Matemática · Ensino Médio · Sequências

Sequências

As cadeiras de um teatro que ganha duas a mais a cada fila, a atividade de um remédio radioativo que cai à metade a cada oito dias e os grãos de trigo que dobram de casa em casa num tabuleiro de xadrez formam listas de números com uma regra por trás. Chamamos essas listas de sequências. Duas delas aparecem em toda parte, a progressão aritmética, que soma sempre o mesmo número, e a progressão geométrica, que multiplica sempre pelo mesmo número, e vamos tratá-las como funções que só aceitam números naturais como entrada.

1O que é uma sequência
2Progressão aritmética
3Soma da PA
4Progressão geométrica
5PA ou PG
6Soma da PG
7PG infinita
✓Desafios

PASSO 1

O que faz de uma lista de números uma sequência?

Uma sequência é uma lista ordenada de números em que cada um ocupa um lugar, primeiro, segundo, terceiro e assim por diante. Escrevemos $a_1$ para o primeiro termo, $a_2$ para o segundo e $a_n$ para o termo que ocupa a posição $n$, que chamamos de termo geral.

Uma sequência é uma função cujo domínio é $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}$, ou o pedaço $\{1, 2, \dots, k\}$ quando a lista para no termo $k$. A entrada é a posição $n$, a saída é o termo $a_n$, e a notação $a_n$ faz o papel do $f(n)$ da aula de Funções. O gráfico é feito de pontos isolados, um acima de cada natural, e não faz sentido ligá-los, porque entre a posição 2 e a posição 3 não existe termo nenhum.

Há dois jeitos de dar uma sequência. A lei de formação calcula $a_n$ direto a partir de $n$, como $a_n = 2n - 1$ nos ímpares. A recorrência tira cada termo dos anteriores e precisa dos primeiros para começar, como $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = a_n + 2$. A sequência de Fibonacci, em que cada termo é a soma dos dois anteriores, costuma ser dada só pela recorrência, porque a sua fórmula fechada está longe de ser óbvia.

$a: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$$n \mapsto a_n$A sequência leva cada posição $n$ ao termo $a_n$. Uma sequência finita com $k$ termos tem domínio $\{1, 2, \dots, k\}$.

Para conversar

Escolha os ímpares e compare a lei de formação com a recorrência, que aparecem sob o gráfico. Para achar o 50º ímpar, qual das duas dá menos trabalho?
Nos quadrados, leve $n$ de 2 a 12 e acompanhe a diferença entre um termo e o anterior. Que sequência essas diferenças formam?
Em Fibonacci, acompanhe a razão entre um termo e o anterior enquanto $n$ cresce. Ela parece se aproximar de algum número?
Compare os gráficos de $1/n$ e de $(-1)^n$. Uma das sequências chega cada vez mais perto de um valor, e a outra não sai do lugar entre dois. Por que a bancada não liga os pontos com uma curva?

Posição n

Termo aₙ

aₙ − aₙ₋₁

aₙ ÷ aₙ₋₁

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Escreva os cinco primeiros termos da sequência $a_n = 3n + 2$.

Ver resolução
Trocamos $n$ por 1, 2, 3, 4 e 5.
$a_1 = 5$, $a_2 = 8$, $a_3 = 11$, $a_4 = 14$ e $a_5 = 17$.
5, 8, 11, 14, 17. Cada termo tem 3 a mais que o anterior.
básico
Na sequência $a_n = n^2 - 1$, calcule $a_1$, $a_4$ e $a_{10}$.

Ver resolução
$a_1 = 1 - 1 = 0$, $a_4 = 16 - 1 = 15$ e $a_{10} = 100 - 1 = 99$.
0, 15 e 99.
básico
Uma sequência tem $a_1 = 2$ e $a_{n+1} = 3a_n$. Escreva os quatro primeiros termos.

Ver resolução
A recorrência manda multiplicar o termo anterior por 3.
$a_2 = 3 \cdot 2 = 6$, $a_3 = 3 \cdot 6 = 18$ e $a_4 = 3 \cdot 18 = 54$.
2, 6, 18, 54.
básico
Os números 1, 4, 9, 16, 25 são os primeiros termos de que sequência? Qual é o próximo termo, e qual é o 20º?

Ver resolução
São os quadrados dos naturais, $a_n = n^2$.
O próximo é $a_6 = 36$, e o 20º é $a_{20} = 400$.
A sequência dos quadrados; 36 e 400.
médio
Uma fileira de quadrados feita com palitos de fósforo usa 4 palitos para um quadrado, 7 para dois quadrados e 10 para três, porque quadrados vizinhos dividem um lado. Escreva a lei de formação e diga quantos palitos são precisos para 30 quadrados.

Ver resolução
O primeiro quadrado pede 4 palitos, e cada quadrado novo pede só 3, porque aproveita um lado do anterior.
Com $n$ quadrados, $a_n = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1$. Conferindo, $a_2 = 7$ e $a_3 = 10$.
$a_n = 3n + 1$, e 30 quadrados pedem $a_{30} = 91$ palitos.
médio
Encontre uma lei de formação para $2, 4, 6, 8, \dots$ e outra para $\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{4}{5}, \dots$

Ver resolução
Na primeira, o termo é o dobro da posição, $a_n = 2n$.
Na segunda, o numerador é a posição e o denominador é a posição mais um, $b_n = \dfrac{n}{n + 1}$. Conferindo, $b_1 = \tfrac{1}{2}$ e $b_4 = \tfrac{4}{5}$.
$a_n = 2n$ e $b_n = \dfrac{n}{n + 1}$. Outras leis podem dar os mesmos primeiros termos, e a lista sozinha não decide qual é a "certa".
médio
Na sequência de Fibonacci, com $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$, quantos dos 12 primeiros termos são pares? Que padrão aparece, e por quê?

Ver resolução
Os 12 primeiros termos são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e 144.
Os pares são 2, 8, 34 e 144, nas posições 3, 6, 9 e 12.
Depois de dois ímpares vem um par, porque ímpar mais ímpar dá par. Depois vêm dois ímpares, porque ímpar mais par e par mais ímpar dão ímpar, e o ciclo recomeça.
Quatro termos pares, um a cada três posições, e o padrão ímpar, ímpar, par se repete para sempre.
médio
Escreva os seis primeiros termos de $a_n = (-1)^n \cdot n$ e calcule a soma dos oito primeiros.

Ver resolução
Com $n$ ímpar o sinal é negativo, e com $n$ par é positivo, o que dá $-1, 2, -3, 4, -5, 6$.
Somando aos pares, $(-1 + 2) + (-3 + 4)$ $+ (-5 + 6) + (-7 + 8)$, cada par dá 1.
$-1, 2, -3, 4, -5, 6$, e a soma dos oito primeiros é 4.
desafio
Os números triangulares, $T_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$, contam as bolinhas de um triângulo com $n$ bolinhas na base. Mostre que a soma de dois triangulares vizinhos, $T_n + T_{n+1}$, é sempre um quadrado perfeito, e dê uma leitura em figura.

Ver resolução
$T_n + T_{n+1}$ $= \dfrac{n(n + 1)}{2} + \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}$ $= \dfrac{(n + 1)(2n + 2)}{2}$ $= (n + 1)^2$.
Para $n = 3$, $6 + 10 = 16 = 4^2$.
Na figura, um quadrado de $n + 1$ bolinhas de lado se divide pela diagonal num triângulo com $n + 1$ bolinhas na base, que inclui a diagonal, e noutro com $n$.
$T_n + T_{n+1} = (n + 1)^2$ para todo $n$.
desafio
Uma sequência tem $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \dfrac{1}{1 + a_n}$. Calcule os cinco primeiros termos e reconheça neles a sequência de Fibonacci. Supondo que os termos se aproximem de um número $L$, quanto ele vale?

Ver resolução
$a_2 = \tfrac{1}{2}$, $a_3$ $= \dfrac{1}{1 + 1/2}$ $= \tfrac{2}{3}$, $a_4$ $= \dfrac{1}{1 + 2/3}$ $= \tfrac{3}{5}$ e $a_5$ $= \dfrac{1}{1 + 3/5}$ $= \tfrac{5}{8}$.
Numeradores e denominadores são termos vizinhos de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8.
Se os termos se aproximam de $L$, a recorrência pede $L = \dfrac{1}{1 + L}$, isto é, $L^2 + L - 1 = 0$, e como os termos são positivos, $L = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, e $L \approx 0{,}618$. É o inverso do número que a razão de Fibonacci da bancada parece buscar, perto de 1,618.

PASSO 2

Que sequências andam sempre o mesmo tanto?

Na progressão aritmética, ou PA, cada termo é o anterior mais um número fixo $r$, a razão. Os anos da Copa do Mundo de futebol desde 1950, que são 1950, 1954, 1958 e assim por diante, formam uma PA de razão 4, e uma contagem regressiva de dez em dez forma uma PA de razão −10. Com $r > 0$ a PA cresce, com $r < 0$ ela decresce, e com $r = 0$ os termos são todos iguais.

Para ir do primeiro termo ao de posição $n$, somamos a razão $n - 1$ vezes, que é o número de passos entre as posições 1 e $n$. Daí sai o termo geral $a_n = a_1 + (n - 1)\,r$. O mesmo raciocínio liga dois termos quaisquer, $a_n = a_m + (n - m)\,r$, e permite achar a razão a partir de dois termos que não sejam vizinhos.

Reescrito como $a_n = r\,n + (a_1 - r)$, o termo geral é uma função afim calculada só nos naturais. Os pontos da PA ficam todos sobre uma reta de inclinação $r$, e a razão é a taxa de variação média da aula de Funções, que numa PA vale o mesmo entre dois termos quaisquer. Cada termo também é a média aritmética dos seus dois vizinhos, o que explica o nome da progressão.

$a_n = a_1 + (n - 1)\,r$$a_n = a_m + (n - m)\,r$A razão é $r = a_{n+1} - a_n$, a mesma para todo $n$. A PA é a função afim $f(x) = r\,x + (a_1 - r)$ calculada em $x = 1, 2, 3, \dots$, e cada termo é a média dos vizinhos, $a_n = \tfrac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$.

Para conversar

Com $a_1 = 3$ e $r = 2$, leve $n$ até 10 e confira a conta que aparece sob o gráfico. Quantas vezes a razão foi somada, e por que não foram dez?
Ponha $a_1 = 8$ e $r = -1{,}5$. Antes de mexer em $n$, preveja em que posição aparece o primeiro termo negativo, e depois confira.
Com $r = 0$, que reta a bancada desenha, e que função afim ela representa?
Mude só $a_1$, sem tocar na razão. O que acontece com a reta tracejada, e o que nela fica igual?

Primeiro termo a₁

Razão r

Posição n

Termo aₙ

Função afim

A PA

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a razão da PA $7, 11, 15, \dots$, e qual é o seu 20º termo?

Ver resolução
$r = 11 - 7 = 4$.
$a_{20}$ $= 7 + 19 \cdot 4$ $= 7 + 76$ $= 83$.
Razão 4 e $a_{20} = 83$.
básico
Escreva o termo geral da PA $50, 47, 44, \dots$ e calcule $a_{12}$.

Ver resolução
A razão é $47 - 50 = -3$.
$a_n = 50 + (n - 1)(-3)$ $= 53 - 3n$, e $a_{12} = 53 - 36 = 17$.
$a_n = 53 - 3n$ e $a_{12} = 17$.
básico
A Copa do Mundo de futebol masculino acontece de quatro em quatro anos desde 1950. Contando a Copa de 1950 como primeiro termo, em que ano foi o 10º termo dessa PA?

Ver resolução
$a_{10}$ $= 1950 + 9 \cdot 4$ $= 1950 + 36$ $= 1986$.
1986, o ano da Copa do México.
básico
Numa PA, $a_3 = 10$ e $a_7 = 22$. Quais são a razão e o primeiro termo?

Ver resolução
Da posição 3 à posição 7 são quatro passos, $a_7 = a_3 + 4r$, e assim $22 = 10 + 4r$, o que dá $r = 3$.
Voltando dois passos a partir de $a_3$, $a_1 = 10 - 2 \cdot 3 = 4$.
$r = 3$ e $a_1 = 4$.
médio
Uma estrada vai receber postes, o primeiro a 80 m da praça, o segundo a 100 m, o terceiro a 120 m, e assim por diante, sempre a 20 m um do outro, até o último, a 1380 m da praça. Quantos postes serão colocados?

Ver resolução
As distâncias formam uma PA com $a_1 = 80$ e $r = 20$.
$80 + (n - 1) \cdot 20 = 1380$ dá $(n - 1) \cdot 20 = 1300$, e $n - 1 = 65$.
66 postes. É o começo de uma questão do ENEM de 2018 que aparece na lista do fim da aula.
médio
Quantos múltiplos de 7 há entre 100 e 1000?

Ver resolução
O primeiro múltiplo de 7 acima de 100 é $105 = 7 \cdot 15$, e o último abaixo de 1000 é $994 = 7 \cdot 142$.
Eles formam uma PA de razão 7, de $7 \cdot 15$ a $7 \cdot 142$, e há $142 - 15 + 1$ termos.
128 múltiplos.
médio
Insira quatro números entre 3 e 23 de modo que os seis formem uma PA.

Ver resolução
Com 3 em primeiro e 23 em sexto, $a_6 = a_1 + 5r$, e assim $23 = 3 + 5r$, o que dá $r = 4$.
3, 7, 11, 15, 19, 23.
médio
Três números em PA somam 24 e têm produto 440. Quais são eles?

Ver resolução
Escrevendo os três como $x - r$, $x$ e $x + r$, a soma é $3x = 24$, e $x = 8$.
O produto é $(8 - r) \cdot 8 \cdot (8 + r)$ $= 8\,(64 - r^2)$ $= 440$, o que dá $64 - r^2 = 55$ e $r = \pm 3$.
5, 8 e 11, em ordem crescente ou decrescente.
desafio
Seja $(a_n)$ uma PA de razão $r$. Mostre que $b_n = a_{2n}$ e $c_n = 3a_n + 1$ também são PAs, e dê as razões.

Ver resolução
$b_{n+1} - b_n$ $= a_{2n+2} - a_{2n}$ $= 2r$, porque entre as posições $2n$ e $2n + 2$ há dois passos.
$c_{n+1} - c_n$ $= (3a_{n+1} + 1) - (3a_n + 1)$ $= 3\,(a_{n+1} - a_n)$ $= 3r$.
As duas diferenças não dependem de $n$.
As duas são PAs, $(b_n)$ com razão $2r$ e $(c_n)$ com razão $3r$. Na linguagem das funções, uma afim composta com outra afim continua afim.
desafio
Na PA com $a_1 = 2$ e $r = 3$, o número 2026 aparece? Qual é o maior termo menor que 2026?

Ver resolução
$a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$. Para $3n - 1 = 2026$ seria preciso $n = 2027/3 \approx 675{,}7$, que não é natural.
Os termos deixam resto 2 na divisão por 3, e 2026 deixa resto 1.
O maior $n$ com $3n - 1 < 2026$ é $n = 675$, e $a_{675} = 2024$.
2026 não está na PA, e o maior termo abaixo dele é 2024, na posição 675.

PASSO 3

Como somar uma PA sem somar termo a termo?

Conta-se que Carl Friedrich Gauss, ainda menino, somou os números de 1 a 100 em poucos instantes, juntando o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante. Cada par dá 101, e há 50 pares, o que leva a 5050. A história talvez tenha crescido ao ser recontada, e a ideia por trás dela vale para qualquer PA.

Numa PA, dois termos à mesma distância das pontas têm sempre a mesma soma, $a_k + a_{n+1-k} = a_1 + a_n$, porque um deles ganha $k - 1$ razões e o outro perde as mesmas $k - 1$. Escrevemos a soma duas vezes, uma na ordem direta e outra na ordem invertida, e somamos coluna a coluna. Ficam $n$ colunas iguais a $a_1 + a_n$, e $2S_n = n\,(a_1 + a_n)$. Na bancada, cada termo é uma coluna, e a cópia invertida desce e completa um retângulo de base $n$ e altura $a_1 + a_n$, do qual a soma é a metade.

A soma dos primeiros ímpares é um caso que aparece na Física. Galileu observou que um corpo que cai a partir do repouso percorre, em intervalos de tempo iguais e sucessivos, distâncias na proporção 1, 3, 5, 7, como mostra a aula de Cinemática. A soma dos $n$ primeiros ímpares é $n^2$, e a distância total depois de $n$ intervalos cresce com o quadrado do tempo.

$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$Com $a_n = a_1 + (n - 1)\,r$, a soma também se escreve $S_n = n\,a_1 + \dfrac{n(n - 1)}{2}\,r$, uma função quadrática de $n$.

Para conversar

Com $a_1 = 1$, $r = 1$ e $n = 10$, encaixe a cópia invertida. Qual é a altura de cada coluna do retângulo, e quanto vale a soma?
Use o atalho dos ímpares e mude $n$. Por que a soma dá sempre um quadrado perfeito, e o que o retângulo tem a ver com isso?
Ponha $r = 0$. Que figura sobra, e que conta mais curta dá a mesma soma?
Dobre $n$ sem mexer em $a_1$ nem em $r$. A soma dobra junto? O que a fórmula diz sobre isso?

Primeiro termo a₁

Razão r

Número de termos n

Soma Sₙ

a₁ + aₙ

Retângulo n × (a₁ + aₙ)

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ pela fórmula da soma da PA.

Ver resolução
É uma PA com $a_1 = 1$, $a_{100} = 100$ e $n = 100$.
$S_{100}$ $= \dfrac{(1 + 100) \cdot 100}{2}$ $= 5050$.
5050, a conta atribuída a Gauss.
básico
Qual é a soma dos 20 primeiros termos da PA $3, 7, 11, \dots$?

Ver resolução
$r = 4$ e $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$.
$S_{20}$ $= \dfrac{(3 + 79) \cdot 20}{2}$ $= 82 \cdot 10$ $= 820$.
820.
básico
Quanto vale a soma dos 15 primeiros números ímpares?

Ver resolução
O 15º ímpar é $2 \cdot 15 - 1 = 29$, e $S_{15}$ $= \dfrac{(1 + 29) \cdot 15}{2}$ $= 225$.
A regra dos ímpares dá o mesmo, $15^2 = 225$.
225.
básico
Um teatro tem 12 filas. A primeira tem 20 cadeiras, e cada fila tem 2 cadeiras a mais que a anterior. Quantas cadeiras há no teatro?

Ver resolução
A última fila tem $a_{12} = 20 + 11 \cdot 2 = 42$ cadeiras.
$S_{12}$ $= \dfrac{(20 + 42) \cdot 12}{2}$ $= 62 \cdot 6$ $= 372$.
372 cadeiras.
médio
Quanto vale a soma dos múltiplos de 3 entre 1 e 100?

Ver resolução
Os múltiplos vão de 3 a 99, uma PA de razão 3 com $99/3 = 33$ termos.
$S_{33}$ $= \dfrac{(3 + 99) \cdot 33}{2}$ $= 51 \cdot 33$ $= 1683$.
1683.
médio
Uma pessoa começa a correr com 300 m no primeiro dia e acrescenta 200 m a cada dia. Em quantos dias ela terá corrido, somando todos os dias, pelo menos 10 km?

Ver resolução
A distância do dia $n$ é $a_n$ $= 300 + 200(n - 1)$ $= 200n + 100$, em metros.
$S_n$ $= \dfrac{(300 + 200n + 100)\,n}{2}$ $= 100n^2 + 200n$.
$S_9 = 8100 + 1800 = 9900$, ainda abaixo de 10.000, e $S_{10} = 10.000 + 2000 = 12.000$.
No 10º dia ela passa dos 10 km, com 12 km ao todo.
médio
A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é $S_n = n^2 + 2n$, para todo $n$. Encontre o primeiro termo e a razão.

Ver resolução
O primeiro termo é a soma de um termo só, $a_1 = S_1 = 3$.
O segundo é o que a soma ganha ao passar de 1 para 2 termos, $a_2 = S_2 - S_1 = 8 - 3 = 5$.
$a_1 = 3$ e $r = 2$, e assim $a_n = 2n + 1$.
médio
Uma pedra solta do repouso cai cerca de 5 m no primeiro segundo, 15 m no segundo, 25 m no terceiro, e assim por diante, desprezando a resistência do ar. Quanto ela cai, ao todo, em 6 segundos?

Ver resolução
As distâncias são $5 \cdot 1$, $5 \cdot 3$, $5 \cdot 5$, …, uma PA de razão 10 que é 5 vezes a dos ímpares.
Em 6 segundos, $5\,(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11)$ $= 5 \cdot 36$ $= 180$.
Cerca de 180 m, que é $5 \cdot 6^2$, a fórmula $h = 5t^2$ da queda livre com $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
desafio
Mostre que a soma de uma PA tem sempre a forma $S_n = A n^2 + B n$, sem termo independente. Ao contrário, se $S_n = A n^2 + B n$ para todo $n$, os termos formam uma PA? Qual é a razão?

Ver resolução
De $S_n$ $= n\,a_1 + \dfrac{n(n - 1)}{2}\,r$ vem $S_n$ $= \dfrac{r}{2}\,n^2 + \Big(a_1 - \dfrac{r}{2}\Big)\,n$, com $A = \tfrac{r}{2}$ e $B = a_1 - \tfrac{r}{2}$.
Na volta, $a_1 = S_1 = A + B$ e, para $n \ge 2$, $a_n$ $= S_n - S_{n-1}$ $= A\,(2n - 1) + B$.
A diferença $a_{n+1} - a_n = 2A$ não depende de $n$, e a fórmula de $a_n$ também vale em $n = 1$.
Sim, é uma PA, com razão $2A$ e primeiro termo $A + B$.
desafio
Quantos termos da PA $30, 27, 24, \dots$ precisamos somar para obter 165? Por que aparecem duas respostas?

Ver resolução
$a_n = 33 - 3n$, e $S_n$ $= \dfrac{(30 + 33 - 3n)\,n}{2}$ $= \dfrac{(63 - 3n)\,n}{2}$.
$S_n = 165$ dá $3n^2 - 63n + 330 = 0$, ou $n^2 - 21n + 110 = 0$, com raízes $n = 10$ e $n = 11$.
O 11º termo é $a_{11} = 33 - 33 = 0$, e somá-lo não muda nada.
10 ou 11 termos. As duas respostas valem porque o 11º termo é zero.

PASSO 4

E quando cada termo multiplica o anterior?

Na progressão geométrica, ou PG, cada termo é o anterior multiplicado por um número fixo $q$, também chamado de razão. Uma população de bactérias que dobra a cada hora forma uma PG de razão 2. A atividade de uma amostra de iodo-131, usado no tratamento da tireoide, cai à metade a cada 8 dias, mais ou menos, e forma uma PG de razão $\tfrac{1}{2}$ quando a medimos de oito em oito dias, como na aula de Física Moderna. Uma dívida de 1% ao mês, sem pagamentos, também cresce em PG, de razão 1,01.

Do primeiro termo ao de posição $n$ multiplicamos pela razão $n - 1$ vezes, e daí $a_n = a_1\,q^{\,n-1}$. Entre dois termos quaisquer, $a_n = a_m\,q^{\,n-m}$. Com termos positivos, cada um é a média geométrica dos vizinhos, $a_n = \sqrt{a_{n-1}\,a_{n+1}}$, e a progressão herda esse nome.

Com $a_1 > 0$, a PG cresce quando $q > 1$, decresce rumo a zero quando $0 < q < 1$ e fica constante com $q = 1$. Com $q < 0$ os sinais alternam. Quando $q > 0$, o termo geral $a_n = \tfrac{a_1}{q}\,q^{\,n}$ é uma função exponencial calculada só nos naturais. Na PG a diferença entre vizinhos muda de um passo para outro, e o que fica fixo é a razão, isto é, a variação em porcentagem.

$a_n = a_1\,q^{\,n-1}$$a_n = a_m\,q^{\,n-m}$A razão é $q = a_{n+1}/a_n$, a mesma para todo $n$, com termos não nulos. Quando $q > 0$, a PG é a exponencial $g(x) = \tfrac{a_1}{q}\,q^{\,x}$ calculada em $x = 1, 2, 3, \dots$

Para conversar

Use o atalho "Dobra" e compare, nas leituras, a razão e a diferença entre vizinhos ao longo de $n$. Qual das duas fica fixa?
No atalho do iodo-131, cada termo vem oito dias depois do anterior. Em que termo a atividade cai abaixo de 10% da inicial, e quantos dias se passaram?
Com o atalho "Alterna", por que a bancada deixa de desenhar uma curva por baixo dos pontos?
Leve $q$ devagar de 0,9 a 1,1. O que acontece com os pontos ao passar por $q = 1$?

Primeiro termo a₁

Razão q

Posição n

Termo aₙ

aₙ ÷ aₙ₋₁

aₙ − aₙ₋₁

A PG

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a razão da PG $3, 6, 12, \dots$, e qual é o seu 8º termo?

Ver resolução
$q = 6/3 = 2$.
$a_8$ $= 3 \cdot 2^7$ $= 3 \cdot 128$ $= 384$.
Razão 2 e $a_8 = 384$.
básico
Qual é o 6º termo da PG $81, 27, 9, \dots$?

Ver resolução
$q = 27/81 = \tfrac{1}{3}$.
$a_6$ $= 81 \cdot \big(\tfrac{1}{3}\big)^5$ $= \dfrac{81}{243}$ $= \dfrac{1}{3}$.
$a_6 = \tfrac{1}{3}$.
básico
Uma cultura começa com 500 bactérias, e a população dobra a cada hora. Quantas bactérias há depois de 6 horas?

Ver resolução
A população no começo da hora $n$ forma uma PG com $a_1 = 500$ e $q = 2$. Depois de 6 horas estamos no 7º termo.
$a_7$ $= 500 \cdot 2^6$ $= 500 \cdot 64$ $= 32.000$.
32.000 bactérias. Contar 6 horas como 6 termos, e não 7, é o engano mais comum.
básico
Uma amostra de iodo-131 tem atividade de 240 unidades. Com meia-vida de cerca de 8 dias, quanto ela vale depois de 24 dias?

Ver resolução
Em 24 dias passam $24/8 = 3$ meias-vidas, e a atividade é multiplicada por $\tfrac{1}{2}$ três vezes.
$240 \cdot \big(\tfrac{1}{2}\big)^3$ $= 240/8$ $= 30$.
Cerca de 30 unidades.
médio
Numa PG, $a_2 = 6$ e $a_5 = 162$. Encontre a razão e o primeiro termo.

Ver resolução
Da posição 2 à 5 são três passos, $a_5 = a_2\,q^3$, e assim $q^3 = 162/6 = 27$, o que dá $q = 3$.
$a_1 = a_2/q = 6/3 = 2$.
$q = 3$ e $a_1 = 2$.
médio
Insira três números entre 2 e 162 de modo que os cinco formem uma PG.

Ver resolução
$a_5 = a_1\,q^4$ dá $q^4 = 81$, e $q = 3$ ou $q = -3$.
2, 6, 18, 54, 162, ou então 2, −6, 18, −54, 162. As duas listas são PGs.
médio
Uma dívida de R$ 1000 cresce 1% ao mês, sem nenhum pagamento. Quanto ela vale depois de 12 meses? Compare com o que daria somar R$ 10 por mês.

Ver resolução
Cada mês multiplica a dívida por 1,01, e depois de 12 meses ela vale $1000 \cdot 1{,}01^{12}$ $\approx 1000 \cdot 1{,}1268$ $= 1126{,}83$.
Somando R$ 10 por mês, uma PA, ela chegaria a $1000 + 12 \cdot 10 = 1120$.
Cerca de R$ 1126,83, R$ 6,83 a mais que os R$ 1120 da PA. A diferença vem dos juros sobre os juros, e a aula de Matemática Financeira volta a esse assunto.
médio
Para que valor de $x$ os números $x$, $x + 3$ e $x + 9$, nessa ordem, formam uma PG?

Ver resolução
Numa PG, o termo do meio ao quadrado é o produto dos vizinhos, $(x + 3)^2 = x\,(x + 9)$.
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 9x$ dá $x = 3$.
$x = 3$, e a PG é 3, 6, 12, de razão 2.
desafio
Mostre que, se $(a_n)$ é uma PG de termos positivos, então $b_n = \log a_n$ é uma PA, em qualquer base. Qual é a razão dessa PA?

Ver resolução
$b_{n+1} - b_n$ $= \log a_{n+1} - \log a_n$ $= \log \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ $= \log q$, que não depende de $n$.
$(b_n)$ é uma PA de razão $\log q$. O logaritmo transforma multiplicações em somas, e por isso leva PGs em PAs.
desafio
Uma folha de papel tem 0,1 mm de espessura e, em pensamento, é dobrada ao meio várias vezes. Quantas dobras levariam a pilha a passar de 1 km? Que espessura teria a pilha depois de 42 dobras?

Ver resolução
Cada dobra dobra a espessura, e depois de $n$ dobras ela é $0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Um quilômetro tem $10^6$ mm, e precisamos de $2^n > 10^7$.
$2^{23} = 8.388.608$ não basta, e $2^{24} = 16.777.216$ basta, o que dá 24 dobras.
Com 42 dobras, $0{,}1 \cdot 2^{42}\ \text{mm}$ $\approx 4{,}4 \cdot 10^{11}\ \text{mm}$ $\approx 440.000\ \text{km}$.
24 dobras para passar de 1 km, e cerca de 440 mil km com 42, cerca de 15% acima da distância média da Terra à Lua, perto de 384 mil km. Na prática ninguém dobra uma folha comum mais que umas poucas vezes.

PASSO 5

Quem cresce mais, a PA ou a PG?

A PA soma sempre o mesmo número, e a PG de razão maior que 1 multiplica sempre pelo mesmo número. A PA pode começar muito à frente, com primeiro termo e razão grandes, e mesmo assim a PG acaba passando, porque os acréscimos da PG crescem junto com os termos enquanto os da PA ficam do mesmo tamanho. Isso vale para qualquer PA e qualquer PG com $b_1 > 0$ e $q > 1$, e de um caso para outro muda só o momento da ultrapassagem.

Thomas Malthus usou esse contraste em 1798, no Ensaio sobre o princípio da população. Ele supôs que, a cada 25 anos, a população sem freios cresceria como 1, 2, 4, 8, … e os meios de subsistência como 1, 2, 3, 4, …, e que em dois séculos e um quarto a razão entre as duas seria de 512 para 10. Os números ilustravam um argumento e não vinham de medidas. Lida dois séculos depois, a previsão parece ter falhado nas duas pontas, porque a população cresceu mais devagar que a PG dele e a produção de alimentos passou do ritmo de PA que ele supunha.

Para reconhecer o tipo de uma lista, olhamos as diferenças e as razões entre vizinhos. Diferenças constantes indicam uma PA, razões constantes indicam uma PG, e uma lista constante e não nula é as duas coisas. Numa tabela de medidas os valores raramente batem com exatidão, e diferenças ou razões quase constantes sugerem um modelo, que pode falhar fora do trecho medido.

PA: $a_{n+1} - a_n = r$PG: $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q$Com $b_1 > 0$ e $q > 1$, a PG fica acima de qualquer PA a partir de algum $n$ e não é mais alcançada. Com $0 < q \le 1$, uma PA crescente acaba ficando acima da PG.

Para conversar

Use o atalho "Malthus". Em que período a população passa os alimentos, e qual é a razão entre as duas no 10º termo, depois de nove períodos de 25 anos?
Dê à PA $a_1 = 100$ e $r = 10$, e à PG $b_1 = 1$ e $q = 1{,}5$. Em que $n$ a PG passa a ficar acima? Aumente o número de termos se for preciso.
Com $q = 1$ na PG, a ultrapassagem ainda acontece? E com $q = 1{,}05$?
Olhe a tabela sob o gráfico. Em que linha a diferença entre vizinhos fica fixa, e em que linha é a razão que fica fixa?

PA: a₁

PA: razão r

PG: b₁

PG: razão q

Termos mostrados

PG acima a partir de

Último termo da PA

Último termo da PG

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Diga se cada lista é PA, PG, as duas ou nenhuma: (a) 4, 9, 14, 19; (b) 5, 10, 20, 40; (c) 1, 4, 9, 16; (d) 7, 7, 7, 7.

Ver resolução
(a) As diferenças são todas 5, e as razões, 9/4 e 14/9, mudam.
(b) As razões são todas 2, e as diferenças, 5, 10 e 20, mudam.
(c) As diferenças são 3, 5 e 7, e as razões são 4, 9/4 e 16/9.
(d) Diferença 0 e razão 1.
(a) PA de razão 5; (b) PG de razão 2; (c) nenhuma; (d) as duas.
básico
Escreva os seis primeiros termos da PA de $a_1 = 2$ e $r = 2$ e da PG de $b_1 = 2$ e $q = 2$. A partir de que termo a PG fica acima?

Ver resolução
PA, 2, 4, 6, 8, 10, 12. PG, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Os dois primeiros termos coincidem, e do terceiro em diante a PG fica acima e se afasta.
A partir do 3º termo.
básico
Pelas contas de Malthus, a cada 25 anos a população seguiria 1, 2, 4, 8, … e os alimentos, 1, 2, 3, 4, … Depois de 100 anos, qual seria a razão entre população e alimentos?

Ver resolução
100 anos são quatro períodos de 25 anos, e chegamos ao 5º termo de cada lista.
População $2^4 = 16$ e alimentos $1 + 4 = 5$.
16 para 5, ou 3,2 vezes.
básico
Os números $3, x, 12$ formam uma PG de termos positivos. E se formassem uma PA, quanto valeria $x$?

Ver resolução
Na PG, $x$ é a média geométrica dos vizinhos, $x = \sqrt{3 \cdot 12} = 6$.
Na PA, é a média aritmética, $x = \dfrac{3 + 12}{2} = 7{,}5$.
6 na PG e 7,5 na PA.
médio
Uma empresa oferece duas propostas de salário. Na primeira, R$ 3000 no primeiro ano e R$ 300 a mais a cada ano. Na segunda, R$ 3000 no primeiro ano e 8% a mais a cada ano. Em que ano a segunda passa a pagar mais? Os valores são ilustrativos.

Ver resolução
A primeira é uma PA, $a_n = 3000 + 300(n - 1)$, e a segunda uma PG, $b_n = 3000 \cdot 1{,}08^{\,n-1}$.
No 2º ano, 3300 contra 3240. No 3º, 3600 contra 3499,20. No 4º, 3900 contra 3779,14. No 5º, 4200 contra 4081,47. No 6º, 4500 contra 4407,98. No 7º, 4800 contra 4760,62. No 8º, 5100 contra 5141,47.
No 8º ano a segunda passa à frente, e daí em diante não é mais alcançada.
médio
A tabela de uma aplicação mostra os saldos 1000,00, 1020,00, 1040,40 e 1061,21 em quatro meses seguidos. É uma PA ou uma PG? Qual seria o saldo do 6º mês, se o padrão continuar?

Ver resolução
As diferenças são 20,00, 20,40 e 20,81, e mudam.
As razões são $1020/1000 = 1{,}02$, $1040{,}40/1020 = 1{,}02$ e $1061{,}21/1040{,}40$ $\approx 1{,}02$.
$b_6$ $= 1000 \cdot 1{,}02^5$ $\approx 1104{,}08$.
Uma PG de razão 1,02, rendimento de 2% ao mês, e cerca de R$ 1104,08 no 6º mês.
médio
Os números $a$, $b$ e $c$, nessa ordem, formam uma PA de razão 3 e somam 21. Somando 1 ao primeiro, 3 ao segundo e 10 ao terceiro, que sequência aparece?

Ver resolução
Com $b - 3$, $b$ e $b + 3$, a soma é $3b = 21$, e os números são 4, 7 e 10.
Depois das somas, ficam 5, 10 e 20. As razões são $10/5 = 2$ e $20/10 = 2$, e as diferenças, 5 e 10, mudam.
Os números 5, 10 e 20 formam uma PG de razão 2.
médio
Uma PA tem $a_1 = 1000$ e $r = 100$, e uma PG tem $b_1 = 1$ e $q = 2$. Em que termo a PG fica acima da PA?

Ver resolução
$a_n = 900 + 100n$ e $b_n = 2^{\,n-1}$.
$n = 11$: $a_{11} = 2000$ e $b_{11} = 1024$. $n = 12$: $a_{12} = 2100$ e $b_{12} = 2048$. $n = 13$: $a_{13} = 2200$ e $b_{13} = 4096$.
No 13º termo. Uma PA que começa mil vezes maior é passada em pouco mais de uma dezena de passos.
desafio
Uma sequência é ao mesmo tempo PA e PG, com termos não nulos. Mostre que ela é constante.

Ver resolução
Três termos seguidos $x - r$, $x$ e $x + r$ da PA também estão em PG, e assim $x^2 = (x - r)(x + r) = x^2 - r^2$.
Daí $r^2 = 0$, e $r = 0$.
A razão da PA é zero, os termos são todos iguais, e a razão da PG é 1.
desafio
Uma PG tem $b_1 = 1$ e $q = 1{,}1$, e uma PA tem $a_1 = 10$ e $r = 1$. A PG fica acima a partir de que termo? Estime antes de calcular e confira na bancada.

Ver resolução
A PA chega a $a_{n} = 9 + n$. A PG cresce 10% por passo e precisa de cerca de 7 passos para dobrar, porque $1{,}1^7 \approx 1{,}95$.
Em $n = 38$, $b_{38}$ $= 1{,}1^{37}$ $\approx 34{,}0$ e $a_{38} = 47$. Em $n = 41$, $b_{41}$ $= 1{,}1^{40}$ $\approx 45{,}3$ e $a_{41} = 50$. Em $n = 42$, $b_{42} \approx 49{,}8$ e $a_{42} = 51$. Em $n = 43$, $b_{43} \approx 54{,}8$ e $a_{43} = 52$.
A partir do 43º termo. Com razão perto de 1 a PG demora, e a bancada, que mostra no máximo 40 termos, ainda deixa a PA na frente.

PASSO 6

Quanto trigo cabe num tabuleiro de xadrez?

Uma lenda antiga conta que o inventor do xadrez pediu ao rei um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira, e assim por diante, dobrando até a 64ª casa. A história tem muitas versões e é só lenda, e a conta é exata. O total é $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1$, que dá 18.446.744.073.709.551.615 grãos. Com grãos de uns 0,04 g, uma estimativa grosseira, esse trigo pesaria mais de 700 bilhões de toneladas.

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PG sai de um truque parecido com o de Gauss. Escrevemos $S_n = a_1 + a_1 q + \dots + a_1 q^{\,n-1}$ e, embaixo, $q\,S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \dots + a_1 q^{\,n}$. Na subtração, todas as parcelas do meio se cancelam, e sobra $q\,S_n - S_n = a_1 q^{\,n} - a_1$. Com $q \ne 1$, dividimos por $q - 1$.

No tabuleiro, $q = 2$, e a conta $2S - S$ dá o total direto. Ela também mostra que cada casa tem um grão a mais que todas as anteriores juntas, porque $2^{\,n-1} = (2^{\,n-1} - 1) + 1$. Uma PG de razão 2 com primeiro termo 1 tem essa propriedade em qualquer ponto, e por isso o último termo pesa tanto, um pouco mais que a metade do total. Com outro primeiro termo, cada termo vale a soma dos anteriores mais $a_1$.

$S_n = \dfrac{a_1\,(q^{\,n} - 1)}{q - 1}$, $q \ne 1$$1 + 2 + \dots + 2^{\,n-1} = 2^{\,n} - 1$Com $q = 1$ os termos são iguais, e $S_n = n\,a_1$. Quando $0 < q < 1$, a mesma fórmula fica mais cômoda escrita como $S_n = \dfrac{a_1\,(1 - q^{\,n})}{1 - q}$.

Para conversar

Leve $n$ até 10 e compare os grãos da casa 10 com o total das nove casas anteriores. Isso se repete em outras casas?
Em que casa o total passa de um milhão de grãos? E de um bilhão?
Acompanhe a conta $2S - S$ sob o tabuleiro enquanto muda $n$. Que parcelas se cancelam, e quais sobram?
Na casa 64, quantos algarismos tem o total? Quanto o rei pagaria se tivesse prometido só a primeira fileira, as casas 1 a 8?

Casa n

Grãos na casa n

Total até a casa n

Algarismos do total

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243$.

Ver resolução
É uma PG com $a_1 = 1$, $q = 3$ e 6 termos.
$S_6$ $= \dfrac{3^6 - 1}{3 - 1}$ $= \dfrac{728}{2}$ $= 364$.
364.
básico
Qual é a soma dos 8 primeiros termos da PG $2, 6, 18, \dots$?

Ver resolução
$q = 3$, e $S_8$ $= \dfrac{2\,(3^8 - 1)}{3 - 1}$ $= 3^8 - 1$ $= 6561 - 1$.
6560.
básico
Calcule $5 + 10 + 20 + \dots + 640$.

Ver resolução
$640 = 5 \cdot 128 = 5 \cdot 2^7$, e a soma vai de $5 \cdot 2^0$ a $5 \cdot 2^7$, com 8 termos.
$S_8$ $= 5\,(2^8 - 1)$ $= 5 \cdot 255$ $= 1275$.
1275.
básico
Ana conta um segredo a duas amigas no primeiro dia. No dia seguinte, cada amiga conta a duas pessoas novas, e assim por diante. Contando Ana, quantas pessoas sabem do segredo ao fim do 5º dia?

Ver resolução
As pessoas novas de cada dia formam a PG 2, 4, 8, 16, 32.
Com Ana, $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32$ $= 2^6 - 1$ $= 63$.
63 pessoas, supondo que ninguém ouça o segredo duas vezes.
médio
Num torneio de eliminatória simples com 32 jogadores, cada partida elimina um jogador, e os vencedores seguem para a fase seguinte até a final. Quantas partidas são disputadas?

Ver resolução
As fases têm 16, 8, 4, 2 e 1 partidas, uma PG de razão $\tfrac{1}{2}$.
$16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$.
Também dá para contar sem somar. Sobra um campeão, e os outros 31 jogadores perdem uma partida cada.
31 partidas.
médio
Calcule $1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \dots + \tfrac{1}{2^{9}}$, com 10 termos. Quanto falta para 2?

Ver resolução
$S_{10}$ $= \dfrac{1 - (1/2)^{10}}{1 - 1/2}$ $= 2\,\Big(1 - \dfrac{1}{1024}\Big)$ $= 2 - \dfrac{1}{512}$.
$\dfrac{1023}{512} \approx 1{,}998$, e falta $\tfrac{1}{512}$ para 2. O passo 7 mostra o que acontece quando a soma não para.
médio
Quantos termos da PG $3, 6, 12, \dots$ precisamos somar para chegar a 381?

Ver resolução
$S_n = 3\,(2^n - 1) = 381$ dá $2^n - 1 = 127$, e $2^n = 128$.
7 termos.
médio
Calcule $1 - 2 + 4 - 8 + \dots$, com 10 termos.

Ver resolução
É uma PG com $a_1 = 1$ e $q = -2$.
$S_{10}$ $= \dfrac{(-2)^{10} - 1}{-2 - 1}$ $= \dfrac{1023}{-3}$ $= -341$.
$-341$.
desafio
Mostre que, numa PG de razão 2, cada termo é igual à soma de todos os anteriores mais o primeiro termo. Que propriedade parecida vale para uma PG de razão 3?

Ver resolução
Com $q = 2$, $S_{n-1}$ $= a_1\,(2^{\,n-1} - 1)$ $= a_n - a_1$, e assim $a_n = S_{n-1} + a_1$.
Com $q = 3$, $S_{n-1}$ $= \dfrac{a_1\,(3^{\,n-1} - 1)}{2}$ $= \dfrac{a_n - a_1}{2}$, e daí $a_n = 2S_{n-1} + a_1$.
Com razão 2, $a_n = S_{n-1} + a_1$. Com razão 3, cada termo vale o dobro da soma dos anteriores mais o primeiro. Em geral, $a_n = (q - 1)\,S_{n-1} + a_1$.
desafio
Calcule $1 + 11 + 111 + \dots + \underbrace{11\ldots1}_{n}$. Confira a fórmula com $n = 4$.

Ver resolução
O número com $k$ algarismos 1 é $\dfrac{10^k - 1}{9}$.
A soma é $\dfrac{1}{9}\Big[(10 + 10^2 + \dots + 10^n) - n\Big]$ $= \dfrac{1}{9}\Big[\dfrac{10\,(10^n - 1)}{9} - n\Big]$ $= \dfrac{10^{\,n+1} - 10 - 9n}{81}$.
Com $n = 4$, $\dfrac{100.000 - 10 - 36}{81}$ $= \dfrac{99.954}{81}$ $= 1234$, e de fato $1 + 11 + 111 + 1111 = 1234$.
$\dfrac{10^{\,n+1} - 9n - 10}{81}$.

PASSO 7

Uma soma infinita pode dar um número?

Zenão de Eleia, no século V a.C., propôs paradoxos sobre o movimento. Num deles, para atravessar uma sala é preciso primeiro chegar à metade, depois à metade do que falta, e assim indefinidamente, e o caminho parece não ter fim. As parcelas $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots$ formam uma PG de razão $\tfrac{1}{2}$, e as somas parciais $\tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{7}{8}, \dots$ chegam tão perto de 1 quanto quisermos sem nunca passar dele. Dizemos que a soma infinita vale 1, o número de que as somas parciais se aproximam.

Em geral, $S_n = \dfrac{a_1\,(1 - q^{\,n})}{1 - q}$. Quando $|q| < 1$, a potência $q^{\,n}$ fica tão pequena quanto quisermos à medida que $n$ cresce, e $S_n$ se aproxima de $\dfrac{a_1}{1 - q}$. Quando $|q| \ge 1$, com $a_1 \ne 0$, os termos não encolhem, e as somas parciais crescem sem limite ou ficam oscilando, como em $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$, que vale 1, 0, 1, 0 e não se acomoda em número nenhum.

As dízimas periódicas são somas desse tipo. A dízima $0{,}333\ldots$ é $\tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{100} + \tfrac{3}{1000} + \dots$, uma PG com $a_1 = \tfrac{3}{10}$ e $q = \tfrac{1}{10}$, e a soma é $\dfrac{3/10}{9/10} = \tfrac{1}{3}$. Pela mesma conta, $0{,}999\ldots = 1$, e as duas escritas representam o mesmo número.

$a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \dots = \dfrac{a_1}{1 - q}$$|q| < 1$A soma infinita é o número de que as somas parciais $S_n$ se aproximam quando $n$ cresce. Com $|q| \ge 1$ e $a_1 \ne 0$, esse número não existe.

Para conversar

No atalho "Metade da metade", deixe a animação correr. A partir de que $n$ a soma parcial fica a menos de um milésimo de 1?
No atalho "0,333…", leia as somas parciais uma a uma. Que dízima elas vão escrevendo, e quanto falta em cada passo?
Ponha $q = -0{,}5$. De que lados as somas parciais chegam ao limite, e o que a régua do alto mostra?
Leve $q$ até 1 e depois um pouco além. O que acontece com as somas parciais, e por que a fórmula deixa de valer?

Primeiro termo a₁

Razão q

Termos somados n

Soma parcial Sₙ

Soma infinita

Falta

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule $1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots$

Ver resolução
PG com $a_1 = 1$ e $q = \tfrac{1}{2}$, e $|q| < 1$.
$S = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$.
2.
básico
Calcule $6 + 2 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{9} + \dots$

Ver resolução
$q = 2/6 = \tfrac{1}{3}$, e $S$ $= \dfrac{6}{1 - 1/3}$ $= \dfrac{6}{2/3}$ $= 9$.
9.
básico
Escreva $0{,}777\ldots$ como fração.

Ver resolução
$0{,}777\ldots$ $= \tfrac{7}{10} + \tfrac{7}{100} + \dots$, PG com $a_1 = \tfrac{7}{10}$ e $q = \tfrac{1}{10}$.
$S$ $= \dfrac{7/10}{9/10}$ $= \dfrac{7}{9}$.
$\dfrac{7}{9}$.
básico
Calcule $1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{8} + \dots$

Ver resolução
PG com $a_1 = 1$ e $q = -\tfrac{1}{2}$.
$S$ $= \dfrac{1}{1 + 1/2}$ $= \dfrac{2}{3}$.
$\tfrac{2}{3}$. As somas parciais 1, 0,5, 0,75, 0,625, … passam ora acima, ora abaixo desse valor.
médio
Escreva $0{,}4545\ldots$ como fração irredutível.

Ver resolução
O bloco 45 se repete a cada duas casas, e $0{,}4545\ldots$ $= \tfrac{45}{100} + \tfrac{45}{10.000} + \dots$, com $q = \tfrac{1}{100}$.
$S$ $= \dfrac{45/100}{99/100}$ $= \dfrac{45}{99}$ $= \dfrac{5}{11}$.
$\dfrac{5}{11}$.
médio
Uma PG infinita tem primeiro termo 4 e soma 12. Qual é a razão?

Ver resolução
$\dfrac{4}{1 - q} = 12$ dá $1 - q = \tfrac{1}{3}$, e $q = \tfrac{2}{3}$, que cumpre $|q| < 1$.
$q = \tfrac{2}{3}$.
médio
Para que valores de $x$ a soma $1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ existe? Para que $x$ ela vale 3?

Ver resolução
É uma PG com $a_1 = 1$ e razão $x$, que tem soma quando $|x| < 1$. Nesse caso a soma vale $\dfrac{1}{1 - x}$.
$\dfrac{1}{1 - x} = 3$ dá $x = \tfrac{2}{3}$.
A soma existe para $x \in ]-1; 1[$, e vale 3 em $x = \tfrac{2}{3}$.
médio
Aquiles corre a 10 m/s atrás de uma tartaruga que anda a 1 m/s e começa 90 m à frente. Ele leva 9 s para chegar aonde ela estava, e ela avançou 9 m. Leva 0,9 s para cobrir esses 9 m, e ela avançou 0,9 m, e assim por diante. Somando todos esses tempos, quando Aquiles alcança a tartaruga?

Ver resolução
Os tempos formam uma PG com $a_1 = 9$ e $q = \tfrac{1}{10}$.
$S$ $= \dfrac{9}{1 - 1/10}$ $= \dfrac{9}{0{,}9}$ $= 10$.
Conferindo pelo encontro, $10t = 90 + t$ dá $t = 10\ \text{s}$.
Em 10 s. Infinitas etapas cabem num tempo finito, e o paradoxo some quando a soma infinita tem valor.
desafio
Uma PG infinita tem soma 6, e a soma dos quadrados dos seus termos é 12. Encontre o primeiro termo e a razão.

Ver resolução
Os quadrados formam outra PG, de primeiro termo $a^2$ e razão $q^2$, e assim $\dfrac{a}{1 - q} = 6$ e $\dfrac{a^2}{1 - q^2} = 12$.
Como $1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)$, dividindo a segunda pela primeira vem $\dfrac{a}{1 + q} = 2$.
De $a = 6(1 - q)$ e $a = 2(1 + q)$ sai $6 - 6q = 2 + 2q$, e $q = \tfrac{1}{2}$, com $a = 3$.
Conferindo, $\dfrac{3}{1/2} = 6$ e $\dfrac{9}{3/4} = 12$.
$a_1 = 3$ e $q = \tfrac{1}{2}$.
desafio
Um paciente toma 100 mg de um remédio a cada 8 horas, e, num modelo simplificado e ilustrativo, um quarto do que está no corpo sobra depois de 8 horas. Quanto remédio há no corpo logo depois da $n$-ésima dose? De que valor essa quantidade se aproxima?

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Logo depois da 1ª dose há 100 mg. Logo depois da 2ª, $100 + 25$. Depois da 3ª, $100 + 25 + 6{,}25$, e cada dose antiga vale um quarto do que valia na dose anterior.
$Q_n$ $= 100\,\Big(1 + \tfrac{1}{4} + \dots + \big(\tfrac{1}{4}\big)^{n-1}\Big)$ $= \dfrac{100\,\big(1 - (1/4)^n\big)}{3/4}$.
Com $n$ grande, $Q_n$ se aproxima de $\dfrac{100}{3/4}$ $= \dfrac{400}{3}$ $\approx 133{,}3$.
$Q_n$ $= \tfrac{400}{3}\big(1 - 4^{-n}\big)$ mg, que se aproxima de cerca de 133,3 mg. O nível estável do remédio é, nesse modelo, a soma de uma PG infinita.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 1 e 2 · Uma PA com um buraco

A Copa do Mundo de futebol masculino teve edições em 1930, 1934 e 1938, ficou parada durante a Segunda Guerra e voltou em 1950. Desde então acontece de quatro em quatro anos, e a de 2026 foi a 23ª. Escreva o ano da edição $n$, para $n \ge 4$, e diga em que ano será a 30ª, se o calendário não mudar. Por que uma fórmula só não serve para todas as edições?

Ver resolução

A partir da 4ª edição, em 1950, os anos formam uma PA de razão 4, e $a_n$ $= 1950 + 4\,(n - 4)$ $= 4n + 1934$. Conferindo, $a_{23} = 92 + 1934 = 2026$.
A 30ª seria em $a_{30} = 120 + 1934 = 2054$.
As três primeiras edições seguem outra PA de razão 4, $a_n = 4n + 1926$, e entre 1938 e 1950 passaram 12 anos em vez de 4. A sequência inteira é uma função por partes, como as da aula de Funções, com uma PA em cada faixa de $n$.

Passos 2 e 3 · A regra de Galileu

Uma bola parte do repouso numa rampa e percorre 4 cm no primeiro segundo. Pela regra dos ímpares de Galileu, quanto ela percorre no 5º segundo? Em quanto tempo terá percorrido, ao todo, 1 m? E quanto terá percorrido em 10 s?

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As distâncias de cada segundo são $4 \cdot 1$, $4 \cdot 3$, $4 \cdot 5$, …, e a do 5º segundo é $4 \cdot 9 = 36$ cm.
Em $n$ segundos, a soma é $4\,(1 + 3 + \dots + (2n - 1))$ $= 4n^2$ cm. Para 100 cm, $n^2 = 25$, e $n = 5$ s.
Em 10 s, $4 \cdot 100 = 400$ cm, isto é, 4 m. Dobrar o tempo quadruplica a distância, como no movimento uniformemente variado da Cinemática.

Passos 4 e 6 · O tabuleiro

No tabuleiro da lenda, com um grão na primeira casa e o dobro em cada casa seguinte, em que casa o total passa de um milhão de grãos? Quantas casas a mais são precisas para passar de um bilhão, e por que esse número de casas se repete?

Ver resolução

O total até a casa $n$ é $2^n - 1$. Com $2^{19} - 1 = 524.287$ e $2^{20} - 1 = 1.048.575$, o milhão é passado na casa 20.
Com $2^{29} - 1 = 536.870.911$ e $2^{30} - 1 = 1.073.741.823$, o bilhão é passado na casa 30, dez casas depois.
Dez casas multiplicam o total por cerca de $2^{10} = 1024$, pouco mais que mil, e por isso cada novo "mil vezes mais" chega a cada dez casas. O trilhão chega na casa 40, e o quintilhão, na 60.

Passos 3, 5 e 6 · Duas mesadas

Uma família oferece duas mesadas para um ano, com valores ilustrativos. Na proposta A, R$ 50 no primeiro mês e R$ 10 a mais a cada mês. Na proposta B, R$ 1 no primeiro mês, dobrando a cada mês. Em que mês a mesada B passa a ser maior? Em que mês o total recebido em B passa o de A? Qual dá mais no ano?

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A mesada A do mês $n$ é $a_n = 40 + 10n$, e a B é $b_n = 2^{\,n-1}$. No 7º mês, 110 contra 64. No 8º, 120 contra 128, e daí em diante B fica na frente.
Os totais são $S_A(n)$ $= \dfrac{(50 + 40 + 10n)\,n}{2}$ $= 5n^2 + 45n$ e $S_B(n) = 2^n - 1$. No 9º mês, 810 contra 511. No 10º, 950 contra 1023.
No ano, $S_A(12) = 720 + 540 = 1260$ e $S_B(12) = 4095$.
A mesada B passa a ser maior no 8º mês, o total de B passa o de A no 10º, e no ano B dá R$ 4095 contra R$ 1260. Os totais chegam dois meses depois das mesadas, porque B precisa compensar os meses em que ficou para trás.

Passos 6 e 7 · Dízimas

Mostre de dois jeitos que $0{,}999\ldots = 1$, um com a soma da PG infinita e outro a partir de $0{,}333\ldots = \tfrac{1}{3}$. Depois escreva a dízima $0{,}1666\ldots$ como fração.

Ver resolução

Pela PG, $0{,}999\ldots$ $= \tfrac{9}{10} + \tfrac{9}{100} + \dots$ $= \dfrac{9/10}{1 - 1/10}$ $= 1$.
Pela outra via, $0{,}999\ldots$ $= 3 \cdot 0{,}333\ldots$ $= 3 \cdot \tfrac{1}{3}$ $= 1$.
Em $0{,}1666\ldots$, o 1 fica fora da repetição, e $0{,}1666\ldots$ $= \tfrac{1}{10} + \Big(\tfrac{6}{100} + \tfrac{6}{1000} + \dots\Big)$ $= \tfrac{1}{10} + \dfrac{6/100}{9/10}$ $= \tfrac{1}{10} + \tfrac{1}{15}$.
$\tfrac{3}{30} + \tfrac{2}{30}$ $= \tfrac{5}{30}$ $= \tfrac{1}{6}$, e $0{,}1666\ldots = \tfrac{1}{6}$.

Passos 4 e 7 · Quadrados encaixados

Um quadrado tem lado 1. Ligando os pontos médios dos seus lados, obtemos um quadrado menor dentro dele, e repetimos isso para sempre. Quanto vale a soma das áreas de todos os quadrados? E a soma dos perímetros?

Ver resolução

O lado do quadrado novo é a hipotenusa de um triângulo de catetos $\tfrac{1}{2}$, $\sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}}$ $= \tfrac{1}{\sqrt{2}}$, e cada lado é o anterior vezes $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$.
As áreas formam uma PG de razão $\tfrac{1}{2}$, $1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \dots$ $= 2$.
Os perímetros formam uma PG de razão $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\approx 0{,}707$, e $\dfrac{4}{1 - 1/\sqrt{2}}$ $= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$ $= 4\sqrt{2}\,(\sqrt{2} + 1)$ $= 8 + 4\sqrt{2}$ $\approx 13{,}66$.
As áreas somam 2, o dobro da área do primeiro quadrado, e os perímetros somam cerca de 13,66. A razão dos perímetros fica mais perto de 1, e a soma deles demora mais para se acomodar.

Passos 2 e 4 · Ângulos de um triângulo

Os ângulos internos de um triângulo formam uma PA de razão 20°. Quanto mede cada um? E se formassem uma PG de razão 2?

Ver resolução

Na PA, $x - 20$, $x$ e $x + 20$ somam $3x = 180$, e $x = 60$. Os ângulos são 40°, 60° e 80°. Em toda PA de três ângulos de um triângulo, o do meio mede 60°.
Na PG, $y + 2y + 4y = 7y = 180$, e $y = \tfrac{180}{7} \approx 25{,}7$. Os ângulos são cerca de 25,7°, 51,4° e 102,9°, um triângulo obtusângulo.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Os números das situações são ilustrativos. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre sequências.

Termo geral da PA · Passo 2
Marcos baixou um aplicativo de exercícios que monta um plano de flexões de braço. No primeiro dia ele faz 12 flexões, e a cada dia o aplicativo acrescenta 3 flexões ao total do dia anterior. Marcos quer saber quando vai chegar às 60 flexões num dia só.

Em que dia do plano Marcos fará 60 flexões pela primeira vez?
1. 16º dia
2. 17º dia
3. 20º dia
4. 21º dia
5. 48º dia
Ver resolução

Resposta: B.
As flexões de cada dia formam uma PA com $a_1 = 12$ e $r = 3$, e procuramos o $n$ com $a_n = 60$.
$12 + 3\,(n - 1) = 60$ dá $3\,(n - 1) = 48$, $n - 1 = 16$ e $n = 17$.
O 16º dia conta só os dias com acréscimo e esquece o primeiro. O 20º dia vem de $3n = 60$ e o 21º, de $3\,(n - 1) = 60$, duas contas que deixam de fora as 12 flexões do começo. O número 48 é o total de flexões acrescentadas, confundido com um dia.
Conferindo, $a_{17} = 12 + 16 \cdot 3 = 60$.
Soma da PA · Passo 3
Lia resolveu guardar dinheiro num cofrinho. Na primeira semana ela guardou R$ 5,00, na segunda R$ 7,00, na terceira R$ 9,00, e manteve esse padrão, sempre R$ 2,00 a mais que na semana anterior, sem nunca tirar dinheiro do cofre.

Quanto Lia terá guardado ao fim de 20 semanas?
1. R$ 43,00
2. R$ 240,00
3. R$ 480,00
4. R$ 860,00
5. R$ 960,00
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Resposta: C.
Os depósitos formam uma PA com $a_1 = 5$ e $r = 2$. O da 20ª semana é $a_{20} = 5 + 19 \cdot 2 = 43$.
$S_{20}$ $= \dfrac{(5 + 43) \cdot 20}{2}$ $= 48 \cdot 10$ $= 480$.
Os R$ 43,00 são só o depósito da última semana. Os R$ 960,00 esquecem de dividir por 2, e os R$ 240,00 dividem duas vezes. Os R$ 860,00 multiplicam o último depósito pelo número de semanas, como se Lia tivesse guardado R$ 43,00 toda semana.
PG e meia-vida · Passo 4
O iodo-131 é usado no tratamento de doenças da tireoide. A atividade de uma amostra desse material cai à metade a cada 8 dias, aproximadamente, e o hospital só descarta o recipiente de uma dose quando a atividade cai a $\tfrac{1}{16}$ da atividade medida no dia em que a dose foi preparada.

Quantos dias depois do preparo, no mínimo, o recipiente pode ser descartado?
1. 4 dias
2. 16 dias
3. 24 dias
4. 32 dias
5. 128 dias
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Resposta: D.
Medida de 8 em 8 dias, a atividade forma uma PG de razão $\tfrac{1}{2}$, e depois de $k$ meias-vidas ela vale $\big(\tfrac{1}{2}\big)^k$ da inicial.
$\big(\tfrac{1}{2}\big)^k$ $= \tfrac{1}{16}$ dá $k = 4$, e quatro meias-vidas são $4 \cdot 8 = 32$ dias.
Os 4 dias confundem o número de meias-vidas com o tempo. Os 16 dias tomam o 16 da fração como se fosse um tempo, e os 24 dias param em $\tfrac{1}{8}$. Os 128 dias multiplicam 16 por 8, como se a atividade caísse $\tfrac{1}{16}$ a cada oito dias, em PA.
Soma da PG · Passo 6
Um vídeo foi postado numa rede social. Na primeira hora, 3 pessoas o compartilharam. Em cada hora seguinte, cada pessoa que tinha compartilhado o vídeo na hora anterior fez com que 3 pessoas novas o compartilhassem. Suponha que ninguém tenha compartilhado o vídeo duas vezes e que o autor da postagem não conte como compartilhamento.

Quantos compartilhamentos o vídeo teve nas seis primeiras horas?
1. 18
2. 729
3. 1092
4. 1093
5. 2187
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Resposta: C.
Os compartilhamentos de cada hora formam a PG 3, 9, 27, 81, 243, 729, com $a_1 = 3$ e $q = 3$.
$S_6$ $= \dfrac{3\,(3^6 - 1)}{3 - 1}$ $= \dfrac{3 \cdot 728}{2}$ $= 1092$.
Os 729 são só os compartilhamentos da sexta hora, e 1093 conta o autor junto. Os 2187 são $3^7$, um termo além do último, e os 18 tratam o crescimento como uma PA de razão 3.
A suposição de que ninguém repete o compartilhamento é o que faz o modelo funcionar, e numa rede real ela provavelmente deixa de valer depois de algumas horas.
PG infinita · Passo 7
Numa aula de Física, uma bola é solta de 5 m de altura sobre um piso duro. Suponha que, depois de cada quique, ela suba até $\tfrac{3}{5}$ da altura de que caiu, sempre na vertical, e que continue quicando indefinidamente, com quiques cada vez mais baixos.

Nesse modelo, qual é a distância vertical total percorrida pela bola, contando subidas e descidas?
1. 12,5 m
2. 15 m
3. 20 m
4. 25 m
5. A distância é infinita, porque a bola quica infinitas vezes.
Ver resolução

Resposta: C.
As descidas medem 5, 3, 1,8, …, uma PG de razão $\tfrac{3}{5}$, com soma $\dfrac{5}{1 - 3/5} = 12{,}5$ m.
As subidas medem 3, 1,8, …, as mesmas descidas sem a primeira, e somam $12{,}5 - 5 = 7{,}5$ m.
O total é $12{,}5 + 7{,}5 = 20$ m.
Os 12,5 m contam só as descidas, e os 25 m contam a queda inicial também como subida. Os 15 m somam as subidas duas vezes e esquecem a queda inicial. A alternativa E esquece que infinitas parcelas podem ter soma finita quando $|q| < 1$.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2010, 2º dia, caderno azul, questão 149. Uma professora monta figuras de quadrados enfileirados com canudos, e a questão pede a expressão que dá o número de canudos a partir do número de quadrados.
ENEM 2011, 2º dia, caderno azul, questão 162. As passagens vendidas por uma empresa aérea foram 33.000 em janeiro, 34.500 em fevereiro e 36.000 em março, e o padrão continua. A questão pergunta quantas foram vendidas em julho.
ENEM 2012, 2º dia, caderno azul, questão 150. No jogo de paciência, sete colunas recebem 1, 2, 3, …, 7 cartas de um baralho de 52, e calculamos quantas cartas sobram para o monte.
ENEM 2013, 2º dia, caderno azul, questão 149. Uma tabela projeta a produção de arroz de 2012 a 2015 com crescimento constante, e a questão pede o total produzido de 2012 a 2021.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 141. Postes colocados de 20 em 20 metros ao longo de uma estrada, do primeiro a 80 m da praça ao último a 1380 m, e o gasto máximo com a colocação.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 162. Num torneio de tênis de eliminatória simples com 128 jogadores, a questão pede a soma que dá o número de partidas.
ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 174. A densidade de transistores de um processador dobra a cada dois anos, pela Lei de Moore, e calculamos com logaritmos o ano em que ela chegaria a 100 bilhões de transistores.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 146. No triângulo mágico, os números dos vértices estão em PA de razão 2, e a questão pede as possíveis somas dos lados.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Sequênciauma função de $\mathbb{N}^*$ em $\mathbb{R}$, $n \mapsto a_n$

Termo geral da PA$a_n = a_1 + (n - 1)\,r$

Dois termos da PA$a_n = a_m + (n - m)\,r$

Soma da PA$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$

Soma dos ímpares$1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$

Termo geral da PG$a_n = a_1\,q^{\,n-1}$

Dois termos da PG$a_n = a_m\,q^{\,n-m}$

Soma da PG, com $q \ne 1$$S_n = \dfrac{a_1\,(q^{\,n} - 1)}{q - 1}$

PG infinita, com $|q| < 1$$S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$

Três termos seguidosPA: $2b = a + c$ · PG: $b^2 = a\,c$

PA e PG lado a lado
	PA	PG
O que fica fixo	a diferença $a_{n+1} - a_n = r$	a razão $a_{n+1}/a_n = q$
Função por trás	afim, $f(x) = r\,x + (a_1 - r)$	exponencial, $g(x) = \tfrac{a_1}{q}\,q^{\,x}$, com $q > 0$
Gráfico	pontos sobre uma reta	pontos sobre uma exponencial, ou alternando com $q < 0$
Crescimento	o mesmo acréscimo a cada passo	a mesma porcentagem a cada passo, e com $q > 1$ passa qualquer PA

	PA	PG
O que fica fixo	a diferença \(a_{n+1} - a_n = r\)	a razão \(a_{n+1}/a_n = q\)
Função por trás	afim, \(f(x) = r\,x + (a_1 - r)\)	exponencial, \(g(x) = \tfrac{a_1}{q}\,q^{\,x}\), com \(q > 0\)
Gráfico	pontos sobre uma reta	pontos sobre uma exponencial, ou alternando com \(q < 0\)
Crescimento	o mesmo acréscimo a cada passo	a mesma porcentagem a cada passo, e com \(q > 1\) passa qualquer PA