Matemática · Ensino Médio · Geometria Plana

Geometria Plana

A planta de um apartamento, a sombra de um prédio no fim da tarde e a tela da televisão guardam a mesma geometria. Figuras com a mesma forma e tamanhos diferentes têm os ângulos iguais e os lados proporcionais, o teorema de Pitágoras amarra os três lados de um triângulo retângulo, e a área mede quanto plano uma figura ocupa. No fim, olhamos para os movimentos que levam uma figura a outra, as isometrias, que não mudam forma nem tamanho, e as homotetias, que ampliam e reduzem.

1Semelhança
2Sombras
3Pitágoras
4Relações métricas
5Áreas de polígonos
6Círculo
7Isometrias
8Homotetias
✓Desafios

PASSO 1

Quando dois triângulos têm a mesma forma?

Duas figuras são semelhantes quando uma é a ampliação ou a redução da outra, talvez girada ou espelhada. Nos triângulos, isso quer dizer ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais, todos multiplicados pelo mesmo número $k$, a razão de semelhança.

Para decidir se dois triângulos são semelhantes bastam menos informações que as seis igualdades. Dois ângulos iguais já garantem o terceiro, porque os três somam 180°, e esse é o critério AA. O critério LAL pede dois lados proporcionais com o ângulo entre eles igual, e o LLL pede os três lados proporcionais.

A bancada usa o caso mais útil deles. Uma reta paralela a BC corta AB em D e AC em E, e os ângulos em D e em E repetem os de B e de C, porque são ângulos correspondentes entre paralelas. Pelo critério AA, o triângulo ADE é semelhante a ABC, e a mesma conta mostra que a paralela divide os dois lados na mesma razão, $AD/DB = AE/EC$. É o teorema de Tales no triângulo.

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} = k$$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$Com DE paralelo a BC. O perímetro de ADE é $k$ vezes o de ABC, e o passo 8 mostra que a área fica multiplicada por $k^2$.

Para conversar

Arraste o vértice A para bem longe da base e acompanhe os ângulos de ADE. Algum deles deixa de ser igual ao ângulo correspondente de ABC?
Leve D até o meio de AB. Que valor aparece nas três razões, e onde foi parar o ponto E?
Puxe D para além de B, com $k$ maior que 1. O triângulo ADE ficou maior que ABC. As razões de Tales continuam iguais?
Achate o triângulo, trazendo A para perto de BC. A semelhança continua valendo? O que fica difícil de ver no desenho?

k, a razão AD/AB

Ângulos de ABC

Ângulos de ADE

AD/AB, AE/AC, DE/BC

AD/DB e AE/EC

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um triângulo tem ângulos de 50°, 60° e 70°. Outro tem um ângulo de 70°, um de 50° e um terceiro ângulo $x$. Quanto vale $x$, e os dois triângulos são semelhantes?

Ver resolução
Os ângulos de um triângulo somam 180°, e $x = 180° - 70° - 50° = 60°$.
Os dois triângulos têm os mesmos três ângulos, e o critério AA já bastaria com dois deles.
$x = 60°$, e os triângulos são semelhantes.
básico
Os lados de um triângulo medem 4, 5 e 6 cm. Um triângulo semelhante a ele tem razão de semelhança $k = 3$. Quanto medem os seus lados e o seu perímetro?

Ver resolução
Cada lado fica multiplicado por 3, o que dá 12, 15 e 18 cm.
O perímetro é $12 + 15 + 18 = 45$, o triplo dos $4 + 5 + 6 = 15$ do triângulo original.
12, 15 e 18 cm, com perímetro de 45 cm.
básico
No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo a BC, com D em AB e E em AC. Sabendo que $AD = 4$, $DB = 6$ e $AE = 6$, quanto mede $EC$?

Ver resolução
Pelo teorema de Tales, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{EC}$ dá $4 \cdot EC = 36$.
$EC = 9$
básico
O triângulo de lados 3, 4 e 5 é semelhante ao de lados 6, 8 e 10? E ao de lados 6, 8 e 12?

Ver resolução
Comparando os lados em ordem crescente, $6/3 = 8/4 = 10/5 = 2$, e o critério LLL vale com $k = 2$.
No terceiro triângulo, $6/3 = 8/4 = 2$, mas $12/5 = 2{,}4$.
Semelhante ao primeiro, com razão 2, e não semelhante ao segundo.
médio
No triângulo ABC, DE é paralelo a BC, com $AD = 3$, $AB = 12$ e $BC = 20$. Quanto mede $DE$?

Ver resolução
ADE é semelhante a ABC com $k = AD/AB = 3/12 = 1/4$.
$DE = k \cdot BC = 20/4 = 5$.
$DE = 5$
médio
Três ruas paralelas cortam duas avenidas. Na primeira avenida, os quarteirões entre as ruas medem 40 m e 60 m. Na segunda, o primeiro quarteirão mede 50 m. Quanto mede o segundo?

Ver resolução
Um feixe de paralelas corta duas transversais em segmentos proporcionais, a versão do teorema de Tales para retas.
$\dfrac{40}{60} = \dfrac{50}{x}$ dá $40x = 3000$.
$x = 75\ \text{m}$
médio
Nos triângulos ABC e DEF, $AB = 6$, $AC = 9$ e o ângulo em A mede 40°, enquanto $DE = 4$, $DF = 6$ e o ângulo em D também mede 40°. Eles são semelhantes? Se $EF = 5$, quanto mede $BC$?

Ver resolução
$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ e $\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$, e o ângulo entre esses lados é o mesmo nos dois.
O critério LAL vale, e ABC é DEF ampliado 1,5 vez.
São semelhantes, e $BC = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$.
médio
Dois triângulos isósceles têm o ângulo do vértice igual a 40°. Eles são sempre semelhantes? E dois triângulos isósceles quaisquer?

Ver resolução
Num isósceles, os ângulos da base são iguais. Com 40° no vértice, cada um mede $(180° - 40°)/2 = 70°$, e os dois triângulos têm ângulos 40°, 70° e 70°.
Um isósceles com 100° no vértice tem ângulos 100°, 40° e 40°, e não é semelhante ao primeiro.
Os dois primeiros são sempre semelhantes, pelo critério AA. Dois isósceles quaisquer, não.
desafio
No trapézio ABCD, as bases AB e CD são paralelas, com $AB = 12$ e $CD = 4$. As diagonais se cortam em P, e $AC = 10$. Quanto mede $AP$?

Ver resolução
Os triângulos PAB e PCD têm os ângulos em P opostos pelo vértice, e os ângulos PAB e PCD são alternos internos entre as paralelas. Pelo critério AA, eles são semelhantes.
A razão é $AB/CD = 3$, e por isso $AP = 3 \cdot PC$.
Como $AP + PC = 10$, temos $4 \cdot PC = 10$, $PC = 2{,}5$.
$AP = 7{,}5$
desafio
Um triângulo tem base de 12 cm e altura de 8 cm. Um quadrado é desenhado dentro dele, com um lado sobre a base e os outros dois vértices sobre os lados do triângulo. Quanto mede o lado do quadrado?

Ver resolução
Chamamos o lado de $x$. O lado de cima do quadrado é paralelo à base e recorta, no alto, um triângulo semelhante ao original, com base $x$ e altura $8 - x$.
As alturas seguem a mesma razão que as bases, $\dfrac{x}{12} = \dfrac{8 - x}{8}$.
$8x = 96 - 12x$ dá $20x = 96$.
$x = 4{,}8\ \text{cm}$

PASSO 2

Como medir uma altura que não se alcança?

O Sol está tão longe que os seus raios chegam até nós praticamente paralelos. Uma vara vertical, a sua sombra no chão plano e o raio que passa pela ponta da vara formam um triângulo retângulo, e no mesmo instante todo objeto vertical do lugar forma um triângulo com os mesmos ângulos.

Pelo critério AA esses triângulos são semelhantes, e a razão entre altura e sombra é a mesma para todos. Medindo a sombra de uma vara de altura conhecida e a sombra de um prédio, calculamos a altura do prédio sem subir nele. A aula de Trigonometria faz a mesma medida com um ângulo no lugar da vara. A sombra existe porque a luz anda em linha reta, como discute o primeiro passo da aula de Óptica.

Diógenes Laércio, que escreveu uns oito séculos depois, conta que Tales de Mileto mediu assim as pirâmides do Egito, esperando a hora em que a sombra de uma pessoa iguala a sua altura. Na pirâmide há um detalhe a mais, porque o pé da altura fica escondido no centro da base, e a sombra que medimos no chão precisa ganhar a metade do lado, 115 m na Grande Pirâmide.

$\dfrac{H}{S} = \dfrac{h}{s}$$H = S \cdot \dfrac{h}{s}$H e S são a altura e a sombra do objeto, h e s as da vara, medidas no mesmo instante. Com o sol a 45° acima do horizonte, a sombra de qualquer objeto vertical tem o comprimento da sua altura.

Para conversar

Com o poste, baixe o sol até 20°. Quantas vezes a sombra do poste é maior que a do bastão, e quantas vezes o poste é mais alto que o bastão?
Aperte "Sol a 45°" e compare cada sombra com a altura do objeto. Por que, nesse instante, a conta fica dispensável?
Escolha a pirâmide e suba o sol devagar. Por volta de que elevação a sombra da ponta passa a cair dentro da base, e o que Tales poderia fazer num dia assim?
Ainda na pirâmide, compare a sombra medida a partir da borda com a sombra contada a partir do centro. Qual das duas entra na proporção?

Altura do sol

Sombra do bastão de 1 m

Sombra do objeto

Altura ÷ sombra

Altura pela proporção

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um bastão de 1 m faz uma sombra de 0,8 m no mesmo instante em que a sombra de um prédio mede 24 m. Qual é a altura do prédio?

Ver resolução
A razão altura/sombra é a mesma, $\dfrac{H}{24} = \dfrac{1}{0{,}8}$.
$H = \dfrac{24}{0{,}8} = 30$.
30 m
básico
Uma pessoa de 1,70 m projeta uma sombra de 2,55 m, e uma árvore ao lado projeta, no mesmo instante, uma sombra de 9 m. Qual é a altura da árvore?

Ver resolução
$\dfrac{H}{9} = \dfrac{1{,}70}{2{,}55}$, e a razão do lado direito vale $\tfrac{2}{3}$.
$H = 9 \cdot \tfrac{2}{3} = 6$.
6 m
básico
Num certo instante, a sombra de um bastão de 1 m mede exatamente 1 m. Quanto mede um poste cuja sombra, nesse instante, tem 7,2 m? Por que a conta é tão simples?

Ver resolução
A razão altura/sombra vale 1, e a altura de cada objeto é igual à sua sombra.
O triângulo do bastão é retângulo e tem os dois catetos iguais, e o raio de sol faz 45° com o chão. Todos os triângulos desse instante são isósceles.
7,2 m. Com o sol a 45°, sombra e altura coincidem.
básico
No mesmo instante, um poste de 6 m projeta uma sombra de 4 m e um segundo poste projeta uma sombra de 5 m. Qual é a altura do segundo?

Ver resolução
$\dfrac{H}{5} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$.
$H = 7{,}5\ \text{m}$
médio
Num dia de visita à Grande Pirâmide, a sombra de um bastão de 1 m mede 1 m, e a sombra da ponta da pirâmide passa 22 m além da borda da base, com o sol de frente para uma das faces. Sabendo que o lado da base mede 230 m, qual é a altura da pirâmide?

Ver resolução
A altura cai no centro da base, e a sombra da ponta precisa ser contada a partir dali, $115 + 22 = 137\ \text{m}$.
Com o bastão de 1 m e sombra de 1 m, a altura é igual à sombra.
137 m, a altura atual da pirâmide segundo a Britannica.
médio
Noutro dia, ao meio-dia, a sombra do bastão de 1 m mede 0,75 m. Um visitante procura a sombra da ponta da Grande Pirâmide, de 137 m de altura e base de lado 230 m, e não a encontra fora da base. Por quê?

Ver resolução
A sombra da ponta, contada do centro, mediria $137 \cdot 0{,}75 \approx 102{,}8\ \text{m}$.
A borda da base fica a 115 m do centro, e a sombra da ponta cai sobre a própria pirâmide, numa face que fica à sombra.
Com o sol tão alto, a sombra não sai da base. É preciso esperar o sol baixar.
médio
À noite, um poste de 4,5 m ilumina a calçada com uma lâmpada no topo. Uma pessoa de 1,8 m está a 3 m do pé do poste. Quanto mede a sua sombra?

Ver resolução
Os raios agora saem de um ponto e não são paralelos, mas a semelhança continua. O triângulo da pessoa e da sombra $s$ é semelhante ao do poste com a sombra inteira, $s + 3$.
$\dfrac{1{,}8}{4{,}5} = \dfrac{s}{s + 3}$, e $0{,}4\,(s + 3) = s$ dá $1{,}2 = 0{,}6\,s$.
$s = 2\ \text{m}$
médio
Um prédio tem uma antena no topo. A sombra do prédio sem a antena mede 30 m, e a sombra do conjunto, 36 m. No mesmo instante, um bastão de 1 m projeta 1,5 m de sombra. Quanto medem o prédio e a antena?

Ver resolução
A razão altura/sombra é $1/1{,}5 = 2/3$.
O prédio mede $30 \cdot \tfrac{2}{3} = 20\ \text{m}$, e o conjunto mede $36 \cdot \tfrac{2}{3} = 24\ \text{m}$.
Prédio de 20 m e antena de 4 m.
desafio
Uma árvore fica a 6 m de um muro vertical. A sua sombra cobre os 6 m de chão e ainda sobe 1,5 m pelo muro. No mesmo instante, um bastão de 1 m projeta uma sombra de 1,2 m no chão. Qual é a altura da árvore?

Ver resolução
O raio que passa pela ponta da árvore chega ao muro a 1,5 m do chão, depois de andar 6 m na horizontal.
Pelo bastão, cada raio desce 1 m a cada 1,2 m percorridos, e nesses 6 m ele desce $6 / 1{,}2 = 5\ \text{m}$.
A ponta da árvore fica então 5 m acima do ponto em que o raio toca o muro, $5 + 1{,}5$.
6,5 m
desafio
Para medir uma árvore sem sol, Júlia põe um espelho no chão a 10 m do tronco e se afasta até ver a ponta da árvore no centro do espelho, a 2 m dele. Os seus olhos estão a 1,6 m do chão. Qual é a altura da árvore?

Ver resolução
No espelho, o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, como na lei da reflexão. Os dois triângulos retângulos, o de Júlia e o da árvore, têm então o mesmo ângulo no espelho.
Pelo critério AA eles são semelhantes, e $\dfrac{H}{10} = \dfrac{1{,}6}{2}$.
$H = 8\ \text{m}$

PASSO 3

Por que $a^2 + b^2 = c^2$?

Num triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo reto são os catetos, e o lado oposto a ele, o maior dos três, é a hipotenusa. O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Lido como área, o quadrado construído sobre a hipotenusa ocupa exatamente o mesmo que os quadrados dos dois catetos juntos.

Uma das provas mais curtas usa quatro cópias do triângulo dentro de um quadrado de lado $a + b$. Arrumados nos cantos, os triângulos deixam livre um quadrado inclinado de lado $c$. Deslizados até formar dois retângulos $a \times b$, deixam livres um quadrado de lado $a$ e outro de lado $b$. Os triângulos são os mesmos nos dois arranjos, e a área que sobra também, o que dá $a^2 + b^2 = c^2$.

A recíproca também vale, e um triângulo de lados 3, 4 e 5 tem um ângulo reto. É com essa conta, marcando 60 cm numa parede, 80 cm na outra e conferindo 1 m entre as marcas, que pedreiros costumam verificar um canto em esquadro. Num triângulo qualquer de maior lado $c$, a comparação de $c^2$ com $a^2 + b^2$ classifica o ângulo oposto a $c$. No plano cartesiano, o teorema vira a fórmula da distância entre dois pontos.

$a^2 + b^2 = c^2$Com $a$ e $b$ os catetos e $c$ a hipotenusa. Num triângulo qualquer de maior lado $c$, $c^2 < a^2 + b^2$ quando o ângulo oposto a $c$ é agudo, e $c^2 > a^2 + b^2$ quando ele é obtuso.

Para conversar

Arraste A e B até os catetos medirem 3 e 4. Quanto mede $c$, e quantos quadradinhos da malha cabem em cada um dos três quadrados?
Puxe A para a direita, fechando o ângulo em C, e depois para a esquerda, abrindo-o. Como $c^2$ se compara com $a^2 + b^2$ em cada caso?
Ponha os catetos em 1 e 2. A hipotenusa sai inteira? Que número a bancada mostra para $c$?
No modo prova, deslize os triângulos devagar. Que parte do quadrado grande nunca muda de área, e qual muda de forma?

a², cateto CB

b², cateto CA

c², lado AB

Ângulo em C

a² + b² − c²

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm. Quanto mede a hipotenusa?

Ver resolução
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$c = 10\ \text{cm}$
básico
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 m, e um dos catetos mede 5 m. Quanto mede o outro?

Ver resolução
$b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
$b = 12\ \text{m}$
básico
Qual é a diagonal de um vão retangular de 1,2 m de altura por 0,5 m de largura?

Ver resolução
A diagonal é a hipotenusa do triângulo de catetos 1,2 e 0,5.
$d^2 = 1{,}44 + 0{,}25 = 1{,}69$.
$d = 1{,}3\ \text{m}$
básico
Um triângulo de lados 7, 24 e 25 é retângulo? E um de lados 5, 6 e 8?

Ver resolução
$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$, e pela recíproca de Pitágoras o primeiro é retângulo.
No segundo, $5^2 + 6^2 = 61$ e $8^2 = 64$, que não coincidem.
O primeiro é retângulo e o segundo não é.
médio
Classifique quanto aos ângulos o triângulo de lados 6, 7 e 9, e o de lados 4, 5 e 7.

Ver resolução
Comparamos o quadrado do maior lado com a soma dos outros dois.
$6^2 + 7^2 = 85$ e $9^2 = 81$. Como $81 < 85$, o ângulo oposto ao lado 9 é agudo, e ele é o maior ângulo do triângulo.
$4^2 + 5^2 = 41$ e $7^2 = 49$. Como $49 > 41$, o ângulo oposto ao lado 7 é obtuso.
O primeiro é acutângulo e o segundo é obtusângulo.
médio
As telas de alta definição seguem a razão 16:9 entre largura e altura, e o tamanho anunciado é a diagonal, em polegadas, com 1 polegada igual a 2,54 cm. Quanto medem a largura e a altura de uma tela de 55 polegadas?

Ver resolução
Com largura $16u$ e altura $9u$, a diagonal mede $u\sqrt{16^2 + 9^2} = u\sqrt{337} \approx 18{,}36\,u$.
$18{,}36\,u = 55$ dá $u \approx 2{,}996$ polegadas.
Largura $16u \approx 47{,}9$ polegadas e altura $9u \approx 27{,}0$ polegadas. Multiplicando por 2,54, chegamos aos centímetros.
Cerca de 121,8 cm de largura e 68,5 cm de altura.
médio
Uma escada de 5 m está apoiada num muro vertical, com o pé a 1,4 m do muro. A que altura ela toca o muro?

Ver resolução
A escada é a hipotenusa, e a distância ao muro e a altura são os catetos.
$h^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04$.
$h = 4{,}8\ \text{m}$
médio
Quanto mede a altura de um triângulo equilátero de lado 6 cm? E a de um equilátero de lado $\ell$?

Ver resolução
A altura cai no meio da base e forma um triângulo retângulo de hipotenusa 6 e cateto 3.
$h^2 = 36 - 9 = 27$, $h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$.
Com lado $\ell$, $h^2 = \ell^2 - \ell^2/4 = 3\ell^2/4$.
$3\sqrt{3} \approx 5{,}2\ \text{cm}$, e em geral $h = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$.
desafio
Mostre que, para inteiros $m > n > 0$, os números $m^2 - n^2$, $2mn$ e $m^2 + n^2$ são os lados de um triângulo retângulo. Que triângulos saem de $m = 2, n = 1$ e de $m = 3, n = 2$?

Ver resolução
$(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2$
$= m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2$
$= m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$.
Pela recíproca de Pitágoras, o triângulo é retângulo.
Com $m = 2, n = 1$ saem 3, 4 e 5, e com $m = 3, n = 2$ saem 5, 12 e 13.
A identidade vale para quaisquer $m > n > 0$, e gera os triângulos 3, 4, 5 e 5, 12, 13.
desafio
Para conferir o canto de uma parede, um pedreiro marca 60 cm numa face e 80 cm na outra, a partir do canto, e mede 1,02 m entre as marcas. O ângulo do canto é reto, maior ou menor que 90°?

Ver resolução
Com o canto reto, a distância entre as marcas seria $\sqrt{0{,}6^2 + 0{,}8^2} = 1\ \text{m}$.
A medida deu $1{,}02^2 = 1{,}0404$, maior que $0{,}36 + 0{,}64 = 1$.
Quando o quadrado do lado oposto passa da soma, o ângulo é obtuso.
O canto tem um pouco mais de 90°, e as paredes estão ligeiramente abertas.

PASSO 4

O que a altura faz dentro do triângulo retângulo?

No triângulo ABC, retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa desce de A até o ponto H de BC e divide a hipotenusa em duas projeções, $m = BH$ e $n = HC$. A altura também corta o triângulo em dois triângulos menores, e os três são semelhantes, porque cada triângulo pequeno tem um ângulo reto e divide um ângulo agudo com o grande.

Das três semelhanças saem as relações métricas. Cada cateto ao quadrado é a hipotenusa vezes a projeção dele, $b^2 = a\,n$ e $c^2 = a\,m$, e a soma das duas devolve Pitágoras, porque $m + n = a$. A altura ao quadrado é o produto das projeções, o que faz de $h$ a média geométrica entre $m$ e $n$.

A bancada põe o vértice A sobre uma semicircunferência de diâmetro BC. Todo triângulo inscrito assim é retângulo em A, outro resultado que leva o nome de Tales, e arrastar A percorre todos os triângulos retângulos com a mesma hipotenusa.

$h^2 = m\,n$$b^2 = a\,n$$c^2 = a\,m$$a\,h = b\,c$$a = BC$ é a hipotenusa, $b = AC$ e $c = AB$ são os catetos, $h = AH$ é a altura, e $m = BH$ e $n = HC$ são as projeções de $c$ e de $b$ sobre a hipotenusa. A última relação diz que o dobro da área pode ser calculado com qualquer lado como base.

Para conversar

Leve A até o alto da semicircunferência. Quanto valem $m$, $n$ e $h$, e que triângulo retângulo aparece?
Arraste A para perto de B. O que acontece com $h$ e com $m$, e o produto $m\,n$ continua acompanhando $h^2$?
Ligue os três triângulos e compare os ângulos marcados. Que ângulo o triângulo ABH divide com o triângulo grande, e qual o triângulo AHC divide?
Encontre a posição com $m = 2$ e $n = 8$. Quanto mede a altura, e quanto vale a raiz de $m\,n$?

m e n

h² e m·n

b² e a·n

c² e a·m

a·h e b·c

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 e 9. Quanto mede a altura relativa à hipotenusa?

Ver resolução
$h^2 = m\,n = 4 \cdot 9 = 36$.
$h = 6$
básico
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10, e a projeção $m$ do cateto $c$ mede 3,6. Quanto medem $c$, $n$ e $b$?

Ver resolução
$c^2 = a\,m = 10 \cdot 3{,}6 = 36$, e $c = 6$.
$n = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$, e $b^2 = a\,n = 64$.
$c = 6$, $n = 6{,}4$ e $b = 8$.
básico
Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 e 8. Quanto mede a altura relativa à hipotenusa?

Ver resolução
A hipotenusa mede 10, por Pitágoras.
$a\,h = b\,c$ dá $10\,h = 48$.
$h = 4{,}8$
básico
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12, e uma das projeções mede 9. Quanto medem a outra projeção e a hipotenusa?

Ver resolução
$12^2 = 9\,n$ dá $n = 144/9 = 16$.
$a = m + n = 9 + 16$.
$n = 16$ e $a = 25$.
médio
Os catetos de um triângulo retângulo medem 15 e 20. Calcule a hipotenusa, a altura relativa a ela e as duas projeções.

Ver resolução
$a^2 = 225 + 400 = 625$, $a = 25$.
$h = \dfrac{b\,c}{a} = \dfrac{300}{25} = 12$.
A projeção do cateto 15 é $225/25 = 9$, e a do cateto 20 é $400/25 = 16$. Conferindo, $9 \cdot 16 = 144 = 12^2$.
$a = 25$, $h = 12$, projeções 9 e 16.
médio
Queremos desenhar um quadrado com a mesma área de um retângulo de 4 cm por 9 cm. Quanto mede o lado do quadrado, e como a semicircunferência da bancada permite construí-lo com régua e compasso?

Ver resolução
A área é 36 cm², e o lado mede 6 cm.
Sobre uma reta, marcamos 4 cm e, em seguida, 9 cm, num diâmetro de 13 cm, e traçamos a semicircunferência. A perpendicular levantada no ponto de junção encontra a semicircunferência a uma altura $h$ com $h^2 = 4 \cdot 9$.
6 cm, a altura do triângulo retângulo inscrito com projeções 4 e 9.
médio
Na bancada, a hipotenusa mede 10. Em que posição de A a altura $h$ é a maior possível, e quanto ela vale ali?

Ver resolução
A é um ponto da semicircunferência de raio 5, e a sua distância ao diâmetro não passa do raio.
A distância 5 acontece no alto, com $m = n = 5$, e de fato $h^2 = 25$.
No alto, com $h = 5$, num triângulo retângulo isósceles.
médio
Mostre que as relações $b^2 = a\,n$ e $c^2 = a\,m$ levam ao teorema de Pitágoras.

Ver resolução
Somando as duas, $b^2 + c^2 = a\,n + a\,m = a\,(m + n)$.
As duas projeções juntas formam a hipotenusa, $m + n = a$.
$b^2 + c^2 = a^2$, o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo em A.
desafio
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 25, e a altura relativa a ela mede 12. Quanto medem os catetos?

Ver resolução
As projeções somam 25 e têm produto $12^2 = 144$. São as raízes de $x^2 - 25x + 144 = 0$, com $\Delta = 625 - 576 = 49$, e $x = (25 \pm 7)/2$, isto é, 16 e 9.
$c^2 = 25 \cdot 9 = 225$ e $b^2 = 25 \cdot 16 = 400$.
Os catetos medem 15 e 20.
desafio
Use a semicircunferência para mostrar que, para $m, n > 0$, $\dfrac{m + n}{2} \ge \sqrt{m\,n}$, e diga quando vale a igualdade.

Ver resolução
Com o diâmetro $m + n$, o raio mede $\dfrac{m + n}{2}$, e a altura do triângulo inscrito mede $\sqrt{m\,n}$.
A altura vai de A até o diâmetro e nunca passa do raio, que é a maior distância de um ponto da semicircunferência ao diâmetro.
A média aritmética é maior ou igual à geométrica, e as duas coincidem quando $m = n$, com A no alto.

PASSO 5

Como medir a área de um polígono?

A área conta quantos quadrados de lado 1 cabem numa figura, e a malha quadriculada deixa fazer essa conta quase à mão. Um retângulo de lados $b$ e $h$ tem $b\,h$ quadradinhos, e as outras fórmulas saem de recortar e recolar pedaços, um jeito antigo de medir área.

O paralelogramo vira retângulo quando cortamos um triângulo de um lado e o encaixamos do outro, e a área fica base vezes altura. Dois triângulos iguais formam um paralelogramo, e cada triângulo fica com a metade. Dois trapézios iguais, um deles virado de cabeça para baixo, também formam um paralelogramo, com base igual à soma das duas bases do trapézio.

Para um polígono qualquer com os vértices nos pontos da malha há dois atalhos. A fórmula dos cadarços soma produtos cruzados das coordenadas dos vértices, e o teorema de Pick só conta pontos, os $I$ que ficam dentro e os $B$ que ficam na borda. Num cercado, a área aparece com outro fim, na otimização da aula de Função Quadrática.

$A_{\triangle} = \dfrac{b\,h}{2}$$A_{\text{par}} = b\,h$$A_{\text{trap}} = \dfrac{(b_1 + b_2)\,h}{2}$$A = I + \dfrac{B}{2} - 1$A altura é sempre medida na perpendicular à base. A fórmula de Pick vale para polígonos com os vértices nos pontos da malha e com o contorno sem cruzamentos.

Para conversar

No triângulo, arraste o vértice de cima na horizontal, sem mudar a sua altura. O que acontece com a área, e por quê?
Monte um paralelogramo de base 5 e altura 3 bem inclinado. A área mudou em relação ao retângulo 5 × 3? E o perímetro?
No polígono livre, conte você mesmo os pontos de dentro e os da borda e confira a fórmula de Pick com a área dos cadarços.
Arraste um vértice do polígono livre até um lado cruzar outro. O que acontece com as contas, e por que a bancada deixa de confiar nelas?

Pela fórmula da figura

Pelos cadarços

Por Pick, I + B/2 − 1

Perímetro

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a área de um triângulo de base 10 cm e altura 6 cm?

Ver resolução
$A = \dfrac{10 \cdot 6}{2}$.
30 cm²
básico
Um paralelogramo tem base de 8 cm, lado inclinado de 5 cm e altura de 4 cm. Qual é a sua área?

Ver resolução
A área é base vezes altura, e o lado inclinado só entra no perímetro.
$A = 8 \cdot 4$.
32 cm², e não os 40 cm² que sairiam de multiplicar os dois lados.
básico
Um trapézio tem bases de 12 m e 8 m e altura de 5 m. Qual é a sua área?

Ver resolução
$A = \dfrac{(12 + 8) \cdot 5}{2} = \dfrac{100}{2}$.
50 m²
básico
As diagonais de um losango medem 10 cm e 6 cm. Qual é a sua área?

Ver resolução
As diagonais se cortam ao meio e em ângulo reto, e o losango é a metade do retângulo de lados 10 e 6 que o envolve.
$A = \dfrac{10 \cdot 6}{2}$.
30 cm²
médio
Um terreno tem forma de L. Ele é um retângulo de 20 m por 30 m do qual foi retirado, num canto, um retângulo de 10 m por 12 m. Qual é a área do terreno?

Ver resolução
Retângulo inteiro, $20 \cdot 30 = 600$. Parte retirada, $10 \cdot 12 = 120$.
$600 - 120 = 480\ \text{m}^2$
médio
Um polígono com vértices nos pontos de uma malha de 1 cm tem 10 pontos da malha no interior e 8 na borda. Qual é a sua área?

Ver resolução
Pela fórmula de Pick, $A = I + \dfrac{B}{2} - 1 = 10 + 4 - 1$.
13 cm²
médio
Use a fórmula dos cadarços para achar a área do triângulo de vértices $(0;\ 0)$, $(4;\ 1)$ e $(1;\ 3)$.

Ver resolução
Somamos $x_i\,y_{i+1} - x_{i+1}\,y_i$ ao longo do contorno, e os três termos são $0 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 0$, $4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 11$ e $1 \cdot 0 - 0 \cdot 3 = 0$.
A soma é 11, e a área é a metade do valor absoluto.
5,5
médio
Com 20 m de cerca, um jardineiro pode fazer um canteiro retangular de 8 m por 2 m ou um quadrado de 5 m de lado. Qual tem mais área? Algum retângulo com esse perímetro passa do quadrado?

Ver resolução
O retângulo tem 16 m², e o quadrado, 25 m².
Com lados $x$ e $10 - x$, a área é $x\,(10 - x)$, uma parábola com vértice em $x = 5$, como no cercado da aula de Função Quadrática.
O quadrado. Nenhum retângulo de perímetro 20 m passa de 25 m².
desafio
Um ladrilho tem a forma de um hexágono regular de lado 2 cm. Qual é a sua área?

Ver resolução
Ligando o centro aos vértices, o hexágono se divide em 6 triângulos equiláteros de lado 2.
Pelo passo 3, cada um tem altura $\sqrt{3}$ e área $\dfrac{2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
$6\sqrt{3} \approx 10{,}4\ \text{cm}^2$
desafio
A mediana de um triângulo liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mostre que ela divide o triângulo em dois triângulos de mesma área.

Ver resolução
Com a mediana AM do triângulo ABC, os triângulos ABM e AMC têm bases BM e MC, que são iguais porque M é o ponto médio.
A altura relativa a essas bases é a mesma nos dois, a distância de A à reta BC.
Bases iguais e alturas iguais dão áreas iguais, cada uma a metade da área de ABC.

PASSO 6

De onde vem a área do círculo?

O comprimento de uma circunferência é proporcional ao diâmetro, e a constante dessa proporção é o número $\pi$, perto de 3,1416. Daí $C = 2\pi r$. Para a área, cortamos o disco em fatias iguais, como uma pizza, e deitamos as fatias lado a lado, alternando a ponta para baixo e para cima.

A faixa que se forma tem a altura de uma fatia, perto de $r$, e uma base com metade do contorno, perto de $\pi r$. Com fatias mais finas os arcos ficam mais retos, a faixa se aproxima de um retângulo, e a área do disco é $\pi r \cdot r = \pi r^2$. Medida com a base das cordas e a altura até a corda, a faixa dá a área do polígono regular inscrito, que tende a $\pi r^2$ à medida que as fatias afinam.

Uma fatia de ângulo central $\alpha$ é um setor circular, e o seu arco e a sua área são a fração $\alpha/360°$ da circunferência e do disco. A coroa circular, o anel entre duas circunferências de mesmo centro, tem a área do disco maior menos a do menor.

$C = 2\pi r$$A = \pi r^2$$\ell = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$A_{\text{setor}} = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$Com $r$ o raio e $\alpha$ o ângulo central do setor, em grau. A coroa de raios $R$ e $r$ tem área $\pi\,(R^2 - r^2)$.

Para conversar

Com 8 fatias, deite a pizza inteira. A faixa parece um paralelogramo? E com 48 fatias?
Compare nas leituras a base da faixa com $\pi r$. Por que a base sai sempre um pouco menor?
Dobre o raio e acompanhe o comprimento e a área. Qual dos dois dobra, e qual fica quatro vezes maior?
No modo setor, procure o ângulo cuja área é um quarto do disco, e depois o ângulo cujo arco mede o próprio raio.

Raio, em cm

Número de fatias

Deitar as fatias

Comprimento, 2πr

Área, πr²

Base e altura da faixa

Base × altura

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule o comprimento e a área de um círculo de raio 5 cm, com $\pi \approx 3{,}14$.

Ver resolução
$C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$.
$A = \pi \cdot 25 = 25\pi \approx 78{,}5$.
Cerca de 31,4 cm e 78,5 cm².
básico
A roda de uma bicicleta tem 70 cm de diâmetro. Quantos metros a bicicleta anda em 100 voltas da roda, sem deslizar? Use $\pi \approx 3{,}14$.

Ver resolução
Em cada volta, a bicicleta anda o comprimento da roda, $\pi \cdot 0{,}70 \approx 2{,}198\ \text{m}$.
$100 \cdot 2{,}198 \approx 219{,}8$.
Cerca de 220 m.
básico
Qual é a área de um setor de 60° num círculo de raio 6 cm, e quanto mede o seu arco?

Ver resolução
60° é a sexta parte de 360°.
Área, $\dfrac{36\pi}{6} = 6\pi \approx 18{,}8$. Arco, $\dfrac{12\pi}{6} = 2\pi \approx 6{,}28$.
$6\pi\ \text{cm}^2$ e $2\pi\ \text{cm}$.
básico
Numa pizzaria, uma pizza grande tem 35 cm de diâmetro, e uma média tem 25 cm. Duas médias têm mais ou menos pizza que uma grande?

Ver resolução
Grande, $\pi \cdot 17{,}5^2 = 306{,}25\pi$. Duas médias, $2 \cdot \pi \cdot 12{,}5^2 = 312{,}5\pi$.
As duas médias têm um pouco mais, cerca de 981,7 cm² contra 962,1 cm².
médio
Uma praça circular de 10 m de raio tem, no centro, um canteiro circular de 6 m de raio. Qual é a área da calçada em volta do canteiro?

Ver resolução
A calçada é uma coroa circular, $\pi\,(10^2 - 6^2) = 64\pi$.
$64\pi \approx 201{,}1\ \text{m}^2$
médio
O que acontece com o comprimento e com a área de um círculo quando o raio dobra? E quando triplica?

Ver resolução
O comprimento $2\pi r$ é proporcional a $r$ e dobra ou triplica junto com ele.
A área $\pi r^2$ depende do quadrado, e $\pi(2r)^2 = 4\pi r^2$, $\pi(3r)^2 = 9\pi r^2$.
O comprimento fica 2 e 3 vezes maior, e a área, 4 e 9 vezes maior.
médio
Um sensor de presença cobre um setor de 90° com 10 m de alcance. Que área ele cobre?

Ver resolução
90° é um quarto do círculo, $\dfrac{\pi \cdot 100}{4} = 25\pi$.
$25\pi \approx 78{,}5\ \text{m}^2$
médio
Um círculo está inscrito num quadrado de lado 10 cm, tocando os quatro lados. Qual é a área da parte do quadrado fora do círculo?

Ver resolução
O diâmetro do círculo é o lado do quadrado, e o raio mede 5.
$100 - 25\pi \approx 100 - 78{,}5$.
Cerca de 21,5 cm².
desafio
Para que ângulo central o arco de um setor mede exatamente o raio?

Ver resolução
$\dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r = r$ dá $\alpha = \dfrac{360°}{2\pi} = \dfrac{180°}{\pi}$.
Cerca de 57,3°, o ângulo que a aula de Trigonometria chama de 1 radiano.
desafio
Sobre os três lados de um triângulo retângulo desenhamos semicírculos, com cada lado como diâmetro. Mostre que o semicírculo da hipotenusa tem a área dos outros dois juntos.

Ver resolução
Um semicírculo de diâmetro $d$ tem raio $d/2$ e área $\dfrac{1}{2}\pi\dfrac{d^2}{4} = \dfrac{\pi}{8}\,d^2$.
Somando os dos catetos, $\dfrac{\pi}{8}(a^2 + b^2) = \dfrac{\pi}{8}\,c^2$, por Pitágoras.
As áreas seguem a mesma relação que os quadrados, porque todos os semicírculos são figuras semelhantes, e a área de figuras semelhantes cresce com o quadrado do lado.

PASSO 7

Que movimentos mudam a figura de lugar sem deformá-la?

Uma isometria é uma transformação do plano que preserva distâncias. A figura muda de lugar, e às vezes de orientação, enquanto comprimentos, ângulos e área ficam como estavam. Figuras ligadas por uma isometria são congruentes, semelhantes com razão 1.

Três movimentos fazem quase todo o serviço. A translação empurra todos os pontos pelo mesmo vetor, a rotação gira todos em torno de um centro pelo mesmo ângulo, e a reflexão leva cada ponto ao seu simétrico em relação a uma reta, o espelho. Translação e rotação mantêm o sentido em que percorremos o contorno, e a reflexão o inverte, como no espelho plano da aula de Óptica, em que a mão direita aparece como esquerda.

Duas reflexões seguidas mantêm o sentido. Com espelhos que se cortam num ponto O, o resultado é a rotação em torno de O pelo dobro do ângulo entre eles, e com espelhos paralelos é uma translação pelo dobro da distância entre eles. Os gráficos da aula de Funções seguem as mesmas regras, em que somar $k$ às saídas translada a curva para cima e trocar $x$ por $-x$ a reflete no eixo $y$.

$(x;\ y) \mapsto (x + v_1;\ y + v_2)$$(x;\ y) \mapsto (x;\ -y)$$(x;\ y) \mapsto (-y;\ x)$Translação pelo vetor $(v_1;\ v_2)$, reflexão no eixo $x$ e rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem. A reflexão na reta $y = x$ troca as coordenadas, $(x;\ y) \mapsto (y;\ x)$.

Para conversar

Na translação, arraste a ponta da imagem A′ e acompanhe a bandeira. Algum ponto do plano fica parado?
Na reflexão, ponha o espelho sobre o eixo $y$ e compare as coordenadas de A e de A′. Depois incline o espelho. O sentido da bandeira continua invertido?
Na rotação, gire 90° e depois 180°. Que ponto não sai do lugar em nenhum ângulo? Compare as imagens de 180° e de −180°. Por que elas coincidem?
Em duas reflexões, abra o ângulo entre os espelhos para 30° e leia o ângulo da rotação resultante. O que acontece com 90°?

A e a imagem A′

AB e A′B′

Áreas

Sentido do contorno

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
O ponto $(2;\ -1)$ sofre a translação pelo vetor $(3;\ 4)$. Onde ele vai parar?

Ver resolução
Somamos o vetor às coordenadas, $(2 + 3;\ -1 + 4)$.
$(5;\ 3)$
básico
Quais são os simétricos do ponto $(3;\ 5)$ em relação ao eixo $x$ e em relação ao eixo $y$?

Ver resolução
No eixo $x$ a abscissa fica e a ordenada troca de sinal, e no eixo $y$ acontece o contrário.
$(3;\ -5)$ e $(-3;\ 5)$.
básico
O ponto $(4;\ 1)$ gira 90° no sentido anti-horário em torno da origem. Onde ele vai parar? E com 180°?

Ver resolução
A rotação de 90° leva $(x;\ y)$ a $(-y;\ x)$, e dá $(-1;\ 4)$.
Duas rotações de 90° trocam os dois sinais, $(x;\ y) \mapsto (-x;\ -y)$.
$(-1;\ 4)$ e $(-4;\ -1)$.
básico
Nas letras de forma usuais, quais de A, F, H e N têm eixo de simetria? Quais coincidem consigo mesmas depois de um giro de 180°?

Ver resolução
O A tem um eixo vertical, e o H tem um vertical e um horizontal. O F não tem nenhum, e o N também não.
O H e o N voltam a si mesmos depois de meia volta em torno do centro, e o A e o F ficam de cabeça para baixo.
Eixo de simetria, A e H. Simetria de 180°, H e N.
médio
Quais são os simétricos de $(1;\ 3)$ em relação à reta $y = x$ e em relação à reta $y = -x$?

Ver resolução
A reflexão em $y = x$ troca as coordenadas e dá $(3;\ 1)$. Conferindo, o ponto médio $(2;\ 2)$ está na reta, e o segmento tem direção $(2;\ -2)$, perpendicular a ela.
A reflexão em $y = -x$ troca as coordenadas e os sinais, $(x;\ y) \mapsto (-y;\ -x)$.
$(3;\ 1)$ e $(-3;\ -1)$.
médio
O ponto $(0;\ 2)$ é refletido na reta $x = 1$ e a imagem é refletida na reta $x = 4$. Onde ele vai parar? Que movimento único faz o mesmo?

Ver resolução
Na primeira reflexão, $(0;\ 2)$ fica a 1 unidade à esquerda de $x = 1$ e vai para $(2;\ 2)$.
Na segunda, $(2;\ 2)$ fica a 2 unidades à esquerda de $x = 4$ e vai para $(6;\ 2)$.
$(6;\ 2)$. As duas reflexões juntas são a translação pelo vetor $(6;\ 0)$, o dobro da distância de 3 entre os espelhos.
médio
Uma rotação de 90° em torno da origem seguida de outra rotação de 90° em torno da origem equivale a que movimento? Escreva a regra em coordenadas.

Ver resolução
$(x;\ y) \mapsto (-y;\ x) \mapsto (-x;\ -y)$.
A rotação de 180° em torno da origem, $(x;\ y) \mapsto (-x;\ -y)$, que também é a simetria em relação ao ponto O.
médio
Pisos com uma única peça regular repetida por translações, rotações e reflexões podem usar triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos regulares. Por que não pentágonos regulares?

Ver resolução
Em cada vértice do piso, os ângulos das peças que se encontram precisam somar 360°.
Os ângulos internos medem 60° no triângulo, 90° no quadrado e 120° no hexágono, e 6, 4 e 3 peças fecham a volta.
O pentágono regular tem ângulos de 108°, e $360/108 \approx 3{,}3$ não é inteiro.
Três pentágonos somam 324° e deixam uma fresta, e quatro passariam de 360°.
desafio
As pegadas de quem anda na areia se repetem por um movimento que reflete o pé esquerdo na linha do caminho e o empurra para a frente. Esse movimento mantém ou inverte o sentido? Ele deixa algum ponto parado?

Ver resolução
É uma reflexão seguida de uma translação paralela ao espelho, a reflexão com deslizamento.
A reflexão inverte o sentido e a translação não muda nada nisso, e o pé esquerdo vira pé direito.
Um ponto parado precisaria estar no espelho, o único lugar em que a reflexão não o move, e ali a translação o empurra.
Inverte o sentido e não deixa nenhum ponto parado, o que a distingue da reflexão, que fixa os pontos do espelho.
desafio
Uma rotação de 90° no sentido anti-horário leva o ponto $A = (0;\ 0)$ ao ponto $A' = (4;\ 2)$. Onde fica o centro da rotação? Para onde ela leva $B = (2;\ 0)$?

Ver resolução
Com centro $O = (p;\ q)$, o vetor $A - O = (-p;\ -q)$ gira para $(q;\ -p)$, e $A' = O + (q;\ -p)$, isto é, $A' = (p + q;\ q - p)$.
$p + q = 4$ e $q - p = 2$ dão $q = 3$ e $p = 1$.
Para B, $B - O = (1;\ -3)$ gira para $(3;\ 1)$, e $B' = (1 + 3;\ 3 + 1)$.
Centro $(1;\ 3)$, e $B' = (4;\ 4)$.

PASSO 8

O que muda quando ampliamos uma figura?

Uma homotetia de centro O e razão $k \ne 0$ leva cada ponto P a um ponto P′ da reta OP com $OP' = |k| \cdot OP$, do mesmo lado de O quando $k$ é positivo e do lado oposto quando $k$ é negativo. Ela amplia a figura quando $|k| > 1$ e reduz quando $|k| < 1$, e com $k = -1$ vira a simetria em relação a O, a rotação de 180°.

A figura e a imagem são semelhantes com razão $|k|$, e os lados correspondentes ficam paralelos. Os comprimentos ficam multiplicados por $|k|$ e as áreas por $k^2$, porque cada quadradinho de lado 1 vira um quadrado de lado $|k|$. Nos sólidos os volumes ficam multiplicados por $|k|^3$, como no cone cortado por um plano paralelo à base. A câmara escura da aula de Óptica faz uma homotetia de razão negativa, com o centro no furo e a imagem de cabeça para baixo.

A escala de um mapa é a razão de uma homotetia. Nas folhas topográficas do IBGE na escala 1:250.000, 1 cm no papel corresponde a 250.000 cm, ou 2,5 km no terreno, e 1 cm² no papel cobre 6,25 km². Telas 16:9 de tamanhos diferentes também são semelhantes, e uma tela com o dobro da diagonal tem quatro vezes a área.

$\overrightarrow{OP'} = k\,\overrightarrow{OP}$$\ell' = |k|\,\ell$$A' = k^2 A$Com $k \ne 0$, $\ell$ um comprimento qualquer da figura e $A$ a sua área. A escala 1 : E de um mapa corresponde a $k = 1/E$, e as áreas no papel são as do terreno divididas por $E^2$.

Para conversar

Com $k = 2$, compare um lado da bandeira com o lado correspondente da imagem. Quantas vezes a área da original cabe na área da imagem?
Leve $k$ para −1. Que movimento do passo 7 a homotetia virou?
Arraste o centro O para dentro da bandeira e use $k = 1/2$. Qual é o único ponto que não sai do lugar?
Ponha $k = -1/2$, como numa câmara escura. A imagem fica menor e invertida, e os lados continuam paralelos aos da original?

k, a razão

OA′ ÷ OA

Perímetros

Áreas

Escala

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
A homotetia de centro na origem e razão 3 leva o ponto $(2;\ -1)$ a que ponto?

Ver resolução
Com O na origem, $P' = 3P$.
$(6;\ -3)$
básico
Um triângulo tem 5 cm² de área. Qual é a área da sua imagem por uma homotetia de razão 2? E de razão 1/2?

Ver resolução
A área fica multiplicada por $k^2$, 4 no primeiro caso e 1/4 no segundo.
20 cm² e 1,25 cm².
básico
Numa folha topográfica na escala 1:250.000, duas cidades estão a 4 cm uma da outra. Qual é a distância real entre elas, em quilômetro?

Ver resolução
$4 \cdot 250.000 = 1.000.000\ \text{cm}$, e 1 km tem 100.000 cm.
10 km
básico
A homotetia de centro $(1;\ 1)$ e razão −1 leva o ponto $(3;\ 4)$ a que ponto?

Ver resolução
$P - O = (2;\ 3)$, e com $k = -1$ o vetor troca de sentido, $(-2;\ -3)$.
$P' = (1 - 2;\ 1 - 3)$.
$(-1;\ -2)$, o simétrico de P em relação ao centro.
médio
Numa folha na escala 1:250.000, um lago ocupa 3,2 cm². Qual é a área real do lago?

Ver resolução
1 cm no papel são 2,5 km no terreno, e 1 cm² são $2{,}5^2 = 6{,}25\ \text{km}^2$.
$3{,}2 \cdot 6{,}25 = 20$.
20 km²
médio
Uma foto de 10 cm × 15 cm é ampliada para 20 cm × 30 cm. Se o papel fotográfico é cobrado por área, quantas vezes a ampliação custa a mais que a foto original?

Ver resolução
A razão de semelhança é 2, e a área fica multiplicada por $2^2$.
Conferindo, $150\ \text{cm}^2$ contra $600\ \text{cm}^2$.
4 vezes, e não 2.
médio
Uma tela 16:9 de 65 polegadas tem quantas vezes a área de uma tela 16:9 de 50 polegadas?

Ver resolução
As duas telas são semelhantes, com razão $65/50 = 1{,}3$ entre as diagonais.
As áreas seguem o quadrado, $1{,}3^2 = 1{,}69$.
Cerca de 1,7 vez, embora a diagonal seja só 30% maior.
médio
Um arquiteto faz a maquete de uma praça na escala 1:50. A praça tem 300 m². Qual é a área da praça na maquete, em centímetro quadrado?

Ver resolução
As áreas ficam divididas por $50^2 = 2500$, e $300 / 2500 = 0{,}12\ \text{m}^2$.
Como $1\ \text{m}^2 = 10.000\ \text{cm}^2$, $0{,}12\ \text{m}^2 = 1200\ \text{cm}^2$.
1200 cm²
desafio
Uma homotetia leva $A = (1;\ 1)$ e $B = (3;\ 1)$ a $A' = (-1;\ 0)$ e $B' = (5;\ 0)$. Encontre a razão e o centro.

Ver resolução
$A'B' = 6$ e $AB = 2$, e os vetores $B - A = (2;\ 0)$ e $B' - A' = (6;\ 0)$ têm o mesmo sentido, e por isso $k = 3$.
De $A' = O + 3(A - O)$ vem $O = \dfrac{3A - A'}{2}$, e $O = \left(\tfrac{3 + 1}{2};\ \tfrac{3 - 0}{2}\right)$.
Conferindo com B, $O + 3(B - O) = (2;\ 1{,}5) + 3\,(1;\ -0{,}5)$, que dá $(5;\ 0)$.
$k = 3$ e centro $(2;\ 1{,}5)$.
desafio
Explique por que a área de qualquer polígono fica multiplicada por $k^2$ numa homotetia de razão $k$.

Ver resolução
Todo polígono pode ser cortado em triângulos por diagonais, e a homotetia leva cada triângulo num triângulo semelhante.
Em cada triângulo, a base e a altura ficam multiplicadas por $|k|$, e a área $b\,h/2$ fica multiplicada por $|k| \cdot |k| = k^2$.
Somando os triângulos, a área inteira fica multiplicada por $k^2$.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 1 e 2 · Semelhança e sombra

Às 16h, a sombra de Marina, que mede 1,60 m, tem 2,40 m, e a sombra de um prédio tem 33 m. Qual é a altura do prédio? Uma hora depois, a sombra de Marina passou a 3,20 m. Quanto mede agora a sombra do prédio?

Ver resolução

Às 16h, $\dfrac{H}{33} = \dfrac{1{,}60}{2{,}40}$, e $H = 33 \cdot \tfrac{2}{3} = 22\ \text{m}$.
O prédio é $22 / 1{,}60 = 13{,}75$ vezes mais alto que Marina, e a qualquer hora os dois triângulos do mesmo instante são semelhantes com essa razão.
Às 17h, a sombra do prédio é $13{,}75 \cdot 3{,}20 = 44\ \text{m}$. A razão entre as alturas não depende da hora, e a razão entre as sombras também não.

Passos 3 e 8 · Telas 16:9

Uma TV de 32 polegadas e outra de 65 polegadas seguem a razão 16:9. Quanto medem, em centímetro, a largura e a altura de cada uma? Quantas vezes a área da tela maior contém a da menor?

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Com largura $16u$ e altura $9u$, a diagonal é $u\sqrt{337} \approx 18{,}36\,u$, e cada polegada de diagonal dá $16 \cdot 2{,}54 / 18{,}36 \approx 2{,}214\ \text{cm}$ de largura e $9 \cdot 2{,}54 / 18{,}36 \approx 1{,}245\ \text{cm}$ de altura.
A de 32 polegadas mede cerca de 70,8 cm por 39,8 cm, e a de 65 polegadas, cerca de 143,9 cm por 80,9 cm.
As duas telas são semelhantes com razão $65/32 \approx 2{,}03$, e a área segue o quadrado, $(65/32)^2 \approx 4{,}13$. A tela maior tem pouco mais que o dobro da diagonal e mais que o quádruplo da área.

Passos 3 e 5 · Polígonos regulares

Com 12 m de cerca, um jardineiro pode fazer um canteiro em forma de triângulo equilátero, de quadrado ou de hexágono regular. Calcule as três áreas. Qual forma aproveita melhor a cerca?

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O triângulo tem lado 4. Pela altura do passo 3, $\ell\sqrt{3}/2$, a área é $\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\ \text{m}^2$.
O quadrado tem lado 3 e área $9\ \text{m}^2$.
O hexágono tem lado 2 e é formado por seis triângulos equiláteros de lado 2, $6 \cdot \sqrt{3} \approx 10{,}39\ \text{m}^2$.
Com o mesmo perímetro, a área cresce com o número de lados, e o hexágono vence. O círculo de 12 m de contorno, com $r = 6/\pi$, teria $36/\pi \approx 11{,}46\ \text{m}^2$, e parece ser o limite dessa sequência.

Passos 1 e 4 · Altura e projeções

No triângulo ABC, retângulo em A, a altura AH mede 6, e a projeção HC é o quádruplo da projeção BH. Quanto medem a hipotenusa e os catetos?

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Com $m = BH$ e $n = HC = 4m$, a relação $h^2 = m\,n$ dá $36 = 4m^2$, e $m = 3$, $n = 12$.
A hipotenusa é $a = 15$.
$c^2 = a\,m = 45$ e $b^2 = a\,n = 180$, e $c = 3\sqrt{5} \approx 6{,}7$, $b = 6\sqrt{5} \approx 13{,}4$.
Conferindo, $a\,h = 90$ e $b\,c = 18 \cdot 5 = 90$. Os triângulos ABH e CAH são semelhantes com razão $b/c = 2$, e por isso as projeções ficam na razão 4.

Passos 3 e 6 · Coroa circular

Numa coroa circular, uma corda de 16 cm da circunferência maior toca a menor num ponto só. Qual é a área da coroa? Ela depende dos raios?

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O raio menor $r$ chega ao ponto de tangência perpendicular à corda, e esse ponto é o meio da corda. O raio maior $R$, a metade da corda e $r$ formam um triângulo retângulo.
Por Pitágoras, $R^2 = r^2 + 8^2$, e $R^2 - r^2 = 64$.
A área da coroa é $\pi\,(R^2 - r^2) = 64\pi \approx 201\ \text{cm}^2$, qualquer que seja $r$. Uma coroa muito fina e muito larga tem a mesma área que um disco de raio 8.

Passo 7 · Duas reflexões

As retas r e s são paralelas e estão a 5 cm uma da outra. Um ponto P é refletido em r, e a imagem é refletida em s. A que distância de P fica a imagem final, e em que direção? O que muda se refletirmos primeiro em s?

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Medimos posições num eixo perpendicular às retas, com r em 0 e s em 5. A reflexão em r leva a coordenada $p$ a $-p$, e a reflexão em s leva $q$ a $10 - q$.
A imagem final de $p$ é $10 - (-p) = p + 10$. O ponto anda 10 cm, perpendicular às retas, no sentido de r para s, qualquer que seja a posição de P.
Na ordem trocada, $p$ vai a $10 - p$ e depois a $-(10 - p) = p - 10$, a mesma distância no sentido contrário. A composição de reflexões não comuta.

Passos 5 e 8 · Área num mapa

Numa folha topográfica do IBGE na escala 1:250.000, o contorno de um reservatório é aproximado por um trapézio de bases 3 cm e 5 cm e altura 2 cm. Qual é a área aproximada do reservatório?

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No papel, $\dfrac{(3 + 5) \cdot 2}{2} = 8\ \text{cm}^2$.
Cada centímetro vale 2,5 km, e cada centímetro quadrado vale $2{,}5^2 = 6{,}25\ \text{km}^2$.
$8 \cdot 6{,}25 = 50\ \text{km}^2$. O trapézio é só uma aproximação do contorno, e a área real pode diferir alguns quilômetros quadrados.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Sombras · Passo 2
Para estimar a altura da caixa-d'água do bairro, uma turma fincou no chão, na vertical, uma vara de 1,5 m. No mesmo instante, a sombra da vara media 0,9 m e a sombra da caixa-d'água, medida a partir do pé da torre num terreno plano, media 12,6 m.

Qual é a altura estimada da caixa-d'água, em metro?
1. 7,56
2. 12,6
3. 14,0
4. 18,9
5. 21,0
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Resposta: E.
Os raios de sol chegam paralelos, e os triângulos da vara e da torre são semelhantes. A razão altura/sombra é a mesma, $\dfrac{H}{12{,}6} = \dfrac{1{,}5}{0{,}9}$.
$H = 12{,}6 \cdot \dfrac{1{,}5}{0{,}9} = 21$.
Quem inverte a razão chega a 7,56 m. Os 12,6 m supõem o sol a 45°, os 14,0 m dividem a sombra por 0,9 e esquecem a vara, e os 18,9 m multiplicam pela altura da vara sem dividir pela sua sombra.
A estimativa vale se o chão for plano e a torre estiver na vertical, e um erro de poucos centímetros na sombra da vara pesa bastante, porque ela é curta.
Pitágoras · Passo 3
Uma família quer comprar uma TV para um nicho de estante com 1,25 m de largura. As TVs da loja seguem a razão 16:9 entre largura e altura da tela, e o tamanho anunciado é a diagonal da tela, em polegadas. Considere 1 polegada igual a 2,54 cm, $\sqrt{337} \approx 18{,}36$, e despreze a moldura.

Qual é a maior TV, entre as de 50, 55, 60, 65 e 70 polegadas, cuja tela cabe na largura do nicho?
1. 50 polegadas
2. 55 polegadas
3. 60 polegadas
4. 65 polegadas
5. 70 polegadas
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Resposta: B.
Com largura $16u$ e altura $9u$, Pitágoras dá a diagonal $u\sqrt{16^2 + 9^2} = u\sqrt{337} \approx 18{,}36\,u$.
Uma tela de $d$ polegadas tem largura $\dfrac{16}{18{,}36}\,d \cdot 2{,}54 \approx 2{,}21\,d\ \text{cm}$. A de 55 polegadas tem cerca de 121,7 cm e cabe, e a de 60 tem cerca de 132,8 cm e não cabe.
Quem exige que a própria diagonal caiba no nicho, com $125/2{,}54 \approx 49$ polegadas, descarta até a de 50, que cabe com folga. Quem soma 16 e 9 em vez de usar Pitágoras toma a largura como $\tfrac{16}{25}$ da diagonal e conclui, por engano, que até a de 70 cabe. Nas contas certas, a de 60 passa do nicho por cerca de 8 cm, e a de 65, por cerca de 19 cm.
Áreas · Passo 5
Na planta de um loteamento, um terreno tem a forma de um trapézio. A frente, voltada para a rua, mede 12 m, o fundo, paralelo à frente, mede 20 m, e a distância entre a frente e o fundo é de 25 m. A prefeitura cobra uma taxa de R$ 1,80 por metro quadrado para aprovar a construção do muro e da calçada.

Qual é o valor da taxa cobrada por esse terreno?
1. R$ 360,00
2. R$ 540,00
3. R$ 720,00
4. R$ 900,00
5. R$ 1440,00
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Resposta: C.
A área do trapézio é $\dfrac{(12 + 20) \cdot 25}{2} = 400\ \text{m}^2$, e a taxa é $400 \cdot 1{,}80 = 720$.
Os R$ 1440,00 esquecem de dividir por 2, e os R$ 360,00 dividem duas vezes. Os R$ 540,00 e os R$ 900,00 tratam o terreno como um retângulo, com a frente ou com o fundo no lugar das duas bases.
O trapézio fica entre os dois retângulos, e a média das bases, 16 m, faz o papel da largura.
Isometrias · Passo 7
Um programa de desenho guarda cada ponto de uma figura pelas suas coordenadas numa malha. Uma designer aplica num ícone, nesta ordem, a reflexão na reta $y = x$ e a translação de 3 unidades para baixo. Antes das duas operações, um dos vértices do ícone ficava no ponto $(2;\ 5)$.

Depois das duas operações, esse vértice fica no ponto
1. $(5;\ -1)$
2. $(2;\ 2)$
3. $(5;\ 5)$
4. $(-2;\ 2)$
5. $(-5;\ -5)$
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Resposta: A.
A reflexão em $y = x$ troca as coordenadas e leva $(2;\ 5)$ a $(5;\ 2)$. A translação para baixo subtrai 3 da ordenada, e chegamos a $(5;\ -1)$.
Na ordem inversa, $(2;\ 5)$ iria a $(2;\ 2)$, que fica sobre a própria reta $y = x$ e não se move na reflexão, e é a alternativa B. A C sobe em vez de descer. A D reflete no eixo $y$, e a E reflete na reta $y = -x$, as duas no lugar da reta $y = x$.
As duas operações não comutam, e a ordem escrita no enunciado decide a resposta.
Homotetia e escala · Passo 8
As folhas topográficas do IBGE que cobrem o país na escala 1:250.000 servem de base a muitos estudos ambientais. Numa delas, um técnico mediu a área de uma reserva florestal com um papel quadriculado e obteve 4,8 cm².

Qual é a área real aproximada da reserva, em quilômetro quadrado?
1. 1,2
2. 12
3. 30
4. 120
5. 1200
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Resposta: C.
Na escala 1:250.000, 1 cm no papel corresponde a 250.000 cm, isto é, 2,5 km. A área cresce com o quadrado, e 1 cm² corresponde a $2{,}5^2 = 6{,}25\ \text{km}^2$.
$4{,}8 \cdot 6{,}25 = 30\ \text{km}^2$.
A alternativa B multiplica pela escala linear, 2,5 km por centímetro, como se a área seguisse o comprimento. A A divide por 4 em vez de multiplicar por 6,25, a D multiplica por 25 e a E, por 250.
Num mapa, uma escala dez vezes menor deixa as distâncias dez vezes menores e as áreas cem vezes menores.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2020, 2º dia, caderno azul, questão 171. Azulejos octogonais regulares cobrem um painel retangular, e precisamos escolher, entre triângulos retângulos isósceles, triângulos equiláteros e quadrados, as peças que preenchem os espaços entre os octógonos e a borda.
ENEM 2021, 2º dia, caderno azul, questão 169. A barra de um triângulo de percussão é dobrada no formato de um triângulo equilátero de altura 8 cm, e o comprimento da barra sai da relação entre a altura e o lado.
ENEM 2021, 2º dia, caderno azul, questão 171. Cartões imantados cobrados por centímetro quadrado podem ter a forma de triângulo, quadrado, retângulo, hexágono ou círculo, e escolhemos o de maior área dentro de um limite de preço.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 165. Uma escada de três degraus de concreto terá pisos, espelhos e paredes laterais revestidos, e a área a revestir sai da soma de retângulos.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 172. Os lados de um triângulo retângulo são os diâmetros de três círculos, e a área do círculo da hipotenusa iguala a soma das outras duas. Um professor usa a ideia para comparar pizzas pelo ângulo do triângulo formado pelos diâmetros.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 145. As dimensões do campo do Maracanã foram reduzidas de 110 m × 75 m para 105 m × 68 m, e calculamos quanto a área diminuiu.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 151. Na maquete de um museu na escala 1:200, a área de um vão aberto passa de metros quadrados a centímetros quadrados, com a escala elevada ao quadrado.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 155. Um sensor de presença cobre um setor circular de ângulo α e raio R, e escolhemos o tipo que cobre uma área mínima pelo menor preço.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 171. Com uma mesma quantidade de cerca, um jardim pode ser um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular, e a questão pede a forma de maior área e a expressão dessa área.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Semelhança de razão kângulos iguais e lados correspondentes multiplicados por k

Critérios de semelhançaAA, LAL e LLL

Tales, DE paralelo a BC$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

Sombras no mesmo instante$\dfrac{H}{S} = \dfrac{h}{s}$

Pitágoras$a^2 + b^2 = c^2$

Maior lado c$c^2 < a^2 + b^2$ agudo, $c^2 > a^2 + b^2$ obtuso

Relações métricas$h^2 = m\,n$, $b^2 = a\,n$, $c^2 = a\,m$, $a\,h = b\,c$

Altura do equilátero de lado ℓ$\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$

Triângulo, paralelogramo, trapézio$\dfrac{b\,h}{2}$, $b\,h$, $\dfrac{(b_1 + b_2)\,h}{2}$

Losango de diagonais D e d$\dfrac{D\,d}{2}$

Pick, vértices na malha$A = I + \dfrac{B}{2} - 1$

Círculo de raio r$C = 2\pi r$ e $A = \pi r^2$

Setor de ângulo α$\dfrac{\alpha}{360°}\,\pi r^2$, arco $\dfrac{\alpha}{360°}\,2\pi r$

Coroa de raios R e r$\pi\,(R^2 - r^2)$

Homotetia de razão kcomprimentos × |k| e áreas × k²

Escala 1 : Edistâncias ÷ E e áreas ÷ E²

As isometrias do plano
Movimento	O que fica parado	Sentido do contorno
Translação	nenhum ponto, se o vetor não for nulo	mantido
Rotação	o centro	mantido
Reflexão	os pontos do espelho	invertido
Reflexão com deslizamento	nenhum ponto	invertido

Quando dois triângulos têm a mesma forma?

Para conversar

Como medir uma altura que não se alcança?

Para conversar

Por que \(a^2 + b^2 = c^2\)?

Para conversar

O que a altura faz dentro do triângulo retângulo?

Para conversar

Como medir a área de um polígono?

Para conversar

De onde vem a área do círculo?

Para conversar

Que movimentos mudam a figura de lugar sem deformá-la?

Para conversar

O que muda quando ampliamos uma figura?

Para conversar

Desafios

Questões no estilo ENEM

Questões reais do ENEM sobre este tema

Cola da aula