Matemática · Ensino Médio · Função Quadrática

Função Quadrática

A altura de uma bola jogada para o alto, a área de um canteiro cercado com uma tela de comprimento fixo e a receita de quem mexe no preço de um produto mudam de um jeito que nenhuma reta descreve. Elas sobem até um máximo e voltam a descer, ou descem até um mínimo e voltam a subir. A função que costuma dar conta dessa forma é a função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola.

1A parábola
2O vértice
3As raízes
4Soma e produto
5O sinal
6A maior área
7Preço e receita
8O lançamento
✓Desafios

PASSO 1

Que curva a função quadrática desenha?

Uma função quadrática, ou polinomial do 2º grau, é uma função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a$, $b$ e $c$ reais e $a \ne 0$. O gráfico é sempre uma parábola, uma curva simétrica em relação a uma reta vertical, o eixo de simetria. O eixo passa pelo vértice, o ponto mais baixo ou mais alto da curva.

Cada coeficiente deixa uma marca própria no desenho. O sinal de $a$ decide a concavidade, com a boca para cima quando $a > 0$ e para baixo quando $a < 0$, e o tamanho de $a$ diz se a parábola é estreita ou aberta. O $c$ é o valor de $f$ em $x = 0$, e a curva corta o eixo $y$ no ponto $(0, c)$. O $b$ talvez seja o mais difícil de ler dos três. Mexendo só nele, o vértice anda sobre outra parábola, $y = c - ax^2$, e a curva escorrega para o lado e para cima ao mesmo tempo.

Uma tabela também denuncia a quadrática. Com valores de $x$ igualmente espaçados, as diferenças entre saídas vizinhas de uma função afim são todas iguais. Numa quadrática elas mudam, e são as diferenças das diferenças, as segundas diferenças, que ficam constantes, iguais a $2a$ quando o passo em $x$ é 1. Em $y = x^2$, as saídas 0, 1, 4, 9 e 16 têm diferenças 1, 3, 5 e 7, que crescem de 2 em 2. A distância que um corpo percorre em queda livre a partir do repouso, proporcional ao quadrado do tempo, segue esse mesmo padrão, e uma tabela de medidas que mostre segundas diferenças quase constantes sugere um modelo quadrático.

$f(x) = ax^2 + bx + c,\ a \ne 0$$f(0) = c$$f(x + 1) - 2f(x)$$+ f(x - 1) = 2a$Os pontos $(0, c)$ e $\left(-\tfrac{b}{a}, c\right)$ ficam na mesma altura, porque $f\!\left(-\tfrac{b}{a}\right) = \tfrac{b^2}{a} - \tfrac{b^2}{a} + c$. O eixo de simetria passa no meio deles, em $x = -\tfrac{b}{2a}$.

Para conversar

Leve $a$ de 1 para 3 e depois para 0,5, sem mexer em $b$ e em $c$. O que muda na abertura da parábola? O ponto $(0, c)$ sai do lugar?
Passe $a$ para um valor negativo. O que acontece com a boca da parábola, e o vértice passa a ser o ponto mais alto ou o mais baixo?
Com $a = 1$ e $c = 2$, mova só o $b$ de −4 a 4 e acompanhe o vértice. Ele anda sobre a curva tracejada? Por que o ponto $(0, 2)$ fica parado?
Compare a leitura da segunda diferença com o valor de $a$ em três escolhas diferentes. Que relação aparece, e por que $b$ e $c$ não entram nela?

Concavidade

Corta o eixo y em

Eixo de simetria

Segunda diferença

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Quais são os coeficientes $a$, $b$ e $c$ de $f(x) = 3 - 2x + x^2$? Para que lado fica a boca da parábola, e onde ela corta o eixo $y$?

Ver resolução
Reordenando, $f(x) = x^2 - 2x + 3$, e assim $a = 1$, $b = -2$ e $c = 3$.
Com $a > 0$ a boca fica para cima, e $f(0) = 3$.
$a = 1$, $b = -2$, $c = 3$. Boca para cima, corte no eixo $y$ em $(0, 3)$.
básico
Para $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$, calcule $f(0)$, $f(1)$ e $f(2)$.

Ver resolução
$f(0) = -5$.
$f(1) = -2 + 8 - 5 = 1$.
$f(2) = -8 + 16 - 5 = 3$.
$-5$, 1 e 3.
básico
Quais destas funções são quadráticas: (a) $y = (x - 1)^2 - x^2$, (b) $y = x(3 - x)$, (c) $y = 5x^2$, (d) $y = \dfrac{2}{x^2}$?

Ver resolução
(a) Desenvolvendo, $x^2 - 2x + 1 - x^2 = -2x + 1$, e o termo em $x^2$ se cancela.
(b) $3x - x^2$, com $a = -1$.
(c) $a = 5$, $b = c = 0$.
(d) O $x^2$ está no denominador, e a expressão não é um polinômio.
(b) e (c) são quadráticas. (a) é afim e (d) não é polinomial.
básico
A parábola de $f(x) = x^2 - 6x + 5$ passa por $(0, 5)$. Que outro ponto dela tem altura 5, e onde fica o eixo de simetria?

Ver resolução
$x^2 - 6x + 5 = 5$ dá $x^2 - 6x = 0$, isto é, $x(x - 6) = 0$.
As soluções são $x = 0$ e $x = 6$, e o eixo passa no meio delas.
$(6, 5)$, e o eixo de simetria é a reta $x = 3$, de acordo com $-b/(2a) = 6/2$.
médio
Uma função dá, para $x = 0, 1, 2, 3, 4$, as saídas 3, 4, 7, 12 e 19. Calcule as segundas diferenças, decida se a função pode ser quadrática e encontre uma fórmula para ela.

Ver resolução
As diferenças são 1, 3, 5 e 7, e as segundas diferenças valem todas 2.
Segundas diferenças constantes com passo 1 indicam uma quadrática com $2a = 2$, isto é, $a = 1$.
$f(0) = 3$ dá $c = 3$, e $f(1) = 1 + b + 3 = 4$ dá $b = 0$.
$f(x) = x^2 + 3$. Conferindo, $f(4) = 16 + 3 = 19$.
médio
Para que valores de $m$ a função $f(x) = (m - 2)x^2 + 3x - 1$ é quadrática com a boca para baixo?

Ver resolução
Para ser quadrática, $m - 2 \ne 0$, e para ter a boca para baixo, $m - 2 < 0$.
A segunda condição já inclui a primeira.
$m < 2$
médio
A parábola de $f(x) = ax^2 + bx + c$ passa por $(0, 4)$, $(1, 3)$ e $(2, 6)$. Encontre $a$, $b$ e $c$.

Ver resolução
$f(0) = 4$ dá $c = 4$.
$f(1) = 3$ dá $a + b = -1$, e $f(2) = 6$ dá $4a + 2b = 2$, isto é, $2a + b = 1$.
Subtraindo as duas, $a = 2$, e daí $b = -3$.
$f(x) = 2x^2 - 3x + 4$. Conferindo, $f(2) = 8 - 6 + 4 = 6$.
médio
O eixo de simetria da parábola de $f(x) = 2x^2 + bx + 1$ é a reta $x = 3$. Quanto vale $b$?

Ver resolução
O eixo fica em $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{b}{4}$.
$-\dfrac{b}{4} = 3$ dá $b = -12$.
$b = -12$. Os pontos $(0, 1)$ e $(6, 1)$ ficam na mesma altura, um de cada lado do eixo.
desafio
Mostre que, para $f(x) = ax^2 + bx + c$, a segunda diferença com passo 1, $f(x + 1) - 2f(x) + f(x - 1)$, vale $2a$ em qualquer $x$.

Ver resolução
Separamos a conta por coeficiente.
Termo em $a$: $(x + 1)^2 - 2x^2 + (x - 1)^2$ $= 2x^2 + 2 - 2x^2 = 2$.
Termo em $b$: $(x + 1) - 2x + (x - 1) = 0$.
Termo em $c$: $c - 2c + c = 0$.
A soma é $2a$, sem $x$, sem $b$ e sem $c$. Com passo $s$ a mesma conta dá $2as^2$.
desafio
Mostre que, mexendo só em $b$, o vértice de $y = ax^2 + bx + c$ anda sobre a parábola $y = c - ax^2$.

Ver resolução
O vértice tem $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, e daí $b = -2a\,x_v$.
A altura é $y_v = a x_v^2 + b x_v + c$ $= a x_v^2 - 2a x_v^2 + c = c - a x_v^2$.
Para cada $b$ o vértice cai em $y = c - ax^2$, uma parábola com a boca virada para o lado oposto e que também passa por $(0, c)$.

PASSO 2

Onde fica o vértice da parábola?

O vértice é o ponto em que a parábola muda de sentido. Com $a > 0$ ele é o ponto mais baixo da curva, e a sua altura é o valor mínimo da função. Com $a < 0$ ele é o ponto mais alto, e a altura é o valor máximo. Como está sobre o eixo de simetria, o vértice fica no meio do caminho entre $(0, c)$ e $\left(-\tfrac{b}{a}, c\right)$, e a sua abscissa é $x_v = -\tfrac{b}{2a}$, qualquer que seja o sinal de $a$.

A forma canônica $f(x) = a(x - h)^2 + k$ mostra o vértice sem conta nenhuma, no ponto $(h, k)$. Ela descreve a parábola de $x^2$ esticada por $a$, levada $h$ para o lado e $k$ para cima, o caso $b = 1$ das transformações $a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ da aula de Funções. Como $(x - h)^2$ nunca é negativo, com $a > 0$ a parcela $a(x - h)^2$ só soma, e o menor valor da função aparece em $x = h$, onde o parêntese zera.

Para passar da forma geral à canônica, completamos o quadrado. Em $x^2 - 6x + 11$, o pedaço $x^2 - 6x$ é o começo de $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$, e assim $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$, com vértice em $(3, 2)$. Feita com letras, a mesma conta dá $y_v = -\tfrac{\Delta}{4a}$, com $\Delta = b^2 - 4ac$, o número que o passo 3 vai usar para contar as raízes.

$f(x) = a(x - h)^2 + k$$x_v = h = -\dfrac{b}{2a}$$y_v = k = -\dfrac{\Delta}{4a}$Desenvolvendo, $a(x - h)^2 + k = ax^2 - 2ah\,x + ah^2 + k$, e daí $b = -2ah$ e $c = ah^2 + k$. A imagem é $[k; +\infty[$ quando $a > 0$ e $]-\infty; k]$ quando $a < 0$.

Para conversar

Arraste o vértice para $(2, -3)$ com $a = 1$ e leia a forma desenvolvida. Confira, com os números dela, que $-b/(2a)$ dá 2.
Deixe o vértice parado e passe $a$ de 1 para −1. O que acontece com a imagem, e o que o vértice passou a ser?
Leve o vértice ao longo de uma reta horizontal, sem mudar a altura. Quais coeficientes da forma desenvolvida mudam, e qual deles não muda?
Ponha o vértice em $(0, 0)$ e varie $a$. Por que a forma desenvolvida perde o termo em $x$ e o termo constante?

Vértice

$x_v = -b/2a$

$y_v = -\Delta/4a$

Imagem

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Encontre o vértice de $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Ele é ponto de máximo ou de mínimo?

Ver resolução
$x_v = -\dfrac{-4}{2} = 2$ e $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$.
Com $a = 1 > 0$, a boca fica para cima.
Vértice $(2, -3)$, ponto de mínimo. O valor mínimo da função é $-3$.
básico
Qual é o valor máximo de $f(x) = -x^2 + 6x$, e para que $x$ ele acontece?

Ver resolução
$x_v = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
$f(3) = -9 + 18 = 9$.
O máximo é 9, em $x = 3$.
básico
Escreva $y = x^2 + 8x + 10$ na forma canônica e dê o vértice.

Ver resolução
$x^2 + 8x$ é o começo de $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$.
Assim, $x^2 + 8x + 10$ $= (x + 4)^2 - 16 + 10$.
$y = (x + 4)^2 - 6$, com vértice $(-4, -6)$.
básico
Qual é a imagem de $f(x) = 2(x - 1)^2 - 5$?

Ver resolução
O vértice é $(1, -5)$, e com $a = 2 > 0$ a função não desce abaixo de $-5$.
Para cima ela cresce sem limite.
$\text{Im}(f) = [-5; +\infty[$
médio
Encontre o valor máximo de $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ e a imagem da função.

Ver resolução
$x_v = -\dfrac{12}{2 \cdot (-2)} = 3$.
$f(3) = -18 + 36 - 10 = 8$.
Máximo 8, em $x = 3$, e imagem $]-\infty; 8]$.
médio
Encontre a função quadrática cuja parábola tem vértice $(1, 4)$ e passa por $(3, 0)$. Escreva-a nas duas formas.

Ver resolução
Na forma canônica, $f(x) = a(x - 1)^2 + 4$.
$f(3) = 0$ dá $4a + 4 = 0$, e $a = -1$.
Desenvolvendo, $-(x^2 - 2x + 1) + 4$ $= -x^2 + 2x + 3$.
$f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ $= -x^2 + 2x + 3$.
médio
Para que valor de $k$ a função $f(x) = x^2 - 6x + k$ tem valor mínimo 5?

Ver resolução
O mínimo fica em $x_v = 3$, e $f(3) = 9 - 18 + k = k - 9$.
$k - 9 = 5$ dá $k = 14$.
$k = 14$, e $f(x) = (x - 3)^2 + 5$.
médio
Calcule o vértice de $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$ pelas fórmulas $-b/(2a)$ e $-\Delta/(4a)$, e confira a altura calculando $f(x_v)$.

Ver resolução
$x_v = \dfrac{12}{6} = 2$.
$\Delta = 144 - 84 = 60$, e $y_v = -\dfrac{60}{12} = -5$.
Conferindo, $f(2) = 12 - 24 + 7 = -5$.
Vértice $(2, -5)$.
desafio
Complete o quadrado em $ax^2 + bx + c$ para deduzir $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ e $y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$.

Ver resolução
$ax^2 + bx + c$ $= a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c$.
$x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}$.
Assim, $f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c$ $= a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a}$.
A forma canônica tem $h = -\dfrac{b}{2a}$ e $k = -\dfrac{\Delta}{4a}$.
desafio
Uma parábola com $a = 1$ passa por $(-1, 7)$ e $(5, 7)$. Encontre o vértice e a fórmula da função.

Ver resolução
Os dois pontos têm a mesma altura, e o eixo de simetria passa no meio deles, em $x = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$.
Com $f(x) = (x - 2)^2 + k$, $f(5) = 9 + k = 7$ dá $k = -2$.
Vértice $(2, -2)$ e $f(x) = (x - 2)^2 - 2$ $= x^2 - 4x + 2$.

PASSO 3

Onde a parábola corta o eixo x?

As raízes, ou zeros, de $f$ são os valores de $x$ com $f(x) = 0$, as abscissas dos pontos em que a parábola encontra o eixo $x$. Para resolver $ax^2 + bx + c = 0$, refazemos a conta de completar o quadrado do passo 2. Da forma canônica $a(x - x_v)^2 - \tfrac{\Delta}{4a} = 0$ vem $(x - x_v)^2 = \tfrac{\Delta}{4a^2}$, e daí a fórmula que no Brasil chamamos de Bhaskara.

O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ decide quantas raízes reais existem. Com $\Delta > 0$ há duas, diferentes, e a parábola corta o eixo $x$ em dois pontos. Com $\Delta = 0$ as duas coincidem, e o vértice encosta no eixo. Com $\Delta < 0$ a raiz quadrada de $\Delta$ não existe entre os reais, e a parábola fica inteira de um lado do eixo, acima dele quando $a > 0$ e abaixo quando $a < 0$.

A fórmula também se lê no desenho. As duas raízes ficam à mesma distância do eixo de simetria, em $x_v \pm \tfrac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}$, e a média delas é sempre $x_v$. Com uma raiz em mãos, a outra sai do espelho no eixo. Quando $b = 0$ ou $c = 0$ a fórmula nem faz falta, e $x^2 - 9 = 0$ dá $x = \pm 3$, enquanto $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ dá 0 e 5.

$\Delta = b^2 - 4ac$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$Com $\Delta > 0$, duas raízes reais e diferentes. Com $\Delta = 0$, uma raiz dupla, $x = -\tfrac{b}{2a}$. Com $\Delta < 0$, nenhuma raiz real.

Para conversar

Com $a = 1$ e $b = -4$, suba $c$ de −2 até 6. Em que valor de $c$ as duas raízes se juntam, e quanto vale $\Delta$ nesse instante?
Escolha o caso sem raízes e passe $a$ para −1, sem mexer em $b$ e em $c$. A parábola passa a cortar o eixo? O que aconteceu com o sinal de $\Delta$?
Compare a distância de cada raiz até o eixo de simetria com a leitura $\sqrt{\Delta}/2|a|$. Dobre $a$ com $\Delta$ ainda positivo e veja o que acontece com essa distância.
Ponha $c = 0$. Uma das raízes fica presa num lugar, qualquer que seja $b$. Qual, e por quê?

Δ = b² − 4ac

Raízes

Do eixo a cada raiz

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Ver resolução
$\Delta = 25 - 24 = 1$.
$x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, o que dá 3 e 2.
$x = 2$ ou $x = 3$.
básico
Quantas raízes reais tem $2x^2 - 4x + 5 = 0$? Onde fica a parábola em relação ao eixo $x$?

Ver resolução
$\Delta = 16 - 40 = -24 < 0$, e não há raiz real.
Com $a = 2 > 0$, a parábola tem a boca para cima e não chega ao eixo.
Nenhuma raiz real. A parábola fica inteira acima do eixo $x$, com vértice em $(1, 3)$.
básico
Resolva, sem a fórmula de Bhaskara, $x^2 - 16 = 0$ e $3x^2 + 12x = 0$.

Ver resolução
Na primeira, $x^2 = 16$, e $x = 4$ ou $x = -4$.
Na segunda, pondo $3x$ em evidência, $3x(x + 4) = 0$, e um dos fatores precisa zerar.
$\pm 4$ na primeira; 0 e $-4$ na segunda.
básico
Resolva $x^2 - 6x + 9 = 0$ e diga o que a resposta significa para a parábola.

Ver resolução
$\Delta = 36 - 36 = 0$, e a única raiz é $x = \dfrac{6}{2} = 3$.
A expressão é $(x - 3)^2$, que só zera em 3.
$x = 3$, raiz dupla. O vértice $(3, 0)$ encosta no eixo $x$ sem atravessá-lo.
médio
Para que valores de $m$ a equação $x^2 - 4x + m = 0$ tem duas raízes reais diferentes?

Ver resolução
$\Delta = 16 - 4m$, e queremos $\Delta > 0$.
$16 - 4m > 0$ dá $m < 4$.
$m < 4$. Com $m = 4$ as raízes se juntam em 2, e com $m > 4$ elas deixam de existir.
médio
Resolva $-2x^2 + 3x + 2 = 0$.

Ver resolução
$\Delta = 9 + 16 = 25$.
$x = \dfrac{-3 \pm 5}{-4}$, o que dá $\dfrac{2}{-4} = -0{,}5$ e $\dfrac{-8}{-4} = 2$.
$x = -0{,}5$ ou $x = 2$. O sinal negativo de $a$ troca a ordem em que as raízes saem da fórmula, e convém conferir qual é a menor.
médio
Uma das raízes de $x^2 + bx - 12 = 0$ é 2. Encontre $b$ e a outra raiz.

Ver resolução
Pondo $x = 2$, $4 + 2b - 12 = 0$, e $b = 4$.
A equação fica $x^2 + 4x - 12 = 0$, com $\Delta = 16 + 48 = 64$ e $x = \dfrac{-4 \pm 8}{2}$.
$b = 4$, e a outra raiz é $-6$.
médio
Uma parábola corta o eixo $x$ em $-1$ e 5, e o seu vértice tem altura $-9$. Encontre a função.

Ver resolução
O eixo de simetria passa no meio das raízes, em $x = 2$, e o vértice é $(2, -9)$.
Na forma canônica, $f(x) = a(x - 2)^2 - 9$, e $f(5) = 9a - 9 = 0$ dá $a = 1$.
$f(x) = (x - 2)^2 - 9$ $= x^2 - 4x - 5$.
desafio
Deduza a fórmula de Bhaskara a partir da forma canônica $a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}$.

Ver resolução
Igualando a zero, $a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a}$, e daí $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$.
Com $\Delta \ge 0$, $x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}$, e o $\pm$ absorve o sinal de $a$.
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Com $\Delta < 0$ o quadrado precisaria ser negativo, e não há raiz real.
desafio
Mostre que, quando $a$ e $c$ têm sinais contrários, a equação $ax^2 + bx + c = 0$ tem sempre duas raízes reais diferentes. Explique também pelo gráfico.

Ver resolução
Com $a$ e $c$ de sinais contrários, $ac < 0$ e $-4ac > 0$.
Assim, $\Delta = b^2 - 4ac > 0$, porque $b^2 \ge 0$.
No gráfico, com $a > 0$ e $c < 0$, a parábola tem a boca para cima e passa abaixo do eixo em $x = 0$. Ela precisa cruzar o eixo uma vez de cada lado.
Duas raízes reais, uma de cada lado do zero.

PASSO 4

Que parábola passa por duas raízes dadas?

Quando a função tem raízes $x_1$ e $x_2$, ela se escreve na forma fatorada $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. O produto zera exatamente quando um dos fatores zera, em $x = x_1$ ou em $x = x_2$, e o $a$ continua mandando na abertura e na concavidade. Parábolas com as mesmas raízes e valores diferentes de $a$ cortam o eixo $x$ nos mesmos pontos e diferem no resto.

O produto desenvolvido, $ax^2 - a(x_1 + x_2)\,x + a\,x_1x_2$, comparado termo a termo com $ax^2 + bx + c$, dá as relações de soma e produto, $x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a}$ e $x_1 x_2 = \tfrac{c}{a}$. Em casos simples elas podem dar as raízes de cabeça. Em $x^2 - 7x + 10$ procuramos dois números com soma 7 e produto 10, e 2 e 5 servem.

As relações também dizem coisas sem que precisemos resolver nada. Com produto negativo as raízes têm sinais contrários, e com produto e soma positivos as duas são positivas. O vértice fica sempre no meio delas, em $x_v = \tfrac{x_1 + x_2}{2}$, o que bate com o $-\tfrac{b}{2a}$ do passo 2.

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$Com $\Delta = 0$ a forma fatorada vira $a(x - x_1)^2$. Com $\Delta < 0$ não há raízes reais, e a função não se fatora com números reais.

Para conversar

Arraste as raízes para 2 e 5 com $a = 1$ e leia $b$ e $c$. Confira que $-b$ dá a soma e $c$ dá o produto.
Deixe as raízes paradas e mude $a$ de 1 para −2. Quais leituras mudam, e quais ficam iguais?
Leve uma raiz para a esquerda do zero e a outra para a direita. O que acontece com o sinal do produto e com o sinal de $c$?
Junte as duas raízes no mesmo ponto. Que forma a equação toma, e onde fica o vértice?

Soma x₁ + x₂ = −b/a

Produto x₁ · x₂ = c/a

Vértice

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Escreva na forma fatorada a função com $a = 1$ e raízes 3 e $-2$, e depois desenvolva.

Ver resolução
$f(x) = (x - 3)(x + 2)$.
$x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$.
$f(x) = (x - 3)(x + 2)$ $= x^2 - x - 6$. A soma das raízes é 1, que é $-b$, e o produto é $-6$, que é $c$.
básico
Sem resolver, dê a soma e o produto das raízes de $2x^2 - 10x + 12 = 0$. Que raízes são essas?

Ver resolução
$S = -\dfrac{-10}{2} = 5$ e $P = \dfrac{12}{2} = 6$.
Dois números com soma 5 e produto 6 são 2 e 3.
Soma 5, produto 6, raízes 2 e 3.
básico
Encontre de cabeça as raízes de $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Ver resolução
Procuramos soma 7 e produto 10.
Os pares com produto 10 são 1 e 10 e 2 e 5, e só o segundo soma 7.
2 e 5.
básico
Encontre de cabeça as raízes de $x^2 + x - 12 = 0$.

Ver resolução
A soma é $-1$ e o produto é $-12$, e o produto negativo pede raízes de sinais contrários.
Com soma $-1$, a negativa tem o maior módulo, e 3 e $-4$ servem.
3 e $-4$, e $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
médio
Encontre a função quadrática com raízes 1 e 5 cuja parábola passa por $(0, 10)$. Onde fica o vértice?

Ver resolução
$f(x) = a(x - 1)(x - 5)$, e $f(0) = 5a = 10$ dá $a = 2$.
Desenvolvendo, $2(x^2 - 6x + 5)$ $= 2x^2 - 12x + 10$.
O vértice fica em $x = 3$, no meio das raízes, e $f(3) = 2 \cdot 2 \cdot (-2) = -8$.
$f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$ $= 2x^2 - 12x + 10$, com vértice $(3, -8)$.
médio
Escreva $3x^2 - 3x - 18$ na forma fatorada.

Ver resolução
$3x^2 - 3x - 18 = 3(x^2 - x - 6)$.
Para $x^2 - x - 6$, soma 1 e produto $-6$ dão 3 e $-2$.
$3(x - 3)(x + 2)$
médio
Uma das raízes de $x^2 - 8x + k = 0$ é o triplo da outra. Quanto vale $k$?

Ver resolução
Com raízes $r$ e $3r$, a soma dá $4r = 8$, e $r = 2$.
As raízes são 2 e 6, e o produto é $k = 12$.
$k = 12$
médio
Sem calcular as raízes de $x^2 + 3x - 5 = 0$, diga os sinais delas e qual tem o maior módulo.

Ver resolução
$\Delta = 9 + 20 = 29 > 0$, e há duas raízes reais.
O produto é $-5 < 0$, e as raízes têm sinais contrários.
A soma é $-3 < 0$, e a negativa pesa mais.
Uma positiva e uma negativa, e a negativa tem o maior módulo.
desafio
Sendo $x_1$ e $x_2$ as raízes de $x^2 - 6x + 4 = 0$, calcule $x_1^2 + x_2^2$ sem achar as raízes.

Ver resolução
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, e daí $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$.
Com $S = 6$ e $P = 4$, $36 - 8 = 28$.
28
desafio
Mostre que a distância entre as raízes de $ax^2 + bx + c$, quando $\Delta \ge 0$, é $\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$, usando só a soma e o produto.

Ver resolução
$(x_2 - x_1)^2$ $= (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ $= S^2 - 4P$.
$S^2 - 4P = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{4c}{a}$ $= \dfrac{b^2 - 4ac}{a^2} = \dfrac{\Delta}{a^2}$.
$|x_2 - x_1| = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$, o dobro da distância de cada raiz ao eixo de simetria que a bancada do passo 3 mostra.

PASSO 5

Onde a função é positiva, e onde é negativa?

Estudar o sinal de $f$ é dizer para que valores de $x$ a função é positiva, negativa ou nula. No gráfico, é ver onde a parábola fica acima do eixo $x$, abaixo dele ou sobre ele, e bastam duas informações, o sinal de $a$ e as raízes.

Com duas raízes, a função tem o sinal de $a$ fora do intervalo entre elas e o sinal contrário ao de $a$ dentro dele. A regra sai da forma fatorada. Entre $x_1$ e $x_2$ os fatores $x - x_1$ e $x - x_2$ têm sinais contrários e o produto deles é negativo, e fora desse intervalo os dois têm o mesmo sinal e o produto é positivo. Com $\Delta = 0$ a função tem o sinal de $a$ em todo $x$ menos na raiz, onde vale zero, e com $\Delta < 0$ tem o sinal de $a$ em toda a reta.

Uma inequação do 2º grau, como $x^2 - 5x + 6 < 0$, pede exatamente esse estudo. As raízes de $x^2 - 5x + 6$ são 2 e 3, a boca fica para cima, e a função é negativa entre as raízes, o que dá a solução ]2; 3[. Com $\le$ no lugar de $<$ as raízes também servem, e o intervalo se fecha em [2; 3]. O erro mais comum talvez seja tratar a inequação como equação e responder só com as raízes.

$a > 0$ e $\Delta > 0$:$f(x) > 0 \iff x < x_1$ou $x > x_2$$f(x) < 0 \iff x_1 < x < x_2$Com $a < 0$ os dois sinais se trocam. Com $\Delta = 0$ a função tem o sinal de $a$ fora da raiz dupla, e com $\Delta < 0$ tem o sinal de $a$ em toda a reta.

Para conversar

Com a boca para cima, arraste o vértice para baixo do eixo e escolha $f(x) < 0$. Onde fica a solução em relação às raízes? Troque depois para $f(x) > 0$.
Suba o vértice até ele encostar no eixo $x$. O que acontece com as soluções de $f(x) > 0$ e de $f(x) \ge 0$, e por que elas diferem num ponto só?
Leve o vértice para cima do eixo. Que inequações passam a ter solução $\mathbb{R}$, e quais ficam sem solução nenhuma?
Vire a boca para baixo sem mexer no vértice. O que acontece com o conjunto solução de $f(x) > 0$? Explique pelo sinal de $a$.

Sinal de a

Raízes

Conjunto solução

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Estude o sinal de $f(x) = x^2 - 4$.

Ver resolução
As raízes são $-2$ e 2, e a boca fica para cima.
Fora das raízes a função tem o sinal de $a$, positivo, e entre elas o contrário.
$f(x) > 0$ para $x < -2$ ou $x > 2$, $f(x) < 0$ para $-2 < x < 2$, e $f(\pm 2) = 0$.
básico
Resolva $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Ver resolução
As raízes são 2 e 3, e $a = 1 > 0$.
A função é negativa entre as raízes e zero nelas.
$S = [2; 3]$
básico
Resolva $-x^2 + 4x > 0$.

Ver resolução
$-x^2 + 4x = -x(x - 4)$, com raízes 0 e 4.
Com $a = -1 < 0$, a função é positiva entre as raízes.
$S = ]0; 4[$
básico
Para que valores de $x$ a função $f(x) = x^2 + 1$ é negativa?

Ver resolução
$x^2 \ge 0$, e daí $x^2 + 1 \ge 1$ para todo $x$. Pela fórmula, $\Delta = -4 < 0$ e $a > 0$.
Para nenhum. $S = \varnothing$.
médio
Resolva $2x^2 - 3x - 2 \ge 0$.

Ver resolução
$\Delta = 9 + 16 = 25$, e $x = \dfrac{3 \pm 5}{4}$ dá 2 e $-0{,}5$.
Com $a > 0$, a função é positiva fora das raízes e zero nelas.
$S = ]-\infty; -0{,}5] \cup [2; +\infty[$
médio
Resolva $x^2 - 6x + 9 > 0$.

Ver resolução
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$, que é positivo para todo $x$ diferente de 3 e zero em 3.
$S = \mathbb{R} - \{3\}$
médio
Qual é o domínio natural de $f(x) = \sqrt{6 - x - x^2}$?

Ver resolução
A raiz pede $6 - x - x^2 \ge 0$, o mesmo que $x^2 + x - 6 \le 0$.
As raízes de $x^2 + x - 6$ são $-3$ e 2, e a função é negativa entre elas.
$D(f) = [-3; 2]$
médio
Para que valores de $m$ a função $f(x) = x^2 + 2x + m$ é positiva para todo $x$ real?

Ver resolução
Com $a > 0$, a função é positiva em toda a reta quando não tem raiz real, $\Delta < 0$.
$\Delta = 4 - 4m < 0$ dá $m > 1$.
$m > 1$. Com $m = 1$ a função zera em $x = -1$.
desafio
Resolva o sistema formado por $x^2 - 5x + 4 < 0$ e $x^2 - 9 \ge 0$.

Ver resolução
A primeira tem raízes 1 e 4 e $a > 0$, e vale em ]1; 4[.
A segunda vale fora de $]-3; 3[$, isto é, em $]-\infty; -3] \cup [3; +\infty[$.
As duas valem ao mesmo tempo só de 3, incluído, até 4, excluído.
$S = [3; 4[$
desafio
Resolva $\dfrac{x^2 - 1}{x - 3} \le 0$.

Ver resolução
O numerador zera em $-1$ e 1, é positivo fora de ]−1; 1[ e negativo dentro. O denominador zera em 3, que fica fora do domínio, e é negativo para $x < 3$.
Para $x < -1$, o quociente é positivo sobre negativo, negativo. Entre $-1$ e 1, negativo sobre negativo, positivo. Entre 1 e 3, negativo. Acima de 3, positivo.
Os zeros do numerador entram, por causa do $\le$, e o 3 não.
$S = ]-\infty; -1] \cup [1; 3[$

PASSO 6

Que retângulo cerca a maior área?

Uma pessoa tem 40 m de tela e quer cercar um canteiro retangular junto ao muro do quintal, que dispensa a tela de um dos lados. Os números são ilustrativos, escolhidos para que as contas fiquem redondas. Se chamamos de $x$ a largura dos dois lados perpendiculares ao muro, sobram $40 - 2x$ metros para o lado paralelo, e a área é $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$.

A área é uma função quadrática de $x$ com $a < 0$, e o máximo fica no vértice. As raízes são 0 e 20, os dois casos extremos em que o canteiro vira um risco, e o vértice fica no meio delas, em $x = 10$. O canteiro de área máxima tem 10 m por 20 m e 200 m², e o lado paralelo ao muro mede o dobro da largura.

$A(x) = x\,(L - 2x)$$x_v = \dfrac{L}{4}$$A_{\text{máx}} = \dfrac{L^2}{8}$Com $L$ metros de tela e o muro fazendo um dos lados. Com os quatro lados de tela, $A(x) = x\left(\tfrac{L}{2} - x\right)$, e o máximo, $\tfrac{L^2}{16}$, vem do quadrado de lado $\tfrac{L}{4}$. Nos dois casos o domínio é $\left[0; \tfrac{L}{2}\right]$.

Sem o muro, a mesma tela faz os quatro lados, e com largura $x$ o comprimento é $20 - x$. A área $x(20 - x)$ tem máximo em $x = 10$, e o canteiro ótimo vira um quadrado de 10 m de lado, com 100 m². O muro dobra a área máxima. O roteiro desses problemas costuma ser o mesmo. Escolhemos a variável, escrevemos a grandeza a otimizar como função quadrática dela, conferimos o domínio que o problema permite e lemos o vértice.

Para conversar

Leve a largura de 0 a 20 m e acompanhe o ponto no gráfico da área. Onde a área cresce, onde decresce, e onde para de crescer?
Procure duas larguras diferentes que deem a mesma área. Onde elas ficam em relação a $x = 10$?
Troque para a cerca sem muro e compare a área máxima com a de antes. Por que o canteiro ótimo deixa de ter um lado com o dobro do outro?
Ponha a largura em 9 m e depois em 11 m, e compare cada área com a máxima. O que essas perdas dizem sobre a parábola perto do vértice?

Largura x

Lados

Área

Melhor largura

Área máxima

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Com os 40 m de tela da bancada e o muro fazendo um dos lados, quanto mede o lado paralelo ao muro e qual é a área quando a largura é 8 m?

Ver resolução
Os dois lados de 8 m gastam 16 m de tela, e sobram $40 - 16 = 24$ m.
$A = 8 \cdot 24 = 192$.
24 m e 192 m², 8 m² abaixo da área máxima.
básico
Entre os retângulos de perímetro 36 m, qual tem a maior área?

Ver resolução
Com um lado $x$, o outro mede $18 - x$, e $A(x) = x(18 - x)$, com raízes 0 e 18.
O vértice fica em $x = 9$, e o outro lado também mede 9.
O quadrado de 9 m de lado, com 81 m².
básico
Dois números somam 14. Qual é o maior produto possível entre eles?

Ver resolução
Com os números $x$ e $14 - x$, $P(x) = x(14 - x) = -x^2 + 14x$.
O vértice fica em $x = 7$, e $P(7) = 49$.
49, com os dois números iguais a 7.
básico
A área de um canteiro é $A(x) = -2x^2 + 24x$, com $x$ em metro. Que largura dá a maior área, e quanto ela vale?

Ver resolução
$x_v = -\dfrac{24}{2 \cdot (-2)} = 6$.
$A(6) = -72 + 144 = 72$.
6 m de largura e 72 m². É o canteiro contra o muro feito com 24 m de tela.
médio
Com 60 m de tela e um muro fazendo um dos lados, qual é o maior canteiro retangular possível?

Ver resolução
$A(x) = x(60 - 2x)$, com raízes 0 e 30.
O vértice fica em $x = 15$, e o lado paralelo mede $60 - 30 = 30$.
15 m por 30 m, com 450 m², o $L^2/8$ da cola com $L = 60$.
médio
Um curral retangular será dividido ao meio por uma cerca paralela a dois dos lados. Ao todo há 120 m de cerca, contando a divisória. Que dimensões dão a maior área?

Ver resolução
Com $x$ o lado paralelo à divisória, há três cercas de comprimento $x$ e duas de comprimento $y$, e $3x + 2y = 120$.
Daí $y = 60 - 1{,}5x$ e $A(x) = x(60 - 1{,}5x)$ $= -1{,}5x^2 + 60x$.
$x_v = \dfrac{60}{3} = 20$, e $y = 30$.
20 m por 30 m, com 600 m².
médio
Com 40 m de tela nos quatro lados, para que larguras $x$ a área passa de 75 m²?

Ver resolução
$x(20 - x) > 75$ é o mesmo que $x^2 - 20x + 75 < 0$.
As raízes de $x^2 - 20x + 75$ são 5 e 15, e com $a > 0$ a expressão é negativa entre elas.
Para $5 < x < 15$, um intervalo simétrico em torno do vértice, $x = 10$.
médio
Dois números diferem por 10. Qual é o menor produto possível entre eles?

Ver resolução
Com os números $x$ e $x - 10$, $P(x) = x^2 - 10x$, com $a > 0$ e mínimo no vértice.
$x_v = 5$, e os números são 5 e $-5$.
$-25$
desafio
Uma chapa de 30 cm de largura será dobrada para cima nas duas bordas, formando uma calha de seção retangular aberta em cima. Que altura de dobra dá a maior área de seção?

Ver resolução
Com dobras de altura $x$, o fundo mede $30 - 2x$, e a seção tem área $A(x) = x(30 - 2x)$.
É o canteiro contra o muro com $L = 30$, e o vértice fica em $x = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$.
Dobras de 7,5 cm, fundo de 15 cm e seção de 112,5 cm².
desafio
Mostre que, entre todos os retângulos de mesmo perímetro $P$, o quadrado tem a maior área.

Ver resolução
Com um lado $x$, o outro mede $\dfrac{P}{2} - x$, e $A(x) = x\left(\dfrac{P}{2} - x\right)$, com raízes 0 e $\dfrac{P}{2}$.
O vértice fica no meio, em $x = \dfrac{P}{4}$, e o outro lado também mede $\dfrac{P}{4}$.
O máximo é o quadrado de lado $P/4$, com área $P^2/16$.

PASSO 7

Que preço traz a maior receita?

Uma barraca de praia vende 200 copos de açaí por dia a R$ 15. O dono supõe que cada real de aumento no preço faz perder 10 vendas, e que cada real de desconto traz 10 vendas a mais. Os números são ilustrativos, e a suposição de que as vendas caem em linha reta com o preço é um modelo, que talvez só valha numa faixa perto do preço atual. Com o preço $p$, as vendas são $q(p) = 200 - 10(p - 15) = 350 - 10p$.

A receita é o preço vezes a quantidade vendida, $R(p) = p\,(350 - 10p) = -10p^2 + 350p$, uma quadrática com $a < 0$. As raízes são $p = 0$, o açaí de graça, e $p = 35$, o preço em que ninguém compra mais. O vértice fica no meio delas, em R$ 17,50, com 175 copos e R$ 3.062,50 por dia. Acima desse preço, pelo modelo, a barraca tende a perder mais com as vendas que somem do que ganha em cada copo.

Receita não é lucro. Se cada copo custa R$ 5 à barraca, o lucro é $L(p) = (p - 5)(350 - 10p)$, uma parábola com raízes 5 e 35, e o vértice vai para R$ 20, com 150 copos e R$ 2.250 de lucro. O preço que maximiza o lucro fica acima do que maximiza a receita, porque cada copo que deixa de ser vendido também deixa de custar.

$q(p) = 350 - 10p$$R(p) = p \cdot q(p)$$L(p) = (p - 5)\,q(p)$Na forma fatorada as raízes aparecem sem conta, e o vértice fica no meio delas. $R$ é máxima em $p = \tfrac{0 + 35}{2} = 17{,}5$ e $L$ é máximo em $p = \tfrac{5 + 35}{2} = 20$. O modelo só faz sentido para $0 \le p \le 35$.

Para conversar

Mova o preço de R$ 15 para R$ 16 e depois para R$ 17. Quanto a receita ganhou em cada passo? O ganho diminui?
Suba o preço até R$ 25. A receita caiu, embora cada copo tenha ficado mais caro. O que pesou mais?
Troque para o lucro e procure o preço ótimo. Por que ele fica acima do preço que maximiza a receita?
Com o lucro na tela, leve o preço abaixo de R$ 5. O que o sinal de $L(p)$ diz, e por que a barraca perde mais quanto mais vende?

Preço do copo

Vendas por dia

Receita

Lucro

Preço da receita máxima

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
No modelo da bancada, quantos copos a barraca vende por dia a R$ 18, e qual é a receita?

Ver resolução
$q(18) = 350 - 180 = 170$.
$R(18) = 18 \cdot 170 = 3060$.
170 copos e R$ 3.060, só R$ 2,50 abaixo da receita máxima.
básico
Que preço maximiza a receita $R(p) = -10p^2 + 350p$?

Ver resolução
$p_v = -\dfrac{350}{2 \cdot (-10)} = 17{,}5$.
R$ 17,50.
básico
O lucro mensal de uma oficina, em milhares de reais, é $L(x) = -x^2 + 40x - 300$, com $x$ serviços por mês. Quantos serviços dão o maior lucro, e quanto ele vale?

Ver resolução
$x_v = -\dfrac{40}{-2} = 20$.
$L(20) = -400 + 800 - 300$ $= 100$.
20 serviços e lucro de 100 mil reais.
básico
Quais são as raízes de $R(p) = p(350 - 10p)$, e o que cada uma significa para a barraca?

Ver resolução
O produto zera quando $p = 0$ ou quando $350 - 10p = 0$, em $p = 35$.
$p = 0$ é o açaí de graça, com muitas vendas e receita zero. $p = 35$ é o preço em que, pelo modelo, ninguém compra mais.
médio
Um cinema vende 200 ingressos por sessão a R$ 20. Uma pesquisa sugere que cada R$ 1 de desconto traria 20 espectadores a mais, e a sala comporta todos eles. Que preço dá a maior receita?

Ver resolução
Com um desconto de $d$ reais, o preço é $20 - d$ e o público é $200 + 20d$.
$R(d) = (20 - d)(200 + 20d)$, com raízes $d = 20$ e $d = -10$.
O vértice fica no meio, em $d = 5$, com preço R$ 15 e 300 espectadores.
R$ 15, com receita de R$ 4.500, contra R$ 4.000 ao preço atual.
médio
No modelo da bancada, com custo de R$ 5 por copo, qual é o lucro a R$ 18? Quanto ele fica abaixo do lucro máximo?

Ver resolução
$L(18) = (18 - 5) \cdot 170$ $= 13 \cdot 170 = 2210$.
O máximo, a R$ 20, é $15 \cdot 150 = 2250$.
R$ 2.210, R$ 40 abaixo do máximo.
médio
O lucro diário de uma loja com um produto vendido a $p$ reais é $L(p) = (p - 10)(80 - 2p)$. Que preço dá o maior lucro?

Ver resolução
As raízes são 10 e 40, e o vértice fica no meio, em $p = 25$.
$L(25) = 15 \cdot 30 = 450$.
R$ 25, com R$ 450 de lucro por dia.
médio
No modelo da bancada, para que preços a receita passa de R$ 3.000 por dia?

Ver resolução
$-10p^2 + 350p > 3000$ é o mesmo que $p^2 - 35p + 300 < 0$.
$\Delta = 1225 - 1200 = 25$, e as raízes são $\dfrac{35 \pm 5}{2}$, 15 e 20.
Para $15 < p < 20$.
desafio
A demanda de um produto é $q = \alpha - \beta p$, com $\alpha, \beta > 0$, e cada unidade custa $c$, com $0 < c < \alpha/\beta$. Mostre que o preço de lucro máximo é a média entre $c$ e $\alpha/\beta$, e que ele fica acima do preço de receita máxima.

Ver resolução
$L(p) = (p - c)(\alpha - \beta p)$ tem raízes $c$ e $\alpha/\beta$, e com $-\beta < 0$ a boca fica para baixo.
O vértice fica no meio das raízes, $p_L = \dfrac{c + \alpha/\beta}{2}$.
A receita $p(\alpha - \beta p)$ tem raízes 0 e $\alpha/\beta$, e $p_R = \dfrac{\alpha/\beta}{2}$.
$p_L - p_R = \dfrac{c}{2} > 0$. O preço de lucro máximo fica metade do custo unitário acima do de receita máxima.
desafio
Uma empresa de fretamento cobra R$ 50 por passageiro de um grupo de 30 pessoas, e para cada passageiro além dos 30 todos ganham R$ 1 de desconto. O ônibus tem 50 lugares. Que tamanho de grupo dá a maior receita?

Ver resolução
Com $k$ passageiros além dos 30, o grupo tem $30 + k$ pessoas e cada uma paga $50 - k$.
$R(k) = (30 + k)(50 - k)$, com raízes $-30$ e 50, e o vértice em $k = 10$.
O grupo de 40 cabe no ônibus.
40 passageiros a R$ 40, com R$ 1.600 de receita, contra R$ 1.500 com 30 passageiros.

PASSO 8

Até que altura sobe uma bola lançada para cima?

Uma bola lançada para cima com velocidade $v_0$, de uma altura $h_0$, perde velocidade enquanto sobe, para por um instante no topo e volta a cair. Desprezando o ar, a altura segue $h(t) = h_0 + v_0 t - \tfrac{g}{2}t^2$, a equação da queda livre da aula de Cinemática. Com $g \approx 10\,\text{m/s}^2$, o mesmo valor usado na Cinemática e um arredondamento dos cerca de 9,8 m/s² medidos perto da superfície, a altura é $h(t) = h_0 + v_0 t - 5t^2$, uma quadrática em $t$ com $a = -5$.

O topo é o vértice. A bola chega lá em $t_v = \tfrac{v_0}{10}$, o instante em que a velocidade zera, e a altura máxima é $h_0 + \tfrac{v_0^2}{20}$. Lançada do chão a 20 m/s, ela sobe por 2 s e chega a 20 m. A altura ganha acima do ponto de lançamento, $\tfrac{v_0^2}{20}$, cresce com o quadrado da velocidade, e lançar com o dobro da velocidade quadruplica essa altura ganha. Com o ar, a bola real provavelmente fica um pouco abaixo dessas contas, tanto mais quanto mais rápida e leve ela for.

A bola volta ao chão na raiz positiva de $h(t) = 0$. Lançada do chão, ela volta em $2t_v$, e a descida dura o mesmo que a subida, como a simetria da parábola já garantia. Lançada do alto de um prédio, a raiz positiva fica além de $2t_v$, e a negativa, sem sentido para esta bola, pode ser lida como o instante em que uma bola lançada antes, do chão, teria começado a mesma trajetória. No lançamento oblíquo a altura segue a mesma regra, e a própria trajetória no plano é uma parábola.

$h(t) = h_0 + v_0\,t - 5t^2$$t_v = \dfrac{v_0}{10}$$h_{\text{máx}} = h_0 + \dfrac{v_0^2}{20}$Com $g = 10\,\text{m/s}^2$, altura em metro e tempo em segundo, sem resistência do ar. A bola chega ao chão em $t = \dfrac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 20h_0}}{10}$, a raiz positiva de $h(t) = 0$.

Para conversar

Lance do chão a 20 m/s e pause no topo. Quanto tempo a bola levou para subir, e quanto leva para descer?
Passe a velocidade de 10 para 20 m/s. A altura máxima dobrou? Confira com $v_0^2/20$.
Suba a altura de lançamento para 15 m sem mexer na velocidade. O tempo de subida muda? E o tempo até o chão?
Com $h_0 = 0$, em que instantes a bola passa pela metade da altura máxima? Os dois instantes ficam à mesma distância do topo?

Velocidade inicial

Altura inicial

Tempo de subida

Altura máxima

Chega ao chão em

Altura agora

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
A altura de uma bola, em metro, é $h(t) = 25t - 5t^2$, com $t$ em segundo. Quando ela chega ao topo, e a que altura?

Ver resolução
$t_v = -\dfrac{25}{2 \cdot (-5)} = 2{,}5$.
$h(2{,}5) = 62{,}5 - 31{,}25 = 31{,}25$.
Em 2,5 s, a 31,25 m.
básico
Uma bola é lançada do chão para cima a 10 m/s. Que altura máxima ela atinge, e quanto tempo fica no ar? Use $g = 10\,\text{m/s}^2$.

Ver resolução
$h(t) = 10t - 5t^2 = 5t(2 - t)$, com raízes 0 e 2.
O topo fica no meio, em $t = 1$, e $h(1) = 5$.
5 m de altura e 2 s no ar.
básico
Lançada do alto de um prédio, uma bola tem altura $h(t) = 20 + 15t - 5t^2$. Quando ela chega ao chão?

Ver resolução
$20 + 15t - 5t^2 = 0$, e dividindo por $-5$, $t^2 - 3t - 4 = 0$.
Soma 3 e produto $-4$ dão 4 e $-1$.
Em $t = 4$ s. A raiz $-1$ fica fora do domínio do problema, que começa em $t = 0$.
básico
Uma pedra é solta, sem velocidade inicial, do alto de uma torre de 45 m. Quanto tempo ela leva até o chão?

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Com $v_0 = 0$, $h(t) = 45 - 5t^2$.
$45 - 5t^2 = 0$ dá $t^2 = 9$.
3 s.
médio
Com que velocidade uma bola precisa sair do chão para chegar a 45 m de altura?

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$h_{\text{máx}} = \dfrac{v_0^2}{20} = 45$ dá $v_0^2 = 900$.
30 m/s, cerca de 108 km/h.
médio
A altura de uma bola é $h(t) = 30t - 5t^2$. Em que instantes ela passa por 25 m?

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$30t - 5t^2 = 25$ dá $t^2 - 6t + 5 = 0$, com raízes 1 e 5.
Em 1 s, subindo, e em 5 s, descendo. Os dois instantes ficam a 2 s do topo, que é em $t = 3$.
médio
Com $h(t) = 30t - 5t^2$, por quanto tempo a bola fica acima de 40 m?

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$30t - 5t^2 > 40$ é o mesmo que $t^2 - 6t + 8 < 0$, com raízes 2 e 4.
A expressão é negativa entre as raízes.
De 2 s a 4 s, durante 2 s.
médio
Uma bola é lançada a 15 m/s do alto de um prédio de 20 m. Encontre a altura máxima, o instante em que ela acontece e o tempo de descida até o chão.

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$t_v = 1{,}5$ s e $h_{\text{máx}} = 20 + \dfrac{225}{20} = 31{,}25$ m.
O chão chega em $t = \dfrac{15 + \sqrt{225 + 400}}{10}$ $= \dfrac{15 + 25}{10} = 4$ s.
31,25 m em 1,5 s. A descida dura $4 - 1{,}5 = 2{,}5$ s, mais que a subida, porque a bola desce também a altura do prédio.
desafio
Mostre que, lançada do chão, a bola leva para descer exatamente o mesmo tempo que leva para subir.

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Com $h_0 = 0$, $h(t) = t(v_0 - 5t)$, com raízes 0 e $\dfrac{v_0}{5}$.
O vértice fica no meio das raízes, em $\dfrac{v_0}{10}$.
A subida vai de 0 a $v_0/10$ e a descida de $v_0/10$ a $v_0/5$, dois intervalos do mesmo tamanho. É a simetria da parábola em torno do eixo que passa pelo vértice.
desafio
Na Lua a aceleração da gravidade é de cerca de 1,6 m/s². Com a mesma velocidade inicial, quantas vezes mais alto uma bola subiria lá do que aqui, usando $g = 10\,\text{m/s}^2$ para a Terra?

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Com $h(t) = v_0 t - \tfrac{g}{2}t^2$, o topo fica em $t_v = \dfrac{v_0}{g}$ e a altura máxima é $\dfrac{v_0^2}{2g}$.
A razão entre as alturas é $\dfrac{v_0^2/(2 \cdot 1{,}6)}{v_0^2/(2 \cdot 10)} = \dfrac{10}{1{,}6}$.
Cerca de 6,25 vezes mais alto, e por um tempo 6,25 vezes maior no ar.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 2 e 4 · Três pontos

Uma parábola passa pelos pontos $(0, 3)$, $(1, 0)$ e $(3, 0)$. Encontre a função, o vértice e a imagem.

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Os pontos $(1, 0)$ e $(3, 0)$ estão no eixo $x$, e 1 e 3 são as raízes. Na forma fatorada, $f(x) = a(x - 1)(x - 3)$.
$f(0) = 3a = 3$ dá $a = 1$, e $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
O vértice fica no meio das raízes, em $x = 2$, com $f(2) = -1$. Com a boca para cima, a imagem é $[-1; +\infty[$.
Começar pela forma fatorada poupa um sistema de três equações, porque dois dos três pontos já eram raízes.

Passos 3 e 5 · Uma inequação disfarçada

Resolva $(x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 3) < 0$.

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Com $u = x^2 - 4x$, a inequação vira $u(u + 3) < 0$, uma quadrática em $u$ com raízes $-3$ e 0, negativa entre elas. Precisamos de $-3 < x^2 - 4x < 0$.
$x^2 - 4x < 0$ vale em ]0; 4[.
$x^2 - 4x > -3$ é o mesmo que $x^2 - 4x + 3 > 0$, com raízes 1 e 3, e vale fora de [1; 3].
As duas condições juntas dão $S = ]0; 1[ \cup ]3; 4[$. Conferindo com $x = 0{,}5$, $(-1{,}75)(1{,}25) < 0$.

Passos 6 e 7 · Lados com preços diferentes

Um canteiro retangular junto a um muro terá a frente, paralela ao muro, com grade a R$ 30 o metro, e os dois lados com tela a R$ 10 o metro. Com R$ 1.200 para gastar, qual é a maior área possível?

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Com lados $x$ e frente $y$, o custo é $20x + 30y = 1200$, e daí $y = 40 - \tfrac{2}{3}x$.
$A(x) = x\left(40 - \tfrac{2}{3}x\right)$ $= -\tfrac{2}{3}x^2 + 40x$, com raízes 0 e 60.
O vértice fica em $x = 30$, com $y = 20$ e $A = 600$ m².
A grade cara encurta a frente, e o canteiro ótimo deixa de ter a frente com o dobro dos lados, como no cercado da bancada. O dinheiro fica dividido ao meio, R$ 600 em grade e R$ 600 em tela.

Passos 5 e 7 · Aluguel do ponto

No modelo do açaí do passo 7, a barraca passa a pagar também R$ 300 por dia de aluguel do ponto. O preço de lucro máximo muda? Em que faixa de preços a barraca deixa de ter prejuízo?

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O lucro passa a ser $L(p) = (p - 5)(350 - 10p) - 300$. Um custo fixo só desce a parábola, e o vértice continua em R$ 20, agora com lucro de $2250 - 300 = 1950$.
Para não ter prejuízo, $-10p^2 + 400p - 1750 - 300 \ge 0$, o mesmo que $p^2 - 40p + 205 \le 0$.
$\Delta = 1600 - 820 = 780$, e as raízes são $\dfrac{40 \pm \sqrt{780}}{2}$, cerca de 6,04 e 33,96.
A barraca não tem prejuízo com preços entre R$ 6,04 e R$ 33,96, aproximadamente. O aluguel não muda a melhor decisão de preço, mas estreita a faixa em que vale a pena abrir.

Passos 3 e 4 · Reta e parábola

Em que pontos a reta $y = x + 1$ encontra a parábola $y = x^2 - 2x + 3$? Para que valores de $m$ a reta $y = x + m$ não encontra a parábola?

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Igualando, $x^2 - 2x + 3 = x + 1$, isto é, $x^2 - 3x + 2 = 0$, com soma 3 e produto 2, e as raízes são 1 e 2. Os pontos são $(1, 2)$ e $(2, 3)$.
Com $y = x + m$, a equação fica $x^2 - 3x + 3 - m = 0$, e a reta não encontra a parábola quando ela não tem raiz real.
$\Delta = 9 - 4(3 - m) = 4m - 3 < 0$ dá $m < \tfrac{3}{4}$.
Com $m = \tfrac{3}{4}$ a reta só encosta na parábola, em $x = 1{,}5$.

Passos 4 e 8 · Do tempo no ar à altura

Um vídeo mostra uma bola chutada para cima a partir do chão que fica 3 s no ar. Desprezando o ar e com $g = 10\,\text{m/s}^2$, com que velocidade ela saiu, e até que altura subiu?

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Saindo do chão, $h(t) = t(v_0 - 5t)$, com raízes 0 e $\tfrac{v_0}{5}$.
A segunda raiz é o instante em que a bola volta, $\tfrac{v_0}{5} = 3$, e $v_0 = 15$ m/s.
O topo fica no meio das raízes, em 1,5 s, e $h(1{,}5) = 1{,}5 \cdot (15 - 7{,}5) = 11{,}25$ m.
Um chute real perde alguma coisa para o ar, e a bola provavelmente saiu um pouco mais depressa do que a conta indica.

Passos 5 e 8 · O vaso na janela

Um vaso cai, sem velocidade inicial, de um parapeito a 20 m do chão. Uma pessoa no prédio em frente o vê passar por uma janela que vai de 5 m a 8 m de altura. Por quanto tempo o vaso fica à vista?

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A altura é $h(t) = 20 - 5t^2$, e o vaso fica à vista enquanto $5 \le 20 - 5t^2 \le 8$.
$20 - 5t^2 \le 8$ dá $t^2 \ge 2{,}4$, e com $t \ge 0$, $t \ge \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}549$.
$20 - 5t^2 \ge 5$ dá $t^2 \le 3$, e $t \le \sqrt{3} \approx 1{,}732$.
O vaso fica à vista por cerca de $1{,}732 - 1{,}549 \approx 0{,}18$ s. A janela tem 3 m de altura, e o vaso a atravessa depressa porque já cai a mais de 15 m/s quando chega a ela.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre a função quadrática, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Raízes · Passo 3
Uma associação de moradores comprou um terreno retangular de 60 m² para fazer uma horta comunitária. Na planta, o comprimento do terreno tem 7 m a mais que a largura, e os moradores querem saber a largura para encomendar a cerca do portão, que fica no lado menor.

Quanto mede a largura do terreno?
1. 5 m
2. 7 m
3. 10 m
4. 12 m
5. 17 m
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Resposta: A.
Com a largura $x$, o comprimento é $x + 7$, e a área dá $x(x + 7) = 60$, isto é, $x^2 + 7x - 60 = 0$.
$\Delta = 49 + 240 = 289$, e $x = \dfrac{-7 \pm 17}{2}$, o que dá 5 ou $-12$. Uma largura não pode ser negativa, e fica $x = 5$ m, com comprimento de 12 m.
Os 12 m são o comprimento, e os 17 m são a raiz quadrada de $\Delta$, que ainda precisava passar pela fórmula. Os 7 m são a diferença entre os lados, e os 10 m saem de $-7 + 17$ quando esquecemos de dividir por $2a = 2$.
A raiz negativa, $-12$, também resolve a equação e não serve ao problema. O módulo dela é o comprimento, porque trocar $x$ por $-(x + 7)$ deixa o produto $x(x + 7)$ igual.
Sinal · Passo 5
Uma pequena fábrica de bonés estimou que o seu lucro mensal, em milhares de reais, é dado por $L(x) = -x^2 + 14x - 40$, em que $x$ é a quantidade de bonés produzidos e vendidos no mês, em centenas. Com poucas peças, os custos fixos não se pagam, e com muitas, as horas extras e a compra de tecido mais caro passam a pesar.

Para que produções mensais a fábrica tem lucro positivo?
1. Menos de 400 bonés.
2. Entre 400 e 1 000 bonés.
3. Exatamente 700 bonés.
4. Mais de 1 000 bonés.
5. Menos de 400 ou mais de 1 000 bonés.
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Resposta: B.
As raízes de $-x^2 + 14x - 40$ são as de $x^2 - 14x + 40$, com soma 14 e produto 40, isto é, 4 e 10.
Com $a = -1 < 0$, a boca fica para baixo, e a função é positiva entre as raízes, para $4 < x < 10$, de 400 a 1 000 bonés.
Os 700 bonés são o vértice, onde o lucro é máximo, $L(7) = 9$ mil reais, e não o único ponto com lucro. A alternativa E é a resposta certa para o prejuízo, e quem esquece o sinal negativo de $a$ costuma marcá-la.
Na prática, a fábrica tende a produzir perto de 700 bonés, mas qualquer produção dentro da faixa pelo menos cobre os custos.
Máximo · Passo 6
Um criador quer construir um galinheiro retangular encostado na parede lateral do celeiro, que faz um dos lados. Para os outros três lados, ele dispõe de 24 m de tela e quer aproveitá-la inteira, cercando a maior área possível.

Quais devem ser as medidas do galinheiro, a largura perpendicular à parede e o comprimento paralelo a ela?
1. 6 m e 6 m
2. 8 m e 8 m
3. 6 m e 12 m
4. 4 m e 16 m
5. 12 m e 12 m
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Resposta: C.
Com a largura $x$, sobram $24 - 2x$ metros para o comprimento, e a área é $A(x) = x(24 - 2x)$, com raízes 0 e 12.
O vértice fica no meio, em $x = 6$, com comprimento 12 m e área de 72 m².
As alternativas B e D também gastam os 24 m de tela, mas cercam 64 m². A A é o quadrado de perímetro 24 m, que esquece a parede e só cercaria 36 m², e a E gastaria 36 m de tela.
Como no cercado da bancada, o lado paralelo à parede sai com o dobro da largura, e a parede, que não custa nada, fica com o lado mais comprido.
Receita · Passo 7
Uma academia de bairro tem 300 alunos que pagam R$ 100,00 por mês. Uma pesquisa com os alunos indicou que cada aumento de R$ 5,00 na mensalidade faria a academia perder 10 alunos, e o dono quer escolher a mensalidade que traz a maior receita mensal.

Pelo resultado da pesquisa, qual mensalidade dá a maior receita?
1. R$ 100,00
2. R$ 105,00
3. R$ 125,00
4. R$ 150,00
5. R$ 250,00
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Resposta: C.
Com $k$ aumentos de R$ 5,00, a mensalidade é $100 + 5k$ e os alunos são $300 - 10k$, e a receita é $R(k) = (100 + 5k)(300 - 10k)$.
As raízes são $k = -20$ e $k = 30$, e o vértice fica no meio, em $k = 5$. A mensalidade é $100 + 25 = 125$, com 250 alunos e receita de R$ 31.250,00, contra R$ 30.000,00 hoje.
Os R$ 150,00, com 10 aumentos, deixariam 200 alunos e a mesma receita de hoje, R$ 30.000,00, no ponto simétrico ao preço atual do outro lado do vértice. Os R$ 250,00 confundem o preço com o número de alunos. Os R$ 105,00 param no primeiro aumento, que já melhora a receita mas ainda não a maximiza.
O resultado depende de a pesquisa valer para aumentos maiores, e é provável que a perda de alunos não seja tão regular assim longe do preço atual.
Lançamento · Passo 8
Numa feira de ciências, um grupo lança verticalmente um foguete de garrafa PET, e um paraquedas se abre no ponto mais alto da trajetória. Os alunos estimaram que, desprezando o ar, a altura do foguete, em metro, é $h(t) = 40t - 5t^2$, com $t$ em segundo a partir do lançamento.

Quanto tempo depois do lançamento o paraquedas se abre, e a que altura?
1. 4 s, a 80 m
2. 4 s, a 160 m
3. 8 s, a 80 m
4. 8 s, a 0 m
5. 2 s, a 60 m
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Resposta: A.
O ponto mais alto é o vértice, em $t_v = -\dfrac{40}{2 \cdot (-5)} = 4$ s.
$h(4) = 160 - 80 = 80$ m.
Os 160 m esquecem o termo $-5t^2$, e os 8 s são a raiz positiva, o instante em que o foguete voltaria ao chão sem o paraquedas, onde a altura é zero. A alternativa E calcula a altura em 2 s, a metade do tempo de subida.
Um foguete de garrafa real perde bastante para o ar, e é provável que ele suba menos e chegue ao topo um pouco antes do que o modelo diz.

Questões reais do ENEM sobre este tema

Conferimos cada uma delas no caderno azul do 2º dia, no site do INEP, onde ficam as provas e os gabaritos oficiais.

ENEM 2015, 2º dia, caderno azul, questão 174. A temperatura de uma estufa de bactérias é $T(h) = -h^2 + 22h - 85$ ao longo das horas do dia, e a questão pede a classificação da temperatura máxima, o que se resolve no vértice. Caderno
ENEM 2016, 2º dia, caderno azul, questão 149. Dois projéteis de uma feira de ciências, um com trajetória parabólica e outro retilínea, devem se encontrar no topo da parábola, e lemos o vértice no gráfico para corrigir a inclinação da reta. Caderno
ENEM 2016, 2º dia, caderno azul, questão 167. A seção de um túnel é o arco da parábola $y = 9 - x^2$, e as raízes e o vértice dão a base e a altura do retângulo que leva à área sob o arco. Caderno
ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 161. Viveiros de lagostas usam 100 m de tela nas laterais, e procuramos as medidas da base que dão a maior área, um primo do cercado do passo 6. Caderno
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 150. O saque de um jogador de vôlei segue a parábola $y = -\tfrac{x^2}{6} + \tfrac{7x}{3} + 12$, medida a partir de 1,5 m do piso, e a altura máxima decide em quais ginásios a bola bateria no teto. Caderno
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 170. O montante diário de uma empresa é $V(x) = \tfrac{x^2}{4} - 10x + 105$ ao longo dos dias do mês, e o valor mínimo, no vértice, classifica o desempenho. Caderno

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Função quadrática$f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \ne 0$

Concavidadeboca para cima com $a > 0$ e para baixo com $a < 0$

Corte no eixo y$(0, c)$

Segunda diferença, passo 1$f(x + 1) - 2f(x)$ $+ f(x - 1) = 2a$

Vértice$x_v = -\dfrac{b}{2a}$, $y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Forma canônica$a(x - h)^2 + k$, vértice $(h, k)$

Discriminante$\Delta = b^2 - 4ac$

Raízes$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Forma fatorada$a(x - x_1)(x - x_2)$

Soma e produto$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$

Máximo ou mínimo$y_v$, mínimo com $a > 0$ e máximo com $a < 0$

Lançamento vertical, $g = 10\,\text{m/s}^2$$h(t) = h_0 + v_0 t - 5t^2$, $h_{\text{máx}} = h_0 + \dfrac{v_0^2}{20}$

O sinal de f(x) = ax² + bx + c
Caso	Raízes	Sinal da função
$\Delta > 0$	$x_1 < x_2$	sinal de $a$ fora de $[x_1; x_2]$, sinal contrário dentro de $]x_1; x_2[$, zero nas raízes
$\Delta = 0$	$x_1 = x_2$	sinal de $a$ em todo $x \ne x_1$, zero em $x_1$
$\Delta < 0$	nenhuma real	sinal de $a$ em toda a reta

Caso	Raízes	Sinal da função
\(\Delta > 0\)	\(x_1 < x_2\)	sinal de \(a\) fora de \([x_1; x_2]\), sinal contrário dentro de \(]x_1; x_2[\), zero nas raízes
\(\Delta = 0\)	\(x_1 = x_2\)	sinal de \(a\) em todo \(x \ne x_1\), zero em \(x_1\)
\(\Delta < 0\)	nenhuma real	sinal de \(a\) em toda a reta