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Matemática · Ensino Médio · Trigonometria

Trigonometria

Com uma trena e um transferidor medimos a altura de um prédio sem subir nele, e com dois ângulos e uma base conhecida achamos a distância até um barco que não podemos alcançar. A mesma conta, levada para um ponto que gira, descreve a roda-gigante, a mola e a duração do dia ao longo do ano. Tudo isso cabe em três razões entre lados de um triângulo, o seno, o cosseno e a tangente, que dependem só de um ângulo.

  1. 1Seno, cosseno e tangente
  2. 2Altura por visada
  3. 3O radiano
  4. 4Ciclo trigonométrico
  5. 5Lei dos senos
  6. 6Lei dos cossenos
  7. 7Gráficos
  8. 8Funções periódicas
  9. ✓Desafios
PASSO 1

Por que a razão entre dois lados depende só do ângulo?

Num triângulo retângulo, escolhemos um dos ângulos agudos e o chamamos de \(\alpha\). O lado que fica de frente para ele é o cateto oposto, o que encosta nele junto com a hipotenusa é o cateto adjacente, e a hipotenusa é o lado de frente para o ângulo reto, sempre o maior dos três.

Dois triângulos retângulos com o mesmo \(\alpha\) têm os três ângulos iguais e são semelhantes, um é a ampliação do outro. Numa ampliação todos os lados crescem na mesma proporção, e por isso a razão entre dois deles não muda. Essa razão fica determinada pelo ângulo, e cada uma das três ganha um nome, seno, cosseno e tangente de \(\alpha\).

Três ângulos têm valores que podemos escrever com raízes, sem aproximação. A diagonal de um quadrado o corta em dois triângulos com ângulos de 45°, e a altura de um triângulo equilátero o corta em dois triângulos com 30° e 60°. Com Pitágoras nesses dois desenhos saem os valores da tabela, e a bancada mostra de onde vem cada um.

\(\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}\)\(\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}\)\(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\)Pitágoras dá \(\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Nos notáveis, \(\operatorname{sen}30^\circ = \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}\), \(\operatorname{sen}45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\operatorname{sen}60^\circ = \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), e \(\operatorname{tg}30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(\operatorname{tg}45^\circ = 1\), \(\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}\).

Para conversar

  • Fixe \(\alpha\) em 37° e mude o tamanho de ponta a ponta. Os lados mudam bastante. O que acontece com as três razões, e por quê?
  • Leve \(\alpha\) de 5° até 85° devagar. Que razão cresce, qual diminui, e qual passa de qualquer número que você escolher?
  • Aperte 45° e olhe o quadrado tracejado. Por que, nesse ângulo, o seno e o cosseno dão o mesmo número?
  • Aperte 30° e depois 60°. O triângulo equilátero aparece de dois jeitos. Em qual deles a altura do equilátero é o cateto oposto, e o que isso diz sobre \(\operatorname{sen}60^\circ\) e \(\cos 30^\circ\)?
Oposto
Adjacente
Hipotenusa
sen α
cos α
tg α
Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Um triângulo retângulo tem catetos de 6 cm e 8 cm. Chamando de \(\alpha\) o ângulo oposto ao cateto de 6 cm, calcule \(\operatorname{sen}\alpha\), \(\cos\alpha\) e \(\operatorname{tg}\alpha\).

    Ver resolução
    Por Pitágoras, a hipotenusa mede \(\sqrt{36 + 64} = 10\) cm.
    O oposto a \(\alpha\) é o de 6 cm e o adjacente é o de 8 cm.
    \(\operatorname{sen}\alpha = 0{,}6\), \(\cos\alpha = 0{,}8\) e \(\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75\).
  2. básico

    A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 cm e um dos ângulos agudos mede 30°. Quanto medem os catetos?

    Ver resolução
    O oposto ao ângulo de 30° é \(12 \cdot \operatorname{sen}30^\circ\) \(= 12 \cdot \tfrac{1}{2}\) \(= 6\).
    O adjacente é \(12 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).
    6 cm e \(6\sqrt{3} \approx 10{,}39\) cm.
  3. básico

    Uma escada de 5 m está apoiada num muro e faz 60° com o chão. A que altura do muro ela encosta, e a que distância do muro fica o pé da escada?

    Ver resolução
    A escada é a hipotenusa, a altura no muro é o oposto ao ângulo de 60° e a distância no chão é o adjacente.
    A altura é \(5 \cdot \operatorname{sen}60^\circ = \tfrac{5\sqrt{3}}{2}\), e a distância é \(5 \cdot \cos 60^\circ = 2{,}5\).
    A cerca de 4,33 m de altura, com o pé a 2,5 m do muro.
  4. básico

    Por que, num triângulo retângulo, o seno e o cosseno de um ângulo agudo ficam sempre entre 0 e 1, enquanto a tangente pode passar de 1?

    Ver resolução
    O seno e o cosseno dividem um cateto pela hipotenusa, e a hipotenusa é o maior lado do triângulo. A fração fica positiva e menor que 1.
    A tangente divide um cateto pelo outro, e o oposto passa do adjacente sempre que \(\alpha\) passa de 45°.
    Seno e cosseno ficam entre 0 e 1 porque comparam um cateto com a hipotenusa. A tangente compara dois catetos e cresce sem limite quando \(\alpha\) se aproxima de 90°.
  5. médio

    Mostre que \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\) e que \(\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) para todo ângulo agudo \(\alpha\).

    Ver resolução
    Com oposto \(o\), adjacente \(a\) e hipotenusa \(h\), temos \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\) \(= \dfrac{o/h}{a/h}\) \(= \dfrac{o}{a}\) \(= \operatorname{tg}\alpha\).
    Somando os quadrados, \(\dfrac{o^2}{h^2} + \dfrac{a^2}{h^2}\) \(= \dfrac{o^2 + a^2}{h^2}\), e Pitágoras diz que \(o^2 + a^2 = h^2\).
    As duas igualdades valem em qualquer triângulo retângulo. A segunda é o próprio teorema de Pitágoras dividido por \(h^2\).
  6. médio

    Sabendo que \(\alpha\) é agudo e \(\operatorname{sen}\alpha = \tfrac{3}{5}\), calcule \(\cos\alpha\) e \(\operatorname{tg}\alpha\) sem calcular o ângulo.

    Ver resolução
    De \(\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) vem \(\cos^2\alpha = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}\), e o cosseno de um ângulo agudo é positivo.
    Então \(\cos\alpha = \tfrac{4}{5}\) e \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3/5}{4/5} = \tfrac{3}{4}\).
    \(\cos\alpha = 0{,}8\) e \(\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75\). É o triângulo 3, 4, 5 do primeiro exercício, em outra escala.
  7. médio

    Uma calculadora dá \(\operatorname{sen}20^\circ \approx 0{,}342\). Sem usar a calculadora de novo, quanto vale \(\cos 70^\circ\)? Explique com o desenho do triângulo.

    Ver resolução
    Num triângulo retângulo com um ângulo de 20°, o outro agudo mede \(90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\).
    O cateto oposto ao ângulo de 20° é o adjacente ao de 70°, e a hipotenusa é a mesma.
    \(\cos 70^\circ\) \(= \operatorname{sen}20^\circ\) \(\approx 0{,}342\). Em geral, \(\operatorname{sen}\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\), e o nome "cosseno" vem daí, o seno do complemento.
  8. médio

    Um triângulo equilátero tem lado 6. Calcule a sua altura e use o resultado para obter \(\operatorname{sen}60^\circ\) e \(\operatorname{tg}30^\circ\).

    Ver resolução
    A altura divide o equilátero em dois triângulos retângulos com hipotenusa 6, um cateto de 3 e ângulos de 30° e 60°.
    Por Pitágoras, a altura é \(\sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).
    A altura fica de frente para o ângulo de 60°, e \(\operatorname{sen}60^\circ = \dfrac{3\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Para o ângulo de 30°, o oposto é o cateto de 3 e o adjacente é a altura, \(\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{3}{3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
    Altura \(3\sqrt{3}\), \(\operatorname{sen}60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) e \(\operatorname{tg}30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\).
  9. desafio

    A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 e a tangente de um dos ângulos agudos vale 2. Quanto medem os catetos?

    Ver resolução
    Com \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), o oposto é o dobro do adjacente, \(o = 2a\).
    Pitágoras dá \(a^2 + 4a^2 = 100\), isto é, \(a^2 = 20\) e \(a = 2\sqrt{5}\).
    \(2\sqrt{5} \approx 4{,}47\) e \(4\sqrt{5} \approx 8{,}94\).
  10. desafio

    Partindo do triângulo retângulo isósceles de catetos 1, prolongue um dos catetos, além do vértice do ângulo de 45°, por um segmento igual à hipotenusa, e ligue a nova ponta ao outro vértice. Use a figura para mostrar que \(\operatorname{tg}22{,}5^\circ = \sqrt{2} - 1\).

    Ver resolução
    Chame de C o ângulo reto, de A o vértice de 45° sobre o cateto prolongado e de B o outro vértice. O segmento novo AD mede \(\sqrt{2}\), o mesmo que a hipotenusa AB, e o triângulo ABD é isósceles.
    O ângulo externo em A vale 45° e é a soma dos dois ângulos iguais da base BD, que medem então 22,5° cada.
    No triângulo retângulo BCD, o ângulo em D mede 22,5°, o cateto oposto é \(BC = 1\) e o adjacente é \(DC = 1 + \sqrt{2}\).
    \(\operatorname{tg}22{,}5^\circ\) \(= \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}\) \(= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\) \(= \sqrt{2} - 1\).
    \(\operatorname{tg}22{,}5^\circ\) \(= \sqrt{2} - 1\) \(\approx 0{,}414\).
PASSO 2

Como medir a altura de um prédio sem subir nele?

Um topógrafo mede a distância horizontal \(d\) até a base do prédio e o ângulo de elevação \(\alpha\), o ângulo entre a horizontal dos seus olhos e a linha que vai até o topo. A horizontal, a parede e a linha de visada formam um triângulo retângulo, e a altura que falta é o cateto oposto a \(\alpha\). Somando a altura dos olhos, chegamos à altura do prédio.

A tangente é a razão certa porque liga o cateto que queremos ao cateto que medimos, sem passar pela hipotenusa, que ninguém mede. Olhando para baixo, de cima de um farol ou de um morro, o ângulo com a horizontal se chama ângulo de depressão, e a conta é a mesma.

A medida tem uma fragilidade que a bancada deixa ver. Perto de 90° a tangente cresce depressa, e um erro pequeno no ângulo vira um erro grande na altura. Um observador que fica longe demais tem o problema oposto, com ângulos pequenos difíceis de ler, e o melhor lugar para medir parece ficar a uma distância parecida com a própria altura.

\(H = h_o + d\,\operatorname{tg}\alpha\)\(H\) é a altura do prédio, \(h_o\) a altura dos olhos do observador e \(d\) a distância horizontal até a base. O prédio da bancada tem 42 m e o observador tem os olhos a 1,6 m do chão, valores ilustrativos.

Para conversar

  • Com \(d = 40\) m, mexa em \(\alpha\) até a visada tocar o topo. Que ângulo você achou? Confira a altura com a fórmula.
  • Aperte 45°. Que distância faz a visada passar pelo topo nesse ângulo, e por que ela é quase a própria altura do prédio?
  • Fique a 15 m e mire o topo. Depois erre o ângulo em 1° para cima. Repita a 60 m. Em qual distância o mesmo erro de 1° estraga mais a altura?
  • Aperte 30° e 60° na mesma distância. A altura estimada dobrou? Compare as tangentes.
tg α
d · tg α
Altura estimada
A visada passa
Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Deitado no chão, a 20 m da base de uma torre, um menino vê o topo sob um ângulo de 45°. Qual é a altura da torre?

    Ver resolução
    Com os olhos no chão, \(H = 20 \cdot \operatorname{tg}45^\circ = 20 \cdot 1\).
    No ângulo de 45° os dois catetos são iguais, e a altura é a própria distância.
    20 m.
  2. básico

    A 50 m de um prédio, uma pessoa com os olhos a 1,5 m do chão vê o topo sob um ângulo de 30°. Qual é a altura do prédio?

    Ver resolução
    \(H\) \(= 1{,}5 + 50 \cdot \operatorname{tg}30^\circ\) \(= 1{,}5 + 50 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{3}\).
    \(50 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 28{,}87\).
    Cerca de 30,4 m.
  3. básico

    Uma pipa está presa a 60 m de linha bem esticada, que faz 30° com o chão. Supondo a mão no nível do chão, a que altura está a pipa?

    Ver resolução
    Aqui a linha é a hipotenusa e a altura é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e a razão que serve é o seno.
    \(60 \cdot \operatorname{sen}30^\circ = 60 \cdot \tfrac{1}{2}\).
    30 m. Na prática a linha faz uma curva, e a pipa provavelmente fica um pouco mais baixa.
  4. básico

    A norma brasileira de acessibilidade, a ABNT NBR 9050, admite rampas com inclinação de até 8,33%, isto é, 1 m de subida para cada 12 m de avanço na horizontal, em segmentos que vencem até 0,80 m de desnível. Que avanço horizontal precisa uma rampa com essa inclinação para subir 0,80 m, e que ângulo ela faz com o chão?

    Ver resolução
    A inclinação é a tangente do ângulo, \(\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{1}{12}\).
    O avanço horizontal é \(0{,}80 \cdot 12 = 9{,}6\) m, e a calculadora dá \(\alpha \approx 4{,}76^\circ\).
    9,6 m de avanço e um ângulo de cerca de 4,8°. Um ângulo tão pequeno parece fácil de subir, e mesmo assim a norma pede patamares de descanso entre os segmentos.
  5. médio

    Do alto de um farol, a 40 m acima do mar, o faroleiro vê um barco sob um ângulo de depressão de 10°. A que distância horizontal da base do farol está o barco? Use \(\operatorname{tg}10^\circ \approx 0{,}176\).

    Ver resolução
    O ângulo de depressão em cima é igual ao ângulo de elevação visto do barco, porque as duas horizontais são paralelas.
    A altura é o oposto e a distância é o adjacente, \(\operatorname{tg}10^\circ = \dfrac{40}{d}\).
    \(d = \dfrac{40}{0{,}176} \approx 227\).
    Cerca de 227 m.
  6. médio

    Um poste de 6 m projeta no chão plano uma sombra de \(6\sqrt{3}\) m. Qual é o ângulo de elevação do Sol nesse momento?

    Ver resolução
    O raio de sol que passa pelo topo do poste chega à ponta da sombra. O poste é o oposto e a sombra é o adjacente.
    \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{6}{6\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
    30°.
  7. médio

    Um avião decola e sobe em linha reta, fazendo 15° com a pista. Depois de percorrer 2 km nessa linha, a que altura ele está? Use \(\operatorname{sen}15^\circ \approx 0{,}259\).

    Ver resolução
    Os 2 km percorridos são a hipotenusa, e a altura é o oposto ao ângulo de 15°.
    \(2 \cdot 0{,}259 = 0{,}518\) km.
    Cerca de 518 m.
  8. médio

    Um teodolito a 40 m de um prédio mede uma elevação de 30°, mas o aparelho está descalibrado e o ângulo certo é 31°. De quanto é o erro na altura? Use \(\operatorname{tg}30^\circ \approx 0{,}577\) e \(\operatorname{tg}31^\circ \approx 0{,}601\).

    Ver resolução
    A altura acima dos olhos muda de \(40 \cdot 0{,}577 = 23{,}08\) m para \(40 \cdot 0{,}601 = 24{,}04\) m.
    A diferença é \(40\,(0{,}601 - 0{,}577)\) \(= 40 \cdot 0{,}024\).
    Cerca de 0,96 m, quase um metro por um grau. Mais perto do prédio, com ângulos maiores, o mesmo grau tende a pesar mais.
  9. desafio

    De um ponto A no chão, o topo de uma torre é visto sob 30°. Andando 20 m em direção à torre até um ponto B, o ângulo passa a 60°. Com os olhos no chão, qual é a altura da torre, e a que distância dela fica B?

    Ver resolução
    Seja \(x\) a distância de B à torre e \(H\) a altura. De B, \(H = x\,\operatorname{tg}60^\circ = x\sqrt{3}\). De A, \(H\) \(= (x + 20)\operatorname{tg}30^\circ\) \(= \dfrac{x + 20}{\sqrt{3}}\).
    Igualando, \(x\sqrt{3} = \dfrac{x + 20}{\sqrt{3}}\), que dá \(3x = x + 20\) e \(x = 10\).
    B fica a 10 m da torre, que mede \(10\sqrt{3} \approx 17{,}3\) m. A distância até a base não precisou ser medida, o que serve para torres no meio de um terreno cercado.
  10. desafio

    Quando o Sol está 50° acima do horizonte, um prédio projeta uma sombra de 30 m no chão plano. Quanto vai medir a sombra quando o Sol estiver a 35°? Use \(\operatorname{tg}50^\circ \approx 1{,}192\) e \(\operatorname{tg}35^\circ \approx 0{,}700\).

    Ver resolução
    A altura do prédio é \(H\) \(= 30 \cdot 1{,}192\) \(\approx 35{,}76\) m.
    Com o Sol a 35°, a sombra \(s\) cumpre \(\operatorname{tg}35^\circ = \dfrac{H}{s}\), e \(s\) \(= \dfrac{35{,}76}{0{,}700}\) \(\approx 51{,}1\) m.
    Cerca de 51 m. A sombra é \(H/\operatorname{tg}\alpha\), e cresce depressa quando o Sol se aproxima do horizonte.
PASSO 3

Por que medir ângulos com o raio?

O grau divide a volta em 360 partes, um número que provavelmente herdamos da astronomia babilônica e que nada na geometria do círculo obriga a usar. O radiano mede o ângulo pelo próprio círculo. Um ângulo central vale \(\theta\) radianos quando o arco que ele abraça tem \(\theta\) vezes o comprimento do raio, e 1 rad é o ângulo cujo arco tem o comprimento de um raio.

A medida não depende do tamanho do círculo. Dois setores com o mesmo ângulo são semelhantes, e num círculo de raio dobrado o arco também dobra, o que deixa a razão arco/raio igual. A volta inteira tem um arco de \(2\pi R\), e portanto mede \(2\pi\) radianos, um pouco mais de seis raios. A aula de Movimento Circular mostra o mesmo raio colado à borda como um barbante.

A vantagem aparece nas fórmulas. Com \(\theta\) em radianos, o arco é \(s = R\theta\) e a área do setor é \(R^2\theta/2\), sem o fator \(\pi/180\) que o grau obriga a carregar. É também em radianos que vale a aproximação \(\operatorname{sen}\theta \approx \theta\) para ângulos pequenos, e é por isso que as funções do passo 7 têm o eixo marcado em múltiplos de \(\pi\).

\(\theta = \dfrac{s}{R}\)\(2\pi\ \text{rad} = 360^\circ\)\(1\ \text{rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ\)Para converter, multiplique os graus por \(\pi/180\), ou os radianos por \(180/\pi\). Os valores mais usados são \(30^\circ = \pi/6\), \(45^\circ = \pi/4\), \(60^\circ = \pi/3\), \(90^\circ = \pi/2\) e \(180^\circ = \pi\).

Para conversar

  • Aperte "1 rad". Os três arcos têm o comprimento do seu raio? Confira nas leituras o que s/R dá em cada círculo.
  • Leve \(\theta\) até 180°. Quantos raios cabem na meia volta do círculo de fora? E por que não é um número inteiro?
  • Mexa em \(\theta\) e acompanhe os três arcos. O de raio 3 é sempre o triplo do de raio 1?
  • Conte as marcas de 1 rad na borda de fora até completar a volta. Quanto sobra depois da sexta?
θ em radianos
Arco, R = 1
Arco, R = 2
Arco, R = 3
s/R nos três
Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Converta para radianos 45°, 120° e 270°.

    Ver resolução
    Multiplicamos por \(\pi/180\).
    \(45 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{\pi}{4}\), \(120 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{2\pi}{3}\) e \(270 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{3\pi}{2}\).
    \(\pi/4\), \(2\pi/3\) e \(3\pi/2\).
  2. básico

    Converta para graus \(\tfrac{5\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{9}\) e 1 rad.

    Ver resolução
    Multiplicamos por \(180/\pi\).
    \(\tfrac{5\pi}{6} \cdot \tfrac{180}{\pi} = 150\), \(\tfrac{\pi}{9} \cdot \tfrac{180}{\pi} = 20\) e \(1 \cdot \tfrac{180}{\pi} \approx 57{,}3\).
    150°, 20° e cerca de 57,3°.
  3. básico

    Num círculo de raio 10 cm, qual é o comprimento do arco de um ângulo central de 1,5 rad?

    Ver resolução
    \(s = R\theta = 10 \cdot 1{,}5\).
    15 cm, uma vez e meia o raio.
  4. básico

    A roda de uma bicicleta tem 35 cm de raio. De que ângulo, em radianos, ela gira para a bicicleta andar 1,10 m sem derrapar?

    Ver resolução
    Sem derrapar, o arco que a borda percorre é igual ao caminho no chão, \(s = 1{,}10\) m.
    \(\theta\) \(= \dfrac{s}{R}\) \(= \dfrac{1{,}10}{0{,}35}\) \(\approx 3{,}14\).
    Cerca de 3,14 rad, praticamente meia volta.
  5. médio

    O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm. Em 20 minutos, que ângulo ele descreve, em radianos, e quanto anda a sua ponta?

    Ver resolução
    Em 60 minutos ele dá uma volta, \(2\pi\) rad, e em 20 minutos dá um terço dela, \(\tfrac{2\pi}{3}\) rad.
    A ponta percorre \(s = 12 \cdot \tfrac{2\pi}{3} = 8\pi\).
    \(2\pi/3\) rad e \(8\pi \approx 25{,}1\) cm.
  6. médio

    Mostre que a área de um setor de raio \(R\) e ângulo \(\theta\), em radianos, é \(R^2\theta/2\), e calcule a área do setor de raio 6 cm e ângulo \(\pi/3\).

    Ver resolução
    A área do setor é proporcional ao ângulo. A volta inteira, \(2\pi\) rad, tem a área do círculo, \(\pi R^2\).
    Então a área é \(\pi R^2 \cdot \dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{R^2\theta}{2}\).
    Com \(R = 6\) e \(\theta = \pi/3\), \(\dfrac{36 \cdot \pi/3}{2} = 6\pi\).
    \(6\pi \approx 18{,}8\) cm².
  7. médio

    Numa pista de atletismo, duas raias vizinhas fazem uma curva de 180° com raios de 36,5 m e 37,7 m. Quantos metros a mais corre o atleta da raia de fora só nessa curva?

    Ver resolução
    Os arcos são \(36{,}5\,\pi\) e \(37{,}7\,\pi\), porque meia volta é \(\pi\) rad.
    A diferença é \((37{,}7 - 36{,}5)\,\pi\) \(= 1{,}2\,\pi\).
    Cerca de 3,8 m. A diferença depende só do ângulo e da distância entre as raias, \(\Delta s\) \(= \theta\,\Delta R\), e é por isso que as largadas das raias de fora são escalonadas.
  8. médio

    A calculadora dá \(\operatorname{sen}0{,}1 \approx 0{,}0998\), com o ângulo em radianos. Explique, com o desenho do círculo de raio 1, por que o seno de um ângulo pequeno é quase igual ao próprio ângulo, e por que isso falha com o ângulo em graus.

    Ver resolução
    No círculo de raio 1, o arco de um ângulo \(\theta\) mede \(\theta\), e o seno é a altura do ponto acima do eixo horizontal.
    Para um ângulo pequeno o arco quase não se curva, e a altura fica quase igual ao comprimento do arco, \(\operatorname{sen}\theta \approx \theta\).
    Em graus, o número que escrevemos para o mesmo ângulo é 180/π vezes maior. O ângulo de 0,1 rad vale cerca de 5,73°, e o seno continua sendo 0,0998, nada perto de 5,73.
    A aproximação compara o seno com o arco, e só o radiano mede o ângulo pelo arco.
  9. desafio

    Duas cidades ficam no mesmo meridiano, com latitudes que diferem de 7,2°, e a distância entre elas, medida ao longo do meridiano, é de 800 km. Supondo a Terra uma esfera, estime o seu raio. A ideia é a de Eratóstenes, no século III a.C., com números arredondados.

    Ver resolução
    A diferença de latitude é o ângulo central entre as cidades, \(7{,}2^\circ\) \(= 7{,}2 \cdot \tfrac{\pi}{180}\) \(= \tfrac{\pi}{25}\) rad, um cinquenta avos da volta.
    \(R\) \(= \dfrac{s}{\theta}\) \(= \dfrac{800}{\pi/25}\) \(= \dfrac{20.000}{\pi}\).
    Cerca de 6366 km, perto do raio médio que se mede hoje, por volta de 6371 km.
  10. desafio

    Qual é o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às 2h20, em graus e em radianos?

    Ver resolução
    O ponteiro dos minutos anda 6° por minuto e, aos 20 minutos, está em 120°, contando a partir do 12.
    O das horas anda 30° por hora e 0,5° por minuto. Às 2h20 ele está em \(2 \cdot 30 + 20 \cdot 0{,}5 = 70^\circ\).
    A diferença é \(120^\circ - 70^\circ\) \(= 50^\circ\) \(= 50 \cdot \tfrac{\pi}{180}\) \(= \tfrac{5\pi}{18}\).
    50°, ou \(5\pi/18 \approx 0{,}87\) rad. Quem esquece que o ponteiro das horas anda durante os 20 minutos chega a 60°.
PASSO 4

Como dar seno e cosseno a um ângulo de 200°?

No triângulo retângulo os ângulos ficam entre 0° e 90°, e um ângulo de 200° não cabe em triângulo nenhum. O ciclo trigonométrico resolve isso. Tomamos a circunferência de raio 1 com centro na origem e medimos os ângulos a partir do ponto \((1, 0)\), no sentido anti-horário para os positivos e no horário para os negativos. O ângulo \(\theta\) leva a um ponto P da circunferência, e definimos \(\cos\theta\) como a abscissa de P e \(\operatorname{sen}\theta\) como a ordenada.

A definição pode parecer arbitrária à primeira vista, e ela preserva tudo o que já sabíamos. Para \(\theta\) agudo nada muda, porque o triângulo com hipotenusa OP, de comprimento 1, tem catetos iguais ao cosseno e ao seno. Fora do primeiro quadrante as coordenadas ganham sinal, e o seno é negativo abaixo do eixo \(x\), o cosseno à esquerda do eixo \(y\). Ângulos que diferem de uma volta inteira, como 30° e 390°, caem no mesmo ponto e têm o mesmo seno e o mesmo cosseno.

Os quatro quadrantes se espelham. O ponto de 150° é o espelho do de 30° no eixo \(y\), o de 210° é o oposto pela origem, e o de 330° é o espelho no eixo \(x\). Por isso basta conhecer os ângulos do primeiro quadrante e acertar o sinal. A tangente aparece na reta vertical \(x = 1\), onde a reta OP a corta, e não existe em 90° e 270°, quando OP fica paralela a essa reta.

\(P = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta)\)\(\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1\)\(\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\)A relação \(\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1\) diz que P está na circunferência de raio 1. Com \(\alpha\) no 1º quadrante, \(\operatorname{sen}(180^\circ - \alpha) = \operatorname{sen}\alpha\), \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha\) e \(\operatorname{sen}(360^\circ - \alpha) = -\operatorname{sen}\alpha\).

Para conversar

  • Arraste P devagar desde 0° até dar uma volta. Em que quadrantes o seno é negativo? E a tangente?
  • Ligue os simétricos e ponha P em 30°. Os quatro pontos têm o mesmo seno, a menos do sinal? Quais deles têm o mesmo cosseno?
  • Leve P até perto de 90°. O que acontece com o ponto da tangente na reta \(x = 1\)? E logo depois de 90°?
  • Continue arrastando além de uma volta até 390°. O ponto é o mesmo de 30°? O que mudou nas leituras?
θ
Quadrante
cos θ
sen θ
tg θ
Ângulo de referência
Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Quais são os sinais de \(\operatorname{sen}200^\circ\), \(\cos 200^\circ\) e \(\operatorname{tg}200^\circ\)?

    Ver resolução
    200° fica entre 180° e 270°, no 3º quadrante, abaixo do eixo \(x\) e à esquerda do eixo \(y\).
    Seno e cosseno são negativos, e a tangente, que é a razão entre os dois, é positiva.
    \(\operatorname{sen}200^\circ < 0\), \(\cos 200^\circ < 0\) e \(\operatorname{tg}200^\circ > 0\).
  2. básico

    Calcule \(\operatorname{sen}150^\circ\) e \(\cos 150^\circ\).

    Ver resolução
    150° está no 2º quadrante, e o seu ângulo de referência é \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
    No 2º quadrante o seno é positivo e o cosseno é negativo.
    \(\operatorname{sen}150^\circ = \tfrac{1}{2}\) e \(\cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\).
  3. básico

    Em que ponto do ciclo caem os ângulos de 1110° e de −45°? Dê o ângulo entre 0° e 360° que cai no mesmo ponto.

    Ver resolução
    \(1110 = 3 \cdot 360 + 30\), e o ângulo dá três voltas e mais 30°.
    \(-45^\circ\) anda 45° no sentido horário e para no mesmo ponto que \(360^\circ - 45^\circ\).
    30° e 315°.
  4. básico

    Sem calculadora, dê \(\operatorname{sen}90^\circ\), \(\cos 180^\circ\), \(\operatorname{sen}270^\circ\) e \(\cos 360^\circ\).

    Ver resolução
    Os pontos do ciclo são \((0, 1)\) em 90°, \((-1, 0)\) em 180°, \((0, -1)\) em 270° e \((1, 0)\) em 360°.
    O seno é a ordenada e o cosseno é a abscissa.
    1, −1, −1 e 1.
  5. médio

    Calcule \(\cos 240^\circ\) e \(\operatorname{tg}240^\circ\).

    Ver resolução
    240° está no 3º quadrante, com ângulo de referência \(240^\circ - 180^\circ = 60^\circ\).
    No 3º quadrante o cosseno é negativo e a tangente é positiva.
    \(\cos 240^\circ = -\tfrac{1}{2}\) e \(\operatorname{tg}240^\circ = \sqrt{3}\).
  6. médio

    Resolva \(\operatorname{sen}x = \tfrac{1}{2}\) para \(x\) entre 0° e 360°.

    Ver resolução
    A reta horizontal \(y = \tfrac{1}{2}\) corta o ciclo em dois pontos, um no 1º e outro no 2º quadrante.
    O do 1º quadrante é 30°, e o seu espelho no eixo \(y\) é \(180^\circ - 30^\circ\).
    \(x = 30^\circ\) ou \(x = 150^\circ\).
  7. médio

    Sabendo que \(\cos\theta = -0{,}6\) e que \(\theta\) está no 2º quadrante, calcule \(\operatorname{sen}\theta\) e \(\operatorname{tg}\theta\).

    Ver resolução
    \(\operatorname{sen}^2\theta\) \(= 1 - 0{,}36\) \(= 0{,}64\), e no 2º quadrante o seno é positivo, \(\operatorname{sen}\theta = 0{,}8\).
    \(\operatorname{tg}\theta\) \(= \dfrac{0{,}8}{-0{,}6}\) \(= -\dfrac{4}{3}\).
    \(\operatorname{sen}\theta = 0{,}8\) e \(\operatorname{tg}\theta = -4/3\).
  8. médio

    Coloque em ordem crescente \(\operatorname{sen}100^\circ\), \(\operatorname{sen}170^\circ\) e \(\operatorname{sen}260^\circ\), sem calculadora.

    Ver resolução
    Reduzindo ao 1º quadrante, \(\operatorname{sen}100^\circ\) \(= \operatorname{sen}80^\circ\), \(\operatorname{sen}170^\circ\) \(= \operatorname{sen}10^\circ\) e \(\operatorname{sen}260^\circ\) \(= -\operatorname{sen}80^\circ\).
    No 1º quadrante o seno cresce com o ângulo, e \(\operatorname{sen}10^\circ < \operatorname{sen}80^\circ\).
    \(\operatorname{sen}260^\circ < \operatorname{sen}170^\circ < \operatorname{sen}100^\circ\).
  9. desafio

    Existe um ângulo \(\theta\) com \(\operatorname{sen}\theta = 0{,}8\) e \(\cos\theta = 0{,}5\)? E com \(\operatorname{sen}\theta = 0{,}8\) e \(\cos\theta = -0{,}6\)?

    Ver resolução
    O ponto \((\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)\) precisa estar no ciclo, e a soma dos quadrados precisa dar 1.
    No primeiro par, \(0{,}64 + 0{,}25\) \(= 0{,}89\), e o ponto \((0{,}5;\ 0{,}8)\) fica dentro do círculo.
    No segundo, \(0{,}64 + 0{,}36 = 1\), e o ponto \((-0{,}6;\ 0{,}8)\) está no ciclo, no 2º quadrante.
    Não existe no primeiro caso, e existe no segundo, um ângulo de cerca de 126,9°.
  10. desafio

    Calcule \(\operatorname{tg}\dfrac{3\pi}{4} + \cos\dfrac{5\pi}{3} + \operatorname{sen}\dfrac{7\pi}{6}\).

    Ver resolução
    Em graus, os ângulos são 135°, 300° e 210°.
    \(\operatorname{tg}135^\circ = -1\), porque o ângulo de referência é 45° e a tangente é negativa no 2º quadrante.
    \(\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}\), positivo no 4º quadrante, e \(\operatorname{sen}210^\circ\) \(= -\operatorname{sen}30^\circ\) \(= -\tfrac{1}{2}\).
    \(-1 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = -1\).
PASSO 5

Como medir a distância até um ponto que não se alcança?

Para saber a largura de um rio sem atravessá-lo, marcamos dois pontos A e B na nossa margem, medimos a distância entre eles e, de cada um, o ângulo até uma árvore C na outra margem. O terceiro ângulo sai da soma 180°, e falta passar dos ângulos para os lados num triângulo que não tem ângulo reto. É a lei dos senos que faz essa passagem.

A altura \(h\) baixada de C sobre AB divide o triângulo em dois triângulos retângulos. Num deles \(h = b\operatorname{sen}A\), no outro \(h = a\operatorname{sen}B\), e igualando as duas expressões chegamos a \(a/\operatorname{sen}A = b/\operatorname{sen}B\). Cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá o mesmo número, e esse número é o diâmetro da circunferência que passa pelos três vértices.

Os levantamentos que mapearam países inteiros nos séculos XVIII e XIX usaram essa conta. Eles cobriam o terreno com uma rede de triângulos, mediam poucas bases com muito cuidado e calculavam o resto a partir de ângulos lidos com teodolito. Com dois lados e um ângulo que não fica entre eles a lei dos senos pode dar dois triângulos, ou nenhum, e os exercícios mostram esse caso.

\(\dfrac{a}{\operatorname{sen}A} = \dfrac{b}{\operatorname{sen}B} = \dfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R\)\(a\) é o lado oposto ao vértice A, \(b\) ao B e \(c\) ao C, e \(R\) é o raio da circunferência circunscrita. Como \(A + B + C = 180^\circ\), dois ângulos e um lado já determinam o triângulo inteiro.

Para conversar

  • Arraste C para vários lugares. As três razões continuam iguais entre si? E iguais ao diâmetro da circunferência tracejada?
  • Aperte "Retângulo". Onde fica o centro da circunferência, e por que, nesse caso, \(2R\) é a própria hipotenusa?
  • Aperte "Obtusângulo". Onde fica o centro agora? O seno do ângulo obtuso atrapalha a conta?
  • Arraste C ao longo do arco da circunferência, tentando não sair dela. O que acontece com o ângulo em C, e por quê?
Lados a, b, c
Ângulos A, B, C
a/sen A
b/sen B
c/sen C
2R
Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Num triângulo, \(A = 30^\circ\), \(B = 45^\circ\) e \(a = 10\) cm. Quanto mede \(b\)?

    Ver resolução
    \(\dfrac{b}{\operatorname{sen}45^\circ}\) \(= \dfrac{10}{\operatorname{sen}30^\circ}\), e \(b = \dfrac{10 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 10\sqrt{2}\).
    \(10\sqrt{2} \approx 14{,}1\) cm.
  2. básico

    Num triângulo, o lado \(a\) mede 12 cm e o ângulo oposto mede 60°. Qual é o raio da circunferência que passa pelos três vértices?

    Ver resolução
    \(2R\) \(= \dfrac{a}{\operatorname{sen}A}\) \(= \dfrac{12}{\sqrt{3}/2}\) \(= \dfrac{24}{\sqrt{3}}\) \(= 8\sqrt{3}\).
    \(R = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\) cm.
  3. básico

    Confira a lei dos senos no triângulo de ângulos 30°, 60° e 90° com hipotenusa 2.

    Ver resolução
    Os catetos medem \(2 \operatorname{sen}30^\circ = 1\) e \(2 \operatorname{sen}60^\circ = \sqrt{3}\).
    As razões são \(\dfrac{1}{1/2} = 2\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2\) e \(\dfrac{2}{\operatorname{sen}90^\circ} = 2\).
    As três dão 2, que é o diâmetro. No triângulo retângulo a hipotenusa é um diâmetro da circunferência circunscrita.
  4. básico

    Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 5 cm, e um dos seus ângulos mede 30°. Quanto mede o lado oposto a esse ângulo?

    Ver resolução
    \(a = 2R \operatorname{sen}A = 10 \cdot \tfrac{1}{2}\).
    5 cm, igual ao raio.
  5. médio

    Para medir a largura de um rio, marcamos na margem dois pontos A e B, a 100 m um do outro, e vemos uma árvore C na outra margem sob ângulos \(A = 70^\circ\) e \(B = 60^\circ\), medidos a partir de AB. Qual é a distância de A até a árvore, e qual é a largura do rio? Use \(\operatorname{sen}50^\circ \approx 0{,}766\), \(\operatorname{sen}60^\circ \approx 0{,}866\) e \(\operatorname{sen}70^\circ \approx 0{,}940\).

    Ver resolução
    O ângulo em C é \(180^\circ - 70^\circ - 60^\circ\) \(= 50^\circ\), oposto à base \(AB = 100\) m. A distância AC fica de frente para o ângulo em B.
    \(AC\) \(= \dfrac{100 \cdot \operatorname{sen}60^\circ}{\operatorname{sen}50^\circ}\) \(\approx \dfrac{86{,}6}{0{,}766}\) \(\approx 113\) m.
    A largura é a distância de C até a reta AB, \(AC \cdot \operatorname{sen}70^\circ\) \(\approx 113 \cdot 0{,}940\).
    Cerca de 113 m até a árvore e cerca de 106 m de largura.
  6. médio

    Num triângulo, \(a = 6\), \(b = 8\) e \(A = 30^\circ\). Quanto pode medir o ângulo B?

    Ver resolução
    \(\operatorname{sen}B\) \(= \dfrac{b \operatorname{sen}A}{a}\) \(= \dfrac{8 \cdot 0{,}5}{6}\) \(= \dfrac{2}{3}\).
    Dois ângulos entre 0° e 180° têm esse seno, \(B \approx 41{,}8^\circ\) e \(B\) \(\approx 180^\circ - 41{,}8^\circ\) \(= 138{,}2^\circ\). Os dois cabem com \(A = 30^\circ\), porque a soma fica abaixo de 180°.
    B mede cerca de 41,8° ou cerca de 138,2°, e há dois triângulos diferentes com esses dados.
  7. médio

    Existe um triângulo com \(a = 5\), \(b = 8\) e \(A = 60^\circ\)?

    Ver resolução
    \(\operatorname{sen}B\) \(= \dfrac{8 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{5}\) \(= \dfrac{4\sqrt{3}}{5}\) \(\approx 1{,}39\).
    O seno de um ângulo nunca passa de 1.
    Não existe. O lado \(a\) é curto demais para fechar o triângulo com esse ângulo.
  8. médio

    Mostre que \(\dfrac{a}{\operatorname{sen}A} = \dfrac{b}{\operatorname{sen}B}\) num triângulo acutângulo, usando a altura que sai de C.

    Ver resolução
    A altura \(h\) cai sobre AB num ponto H e forma dois triângulos retângulos, ACH e BCH.
    Em ACH a hipotenusa é \(b\) e \(h\) é o oposto ao ângulo A, e então \(h = b \operatorname{sen}A\). Em BCH a hipotenusa é \(a\) e \(h = a \operatorname{sen}B\).
    \(b \operatorname{sen}A = a \operatorname{sen}B\), e dividindo por \(\operatorname{sen}A \operatorname{sen}B\) chegamos ao resultado.
    A igualdade com \(c/\operatorname{sen}C\) sai do mesmo jeito, com a altura que parte de A.
  9. desafio

    Dois observadores, em A e B, estão numa praia reta, a 2 km um do outro. Eles veem um barco sob ângulos de 50° e 70° com a linha da praia. A que distância da praia está o barco? Use \(\operatorname{sen}50^\circ \approx 0{,}766\), \(\operatorname{sen}60^\circ \approx 0{,}866\) e \(\operatorname{sen}70^\circ \approx 0{,}940\).

    Ver resolução
    O ângulo no barco é \(180^\circ - 50^\circ - 70^\circ\) \(= 60^\circ\).
    A distância de B ao barco fica de frente para o ângulo de 50°, \(\dfrac{2 \cdot 0{,}766}{0{,}866}\) \(\approx 1{,}769\) km.
    A distância até a praia é o cateto oposto ao ângulo de 70° no triângulo retângulo com essa hipotenusa, \(1{,}769 \cdot 0{,}940\) \(\approx 1{,}663\) km.
    Cerca de 1,66 km.
  10. desafio

    A área de um triângulo é \(\tfrac{1}{2}ab\operatorname{sen}C\). Use a lei dos senos para mostrar que ela também vale \(\dfrac{abc}{4R}\), e confira no triângulo 3, 4, 5.

    Ver resolução
    Da lei dos senos, \(\operatorname{sen}C = \dfrac{c}{2R}\).
    \(\tfrac{1}{2}ab\operatorname{sen}C\) \(= \tfrac{1}{2}ab \cdot \dfrac{c}{2R}\) \(= \dfrac{abc}{4R}\).
    No triângulo 3, 4, 5 a hipotenusa é o diâmetro, \(R = 2{,}5\), e \(\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 2{,}5}\) \(= \dfrac{60}{10}\) \(= 6\), igual a \(\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\).
    A área é \(abc/4R\), e no triângulo 3, 4, 5 ela vale 6.
PASSO 6

Quanto Pitágoras erra num triângulo que não é retângulo?

Dois navios saem do mesmo porto em rotas que fazem 60° entre si, e depois de algumas horas sabemos quanto cada um andou. A distância entre eles é o terceiro lado de um triângulo de que conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, e a lei dos senos não ajuda, porque nenhum lado conhecido está de frente para um ângulo conhecido. A ferramenta para esse caso é a lei dos cossenos.

Talvez a melhor maneira de lê-la seja como o teorema de Pitágoras com uma correção. Quando o ângulo C fica menor que 90°, o lado oposto encolhe em relação à hipotenusa que teria com C reto, e quando C passa de 90° ele cresce. A correção é \(-2ab\cos C\), que vale zero em 90°, é negativa com C agudo e positiva com C obtuso, porque o cosseno troca de sinal ali. A bancada desenha o pedaço \(a\cos C\), a sombra do lado \(a\) sobre o lado \(b\), de onde a correção sai.

A mesma fórmula serve ao contrário. Com os três lados conhecidos, ela dá o cosseno de qualquer ângulo, e o sinal de \(a^2 + b^2 - c^2\) diz se o ângulo oposto ao maior lado é agudo, reto ou obtuso, sem precisar calcular o ângulo.

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)\(\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)\(C\) é o ângulo entre os lados \(a\) e \(b\), e \(c\) é o lado oposto a ele. Com \(C = 90^\circ\), \(\cos C = 0\) e sobra Pitágoras. A área do triângulo é \(\tfrac{1}{2}ab\operatorname{sen}C\).

Para conversar

  • Ponha C em 90° e compare \(c^2\) com \(a^2 + b^2\). Depois leve C para 60° e para 120°. Para que lado vai a diferença em cada caso?
  • Com C obtuso, onde fica o pé da altura que sai de B? Por que o pedaço \(a\cos C\) aparece do lado de fora do triângulo?
  • Leve C para perto de 10° e depois para perto de 170°. De que números o lado \(c\) se aproxima, e por quê?
  • Com \(a = 5\) e \(b = 8\), que ângulo C faz \(c\) dar 7? Confira a conta nas leituras.
a² + b²
2ab · cos C
c²
c
Triângulo
Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Num triângulo, \(a = 5\), \(b = 8\) e o ângulo entre esses lados mede 60°. Quanto mede o terceiro lado?

    Ver resolução
    \(c^2\) \(= 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \tfrac{1}{2}\) \(= 89 - 40\) \(= 49\).
    \(c = 7\).
  2. básico

    Num triângulo, \(a = 3\), \(b = 5\) e o ângulo entre eles mede 120°. Quanto mede o terceiro lado?

    Ver resolução
    \(\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}\), e a correção soma em vez de subtrair.
    \(c^2\) \(= 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)\) \(= 34 + 15\) \(= 49\).
    \(c = 7\), maior do que a hipotenusa \(\sqrt{34} \approx 5{,}83\) que teríamos com ângulo reto.
  3. básico

    Um triângulo tem lados 7, 8 e 13. Quanto mede o maior ângulo?

    Ver resolução
    O maior ângulo fica de frente para o maior lado, 13.
    \(\cos C\) \(= \dfrac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8}\) \(= \dfrac{-56}{112}\) \(= -\dfrac{1}{2}\).
    120°.
  4. básico

    O triângulo de lados 6, 7 e 10 é acutângulo, retângulo ou obtusângulo?

    Ver resolução
    Comparamos o quadrado do maior lado com a soma dos outros dois quadrados, \(100\) contra \(36 + 49 = 85\).
    \(c^2 > a^2 + b^2\) quer dizer \(\cos C < 0\).
    Obtusângulo, com o ângulo obtuso de frente para o lado 10.
  5. médio

    Dois navios saem juntos de um porto, em rotas retas que fazem 60° entre si, um a 20 km/h e o outro a 30 km/h. A que distância um do outro estão depois de 2 horas?

    Ver resolução
    Em 2 horas eles andam 40 km e 60 km.
    \(d^2\) \(= 1600 + 3600 - 2 \cdot 40 \cdot 60 \cdot \tfrac{1}{2}\) \(= 5200 - 2400\) \(= 2800\).
    \(d = 20\sqrt{7} \approx 52{,}9\) km.
  6. médio

    Um paralelogramo tem lados 4 e 6 e um ângulo de 60°. Quanto medem as suas diagonais?

    Ver resolução
    Os ângulos do paralelogramo são 60° e 120°, e cada diagonal fecha um triângulo com os lados 4 e 6 e um desses ângulos.
    O quadrado da diagonal menor é \(16 + 36 - 48 \cdot \tfrac{1}{2} = 28\), e o da maior é \(16 + 36 + 48 \cdot \tfrac{1}{2} = 76\).
    \(2\sqrt{7} \approx 5{,}29\) e \(2\sqrt{19} \approx 8{,}72\).
  7. médio

    O que a lei dos cossenos dá para \(c\) quando o ângulo C vale 0°, 90° e 180°? Interprete cada caso com um desenho.

    Ver resolução
    Com \(C = 0^\circ\), \(c^2\) \(= a^2 + b^2 - 2ab\) \(= (a - b)^2\), e os dois lados ficam um sobre o outro, com \(c = |a - b|\).
    Com \(C = 90^\circ\), \(c^2 = a^2 + b^2\), Pitágoras.
    Com \(C = 180^\circ\), \(c^2 = (a + b)^2\), e os lados ficam em linha reta, um depois do outro.
    \(|a - b|\), \(\sqrt{a^2 + b^2}\) e \(a + b\). Os dois extremos são triângulos achatados, e todo triângulo de verdade tem \(c\) entre eles.
  8. médio

    Um triângulo tem lados 5, 6 e 7. Calcule o cosseno do ângulo oposto ao lado 7 e a área do triângulo.

    Ver resolução
    \(\cos C\) \(= \dfrac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6}\) \(= \dfrac{12}{60}\) \(= \dfrac{1}{5}\).
    \(\operatorname{sen}C\) \(= \sqrt{1 - \tfrac{1}{25}}\) \(= \dfrac{\sqrt{24}}{5}\) \(= \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\), positivo porque C está entre 0° e 180°.
    Área: \(\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}\).
    \(\cos C = 0{,}2\), um ângulo de cerca de 78,5°, e área \(6\sqrt{6} \approx 14{,}7\).
  9. desafio

    Um terreno triangular tem lados de 30 m, 40 m e 60 m. Calcule o maior ângulo do terreno e a sua área.

    Ver resolução
    O maior ângulo fica de frente para o lado de 60 m, \(\cos C\) \(= \dfrac{900 + 1600 - 3600}{2 \cdot 30 \cdot 40}\) \(= \dfrac{-1100}{2400}\) \(\approx -0{,}458\), e \(C \approx 117{,}3^\circ\).
    \(\operatorname{sen}C\) \(= \sqrt{1 - 0{,}458^2}\) \(\approx 0{,}889\), e a área é \(\tfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 \cdot 0{,}889\) \(\approx 533\) m².
    Cerca de 117,3° e cerca de 533 m². A fórmula de Herão, com os três lados, dá o mesmo valor.
  10. desafio

    Num triângulo, os lados satisfazem \(a^2 = b^2 + c^2 - bc\). Quanto mede o ângulo A?

    Ver resolução
    A lei dos cossenos para o lado \(a\) é \(a^2\) \(= b^2 + c^2 - 2bc\cos A\).
    Comparando, \(2bc\cos A = bc\), e \(\cos A = \tfrac{1}{2}\).
    \(A = 60^\circ\).
PASSO 7

Que curva o seno desenha quando o ângulo dá voltas?

Com o ciclo do passo 4, o seno e o cosseno passam a valer para qualquer número real \(x\), medido em radianos. Enquanto \(x\) cresce, o ponto P dá voltas, e a altura de P sobe até 1, desce até −1 e volta, desenhando a senoide. Depois de \(2\pi\) o ponto está de novo no começo, e o gráfico se repete. Dizemos que o seno é uma função periódica, de período \(2\pi\).

O cosseno desenha a mesma onda adiantada de um quarto de volta, \(\cos x = \operatorname{sen}(x + \pi/2)\). A aula de Movimento Circular vê as duas como as sombras de um ponto que gira, uma na parede e a outra no chão. O seno é ímpar, \(\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}x\), e o cosseno é par, \(\cos(-x) = \cos x\), o que se vê no espelhamento dos gráficos.

\(\operatorname{sen}, \cos: \mathbb{R} \to [{-}1; 1]\), período \(2\pi\)\(\operatorname{tg}: x \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi\), imagem \(\mathbb{R}\), período \(\pi\)Os zeros do seno ficam em \(x = k\pi\) e os do cosseno em \(x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\), com \(k\) inteiro. Nos zeros do cosseno a tangente tem assíntotas verticais.

A tangente tende a surpreender quem só conhecia o seno e o cosseno. Ela é a altura do ponto em que a reta OP corta a reta \(x = 1\), e essa altura cresce sem limite quando \(x\) se aproxima de \(\pi/2\). Do outro lado de \(\pi/2\) ela volta de valores muito negativos, e o gráfico se parte em ramos separados por assíntotas verticais. Como P e o seu oposto pela origem dão a mesma reta OP, a tangente se repete a cada meia volta, com período \(\pi\).

Para conversar

  • Com o seno, pause quando a onda passar pelo máximo. Onde está P no círculo? E nos zeros?
  • Troque para o cosseno sem mexer em \(x\). Quanto a onda do cosseno está adiantada em relação à do seno?
  • Na tangente, arraste \(x\) devagar até perto de \(\pi/2\). O que acontece com o ponto na reta \(x = 1\), e com a curva?
  • Ache, arrastando, os pontos em que \(\operatorname{sen}x = 0{,}5\) entre 0 e \(2\pi\). Quantos são, e por que o ciclo mostra os dois de uma vez?
x
Valor
Período
Imagem
Zeros em [0; 2π]
Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Dê a imagem e o período de \(\operatorname{sen}x\), de \(\cos x\) e de \(\operatorname{tg}x\).

    Ver resolução
    Seno e cosseno são coordenadas de um ponto do círculo de raio 1, e ficam entre −1 e 1. O ponto volta ao mesmo lugar a cada \(2\pi\).
    A tangente assume qualquer valor real e se repete a cada \(\pi\).
    \([{-}1; 1]\) e \(2\pi\) para o seno e para o cosseno, \(\mathbb{R}\) e \(\pi\) para a tangente.
  2. básico

    Em \([0; 2\pi]\), onde o seno vale zero, e onde o cosseno atinge o seu máximo?

    Ver resolução
    O seno zera quando P está no eixo \(x\), em 0, \(\pi\) e \(2\pi\).
    O cosseno vale 1 quando P está em \((1, 0)\), em 0 e em \(2\pi\).
    Zeros do seno em 0, \(\pi\) e \(2\pi\); máximo do cosseno, igual a 1, em 0 e em \(2\pi\).
  3. básico

    Em que intervalos de \([0; 2\pi]\) o seno é crescente?

    Ver resolução
    A altura de P sobe enquanto ele vai de \((0, -1)\) até \((0, 1)\) passando pela direita, isto é, de \(3\pi/2\) até \(2\pi\) e de 0 até \(\pi/2\).
    Em \([0; \pi/2]\) e em \([3\pi/2; 2\pi]\). Entre \(\pi/2\) e \(3\pi/2\) ele decresce.
  4. básico

    Qual é o domínio da função \(\operatorname{tg}x\)? Por que alguns números ficam de fora?

    Ver resolução
    \(\operatorname{tg}x = \dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\) pede \(\cos x \ne 0\).
    O cosseno zera em \(\pi/2\), \(3\pi/2\) e em todos os números que diferem desses por meias voltas.
    \(D\) \(= \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}\). Nesses pontos a reta OP fica vertical e não corta a reta \(x = 1\).
  5. médio

    Use o ciclo para mostrar que \(\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}x\) e \(\cos(-x) = \cos x\). O que isso diz sobre os gráficos?

    Ver resolução
    O ângulo \(-x\) é medido no sentido horário e leva ao espelho de P no eixo \(x\). O espelho tem a mesma abscissa e a ordenada com o sinal trocado.
    O cosseno é par, e o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo \(y\). O seno é ímpar, e o seu gráfico é simétrico em relação à origem.
  6. médio

    Mostre, com o ciclo ou com os gráficos, que \(\cos x = \operatorname{sen}(x + \tfrac{\pi}{2})\).

    Ver resolução
    Somar \(\pi/2\) gira P de um quarto de volta no sentido anti-horário, e o ponto \((c, s)\) vai para \((-s, c)\).
    A ordenada do ponto girado é \(c\), o cosseno de \(x\).
    No gráfico, a onda do cosseno é a do seno andando \(\pi/2\) para a esquerda, ou seja, adiantada de um quarto de período.
  7. médio

    Quantas soluções tem a equação \(\operatorname{sen}x = 0{,}3\) no intervalo \([0; 4\pi]\)?

    Ver resolução
    Em cada volta, a reta horizontal \(y = 0{,}3\) corta o ciclo em dois pontos, um no 1º e outro no 2º quadrante.
    O intervalo \([0; 4\pi]\) tem duas voltas completas, e nenhuma solução cai nas pontas, onde o seno vale 0.
    Quatro soluções.
  8. médio

    Calcule \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}\), \(\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{4}\) e \(\operatorname{tg}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\), e explique o que o período da tangente tem a ver com as duas primeiras.

    Ver resolução
    Em \(\pi/4\) o ponto é \((\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2})\) e a tangente vale 1. Em \(5\pi/4\) o ponto é o oposto, \((-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, -\tfrac{\sqrt{2}}{2})\), e a razão continua dando 1.
    Em \(-\pi/4\) o ponto é \((\tfrac{\sqrt{2}}{2}, -\tfrac{\sqrt{2}}{2})\), e a tangente vale −1.
    1, 1 e −1. Os ângulos \(\pi/4\) e \(5\pi/4\) diferem de \(\pi\), e a tangente tem período \(\pi\).
  9. desafio

    Quantas soluções reais tem a equação \(\operatorname{sen}x = \dfrac{x}{10}\)? Desenhe os dois gráficos para decidir.

    Ver resolução
    A reta \(y = x/10\) só fica entre −1 e 1 para \(x\) entre −10 e 10, e fora daí não encontra a senoide.
    Para \(x \ge 0\), as curvas se encontram em 0. Perto da origem o seno fica acima da reta, e o encontro seguinte vem antes de \(\pi\), por volta de 2,85. Entre \(2\pi \approx 6{,}28\) e \(3\pi \approx 9{,}42\) a onda sobe de novo acima da reta e a corta duas vezes, perto de 7,07 e de 8,42. Depois disso a reta já passa de 0,94 e a onda não a alcança antes de \(x = 10\).
    O seno é ímpar e a reta também, e as soluções negativas são as positivas com o sinal trocado.
    Sete soluções, o zero e três pares de opostos.
  10. desafio

    A função \(f(x) = \operatorname{sen}x + \operatorname{sen}(2x)\) é periódica? Qual é o menor período? Ela pode ser escrita como \(a\operatorname{sen}\big(b(x - h)\big) + k\)?

    Ver resolução
    \(\operatorname{sen}x\) se repete a cada \(2\pi\) e \(\operatorname{sen}(2x)\) a cada \(\pi\). Os dois se repetem juntos a cada \(2\pi\), e \(f(x + 2\pi) = f(x)\).
    Num intervalo de comprimento \(2\pi\), o maior valor de \(f\), cerca de 1,76, aparece uma única vez, perto de \(x \approx 0{,}94\). Um período menor faria esse máximo se repetir dentro do intervalo, e então nenhum período menor que \(2\pi\) é possível.
    Em cada período há dois picos, um de cerca de 1,76 e outro de cerca de 0,37, e uma senoide tem um pico só.
    Periódica, de período \(2\pi\), e não é uma senoide. Uma senoide tem um único máximo e um único mínimo por período, à mesma distância da linha média.
PASSO 8

Como descrever a duração do dia ao longo do ano?

Muita coisa na natureza se repete, como a maré, a pressão nas artérias a cada batida do coração, a altura de uma cadeira de roda-gigante e a duração do dia ao longo do ano. Quando a repetição tem a forma de uma onda suave, a senoide do passo 7 costuma servir de modelo, depois de esticada, deslocada e erguida. As transformações são as de \(a\,f\big(b\,(x - h)\big) + k\), que a aula de Funções trata no passo de transformações, e aqui cada número ganha um nome.

O \(k\) é a linha média, em volta da qual a onda oscila. O \(|a|\) é a amplitude, a distância da linha média até o máximo, e a onda vai de \(k - |a|\) a \(k + |a|\). O \(b\) fixa o período, \(T = 2\pi/|b|\), o tempo de uma oscilação completa, e o \(h\) desloca a onda para os lados e diz quando ela cruza a linha média subindo.

\(y = a\operatorname{sen}\big(b\,(x - h)\big) + k\)\(T = \dfrac{2\pi}{|b|}\)Imagem \([k - |a|;\ k + |a|]\). O máximo vem um quarto de período depois de \(h\), em \(x = h + T/4\), quando \(a > 0\).

A bancada traz a duração do dia, do nascer ao pôr do Sol, nos dias 1 e 15 de cada mês de 2025, calculada pelo U.S. Naval Observatory para Porto Alegre e para Belém. Em Porto Alegre o dia vai de pouco mais de 10 horas em junho a mais de 14 horas em dezembro, e uma senoide de período 365 dias passa a poucos minutos de cada ponto, o que sugere que ela captura o essencial do fenômeno. Em Belém, quase sobre o equador, a variação cabe em uns dez minutos. A inclinação do eixo da Terra faz o dia oscilar, e a amplitude cresce com a distância ao equador.

Para conversar

  • Em Porto Alegre, ajuste \(k\) até a linha média passar pelo meio dos pontos. Depois ajuste \(a\). Que valores deixam o erro médio abaixo de 10 minutos?
  • Mexa em \(h\). Em que dia do ano o seu modelo cruza a linha média subindo, e o que acontece no céu nessa época?
  • Aperte "Melhor ajuste" e leia o maior dia do modelo. Que data é essa, e qual é o dia mais longo do ano no hemisfério sul?
  • Troque para Belém e aperte "Melhor ajuste". Quanto vale a amplitude, em minutos? Depois volte a Porto Alegre, mude o período para 300 dias e veja o erro.

Erro médio
Maior dia do modelo
Menor dia do modelo
Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios
  1. básico

    Dê a amplitude, o período e a imagem de \(f(x) = 3\operatorname{sen}(2x) + 1\).

    Ver resolução
    Aqui \(a = 3\), \(b = 2\) e \(k = 1\).
    O período é \(2\pi/2 = \pi\), e a onda vai de \(1 - 3\) a \(1 + 3\).
    Amplitude 3, período \(\pi\) e imagem \([{-}2; 4]\).
  2. básico

    Uma grandeza segue \(g(t) = 5 - 2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), com \(t\) em meses. Quais são o maior e o menor valor, e de quanto em quanto tempo ela se repete?

    Ver resolução
    O cosseno vai de −1 a 1, e \(-2\cos\) vai de −2 a 2.
    O período é \(\dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\).
    Máximo 7, mínimo 3, e a grandeza se repete a cada 12 meses.
  3. básico

    Escreva uma função da forma \(a\operatorname{sen}(bx) + k\) com amplitude 2, período \(4\pi\) e linha média \(y = -1\).

    Ver resolução
    \(|a| = 2\), \(k = -1\) e \(\dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi\), o que dá \(|b| = \tfrac{1}{2}\).
    \(y = 2\operatorname{sen}\left(\tfrac{x}{2}\right) - 1\). Trocar o sinal de \(a\) ou de \(b\) também atende ao pedido.
  4. básico

    O melhor ajuste da bancada para Porto Alegre dá \(a \approx 1{,}89\) h e \(k \approx 12{,}10\) h. Qual é o dia mais longo e o mais curto do modelo, em horas e minutos? Compare com os dados, 14 h 04 min em 15/12 e 10 h 13 min em 15/06.

    Ver resolução
    O máximo é \(k + a = 13{,}99\) h e o mínimo é \(k - a = 10{,}21\) h.
    Em minutos, 0,99 h dá 59 min e 0,21 h dá 13 min.
    13 h 59 min e 10 h 13 min. O modelo erra o dia mais longo por cerca de 5 minutos, e talvez isso indique que a curva real não é exatamente uma senoide.
  5. médio

    Num porto, a altura da maré, em metros, segue aproximadamente \(m(t) = 0{,}9 + 0{,}6\operatorname{sen}\left(\dfrac{2\pi t}{12{,}4}\right)\), com \(t\) em horas, num modelo com números ilustrativos. Quais são as alturas da preamar e da baixa-mar, e quanto tempo passa entre duas preamares?

    Ver resolução
    A onda vai de \(0{,}9 - 0{,}6 = 0{,}3\) a \(0{,}9 + 0{,}6 = 1{,}5\).
    O período é \(\dfrac{2\pi}{2\pi/12{,}4} = 12{,}4\) h.
    Preamar de 1,5 m, baixa-mar de 0,3 m e 12,4 h, cerca de 12 h 24 min, entre duas preamares. Em boa parte da costa brasileira a maré tende a ter duas preamares por dia, com um intervalo perto desse.
  6. médio

    Uma roda-gigante tem 20 m de diâmetro, o centro a 12 m do chão e dá uma volta a cada 4 minutos. Uma cadeira parte do ponto mais baixo. Escreva a altura da cadeira em função do tempo e calcule-a depois de 1,5 minuto.

    Ver resolução
    A linha média é a altura do centro, 12 m, e a amplitude é o raio, 10 m. O período é 4 min, e \(b = 2\pi/4 = \pi/2\).
    Partindo do ponto mais baixo, a altura começa em \(12 - 10\), e o cosseno com sinal trocado faz isso, \(h(t)\) \(= 12 - 10\cos\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)\).
    Com \(t = 1{,}5\), \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), e \(h = 12 + 5\sqrt{2}\).
    \(h(t)\) \(= 12 - 10\cos(\pi t/2)\), e depois de 1,5 minuto a cadeira está a cerca de 19,1 m.
  7. médio

    Uma senoide tem um máximo 8 em \(x = 1\) e o mínimo seguinte, 2, em \(x = 4\). Escreva-a na forma \(a\operatorname{sen}\big(b\,(x - h)\big) + k\), com \(a > 0\).

    Ver resolução
    A linha média fica no meio, \(k = 5\), e a amplitude é \(a = 3\).
    Do máximo ao mínimo vai meio período, \(T/2 = 3\), e \(T = 6\), \(b = 2\pi/6 = \pi/3\).
    O máximo vem \(T/4 = 1{,}5\) depois de \(h\), e \(h = 1 - 1{,}5 = -0{,}5\).
    \(y\) \(= 3\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{3}(x + 0{,}5)\right) + 5\). Conferindo, em \(x = 4\) o argumento vale \(3\pi/2\), o seno vale −1 e \(y = 2\).
  8. médio

    Para Belém, o melhor ajuste da bancada dá uma amplitude de cerca de 0,086 h. Quantos minutos são, e o que esse número diz sobre a vida em Belém?

    Ver resolução
    \(0{,}086 \cdot 60 \approx 5{,}2\) minutos.
    O dia mais longo e o mais curto do modelo diferem do dobro disso, uns 10 minutos.
    Cerca de 5 minutos. Em Belém o dia tem praticamente 12 horas o ano inteiro, e as estações não se marcam pela duração do dia, ao contrário do que acontece no Sul.
  9. desafio

    Com o modelo de Porto Alegre, \(D(x) = 1{,}89\operatorname{sen}\left(\dfrac{2\pi}{365}(x - 263)\right)\) \(+\ 12{,}10\), com \(x\) em dias desde o começo do ano, em que dias o dia dura exatamente 12 horas? Compare com os equinócios de 2025, em 20/03 e em 22/09.

    Ver resolução
    \(\operatorname{sen}\theta\) \(= \dfrac{12 - 12{,}10}{1{,}89}\) \(\approx -0{,}053\), com \(\theta = \dfrac{2\pi}{365}(x - 263)\).
    As soluções numa volta são \(\theta \approx -0{,}053\) e \(\theta \approx \pi + 0{,}053\). Cada radiano vale \(365/2\pi \approx 58{,}1\) dias, e chegamos a \(x \approx 260\) e \(x\) \(\approx 263 + 185{,}6 - 365\) \(\approx 84\).
    O dia 84 é 25 de março, e o dia 260 é 17 de setembro.
    Por volta de 24 ou 25 de março e de 17 de setembro, alguns dias depois e antes dos equinócios. O modelo indica que no equinócio o dia já passa um pouco de 12 horas, o que é plausível, porque o nascer e o pôr contam a partir da borda do Sol, e a atmosfera desvia a luz e faz o Sol aparecer antes e sumir depois.
  10. desafio

    No porto do modelo \(n(t) = 1{,}1 + 0{,}7\cos\left(\dfrac{2\pi t}{12{,}4}\right)\), com números ilustrativos e \(t\) em horas a partir de uma preamar, um navio precisa de pelo menos 1,45 m de maré para entrar. Por quanto tempo, em cada ciclo, a entrada fica liberada?

    Ver resolução
    \(1{,}1 + 0{,}7\cos\theta \ge 1{,}45\) pede \(\cos\theta \ge 0{,}5\), com \(\theta = \dfrac{2\pi t}{12{,}4}\).
    Isso vale para \(-\pi/3 \le \theta \le \pi/3\), isto é, \(|t| \le \dfrac{12{,}4}{6} \approx 2{,}07\) h em volta de cada preamar.
    Cerca de 4,13 h, ou 4 h 08 min, de cada ciclo de 12,4 h.
FECHAMENTO

Desafios

Passos 2 e 5 · Visada e lei dos senos

De um ponto A no chão plano, o topo de uma torre é visto sob 25°. Andando 30 m em direção à torre, até B, o ângulo passa a 40°. Com os olhos no chão, qual é a altura da torre? Use \(\operatorname{sen}15^\circ \approx 0{,}259\), \(\operatorname{sen}25^\circ \approx 0{,}423\) e \(\operatorname{sen}40^\circ \approx 0{,}643\).

Ver resolução
Chame de T o topo. No triângulo ABT, o ângulo em A é 25°, o ângulo em B é \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\), e sobra \(180^\circ - 25^\circ - 140^\circ\) \(= 15^\circ\) em T.
A lei dos senos dá \(BT\) \(= \dfrac{30 \cdot \operatorname{sen}25^\circ}{\operatorname{sen}15^\circ}\) \(\approx \dfrac{12{,}69}{0{,}259}\) \(\approx 49{,}0\) m.
No triângulo retângulo que BT forma com a torre, a altura é o oposto ao ângulo de 40°, \(49{,}0 \cdot 0{,}643 \approx 31{,}5\) m.
Com ângulos que não são notáveis, a conta das duas tangentes do passo 2 também funciona, e a lei dos senos parece mais curta.
Passos 1 e 2 · Rampa da NBR 9050

A entrada de uma escola fica 1,20 m acima da calçada. A norma de acessibilidade admite rampas com inclinação de até 8,33% (1 para 12) em segmentos que vencem até 0,80 m de desnível, com patamares entre eles. Como a rampa pode ser feita, quanto ela avança na horizontal e que comprimento tem cada segmento inclinado?

Ver resolução
Um segmento só não basta, porque 1,20 m passa de 0,80 m. Dois segmentos de 0,60 m cada atendem à norma.
Com inclinação de 1 para 12, cada segmento avança \(0{,}60 \cdot 12 = 7{,}2\) m na horizontal, e os dois somam 14,4 m, fora o patamar do meio.
O ângulo de cada segmento é \(\alpha\) com \(\operatorname{tg}\alpha = 1/12\), cerca de 4,76°, e o comprimento inclinado é \(\sqrt{7{,}2^2 + 0{,}6^2}\) \(\approx 7{,}22\) m, quase o mesmo que o avanço horizontal, porque o ângulo é pequeno e \(\cos\alpha \approx 0{,}997\).
Passos 5 e 6 · Dois barcos

Do alto de um farol, um faroleiro vê um barco P a 2 km e um barco Q a 3 km, e as duas visadas fazem 40° entre si. Qual é a distância entre os barcos, e qual é o ângulo em P do triângulo farol, P, Q? Use \(\cos 40^\circ \approx 0{,}766\) e \(\operatorname{sen}40^\circ \approx 0{,}643\).

Ver resolução
Pela lei dos cossenos, \(PQ^2\) \(= 4 + 9\) \(-\ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0{,}766\) \(\approx 3{,}81\), e \(PQ \approx 1{,}95\) km.
Para o ângulo em P, a lei dos senos dá \(\operatorname{sen}P\) \(= \dfrac{3 \cdot 0{,}643}{1{,}95}\) \(\approx 0{,}99\), e a calculadora responde 81°. Esse ângulo fica de frente para o maior lado, 3 km, e pode ser obtuso.
A lei dos cossenos decide, \(\cos P\) \(= \dfrac{2^2 + 1{,}95^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 1{,}95}\) \(\approx -0{,}15\), negativo.
O ângulo em P mede cerca de 99°, o suplemento dos 81°. O seno não distingue um ângulo do seu suplemento, e o cosseno distingue.
Passos 4 e 6 · Área com o seno

Um terreno triangular tem dois lados de 50 m e 80 m, que formam um ângulo de 150°. Qual é a área do terreno, e quanto mede o terceiro lado?

Ver resolução
A área é \(\tfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot 80 \cdot \operatorname{sen}150^\circ\), e \(\operatorname{sen}150^\circ\) \(= \operatorname{sen}30^\circ\) \(= \tfrac{1}{2}\) pelo ciclo, o que dá 1000 m².
Para o lado, \(\cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\), e \(c^2\) \(= 2500 + 6400 + 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(= 8900 + 4000\sqrt{3}\) \(\approx 15.828\).
O terceiro lado mede cerca de 125,8 m, um pouco menos que a soma dos outros dois, como deve ser num triângulo tão aberto.
Passos 7 e 8 · Roda-gigante

Uma roda-gigante tem 60 m de diâmetro, o eixo a 33 m do chão e dá uma volta a cada 20 minutos, partindo do ponto mais baixo. Em cada volta, por quanto tempo uma cadeira fica acima de 48 m?

Ver resolução
A altura é \(h(t)\) \(= 33 - 30\cos\left(\dfrac{2\pi t}{20}\right)\) \(= 33 - 30\cos\left(\dfrac{\pi t}{10}\right)\), com \(t\) em minutos.
\(h(t) > 48\) pede \(\cos\left(\dfrac{\pi t}{10}\right) < -\dfrac{1}{2}\), o que acontece com o argumento entre \(\dfrac{2\pi}{3}\) e \(\dfrac{4\pi}{3}\).
Isso dá \(t\) entre \(\tfrac{20}{3} \approx 6{,}67\) e \(\tfrac{40}{3} \approx 13{,}33\) minutos, um terço da volta.
A cadeira passa 6 min 40 s acima de 48 m em cada volta, o tempo de percorrer o arco de 120° em volta do topo.
Passos 3 e 4 · Ponteiro no ciclo

O ponteiro dos minutos de um relógio mede 15 cm. Com a origem no centro do relógio, o eixo \(x\) apontando para o 3 e o eixo \(y\) para o 12, em que ponto está a ponta do ponteiro às 10h40? Que ângulo, em radianos, ela percorreu desde as 10h?

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Aos 40 minutos o ponteiro apontou para o 8, girando 240° no sentido horário a partir do 12, ou \(240 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{4\pi}{3}\) rad.
No ciclo, o 12 corresponde a 90°, e girar 240° no sentido horário leva a \(90^\circ - 240^\circ\) \(= -150^\circ\).
A ponta está em \(\big(15\cos(-150^\circ),\ 15\operatorname{sen}(-150^\circ)\big)\) \(= \left(-\tfrac{15\sqrt{3}}{2},\ -\tfrac{15}{2}\right)\) \(\approx (-12{,}99;\ -7{,}5)\).
Ela percorreu \(4\pi/3\) rad, num arco de \(15 \cdot 4\pi/3 = 20\pi \approx 62{,}8\) cm.
Passo 8 · Um dia fora da tabela

Use o modelo de Porto Alegre, \(D(x) = 1{,}89\operatorname{sen}\left(\dfrac{2\pi}{365}(x - 263)\right)\) \(+\ 12{,}10\), para estimar a duração do dia em 7 de setembro de 2025, o dia 250 do ano, e compare com o valor do USNO, nascer às 6h33 e pôr às 18h13.

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O argumento é \(\dfrac{2\pi}{365} \cdot (250 - 263)\) \(\approx -0{,}224\) rad, e \(\operatorname{sen}(-0{,}224)\) \(\approx -0{,}222\).
\(D\) \(\approx 12{,}10 - 1{,}89 \cdot 0{,}222\) \(\approx 11{,}68\) h, cerca de 11 h 41 min.
O USNO dá das 6h33 às 18h13, 11 h 40 min. O modelo, ajustado a 24 datas, acerta uma data que não usou com erro de um minuto, e isso sugere que a senoide descreve bem a duração do dia nessa latitude.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

  1. Razões no triângulo retângulo · Passo 1

    Um carpinteiro vai fazer o telhado de duas águas de uma casa com 8 m de largura. A cumeeira fica no meio, e cada água cobre 4 m na horizontal. O projeto pede uma inclinação de 30%, isto é, o telhado sobe 30 cm para cada metro de avanço na horizontal. O carpinteiro precisa saber o comprimento de cada caibro, a peça que vai da beira do telhado até a cumeeira, sem contar o beiral.

    Qual é, aproximadamente, o comprimento de cada caibro?

    1. 1,20 m
    2. 4,00 m
    3. 4,18 m
    4. 4,62 m
    5. 5,20 m
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    Resposta: C.
    A inclinação de 30% é a tangente do ângulo do telhado, e em 4 m de avanço o telhado sobe \(4 \cdot 0{,}30 = 1{,}20\) m.
    O caibro é a hipotenusa do triângulo de catetos 4 m e 1,20 m, \(\sqrt{16 + 1{,}44}\) \(= \sqrt{17{,}44}\) \(\approx 4{,}18\) m.
    Os 1,20 m são só a subida, e os 4,00 m são só o avanço. Os 4,62 m saem de confundir 30% com 30°, \(4/\cos 30^\circ\), e os 5,20 m somam os dois catetos. Uma inclinação de 30% corresponde a um ângulo de cerca de 16,7°, bem menos que 30°, e a confusão entre as duas medidas parece comum em obra.
  2. Altura por visada · Passo 2

    Para estimar a altura da caixa-d'água da escola, Júlia esperou uma manhã de sol, mediu com uma trena a sombra da caixa no pátio plano, 12 m, e usou um aplicativo do celular para medir o ângulo entre o chão e o raio de sol que passa pelo topo da caixa, 40°. Ela anotou numa tabela os valores \(\operatorname{sen}40^\circ \approx 0{,}64\), \(\cos 40^\circ \approx 0{,}77\) e \(\operatorname{tg}40^\circ \approx 0{,}84\).

    Qual é a altura da caixa-d'água estimada por Júlia?

    1. 7,68 m
    2. 9,24 m
    3. 10,08 m
    4. 14,29 m
    5. 18,75 m
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    Resposta: C.
    A caixa e a sombra são os catetos de um triângulo retângulo, e o raio de sol é a hipotenusa. A altura é o cateto oposto ao ângulo de 40°, e a sombra é o adjacente.
    \(H\) \(= 12 \cdot \operatorname{tg}40^\circ\) \(\approx 12 \cdot 0{,}84\) \(= 10{,}08\) m.
    Os 7,68 m usam o seno e os 9,24 m usam o cosseno, como se a sombra fosse a hipotenusa. Os 14,29 m dividem a sombra pela tangente, e os 18,75 m dividem pelo seno. A trena e o aplicativo têm erros pequenos, e a resposta talvez mereça ser lida como "cerca de 10 m".
  3. Ciclo trigonométrico · Passo 4

    Uma pista de corrida circular tem 50 m de raio. Num sistema de coordenadas com origem no centro da pista e eixos em metros, a largada fica no ponto (50, 0), e os corredores andam no sentido anti-horário. O aplicativo de treino de Caio registra a posição dele no momento em que completa três oitavos de volta.

    Qual é a posição registrada, aproximadamente?

    1. (35,4; 35,4)
    2. (−35,4; 35,4)
    3. (−35,4; −35,4)
    4. (35,4; −35,4)
    5. (−50; 0)
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    Resposta: B.
    Três oitavos de volta são \(\tfrac{3}{8} \cdot 360^\circ = 135^\circ\), no 2º quadrante, com ângulo de referência de 45°.
    A posição é \((50\cos 135^\circ,\ 50\operatorname{sen}135^\circ)\) \(= (-25\sqrt{2},\ 25\sqrt{2})\) \(\approx (-35{,}4;\ 35{,}4)\).
    A alternativa A esquece o sinal do cosseno no 2º quadrante e cai no ponto de um oitavo de volta. A C é o ponto de quem corre três oitavos de volta no sentido horário, o mesmo de cinco oitavos no anti-horário, a D é o ponto de sete oitavos de volta, e a E é meia volta.
  4. Lei dos cossenos · Passo 6

    Um piloto de avião agrícola decola de uma fazenda e voa 300 km para o norte. Ali ele faz uma curva de 60° para a direita e voa mais 200 km em linha reta até uma segunda fazenda. Antes de voltar, ele quer saber a distância, em linha reta, até o ponto de partida.

    Qual é essa distância, aproximadamente?

    1. 264,6 km
    2. 360,6 km
    3. 435,9 km
    4. 500,0 km
    5. 173,2 km
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    Resposta: C.
    Uma curva de 60° deixa um ângulo de \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) entre os dois trechos de voo, no vértice da curva.
    \(d^2\) \(= 300^2 + 200^2\) \(-\ 2 \cdot 300 \cdot 200 \cdot \cos 120^\circ\) \(= 90.000 + 40.000 + 60.000\) \(= 190.000\), e \(d \approx 435{,}9\) km.
    A alternativa A usa 60° como ângulo entre os trechos, e a B aplica Pitágoras como se a curva fosse de 90°. A D soma os dois trechos, o que só valeria sem curva nenhuma, e a E é \(200\operatorname{sen}60^\circ\), uma altura do triângulo, e não o lado.
  5. Funções periódicas · Passo 8

    Num dia de verão sem nuvens, a temperatura do ar numa cidade foi descrita pelo modelo \(T(t) = 24 - 6\cos\left(\dfrac{\pi\,(t - 3)}{12}\right)\), em graus Celsius, com \(t\) em horas, de 0 a 24, contadas a partir da meia-noite.

    Segundo o modelo, a que horas o dia foi mais quente, e qual foi a temperatura nesse momento?

    1. Às 3h, com 30 °C.
    2. Às 9h, com 27 °C.
    3. Às 12h, com 30 °C.
    4. Às 15h, com 24 °C.
    5. Às 15h, com 30 °C.
    Ver resolução
    Resposta: E.
    O termo \(-6\cos(\dots)\) chega ao máximo, 6, quando o cosseno vale −1, com o argumento igual a \(\pi\).
    \(\dfrac{\pi\,(t - 3)}{12} = \pi\) dá \(t - 3 = 12\), isto é, \(t = 15\), e a temperatura é \(24 + 6 = 30\) °C.
    Às 3h o cosseno vale 1 e o modelo dá o mínimo, 18 °C, e quem esquece o sinal de menos chega à alternativa A. Às 12h o modelo dá cerca de 28,2 °C, e os 24 °C são a linha média. O período é de 24 horas, e o máximo fica 12 horas depois do mínimo, o que parece razoável para um dia limpo, mais quente no meio da tarde.

Questões reais do ENEM sobre este tema

Todas estão no caderno azul do 2º dia, o de Ciências da Natureza e Matemática, e podem ser conferidas nos arquivos de provas do INEP.

  • ENEM 2010, 2º dia, caderno azul, questão 152. A distância de um satélite ao centro da Terra varia com o tempo segundo uma fração com \(\cos(0{,}06t)\) no denominador, e a questão pede a soma das distâncias no apogeu e no perigeu, o que pede o maior e o menor valor do cosseno.
  • ENEM 2013, 2º dia, caderno azul, questão 136. As torres Puerta de Europa, em Madri, são inclinadas 15° em relação à vertical, e com um valor aproximado da tangente de 15° estimamos a área da base de uma delas.
  • ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 138. A intensidade da luz do Sol na superfície de um lago é proporcional ao seno do ângulo dos raios com a água, e a questão pergunta a que fração do máximo ela cai com o Sol a 30°.
  • ENEM 2017, 2º dia, caderno azul, questão 166. A pressão arterial de uma pessoa segue um modelo do tipo \(A + B\cos(kt)\), e com as pressões máxima e mínima e os batimentos por minuto escolhemos os parâmetros.
  • ENEM 2018, 2º dia, caderno azul, questão 170. A altura de uma cadeira da roda-gigante High Roller, em Las Vegas, aparece num gráfico em função do ângulo girado, em radianos, e precisamos reconhecer a expressão da função.
  • ENEM 2021, 2º dia, caderno azul, questão 156. Uma massa presa a uma mola oscila em volta da posição de equilíbrio, e do gráfico da posição em função do tempo tiramos a amplitude, o período e o sinal da expressão com seno ou cosseno.
  • ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 168. Experimentos com amortecedores produzem oscilações parecidas com uma senoide, e a questão pede o gráfico que respeita as condições sobre amplitude em dois trechos de estrada.
  • ENEM 2025, 2º dia, caderno azul, questão 160. A distância da lâmina d'água ao tampo da mesa num recipiente que se enche segue uma função com tangente, e as assíntotas verticais desenhadas no gráfico ajudam a achar os parâmetros.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Razões no triângulo retângulo\(\operatorname{sen}\alpha = \tfrac{\text{op}}{\text{hip}}\), \(\cos\alpha = \tfrac{\text{adj}}{\text{hip}}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\text{op}}{\text{adj}}\)
Relação fundamental\(\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1\) e \(\operatorname{tg}\theta = \tfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\)
Complementares\(\operatorname{sen}\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\)
Altura por visada\(H = h_o + d\,\operatorname{tg}\alpha\)
Graus e radianos\(\pi\ \text{rad} = 180^\circ\), \(1\ \text{rad} \approx 57{,}3^\circ\)
Arco e setor\(s = R\theta\) e área \(\tfrac{R^2\theta}{2}\), com \(\theta\) em rad
Ciclo\(P = (\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)\); a cada volta, o mesmo ponto
Redução ao 1º quadrante\(180^\circ - \alpha\), \(180^\circ + \alpha\), \(360^\circ - \alpha\), com o sinal do quadrante
Lei dos senos\(\tfrac{a}{\operatorname{sen}A} = \tfrac{b}{\operatorname{sen}B} = \tfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R\)
Lei dos cossenos\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)
Área de um triângulo\(\tfrac{1}{2}ab\operatorname{sen}C\)
Modelo periódico\(a\operatorname{sen}\big(b(x - h)\big) + k\), período \(\tfrac{2\pi}{|b|}\)
Ângulos notáveis
Ângulosencostg
30° = \(\pi/6\)\(\tfrac{1}{2}\)\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\)
45° = \(\pi/4\)\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)1
60° = \(\pi/3\)\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\tfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
Sinais por quadrante
Quadrantesencostg
1º, de 0 a \(\pi/2\)+++
2º, de \(\pi/2\) a \(\pi\)+−−
3º, de \(\pi\) a \(3\pi/2\)−−+
4º, de \(3\pi/2\) a \(2\pi\)−+−