$ 116,85
5. R$ 119,25
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Resposta: C.
Os 8 m³ a mais de abril custaram $143{,}00 - 95{,}40 = 47{,}60$, e o metro cúbico custa $47{,}60/8 = 5{,}95$. O valor fixo é $95{,}40 - 12 \times 5{,}95 = 24{,}00$.
Com 15 m³, $24{,}00 + 15 \times 5{,}95$ $= 24{,}00 + 89{,}25 = 113{,}25$.
A A esquece o valor fixo. A B e a E aplicam a regra de três às contas de abril e de março, como se o preço fosse proporcional ao consumo, e erram por causa da parte fixa. A D soma à conta de março os 3 m³ a mais pelo preço médio de abril, R$ 7,15, que já embute uma fatia do valor fixo.
Ponto de equilíbrio · Passo 5
Uma família vai trocar a geladeira e ficou entre dois modelos. O modelo A custa R$ 3.000 e, pela etiqueta de eficiência, deve acrescentar R$ 45 por mês à conta de luz. O modelo B custa R$ 3.900 e deve acrescentar R$ 30 por mês. Os valores são ilustrativos, e a família supõe que a tarifa de energia não mude.

Somando o preço da compra e o gasto com energia, qual é o número mínimo de meses de uso para que o modelo B fique estritamente mais barato que o A?
1. 20 meses
2. 30 meses
3. 60 meses
4. 61 meses
5. 90 meses
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Resposta: D.
Os custos acumulados são $3000 + 45m$ e $3900 + 30m$, duas retas que se cruzam quando $15m = 900$, em $m = 60$. Em 60 meses os dois custos empatam em R$ 5.700, e a partir de 61 meses a reta de B, menos inclinada, já está abaixo da de A.
A A divide os R$ 900 de diferença pelo gasto mensal de A, e a B pelo de B, quando a economia por mês é a diferença entre os dois, R$ 15. A C para no empate, em que B ainda não é mais barato, e a E não sai de nenhuma conta com esses dados.
Sessenta e um meses são pouco mais de cinco anos. Uma geladeira costuma durar mais que isso, e a escolha de B parece razoável, desde que a estimativa da etiqueta se confirme no uso.
Inequação · Passo 7
Um motorista de aplicativo, num exemplo ilustrativo, recebe R$ 1,80 por quilômetro rodado com passageiro e gasta R$ 0,65 por quilômetro com combustível e manutenção. Ele também paga R$ 75 por dia pelo aluguel do carro. A meta dele é um lucro diário de pelo menos R$ 155.

Qual é o menor número de quilômetros com passageiro que ele precisa rodar por dia para atingir a meta?
1. 65 km
2. 128 km
3. 135 km
4. 200 km
5. 354 km
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Resposta: D.
Cada quilômetro deixa $1{,}80 - 0{,}65 = 1{,}15$ real, e o lucro do dia é $L(k) = 1{,}15k - 75$. A meta é $1{,}15k - 75 \ge 155$, que dá $1{,}15k \ge 230$ e $k \ge 200$.
A A só paga o aluguel, $75/1{,}15$. A B divide os R$ 230 pelo valor bruto de R$ 1,80, esquecendo os gastos por quilômetro, e a C esquece o aluguel, $155/1{,}15$. A E divide os R$ 230 pelo gasto por quilômetro.
O modelo conta só os quilômetros com passageiro. Os trechos vazios, entre uma corrida e outra, provavelmente aumentam os gastos e empurram a meta para mais longe.
Reta para dados · Passo 8
Um relatório sobre o clima resumiu a concentração média anual de CO₂ medida em Mauna Loa, no Havaí, pela reta arredondada $C = 390 + 2{,}5t$, em partes por milhão (ppm), com $t$ em anos contados a partir de 2010. Os autores usaram a reta para estimar quando a concentração chegaria a 450 ppm, supondo que a tendência dos últimos anos continue.

Por essa reta, o ano em que a concentração chega a 450 ppm é
1. 2024
2. 2030
3. 2034
4. 2040
5. 2060
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Resposta: C.
$390 + 2{,}5t = 450$ dá $2{,}5t = 60$ e $t = 24$, e assim $2010 + 24 = 2034$.
A A usa $t = 24$ como se $t$ contasse a partir de 2000. A B supõe um aumento de 3 ppm por ano, e a D de 2 ppm por ano. A E supõe um aumento de 1,2 ppm por ano, o que levaria 50 anos.
A resposta vale só para a reta. A série real tem acelerado de uma década para a outra, e é possível que os 450 ppm cheguem antes de 2034.

Tempo (min)	0	5	10	20
Volume (L)	200	350	500	800

Questões reais do ENEM sobre este tema

Conferimos cada questão no caderno azul do 2º dia, no site do INEP, onde ficam as provas e os gabaritos oficiais.

ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 162. As vendas de dois setores de uma loja variam de modo linear nos vinte primeiros dias do mês, e, mantida a tendência, precisamos estimar quanto falta para a meta no fim do mês.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 162. O preço do concreto bombeado tem uma taxa fixa de bombeamento e uma parte que depende do volume, e precisamos escolher a expressão afim que dá o preço.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 167. A compra de papel de uma escola é proporcional ao número de alunos, e com o orçamento limitado precisamos achar o desconto necessário.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 156. Um aplicativo de transporte cobra um valor fixo, um valor por minuto e um valor por quilômetro, e precisamos reconhecer a expressão do preço da viagem.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 176. As receitas anuais de uma indústria aparecem num gráfico com a reta de tendência, e usamos a reta para estimar a receita de um ano futuro.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 177. O custo de produzir mochilas tem uma parte fixa e uma parte proporcional à quantidade, e a partir de uma tabela precisamos calcular o custo de outra encomenda.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Função afim$f(x) = ax + b$, com gráfico reto

Taxa de variação$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a$ em qualquer trecho

Coeficiente linear$b = f(0)$, o corte no eixo $y$

Crescimento$a > 0$ cresce, $a < 0$ decresce, $a = 0$ é constante

Reta por dois pontos$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, $b = y_1 - a\,x_1$

Proporcionalidade direta$y = kx$: a afim com $b = 0$, $y/x = k$

Ponto de equilíbrio$x = \dfrac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$, com $a_1 \ne a_2$

Zero$x_0 = -\dfrac{b}{a}$, com $a \ne 0$

Sinal com $a > 0$negativa antes de $x_0$ e positiva depois; com $a < 0$, ao contrário

Inequaçãodividir por um número negativo inverte o sentido

Mínimos quadrados$a = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$, $b = \bar{y} - a\,\bar{x}$

Extrapolaçãoprolongar a reta supõe que a tendência continua