Matemática · Ensino Médio · Estatística

Estatística

O Censo de 2022 contou 203.080.756 pessoas, e ninguém lê uma tabela desse tamanho linha por linha. A estatística resume os dados num gráfico, num número que diz onde fica o centro e noutro que diz quanto os valores se espalham em volta dele. E quando só uma parte da população foi ouvida, ela diz quanto uma amostra conta da população e em que situações ela engana.

1Gráficos
2Histograma
3Média
4Média, mediana e moda
5Desvio padrão
6Quartis e boxplot
7Amostras
8Viés
✓Desafios

PASSO 1

Que gráfico conta melhor uma tabela?

Uma tabela de categorias, como a cor ou raça que cada pessoa declarou no Censo de 2022, cabe tanto num gráfico de barras quanto num gráfico de setores. Nas barras, a altura de cada uma é proporcional à frequência da categoria, e comparamos as categorias pela altura. Nos setores, cada fatia ocupa do círculo a mesma fração que a categoria ocupa do total, e o ângulo da fatia é essa fração de 360°.

Os setores só têm leitura quando as categorias são partes de um mesmo todo e somam 100%. A população de 2010 e a de 2022 não são partes de nada em comum, e uma pizza com as duas não diria coisa alguma. Mesmo com partes de um todo, o olho parece comparar ângulos pior do que compara alturas, e duas fatias de 43% e de 45% tendem a parecer iguais.

A altura de uma barra só é proporcional ao valor quando o eixo vertical começa no zero. Se o eixo começa em 42%, a barra dos pardos de 2022 sai quase três vezes mais alta que a de 2010, embora a porcentagem tenha crescido só 5% de um Censo para o outro. Os números escritos no eixo continuam certos, e o desenho conta outra história. A aula de Funções trata da leitura de gráficos de dados de modo mais geral.

$\text{porcentagem} = \dfrac{f}{T} \cdot 100\%$$\text{ângulo do setor} = \dfrac{f}{T} \cdot 360^\circ$$f$ é a frequência da categoria e $T$ é o total. Com o eixo começando em $b$, duas barras de valores $u < v$ aparecem na razão $\dfrac{v - b}{u - b}$, maior que a razão verdadeira $v/u$.

Para conversar

Com a cor ou raça em barras, toque na barra dos indígenas e depois mude para setores. Que fatia corresponde a ela, e quantos graus ela ocupa?
Nas regiões, compare o Sudeste com o Nordeste nas barras e nos setores. Em qual dos dois gráficos fica mais fácil dizer quantas vezes um é maior que o outro?
Escolha os pardos em 2010 e em 2022 e suba o início do eixo até quase o valor de 2010. Quanto a razão na tela se afasta da razão dos dados?
Ainda com os pardos, tente mudar para setores. Por que a bancada recusa?

Eixo começa em

Categoria

Valor

Porcentagem

Ângulo do setor

Maior barra ÷ menor barra

Exercícios do passo 1 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Numa turma de 40 alunos, 18 vão à escola de ônibus, 10 a pé, 8 de carro e 4 de bicicleta. Num gráfico de setores, quantos graus ocupa a fatia do ônibus?

Ver resolução
A fração da turma que vai de ônibus é $\dfrac{18}{40} = 0{,}45$.
A fatia ocupa a mesma fração do círculo, $0{,}45 \cdot 360^\circ = 162^\circ$.
162°
básico
Num gráfico de setores, uma fatia ocupa um ângulo reto. Que porcentagem do total ela representa?

Ver resolução
O ângulo reto mede 90°, e $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
25% do total.
básico
No Censo de 2022, 45,34% da população se declarou parda. Que ângulo tem essa fatia num gráfico de setores?

Ver resolução
$0{,}4534 \cdot 360^\circ \approx 163{,}2^\circ$
Cerca de 163°, um pouco menos que meio círculo.
básico
Duas barras representam os valores 50 e 60, e o eixo vertical começa em 40. Quantas vezes a barra maior parece maior que a menor, e quantas vezes o valor é maior?

Ver resolução
Acima do 40, as barras têm alturas proporcionais a $60 - 40 = 20$ e a $50 - 40 = 10$, e a maior parece o dobro da menor.
Os valores estão na razão $60/50 = 1{,}2$.
Parece 2 vezes maior, e é só 1,2 vez maior.
médio
No Censo de 2022 o Brasil tinha 203.080.756 habitantes, e 84.840.113 deles moravam no Sudeste. Que porcentagem da população morava no Sudeste, e que ângulo essa região ocupa num gráfico de setores?

Ver resolução
$\dfrac{84.840.113}{203.080.756} \approx 0{,}4178$, ou seja, 41,78%.
O ângulo é $0{,}4178 \cdot 360^\circ \approx 150{,}4^\circ$.
Cerca de 41,8% da população, numa fatia de uns 150°.
médio
Uma empresa vendeu R$ 200 mil num ano e R$ 210 mil no ano seguinte. No relatório, ela desenhou as duas barras com o eixo começando em R$ 195 mil. Quantas vezes a segunda barra parece maior que a primeira? E de quanto foi o crescimento?

Ver resolução
Acima de 195, as barras medem $210 - 195 = 15$ e $200 - 195 = 5$, e a segunda parece três vezes maior.
As vendas cresceram $\dfrac{210 - 200}{200} = 5\%$.
Parece o triplo, e o crescimento foi de 5%.
médio
Numa pesquisa, cada aluno podia marcar mais de um esporte preferido, e o resultado foi futebol 60%, vôlei 45% e basquete 30%. Esses números cabem num gráfico de setores?

Ver resolução
As porcentagens somam $60 + 45 + 30 = 135\%$, porque muitos alunos entram em mais de uma categoria.
As fatias de um círculo somam 360°, ou 100%, e não há como desenhar 135%.
Não cabem. Um gráfico de barras, com cada barra lida contra o total de alunos, mostra esses dados sem problema.
médio
Um jornal compara a safra de dois anos com dois desenhos de saco de grãos, o segundo com o dobro da largura e o dobro da altura do primeiro, porque a safra dobrou. Que impressão o desenho deixa?

Ver resolução
Dobrar a largura e a altura multiplica a área do desenho por $2 \cdot 2 = 4$.
O leitor compara o tamanho das figuras, e o segundo saco ocupa quatro vezes mais papel.
A safra parece ter quadruplicado. Para respeitar a razão 2, só uma das medidas do desenho deveria dobrar, ou a área inteira.
desafio
Os pardos eram 43,13% da população em 2010 e 45,34% em 2022. Em que valor o eixo vertical precisa começar para que a barra de 2022 pareça exatamente três vezes maior que a de 2010?

Ver resolução
Com o eixo começando em $b$, a razão na tela é $\dfrac{45{,}34 - b}{43{,}13 - b}$.
Igualando a 3, $45{,}34 - b = 129{,}39 - 3b$, e daí $2b = 84{,}05$.
$b \approx 42{,}0\%$. É o que a bancada mostra quando o eixo começa perto de 42%.
desafio
A população branca era 47,73% do total em 2010, com 190.755.799 habitantes, e 43,46% em 2022, com 203.080.756. A queda da porcentagem basta para dizer que o número de pessoas brancas diminuiu? Diminuiu?

Ver resolução
Não basta, porque o total cresceu cerca de 6,5% entre os dois Censos. Com 45% em 2022, por exemplo, a porcentagem teria caído e o número teria subido, para $0{,}45 \cdot 203{,}1 \approx 91{,}4$ milhões.
Os números absolutos estão na tabela do IBGE, 91.051.646 em 2010 e 88.252.121 em 2022.
A porcentagem sozinha não decide. Neste caso o número caiu, em cerca de 2,8 milhões de pessoas.

PASSO 2

Como desenhar a distribuição de uma grandeza numérica?

A idade é uma grandeza numérica, e para desenhar a de 203 milhões de pessoas agrupamos as idades em classes, intervalos como [20; 30[, que juntam quem tem de 20 anos completos até 29. O histograma põe as classes no eixo horizontal, encostadas umas nas outras, e ergue sobre cada uma um retângulo. As classes são intervalos da reta, os mesmos da aula de Conjuntos e Números, e o colchete aberto do 30 evita contar a mesma pessoa em duas classes.

A largura das classes é uma escolha nossa. Classes de um ano mostram detalhes, até defeitos dos próprios dados, e classes de vinte anos resumem a forma da pirâmide em poucos blocos e apagam o resto. Nenhuma largura é a certa, e costuma valer a pena olhar mais de uma.

Quando as classes têm larguras diferentes, como as faixas de salário mínimo que o IBGE usa para a renda do trabalho, a altura não pode ser a frequência. Uma classe larga junta mais gente só por ser larga. A altura passa a ser a densidade, a porcentagem da classe dividida pela sua largura, e a porcentagem fica sendo a área do retângulo.

$\text{densidade} = \dfrac{\text{porcentagem}}{\text{largura}}$A porcentagem e a largura são as da classe. Com classes de mesma largura, densidade e frequência dão retângulos com as mesmas proporções. Nas faixas de renda do IBGE, "mais de 1 a 2 salários mínimos" é o intervalo ]1; 2].

Para conversar

Com as idades em classes de 1 ano, procure o maior retângulo. Que idade é essa, e o que ela tem de especial?
Passe para classes de 20 anos e depois de 5 anos. Que forma da pirâmide etária aparece em todas as larguras?
Na renda, compare a classe ]0,5; 1] com a ]1; 2] com a altura pela frequência e depois pela densidade. Qual das duas é mais alta em cada caso?
Ainda na renda, leve o cursor até a média e a mediana publicadas pelo IBGE. Em que classe cai cada uma?

Classes

Classe do cursor

Frequência

Porcentagem

Densidade

Exercícios do passo 2 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Num histograma de idades com as classes [0; 10[, [10; 20[, [20; 30[ e assim por diante, em que classe entra uma pessoa de 10 anos? E uma de 20?

Ver resolução
O 10 fica de fora de [0; 10[, pelo colchete aberto, e dentro de [10; 20[.
Pelo mesmo motivo, o 20 entra em [20; 30[.
10 anos em [10; 20[ e 20 anos em [20; 30[.
básico
As alturas de 20 alunos foram agrupadas em [150; 160[ cm, com 4 alunos, [160; 170[ cm, com 10, e [170; 180[ cm, com 6. Que porcentagem da turma está na classe do meio?

Ver resolução
$\dfrac{10}{20} = 0{,}5$
50% da turma.
básico
No Censo de 2022, a classe de idades [40; 50[ tinha 29.712.282 pessoas, e a classe [40; 45[ tinha 16.072.170. Quantas pessoas estavam em [45; 50[?

Ver resolução
As classes [40; 45[ e [45; 50[ juntas formam [40; 50[, sem sobra e sem repetição.
$29.712.282 - 16.072.170$
$= 13.640.112$
13.640.112 pessoas.
básico
Entre os ocupados com rendimento no Censo de 2022, 10,18% ganhavam de mais de 3 a 5 salários mínimos. Qual é a densidade dessa classe?

Ver resolução
A classe ]3; 5] tem largura 2 salários mínimos.
$\dfrac{10{,}18\%}{2} = 5{,}09\%$ por salário mínimo.
Cerca de 5,1% por salário mínimo.
médio
Entre os ocupados com rendimento em 2022, 24,40% estavam na classe ]0,5; 1] salário mínimo e 33,05% na classe ]1; 2]. Num histograma com a altura pela densidade, qual retângulo é mais alto?

Ver resolução
A classe ]0,5; 1] tem largura 0,5, e a densidade é $24{,}40 / 0{,}5 = 48{,}8\%$ por salário mínimo.
A classe ]1; 2] tem largura 1, e a densidade é $33{,}05\%$ por salário mínimo.
O retângulo de ]0,5; 1] é o mais alto. A outra classe tem mais gente porque é duas vezes mais larga.
médio
As notas de 30 alunos ficaram nas classes [0; 2[, [2; 4[, [4; 6[, [6; 8[ e [8; 10], com 1, 3, 8, 12 e 6 alunos. Que porcentagem tirou 6 ou mais?

Ver resolução
As duas últimas classes juntam $12 + 6 = 18$ alunos.
$\dfrac{18}{30} = 0{,}6$
60% da turma.
médio
Com as idades do Censo de 2022 em classes de 20 anos, qual classe tem mais gente, e que porcentagem da população ela reúne?

Ver resolução
A bancada mostra 54,5 milhões em [0; 20[, 62,6 milhões em [20; 40[ e 53,9 milhões em [40; 60[, e as classes seguintes são bem menores.
Com 62.582.094 pessoas, $\dfrac{62.582.094}{203.080.756} \approx 0{,}308$.
A classe [20; 40[, com cerca de 30,8% da população.
médio
Num histograma com a altura pela densidade, uma classe de idades com 5 anos de largura tem densidade 2,5% por ano. Que porcentagem da população está nela?

Ver resolução
A porcentagem é a área do retângulo, a densidade vezes a largura.
$2{,}5\% \cdot 5 = 12{,}5\%$
12,5% da população.
desafio
Entre os ocupados com rendimento em 2022, 34,68% ganhavam até 1 salário mínimo e 33,05% ganhavam de mais de 1 a 2. Supondo as pessoas espalhadas por igual dentro da classe ]1; 2], estime a mediana da renda em salários mínimos e em reais, com o salário mínimo de R$ 1212 daquele ano, e compare com a mediana publicada pelo IBGE, R$ 1700.

Ver resolução
A mediana deixa 50% das pessoas abaixo dela. Até 1 salário mínimo já temos 34,68%, e faltam 15,32% dentro da classe seguinte.
Esses 15,32% são $\dfrac{15{,}32}{33{,}05} \approx 0{,}46$ da classe, que tem largura 1, e a mediana estimada é 1,46 salário mínimo.
Em reais, $1{,}46 \cdot 1212 \approx 1774$.
Cerca de R$ 1774, uns R$ 74 acima do valor publicado. A suposição de pessoas espalhadas por igual parece falhar aqui, provavelmente porque muita gente ganha exatamente o salário mínimo ou pouco acima dele, no começo da classe.
desafio
No histograma das idades com classes de 1 ano, o 40 aparece com 3.652.173 pessoas, contra 3.269.584 com 39 e 3.130.250 com 41. A mesma tabela do IBGE separa as idades declaradas pela data de nascimento das idades presumidas, estimadas por quem respondeu pelo morador, e as presumidas são 432.412 com 39 anos, 750.396 com 40 e 351.293 com 41. O que esses números sugerem sobre o pico?

Ver resolução
Tirando as idades presumidas, sobram 2.837.172 pessoas com 39 anos, 2.901.777 com 40 e 2.778.957 com 41, números próximos uns dos outros.
A maior parte do pico vem das idades presumidas, que se juntam no 40 em quantidade bem maior que nos vizinhos.
O pico provavelmente reflete o hábito de arredondar uma idade estimada para um número redondo, e não um ano com muito mais nascimentos. Esse acúmulo nas idades terminadas em 0 e em 5 aparece em censos de muitos países.

PASSO 3

Onde a média se equilibra?

A média aritmética de uma lista soma os valores e divide a soma pela quantidade deles. Sete pessoas esperaram o ônibus 4, 6, 7, 8, 10, 12 e 15 minutos, números que inventamos para a bancada, e a soma, 62 minutos, dividida por 7 dá uma espera média de cerca de 8,9 minutos.

Podemos pensar nos valores como pesos iguais pendurados numa régua leve. A régua fica em equilíbrio quando o apoio está na média, porque ali os desvios $x_i - \bar{x}$ dos valores à esquerda cancelam exatamente os dos valores à direita. A soma dos desvios em relação à média é sempre zero, e com o apoio em qualquer outro ponto a régua tomba para o lado que ficou mais pesado.

A mediana é o valor do meio da lista ordenada, ou a média dos dois valores do meio quando a lista tem um número par de termos. Ela só olha para a ordem dos valores. Se a última pessoa tivesse esperado 55 minutos em vez de 15, a média subiria para cerca de 14,6 minutos e a mediana continuaria em 8, e por isso dizemos que a mediana resiste aos valores extremos e a média não.

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$A segunda igualdade sai da primeira, porque $\sum (x_i - \bar{x}) = \sum x_i - n\,\bar{x} = 0$. A mediana de 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15 é o 8, o quarto de sete valores.

Para conversar

Arraste o apoio até a régua ficar horizontal. Onde ele parou, e o que a soma dos desvios marca nesse ponto?
Toque em "Valor extremo" e veja a régua tombar. Quanto a média andou, e quanto andou a mediana?
Arraste o peso dos 4 minutos para a direita, sem passar do 8. A mediana muda? E a média?
Junte todos os pesos num lugar só. O que acontece com a média, com a mediana e com a soma dos desvios?

Apoio

Soma dos desvios

Média

Mediana

Exercícios do passo 3 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a média de 6, 8, 9 e 5?

Ver resolução
$\bar{x} = \dfrac{6 + 8 + 9 + 5}{4} = \dfrac{28}{4} = 7$
7
básico
Qual é a mediana de 3, 9, 4, 7 e 1?

Ver resolução
Em ordem, 1, 3, 4, 7, 9. Com cinco valores, o do meio é o terceiro.
4
básico
Qual é a mediana de 2, 8, 5 e 10?

Ver resolução
Em ordem, 2, 5, 8, 10. Com quatro valores, a mediana é a média dos dois do meio, $\dfrac{5 + 8}{2}$.
6,5
básico
A média de cinco provas foi 7. Quanto somaram as cinco notas?

Ver resolução
Da definição, a soma é a média vezes a quantidade, $7 \cdot 5$.
35
médio
Uma turma de 20 alunos teve média 6,5 numa prova, e outra, de 30 alunos, teve média 8. Qual é a média dos 50 alunos juntos?

Ver resolução
As somas das notas são $20 \cdot 6{,}5 = 130$ e $30 \cdot 8 = 240$.
$\bar{x} = \dfrac{130 + 240}{50} = 7{,}4$
7,4, mais perto de 8 que de 6,5, porque a segunda turma é maior. A média das duas médias, 7,25, estaria errada.
médio
Um aluno tem média 7 em quatro provas. Quanto ele precisa tirar na quinta para fechar com média 7,5?

Ver resolução
As quatro provas somam $4 \cdot 7 = 28$, e cinco provas com média 7,5 somam $5 \cdot 7{,}5 = 37{,}5$.
$37{,}5 - 28 = 9{,}5$
9,5
médio
Com os valores 2, 5 e 8, calcule a soma dos desvios em relação a 4 e em relação à média. Para que lado tomba a régua da bancada com o apoio em 4?

Ver resolução
Em relação a 4, os desvios são $-2$, 1 e 4, que somam 3.
A média é 5, e os desvios em relação a ela são $-3$, 0 e 3, que somam 0.
A soma positiva quer dizer que sobra peso à direita do apoio, e a régua tomba para a direita, o lado dos valores maiores. Só com o apoio em 5 ela fica parada.
médio
Numa pequena empresa, quatro funcionários ganham R$ 2000, R$ 2200, R$ 2500 e R$ 2600 por mês, e o dono retira R$ 20.000. Calcule a média e a mediana desses cinco valores. Qual das duas descreve melhor o salário de quem trabalha ali?

Ver resolução
A soma é $29.300$, e a média é $29.300 / 5 = 5860$.
Em ordem, o valor do meio é o terceiro, 2500.
Média de R$ 5860 e mediana de R$ 2500. Quatro das cinco pessoas ganham menos da metade da média, e a mediana parece descrever melhor o salário típico.
desafio
Cinco valores têm média 20. Os desvios de quatro deles em relação à média são $-3$, 1, 4 e $-5$. Qual é o quinto valor?

Ver resolução
A soma dos cinco desvios em relação à média é zero, e $-3 + 1 + 4 - 5 = -3$.
O quinto desvio é 3, e o quinto valor é $20 + 3$.
23
desafio
Uma lista de sete números tem média 10 e mediana 8, e o maior deles é 20. Trocamos o 20 por 41. Quais são a nova média e a nova mediana?

Ver resolução
A soma era $7 \cdot 10 = 70$ e passa a ser $70 - 20 + 41 = 91$, e a média vai para $91 / 7 = 13$.
O 41 continua sendo o maior número, e a ordem dos outros seis não muda. O quarto valor da lista ordenada continua o mesmo.
A média vai para 13 e a mediana fica em 8.

PASSO 4

Média, mediana ou moda?

Numa tabela de frequências, cada valor $x_i$ aparece $f_i$ vezes, e a média vira uma média ponderada, em que cada valor pesa a sua frequência. A mediana é o valor em que a frequência acumulada passa de 50%, e a moda é o valor mais frequente, a barra mais alta do gráfico. Uma lista pode ter mais de uma moda, ou nenhuma, quando nenhum valor se repete.

No Censo de 2022, a moda dos domicílios é de 2 moradores, a mediana é 3 e a média publicada pelo IBGE é 2,79. A tabela junta numa classe só os domicílios com 6 moradores ou mais, e contando cada um deles como 6 a média sai 2,76, um pouco abaixo da verdadeira. Uma classe aberta impede o cálculo exato da média e não atrapalha a mediana nem a moda.

Na renda do trabalho, a média de R$ 2850,64 fica bem acima da mediana de R$ 1700,00. Poucas rendas muito altas puxam a média para a direita, e pela tabela de classes algo como sete em cada dez ocupados ganhavam menos que a média. Num histograma com a cauda comprida à direita, a média costuma ficar à direita da mediana. Nas idades, a média de 35,7 anos e a mediana de 35 quase coincidem, e a moda, 40 anos, mostra que a medida mais frequente pode ser também a mais frágil.

$\bar{x} = \dfrac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + \dots + f_k x_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k}$Com as frequências em porcentagem, o denominador é 100%. A mediana fica onde a frequência acumulada cruza 50%.

Para conversar

Nos moradores, ligue a frequência acumulada e leia onde ela cruza os 50%. Por que a mediana é 3, se só 24,7% dos domicílios têm 3 moradores?
Nas idades, procure a moda e compare com a média e a mediana. Qual das três você usaria para dizer a idade típica de um brasileiro?
Na renda, veja de que lado da mediana fica a média. Em que classe cai cada uma?
Ainda na renda, leia na curva acumulada que porcentagem ganha até 2 salários mínimos, e diga o que isso tem a ver com a mediana.

Média

Mediana

Moda

Total

Exercícios do passo 4 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Numa rua com 10 casas, 2 têm 1 morador, 5 têm 2, 2 têm 3 e 1 tem 4. Calcule a moda, a mediana e a média do número de moradores.

Ver resolução
A moda é 2, que aparece em 5 casas.
Em ordem, a lista é 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, e os dois valores do meio, o 5º e o 6º, são 2 e 2.
$\bar{x} = \dfrac{2 + 10 + 6 + 4}{10} = \dfrac{22}{10}$
Moda 2, mediana 2 e média 2,2.
básico
Quais são as modas de 4, 7, 7, 2, 9, 4, 1?

Ver resolução
O 4 e o 7 aparecem duas vezes cada, e os outros valores aparecem uma vez.
A lista tem duas modas, 4 e 7.
básico
No Censo de 2022, 18,94% dos domicílios tinham 1 morador e 28,70% tinham 2. Que porcentagem tinha no máximo 2 moradores? A mediana pode ser 2?

Ver resolução
$18{,}94 + 28{,}70 = 47{,}64\%$
A mediana precisa deixar ao menos metade dos domicílios até ela, e até 2 moradores não se chega a 50%.
47,64%, e a mediana não pode ser 2. Ela é 3.
básico
Uma escola dá peso 2 à primeira prova e peso 3 à segunda. Uma aluna tirou 6 e 8. Qual é a média dela?

Ver resolução
$\bar{x} = \dfrac{2 \cdot 6 + 3 \cdot 8}{2 + 3} = \dfrac{36}{5}$
7,2
médio
Uma loja vendeu num mês 4 pares de sapato do número 35, 9 do 36, 12 do 37, 7 do 38 e 3 do 39. Calcule a moda, a mediana e a média. Qual das três interessa mais a quem faz o pedido ao fornecedor?

Ver resolução
São 35 pares, e a moda é o 37, com 12 pares.
A mediana é o 18º par da lista ordenada. Até o 36 há 13 pares, e até o 37 há 25, e o 18º é um 37.
A soma dos números é $4 \cdot 35 + 9 \cdot 36 + 12 \cdot 37$
$+\ 7 \cdot 38 + 3 \cdot 39 = 1291$, e $\bar{x} = \dfrac{1291}{35} \approx 36{,}9$.
Moda 37, mediana 37 e média 36,9. Ninguém calça 36,9, e para o pedido interessa a moda, o número que mais sai.
médio
Suponha que a renda do 1% mais bem pago dos ocupados dobrasse, e a dos outros 99% ficasse igual. O que aconteceria com a média e com a mediana da renda?

Ver resolução
A soma das rendas cresce, e com o mesmo número de pessoas a média sobe.
As pessoas que ficam no meio da lista ordenada não mudam de renda, e quem já estava acima continua acima.
A média sobe e a mediana não muda.
médio
Entre os ocupados com rendimento no Censo de 2022, 67,73% ganhavam até 2 salários mínimos. Que porcentagem ganhava mais que isso? A mediana fica abaixo ou acima de 2 salários mínimos?

Ver resolução
$100 - 67{,}73 = 32{,}27\%$
Até 2 salários mínimos a acumulada já passou de 50%, e a mediana fica antes desse ponto.
32,27% ganhavam mais de 2 salários mínimos, e a mediana fica abaixo de 2. A bancada mostra a mediana publicada, R$ 1700, cerca de 1,4 salário mínimo.
médio
Na pirâmide do Censo de 2022, a média das idades é 35,7 anos, a mediana é 35 e a moda é 40. Por que a moda fica tão longe das outras duas?

Ver resolução
A média e a mediana dependem da distribuição inteira, e a moda depende só da barra mais alta.
Entre 20 e 45 anos as barras têm alturas parecidas, e um acúmulo pequeno, como o das idades presumidas arredondadas para 40, basta para decidir qual é a mais alta.
A moda depende de um detalhe da tabela, e numa distribuição achatada ela pode cair longe do centro.
desafio
Numa pesquisa com 100 famílias, 30 não tinham filhos, 20 tinham 1, 30 tinham 2 e 20 tinham 3. Qual é a mediana do número de filhos?

Ver resolução
Em ordem, as famílias de 1 a 30 têm 0 filho e as de 31 a 50 têm 1, e a acumulada chega a 50% exatamente no fim do valor 1.
Com 100 valores, a mediana é a média do 50º e do 51º, que são 1 e 2.
1,5 filho. A mediana pode não ser um dos valores da tabela.
desafio
Dê um exemplo de sete notas de 0 a 10 em que a média fique abaixo da mediana. Como fica o histograma de uma lista assim?

Ver resolução
Com 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, a mediana é o quarto valor, 9, e a média é $45 / 7 \approx 6{,}4$.
Os dois zeros puxam a média para baixo e não mexem na mediana.
Um exemplo é 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9. O histograma tem o pico à direita e uma cauda à esquerda, o contrário da renda.

PASSO 5

Quanto os dados se espalham em volta da média?

Nas normais climatológicas do INMET, de 1991 a 2020, a temperatura média do ano é de 21,4 °C em Brasília e de 21,1 °C em Florianópolis. As médias quase coincidem, e o ano das duas cidades é bem diferente. Em Brasília os meses variam entre 19,3 °C e 23,1 °C, e em Florianópolis entre 16,5 °C e 25,3 °C. A amplitude, o maior valor menos o menor, dá 3,8 °C numa e 8,8 °C na outra, e depende só dos dois extremos.

O desvio padrão mede a distância típica entre os valores e a média e usa todos os valores. Elevamos cada desvio $x_i - \bar{x}$ ao quadrado, para que os negativos não cancelem os positivos, tiramos a média desses quadrados, que é a variância, e voltamos à unidade dos dados com a raiz quadrada. Brasília tem desvio padrão de 1,15 °C, e Florianópolis, de 3,12 °C.

Aqui dividimos por $n$, como costuma aparecer nas provas do ENEM. Calculadoras e planilhas também oferecem a versão com $n - 1$ no denominador, usada quando os dados são uma amostra e queremos estimar o desvio da população, e com muitos dados as duas quase coincidem. Somar uma constante a todos os valores desloca a média e não muda o desvio padrão, e multiplicar todos por $k$ multiplica o desvio padrão por $|k|$.

$\sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$\sigma^2$ é a variância, na unidade dos dados ao quadrado, e $\sigma$ é o desvio padrão, na unidade dos dados. A faixa de $\bar{x} - \sigma$ a $\bar{x} + \sigma$ aparece sombreada na bancada.

Para conversar

Compare Brasília e Florianópolis. Quantos meses de cada cidade ficam fora da faixa sombreada, e em que estação do ano eles caem?
Passe para Belém e Porto Alegre. Por que a faixa de Belém quase some, e o que isso diz sobre o clima de uma cidade perto do equador?
Nas turmas, arraste as notas da turma A para longe da média sem mudar a média. O desvio padrão acompanha?
Ainda nas turmas, leve todas as notas da turma B para o mesmo valor. Quanto vale o desvio padrão, e por quê?

Exercícios do passo 5 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Qual é a amplitude de 12, 15, 9 e 20?

Ver resolução
$20 - 9 = 11$
11
básico
Calcule a variância e o desvio padrão de 2, 4 e 6.

Ver resolução
A média é 4, e os desvios são $-2$, 0 e 2.
$\sigma^2 = \dfrac{4 + 0 + 4}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$ e $\sigma = \sqrt{8/3} \approx 1{,}63$.
Variância de cerca de 2,67 e desvio padrão de cerca de 1,63.
básico
Quanto vale o desvio padrão de 5, 5, 5, 5?

Ver resolução
A média é 5, e todos os desvios são zero.
0. O desvio padrão só zera quando todos os valores são iguais.
básico
A variância de um conjunto de notas é 2,25. Qual é o desvio padrão?

Ver resolução
$\sigma = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$
1,5 ponto
médio
A turma A tirou 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, e a turma B tirou 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 10. Mostre que as médias são iguais e calcule os dois desvios padrão.

Ver resolução
As duas listas somam 56, e as duas médias são $56 / 8 = 7$.
Na A, os desvios são $-1$, $-1$, 0, 0, 0, 0, 1 e 1, os quadrados somam 4, e $\sigma_A = \sqrt{4/8} \approx 0{,}71$.
Na B, os desvios são $-4$, $-3$, $-2$, 0, 1, 2, 3 e 3, os quadrados somam 52, e $\sigma_B = \sqrt{52/8} \approx 2{,}55$.
Média 7 nas duas, desvio padrão de cerca de 0,71 na A e de 2,55 na B.
médio
O professor somou 2 pontos à nota de todos os alunos de uma turma. O que acontece com a média e com o desvio padrão?

Ver resolução
A soma das notas cresce 2 vezes o número de alunos, e a média sobe 2.
Cada desvio $(x_i + 2) - (\bar{x} + 2) = x_i - \bar{x}$ continua igual.
A média sobe 2 pontos e o desvio padrão não muda.
médio
Em Florianópolis, a média das temperaturas mensais é 21,14 °C e o desvio padrão é 3,12 °C. Quanto valem os dois em graus Fahrenheit, com $F = 1{,}8\,C + 32$?

Ver resolução
A média passa pela mesma conta, $1{,}8 \cdot 21{,}14 + 32 \approx 70{,}1\ ^\circ\text{F}$.
O desvio padrão é multiplicado por 1,8, e o 32 somado não o altera, $1{,}8 \cdot 3{,}12 \approx 5{,}6\ ^\circ\text{F}$.
Média de cerca de 70,1 °F e desvio padrão de cerca de 5,6 °F.
médio
Em Porto Alegre, a média das temperaturas mensais é 19,86 °C e o desvio padrão é 3,81 °C. Pela bancada, quantos meses ficam abaixo de $\bar{x} - \sigma$, e quais são?

Ver resolução
$19{,}86 - 3{,}81 = 16{,}05\ ^\circ\text{C}$.
Abaixo disso ficam junho, com 14,8 °C, julho, com 14,1 °C, e agosto, com 15,7 °C. Maio e setembro, com 17,2 °C, ficam dentro da faixa.
Três meses, junho, julho e agosto.
desafio
Mostre que a variância é a média dos quadrados menos o quadrado da média, $\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$, e use isso para calcular o desvio padrão de 1, 2, 3 e 4.

Ver resolução
Expandindo, $(x_i - \bar{x})^2 = x_i^2 - 2\bar{x}\,x_i + \bar{x}^2$. Somando e dividindo por $n$, ficam $\overline{x^2} - 2\bar{x} \cdot \bar{x} + \bar{x}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$.
Com 1, 2, 3, 4, a média dos quadrados é $\dfrac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = 7{,}5$, e o quadrado da média é $2{,}5^2 = 6{,}25$.
$\sigma^2 = 1{,}25$ e $\sigma \approx 1{,}12$.
desafio
Quatro valores iguais a 10 têm desvio padrão zero. Acrescentamos um quinto valor, 20. Quais são a nova média e o novo desvio padrão?

Ver resolução
A média vai para $\dfrac{4 \cdot 10 + 20}{5} = 12$.
Os desvios são $-2$ quatro vezes e 8 uma vez, e os quadrados somam $4 \cdot 4 + 64 = 80$.
$\sigma^2 = 80 / 5 = 16$
Média 12 e desvio padrão 4. Um único valor afastado pesa muito, porque o desvio dele entra ao quadrado.

PASSO 6

O que um boxplot resume?

Os quartis dividem a lista ordenada em quatro partes com o mesmo número de valores. O segundo quartil, Q2, é a mediana. O primeiro, Q1, é a mediana da metade de baixo, e o terceiro, Q3, é a mediana da metade de cima, e quando a lista tem um número ímpar de valores a mediana fica fora das duas metades. Outros livros e programas usam convenções um pouco diferentes, que mudam os quartis de listas pequenas e quase não mexem nos de listas grandes.

O boxplot desenha uma caixa de Q1 a Q3, com um traço na mediana, e dois bigodes que vão até o menor e o maior valor que não são atípicos. A amplitude interquartil, AIQ = Q3 − Q1, mede o espalhamento da metade central dos dados. Um valor que fica mais de 1,5·AIQ abaixo de Q1 ou acima de Q3 é marcado como atípico, um ponto que merece um olhar à parte.

Nas 27 unidades da Federação do Censo de 2022, a mediana é 3,94 milhões de habitantes, a do Amazonas, e a média é 7,52 milhões. São Paulo, com 44,4 milhões, e Minas Gerais, com 20,5, passam da cerca superior de 18,5 milhões. A média sente esses dois estados, e a caixa quase não sente.

$\text{AIQ} = Q_3 - Q_1$atípico: $x < Q_1 - 1{,}5\,\text{AIQ}$ou $x > Q_3 + 1{,}5\,\text{AIQ}$Os cinco números do boxplot são o mínimo, Q1, a mediana, Q3 e o máximo. Entre Q1 e Q3 fica cerca de metade dos valores.

Para conversar

Nas unidades da Federação, toque nos dois pontos atípicos e confira de que estados são. Que estado fica na ponta do bigode de cima?
Toque em "Retirar o maior valor". Quanto se moveram a média, a mediana e a caixa?
Passe para Porto Alegre e depois para Brasília. Qual das duas caixas é mais larga, e o que isso tem a ver com o desvio padrão do passo 5?
Em Brasília, a mediana fica perto de que ponta da caixa? O que isso diz sobre os meses entre a mediana e Q3?

Mínimo

Mediana

Máximo

AIQ

Média

Atípicos

Ponto escolhido

Exercícios do passo 6 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Calcule Q1, a mediana e Q3 de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ver resolução
A mediana é o 5. Sem ela, a metade de baixo é 1, 2, 3, 4 e a de cima é 6, 7, 8, 9.
$Q_1 = \dfrac{2 + 3}{2}$ e $Q_3 = \dfrac{7 + 8}{2}$.
Q1 = 2,5, mediana 5 e Q3 = 7,5.
básico
Dê os cinco números do boxplot de 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18.

Ver resolução
Em ordem, 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, e a mediana é o quinto valor, 12.
A metade de baixo, 3, 5, 7, 8, dá $Q_1 = 6$, e a de cima, 13, 14, 18, 21, dá $Q_3 = 16$.
Mínimo 3, Q1 = 6, mediana 12, Q3 = 16 e máximo 21.
básico
Um conjunto tem Q1 = 20 e Q3 = 35. Quais são a AIQ e as duas cercas dos atípicos?

Ver resolução
$\text{AIQ} = 35 - 20 = 15$ e $1{,}5 \cdot 15 = 22{,}5$.
As cercas são $20 - 22{,}5 = -2{,}5$ e $35 + 22{,}5 = 57{,}5$.
AIQ de 15, cercas em $-2{,}5$ e em 57,5.
básico
Que fração dos valores fica, mais ou menos, dentro da caixa de um boxplot? E à direita da mediana?

Ver resolução
A caixa vai de Q1 a Q3 e deixa cerca de um quarto dos valores de cada lado.
Cerca de metade dos valores fica na caixa, e cerca de metade fica à direita da mediana.
médio
No conjunto do exercício 3, com Q1 = 20 e Q3 = 35, os valores 60 e −1 são atípicos?

Ver resolução
O 60 passa da cerca de cima, 57,5.
O −1 fica acima da cerca de baixo, −2,5.
O 60 é atípico e o −1 não é.
médio
As temperaturas médias mensais de Porto Alegre, em ordem, são 14,1, 14,8, 15,7, 17,2, 17,2, 19,7, 20,7, 21,7, 23,5, 24,0, 24,7 e 25,0 °C. Calcule os quartis e a AIQ.

Ver resolução
Com 12 valores, a mediana é a média do 6º e do 7º, $\dfrac{19{,}7 + 20{,}7}{2} = 20{,}2$.
A metade de baixo tem 6 valores, e $Q_1 = \dfrac{15{,}7 + 17{,}2}{2} = 16{,}45$. A de cima dá $Q_3 = \dfrac{23{,}5 + 24{,}0}{2} = 23{,}75$.
Q1 = 16,45 °C, mediana 20,2 °C, Q3 = 23,75 °C e AIQ de 7,3 °C.
médio
Sem São Paulo, as outras 26 unidades da Federação têm média de 6,10 milhões de habitantes e mediana de 3,89 milhões. Com São Paulo, os valores são 7,52 e 3,94 milhões. Qual das duas medidas mudou mais, e por quê?

Ver resolução
A média caiu $7{,}52 - 6{,}10 = 1{,}42$ milhão, e a mediana caiu $3{,}94 - 3{,}89 = 0{,}05$ milhão.
A média soma todos os valores, e os 44 milhões de São Paulo pesam na soma. A mediana só passa a ser a média do 13º e do 14º estado da lista em vez do 14º.
A média mudou mais de vinte vezes o que mudou a mediana.
médio
Na turma A, uma prova teve Q1 = 5, mediana 6 e Q3 = 7. Na turma B, teve Q1 = 4, mediana 7 e Q3 = 9. Em qual turma há mais alunos com nota 7 ou mais?

Ver resolução
Na B, a mediana é 7, e pelo menos metade da turma tirou 7 ou mais.
Na A, o 7 é o Q3, e só cerca de um quarto da turma fica de 7 para cima.
Na turma B, em proporção. Se as turmas tiverem tamanhos muito diferentes, a comparação em número de alunos pede também esses tamanhos.
desafio
Escreva uma lista de 7 números inteiros com mínimo 2, Q1 = 4, mediana 6, Q3 = 9 e máximo 20, pela convenção desta aula. O 20 é atípico?

Ver resolução
Com 7 valores, a mediana é o 4º, Q1 é a mediana dos três primeiros, o 2º, e Q3 é a mediana dos três últimos, o 6º.
A lista fica 2, 4, $a$, 6, $b$, 9, 20, com $4 \le a \le 6$ e $6 \le b \le 9$, como 2, 4, 5, 6, 8, 9, 20.
A AIQ é $9 - 4 = 5$, e a cerca de cima é $9 + 7{,}5 = 16{,}5$.
Uma resposta é 2, 4, 5, 6, 8, 9, 20, e o 20 é atípico.
desafio
Se a população de Roraima, a menor das 27 unidades da Federação, dobrasse, o que mudaria no boxplot da bancada? E na média?

Ver resolução
Roraima tinha 636.707 habitantes, e com o dobro chegaria a cerca de 1,27 milhão. Continuaria abaixo do Q1, de 2,76 milhões, e a ordem dos estados do meio não mudaria.
Os quartis ficam iguais, e o mínimo passa a ser o Amapá, com 733.759 habitantes, porque Roraima deixa de ser o menor.
A soma cresce 636.707, e a média sobe $636.707 / 27 \approx 23.582$ habitantes.
A caixa não se move, o bigode de baixo encurta um pouco e a média sobe cerca de 24 mil habitantes.

PASSO 7

O que uma amostra diz da população?

Uma pesquisa quase nunca ouve a população inteira. Ela ouve uma amostra, uma parte da população, e usa o que viu nela para dizer algo sobre o todo. A bancada faz o caminho de volta. Conhecemos a população inteira, as 203 milhões de idades do Censo de 2022, com média de 35,7 anos e desvio padrão de 21,5 anos, e sorteamos amostras dela para ver o que cada uma conta.

Numa amostra aleatória simples, toda pessoa tem a mesma chance de ser sorteada, e o computador faz o sorteio com um gerador de números pseudoaleatórios. A média de cada amostra muda de um sorteio para outro, e essa variação é o erro amostral. As médias de muitas amostras se juntam em volta da média da população, e o desvio padrão delas fica perto de $\sigma/\sqrt{n}$. É a mesma estabilidade que a aula de Probabilidade mostra nas frequências de experimentos repetidos. Para dividir o espalhamento por dois, a amostra precisa ser quatro vezes maior.

Com $n = 1000$, o desvio padrão das médias é $21{,}5/\sqrt{1000} \approx 0{,}68$ ano. O tamanho da população não entra na conta, e uma amostra de mil pessoas mede a idade média de 203 milhões com quase a mesma precisão com que mediria a de uma cidade de cem mil habitantes. O que conta é o tamanho da amostra e o sorteio honesto.

$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$\sigma$ é o desvio padrão da população, $n$ é o tamanho da amostra e $\sigma_{\bar{x}}$ é o desvio padrão das médias amostrais, o tamanho típico do erro amostral.

Para conversar

Com amostras de 10 pessoas, sorteie uma de cada vez e olhe a média de cada uma. Quão longe dos 35,7 anos ela chega a ficar?
Sorteie 100 amostras de 10, limpe a pilha e sorteie 100 de 1000. Quantas vezes mais estreita ficou a pilha de médias?
Compare o desvio padrão das médias com o $\sigma/\sqrt{n}$ da leitura. Os dois concordam melhor com 10 amostras ou com 300?
Numa amostra de 10, procure uma criança ou um idoso muito longe dos outros pontos. Quanto um ponto desses puxa a média da amostra?

Média desta amostra

Amostras

Média das médias

Desvio padrão das médias

σ/√n

Média da população

Exercícios do passo 7 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Uma pesquisa ouviu 1500 eleitores de uma cidade com 800 mil eleitores. Quem é a população, e quem é a amostra?

Ver resolução
A população é o conjunto inteiro sobre o qual a pesquisa quer falar, e a amostra é a parte que foi ouvida.
A população são os 800 mil eleitores da cidade, e a amostra são os 1500 entrevistados.
básico
As idades do Censo de 2022 têm desvio padrão de 21,5 anos. Qual é o desvio padrão das médias de amostras aleatórias de 100 pessoas?

Ver resolução
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{21{,}5}{\sqrt{100}} = \dfrac{21{,}5}{10}$
2,15 anos
básico
Por quanto precisamos multiplicar o tamanho de uma amostra para que o desvio padrão das médias caia à metade?

Ver resolução
O desvio padrão das médias é $\sigma/\sqrt{n}$, e para dividi-lo por 2 a raiz de $n$ precisa dobrar.
Por 4.
básico
Duas amostras aleatórias de 50 pessoas da mesma população deram médias de idade diferentes. Alguma das duas foi mal feita?

Ver resolução
Cada sorteio escolhe pessoas diferentes, e a média muda de uma amostra para outra mesmo com o sorteio perfeito.
Não necessariamente. A diferença é o erro amostral, que existe em toda amostra.
médio
Com $\sigma = 21{,}5$ anos, qual é o menor tamanho de amostra que deixa o desvio padrão das médias em 1 ano ou menos?

Ver resolução
Queremos $\dfrac{21{,}5}{\sqrt{n}} \le 1$, isto é, $\sqrt{n} \ge 21{,}5$ e $n \ge 462{,}25$.
463 pessoas.
médio
Uma amostra aleatória de 50 brasileiros deu idade média de 38,1 anos, e a média do Censo é 35,7. O resultado é estranho?

Ver resolução
Para $n = 50$, o desvio padrão das médias é $21{,}5/\sqrt{50} \approx 3{,}0$ anos.
A diferença, $38{,}1 - 35{,}7 = 2{,}4$ anos, é menor que um desvio padrão das médias.
Não é estranho. Diferenças desse tamanho aparecem o tempo todo em amostras de 50.
médio
Quantas vezes mais estreita fica a pilha de médias quando passamos de amostras de 10 para amostras de 1000?

Ver resolução
A amostra fica 100 vezes maior, e o desvio padrão das médias se divide por $\sqrt{100} = 10$.
Na bancada, cerca de 6,8 anos para $n = 10$ e cerca de 0,68 ano para $n = 1000$.
10 vezes mais estreita.
médio
Uma amostra aleatória de 1000 pessoas foi sorteada numa cidade de 100 mil habitantes, e outra, também de 1000, no Brasil inteiro. Qual das duas mede com mais precisão a idade média da sua população, supondo desvios padrão parecidos?

Ver resolução
O desvio padrão das médias é $\sigma/\sqrt{n}$, e nele só entram o espalhamento das idades e o tamanho da amostra.
As duas medem com quase a mesma precisão. A população maior não pede uma amostra maior, desde que a amostra seja uma fração pequena dela.
desafio
Numa pesquisa com 400 pessoas sorteadas, a proporção de quem aprova uma proposta é medida, e na população ela vale 50%. Para uma proporção $p$, o desvio padrão das proporções amostrais é $\sqrt{p(1 - p)/n}$. Quanto ele vale aqui, e o que isso tem a ver com a "margem de erro" dos jornais?

Ver resolução
$\sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{400}} = \dfrac{0{,}5}{20} = 0{,}025$, ou 2,5 pontos percentuais.
As pesquisas costumam anunciar uma margem de dois desvios padrão, e a grande maioria das amostras, perto de 95%, cai dentro dela.
2,5 pontos percentuais, e uma margem de erro de cerca de 5 pontos para mais ou para menos.
desafio
Sorteamos dois números, com reposição, do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, e calculamos a média deles. Quantas amostras diferentes são possíveis? Qual é a média das médias, e qual é o desvio padrão delas?

Ver resolução
Cada um dos dois sorteios tem 5 resultados, e há $5 \cdot 5 = 25$ amostras, todas com a mesma chance.
A população tem média 3 e variância $\dfrac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2$, e $\sigma = \sqrt{2}$.
Por simetria, as médias se distribuem em volta de 3, e o desvio padrão delas é $\sigma/\sqrt{2} = \sqrt{2}/\sqrt{2}$.
25 amostras, média das médias 3 e desvio padrão das médias 1. Dá para conferir listando as 25 médias.

PASSO 8

Quando uma amostra engana?

Uma amostra grande não conserta um sorteio torto. Se uma pesquisa sobre a idade dos brasileiros sorteia só pessoas do cadastro eleitoral, quem tem menos de 16 anos nunca entra, e as médias amostrais se juntam em volta de 43,3 anos, longe dos 35,7 da população. A diferença entre o valor em volta do qual um plano de amostragem acerta e o valor verdadeiro é o viés do plano.

Aumentar a amostra estreita a pilha de médias, como no passo 7, e a pilha continua no lugar errado. Com 1000 pessoas por amostra, o plano do cadastro erra por cerca de 7,5 anos quase sempre, e a precisão só faz o erro parecer mais confiável.

O viés aparece de muitos jeitos fora da bancada. Uma enquete num site ouve só quem quis responder, uma pesquisa por telefone fixo ouve quem tem telefone fixo e atende, e uma entrevista na porta da escola ouve quem estuda. O remédio é sortear com chances conhecidas para todos, e quando um grupo acaba sub-representado, as pesquisas costumam dar a ele um peso maior nas contas.

$\text{viés} = m_{\text{plano}} - m_{\text{pop}}$$m_{\text{plano}}$ é a média em volta da qual as médias amostrais do plano se juntam, e $m_{\text{pop}}$ é a média da população. Na bancada, o cadastro eleitoral tem viés de $43{,}3 - 35{,}7 \approx 7{,}5$ anos, e a porta da escola, de $11{,}5 - 35{,}7 \approx -24{,}2$ anos.

Para conversar

Sorteie com n = 10 e depois com n = 1000. Qual das três pilhas muda de lugar, e qual só muda de largura?
Com n = 1000, alguma média do cadastro eleitoral chega perto de 35,7 anos? E alguma da amostra aleatória fica longe?
Por que a pilha da porta da escola é tão estreita, mesmo com amostras pequenas?
Pense num jeito de pesquisar a idade média sem cadastro nenhum, e diga quem ele deixaria de fora.

Aleatória: média das médias

Cadastro eleitoral

Porta da escola

Média da população

Exercícios do passo 8 10 questões · 4 básicas · 4 médias · 2 desafios

básico
Um plano de amostragem dá médias que se juntam em volta de 40, e a média da população é 35. Qual é o viés do plano?

Ver resolução
$40 - 35 = 5$
Viés de +5. O plano superestima a média.
básico
Para saber quantas horas por semana os moradores de um bairro fazem exercício, uma pesquisa entrevista quem sai da academia. O resultado tende a ficar acima ou abaixo do valor verdadeiro?

Ver resolução
Quem está saindo da academia faz exercício, e quem não faz nunca é entrevistado.
Acima. A pesquisa tem viés para cima.
básico
Aumentar o tamanho da amostra diminui o viés de um plano?

Ver resolução
Uma amostra maior diminui o espalhamento das médias, o erro amostral, e não muda o valor em volta do qual elas se juntam.
Não. O viés continua o mesmo, e só a pilha de médias fica mais estreita.
básico
Para estimar quantas horas por dia os alunos de uma escola estudam em casa, qual plano é melhor: perguntar aos alunos que estão na biblioteca, abrir uma enquete no grupo da turma ou sortear nomes da lista de todos os alunos?

Ver resolução
Na biblioteca estão justamente os que estudam mais, e a enquete ouve só quem quer responder.
Sortear nomes da lista completa, que dá a todos a mesma chance de entrar.
médio
No Censo de 2022, a média das idades de quem tinha de 6 a 17 anos era 11,5 anos, e a da população, 35,7. Qual é o viés do plano da porta da escola, e por que a pilha dele é tão estreita?

Ver resolução
$11{,}5 - 35{,}7 = -24{,}2$ anos.
As idades que esse plano consegue sortear vão só de 6 a 17 anos, e o desvio padrão delas é de cerca de 3,5 anos, contra 21,5 da população inteira.
Viés de cerca de −24 anos. A pilha é estreita porque as idades possíveis são muito parecidas entre si.
médio
No Censo de 2022, 160.131.985 pessoas tinham 16 anos ou mais. Que porcentagem da população um plano que sorteia só no cadastro eleitoral deixa de fora?

Ver resolução
$\dfrac{160.131.985}{203.080.756} \approx 0{,}7885$, e 78,85% da população pode ser sorteada.
$100 - 78{,}85 = 21{,}15$
Cerca de 21% da população, todas as pessoas com menos de 16 anos.
médio
Numa cidade, 75% das pessoas são adultas e 25% são jovens. Uma amostra entrevistou 100 adultos e 100 jovens sobre horas de tela por dia, e os adultos deram média de 4 horas e os jovens, de 7 horas. Qual é a média da amostra, e qual é a estimativa que respeita a composição da cidade?

Ver resolução
Na amostra, metade é de jovens, e a média é $\dfrac{100 \cdot 4 + 100 \cdot 7}{200} = 5{,}5$ horas.
Dando a cada grupo o peso que ele tem na cidade, $0{,}75 \cdot 4 + 0{,}25 \cdot 7 = 4{,}75$ horas.
5,5 horas na amostra, e 4,75 horas com os pesos da cidade. Sem a ponderação, os jovens, que são 25% da cidade, valeriam como 50%.
médio
Um site de notícias abre uma enquete, recebe 50 mil votos e anuncia que 94% dos leitores apoiam uma ideia. Por que esse número não diz quanto a população apoia a ideia?

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Votam os leitores do site, e entre eles só os que quiseram votar, provavelmente os que mais se importam com o assunto.
Os 50 mil votos não foram sorteados, e o tamanho grande não corrige isso.
A enquete tem viés de autosseleção, e o número descreve quem votou, não a população.
desafio
Em 1936, a revista americana Literary Digest enviou cédulas a milhões de pessoas, tiradas em boa parte de listas telefônicas e de donos de automóveis, recebeu de volta, pelas contas mais citadas, cerca de 2,4 milhões, e previu a derrota de Franklin Roosevelt. Roosevelt venceu com cerca de 61% dos votos. Aponte duas fontes de viés nesse plano.

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Em 1936, em plena Depressão, ter telefone ou automóvel era mais comum entre os mais ricos, que votavam menos em Roosevelt. A lista de onde saíram as cédulas já deixava de fora boa parte do eleitorado dele.
Além disso, só uma parte das pessoas devolveu a cédula, e quem responde por conta própria tende a ser diferente de quem não responde.
Viés na lista de onde a amostra foi tirada e viés de não resposta. Os milhões de cédulas deram precisão a uma estimativa com viés.
desafio
Um pesquisador junta os dois planos tortos da bancada, sorteando metade de cada amostra no cadastro eleitoral e metade na porta da escola. Em volta de que média as amostras se juntam? O viés acabou?

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Metade das pessoas vem de um plano com média 43,3 e metade de outro com média 11,5, e a média das amostras tende a $\dfrac{43{,}3 + 11{,}5}{2} = 27{,}4$ anos.
As crianças de 0 a 5 anos continuam sem chance nenhuma, e os jovens de 16 e 17 anos podem entrar pelos dois planos.
Cerca de 27,4 anos, com viés de uns −8,3 anos. Juntar planos tortos troca um viés por outro.

FECHAMENTO

Desafios

Passos 1 e 4 · Setores e medidas de centro

Numa pesquisa com 200 famílias, o gráfico de setores do número de filhos tem fatias de 90° para nenhum filho, 144° para 1 filho, 90° para 2 filhos e 36° para 3 filhos. Calcule a média, a mediana e a moda do número de filhos.

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Cada fatia é a fração do círculo que a categoria ocupa, e a frequência é essa fração de 200.
$\dfrac{90}{360} \cdot 200 = 50$, $\dfrac{144}{360} \cdot 200 = 80$, $\dfrac{90}{360} \cdot 200 = 50$ e $\dfrac{36}{360} \cdot 200 = 20$ famílias.
$\bar{x} = \dfrac{0 + 80 + 100 + 60}{200}$
$= \dfrac{240}{200} = 1{,}2$ filho.
A acumulada vai a 50 famílias com 0 filho e a 130 com até 1, e a 100ª e a 101ª família têm 1 filho cada. A mediana é 1, e a moda, a maior fatia, também é 1.

Passos 2 e 4 · Histograma e mediana

Com as idades do Censo de 2022 em classes de 10 anos, a frequência acumulada chega a 42,07% em 30 anos e a 57,66% em 40 anos. Supondo as pessoas espalhadas por igual dentro de [30; 40[, estime a mediana das idades e compare com a mediana exata, 35 anos.

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A classe [30; 40[ reúne $57{,}66 - 42{,}07 = 15{,}59\%$ da população, e para chegar a 50% faltam $50 - 42{,}07 = 7{,}93\%$.
Isso é $\dfrac{7{,}93}{15{,}59} \approx 0{,}51$ da classe, que tem 10 anos de largura, e a mediana estimada é $30 + 0{,}51 \cdot 10 \approx 35{,}1$ anos.
Dentro dessa classe as idades têm frequências parecidas, e a suposição de pessoas espalhadas por igual funciona bem, ao contrário do que acontecia com a renda no passo 2. A estimativa erra por cerca de um décimo de ano.

Passo 5 · Desvio padrão

Uma prova valia 10 pontos, e as notas tiveram média 5,5 e desvio padrão 1,5. A escola passou as notas para a escala de 0 a 100, multiplicando todas por 10, e depois somou 5 pontos a cada uma. Quais são a nova média e o novo desvio padrão?

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Multiplicar por 10 leva a média a 55 e o desvio padrão a 15, porque cada desvio também fica 10 vezes maior.
Somar 5 leva a média a 60 e não muda nenhum desvio em relação à média.
A nova média é 60 e o novo desvio padrão é 15. A ordem das duas operações importa para a média: somando 5 antes e multiplicando depois, ela iria a 105, fora da escala.

Passos 3 e 6 · Boxplot e média

Um conjunto de 9 números tem mínimo 2, Q1 = 4, mediana 7, Q3 = 10 e máximo 30, pela convenção desta aula. O 30 é atípico? A média desses números pode ficar abaixo da mediana?

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A AIQ é $10 - 4 = 6$, e a cerca de cima é $10 + 1{,}5 \cdot 6 = 19$. O 30 passa dela e é atípico.
Em ordem, $x_1 = 2$, $x_5 = 7$ e $x_9 = 30$. Q1 é a média de $x_2$ e $x_3$, e por isso $x_2 + x_3 = 8$, com $x_3 \ge 4$. Q3 é a média de $x_7$ e $x_8$, e $x_7 + x_8 = 20$.
A soma fica menor com $x_4$ e $x_6$ mínimos, $x_4 = x_3 = 4$ e $x_6 = 7$, e vale $2 + 8 + 4 + 7 + 7 + 20 + 30 = 78$.
A média é pelo menos $78/9 \approx 8{,}7$, sempre acima da mediana. O 30 sozinho já puxa a média para cima, como o valor extremo do passo 3.

Passos 7 e 8 · Amostra e viés

Para estimar a idade média dos moradores de uma cidade, a prefeitura sorteia 2000 pacientes entre os que passaram pelos postos de saúde num mês. A amostra é grande e foi sorteada. A estimativa deve sair boa?

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O sorteio foi feito entre os pacientes dos postos, e não entre os moradores. Quem vai mais ao posto entra mais, e crianças pequenas e idosos provavelmente vão mais que adultos jovens.
A lista de onde a amostra saiu já é diferente da população, e esse viés não depende do tamanho da amostra. As 2000 entrevistas só deixam a média amostral bem estreita em volta de um valor que pode estar errado.
Um plano melhor sortearia domicílios de toda a cidade, como o IBGE faz nas suas pesquisas por amostra, e entrevistaria os moradores dos domicílios sorteados.

Passo 3 e Função Afim · A reta passa pela média

A aula de Função Afim ajusta uma reta de mínimos quadrados a dados medidos. Ajuste a reta aos pontos (1, 2), (2, 3), (3, 5) e (4, 6) e mostre que ela passa por $(\bar{x}, \bar{y})$ e que os resíduos somam zero.

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As médias são $\bar{x} = 2{,}5$ e $\bar{y} = 4$. Os desvios em $x$ são $-1{,}5$, $-0{,}5$, $0{,}5$, $1{,}5$, e em $y$, $-2$, $-1$, 1, 2.
$a = \dfrac{3 + 0{,}5 + 0{,}5 + 3}{2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25}$
$= \dfrac{7}{5} = 1{,}4$ e $b = 4 - 1{,}4 \cdot 2{,}5 = 0{,}5$.
Em $x = 2{,}5$, a reta $y = 1{,}4\,x + 0{,}5$ dá $y = 4$, o ponto das médias.
Os resíduos são $2 - 1{,}9 = 0{,}1$, $3 - 3{,}3 = -0{,}3$, $5 - 4{,}7 = 0{,}3$ e $6 - 6{,}1 = -0{,}1$, e somam zero, como os desvios em relação à média na régua do passo 3.

Passo 4 · Média com classe aberta

No Censo de 2022 havia 72.522.372 domicílios particulares, com média de 2,79 moradores. Os domicílios de 1 a 5 moradores somam 182.486.215 moradores, e há 2.919.302 domicílios com 6 ou mais. Estime quantos moradores tem, em média, um domicílio dessa última classe.

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O total de moradores é cerca de $2{,}79 \cdot 72.522.372$
$\approx 202.337.418$.
Os domicílios com 6 ou mais ficam com $202.337.418 - 182.486.215$
$= 19.851.203$ moradores, e a média deles é $\dfrac{19.851.203}{2.919.302} \approx 6{,}8$.
A média publicada vem arredondada, e qualquer valor de 2,785 a 2,795 seria escrito 2,79. Refazendo a conta com as duas pontas, a classe aberta fica entre cerca de 6,7 e 6,9 moradores por domicílio, e a estimativa de 6,8 parece razoável.

Questões no estilo ENEM

Escrevemos as cinco questões abaixo no formato do ENEM, com um texto-base tirado do cotidiano, um comando e cinco alternativas, e cada uma retoma um passo diferente da aula. Mais embaixo listamos questões reais da prova sobre os mesmos temas, que talvez sejam o melhor treino depois destas.

Gráficos · Passo 1
Um aplicativo de música publicou nas redes sociais o gráfico abaixo, com o número de assinantes em janeiro e em junho, e a legenda "Em seis meses, nossa base triplicou".

Quantas vezes a barra de junho parece maior que a de janeiro, e de quanto foi, de fato, o crescimento do número de assinantes?
1. Parece 3 vezes maior, e o crescimento foi de cerca de 8,3%.
2. Parece 3 vezes maior, e o crescimento foi de 300%.
3. Parece 3 vezes maior, e o crescimento foi de 200%.
4. Parece 1,08 vez maior, e o crescimento foi de cerca de 8,3%.
5. Parece 2 vezes maior, e o crescimento foi de 4%.
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Resposta: A.
O eixo começa em 46 mil, e as barras medem, acima dele, $52 - 46 = 6$ e $48 - 46 = 2$, e a de junho fica 3 vezes mais alta.
O crescimento real é $\dfrac{52 - 48}{48} \approx 0{,}083$, cerca de 8,3%.
As alternativas B e C leem a figura como se o número tivesse triplicado, um crescimento de 200%, ou o confundem com 300%. A D dá a razão verdadeira entre os números, que o desenho esconde, e a E toma os 4 mil de aumento como porcentagem. A legenda do aplicativo se apoia no corte do eixo, e um gráfico com o eixo no zero mostraria duas barras quase iguais.
Histograma · Passo 2
Uma empresa perguntou a 200 funcionários quanto tempo eles levam de casa ao trabalho e agrupou as respostas em classes de larguras diferentes. Em [0; 15[ minutos ficaram 30 pessoas, em [15; 30[ ficaram 70, em [30; 60[ ficaram 60, e em [60; 120[ ficaram 40. O setor de recursos humanos vai desenhar o histograma com a área de cada retângulo proporcional ao número de pessoas da classe.

Nesse histograma, qual é a razão entre a altura do retângulo da classe [30; 60[ e a altura do retângulo da classe [0; 15[?
1. 1
2. 2
3. $\dfrac{1}{2}$
4. 4
5. $\dfrac{3}{2}$
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Resposta: A.
Com a área proporcional ao número de pessoas, a altura é a densidade, o número de pessoas dividido pela largura da classe.
Em [0; 15[, $30 / 15 = 2$ pessoas por minuto, e em [30; 60[, $60 / 30 = 2$ pessoas por minuto, e os dois retângulos têm a mesma altura.
Quem usa a frequência como altura chega a 2, a razão entre 60 e 30 pessoas. A C inverte essa razão, a D multiplica a razão das frequências pela das larguras em vez de dividir, e a E sai de comparar a classe [30; 60[ com a de 40 pessoas. A classe mais alta do histograma é a de [15; 30[, com cerca de 4,7 pessoas por minuto.
Média, mediana e moda · Passo 4
Numa empresa com 10 funcionários, seis ganham R$ 1800 por mês, três ganham R$ 2400 e o diretor ganha R$ 15.000. Na negociação do reajuste, o sindicato quer mostrar que o salário típico é baixo, e a empresa quer mostrar que paga bem, e cada lado escolhe uma medida de centro diferente.

Que medida cada lado tende a usar, e com que valor?
1. O sindicato, a mediana, de R$ 1800, e a empresa, a média, de R$ 3300.
2. O sindicato, a média, de R$ 3300, e a empresa, a mediana, de R$ 1800.
3. Os dois, a moda, de R$ 1800.
4. O sindicato, a mediana, de R$ 2100, e a empresa, a média, de R$ 6400.
5. O sindicato, a moda, de R$ 2400, e a empresa, a média, de R$ 3300.
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Resposta: A.
A média é $\dfrac{6 \cdot 1800 + 3 \cdot 2400 + 15.000}{10}$
$= \dfrac{33.000}{10} = 3300$.
Em ordem, o 5º e o 6º salários são R$ 1800, e a mediana é R$ 1800. A moda também é R$ 1800, o salário de seis pessoas.
O salário do diretor puxa a média para cima e não mexe na mediana, e a empresa prefere a média, que é maior. A B troca os lados, e a C esquece que a empresa quer o número maior. A D tira a mediana dos dois salários do meio da lista sem repetição, $\dfrac{1800 + 2400}{2}$, e a média dos três valores distintos, $\dfrac{1800 + 2400 + 15.000}{3}$, sem pesar as frequências. A E toma a moda pelo segundo salário mais comum.

Desvio padrão · Passo 5

O técnico de uma equipe de salto em distância vai levar a uma competição o atleta mais regular, o de menor desvio padrão nas últimas cinco marcas. As marcas, em metro, foram estas.

Atleta	Marcas (m)	Média (m)
Ana	7,0 · 7,2 · 6,8 · 7,1 · 6,9	7,0
Bia	6,5 · 7,5 · 7,0 · 6,6 · 7,4	7,0
Clara	7,3 · 7,3 · 6,4 · 7,3 · 6,7	7,0

Que atleta o técnico escolhe, e qual é o desvio padrão das marcas dela, aproximadamente?

Ana, com desvio padrão de cerca de 0,14 m.
Bia, com desvio padrão de cerca de 0,41 m.
Clara, com desvio padrão de cerca de 0,38 m.
Ana, com desvio padrão de 0,02 m.
Qualquer uma das três, porque as médias são iguais.

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Resposta: A.
Os desvios de Ana em relação a 7,0 são 0, 0,2, $-0{,}2$, 0,1 e $-0{,}1$, e os quadrados somam $0{,}04 + 0{,}04 + 0{,}01 + 0{,}01 = 0{,}10$.
$\sigma^2 = 0{,}10 / 5 = 0{,}02$ e $\sigma = \sqrt{0{,}02} \approx 0{,}14\ \text{m}$.
Para Bia, os quadrados somam 0,82 e $\sigma \approx 0{,}41\ \text{m}$, e para Clara, somam 0,72 e $\sigma \approx 0{,}38\ \text{m}$.
A D para na variância e esquece a raiz, e a E ignora que o critério do técnico é o espalhamento, que a média não mede. A amplitude também apontaria Ana, com 0,4 m, contra 1,0 m de Bia e 0,9 m de Clara.

Viés · Passo 8
A prefeitura de uma cidade quer estimar a porcentagem de moradores que usam ônibus pelo menos uma vez por semana e recebeu quatro propostas de pesquisa. A proposta I entrevista 3000 pessoas nos terminais de ônibus. A II publica uma enquete no site da prefeitura, que costuma receber 10 mil respostas. A III sorteia 800 endereços do cadastro de imóveis residenciais e entrevista um morador sorteado em cada endereço. A IV entrevista 500 pessoas na praça de alimentação de um shopping.

Qual proposta tende a dar a estimativa com o menor viés?
1. A I, porque ouve o maior número de pessoas.
2. A II, porque recebe o maior número de respostas.
3. A III, porque sorteia a amostra entre todos os domicílios da cidade.
4. A IV, porque o shopping recebe gente de todos os bairros.
5. A I e a II juntas, porque somam mais de 13 mil pessoas.
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Resposta: C.
Nos terminais, quase todo entrevistado usa ônibus, e a proposta I superestima a porcentagem. A enquete da II ouve só quem visita o site e quer responder, e o shopping da IV ouve quem frequenta shopping, provavelmente com mais carro que a média da cidade.
A III sorteia entre todos os endereços residenciais, e todo morador tem chance de entrar. Como cada endereço fornece um morador só, quem mora numa casa cheia tem menos chance que quem mora sozinho, e a pesquisa precisa dar pesos que compensem isso, como o IBGE faz.
A A, a B e a E confundem tamanho de amostra com qualidade do plano. Somar duas amostras com viés não tira o viés de nenhuma delas.

Questões reais do ENEM sobre este tema

As provas e os gabaritos oficiais ficam no site do INEP, onde podemos procurar cada questão pelo ano, pelo dia, pela cor do caderno e pelo número.

ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 138. Um gráfico traz as receitas e as despesas mensais de uma empresa, e a questão pede a mediana dos lucros apurados no ano, que precisam ser lidos mês a mês no gráfico.
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 149. Uma tabela de frequências dá o número de crianças por família na região de uma Unidade Básica de Saúde, e calculamos a mediana, num caso em que a acumulada para exatamente na metade.
ENEM 2022, 2º dia, caderno azul, questão 171. Cinco jogadores de basquete disputam a média de pontos do melhor jogador da temporada anterior, e a questão pergunta quem precisa de menos pontos no último jogo.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 140. Um gráfico de barras mostra quantas viagens fizeram os 160 motoristas de um aplicativo, e precisamos comparar a média, a mediana e a moda da distribuição.
ENEM 2023, 2º dia, caderno azul, questão 157. Numa amostra de dez estudantes, um gráfico de dispersão traz a massa e a altura de cada um, e contamos quantos ficam abaixo da média numa medida e acima da média na outra.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 137. Um estudante divide por engano a soma de quatro notas por 5 e obtém uma média 1 ponto menor que a correta, e a questão pede a média verdadeira.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 154. Um quadro dá o tempo de leitura dos contratos de seis serviços digitais, e calculamos o tempo médio.
ENEM 2024, 2º dia, caderno azul, questão 178. Um quadro traz a umidade relativa média de seis meses numa cidade, e a questão pede a mediana desses valores.

Provas e gabaritos do ENEM no site do INEP →

Cola da aula

Porcentagem e ângulo do setor$\dfrac{f}{T} \cdot 100\%$ e $\dfrac{f}{T} \cdot 360^\circ$

Densidade no histogramaporcentagem da classe ÷ largura da classe

Média$\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$

Média ponderada$\bar{x} = \dfrac{\sum f_i\,x_i}{\sum f_i}$

Soma dos desvios$\sum (x_i - \bar{x}) = 0$

Medianao valor do meio da lista ordenada, ou a média dos dois do meio

Modao valor mais frequente; pode haver várias, ou nenhuma

Amplitudemaior valor − menor valor

Variância e desvio padrão$\sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$, $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Transformações$x + c$: média $+\,c$ e σ igual; $k\,x$: média vezes $k$ e σ vezes $|k|$

Quartis e AIQQ1 e Q3, medianas das metades; AIQ = Q3 − Q1

Atípicoabaixo de Q1 − 1,5·AIQ ou acima de Q3 + 1,5·AIQ

Erro amostral$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Viésmédia que o plano tende a dar − valor verdadeiro; não diminui com $n$