Vectors

El banc llança una pilota a 10 m/s, 45° per sobre del terra, i dos laboratoris mesuren el mateix vol. L'A ha posat l'origen dels seus eixos al punt de llançament. El B ha posat el seu 8 m més enllà i 2 m més amunt, en un lloc que es pot canviar arrossegant el cercle magenta. Mig segon després del llançament, l'A anota la pilota a (3,54; 2,31) m i el B a (−4,46; 0,31) m, i tots dos tenen raó sense coincidir en cap nombre.

El que tenen en comú apareix en les diferències. Entre dues files seguides de les taules, separades per 0,25 s, la pilota avança 1,77 m en horitzontal per a l'A i 1,77 m per al B, i en vertical passa el mateix, perquè l'origen del B entra en totes dues posicions i desapareix quan es resten. Dividides per l'interval, aquestes diferències donen la velocitat mitjana de cada tram, que per això és la mateixa als dos laboratoris. El Δy s'encongeix uns 0,61 m d'una fila a la següent, a totes dues taules, i aquesta és la marca de la gravetat, una acceleració que tots dos també mesuren igual.

Amb la mateixa acceleració, la mateixa massa i les mateixes forces, la llei \(F = ma\) que val per a l'A val per al B amb la mateixa forma, només amb altres lletres a les coordenades. Cap experiment de mecànica no pot, doncs, assenyalar l'origen veritable de l'espai, perquè no n'hi ha cap; la lliçó de secundària sobre els sistemes de referència fa servir aquesta llibertat cada vegada que tria el zero allà on els càlculs queden més senzills.

laboratori A   laboratori B   trajectòria   velocitat

Els físics en diuen simetria, en un sentit que Feynman pren de Hermann Weyl. S'anomena simètric allò que surt d'una operació sense que es pugui dir que s'ha fet. L'operació d'aquest banc és portar l'origen a un altre punt, una translació, i el que queda sense cap diferència són les lleis del moviment. Es diu, aleshores, que les lleis de la mecànica són invariants per translació.

La simetria és de les lleis, no de les coses. Un edifici dalt d'un turó no és el mateix que un edifici arran de mar, i una pilota llançada des de la vora d'un penya-segat cau més que la del banc, perquè el terra ja no és on era. Perquè l'experiment es repeteixi igual en un altre lloc, cal endur-se tot el que hi actua, i en el llançament del banc això inclou el terra i la Terra que estira la pilota.

Al Feynman: §11-1 Symmetry in physics ↗ · §11-2 Translations ↗

Ara l'origen es queda on és i els que es mouen són els eixos. La fletxa vermella del banc és una força de 5 N, amb components de 4 N i 3 N als eixos verds, els originals. Als eixos magenta, girats 30°, la mateixa força té components de 4,96 N i 0,60 N. Les línies discontínues mostren d'on surten aquests nombres: cada component és la projecció de la fletxa sobre un eix, i quan l'eix gira, la projecció canvia.

El càlcul que porta d'un parell de nombres a l'altre només fa servir un cosinus i un sinus de l'angle, i és el mateix per a les coordenades d'un punt i per a les components d'una força, d'una velocitat o de qualsevol altra fletxa. El que no canvia és la llargada. Els quadrats de 4 i 3 sumen 25, els de 4,96 i 0,60 també, i el quadre Llargada es queda quiet mentre l'angle gira, perquè girar els eixos no estira ni encongeix res. Arrossegar la punta de la força canvia la llargada, però el valor nou és el mateix als dos sistemes.

eixos originals   eixos girats   força o gravetat   trajectòria

L'escenari Llançament aplica el mateix gir a un problema de mecànica. Una pilota surt a 10 m/s, i la gravetat, que als eixos verds apunta tota cap avall, als magenta girats 30° té dues components, −4,90 m/s² al llarg de x′ i −8,49 m/s² al llarg de y′. Qui només fes servir els eixos girats veuria una pilota accelerada en totes dues direccions. Aplicant la mateixa llei del llançament a cada component, trobaria a cada instant la posició que s'obté girant la del sistema verd, com comprova el missatge del banc. La lliçó de secundària sobre els llançaments posa l'eix y en vertical per estalviar-se càlculs, i el banc mostra que qualsevol altra elecció descriu la mateixa trajectòria.

D'això no se segueix que qualsevol aparell funcioni igual amb qualsevol inclinació. Un rellotge de pèndol muntat tort marca el temps d'una altra manera, o s'atura, i la mecànica no en té la culpa: qui estira el pèndol és la Terra, i la Terra no ha girat juntament amb el rellotge. La invariància per rotació promet el mateix resultat quan es gira tot el que produeix les forces. Girar el laboratori sencer, Terra inclosa, equival al que fa el banc, mirar el mateix experiment amb uns eixos girats en sentit contrari. L'exemple del rellotge és de Feynman.

Al Feynman: §11-3 Rotations ↗

El banc comença amb dues fletxes que surten del mateix origen, \(\vec a\) amb components 3 i 4 i \(\vec b\) amb −1 i 2, i cadascuna es pot arrossegar per la punta. Sumar-les és sumar les components una per una, 3 − 1 = 2 en x i 4 + 2 = 6 en y, i la fletxa vermella que acaba a (2; 6) és \(\vec a + \vec b\). El mateix punt apareix sense cap càlcul quan s'encaixa la cua de \(\vec b\) a la punta d'\(\vec a\), perquè caminar 3 i 4 i després −1 i 2 porta allà on s'arriba caminant 2 i 6 d'una vegada. Començant per \(\vec b\) s'hi arriba igualment, i els dos camins tanquen el paral·lelogram discontinu del banc.

El botó Gira els eixos canvia els eixos verds pels magenta, inclinats 30° com al pas 2. Als eixos nous, \(\vec a\) té components 4,60 i 1,96, \(\vec b\) en té 0,13 i 2,23, i les sumes, d'uns 4,73 i 4,20, són el que les fórmules del pas 2 donen per al punt (2; 6); la petita diferència a la segona xifra decimal ve només de sumar termes ja arrodonits. Sumar als eixos verds o als magenta produeix la mateixa fletxa vermella, descrita amb altres nombres, i la llargada de 6,32 no s'altera.

Els eixos girats donen la clau del que és un vector. A l'espai té tres components, i al pla del banc, dues; el que en fa un vector és la manera com responen al gir dels eixos, amb la mateixa regla de cosinus i sinus que val per a les coordenades d'un punt. La posició i la força superen aquesta prova. La suma també la supera, perquè la regla només multiplica components per nombres fixos i suma els productes, de manera que girar i després sumar dona el mateix que sumar i després girar.

\(\vec a\)   \(\vec b\)   resultat   eixos originals   eixos girats

La Diferència fa servir la mateixa suma. Multiplicar \(\vec b\) per −1 capgira la fletxa, i sumar aquest oposat a \(\vec a\) dona \(\vec a - \vec b\), que al banc val (4; 2), amb 4,47 de llargada. L'Escala multiplica \(\vec a\) per un nombre \(k\). Amb \(k = 1{,}5\) la fletxa creix fins a (4,5; 6) i 7,5 de llargada sense sortir de la seva recta, i amb \(k\) negatiu passa a apuntar cap al costat oposat. Multiplicar per un nombre tampoc no depèn dels eixos, i per això \(k\vec a\) i \(\vec a - \vec b\) són vectors com els altres. La lliçó de secundària sobre la suma de velocitats fa servir aquestes regles per travessar un riu.

L'avantatge apareix quan s'escriu una llei. La segona llei de Newton en la forma \(\vec F = m\vec a\) recull en una sola línia les igualtats \(F_x = m a_x\) i \(F_y = m a_y\), i les recull en qualsevol parell d'eixos, perquè els dos costats canvien amb la mateixa regla quan els eixos giren. Si val als eixos verds, val als magenta, i no cal refer el càlcul del pas 2 per a cada llei nova. Una equació escrita només amb vectors i amb les operacions d'aquest banc ja porta incorporada la invariància per rotació.

Al Feynman: §11-4 Vectors ↗ · §11-5 Vector algebra ↗

El banc posa un cotxe en una pista circular de 5 m de radi, que surt a 2 m/s i guanya 0,5 m/s cada segon. Del centre de la pista al cotxe va la fletxa de la posició. Canvia a cada instant, i el ritme d'aquest canvi, la derivada de la fletxa respecte del temps, és la velocitat, la fletxa blava, sempre tangent a la pista. La derivada es pren component per component, i com que el gir dels eixos només combina components amb cosinus i sinus fixos, derivar i després girar dona el mateix que girar i després derivar, com passava amb la suma al pas 3; la velocitat és, per tant, un vector. L'acceleració és la derivada de la velocitat, i és un vector pel mateix motiu.

Al pas 2 de la lliçó del capítol 9 el punt girava amb rapidesa constant, i l'acceleració apuntava sempre cap al centre. Aquí el velocímetre puja, i la fletxa vermella deixa d'apuntar cap al centre: amb el control Temps a 4 s i el cotxe a 4 m/s, està inclinada uns 9° cap endavant. Les fletxes taronja i magenta la descomponen en dues parts en angle recte, una al llarg de la velocitat i l'altra en la direcció del centre de la pista.

velocitat   acceleració i \(\Delta\vec v\)   part tangencial   part normal

El quadre de les velocitats mostra d'on surten les dues parts. Copia en un mateix origen la velocitat de mig segon abans i l'actual, i \(\Delta\vec v\) és la fletxa vermella que n'uneix les puntes. L'arc discontinu marca fins on arribaria la fletxa nova sense canviar de mida, i \(\Delta\vec v\) és la suma de dos trossos: la corda magenta entre les puntes sobre l'arc, que només fa girar la fletxa, i el tram taronja al llarg de la velocitat nova, que només l'allarga. A t = 4 s, \(|\Delta\vec v|\) val 1,51 m/s, però la rapidesa només ha crescut 0,25 m/s en aquest mig segon, i gairebé tot el \(\Delta\vec v\) és gir. Amb mig segon d'interval la corda encara no és perpendicular a la velocitat nova: a t = 4 s la fletxa ha girat 22°, i la corda hi forma 90° menys la meitat d'això, 79°. Només esdevé perpendicular en el límit d'intervals cada vegada més petits.

Dividits per l'interval, i amb l'interval cada vegada més curt, els dos trossos es converteixen en les dues components de l'acceleració. La tangencial és el ritme amb què canvia la rapidesa, 0,5 m/s² a qualsevol instant d'aquesta cursa. La normal és la del capítol 9, \(v^2/R\), que amb 4 m/s i 5 m de radi dona 3,2 m/s² i creix amb el quadrat de la rapidesa. Perquè el cotxe ho faci, el terra ha d'empènyer els pneumàtics amb la força \(m\vec a\), inclinada com la fletxa vermella, i la igualtat \(\vec F = m\vec a\) val component a component en qualsevol parell de direccions perpendiculars, les dels eixos x i y o aquestes dues, que acompanyen el cotxe. La lliçó de secundària sobre el moviment circular uniformement accelerat arriba a les mateixes dues parts a través de la velocitat angular.

Al Feynman: §11-6 Newton’s laws in vector notation ↗

El banc comença amb dues fletxes al mateix origen, \(\vec a\) amb components 4 i 2 i \(\vec b\) amb 1 i 3. Si es multipliquen les components del mateix nom i se sumen els productes, 4 × 1 + 2 × 3, en surt el nombre 10. Als eixos magenta, girats 30° en sentit horari, les components passen a 2,46 i 3,73 per a \(\vec a\) i a −0,63 i 3,10 per a \(\vec b\); ara els productes valen −1,56 i 11,56, i la suma torna a donar 10. El control Gir dels eixos pot anar de −90° a 90° sense que aquest nombre es mogui, mentre els quatre nombres que el produeixen canvien tota l'estona.

Aquest nombre és el producte escalar, que s'escriu \(\vec a\cdot\vec b\). Escalar, aquí, vol dir un nombre que no apunta cap enlloc i que val el mateix per a qui fa servir els eixos verds i per a qui fa servir els magenta, al contrari de les components, que cada sistema té les seves. El pas 2 ja tenia un nombre així, la llargada. La suma dels quadrats de les components és el producte escalar d'una fletxa amb ella mateixa, \(\vec a\cdot\vec a = |\vec a|^2\), i el quadre Llargada d'aquell banc es quedava quiet pel mateix motiu pel qual el quadre del producte es queda quiet en aquest.

El motiu apareix quan s'escriu cada fletxa amb la seva llargada i l'angle que forma amb l'eix x. Si \(\vec a\) forma un angle \(\alpha\) i \(\vec b\) un angle \(\beta\), la suma dels productes es converteix en \(|\vec a|\,|\vec b|\,(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\), que és \(|\vec a|\,|\vec b|\cos(\beta - \alpha)\). Girar els eixos resta el mateix angle a \(\alpha\) i a \(\beta\) i deixa intacta la diferència, que és l'angle \(\theta\) entre les fletxes. Al banc, \(\vec a\) forma 26,6° amb l'eix x verd i \(\vec b\) en forma 71,6°; mesurats a partir de l'eix x′ magenta, els angles passen a 56,6° i 101,6°, i la diferència continua sent 45°. El producte de les llargades, 4,47 × 3,16, dona 14,14, i multiplicat per cos 45° dona els mateixos 10.

\(\vec a\) o \(\vec d\)   \(\vec b\) o \(\vec F\)   ombra sobre \(\vec a\) o \(\vec d\)   eixos originals   eixos girats

La forma amb el cosinus diu què mesura el nombre. \(|\vec b|\cos\theta\) és la mida de l'ombra de \(\vec b\) sobre la recta d'\(\vec a\), la franja taronja del banc, i el producte escalar és la llargada d'\(\vec a\) per aquesta ombra, 4,47 × 2,24. L'ombra s'encongeix a mesura que l'angle s'obre, desapareix quan les fletxes formen un angle recte i, passats els 90°, cau a l'altre costat de l'origen, i el producte es torna negatiu.

L'escenari Treball porta l'ombra a la mecànica. Una força de 10 N, inclinada 60° per sobre del terra, acompanya un bloc que es desplaça 3 m en horitzontal. Només l'ombra de la força sobre el desplaçament, 5 N, empeny el bloc endavant, i l'altra part estira cap amunt, en una direcció en què el bloc no es mou. El treball de la força és \(\vec F\cdot\vec d\), 5 N × 3 m = 15 J, i la forma amb el cosinus, 10 × 3 × cos 60°, dona el mateix. El pes del bloc és perpendicular al terra i no fa treball. A la rampa del pas 3 de la lliçó del capítol 4, el càlcul de pes per altura era aquest producte, amb el signe canviat: del camí al llarg de la rampa, el pes només veu la part vertical, i el seu treball és negatiu quan el bloc puja.

L'energia cinètica és de la mateixa família. El \(v^2\) de \(\tfrac12 m v^2\) és \(\vec v\cdot\vec v\), i un cos de 2 kg amb una velocitat de components 3 i 4 m/s té \(\vec v\cdot\vec v = 25\) m²/s² i 25 J d'energia en qualsevol parell d'eixos. D'aquí també s'entén el pas 4. La part normal de l'acceleració és perpendicular a la velocitat, té producte escalar nul amb ella i per això no canvia la rapidesa; el pas 6 de la lliçó del capítol 4 mostra que \(K\) varia al ritme de \(\vec F\cdot\vec v\). Els dos usos, treball i energia cinètica, també apareixen al Feynman.

Al Feynman: §11-7 Scalar product of vectors ↗