Característiques de la Força

El banc posa un carretó d'1 kg en un carril i l'estira amb una molla de 20 N/m. L'altre extrem de la molla el porta a la mà algú que camina davant del carretó i ajusta el pas perquè la molla sigui sempre 0,10 m més llarga que en repòs. La molla s'ha calibrat abans, penjant-hi pesos coneguts, i per això se sap quant estira amb cada allargament: amb 0,10 m, 2 N. Prem Estira i la velocitat puja en línia recta al gràfic, 2 m/s cada segon, fins a 4 m/s al final dels 2 s de la cursa.

Amb la molla allargada 0,20 m, la recta següent surt el doble d'inclinada, 4 m/s². Amb l'allargament de nou a 0,10 m i un carretó de 2 kg, el pendent baixa a la meitat, 1 m/s². Les curses anteriors queden al gràfic en gris, i en totes el producte de la massa per l'acceleració mesurada reprodueix el \(k\,x\) de la molla, com comprova a cada cursa el missatge de sota del banc.

força de la molla   velocitat mesurada   predicció \(k\,x/m\)   curses anteriors

Res d'això seria notícia si la força fos només un nom per al producte \(m\,a\). N'hi hauria prou de mesurar l'acceleració, multiplicar-la per la massa i dir-ne força, i la segona llei seria certa per construcció, sense poder equivocar-se sobre cap carretó. Comença a afirmar alguna cosa quan la força té una mesura independent, com l'allargament d'una molla calibrada, perquè llavors la predicció \(k\,x/m\) es pot posar al costat del pendent de la recta i pot fallar. La prova és fer servir la mateixa molla, amb el mateix allargament, en cossos de masses diferents: si fa sempre la mateixa força, \(m\,a\) ha de donar el mateix nombre en tots, i un món en què això no passés seria perfectament imaginable.

La tercera llei hi afegeix una exigència que tampoc no garanteix cap definició. El carretó estira la molla cap enrere amb la mateixa força amb què la molla l'estira cap endavant, i el mateix val entre la molla i la mà, de manera que el que es mesura en un cos diu quant val una força que actua sobre un altre. La lliçó de secundària sobre la segona llei fa servir \(F = m\,a\) com a regla de càlcul; aquest banc pregunta què hauria pogut fallar en la llei, i la resta de la lliçó mira d'on surten les forces que es posen al costat esquerre.

Al Feynman: §12-1 What is a force? ↗

A l'escenari Estirant, un bloc de fusta de 2 kg és sobre una taula de fusta, i el control Força aplicada l'estira en horitzontal. Amb 4 N el bloc no es mou, i la taula respon amb 4 N de fregament en sentit contrari; amb 8 N, respon amb 8 N. Al gràfic això apareix com una recta en què el fregament iguala la força aplicada, i el fregament estàtic només arriba fins a 9,8 N, el coeficient estàtic de 0,5 per la normal de 19,6 N. Una mica més enllà, el bloc llisca.

Quan llisca, el fregament baixa a 5,88 N, el coeficient cinètic de 0,3 per la normal, i es manté en aquest valor amb qualsevol força i qualsevol velocitat. Amb 10 N estirant, en queden 4,12 N per accelerar els 2 kg, 2,06 m/s². Baixar la força per sota de 9,8 N no atura el bloc, perquè mentre es mou la taula només el frena amb 5,88 N; perd velocitat i s'atura quan la força queda per sota d'aquest valor. Començar exigeix vèncer el pic \(\mu_s N\), i continuar només exigeix el replà \(\mu_k N\).

Els coeficients dels botons són valors típics i aproximats. A la pràctica canvien amb l'estat de les superfícies, i la diferència entre l'estàtic i el cinètic depèn molt de les condicions, com el temps que les peces han estat quietes en contacte i la netedat que tenen, i de vegades és petita. Que el fregament gairebé no depengui de l'àrea de contacte ni de la velocitat són regles empíriques, que funcionen raonablement bé en un ventall de situacions quotidianes, i no lleis fonamentals. La lliçó de secundària sobre el fregament mostra el mateix pic amb el bloc ajagut i dret.

força aplicada   fregament   normal   pes

L'escenari Pla inclinat permet mesurar \(\mu_s\) sense cap dinamòmetre. La taula es converteix en una rampa i l'angle va pujant. La part del pes al llarg de la rampa, \(mg\sin\theta\), creix, i la normal, \(mg\cos\theta\), disminueix; el bloc comença a baixar quan la primera supera \(\mu_s\) vegades la segona, és a dir, quan \(\tan\theta\) arriba a \(\mu_s\). Amb fusta sobre fusta això passa a 26,6°, i la massa no entra en el càlcul, perquè apareix als dos costats. En moviment, a 30° el bloc baixa amb 2,35 m/s², i només es torna a aturar si l'angle baixa de 16,7°, on \(\tan\theta = \mu_k\). Feynman descriu la mateixa mesura, i la lliçó de secundària sobre la rampa descompon el pes pas a pas.

Queda per saber per què l'àrea gairebé no importa. L'explicació més acceptada se sol associar a Frank Bowden i David Tabor, a Cambridge, a mitjan segle XX: l'àrea de contacte veritable entre dos sòlids és una fracció petita de l'àrea aparent i creix amb la força normal, no amb la mida del bloc. Amb més pes, els punts on les superfícies es toquen de debò s'aixafen i es multipliquen; ajeure el bloc reparteix el mateix pes entre més punts, cadascun menys premut, i la suma canvia poc. En aquests punts els àtoms de les dues peces queden prou a prop per atreure's, i el fregament seria, doncs, una conseqüència de forces entre àtoms, que el pas 3 mira de prop.

Al Feynman: §12-2 Friction ↗

Els dos àtoms del banc s'empenyen o s'estiren amb una força que només depèn de la distància \(r\) entre els centres. El de l'esquerra està fix i el de la dreta es pot arrossegar. Les unitats són les del mateix banc, amb \(\sigma = 1\) per a les distàncies, \(\varepsilon = 1\) per a les energies i, per tant, \(\varepsilon/\sigma\) per a les forces. Portat a 1,05, l'àtom mòbil és empès cap enfora amb 8,40; portat a 1,20, és estirat cap enrere amb 2,21. Entre les dues posicions hi ha una distància, 1,122, en què la força s'anul·la, i allà la parella pot quedar-se quieta.

Els gràfics mostren la resta de la corba. Per dins d'1,122 la repulsió creix molt de pressa i a 1,02 ja passa de 16. Per fora apareix l'atracció, arriba al màxim de 2,40 a 1,244 i després s'afebleix, fins a quedar per sota de 0,1 a 2,2. L'energia potencial té un pou de profunditat \(\varepsilon\) exactament a la distància en què la força s'anul·la, i la força a cada punt és menys el pendent de la corba d'energia.

Les dues corbes surten del potencial de Lennard-Jones, associat a John Lennard-Jones, que va treballar en aquesta forma als anys vint i trenta, i encara avui molt usat en simulacions de gasos nobles i de líquids simples. És un model, no la llei exacta de la força entre dos àtoms. El terme en \(r^{-6}\) té justificació física per a l'atracció entre àtoms neutres, però el terme en \(r^{-12}\) es va triar en bona part perquè és còmode per als càlculs. Una explicació completa d'aquestes forces demana mecànica quàntica, perquè resulten de la disposició dels electrons i dels nuclis dels dos àtoms; el banc només n'aprofita la forma general, repulsió de prop, atracció de lluny i un mínim d'energia entremig, que es repeteix en molts materials.

força del model   predicció de Hooke   energia potencial

A prop d'1,122 la corba de la força gairebé no se separa de la recta discontínua, de pendent \(-k\), amb \(k \approx 57{,}1\,\varepsilon/\sigma^2\). Això és una molla. A 1,12 la recta prediu 0,141 i el model dona 0,144; a 1,115, 0,426 contra 0,457. L'argument no depèn dels exponents del model: qualsevol força que vingui d'una energia amb un mínim suau és, a prop del mínim, proporcional al desplaçament i de sentit contrari, perquè allà la corba d'energia es confon amb una paràbola, la discontínua del gràfic de dalt. En una molla d'acer, cada enllaç entre àtoms s'allunya molt poc del seu mínim, i la resposta lineal de tota la molla sembla que ve d'aquí.

La recta només serveix a prop del fons del pou. A 1,10 ja s'equivoca en un 19%, i a 1,15 en un 29%; al màxim de l'atracció, a 1,244, prediu gairebé tres vegades la força del model. En una molla de debò, estirar més enllà de la zona lineal deixa una deformació permanent o trenca el material. El botó Deixa anar mostra la diferència en moviment, amb el temps mesurat en \(\sigma\sqrt{m/\varepsilon}\), en què \(m\) és la massa de l'àtom mòbil. Deixat anar a 1,15, arriba fins a 1,099 i torna en 0,84, gairebé el 0,83 de la molla de Hooke; deixat anar a 1,5, triga 1,72, amb prou feines passa d'1,015 per la banda de dins i es passa la major part del temps lluny, a la part poc fonda del pou.

Al Feynman: §12-3 Molecular forces ↗

A l'escenari Només B, un electró a 1 milió de metres per segon es mou en una regió de camp magnètic uniforme d'1 mT, que surt de la pantalla (són els punts). No va recte: descriu un cercle de 5,69 mm de radi i torna al punt de partida en 35,7 ns. Amb el doble de velocitat el cercle es fa el doble de gran, i la volta continua trigant 35,7 ns; amb el doble de camp, el radi i el temps de volta baixen a la meitat. L'escena va a càmera lenta, 12 ns d'electró per cada segon de pantalla, amb el mateix factor en tots els casos, i per això els temps de volta es poden comparar a ull.

El que corba l'electró és la força magnètica \(q\,\vec v\times\vec B\), perpendicular alhora a la velocitat i al camp. Com que sempre és perpendicular al moviment, canvia la direcció de la velocitat sense canviar-ne el mòdul, i fa el paper de resultant centrípeta: igualant \(|q|\,v\,B\) a \(m v^2/r\) en surt el radi, i el temps de volta, \(2\pi r/v\), deixa de dependre de \(v\). La lliçó de secundària sobre la força magnètica sobre una càrrega fa aquest càlcul amb ions. La càrrega de l'electró és negativa, i per a ell la força apunta cap amunt quan es mou cap a la dreta amb el camp sortint de la pantalla, al revés del que sentiria un protó; per això gira en sentit antihorari.

Si s'hi suma la força que un camp elèctric \(\vec E\) fa sobre qualsevol càrrega, quieta o no, s'arriba a la força de Lorentz, \(\vec F = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B)\). Dona la força sobre la càrrega a partir dels dos camps al punt on és, sense preguntar què els produeix.

velocitat   força sobre l'electró   trajectòria

Res no toca l'electró, i tot i així es desvia. La idea de camp separa qui produeix la força de qui la sent: les fonts fixen el valor del camp a cada punt, i la càrrega només necessita el valor al punt on és. Al banc, l'imant o la bobina que farien aquest \(\vec B\) ni tan sols hi surten. La força que produeixen les fonts segueix lleis simples. La força entre dues càrregues quietes disminueix amb l'invers del quadrat de la distància, com la gravitació, la llei en \(1/r^2\) de la qual discuteix la lliçó sobre la gravitació, i per això l'electricitat i la gravitació s'anomenen forces fonamentals, al contrari del fregament i de la força entre àtoms, que resulten de sumes complicades d'efectes elèctrics.

A l'escenari E i B, l'electró passa entre dues plaques carregades que hi afegeixen un camp elèctric vertical. La força elèctrica no depèn de la velocitat, la magnètica creix amb la velocitat, i totes dues apunten en sentits oposats. Amb 1 kV/m i 1 mT només s'anul·len per a qui va a \(E/B = 10^6\) m/s: aquest electró passa recte i travessa l'escletxa. Els que van força més a poc a poc o més de pressa xoquen amb una placa o no encerten l'escletxa; a prop d'\(E/B\) una franja estreta encara hi passa, i amb un \(B\) intens l'electró pot fer voltes senceres entre les plaques i caure a l'escletxa per casualitat. Un muntatge així tria velocitats, i l'equilibri entre les dues desviacions és el mateix que J. J. Thomson va fer servir el 1897, en un tub de raigs catòdics, per mesurar la velocitat dels electrons i arribar a la relació entre la seva càrrega i la seva massa.

En queden fora les forces nuclears, que només actuen a distàncies de la mida d'un nucli, prop de \(10^{-15}\) m, i per a les quals no es coneix una llei simple com la de l'invers del quadrat.

Al Feynman: §12-4 Fundamental forces. Fields ↗ · §12-6 Nuclear forces ↗

Del sostre del cotxe del banc penja una boleta d'un fil. Amb el cotxe a velocitat constant el fil queda a plom, però n'hi ha prou de posar el control a 3 m/s² perquè la boleta es quedi enrere, es gronxi una mica i s'acomodi amb el fil inclinat 17,0° respecte de la vertical. Amb 5 m/s² l'angle arriba a 27,0°; frenant a 3 m/s², el fil s'inclina els mateixos 17,0°, ara cap endavant. Ni la massa de la boleta ni la velocitat del cotxe entren en el resultat, només l'acceleració, i el fil s'atura on \(\tan\theta = a/g\). Un pèndol penjat així fa d'acceleròmetre.

Amb el botó Vist des de la carretera, la càmera és quieta al voral i el cotxe travessa la pantalla, en una escena que torna a començar a cada passada. Des d'allà es veu la boleta guanyar velocitat amb el cotxe, i la lupa del banc mostra les dues forces que hi actuen, el pes i la tensió del fil. Amb el fil inclinat no s'anul·len, i, un cop la boleta s'ha acomodat, en queda una resultant horitzontal, cap endavant, que val exactament \(m\,a\). És la que accelera la boleta, i la segona llei funciona sense cap retoc. L'escena va a càmera lenta, a la meitat de la velocitat.

tensió   pes   pseudoforça   resultant

Amb el botó Vist des de dins del cotxe, la càmera va fixada al cotxe. Ara qui es mou és la carretera, cap enrere i cada cop més de pressa, i la boleta és quieta, penjada de biaix. El pes i la tensió són els mateixos d'abans i continuen sumant una resultant cap endavant, però, per a qui és dins del cotxe, la boleta no accelera. La segona llei només hi val si entra en el càlcul una força més, \(-m\,\vec a\), que apunta cap enrere i que no exerceix cap cos. És una pseudoforça, i és la que, per a qui és a dins, sembla llançar el passatger contra el respatller quan el cotxe arrenca. En una persona de 70 kg, 3 m/s² donen 210 N, una mica menys d'un terç del seu pes.

Com el pes, la pseudoforça és proporcional a la massa, i des de dins del cotxe totes dues se sumen en una gravetat efectiva inclinada, de valor \(\sqrt{g^2 + a^2}\), que dona 10,25 m/s² amb 3 m/s². El fil apunta en la seva direcció, i una pedra deixada anar dins del cotxe cauria al llarg del fil. Un passatger amb les finestres tapades llegeix al pèndol 17,0° i 10,25 m/s², i un cotxe aturat en un lloc on la gravetat valgués 10,25 m/s², inclinada, donaria la mateixa lectura. Albert Einstein, el 1907, va fer d'això un principi, el principi d'equivalència, que acabaria portant a la relativitat general, enllestida el 1915.

La força centrífuga és del mateix tipus, però en un referencial que gira, com el d'un autobús que pren una corba. Per a qui és a dins, el càlcul quadra amb una força cap enfora, proporcional a la massa i sense cap cos al darrere; per a qui mira des de la vorera, desapareix, i el que hi ha és la força centrípeta, un paper que la lliçó de secundària sobre la força centrípeta atribueix a forces de veritat, com el fregament o la tensió. La pseudoforça no és un error. És el preu de descriure el moviment des d'un referencial accelerat, i amb ella els càlculs fets dins del cotxe donen el mateix que els fets a la carretera.

Al Feynman: §12-5 Pseudo forces ↗