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Matemática · Ensino Médio · Geometria Espacial

Geometria Espacial

Uma caixa de leite, uma lata de refrigerante, a casquinha de sorvete e a bola de futebol ocupam espaço, e as perguntas que fazemos sobre elas costumam ser duas, quanto cabe dentro e quanto material foi gasto na casca. A geometria espacial responde às duas com poucas fórmulas, e quase todas saem de uma mesma ideia, a de fatiar o sólido e comparar as fatias. Nas bancadas giramos os sólidos com o dedo, abrimos a casca deles sobre a mesa e cortamos fatias, como fizeram Cavalieri no século XVII e, muito antes dele, Arquimedes.

  1. 1Poliedros e corpos redondos
  2. 2Planificações
  3. 3O bloco retangular
  4. 4Princípio de Cavalieri
  5. 5Pirâmide
  6. 6Cilindro
  7. 7Cone e semelhança
  8. 8Esfera
  9. ✓Desafios
PASSO 1

O que separa um poliedro de um corpo redondo?

Um poliedro é um sólido limitado só por polígonos planos, as faces. Duas faces vizinhas se encontram numa aresta, e as arestas se encontram nos vértices. O prisma tem duas bases iguais e paralelas, ligadas por paralelogramos, que viram retângulos quando o prisma é reto, e a pirâmide tem uma base só e um vértice fora dela, ligado a cada vértice da base por um triângulo. A caixa de sapato e o dado são prismas de base quadrangular.

Os corpos redondos têm alguma parte curva na superfície. O cilindro, o cone e a esfera nascem do giro de um retângulo, de um triângulo retângulo e de um semicírculo em torno de um eixo, e por isso também são chamados sólidos de revolução. A linha reta que vemos no lado de um cilindro desenhado não é aresta nenhuma. Ela só marca o contorno, o lugar em que a superfície deixa de estar virada para nós, e muda de lugar quando o sólido gira.

Leonhard Euler notou, em meados do século XVIII, que os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo nunca são independentes. Contados, eles sempre satisfazem a relação abaixo, e ela serve tanto para conferir uma contagem quanto para descobrir um número que falta.

\(V - A + F = 2\)prisma: \(V = 2n,\ A = 3n,\ F = n + 2\)pirâmide: \(V = n + 1,\ A = 2n,\ F = n + 1\)\(V\), \(A\) e \(F\) são os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, e \(n\) é o número de lados da base.

Para conversar

  • Escolha o prisma e leve \(n\) de 3 a 8. Quanto cresce cada uma das três contagens a cada lado novo, e por que \(V - A + F\) não sai do lugar?
  • Faça o mesmo com a pirâmide. Por que ela tem sempre tantos vértices quanto faces?
  • Gire o octaedro com o dedo até ver um vértice bem de frente. Quantos triângulos se encontram ali, e onde ficam as duas pirâmides que formam o sólido?
  • Escolha o cilindro e gire devagar, de olho na linha reta do lado. Ela acompanha a superfície ou fica parada diante de nós? Compare com uma aresta do prisma.
Vértices V
Arestas A
Faces F
V − A + F
Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Quantos vértices, arestas e faces tem um prisma de base pentagonal? Confira a relação de Euler.

    Ver resolução
    Com \(n = 5\), o prisma tem \(V = 2 \cdot 5 = 10\), \(A = 3 \cdot 5 = 15\) e \(F = 5 + 2 = 7\), as cinco faces laterais e as duas bases.
    \(10 - 15 + 7 = 2\).
    10 vértices, 15 arestas e 7 faces.
  2. básico

    Uma pirâmide tem 9 faces. Que polígono é a sua base, e quantas arestas ela tem?

    Ver resolução
    A pirâmide tem \(n\) faces laterais e a base, e \(n + 1 = 9\) dá \(n = 8\).
    As arestas são as 8 da base e as 8 que sobem até o ápice.
    A base é um octógono, e a pirâmide tem 16 arestas.
  3. básico

    Separe em poliedros e corpos redondos, dizendo o sólido que cada objeto lembra: uma lata de ervilha, um dado, uma casquinha de sorvete, uma bola de gude, uma caixa de sapato e uma barraca de acampamento de quatro lados que sobem até um ponto.

    Ver resolução
    A lata lembra um cilindro, a casquinha um cone e a bola uma esfera, todos com superfície curva.
    O dado é um cubo, a caixa é um prisma de base retangular, e a barraca lembra uma pirâmide de base quadrangular.
    Corpos redondos: lata, casquinha e bola. Poliedros: dado, caixa e barraca.
  4. básico

    Quantas arestas tem um prisma cuja base tem \(n\) lados? E uma pirâmide? Por que o número de arestas de um prisma é sempre múltiplo de 3?

    Ver resolução
    No prisma, cada lado da base aparece duas vezes, uma em cada base, e cada vértice da base sobe por uma aresta lateral. São \(n + n + n = 3n\) arestas.
    Na pirâmide há as \(n\) da base e as \(n\) que sobem ao ápice, \(2n\).
    \(3n\) e \(2n\). O prisma tem três arestas para cada lado da base, e daí o múltiplo de 3.
  5. médio

    O dodecaedro regular é um poliedro convexo com 12 faces pentagonais. Quantas arestas e quantos vértices ele tem?

    Ver resolução
    Somando os lados de todas as faces contamos cada aresta duas vezes, porque cada aresta é lado de duas faces. Daí \(A = \dfrac{12 \cdot 5}{2} = 30\).
    Pela relação de Euler, \(V = 2 + A - F = 2 + 30 - 12 = 20\).
    30 arestas e 20 vértices.
  6. médio

    Um poliedro convexo tem 6 faces quadradas e 8 faces triangulares. Quantos vértices ele tem?

    Ver resolução
    Os lados de todas as faces somam \(6 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 48\), e cada aresta foi contada duas vezes, \(A = 24\).
    Com \(F = 14\), \(V = 2 + 24 - 14 = 12\).
    12 vértices. É o cuboctaedro, que sai de um cubo cortado pelos pontos médios das arestas em todos os cantos.
  7. médio

    Um poliedro convexo tem 10 vértices, e em cada vértice chegam exatamente 3 arestas. Quantas faces ele tem? Dê um exemplo de poliedro assim.

    Ver resolução
    Somando as arestas que chegam a cada vértice contamos cada aresta duas vezes, uma em cada ponta, e \(A = \dfrac{10 \cdot 3}{2} = 15\).
    \(F = 2 - V + A = 2 - 10 + 15 = 7\).
    7 faces. O prisma de base pentagonal é um exemplo, com 10 vértices, 15 arestas e 3 arestas em cada vértice.
  8. médio

    Com um corte plano, tiramos um pequeno canto de um cubo, de modo que o corte forme um triângulo perto de um dos vértices. Quantos vértices, arestas e faces tem o sólido que sobra?

    Ver resolução
    O vértice cortado some, e no lugar dele aparecem os 3 vértices do triângulo, \(V = 8 - 1 + 3 = 10\).
    As 12 arestas continuam, mais curtas, e o triângulo traz 3 arestas novas, \(A = 15\).
    As 6 faces continuam, e o triângulo é uma face nova, \(F = 7\).
    \(V = 10\), \(A = 15\) e \(F = 7\), e \(10 - 15 + 7 = 2\).
  9. desafio

    Agora os 8 cantos do cubo são cortados do mesmo jeito, cada corte formando um triângulo sem tocar os outros. Quantos vértices, arestas e faces tem o sólido final?

    Ver resolução
    Cada vértice do cubo vira 3 vértices, \(V = 8 \cdot 3 = 24\).
    As 12 arestas originais ficam, e cada triângulo traz 3 novas, \(A = 12 + 8 \cdot 3 = 36\).
    As 6 faces do cubo, agora octógonos, somam-se aos 8 triângulos, \(F = 14\).
    \(V = 24\), \(A = 36\) e \(F = 14\), e \(24 - 36 + 14 = 2\).
  10. desafio

    Mostre que não existe poliedro convexo com exatamente 7 arestas.

    Ver resolução
    Toda face tem ao menos 3 lados, e cada aresta é lado de duas faces, o que dá \(2A \ge 3F\). Em todo vértice chegam ao menos 3 arestas, e cada aresta tem duas pontas, o que dá \(2A \ge 3V\).
    Com \(A = 7\), \(F \le 14/3\) e \(V \le 14/3\), e como são inteiros, \(F \le 4\) e \(V \le 4\).
    Pela relação de Euler, \(V + F = 2 + A = 9\), mas \(V + F \le 8\).
    A contradição mostra que o poliedro não existe. O tetraedro tem 6 arestas, e a pirâmide quadrangular já passa a 8.
PASSO 2

Como um sólido se abre sobre o plano?

Planificar um sólido é abrir a sua superfície sobre o plano, cortando algumas arestas e dobrando as outras, sem esticar nada. A área total do sólido é a soma das áreas das peças da planificação, e calcular quanto papelão uma caixa gasta se reduz a somar retângulos.

No prisma, a planificação tem as duas bases e um retângulo para cada lado da base, todos com a altura do prisma, e a área lateral é o perímetro da base vezes a altura. Na pirâmide regular, a base vem cercada de triângulos isósceles. A altura de cada um deles é o apótema da pirâmide, que não coincide com a altura do sólido. Ele é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura e o apótema da base.

O cilindro abre como o rótulo de uma lata. A superfície lateral vira um retângulo de altura \(h\) e comprimento \(2\pi r\), o contorno da base. A do cone abre num setor circular, cujo raio é a geratriz \(g\), a distância do vértice a um ponto da borda da base, e cujo arco tem o mesmo comprimento \(2\pi r\). O setor ocupa a fração \(r/g\) do círculo inteiro de raio \(g\).

prisma \(A_\ell = n\,\ell\,h\)pirâmide \(A_\ell = \dfrac{n\,\ell\,a_p}{2}\)cilindro \(A_\ell = 2\pi r h\)cone \(A_\ell = \pi r g,\ \ \theta = 360° \cdot \dfrac{r}{g}\)\(\ell\) é o lado da base regular de \(n\) lados, \(a_p = \sqrt{h^2 + m^2}\) é o apótema da pirâmide, com \(m\) o apótema da base, e \(g = \sqrt{r^2 + h^2}\) é a geratriz do cone. A área total soma às laterais as bases.

Para conversar

  • Com o cubo, pause e arraste a abertura até 50%. Que face fica presa à base o tempo todo, e qual delas gira junto com uma face lateral?
  • No prisma, mude \(n\) e conte as peças. Que peças aparecem para cada \(n\), e por que a contagem sempre dá \(n + 2\)?
  • No cilindro, pare a abertura no meio do caminho. A área lateral mudou? Depois abra até o fim e diga a que medida do cilindro corresponde o comprimento do retângulo.
  • Abra o cone até o fim e toque em "De frente para a planificação". Que fração de uma volta o setor ocupa, e como essa fração se compara com \(r/g\)?
Uma base
Área lateral
Área total
Peças
Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Quantos centímetros quadrados de papelão tem a planificação de uma caixa de sapato fechada de 30 cm por 20 cm por 12 cm, sem contar as abas de cola?

    Ver resolução
    A planificação tem dois retângulos de cada tipo, \(30 \times 20\), \(30 \times 12\) e \(20 \times 12\).
    \(2\,(600 + 360 + 240)\) \(= 2 \cdot 1200 = 2400\).
    2400 cm².
  2. básico

    Uma planificação tem dois triângulos iguais e três retângulos. Que sólido ela forma?

    Ver resolução
    Dois polígonos iguais fazem o papel das bases, e um retângulo para cada lado do triângulo forma a superfície lateral.
    Um prisma de base triangular.
  3. básico

    Qual é a área total de um cubo de aresta 3 cm?

    Ver resolução
    A planificação tem seis quadrados de \(3 \cdot 3 = 9\) cm².
    \(6 \cdot 9 = 54\) cm².
  4. básico

    Um cilindro tem raio da base 5 cm e altura 10 cm. Quais são as medidas do retângulo da superfície lateral planificada, e qual é a sua área? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    O retângulo tem a altura do cilindro, 10 cm, e comprimento igual ao contorno da base, \(2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4\) cm.
    Cerca de 31,4 cm por 10 cm, com área \(100\pi \approx 314\) cm².
  5. médio

    Uma pirâmide regular de base quadrada tem aresta da base 10 cm e altura 12 cm. Calcule o apótema da pirâmide, a área lateral e a área total.

    Ver resolução
    O apótema da base é a metade do lado, 5 cm. O apótema da pirâmide é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 12 e 5, \(a_p = \sqrt{144 + 25} = 13\) cm.
    Cada face lateral tem área \(\dfrac{10 \cdot 13}{2} = 65\), e as quatro somam 260 cm².
    Com a base de 100 cm², a área total é 360 cm².
    \(a_p = 13\) cm, área lateral 260 cm² e área total 360 cm².
  6. médio

    Um cone tem raio da base 6 cm e geratriz 10 cm. Qual é o ângulo do setor da sua planificação, e qual é a área lateral?

    Ver resolução
    O setor ocupa a fração \(r/g = 6/10\) de uma volta, \(\theta = 0{,}6 \cdot 360° = 216°\).
    A área lateral é a mesma fração da área do círculo de raio 10, \(0{,}6 \cdot \pi \cdot 100 = 60\pi\), que coincide com \(\pi r g = \pi \cdot 6 \cdot 10\).
    216° e \(60\pi \approx 188{,}5\) cm².
  7. médio

    Uma planificação do cubo tem quatro quadrados em fila, numerados de 1 a 4, um quadrado 5 colado acima do 2 e um quadrado 6 colado abaixo do 2. Depois de montado o cubo, quais faces ficam opostas?

    Ver resolução
    A fila de quatro quadrados dá a volta no cubo e forma as faces laterais, e assim a 1 fica oposta à 3 e a 2 oposta à 4.
    O 5 e o 6, presos em lados opostos do 2, viram o topo e o fundo.
    1 e 3, 2 e 4, 5 e 6.
  8. médio

    Uma lata cilíndrica tem 7 cm de diâmetro e 12 cm de altura, e o rótulo cobre toda a lateral, sem sobreposição. Quanto papel ele gasta? E as duas tampas juntas, quanto metal? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    O rótulo é um retângulo de \(7\pi \approx 21{,}98\) cm por 12 cm, com área \(84\pi \approx 263{,}8\) cm².
    Cada tampa é um círculo de raio 3,5 cm, com área \(12{,}25\pi\), e as duas somam \(24{,}5\pi \approx 76{,}9\) cm².
    Cerca de 264 cm² de papel e 77 cm² de metal nas tampas.
  9. desafio

    Um semicírculo de papel com raio 20 cm é enrolado até formar a superfície lateral de um cone, sem sobreposição. Quais são o raio da base e a altura desse cone?

    Ver resolução
    O raio do semicírculo vira a geratriz, \(g = 20\) cm, e o arco, de comprimento \(\pi \cdot 20 = 20\pi\), vira o contorno da base.
    \(2\pi r = 20\pi\) dá \(r = 10\) cm, e a fração \(r/g = 1/2\) confere com o meio círculo.
    A altura sai do triângulo retângulo de hipotenusa \(g\), \(h = \sqrt{400 - 100} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3\) cm.
    \(r = 10\) cm e \(h = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3\) cm.
  10. desafio

    Uma formiga está na borda de baixo de uma lata cilíndrica cuja base tem 24 cm de contorno e cuja altura é 5 cm. Ela quer chegar ao ponto da borda de cima diametralmente oposto ao ponto acima dela, andando pela superfície lateral. Qual é o caminho mais curto?

    Ver resolução
    Planificando a lateral, a lata vira um retângulo de 24 cm por 5 cm, e o ponto de chegada fica meia volta adiante, a 12 cm na horizontal e 5 cm acima.
    No plano, o caminho mais curto é o segmento, \(\sqrt{12^2 + 5^2} = 13\) cm.
    13 cm. Enrolado de novo, o segmento vira um pedaço de hélice, a mesma curva das listras de um poste de barbearia.
PASSO 3

Quantos cubinhos cabem numa caixa?

Medir um volume é contar quantos cubos de aresta unitária cabem dentro do sólido. Num bloco retangular de arestas inteiras \(a\), \(b\) e \(c\), cada camada do fundo tem \(a \cdot b\) cubinhos, e as camadas são \(c\), o que dá \(V = a\,b\,c\). A conta continua valendo com medidas fracionárias, porque podemos repetir a contagem com cubinhos menores, e ela pode ser lida como a área da base vezes a altura.

Capacidade é volume com outro nome. Um litro é o volume de um cubo de 1 dm de aresta, e daí \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3\), \(1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3\) e \(1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}\). Uma caixa-d'água de 1 m³ guarda mil litros.

A diagonal do bloco sai do teorema de Pitágoras aplicado duas vezes. A diagonal da base, \(\sqrt{a^2 + b^2}\), forma com a altura \(c\) um triângulo retângulo, e a diagonal do bloco é a hipotenusa dele.

\(V = a\,b\,c\)\(A = 2\,(ab + ac + bc)\)\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)No cubo de aresta \(a\), \(V = a^3\), \(A = 6a^2\) e \(d = a\sqrt{3}\). Para converter, \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3\).

Para conversar

  • Monte a caixa de 2 por 3 por 4 cm e conte os cubinhos de uma camada. Quantas camadas há, e o total confere com a leitura do volume?
  • Dobre só a altura. O volume dobra? E a área total, também dobra?
  • Faça um cubo de aresta 2 e depois um de aresta 4. Quantas vezes cresceram o volume e a área?
  • Ligue as diagonais e procure caixas com diagonal inteira, começando por 2, 3 e 6 cm. Encontra outra com arestas até 8?
Volume
Área total
Diagonal da base
Diagonal do bloco
Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma caixa-d'água em forma de bloco retangular mede, por dentro, 1,5 m por 1 m por 0,8 m. Quantos litros ela comporta?

    Ver resolução
    \(V = 1{,}5 \cdot 1 \cdot 0{,}8 = 1{,}2\ \text{m}^3\).
    Cada metro cúbico tem 1000 L.
    1200 L.
  2. básico

    Um aquário mede 60 cm por 30 cm por 40 cm. Quantos litros ele comporta, cheio até a borda?

    Ver resolução
    \(V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72.000\ \text{cm}^3\).
    Como \(1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3\), dividimos por mil.
    72 L.
  3. básico

    Calcule o volume, a área total e a diagonal de um cubo de aresta 5 cm.

    Ver resolução
    \(V = 5^3 = 125\ \text{cm}^3\), \(A = 6 \cdot 25 = 150\ \text{cm}^2\) e \(d = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\ \text{cm}\).
    125 cm³, 150 cm² e cerca de 8,66 cm.
  4. básico

    Quantos cubinhos de 2 cm de aresta cabem, encaixados, numa caixa de 10 cm por 6 cm por 4 cm?

    Ver resolução
    Ao longo de cada aresta cabem \(10/2 = 5\), \(6/2 = 3\) e \(4/2 = 2\) cubinhos.
    A conta pelos volumes dá o mesmo, \(240 / 8 = 30\), porque as divisões são exatas.
    \(5 \cdot 3 \cdot 2 = 30\) cubinhos.
  5. médio

    Qual é a diagonal de um bloco de 3 cm por 4 cm por 12 cm?

    Ver resolução
    A diagonal da base mede \(\sqrt{9 + 16} = 5\) cm.
    Com a altura, \(d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}\).
    13 cm.
  6. médio

    Uma piscina retangular tem 8 m por 4 m e 1,5 m de profundidade, e a água fica 20 cm abaixo da borda. Quantos litros ela tem?

    Ver resolução
    A altura da água é \(1{,}5 - 0{,}2 = 1{,}3\) m.
    \(V = 8 \cdot 4 \cdot 1{,}3 = 41{,}6\ \text{m}^3\).
    41.600 L.
  7. médio

    Todas as arestas de uma caixa dobram de tamanho. Por quanto ficam multiplicados o volume e a área total?

    Ver resolução
    O volume novo é \((2a)(2b)(2c) = 8\,abc\).
    Cada parcela da área vira \((2a)(2b) = 4ab\), e a soma fica multiplicada por 4.
    O volume fica 8 vezes maior e a área, 4 vezes. Comprimentos, áreas e volumes crescem com o fator, o quadrado e o cubo dele, e o passo 7 volta a isso.
  8. médio

    A diagonal de um cubo mede \(6\sqrt{3}\) cm. Qual é o volume do cubo?

    Ver resolução
    A diagonal do cubo é \(a\sqrt{3}\), e \(a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) dá \(a = 6\) cm.
    \(V = 6^3 = 216\ \text{cm}^3\).
  9. desafio

    As três faces de um bloco que se encontram num vértice têm áreas 12 cm², 15 cm² e 20 cm². Qual é o volume do bloco, e quais são as arestas?

    Ver resolução
    Com \(ab = 12\), \(bc = 15\) e \(ac = 20\), o produto das três dá \((abc)^2 = 3600\), e \(abc = 60\).
    Dividindo, \(c = 60/12 = 5\), \(a = 60/15 = 4\) e \(b = 60/20 = 3\).
    60 cm³, com arestas 4, 3 e 5 cm.
  10. desafio

    Qual é a vara mais comprida que cabe inteira, reta, dentro de uma caixa de 30 cm por 40 cm por 120 cm?

    Ver resolução
    O segmento mais longo dentro do bloco é a diagonal, que liga dois vértices opostos.
    \(d = \sqrt{900 + 1600 + 14.400}\) \(= \sqrt{16.900}\).
    130 cm, dez centímetros a mais que a maior aresta.
PASSO 4

Dois sólidos com fatias iguais têm o mesmo volume?

Uma pilha de moedas tem o mesmo volume reta ou torta, porque as moedas são as mesmas e só mudaram de lugar. Bonaventura Cavalieri, aluno de Galileu, transformou essa observação num princípio, publicado em 1635. Dois sólidos de mesma altura que, cortados por qualquer plano paralelo à base, dão seções de mesma área têm o mesmo volume.

O princípio fala só das áreas das seções, e a forma delas pode ser outra. Comparando qualquer prisma com um bloco retangular de mesma altura e mesma área de base, as seções têm sempre a mesma área, e daí \(V = A_b \cdot h\) para todo prisma, reto ou oblíquo. Com um círculo de mesma área no lugar do polígono, a mesma conta vale para o cilindro, \(V = \pi r^2 h\).

\(V_{\text{prisma}} = A_b \cdot h\)\(V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h\)\(A_b\) é a área da base e \(h\) é a altura, a distância entre os planos das bases. No sólido oblíquo, a aresta lateral é mais comprida que a altura.

O mesmo raciocínio vai nos dar, no passo 5, o volume de qualquer pirâmide a partir de uma só, e no passo 8 o volume da esfera, comparado com o de um sólido em que as fatias são anéis. Cavalieri pensava os sólidos como pilhas de fatias sem espessura, os indivisíveis, e o cálculo integral, algumas décadas depois, deu a essa ideia uma forma rigorosa.

Para conversar

  • Leve o plano de corte de baixo até em cima. A área das seções muda em algum dos três sólidos?
  • Incline o prisma oblíquo para um lado e para o outro. O que muda na forma do sólido, e o que fica igual nas leituras?
  • Ligue as fatias e comece com poucas. A partir de quantas fatias a pilha passa a lembrar o prisma oblíquo liso?
  • O raio do cilindro foi escolhido para que o círculo tenha a área do quadrado de 2 cm de lado. Quanto mede esse raio?
Seção do prisma reto
Seção do oblíquo
Seção do cilindro
Volume de cada um
Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm, e altura 10 cm. Qual é o volume?

    Ver resolução
    A base tem área \(\dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6\ \text{cm}^2\).
    \(V = 6 \cdot 10 = 60\ \text{cm}^3\).
  2. básico

    Quantos mililitros cabem num copo cilíndrico de raio interno 3 cm e altura interna 10 cm? Use \(\pi \approx 3{,}14\).

    Ver resolução
    \(V = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}6\ \text{cm}^3\), e cada centímetro cúbico é um mililitro.
    Cerca de 283 mL.
  3. básico

    Uma pilha de 20 moedas iguais, cada uma com raio 1,2 cm e espessura 0,2 cm, foi empurrada até ficar torta. Qual é o volume da pilha?

    Ver resolução
    Cada moeda continua sendo um cilindro de \(\pi \cdot 1{,}44 \cdot 0{,}2 = 0{,}288\pi\ \text{cm}^3\), e a pilha torta tem as mesmas seções da reta.
    \(20 \cdot 0{,}288\pi = 5{,}76\pi\).
    Cerca de 18,1 cm³, o mesmo da pilha reta, um cilindro de 4 cm de altura.
  4. básico

    Qual é o volume de um prisma reto de base hexagonal regular com lado 2 cm e altura 5 cm?

    Ver resolução
    O hexágono regular é feito de seis triângulos equiláteros de lado 2, cada um com área \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3}\). A base tem \(6\sqrt{3}\ \text{cm}^2\).
    \(V = 6\sqrt{3} \cdot 5 = 30\sqrt{3} \approx 52\ \text{cm}^3\).
  5. médio

    Um prisma oblíquo tem base quadrada de lado 4 cm, e as arestas laterais medem 10 cm e fazem 60° com o plano da base. Qual é o volume?

    Ver resolução
    A altura é a distância entre as bases, o cateto oposto ao ângulo de 60° no triângulo cuja hipotenusa é a aresta, \(h = 10 \cdot \operatorname{sen} 60° = 5\sqrt{3}\) cm.
    \(V = 16 \cdot 5\sqrt{3} = 80\sqrt{3}\).
    Cerca de 138,6 cm³. Quem usa a aresta de 10 cm como altura chega a 160 cm³.
  6. médio

    Uma lata cilíndrica de 7 cm de diâmetro e 12 cm de altura vai dentro de uma caixa de 7 cm por 7 cm por 12 cm, que ela toca por todos os lados. Que fração da caixa a lata ocupa?

    Ver resolução
    As duas têm a mesma altura, e a razão dos volumes é a razão das áreas das bases, \(\dfrac{\pi \cdot 3{,}5^2}{7^2} = \dfrac{\pi}{4}\).
    \(\pi/4 \approx 78{,}5\%\) da caixa, qualquer que seja o tamanho da lata.
  7. médio

    Um cano tem raio externo 5 cm, raio interno 4 cm e comprimento 1 m. Qual é o volume de material do cano?

    Ver resolução
    As seções perpendiculares ao comprimento são anéis de área \(\pi(25 - 16) = 9\pi\ \text{cm}^2\), todas iguais.
    Com 100 cm de comprimento, \(V = 900\pi\).
    Cerca de 2827 cm³, ou 2,8 L de material.
  8. médio

    Uma caixa-d'água cilíndrica de 1000 L tem 1 m de altura interna. Qual é o seu diâmetro interno?

    Ver resolução
    1000 L são 1 m³, e \(\pi r^2 \cdot 1 = 1\) dá \(r = 1/\sqrt{\pi} \approx 0{,}564\) m.
    Cerca de 1,13 m de diâmetro.
  9. desafio

    Um sólido de 5 cm de altura tem, em toda altura, seção horizontal quadrada de lado 2 cm, mas cada quadrado está girado em relação ao de baixo, como numa torre torcida. Qual é o volume?

    Ver resolução
    Toda seção tem área 4 cm², igual à de um prisma reto de base quadrada de lado 2 e altura 5.
    O princípio de Cavalieri não pede que as seções tenham a mesma posição, só a mesma área.
    \(V = 4 \cdot 5 = 20\ \text{cm}^3\).
  10. desafio

    Um cilindro de raio 2 cm foi cortado por um plano inclinado, e a geratriz mais curta do pedaço que sobrou mede 6 cm e a mais comprida, 10 cm. Qual é o volume desse pedaço?

    Ver resolução
    Uma cópia do pedaço, virada de cabeça para baixo e encaixada pelo corte inclinado, completa um cilindro reto em que cada geratriz mede \(6 + 10 = 16\) cm.
    O cilindro inteiro tem \(\pi \cdot 4 \cdot 16 = 64\pi\), e o pedaço é a metade.
    \(32\pi \approx 100{,}5\ \text{cm}^3\), o volume de um cilindro com a altura média, 8 cm.
PASSO 5

Por que a pirâmide tem um terço do volume do prisma?

Um cubo de aresta \(a\) se reparte em três pirâmides iguais de base quadrada, todas com o vértice num mesmo canto do cubo. Cada uma tem por base uma das faces que não tocam esse canto e altura igual à aresta, e as três juntas enchem o cubo sem sobra. Cada pirâmide tem então \(a^3/3\), um terço do prisma de mesma base e mesma altura.

O princípio de Cavalieri estende o resultado a qualquer pirâmide. A seção paralela à base, na altura \(z\), é uma cópia reduzida da base, na razão \((h - z)/h\), e a sua área é \(A_b\,(1 - z/h)^2\). Duas pirâmides com a mesma área de base e a mesma altura têm, em toda altura, seções de mesma área, e por isso o mesmo volume. Com uma base circular a mesma conta dá o volume do cone.

No prefácio de O Método, Arquimedes conta que Demócrito enunciou esse terço e que Eudoxo o demonstrou. A demonstração de Eudoxo, pelo método da exaustão, provavelmente seguia um argumento desse tipo, que hoje podemos ver como apertar a pirâmide entre duas escadas de prismas, uma por fora e outra por dentro, como a bancada mostra no segundo modo. A diferença entre as duas escadas é uma fatia inteira, que fica tão fina quanto quisermos.

\(V_{\text{pirâmide}} = \dfrac{A_b \cdot h}{3}\)\(V_{\text{cone}} = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\)\(A(z) = A_b \left(1 - \dfrac{z}{h}\right)^{2}\)\(A(z)\) é a área da seção na altura \(z\), medida a partir da base. As escadas de \(n\) degraus somam \(\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\) e \(\dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\) do prisma, e as duas frações se aproximam de \(1/3\).

Para conversar

  • No modo do cubo, afaste as três pirâmides. Onde fica o vértice comum, e que face do cubo serve de base para cada uma?
  • Gire a vista até ver, em cada pirâmide, a base quadrada e a aresta lateral que sobe na vertical. Por que a altura de todas é a aresta do cubo?
  • No modo da escada, leve \(n\) de 1 a 40 com a escada por fora e acompanhe a fração do prisma. De que número ela parece se aproximar?
  • Troque para a escada por dentro com o mesmo \(n\). Por que a diferença entre as duas é exatamente \(1/n\) do prisma?
Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Qual é o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado 6 cm e altura 10 cm?

    Ver resolução
    \(V = \dfrac{36 \cdot 10}{3}\).
    120 cm³.
  2. básico

    Qual é o volume de um cone de raio 3 cm e altura 4 cm?

    Ver resolução
    \(V = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 4}{3} = 12\pi\).
    Cerca de 37,7 cm³.
  3. básico

    Um prisma e uma pirâmide têm a mesma base e a mesma altura, e o prisma comporta 36 L. Quanto comporta a pirâmide?

    Ver resolução
    A pirâmide tem um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura.
    12 L.
  4. básico

    Uma pirâmide tem por base um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm e altura 6 cm. Qual é o volume?

    Ver resolução
    A base tem \(\dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6\ \text{cm}^2\), e \(V = \dfrac{6 \cdot 6}{3}\).
    12 cm³.
  5. médio

    Uma casquinha de sorvete é um cone de 2,5 cm de raio e 12 cm de altura. Quantos mililitros de sorvete cabem dentro dela, sem a bola de cima?

    Ver resolução
    \(V = \dfrac{\pi \cdot 6{,}25 \cdot 12}{3} = 25\pi\).
    Cerca de 78,5 mL.
  6. médio

    Uma pirâmide regular de base quadrada tem aresta da base 6 cm e apótema 5 cm. Qual é o volume?

    Ver resolução
    O apótema da pirâmide é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura e pelo apótema da base, que mede 3 cm.
    \(h = \sqrt{25 - 9} = 4\) cm, e \(V = \dfrac{36 \cdot 4}{3}\).
    48 cm³.
  7. médio

    De um cubo de aresta 6 cm, cortamos um canto com um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que chegam a um vértice. Que fração do cubo foi retirada?

    Ver resolução
    O canto é uma pirâmide cuja base é um triângulo retângulo de catetos 3 e 3, com área 4,5 cm², e cuja altura é a terceira aresta, de 3 cm.
    \(V = \dfrac{4{,}5 \cdot 3}{3} = 4{,}5\ \text{cm}^3\), e o cubo tem 216 cm³.
    \(4{,}5/216 = 1/48\) do cubo.
  8. médio

    Quantos cones cheios de água são necessários para encher um cilindro com a mesma base e a mesma altura?

    Ver resolução
    O cone tem \(\pi r^2 h / 3\), um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.
    Três cones.
  9. desafio

    O octaedro regular de aresta \(a\) é formado por duas pirâmides de base quadrada coladas pela base. Calcule o volume do octaedro de aresta 6 cm.

    Ver resolução
    Em cada pirâmide, as arestas laterais medem \(a\), e o vértice fica acima do centro da base, que está a \(a\sqrt{2}/2\) dos cantos. A altura é \(h = \sqrt{a^2 - a^2/2} = a/\sqrt{2}\).
    As duas pirâmides somam \(2 \cdot \dfrac{a^2 \cdot a/\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\,a^3\).
    Com \(a = 6\), \(V = 72\sqrt{2} \approx 101{,}8\ \text{cm}^3\).
  10. desafio

    Com a fórmula \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2\) \(= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), calcule, para \(n = 10\), as frações do prisma ocupadas pelas escadas de fora e de dentro da bancada.

    Ver resolução
    O degrau \(k\) da escada de fora é um prisma de base \((k/n)^2\) da base e altura \(1/n\) da altura, e a escada soma \(\dfrac{1^2 + \dots + n^2}{n^3} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\).
    Com \(n = 10\), \(\dfrac{11 \cdot 21}{600} = 0{,}385\). A de dentro perde o maior degrau, \(0{,}385 - 0{,}1 = 0{,}285\).
    0,385 e 0,285, e a pirâmide, com 0,333…, fica entre as duas.
PASSO 6

Que lata gasta menos alumínio?

O cilindro reto tem volume \(\pi r^2 h\), como todo prisma, e a sua superfície soma as duas tampas, de \(\pi r^2\) cada, com a lateral, que o passo 2 abriu num retângulo de \(2\pi r\) por \(h\). Com o volume fixo, essas duas parcelas puxam em sentidos contrários. Uma lata fina e alta gasta pouca chapa nas tampas e muita na lateral, e uma lata baixa e larga faz o contrário.

Fixando os 350 mL do rótulo, a altura fica determinada pelo raio, \(h = 350/(\pi r^2)\), e a área total vira uma função só de \(r\), cujo gráfico a bancada desenha. O mínimo cai no raio em que a altura é igual ao diâmetro, \(h = 2r\), o cilindro que visto de lado cabe num quadrado, chamado cilindro equilátero. Um dos desafios abaixo mostra por que, sem derivadas.

\(V = \pi r^2 h\)\(A = 2\pi r^2 + 2\pi r h\)\(A(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}\)Com o volume \(V\) fixo, a área total depende só do raio, e o mínimo fica em \(r = \sqrt[3]{V/(2\pi)}\), onde \(h = 2r\). Para 350 mL, \(r \approx 3{,}82\) cm e \(h \approx 7{,}64\) cm.

As latas de refrigerante do mercado são bem mais altas do que largas, longe desse ótimo. As razões provavelmente ficam fora da conta de área. O fundo e a tampa podem ser de chapa mais grossa que a lateral, o que empurraria o ótimo para latas mais finas, e a lata ainda precisa caber na mão e nas máquinas de envase. O modelo serve para mostrar o compromisso entre as duas parcelas, e a lata real responde também a outros critérios. A leitura de um gráfico como este, com um mínimo no meio, é o assunto da aula de Funções.

Para conversar

  • Leve o raio de 1,5 cm até 7 cm, de olho na lata e no ponto vermelho. Onde a área total para de cair e começa a subir?
  • Com o raio em 2 cm e depois em 6 cm, compare a área lateral com a área das tampas. Qual delas pesa mais em cada caso?
  • Toque em "Lata de menor área" e gire a lata para vê-la bem de lado. Que figura plana o contorno lembra?
  • Perto do mínimo, mude o raio em 0,2 cm para cada lado. A área muda muito? O que isso sugere para quem desenha latas?
Altura, h
Área lateral
Duas tampas
Área total
h ÷ 2r
Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Calcule a área total de um cilindro de raio 4 cm e altura 10 cm.

    Ver resolução
    As tampas somam \(2\pi \cdot 16 = 32\pi\), e a lateral tem \(2\pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi\).
    \(112\pi \approx 351{,}9\ \text{cm}^2\).
  2. básico

    Quantos litros cabem num recipiente cilíndrico de 10 cm de diâmetro e 20 cm de altura?

    Ver resolução
    Com raio 5 cm, \(V = \pi \cdot 25 \cdot 20 = 500\pi \approx 1571\ \text{cm}^3\).
    Cerca de 1,57 L.
  3. básico

    Uma lata tem raio 3 cm. Que altura ela precisa ter para comportar 300 mL?

    Ver resolução
    \(\pi \cdot 9 \cdot h = 300\) dá \(h = \dfrac{300}{9\pi}\).
    Cerca de 10,6 cm.
  4. básico

    Um cilindro equilátero, com \(h = 2r\), tem raio 5 cm. Calcule o volume e a área total.

    Ver resolução
    Com \(h = 10\), \(V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi\).
    A área total é \(2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot 10\) \(= 50\pi + 100\pi = 150\pi\).
    \(250\pi \approx 785\ \text{cm}^3\) e \(150\pi \approx 471\ \text{cm}^2\).
  5. médio

    O que acontece com o volume de um cilindro quando dobramos só o raio? E quando dobramos só a altura?

    Ver resolução
    Com o raio dobrado, \(\pi (2r)^2 h = 4\pi r^2 h\). Com a altura dobrada, \(\pi r^2 (2h) = 2\pi r^2 h\).
    Dobrar o raio multiplica o volume por 4, e dobrar a altura, por 2.
  6. médio

    Uma folha de 20 cm por 30 cm pode ser enrolada de dois jeitos para formar a lateral de um cilindro, emendando lados opostos. Qual dos dois cilindros comporta mais?

    Ver resolução
    Com o lado de 30 cm em volta, \(2\pi r = 30\), \(r = 15/\pi\) e \(h = 20\), o que dá \(V = \pi \dfrac{225}{\pi^2} \cdot 20 = \dfrac{4500}{\pi} \approx 1432\ \text{cm}^3\).
    Com o lado de 20 cm em volta, \(r = 10/\pi\) e \(h = 30\), e \(V = \dfrac{3000}{\pi} \approx 955\ \text{cm}^3\).
    O cilindro baixo e largo, com o lado maior em volta. O raio entra ao quadrado no volume, e a altura entra só uma vez.
  7. médio

    Uma caixa-d'água cilíndrica tem 2 m de diâmetro interno. Quantos litros saem dela quando o nível baixa 10 cm?

    Ver resolução
    A água que sai é um cilindro de raio 1 m e altura 0,1 m, \(V = \pi \cdot 1 \cdot 0{,}1 \approx 0{,}314\ \text{m}^3\).
    Cerca de 314 L.
  8. médio

    Quais são as medidas da lata cilíndrica de 1 L com a menor área total?

    Ver resolução
    O mínimo fica em \(h = 2r\), e então \(V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3 = 1000\).
    \(r = \sqrt[3]{1000/(2\pi)} \approx 5{,}42\) cm e \(h \approx 10{,}84\) cm.
    Raio de 5,42 cm e altura de 10,84 cm, com área de cerca de 554 cm².
  9. desafio

    A desigualdade entre as médias aritmética e geométrica diz que, para três números positivos, \(\dfrac{u + v + w}{3} \ge \sqrt[3]{u\,v\,w}\), com igualdade só quando os três são iguais. Use-a para mostrar que a lata de volume \(V\) com a menor área tem \(h = 2r\).

    Ver resolução
    Escrevemos a área em três parcelas, \(A = 2\pi r^2 + \dfrac{V}{r} + \dfrac{V}{r}\).
    O produto delas, \(2\pi r^2 \cdot \dfrac{V^2}{r^2} = 2\pi V^2\), não depende de \(r\), e daí \(A \ge 3\sqrt[3]{2\pi V^2}\) para toda lata.
    A igualdade vale quando as parcelas são iguais, \(2\pi r^2 = V/r\), isto é, \(V = 2\pi r^3\). Como \(V = \pi r^2 h\), isso dá \(h = 2r\).
    A área mínima é \(3\sqrt[3]{2\pi V^2}\), alcançada só pelo cilindro equilátero.
  10. desafio

    Um copo cilíndrico sem tampa deve comportar 250 mL. Que proporção entre a altura e o raio gasta menos material? Use a mesma desigualdade.

    Ver resolução
    Agora só há o fundo, e \(A = \pi r^2 + \dfrac{2V}{r} = \pi r^2 + \dfrac{V}{r} + \dfrac{V}{r}\).
    O produto das parcelas é \(\pi V^2\), constante, e o mínimo vem com \(\pi r^2 = V/r\), ou \(V = \pi r^3\). Com \(V = \pi r^2 h\), isso dá \(h = r\).
    Para 250 mL, \(r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4{,}30\) cm.
    Altura igual ao raio, com cerca de 4,3 cm cada.
PASSO 7

O que acontece quando cortamos um cone na metade da altura?

Um plano paralelo à base divide o cone em duas partes, um cone menor em cima e um tronco de cone embaixo. O cone menor é semelhante ao original, uma cópia reduzida na razão \(k = h'/H\), a altura dele dividida pela altura do cone inteiro. Em sólidos semelhantes, os comprimentos ficam multiplicados por \(k\), as áreas por \(k^2\), como nas ampliações de figuras planas, e os volumes por \(k^3\), e o mesmo vale para a pirâmide e para qualquer outro par de sólidos semelhantes.

O volume do tronco é a diferença entre os dois cones, \(V(1 - k^3)\), e pode ser escrito só com os dois raios e a altura do tronco. Baldes, copos e vasos de planta costumam ter essa forma, mais largos em cima do que embaixo.

O cubo de \(k\) engana a intuição. Um copo em forma de cone, com o vértice para baixo, cheio até a metade da altura, tem só um oitavo do que comporta, e para guardar a metade o líquido precisa chegar a \(\sqrt[3]{1/2} \approx 79\%\) da altura.

\(r' = kR,\ \ A' = k^2 A,\ \ V' = k^3 V\)\(V_{\text{tronco}} = \dfrac{\pi h}{3}\,(R^2 + Rr + r^2)\)\(k\) é a razão de semelhança, a altura do cone pequeno dividida pela altura do grande. No tronco, \(R\) e \(r\) são os raios das bases e \(h\) é a altura do tronco.

Para conversar

  • Corte o cone na metade da altura e separe as partes. Que fração do volume ficou no cone pequeno? Era o que você esperava?
  • Procure o corte em que as duas partes têm o mesmo volume. Ele fica mais perto do vértice ou da base?
  • Troque para a pirâmide e mude o número de lados com o corte parado. As três razões, \(k\), \(k^2\) e \(k^3\), mudam com a forma da base?
  • Imagine o cone de cabeça para baixo, como um copo. Com o corte em \(k = 0{,}5\), que fração do copo estaria cheia com o líquido na metade da altura?
Razão k
Áreas, k²
Volumes, k³
Parte de cima
Tronco
Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um cone de 12 cm de altura é cortado por um plano paralelo à base, a 4 cm do vértice. Que fração do volume tem o cone pequeno?

    Ver resolução
    A razão de semelhança é \(k = 4/12 = 1/3\), e os volumes ficam na razão \(k^3\).
    \(1/27\) do volume.
  2. básico

    Duas pirâmides semelhantes têm alturas de 5 cm e 10 cm, e a menor tem volume 5 cm³. Qual é o volume da maior?

    Ver resolução
    A maior é a menor ampliada na razão 2, e o volume fica multiplicado por \(2^3 = 8\).
    40 cm³.
  3. básico

    A maquete de um prédio foi feita na escala 1 : 100, e cabem 2 L de areia dentro dela. Quantos metros cúbicos cabem no prédio, supondo a mesma forma?

    Ver resolução
    Os comprimentos crescem 100 vezes, e os volumes \(100^3 = 1.000.000\) vezes.
    \(2 \cdot 1.000.000 = 2.000.000\ \text{L}\).
    2000 m³.
  4. básico

    Um cone tem raio 6 cm e altura 9 cm. Cortamos a 6 cm do vértice, paralelamente à base. Qual é o raio da base do cone pequeno?

    Ver resolução
    \(k = 6/9 = 2/3\), e os comprimentos ficam multiplicados por \(k\).
    \(r' = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4\) cm.
  5. médio

    Um copo em forma de cone, com o vértice para baixo, tem 12 cm de altura e comporta 240 mL. Quanto líquido ele tem quando o nível está a 6 cm do fundo?

    Ver resolução
    O líquido ocupa um cone semelhante ao copo, com \(k = 6/12 = 1/2\), e o volume fica multiplicado por \(1/8\).
    30 mL.
  6. médio

    No mesmo copo, até que altura precisamos encher para ter 120 mL, a metade?

    Ver resolução
    Queremos \(k^3 = 1/2\), e \(k = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}794\).
    \(0{,}794 \cdot 12 \approx 9{,}5\) cm de altura.
  7. médio

    Calcule o volume de um tronco de cone com raios das bases 4 cm e 2 cm e altura 3 cm.

    Ver resolução
    \(V = \dfrac{\pi \cdot 3}{3}\,(16 + 8 + 4) = 28\pi\).
    Cerca de 88 cm³.
  8. médio

    Um balde em forma de tronco de cone tem 30 cm de diâmetro na boca, 20 cm no fundo e 30 cm de altura. Quantos litros ele comporta?

    Ver resolução
    Os raios são 15 cm e 10 cm, e \(V = \dfrac{\pi \cdot 30}{3}\,(225 + 150 + 100)\) \(= 4750\pi \approx 14.923\ \text{cm}^3\).
    Cerca de 14,9 L.
  9. desafio

    A que distância do vértice devemos cortar uma pirâmide de 10 cm de altura, paralelamente à base, para que as duas partes tenham o mesmo volume?

    Ver resolução
    A pirâmide pequena precisa ter metade do volume, \(k^3 = 1/2\), e \(k = 1/\sqrt[3]{2} \approx 0{,}794\).
    Cerca de 7,94 cm do vértice, ou 2,06 cm acima da base.
  10. desafio

    Partindo da diferença entre dois cones, mostre que o tronco de raios \(R\) e \(r\) e altura \(h\) tem volume \(\dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\).

    Ver resolução
    Seja \(H\) a altura do cone inteiro. O cone retirado tem altura \(H - h\), e a semelhança dá \(\dfrac{H - h}{H} = \dfrac{r}{R}\), de onde \(H = \dfrac{hR}{R - r}\) e \(H - h = \dfrac{hr}{R - r}\).
    \(V = \dfrac{\pi}{3}\big(R^2 H - r^2 (H - h)\big)\) \(= \dfrac{\pi h}{3} \cdot \dfrac{R^3 - r^3}{R - r}\).
    Como \(R^3 - r^3 = (R - r)(R^2 + Rr + r^2)\), o fator \(R - r\) cancela.
    \(V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\). Com \(r = 0\) volta o cone, e com \(r = R\), o cilindro.
PASSO 8

Como Arquimedes mediu a esfera?

Arquimedes de Siracusa, no século III a.C., mostrou que a esfera tem dois terços do volume e dois terços da área do cilindro que a envolve, com o mesmo raio e altura igual ao diâmetro. Segundo Plutarco, na Vida de Marcelo, ele pediu que uma esfera dentro de um cilindro fosse gravada no seu túmulo, e Cícero conta, nas Tusculanas, ter encontrado o túmulo, quase coberto pelo mato, por causa desse desenho.

O princípio de Cavalieri dá o volume em poucas linhas. Ao lado de uma semiesfera de raio \(R\), pomos um cilindro de raio \(R\) e altura \(R\) do qual foi tirado um cone, com o vértice no centro do fundo e a base na tampa. Na altura \(z\), a semiesfera tem como seção um disco de raio \(\sqrt{R^2 - z^2}\), e o cilindro sem o cone tem um anel entre os raios \(z\) e \(R\). As duas áreas dão \(\pi(R^2 - z^2)\), e os volumes são iguais.

\(\pi(R^2 - z^2) = \pi R^2 - \pi z^2\)\(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\)\(A = 4\pi R^2\)A semiesfera tem \(\pi R^2 \cdot R - \dfrac{\pi R^2 \cdot R}{3} = \dfrac{2}{3}\pi R^3\), e a esfera, o dobro. A área é a de quatro círculos máximos, igual à área lateral do cilindro que envolve a esfera, \(2\pi R \cdot 2R\).

Arquimedes chegou ao resultado por outro caminho, equilibrando fatias numa alavanca imaginária, e depois o demonstrou com o rigor dos gregos. A área da seção, \(\pi(R^2 - z^2)\), é uma função quadrática da altura, máxima no círculo do meio. Com o raio médio da Terra, 6371 km segundo a NASA, a fórmula dá cerca de 1,08 trilhão de quilômetros cúbicos, e com a massa do planeta ela leva à densidade média, a grandeza que abre a aula de Hidrostática, num dos desafios abaixo.

Para conversar

  • Leve o plano de corte do fundo até o alto. O disco encolhe e o anel afina, mas as duas leituras ficam iguais em toda altura?
  • Pare o corte no fundo e depois no alto. O que são o disco e o anel nessas duas posições?
  • Dobre o raio. Quantas vezes crescem o volume e a área da esfera?
  • Com o raio em 3 cm, compare o volume da esfera com o do cilindro de raio 3 cm e altura 6 cm. A razão de Arquimedes confere?
Disco da semiesfera
Anel do cilindro sem o cone
Volume da esfera
Área da esfera
Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Uma bola tem raio 10 cm. Calcule o volume e a área da superfície.

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    \(V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1000 \approx 4189\ \text{cm}^3\) e \(A = 4\pi \cdot 100 = 400\pi \approx 1257\ \text{cm}^2\).
    Cerca de 4,2 L e 1257 cm².
  2. básico

    Qual é a área da superfície de uma esfera de 6 cm de diâmetro?

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    O raio é 3 cm, e \(A = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\).
    Cerca de 113 cm².
  3. básico

    Uma tigela tem a forma de uma semiesfera de raio interno 9 cm. Quantos litros ela comporta?

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    \(V = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 729 = 486\pi \approx 1527\ \text{cm}^3\).
    Cerca de 1,5 L.
  4. básico

    O raio de uma esfera dobra. Por quanto ficam multiplicados o volume e a área?

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    O volume depende de \(R^3\) e a área de \(R^2\).
    O volume fica 8 vezes maior e a área, 4 vezes.
  5. médio

    Uma bola encostada em todas as faces de uma caixa cúbica de aresta 10 cm ocupa que fração da caixa?

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    O raio é 5 cm, e \(V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523{,}6\ \text{cm}^3\), contra 1000 cm³ da caixa.
    \(\pi/6 \approx 52{,}4\%\), qualquer que seja a aresta.
  6. médio

    Uma laranja esférica tem 4 cm de raio, e a casca tem 0,5 cm de espessura. Que fração do volume é casca?

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    Sem a casca sobra uma esfera de raio 3,5 cm, semelhante à laranja inteira na razão \(3{,}5/4 = 0{,}875\).
    O volume sem casca é \(0{,}875^3 \approx 0{,}67\) do total.
    Cerca de 33%, um terço da laranja, com uma casca que parece fina.
  7. médio

    Uma esfera de raio 3 cm está dentro de um cilindro de raio 3 cm e altura 6 cm, encostada nas tampas e na lateral. Confira a razão de Arquimedes para os volumes e para as áreas totais.

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    O cilindro tem \(V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi\) e a esfera \(\dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\), e \(36/54 = 2/3\).
    A área total do cilindro é \(2 \cdot 9\pi + 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 54\pi\), e a da esfera é \(36\pi\), outra vez \(2/3\).
    As duas razões dão 2/3.
  8. médio

    Tomando a Terra como uma esfera de raio 6371 km, o raio médio da ficha da NASA, calcule a área da sua superfície.

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    \(A = 4\pi \cdot 6371^2\) \(= 4\pi \cdot 40.589.641\) \(\approx 510.064.000\ \text{km}^2\).
    Cerca de 510 milhões de km². Os oceanos ocupam a maior parte dessa área.
  9. desafio

    Uma esfera de metal de raio 6 cm é derretida e moldada em esferas de raio 2 cm. Quantas esferas saem, e quantas vezes a área total cresce?

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    As esferas pequenas são semelhantes à grande na razão \(1/3\), e cada uma tem \(1/27\) do volume. Saem 27 esferas.
    Cada uma tem \(1/9\) da área da grande, e as 27 juntas somam \(27/9 = 3\) vezes essa área.
    27 esferas e o triplo da área. Dividir um material em pedaços menores aumenta a superfície exposta.
  10. desafio

    Uma bola de gude de raio 3 cm cai num copo cilíndrico de raio interno 6 cm com água, e fica toda submersa. Quanto sobe o nível da água?

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    A água sobe ocupando o volume da bola, \(\dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\ \text{cm}^3\), num cilindro de base \(36\pi\ \text{cm}^2\).
    \(\Delta h = \dfrac{36\pi}{36\pi} = 1\) cm.
    1 cm. O volume de líquido deslocado é o que entra no empuxo, na aula de Hidrostática.
FECHAMENTO

Desafios

Passos 3 e 8 · Esfera e densidade

A NASA dá para a Terra um raio médio de 6371 km e uma massa de 5,9722 × 10²⁴ kg. Tomando a Terra como uma esfera, qual é a sua densidade média, em kg/m³? Compare com a da água e com a do ferro, 7900 kg/m³, que aparece na aula de Hidrostática.

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Em metros, \(R = 6{,}371 \times 10^6\), e \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \approx 1{,}083 \times 10^{21}\ \text{m}^3\).
\(\rho = \dfrac{5{,}9722 \times 10^{24}}{1{,}083 \times 10^{21}} \approx 5513\ \text{kg/m}^3\), o valor que a própria ficha da NASA traz.
A Terra é cerca de 5,5 vezes mais densa que a água e fica abaixo do ferro. Segundo o Serviço Geológico dos Estados Unidos (USGS), a densidade média da Terra é cerca do dobro da densidade das rochas da superfície, o que pede um interior bem mais denso, e o núcleo seria composto principalmente de ferro.
Passos 7 e 8 · Semelhança e esfera

O raio médio da Lua é de 1737,4 km, segundo a mesma ficha da NASA. Quantas Luas caberiam, em volume, dentro da Terra?

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Duas esferas são sempre semelhantes, e a razão dos volumes é o cubo da razão dos raios.
\(\dfrac{6371}{1737{,}4} \approx 3{,}667\), e \(3{,}667^3 \approx 49{,}3\).
Em volume caberiam cerca de 49 Luas, embora o diâmetro da Terra seja só 3,7 vezes o da Lua. Esferas maciças não se encaixam sem sobra, e a conta vale para a Lua derretida e despejada dentro da Terra.
Passos 4 e 5 · Cilindro e cone

Um silo tem a forma de um cilindro de 3 m de raio e 10 m de altura, coberto por um cone de mesma base e 2 m de altura, e está cheio de grãos até o alto do cone. Quantas viagens precisa fazer um caminhão que leva 25 m³ por vez?

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O cilindro tem \(\pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi\) e o cone \(\dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 2}{3} = 6\pi\), e juntos somam \(96\pi \approx 301{,}6\ \text{m}^3\).
\(301{,}6 / 25 \approx 12{,}06\), e doze viagens deixariam grãos no silo.
São 13 viagens, a última quase vazia.
Passo 7 · Tronco de cone

Um copo tem a forma de um tronco de cone, com 6 cm de diâmetro no fundo, 8 cm na boca e 10 cm de altura. Com o suco na metade da altura, o copo está cheio até a metade do volume?

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O copo inteiro tem \(\dfrac{\pi \cdot 10}{3}(16 + 12 + 9)\) \(= \dfrac{370\pi}{3} \approx 387{,}5\ \text{cm}^3\).
Na metade da altura o raio é a média dos dois, 3,5 cm, e o suco forma um tronco de raios 3 e 3,5 cm e altura 5 cm, \(\dfrac{\pi \cdot 5}{3}(12{,}25 + 10{,}5 + 9) \approx 166{,}2\ \text{cm}^3\).
Isso dá cerca de 43% do copo. A parte de cima é mais larga e guarda mais suco por centímetro, e mais da metade do volume fica acima da metade da altura.
Passos 3 e 8 · Bloco e esfera

Que fração de um cubo ocupa a bola encostada nas seis faces? E que fração de uma bola ocupa o cubo com os oito vértices na superfície dela?

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No primeiro caso, o diâmetro da bola é a aresta \(a\), e \(\dfrac{\frac{4}{3}\pi (a/2)^3}{a^3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 52{,}4\%\).
No segundo, a diagonal do cubo é o diâmetro, \(a\sqrt{3} = 2R\), e \(a = 2R/\sqrt{3}\). O cubo tem \(\dfrac{8R^3}{3\sqrt{3}}\), e a razão é \(\dfrac{8R^3/(3\sqrt{3})}{4\pi R^3/3} = \dfrac{2}{\pi\sqrt{3}} \approx 36{,}8\%\).
A bola enche pouco mais da metade do cubo, e o cubo, pouco mais de um terço da bola.
Passos 1 e 8 · Euler e a bola de futebol

A bola de futebol clássica é costurada com 12 pentágonos e 20 hexágonos, e cheia de ar fica quase esférica. Tratando a costura como um poliedro, quantas arestas e quantos vértices ela tem?

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Os lados de todas as faces somam \(12 \cdot 5 + 20 \cdot 6 = 180\), e cada costura separa duas faces, \(A = 90\).
Com \(F = 32\), a relação de Euler dá \(V = 2 + 90 - 32 = 60\).
São 90 arestas e 60 vértices, e em cada vértice se encontram três peças. O poliedro é o icosaedro truncado, que sai de um icosaedro com os doze cantos cortados.
Passos 5, 6 e 8 · O túmulo de Arquimedes

Dentro de um cilindro de raio \(R\) e altura \(2R\) cabem, encostados nele, uma esfera e um cone com a base no fundo e o vértice no centro da tampa. Mostre que os volumes do cone, da esfera e do cilindro estão na razão 1 : 2 : 3.

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O cilindro tem \(\pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3\).
O cone, com a mesma base e a mesma altura, tem um terço disso, \(\dfrac{2}{3}\pi R^3\), e a esfera tem \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\).
Multiplicando os três por \(\dfrac{3}{2\pi R^3}\), ficam 1, 2 e 3. A esfera vale dois cones, e o cilindro vale a esfera mais um cone.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre geometria espacial, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

  1. Planificações · Passo 2

    Marina vai fazer chapéus de aniversário em forma de cone, sem a base, recortando setores circulares de cartolina e colando as bordas retas, sem sobreposição. Cada chapéu deve ter 20 cm de diâmetro na borda de baixo e 25 cm de geratriz, a distância da ponta até a borda.

    Qual deve ser o ângulo central de cada setor recortado?

    1. Cerca de 2,5°
    2. 72°
    3. 144°
    4. 216°
    5. 288°
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    Resposta: C.
    O setor tem raio igual à geratriz, 25 cm, e o seu arco vira a borda do chapéu, de comprimento \(2\pi \cdot 10 = 20\pi\) cm. O setor ocupa a fração \(\dfrac{20\pi}{2\pi \cdot 25} = \dfrac{r}{g} = \dfrac{10}{25}\) de uma volta.
    \(\theta = 0{,}4 \cdot 360° = 144°\).
    Quem usa o diâmetro no lugar do raio chega a 288°, e quem toma o pedaço que sobra da cartolina chega a 216°. Os 72° são a metade da resposta. Os 2,5° vêm de calcular o ângulo em radianos, \(2\pi \cdot 10 / 25 \approx 2{,}5\), e escrever o número como se fosse em graus.
  2. Bloco retangular · Passo 3

    A caixa-d'água de uma casa tem a forma de um bloco retangular de 2 m de comprimento, 1,5 m de largura e 1 m de altura, medidas internas. Durante um corte no abastecimento, a água dentro dela estava a 60 cm de altura, e a família consome, em média, 450 L por dia.

    Mantido esse consumo, por quantos dias completos a água da caixa vai durar?

    1. 0,4 dia
    2. 4 dias
    3. 6 dias
    4. 7 dias
    5. 40 dias
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    Resposta: B.
    A água ocupa um bloco de \(2 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}6 = 1{,}8\ \text{m}^3\), e cada metro cúbico tem 1000 L, o que dá 1800 L.
    \(1800 / 450 = 4\) dias.
    A caixa cheia, com 3000 L, daria \(6{,}7\) dias, e por isso aparecem os 6 e os 7 dias. Os 40 dias vêm de converter 1,8 m³ em 18.000 L, e o 0,4 dia, de converter em 180 L.
  3. Pirâmide · Passo 5

    Uma artesã faz velas maciças em forma de pirâmide de base quadrada, com 6 cm de lado na base e 9 cm de altura. Ela recebeu uma encomenda de 50 velas e precisa saber quanta parafina derretida vai usar, desprezando o pavio.

    Qual é o volume de parafina necessário para a encomenda?

    1. 1,8 L
    2. 2,7 L
    3. 5,4 L
    4. 16,2 L
    5. 54 L
    Ver resolução
    Resposta: C.
    Cada vela tem \(\dfrac{36 \cdot 9}{3} = 108\ \text{cm}^3\), e as 50 somam \(5400\ \text{cm}^3\).
    Como \(1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3\), são 5,4 L.
    Os 16,2 L esquecem o terço e tratam a vela como prisma. Os 54 L erram a conversão de unidades. Os 2,7 L dividem a base por dois, como se fosse um triângulo, e os 1,8 L dividem por três duas vezes.
  4. Semelhança no cone · Passo 7

    Um bar serve coquetéis em taças cuja parte interna tem a forma de um cone com o vértice para baixo, de 9 cm de altura. Cheia até a borda, a taça comporta 216 mL, mas o garçom costuma servir a bebida só até 6 cm de altura, medidos a partir do vértice.

    Quantos mililitros de bebida são servidos em cada taça?

    1. 64 mL
    2. 96 mL
    3. 108 mL
    4. 144 mL
    5. 152 mL
    Ver resolução
    Resposta: A.
    A bebida forma um cone semelhante ao da taça, na razão \(k = 6/9 = 2/3\), e os volumes ficam na razão \(k^3 = 8/27\).
    \(\dfrac{8}{27} \cdot 216 = 64\) mL.
    Os 144 mL usam \(k\) no lugar de \(k^3\), e os 96 mL usam \(k^2\). Os 108 mL supõem que a bebida ocupa metade da taça, e os 152 mL são o espaço que fica vazio.
  5. Esfera · Passo 8

    Uma doceira prepara uma panela com 540 cm³ de massa de brigadeiro e enrola docinhos esféricos, todos com 3 cm de diâmetro. Para a conta, ela usa 3 como valor aproximado de \(\pi\).

    Quantos brigadeiros ela consegue fazer com essa panela?

    1. 5
    2. 20
    3. 40
    4. 53
    5. 80
    Ver resolução
    Resposta: C.
    Cada brigadeiro tem raio 1,5 cm e volume \(\dfrac{4}{3} \cdot 3 \cdot 1{,}5^3 = 4 \cdot 3{,}375 = 13{,}5\ \text{cm}^3\).
    \(540 / 13{,}5 = 40\).
    Quem usa o diâmetro como raio chega a 5 brigadeiros, e quem usa a fórmula da área, \(4\pi r^2 = 27\), chega a 20. Os 53 vêm de esquecer o fator \(4/3\), e os 80 contam semiesferas.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

  • ENEM 2012, 2º dia, caderno azul, questão 149. Uma loja de embalagens mostra três planificações, e precisamos reconhecer os sólidos que elas formam.
  • ENEM 2013, 2º dia, caderno azul, questão 157. Uma piscina infantil cilíndrica de 12 m³ e 1 m de profundidade vai ganhar uma ilha cilíndrica no centro, e a questão pede o maior raio da ilha que deixa ao menos 4 m³ para a água.
  • ENEM 2014, 2º dia, caderno azul, questão 167. Pílulas em forma de cilindro com uma semiesfera em cada ponta têm o raio reduzido de 5 mm para 4 mm, e calculamos quanto o volume diminui.
  • ENEM 2016, 2º dia, caderno azul, questão 136. Um silo formado por um cilindro e um cone está cheio de grãos, e contamos as viagens de um caminhão de 20 m³ para esvaziá-lo.
  • ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 148. A estrutura de sustentação de cabanas na ilha de Gotland, na Suécia, aparece numa foto e num desenho, e precisamos dizer que sólido as suas arestas formam.
  • ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 180. Uma faixa retangular com uma diagonal desenhada é enrolada num cilindro e forma uma hélice, e a questão pede a altura do cilindro.
  • ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 143. Três faces de um cubo receberam quadrados pintados num mesmo vértice, e precisamos escolher a planificação que mostra a pintura certa.
  • ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 153. Um chocolate em forma de cone vai ter o volume reduzido em 19%, mantida a altura, e calculamos o novo diâmetro da base.
  • ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 169. Cinco modelos de caixa-d'água cilíndrica diferem na profundidade e no raio ou na área da base, e escolhemos o de maior capacidade.
  • ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 144. O nível da água numa cisterna cilíndrica de 3 m² de base é anotado em vários horários, e calculamos a vazão do curso-d'água que a abastece.
  • ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 149. Uma embalagem cilíndrica vai ser trocada por uma cúbica com 80% da sua capacidade, e a questão pede a aresta do cubo.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Relação de Euler, poliedro convexo\(V - A + F = 2\)
Prisma e cilindro\(V = A_b \cdot h\), e no cilindro \(V = \pi r^2 h\)
Pirâmide e cone\(V = \dfrac{A_b \cdot h}{3}\), e no cone \(V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\)
Bloco retangular\(V = abc\), \(A = 2(ab + ac + bc)\)
Diagonal do bloco e do cubo\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), \(d = a\sqrt{3}\)
Áreas lateraisprisma \(n\ell h\), cilindro \(2\pi r h\), cone \(\pi r g\)
Apótema da pirâmide e geratriz do cone\(a_p = \sqrt{h^2 + m^2}\), \(g = \sqrt{r^2 + h^2}\)
Setor da planificação do cone\(\theta = 360° \cdot \dfrac{r}{g}\)
Tronco de cone\(V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\)
Esfera\(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), \(A = 4\pi R^2\)
Princípio de Cavalieriseções de mesma área em toda altura dão o mesmo volume
Sólidos semelhantes na razão \(k\)comprimentos \(\times k\), áreas \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\)
Capacidade\(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3\), \(1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}\)
Lata de menor área, volume fixo\(h = 2r\)